Все теоремы по геометрии: Теоремы по математике и геометрии

Содержание

формула и примеры решения задач

Содержание:

Формулировка теоремы Фалеса

Теорема

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки (рис. 1).

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.

Теорема

Обобщённая теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки (рис. 1):

$$\frac{A_{1} A_{2}}{B_{1} B_{2}}=\frac{A_{2} A_{3}}{B_{2} B_{3}}=\frac{A_{1} A_{3}}{B_{1} B_{3}}$$

Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Теорема

Обратная теорема Фалеса

Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны (рис. 2).

Замечание. В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Разделить данный отрезок на четыре равные части.

Решение. Пусть $AB$ — заданный отрезок (рис. 3), который необходимо разделить на четыре равные части.

Через точку $A$ проведем произвольную полупрямую $a$ и отложим на ней последовательно четыре равных между собой отрезка $AC, CD, DE, EK$ .

Соединим точки $B$ и $K$ отрезком и проведем через оставшиеся точки $C$, $D$ и $E$ прямые, параллельные прямой $BK$ так, чтобы они пересекли отрезок $AB$ .

Согласно теореме Фалеса отрезок $AB$ разделится на четыре равные части.

Слишком сложно?

Теорема Фалеса не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$. Отрезок $CK$ пересекает медиану $AM$ треугольника в точке $P$, причем $AK = AP$. Найти отношение $BK : PM$ .

Решение. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $CK$, которая пересечет $AB$ в точке $D$ (рис. 4).

По теореме Фалеса $BD = KD$ .

По теореме о пропорциональных отрезках имеем, что

$$P M=K D=\frac{B K}{2} \Rightarrow B K: P M=2: 1$$

Ответ. $B K: P M=2: 1$

Историческая справка

Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и Менелая) применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между отрезками. Очень часто при этом приходится проводить дополнительный отрезок.

Аргентинская музыкальная группа представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни приводится доказательство для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.

Определения, теоремы и формулы геометрия 8 класс

Геометрия 8 класс

Определения

Многоугольник-геометрическая фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные-не имеют общих точек.

Выпуклый многоугольник, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Параллелограмм-четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Трапеция-четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие-не параллельны.

Основания трапеции-её параллельные стороны, две другие не параллельные-боковые стороны трапеции.

Равнобедренна трапеция, если её боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция, если один из её углов прямой.

Прямоугольник-параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб-параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадрат-прямоугольник, у которого все стороны равны.

Точки А и А1 симметричны относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Фигура симметрична относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно данной прямой также принадлежит этой фигуре

(это осевая симметрия).

Ось симметрии-данная прямая, относительно которой происходит симметрия.

Точки А и А1 симметричны относительно точки О, если О середина отрезка АА1.

Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре(это центральная симметрия).

Отношение отрезков АВ и СD-отношение их длин, т.е. .

Отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А1В1 и С1D1, если .

Стороны треугольника АВ и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1 сходственны, если .

Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого

,

где k- коэффициент подобия.

Средняя линия треугольника-отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Синус острого угла прямоугольного треугольника- отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника- отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольникаотношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольникаотношение синуса к косинусу этого угла.

Касательная к окружности-прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку-точку касания прямой и окружности.

Полуокружность-дуга, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.

Центральный угол-угол с вершиной в центре окружности.

Серединный перпендикуляр к отрезку-прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Окружность, вписанная в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. А многоугольник, описанный около этой окружности.

Окружность, описанная около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности. А многоугольник, вписанный в окружность.

Вектор(направленный отрезок)-отрезок, для которого указано, какой его конец является началом, а какой-концом.

Нулевой вектор, если начало совпадает с его концом.

Длина или модуль вектора — длина отрезка АВ.

Векторы коллинеарные , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы сонаправленные , если они направлены в одну сторону.

Векторы противоположно направленные , если они направлены в разные стороны.

Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны.

Сумма двух векторов (правило треугольника)

-вектор с началом в начале первого вектора и концом в конце второго вектора.

Сумма n— векторов (правило многоугольника), если А12,…,Аn-произвольные точки плоскости, то , где n_количество векторов.

Разность двух векторов и — вектор , равный сумме векторов и .

Произведение вектора на число k-вектор , длина которого , причем и при и при .

Средняя линия трапеции-отрезок, соединяющий середины её боковых сторон или середины её оснований (вторая средняя линия трапеции).

Правила и теоремы

5.1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна , где n-количество сторон многоугольника.

5.2. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 3600.

5.3. Свойства параллелограмма:

10. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

20. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

5.4. Признаки параллелограмма:

10. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм.

20. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник параллелограмм.

30. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм.

5.5. Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

5.6. Свойство прямоугольника:

1

0. Диагонали прямоугольника равны.

5.7. Признак прямоугольника:

10. Если в параллелограмме диагонали равны, значит этот параллелограмм-прямоугольник.

5.8. Свойство ромба:

10. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

5.9. Свойства квадрата:

10. Все углы квадрата прямые.

20. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

6.1. Свойства суммы многоугольников:

10. Равные многоугольники имеют равные площади.

20. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3

0. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

6.2. Теорема (о площади прямоугольника). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

6.3. Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

6.4. Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Следствия из теоремы:

  1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

  2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

6.5. Теорема (о площади двух треугольников). Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

6.6. Теорема (о площади трапеции). Площадь трапеции равна произведению полу суммы её оснований на высоту.

6.7. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

6.8. Обратная теорема Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

6.9. Свойства биссектрис параллелограмма:

10. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

20. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

30. Биссектрисы противоположных углов, равны и параллельны.

6.10. Свойства биссектрис трапеции:

10. Биссектриса отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона. .

20. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

30. Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

40. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

6.11. Свойство второй средней линии трапеции: Пусть средняя КN-вторая средняя линия трапеции с основаниями ВС и АD, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции М. Тогда .

7.1. Теорема (об отношение площадей подобных треугольников).Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

7.2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

7.3. Признаки подобия треугольников:

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то эти треугольники подобны.

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то эти треугольники подобны.

7.4. Теорема (о средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

7.5. Свойство медианы треугольника:

10. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношение 2:1, считая от вершины.

7.6. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

7.7. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

8.1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d<r), то прямая и окружность имеют две общие точки.

8.2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d=r), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

8.3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d>r), то прямая и окружность не имеют общих точек.

8.4. Теорема (о касательной и радиусе). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

8.5. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки. Равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

8.6. Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

8.7. Теорема (о касательной и секущей). Если из точки М, лежащей вне окружности, проведены касательная МС и секущая МВ, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

, где А и В-точки пересечения с окружностью секущей соответственно, считая от М.

8.8. Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается равной .

8.9. Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 3600.

8.10. Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствия из теоремы:

  1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

  2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, -прямой.

8.11. Теорема (о произведении отрезков пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

8.12. Четыре замечательные точки треугольника: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжения).

Теорема (о биссектрисе угла). Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Следствие из теоремы: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема (о серединном перпендикуляре к отрезку). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Следствие из теоремы: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема (о пересечении высот треугольника). Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

8.13. Теорема (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

8.14. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

8.15. Теорема (об окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

8.16. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

8.17. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.

8.18. Свойства равностороннего треугольника:

10. Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают.

20. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

30. Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности.

40. Все высоты равностороннего треугольника равны.

9.1. От любой точки можно отложить только один вектор, равный данному.

9.2. Теорема (правило параллелограмма). Для любых векторов и справедливы равенства:

1. (переместительный закон)

2. (сочетательный закон).

9.3. Теорема (о разности векторов). Для любых векторов и справедливо равенство .

9.4. Произведение любого вектора на 0-это нулевой вектор.

9.5. Векторы и коллинеарны при любых и .

9.6. Свойства произведения вектора на число:

10. (сочетательный закон)

20. (первый распределительный закон)

30. (второй распределительный закон)

9.7. Теорема (о средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу сумме.

9.8. Сумма противолежащих углов трапеции равна 1800.

Формулы

Основное тригонометрическое тождество

Таблица углов

*знать таблицу наизусть для 8 класса (зелёный), для 9 класса (зелёный и жёлтый).

Как быстро подтянуть геометрию, выучить теоремы, термины и определения

Здравствуйте! В статье мы расскажем, как подтянуть оценки по геометрии, выучить теоремы или термины с определениями. Разберемся, как лучше заниматься — самостоятельно или на курсах, и узнаем, что можно выучить за день вечер или час.

Выучить самостоятельно всю геометрию возможно, но это будет долго и сложно, так как нужно тщательно продумать план занятий и правильно подобрать задания. Главный минус — никто не проверит ваши знания и не объяснит непонятый материал.

