Задания показательные уравнения: Показательные уравнения — алгебра, уроки

Методы решения показательных уравнений. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Определение показательного уравнения Сложность: лёгкое	1
2.	Показательное уравнение с отрицательным показателем степени Сложность: лёгкое	2
3.	Определение показательного уравнения (корень n-ой степени) Сложность: лёгкое	1
4.	Определение корня n-ой степени Сложность: лёгкое	1
5.	Показательное уравнение с корнем Сложность: среднее	1
6.	Показательное уравнение (приведение к одному основанию) Сложность: среднее	2
7.	Показательное уравнение с приведением к одному основанию Сложность: среднее	2
8.	Показательное уравнение (приведение к общему основанию) Сложность: среднее	2
9.	Показательное уравнение (дробные показатели) Сложность: среднее	2
10.	Показательное уравнение (общий множитель) Сложность: среднее	2
11.	Показательное уравнение с общим множителем Сложность: среднее	2
12.	Показательное уравнение (умножение степеней) Сложность: среднее	2
13.	Показательное уравнение (деление степеней) Сложность: среднее	2
14.	Решение показательного уравнения (умножение степеней) Сложность: среднее	2
15.	Количество корней показательного уравнения, графический метод Сложность: среднее	1
16.	Показательное уравнение и неравенство, графический метод Сложность: среднее	3
17.	Показательное уравнение (новая переменная) Сложность: среднее	4
18.	Показательное уравнение с обратной дробью Сложность: среднее	4
19.	Показательное уравнение, сводимое к одному основанию Сложность: сложное	3
20.	Свойства степени в показательном уравнении Сложность: сложное	3
21.	Однородное уравнение Сложность: сложное	7

Как решать показательные уравнения?

Преподаватель математики Андрей Алексеевич продолжает рассматривать задачи профильного уровня для подготовки к ЕГЭ. Разбираемся с заданием из темы «Показательные уравнения».

 

Задание №13

 

Условие:

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

 

Решение:

а) Преобразуем уравнение, используя свойства степени.

В первом слагаемом «+1», это «4». Запишем первое слагаемое как «4», умноженное на оставшееся выражение. Это выражение получится точно такое же, как и второе слагаемое.

Затем вынесем за скобку общий множитель этих двух слагаемых, это будет целиком второе слагаемое. В скобках останется выражение «(4 + 1)», что соответственно будет равно «5».

Разделим обе части уравнения на «5». В правой части получим «20 :  5 = 4». «4» мы можем представить как «4 в первой степени». Поскольку в обеих частях уравнения мы пришли к выражениям, где в основании степени стоит одно и то же число «4», то мы имеем право перейти к рассмотрению отдельного уравнения, в котором приравниваем показатели степени. После преобразований получаем классическое квадратное уравнение. Кратко запишем ход решения:

 

 

Найдем корни этого уравнения через дискриминант. Дискриминант получается «больше нуля», значит у нас будет два корня. Вычисляем корни, получаем

 

 

Первую часть задания мы выполнили. Переходим ко второй части.

 

б) Оценим сначала    целыми числами:   В это неравенство во все три части внесем «1» двумя способами. Сначала прибавим «1» ко всем трем частям, а во втором случае отнимем «1».

Тогда получим:

 и 

 

Мы видим, что в средней части неравенства стоят выражения, соответствующие полученным корням уравнения. И мы их можем оценить относительно заданного отрезка.

 

Отрезку    принадлежит только один корень:  

Записываем ответ.

 

Ответ а)  б) 

 

Автор: Андрей Найдёнов.

Карточки для самостоятельной работы по теме «Показательные уравнения»

Показательные уравнения

из открытого банка заданий ЕГЭ

Вариант 1

1. Найдите корень уравнения .

2. Найдите корень уравнения .

3. Найдите корень уравнения .

4. Найдите корень уравнения: 

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения: 

8. Найдите корень уравнения: 

9. Найдите решение уравнения: 

10. Решите уравнение .

11. Решите уравнение .

12. Решите уравнение .

Показательные уравнения

из открытого банка заданий ЕГЭ

Вариант 2.

1. Найдите корень уравнения .

2. Найдите корень уравнения .

3. Найдите корень уравнения .

4. Найдите корень уравнения: 

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения: 

8. Найдите корень уравнения: 

9. Найдите решение уравнения: 

10. Решите уравнение .

11. Решите уравнение .

12. Решите уравнение .

Показательные уравнения

из открытого банка заданий ЕГЭ

Вариант 3.

1. Найдите корень уравнения .

2. Найдите корень уравнения .

3. Найдите корень уравнения .

4. Найдите корень уравнения: 

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения: 

8. Найдите корень уравнения: 

9. Найдите решение уравнения: 

10. Решите уравнение .

11. Решите уравнение .

12. Решите уравнение .

Показательные уравнения

из открытого банка заданий ЕГЭ

Вариант 4.

1. Найдите корень уравнения .

2. Найдите корень уравнения .

3. Найдите корень уравнения .

4. Найдите корень уравнения: 

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения: 

8. Найдите корень уравнения: 

9. Найдите решение уравнения: 

10. Решите уравнение .

11. Решите уравнение .

12. Решите уравнение .

Ответы к проверочной работе «Показательные уравнения»

Показательные уравнения

из открытого банка заданий ЕГЭ

вариант5.

1. Найдите корень уравнения .

2. Найдите корень уравнения .

3. Найдите корень уравнения .

4. Найдите корень уравнения: 

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения: 

8. Найдите корень уравнения: 

9. Найдите решение уравнения: 

10. Решите уравнение .

11. Решите уравнение .

12. Решите уравнение .

Задания для самостоятельной работы к разделу «Показательные уравнения и неравенства».

Показательные уравнения и неравенства, системы показательных уравнений и неравенств.

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств. В этом разделе рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, освежим в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.

Что такое показательная функция?

Функцию вида , где , называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции:

Решение показательных уравнений:

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую теорему:

Теорема: Показательное уравнение где равносильно уравнению .

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями, которые мы рассмотрели в предыдущем разделе: «Преобразование показательных выражений».

Приведем примеры решения некоторых показательных уравнений.

Задание 1. Решить уравнение: .

