Задания по тригонометрии 10 класс с решениями: Задачи на тригонометрические формулы, алгебра

2(t)$.
8. $x=\frac{πn}{10}$; $x=\frac{πn}{2}$.
10. 0.
11. $x=\frac{π}{4}+2πn$; n∈Z.
12. $x=\frac{π}{20}+\frac{πn}{10}$; $x=±\frac{π}{9}+\frac{2πn}{3}$.

Тригонометрические функции, задачи по алгебре в 10 классе, Мордкович

Дата публикации: 12 апреля 2017.

Задачи c ответами и рекомендациями по решению к учебнику Мордковича А.Г. на тему: «Тригонометрические функции сложения аргумента»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса
«Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов»

---

1. Найдите значения выражений.

а) $\sin(\frac{\pi}{15})cos(\frac{4\pi}{15})+cos(\frac{\pi}{15})sin(\frac{4\pi}{15})$.

б) $\cos(123°)cos(78°)+sin(123°)sin(78°)$.

2. Упростите выражения.

а) $-cos(α+β)-sin(β)sin(α)$;

б) $cos(x-\frac{2\pi}{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)$.

3. Докажите тождество: $sin(α-β)-cos(α-β)=(sin(α)-cos(α))(cos(β)+sin(β))$.

4. Решите уравнение: $cos(7x)cos(5x)+sin(7x)sin(5x)=0$.

5. Зная, что $cos(α)=\frac{4}{5}$, $0

6. Известно, что $sin(\frac{2π}{3}-t)-sin(\frac{2π}{3}+t)=q$. Найдите $sin(\frac{2π}{3}-t)*sin(\frac{2π}{3}+t)$.

7. Найдите значения выражений.

а) $\sin(133°)cos(73°)-cos(133°)sin(73°)$.

б) $\cos(\frac{π}{14})cos(\frac{19π}{28})-sin(\frac{π}{14})sin(\frac{19π}{28})$.

8. Упростите выражения.

а) $-sin(α+β)+cos(α)sin(β)$.

б) $cos(y-\frac{3π}{4})-\frac{\sqrt{2}}{2}sin(y)$.

9. Докажите тождество: $-cos(α+β)-cos(α-β)=-2cos(α)cos(β)$.

10. Решите уравнение: $sin(8x)cos(4x)-cos(8x)sin(4x)=0$.

11.Зная, что $sin(α)=-\frac{3}{5}$, $\pi

12. Известно, что $cos(\frac{3\pi}{4}-t)-cos(\frac{3\pi}{4}+t)=q$. Найдите $cos(\frac{3\pi}{4}-t)*cos(\frac{3\pi}{4}+t)$.

Ответы на задачи.

Ответы на задачи.

1.
a) $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решение.
$\sin(\frac{\pi}{15})cos(\frac{4\pi}{15})+cos(\frac{\pi}{15})sin(\frac{4\pi}{15})$.
$\sin(\frac{\pi}{15}+\frac{4\pi}{15})=sin(\frac{5\pi}{15})=sin(\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решение.
$\cos(123°)cos(78°)+sin(123°)sin(78°)$.
$cos(123°-78°)=cos(45°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2.
а) $-cos(α)cos(β)$.
Решение.
$-cos(α+β)-sin(β)sin(α)=-(cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β))-sin(β)sin(α)=-cos(α)cos(β)$.

б) $-\frac{1}{2}cos(x)$.
Решение.
$cos(x-\frac{2\pi}{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)=cos(x)cos(\frac{2π}{3})+sin(x)sin(\frac{2π}{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)=$

$=cos(x)(-\frac{1}{2})+sin(x)\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)=-\frac{1}{2}cos(x)$.

3.
Решение.
$sin(α-β)-cos(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)-(cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β))=$ $=sin(α)(cos(β)+sin(β))-cos(α)(sin(β)+cos(β))=(sin(α)-cos(α))(cos(β)+sin(β))$. 2}{2}$.

Урок 47. методы решения тригонометрических уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
• Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
• Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
• Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема — основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Задание 1.

Представьте в виде произведения:

Решение:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

.

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

.

Ответ: .

Задание 2.

Вычислите:

Решение:

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

Ответ: 0,25

Задание 3.

Проверьте равенство:

Решение:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Теорема

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Пример 1.

Решить уравнение:

Решение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Пример 2.

Решить уравнение:

Решение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений — это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Пример3.

Решите уравнение

Решение:

Сделаем замену .

Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

.

.

Вернемся к исходной переменной:

.

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Рассмотрим пример.

Пример 4.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

или .

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Пример 5.

Решите уравнение:

Решение:

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

.

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Решите уравнение:

Решение:

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

.

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных — во вторую.

Таким образом, получаем ответ:

Ответ:

Решите уравнение:

Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения.

То есть будем рассматривать левую часть уравнения как выражение вида:

, где .

Получим, что

Мы знаем, что , поэтому

Поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение более сложного уравнения методом оценки.

Решите уравнение

Запишем уравнение в виде

Преобразуем левую часть:

Так как , то

и .

Так как и , то

Равенство возможно только при одновременном выполнении условий:

.

,

.

.

, .

Решая эту систему, получим, что,  .

Ответ: ,  .

Рассмотрим еще один прием, который применяется при решении тригонометрических уравнений.

Домножение левой и правой части на тригонометрическую функцию

Рассмотрим решение уравнения:

Решение:

Домножим обе части уравнения на :

.

Заметим, что домножая обе части уравнения на выражение с переменной, мы можем получить новые корни. Проверим те значения переменной, при которой :

не являются решением исходного уравнения, поэтому мы должны будем удалить эти числа из полученного решения.

Теперь с помощью формулы синуса двойного аргумента преобразуем полученное уравнение:

Теперь перенесем правую часть в левую и преобразуем по формуле преобразования разности синусов в произведение:

, .

Учитывая, что , получим: .

Ответ: .

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1.

A=1

подсказка

B=2

замена

C=6

Период

Ответ:

Пример 2.

Решите уравнение. Найдите коэффициенты a, b, c

Ответ:

Представим левую и правую части уравнения в виде произведения. Затем перенесём всё в левую часть и разложим на множители

a=1 ВАРИАНТ

b=7 МНОЖИТЕЛЬ

c=7 СЛАГАЕМОЕ

Ответ:

Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания

Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания

1. 1. Натуральные числа. Повторение

   2. Рациональные числа. Повторение

   3. Иррациональные числа.

      Повторение

2. 1. Обратимая и обратная функции

   2. Понятие периодической функции (профильный)

3. 1. Числовая окружность на координатной плоскости

   2. Нахождение значений синуса и косинуса, тангенса и котангенса

   3. Числовой аргумент тригонометрических функций

   4. Угловой аргумент тригонометрических функций

   5. Свойства функции y = sin x и её график

   6. Свойства функции y = cos x и её график

   7. Периодичность тригонометрических функций, чётность, нечётность

   8. Гармонические колебания (профильный)

   9. Свойства функций y = tg x, y = ctg x и их графики

   10. Функции y = arcsin a, y = arccos a, y = arctg a, y = arcctg a (профильный)

4. 1. Арккосинус и решение уравнения cos х = a

   2. Арксинус и решение уравнения sin x = a

   3. Арктангенс и арккотангенс.

      Решение уравнений tg x = a, ctg x = a

   4. Методы, используемые для решения тригонометрических уравнений

5. 1. Формулы синуса суммы и разности, косинуса суммы и разности

   2. Тангенс суммы и разности

   3. Формулы приведения.

      Общее правило

   4. Формулы синуса, косинуса, тангенса двойного угла

   5. Формулы понижения степени, или формулы половинного угла (профильный)

   6. Формулы сумм тригонометрических функций

   7. Формулы произведений тригонометрических функций

   8. Метод введения вспомогательного угла (профильный)

6. 1. Числовые последовательности и их свойства

   2. Понятие предела числовой последовательности

   3. Как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии

   4. Предел функции в точке.

      Предел функции на бесконечности

   5. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной

   6. Вычисление производных. Правила дифференцирования

   7. Как получить уравнение касательной к графику функции

   8. Исследование функций на монотонность и экстремумы

   9. Исследование выпуклости и перегиба, построение графиков функции

   10. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин

Решение задач по механике с использованием тригонометрии, 10 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 34 города Томска

Конспект интегрированного урока по алгебре и физики в 10 классе

«Решение задач по механике с использованием тригонометрии»

Подготовили:

учитель математики

Пихтовникова Светлана Александровна,

Учитель физики

Бурлаков Алексей Дмитриевич

Томск 2010

«Решение задач по механике с использованием тригонометрии»

Интегрированный урок для профильного физико-математического класса.

10 класс.

Пихтовникова Светлана Александровна,

учитель математики

высшей категории,

Бурлаков Алексей Дмитриевич,

Учитель физики

МОУ СОШ № 34 города Томска

     Наука начинается тогда,
когда начинают считать.
Д.И.Менделеев

Слеп физик без математики.
М.В.Ломоносов

Рано или поздно всякая

правильная математическая идея

находит применение в том

или ином деле.

А.Н.Крылов

Цель урока:

Закрепление и актуализация, и интеграция знаний по физике и математики.

Задачи урока:

1. Образовательные задачи:

   • Закрепить знания обучающихся по теме: «Механика», тригонометрические формулы и решение тригонометрических уравнений;

   • Продолжить формирования навыков решения задач, формировать умение решать нестандартные задачи

   • Показать на наглядном примере связь тригонометрии и механики.

2. Развивающие задачи:

3. Воспитание учащихся на уроке:

   • НОТ: обучение умению ставить цель, выделять существенное, главное, планировать работу, осуществлять самоконтроль, подводить итоги, работать в оптимальном темпе, беречь время.

Тип урока: интегрированный урок – практикум.

Оборудование: мультимедийный проектор, ватман, чертежные инструменты, математическая энциклопедия, раздаточный материал.

План урока:

1. Организационный момент. Вступительное слово учителя

2. Устная разминка

3. Работа по группам

4. Защита работ

5. Историческая справка

6. Практическая работа

7. Итог урока. Заключительное слово учителя.

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя. Слайды: 2,3,4

Начало тригонометрии 10 класса.

2. Устно:

1. Вспомним формулы (Слайд 5)

• Тело брошено под углом к горизонту. Дальность полета, высота полета:

• (дальность)

• (высота)

• Формула для нахождения силы трения: (Слад 6)

• Найдите сторону х прямоугольного треугольника, изображенных на данных рисунках (Слайды7,8,9,10)

Выберите тригонометрическое уравнение, решения которого включают обе точки, отмеченные на единичной окружности. (Слайд 11)

Выберите тригонометрическое уравнение, решения которого включают обе точки, отмеченные на единичной окружности. (Слайд 12)

Выберите тригонометрическое уравнение, решения которого включают обе точки, отмеченные на единичной окружности. (Слайд 13)

3. Работа по группам.

Каждой группе выдаются ватманы, задания, фломастеры, математическая энциклопедия.

Свой отчет о работе учащиеся оформляют на листах ватмана

1 группа (Слайд 14)

1.Под каким углом нужно бросить мяч , чтобы он улетел как можно дальше?

2. в справочнике найдите, что означает тригонометрия

2 группа (Слайд 15)

1. Летящая пуля ударяет в шар висящий на невесомой, нерастяжимой нити, ударяет и застревает в нем. Длина нити 1 м, m_пули =9г, m_шара= 9 кг, угол на который отклоняется шар с пулей 10⁰. Найти скорость летящей пули.