Есть два эффективных способа, с помощью которых можно с нуля понять геометрию или подтянуть уже изученный материал:

  • Заниматься с репетиром — например, в онлайн-формате. Дистанционные занятия обычно стоят дешевле, чем обычные, можно подобрать удобный для себя график.

На нашем сайте есть детский раздел, где вы сможете выбрать подходящую программу обучения под свои требования.

  • С помощью онлайн-курсов — это самый быстрый способ! Готовую программу можно пройти не выходя из дома, самостоятельно просматривая записи уроков прямо со своего компьютера или телефона либо подключаясь к онлайн-занятиям. Все видео сохраняются в личном кабинете, их можно просмотреть несколько раз. Учитель проверяет домашние задания и отвечает на вопросы.

Подобрать онлайн-курс по геометрии можно через наш сервис. У нас собраны обучающие программы для разных классов, для базового и углубленного уровня. С помощью фильтра легко сравнить курсы по стоимости, срокам, формату занятий и другим параметрам. А также вы можете почитать отзывы учеников и их родителей.

Для вашего удобства мы разделили курсы по классам:

Подборка курсов Онлайн-курсы по математике (алгебре и геометрии) 7 класса в 2021 году

Посмотреть подборку

ТОП-7 советов, которые облегчат изучение геометрии:

  • не нужно пропускать занятия, так как некоторые правила и теоремы, могут быть взаимосвязаны и недостаток информации приведет к пробелам в других темах;
  • всегда рисуйте схемы, делайте чертежи, наглядно намного проще запомнить формулы или найти решение задачи;
  • нужно своевременно учить определения и термины, чтобы они не накапливались и не пришлось перед экзаменом заучивать все за ночь;
  • выполняйте домашние задания, они дают возможность самостоятельно закрепить материал всего за 1 день;
  • решайте много разных задач, это возможность набраться опыта и сделать «разминку» для мозга даже за 5 минут до урока;
  • развивайтесь, ищите дополнительные источники знаний.

С помощью онлайн-курсов можно быстро выучить всю теорию по геометрии, закрепить материал на практике и получить дополнительные знания. На занятиях готовят к контрольным, экзаменам и олимпиадам за небольшие сроки. Они длятся от 1 месяца до года. Но если смотреть уроки в записи, по 1-2 часа за один вечер, можно освоить предмет за более короткое время.

Для того чтобы любое правило отложилось в голове, его обязательно нужно понять, так как наизусть заученные строки не смогут помочь на практике. В геометрии большую роль играет именно логика, при решении любой задачи нужно вспомнить и применить подходящее правило, теорему или аксиому.

Чтобы легко выучить правила по геометрии, нужно в первую очередь разобраться в чертеже, запомнить его и понять, что и за чем следует. Лучше, чтобы материал объяснял преподаватель, который сможет доходчиво ответить на все вопросы.

Геометрию начинают изучать с 7 класса, и чтобы не было проблем с оценками, лучше всего сразу вникнуть в предмет и не допускать пробелов в знаниях. Учите все теоремы последовательно, читайте параграфы и делайте домашние задания. Если что-то непонятно, не нужно бояться тут же подойти к учителю с вопросом.

Если какая-то информация не закрепилась в голове и самостоятельно изучить ее уже не получается, лучшим вариантом будет обращение к репетитору или записаться на онлайн-курсы — здесь за небольшой срок могут помочь подтянуть оценки по геометрии, не важно, будь то 7 или 10 класс.

Если у ребенка есть проблемы с изучением геометрии, можно попробовать самостоятельно разобрать с ним непонятый материал. Но только в том случае, если вы сами хорошо знаете эти правила и готовы уделить много времени на занятия.

Помогите ребенку ощутить практическую сторону геометрии, приводите в примеры окружающие предметы и явления, рассуждайте о том, какие формулы и теоремы могли бы подойти для них. Это поможет развить логические способности ребенка при решении задач.

Помогайте ребенку учить аксиомы, теоремы и доказательства. В геометрии нужно многое знать на память.

Еще одним правильным вариантом будет получение помощи от специалистов. Чтобы подтянуть ребенка по геометрии, можно записать его на онлайн-курсы, преподаватели помогут пройти весь материал и привьют интерес к предмету. Тогда вам не придется контролировать его и заставлять учиться.

Геометрический сайт

Статьи:

И. Ф. Шарыгин. Избранные статьи djvu. Статьи Игоря Фёдоровича в «Кванте» ссылка.

В. Протасов, В. Тихомиров. Геометрические шедевры Шарыгина (pdf) «Квант», №1, 2006 г.

Классика

Этот раздел предназначен, в первую очередь, школьникам 8-10 классов, которые уверенно справляются с задачами из учебника и решили узнать чуть больше.

И. Ф. Шарыгин. Вокруг биссектрисы «Квант», №8, 1983 г.
"В этой статье собраны некоторые геометрические факты, прямо или косвенно связанные с биссектрисой треугольника."

И. Ф. Шарыгин, А. Ягубьянц Окружность девяти точек и прямая Эйлера «Квант» №8, 1981 г.
К этой статье рекомендуем такую серию задач.

И. А. Кушнир Золотой ключ Леонарда Эйлера (pdf) «Математика в школах Украины», №13-15, 2012 г.
Рассказывается о приложениях окружности девяти точек для доказательства классических задач.

А.Д. Блинков, Ю.А. Блинков. Вневписанная окружность. (pdf) «Квант», №2, 2009 г. В статье излагаются классические факты о вневписанной окружности, обсуждаются задачи, в которых вневписанная окружность возникает самым неожиданным образом.

Г. Б. Филипповский. Параллелограмм Вариньона решает задачи

Г. Б. Филипповский.О двух параллелограммах в треугольнике. (pdf) «Квант», №4, 2008 г.

Г. Б. Филипповский.Замечательная прямая треугольника. (pdf) «Квант», №4, 2007 г. К статье рекомендуем подборку задач о вписанной окружности.


Конструкции

В.Ю. Протасов. О двух велосипедистах и вешнёвой косточке (pdf) «Квант», №3, 2008 г. "Попробуем подвести некоторые итоги. Две задачи международных олимпиад, задача о бабочке, два десятка геометрических задач, которые мы сформулировали в виде упражнений (некоторые из них появлялись на математических олимпиадах, в Задачнике , и в различных сборниках задач). Список далеко не полный. И все это выросло из задачи 1, совсем простенькой и неинтересной, которую мы вначале и решать-то не хотели."

А. Д. Блинков, Ю. А. Блинков. Две окружности в треугольнике, три окружности в треугольнике… (pdf) «Квант», №2, 2012 г.

Г. Б. Филипповский О точке на стороне и двух параллельных (pdf) «Математика в школах Украины», №4, 2011 г.

А. Полянский. Воробьями по пушкам (pdf) «Квант», №2, 2012 г. Решения упражнений
"В этой статье мы пользуясь двумя простыми и элегантными фактами, решим две достаточно сложные задачи."


Теорема Фейербаха и точка Фейербаха

В.Ю. Протасов. Касающиеся окружноти: от Тебо до Фейербаха. (pdf) «Квант», №4, 2008 г. В статье обсуждаются сразу две жемчужины: теорема Тебо и теорема Фейербаха. Оказывается, что одна из теорем является следствием другой!

П.А. Кожевников. Ещё раз о точке Фейербаха. (pdf) Математическое просвещение, Выпуск 15, 2012 г. "В этой заметке предлагается геометрическое доказательство теоремы Фейербаха, которое дает возможность описать точку Фейербаха и, в частности, получить отличное от авторского геометрическое решение задачи 8 из задачного раздела «Математического просвещения», вып. 14, 2010 г."

J.L. Ayme. Красивое доказательство теоремы Фейербаха. (pdf) Очень красивое доказательство теоремы Фейербаха, найдённое не так давно. Оригинал статьи можно посмотреть на странице автора.

Фольклор. Доказательство теоремы Фейербаха по И. Ф. Шарыгину. (pdf)

Nguyen Minh Ha and Nguyen Pham Dat.Synthetic Proofs of Two Theorems Related to the Feuerbach Point.(pdf) Forum Geometricorum Volume 12 (2012) 39–46.
В статье излагаются геометрические доказательства двух замечательных теорем, связанных с точкой Фейербаха. Кроме цитированной статьи J. Vonk, рекомендуем заглянуть в статью Куланина Е. Д., в которой теорема Емельянова доказывается с помощью коник.

Jan Vonk. The Feuerbach point and reflections of the Euler line. (pdf) Forum Geometricorum, 9 (2009) 47—55.
Рассматриваются интересные свойства точки Фейербаха.

Куланин Е.Д., Шихова Н.А. Прямые Эйлера и точки Фейербаха.(pdf) Математическое образование, №2, 2012.

