Решение неравенств на ЕГЭ по Математике. Готовимся правильно!
Если в выражении с переменными вы увидели знак = , то это уравнение.
Если знак < или ˃ или ≤ или ≥ — то это, конечно, неравенство.
Как правило, неравенства решаются сложнее, чем аналогичные им уравнения. И знать надо больше – чтобы не наделать ошибок
В этом разделе – все основные способы и приемы решения неравенств на ЕГЭ по математике. Повторите их. Даже такие неравенства, как квадратичные или дробно-рациональные, содержат немало ловушек для неопытного школьника. И тем более — показательные и логарифмические. А иррациональные неравенства и неравенства с модулями вообще считаются одними из самых сложных тем школьного курса алгебры.
Здесь рассказано также о методе замены множителя (еще он называется методом рационализации неравенства). В учебнике вы его не найдете. И еще – об основных ошибках и полезных лайфхаках для решения неравенств.
New
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021
Квадратичные неравенства
Метод интервалов
Иррациональные неравенства
Задача 15 Репетиционного ЕГЭ онлайн, май 2020, Анна Малкова
Неравенства с модулем
Показательные неравенства
Логарифмические неравенства
Метод замены множителя (рационализации)
Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15
Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15
Логарифмические неравенства повышенной сложности
Еще раз повторим основные правила:
— Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.
— Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный. А если на положительное число – знак неравенства останется тем же.
— Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.
— Извлекать корень из неравенства нельзя. Нет такого действия!
— Если в неравенстве можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной. А потом аккуратно вернитесь к той переменной, которая была вначале.
— Если вы решаете простейшее показательное или логарифмическое неравенство – не забудьте сравнить основание степени (или логарифма) с единицей.
— Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.
— Решение неравенства лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов.
— Если вы воспользовались методом рационализации (замены множителя) – соответствующие формулы лучше доказать.
Анна Малкова | Репетитор-математик
Автор: Анна Малкова Категория: о работе: Подготовка к ЕГЭ по математикеПриветствую вас!
Я — Анна Малкова, автор и ведущая онлайн-курса подготовки к ЕГЭ по математике на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-Студия», автор 5 книг для подготовки к ЕГЭ по математике, преподаю математику более 30 лет.
Читать дальше
Автор: Анна Малкова Категория: ПутешествияСмотрите, какие кошечки! Невероятные животные! На короткой дистанции, в момент погони, развивают скорость до 120 км/ч, а бежать могут со скоростью 60 км/ч. Шерсть у гепарда жесткая. Они громко мурлычут и порываются полизать руки языком, жестким, как наждачная бумага. И ласкаются к своему хозяину, чтобы он с ними поиграл. Но они не домашние. Их вырастили […]
Читать дальше
Автор: Анна Малкова Категория: ПутешествияИнопланетные деревья не шумят от ветра и не сбрасывают листья, зато тянутся к небу каждой своей ветвью.
Пустыня Намиб. Уникальный лес колчановых (алоэвых) деревьев.
Читать дальше
Автор: Анна Малкова Категория: ПутешествияКриповые фото из заброшенного города в Намибии. Здесь в начале ХХ века была жизнь, и в середине ХХ века жизнь покинула город.
Теперь все эти отлично сохранившиеся дома принадлежат призракам.
Леденящие душу фото и история города-призрака — в этом посте.
Читать дальше
Автор: Анна Малкова Категория: ПутешествияВ этом месте за гранью реальности я давно хотела побывать.
Намибия. Красные дюны и синее небо.
Приезжать сюда лучше всего на рассвете. И тогда можно увидеть и почувствовать нечто загадочное…
Читать дальше
Автор: Анна Малкова Категория: ПутешествияКак живут звери, птицы и рептилии у себя дома?
Заглянем в нацпарк Вилпата (Шри Ланка).
В Вилпате звери, птицы и рептилии живут на свободе, а люди приезжают посмотреть на них из джипа. Вылезать из джипа нельзя. Вот один из самых безобидных обитателей нацпарка.
Я не буренка, я дикий буйвол.
Читать дальше
Автор: Анна Малкова Категория: ПутешествияМне всегда хотелось увидеть самый дальний край земли.
Чтобы пустынный скалистый берег, море, а за морем совсем близко другие страны.
Читать дальше
Автор: Анна Малкова Категория: ПутешествияНовогоднее путешествие на остров Палаван, Филиппины. Бирюзовое море,
Сумасшедшие тропические закаты…
…И моя мечта — подземный мир. Читаем и смотрим!
Читать дальше
Автор: Анна Малкова Категория: ПутешествияЯ не собиралась в Якутию. Меня соблазнили.
Произошло это в Куала-Лумпуре. Там мы с гидом Леной Бутько ночевали по пути на Суматру.
— В Якутии, — сказала Лена, — мы поплывем по реке на катамаране, а по берегам реки стоят причудливые скалы — столбы. Высокие и все разные. Их очень много. Несколько дней — столбы, и они все непохожие и очень красивые.
Я вежливо кивнула.
— В Якутске, — сказала Лена, — в ресторане есть салат «Индигирка» из рыбы. Только свежая рыба, соль и перец, и вкуснее этого ничего не бывает.
Я заинтересовалась.
— И еще там как раз в августе кричит изюбрь. А когда кричит изюбрь… в общем, это надо услышать.
— Все, — сдалась я. – Едем. Кто бы ни был этот изюбрь, я хочу его услышать. Пока жизнь не прошла зря.
Чем я соблазнила на поездку в Якутию преподавателя ЕГЭ-Студии Ольгу Гущину (русский язык и литература) – не помню. Изюбрем, наверное.
Читать дальше
Автор: Анна Малкова Категория: ПутешествияГод назад, проезжая по Лех-Манальскому шоссе из Ладакха в Спити, я посмотрела вверх, на тонущий в облаках перевал Рохтанг, и подумала, что хорошо бы провести месяц в Наггаре и написать новую книгу.
Лех-Манальское шоссе – одна из самых красивых в мире дорог.
Ладакх и Спити – высокогорные районы Индии, географически и исторически относящиеся к Тибету. Еще эти горные страны называют «Малый Тибет», или «Индийский Тибет».
Рохтанг – перевал высотой 4000 метров, через который проходит дорога из Гималаев в Малый Тибет. Считается самым сложным автомобильным перевалом в Индии.
Тема для новой книги (по математике для школьников) появилась сама собой. А поскольку лучше всего пишется в путешествиях – я запланировала большое путешествие, на полтора месяца: Таиланд – Индийские Гималаи – Малый Тибет. С собой — минимум вещей и ноутбук.
Смотрите фото из нового путешествия.
Читать дальше
Автор: Анна Малкова Категория: ПутешествияКаждый трек в Непале – праздник и приключение.
Начиная с момента, когда, подлетая к Катманду рано утром, просыпаюсь и вижу среди облаков вершины непальских восьмитысячников.
А потом — иду по тропе и смотрю на эту сияющую красоту.
прохожу деревни, которые были почти такими же и 100, и 200 лет назад.
Один из красивейших треков — Кольцо Аннапурны. В апреле народу на маршруте немного.
В Москве в начале апреля еще снег и слякоть. А здесь настоящая весна.
Читать дальше
Решение логарифмических неравенств
Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:
а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;
б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.
Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.
Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.
Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:
V , где V — один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.
Если основание логарифма больше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство
равносильно системе:
Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный
, и неравенстворавносильно системе:
Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.
1. Решим неравенство:
Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:
Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.
Решим систему неравенств:
Корни квадратного трехчлена: ,
Отсюда:
Ответ:
2. Решим неравенство:
Мы видим, что в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:
Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).
Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:
Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется. Не забываем про ОДЗ:
Отсюда:
Ответ:
3. Решим неравенство:
В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство мы будем решать с помощью замены переменных.
Сначала приведем логарифмы к одному основанию:
Введем замену переменных:
.
Получим квадратное неравенство:
Значит, .