2. в справочнике найдите, что означает синус

3 группа (Слайд 16)

1. Найдите коэффициент трения между шариковой ручкой и бумагой.

Оборудование: линейка.

Силой тяжести ручки можно пренебречь.

2. в справочнике найдите, что означает косинус

4 группа.

1. Решите уравнение:

2. в справочнике найдите, что означает тангенс

5 группа.

1. Решите уравнение с параметром а:

2. в справочнике найдите, что означает котангенс

4. Отчет групп сопровождается показом рисунков на экране (слайды 14-17)

Задача 1.

Под каким углом к горизонту нужно бросить мяч, чтобы он упал максимально далеко?

Y

_

А υ

_

υ_{0 _}

g

h

α

OX

l

Движение мяча можно описать в двухмерной системе координат, где движение вдоль оси ОХ – равномерное, а вдоль оси ОY – равноускоренное с ускорением g = 9,8м/с², t_п – время полета,

l — υ₀cos α • t_п , дальность полета — максимальная высота полета

в точке А

так как 2 sinα cosα = sin2α  l max когда sin 2α = 1  sin 2α = 1; 2α = 90; α = 45, то есть мяч надо бросить под углом 45 к горизонту и дальность полета будет

Задача 2. (Слайд 15)

С какой скоростью υ₁ должна лететь пуля, чтобы после абсолютно неупругого удара она отклонила шар, подвешенный на нити, на угол α? Масса пули m₁ , масса шара m₂, длина нити l ,угол отклонения α.

Закон сохранения импульса для пули и шара в проекциях m₁ υ₁= (m₁ + m₂)υ где υ – скорость пули и шара после удара, (1)

Закон сохранения энергии для пули и шара, отклонившихся на угол α после удара, где h – высота подъема пули и шара после удара

h = l – l cosα = l (1—cosα)  υ²=2gl(1—cosα) подставляя формулу (1) получаем, используя , получаем

Задача 3.(Слайд 16)

Найдите коэффициент трения между ручкой и бумагой (массой ручки пренебрегите). Укрепитесь в бумагу вертикально поставленной ручкой, а затем постепенно наклоняйте ее, продолжая нажимать на верхний конец. При некотором угле наклона α ручка начнет скользить по бумаге. Это произойдет в тот момент, когда горизонтальная составляющая силы F станет больше максимальной силы трения покоя между ручкой и бумагой.

В момент начала скольжения Fcosα = (mg + Fsinα) где m – масса ручки.  = Fcosα /(mg + Fsinα)

Масса ручки невелика, сила F ограничена только возможностями экспериментатора и прочностью ручки, поэтому массой ручки можно пренебречь

5. Немного истории:

«Кто впервые придумал рассматривать изу­чаемое математическое понятие и зачем?».

Впервые тригонометрические соотношения вводятся в курсе геометрии следующим образом. Рас­сматривается прямоугольный треугольник (рис. 1), и на уровне определений утверждается: (Слайд18)

В первую очередь нас будут интересовать вопро­сы: «Откуда появилась необходимость рассматри­вать представленные выше соотношения сторон прямоугольного треугольника?» и «Как появилась символика, используемая в определениях (*)?».

Ключ к отгадке надо искать в практической де­ятельности людей, причем речь идет о временах настолько далеких (может второе тысячелетие до н.э., а может и ранее), что никакими письменными свидетельствами, позволяющими дать однозначный ответ, мы не располагаем. Поэтому позволим себе высказать некоторые догадки.

В древние времена строительство сооружений велось примерно таким образом и такими средст­вами, как и сегодня строят небольшие дома и под­собные помещения. При этом строители использу­ют нехитрые инструменты: веревку, отвес, колыш­ки и пр. Между прочим, в Древнем Египте сущест­вовали люди специальной профессии, которых на­зывали гарпедонапты, что значит, натягиватели веревки. С них начиналось любое строительство. А зачем нужна веревка строителям? Чтобы ровно в линию выкладывать кирпичи или камни.

Предложим учащимся вслушаться в слова «ли­ния» и «лен». Действительно, откроем этимоло­гический словарь:

Линия. Через посредство немецкого языка заим­ствовано в начале XVIII в. из латыни. Лат. linea —«нитка» — производное от linum — «лен». Еще веревка нужна для того, чтобы получить прямой угол, например в целях строительства при­вычного нам четырехугольного дома. Ведь такой дом построить легче всего. А строительство домов иных форм и сейчас является трудной архитектур­ной задачей.

Учащиеся уже знают, что одним из важнейших изобретений человечества было изобретение ко­леса. А почему? Да потому, что в природе колеса нет. Колесо — это именно человеческое изобре­тение. Теперь другой вопрос: а есть ли в природе прямой угол? Примеры привести можно (ветка, растущая перпендикулярно стволу дерева; само дерево, растущее перпендикулярно к земле и т.п.), но вряд ли перечисленное годится для того, чтобы создать шаблон прямого угла. Издавна строители научились получать прямой угол с помощью веревки. В Древнем Египте заме­тили, что если на веревке завязать узелки на рав­ном расстоянии друг от друга, и натянуть веревку так, чтобы, говоря современным языком, получал­ся треугольник со сторонами 3, 4, 5, то угол, ле­жащий против наибольшей стороны, окажется пря­мым. С тех пор треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется египетским.

Треугольник с черными кружками, обозначаю­щими узлы, показан на рис. 2. Этот чертеж лучше всего поясняет суть дела. В вершинах треугольника мы видим древние египетские изображения жре­цов. У них в руках — инструменты, напоминающие измерители расстояний, какими пользуются и сей­час. В Древнем Египте измерения были священ­ным делом — уделом немногих образованных лю­дей — жрецов.

Историю с натягиванием веревки продолжают еще несколько древних терминов: катет — значит «отвес», гипотенуза — «натянутая», а другой катет прямоугольного треугольника не назывался кате­том (т.е. отвесом), о нем говорили как об основании (рис. 3). (Слайд 19)

По натянутой веревке (другими словами, по ги­потенузе) можно проводить стачивание боковой грани строящейся пирамиды.

Теперь мы подошли к главному вопросу: «Как объяснить строителям, по какому углу стачивать грань пирамиды?» (В Древнем Египте пирамиду выкладывали из грубых крупных камней, и надо было ее отшлифовать или иным образом подкор­ректировать. ) Один из способов: задать отношение высоты пирамиды к апофеме, или, если говорить о плоскости, задать отношение катета-отвеса к ги­потенузе. Вот и получается прообраз косинуса угла стачивания (рис. 4). А когда задавались другие от­ношения — отношение катета-основания к катету-отвесу или отношение катета-основания к гипоте­нузе — это были прообразы понятий тангенса и синуса угла.

(Слайд 20)

В самом деле, задавать указанные отношения сторон прямоугольного треугольника очень удоб­но. Так, если на макете пирамиды (рис. 5, а) опре­делить отношение высоты пирамиды к ее апофеме как 2:3, то и для самой пирамиды (рис. 5, 6) это отношение сохранится, ведь большая пирамида есть подобие маленькой (макета пирамиды). (Слайд 21)

Теперь мы понимаем: рассматривать отношения длин строи прямоугольного треугольника очень удобно, так как для всех подобных прямоугольных треугольников эти отношения сохраняются (все правильно, как потом узнают учащиеся, у подоб­ных треугольников углы равны, а, значит, равны и тригонометрические функции углов).

Судя по всему, на идею подобных фигур люди обратили внимание достаточно давно. Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встре­чаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадра­тиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров (сво­его рода «палетка»).

В дальнейшем геометрические знания накапли­вались, а тригонометрические соотношения в пря­моугольных треугольниках стали все чаще исполь­зоваться для решения таких задач практики, как нахождение расстояний до недоступных объектов. Приведем несколько примеров.

Легенда гласит, что Фалес (философ и матема­тик, имя которого уже известно учащимся) привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасыва­емой ею тени. Догадка Фалеса заключалась в том, что в течение дня бывает момент, когда длина тени каждого предмета равна высоте самого этого пред­мета. Он дождался момента, когда длина его тени стала равна его росту, и тогда, измерив тень пира­миды, вычислил ее высоту. Сформулируем другую не менее известную задачу:

Задача 1. Определить расстояние от корабля, находящегося в море, до берега (Слайд 22)

Решение. Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель — в точке А (рис. 6). Построим прямой угол с вершиной в точке А, откладыва­ем на берегу отрезок АС и делим его пополам точкой В. Затем из точки С передвигаемся по прямой т, перпендикулярной ВС, до тех пор, пока не дойдем до точки D, из которой точки К и В видны лежащими на одной прямой. Отме­тим полученную точку как D. Прямоугольные треугольники BCD и ВАК рав­ны, следовательно, АК = CD, а длину отрезка CD можно непосредственно измерить.

Решение задач о нахождении расстояний до не­доступных объектов, а также задач на вычисление недоступных высот было одним из источников развития тригонометрического знания. К сожале­нию, на момент рассказа об этом учитель почти ничего не может показать учащимся, так как они еще не изучали подобие треугольников, теоремы синусов и косинусов и пр. Однако позже к этим задачам можно вернуться. Поэтому мы приведем дополнительно еще одну очень известную задачу. Ее текст можно найти в трактате китайского мате­матика III в. Лю Хуэя «Математика морского ост­рова». Несколько странное название трактата объ­ясняется тем, что в нем решены различные задачи на определение расстояний до недоступных объек­тов, расположенных на острове, причем точка на­блюдения находится вне его.

Задача Лю Хуэя.

Задача 2. Наблюдают недоступный морской ос­тров (рис.).(Слайд 23)

Для этого установили пару шестов MN и KL одинаковой высоты в 6 бу (6 шагов). Предыдущий шест от последующего удален на 1000 бу (Л/А). Пусть последующий шест (АХ) вместе с предыдущим (А/УУ) находится на одной прямой с островом. Если отойти от предыдущего шеста по прямой на 123 бу (МР), то глаз челове­ка, лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста совпадающим с вершиной острова

Если отойти по прямой от последую­щего шеста на 127 бу (KQ), то глаз человека, лежащего на земле, будет наблюдать верхний ко­нец шеста также совпадающим с вершиной остро­ва

Какова высота острова (АВ) и его удаленность от первого шеста (AM).

Решение. Рассмотрим две пары подобных тре­угольников АВР, MNP и ABQ, KLQ. В совре­менных обозначениях запишем:

(*)

где х = AM.

Приравнивая выражения для АВ, найдем

х = 30750 (бу), АВ= 1506 (бу). Заметим, что в выражениях (*) отношение

есть значения тангенсов углов NPM и

LQK, так что в манипулировании с подобными тре­угольниками уже содержатся предпосылки к пере­ходу к тригонометрическим понятиям.

До сих пор мы рассматривали самую глубинную предысторию зарождения тригонометрического знания, но именно она отразилась в самом слове «тригонометрия», которое буквально означает «из­мерение треугольника». Действительно, термин тригонометрия состоит из двух греческих слов: тригоном, что означает «треугольник» и метрейн, что означает «измерять». Кроме того, данный первич­ный исторический рассказ помогает объединить в сознании учащихся такие темы, как знакомство с прямоугольным треугольником, теорема Пифаго­ра, подобие треугольников, тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. И главное, у учащихся возникает желание посмотреть на эти темы как с исторической, так и с современ­ной точек зрения, т.е. повышается интерес к изу­чению геометрии.