Решение:

Запишем уравнение в виде , откуда

Ответ:

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Так как , то уравнение можно записать в виде: , откуда

Ответ:

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Так как то уравнение можно записать в виде: , откуда

Ответ:

Задание 4. Решить уравнение:

Решение:

В левой части вынесем за скобки. Получим: ,

Ответ:

Задание 5. Решить уравнение:

Решение:

Так как то уравнение можно записать в виде .

С помощью замены уравнение сводится к квадратному уравнению корнями которого являются

Возвращаемся к замене: Уравнение имеет корень Уравнение не имеет корней (показательная функция принимает только положительные значения).

Ответ:

Решение показательных неравенств:

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо стпеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема: Если то неравенство равносильно неравенству того же смысла: Если то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла:

Приведем примеры решения некоторых показательных неравенств.

Задание 6. Решить неравенство:

Решение:

Имеем откуда

Ответ:

Задание 7. Решить неравенство:

Решение:

Запишем неравенство в виде , или . Так как то откуда

Ответ:

Задание 8. Решить систему уравнений:

Решение:

Воспользуемся способом подстановки. Выразив из первого уравнения y, получим тогда или откуда Следовательно

Ответ:

Задания для самостоятельного решения

1. Найти корень уравнения: .

2. Найти корень уравнения: .

3. Найти корень уравнения: .

4. Найти корень уравнения:

5. Найти корень уравнения:

6. Найти корень уравнения: .

7. Найти корень уравнения:

8. Найти корень уравнения:

9. Найти корень уравнения:

10. Найти корень уравнения:

11. Найти корень уравнения:

12. Найти корень уравнения:

13. Найти корень уравнения:

14. Найти корень уравнения:

15. Найти корень уравнения:

16. Найти корень уравнения:

17. Найти корень уравнения:

18. Найти корень уравнения:

19. Найти корень уравнения:

20. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

2)

3)

4)

21. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

22. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

23. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

24. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

25. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

26. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

27. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

28. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

29. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

30. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

31. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

32. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

33. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

    2)

    3)

    4)

34. Решить уравнение:

35. Решить уравнение:

36. Решить уравнение:

37. Решить уравнение:

38. Решить уравнение:

39. Решить уравнение:

40. Решить неравенство:

41. Решить неравенство: .

42. Решить неравенство:

43. Решить неравенство:

44. Решить неравенство:

45. Решить неравенство:

46. Решить неравенство:

47. Решить неравенство:

48. Решить неравенство:

49. Решить неравенство:

50. Решить неравенство:

51. Решить систему уравнений:

52. Решить систему уравнений:

53. Решить систему уравнений:

54. Решить систему уравнений:

Ответы:

К заданиям 20-33 указаны номера верных ответов. К заданиям 1-19, 34-54 даны верные ответы.

41.

№42.

№43.

№44.

№45.

№46.

№47.

№48.

№49.

№50.

№51.

№52.

№53.

№54.

Алгебра – 11 класс. Показательные уравнения и неравенства

Дата публикации: 10 апреля 2017.

Определение показательных уравнений

Ребята, мы изучили показательные функций, узнали их свойства и построили графики, разобрали примеры уравнений, в которых встречались показательные функции. Сегодня мы будем изучать показательные уравнения и неравенства.{x+2}-1}

Показательные уравнения (уровень С) — Колпаков Александр Николаевич

Банк заданий на показательные уравнения для подготовки к ЕГЭ по математике и внутреннего экзамена в МГУ. Коллекция моих любимых уравнений. Обычно сильные репетиторы по математике ведут работу со способными выпускниками, поступающими на серьезные факультеты главного ВУза страны, за границами традиционных ЕГЭ задач. Хороший репетитор предложит Вам подборку классических показательно — логарифмических уравнений на разные виды и способы решений. Учебные планы репетитора по математике, занятого исключительно подготовкой к ЕГЭ, обычно не затрагивают подобные головоломки. Они предлагаются в случае занятий для поступления МГУ или разбираются на уроках с любознательным учеником, заинтересованном в дополнительных знаниях.

Показательный вид — наиболее простой из всех конкурсных уравнений, поэтому собрать номера с высоким уровнем сложности оказалось делом нелегким. Здесь опубликована только часть материалов моей базы. Она постоянно пополняется новыми заданиями. Появится время — размещу остальное.

Уважаемые репетиторы по математике и школьные преподаватели, присылайте понравившиеся Вам сложные показательные уравнения мне на почту (принимается сканер или фото условия). С удовольствием включу их в комплект.

Коллекция показательных уравнений репетитора по математике

Приведите к простейшему показательному уравнению:

=====================================================
Однородные уравнения:

=====================================================
На преобразования и замену:

Отв: x=2,5

Отв: x=4

Отв:

Отв:

Отв:

======================================================
Уравнения с квадратным трехчленом:

Отв:

Отв:

======================================================
На метод оценки значений:

======================================================
На монотонность

Колпаков А.Н. Репетитор по математике — составитель комплекта. Москва, Строгино

Показательные уравнения. Решения

Решение множества показательных уравнений не обходится без замен, квадратных уравнений и сложных преобразований. Приведенные ниже примеры помогут Вам в этом быстро разобраться и научат решать самые сложные из них. Также Вы сможете выучить некоторые свойства логарифмов без которых показательные уравнения в простой способ не решить. Начнем с самых азов — теоретического материала об уравнениях.
Показательными называют уравнения в которых неизвестная величина содержится в показателе степени, при этом основа степени не содержит неизвестной величины. Самое простое показательных уравнения a^x=b решают логарифмированием x=log[a](b).

При решении показательных уравнений используют свойство показателей: если в уравнение степени с одной и той же основой то равные показатели степени или основание равно единице.
Из равенства следует или .

Некоторые уравнения требуют замены переменной и сводится к решению степенного уравнения. Например уравнения
легко сводится к квадратному если сделать замену
При этом исходное уравнение примет вид
После его решения нужно вернуться к замене и решить полученное уравнение.
Если показательной уравнение содержит две различные показательные функции ( основы не сводятся к одной) , то выполняют деления уравнения на одну из основ в соответствующей степени и переход до показательного уравнения которое содержит функцию с дробной основой.
Находя решения показательных уравнений следует помнить что показательная функция принимает только положительные значения. Отрицательные значения или нули замененной переменной не принимаются к рассмотрению.