Кожевников П. А.(по статье Д. Гринберга) Обобщение теоремы Фейербаха. (pdf)

Куланин Е. Д. Об описанных окружностях чевианных и педальных треугольников и некоторых кривых, связанных с треугольником. (pdf) Ежегодник «Математическое просвещение», №9, М., 2005.
Доказательство теоремы Фейербаха через коники! В статье указывается целое семейство окружностей, проходящих через точку Фейербаха(например, окружность, проходящая через основания биссектрис, проходит через точку Фейербаха). Для понимания статьи необходим некоторый опыт работы с кониками, который можно получить, почитав замечательную книгу А. Акопяна, А. Заславского (pdf).


Построения

А. Д. Блинков Геометрические построения с помощью треугольника-шаблона (pdf) «Квантик», №3-4, 2012 г.

Е. Д. Куланин Еще раз о трисекции угла (pdf) «Математика в школах Украины», №4, 2012 г.


Гомотетия

Рекомендуем такие интересные серии задач на гомотетию:
Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и … еще одна точка! (pdf)
Прямая Нагеля (pdf)
Лемма о вписанной окружности
Поворотная гомотетия

Полувписанная окружность, окружности Тебо

А. Гирич Несколько задач о треугольниках и окружностях текст «Квант», №11, 1990 г.

В.Ю. Протасов. Касающиеся окружноти: от Тебо до Фейербаха. (pdf) «Квант», №4, 2008 г.
Рекомендуем серию задач про полувписанную окружность:
полувписанная окружность


Изогональное сопряжение

Для первого знакомства с темой рекомендуем книжку В. В. Прасолова.

А. В. Акопян, А. А. Заславский Разные взгляды на изогональное сопряжение (pdf) Математическое просвещение, сер. 3, вып. 11, 2007.

Dimitar Belev Some Properties of the Brocard Points of a Cyclic Quadrilateral (pdf), Journal of Classical Geometry, volume 2, 2013

Д. Гринберг Isogonal conjugation with respect to a triangle (zip)


Комбинаторная геометрия

В. Ю. Протасов Теорема Хелли и вокруг неё (pdf) «Квант», №3, 2009 г.

Н. Б. Васильев Формула Пика «Квант», №12, 1974 г. Для дальнейшего знакомства с этим сюжетом рекомендуем книжку Вавилова и Устинова "Многоугольники на решетках"(pdf).

Н. Б. Васильев Сложение фигур «Квант», №4, 1976 г.

А. Спивак, М. Смуров Покрытие полосками (часть-1) и (часть-2) «Квант», №4-5, 1998 г.

С. Табачников, В. Тиморин Прямая Сильвестра(pdf) «Квант», №5, 2009 г.


Геометрические неравенства

В. Протасов, В. Тихомиров Пространство Lp и замечательные точки треугольника (pdf) «Квант», №2, 2012 г.

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Геометрическое доказательство неравенства Эрдеша-Морделла.(pdf)
Forum Geometricorum, 7 (2007) 99-102. В статье излагается одно из самых красивых доказательств известного неравенства.


Замечательные кривые

Акопян А. В. Кардиоида. «Квант» №3, 2012 год.

Акопян А. В. Лемниската Бернулли «Квант» №3, 2009 год.


Трисекция. Теорема Морлея

Штейнгарц Л. Снова о теореме Морлея «Квант» №5, 2009 год.

Тоноян Г., Яглом И. Теорема Морлея «Квант» №8, 1978 год.

Е. Д. Куланин Еще раз о трисекции угла (pdf) «Математика в школах Украины», №4, 2012 г.


Алгебра и геометрия

Г. Б. Филипповский Рене Декарт (1596–1650). Декартова система координат (pdf) «Математика в школах Украины», №35-36, 2011 г.

А.И. Сгибнев. «Геометрия помогает алгебре» (ps, 2M), (ps-zip, 400K), (pdf, 190K)


Тетраэдр

В. Дубровский, В. Матизен. Из геометрии тетраэдра «Квант» №9, 1988 год.

А. Заславский. Описанная и вписанные сферы тетраэдра «Квант» №1, 2004 год.

А. Заславский, Д. Косов. Изогонально сопряжение в тетраэдре и его гранях «Квант» №3, 2004 год.



Миниатюры:

М. Петкова Салфетки «Кванта» и теорема Пифагора (pdf) «Квант» №3, 2012 год.

П. А. Кожевников Задача M2100 (pdf)

Фольклор Задача Ф. Ивлева. (pdf)
В заметке решение трудной и красивой задачи разбито на несколько подзадач, что позволяет использовать материал на кружке. Решения многих задач и различные обобщения можно найти в статье.

Л. А. Емельянов Задача 7.8. (pdf)

Урок 6. смежные и вертикальные углы. аксиомы и теоремы — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 6

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Понятие смежных и вертикальных углов
  • Свойства смежных и вертикальных углов
  • Отличие аксиомы от теоремы

Тезаурус

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

  • Сумма смежных углов равна 1800.
  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
  • Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180о.

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Ответ: ∠ВОК=____0

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 110, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800

∠ВОК+ 110= 1800

∠ВОК= 1800– 110= 1690.

Ответ: ∠ВОК= 1690

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Варианты ответов:

  1. 1120
  2. 640
  3. 1160
  4. 680

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.

Ответ: 1160

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.

∠BМD=____0.

Выделите верный ответ из списка:

600; 300; 750; 900

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 1800. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.

Верный ответ: 600

Начальные понятия и факты курса геометрии — урок. Математика, 6 класс.

Геометрия — одна из самых древних наук, она изучает геометрические формы и способы их измерения. Примерно в третьем тысячелетии до н. э. (где-то \(2900\) год) египтяне возвели пирамиду, основанием которой был квадрат, а боковые грани представляли собой треугольники. Уже в то время необходимо было делить пахотные территории на участки и замерять площадь обрабатываемой земли для расчёта налога. Также в \(III\) тысячелетии до н. э. вавилоняне успешно возводили дома и храмы, защитные сооружения.


Долгое время геометрия существовала исключительно как прикладная дисциплина, набор правил и нужных для работы сведений. Лишь в \(VI\) в. до н. э. Фалес Милетский, древнегреческий учёный и мыслитель, заложил основы геометрии как науки в её современном виде.


Всем известен другой древнегреческий учёный — Пифагор, живший примерно в то же время. Он стал первым учёным-математиком, который с помощью логических умозаключений сформировал часть геометрических фактов с опорой на основные принципы.


Евклид Александрийский носит гордое звание «отца современной геометрии», он создал аксиоматический метод и опирался на строгий математический подход — то и другое используется и ныне. Этот выдающийся учёный — автор книги «Начало», она была написана в \(300\) году до н. э. и по сей день считается самым значимым трудом в области геометрии. Евклид сформулировал \(23\) определения, \(5\) постулатов и \(5\) аксиом. В честь этого учёного наука была названа евклидовой геометрией.

 

Рис. \(1\). Фалес

(ок. \(625\)–\(547\) до н. э.)

Рис. \(2\). Пифагор

(ок. \(571\)–\(495\) до н. э.)

Рис. \(3\). Платон

(ок. \(427\)–\(347\) до н. э.)

Рис. \(4\). Аристотель

(ок. \(385\)–\(322\) до н. э.)

Рис. \(5\). Евклид

(ок. \(325\)–\(265\) до н. э.)

 

Без определения были введены основные понятия в геометрии: точка, прямая и плоскость. Мы представляем эти фигуры, но для них нет точных объяснений.

  

Для изучения геометрии необходимо различать разные утверждения. 

Аксиома — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.

В геометрии аксиома, например, гласит о том, что через данную точку на плоскости можно провести только одну прямую параллельно данной прямой.

Определение — введение нового понятия или объекта в математическое рассуждение путём комбинации или уточнения элементарных либо ранее определённых понятий. Определения других понятий в геометрии содержат основные понятия.

Если точка и прямая — основные фигуры, то, например, отрезок определяется как часть прямой между двумя данными точками на прямой.

Теорема — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство.

Теоремы содержат информацию о возможных свойствах геометрических фигур. Их необходимо доказывать, используя аксиомы и прежде доказанные свойства фигур.

Источники:

Рис. 1. Фалес. Общественное достояние. 2021.06.03, https://ru.wikipedia.org/wiki/Семь_мудрецов
Рис. 2. Пифагор. Общественное достояние. 2021.06.03, https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагор
Рис. 3. Платон. Общественное достояние. 2021.06.03, https://ru.wikipedia.org/wiki/Платон
Рис. 4. Аристотель. Общественное достояние. 2021.06.03, https://ru.wikipedia.org/wiki/Аристотель
Рис. 5. Евклид. Общественное достояние. 2021.06.03, https://ru.wikipedia.org/wiki/Евклид

Теоремы по алгебре и геометрии 1 курс 1 семестр

Геометрния

Окружность.