Теперь мы перейдем собственно к моменту, ког­да мы можем обратиться непосредственно к исто­рии тригонометрии. Итак, тригонометрия, как и всякая наука, выра­стала из потребностей человеческой практики, поэтому потребности не ограничивались, как мы упо­минали выше, только лишь потребностями строи­тельства или нахождения расстояний до недоступ­ных объектов. Задачи мореплавания, требовавшие по звездам определять правильный курс корабля, задачи определения по звездам пути при движении караванов в пустыне, задачи земледелия, требовав­шие введения точного календаря, и многие другие обусловили развитие астрономии, а с ней и триго­нометрии. Причем сферическая тригонометрия развивалась наряду с плоской.

По сути, тригонометрия появилась в древности как один из разделов астрономии. Дело в том, что преобладающей гипотезой о строении Вселенной была геоцентрическая, согласно которой Земля есть шар, расположенный в центре небесной сферы, ко­торая равномерно вращается вокруг своей оси. Светила считаются расположенными на этой сфе­ре. При изучении их движения большое значение приобретают задачи о расположении точек и фигур на сфере. Работы, в которых подобные задачи ре­шаются, получили название сферики. Плоская три­гонометрия при таких условиях отнюдь не играла лишь второстепенную роль по сравнению со сфе­рической тригонометрией. У нее была своя область приложений: помимо решения задач на определе­ние расстояний до недоступных объектов, она яв­лялась частью практической астрономии — фигуры на сфере проектировались на плоскость горизонта, меридиана и т.д., и таким образом многие задачи сводились к плоским случаям.

Отдельные вопросы из тригонометрии уже ус­пешно решали древнегреческие астрономы, одна­ко они рассматривали хорды, а не синусы, косину­сы и другие, как говорили в древности, линии. Если говорить точнее, то греческие астрономы рассмат­ривали по сути только синус, вместо которого ис­пользовали хорду, равную удвоенной линии синуса половинной дуги.

Метод составления тригонометрических таблиц состоял в следующем. В основе всех построений астрономов древности находится круг заданного диаметра. На нем рассматривалась единственная тригонометрическая характеристика: длина хорды, стягивающей дугу, соответстствующую данному центральному углу (рис. 8). Задача состояла в со­ставлении таблицы значений этой функции с наи­большей, по возможности, точностью и высокой частотой в последовательности значений аргумен­та. По существу таблицы хорд являются таблицами синусов.

Первые тригонометрические таблицы (таблицы хорд), которые положили начало вычислительной тригонометрии, составил еще во II в. до н.э. древ­негреческий астроном Гиппарх. Венцом же разви­тия астрономии и тригонометрии в Древней Греции можно считать работу «Большое математичес­кое построение астрономии в 13 книгах» («Альма­гест») знаменитого астронома Клавдия Птолемея (II в. н.э.). Сведения по прямолинейной и сфери­ческой тригонометрии изложены в первой книге «Альмагеста». Показывая, как вычислять хорды, Птолемей делил окружность на 360 частей (граду­сов). Он составил такую таблицу синусов (хорд), которая много веков была единственным пособи­ем при решении задач о треугольниках.

Начало учению о тригонометрических величинах было положено в Индии, начиная с IV-VI вв. Ин­дийские ученые впервые в науке стали употреблять линию синуса как половину хорды, и составили первые тригонометрические таблицы синусов (по­лухорд). Им были известны также основное триго­нометрическое тождество, формулы приведения, формула синуса половинного угла.

Заметим, что греческое слово хорде, от которого происходит наш термин «хорда», буквально озна­чает «тетива лука», «струна». Индийские ученые впервые предложили рассматривать величину по­лухорды (синуса), которую называли архаджива, что буквально означает «половина тетивы лука», но потом стали называть джива, что значит «тетива лука».

Как по примеру индийских математиков не уви­деть на рис. 9 лук с натянутой стрелой?

Арабские математики, которые позже (начиная с VIII в.) осваивали накопленные математичес­кие знания, писали слово джива в арабской транскрипции как джиба, что созвучно арабско­му слову джайб, которое дословно означает «па­зуха».

Вместе с военными завоеваниями арабов слово «пазуха» для обозначения полухорды в тригоно­метрии попало в Европу (X—XII вв. ), где евро­пейские ученые перевели его на латынь как «си­нус». Поскольку латинский язык считался обще­признанным научным языком в Европе, то тер­мин «синус» нашел там широкое распостранение и сохранился до настоящего времени. Кста­ти, этот термин применяется не только в мате­матике: сейчас в медицине заболевание пазух носа называют синуситом. Индийские ученые рассматривали линии синуса BD и косинуса OD (рис. 10) только для острого угла.

Интересно заметить, что европейские математики XII—XVI вв. часто называли синус sinus rectus (пря­мой синус), а радиус тригонометрической окружнос­ти sinus totus, т.е. весь (полный) синус. Слово «косинус» — это сокращение латинского выра­жения complementy sinus, т.е. «дополнительный синус» или, иначе, «синус дополнительной дуги»; вспомни­те: cos a = sin (90° — а).

В IX-X вв. центр математических исследований, значит, и центр развития тригонометрического зна­ния, переместился в Среднюю Азию, где трудами арабских математиков тригонометрия впервые вы­делилась из астрономии как самостоятельная на­ука. В частности, ученые стран ислама ввели новые тригонометричекие величины: тангенс и котангенс. В трактате «Плоские четырехсторонники» ученого-энциклопедиста и государственного деятеля XIII в. Насирэддина Туей плоская и сферическая тригоно­метрия выступают как самостоятельные предметы. Для сравнения, в Европе тригонометрия достигла ‘этого уровня, стала успешно развиваться и тракто­ваться как самостоятельная наука лишь в XV в., и начало этому было положено трудами немецкого ас­тронома и математика, профессора Региомонтана.

Понятия «тангенс» и «котангенс», как и первые таблицы этих новых тригонометрических величин, родились не из рассмотрения тригонометрической окружности, а из учения о солнечных часах — гномоники. Солнечные часы первоначально представ­ляли собой шест, вертикально воткнутый в землю (греческое слово гномон — название этого шеста — означает «распознаватель»). Время отсчитывалось подлине и направлению тени, отбрасываемой ше­стом (рис. 1П.

Один из современников ал-Хорезми (IX в.)’ математик и астроном Ахмед ал-Мазави, названный «Вычислитель» (ал-Хабаш, ал-Хасиб), занимаясь гномоникой, констатировал, что отношение дли­ны тени и к постоянной длине / гномона солнеч­ных часов меняется в зависимости от высоты Солн­ца, измеряемой углом (и), соответствую­щих значениям углов т.е. (в со­временной символике) u = /ctgq>, или (если учесть, что Эта таблица дала возможность определять высоту Солнца по длине тени. Отно­шение длины тени к длине шеста определяет высо­ту солнца над горизонтом (рис. 12, а).

Для случая горизонтального гномона, перпенди­кулярного к вертикальной стене (рис. 12, ff), ал-Хабаш составил таблицу обращенных теней:

Живший в конце X в. в Багдаде Абу-ль-Вафа в сво­ей «Совершенной книге» — своем «Альмагесте»² — вводил тригонометрические линии не через пря­моугольный треугольник, а с помощью окружнос­ти, определяя, например, тангенс как отрезок ка­сательной к окружности. В некоторых местах Абу-ль-Вафа принимал радиус окружности за единицу.

Начиная с XIV—XV вв. центр математических исследований перемещается в Европу. В XIII— XIV вв. при переводе арабских произведений на ла­тинский язык новые тригонометрические функции котангенс и тангенс были названы umbra recta —прямая тень, и umbra versa — обратная тень. Изве­стно, что линию тангенсов уже использовал в сво­их работах английский математик Томас Брадвар-дин (1290-1349).

Термин tangens (от лат. касающийся [отрезок ка­сательной]) был введен только в 1583 г. датским математиком Томасом Финком в связи с ролью этой линии на тригонометрической окружности. Термин «котангенс» образован по аналогии с тер­мином «косинус», и встречается впервые в 1620 г. у английского ученого Эдмунта Гутера.

В Европе первое сочинение, в котором тригономе­трия рассматривалась как самостоятельная математическая дисциплина, написал в 1462—1464 гг. немец­кий математик и астроном Региомонтан. Он называл свой труд «Пять книг о треугольниках всех видов». В это время тригонометрия no-прежнему продолжала формироваться и развиваться под определяющим влиянием астрономии. В XV—XVI вв. усовершенствовались таблицы тригонометрических функций, которые были необходимы астрономам, разрабаты­вались все новые вычислительные приемы³, рассма­тривались все более сложные задачи решения плос­ких и сферических треугольников, оттачивалась тех­ника работы с тригонометрическими линиями.

В XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540—1603) использовал тригонометрию для ре­шения кубического уравнения. В некоторых его результатах устанавливалась связь между тригоно­метрией и алгеброй. Кроме того, он положил на­чало буквенным обозначениям в тригонометрии. Таким образом, на пороге XVII в. в развитии тригонометрии наметилось новое направление — ана­литическое. Если до этого главной целью триго­нометрии считалось решение треугольников, вы­числение элементов геометрических фигур, а уче­ние о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то развитие нового (ана­литического) направления привело к тому, что тригонометрия постепенно стала одной из глав математического анализа. Начало этого преобра­жения тригонометрии связано с именем знамени­того ученого много лет работавшего в Петербурге Леонарда Эйлера (1707—1783). Эйлер усовершен­ствовал как символику, так и содержание триго­нометрии. Перечислим некоторые его нововведе­ния в этой области.

1. До Эйлера совсем редко рассматривались три­гонометрические функции дуг, превышающих л. Лишь в его трудах разрабатывается учение о триго­нометрических функциях любого аргумента и впер­вые ясно изложен вопрос о знаках тригонометри­ческих функций в каждом квадранте.

2. В отличие от своих предшественников Эйлер исключил из своих формул R — целый синус (sinus totus), принимая R = 1 и упрощая, таким образом, записи и вычисления.

3. Понимая аргумент тригонометрической функ­ции не только как угол или дугу, а как любую чис­ловую величину, Эйлер впервые стал систематиче­ски излагать тригонометрию аналитическим путем. До него каждая тригонометрическая теорема дока­зывалась отдельно на основании соответствующе­го каждому случаю геометрического чертежа. Эй­лер же выводил теоремы, исходя из небольшого числа основных соотношений.

4. Для обозначения тригонометрических функ­ций Эйлер использовал символы sinx, cosx, tangx, cotjf и т.д., а также ввел употребляемые поныне обозначения а, Ь, с для сторон и А, В, С для соответствующих противоположных углов треуголь­ника ABC, что способствовало появлению единой символики в тригонометрии.

5. Эйлер стал рассматривать тригонометрию как науку о тригонометрических функциях и придал ей современный вид.

Таким образом, именно имя Эйлера должен по­мнить учащийся, который учится работать с триго­нометрической окружностью, выводит формулы тригонометрии, учится решать тригонометрические уравнения и неравенства, изучает свойства триго­нометрических функций.

В наше время тригонометрия больше не рассма­тривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть — учение о тригонометричес­ких функциях — является частью более общего, по­строенного с единой точки зрения учения о функ­циях, изучаемых в математическом анализе. Другая же часть — решение треугольников — рассматрива­ется как глава геометрии.