На этом необходимый теоретический материал заканчивается и переходим к рассмотрению распространенных примеров.

Пример 1.Решить показательное уравнение

Решение. Перепишем уравнение к следующему виду

Второе слагаемое распишем как произведение

и сделаем замену в уравнении

Исходное уравнение преобразуем к следующему

Областью допустимых значений будет действительная ось за исключением точки y=0.
Умножим его на y и переносим все в левую сторону

Получили квадратное уравнение корни которого находим по теореме Виета. Нетрудно убедиться что они принимают значения

Возвращаемся к замене и находим решения


Выполняем проверку


Итак оба решения удовлетворяют уравнению.

 

Пример 2. Решить показательное уравнение

Решение. Используя одну из свойств логарифма записываем правую сторону уравнения в виде

Приравнивая показатели находим

 

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Такого сорта примеры решают логарифмированием обеих сторон что приводит к сведению показательного уравнения к простому виду.


Полученное уравнение относительно переменной решаем через дискриминант

Корни уравнения приобретут значения



Другого метода позволяющего аналитически получить решения Вы не найдете ни в интернете, ни на форумах.

 

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выполним некоторые преобразования с показателями чтобы упростить уравнение

Эквивалентные значения подставим в уравнение, в результате получим

Выполняем замену

Уравнение превратится к квадратному


Вычисляем дискриминант

Найденное значение подставляем в формулу корней


Возвращаемся к замене и находим


Задача решена.

 

Пример 5.Решить уравнение

Решение. Такого типа уравнения решают с постоянной основой . За основу классически берут 10 , однако , если взять другую (для данного примера 5 или 9 ) то решение примет компактный вид
Рассмотрим оба метода.
1. Прологарифмируем обе части равенства

Раскрываем скобки и группируем слагаемые при неизвестных


Такой интересный результат.

2. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 9

Группируя слагаемые содержащие переменную получим


Оба метода достаточно быстрые и эффективные, для себя выбирайте который Вам больше подходит.

 

Пример 6.Решить уравнение

Решение.Такого рода задачи решают по следующей схеме. Показательное уравнения превращают к виду

Все слагаемые разделяем на величину чтобы свести к дробному виду

После этого выполняем замену

Уравнение переписываем в виде

Умножаем на переменную и решаем квадратное уравнение


Дискриминант принимает нулевое значение, при етом корни уравнения совпадают

Возвращаемся к замене и решаем


Итак x=2 — единственное решение.
Используйте приведенную схему в подобных задач и гарантированно получите верный результат.

 

Пример 7. Решить уравнение

Решение. На первый взгляд уравнения достаточно сложное и неизвестно как его упрощать, однако схема решения данного примера и подобных довольно проста и интересна. Выполним над уравнением преобразования

Нужно это уравнение преобразовать к квадратному



Выполним замену

и перепишем уравнение в виде следуещого

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Возвращаемся к совершенной замене

Такое уравнение сводим к квадратному, выполнив замену

В результате получим

Решаем через дискриминант


Возвращаемся к замене и определяем переменную x

Второе значение рассматривать не будем, поскольку оно отрицательное, а показательная функция всюду положительная.
Решаем вторую половину задачи

Используя предыдущую замену получим

Дискриминант примет значение

Находим корни уравнения

Первый корень имеет место бить, второй — отрицательный и не подходит.

Получили два решения показательного уравнения

Хорошо разберитесь с приведенными методами решения показательных уравнений, возможно некоторые из них пригодятся при прохождении ВНО, экзамене или контрольной работе. Будьте внимательны при упрощении, первое время используйте подстановку для проверки результатов.

Похожие материалы:

экспоненциальных уравнений с одинаковыми основаниями

Результаты обучения

• Определите экспоненциальное уравнение, все члены которого имеют одно и то же основание
• Определить случаи, когда уравнения можно переписать так, чтобы все члены имели одинаковое основание
• Примените однозначное свойство экспонент для решения экспоненциального уравнения

Когда экспоненциальное уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, экспоненты должны быть равны. {T} [/ latex].{2x — 10} \ hfill & \ text {Использовать свойство степени для степени степени}. \ Hfill \\ 8 = 2x — 10 \ hfill & \ text {Применить свойство степени один к одному для экспонент}. \ hfill \\ 18 = 2x \ hfill & \ text {Добавить 10 с обеих сторон}. \ hfill \\ x = 9 \ hfill & \ text {Разделить на 2}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

В следующем примере мы покажем, как найти общую основу для двух выражений, базисами которых являются [latex] 8 [/ latex] и [latex] 16 [/ latex]. Затем мы можем решить полученное уравнение, используя однозначное свойство показателей.{4x + 4} \ hfill & \ text {Чтобы взять степень степени, умножьте показатели}. \ Hfill \\ \ text {} 3x + 6 = 4x + 4 \ hfill & \ text {Используйте взаимно одно свойство, чтобы установить показатели равными друг другу}. \ hfill \\ \ text {} x = 2 \ hfill & \ text {Решить для} x. \ hfill \ end {array} [/ latex]

В нашем следующем примере нам дано экспоненциальное уравнение, которое содержит квадратный корень. Помните, что вы можете записывать корни как рациональные экспоненты, поэтому вы можете найти похожие основания, когда сначала это не совсем очевидно.{T} [/ латекс].

Используйте свойство «один к одному», чтобы установить равные степени друг другу.

Решите полученное уравнение: S = T относительно неизвестного.

В следующем видео мы покажем больше примеров того, как решать экспоненциальные уравнения путем нахождения общего основания.

Подумай об этом

Все ли экспоненциальные уравнения имеют решение? Если нет, как мы можем узнать, есть ли решение в процессе решения проблемы? Напишите свои мысли в текстовом поле ниже, прежде чем проверить предложенный нами ответ.4 = 16 [/ латекс]. Помните, что мы определили экспоненциальные функции как имеющие основание больше 0.

Анализ решения

Сводка

Мы можем использовать свойство однозначности показателей для решения экспоненциальных уравнений с одинаковыми основаниями. Члены некоторых экспоненциальных уравнений можно переписать с тем же основанием, что позволяет использовать тот же принцип. Существуют экспоненциальные уравнения, у которых нет решений, потому что мы определяем экспоненциальные функции как имеющие положительное основание.{T} [/ latex] тогда и только тогда, когда S = T .