Запишем это двойное неравенство в виде системы:
Вот только теперь, когда мы получили систему простейших неравенств относительно , мы можем вернуться к исходной переменной.
Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма:
Последнее неравенство системы — это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.
Решим систему.
Первое неравенство системы преобразуется к виду
Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любых действительных значениях .
Второе неравенства преобразуется к виду , отсюда
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Книга «ЕГЭ-2017 по математике — ЕГЭ-апрель 2021
малковой егэ 2021 по математике полный курс подготовки
Подготовка к ЕГЭ по математике – это усердный труд, от эффективности которого во многом зависит будущий успех. Для поступления на технические и естественнонаучные факультеты вузов необходимы высокие баллы ЕГЭ по математике, поэтому подготовке следует уделить особое внимание.
Книга, вобравшая все сведения и задания для подготовки к ЕГЭ по математике 2017, является пошаговым руководством для школьников и репетиторов. Пособие охватывает школьный курс и содержит специфические задания 2017 года.
Анна Малкова – топовый учитель математики с 25-летним стажем. Она является разработчиком видеокурсов и пособий, выстраивая систему обучения таким образом, чтобы любой ученик успешно сдал экзамен.
Книга для подготовки к ЕГЭ по математике 2017
Книга Анны Малковой – незаменимое руководство для школьников, родителей и репетиторов. Она сопровождается подробным видеообзором типовых заданий ЕГЭ, благодаря чему вы можете понять, что реально ожидает ребенка на экзамене.
Уроки Анны Малковой для подготовки к экзамену состоят из 2 основных частей: алгебра и геометрия, акцент сделан на задания повышенной сложности. Таким образом, ребенок получает возможность восполнить пробелы в школьном курсе и настроиться на отличный результат.
Ученики и родители по достоинству оценили курсы и книги Анны Малковой по подготовке к ЕГЭ по математике. Несколько сотен учеников прошлых лет получили более 90 баллов и поступили в престижные российские вузы. Подготовка к ЕГЭ с Анной Малковой поможет вашим детям встать на путь успеха.
Книга, вобравшая все сведения и задания для подготовки к ЕГЭ по математике 2017, является пошаговым руководством для школьников и репетиторов. Пособие охватывает школьный курс и содержит специфические задания 2017 года.
Подготовка к ЕГЭ по математике – это усердный труд, от эффективности которого во многом зависит будущий успех. Для поступления на технические и естественнонаучные факультеты вузов необходимы высокие баллы ЕГЭ по математике, поэтому подготовке следует уделить особое внимание.
Книга, вобравшая все сведения и задания для подготовки к ЕГЭ по математике 2017, является пошаговым руководством для школьников и репетиторов. Пособие охватывает школьный курс и содержит специфические задания 2017 года.
Анна Малкова – топовый учитель математики с 25-летним стажем. Она является разработчиком видеокурсов и пособий, выстраивая систему обучения таким образом, чтобы любой ученик успешно сдал экзамен.
Подготовка к ЕГЭ по математике – это усердный труд, от эффективности которого во многом зависит будущий успех. Для поступления на технические и естественнонаучные факультеты вузов необходимы высокие баллы ЕГЭ по математике, поэтому подготовке следует уделить особое внимание.
Книга для подготовки к ЕГЭ по математике 2017
Книга, вобравшая все сведения и задания для подготовки к ЕГЭ по математике 2017, является пошаговым руководством для школьников и репетиторов.
Info-hit. ru
30.10.2020 10:49:33
2020-10-30 10:49:33
Содержание курса
Вводный мастер-класс. Знакомство с Онлайн-системой, ответы на вопросы. Теория вероятностей Текстовые задачи на движение и работу. Задачи на движение и работу. Быстрые способы решения. Задачи на проценты, сплавы, смеси, среднюю скорость, прогрессии. Задача 19. Подготовительные и простые задачи. Прогрессии. Задача 17 (Экономическая). Подготовительные и простые задачи. Задачи 17 и 19. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Алгебраические уравнения и системы уравнений. Планиметрия и стереометрия. Часть 1. Планиметрия и стереометрия. Часть 1. Алгебра. Корни, степени, логарифмы, тригонометрия – преобразования и вычисления. Квадратичные неравенства. Задачи с физическим и практическим содержанием. №10. Стереометрия, задача 14. Подготовительные задачи. Стереометрия, построение сечений. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Стереометрия. Задача 14. Тригонометрия. Преобразования выражений и уравнения. Тригонометрия. Преобразование выражений и уравнения. Функции и графики. Функции и графики. Производная. Стереометрия. Задача 14. Метод координат. Тригонометрические уравнения. Задача 13. Стереометрия задача 14. Показательные и логарифмические уравнения. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Тригонометрические уравнения. Задача 13. Задачи с физическим содержанием: показательные, логарифмические, тригонометрические. Экономические задачи на кредиты и вклады. Задача 19. Числа и их свойства. Задача 19. Числа и их свойства. Показательные и логарифмические неравенства. Иррациональные неравенства. Неравенства с модулем. Метод интервалов. Дробно-рациональные, показательные и логарифмические неравенства. Комбинированные неравенства. Задачи повышенной сложности. Комбинированные неравенства. Задачи повышенной сложности. Видеоразбор Репетиционного ЕГЭ онлайн. Часть 1 и задачи 13, 15, 17. Видеоразбор Репетиционного ЕГЭ онлайн. Часть 2. Разбираем задачи 14, 16, 18, 19. Повторение. Стереометрия задача 14. Повторение Планиметрия и стереометрия, часть 1. Планиметрия. Задача 16. Задачи на доказательство. «Экономические» задачи на кредиты и вклады. «Экономические» задачи на кредиты и вклады. Видеоразбор Пробного ЕГЭ Онлайн. Планиметрия. Задача 16. Планиметрия Задача 16. Планиметрия Задача 16. Производная и первообразная. Что такое параметр. Простые задачи. Графический метод. «Экономические» задачи с применением производной. Задачи с параметрами. Графический метод. Условия касания. Задачи с параметрами Использование четности функций и симметрии уравнений. Задачи с параметрами. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Задачи с параметрами. Задача 19. Числа и их свойства. Задача 19. Числа и их свойства. Повторение часть 1. Повторение Задача 16. Повторение. Задачи 13, 15, 17. Повторение. Задачи с параметрами. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Повторение. Задачи 14, 16, 18, 19. 100 Задача 19. Повторение. Блиц по задачам Части 1. Повторение. Часть 2, задачи 13, 15. Повторение. Задачи с параметрами и задача 19. Повторение. Задачи 14, 16, 17. Задача 19. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Ловушки ЕГЭ. Ловушки ЕГЭ. Повторение самых сложных тем.
Что входит в курс
- Новая платформа: теория и практика Все задачи и темы профильного ЕГЭ (повышенная сложность) Теория: текстовый учебник включает 72 ч. видеопримеров 70 ч. мастер-классов: каждое воскресенье, ведет Анна Малкова 50 ч. онлайн уроков: каждую субботу, ведет Анна Малкова и преподаватели ЕГЭ-Студии Тренажер для отработки задач ЕГЭ: автоматическая + ручная проверки Чат с преподавателями (ежедневно) 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям Доступ до 25 июня 2020г.