Третья часть-это широкое применение в других областях, например, в физике.

6. Практическая работа.

Н айдите коэффициент трения между вашей ручкой и бумагой

7. Итог урока. Задание на дом:

Это хорошо решить!

1. Решите уравнение:

а) (2х-3)│sin x│=sin x;

б)

2. Как влияет разбег на дальность полета мяча брошенного под углом к горизонту?

Домашнее задание.

Как влияет разбег на дальность полета мяча, брошенного под углом к горизонту? Пусть Δl –увеличение дальности полета за счет разбега. Полагая, что за счет разбега мячу сообщается дополнительная горизонтальная скорость, а вертикальная составляющая практически не меняется, получаем где υ₀ – начальная скорость броска, l дальность полета без разбега вся дальность полета будет l+Δl.

Используемая литература:

1. Власова И.Н., Малых А. Е. Очерки по истории эле­ментарной геометрии. (Материалы для спецкурса по геометрии.) — Пермь, 1998.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе: VII-VUI кл. — М: Просвещение, 1982.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX— X кл. — М.: Просвещение, 1983.

4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. — М.: Изд-во МГУ, 1994.

5. Чистяков В.Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. — М.: Учпедгиз, 1960.

6. Мордкович А.Г., П.В. Семенов Алгебра и начала анализа 10 класс (профильный уровень)М: Мнемозина 2005

7. Б.И. Вершинин, С.Н. Постников. Сборник задач по физике .Томск. Пеленг,1997

8. В.А. Касьянов . Физика 10 (профильный уровень)

Список использованной литературы

1. Иванов Б.А., Петров В.И. Литература. 10-11 класс. Ч.2.- М.: ООО «Обучение», 2006

2. Григорьев М.И. Анализ стихотворного текста – М.: «Ученик», 2003.

Использованные материалы и Интернет-ресурсы

1. Видеокассета «Культура России. Серебряный век», 2006 г.
2. Иванов И.С. «Великая Россия», CD, 2007 г.
3. Петров Т.И., песня «Россия»
4. http://sitename.ru

Тригонометрия — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований

К оглавлению…

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
4. Верьте, что всё будет хорошо.

 

Основные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

 

Дополнительные тригонометрические формулы

К оглавлению. ..

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла.  Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

 

Тригонометрические формулы приведения

К оглавлению…

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

• Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
• Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
• При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

 

Тригонометрическая окружность

К оглавлению…

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

 

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

• Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
• Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
• При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
• Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
• Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
• Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
• Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Задания для устной работы по теме «Тригонометрические функции» | Методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме:

Покропаева О.Б.

учитель математики

ГБОУ СОШ №47 г. Санкт-Петербург

Задания для устной работы по теме

«Тригонометрические функции»

Одной из главных особенностей осуществляемого в настоящее время преобразования школьной системы образования является его нацеленность на всестороннее развитие личности каждого ученика. А это требует коренного обновления прежних форм, методов, средств обучения, характерных для уроков, главной целью которых является научить школьников еще одному способу решения какого-либо типа задач или ознакомить их с еще одним, никак «не связанным» со всеми предыдущими, новым понятием.

Главной целью школьного математического образования должно быть развитие не шаблонного, а логического, творческого мышления учащихся. А основным средством достижения этой цели являются задачи. Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке. Математические задачи должны прежде всего будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться.

Вот почему целью настоящей работы было создание системы устных заданий для изучения темы «Тригонометрические функции», которые удовлетворяли бы всем вышеуказанным требованиям.

В учебнике «Алгебра-10» (Алимова Ш.А.)  большее число задач ориентировано на вычислительную деятельность для ответа, тогда как задачи с элементами исследования и задачи на усвоение математических понятий представлены в недостаточном количестве. В связи с этим мною была разработана система устных заданий, дополняющих задачи учебника, по наиболее содержательно богатым разделам темы «Тригонометрические функции», которая представлена в работе. К каждому заданию системы приводятся методические комментарии (в каких учебных ситуациях его целесообразно использовать, в том числе, учитывая профильную дифференциацию).

Задания для устной работы и методические комментарии к ним

Одним из средств, способствующих лучшему усвоению математики, являются устные задания (не путать с устным счетом). С их помощью учащиеся отчетливее понимают сущность математических понятий, теорем, математических преобразований.

Устные задания активизируют мыслительную деятельность учащихся, развивают внимание, наблюдательность, память, речь, быстроту реакции, повышают интерес к изучаемому материалу. Они дают возможность изучить большой по объему материал за более короткий промежуток времени, позволяют учителю судить о готовности класса к изучению нового материала, о степени его усвоения, помогают выявлять ошибки учащихся.

Проводимые в начале урока устные упражнения помогают учащимся быстро включаться в работу, в середине или конце урока служат своеобразной разрядкой после напряжения и усталости, вызванной письменной или практической работой. В ходе выполнения этих заданий учащиеся чаще, чем на других этапах урока получают возможность устно отвечать, что, в свою очередь, способствует формированию их грамотной математической речи. При этом они сразу проверяют правильность своего ответа. В отличие от письменных заданий содержание устных таково, что решение их не требует большого числа рассуждений, преобразований, громоздких вычислений. Но между тем они отражают важные элементы курса.

При организации устных фронтальных упражнений, с целью экономии времени на уроке, целесообразно использовать проектор или другую мультимедийную технику.

Здесь будет представлена система устных заданий, дополняющих задачи учебника, по наиболее содержательно богатым разделам темы «Тригонометрические функции». К ним можно отнести:

1. Поворот точки вокруг начала координат.

2. Определения синуса, косинуса и тангенса.

3. Формулы приведения.

4. Простейшие тригонометрические уравнения  и неравенства.

5. Исследование тригонометрических функций.

6. Преобразования графиков тригонометрических функций.

7. Обратные тригонометрические функции.

8. Производные тригонометрических функций

Эта система включает в себя:

— качественные вопросы;

— задачи.

Первые могут быть использованы не только для фронтальной устной работы, но и для самостоятельной индивидуальной и групповой работы.

Предлагаемые задания могут быть использованы учителем и при подготовке к изучению нового материала, и при первичном ознакомлении, закреплении, и при ликвидации пробелов в знаниях учащихся.

При построении задач системы часто использовались обратные задачи, когда по решению нужно представить объект. Например, по решению уравнения сконструировать само уравнение. Такие задачи будут способствовать лучшему осознанию учащимися рассматриваемых понятий.

Кроме того, во многих задачах используются наглядные образы, что тоже дает возможность воспринимать изучаемый объект как целостное явление и как совокупность его свойств. Это тоже должно способствовать лучшему осознанию изучаемых понятий, свойств, явлений.

Задания, составляющие систему, соответствуют разному уровню сложности. Сложность задания указывается заглавными латинскими буквами А, В или С. Соответственно задание с индексом С имеет самый высокий уровень сложности.

Задания в системе представлены в соответствии с выделенными ранее разделами. И для заданий каждого раздела приводятся методические комментарии (в каких учебных ситуациях их целесообразно использовать, в том числе, учитывая профильную дифференциацию).

1. Поворот точки вокруг начала координат

Качественные вопросы:

1. На какой вопрос следует дать утвердительный ответ:

    а) Может ли величина   АОВ быть равной 2    радиан ?

    б) Может ли величина дуги АВ быть равной 0 радиан ?

    в) Верно ли, что R11π= R-10π ?

    г) Верно ли, что   R9π= R-7π ?

2. Какое из высказываний ложно:

    а) Если  t2 = t1+π, то ординаты точек  Pt2 и Pt1 —  противоположные числа.

    б) Если  t2 = t1+π, то абсциссы точек  Pt2 и Pt1  — противоположные числа.

    в) Если  t1 = π-α, t2 = π+α, где α  , то ординаты точек  Pt1  и Pt2  — противоположные числа.

     г) Если точки    Pt1  и Pt2  совпадают, то числа  t1  и  t2    равны.

Устные задания:

3. Определите координаты точек единичной окружности:

    а) Р90   ; б) Р180   ; в) Р270   ; г) Р-90   ; д) Р-180   ; е) Р-270   .

4. Пусть А(1;0), В(0;1), С(-1;0), Д(0;-1). Какая из данных точек получена поворотом точки (1;0) на угол:

   а) 450o ; б) 540o ; в) -720o ?

Комментарии:

Задания 3 и 4 (сложности А) носят тренировочный характер и могут быть предложены учащимся сразу после изучения данной темы. Кроме того, задание 3 может быть использовано при подготовке к изучению темы «Определения синуса, косинуса и тангенса» в начале урока (если определения вводятся с помощью единичной окружности).

Вопросы 1 и 2 — сложности С — поэтому их нецелесообразно выносить на устную фронтальную работу в общеобразовательном классе. Но их можно использовать в качестве дополнительных вопросов на обобщающем уроке темы «Элементы тригонометрии». Однако в математическом классе такие вопросы можно использовать при фронтальной работе с учащимися сразу после изучения темы.

2. Определения синуса, косинуса и тангенса

Качественные вопросы:

1.  Может ли синус угла быть равным:

       а) -3,7;  б) 3,7;  в) ;  г)  ?

2.  Может ли косинус угла быть равным:

       а) 0,75;    б)  ;   в) -0,35;    г)    ?

3. При каких значениях а и b справедливы следующие равенства:

        cos       sin         tg

        sin         ctg        cos  ?

4. Возможны ли равенства:

        2 — sin=1,7                   tg

                         ?

Устные задания:

5. Глядя на рисунок, определите букву, которой соответствует:

   а) sin 220o                                                                                                                                      

       cos

                                                       

  б)                                                              cos 80o               sin80o

                                                                   cos (-280o)         sin800o 

                                                                   cos 380o             sin (-340o)

Комментарии:

Задания 1-5 (сложности соответственно А, А, С, В, В) целесообразно предлагать учащимся сразу после введения определений основных тригонометрических функций на единичной окружности. Задание 3 может вызвать трудность у учащихся общеобразовательного класса в связи с тем, что надо оперировать параметрами а и b, поэтому его не стоит выносить на устную фронтальную работу, но можно, разобрав один пример на доске, включить указанное задание в письменную работу на уроке.

Методическая ценность задания 5,а состоит в множественном выборе правильного ответа. Задание 5,б, кроме указанной темы, может быть использовано при подготовке к изучению темы «Формулы приведения»:

cos 80o = cos(80o-2π) = cos(-280o)

sin 80o = sin(80o+4π) = sin 800o

В связи с наглядностью и доступностью задания 5 его можно использовать при работе с гуманитарным классом.

3. Формулы приведения

Устные задания:

1. Найдите α, если   0oαo    и  

   а)  sin 182o = — sin α;             б)  cos 295o = cos α.

2. Найдите несколько значений  α, если:

а)   sin α = sin 20o;   б)  cos α = — cos 50o;  в)  tg α =  tg 70o.  

Комментарии:

Предлагаемые задания (сложности В) предполагают использование формул приведения в нестандартной ситуации. В связи с этим, указанные задания могут быть предложены учащимся на этапе закрепления данной темы. Кроме того, их можно использовать при изучении темы «Периодичность». Для гуманитарного класса задания 1,2 можно упростить, используя единичную окружность:

Аналогично 1, а).                                Аналогично 2, б), в).

4. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

Устные задания:

1.1. Назовите хотя бы одно уравнение, решением которого являются числа:

       а)    πn, n ;             в) ;               д)     π+2πn, n 

       б)   2πn, n;            г)   ;                        

1.2. Решения каких тригонометрических уравнений изображены на следующих схемах:

2. Является ли число  π   корнем уравнения:

   а)   ;                  б)   ?

3. Запишите с помощью неравенств множество всех точек x, лежащих на дуге:

        а) BmC  ;   в) BCD;

        б) CnD  ;   г)  CDA.

4. Решения каких тригонометрических неравенств изображены на следующих схемах:

Комментарии:

Задания 1.1, 1.2 (сложности А) носят репродуктивный характер и могут быть использованы для контроля знаний учащихся после изучения темы «Простейшие тригонометрические уравнения». Для гуманитарного класса целесообразнее использовать задание 1.2 ввиду его наглядности. Задание 1.2 является обратным к заданиям типа: «Решить уравнение:  sin x = -1, имеющимся в учебниках. Оно формирует у учащихся умение читать подобные схемы и раскрывает смысл тригонометрических уравнений на единичной окружности.

Задание 2 (сложности В) можно использовать при первичном закреплении указанной темы в математическом классе или на обобщающем уроке в общеобразовательном (или гуманитарном) классе.

Задание 3 (сложности А) можно предложить учащимся в начале урока, непосредственно пред изучением темы «Простейшие тригонометрические неравенства».

Задание 4 (сложности В) является обратным к заданиям типа: «Решить неравенство:  sinx ≤ 0,5», имеющимися в учебниках, оно формирует у учащихся умение читать подобные схемы и раскрывает смысл тригонометрических неравенств на единичной окружности. С таких заданий можно начинать изучение темы «Тригонометрические неравенства» как в гуманитарном, так и в математическом классах.

5. Исследование тригонометрических функций.

5.1. Периодичность.

Качественные вопросы:

1. Может ли данный промежуток (или объединение промежутков) являться областью определения периодической функции:

а) (-;                в) ;                д)  ?

б) ;                 г) ;

2.  Верно ли утверждение:

а) периодическая функция может иметь конечное число периодов;

б) если число Т – период функции f(x), то число 2Т также период этой функции;

в) если Т1 и Т2 – периоды функции f(x), то число Т1 + Т2 также период этой функции ?

Укажите ложное высказывание:

а) возрастающая функция не может быть периодической;

б) убывающая функция не может быть периодической;

в) периодическая функция имеет бесконечное множество корней;

г) у периодической функции не может быть конечного множества корней.

Устные задания:

4. Какая из функций не является периодической:

а)       в)       д) ;

б) ;  г) ;       е)  ?

5. У какой функции наименьший положительный период больше 2π:

а)

б)

в)

г)   ?

6. Определите период функции, график которой изображен на рисунке:

Комментарии:

Вопросы 1-3 (сложности С) могут быть предложены учащимся математического класса сразу после введения понятия периодической функции. Учитель с их помощью может выяснить степень осознания учащимися данного понятия.

Задание 4 (сложности В) носит обобщающий характер и поэтому может быть предложено учащимся обычного класса на обобщающем уроке темы «Периодичность тригонометрических функций».

Задание 5 (сложности С) может быть использовано для устной фронтальной работы только в математическом классе. В общеобразовательном классе это задание следует вынести на письменную работу.

Задание 6 (сложности А) предназначено для учащихся гуманитарного класса. Оно носит тренировочный характер и может быть предложено учащимся сразу после изучения данной темы.

5.2. Чётность

Качественные вопросы:

1. Какое высказывание ложно:

а) сумма двух чётных на R функций есть функция чётная;

б) разность двух четных на R функций есть функция четная;

в) произведение двух четных на R функций есть функция четная;

г) всякая функция либо чётная, либо нечетная.

Устные задания:

2. Укажите график чётной функции:

3. Укажите график нечётной функции:

4. Какая из указанных функций является нечётной:

;                        ;

;                     ?

Комментарии:

Задание 1 (сложности В) может быть использовано учителем на обобщающем уроке темы «Чётность». Оно ещё раз акцентирует внимание учащихся на том, что множество всех функций не разбивается на множество чётных и множество нечётных функций. Кроме того, учащихся математического класса после устной работы, включающей данное задание, можно в качестве упражнения попросить доказать утверждения 1-3.

Задания 2,3 (сложности А) можно использовать и как тренировочное (при первичном закреплении), и как контролирующее в любом из типов классов.

Задание 4 (сложности С) может быть вынесено на устную фронтальную работу только в математическом классе. Причем целесообразно перед ним предложить учащимся задание 1. В обычном или гуманитарном классе это задание следует вынести на письменную работу.

Задание на обобщающий урок по теме

«Исследование тригонометрических функций»

С помощью графиков функций, изображенных на рисунке, ответьте на следующие вопросы:

1. Графики каких тригонометрических функций изображены на рисунке?
2. Каковы значения x, для которых ?
3. Каковы промежутки возрастания, убывания функции?
4. Укажите значения x, при которых функция принимает максимальное, минимальное значения?
5. Обратима ли функция на R? на ? на ?
6. Каков период данной функции?
7. Выясните чётность данной функции.

а)

б)

в)

Комментарии:

Отдельные части (1-6) рассматриваемого (или подобного ему) задания могут быть предложены учащимся в качестве тренировочного устного упражнения при первичном закреплении соответствующих тем. Подобные задания формируют у учащихся навык чтения графика функции и являются хорошей иллюстрацией основных свойств тригонометрических функций.

6. Преобразования графиков тригонометрических функций

Устные задания:

1. С помощью каких преобразований из графика функции  можно получить график функции:

а)  ;          в)   ;          д)   ?

б)  ;          г) ;

Комментарии:

Это задание (сложности В) формирует у учащихся навык преобразования графиков функций вообще, и тригонометрических, в частности. Раскрывает суть понятий: амплитуда, начальная фаза, частота колебаний. В гуманитарном классе подготовительными для такого задания могут служить упражнения типа:

С помощью какого преобразования из графика функции  можно получить график функции  (см. рис.) ?

7. Обратные тригонометрические функции

1. Какие значения может принимать выражение:

а) ;       в) ;      д) ;

б) ;  г) ;   е) ?

Комментарии:

Указанные задания (сложности В) носят тренировочный характер и могут быть предложены учащимся на этапе закрепления темы «Обратные тригонометрические функции». Они акцентируют внимание учащихся на области определения и области значений тригонометрических функций.

8. Производные тригонометрических функций

Устные задания:

1. Графики производных каких тригонометрических функций изображены на рисунке:

Комментарии:

Подобные задания (сложности В) могут быть предложены учащимся на этапе закрепления указанной темы. Но лишь в том случае, если тема «Преобразования графиков функций» была изучена ранее.

Литература

1.  Заочные математические олимпиады./Н.Б.Васильев и др. — М.:Наука, 1981.

3. Алгебра:  Учеб. для 10 кл.   общеобразоват.   учреждений/    

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. — 2 изд.-М.: Просвещение, 2010.

4. Макарычев Ю.Н. и др. О преподавании темы «Тригонометрические выражения и их преобразования» в курсе алгебры 8 класса. — Математика в школе, 1986, №1.

5. Рыбников К.А. Тригонометрия в школе и в системе наук. — Математика в школе, 1984, №6.

6. Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии. — Математика в школе, 1993, №3.

Практических вопросов по тригонометрии для 10-го класса

(1) Докажите, что

Решение

(2) Докажите, что

(3) Если x sin ³ θ + y cos ³ θ = sin θ cos θ и x sin θ = y cos θ, то докажите, что x ² + y ² = 1. Решение

(4) Если a cos θ — b sin θ = c, то докажите, что (a sin θ + b cos θ) = ± √ (a ² + b ² — c ² ) Решение

(5 ) Птица сидит на вершине дерева высотой 80 м.С точки на земле угол подъема птицы составляет 45 °. Птица улетает горизонтально на такое расстояние, чтобы оставаться на постоянной высоте от земли. Через 2 секунды угол подъема птицы от той же точки составляет 30 °. Определите скорость, с которой летит птица. (√3 = 1,732) Решение

(6) Самолет летит параллельно поверхности Земли со скоростью 175 м / сек на высоте 600 м. Угол возвышения самолета от точки на поверхности Земли составляет 37 ° в данной точке.Через какой промежуток времени угол подъема увеличивается до 53 °? (tan 53 ° = 1,3270, tan 37 ° = 0,7536) Решение

(7) Птица летит из точки A в сторону точки B под углом 35 °, точкой в ​​30 км от A. В точке B она меняет свой курс полета. и направляется в сторону C по азимуту 48 ° на расстоянии 32 км.

(i) Как далеко находится B к северу от A?

(ii) Как далеко B к западу от A?

(iii) Как далеко C находится к северу от B?

(iv) Как далеко C к востоку от B?

(sin 55 ° = 0.8192, cos 55 ° = 0,5736, sin 42 ° = 0,6691, cos 42 ° = 0,7431) Решение

(8) Два корабля плывут по морю по обе стороны от маяка. Углы падения двух кораблей, наблюдаемые с вершины маяка, составляют 60 ° и 45 ° соответственно. Если расстояние между кораблями составляет 200 [(√3 + 1) / √3] метров, найдите высоту маяка. Решение

(9) Здание и статуя находятся на противоположной стороне улицы друг от друга в 35 м друг от друга. С точки на крыше здания угол подъема вершины статуи составляет 24 °, а угол наклона основания статуи — 34 °.Найдите высоту статуи. (tan 24 ° = 0,4452, tan 34 ° = 0,6745) Решение

Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

Алгебраные задачи со словами

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по цене за единицу

Word задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word по сложным процентам

Word по типам ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами о прибылях и убытках

Разметка и разметка Задачи

Проблемы с десятичными словами

Проблемы со словами о дробях

Проблемы со словами о смешанных фракциях

Одношаговые задачи с уравнениями со словами

Проблемы с линейными неравенствами

задачи

Проблемы со временем и рабочими словами

Проблемы со словами на множествах и диаграммах Венна

Проблемы со словами на возрастах

Проблемы со словами по теореме Пифагора

Процент числового слова pr проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами на сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибылей и убытков

Сокращения в процентах

Сокращения в таблице времен

Сокращения времени, скорости и расстояния

Сокращения соотношения и пропорции

Домен и диапазон рациональных функций

Домен и диапазон рациональных функций функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных дробей в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

Поиск квадратного корня с помощью long di видение

L.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении 17 в степени 23 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Упражнения в конце главы | Тригонометрия

Для решения всех этих задач мы используем соответствующее тригонометрическое соотношение или теорему Пифагора.

Чтобы найти \ (a \) и \ (b \), мы используем \ (\ cos \ theta = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} \):

\ begin {align *} \ cos 30 ° & = \ frac {a} {16} \\ а & = 16 \ соз 30 ° \\ & \ приблизительно \ текст {13,86} \ текст {см} \ end {выровнять *} \ begin {align *} \ cos 25 ° & = \ frac {b} {\ text {13,86}} \\ b & = \ text {13,86} \ cos 25 ° \\ & \ приблизительно \ текст {12,56} \ текст {см} \ end {выровнять *}

Чтобы найти \ (c \), мы используем \ (\ sin \ theta = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {hypotenuse}} \):

\ begin {align *} \ sin 20 ° & = \ frac {c} {\ text {12,56}} \\ c & = \ text {12,56} \ sin 20 ° \\ & \ приблизительно \ текст {4,30} \ текст {см} \ end {выровнять *}

Чтобы найти \ (d \), мы используем \ (\ cos \ theta = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} \)

\ begin {align *} \ cos 50 ° & = \ frac {5} {d} \\ d \ cos 50 & = 5 \\ d & = \ frac {5} {\ cos 50 °} \\ & \ приблизительно \ текст {7,78} \ текст {см} \ end {выровнять *}

Затем мы используем теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону, поэтому мы можем использовать триггерные функции, чтобы найти \ (e \):

\ begin {align *} (\ text {5}) ^ {2} + (\ text {7,78}) ^ {2} & = \ text {85,5284} \\ \ sqrt {\ text {85,5284}} и \ приблизительно \ text {9,25} \ end {выровнять *}

Мы используем \ (\ tan \ theta = \ frac {\ text {противоположный}} {\ text {смежный}} \), чтобы найти \ (e \):

\ begin {align *} \ tan 60 ° & = \ frac {\ text {9,25}} {e} \\ e \ tan 60 ° & = \ text {9,25} \\ e & = \ frac {\ text {9,25}} {\ tan 60 °} \\ & \ приблизительно \ текст {5,34} \ текст {см} \ end {выровнять *}

Затем мы используем теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону, поэтому мы можем использовать триггерные функции, чтобы найти \ (f \) и \ (g \):

\ begin {align *} (\ text {5,34}) ^ {2} + (\ text {7,78}) ^ {2} & = \ text {89,0044. {2} \\ f & = \ sqrt {\ text {86,39}} \\ & \ приблизительно \ текст {9,29} \ текст {см} \ end {выровнять *}

Окончательные ответы: \ (a = \ text {13,86} \), \ (b = \ text {12,56} \), \ (c = \ text {4,30} \), \ ( d = \ text {7,78} \), \ (e = \ text {5,34} \), \ (f = \ text {9,29} \) и \ (g = \ text {1,66) } \).

Блок 2 — Тригонометрия — Веб-сайт г-на Кенневилля

Класс

День	Дата	Класс
Практическая работа
01		Урок организации переплета Активность по вводной тригонометрии 2.0 Введение в тригонометрию
02	вт 25 февраля	9000 Меньше работы3 # 1) a, c, e, g, # 3 a, b и # 4.	Завершить сегодняшний рабочий лист
03	найти Стороны и углы SOH CAH TOA	Урок	Закончить сегодняшние рабочие листы
Чт 27 фев	Триг.найти Стороны и углы SOH CAH TOA	Период работы	Завершите сегодняшние рабочие листы
28	Период работы по тригонометрии
34	Приложения тригонометрии	Урок / Рабочие листы	Завершите сегодняшние рабочие листы
1	Тригонометрические приложения Использование клинометра	Викторина
5 марта	Обзор
03	03		Тригонометрический тест
	Пятница, 7 марта — Пятница 15 марта		902 марта Перерыв марта
10	Понедельник, 17 марта
9034 9034 9034 9034 9034 11	4 11	4 T

Двумерные задачи | Тригонометрия | Сиявула

Человек стоит в точке \ (A \) и смотрит на птицу, сидящую на крыше здания, точка \ (B \). \ circ \).\ circ} & = \ frac {x} {\ text {4,2}} \\ х & = \ текст {9,0069 …} \\ & \ приблизительный \ текст {9} \ end {выровнять *}

Высота шеста равна \ (\ text {9} \) \ (\ text {m} \).

Мальчик, запускающий воздушного змея, стоит \ (\ text {30} \) \ (\ text {m} \) из точки прямо под воздушным змеем. Если веревка воздушного змея имеет длину \ (\ text {50} \) \ (\ text {m} \), найдите угол подъема воздушного змея.

Сначала нарисуйте эскиз:

Мы можем использовать косинусное отношение, чтобы найти угол возвышения (\ (x \)):

\ begin {align *} \ cos x & = \ frac {30} {50} \\ х & = \ текст {53,1301…} \\ & \ ок \ текст {53,13} ° \ end {выровнять *}

Угол подъема кайта составляет \ (\ text {53,13} \) °.

Каков угол подъема солнца, когда дерево \ (\ text {7,15} \) \ (\ text {m} \) в высоту отбрасывает тень \ (\ text {10,1} \) \ ( \ text {m} \) долго?

Сначала нарисуйте эскиз:

Мы можем использовать тангенциальное отношение, чтобы найти угол возвышения (\ (x \)):

\ begin {align *} \ tan x & = \ frac {\ text {7,15}} {\ text {10,1}} \\ х & = \ текст {35,2954…} \\ & \ приблизительно \ текст {35,30} ° \ end {выровнять *}

Угол подъема солнца составляет \ (\ text {35,30} \) °.

С расстояния \ (\ text {300} \) \ (\ text {m} \) Сьюзен смотрит вверх на вершину маяка. Угол подъема равен \ (\ text {5} \) °. Определите высоту маяка с точностью до метра.

Сначала нарисуйте эскиз:

Нам нужно найти \ (LT \). Мы можем использовать тангенциальное отношение:

\ begin {align *} \ tan \ hat {S} & = \ frac {LT} {ST} \\ LT & = 300 \ tan 5 ° \\ & = \ текст {26,2465…} \\ & \ приблизительно \ текст {26} \ текст {м} \ end {выровнять *}

Высота маяка \ (\ text {26} \) \ (\ text {m} \).

Лестница длиной \ (\ text {25} \) \ (\ text {m} \) упирается в стену, лестница составляет угол \ (\ text {37} \) ° к стене. Найдите расстояние между стеной и основанием лестницы с точностью до метра.

Сначала нарисуйте эскиз:

Обратите внимание, что нам дан угол между лестницей и стеной, а не угол между лестницей и землей.

Теперь мы можем использовать функцию синуса, чтобы найти \ (x \):

\ begin {align *} \ sin 37 ° & = \ frac {x} {25} \\ х & = 25 \ sin 37 ° \\ & = \ text {15,04537 …} \\ & \ приблизительно \ текст {15} \ текст {м} \ end {выровнять *}

Основание лестницы находится на расстоянии \ (\ text {15} \) \ (\ text {m} \) от стены.

Решения

NCERT для математики 10 класса Глава 8 Введение в тригонометрию Пр. 8.1

Получите бесплатно Решения NCERT для математики класса 10 Глава 8 Пр. 8.1 Введение в тригонометрию Математика класса 10 Решения NCERT чрезвычайно полезны при выполнении домашних заданий. Упражнение 8.1 Математика для класса 10 Решения NCERT были подготовлены опытными учителями LearnCBSE.in. Подробные ответы на все вопросы в Глава 8 Математика Класс 10 Введение в тригонометрию Упражнение 8.1 Из учебника NCERT.

Темы и подтемы в классе 10 по математике Глава 8 Введение в тригонометрию:

Название раздела	Название темы
8	Введение в тригонометрию
8.1	Введение
8,2	Тригонометрические отношения
8,3	Тригонометрические отношения некоторых удельных углов
8,4	Тригонометрические отношения дополнительных углов
8,5	Тригонометрические идентичности
8,6	Сводка

Решения NCERT для математики класса 10 Глава 8 Введение в тригонометрию Пр. 8.1

Решения

NCERT для математики класса 10 Глава 8 Введение в тригонометрию Ex 8.1 являются частью решений NCERT для математики класса 10. Здесь мы привели решения NCERT для математики класса 10, глава 8, Введение в тригонометрию, пример 8.1.

Доска	CBSE
Учебник	NCERT
Класс	Класс 10
Субъект	Математика
Глава	Глава 8
Название раздела	Введение в тригонометрию
Упражнение	Пр. 8.1
Количество решенных вопросов	11
Категория	Решения NCERT

Ex 8.1 Класс 10 по математике Вопрос 1.
In ∆ABC под прямым углом к ​​B, AB = 24 см, BC = 7 см. Определить:
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C
Решение:

Ex 8.1, класс 10, математика, вопрос 2.
На данном рисунке найдите tan P — cot R.
Решение:

Вы также можете бесплатно загрузить PDF-файл главы 8 Ex 8.1 Введение в тригонометрию NCERT Solutions или сохраните изображения раствора и распечатайте его, чтобы держать его под рукой при подготовке к экзамену.

Загрузите NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 Введение в тригонометрию PDF

Пр. 8.1, математика, класс 10, вопрос 3.
Если sin A = \ (\ frac {3} {4} \), вычислить cos A и tan A.
Решение:

Пр. 8.1, класс 10, математика, вопрос 4.
Дано 15 кроваток A = 8, найдите sin A и sec A.
Решение:

Пр. 8.1 Класс 10. Математика, вопрос 5.
Дано sec θ = \ (\ frac {13} {12} \), вычислить все остальные тригонометрические отношения.
Решение:

Пр. 8.1, класс 10, математика, вопрос 6.
Если ∠A и ∠B — острые углы такие, что cos A = cos B, то покажите, что ∠A = ∠B.
Решение:

Пр. 8.1. Математика, класс 10. Вопрос 7.
Если cot θ = \ (\ frac {7} {8} \), вычислите:
(i) \ (\ frac {\ left (1 + sin \ theta \ right) \ left (1-sin \ theta \ right)} {\ left (1 + cos \ theta \ right) \ left (1-cos \ theta \ right)} \)
(ii) cot²θ
Решение:

Пр. 8.{2} A} \) = cos² A — sin² A или нет.
Решение:

Пр. 8.1. Класс 10. Математика. Вопрос 9.
В треугольнике ABC, расположенном под прямым углом к ​​точке B, если tan A = \ (\ frac {1} {\ surd 3} \), найдите значение:
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C — sin A sin C
Решение:

Пр. 8.1, класс 10, математика, вопрос 10.
In ΔPQR, прямоугольный в точке Q, PR + QR = 25 см и PQ = 5 см. Определите значения sin P, cos P и tan P.
Решение:

Пр. 8.1 Класс 10 по математике Вопрос 11.
Укажите, верны ли следующие утверждения. Обосновать ответ.
(i) Значение tan A всегда меньше 1.
(ii) sec A = \ (\ frac {12} {5} \) для некоторого значения угла A.
(iii) cos A — сокращение используется для косеканса угла A.
(iv) детская кроватка A является произведением кроватки и A.
(v) sin θ = \ (\ frac {4} {3} \) для некоторого угла.
Решение:

Математика 10 класса Введение в тригонометрию

Тригонометрия

Тригонометрия — это исследование соотношения сторон и углов прямоугольного треугольника.

Тригонометрические отношения

Тригонометрические отношения острого угла в прямоугольном треугольнике выражают отношение между углом и длиной его сторон.
Пусть ∆ABC — треугольник, расположенный под прямым углом к ​​B. Тогда тригонометрические отношения угла A в прямом ∆ABC определяются следующим образом:

Примечание:
Значения тригонометрических соотношений угла не меняются в зависимости от длин сторон треугольника, если угол остается неизменным.

Тригонометрические отношения для дополнительных углов

sin (90 ° — A) = cos A
cos (90 ° — A) = sin A
tan (90 ° — A) = детская кроватка A
детская кроватка (90 ° — A) = tan A
sec (90 ° — A) = cosec A
cosec (90 ° — A) = sec A
Примечание:
Здесь (90 ° — A) — дополнительный угол к A.

Тригонометрические идентичности

Уравнение, включающее тригонометрические отношения угла, называется тригонометрическим тождеством, если оно верно для всех значений угла (углов).
(i) sin ² θ + cos ² θ = 1 [для 0 ° ≤ θ ≤ 90 °]
(ii) sec ² θ — tan ² θ = 1 [для 0 ° ≤ θ ≤ 90 °]
(iii) cosec ² θ — детская кроватка ² θ = 1 [для 0 ° <θ ≤ 90 °]

NCERT Solutions for Class 10 Maths Глава 8 Введение в тригонометрию (хинди средний) Пр. 8.1

Мы надеемся, что NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 Introduction to Trigonometry Ex 8.1, поможет вам. Если у вас есть какие-либо вопросы относительно решений NCERT для математики класса 10 Глава 8 Введение в тригонометрическое упражнение 8.1, оставьте комментарий ниже, и мы свяжемся с вами в ближайшее время.

SSC математика Тригонометрические решения класс 10

Десятый класс математики Глава 11 тригонометрические упражнения 11.1, 11.2, 11.3, 11.4 приведены решения.

Эти решения очень просты для понимания. Сначала хорошо изучите главу 11. Практикуйте примеры проблем и решений.

Обратите внимание на решения и попробуйте их по-своему.

Решения по тригонометрии по математике 10 класс

Вы также можете посмотреть решения для

1. Вещественные числа

2. Наборы

3. Многочлены

4. Пара линейных уравнений с двумя переменными

5.Квадратные уравнения

6. Прогресс

7. Координатная геометрия

8. Подобные треугольники

9. Касательные и секущие к окружности

10. Управление

11. Тригонометрия

12. Применение тригонометрии

13. Вероятность

14. Статистика

Упражнение 11.1

Математические решения для тригонометрического класса 10

Упражнение 11.2

Решения по тригонометрии 10 класс математики SSC

Упражнение 11.3

Математические решения десятого класса по тригонометрии

Упражнение 11.4

Дополнительное упражнение

Решения для тригонометрии по математике класса X

Еще проблемы

Ф

Ф

Ф

Примечание: Обратите внимание на решения и попробуйте их своими методами.

Вы также можете увидеть

Математические решения для матриц 1a

Математические решения для квадратных выражений

Решения Ncert для линейных уравнений класса 8 с двумя переменными

Решения Ncert для рациональных чисел 7 класса

Решения Ncert для простых уравнений класса 7

Решения Ncert для класса 6 целые числа

Решения Ncert для целых чисел 6 класса

Вы можете увидеть решения для Inter Maths IIB

1.Круг

2. Система кругов

3. Парабола

4. Эллипс

5. Гипербола

Вы также можете увидеть решения для Inter Maths IIA

1. Комплексный номер

2. Теорема Де Муавра

3. Квадратичные уравнения 1

Квадратные уравнения 2

Квадратные уравнения 3

4. Теория уравнений

5. Перестановки и комбинации

6. Биномиальная теорема

7.Неполные дроби

8. Меры рассеивания

9. Вероятность

10. Случайные величины и распределение вероятностей

Для ознакомления можете посмотреть

Комплексные числа

Теорема Де Муавра

Решения

NCERT для математики класса 10 Глава 8

Страница № 181:

Вопрос 1:

In ΔABC под прямым углом к ​​B, AB = 24 см, BC = 7 см.Определить

(i) sin A, cos A

(ii) sin C, cos C

Ответ:

Применяя теорему Пифагора для ΔABC, получаем

AC ² = AB ² + BC ²

= (24 см) ² + (7 см) ²

= (576 + 49) см ²

= 625 см ²

∴ AC = см = 25 см

(я) грех А =

cos A =

(ii)

грех C =

cos C =

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 181, В.№: 1)

Решение NCERT для математики 10 класса — введение в тригонометрию 181, вопрос 1

Страница № 181:

Вопрос 2:

На данном рисунке найдите tan P — cot R

Ответ:

Применяя теорему Пифагора для ΔPQR, получаем

PR ² = PQ ² + QR ²

(13 см) ² = (12 см) ² + QR ²

169 см ² = 144 см ² + QR ²

25 см ² = QR ²

QR = 5 см

tan P — детская кроватка R =

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 181, В.№: 2)

Решение NCERT для математики 10 класса — введение в тригонометрию 181, вопрос 2

Страница № 181:

Вопрос 3:

Если sin A =, вычислить cos A и tan A.

Ответ:

Пусть ΔABC — прямоугольный треугольник, находящийся под прямым углом в точке B.

Учитывая это,

Пусть BC будет 3 k .Следовательно, AC будет 4 k , где k — положительное целое число.

Применяя теорему Пифагора в ΔABC, получаем

AC ² = AB ² + BC ²

(4 к ) ² = AB ² + (3 к ) ²

16 к ² — 9 к ² = AB ²

7 к ² = AB ²

AB =

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 181, В.№: 3)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 181, вопрос 3

Страница № 181:

Вопрос 4:

Дано 15 кроваток A = 8. Найдите грех A и sec A

Ответ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, находящийся под прямым углом в точке B.

Принято, что,

детская кроватка A =

Пусть AB будет 8 k .Следовательно, BC будет 15 k , где k — положительное целое число.

Применяя теорему Пифагора в ΔABC, получаем

AC ² = AB ² + BC ²

= (8 к ) ² + (15 к ) ²

= 64 к ² + 225 к ²

= 289 к ²

AC = 17 k

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 181, В.№: 4)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 181, вопрос 4

Страница № 181:

Вопрос 5:

Если sec θ =, вычислить все остальные тригонометрические отношения.

Ответ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABC, расположенный под прямым углом в точке B.

Если AC равно 13 k , AB будет 12 k , где k — положительное целое число.

Применяя теорему Пифагора в ΔABC, получаем

(AC) ² = (AB) ² + (BC) ²

(13 к ) ² = (12 к ) ² + (BC) ²

169 k ² = 144 k ² + BC ²

25 к ² = BC ²

до н.э. = 5 тыс.

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 181, В.№: 5)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 181, вопрос 5

Страница № 181:

Вопрос 6:

Если ∠A и ∠B — острые углы такие, что cos A = cos B, то покажите, что

∠A = ∠B.

Ответ:

Рассмотрим треугольник ABC, в котором CD ⊥ AB.

Принято, что

cos A = cos B

… (1)

Нам нужно доказать, что ∠A = ∠B. Чтобы доказать это, расширим AC до P так, что BC = CP.

Из уравнения (1) получаем

Используя обратное выражение B.P.T,

CD || BP

⇒∠ACD = ∠CPB (соответствующие углы)… (3)

А, ∠BCD = ∠CBP (Альтернативные внутренние углы)… (4)

По построению BC = CP.

∴ ∠CBP = ∠CPB (Угол, противоположный равным сторонам треугольника)… (5)

Из уравнений (3), (4) и (5) получаем

∠ACD = ∠BCD… (6)

В ΔCAD и ΔCBD,

∠ACD = ∠BCD [Используя уравнение (6)]

∠CDA = ∠CDB [Оба 90 °]

Следовательно, остальные углы должны быть равны.

∴∠CAD = ∠CBD

⇒ A = ∠B

Или

Рассмотрим треугольник ABC, в котором CD ⊥ AB.

Принято, что,

cos A = cos B

Пусть

⇒ AD = k BD… (1)

А, AC = k BC… (2)

Используя теорему Пифагора для треугольников CAD и CBD, получаем

CD ² = AC ² — AD ² … (3)

А, CD ² = BC ² — BD ² … (4)

Из уравнений (3) и (4) получаем

AC ² — AD ² = BC ² — BD ²

⇒ ( k BC) ² — ( k BD) ² = BC ² — BD ²

⇒ k ² (BC ² — BD ² ) = BC ² — BD ²

⇒ k ² = 1

⇒ тыс. = 1

Подставляя это значение в уравнение (2), получаем

AC =

до н.э.

⇒ A = ∠B (Углы, противоположные равным сторонам треугольника)

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 181, В.№: 6)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 181, вопрос 6

Страница № 181:

Вопрос 7:

Если детская кроватка θ =, оценить

(i) (ii) детская кроватка ² θ

Ответ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, расположенный под прямым углом в точке B.

Если BC — 7 k , то AB будет 8 k , где k — положительное целое число.

Применяя теорему Пифагора в ΔABC, получаем

AC ² = AB ² + BC ²

= (8 к ) ² + (7 к ) ²

= 64 к ² + 49 к ²

= 113 к ²

AC =

(я)

(ii) детская кроватка ² θ = (детская θ) ² = =

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 181, В.№: 7)

Решение NCERT для математики 10 класса — введение в тригонометрию 181, вопрос 7

Страница № 181:

Вопрос 8:

Если 3 детские кроватки A = 4, проверьте, соответствует ли

Ответ:

Принято, что 3cot A = 4

Или детская кроватка A =

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, расположенный под прямым углом в точке B.

Если AB равно 4 k , то BC будет 3 k , где k — положительное целое число.

В ΔABC,

(AC) ² = (AB) ² + (BC) ²

= (4 к ) ² + (3 к ) ²

= 16 к ² + 9 к ²

= 25 к ²

AC = 5 к

cos ² A — sin ² A =

∴

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 181, В.№: 8)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 181, вопрос 8

Страница № 181:

Вопрос 9:

В ΔABC, под прямым углом к ​​B. Если найти значение

(i) sin A cos C + cos A sin C

(ii) cos A cos C — sin A sin C

Ответ:

Если BC — k , то будет AB, где k — положительное целое число.

В ΔABC,

AC ² = AB ² + BC ²

=

= 3 k ² + k ² = 4 k ²

∴ AC = 2 тыс.

(i) sin A cos C + cos A sin C

(ii) cos A cos C — sin A sin C

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 181, В.№: 9)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 181, вопрос 9

Страница № 181:

Вопрос 10:

В ΔPQR, под прямым углом к ​​Q, PR + QR = 25 см и PQ = 5 см. Определите значения sin P, cos P и tan P.

Ответ:

При этом PR + QR = 25

PQ = 5

Пусть PR будет x .

Следовательно, QR = 25 — x

Применяя теорему Пифагора в ΔPQR, получаем

PR ² = PQ ² + QR ²

x ² = (5) ² + (25 — x ) ²

x ² = 25 + 625 + x ² -50 x

50 x = 650

x = 13

Следовательно ПР = 13 см

QR = (25-13) см = 12 см

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 181, В.№: 10)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 181, вопрос 10

Страница № 181:

Вопрос 11:

Укажите, являются ли следующие утверждения верными или неверными. Обосновать ответ.

(i) Значение tan A всегда меньше 1.

(ii) sec A = для некоторого значения угла A.

(iii) cos A — сокращение, используемое для косеканса угла A.

(iv) детская кроватка A является продуктом детской кроватки и A

(v) sin θ =, для некоторого угла θ

Ответ:

(i) Рассмотрим ΔABC, расположенный под прямым углом в B.

Но> 1

∴tan A> 1

Итак, tan A <1 не всегда верно.

Следовательно, данное утверждение неверно.

(ii)

Пусть AC будет 12 k , AB будет 5 k , где k — положительное целое число.

Применяя теорему Пифагора в ΔABC, получаем

AC ² = AB ² + BC ²

(12 к ) ² = (5 к ) ² + BC ²

144 k ² = 25 k ² + BC ²

BC ² = 119 k ²

г. до н.э. = 10,9 тыс.

Можно заметить, что для данных двух сторон AC = 12 k и AB = 5 k ,

г. до н.э. должно быть таким, чтобы,

г.

AC — AB

12 к — 5 к к + 5 к

7 к к

Однако BC = 10.9 к . Ясно, что такой треугольник возможен, а значит, и такое значение sec A возможно.

Следовательно, данное утверждение верно.

(iii) Сокращение, используемое для косеканса угла A, — это сокращение, используемое для косинуса угла A.

Следовательно, данное утверждение неверно.

(iv) детская кроватка A не является произведением кроватки и A. Это котангенс ∠A.

Следовательно, данное утверждение неверно.

(v) грех θ =

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше двух оставшихся сторон.Следовательно, такое значение sin θ невозможно.

Следовательно, данное утверждение неверно

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 181, Q.No .: 11)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 181, вопрос 11

Страница № 187:

Вопрос 1:

Оцените следующие

(i) sin60 ° cos30 ° + sin30 ° cos 60 °

(ii) 2tan ² 45 ° + cos ² 30 ° — sin ² 60 °

(iii)

(iv)

(в)

Ответ:

(i) sin60 ° cos30 ° + sin30 ° cos 60 °

(ii) 2tan ² 45 ° + cos ² 30 ° — sin ² 60 °

(iii)

(iv)

(в)

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 187, В.№: 1)

Решение NCERT для математики 10 класса — введение в тригонометрию 187, вопрос 1

Страница № 187:

Вопрос 2:

Выберите правильный вариант и обоснуйте свой выбор.

(я)

(А). sin60 °

(В). cos60 °

(С). загар 60 °

(D). sin30 °

(ii)

(А). загар 90 °

(В).1

(С). sin45 °

(D). 0

(iii) sin2A = 2sinA истинно, когда A =

(А). 0 °

(В). 30 °

(С). 45 °

(D). 60 °

(iv)

(А). cos60 °

(В). sin60 °

(С). загар 60 °

(D). sin30 °

Ответ:

(я)

Из представленных альтернатив только

Следовательно, (A) верно.

(ii)

Следовательно, (D) верно.

(iii) Из приведенных альтернатив только A = 0 ° является правильным.

Поскольку sin 2A = sin 0 ° = 0

2 sinA = 2sin 0 ° = 2 (0) = 0

Следовательно, (A) верно.

(iv)

Из представленных альтернатив только загар 60 °

Следовательно, (C) верно.

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 187, В.№: 2)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 187, вопрос 2

Страница № 187:

Вопрос 3:

Если и;

0 ° B найдите A и B.

Ответ:

⇒

.

⇒ A + B = 60… (1)

⇒ tan (A — B) = tan30

⇒ A — B = 30… (2)

При сложении обоих уравнений получаем

2А = 90

⇒ A = 45

Из уравнения (1) получаем

45 + В = 60

В = 15

Следовательно, A = 45 ° и ∠B = 15 °

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 187, В.№: 3)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 187, вопрос 3

Страница № 187:

Вопрос 4:

Укажите, являются ли следующие утверждения верными или неверными. Обосновать ответ.

(я) грех (А + В) = грех А + грех В

(ii) Значение sinθ увеличивается с увеличением θ

(iii) Значение cos θ увеличивается с увеличением θ

(iv) sinθ = cos θ для всех значений θ

(v) детская кроватка A не определена для A = 0 °

Ответ:

(я) грех (А + В) = грех А + грех В

Пусть A = 30 ° и B = 60 °

грех (А + В) = грех (30 ° + 60 °)

= грех 90 °

= 1

грех A + грех B = грех 30 ° + грех 60 °

Ясно, что sin (A + B) ≠ sin A + sin B

Следовательно, данное утверждение неверно.

(ii) Значение sin θ увеличивается по мере увеличения θ в интервале 0 ° <θ <90 °, поскольку

грех 0 ° = 0

грех 90 ° = 1

Следовательно, данное утверждение верно.

(iii) cos 0 ° = 1

cos90 ° = 0

Можно заметить, что значение cos θ не увеличивается в интервале 0 ° <θ <90 °.

Следовательно, данное утверждение неверно.

(iv) sin θ = cos θ для всех значений θ.

Это верно, когда θ = 45 °

Как

Это неверно для всех других значений θ.

Как и,

Следовательно, данное утверждение неверно.

(v) детская кроватка A не определена для A = 0 °

As,

= не определено

Следовательно, данное утверждение верно.

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 187, Q.No .: 4)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 187, вопрос 4

Страница № 189:

Вопрос 1:

Оценить

(I)

(II)

(III) cos 48 ° — sin 42 °

(IV) сек 31 ° — сек 59 °

Ответ:

(I)

(II)

(III) cos 48 ° — sin 42 ° = cos (90 ° — 42 °) — sin 42 °

= грех 42 ° — грех 42 °

= 0

(IV) сек 31 ° — сек 59 ° = сек (90 ° — 59 °) — сек 59 °

= сек 59 ° — сек 59 °

= 0

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 189, В.№: 1)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 189, вопрос 1

Страница № 189:

Вопрос 2:

Покажите, что

(I) загар 48 ° загар 23 ° загар 42 ° загар 67 ° = 1

(II) cos 38 ° cos 52 ° — sin 38 ° sin 52 ° = 0

Ответ:

(I) загар 48 ° загар 23 ° загар 42 ° загар 67 °

= загар (90 ° — 42 °) загар (90 ° — 67 °) загар 42 ° загар 67 °

= детская кроватка 42 ° детская кроватка 67 ° загар 42 ° загар 67 °

= (кроватка 42 °, загар 42 °) (детская кроватка 67 °, загар 67 °)

= (1) (1)

= 1

(II) cos 38 ° cos 52 ° — sin 38 ° sin 52 °

= cos (90 ° — 52 °) cos (90 ° -38 °) — sin 38 ° sin 52 °

= грех 52 ° грех 38 ° — грех 38 ° грех 52 °

= 0

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 189, В.№: 2)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 189, вопрос 2

Страница № 189:

Вопрос 3:

Если tan 2A = cot (A — 18 °), где 2A — острый угол, найдите значение A.

Ответ:

Учитывая это,

tan 2A = детская кроватка (A — 18 °)

детская кроватка (90 ° — 2A) = детская кроватка (A −18 °)

90 ° — 2A = A− 18 °

108 ° = 3А

А = 36 °

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 189, В.№: 3)

Решение NCERT для математики 10 класса — введение в тригонометрию 189, вопрос 3

Страница № 189:

Вопрос 4:

Если загар A = детская кроватка B, докажите, что A + B = 90 °

Ответ:

Учитывая это,

коричневый A = детская кроватка B

загар A = загар (90 ° — B)

А = 90 ° — В

А + В = 90 °

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 189, В.№: 4)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 189, вопрос 4

Страница № 189:

Вопрос 5:

Если sec 4A = cosec (A — 20 °), где 4A — острый угол, найдите значение A.

Ответ:

Учитывая это,

сек 4A = cosec (A — 20 °)

сек (90 ° — 4A) = сек (A — 20 °)

90 ° — 4A = A− 20 °

110 ° = 5А

А = 22 °

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 189, В.№: 5)

Решение NCERT для математики 10 класса — введение в тригонометрию 189, вопрос 5

Страница № 190:

Вопрос 6:

Если A, Band C — внутренние углы треугольника ABC, то покажите, что

Ответ:

Мы знаем, что для треугольника ABC

∠ A + ∠B + ∠C = 180 °

∠B + ∠C = 180 ° — ∠A

Видео Решение для введения в тригонометрию (Страница: 190, В.№: 6)

Решение NCERT для математики 10 класса — введение в тригонометрию 190, вопрос 6

Страница № 190:

Вопрос 7:

Выразите sin 67 ° + cos 75 ° через тригонометрические отношения углов между 0 ° и 45 °.

Ответ:

sin 67 ° + cos 75 °

= sin (90 ° — 23 °) + cos (90 ° — 15 °)

= cos 23 ° + sin 15 °

Видео Решение для введения в тригонометрию (Страница: 190, В.№: 7)

Решение NCERT для математики класса 10 — введение в тригонометрию 190, вопрос 7

Страница № 193:

Вопрос 1:

Выразите тригонометрические отношения sin A, sec A и tan A через кроватку A.

Ответ:

Мы знаем,

всегда будет положительным, поскольку мы добавляем две положительные величины.

Следовательно,

Мы знаем,

Однако

Следовательно,

Также,

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 193, Q.No .: 1)

Решение NCERT для математики 10 класса — введение в тригонометрию 193, вопрос 1

Страница № 193:

Вопрос 2:

Запишите все остальные тригонометрические отношения ∠A в секундах A.

Ответ:

Мы знаем,

Также sin ² A + cos ² A = 1

sin ² A = 1 — cos ² A

загар ² A + 1 = сек ² A

загар ² A = сек ² A — 1

Видео Решение для введения в тригонометрию (Страница: 193, В.№: 2)

Решение NCERT для математики 10 класса — введение в тригонометрию 193, вопрос 2

Страница № 193:

Вопрос 3:

Оценить

(я)

(ii) sin25 ° cos65 ° + cos25 ° sin65 °

Ответ:

(я)

(как sin ² A + cos ² A = 1)

= 1

(ii) sin25 ° cos65 ° + cos25 ° sin65 °

= sin ² 25 ° + cos ² 25 °

= 1 (как sin ² A + cos ² A = 1)

Видео Решение для введения в тригонометрию (Страница: 193, В.№: 3)

Решение NCERT для математики 10 класса — введение в тригонометрию 193, вопрос 3

Страница № 193:

Вопрос 4:

Выберите правильный вариант. Обоснуйте свой выбор.

(i) 9 с ² A — 9 tan ² A =

(А) 1

(В) 9

(К) 8

(Д) 0

(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ — cosec θ)

(А) 0

(В) 1

(К) 2

(D) -1

(iii) (secA + tanA) (1 — sinA) =

(А) секА

(В) sinA

(C) cosecA

(D) cosA

(iv)

(А) сек ² А

(В) -1

(C) детская кроватка ² A

(D) желто-коричневый ² A

Ответ:

(i) 9 сек ² A — 9 tan ² A

= 9 (сек ² A — загар ² A )

= 9 (1) [As sec ² A — tan ² A = 1]

= 9

Следовательно, альтернатива (B) верна.

(ii)

(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ — cosec θ)

Следовательно, вариант (C) верен.

(iii) (secA + tanA) (1 — sinA)

= cosA

Следовательно, альтернатива (D) верна.

(iv)

Следовательно, альтернатива (D) верна.

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 193, Q.No .: 4)

Решение NCERT для математики 10 класса — введение в тригонометрию 193, вопрос 4

Страница № 193:

Вопрос 5:

Докажите следующие тождества, где задействованные углы являются острыми углами, для которых определены выражения.

Ответ:

(я)

(ii)

(iii)

= сек θ косек θ +

= R.H.S.

(iv)

= R.H.S

(в)

Использование идентификатора cosec ² = 1 + детская кроватка ² ,

Л.H.S =

= cosec A + детская кроватка A

= R.H.S

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

Следовательно, L.H.S = R.H.S

(х)

Видео решение для введения в тригонометрию (Страница: 193, Q.No .: 5)

Решение NCERT для математики 10 класса — введение в тригонометрию 193, вопрос 5

Просмотреть решения NCERT для всех глав класса 10

.