Другими словами, когда экспоненциальное уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, экспоненты должны быть равны. Это также применимо, когда показатели являются алгебраическими выражениями. Следовательно, мы можем решить множество экспоненциальных уравнений, используя правила экспонент, чтобы переписать каждую сторону как степень с тем же основанием. Затем мы используем тот факт, что экспоненциальные функции взаимно однозначны, чтобы установить показатели равными друг другу и найти неизвестное. {x + 1} = — 2 [/ latex].{x} = — 100 [/ латекс].

Решение

Решение экспоненциальных уравнений

Экспоненциальные уравнения — это уравнения, в которых переменные встречаются как показатели.

Например, экспоненциальные уравнения имеют вид а Икс знак равно б у .

Чтобы решить экспоненциальные уравнения с той же базой, используйте свойство равенства из экспоненциальные функции .

Если б положительное число, отличное от 1 , потом б Икс знак равно б у если и только если Икс знак равно у .Другими словами, если основания одинаковые, то экспоненты должны быть одинаковыми.

Пример 1:

Решите уравнение 4 2 Икс — 1 знак равно 64 .

Обратите внимание, что основания не совпадают. Но мы можем переписать 64 в качестве основы 4 .

Мы знаем это, 4 3 знак равно 64 .

Переписать 64 в виде 4 3 так что у каждой стороны одинаковое основание.

4 2 Икс — 1 знак равно 4 3

По свойству равенства экспоненциальных функций, если основания одинаковые, то экспоненты должны быть одинаковыми.

2 Икс — 1 знак равно 3

Добавлять 1 в каждую сторону.

2 Икс — 1 + 1 знак равно 3 + 1 2 Икс знак равно 4

Разделите каждую сторону на 2 .

2 Икс 2 знак равно 4 2 Икс знак равно 2

Примечание:

Если основания не совпадают, используйте логарифмы для решения экспоненциальных уравнений.Видеть Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов .

Решение экспоненциальных уравнений без логарифмов

Показательное уравнение включает в себя неизвестную переменную в показателе экспоненты. В этом уроке мы сосредоточимся на экспоненциальных уравнениях, которые не требуют использования логарифма. В алгебре эта тема также известна как решение экспоненциальных уравнений с той же базой. Почему? Причина в том, что мы можем решить уравнение, заставив обе части экспоненциального уравнения иметь одинаковое основание.{\ color {красный} N}}

, затем {\ color {blue} M} = {\ color {red} N}

• Другими словами, если вы можете выразить экспоненциальные уравнения так, чтобы они имели одинаковое основание с обеих сторон, то можно установить их степени или показатели равными друг другу.

Вы также должны помнить о свойствах экспонент, чтобы успешно решать экспоненциальные уравнения.

---

Основные свойства экспонент

1) Нулевое свойство

2) Свойство с отрицательной экспонентой

3) Правило продукта

4) Правило частного

5) Правило власти над властью

Давайте взглянем на несколько примеров!

---

Примеры решения экспоненциальных уравнений без логарифмов

Пример 1: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.3}.

Примените свойство отрицательной экспоненты.

• На этом этапе основания одинаковы, поэтому установите одинаковые мощности.

• Это простое линейное уравнение с одним шагом.

• Чтобы найти x, разделите обе части на 3. Вот и все!

Окончательный ответ здесь x = — 1.

---

Пример 2: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.8}.

Примените правило продукта слева, а правило мощности — справа.

• Здесь мы готовы установить равные силы друг другу, так как мы можем создавать единые базы, одинаковые с обеих сторон.

• Решите простое линейное уравнение.

• Вычтите обе стороны на 7x, чтобы выделить x. Готово!

Окончательный ответ: x = 3.

---

Пример 3: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.0} с использованием нулевого свойства экспоненты.

• Теперь у нас есть желаемая конфигурация — одинаковые основания с обеих сторон.

• Установите показатель степени левой части уравнения равным показателю степени правой части, затем решите уравнение для переменной x.

• Чтобы решить уравнение, начните с добавления обеих частей на 12, чтобы переместить константу вправо.

• Наконец, разделите обе стороны на 4, чтобы получить значение x.3}
  • Примените свойство отрицательной экспоненты к левой части уравнения.
  • Умножьте внутренние показатели степени на внешние экспоненты, используя правило степени на степень.
  • Так как у них общая база, добавьте экспоненты с помощью правила продукта.
  • Очевидно, что, имея одну и ту же базу с обеих сторон, мы теперь можем установить каждую степень равной друг другу.
  • Решите линейное уравнение, сложив обе части на 6, чтобы получить x = 9.3}
    • Умножьте внутренний и внешний экспоненты, применив Степень к Правилу мощности.
    • На этом этапе мы можем добавить показатели в левой части уравнения, потому что теперь они имеют общие основания.
    • Примените правило произведения, добавляя экспоненты, когда основания равны.
    • Ясно, что мы можем положить степени обеих частей уравнения равными друг другу.
    • В результате получается простое многоступенчатое уравнение.
    • Итак, мы сначала добавляем 6x с обеих сторон. Затем вычтите на 4. И, наконец, разделите на -1, чтобы полностью выделить x отдельно!

    Ответ: x = 7. Легко!

    ---

    Пример 6: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.

    Решение :

    • Выразите каждое число с основанием 2.

    Затем умножьте внутренние экспоненты на внешние экспоненты, используя Правило степени на степень.

    • Чтобы сгенерировать единственное основание с левой стороны, используйте правило продукта — скопируйте общее основание 2 и добавьте экспоненты.
    • Это когда мы применяем Правило продукта.
    • После сложения экспонент мы получаем по одной базе с каждой стороны.

    Пора установить равные мощности.

    • Приравняв степени, мы приходим к квадратному уравнению.

    Нам нужно переместить все члены на одну сторону, заставляя противоположную сторону равняться нулю.

    • Решите квадратное уравнение, используя метод факторизации. Выносим за скобки 5 в трехчлене, затем выносим простой трехчлен как произведение двух биномов.
    • Используя свойство Zero, мы получаем эти значения для x.

    Правильные ответы: x = 2 и x = — 1.