Окружность радиуса R с центром в точке M0(x0, y0) имеет уравнение

Доказательство. Пусть M(x,y) — текущая точка окружности. По определению окружности расстояние MM0 равно R:

По формуле скалярного произведения для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение.

Если в уравнении (12.2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (12.2) , получим исходное уравнение (12.4).

Гипербола.

Пусть расстояние между фокусами F1 и F2 гиперболы равно 2c , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна 2a . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение

Доказательство. Пусть M(x,y) — текущая точка гиперболы (рис. 12.9).

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то |F1M – F2M| < F1F2 , то есть 2a<2c , a<c . В силу последнего неравенства вещественное число b , определяемое формулой (12.9), существует.

По условию, фокусы – F1(-c,0) , F2(c,o) . По формуле (10.4) для случая плоскости получаем

По определению гиперболы

Это уравнение запишем в виде

Обе части возведем в квадрат:

После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству

Опять обе части возведем в квадрат:

Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим

С учетом формулы (12.2) и получим исходное уравнение (12.8)

Парабола.

Пусть расстояние между фокусом F и директрисой l параболы равно P . Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение

Доказательство. В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка F(p/2,0) , а директриса имеет уравнение x=-p/2 (рис. 12.15).

Пусть M(x,y) — текущая точка параболы. Тогда по формуле (10.4) для плоского случая находим

Расстоянием от точки M до директрисы l служит длина перпендикуляра MK , опущенного на директрису из точки M . Из рисунка 12.15 очевидно, что MK=x+p/2 . Тогда по определению параболы MK=FM , то есть

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

Откуда

После приведения подобных членов получим исходное уравнение (12.10).

Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой(вычисляется по нижепривиденной формуле отбрасыванием координаты z).

Пусть плоскость П задана уравнением Ax+By+Cz+D=0 и дана точка M0(x0,y0,z0) . Тогда расстояние p от точки M0 до плоскости П определяется по формуле

Доказательство. Расстояние от точки M0 до плоскости П — это, по определению, длина перпендикуляра M0K , опущенного из точки M0 на плоскость П (рис. 11.9).

Вектор KM0 и нормальный вектор n плоскости П параллельны, то есть угол альфа между ними равен 0 или пи , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому

Откуда

Координаты точки К , которые нам неизвестны, обозначим x1,y1,z1 . Тогда вектор KM0 = (x0-x1, y0-y1, z0-z1) . Так как n=(A,B,C) , то n*(вектор)KM0 = A(x0-x1) + B(y0-y1) + C(z0-z1) . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим

Точка K лежит на плоскости П , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: Ax1+By1+Cz1+D=0 . Отсюда находим, что Ax1+By1+Cz1=-D . Подставив полученный результат в формулу (11.2) , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).

Угол между двумя прямым на плоскости.

Пусть заданы две прямые y = k2*x+b2 и y = k1*x+b1 , ( k2>k1). Тогда, если k1*k2!=-1 , то угол fi между этими прямыми можно найти из формулы

Если k1*k2=-1 , то прямые перпендикулярны

Доказательство. Как известно из школьного курса математики, угловой коэффициент в уравнении прямой y=kx+b равен тангенсу угла alfa наклона прямой к оси Ox . Из рис. 11.10 видно, что fi=alfa2-alfa1 .

Так как tg(alfa1)=k1 , tg(alfa2)=k2 , то при k2*k1!=-1 выполняется равенство

что и дает исходную формулу.

Если же k1*k2=-1, то tg(alfa1)*tg(alfa2)=-1, откуда

Следовательно

Каноническое уравнение прямой в пространстве.

Ненулевой вектор, лежащий на прямой (параллельный ей) называется направляющим вектором прямой

Пусть для прямой Y известны ее направляющий вектор p=(k,l,m) и точка M0(x0,y0,z0) , лежащая на этой прямой. Пусть M(x,y,z) — произвольная (текущая) точка прямой Y . Обозначим через r0 и r радиус-векторы точек M0 и M соответственно (рис. 11.11).

Тогда вектор M0M коллинеарен вектору p и, следовательно, M0M=tp , где t — некоторое число. Из рис. 11.11 видно, что

r = r0 + tp

Это уравнение называется векторным уравнением прямой или уравнением в векторной форме.

От векторного соотношения перейдем к соотношениям координат. Так как (x,y,z) — координаты точки M , то r=(x,y,z) , r0=(x0,y0,z0) , tp=(tk,tl,tm) . Из формулы (11.12) получим

Полученная система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой.

Выразим параметр t:

Так как во всех трех соотношениях параметр t имеет одно и то же значение, то

Эти уравнения называются каноническими1 уравнениями прямой.

Линейка

Правило Крамера: Если в системе n линейных уравнений с n неизвестными delta !=0 , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

где A(ij) — алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя delta1 по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя delta2 по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому:

откуда и следует утверждение данной теормеы.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений (15.1) является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы A равен рангу расширенной матрицы A* .

Доказательство. Оно распадается на два этапа.

  1. Пусть система имеет решение. Покажем, что RgA=RgA*

.

Пусть набор чисел (a1,a2,,..,an) является решением системы. Обозначим через a(i) i -ый столбец матрицы A , i=1,2…n . Тогда a1a1+ a2a2+…+anan=b, то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы A . Пусть r=RgA . Предположим, что RgA*!=RgA . Тогда по предложению 15.1 RgA*=r+1 . Выберем в A* базисный минор M . Он имеет порядок r+1 . Столбец b свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы A . Столбец свободных членов в миноре M является линейной комбинацией столбцов матрицы A . В силу свойств определителя ( предложения 14.13, 14.18) M=a1M1+a2M2+…+anMn , где M(i) — определитель, который получается из минора M заменой столбца свободных членов на столбец a(i) . Если столбец a(i) проходил через минор M , то в M(i) , будет два одинаковых столбца и, следовательно,M(i)=0 . Если столбец a(i) не проходил через минор M , то M(i) будет отличаться от минора порядка r+1 матрицы A только порядком столбцов. Так как RgA=r , то M(i)=0 . Таким образом,M=a1*0+a2*0+…+an*0=0 , что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что RgA*!=RgA , неверно.

2. Пусть RgA=RgA* . Покажем, что система имеет решение. Так как RgA=RgA* , то базисный минор M матрицы A является базисным минором матрицы A* . Пусть через минор M проходят столбцы a(i1),a(i2),…,a(ir) . Тогда по теореме о базисном миноре в матрице A* столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:

Положим x{i1}=a1 , x{i2}=a2,…, x{ir}=ar ,остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях получим

В силу равенства (15.6) x{1}a{1}+x{2}a{2}+…+x{n}a{n}=b . Последнее равенство означает, что набор чисел x1,x2,…,xn является решением системы. Существование решения доказано.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется

Доказательство. Пусть ранг матрицы A равен r , A’ — матрица, получившаяся в результате выполнения элементарного преобразования.

Рассмотрим перестановку строк. Пусть M — минор матрицы A , тогда в матрице A’ есть минор M’ , который или совпадает с M , или отличается от него перестановкой строк. И наоборот, любому минору N’ матрицы A’ можно сопоставить минор матрицы A или совпадающий с N’ , или отличающийся от него порядком строк. Поэтому из того, что в матрице A все миноры порядка r+1 равны нулю, следует, что в матрице A’ тоже все миноры этого порядка равны нулю. И так как в матрице A есть минор порядка r , отличный от нуля, то и в матрице A’ тоже есть минор порядка r , отличный от нуля, то есть RgA’=r .

Рассмотрим умножение строки на число a , отличное от нуля. Минору M из матрицы A соответствует минор M’ из матрицы A’ или совпадающий с M , или отличающийся от него только одной строкой, которая получается из строки минора M умножением на число, отличное от нуля. В последнем случае M’=aM . Во всех случаях или M и M’ одновременно равны нулю, или одновременно отличны от нуля. Следовательно, RgA’=r .

Пусть к i-ой строке матрицы A прибавлена ее j-ая строка, умноженная на число lamda . Рассмотрим миноры порядка r+1 в матрице A’ . Если через минор M’ не проходит i-ая строка, то он совпадает с минором M , расположенным в тех же строках и столбцах в матрице A , и следовательно, равен нулю.

Если через минор M’ проходят и i-ая и j-ая строки, то он получается из минора M , расположенного в тех же строках и столбцах матрицы A , прибавлением к i-ой строке минора M j-ой строки, умноженной на lamda . По свойству определителя M=M’ . Следовательно, M’=0 .