Вводный мастер-класс. Знакомство с Онлайн-системой, ответы на вопросы. Теория вероятностей. (1) Текстовые задачи на движение и работу. (1) Методика подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Быстрый счет. Решение текстовых задач на движение и работу, проценты, смеси, сплавы и других типов. Теория вероятностей. (М) Задачи на движение и работу. Быстрые способы решения (1). Задачи на проценты, сплавы, смеси, среднюю скорость, прогрессии. (1) Как работать дистанционно в условиях пандемии (М). Задача 19. Подготовительные и простые задачи. (2) Прогрессии. Задача 17 (Экономическая). Подготовительные и простые задачи (2). Разбор Диагностической работы, часть 2 Новые задачи ЕГЭ-2021 (2). Разбор Диагностической работы, часть 1. (1) Задача 19. Числа и их свойства (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ (2). Планиметрия и стереометрия на ЕГЭ по математике. Методика преподавания – от простых задач к заданиям 2 части. (М) Алгебраические уравнения и системы уравнений (2). Планиметрия и стереометрия. Часть 1. (1) Комбинаторика. Теория вероятностей (М). Задача 19. Числа и их свойства. (2) Алгебра. Корни, степени, логарифмы, тригонометрия – преобразования и вычисления. (1) Стереометрия, задача 14. Подготовительные задачи (2). Квадратичные неравенства. Задачи с физическим и практическим содержанием. №10. (2) Стереометрия, построение сечений (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ (2). Стереометрия. Задача 14 (2). Тригонометрия. Преобразования выражений и уравнения (1). Тригонометрия. Задачи с физическим содержанием. Методика преподавания и типичные ошибки учеников (М). Тригонометрия. Преобразование выражений и уравнения. (2) Функции и графики. Производная (2). Знакомство с высшей математикой. Понятие предела функции (М). Функции и графики (2). Показательные и логарифмические уравнения (1). Стереометрия Задача 14. (2) Тригонометрические уравнения. Задача 13 (1). Стереометрия задача 14 (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ (2). Стереометрия. Как научить решать задачу №14 Профильного ЕГЭ. (М) Задача 19. Числа и их свойства. (2) Задачи с физическим содержанием: показательные, логарифмические, тригонометрические (1). Стереометрия. Построение сечений (М). Задача 19. Числа и их свойства.(2) «Экономические» задачи на кредиты и вклады (2). Метод интервалов и дробно-рациональные неравенства (1). Метод интервалов. Показательные и логарифмические неравенства (1). Неравенства – тема, доступная каждому ученику. Учим решать неравенства и разбираем типичные ошибки. (М) Показательные и логарифмические неравенства. Метод замены множителя (2). Иррациональные неравенства. Неравенства с модулем (2). Доказательства в математике. Метод математической индукции. (М) Комбинированные неравенства. Задачи повышенной сложности (2). Повторение. Часть 1 ЕГЭ по математике, алгебра (1). Видеоразбор Репетиционного ЕГЭ онлайн. Задачи 14, 16, 18, 19 (2). Видеоразбор Репетиционного ЕГЭ онлайн. Часть 1, задачи 13, 5, 17 (1). Повторение. Стереометрия задача 14 Метод координат (2). Повторение Планиметрия и стереометрия, часть 1 (1). Планиметрия. Задача 16. Задачи на доказательство (2). «Экономические» задачи на кредиты и вклады (2). Методика освоения планиметрии, задача 16 Профильного ЕГЭ (М). Планиметрия Задача 16 (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ Онлайн (2). Планиметрия: необычные методы решения задач (М). Планиметрия. Задача 16. (2) «Экономические» задачи на кредиты и вклады (2). Планиметрия Задача 16 (2). Производная и первообразная (1). Задачи с параметрами (задание 18 Профильного ЕГЭ). Методика преподавания. (М) Что такое параметр. Простые задачи. Графический метод (2). «Экономические» задачи с применением производной (2). Знакомство с высшей математикой. Комплексные числа (М). Задачи с параметрами. Использование четности функций и симметрии уравнений. (2) Задачи с параметрами. Графический метод. Условия касания. (2) Задачи с параметрами (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ (2). Задача 19. Числа и их свойства (2). Задачи с параметрами (2). Задачи на числа их свойства (Задание 19 Профильного ЕГЭ). Методика преподавания, приемы решения, логические сложности в задачах. (М) Повторение Задача 16 (2). Повторение часть 1 (1). Знакомство с высшей математикой. Интегралы и ряды. Повторение. Задачи с параметрами (2). Повторение. Задачи 13, 15, 17. (1) Повторение. Задачи 14, 16, 18, 19 (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ (2). Задача 19 (2). Повторение. Блиц по задачам Части 1 (1). Повторение. Задачи с параметрами и задача 19. (2) Повторение. Задачи 14, 16, 17 (2). Как повторить всё за 2 недели. Секреты, ловушки, сложные задачи, психологические факторы сдачи ЕГЭ. (М) Задача 19 (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ (2). Логика. Логические задачи, занимательные задачи (М). Самые сложные задачи. Часть 2. (2) Ловушки ЕГЭ. Повтор
ение самых сложных тем. (2)
Что входит в курс
- Подготовка к Итоговой контрольной в формате Базового ЕГЭ + подготовка к сдаче ЕГЭ на максимальный балл. Вся часть 1 + Уравнения и неравенства, Тригонометрия, Планиметрия, Стереометрия, Функции и графики, Экономические задачи. Занятия по субботам и воскресеньям. Мастер-классы 2-3 раза в месяц.
Содержание курса
Вводный мастер-класс. Знакомство с Онлайн-системой, ответы на вопросы. Теория вероятностей Текстовые задачи на движение и работу. Задачи на движение и работу. Быстрые способы решения. Задачи на проценты, сплавы, смеси, среднюю скорость, прогрессии. Задача 19. Подготовительные и простые задачи. Прогрессии. Задача 17 (Экономическая). Подготовительные и простые задачи. Задачи 17 и 19. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Алгебраические уравнения и системы уравнений. Планиметрия и стереометрия. Часть 1. Планиметрия и стереометрия. Часть 1. Алгебра. Корни, степени, логарифмы, тригонометрия – преобразования и вычисления. Квадратичные неравенства. Задачи с физическим и практическим содержанием. №10. Стереометрия, задача 14. Подготовительные задачи. Стереометрия, построение сечений. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Стереометрия. Задача 14. Тригонометрия. Преобразования выражений и уравнения. Тригонометрия. Преобразование выражений и уравнения. Функции и графики. Функции и графики. Производная. Стереометрия. Задача 14. Метод координат. Тригонометрические уравнения. Задача 13. Стереометрия задача 14. Показательные и логарифмические уравнения. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Тригонометрические уравнения. Задача 13. Задачи с физическим содержанием: показательные, логарифмические, тригонометрические. Экономические задачи на кредиты и вклады. Задача 19. Числа и их свойства. Задача 19. Числа и их свойства. Показательные и логарифмические неравенства. Иррациональные неравенства. Неравенства с модулем. Метод интервалов. Дробно-рациональные, показательные и логарифмические неравенства. Комбинированные неравенства. Задачи повышенной сложности. Комбинированные неравенства. Задачи повышенной сложности. Видеоразбор Репетиционного ЕГЭ онлайн. Часть 1 и задачи 13, 15, 17. Видеоразбор Репетиционного ЕГЭ онлайн. Часть 2. Разбираем задачи 14, 16, 18, 19. Повторение. Стереометрия задача 14. Повторение Планиметрия и стереометрия, часть 1. Планиметрия. Задача 16. Задачи на доказательство. «Экономические» задачи на кредиты и вклады. «Экономические» задачи на кредиты и вклады. Видеоразбор Пробного ЕГЭ Онлайн. Планиметрия. Задача 16. Планиметрия Задача 16. Планиметрия Задача 16. Производная и первообразная. Что такое параметр. Простые задачи. Графический метод. «Экономические» задачи с применением производной. Задачи с параметрами. Графический метод. Условия касания. Задачи с параметрами Использование четности функций и симметрии уравнений. Задачи с параметрами. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Задачи с параметрами. Задача 19. Числа и их свойства. Задача 19. Числа и их свойства. Повторение часть 1. Повторение Задача 16. Повторение. Задачи 13, 15, 17. Повторение. Задачи с параметрами. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Повторение. Задачи 14, 16, 18, 19. 100 Задача 19. Повторение. Блиц по задачам Части 1. Повторение. Часть 2, задачи 13, 15. Повторение. Задачи с параметрами и задача 19. Повторение. Задачи 14, 16, 17. Задача 19. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Ловушки ЕГЭ. Ловушки ЕГЭ. Повторение самых сложных тем.