    ---

    Пример 7: Решите экспоненциальное уравнение ниже, используя основные свойства экспонент.

    Решение :

    • Выразите каждое число как экспоненциальное число с основанием 7.
    • Примените свойство отрицательной экспоненты с левой стороны.

    Кроме того, символ квадратного корня можно переписать как показатель степени от \ large {1 \ over 2}.

    • Примените силу к правилу мощности с левой стороны.
    • Выразите левую часть одной базой, используя правило продукта, скопировав общую базу и добавив экспоненты.
    • Теперь мы можем установить степени равными друг другу, а затем решить.
    • Чтобы решить относительно x, вычтите обе части на 2.
    • Чтобы закончить это, разделите обе стороны на 12.

    Окончательное решение: x = — {\ large {1 \ over 8}}.

    ---

    Пример 8: Решите показанное ниже экспоненциальное уравнение, используя основные свойства экспонент.

    Решение :

    • Выразите числа, используя основание 5.

    Затем умножьте внутреннюю и внешнюю экспоненты с помощью правила степени на степень.

    • Похоже, мы можем использовать правило частных, потому что у нас одинаковые основания для числителя и знаменателя.
    • Вычтем показатель степени в числителе на показатель степени в знаменателе.

    Теперь можно установить «степени» или показатели равными друг другу, а затем решить квадратное уравнение.

    • Решите квадратное уравнение, разложив трехчлен на два бинома. Затем установите каждый бином равным 0, чтобы найти x.
    • Используя свойство нулевого произведения, мы получаем эти значения x.

    Окончательные ответы: x = — 3 и x = 2.

    ---

    Вам также может понравиться:

    Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов

    ---

    Практика с рабочими листами

    4.6: Экспоненциальные и логарифмические уравнения

    1. Последнее обновление

    2. Сохранить как PDF
    1. Использование одинаковых оснований для решения экспоненциальных уравнений
       1. Переписывание уравнений таким образом, чтобы у всех степеней была одна и та же база
    2. Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов
    3. Уравнений, содержащих \ (e \)
    4. Посторонние решения
    5. с использованием определения a Логарифм для решения логарифмических уравнений
    6. Использование однозначного свойства логарифмов для решения логарифмических уравнений
    7. Решение прикладных задач с использованием экспоненциальных и логарифмических уравнений
    8. Ключевые уравнения
    9. Ключевые концепции
    10. Участники

    Навыки для развития

    • Используйте подобные основания для решения экспоненциальных уравнений.
    • Используйте логарифмы для решения экспоненциальных уравнений.
    • Используйте определение логарифма для решения логарифмических уравнений.
    • Используйте однозначное свойство логарифмов для решения логарифмических уравнений.
    • Решение прикладных задач с экспоненциальными и логарифмическими уравнениями.

    В 1859 году австралийский землевладелец Томас Остин выпустил \ (24 \) кроликов в дикую природу для охоты. Поскольку в Австралии было мало хищников и достаточно еды, популяция кроликов резко выросла.Менее чем за десять лет популяция кроликов исчислялась миллионами.

    Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Дикие кролики в Австралии. Популяция кроликов в Австралии росла так быстро, что это событие стало известно как «кроличья чума». (Источник: Ричард Тейлор, Flickr)

    Неконтролируемый рост популяции, как у диких кроликов в Австралии, можно смоделировать с помощью экспоненциальных функций. {x + 1} = — 2 \).

    Решение

    Это уравнение не имеет решения. Не существует реального значения \ (x \), которое сделало бы уравнение истинным, потому что любая степень положительного числа положительна.

    Анализ

    Рисунок \ (\ PageIndex {2} \) показывает, что два графика не пересекаются, поэтому левая сторона никогда не равна правой стороне. Таким образом, уравнение не имеет решения.

    Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)

    Иногда члены экспоненциального уравнения не могут быть переписаны с общим основанием.В этих случаях мы решаем, логарифмируя каждую сторону.

    Дано экспоненциальное уравнение, в котором нельзя найти общую базу, найти неизвестное

    1. Примените функцию логарифма к обеим сторонам уравнения.
       • Если один из членов уравнения имеет основание 10, используйте десятичный логарифм.
       • Если ни один из членов уравнения не имеет основания 10, используйте натуральный логарифм.
    2. Используйте правила логарифмов, чтобы найти неизвестное.x \ qquad \ text {Взять ln с обеих сторон} \\
       (x + 2) \ ln5 & = x \ ln4 \ qquad \ text {Использовать законы бревен} \\
       x \ ln5 + 2 \ ln5 & = x \ ln4 \ qquad \ text {Используйте закон распределения} \\
       x \ ln5-x \ ln4 & = -2 \ ln5 \ qquad \ text {Получите члены, содержащие x с одной стороны, члены без x с другой} \\
       x ( \ ln5- \ ln4) & = -2 \ ln5 \ qquad \ text {С левой стороны вычтите x} \\
       x \ ln \ left (\ dfrac {5} {4} \ right) & = \ ln \ left (\ dfrac {1} {25} \ right) \ qquad \ text {Используйте законы журналов} \\
       x & = \ dfrac {\ ln \ left (\ dfrac {1} {25} \ right )} {\ ln \ left (\ dfrac {5} {4} \ right)} \ qquad \ text {Разделить на коэффициент x}
       \ end {align *} \]

       Анализ

       Если нам нужно десятичное приближение к этому значению, мы можем немного сделать резервную копию и вычислить \ (\ dfrac {-2 \ ln 5} {\ ln \ left (\ frac {5} {4} \ right)} \ примерно -14.{2t} \).

       Ответ

       \ (t = \ ln \ left (\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ right) = — \ dfrac {1} {2} \ ln (2) \ приблизительно -0,347 \)

       Иногда методы, используемые для решения уравнения, вводят постороннее решение , которое является решением, которое является алгебраически правильным, но не удовлетворяет условиям исходного уравнения. Одна такая ситуация может возникнуть, когда логарифм берется с обеих сторон уравнения. В таких случаях помните, что аргумент любого логарифма должен быть положительным.у = х \). Мы можем использовать этот факт вместе с правилами логарифмов для решения логарифмических уравнений, в которых аргумент является алгебраическим выражением.