Пусть через минор M’ проходит i-ая строка и не проходит j-ая. Тогда M’ отличается от M i-ой строкой. Эта строка в M’ является строкой M , к которой добавлены элементы j-ой строки, умноженные на lamda . По свойствам определителей M’=M+lamda(+-N) , где N — минор порядка r+1 матрицы A , стоящий в j-ой строке и в тех же строках, что и минор M , исключая i-ую, а знак » +-» связан с возможным изменением порядка строк. Так как все миноры порядка r+1 в матрице A равны нулю, то M’=0 .

Итак, в матрице A’ все миноры порядка r+1 равны нулю. Следовательно, RgA’<=r , то есть при выполнении элементарного преобразования третьего типа ранг не может повыситься. Предположим, что RgA’=k , и k<r . Тогда в матрице A’ к i-ой строке прибавим j-ую строку, умноженную на число (-lamba) . В результате получим исходную матрицу A . По только что доказанному RgA<=k<r . Получили противоречие: r<r . Предположение не верно, следовательно, RgA’=r .-1. Следовательно, Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Разложение определителя по произвольной строке.

Для определителя матрицы A справедлива формула

Доказательство. Если i=1 , положим B=A . Пусть i!=1 . Тогда i-ую строку поменяем местами со строкой с номером i-1 . Определитель сменит знак. Затем строку с номером i-1 поменяем местами со строкой с номером i-2 . Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока i-ая строка матрицы A не станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим B . Отметим, что в матрице B , начиная со второй строки, стоят строки матрицы A , причем порядок их следования не изменился.

При переходе от матрицы A к матрице B определитель сменит знак i-1 раз. Таким образом

Это соотношение верно и при . По определению 14.6 определителя,

где N{k} — определитель матрицы, полученной из матрицы B вычеркиванием первой строки и k-ого столбца. Первая строка матрицы B совпадает с i-ой строкой матрицы A , поэтому b{1k}=a{ik} . Результат вычеркивания в матрице B первой строки и k-ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице A i-ой строки и k-ого столбца. Поэтому N{k}=M{ik} , где M{ik} — определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице A i-ой строки и k-ого столбца. Следовательно,

следовательно

По определению 14.7 алгебраического дополнения получим

Тогда из предыдущего равенства вытекает

Что и требовалось доказать.

Вектора.

Предложение 10.6 Система векторов A1,…..,Ak линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов j1,j2,..jk , что j1*A1 + j2*A”+…jk*Ak=0 , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что A1 !=0 . Тогда

то есть A1 является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор A1 , то есть A1 = v2*A2+v3*A3+…+vk*Ak . Очевидно, что –A1+v2A2+…+vkAk=0 . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен -1 ).

Следующее предложение показывает геометрический смысл смешанного произведения.

Предложение 10.27 Смешанное произведение abc некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат векторы a,b,c, взятому со знаком » + «, если векторы образуют правую тройку, и со знаком » — «, если — левую.

Доказательство. Пусть d = b x c . По предложению 10.22 |d| равен площади S параллелограмма, сторонами которого служат векторы b,c (рис. 10.26, 10.27).

По свойству 7 скалярного произведения ( теорема 10.2)

Пусть h — высота параллелепипеда (рис. 10.26, 10.27). Если a,b,c — правая тройка векторов, то Пр a(на d) =h (рис. 10.26),

Если a,b,c — левая тройка, то Пр а(на d) = -h . Так как S*h=V — объем параллелепипеда, то из формулы (10.7) получим

Abc=V в случае правой тройки и abc= -V в случае левой тройки сомножителей.

Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.

Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то

Представление векторного произведения через координаты векторов.

Пусть a = (A1,A2,A3), b = (B1,B2,B3) . Тогда

Доказательство. По условию a = A1*i+A2*j+A3*k , b = B1*i+B2*j+B3*k . В силу предложений 10.20 и 10.21 получим

По тем же правилам

По таблице умножения i x b = B2*k – B3*j .2=1 , а по свойству 8 получим j*i=k*i =0 . Таким образом, a*i=A1 . Аналогично находим, что a*j=A2 , a*k=A3 . Подставив полученные результаты в формулу

Получим исходную формулу.

Предложение 10.25 Если в правом ортонормированном базисе i,j,k заданы координаты векторов a = (A1,A2,A3) , b = (B1,B2,B3) , то

Доказательство. Достаточно лишь написать формулу вычисления приведенного в теореме определителя и сравнить ее с формулой

Смешанное произведение.

Предложение 10.30 Пусть в правом ортонормированном базисе i,j,k заданы векторы a = (A1,A2,A3) , b = (B1,B2,B3) , c = (Y1,Y2,Y3) . Тогда

Доказательство. По предложению 10.25 находим координаты вектора b x c :

По теореме 10.3 находим скалярное произведение вектора a на вектор b x c :

Правая часть этого неравенсва совпадает с определением определителя

По определению a*b*c = a*(b x c)

Что и требовалось доказать.

Свойство дистрибутивности скалярного произведения.

a(b+c)=ab+ac;

Докажем/ В силу свойства 7:

Если a !=0

имеем a(b+c) = |a|*Пр(b+c) на a. Т.к. Пр(b+c) на a=Пр b на a + Пр c на a. Поэтому

Если же а =0 то св-во очевидно.

Распределительное свойство векторного произведения.

Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, то есть a x (b+c)= a x b + a x c.

Доказательство. Выберем в пространстве правый ортонормированный базис i,j,k. Пусть d = a x (b+c)

d = (A,B,Y), d1=a x b, d1=(A1,B1,Y1), d2 = a x c, d2 = (A2,B2,Y2). Нам нужно доказать, что d = d1 + d2 , то есть что

выполняются равенства: A = A1 + A2, B = B1 + B2.

Т.к. Проекции вектора на координатные оси равны коодинатам вектора, то

По свойству линейности смешанного произведения

Аналогично доказываются равенства B = B1 + B2, Y = Y1 + Y2.

теорем сравнения треугольников | Постулаты SAS, ASA и SSS (видео)

Теоремы сравнения треугольников (постулаты SSS, SAS и ASA)

Треугольники могут быть похожими или совпадающими. Подобные треугольники будут иметь одинаковые углы, но стороны разной длины. Конгруэнтные треугольники будут иметь полностью совпадающие углы и стороны. Их внутренние углы и стороны будут одинаковыми. Проверка соответствия треугольников включает три постулата, сокращенно SAS, ASA и SSS.

  1. Определение конгруэнтности
  2. Определение постулата
  3. Теоремы сравнения треугольников

Определение сравнения

Два треугольника равны конгруэнтным , если их соответствующие стороны равны по длине и их соответствующие внутренние углы равны по мере.

Мы используем символ ≅, чтобы показать соответствие.

Соответствующие стороны и углы означают, что сторона одного треугольника и сторона другого треугольника совпадают. Возможно, вам придется повернуть один треугольник, чтобы провести тщательное сравнение и найти соответствующие части.

Как определить, совпадают ли треугольники?

Вы можете разрезать учебник ножницами, чтобы проверить два треугольника. Это не очень помогает и портит ваш учебник.Если вы работаете с онлайн-учебником, вы не можете сделать даже , а не .

Геометристы предпочитают более элегантные способы доказательства совпадения. Сравнивая один треугольник с другим для сравнения, они используют три постулата.

Определение постулата

Постулат — это математически представленное утверждение, которое предполагается истинным. Все три утверждения о конгруэнтности треугольников обычно рассматриваются в математическом мире как постулаты, но некоторые авторитеты идентифицируют их как теорем (которые можно доказать).

Не беспокойтесь, если некоторые тексты называют их постулатами, а некоторые математики — теоремами. Более важны, чем эти два слова, концепции о конгруэнтности.

Теоремы сравнения треугольников

Проверка совпадения треугольников включает три постулата. Давайте посмотрим на три постулата, сокращенно ASA , SAS и SSS .

  1. Угол Боковой угол (ASA)
  2. Боковой угол Сторона (SAS)
  3. Сторона Сторона Сторона (SSS)

Теорема ASA (угол-сторона-угол)

Постулат угла стороны угла (ASA) говорит, что треугольники конгруэнтны, если любые два угла и их сторона равны в треугольниках.Включенная сторона — это сторона между двумя углами.

На скетче ниже у нас есть △ CAT и △ BUG. Обратите внимание, что ∠C на CAT конгруэнтно B на △ BUG, ​​а ∠A на △ CAT конгруэнтно U на BUG.

Видите прилагаемую сторону между ∠C и ∠A на CAT? Он равен длине включенной стороны между B и ∠U на △ BUG.

Два треугольника имеют два конгруэнтных (равных) угла, а входящая сторона между этими углами конгруэнтна. Это заставляет оставшийся угол на нашей △ CAT равняться:

180 ° — ∠C — ∠A

Это потому, что внутренние углы треугольников складываются в 180 °.Вы можете создать только один треугольник (или его отражение) с заданными сторонами и углами.