Что входит в курс
Содержание курса
Вводный мастер-класс. Знакомство с Онлайн-системой, ответы на вопросы. Теория вероятностей Текстовые задачи на движение и работу. Задачи на движение и работу. Быстрые способы решения. Задачи на проценты, сплавы, смеси, среднюю скорость, прогрессии. Задача 19. Подготовительные и простые задачи. Прогрессии. Задача 17 (Экономическая). Подготовительные и простые задачи. Задачи 17 и 19. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Алгебраические уравнения и системы уравнений. Планиметрия и стереометрия. Часть 1. Планиметрия и стереометрия. Часть 1. Алгебра. Корни, степени, логарифмы, тригонометрия – преобразования и вычисления. Квадратичные неравенства. Задачи с физическим и практическим содержанием. №10. Стереометрия, задача 14. Подготовительные задачи. Стереометрия, построение сечений. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Стереометрия. Задача 14. Тригонометрия. Преобразования выражений и уравнения. Тригонометрия. Преобразование выражений и уравнения. Функции и графики. Функции и графики. Производная. Стереометрия. Задача 14. Метод координат. Тригонометрические уравнения. Задача 13. Стереометрия задача 14. Показательные и логарифмические уравнения. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Тригонометрические уравнения. Задача 13. Задачи с физическим содержанием: показательные, логарифмические, тригонометрические. Экономические задачи на кредиты и вклады. Задача 19. Числа и их свойства. Задача 19. Числа и их свойства. Показательные и логарифмические неравенства. Иррациональные неравенства. Неравенства с модулем. Метод интервалов. Дробно-рациональные, показательные и логарифмические неравенства. Комбинированные неравенства. Задачи повышенной сложности. Комбинированные неравенства. Задачи повышенной сложности. Видеоразбор Репетиционного ЕГЭ онлайн. Часть 1 и задачи 13, 15, 17. Видеоразбор Репетиционного ЕГЭ онлайн. Часть 2. Разбираем задачи 14, 16, 18, 19. Повторение. Стереометрия задача 14. Повторение Планиметрия и стереометрия, часть 1. Планиметрия. Задача 16. Задачи на доказательство. «Экономические» задачи на кредиты и вклады. «Экономические» задачи на кредиты и вклады. Видеоразбор Пробного ЕГЭ Онлайн. Планиметрия. Задача 16. Планиметрия Задача 16. Планиметрия Задача 16. Производная и первообразная. Что такое параметр. Простые задачи. Графический метод. «Экономические» задачи с применением производной. Задачи с параметрами. Графический метод. Условия касания. Задачи с параметрами Использование четности функций и симметрии уравнений. Задачи с параметрами. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Задачи с параметрами. Задача 19. Числа и их свойства. Задача 19. Числа и их свойства. Повторение часть 1. Повторение Задача 16. Повторение. Задачи 13, 15, 17. Повторение. Задачи с параметрами. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Повторение. Задачи 14, 16, 18, 19. 100 Задача 19. Повторение. Блиц по задачам Части 1. Повторение. Часть 2, задачи 13, 15. Повторение. Задачи с параметрами и задача 19. Повторение. Задачи 14, 16, 17. Задача 19. Видеоразбор Пробного ЕГЭ. Ловушки ЕГЭ. Ловушки ЕГЭ. Повторение самых сложных тем.
Что входит в курс
- Новая платформа: теория и практика Все задачи и темы профильного ЕГЭ (повышенная сложность) Теория: текстовый учебник включает 72 ч. видеопримеров 70 ч. мастер-классов: каждое воскресенье, ведет Анна Малкова 50 ч. онлайн уроков: каждую субботу, ведет Анна Малкова и преподаватели ЕГЭ-Студии Тренажер для отработки задач ЕГЭ: автоматическая + ручная проверки Чат с преподавателями (ежедневно) 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям Доступ до 25 июня 2020г.
Вводный мастер-класс. Знакомство с Онлайн-системой, ответы на вопросы. Теория вероятностей. (1) Текстовые задачи на движение и работу. (1) Методика подготовки к ЕГЭ на 100 баллов. Быстрый счет. Решение текстовых задач на движение и работу, проценты, смеси, сплавы и других типов. Теория вероятностей. (М) Задачи на движение и работу. Быстрые способы решения (1). Задачи на проценты, сплавы, смеси, среднюю скорость, прогрессии. (1) Как работать дистанционно в условиях пандемии (М). Задача 19. Подготовительные и простые задачи. (2) Прогрессии. Задача 17 (Экономическая). Подготовительные и простые задачи (2). Разбор Диагностической работы, часть 2 Новые задачи ЕГЭ-2021 (2). Разбор Диагностической работы, часть 1. (1) Задача 19. Числа и их свойства (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ (2). Планиметрия и стереометрия на ЕГЭ по математике. Методика преподавания – от простых задач к заданиям 2 части. (М) Алгебраические уравнения и системы уравнений (2). Планиметрия и стереометрия. Часть 1. (1) Комбинаторика. Теория вероятностей (М). Задача 19. Числа и их свойства. (2) Алгебра. Корни, степени, логарифмы, тригонометрия – преобразования и вычисления. (1) Стереометрия, задача 14. Подготовительные задачи (2). Квадратичные неравенства. Задачи с физическим и практическим содержанием. №10. (2) Стереометрия, построение сечений (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ (2). Стереометрия. Задача 14 (2). Тригонометрия. Преобразования выражений и уравнения (1). Тригонометрия. Задачи с физическим содержанием. Методика преподавания и типичные ошибки учеников (М). Тригонометрия. Преобразование выражений и уравнения. (2) Функции и графики. Производная (2). Знакомство с высшей математикой. Понятие предела функции (М). Функции и графики (2). Показательные и логарифмические уравнения (1). Стереометрия Задача 14. (2) Тригонометрические уравнения. Задача 13 (1). Стереометрия задача 14 (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ (2). Стереометрия. Как научить решать задачу №14 Профильного ЕГЭ. (М) Задача 19. Числа и их свойства. (2) Задачи с физическим содержанием: показательные, логарифмические, тригонометрические (1). Стереометрия. Построение сечений (М). Задача 19. Числа и их свойства.(2) «Экономические» задачи на кредиты и вклады (2). Метод интервалов и дробно-рациональные неравенства (1). Метод интервалов. Показательные и логарифмические неравенства (1). Неравенства – тема, доступная каждому ученику. Учим решать неравенства и разбираем типичные ошибки. (М) Показательные и логарифмические неравенства. Метод замены множителя (2). Иррациональные неравенства. Неравенства с модулем (2). Доказательства в математике. Метод математической индукции. (М) Комбинированные неравенства. Задачи повышенной сложности (2). Повторение. Часть 1 ЕГЭ по математике, алгебра (1). Видеоразбор Репетиционного ЕГЭ онлайн. Задачи 14, 16, 18, 19 (2). Видеоразбор Репетиционного ЕГЭ онлайн. Часть 1, задачи 13, 5, 17 (1). Повторение. Стереометрия задача 14 Метод координат (2). Повторение Планиметрия и стереометрия, часть 1 (1). Планиметрия. Задача 16. Задачи на доказательство (2). «Экономические» задачи на кредиты и вклады (2). Методика освоения планиметрии, задача 16 Профильного ЕГЭ (М). Планиметрия Задача 16 (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ Онлайн (2). Планиметрия: необычные методы решения задач (М). Планиметрия. Задача 16. (2) «Экономические» задачи на кредиты и вклады (2). Планиметрия Задача 16 (2). Производная и первообразная (1). Задачи с параметрами (задание 18 Профильного ЕГЭ). Методика преподавания. (М) Что такое параметр. Простые задачи. Графический метод (2). «Экономические» задачи с применением производной (2). Знакомство с высшей математикой. Комплексные числа (М). Задачи с параметрами. Использование четности функций и симметрии уравнений. (2) Задачи с параметрами. Графический метод. Условия касания. (2) Задачи с параметрами (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ (2). Задача 19. Числа и их свойства (2). Задачи с параметрами (2). Задачи на числа их свойства (Задание 19 Профильного ЕГЭ). Методика преподавания, приемы решения, логические сложности в задачах. (М) Повторение Задача 16 (2). Повторение часть 1 (1). Знакомство с высшей математикой. Интегралы и ряды. Повторение. Задачи с параметрами (2). Повторение. Задачи 13, 15, 17. (1) Повторение. Задачи 14, 16, 18, 19 (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ (2). Задача 19 (2). Повторение. Блиц по задачам Части 1 (1). Повторение. Задачи с параметрами и задача 19. (2) Повторение. Задачи 14, 16, 17 (2). Как повторить всё за 2 недели. Секреты, ловушки, сложные задачи, психологические факторы сдачи ЕГЭ. (М) Задача 19 (2). Видеоразбор Пробного ЕГЭ (2). Логика. Логические задачи, занимательные задачи (М). Самые сложные задачи. Часть 2. (2) Ловушки ЕГЭ. Повтор
ение самых сложных тем. (2)
Что входит в курс
- Подготовка к Итоговой контрольной в формате Базового ЕГЭ + подготовка к сдаче ЕГЭ на максимальный балл. Вся часть 1 + Уравнения и неравенства, Тригонометрия, Планиметрия, Стереометрия, Функции и графики, Экономические задачи. Занятия по субботам и воскресеньям. Мастер-классы 2-3 раза в месяц.
- Новая платформа: теория и практика Все задачи и темы профильного ЕГЭ (повышенная сложность) Теория: текстовый учебник включает 72 ч. видеопримеров 70 ч. мастер-классов: каждое воскресенье, ведет Анна Малкова 50 ч. онлайн уроков: каждую субботу, ведет Анна Малкова и преподаватели ЕГЭ-Студии Тренажер для отработки задач ЕГЭ: автоматическая + ручная проверки Чат с преподавателями (ежедневно) 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям Доступ до 25 июня 2020г.
Метод координат.
Matematika-online. ege-study. ru
22.01.2020 23:52:20
2020-01-22 23:52:20
Источники:
Https://en-ege. sdamgia. ru/
Https://info-hit. ru/course-ege-2017-po-matematike-polnyy-kurs-podgotovki/
Https://matematika-online. ege-study. ru/
Подборка по базе: сущность и соотношение эволюционных и революционных форм социаль, Лабораторная работа по дисциплине Гражданское право (1) (1).docx, История зарубежных стран, реферат.docx, bakteriya реферат.docx, Вопросы к экзамену по дисциплине Электроснабжение.docx, Чернецкий А.А. ОЗУ-ВтН-210301-24(к) Реферат коррозия и защита от, 2) реферат по оьезболиванию Абдуллаева.docx, История Реферат.odt, Становление культурологии как науки реферат.doc, 911768 Реферат.docx Заочно-Вечерний Факультет Реферат По дисциплине «Математика» Тема: «Логарифмические неравенства» Выполнил: Малышев В.Д., группа С-19-В ______________________ В.Д. Малышев Подпись, дата Проверила: Вишнякова. А.А. ________________________ А.А. Вишнякова Подпись, дата Иркутск 2020г. Содержание Введение…………………………………………………………………… 3 стр. Как решать логарифмические неравенств………………………………. 4 стр. Показательные неравенства……………………………………………… 5 стр. Заключение…………………………………………………………………6 стр. Используемые материалы…………………………………………………6 стр. Введение Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы. Давайте повторим, что такое логарифмы: Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить c. При этом Основное логарифмическое тождество: Основные формулы для логарифмов: (Логарифм произведения равен сумме логарифмов) (Логарифм частного равен разности логарифмов) (Формула для логарифма степени) Формула перехода к новому основанию: Так же есть другие основные формулы для логарифмов (см. таблицы). Как решать логарифмические неравенства Пример: Показательные неравенства Показательные неравенства – это неравенства с переменной в показателе степени. (˅ означает любой из знаков сравнения) Важно! Есть два требования для перехода в показательных неравенствах: Заключение А теперь давайте попробуем проанализировать, что нам необходимо для успешного решения логарифмических неравенств? Во-первых, сосредоточить все свое внимание и постараться не допускать ошибок при выполнении преобразований, которые даны в этом неравенстве. Также, следует запомнить, что при решении таких неравенств нужно не допускать расширений и сужений ОДЗ неравенства, которые могут привести к потере или приобретению посторонних решений. Во-вторых, при решении логарифмических неравенств необходимо научиться мыслить логически и понимать разницу между такими понятиями, как система неравенств и совокупность неравенств, чтобы вы без проблем смогли осуществлять отбор решений неравенства, при этом руководствуясь его ОДЗ. В-третьих, для успешного решения таких неравенств каждый из вас должен отлично знать все свойства элементарных функций и четко понимать их смысл. К таким функциям относятся не только логарифмические, но и рациональные, степенные, тригонометрические и т.д., одним словом, все те, которые вы изучали на протяжении школьного обучения алгебры. Как видите, изучив тему о логарифмических неравенствах, в решении этих неравенств нет ничего сложного при условии, если вы будете внимательны и настойчивы в достижении поставленных целей. Чтобы в решении неравенств не возникало никаких проблем, нужно как можно больше тренироваться, решая различные задания и при этом запоминать основные способы решения таких неравенств и их систем. При неудачных решениях логарифмических неравенств, следует внимательно проанализировать свои ошибки, чтобы в будущем не возвращаться к ним снова. Используемые материалы 1. Сайт репетиторов “Виктория Кос – Кос Константин” 2. Сайт “Интернет-курс для подготовки ЕГЭ” 3.Образовательная компания ЕГЭ-Студия Анны Георгиевны Малковой |
Открытый урок по теме «Решение логарифмических неравенств», 11 класс.
Секрет успеха – в мелочах
Успешно пройти ГИА
- качественная теоретическая подготовка
- качественная практическая подготовка (владение рациональными методами решения)
- самоконтроль, саморегуляция
- точное распределение времени на выполнение задания
- правильное оформление экзаменационной работы
- эмоциональный настрой
ЕГЭ 2015 (профиль)
Средний балл по России – 49, 6
Средний балл по Пермскому краю – 47
Средний балл по Пермскому району –
Подготовка к ЕГЭ 2016
Средний балл тренировочных работ 11 класса – 50, 52, 58
Тема: «Решение логарифмических неравенств»
Цели:
- повторить теоретический материал;
- выполнить практическую работу, вспомнить методы решения логарифмических неравенств;
- научиться находить рациональные способы решения;
- строить алгоритм решения неравенства;
- распределять время для выполнения работы;
- правильно оформлять работу;
- выработать волевую саморегуляцию (умение мобилизировать себя на решение проблемы).
Решение неравенств
Основные виды неравенств и способы их решения
Равносильные преобразования неравенств
Методы решения неравенств
Определение и свойства логарифма
Логарифмическая функция, её свойства и график
Задания для повторения
№ 1
Преобразуйте выражения, используя свойства логарифмов
Задания для повторения
№ 2
Представьте число в виде логарифма с основанием 2
№ 3
Вычислите:
Задания для повторения
№ 4
Выясните, при каких значениях Х существует логарифм
1 функция __________, знак неравенства _______ при 0 монотонность логарифмической функции возрастает не меняем убывает меняем»Решение простейших логарифмических неравенств
При решении простейших логарифмических неравенств
необходимо учитывать ___________________________
- при а 1 функция __________, знак неравенства _______
- при 0
монотонность логарифмической функции
возрастает
не меняем
убывает
меняем
Решите неравенства
Работа в группах: составьте план решения неравенства
Метод подстановки
?
Решите неравенства самостоятельно
Свойства логарифмической функции
Метод интервалов
Свойства логарифма
Переход к равносильной системе
Проверка
1
65
Проверка
4,75
5
Проверка
0
7,5
5
Проверка
—
—
+
+
7
5
0
Проверка
—
-2
1
0,25
0
2
0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ метод интервалов расщепление неравенства другой способ к основанию 5 в левую часть разность квадратов произведение суммы и разности двух логарифмов произведение двух логарифмов 0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ – метод интервалов расщепление неравенства другой способ – метод рационализации метод рационализации Теорема : выражения log а b и ( b – 1)(а – 1 ) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма»Мастер-класс
План решения:
План решения:
- к основанию 5
- в левую часть
- разность квадратов
- произведение суммы и разности двух логарифмов
- произведение двух логарифмов 0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ
- метод интервалов
- расщепление неравенства
- другой способ
- к основанию 5
- в левую часть
- разность квадратов
- произведение суммы и разности двух логарифмов
- произведение двух логарифмов 0 метод интервалов расщепление неравенства другой способ –
- метод интервалов
- расщепление неравенства
- другой способ –
метод рационализации
- метод рационализации
Теорема : выражения log а b и ( b – 1)(а – 1 ) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма
Теорема : выражения log а b и ( b – 1)(а – 1 ) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма
Доказательство
Пусть
13
Теорема : выражения log а b и ( b – 1)(а – 1 ) имеют одинаковые знаки на ОДЗ логарифма
Вывод: в решении неравенства мы можем заменить
учитывая ОДЗ логарифма, если
- в правой части нуль;
- в левой части логарифм или произведение (частное) с логарифмом.
Решите неравенства новым рациональным способом :
План решения:
- ОДЗ
- выполнить замену логарифма на ( a -1) (b-1)
- решить неравенство методом интервалов
- записать ответ с учётом ОДЗ.
План решения:
- ОДЗ
- выполнить замену логарифмов на ( a -1) (b-1)
- решить неравенство методом интервалов
- записать ответ с учётом ОДЗ.
Задание
Отметка (+)
Теоретическая база
Опорный конспект №1 «Виды неравенств и их решение»
Опорный конспект №2 «Равносильность неравенств»
11
9
Опорный конспект №3
«Методы решения неравенств»
Опорный конспект №4
«Понятие логарифма. Логарифмическая функция»
7
25
Повторение
- Преобразование выражений с помощью свойств логарифма.
- Представление числа в виде логарифма с данным основанием.
10
3
- Вычисление логарифмов.
- Область допустимых значений логарифма (ОДЗ).
5
6
Практикум по решение неравенств
Неравенство №1
Неравенство №2
2
2
Неравенство №3
Неравенство №4
2
Неравенство №5
2
2
Первичное закрепление метода рационализации
Неравенство №1
2
Неравенство №2
ИТОГИ: (подсчитай количество +)
2
90
«3» 25-49
«4» 50-75
«5» 76-90
Домашнее задание
Какие цели урока выполнили ?
На следующих занятиях мы продолжим знакомиться с рациональными методами решения неравенств
Логарифмические неравенства | ЮКлэва
Более сложные логарифмические неравенства
- А что, если неравенство нельзя привести к простейшему виду, описанному выше?
- А что, если основание у логарифма не постоянное число, а некоторая функция, зависящая от переменной \( \displaystyle x\)?
- А что, если основания в логарифмических неравенствах разные?
Ответы на эти вопросы дадут нам с тобой ключи, необходимые для решения более сложных логарифмических неравенств, нежели простейшие.{2}}-t-12>0\).
Его ты без проблем решишь методом интервалов. Тогда ты можешь сделать вывод, что:
\( \displaystyle t\in (-\infty ;-3)\cup (4;+\infty )\)Или я могу записать решение в виде совокупности (я напомню, что решением совокупности есть те числа, которые являются решением первого ИЛИ второго неравенства, то есть их объединение):
\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}t4\end{array} \right.\)Сделаю обратную замену:
\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}{{\log }_{2}}x4\end{array} \right.\)Учитывая, что из ОДЗ следует, что \( \displaystyle x>0\), то получу следующую систему относительно \( \displaystyle x\):
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\\left[ \begin{array}{l}x16\end{array} \right.\end{array} \right.\)Говоря русским языком, моему неравенству принадлежат те \( \displaystyle x\), которые меньше одной восьмой ИЛИ больше \( \displaystyle 16\),
И одновременно при этом больше нуля:
\( \displaystyle x\in \left( 0;\frac{1}{8} \right)\cup (16;+\infty )\)Все не так уж и сложно, правда?
Вот еще один пример на замену переменных в неравенстве:
\( \displaystyle \frac{lgx-1}{\lg x\cdot (\lg x+1)}>0\)Мне кажется, здесь опять замена напрашивается сама собой: \( \displaystyle t=\lg x\)
Тогда я получу:
\( \displaystyle \frac{t-1}{t\cdot (t+1)}>0\)Решу данное неравенство методом интервалов (ну а ты, конечно, проделаешь это самостоятельно!) Давай сравним? У меня получилось:
\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}-11\end{array} \right.\)Эта запись эквивалентна вот такой: \( \displaystyle t\in (1;0)\cup (1;+\infty )\) но пока я не вернулся к исходной переменной x мне удобнее «думать» в терминах систем и совокупностей решений.
Теперь я вспоминаю, что у меня \( \displaystyle t=\lg x\) и \( \displaystyle x>0\), тогда исходное неравенство будет равносильна вот такой системе:
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\\left[ \begin{array}{l}-11\end{array} \right.\end{array} \right.\)Первое неравенство совокупности я опять-таки представлю как систему:
\( \displaystyle -1-1\end{array} \right.\)Ее решениями будут: \( \displaystyle x\in \left( \frac{1}{10};1 \right)\). (Ты ведь сам сможешь это без проблем получить, решив два простейших логарифмических неравенства?).
Решением неравенства \( \displaystyle \lg x>1\) будет : \( \displaystyle x\in (10;+\infty )\).
Тогда мою систему относительно \( \displaystyle lgx\) я запишу вот в таком виде уже относительно просто \( \displaystyle x\):
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\\left[ \begin{array}{l}x\in \left( \frac{1}{10};1 \right)\\x\in (10;+\infty )\end{array} \right.\end{array} \right.\)Тебе осталось лишь пожинать плоды, записав правильный ответ
\( \displaystyle x\in \left( \frac{1}{10};1 \right)\cup \left( 10;+\infty \right)\)Я так думаю, что метод замены переменной тебе вполне ясен?
Здесь нет ничего сложного: ты просто подбираешь удобную замену, затем решаешь новое неравенство уже относительно введенной переменной, а потом делаешь обратную замену, пристально следя за «судьбой» того, что ты заменял.
В любом случае, в конце статьи я приведу задачи, чтобы ты мог потренироваться в их решении.
Теперь я хочу «вывалить» несколько видов неравенств, которые повергают неподготовленного ученика если не в ужас, то в некоторое смятение.
Например, менее тривиальным является случай, когда неравенство имеют переменное основание.
Логарифмических неравенств | Блестящая вики по математике и науке
Имейте в виду, что основание логарифма может быть меньше 1, что связано с равенством
logab = −log1ab, \ large \ log_ab = — \ log _ {\ frac {1} {a}} b, loga b = −loga1 b,
, так что не забывайте об этом футляре!
Решите неравенство
logx + 42 (log22x − 13 + x) <0. \ log _ {\ frac {x + 4} {2}} \ left (\ log_ {2} \ frac {2x-1} {3+ x} \ right) <0. log2x + 4 (log2 3 + x2x − 1) <0.
Во-первых, основание должно быть положительным и не равным 1, поэтому сразу x> −4x> -4x> −4 и x ≠ −2x \ neq -2x = −2.Аналогично, аргумент log22x − 13 + x \ log_2 \ frac {2x-1} {3 + x} log2 3 + x2x − 1 должен быть положительным, поэтому 2x − 1x + 3> 0 ⟹ x> 12 или x <−3 \ frac {2x-1} {x + 3}> 0 \ подразумевает x> \ frac12 \ text {или} x <-3x + 32x − 1> 0⟹x> 21 или x <−3 . Таким образом, единственные возможных значений xxx — это x> 12 или −4
\ frac12 \, \ text {или} \, -4 21 или −4 Теперь рассмотрим два случая:
Случай 1. 0
В этом случае необходимо, чтобы log22x − 13 + x> 1 \ log_2 \ frac {2x-1} {3 + x}> 1log2 3 + x2x − 1> 1, или 2x − 13 + x > 2 \ frac {2x-1} {3 + x}> 23 + x2x − 1> 2, поэтому 2x − 13 + x − 2 = −73 + x> 0 \ frac {2x-1} {3 + x } -2 = \ frac {-7} {3 + x}> 03 + x2x − 1 −2 = 3 + x − 7> 0.Следовательно, 3 + x3 + x3 + x отрицательно, или x <−3x <-3x <−3. Таким образом, все xxx такие, что −4
Помните, что эта стратегия вычитания двух сторон вместо умножения позволяет избежать рассмотрения дел, связанных с умножением, поскольку больше нет необходимости рассматривать последствия того, что умноженная величина отрицательна.
Случай 2. x + 42> 1 ⟺ x> −2 \ frac {x + 4} {2}> 1 \ iff x> -22x + 4> 1⟺x> −2
В этом случае необходимо, чтобы log22x − 13 + x <1 \ log_2 \ frac {2x-1} {3 + x} <1log2 3 + x2x − 1 <1, или 2x − 13 + x <2 \ frac {2x-1} {3 + x} <23 + x2x − 1 <2, поэтому 2x − 13 + x − 2 = −73 + x <0 \ frac {2x-1} {3 + x } -2 = \ гидроразрыва {-7} {3 + x} <03 + x2x − 1 −2 = 3 + x − 7 <0.Это всегда верно, поскольку x> −2x> -2x> −2, поэтому любой x> −2x> -2x> −2 будет работать. Однако помните, что только x> 12 или −4
\ frac12 \ text {или} -4 21 или −4 12x> \ frac12x> 21 делать. 2> \ log n \ log (n + 2).\ end {align} logn (n + 1)> logn + 1 (n + 2) ⟺lognlog (n + 1)> log (n + 1) log (n + 2) ⟺ (log (n +1)) 2> lognlog (n + 2). Произведение логарифмов — отличный знак для использования AM-GM, поскольку с суммой логарифмов очень легко работать.
В частности,
logn + log (n + 2) 2≥lognlog (n + 2) ⟹ log (n (n + 2)) 2≥lognlog (n + 2). \ Frac {\ log n + \ log (n + 2)} {2} \ geq \ sqrt {\ log n \ log (n + 2)} \ подразумевает \ frac {\ log \ big (n (n + 2) \ big)} { 2} \ geq \ sqrt {\ log n \ log (n + 2)}. 2logn + log (n + 2) ≥lognlog (n + 2) ⟹2log (n (n + 2)) ≥lognlog ( п + 2).2> \ log n \ log (n + 2), (журнал (n + 1)) 2> lognlog (n + 2),
, доказывающее исходное неравенство. □ _ \ квадрат □
(PDF) Некоторые оценки логарифмической функции
Для неполноты размышления пренебрежем тем фактом, что знаменатель здесь
меняется в зависимости от выбора φ. Тогда нам нужно только убедиться, что числитель
маленький и неотрицательный. Чтобы выбрать одну из возможных границ, обратите внимание, что числитель
является многочленом степени 2n.Мы стремимся к пределу, который составляет
, особенно хорош для малых значений x, и понимаем, что мы должны попытаться сделать
, чтобы более низкие члены исчезли. Мы добиваемся этого, настаивая на том, чтобы все члены числителя
обращались в ноль, кроме главного члена.
Чтобы быть точным, обозначим через φ функцию вида φn = F
G с F
и G два многочлена степени n, такие что F (0) = 0 и G (0)> 0, и
такие, что числитель в (17) — положительная постоянная, умноженная на x2n.Аналогично, ψn
определяется как ψn = F
G, где F — многочлен степени n с F (0) = 0 и многочлен
Ga степени n − 1 с G (0)> 0 и такой, что числитель
в (17) — отрицательная постоянная, умноженная на x2n − 1.
Оказывается, что для каждого n≥1 φn и ψn однозначно определяются
этими требованиями. Введем следующие стандартные представления:
φn (x) = xPn − 1 (x)
Qn (x), ψn (x) = xRn − 1 (x)
Sn − 1 (x) (18)
с (Pn) n≥0, (Qn) n≥0, (Rn) n≥0 и (Sn) n≥0 четыре набора многочленов de-
, как указано нижним индексом, и таких, что
Qn, n = 1, Rn − 1, n − 1 = 1 (19)
(с естественными обозначениями для коэффициентов рассматриваемых многочленов).
Для удобства положим Q0 (x) ≡1. Согласно (19) главный член в Qnis xn и
старший член в Rn − 1 равен xn − 1, т.е.Qn и Rn − 1 являются моническими многочленами.
Обратите внимание, что мы нормализуем через знаменатель в φn и через числитель
в ψn. При выбранной нормировке представлений для φ- и
ψ-функций все P-, Q-, R- и S-полиномы определяются однозначно.
Чтобы сэкономить на обозначениях, мы обычно будем писать Pn (соответственно Qn, Rn, Sn и
также φn и ψn) вместо Pn (x) (соответственно Qn (x), Rn (x) и т. Д.).). Мы часто называем четыре набора полиномов
полиномами P QRS.
Резюмируя, φn и ψn определяются с помощью (18) и (19) и ES-
основных требований
Q2
n− (1 + x) (xPn − 1) 0Qn − xPn − 1Q0
n = x2n, (20)
(1 + x) (xRn − 1) 0Sn − 1 − xRn − 1S0
n − 1 − S2
n − 1 = Sn − 1, n − 1x2n− 1. (21)
Ясно, что φ является нижней и ψnan верхней оценкой ln (1+ x) для x∈ [0, ∞ [.
Это следует из того, что обе функции xyln (1 + x) −φn (x) и xyψn (x) −ln (1 + x)
обращаются в нуль при x = 0 и имеют положительные производные в] 0, ∞ [.
5
% PDF-1.3 % 97 0 объект > эндобдж xref 97 70 0000000016 00000 н. 0000001748 00000 н. 0000001902 00000 н. 0000001965 00000 н. 0000003071 00000 н. 0000003243 00000 н. 0000003309 00000 н. 0000003472 00000 н. 0000003562 00000 н. 0000003651 00000 п. 0000003764 00000 н. 0000003877 00000 н. 0000004227 00000 п. 0000004677 00000 н. 0000005368 00000 н. 0000006023 00000 н. 0000006522 00000 н. 0000006778 00000 н. 0000006819 00000 п. 0000023009 00000 п. 0000023462 00000 п. 0000024271 00000 п. 0000024822 00000 н. 0000028133 00000 п. 0000028334 00000 п. 0000028484 00000 п. 0000028793 00000 п. 0000029052 00000 н. 0000029360 00000 п. 0000029728 00000 п. 0000030865 00000 п. 0000031172 00000 п. 0000036856 00000 п. 0000037016 00000 п. 0000037314 00000 п. 0000037401 00000 п. 0000037704 00000 п. 0000038179 00000 п. 0000038433 00000 п. 0000039012 00000 п. 0000039250 00000 п. 0000039850 00000 п. 0000040087 00000 п. 0000040448 00000 п. 0000040728 00000 п. 0000040978 00000 п. 0000041307 00000 п. 0000041855 00000 п. 0000042035 00000 п. 0000044038 00000 п. 0000044307 00000 п. 0000044869 00000 п. 0000044973 00000 п. 0000047712 00000 п. 0000047968 00000 н. 0000048202 00000 н. 0000048567 00000 п. 0000048646 00000 н. 0000054450 00000 п. 0000057125 00000 п. 0000057590 00000 п. 0000057922 00000 п. 0000058187 00000 п. 0000061841 00000 п. 0000062138 00000 п. 0000069692 00000 п. 0000086089 00000 п. 0000088087 00000 п. 0000002005 00000 н. 0000003049 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 98 0 объект > эндобдж 99 0 объект > эндобдж 100 0 объект > эндобдж 165 0 объект > ручей Hb«f« Ȁ
Решение логарифмических функций — пояснения и примеры
В этой статье мы узнаем, как вычислять и решать логарифмические функции с неизвестными переменными.
Логарифмы и экспоненты — две тесно связанные друг с другом темы в математике. Поэтому полезно сделать краткий обзор показателей степени.
Показатель степени — это форма записи многократного умножения числа на само себя. Показательная функция имеет вид f (x) = b y , где b> 0 Например, , 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 2 . Показательная функция 2 2 читается как « два в степени пяти, » или « два в степени пять» »или« два в пятой степени. ” С другой стороны, логарифмическая функция определяется как функция, обратная возведению в степень. Снова рассмотрим экспоненциальную функцию f (x) = b y , где b> 0 y = log b x Тогда логарифмический функция задается; f (x) = log b x = y, где b — основание, y — показатель степени, а x — аргумент. Функция f (x) = log b x читается как «log base b of x». Логарифмы полезны в математике, потому что они позволяют нам выполнять вычисления с очень большими числами. Для решения логарифмических функций важно использовать экспоненциальные функции в данном выражении. Натуральное бревно или ln является обратной величиной e . Это означает, что один может отменить другой, т.е. ln (e x ) = x e ln x = x Чтобы решить уравнение с логарифмом (ами), важно знать их свойства. Свойства логарифмических функций — это просто правила для упрощения логарифмов, когда входные данные имеют форму деления, умножения или экспоненты логарифмических значений. Некоторые из объектов недвижимости перечислены ниже. Правило произведения логарифма гласит, что логарифм произведения двух чисел, имеющих общее основание, равен сумме отдельных логарифмов. ⟹ log a (p q) = log a p + log a q. Правило частного логарифмов утверждает, что логарифм отношения двух чисел с одинаковыми основаниями равен разности каждого логарифма. ⟹ log a (p / q) = log a p — log a q Правило логарифма степени утверждает, что логарифм числа с рациональной степенью равен произведению экспоненты и его логарифм. ⟹ log a (p q ) = q log a p ⟹ log a p = log x p ⋅ log a x ⟹ log q p = log x p / log x q ⟹ log p 1 = 0. Другие свойства логарифмических функций включают: log a a = 1 log a 1 = 0 Всякий раз, когда вы видите логарифмы в уравнении, вы всегда думаете о том, как отменить логарифм, чтобы решить уравнение. Для этого вы используете экспоненциальную функцию .Обе эти функции взаимозаменяемы. В следующей таблице описан способ записи и перестановки экспоненциальных функций и логарифмических функций . В третьем столбце рассказывается о том, как читать обе логарифмические функции. Пример 1 Перепишите экспоненциальную функцию 7 2 = 49 в ее эквивалентную логарифмическую функцию. Решение Дано 7 2 = 64. Здесь основание = 7, показатель степени = 2 и аргумент = 49. Следовательно, 7 2 = 64 в логарифмической функции; ⟹ log 7 49 = 2 Пример 2 Запишите логарифмический эквивалент 5 3 = 125. Решение База = 5; показатель степени = 3; и аргумент = 125 5 3 = 125 ⟹ log 5 125 = 3 Пример 3 Решить относительно x в журнале 3 x = 2 Решение log 3 x = 2 Пример 4 Если 2 log x = 4 log 3, найдите значение ‘x’. Решение 2 log x = 4 log 3 Разделите каждую сторону на 2. log x = (4 log 3) / 2 log x = 2 log 3 log x = log 3 2 log x = log 9 x = 9 Пример 5 Найдите логарифм 1024 по основанию 2. Решение 1024 = 2 10 log 2 1024 = 10 Пример 6 Найдите значение x в журнале 2 ( x ) = 4 Решение Перепишите логарифмический журнал функций 2 ( x ) = 4 в экспоненциальной форме. 2 4 = x 16 = x Пример 7 Решите относительно x в следующей логарифмической функции log 2 (x — 1) = 5. Решение log 2 (x — 1) = 5 ⟹ x — 1 = 2 5 Теперь решите относительно x в алгебраическом уравнении. Пример 8 Найдите значение x в логарифме x 900 = 2. Решение Запишите логарифм в экспоненциальной форме как; x 2 = 900 Найдите квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы получить; x = -30 и 30 Но поскольку основание логарифмов никогда не может быть отрицательным или 1, поэтому правильный ответ — 30. Пример 9 Решите для данного x, log x = log 2 + log 5 Решение Используя правило продукта Log b (mn) = log b m + log b n получаем; ⟹ журнал 2 + журнал 5 = журнал (2 * 5) = журнал (10). Следовательно, x = 10. Пример 10 Логарифм решения x (4x — 3) = 2 Решение Перепишите логарифм в экспоненциальной форме, чтобы получить; x 2 = 4x — 3 Теперь решите квадратное уравнение. x = 1 или 3 Поскольку основание логарифма никогда не может быть 1, тогда единственное решение — 3. 1. Выразите следующие логарифмы в экспоненциальной форме. а. 1ог 2 6 б. журнал 9 3 c. журнал 4 1 д. журнал 6 6 e. журнал 8 25 ф. log 3 (-9) 2. Найдите x в каждом из следующих логарифмов a. журнал 3 (x + 1) = 2 b. журнал 5 (3x — 8) = 2 c.журнал (x + 2) + журнал (x — 1) = 1 d. log x 4 — log 3 = log (3x 2 ) 3. Найдите значение y в каждом из следующих логарифмов. а. журнал 2 8 = y б. журнал 5 1 = y c. журнал 4 1/8 = y d. log y = 100000 4. Решите относительно xif log x (9/25) = 2. 5. Решите log 2 3 — log 2 24 6. Найдите значение x в следующий логарифм log 5 (125x) = 4 7.Учитывая, что Log 10 2 = 0,30103, Log 10 3 = 0,47712 и Log 10 7 = 0,84510, решите следующие логарифмы: a. журнал 6 б. журнал 21 c. журнал 14 Как решать логарифмические функции?
Свойства логарифмических функций
Сравнение экспоненциальной функции и логарифмической функции
Давайте воспользуемся этими свойствами для решения пары задач, связанных с логарифмическими функциями. Экспоненциальная функция Логарифмическая функция Считывается как 8 2 = 64 log 8 64 = 2 834 логарифм 10 3 = 1000 log 1000 = 3 log base 10 из 1000 10 0 = 1 log 1 = 0 log base 10 из 1 25 2 = 625 log 25 625 = 2 log base 25 из 625 12 2 = 144 log 12 144 = 2 log base 12 из 144
3 2 = x
⟹ x = 9
Запишите логарифм в экспоненциальной форме как;
⟹ x — 1 = 32
x = 33
x 2 = 4x — 3
x 2 — 4x + 3 = 0
(x -1) (x — 3) = 0 ApJ
% PDF-1.4 % 1 0 объект > ручей приложение / постскриптум
Microsoft Word — 00-1_Title.doc
% PDF-1.4 % 1 0 объект > эндобдж 9 0 объект /Заголовок /Предмет / Автор /Режиссер / Ключевые слова / CreationDate (D: 20210715213516-00’00 ‘) / ModDate (D: 20141015133151 + 04’00 ‘) >> эндобдж 2 0 obj > эндобдж 3 0 obj > эндобдж 4 0 obj > эндобдж 5 0 obj > эндобдж 6 0 obj > ручей 2014-10-15T13: 31: 51 + 04: 002014-10-15T12: 16: 21 + 04: 002014-10-15T13: 31: 51 + 04: 00PScript5.dll, версия 5.2.2application / pdf