       Например, рассмотрим уравнение \ ({\ log} _2 (2) + {\ log} _2 (3x − 5) = 3 \). Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмов, чтобы переписать левую часть в компактной форме, а затем применить определение журналов для решения для \ (x \):

       \ [\ begin {align *} {\ log} _2 (2) + {\ log} _2 (3x-5) & = 3 \\ {\ log} _2 (2 (3x-5)) & = 3 \ qquad \ text {Применить правило произведения логарифмов} \\ {\ log} _2 (6x-10) & = 3 \ qquad \ text {Распределить} \\ 2 ^ 3 & = 6x-10 \ qquad \ text {Применить определение логарифма} \\ 8 & = 6x-10 \ qquad \ text {Вычислить} 2 ^ 3 \\ 18 & = 6x \ qquad \ text {Добавить 10 в обе стороны} \\ x & = 3 \ qquad \ text {Разделить на 6 } \ end {align *} \]

       ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

       Для любого алгебраического выражения \ (S \) и действительных чисел \ (b \) и \ (c \), где \ (b> 0 \), \ (b ≠ 1 \),

       \ [\ begin {align} {\ log} _b (S) = c \ text {тогда и только тогда, когда} b ^ c = S \ end {align} \]

       Пример \ (\ PageIndex {9} \): использование алгебры для решения логарифмического уравнения

       Решите \ (2 \ ln x + 3 = 7 \).3,3) \), что приблизительно равно \ ((20.0855, 3) \).

       Как и в случае с экспоненциальными уравнениями, мы можем использовать свойство однозначности для решения логарифмических уравнений. Однозначное свойство логарифмических функций говорит нам, что для любых действительных чисел \ (x> 0 \), \ (S> 0 \), \ (T> 0 \) и любого положительного действительного числа \ (b \ ), где \ (b ≠ 1 \),

       Если \ ({\ log} _bS = {\ log} _bT \), то \ (S = T \).

       Например,

       Если \ ({\ log} _2 (x − 1) = {\ log} _2 (8) \), то \ (x − 1 = 8 \).

       Итак, если \ (x − 1 = 8 \), то мы можем решить для \ (x \), и мы получим \ (x = 9 \).Для проверки мы можем подставить \ (x = 9 \) в исходное уравнение: \ ({\ log} _2 (9−1) = {\ log} _2 (8) = 3 \). Другими словами, когда логарифмическое уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, аргументы должны быть равны. Это также применимо, когда аргументы являются алгебраическими выражениями. Следовательно, когда дано уравнение с журналами с одинаковым основанием на каждой стороне, мы можем использовать правила логарифмов, чтобы переписать каждую сторону как единый логарифм. Затем мы используем тот факт, что логарифмические функции взаимно однозначны, чтобы установить аргументы, равные друг другу, и найти неизвестное.

       Например, рассмотрим уравнение \ (\ log (3x − 2) — \ log (2) = \ log (x + 4) \). Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмов, чтобы переписать левую часть как единый логарифм, а затем применить свойство «один к одному», чтобы найти \ (x \):

       \ [\ begin {align *} \ log (3x-2) — \ log (2) & = \ log (x + 4) \\ \ log \ left (\ dfrac {3x-2} {2} \ right ) & = \ log (x + 4) \ qquad \ text {Применить правило частного логарифмов} \\ \ dfrac {3x-2} {2} & = x + 4 \ qquad \ text {Применить свойство «один к одному» логарифма} \\ 3x-2 & = 2x + 8 \ qquad \ text {Умножьте обе части уравнения на 2} \\ x & = 10 \ qquad \ text {Вычтите 2x и добавьте 2} \ end {align *} \ ]

       Чтобы проверить результат, замените \ (x = 10 \) на \ (\ log (3x − 2) — \ log (2) = \ log (x + 4) \).

       \ [\ begin {align *} \ log (3 (10) -2) — \ log (2) & = \ log ((10) +4) \\ \ log (28) — \ log (2) & = \ log (14) \\ \ log \ left (\ dfrac {28} {2} \ right) & = \ log (14) \ qquad \ text {Решение проверяет} \ end {align *} \]

       ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ «ОДИН К ОДНОМУ» ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

       Для любых алгебраических выражений \ (S \) и \ (T \) и любого положительного действительного числа \ (b \), где \ (b ≠ 1 \),

       \ [\ mbox {If} {\ log} _bS = {\ log} _bT \ mbox {then} S = T \]

       Примечание: при решении уравнения, включающего логарифмы, всегда проверяйте, верен ли ответ или нет ли это постороннее решение. 2) = \ ln (2x + 3) \).2-2x-3 & = 0 \ qquad \ text {Получите ноль с одной стороны перед факторингом} \\ (x-3) (x + 1) & = 0 \ qquad \ text {Фактор с использованием FOIL} \\ x-3 & = 0 \ qquad \ text {или} x + 1 = 0 \; \ text {Если продукт равен нулю, один из факторов должен быть равен нулю} \\ x = 3 \ qquad \ text {или} \\ x & = -1 \ qquad \ text {Решить относительно x} \ end {align *} \]

       Анализ

       Есть два решения: \ (3 \) или \ (- 1 \). Решение \ (- 1 \) отрицательное, но оно проверяется при подстановке в исходное уравнение, потому что аргумент логарифмических функций по-прежнему положительный.2) = \ ln1 \).

       Ответ

       \ (x = 1 \) или \ (x = −1 \)

       В предыдущих разделах мы изучили свойства и правила как для экспоненциальных, так и для логарифмических функций. Мы видели, что любую экспоненциальную функцию можно записать в виде логарифмической функции и наоборот. Мы использовали показатели для решения логарифмических уравнений и логарифмы для решения экспоненциальных уравнений. Теперь мы готовы объединить наши навыки для решения уравнений, которые моделируют реальные ситуации, независимо от того, находится ли неизвестное в экспоненте или в аргументе логарифма.

       Одно из таких приложений — в науке, где рассчитывается время, необходимое для распада половины нестабильного материала в образце радиоактивного вещества, называемое периодом полураспада . В таблице \ (\ PageIndex {1} \) перечислены периоды полураспада некоторых наиболее распространенных радиоактивных веществ.

       Таблица \ (\ PageIndex {1} \)

       Вещество	Использование	Период полураспада
       галлий-67	ядерная медицина	80 часов
       кобальт-60	производство	5.3 года
       технеций-99m	ядерная медицина	6 часов
       америций-241	строительство	432 года
       углерод-14	археологическая датировка	5715 лет
       уран-235	атомная энергия	703 800 000 или \ (7. {\ tfrac {\ ln (0.M) = M \\ t & = 703 800 000 \ times \ dfrac {\ ln (0.9)} {\ ln (0,5)} \ qquad \ text {Решить относительно t} \ t & \ приблизительно 106 979 777 \ qquad \ text {лет} \ конец {выравнивание *} \] Анализ Десять процентов от \ (1000 \) граммов составляют \ (100 \) граммы. Если распадется \ (100 \) граммов, количество оставшегося урана-235 составит \ (900 \) граммов. \ (\ PageIndex {11} \) Сколько времени пройдет, прежде чем двадцать процентов нашей 1000-граммовой пробы урана-235 распадутся? Ответ \ (t = 703 800 000 × \ dfrac {\ ln (0.с = S \).
       Однозначное свойство для логарифмических функций	Для любых алгебраических выражений \ (S \) и \ (T \) и любого положительного действительного числа \ (b \), где \ (b ≠ 1 \), если \ ({\ log} _bS = {\ log} _bT \), затем \ (S = T \).

       • Мы можем решить множество экспоненциальных уравнений, используя правила экспонент, чтобы переписать каждую сторону как степень с тем же основанием. Затем мы используем тот факт, что экспоненциальные функции взаимно однозначны, чтобы установить показатели равными друг другу и найти неизвестное.
       • Когда нам дается экспоненциальное уравнение, в котором основания явно показаны как равные, установите показатели равными друг другу и решите относительно неизвестного. См. Пример \ (\ PageIndex {1} \).
       • Когда нам дается экспоненциальное уравнение, в котором основания равны , а не , явно показанные как равные, перепишите каждую часть уравнения как степени одного и того же основания, затем установите показатели равными друг другу и решите для неизвестного. См. Пример \ (\ PageIndex {2} \), Пример \ (\ PageIndex {3} \) и Пример \ (\ PageIndex {4} \).
       • Если экспоненциальное уравнение не может быть переписано с общим основанием, решите, взяв логарифм каждой стороны. См. Пример \ (\ PageIndex {5} \).
       • Мы можем решать экспоненциальные уравнения с основанием \ (e \), применяя натуральный логарифм обеих частей, потому что экспоненциальные и логарифмические функции являются обратными друг другу. См. Пример \ (\ PageIndex {6} \) и Пример \ (\ PageIndex {7} \).
       • После решения экспоненциального уравнения проверьте каждое решение в исходном уравнении, чтобы найти и исключить любые посторонние решения.c = S \) и решаем неизвестное. См. Пример \ (\ PageIndex {9} \) и Пример \ (\ PageIndex {10} \).
       • Мы также можем использовать построение графиков для решения уравнений в форме \ ({\ log} _b (S) = c \). Мы наносим на график оба уравнения \ (y = {\ log} _b (S) \) и \ (y = c \) на одной и той же координатной плоскости и идентифицируем решение как значение x- точки пересечения. См. Пример \ (\ PageIndex {11} \).
       • Когда дано уравнение вида \ ({\ log} _bS = {\ log} _bT \), где \ (S \) и \ (T \) — алгебраические выражения, мы можем использовать свойство взаимно однозначности логарифмов для решения уравнения \ (S = T \) относительно неизвестного.См. Пример \ (\ PageIndex {12} \).
       • Объединив навыки, полученные в этом и предыдущих разделах, мы можем решать уравнения, моделирующие ситуации в реальном мире, независимо от того, находится ли неизвестное в экспоненте или в логарифмическом аргументе. См. Пример \ (\ PageIndex {13} \).
       • Линн Маречек (колледж Санта-Ана) и Мэри-Энн Энтони-Смит (ранее из колледжа Санта-Ана). Этот контент создан OpenStax и находится под лицензией Creative Commons Attribution License 4.0.

       Степени и корни: экспоненциальные уравнения

       В следующем видео из нашей серии о степенях и корнях обсуждаются экспоненциальные уравнения. Так что смотрите! Расшифровка стенограммы ниже для справки.

       Экспоненциальные уравнения. Экспоненциальное уравнение — это уравнение, в котором переменные указаны в показателях степени. Для решения большинства экспоненциальных уравнений требуется сложная математика, и они не участвуют в тесте. Тест даст нам только уравнения, которые можно решить с использованием основных законов экспонент или корней, которые мы обсуждали в этом модуле.

       Так, например, 2 до x равняется 16, это очень простое экспоненциальное уравнение. Это намного проще, чем вы могли бы увидеть на тесте. И, конечно же, мы можем решить эту проблему, если осознаем, что 16 — это степень двойки. Поэтому мы просто запишем 16 как 2 в четвертую. И тогда мы можем установить равные степени с обеих сторон, потому что основания равны с обеих сторон.

       Если вы видите экспоненциальное уравнение в тесте, скорее всего, у них будут переменные в показателях степени на каждой стороне уравнения.Итак, у нас есть переменные с одной стороны и просто константа с другой стороны. Вы, вероятно, этого не увидите. Тем не менее, понимание последней проблемы можно обобщить. Если две степени с одинаковым основанием равны, тогда степени должны быть равны.

       Основная идея, используемая для решения экспоненциальных уравнений

       Итак, от x = b до y, должно быть верно, что x = y. Это основная идея, которую мы будем использовать для решения экспоненциальных уравнений.Это правило работает для всех оснований, кроме 0 или + или — 1. И тест не даст вам экспоненциального уравнения с одним из этих чисел в качестве основы.

       Пример вопроса

       Вот практический вопрос, поставьте видео на паузу, а затем мы поговорим об этом.

       Итак, эти основания уже равны, у нас есть основание 7 с обеих сторон уравнения. Все, что нам нужно сделать, это установить равные степени и затем решить.

       Прибавим x к обеим сторонам, разделим на 3, получим x = 2.Хорошо бы понять эту проблему. Но все же это легче, чем то, что тест ожидает от вас, чтобы узнать об экспоненциальных уравнениях. Тест никогда не выдаст вам экспоненциальное уравнение, в котором два основания уже равны. Видите ли, в той последней задаче он как бы вручил нам это на серебряном блюде?

       Настоящие тестовые задачи этого не решают. Они всегда будут давать вам две разные основы по разные стороны уравнения.Конечно, мы не можем применить одно и то же правило ловкости, если две базы не совпадают. Но тест всегда дает нам две базы, чтобы мы могли изменить одну или обе базы, чтобы сделать базы одинаковыми с обеих сторон.

       Так что я имею в виду? Вернемся к последней проблеме, но представим ее так, как ее может выявить тест. Они могут дать вам нечто подобное. Если 49 до x = 7 до 6- x, то решите относительно x. Итак, обратите внимание, что две базы с каждой стороны уравнения больше не равны.У нас есть две разные базы.

       Но это, конечно, не так уж и плохо. Мы просто должны, конечно, признать, что 49 можно выразить как степень 7. Итак, я начну с этого уравнения и заменю это 49 на 7 в квадрате. И, конечно, я могу умножить на показатель степени, и теперь это похоже на реальную проблему, которую мы уже решили.

       Другими словами, просто сделав эту одну замену, мы сможем уравнять основания. Теперь мы можем приравнять показатели и решить.

       Дробные экспоненты: практическая задача первая

       Вот еще одна проблема в этом направлении. Поставьте видео на паузу и работайте над этим.

       _{Изображение Стюарта Майлза}

       Конечно, мы должны переписать этот корень как дробную экспоненту, как мы узнали на предыдущем уроке. Итак, корень 5-й степени из 3, мы должны переписать это как 3 в степень одной пятой. Теперь умножим экспоненты. Теперь у нас равные базы. Итак, мы просто установим равные показатели, умножим на 5, а затем просто решим обычную алгебру.

       Иногда ни одна из основ не может быть записана как степень другой.

       Вместо этого обе базы можно записать как степень некоторого другого меньшего числа. На самом деле это самый распространенный сценарий теста. Безусловно, подавляющее большинство экспоненциальных уравнений в тесте имеют именно такую ​​форму. Два основания, и ни одно из них не может быть легко записано как степень другого, но оба могут быть записаны как степени третьего числа.

       Например, если бы у нас была некоторая степень 8 и некоторая степень 16, мы не можем записать 16 как степень 8, и мы не можем записать 8 как степень 16.Мы должны начать с признания того, что и 8, и 16 можно переписать как степень двойки. Таким образом, мы должны переписать каждое основание как степень общего меньшего числа. А затем, используя законы экспонент, мы можем привести все к равным основаниям и установить равные показатели.

       Дробные экспоненты: практическая задача два

       Вот практическая задача в этом направлении. Итак, это проблема, которая может показаться на тесте. Поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом.

       _{Изображение Bjoern Wylezich}

       Хорошо, хорошо, 27 и 81 — мы не можем записать 27 как степень 81 или 81 как степень 27.Первый шаг — признать, что и 27, и 81 являются степенями 3, и мы можем переписать их как степени 3.

       27 равно 3 к 3-му, 81 равно 3 к 4-му. Итак, мы просто перепишем уравнение в терминах степеней 3, умножив показатели с обеих сторон. Что ж, теперь у нас равные базы. Поскольку базы теперь равны, мы можем установить равные степени. А теперь это просто обычная алгебра.

       Мы раздадим, и мы получим 2x = 10, разделим на 2. x = 5 и вот ответ.Чтобы решить экспоненциальные уравнения, мы должны получить равные основания с обеих сторон. Это может включать выражение данных баз как полномочий меньших баз. Когда основания с обеих сторон равны, мы можем приравнять показатели и решить.

       О Майке МГарри

       Майк работал экспертом по GMAT в Magoosh, помогая создавать сотни видеоуроков и практических вопросов, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха. Он также был отмечен как «участник месяца» более двух лет в клубе GMAT.Майк имеет степень бакалавра гуманитарных наук. по физике (выпуск с отличием ) и M.T.S. в «Религиях мира», оба из Гарварда. Помимо стандартизированного тестирования, у Майка более 20 лет опыта преподавания как в частных, так и в государственных школах, специализирующихся на математике и физике. В свободное время Майк любит разбивать футбольные мячи на орбите, и, несмотря на отсутствие очевидной черепно-мозговой недостаточности, он настаивает на том, чтобы болеть за Нью-Йорк Метс. Узнайте больше о GMAT через видеообъяснения Майка на YouTube и ресурсы, например «Что такое хороший результат GMAT?». и диагностический тест GMAT.

       Объяснитель урока: Решение экспоненциальных уравнений с использованием свойств экспонент

       Пример 2: Вычисление экспоненциальных выражений после решения экспоненциальных уравнений

       Учитывая, что 8 = 4 = 64, найдите значение 𝑦 + 𝑧.

       Ответ

       Чтобы найти значение 𝑦 + 𝑧, мы должны начать с переписывания 8 = 4 = 64 как два отдельных уравнения: 8 = 648 = 4. и

       Рассмотрим сначала уравнение 8 = 64. Мы можем начать решать эту проблему, переписав ее так что обе стороны состоят из одной и той же базы, возведенной в степень.Левая сторона уже представляет собой базу, возведенную в могущество — база 8 возводится в степень 𝑦. Таким образом, мы должны определить, может ли правая часть также быть записана как база 8 возведена в степень. Если это возможно, то нам нужно будет переписать только эту сторону, а не левую.

       Поскольку 8 = 8 × 8 = 64, мы можем оставить левую часть уравнения 8 = 64 без изменений. и перепишем уравнение в виде 8 = 8.

       Затем приравняв показатели степени, мы можем заключить, что = 2.

       Теперь рассмотрим уравнение 8 = 4. Опять же, мы должны переписать его так, чтобы обе стороны состояли из та же база возведена в степень. Поскольку 2 = 2 × 2 = 4 и 2 = 2 × 2 × 2 = 8, мы можем переписать уравнение как 2 = 2,  с каждой стороной, имеющей основание 2. Правило степени экспонентов позволяет нам переписать 2 как 2 и 2 как 2, поэтому уравнение принимает вид 2 = 2.

       Поскольку показатели степени в обеих частях уравнения должны быть одинаковыми, мы знаем, что 3𝑦 = 2𝑧.