Вы можете подумать, что мы сфальсифицировали это, потому что заставили вас смотреть под определенными углами. Постулат гласит, что вы можете выбрать любых двух углов и их включенную сторону. Так что вперед; посмотрите на ∠C и ∠T или A и ∠T на △ CAT.

Сравните их с соответствующими углами на △ BUG. Вы увидите, что все углы и все стороны совпадают в двух треугольниках, независимо от того, какие из них вы выберете для сравнения.

Теорема SAS (сторона-угол-сторона)

Применяя постулат , боковой угол и сторону (SAS) , вы также можете быть уверены, что ваши два треугольника совпадают. Здесь вместо выбора двух углов мы выбираем сторону и соответствующую ей сторону на двух треугольниках.

Постулат SAS гласит, что треугольники конгруэнтны, если любая пара соответствующих сторон и их прилегающий угол совпадают.

Выберите любую сторону △ JOB ниже. Обратите внимание, что мы не заставляем вас выбирать конкретную сторону, потому что мы знаем, что это работает независимо от того, с чего вы начнете.Перейдите к следующей стороне (в любом направлении, в котором вы хотите двигаться), что приведет к увеличению включенного угла.

Чтобы два треугольника были конгруэнтными, эти три части — сторона, прилегающий угол и смежная сторона — должны быть конгруэнтны одним и тем же трем частям — соответствующей стороне, углу и стороне — на другом треугольнике, △ ЯК.

Теорема SSS (сторона-сторона-сторона)

Возможно, самый простой из трех постулатов, Постулат Сторона Сторона Сторона (SSS) утверждает, что треугольники конгруэнтны, если три стороны одного треугольника совпадают с соответствующими сторонами другого треугольника.

Это единственный постулат, не имеющий отношения к углам. Вы можете воспроизвести SSS Postulate , используя два прямых объекта — сырые спагетти или пластиковые мешалки. Отрежьте крошечный кусочек от одного, чтобы он не был таким длинным, как начинался. Разрежьте другую длину на две совершенно неравные части. Теперь у вас есть три стороны треугольника. Сложите их вместе. У вас есть один треугольник. Теперь перемешайте стороны и попробуйте соединить их по-другому, чтобы получился другой треугольник.

Угадайте, что? Вы не можете этого сделать. Вы можете собрать свой треугольник только одним способом, что бы вы ни делали. Вы можете подумать, что вы умны, и переключиться на две стороны, но тогда все, что у вас есть, — это отражение (зеркальное отображение) оригинала.

Итак, как только вы поймете, что три длины могут образовать только один треугольник, вы увидите, что два треугольника, три стороны которых соответствуют друг другу, идентичны или совпадают.

Проверка конгруэнтности в многоугольниках

Вы можете проверять многоугольники, такие как параллелограммы, квадраты и прямоугольники, используя эти постулаты.

Если ввести диагональ в любую из этих форм, получится два треугольника. Используя любой постулат, вы обнаружите, что два созданных треугольника всегда совпадают с .

Предположим, у вас есть параллелограмм SWAN и добавлена ​​диагональная SA. Теперь у вас есть два треугольника △ SAN и △ SWA. Они совпадают?

Вы уже знаете, что линия SA, используемая в обоих треугольниках, конгруэнтна самой себе. А как насчет ИСАН? Это конгруэнтно ∠WSA, потому что они являются альтернативными внутренними углами параллельных отрезков SW и NA (из-за теоремы об альтернативных внутренних углах).

Вы также знаете, что отрезки SW и NA совпадают, потому что они были частью параллелограмма (противоположные стороны параллельны и совпадают).

Итак, теперь у вас есть боковая SA, включенный угол ∠WSA и боковой SW SWA. Вы можете сравнить эти три части треугольника с соответствующими частями △ SAN:

  • Side SA ≅ Side SA (надеюсь на это!)
  • Уголок в комплекте ∠WSA ≅ ∠NAS
  • Сторона SW ≅ Сторона NA

Краткое содержание урока

Поработав над этим уроком и подумав над ним, вы теперь можете вспомнить и применить три постулата конгруэнтности треугольников: постулат конгруэнтности бокового угла и бокового угла, постулат конгруэнтности угла и бокового угла и постулат конгруэнтности стороны и стороны.Теперь вы можете определить, совпадают ли любые два треугольника!

Следующий урок:

Условные утверждения и их обратные

Triangle Proofs — Common Core: High School

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Восьми круговых теорем стр.

Теоремы

Загрузите их в виде файла .pdf, в котором резюмируются теоремы — в основном в печатном виде, на двух сторонах формата A4, версия этой страницы.

Здесь я изложил восемь теорем, чтобы вы могли убедиться, что вы сделали правильные выводы на страницах динамической геометрии! Я включил диаграммы, которые представляют собой скучную статическую геометрию, отчасти в качестве резервной копии на случай, если динамические страницы не работают на вашем компьютере. Я также недавно добавил больше ссылок на страницы динамической геометрии: например, вы можете просто щелкнуть диаграмму. Я заметил, что Google, кажется, отправит вас сюда, если вы искали «теоремы о круге», так что вы, возможно, еще не видели полные динамические прелести, скрывающиеся одним щелчком мыши !!!

Техническая записка

Если повезет, следующий абзац теперь не имеет значения — я обновил страницы динамической геометрии, чтобы использовать Geogebra 5 и Geogebra Tube.

Если вы получаете сообщение «Ошибка. Нажмите, чтобы узнать подробности», где должна быть динамическая геометрия, возможно, стоит перезагрузить страницу. Если это не сработает, это, вероятно, означает, что Geogebra изменила расположение важного файла, а я не обновлял страницы !!

Если у вас возникли проблемы со страницами или вы хотите с нами связаться, дайте мне знать.

Тим Деверо 02.02.15


Теорема окружности 1

ссылка на динамическую страницу

Далее>

Угол в центре в два раза больше угла на окружности.


(Обратите внимание, что оба угла обращены к одной и той же части дуги, CB)


Теорема о круге 2

ссылка на динамическую страницу

Далее>

Угол в полуцикле составляет 90 °.


(Это частный случай теоремы 1 с центральным углом 180 °.)



Теорема о круге 3

ссылка на динамическую страницу

Далее>

Углы в одном сегменте равны.


(Оба угла находятся в основном сегменте; я закрасил второстепенный сегмент в серый цвет)



Теорема о круге 7

ссылка на динамическую страницу


Далее>

Теорема об альтернативном сегменте:


Угол (α) между касательной и хордой в точке контакта (D) равен углу (β) в альтернативном сегменте *.

* Спасибо BBC Bitesize за точную формулировку этой теоремы!
Вот ссылка на страницы с изменениями в их кругах.

Что такое геометрические теоремы? | EveryThingWhat.com

Теорема Если две стороны треугольника не совпадают, то больший угол противоположен длинной стороне. Теорема Если два угла треугольника не совпадают, то более длинная сторона противоположна большему углу.

Щелкните, чтобы увидеть полный ответ.

Аналогично, какие теоремы в геометрии?

Свойства геометрии, постулаты, теоремы

A B
DistributiveProperty Для всех чисел a, b и c, a (b + c) = ab + ac.
ТЕОРЕМА 2-1 Свойства сегмента Конгруэнтность сегментов рефлексивна, симметрична и транзитивна.
Теорема 2-2 Дополнение Теорема Если два угла образуют линейную пару, то они являются дополнительными углами.

Кроме того, каковы свойства геометрии? Свойства геометрии и доказательства

A B
Свойство симметрии Если AB + BC = AC, то AC = AB + BC
Переходное свойство Если AB ≅ BC и BC ≅ CD AB ≅ CD
Постулат сложения сегментов Если C находится между B и D, то BC + CD = BD
Постулат сложения углов Если D — точка внутри ABC, то m∢ABD + m∢DBC = m∢ABC

Учитывая это, сколько теорем существует в геометрии?

Естественно, список всех возможных теорем бесконечен, поэтому я буду обсуждать только теорем , которые действительно были обнаружены.Википедия перечисляет 1 123 теорем , но это далеко не исчерпывающий список — это всего лишь небольшая коллекция результатов, достаточно хорошо известных, чтобы кто-то подумал включить их.

Конгруэнтны ли параллельные прямые?

Если две параллельные линии пересекаются поперек, соответствующие углы равны , совпадающим с . Если две линии пересекаются поперечным сечением и соответствующие углы равны , совпадающие с , линии параллельны .Внутренние углы на той же стороне поперечного сечения: Название является описанием «расположения» этих углов.

Взаимосвязей Доказывающие линии параллельны

Доказывающие линии параллельны

Когда вам был дан Постулат 10.1, вы смогли доказать несколько угловых отношений, которые возникли, когда две параллельные линии были разрезаны трансверсалью. Бывают случаи, когда вам задаются определенные угловые отношения, и вам нужно определить, параллельны ли линии.Вы разработаете несколько теорем, которые помогут вам в этом легко. Ваша первая теорема 10.7 будет установлена ​​от противоречия. Остальные теоремы будут следовать с использованием прямого доказательства и теоремы 10.7.

Рисунок 10.8 l и м разрезаны поперечным углом t,? 1 и ? 2 — соответствующие углы .

Давайте рассмотрим этапы построения доказательства от противного. Начните с предположения, что вывод ложный, а затем покажите, что гипотезы также должны быть ложными.В исходной формулировке доказательства вы начинаете с совпадающих соответствующих углов и заключаете, что две прямые параллельны. Чтобы доказать эту теорему с помощью противоречия, предположим, что две прямые не параллельны, и покажем, что соответствующие углы не могут совпадать.

Рисунок 10.9 l и м нарезаны поперечным углом t, l? ? Мистер ? ? l, и r, m, и l пересекаются в точке О.

  • Теорема 10.7 : Если две прямые пересекаются трансверсалью так, что соответствующие углы совпадают, то эти прямые параллельны.

Схема этой ситуации показана на рисунке 10.8. Две прямые l и m пересекаются поперечиной t, а? 1 и? 2 — соответствующие углы.

  • Дано: l и m пересекаются поперечным сечением t, l? /? м.
  • Докажите:? 1 и? 2 не совпадают (? 1 ~ / =? 2).
  • Доказательство: Предположим, что l? /? м. Поскольку l и m пересекаются трансверсалью t, m и t должны пересекаться.Вы можете назвать точку пересечения m и t точкой O. Поскольку l — это , а не , параллельное m, мы можем найти прямую, скажем r, которая проходит через O, а — это , параллельное l. Я нарисовал эту новую линию на рис. 10.9. На этом новом чертеже? 3 и? 2 — соответствующие углы, поэтому согласно Постулату 10.1 они совпадают. Но подождите минутку! Если? 2 ~ =? 3 и m? 3 + m? 4 = m? 1 согласно Постулату сложения углов, то m? 2 + m? 4 = m? 1. Поскольку m? 4> 0 (согласно Постулату транспортира), это означает, что m? 2
Утверждения Причины
1. l и m — две линии, разрезанные поперечной t, с 1 | / | m Дано
2. Пусть r будет прямой, проходящей через точку O, параллельной l 5-й постулат Евклида
3. ? 3 и? 2 — соответствующие углы Определение соответствующие углы
4. ? 2 ~ =? 3 Постулат 10.1
5. м? 2 = m? 3 Определение ~ =
6. m? 3 + m? 4 = m? 1 Постулат сложения углов
7. m? 2 + m? 4 = m? 1 Замена (шаги 5 и 6)
8. m? 4> 0 Постулат транспортира
9. m? 2 Определение неравенства
10. ? 4 ~ / =? 8 Определение ~ =

Это завершает ваше доказательство от противного.Остальные теоремы, которые вы докажете в этом разделе, будут использовать теорему 10.7. Остальные теоремы этого раздела являются обратными теоремам, доказанным ранее.

Давайте взглянем на некоторые другие угловые отношения, которые можно использовать, чтобы доказать, что две прямые параллельны. Эти две теоремы похожи, и, честно говоря, я докажу первую, а вам оставлю доказывать вторую.

  • Теорема 10.8 : Если две прямые пересекаются трансверсалью так, что чередующиеся внутренние углы совпадают, то эти прямые параллельны.
  • Теорема 10.9 : Если две прямые пересекаются трансверсалью так, что чередующиеся внешние углы совпадают, то эти прямые параллельны.

На рисунке 10.10 показаны две линии, разрезанные поперечной точкой t, с чередующимися внутренними углами, обозначенными? 1 и? 2.

Рис. 10.10 l и м разрезаны поперечным углом t, и ? 1 и ? 2 — альтернативные внутренние углы .

  • Дано: l и m пересекаются поперечной точкой t, причем? 4 ~ =? 8.
  • Подтвердите: l? ? м.
  • Доказательство: план игры прост. Чтобы использовать теорему 10.7, вам нужно показать, что соответствующие углы конгруэнтны. Вы можете использовать тот факт, что? 1 и? 2 — вертикальные углы, поэтому они совпадают. Поскольку? 2 и? 3 — соответствующие углы, если вы можете показать, что они совпадают, то вы сможете сделать вывод, что ваши прямые параллельны. Переходное свойство конгруэнтности, так сказать, забьет гвоздь в гроб.
Заявления Причины
1. l и m — две линии, разделенные поперечным t, причем? 4 ~ =? 8 Дано
2. ? 1 и? 3 — вертикальные углы Определение вертикальных углов
3. ? 1 ~ =? 3 Теорема 8.1
4. ? 2 и? 3 — соответствующие углы Определение соответствующих углов
5. ? 2 ~ =? 3 Переходное свойство ~ =
6. л? ? m Теорема 10.7

Теорема 10.4 установила тот факт, что если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то внутренние углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными углами. Теорема 10.5 утверждает, что если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то внешние углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными углами. Пришло время доказать обратное этим утверждениям. Разделим работу: я докажу теорему 10.10, и вы позаботитесь о теореме 10.11.

  • Теорема 10.10 : Если две прямые пересекаются трансверсалью так, что внутренние углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными, то эти прямые параллельны.
  • Теорема 10.11 : Если две прямые пересекаются трансверсалью так, что внешние углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными, то эти прямые параллельны.

Рисунок 10.11 поможет вам визуализировать эту ситуацию.Две прямые, l и m, пересекаются поперечиной t с внутренними углами на одной стороне поперечины, обозначенными как? 1 и? 2.

Рисунок 10.11 l и м, разрезаны поперечным углом t, и ? 1 и ? 2 — внутренние углы на одной стороне поперечного.

  • Дано: l и m пересекаются поперечиной t,? 1 и? 2 — дополнительные углы.
  • Подтвердите: l? ? м.
  • Доказательство: вот план игры.Чтобы использовать теорему 10.7, вам нужно показать, что соответствующие углы конгруэнтны. Но было бы проще использовать теорему 10.8, если бы вы могли показать, что? 2 и? 3 конгруэнтны. Вы можете сделать это довольно легко, если примените то, что вы обнаружили. Поскольку? 1 и? 3 — дополнительные углы, а? 1 и? 2 — дополнительные углы, можно сделать вывод, что? 2 ~ =? 3. Затем вы применяете теорему 10.8, и ваша работа сделана.
Заявления Причины
1. l и m — две линии, пересеченные поперечной t, 1 и 2 — дополнительные углы. Дано
2. ? 1 и? 3 — дополнительные углы Определение дополнительных углов
3. ? 2 ~ =? 3 ? 1 и? 3 — дополнительные углы, а? 1 и? 2 — дополнительные углы
4. l? ? m Теорема 10.8

В сложном мире сложная теорема требует сложного рисунка.Если ваш рисунок слишком сложен, может быть трудно решить, какие линии параллельны из-за совпадающих углов. Рассмотрим рисунок 10.12. Предположим, что? 1 ~ =? 3. Какие прямые должны быть параллельны? Поскольку? 1 и? 3 — соответствующие углы при просмотре линий o и n, пересеченных поперечными m, o? ? п.

Рисунок 10.12 Пересечение прямых l, m, n и o.

Поместите меня, автобус !

Вот ваш шанс проявить себя. Помните, что я с вами по духу и дал ответы на эти вопросы в разделе «Ключ ответов».

  1. Если l? ? m, как на рисунке 10.4, с m? 2 = 2x — 45 и m? 1 = x, найдите m? 6 и m? 8.
  2. Напишите формальное доказательство теоремы 10.3.
  3. Напишите формальное доказательство теоремы 10.5.
  4. Докажите теорему 10.9.
  5. Докажите теорему 10.11.
  6. Какие линии должны быть параллельны на рис. 10.12, если? 3 ~ =? 11?

Выдержка из The Complete Idiot’s Guide to Geometry 2004 Дениз Сечей, доктор философии. Все права защищены, включая право на воспроизведение полностью или частично в любой форме.Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476. Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

Геометрия Глава 3 Теоремы и постулаты Карточки

Постулат соответствующих углов (Постулат 3-1)

Если трансверсаль пересекает две параллельные прямые, то соответствующие углы конгруэнтны.

Теорема об альтернативных внутренних углах (теорема 3-1)

Если трансверсаль пересекает две параллельные прямые, то альтернативные внутренние углы конгруэнтны.

Теорема о односторонних внутренних углах (теорема 3-2)

Если трансверсаль пересекает две параллельные прямые, то внутренние углы одной стороны являются дополнительными.

Теорема об альтернативных внешних углах (теорема 3-3)

Если трансверсаль пересекает две параллельные прямые, то альтернативные внешние углы конгруэнтны.

Конверсия постулата соответствующих углов (постулат 3-2)

Если две прямые и трансверсаль от соответствующих углов совпадают, то прямые параллельны.

Обратное к теореме об альтернативных внутренних углах (теорема 3-4)

Если две прямые и поперечная форма чередуют внутренние углы, которые совпадают, то эти две прямые параллельны

Обратное к теореме об односторонних внутренних углах (теорема 3-5)

Если две прямые и трансверсаль образуют внутренние углы одной стороны, которые являются дополнительными, то эти две прямые параллельны.

Обратное к теореме об альтернативных внешних углах (теорема 3-6)

Если две прямые и трансверсаль от чередующихся внешних углов, то эти две прямые параллельны.

Теорема 3-7
Если две линии параллельны одной линии, то что они друг другу?

параллельный

Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу

Теорема 3-8
На плоскости, если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то что они друг для друга?

parallel

Если на плоскости две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу.

Теорема о перпендикулярной трансверсальности (теорема 3-9)

на плоскости, если линия перпендикулярна одной из двух параллельных линий, то она также перпендикулярна другой.

Параллельный постулат (Постулат 3-3)

Через точку не на прямой проходит одна-единственная прямая, параллельная данной прямой.

Теорема треугольника о сумме углов (теорема 3-10)

Сумма углов треугольника равна 180.

Теорема о внешнем угле треугольника (теорема 3-11)

мера каждого внешнего угла треугольника равна сумме мер его двух удаленных внутренних углов

Перпендикулярный постулат (постулат 3-4)

через точку не на прямой, есть одна и только одна прямая, перпендикулярная данной прямой

Теорема о сумме треугольника — объяснение и примеры

Мы знаем, что разные треугольники имеют разные углы и длины сторон, но одно остается неизменным — каждый треугольник состоит из трех внутренних углов и трех сторон, которые могут быть одинаковой длины или разной длины.

Например, прямоугольный треугольник имеет один угол, равный точно 90 градусам, и два острых угла.

Равнобедренный треугольник имеет два равных угла и две равные длины сторон. Равносторонние треугольники имеют одинаковые углы и одинаковую длину сторон. Треугольники из шкалы имеют разные углы и разную длину сторон.

Несмотря на то, что все эти треугольники различаются по углам или длинам сторон, все они подчиняются одним и тем же правилам и свойствам.

В этой статье вы узнаете о:

  • Теореме о сумме треугольника,
  • о внутренних углах треугольника и
  • Как использовать теорему о сумме треугольников, чтобы найти внутренние углы треугольника?

Что такое внутренний угол треугольника?

В геометрии внутренние углы треугольника — это углы, которые образуются внутри треугольника.

Внутренние углы обладают следующими свойствами:

  • Сумма внутренних углов составляет 180 градусов (теорема о сумме углов треугольника).
  • Все внутренние углы треугольника больше 0 °, но меньше 180 °.
  • Биссектрисы всех трех внутренних углов пересекаются внутри треугольника в точке, называемой центром, которая является центром внутренней окружности треугольника.
  • Сумма каждого внутреннего угла и внешнего угла равна 180 ° (прямая линия).

Что такое теорема о сумме углов треугольника?

Одно общее свойство треугольников состоит в том, что все три внутренних угла в сумме составляют 180 градусов. Это подводит нас к важной теореме в геометрии, известной как теорема о сумме углов треугольника.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма трех внутренних углов в треугольнике всегда равна 180 °.

Мы можем это сделать так:

∠a + ∠b + ∠c = 180 °

Как найти внутренние углы треугольника?

Если известны два внутренних угла треугольника, можно определить третий угол с помощью теоремы о сумме углов треугольника.Чтобы найти третий неизвестный угол треугольника, вычтите сумму двух известных углов из 180 градусов.

Давайте рассмотрим несколько примеров задач:

Пример 1

Треугольник ABC таков, что ∠A = 38 ° и ∠B = 134 °. Рассчитайте ∠C.

Решение

По теореме о сумме углов треугольника мы имеем;

∠A + ∠B + ∠C = 180 °

⇒ 38 ° + 134 ° + ∠Z = 180 °

⇒ 172 ° + ∠C = 180 °

Вычесть обе стороны на 172 °

⇒ 172 ° — 172 ° + ∠C = 180 ° — 172 °

Следовательно, C = 8 °

Пример 2

Найдите недостающие углы x в треугольнике, показанном ниже.

Решение

По теореме о сумме углов треугольника (сумма внутренних углов = 180 °)

⇒ x + x + 18 ° = 180 °

Упростите, объединив похожие термины.

⇒ 2x + 18 ° = 180 °

Вычтите обе стороны на 18 °

⇒ 2x + 18 ° — 18 ° = 180 ° — 18 °

⇒ 2x = 162 °

Разделите обе стороны на 2

⇒ 2x / 2 = 162 ° / 2

x = 81 °

Пример 3

Найдите недостающие углы внутри треугольника ниже.

Решение

Это равнобедренный прямоугольный треугольник; следовательно, один угол равен 90 °

⇒ x + x + 90 ° = 180 °

⇒ 2x + 90 ° = 180 °

Вычесть обе стороны на 90 °

⇒ 2x + 90 ° — 90 ° = 180 ° — 90 °

⇒ 2x = 90 °

⇒ 2x / 2 = 90 ° / 2

x = 45 °

Пример 4

Найдите углы треугольника, второй угол которого превышает первый угол. на 15 °, а третий угол на 66 ° больше второго.

Раствор

Let;

1 ST угол = x °

2 ND угол = (x + 15) °

3 RD угол = (x + 15 + 66) °

По теореме о сумме углов треугольника,

x ° + (x + 15) ° + (x + 15 + 66) ° = 180 °

Соберите похожие термины.

⇒ 3x + 81 ° = 180 °

⇒ 3x = 180 ° — 81 °

⇒ 3x = 99

x = 33 °

Теперь подставим x = 33 ° в три уравнения.

1 ST угол = x ° = 33 °

2 ND угол = (x + 15) ° = 33 ° + 15 ° = 48 °

3 RD угол = (x + 15 + 66 ) ° = 33 ° + 15 ° + 66 ° = 81 °

Следовательно, три угла треугольника равны 33 °, 48 ° и 81 °.

Пример 5

Найдите недостающие внутренние углы на следующей диаграмме.

Решение

Угол y ° и (2x + 10) ° — дополнительные углы (сумма равна 180 °)

Следовательно,

⇒ y ° + (2x + 10) ° = 180 °

⇒ y + 2x = 170 ° ……………… (i)

Кроме того, по теореме суммы углов треугольника

⇒ x + y + 65 ° = 180 °

⇒ x + y = 115 ° ………… ……… (ii)

Решите два одновременных уравнения заменой

⇒ y = 170 ° — 2x

⇒ x + 170 ° — 2x = 115 °

⇒ -x = 115 ° -170 °

x = 55 °

Но, y = 170 ° — 2x

= 170 ° — 2 (55) °

⇒ 170 ° — 110 °

y = 60 °

Следовательно, отсутствующие углы составляют 60 ° и 55 °

Пример 6

Вычислите значение x для треугольника с углами; x °, (x + 20) ° и (2x + 40) °.

Решение

Сумма внутренних углов = 180 °

x ° + (x + 20) ° + (2x + 40) ° = 180 °

Упростите.

x + x + 2x + 20 ° + 40 ° = 180 °

4x + 60 ° = 180 °

Вычтем 60 с обеих сторон.

4x + 60 ° — 60 ° = 180 ° — 60 °

4x = 120 °

Теперь разделите обе стороны на 4.

4x / 4 = 120 ° / 4

x = 30 °

Следовательно, углы треугольника равны 30 °, 50 ° и 100 °.

Пример 7

Найдите недостающие углы на диаграмме ниже.

Решение

Треугольник ADB и BDC — это равнобедренные треугольники.

∠ DBC = ∠DCB = 50 °

∠ BAD = ∠ DBA = x °

Следовательно,

50 ° + 50 ° + ∠BDC = 180 °

∠BDC = 180 ° — 100 °

∠ BDC = 80 °

Но, z ° + 80 ° = 180 ° (Углы на прямой)

Следовательно, z = 100 °

В треугольнике ADB:

z ° + x + x = 180 °

100 ° + 2x = 180 °

2x = 180 ° — 100 °

2x = 80 °

x = 40 °

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок .

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *