Турнир городов решения задач: Турнир Городов — задачи

Содержание

Турнир городов — математическая олимпиада

Турнир городов — математическая олимпиада для школьников 6–11 классов. Охватывает многие города России, а также некоторые города стран ближнего и дальнего зарубежья. Очень престижна, поскольку задачи тургора весьма трудны.

Регистрация участников — в ЕСР.

Олимпиада состоит из двух туров — осеннего и весеннего. Каждый тур, в свою очередь, состоит из двух вариантов — базового и сложного. Сначала школьники пишут базовый вариант, а через две недели — сложный.

В Москве весенний тур не проводится — к нему приравнивается Московская математическая олимпиада.

Можно писать независимо любой тур: осенний базовый, осенний сложный, весенний базовый, весенний сложный. Вашим итоговым результатом будет наибольшая сумма баллов, набранная в каком-либо туре. Если хотя бы в одном из туров вам удастся набрать достаточно высокий балл, то вы получите диплом победителя. Хорошие работы, немного не дотянувшие до диплома победителя, могут получить премию жюри.

Турнир городов проводится в двух параллелях: 8–9 классы и 10–11 классы.

В младшей параллели участвуют школьники начиная с шестого класса. Чтобы учесть класс, при оценке работ вводятся поправочные коэффициеты: баллы шестиклассника умножаются на 2, семиклассника — на 1.5, восьмиклассника — на 4/3 (баллы девятиклассника остаются как есть). В старшей параллели результат десятиклассника умножается на 1.25.

А что насчёт льгот при поступлении? Чтобы получить их, 11-классник должен выиграть финальный устный тур (то есть стать победителем или призёром). На устный тур приглашаются победители какого-либо тура прошлогоднего Турнира городов, победители осеннего тура текущего года, а также обладатели дипломов I и II степени Московской математической олимпиады.

Турнир городов в Перечне РСОШ имеет первый уровень.

Задачи Турнира городов последних лет

ОБ ОС ВБ ВС
8–9 классы 17, 16, 15 17, 16, 15 17, 16, 15 17, 16, 15
10–11 классы 17, 16, 15 17, 16, 15 17, 16, 15 17, 16, 15

школьников приглашают принять участие в международной олимпиаде по математике / Новости города / Сайт Москвы

Для учеников 8–11-х классов пройдет международная олимпиада по математике «Турнир городов». Продемонстрировать свои знания ребята смогут 10 или 24 октября. Дата будет зависеть от выбранного уровня заданий: базового или сложного. Однако попробовать свои силы можно оба дня. Для того чтобы стать участником, необходимо зарегистрироваться на официальном сайте турнира. 

Сложные задания будут сопоставимы по уровню с задачами Всероссийской олимпиады школьников по математике и Международной математической олимпиады. Для тех, кто выберет базовый уровень, задания будут несколько проще. На их выполнение школьникам дадут пять часов. В каждом варианте одного тура засчитываются только три лучших результата по задачам. Участники, показавшие в одном из вариантов какого-либо тура высокий результат, получат диплом победителя.

По словам научного руководителя Центра педагогического мастерства Ивана Ященко, особенность турнира заключается в том, что он ориентирует участников на углубленную работу над задачей.

«“Турнир городов” — это престижное математическое соревнование. Участниками ежегодно становятся ребята не только из России, но и из других стран мира. Олимпиада направлена на развитие у школьников качеств, которые пригодятся в исследовательской работе. Одной из особенностей турнира является возможность участника выбрать задачи, которые он будет решать. В этом состязании проявляется олимпийский принцип: главное — не спортивный успех, а участие, решение красивых и ярких математических задач, составленных международным жюри», — подчеркнул Иван Ященко.

Для победителей среди одиннадцатиклассников весной 2022 года пройдет финальный тур. На нем участникам предстоит не только справиться с набором сложных задач, но и защитить свои решения перед жюри. В финале могут принять участие и десятиклассники, ставшие в прошлом году победителями осеннего или весеннего тура или обладателями дипломов Московской математической олимпиады.

Потренироваться на заданиях прошлых лет или узнать больше о турнире можно на официальном сайте. Организаторами соревнования выступают Центр педагогического мастерства и Московский центр непрерывного математического образования. 

В современном городе большинство специальностей требуют знания математики. Иметь хорошую базу, чтобы реализовать себя во многих смежных дисциплинах, например в робототехнике, инженерном деле или экономике, московским школьникам помогает проект «Математическая вертикаль». Ребята получают математические знания и прикладные умения для решения теоретических и практико-ориентированных задач.

«Турнир городов»— международная олимпиада по математике, которая проводится с 1980 года. Соревнование проходит более чем в 100 городах более чем 25 государств. Авторы лучших работ приглашаются на летнюю конференцию. Состязание вошло в проект перечня олимпиад Минобрнауки России на 2021/2022 учебный год, дающих право на получение льгот при поступлении в вузы страны.

Международная математическая олимпиада «Турнир городов» – шаг в большую науку

Традиционно в октябре Чувашский государственный университет становится площадкой проведения Международной математической олимпиады школьников «Турнир Городов». Олимпиада проходит в два дня, первый день – «базовый», второй – «сложный». Уровень задач базового варианта близок к региональному этапу, а сложного – к заключительному этапу Всероссийской олимпиады школьников по математике.

В этом году Турнир прошел 7 и 21 октября и стал самым представительным в Чувашии за последние годы. В решении задач базового варианта приняли участие около 160 учеников, а задач сложного варианта – более 100 учеников 7-11 классов, представляющих МБОУ «Лицей № 2», МАОУ «Лицей № 3», МАОУ «Лицей № 44», МБОУ «Лицей № 44», МАОУ «Гимназия № 5», МБОУ «СОШ № 20», МБОУ «СОШ №24», МБОУ «СОШ № 31», МБОУ «СОШ № 41», МБОУ «СОШ № 49» и МБОУ «СОШ № 55» г. Чебоксары, МБОУ «Лицей № 18» и МБОУ «СОШ № 14» г. Новочебоксарск. Организатором Турнира выступил Центр по работе с одаренной молодежью ЧГУ, а провести его помогли преподаватели Малого физико-математического факультета и студенты факультета прикладной математики, физики и информационных технологий.

Результаты обоих этапов будут опубликованы в конце 2018 года. Желаем удачи всем участникам Турнира!

Для справки: «Турнир городов» – Международная олимпиада по математике для школьников, которая проходит с 1980 года более чем в 100 городах более 25 государств Европы, Азии, Южной и Северной Америки, Австралии и Новой Зеландии. В нем 2 тура – осенний и весенний, каждый из которых состоит из двух вариантов – базового и сложного. Сложный вариант олимпиады сопоставим по трудности с заключительным этапом, базовый – с региональным этапом Всероссийской олимпиады школьников. Участие в каком-либо туре и варианте не зависит от участия в другом. Каждый вариант проводится отдельно для младших (8−9 классы) и для старших (10−11 классы). Любой школьник (любого класса) может участвовать в Турнире для своего класса или старше.

Турнир городов – это не соревнование на скорость решения задач, это вступление в большую науку. В каждом варианте каждого тура засчитываются три лучших результата по решенным задачам. Участники, показавшие в одном из вариантов какого-либо тура достаточно высокий результат, получают диплом победителя или призера Турнира городов. Финальный устный тур проводится только для 11-классников из России и других стран СНГ, получивших диплом победителя в 10 классе (осенью или весной) или на осеннем туре в 11 классе. «Турнир городов» входит в Перечень олимпиад школьников на 2018/19 учебный год (приказ Министерства науки и высшего образования Российской Федерации от 28 августа 2018 года № 32н).

No images found.

Турнир городов — Математический кружок «Совёнок»

Результаты местной проверки Весна-2017 (7-9 кл.) здесь

Результаты местной проверки Осень-2016 (7-9 кл.) здесь

Результаты местной проверки Весна-2016 (7-9 кл.) здесь

Список победителей устного тура 37 Турнира городов (20.03.16)

Результаты местной проверки Осень-2015 здесь

Результаты местной  проверки Осень-2014 здесь

Список победителей устного тура 35 Турнира городов (10.03.14)

Задания осенних туров 35 Турнира городов.

Результаты местной  проверки Осень-2013 здесь и Весна-2014 здесь.

Лучшие работы высланы в Москву на перепроверку.

Общая информация

Турнир Городов — меж­ду­народ­ная олим­пи­ада по ма­тема­тике для школь­ни­ков. Задания расс­чи­таны на учащихся 8−11 классов. Осо­бен­ность Турнира городов в том, что он ори­ен­ти­ру­ет участ­ни­ков не на спор­тивный успех, а на уг­лублён­ную работу над задачей, т.е. раз­ви­ва­ет качества, не­об­хо­димые в исс­ле­дова­тель­ской работе.

Турнир про­водит­ся ежегодно с 1980 года, а с 1989 года про­водят­ся 2 тура — осенний и весенний, каждый из которых состоит из двух ва­ри­ан­тов — базового и сложного. Сложный вариант олим­пи­ады со­пос­та­вим по труд­ности со Все­рос­сий­ской и Меж­ду­народ­ной ма­тема­тичес­кой олим­пи­адой, базовый — нес­коль­ко проще. Участие в каком-либо туре и варианте не зависит от участия в другом. Каждый вариант про­водит­ся отдельно для младших (8−9 классы) и для старших (10−11 классы). Любой школьник (любого класса) может участ­во­вать в Турнире для своего класса или старше.

В каждом варианте каждого тура зас­чи­тыва­ют­ся три лучших ре­зуль­та­та по задачам. Участ­ни­ки, по­казав­шие в одном из ва­ри­ан­тов какого-либо тура дос­та­точ­но высокий ре­зуль­тат, получают диплом по­беди­теля Турнира городов. Фи­наль­ный устный тур про­водит­ся только для 11-класс­ни­ков, по­лучив­ших диплом по­беди­теля в 10 классе (осенью или весной) или на осеннем туре в 11 классе. Льготы для пос­тупле­ния в про­филь­ные вузы пре­дос­тавля­ют­ся по­беди­телям и призёрам устного тура (нес­коль­ко десятков человек ежегодно).

Участие в Турнире бесп­лат­ное.

Турнир городов в Новосибирске

С середины 80-х годов Турнир городов ежегодно проводится в Новосибирске. Его первым руководителем в нашем городе в течение почти 20 лет был замечательный новосибирский математик и педагог, ныне покойный Борис Аронович Вертгейм. В последние годы (8 лет) председателем Новосибирского оргкомитета Турнира городов является сотрудник Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН Алексей Николаевич Глебов.

За все годы проведения Турнира городов в Новосибирске сотни школьников нашего города и других городов Новосибирской области удостоились дипломов победителей Турнира, а более десятка новосибирских школьников, показавших наиболее высокие результаты, заслужили право участвовать в Летней конференции Турнира городов (ЛКТГ), представляющей из себя уникальный форум по решению школьниками научно-исследовательских задач, и проводящийся с 1989 года в различных регионах России, Белоруссии, Эстонии, Югославии и Германии. В этом непростом и представительном математическом соревновании новосибирские школьники, включая принимавших участие в ЛКТГ в 2012 году Матвеева Максима и Новикова Александра, проявили себя с самой лучшей стороны, показав высокие (а в ряде случаев максимальные) результаты при решении циклов исследовательских задач, относящихся к разным разделам современной математики.

Ссылка на страничку Летних конференций турнира городов.
Ссылка на таблицу всех Летних конференций Турнира городов с указанием участников и членов жюри из Новосибирска.


Олимпиады и конкурсы наших партнеров


Международный математический турнир городов

РЕМШ является региональным представителем Международного математического турнира городов.

Турнир Городов — международная олимпиада по математике для школьников. Задания рассчитаны на учащихся 8−11 классов. Особенность Турнира городов в том, что он ориентирует участников не на спортивный успех, а на углублённую работу над задачей, то есть развивает качества, необходимые в исследовательской работе. Турнир проводится ежегодно с 1980 года, а с 1989 года проводятся 2 тура — осенний и весенний, каждый из которых состоит из двух вариантов — базового и сложного. Сложный вариант олимпиады сопоставим по трудности со Всероссийской и Международной математической олимпиадой, базовый — несколько проще. Участие в каком-либо туре и варианте не зависит от участия в другом. Каждый вариант проводится отдельно для младших (8−9 классы) и для старших (10−11 классы). Любой школьник (любого класса) может участвовать в Турнире для своего класса или старше.

За справками обращаться: г. Майкоп, ул. Советская, 180. Тел. 8-8772-52-72-50.

Официальный сайт международного математического турнира городов: turgor.ru

Назад


Международная игра-конкурс «Русский медвежонок — языкознание для всех».

Языкознание кажется многим школьникам сводом сухих и скучных правил. Чтобы преодолеть это заблуждение, открыть детям красоту науки о языке, с 2000 года ежегодно в середине ноября проводится международная игра-конкурс «Русский медвежонок — языкознание для всех». В 2011 году она привлекла 2 844 173 участника из России, Украины, Казахстана, Армении, Латвии, Молдовы, Кыргызстана, Узбекистана, Эстонии, Индии, Израиля, ОАЭ, США, Германии, Финляндии, Великобритании, Болгарии и других стран. В Республике Адыгея конкурс проводится, начиная с 2003 года.

Игра проводится прямо в школах, не требует от учителя особых усилий, а задания веселы, занимательны и в большинстве доступны не только «одаренным», но и самым обычным детям (что не мешает их содержательности). Даже те участники, которые не слишком увлекаются языкознанием, верно решают хотя бы несколько задач, и мало кто уходит обиженным.

Республиканская естественно-математическая школа при АГУ является региональным представителем игры-конкурса «Русский медвежонок — языкознание для всех». Участвуют в нем школы города Майкопа и Республики Адыгея, а это ежегодно около 10 тысяч учащихся из 120-130 учебных заведений. Традиционно учащиеся РЕМШ попадают в список лучших по России.

Количество участников игры-конкурса «Русский Медвежонок» в Республике Адыгея

По вопросам участия в игре-конкурсе «Русский медвежонок» обращаться по адресу:
г. Майкоп, ул. Советская, 180. Тел. 8-8772-52-72-50

Официальный сайт конкурса: rm.kirov.ru

Назад


Международный дистанционный Конкурс по информатике «Бобёр»

С 12 по 15 ноября 2012 года впервые в России проводился Международный конкурс по информатике «Бобёр-2012» . Республиканская естественно — математическая школа при Адыгейском государственном университете с 2012 года является региональным представителем конкурса.

Главные принципы конкурса «Бобёр» заимствованы у математического соревнования «Кенгуру», который очень популярен во всем мире. Отличает его от «Кенгуру» то, что «Бобёр» является полностью компьютеризированным конкурсом и проводится через Интернет в режиме онлайн.

Главная цель конкурса «Бобёр» состоит в том, чтобы способствовать росту интереса у школьников к информационно-компьютерным технологиям (ИКТ) с первых дней пребывания в школе.

Поскольку ИКТ становятся повседневно используемым инструментом, важными являются познавательные, социальные, культурные и межкультурные аспекты конкурса.

По вопросам участия в конкурсе обращаться по адресу:
г. Майкоп, ул. Советская, 180. Тел. 8-8772-52-72-50.

Официальный сайт конкурса: bebras.ru

Назад


Областная телекоммуникационная обучающая олимпиада по информатике Ярославского Центра телекоммуникаций и информационных систем в образовании

Олимпиада по информатике – телекоммуникационный образовательный проект, проводимый Ярославским Центром телекоммуникаций и информационных систем в образовании совместно с Ярославским Государственным Университетом им. П.Г. Демидова. Проект проводится с 1999 года.

По вопросам участия в проектах Ярославского Центра телекоммуникаций и информационных систем в образовании обращаться по адресу:
г. Майкоп, ул. Советская, 180. Тел. 8-8772-52-72-50

Также заходите на сайт: edu.yar.ru

Назад

 

Интернет — проект «Удивительный мир физики» Ярославского Центра телекоммуникаций и информационных систем в образовании

«Удивительный мир физики» — телекоммуникационный образовательный проект, проводимый Ярославским Центром телекоммуникаций и информационных систем в образовании совместно с Ярославским государственным педагогическим университетом им. К.Д. Ушинского. Проходит в двух турах. Участие в Интернет — проекте могут принять команды обучающихся (от 3 до 5 участников в одной команде) в пяти возрастных категориях: 7 класс, 8 класс, 9 класс, 10 класс, 11 класс. По итогам каждого тура команды-участники, набравшие 1 и более баллов, получают электронный Сертификат участника. Педагоги-руководители команд, показавших положительный результат в выполнении работ, получают электронное благодарственное письмо, подписанное Оргкомитетом.

По вопросам участия в проектах Ярославского Центра телекоммуникаций и информационных систем в образовании обращаться по адресу:
г. Майкоп, ул. Советская, 180. Тел. 8-8772-52-72-50

Также заходите на сайт: edu.yar.ru

Назад


Дистанционная эколого-биологическая викторина Ярославского Центра телекоммуникаций и информационных систем в образовании

Дистанционная эколого-биологическая викторина проводится с 1996 года.

Участники викторины совершают увлекательное и познавательное Интернет-путешествие по далеким и близким уголкам Земли, узнавая о жизни планеты. Вместе изучают насекомых, птиц, рыб, растения, историю биологии и экологию, генетику, аквариумистику, орнитологию, биотехнологию, цитологию.

Участие принимают школьники 7-11 классов. В каждой команде, как правило, 5 человек.

Каждая команда получает после регистрации доступ к Виртуальному кабинету команды.

С помощью Виртуального кабинета команда:

  • публикует свою Визитную карточку
  • узнает новости проекта, уточняет ключевые даты
  • с помощью ссылки «Пройти тестирование» дает ответы на задания тура
  • отправляет письма координатору
  • оставить свои отзывы и пожелания организаторам проекта

По вопросам участия в проектах Ярославского Центра телекоммуникаций и информационных систем в образовании обращаться по адресу:
г. Майкоп, ул. Советская, 180. Тел. 8-8772-52-72-50

Также заходите на сайт: edu.yar.ru

Назад


Математическая онлайн-игра Ярославского Центра телекоммуникаций и информационных систем в образовании

Математическая онлайн-игра– соревнование команд школьников 5-6 классов по решению математических задач. В рамках математической онлайн-игры проводятся регулярные турниры-видеоконференции. В ходе каждого турнира команды решают задачи и получают баллы за правильные сданные ответы, а также в режиме видеоконференции Webunicom могут рассказать свои решения задач или принять участие в обсуждении решений других команд, за что также получают дополнительные баллы.

Участие принимают школьники 5-7 классов. В каждой команде, как правило, 5 человек.

Математическая онлайн-игра – это возможность:

  • попробовать себя в решении увлекательных задач;
  • проявить свой кругозор и смекалку;
  • предложить свои способы решения задач;
  • пообщаться с помощью Интернет-технологий с учеными-математиками.

По вопросам участия в проектах Ярославского Центра телекоммуникаций и информационных систем в образовании обращаться по адресу:
г. Майкоп, ул. Советская, 180. Тел. 8-8772-52-72-50

Также заходите на сайт: edu.yar.ru

Назад

 

Организация и проведение (совместно с МОиН РА) III этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике, информатике, астрономии, физике, биологии.

В региональном этапе Олимпиады по каждому общеобразовательному предмету принимают участие учащиеся 9-11 классов, а именно:

  • Победители и призеры муниципального этапа Олимпиады текущего учебного года
  • Победители и призеры регионального этапа Олимпиады предыдущего учебного года
  • Победители школьного этапа Олимпиады текущего учебного года из числа обучающихся.

Победители и призеры регионального этапа Олимпиады награждаются дипломами.

Подробности на информационном портале ВОШ: rosolymp.ru и по адресу: г. Майкоп, ул. Советская, 180. Тел. 8-8772-52-72-50

Назад


Международный математический конкурс-игра «Кенгуру»

Миллионам ребят во многих странах мира давно уже не надо объяснять, что такое «Кенгуру», — это массовый международный математический конкурс-игра под девизом «Математика для всех». Главная цель конкурса — привлечь как можно больше ребят к решению математических задач, показать каждому школьнику, что обдумывание задачи может быть делом живым, увлекательным, и даже веселым!

В России конкурс впервые был проведен в 1994 году по инициативе Санкт-Петербургского Математического общества. Начиная с 1995 года, проведением конкурса руководит Российский оргкомитет, созданный в Санкт-Петербурге при Институте продуктивного обучения Российской академии образования. Непосредственную организационную работу взял на себя Центр технологии тестирования «Кенгуру плюс». В Республике Адыгея конкурс проводится с 2002 года.

Конкурс «Кенгуру», обращенный к самым обыкновенным школьникам, быстро завоевал симпатии и ребят, и учителей. Задания конкурса составлены так, чтобы каждый ученик, даже тот, кто недолюбливает математику, а то и побаивается ее, нашел для себя интересные и доступные вопросы. Ведь главная цель этого соревнования — заинтересовать ребят, вселить в них уверенность в своих возможностях, а его девиз — «Математика для всех».

Количество участников «Кенгуру» в России росло очень быстро, и в 2012 году оно превысило 2 миллиона.

Республиканская естественно-математическая школа при АГУ является региональным представителем игры-конкурса «Кенгуру». Ежегодно около 10 000 учащихся из 120-130 школ города Майкопа и районов Республики Адыгея принимают участие в конкурсе. Традиционно учащиеся РЕМШ попадают в список лучших по России.

Количество участников конкурса-игры «КЕНГУРУ» в Республике Адыгея

По вопросам участия в конкурсе-игре «Кенгуру» обращаться по адресу:
г. Майкоп, ул. Советская, 180. Тел. 8-8772-52-72-50

Подробности на сайте: mathkang.ru

Назад


Весенняя естественно-математическая школы в ВДЦ «Орленок» на базе детского лагеря «Солнечный»

Сотрудничество с ВДЦ «Орленок» осуществляется и весной. На территории детского лагеря «Солнечный» в конце марта-начале апреля РЕМШ при АГУ проводит «Весеннюю сессию». Более 100 одарённых школьников из Республики Адыгея и Саратовской области принимают участие в проекте «Выездная школа», организованном Республиканской естественно-математической школой при АГУ и ВДЦ «Орлёнок». В программе «Выездной школы» предусматриваются курсы лекций по точным и естественно-научным предметам, а также подготовка ребят ко Всероссийской Олимпиаде. Школьники делятся на специализированные группы по направлениям — математика, физика, химия и биология, чтобы пройти курс углублённых занятий по этим предметам. С ними работают преподаватели РЕМШ при АГУ и члены жюри Всероссийской Олимпиады. Также юных математиков ждут традиционные орлятские огоньки, игровые, туристические и танцевальные программы, спортивные мероприятия, экскурсии по Центру, посещение бассейна и творческих мастерских.

По вопросам участия в весенней естественно-математической школы в ВДЦ «Орленок» обращаться по адресу:
г. Майкоп, ул. Советская, 180. Тел. 8-8772-52-72-50

Подробее на сайте: center-orlyonok.ru

Назад


Олимпиада им. Леонарда Эйлера

«Олимпиада им. Леонарда Эйлера» — это математическое соревнование для учащихся 8 классов, которое проводится в декабре-январе в три этапа: первый — дистанционный, второй — региональный и третий — заключительный. Участие принимают школьники не старше 8 класса. Проверка и оценка работ каждого этапа проводится по единым критериям, утверждённым Методическим советом Олимпиады. Региональный этап Олимпиады проводится для участников, отобранных по итогам дистанционного этапа в те же сроки, что и региональный этап Всероссийской олимпиады по математике, по заданиям, рекомендованным Методической комиссией Всероссийской олимпиады по математике.

К участию в региональном этапе Олимпиады могут допускаться также учащиеся, показавшие высокие результаты в других математических соревнованиях. РЕМШ при АГУ организует и проводит Олимпиаду и, конечно, принимает в ней самое активное участие. Ежегодно наши ребята проходят и на Заключительный этап. Так, например, в 2013 году участие в нем приняли — Датхужев Заур и Невструев Дмитрий. А в 2014г. — Горб Роман, Шарипов Саит и Бибов Айтеч.

По вопросам участия в олимпиаде обращаться по адресу:
г. Майкоп, ул. Советская, 180. Тел. 8-8772-52-72-50

Официальный сайт: matol.ru

Назад

Международный математический Турнир Городов прошёл в ВГУ — ВГУ имени П.М. Машерова

14 марта, в воскресенье, в главном корпусе ВГУ имени П.М. Машерова прошёл первый этап весеннего тура международной математической олимпиады для школьников 6-11 классов «Турнир городов».

В этом математическом состязании приняли участие более 200 учащихся школ города Витебска и Витебской области: среди 6-7 классов — 138 человек, 8-9 классов — 65 участников и 11 школьников 10-11 классов.

Ответственным организатором мероприятия выступил заместитель декана по учебной работе факультета математики и информационных технологий Шпаков Сергей Андреевич, ему помогали старшие преподаватели кафедры геометрии и математического анализа Бородич Сергей Митрофанович и Кавитова Татьяна Валерьевна. Также в организации мероприятия были задействованы студенты факультета: Петров Денис, Якимков Роман, Авдеев Тимофей, Атласова Виктория, Климято Елизавета, Сипаков Илья, Шиянов Данила, Хохлова Каролина, Огурцова Ариана, Чуков Георгий, Дуброва Никита, Евгеньева Карина, Сиренко Назария, Петраковская Анна.

Турнир проходит в весьма демократичной форме: четыре тура — два осенью и два весной, свободное участие в каждом туре любого школьника. Победителем можно стать по результатам любого тура, в котором участник достиг лучшего результата (для этого не нужно решать все задачи — достаточно решить три из них). Как правило, в каждом туре предлагается решить от 5 до 8 задач, на решение отводится 5 часов (300 минут).

Турнир пользуется популярностью — в нём участвуют школьники более чем из 100 городов многих стран мира от Австралии до Канады.

Результаты прошедшего тура турнира городов будут опубликованы на сайте Витебского областного института развития образования.

Юный математик из центра «На Донской» стал участником конференции международного Турнира городов 27.01.2021

С 26 января по 3 февраля 2021 года в онлайн-формате проходит 32-я конференция международного математического Турнира городов, на которую приглашаются школьники – победители международного математического Турнира городов и сопровождающие их учителя. В конференции участвует Николай Спивак, обучающийся центра «На Донской» образовательного комплекса «Воробьевы горы».

Турнир городов – математическая олимпиада, проходящая в более чем в сотне городов по всему миру. Для Николая Спивака это уже вторая конференция, в которой он принимает участие. Николай получил приглашение на конференцию по результатам заочного конкурса Турнира городов, который проходил в 2020 году.

Одна из целей конференции – приобщить способных школьников к решению задач исследовательского характера. Для этого организаторы предлагают им интересные трудные циклы задач (по традиции конференций их называют проектами), часто с выходом на открытые математические проблемы. Даже рассказ условий такого типа задач превращается в лекцию. Поэтому презентация проектов занимает, по крайней мере, день работы конференции.

Решение задач требует больших затрат времени и значительных интеллектуальных усилий. Поэтому организационно процесс решения проходит в свободной форме: даётся много времени (несколько дней), решения могут быть как индивидуальными, так и коллективными.

Допускается решение от любой группы объединившихся людей. Это не обязательно совпадает с «командой», приехавшей из одного города. Жюри назначает сроки сдачи письменных решений (по традиции их два), и для них прижились названия «предварительный финиш» и «окончательный финиш».

Сданные решения проверяются, оценивается степень продвижения участников в том или ином проекте. Затем проводится разбор решённых задач. Некоторые пункты после первого срока сдачи снимаются с конкурса.

Иногда после промежуточного разбора добавляются новые задачи. Критерии успеха также отличаются от традиционных: успешность выступления оценивается по наибольшему продвижению в одном из проектов. Фактически проводятся одновременно несколько конкурсов (по каждому проекту в отдельности).

Пожелаем Николаю Спиваку успехов на международной конференции!

Сайт Турнира городов.

Турнир городов: Архив задач

Проблемы
Круглый Младший O-Level Младший A-Level Senior O-Level Senior A-Level
Весна, 2001 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2001 Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2002 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2002 Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2003 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2003 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2004 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2004 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2005 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2005 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2006 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2006 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2007 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2007 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2008 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2008 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2009 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2009 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2010 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2010 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2011 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2011 Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2012 Скачать Скачать Скачать Скачать
На 2012/2013 см. Решения, которые также включают проблемы
Осень, 2013 Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2014 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2014 Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2015 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2015 Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2016 Скоро Скоро Скоро Скоро
Решения
Круглый Младший O-Level Младший A-Level Senior O-Level Senior A-Level
Весна, 2001 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2001 Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2002 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2002 Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2003 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2003 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2004 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2004 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2005 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2005 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2006 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2006 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2007 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2007 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2008 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2008 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2009 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2009 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2010 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2010 г. Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2011 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2011 Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2012 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2012 Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2013 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2013 Скачать Скачать Скачать Скачать
Весна, 2014 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2014 Скоро в продаже Скоро в продаже Скоро в продаже Скоро в продаже
Весна, 2015 Скачать Скачать Скачать Скачать
Осень, 2015 Скачать Скоро в продаже Скачать Скоро в продаже
Весна, 2016 Скоро Скоро Скоро Скоро
Уровень P

Турнир городов: Информация

Турнир Городов: Около

Международный математический турнир городов — математическое соревнование, зародившееся в России.В настоящее время в Турнире городов принимают участие студенты из более чем 100 городов в странах по всему миру, включая Австралию, Австрию, Болгарию, Канаду, Колумбию, Германию, Великобританию, Израиль, Россию, Словению, Украину и США. .

Основатель Турнира городов — выдающийся русский математик и педагог Николай Константинов. 23 года назад он был членом жюри Международной математической олимпиады (IMO). Его не устраивал элитарный характер ИМО.Он разработал «Турнир городов», чтобы отличаться от всех других математических соревнований, и воплотил свою мечту в реальность. Турнир Городов — самый демократичный и открытый конкурс .

Как вы знаете, большинство математических олимпиад проводится в несколько этапов, и только учащиеся, показавшие хорошие результаты на более низком уровне, допускаются к более высокому. В Турнире городов допускаются все желающие на любой уровень .

В Турнире городов есть два уровня сложности : некоторые задачи уровня А столь же сложны, как и задачи Международной математической олимпиады.Также существует Уровень 0, основная цель которого — привлечь всех учеников, интересующихся математикой. Тем не менее, уровень 0 по-прежнему сложен и труден.

Большинство задач Турнира городов не требуют специальных знаний или высокоразвитых технических навыков , но требуют воображения и свежих идей.

Есть ученики, которые думают быстро (но поверхностно). Эти ученики преуспевают в соревнованиях, где время имеет решающее значение. С другой стороны, ученики, которые думают медленно, но могут решать сложные задачи, наказываются и не могут пройти начальные этапы таких соревнований.В Турнире городов у вас будет 4 часа для уровня 0 и 5 часов для уровня A, чтобы решить три задачи .

Большинство учеников не одинаково хорошо справляются со всеми типами задач, но в большинстве математических соревнований, чтобы получить хорошие результаты, им необходимо решить все предложенные задачи. В Турнире городов у вас есть выбор : вы можете решить до трех задач из предложенных 5-8, потому что учитываются только три ваши лучшие задачи.

Хотя Турнир Городов не делится по классам (только по младшим и старшим дивизионам), но каждой степени присваивается специальный коэффициент .

Наконец, Турнир Городов — это как индивидуальное, так и командное соревнование . Все вы — одна команда, представляющая Торонто. Чтобы разместить все города от самого маленького до самого большого на ровном поле, применяется специальная формула.

Каждый учебный год проводится два тура : осенний и весенний.Итоговая оценка студента — это его лучший результат за все четыре занятия.

Каждый студент может принять участие

Участие в турнире городов оплачивается факультетом математики Университета Торонто. Регистрация обязательна.

По всем вопросам нетехнического характера обращайтесь к Ольге Зайцевой-Иврий. ([email protected]). Технические вопросы решает техническая группа. ([email protected]).

и посетите веб-страницу http: // www.math.toronto.edu/oz/turgor/

РОЖДЕНИЕ ТУРНИРА ГОРОДОВ

Статья из «Соревнований по математике», том 4, № 2, 1991 г., стр. 28-41.

РОЖДЕНИЕ ТУРНИРА ГОРОДОВ
Н.Н. Константинов, Дж.Б. Табов и П.Дж. Тейлор

Слева направо: Джордан Табов, Николай Константинов, Питер Тейлор на конференции WFNMC, Университет Ватерлоо, Канада, 1990 г., где этот документ был впервые представлен на пленарном заседании.

РЕФЕРАТ: Турнир городов — это международное соревнование по решению математических задач, основанное в Советском Союзе. в 1979 г.В этом документе излагается история конкуренции, ее правила и философия, ее распространение на другие страны в настоящее время. в том числе Запад и будущие цели.

ИСТОРИЯ

В 1920-х и 1930-х годах математическая жизнь в Советском Союзе процветала. Основных центров было два — Москва и Ленинград. История этого процветания и последующего постепенного упадка — интересный предмет. Здесь важно упомянуть следствие обилия способностей молодых математиков как в Москве, так и в Ленинграде, особенно в отношении их взаимоотношений с математическими олимпиадами, математическими группами (учеников) и специальными математическими школами.

Одним из проявлений этой энергии стала Всесоюзная математическая олимпиада, которая проводится с начала 1960-х (формально с 1960-х), когда еще существовало влияние первоначального развития. Эти олимпиады представляли собой ежегодные встречи талантливых учеников вместе со своими учителями, работающими с ними в группах.

Председателем этих олимпиад был А. Н. Колмогоров. Он сформировал жюри, состоящее из математиков в основном из Москвы и Ленинграда.Он был главным мастером этих олимпиад и организовывал их так, как считал нужным. (Один из соавторов этой статьи, Н.Н. Константинов, был членом этого жюри с 1969 по 1979 год.) Министерство образования поддержало эти олимпиады, предоставив транспорт, места, помещения и условия проживания.

Спустя несколько лет выяснилось, что проблема с форматом этих олимпиад. Количество участников из ведущих центров, таких как Москва и Ленинград, было слишком маленьким.В Москве это привело к острой конкуренции между талантливыми учениками (которые должны были пройти предварительную квалификацию через Московскую олимпиаду и знать, что участие в IMO позволит обойти формальности при поступлении в МГУ).

Математики в жюри поняли нелогичность этой ситуации и попытались увеличить квоту студентов из Москвы, Ленинграда и Украины, но встретили сопротивление со стороны Министерства образования.

Возник конфликт, и Колмогоровское жюри было ликвидировано в 1980 году.

Тогда, параллельно Всесоюзным математическим олимпиадам, появилась новая форма математических соревнований. Колмогоровское жюри организовало конкурс для школьников из Москвы, Ленинграда, Киева и других городов, не участвовавших во Всесоюзной олимпиаде. Это соревнование проходило одновременно со Всесоюзной олимпиадой. Позже этот конкурс был увеличен до двух раз в год — в ноябре и марте. Он назывался Турнир городов .

Турнир Городов изначально был неофициальным. Были даже попытки с некоторых сторон его закрыть. Однако в 1984 году официальный статус был получен, когда вице-президент Академии наук СССР Т. Велихов и председатель Турнира Городов академик В.С. Пугачев подписали приказ о создании комиссии.

Из вышесказанного видно, что Турнир стартовал как соревнование школьников из ряда крупных городов. Но вскоре жюри пригласило несколько небольших городков.Конкуренция сыграла особую роль для малых городов, которые могут соревноваться на равных, поскольку оценки городов корректируются в зависимости от их населения. (В основном оценка города основана на документах N , где его население составляет N 00 000. Требуется минимум 5 документов, но города с населением менее 500 000 получают дополнительную компенсационную корректировку.)

Система позволяет маленьким городкам выйти из провинциальной изоляции и почувствовать себя участниками важного события.

ПЕРСПЕКТИВЫ

Турнир Городов начался как небольшое мероприятие. Его организовала небольшая группа волонтеров, которые работали в свободное время.

Турнир теперь стал большим, и мы начинаем узнавать о других хороших вещах, которые можно сделать под эгидой Турнира.

Можно спланировать Большую Программу будущего. Для реализации этой программы необходимы два вида ресурсов: интеллектуальные и материальные.Ситуация такова, что у нас недостаточно материальных ресурсов, и, следовательно, интеллектуальные ресурсы, которые у нас есть, не могут быть использованы в полную силу.

С точки зрения Москвы, все предприятие можно представить следующим образом. Некоторые из описанных здесь мероприятий могут быть неуместными в других странах, но следующий план действительно отражает философию турнира great и то, что делается.

«БОЛЬШАЯ ПРОГРАММА»

Основой турнира являются университеты, сотрудники которых организуют турнир в своем регионе (предположительно, университеты также заинтересованы здесь в том, чтобы талантливые студенты позже могли записаться к ним).

Обычно могут существовать и другие олимпиадные программы (фактически, их организации могут дополнять Турнир).

Есть группы школьников-математиков, для них читаются лекции. По материалам этих лекций и групп издаются периодические журналы и брошюры. Журналы распространяются среди потенциальных и реальных участников математических олимпиад и групп.

Действуют

заочные группы для советских и иностранных студентов.Их члены регулярно приезжают в Москву на ежемесячные учебные собрания. Учителя также посещают эти встречи.

Набор экзаменов, утвержденных на международном уровне, установлен для «ученика математики», «ученика математики» и «учителя математики».

Победителей Турнира собираются на летнюю конференцию, где решаются сложные задачи. (Подобные конференции проводились в течение последних двух лет в Эстонии, а конференция 1991 года была запланирована в Белорецке, на Урале.) В это время также проводится конференция лидеров. Проблемы, рассматриваемые на этой конференции, могут стать предметом популярных публикаций, распространяемых среди школьников.

Вдобавок ко всему этому должна быть возможность организовывать общественные и другие мероприятия. Примерами таких мероприятий являются туристические поездки, музыкальные мероприятия, строительные группы (например, группа, которая отправилась на биологическую станцию ​​Московского университета на Белом море), работа в эстонских колхозах и организация школы экологов в Новгородская область на экскурсию на природу под руководством школьников-биологов.

В этих ситуациях математики показали свою способность работать вместе в сложной ситуации.

Для достижения этой программы необходимо несколько должностей для квалифицированных математиков (аналогично должностям постоянных преподавателей университетов). Эти математики будут выполнять педагогическую, научную и административную работу. Также необходимы компьютеры, принтеры, копировальные аппараты, электронная почта и офисные помещения.

Студенты-математики университетов вносят значительный вклад, и их работа должна быть оплачена.

Это примерно то, что мы, вероятно, можем смотреть в будущее, но все эти вещи рассматриваются в ближайшем будущем.

МЕЖДУНАРОДНЫЕ ПЕРСПЕКТИВЫ

Теперь мы представляем перспективы конкуренции из двух других стран. За пределами СССР только в Болгарии и Австралии есть национальные комитеты. Турнир также проводится в некоторых городах Восточной Европы, и недавно успешно в него вошел Гамбург. Также были признаки интереса со стороны нескольких других западных городов и некоторых городов Юго-Восточной Азии.Эта организация вполне могла бы стать второй международной организацией, дополняющей ИМО.

Болгария

Болгарское участие в ТТ началось в 1984-85 годах, когда участвовал город Ямбол. В то время Ямбол занимал лидирующие позиции с точки зрения наличия талантливых учеников в Болгарии и регулярных взносов победителей Болгарской национальной олимпиады и команды IMO. Высокий уровень воспитанников Ямбола стал результатом хорошо организованной, активной рабочей группы школьных учителей.

Первые результаты участия Ямбола в ТТ обнадеживают. Ямбол вошел в число лучших городов турнира.

После этого к Турниру присоединились и другие города Болгарии, в том числе Русе, Варна, Пловдив, София и Стара Загора. В каждом из этих городов участие организовывал местный комитет, обычно состоящий из школьных учителей.

Вкратце, цели этих комитетов состояли в том, чтобы пригласить больше учеников, интересующихся математикой и, возможно, хорошо подготовленных к решению сложных нестандартных вопросов, организовать и обеспечить место проведения соревнований, а также провести предварительную оценку учеников. документы.

Все это произведение было знакомо болгарам. В Болгарии очень популярны олимпиады по математике, и на самом деле организация TT ​​в болгарских городах оказалась удовлетворительной. Согласно правилам, после предварительной локальной проверки работ работы лучших учеников отправлялись в Москву для согласования в Московской комиссии.

Задачи ТТ нестандартные, отличные от болгарских традиций. Однако стиль задач знаком учителям и ученикам по журналу Квант , который легко доступен в Болгарии (около 5000 подписчиков).

Некоторые трудности возникли с переводом задач, в основном из-за их иногда нестандартной и длинной формулировки.

Настоящей проблемой для ТТ в Болгарии было включение турнира в их «Календарь национальных и местных соревнований». С этой точки зрения дата Весеннего тура (15-20 марта) не подходит для наших городов. Мы бы предпочли дату в районе 1-15 марта.

Участие в TT группы болгарских городов естественным образом привело к идее организации национального комитета в Болгарии с представителями от каждого участвующего города.Этот комитет был основан в 1986 году, и его первыми целями были:

  1. Привлечь новые города-участники с учетом уровня проделанной работы по развитию в них молодых математических талантов.
  2. Отправить задачи в Московский проблемный комитет.
  3. Организовать редактирование буклетов с задачами Турнира.
  4. Наградить лучших болгарских участников.

С 1989 г. начался национальный комитет

  1. Сделать перевод на болгарский язык вопросов ТТ для нужд всех городов Болгарии.
  2. Для окончательной проверки и согласования документов всех болгарских участников, в соответствии с традициями этой работы в Москве.

Некоторые будущие проблемы ТТ, с точки зрения Болгарии:

  1. Включая дату в национальный «Календарь олимпиад по математике».
  2. Уровень сложности: возможность для участников выбрать 3 вопроса из 5 или 6 (в настоящее время доступно) и / или специальный раунд для начинающих (который сейчас существует).
  3. Одновременность.
  4. Подборка и перевод задач.
  5. Согласование условий проверки документов участников.
  6. Летние школы / конференции для школьников и организаторов.
Австралия

Австралия впервые получила приглашение принять участие в Турнире городов в июле 1988 года.

Город Канберра считался наиболее подходящим для проверки жизнеспособности такой записи.Это произошло потому, что в Канберре была организационная инфраструктура. Например, Канберра является штаб-квартирой Австралийской олимпиады по математике, которая ежегодно собирает около 400 000 заявок от австралийских студентов, или около 32% от общего числа учащихся средних школ, и принимала у себя Международную математическую олимпиаду 1988 года.

Кроме того, математики из университетов Канберры проводили по пятницам вечерние дополнительные занятия для учащихся средних школ в течение 25 лет.

Когда приглашение было получено, пятничные вечерние заседания в течение года уже были закрыты. Тем не менее, группа студентов была приглашена на одно тренировочное занятие (небольшое количество прошлых вопросов было переведено на английский), и в ноябре 1988 года они участвовали в (северном) осеннем раунде десятого Турнира городов.

Результаты участия Канберры в десятом Турнире Городов были очень обнадеживающими. Результаты «Канберры» были выше среднего, что считается весьма похвальным для первой попытки.Один студент также был награжден Дипломом за выдающиеся индивидуальные усилия.

Успех Канберры был отмечен Австралийским математическим олимпиадным комитетом. В большинстве университетских городов Австралии есть математики, которые упорно трудятся, чтобы обогатить знания местных учащихся средних школ, и являются членами Австралийского олимпиадного комитета. Теперь они видят в Турнире городов прекрасную возможность дать своим местным студентам ценный опыт в решении сложных задач, а также дать им возможность поделиться чем-то общим со студентами из дальних стран.

В результате в одиннадцатый раунд турнира, который завершился в начале 1990 года, вошли другие австралийские города. Этими городами были Хобарт, Мельбурн и Ньюкасл. Еще несколько городов планируют выйти в двенадцатый тур.

Австралийский национальный комитет был сформирован для управления въездом в Австралию. Ранее состоявший в основном из математиков Канберры, теперь комитет был реорганизован и теперь включает представителей от каждого участвующего города.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЦЕНТРЫ ОБОГАЩЕНИЯ

Уже более 25 лет математики из Австралийского национального университета (ANU, старшего из двух университетов Канберры) проводят дополнительные занятия по вечерам в пятницу для всех заинтересованных старшеклассников. Участие в Турнире городов сильно изменило организацию этих вечеров. Недавно математики из ANU и Университета Канберры (UC) официально создали центр обогащения.

Приглашаем всех студентов принять участие в открытых сессиях, которые проходят с 1-го по 3-й семестр. Мы создали вторую группу, называемую приглашающей группой, которая встречается в течение всех четырех семестров. В этой группе сейчас около 15 студентов, и их состав ежегодно пересматривается. По сути, это группа, которая участвует в Турнире городов, который проводится во время 1 и 4 сроков австралийского академического календаря. В течение этих семестров студенты делятся на младшую и старшую группы и, по сути, практикуются в решении задач из прошлых работ.

Во время семестров 2 и 3 студенты встречаются как одна группа и читают лекции различных математиков по темам, которые они могут найти полезными при участии в соревнованиях. Эти студенты — отличники, которые требуют большего, чем они могут получить от обычной учебной программы. Школы очень активно сотрудничают в организации этих занятий и очень охотно отпускают учеников на день, скажем, при написании конкурсной работы.

Подобные группы действуют и в других городах, их организация несколько различается в зависимости от географического расположения города и потребностей инструкторов.Эти группы организуют очень преданные своему делу инструкторы, и иногда их деятельность ограничивается отсутствием поддержки со стороны коллег из университета.

ПРОБЛЕМЫ

Австралийские студенты и преподаватели, как и их болгарские коллеги, обнаружили, что задачи формулируются иначе, чем они обычно. Они также обнаружили, что проблемы являются сложными, а в некоторых случаях очень трудными. Они часто представляют собой тесты на чистую способность решать проблемы, а не технические вопросы, в зависимости от знаний учебной программы.

Профессор Константинов обсуждал создание Задач в своей статье о Турнире, которая появилась в первом англоязычном издании Квант , а именно Quantum . В этой статье он заявил

Некоторые из новых задач — настоящие шедевры — прекрасные открытия в миниатюре, которые надолго запомнятся участникам (решали они их или нет) и, несомненно, станут частью классического фольклора математических соревнований.

Авторы многих лучших задач — бывшие победители различных олимпиад — московских, ленинградских, рижских, республиканских математических олимпиад, а также самого Турнира городов. Большинство авторов так или иначе связаны с «Квантом» — как подписчики, читатели, авторы или члены редколлегии. В Советском Союзе принято посылать новые задачи по математике в «Квант», где работает высококвалифицированный коллектив проблемных специалистов во главе с Н.Б. Васильев отбирает лучшие из них для использования в Турнире городов или публикации прямо в проблемном разделе «Кванта».

Казалось бы, многие старые проблемы уже являются частью устоявшегося фольклора. Ниже приведены два фаворита как по стилю и характеру, так и по математике. Оба взяты из раунда (северная) Осень 1984 года.

  1. На острове Камелот живут 13 серых, 15 коричневых и 17 малиновых хамелеонов.Если встречаются два хамелеона разного цвета, они оба одновременно меняют цвет на третий (например, если серый и коричневый хамелеон встречаются друг с другом, они оба меняют цвет на малиновый). Возможно ли, что в конечном итоге все они будут одного цвета?
  2. Квадрат 7 на 7 состоит из 16 плиток 1 на 3 и 1 плитки 1 на 1. Докажите, что плитка 1 на 1 лежит либо в центре квадрата, либо примыкает к одной из его границ.

Ожидается, что на этой конференции (первая конференция Всемирной федерации национальных математических соревнований в Ватерлоо, Канада) будет обсуждаться вопрос о расширении организационной базы турнира, чтобы отразить его растущий международный статус.Это может быть неизбежно, но, надеюсь, ничего не произойдет, чтобы уменьшить роль людей, которые уже доказали свою успешность в области создания проблем.

ПРОШЛОЕ ДОКУМЕНТЫ И РЕШЕНИЯ

В Австралии опубликована книга со многими прошлыми проблемами, переведенными на английский, а также со стратегическими эссе и решениями.

Сейчас готовится более полная работа, и она должна быть готова примерно через год. Это делается совместно с несколькими математиками из Канберрского университета и доктором Энди Лю из Эдмонтона.

ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

австралийских студентов и преподавателей сочли участие в Турнире самым интересным и полезным опытом. Турнир прочно закрепился. Однако возникли некоторые трудности, и это список некоторых из них, наблюдаемых в настоящее время.

  1. Сообщение между СССР и Австралией иногда бывает медленным. Внедрение факсимильных аппаратов на обоих концах помогло, но в целом австралийские математики были бы намного счастливее, если бы вопросы и решения были доступны раньше, чем сейчас.
  2. Перевод на английский иногда оказывался проблемой. Считается, что следует создать международный комитет для каждого из основных научных языков, включая носителей языка, для утверждения версии на этом языке. Это обеспечило бы, например, то, что американским и австралийским студентам задавались вопросы, сформулированные одинаково.
  3. Трудно найти дату, удобную для всех стран, особенно с учетом того, что в странах южного полушария другой учебный год.Однако считается, что если бумага будет гарантированно доступна, австралийские студенты могут попытаться принять участие в Турнире в даты, очень близкие к тем, которые используются в настоящее время в СССР.
  4. По мере роста турнира, помимо московского жюри, необходимо будет создать дополнительные жюри или каким-либо иным образом распределить обязанности по оценке. Объем работы московского жюри станет больше.
ТРУДНОСТИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ОРГАНИЗАТОРОВ

В связи с распространением турнира в другие страны в последние годы организаторы столкнулись с некоторыми трудностями, которые, возможно, и не были предвидены.Работы отмечены студентами МГУ. Когда будет сформировано дополнительное жюри, можно будет снизить нагрузку на этих студентов. Тем не менее, по-прежнему потребуется некоторая форма централизованной оценки для надзора за едиными стандартами.

Похоже, что основная проблема заключается в нехватке оборудования. Для того, чтобы вывести вопросы и решения, а также обработать результаты, организаторам необходимы ПК (предположительно AT или более высокого стандарта), принтеры (LQ или лазерного стандарта) и копировальное оборудование.Организаторы надеются на прямую помощь в этом отношении с запада.

В Австралии очень сложно получить прямую помощь. Программы обогащения в разных городах полагаются исключительно на помощь волонтеров, и, как правило, в них даже нет банковского счета.

Ранее организаторы не взимали вступительный взнос. Однако большинство австралийских студентов рассчитывают заплатить вступительный взнос в размере около 2 долларов за участие в других соревнованиях. Я бы предположил, что вступительный взнос, взимаемый в западных странах с такой цифрой, мог бы поднять цифру, достаточную для помощи в этом отношении.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Участие Австралии в Турнире городов было очень полезным опытом. Положительных черт было

  1. Это послужило катализатором создания математических центров обогащения для продвинутых студентов и предоставило фокус для тех, кто центры, которые уже существовали.
  2. Он предоставил фокус для преподавания математики, с которой учащиеся не встречались в своей учебной программе.
  3. Участие австралийских студентов в математическом мероприятии со студентами из в других частях света таким образом, чтобы минимизировать организационные трудности и расходы.

Задачи геометрии от IMO: Турнир городов 1998

1998

1998 ToT Spring Junior O P3
$ AB $ и $ CD $ — это отрезки, лежащие по обе стороны от угла, вершина которого равна $ O $. $ A $ находится между $ O $ и $ B $, а $ C $ находится между $ O $ и $ D $. Прямая, соединяющая середины отрезков $ AD $ и $ BC $, пересекает $ AB $ в точке $ M $ и $ CD $ в точке $ N $. Докажите, что $ \ frac {OM} {ON} = \ frac {AB} {CD} $

(В Сендеров)

1998 ToT Spring Junior O P5
Пиноккио утверждает, что он может разделить равнобедренный треугольник на три треугольника, любые два из которых можно сложить вместе, чтобы образовать новый равнобедренный треугольник.Пиноккио врет?

(А. Шаповалов)

1998 ToT Spring Junior A P2
$ ABCD $ — параллелограмм. На стороне $ AB $ или ее продолжении находится точка $ M $ такая, что $ \ angle MAD = \ angle AMO $, где $ O $ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что $ MD = MG $.

(М Смуров)

1998 ToT Spring Senior O P1
Пиноккио утверждает, что он может взять несколько прямоугольных треугольников, все из которых похожи друг на друга, а некоторые из них могут совпадать друг с другом, и сложить их вместе, чтобы образовать прямоугольник.Пиноккио врет?

(А Федотов)

1998 ToT Spring Senior O P5
В угол вписана окружность с центром $ O $. Пусть $ A $ будет отражением $ O $ через одну сторону угла. Касательные к окружности от $ A $ пересекают другую сторону угла в точках $ B $ и $ C $. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ ABC $ лежит на биссектрисе исходного угла.

(И.Шарыгин)

1998 ToT Spring Senior A P4
Точка $ M $ находится внутри выпуклого четырехугольника $ ABCD $, такого что треугольники $ AMB $ и $ CMD $ равнобедренные ($ AM = MB, CM = MD $) и $ \ angle AMB = \ angle CMD = 120 ^ o $.Докажите, что существует точка N такая, что треугольники $ BNC $ и $ DNA $ равносторонние.

(И.Шарыгин)

1998 ToT осень юниор O P3
В треугольнике $ ABC $ точки $ A ‘$, $ B’ $ и $ C ‘$ лежат на сторонах $ BC $, $ CA $ и $ AB $ соответственно. Известно, что $ \ angle AC’B ‘= \ angle B’A’C $, $ \ angle CB’A’ = \ angle A’C’B $ и $ \ angle BA’C ‘= \ angle C’ B’A $. Докажите, что $ A ‘$, $ B’ $ и $ C ‘$ — середины соответствующих сторон.
1998 ToT осень младший A P3
Отрезок $ AB $ пересекает две равные окружности, параллелен прямой, соединяющей их центры, а все точки пересечения отрезка и окружностей лежат между $ A $ и $ B $.Из точки $ A $ проводятся касательные к окружности, ближайшей к $ A $, а из точки $ B $ — касательные к окружности, ближайшей к $ B $. Оказывается, четырехугольник, образованный четырьмя продолженными касательными, содержит обе окружности. Докажите, что круг можно нарисовать так, чтобы он касался всех четырех сторон четырехугольника.

(П. Кожевников)

1998 ToT осень старший P5
Сумма длины, ширины и высоты прямоугольного параллелепипеда назовем его размером. Может ли случиться так, что в одном прямоугольном параллелепипеде окажется другой, большего размера?

(А Шэнь)


1999

1999 ToT Spring Junior O P2
$ ABC $ — прямоугольный треугольник.Квадрат $ ABDE $ строится на противоположной стороне гипотенузы $ AB $ от $ C $. Биссектриса $ \ angle C $ разрезает $ DE $ на $ F $. Если $ AC = 1 $ и $ BC = 3 $, вычислить $ \ frac {DF} {EF} $.

(А Блинков)

1999 ToT Spring Junior A P2
Пусть $ O $ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ ABCD $. Докажите, что если прямая $ BC $ касается окружности, проходящей через точки $ A, B $ и $ O $, то прямая $ CD $ касается окружности, проходящей через точки $ B, C $ и $ О $.

(А Заславский)

1999 ToT Spring Junior A P5
Стороны $ AB $ и $ AC $ касаются вписанной окружности треугольника $ ABC в точках $ P $ и $ Q $ соответственно. R $ и $ S $ — середины сторон $ AC $ и $ BC $ соответственно, а $ T $ — точка пересечения прямых $ PQ $ и $ RS $. Докажите, что $ T $ лежит на биссектрисе угла $ B $ треугольника.

(М Евдокимов)

1999 ToT Spring старший A P1
Выпуклый многогранник плывет по морю. Может ли случиться, что $ 90 \% $ его объема находится ниже уровня воды, а более половины его площади находится выше уровня воды?

(А. Шаповалов)

1999 ToT Spring Senior A P2
Пусть все вершины выпуклого четырехугольника $ ABCD $ лежат на окружности с центром $ O $.Пусть $ F $ — вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников $ ABO $ и $ CDO $. Докажите, что окружность, проходящая через точки $ A, F $ и $ D $, также проходит через точку пересечения отрезков $ AC $ и $ BD $.

(А Заславский)

1999 ToT осень юниор O P1
Прямоугольный треугольник из бумаги складывается по прямой так, чтобы вершина под прямым углом совпадала с одной из других вершин треугольника, и получился четырехугольник.
а) В каком соотношении диагонали этого четырехугольника делят друг друга?
(b) Этот четырехугольник разрезан по самой длинной диагонали. Найдите площадь наименьшего полученного таким образом листка бумаги, если площадь исходного треугольника равна $ 1 $.

(А. Шаповалов)

1999 ToT осень старший O P1
Центр треугольника соединяется тремя сегментами с тремя вершинами треугольника, тем самым разделяя его на три меньших треугольника. Если один из этих трех треугольников похож на исходный треугольник, найдите его углы.

(А. Шаповалов)

1999 ToT осень старший P4
Точки $ K, L $ на сторонах $ AC, CB $ соответственно треугольника $ ABC $ являются точками соприкосновения вневписанных окружностей с соответствующими сторонами. Докажите, что прямая линия, проходящая через средние точки $ KL $ и $ AB $
(а) делит периметр треугольника $ ABC $ пополам,
(б) параллельна биссектрисе угла $ ACB $.

(Л. Емельянов)


2000

2000 ToT Spring Junior O P2
В четырехугольнике $ ABCD $ площади $ 1 $ параллельные стороны $ BC $ и $ AD $ находятся в соотношении $ 1: 2 $.$ K $ — середина диагонали $ AC $, а $ L $ — точка пересечения прямой $ DK $ и стороны $ AB $. Определите площадь четырехугольника $ BCKL $.

(М. Г. Сонькин)

2000 ToT Spring Junior A P2
Две параллельные стороны четырехугольника имеют целые длины. Докажите, что этот четырехугольник можно разрезать на равные треугольники.

(А. Шаповалов)

2000 ToT Spring Junior A P3
$ A $ — неподвижная точка внутри данного круга. Определите геометрическое место точек $ C $, такое, что $ ABCD $ представляет собой прямоугольник с $ B $ и $ D $ на окружности данной окружности.

(М Панов)

2000 ToT Spring Senior O P1
Диагонали выпуклого четырехугольника $ ABCD $ пересекаются в точке $ P $. Сумма площадей треугольников $ PAB $ и $ PCD $ равна сумме площадей треугольников $ PAD $ и $ PCB $. Докажите, что $ P $ является серединой $ AC $ или $ BD $.

(Фольклор)

2000 ToT Spring Senior A P4
Хорды ​​$ AC $ и $ BD $ окружности с центром $ O $ пересекаются в точке $ K $. Центры окружностей треугольников $ AKB $ и $ CKD $ равны $ M $ и $ N $ соответственно.Докажите, что $ OM = KN $.

(А Заславский)

2000 ToT Осенний юниор O P2 $ ABCD $ — параллелограмм, $ M $ — середина стороны $ CD $, а $ H $ — основание перпендикуляра от $ B $ к прямой $ AM $. Докажите, что $ BCH $ — равнобедренный треугольник.

(М Волчкевич)

2000 ToT осень юниор P2
В треугольнике $ ABC AB = AC $. Линия проводится через $ A $ параллельно $ BC $. Вне треугольника $ ABC $ проводится окружность, касательная к этой прямой, к прямой $ BC $, к $ AB $ и к вписанной окружности $ ABC $.Если радиус этого круга равен $ 1 $, определите внутренний радиус $ ABC $.

(РК Гордин)

2000 ToT Осенний старший O P1
Треугольник $ ABC $ вписан в круг. Хорды ​​$ AM $ и $ AN $ пересекают сторону $ BC $ в точках $ K $ и $ L $ соответственно. Докажите, что если окружность проходит через все точки $ K, L, M $ и $ N $, то $ ABC $ — равнобедренный треугольник.

(В Жгун)

2001

2001 ToT Spring Junior O P2
Одна из средних линий треугольника длиннее одной из его середин.Докажите, что треугольник имеет тупой угол.

Пусть $ AH_A $, $ BH_B $ и $ CH_C $ — высоты треугольника $ \ треугольник ABC $. Докажите, что треугольник, вершины которого являются точками пересечения высот треугольников $ \ треугольник AH_BH_C $, $ \ треугольник BH_AH_C $ и $ \ треугольник CH_AH_B $, равен треугольнику $ \ треугольник H_AH_BH_C $.

2001 ToT Spring Senior O P3
На сторонах $ AB $ и $ BC $ треугольника $ \ Triangle ABC $ выбраны точки $ X $ и $ Y $. Отрезки $ AY $ и $ CX $ пересекаются в точке $ Z $.{\ prime} $ коллинеарны.

2002 ToT Spring Senior A P5
Пусть $ AA_1, BB_1, CC_1 $ — высоты острой вершины $ \ Delta ABC $. Пусть $ O_a, O_b, O_c $ будут центрами $ \ Delta AB_1C_1, \ Delta BC_1A_1, \ Delta CA_1B_1 $ соответственно. Также пусть $ T_a, T_b, T_c $ — точки касания вписанной окружности $ \ Delta ABC $ с $ BC, CA, AB $ соответственно. Докажите, что $ T_aO_cT_bO_aT_cO_b $ — равносторонний шестиугольник.

Две окружности $ \ Gamma_1, \ Gamma_2 $ пересекаются в точках $ A, B $. Через $ B $ проводится прямая $ \ ell $ и $ \ ell \ cap \ Gamma_1 = K, \ ell \ cap \ Gamma_2 = M \; (K, M \ neq B) $.Нам дано, что $ \ ell_1 \ parallel AM $ касается $ \ Gamma_1 $ в точке $ Q $. $ QA \ cap \ Gamma_2 = R \; (\ neq A) $ и далее $ \ ell_2 $ касается $ \ Gamma_2 $ в точке $ R $. Докажите, что:

2003 ToT Spring Junior O P3
На сторонах $ AB $ и $ BC $ равнобедренного $ \ треугольника ABC $ ($ AB = BC $) выбираются точки $ K $ и $ L $, так что $ AK + LC = KL $. Прямая, параллельная $ BC $, проводится через середину $ M $ отрезка $ KL $, пересекая сторону $ AC $ в точке $ N $. Найдите значение $ \ angle KNL $.
2003 ToT Spring Junior A P2
Дан треугольник $ ABC $.Докажите, что $ \ frac {R} {r}> \ frac {a} {h} $, где $ R $ — радиус описанной окружности, $ r $ — радиус вписанной окружности, $ a $ — длина самой длинной стороны, $ h $ — длина самой короткой высоты. 2003 ToT Spring Junior A P6
Трапеция с основаниями $ AD $ и $ BC $ описана вокруг окружности, $ E $ — точка пересечения диагоналей. Докажите, что $ \ angle AED $ не является острым.

2003 ToT Spring Senior O P3
Точка $ M $ выбрана в треугольнике $ ABC $ так, чтобы радиусы описанных окружностей треугольников $ AMC, BMC $ и $ BMA $ были не меньше радиуса описанной окружности треугольника $ ABC. $.Докажите, что все четыре радиуса равны.

2003 ToT Spring Senior A P1
Дана треугольная пирамида $ ABCD $. Докажите, что $ \ frac Rr> \ frac ah $, где $ R $ — радиус описанной сферы, $ r $ — радиус вписанной сферы, $ a $ — длина самого длинного ребра, $ h $ — длина наименьшей высоты (от вершины до противоположной грани). {\ circ} $.

2003 ToT Fall Senior O P4
Каждая сторона квадрата размером $ 1 \ times 1 $ является гипотезой внешнего прямоугольного треугольника. Пусть $ A, B, C, D $ — вершины прямых углов, а $ O_1, O_2, O_3, O_4 $ — центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что
a) Площадь четырехугольника $ ABCD $ не превышает $ 2 $;
б) Площадь четырехугольника $ O_1O_2O_3O_4 $ не превышает $ 1 $.

2003 ToT Fall Senior A P4
Пусть в треугольнике $ ABC $ $ H $ точка пересечения высот, $ I $ центр вписанной окружности, $ O $ центр описанной окружности, $ K $ точка, где вписанная окружность касается $ BC $.Учитывая, что $ IO $ параллельна $ BC $, докажите, что $ AO $ параллельна $ HK $.

2003 ToT Fall Senior A P6
Пусть $ O $ будет центром плоскости тетраэдра $ ABCD $. Сумма площадей граней $ ABC $ и $ ABD $ равна сумме площадей граней $ CDA $ и $ CDB $. Докажите, что $ O $ и середины $ BC, AD, AC $ и $ BD $ принадлежат одной плоскости.

2004

2004 ToT Spring Junior O P1
В треугольнике ABC биссектриса угла A, перпендикуляр к стороне AB от его середины и высота от вершины B пересекаются в одной точке.Докажите, что биссектриса угла A, перпендикуляр к стороне AC от его середины и высота от вершины C также пересекаются в одной точке.

2004 ToT Spring Junior Α P4
Две окружности пересекаются в точках A и B. Их общая касательная ближе к B касается окружностей в точках E и F и пересекает продолжение AB в точке M. Точка K выбрана на продолжении AM так, что KM = MA. Прямая KE пересекает окружность, содержащую E, снова в точке C. Прямая KF пересекает окружность, содержащую F, снова в точке D.Докажите, что точки A, C и D лежат на одной прямой. 2004 ToT Spring Senior O P1
Отрезки AB, BC и CD ломаной ABCD равны и касаются окружности с центром в точке O. Докажите, что точка соприкосновения этой окружности с BC, точка O и точка пересечения AC и BD равны коллинеарен.

2004 ToT Spring Senior O P3
Периметр выпуклого четырехугольника равен 2004 г., а одна из его диагоналей равна 1001. Может ли другая диагональ равняться 1? 2? 1001?

2004 ToT Spring Senior Α P3
Перпендикулярная проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость имеет максимально возможную площадь.2 $ пересекает окружность ровно в двух точках A и B. Если их касательные в A совпадают, должны ли совпадать их касательные в B? 2004 ToT осень младший O P4
Даны круг и прямая без общих точек. С помощью циркуля и линейки постройте квадрат с двумя соседними вершинами на окружности и двумя другими вершинами на прямой (известно, что такой квадрат существует).

2004 ToT Fall Junior Α P2

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках A ‘, B’ и C ‘соответственно.Обязательно ли верно, что треугольник ABC равносторонний, если AA ‘= BB’ = CC ‘?

2004 ToT Fall Junior Α P5
Точка K принадлежит стороне BC треугольника ABC. Окружности треугольников ABK и ACK касаются
BC в точках M и N соответственно. Докажите, что BM · CN> KM · KN. 2004 ToT Fall Senior O P1
Три круга проходят через точку X, и A, B, C являются точками их пересечения (кроме X). Пусть A ‘- вторая точка пересечения прямой AX и окружности, описанной вокруг треугольника BCX.Аналогично определим точки B ‘, C’. Докажите, что треугольники ABC ‘, AB’ C и A ‘BC подобны. 2004 ToT Fall Senior Α P4
Окружность с центром I полностью находится внутри окружности с центром O. Рассмотрим все возможные хорды AB большего круга, которые касаются меньшего. Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных вокруг треугольника AIB.
2004 ToT Fall Senior Α P7
Пусть \ angleAOB получается из \ angle COD вращением (луч AO превращается в луч CO). Пусть E и F — точки пересечения окружностей, вписанных в эти углы.Докажите, что \ angle AOE = \ angle DOF. 2005

2005 ToT Spring Junior O P4, Senior O P3
$ M $ и $ N $ — середины сторон $ BC $ и $ AD $, соответственно, квадрата $ ABCD $. $ K $ — произвольная точка продолжения диагонали $ AC $ за пределы $ A $. Отрезок $ KM $ пересекает сторону $ AB $ в некоторой точке $ L $. Докажите, что $ \ angle KNA = \ angle LNA $.

Высоты $ AD $ и $ BE $ треугольника $ ABC $ пересекаются в его ортоцентре $ H $. Середины $ AB $ и $ CH $ равны $ X $ и $ Y $ соответственно.Докажите, что $ XY $ перпендикулярна $ DE $.

2005 ToT Spring Senior A P2
Окружность $ \ omega_1 $ с центром $ O_1 $ проходит через центр $ O_2 $ второй окружности $ \ omega_2 $. Касательные к $ \ omega_2 $ от точки $ C $ на $ \ omega_1 $ снова пересекают $ \ omega_1 $ в точках $ A $ и $ B $ соответственно. Докажите, что $ AB $ перпендикулярна $ O_1O_2 $.

2005 ToT Spring Senior A P5
Докажите, что если у правильного икосаэдра и правильного додекаэдра есть общая описанная сфера, то у них есть общая оболочка.

2005 ToT Fall Junior O P1
В треугольнике $ ABC $ точки $ M_1, M_2 $ и $ M_3 $ являются серединами сторон $ AB $, $ BC $ и $ AC $ соответственно, а точки $ H_1, H_2 $ и $ H_3 $ — базы высот, взятые из $ C $, $ A $ и $ B $ соответственно. Докажите, что можно построить треугольник из отрезков $ H_1M_2, H_2M_3 $ и $ H_3M_1 $.

2005 ToT Fall Junior A P2
Расширения сторон $ AB $ и $ CD $ выпуклого четырехугольника $ ABCD $ пересекаются в точке $ K $. Известно, что $ AD = BC $. Пусть $ M $ и $ N $ — середины сторон $ AB $ и $ CD $.Докажите, что треугольник $ MNK $ тупой.

2005 ToT Fall Senior O P2
Отрисовывается отрезок длиной $ \ sqrt2 + \ sqrt3 + \ sqrt5 $. Можно ли с помощью циркуля и линейки начертить отрезок единичной длины?

2005 ToT Fall Senior O P4
На всех трех сторонах прямоугольного треугольника $ ABC $ построены внешние квадраты; их центры обозначены $ D $, $ E $, $ F $. Покажите, что отношение площади треугольника $ DEF $ к площади треугольника $ ABC $ составляет:
а) больше 1 $;
б) не менее 2 $.\ circ $. Пусть точка $ N $ является пересечением $ AC $ и серединного перпендикуляра к стороне $ AB $, а точка $ M $ — пересечением $ AB $ и серединного перпендикуляра к стороне $ AC $. Докажите, что $ CB = MN $.

2006 ToT Spring Junior A P3
На сторонах $ AB $ и $ BC $ острого треугольника $ ABC $ построены два конгруэнтных прямоугольника $ ABMN $ и $ LBCK $ (вне треугольника), так что $ AB = LB $. Докажите, что прямые $ AL, CM $ и $ NK $ пересекаются в одной точке.

2006 ToT Spring Senior O P4
Четырехугольник $ ABCD $ — вписанный, $ AB = AD $.Точки $ M $ и $ N $ выбраны на сторонах $ BC $ и $ CD $ так, чтобы $ \ angle MAN = 1/2 (\ angle BAD) $. Докажите, что $ MN = BM + ND $.

2006 ToT Spring Senior A P4

В треугольнике $ ABC $ пусть $ X $ — некоторая фиксированная точка на биссектрисе $ AA ‘$, а точка $ B’ $ — пересечение $ BX $ и $ AC $, а точка $ C ‘$ — пересечение $ CX $ и $ AB. $. Пусть точка $ P $ — пересечение отрезков $ A’B ‘$ и $ CC’ $, а точка $ Q $ — пересечение отрезков $ A’C ‘$ и $ BB’ $. Докажите, что τhat $ \ angle PAC = \ angle QAB $.


2006 ToT осень младший O P4
Дан треугольник ABC, BC продолжается за B до точки D, такой что BD = BA. Биссектрисы внешних углов в вершинах B и C пересекаются в точке M. Докажите, что четырехугольник ADMC вписан. 2006 ToT осень младший A P1
Даны два правильных многоугольника, 7-угольник и 17-угольник. Для каждого из них нарисованы два круга, вписанный круг и описанный круг. Так получилось, что кольца, содержащие многоугольники, имеют равные площади. Докажите, что стороны многоугольников равны.

2006 ToT Fall Junior A P4
Окружность радиуса R вписана в острый треугольник. Три касательных к окружности разделяют треугольник на три прямоугольных треугольника и шестиугольник с периметром Q. Найдите сумму диаметров окружностей, вписанных в три прямоугольных треугольника.

2006 ToT Fall Senior O P2
Вписанная окружность четырехугольника ABCD касается AB, BC, CD и DA в точках E, F, G и H соответственно. Докажите, что линия, соединяющая центры треугольников HAE и FCG, перпендикулярна линии, соединяющей центры треугольников EBF и GDH.

2006 ToT Fall Senior O P5
Можно ли вписать правильный октаэдр в куб таким образом, чтобы все вершины октаэдра находились на ребрах куба?

2006 ToT Fall Senior A P2
Предположим, что ABC — острый треугольник. Выбраны точки A1, B1 и C1 на сторонах BC, AC и AB
. \ circ $, где $ M $ — середина $ AD $.\ circ $. Докажите, что прямые, симметричные $ AT, BT $ и $ CT $ относительно $ BC, CA $ и $ AB $, соответственно, совпадают.

2007 ToT Fall Junior O P3
$ D $ — это середина стороны $ BC $ треугольника $ ABC $. $ E $ и $ F $ — это точки на $ CA $ и $ AB $ соответственно, такие, что $ BE $ перпендикулярно $ CA $, а $ CF $ перпендикулярно $ AB $. Если $ DEF $ — равносторонний треугольник, следует ли, что $ ABC $ также равносторонний?

2007 ToT Fall Junior A P1
Пусть $ ABCD $ представляет собой ромб.\ circ $. Верно ли, что любой острый треугольник является либо «почти прямоугольным треугольником», либо «почти равнобедренным треугольником»?

2007 ToT Fall Junior P P3

Треугольник со сторонами $ a, b, c $ складывается по прямой $ \ ell $ так, чтобы вершина $ C $ оказалась на стороне $ c $. Найдите отрезки, на которых точка $ C $ делит $ c $, учитывая, что углы, примыкающие к $ \ ell $, равны.

2007 ToT осень старший O P3
Дайте построение по линейке и циркулю точки $ C $ на прямой $ \ ell $, параллельной отрезку $ AB $, такую, что произведение $ AC \ cdot BC $ минимально.

2007 ToT Fall Senior A P2
Пусть $ K, L, M $ и $ N $ — середины сторон $ AB, BC, CD $ и $ DA $ вписанного четырехугольника $ ABCD $. Пусть $ P $ — точка пересечения $ AC $ и $ BD $. Докажите, что окружные радиусы треугольников $ PKL, PLM, PMN $ и $ PNK $ равны.

2007 ToT Fall Senior P P 4

Джим и Джейн делят между собой треугольный торт. Джим выбирает любую точку в торте, а Джейн делает прямой надрез и выбирает кусок.Найдите размер предмета, который каждый из них может гарантировать себе (оба хотят получить как можно больше).

2008

2008 ToT Spring Junior O P1
В выпуклом шестиугольнике ABCDEF, AB, BC и CD параллельны соответственно DE, EF и FA. Если AB = DE, докажите, что BC = EF и CD = FA. 2008 ToT Spring Junior A P2
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает сторону AB в точке K и сторону BC в точке M. O — точка пересечения AM и CK. Если AK = AO и KM = MC, докажите, что AM = KB.о. M — середина BC, а H — основание высоты от
. От А до ВС. Прямая, проходящая через M и перпендикулярная AC, пересекает описанную окружность
. треугольник AMC снова в точке P. Если BP пересекает AH в точке K, докажите, что AK = KH. 2008 ToT Spring Senior A P4
Каждый из Петра и Василия рисует выпуклый четырехугольник без параллельных сторон. Углы между диагональю и четырьмя сторонами четырехугольника Петра равны \ alpha, \ alpha, \ beta и \ gamma в некотором порядке. Углы между диагональю и четырьмя сторонами четырехугольника Василия также равны \ alpha, \ alpha, \ beta и \ gamma в некотором порядке.Докажите, что острый угол между диагоналями четырехугольника Петра равен острому углу между диагоналями четырехугольника Василия. 2008 ToT Spring Senior A P7

Каждая из трех линий разрезает хорды одинаковой длины в двух заданных окружностях. Точки пересечения этих линий образуют треугольник. Докажите, что описанная окружность проходит через середину отрезка, соединяющего центры окружностей.


2008 ToT осень младший O P3
Острый треугольник $ A_1A_2A_3 $ вписан в окружность радиуса $ 2 $.Докажите, что можно выбрать точки $ B_1, B_2, B_3 $ на дугах $ A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1 $ соответственно, так что числовое значение площади шестиугольника $ A_1B_1A_2B_2A_3B_3 $ равно числовому значению периметра треугольник $ A_1A_2A_3. $

2008 ToT Fall Junior A P3
В своем треугольнике $ ABC $ Серж провел измерения и сообщил Илиасу о длинах медианы $ AD $ и стороны $ AC $. На основании этих данных Илиас доказал утверждение: угол $ CAB $ тупой, а угол $ DAB $ острый.Определите отношение $ AD / AC $ и докажите утверждение Илиаса (для любого треугольника с таким соотношением).

2008 ToT Fall Junior A P6

Пусть $ ABC $ — равнобедренный треугольник. Два равнобедренных треугольника $ AB’C $ с основанием $ AC $ и $ CA’B $ с основанием $ BC $ построены вне треугольника $ ABC $. Оба треугольника имеют одинаковый угол основания $ \ varphi $. Пусть $ C_1 $ — точка пересечения перпендикуляра из $ C $ в $ A’B ‘$ и серединного перпендикуляра отрезка $ AB $. Определите значение $ \ angle AC_1B.$

2008 ToT Fall Senior O P3
30 $ -угольник $ A_1A_2 \ cdots A_ {30} $ вписан в окружность радиуса $ 2 $. Докажите, что можно выбрать точку $ B_k $ на дуге $ A_kA_ {k + 1} $ для $ 1 \ leq k \ leq 29 $ и точку $ B_ {30} $ на дуге $ A_ {30} A_1 $, такое, что числовое значение площади $ 60 $ -угольника $ A_1B_1A_2B_2 \ dots A_ {30} B_ {30} $ равно числовому значению периметра исходного 30 $ -угольника.

2008 ToT Fall Senior A P4
Пусть $ ABCD $ — неравнобедренная трапеция. Определим точку $ A1 $ как пересечение описанной окружности треугольника $ BCD $ и прямой $ AC $.ο докажите, что площадь треугольника P_1CP_2 равна сумме площадей треугольников AQ_1P_1 и BQ_2P_2 (AP_1 2009 ToT Spring Senior O P5
Предположим, что X — произвольная точка внутри тетраэдра. Через каждую вершину тетраэдра проведите прямую линию, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что эти четыре прямые пересекаются в одной точке. 2009 ToT Spring Senior A P4
Три плоскости рассекают параллелепипед на восемь шестигранников так, что все их грани являются четырехугольниками (каждая плоскость пересекает две соответствующие пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает оставшиеся две грани).Один из шестигранников имеет описанную сферу. Докажите, что у каждого из этих шестигранников есть описанная сфера.
2009 ToT осень младший A P4
Пусть $ ABCD $ — ромб. $ P $ — это точка на стороне $ BC $, а $ Q $ — такая точка на стороне $ CD $, что $ BP = CQ $. Докажите, что центр тяжести треугольника $ APQ $ лежит на отрезке $ BD. $

2009 ToT Fall Senior O P2
$ A, B, C, D, E $ и $ F $ — точки в пространстве, такие, что $ AB $ параллельна $ DE $, $ BC $ параллельна $ EF $, $ CD $ параллельна $ FA $, но $ AB \ neq DE $.Докажите, что все шесть точек лежат в одной плоскости.

2009 ToT Fall Senior A P3
Каждое ребро тетраэдра касается данной сферы. Докажите, что три отрезка, соединяющие точки касания трех пар противоположных ребер тетраэдра, совпадают.

2009 ToT осень старший A P5
Пусть $ XY Z $ — треугольник. Выпуклый шестиугольник $ ABCDEF $ таков, что $ AB; CD $ и $ EF $ параллельны и равны $ XY; Y Z $ и $ ZX $ соответственно. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах $ BC; DE $ и $ FA $ не меньше площади треугольника $ XY Z.{\ circ} $ вокруг любого из его концов. Возможно ли, что после нескольких оборотов игла вернется в исходное положение с перестановкой концов?

2010 ToT Spring Senior A P6
Четырехугольник $ ABCD $ описан вокруг круга с центром $ I $. Пусть точки $ M $ и $ N $ — середины сторон $ AB $ и $ CD $ соответственно, и пусть $ \ frac {IM} {AB} = \ frac {IN} {CD} $. Докажите, что $ ABCD $ — трапеция или параллелограмм.

2010 ToT Fall Junior O P2
В четырехугольнике $ ABCD $ с вписанной окружностью $ AB = CD; BC

2010 ToT Fall Junior A P1
С помощью круглой монеты можно построить круг, проходящий через одну или две заданные точки на плоскости. Для данной линии на плоскости покажите, как использовать эту монету, чтобы построить две точки так, чтобы они определяли линию, перпендикулярную данной линии. Обратите внимание, что монету нельзя использовать для построения окружности, касающейся данной линии.

2010 ToT Fall Junior A P6

В остром треугольнике $ ABC $ выбрана произвольная точка $ P $ на высоте $ AH $.Точки $ E $ и $ F $ — середины сторон $ CA $ и $ AB $ соответственно. Перпендикуляры от $ E $ к $ CP $ и от $ F $ к $ BP $ пересекаются в точке $ K $. Докажите, что $ KB = KC $.

Диагонали выпуклого четырехугольника $ ABCD $ перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке $ O $. Сумма внутренних радиусов треугольников $ AOB $ и $ COD $ равна сумме внутренних радиусов треугольников $ BOC $ и $ DOA $.

(a) Докажите, что $ ABCD $ имеет вписанную окружность.

(b) Докажите, что $ ABCD $ симметрично относительно одной из своих диагоналей.

2010 ToT Fall Senior A P5
Четырехугольник $ ABCD $ вписан в круг с центром $ O $. Диагонали $ AC $ и $ BD $ не проходят через $ O $. Если центр описанной окружности треугольника $ AOC $ лежит на прямой $ BD $, докажите, что центр описанной окружности треугольника $ BOD $ лежит на прямой $ AC $. 2011

2011 ToT Spring Junior O P4
Каждая диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два равнобедренных треугольника. Две диагонали одного четырехугольника делят его на четыре равнобедренных треугольника.Должен ли этот четырехугольник быть квадратом?

2011 ToT Spring Junior Α P1
Существует ли шестиугольник, который можно разделить прямым разрезом на четыре равных треугольника?

2011 ToT Spring Junior Α P5
$ AD $ и $ BE $ — высоты острого треугольника $ ABC $. Из $ D $ перпендикуляры опускаются до $ AB $ в $ G $ и $ AC $ в $ K $. Из $ E $ перпендикуляры опускаются до $ AB $ в $ F $ и $ BC $ в $ H $. Докажите, что $ FG $ параллельна $ HK $ и $ FK = GH $.

2011 ToT Spring Senior O P1
Грани выпуклого многогранника — аналогичные треугольники.Докажите, что у этого многогранника две пары конгруэнтных граней. 2011 ToT Spring Senior O P4
От четырех вершин выпуклого пятиугольника к противоположным сторонам проведено четыре перпендикуляра. Если эти четыре прямые проходят через одну и ту же точку, докажите, что перпендикуляр от пятой вершины к противоположной стороне также проходит через эту точку.
2011 ToT Spring Senior A P3
(а) Существует ли бесконечная треугольная балка, два поперечных сечения которой похожи, но не совпадают с треугольниками?
(b) Существует ли бесконечная треугольная балка такая, что два ее поперечных сечения представляют собой равносторонние треугольники со сторонами $ 1 $ и $ 2 $ соответственно? 2011 ToT Spring Senior A P5
В выпуклом четырехугольнике $ ABCD BC $ параллельна $ AD $.Две дуги окружности $ \ omega_1 $ и $ \ omega_3 $ проходят через $ A $ и $ B $ и находятся по одну сторону от $ AB $. Две дуги окружности $ \ omega_2 $ и $ \ omega_4 $ проходят через $ C $ и $ D $ и находятся по одну сторону от $ CD $. Меры $ \ omega_1, \ omega_2, \ omega_3 $ и $ \ omega_4 $ равны $ \ alpha, \ beta, \ beta $ и $ \ alpha $ соответственно. Если $ \ omega_1 $ и $ \ omega_2 $ касаются друг друга внешне, докажите, что это касается $ \ omega_3 $ и $ \ omega_4 $. 2011 ToT осень младший O P1
$ P $ и $ Q $ — это точки на самой длинной стороне $ AB $ треугольника $ ABC $ такие, что $ AQ = AC $ и $ BP = BC $.Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ CPQ $ совпадает с центром треугольника $ ABC $.
На стороне $ AB $ треугольника $ ABC $ берется точка $ P $ такая, что $ AP = 2PB $. Известно, что $ CP = 2PQ $, где $ Q $ — середина $ AC $. Докажите, что $ ABC $ — прямоугольный треугольник. 2011 ToT Fall Senior O P3
В выпуклом четырехугольнике $ ABCD AB = 10, BC = 14, CD = 11 $ и $ DA = 5 $. Определите угол между его диагоналями. 2011 ToT Fall Senior A P3
В треугольнике $ ABC $ точки $ A_1, B_1, C_1 $ — это основания высот из вершин $ A, B, C $, а точки $ C_A, C_B $ — проекции $ C_1 $ на $ AC $ и $ BC $. соответственно.Докажите, что прямая $ C_AC_B $ делит пополам отрезки $ C_1A_1 $ и $ C_1B_1 $.
2012

2012 ToT Spring Junior O P3
В параллелограмме $ ABCD $ диагональ $ AC $ касается вписанных окружностей треугольников $ ABC $ и $ ADC $ в $ W $ и $ Y $ соответственно, а диагональ $ BD $ касается вписанные окружности треугольников $ BAD $ и $ BCD $ в точках $ X $ и $ Z $ соответственно. Докажите, что либо $ W, X, Y $ и $ Z $ совпадают, либо $ WXYZ $ — прямоугольник.

2012 ToT Spring Junior Α P7
Пусть $ AH $ — высота равностороннего треугольника $ ABC $.Пусть $ I $ — центр треугольника $ ABH $, а $ L, K $ и $ J $ — центры треугольников $ ABI, BCI $ и $ CAI $ соответственно. Определите $ \ angle KJL $. 2012 ToT Spring Senior O P1
Каждая вершина выпуклого многогранника лежит ровно на трех ребрах, по крайней мере два из которых имеют одинаковую длину. Докажите, что у многогранника три ребра одинаковой длины.

2012 ToT Spring Senior O P4
Четырехугольник $ ABCD $ без параллельных сторон вписан в круг. Две окружности, одна из которых проходит через $ A $ и $ B $, а другая через $ C $ и $ D $, касаются друг друга в точке $ X $.Докажите, что геометрическое место $ X $ — окружность.

2012 ToT Spring Senior A P4

Алекс отметил по одной точке на каждой из шести внутренних граней полого единичного куба. Затем он связал веревками любые две отмеченные точки на соседних гранях. Докажите, что общая длина этих строк не менее $ 6 \ sqrt2 $.

2012 ToT Весна старший A P5
Пусть $ \ ell $ касается вписанной окружности треугольника $ ABC $. Пусть $ \ ell_a, \ ell_b $ и $ \ ell_c $ — соответствующие изображения $ \ ell $ при отражении через внешнюю биссектрису $ \ angle A, \ angle B $ и $ \ angle C $.Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, конгруэнтен $ ABC $. 2012 ToT осень младший O P4
Окружность касается сторон $ AB, BC, CD $ параллелограмма $ ABCD $ в точках $ K, L, M $ соответственно. Докажите, что прямая $ KL $ делит пополам высоту параллелограмма, проведенного из вершины $ C $ в $ AB $. 2012 ToT осень юниор Α P4
Дан треугольник $ ABC $. Предположим, что I — его центр, а $ X, Y, Z $ — центры треугольников $ AIB, BIC $ и $ AIC $ соответственно. Центр треугольника $ XYZ $ совпадает с $ I $.Обязательно ли верно, что треугольник $ ABC $ правильный?

2012 ToT Fall Junior Α P6
(a) Точка $ A $ отмечена внутри круга. Две перпендикулярные линии, проведенные через $ A $, пересекают круг в четырех точках. Докажите, что центр масс этих четырех точек не зависит от выбора прямых.
(б) Внутри круга нарисован правильный $ 2n $ -угольник ($ n \ ge 2 $) с центром $ A $ (A не обязательно совпадает с центром круга). Лучи, идущие из $ A $ в вершины $ 2n $ -угольника, отмечают $ 2n $ точек на окружности.Затем $ 2n $ -угольник поворачивается вокруг $ A $. Лучи, идущие от $ A $ к новым положениям вершин, отмечают новые $ 2n $ точек на окружности. Пусть $ O $ и $ N $ — центры тяжести старой и новой точек соответственно. Докажите, что $ O = N $

2012 ToT Fall Senior O P2
Даны выпуклый многогранник и сфера, пересекающие каждое его ребро в двух точках, так что каждое ребро делится на три части (делится на три равные части). Обязательно ли верно, что все грани многогранника представляют собой
(а) конгруэнтных многоугольников?
(б) правильные многоугольники?

2012 ToT осень старший A P4
В треугольнике $ ABC $ две точки, $ C_1 $ и $ A_1 $ отмечены на сторонах $ AB $ и $ BC $ соответственно (точки не совпадают с вершинами).Пусть $ K $ — середина треугольника $ A_1C_1 $, а $ I $ — центр треугольника $ ABC $. Учитывая, что четырехугольник $ A_1BC_1I $ вписанный, докажите, что угол $ AKC $ тупой.

2012 ToT Fall Senior A P6
(a) Точка $ A $ отмечена внутри сферы. Три перпендикулярные линии, проведенные через $ A $, пересекают сферу в шести точках. Докажите, что центр тяжести этих шести точек не зависит от выбора таких трех линий.
(б) Икосаэдр с центром $ A $ помещен внутрь сферы (его центр не обязательно совпадает с центром сферы).Лучи, идущие от $ A $ к вершинам икосаэдра, отмечают $ 12 $ точек на сфере. Затем икосаэдр вращается вокруг своего центра. Новые лучи отмечают на сфере новые точки в $ 12 $. Пусть $ O $ и $ N $ — центры масс старой и новой точек соответственно. Докажите, что $ O = N $.


2013

2013 ToT Spring Junior O P1
На плоскости есть шесть точек, которые можно разделить на две тройки, каждая из которых образует треугольник. Всегда ли возможно разделить эти точки на две тройки, создав два треугольника без общей точки (ни внутри, ни на границе)?

2013 ToT Spring Junior O P3
В четырехугольнике $ ABCD $ угол $ B $ равен $ 150 ^ o $, угол $ C $ прямой, а стороны $ AB $ и $ CD $ равны.Определите угол между $ BC $ и линией, соединяющей середины сторон $ BC $ и $ AD $.


2013 ToT Spring Junior Α P5
Точка на плоскости называется узлом, если обе ее координаты являются целыми числами. Рассмотрим треугольник с вершинами в узлах, содержащий ровно два узла внутри. Докажите, что прямая, соединяющая эти узлы, либо проходит через вершину, либо параллельна стороне треугольника.

2013 ToT Spring Junior Α P6

Пусть $ ABC $ прямоугольный треугольник, $ I $ его центр и $ B_0, A_0 $ точки касания вписанной окружности с катетами $ AC $ и $ BC $ соответственно.Пусть перпендикуляр, опущенный на $ AI $ из $ A_0 $, и перпендикуляр, опущенный на $ BI $ из $ B_0 $, пересекаются в точке $ P $. Докажите, что прямые $ CP $ и $ AB $ перпендикулярны.

2013 ToT Spring Senior O P2
Пусть $ C $ — прямой угол в треугольнике $ ABC $. На участках $ AC $ и $ BC $ квадраты $ ACKL, BCMN $ построены вне треугольника. Если $ CE $ — высота треугольника, докажите, что $ LEM $ — прямой угол. 2013 ToT Весна старший A P3
Точка на плоскости называется узлом, если обе ее координаты являются целыми числами.о $. Докажите, что $ KL = BC $. 2013 ToT Fall Junior Α P3
Предположим, что $ C $ — прямой угол треугольника $ ABC $, а $ N $ — середина полукруга, построенного на $ CB $ как по диаметру снаружи. Докажите, что $ AN $ делит биссектрису угла $ C $ пополам.

2013 ToT Fall Junior Α P5
В круг вписан гонщик стоимостью 101 доллар. Из каждой вершины этого многоугольника опускается перпендикуляр к противоположной стороне или его продолжению. Докажите, что хотя бы один перпендикуляр опускается в сторону.

2013 ToT Fall Senior O P2
На сторонах треугольника $ ABC $ построены три одинаковых треугольника с треугольником $ YBA $ и треугольником $ ZAC $ снаружи и треугольником $ XBC $ внутри.(Выше вершины треугольников упорядочены так, что сходства переводят вершины в соответствующие вершины, например, сходство между треугольником $ YBA $ и треугольником $ ZAC $ переводит $ Y $ в $ Z, B $ в $ A $ и От $ A $ до $ C $). Докажите, что $ AYXZ $ — параллелограмм. 2013 ToT осень старший A P2
Пусть $ ABC $ — равносторонний треугольник с центром $ O $. Прямая, проходящая через $ C $, пересекает описанную окружность треугольника $ AOB $ в точках $ D $ и $ E $. Докажите, что точки $ A, O $ и середины отрезков $ BD, BE $ совпадают.

2020

2020 ToT Spring Junior O P3
Пусть $ ABCD $ — ромб, пусть $ APQC $ — параллелограмм, внутри которого точка $ B $ лежит внутри, а сторона $ AP $ равна стороне ромб. Докажите, что $ B $ — ортоцентр треугольника $ DPQ $.

Егор Бакаев

2020 ToT Spring Юниор A P5
Пусть $ ABCD $ вписанная трапеция. Базовая $ AB $ в 3 раза длиннее, чем $ CD $. Касательные к описанной окружности в точках $ A $ и $ C $ пересекаются в точке $ K $.Докажите, что угол $ KDA $ прямой.

Александр Юран

2020 ToT Весна Senior O P5
Даны две окружности, которые пересекаются в точках $ P $ и $ Q $. Рассмотрим произвольную прямую $ \ ell $, проходящую через $ Q $, пусть вторыми точками пересечения этой прямой с окружностями будут $ A $ и $ B $ соответственно. Пусть $ C $ — точка пересечения касательных к окружностям в этих точках. Пусть $ D $ — пересечение прямой $ AB $ и биссектрисы угла $ CPQ $. Докажите, что все возможные $ D $ при любом выборе $ \ ell $ лежат на одной окружности.

Алексей Заславский

Пусть $ ABCD $ вписанный четырехугольник. Пусть окружности диаметров $ AB $ и $ CD $ пересекаются в двух точках $ X_1 $ и $ Y_1 $, окружности диаметров $ BC $ и $ AD $ пересекаются в двух точках $ X_2 $ и $ Y_2 $, окружности с диаметры $ AC $ и $ BD $ пересекаются в двух точках $ X_3 $ и $ Y_3 $. Докажите, что строки $ X_1Y_1, X_2Y_2 $ и $ X_3Y_3 $ параллельны.

Максим Дидин

Устные раунды


Даны три попарно пересекающихся луча.В какой-то момент не на каждом луче от его начала точка начинает двигаться со скоростью. Известно, что эти три точки образуют треугольник в любое время, и центр описанной окружности этого треугольника также движется равномерно и по прямой. Правда ли, что все эти треугольники похожи друг на друга? На плоскости зафиксирован луч $ s $ с вершиной $ A $ и точка $ P $ не на той прямой, которая содержит $ s $. Выберем случайную точку $ K $, лежащую на луче. Пусть $ N $ — точка на луче вне $ AK $ такая, что $ NK = 1 $.Пусть $ M $ — точка такая, что $ NM = 1, M \ in PK $ и $ M! = K. $ Докажите, что все прямые $ NM $, образованные некоторой точкой $ K $, касаются некоторой фиксированной окружности. В выпуклой шестиугольной пирамиде 11 ребер равны 1. Найдите все возможные значения 12 ребра.
На высотах $ AA_0, BB_0, CC_0 $ остроугольного неравностороннего треугольника $ ABC $ были отмечены точки $ A_1, B_1, C_1 $ соответственно, так что $ AA_1 = BB_1 = CC_1 = R $, где $ R $ — радиус описанной окружности треугольника $ ABC $. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ A_1B_1C_1 $ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ ABC $.

Бакаев Э.

источники:
www.math.toronto.edu/oz/turgor/
www.turgor.ru/en

Турнир городов, Книга 1

Турнир городов, Книга 1

Питер Дж. Тейлор

Международный математический турнир городов — это соревнование по решению задач, в котором команды из разных городов имеют инвалидность в зависимости от населения города. Соревнование, уступающее только Международной математической олимпиаде, берет свое начало в Восточной Европе (как и Олимпиада), но теперь открыто для городов по всему миру.

Эта книга содержит уникальные записи о проблемах и решениях Турнира в его самые ранние годы. Они были переведены с русского языка, а решения были составлены на английском языке международной группой математиков, в которую входят Дмитрий Фомин из России, Энди Лю из Канады и Джордан Табов из Болгарии.


Выдержки из книги (tbs)

  • Предисловие
  • Предисловие
  • Содержание
  • Пример страницы проблем (pdf)
  • Образец страницы решений (pdf)

1993
29 долларов.95
114 страниц
мягкая обложка
5 3/4 дюйма x 8 1/4 дюйма
номер для заказа: 1-50251-000-5
ACN 058 370 559
издатель: AMT Publishing

Рекламные материалы

  • Флаер (pdf)
  • Порекомендуйте эту книгу вашей библиотеке (pdf)

Что говорят рецензенты

  • Константинов Н. Н. из предисловия
    • «Математические задачи сочетают в себе веселье и серьезную работу.Вполне вероятно, что некоторые очень серьезные ученики не захотят решать задачи, которые кажутся слишком забавными или легкомысленными. Предупреждаю, найти их решение, как правило, не шутка. Многие из этих проблем связаны с очень серьезными математическими идеями ».

Купить эту книгу

посмотреть другие книги Турнира городов
перейти в книжный магазин MathPro Press
перейти на домашнюю страницу MathPro Press

Дополнительная математика для старшеклассников

Турнир Городов — международное соревнование, проводимое каждый год в два этапа — осень и весна (северное полушарие время), которым управляет центральный комитет в Москве, который является подкомитетом Российской академии наук через Австралийский математический фонд (см. их Турнир Городской сайт).На каждом этапе есть две бумаги, уровень O, (Обычный) и уровень A (продвинутый) с интервалом примерно в одну неделю. В Уровень сложнее, но дает больше очков. Студенты могут участвовать в любом или всех этапах или уровнях. (Обратите внимание, что даже O контрольная работа довольно сложна и требует от студента необычный талант к математике.)

Турнир городов за «городок» Перт

Последний Турнир соревнований Городов, проводимый в Университете Кертина, этап «Северная осень» за 2004-2005 гг. .Потом был перерыв до 2007 года. Сейчас он снова работает, но теперь местом проведения является UWA. Студентов обычно приглашают к участию на основании их результат на Австралийской олимпиаде по математике среднего уровня (AIMO). Соревнование используется как часть тренировочной стратегии австралийского Математическая олимпиада (АМО).

В настоящее время проводится турнир «Пертский турнир городов». организованы и управляются: Доктор Грег Гэмбл Куртинского университета.

Заметки и вопросы по учебному занятию

Ниже приведены записи, которые раздавались во время тренировок, но исправлены. так как тренировочные занятия, вместе с проблемами двух тренировок сессии, включающие некоторые решения Тренинга 8 ноября 2003 г. Сессия и все решения тренинга 22 ноября 2003 года.Если вы хотите найти решение проблемы, которой нет уже или испытываете какие-либо трудности с чтением или пониманием решения, отправить Грегу Гэмблу электронное письмо. Все файлы ниже находятся в формате PDF (для этого требуется Adobe Acrobat Reader или xpdf или какая-нибудь подобная программа для их чтения).

  • Глоссарий … список терминов, которые следует знать, в алфавитном порядке.
  • Примечания по геометрии плоскости
  • Заметки по теории чисел
  • Примечания к индукции
    Проблемы с индукцией должны быть «Хлеб с маслом», т.е., где можно получить несколько простых очков. Вот вам целый набор, который вы можете попробовать. Решения включены. Пытаться делайте их, не глядя на решения.
  • Индукционные проблемы с решениями.
  • 23 октября 2004 г., вопросы тренинга.
  • 1 мая 2004 г., вопросы учебной сессии.
  • 24 апреля 2004 г., вопросы тренинга.
  • 10 апреля 2004 г., вопросы тренинга.
  • 22 ноября 2003 г., вопросы тренинга с решениями.
  • 8 ноября 2003 г., вопросы учебной сессии с некоторыми решениями.
  • См. Также … мой Сайт Академии молодых математиков, на котором есть более подробные заметки и обширный запас задач теории чисел с полными решениями.

Ссылки на похожие сайты / конкурсы / программы

  • Обогащение математики … Математика Программа повышения квалификации для учащихся 5-11 классов, проводимая во 2-й и 3-й семестры учебного года в Curtin Uni.
  • Академия молодых математиков UWA … для 10 класса, Учащиеся 11 классов и 9 классов продвинутого уровня, с марта по Ноябрь, UWA
  • Задача по математике для молодых австралийцев … для учащихся 7-10 классов и учащихся 5 и 6 классов продвинутого уровня, обычно проходят через школы с материалами, предоставленными Австралийская математика Доверять.
  • Математические олимпиады W.A. … включает ссылки на WAJO (Юношеская математическая олимпиада WA), проводимая в конец октября или начало ноября, UWA
  • Австралийский конкурс математиков… пять уровней в 2005: 3-й и 4-й классы (средняя школа), 5 и 6 классы (старшая школа) и 7 и 8 классы (младшие), 9 и 10 классы (средний уровень) и 11 и 12 классы (старший), проведенный 4 августа 2005 г. в школах.

Часто задаваемые вопросы

  • Как стать участником Турнира Городов?
    Обычно одного приглашают через школу, если он участвовали в предыдущем соревновании Турнир Городов или выступления на олимпиаде по математике или австралийском Соревнования по математике и / или участие в одном из вышеперечисленных занятий по математике. программы обогащения.
  • Как мне узнать, как я прошел в турнире «Турнир городов»?
    Каждый ученик получит неофициальный результат по почте в течение нескольких недель сидения газет. Лучшие скрипты (примерно половина из них) — это затем отправили в Канберру, и самые лучшие сценарии, полученные в Канберра отправляется в Москву.
  • Когда и как я получу сертификат для участия в Турнир конкурса Городов?
    Доставка сертификатов из Канберры занимает некоторое время.Обычно сертификаты на один конкурс поступают примерно во время следующих конкурса, а затем отправляются в школы для распространения. если ты не получили сертификат с двух конкурсов назад, спросите своих учителей в вашей школе, кому были бы отправлены сертификаты.
  • Означает ли оценка 0 или близкая к 0, что я просто недостаточно талантлив?
    Определенно нет. Вопросы сложные. Забить что-нибудь за вопрос, вы, должно быть, значительно продвинулись вперед, и если вы не попали по ключевой идее вопроса, вы, скорее всего, получите 0.Если тебе удалось чтобы полностью ответить хотя бы на один вопрос, значит, вы хорошо справились. Давать похлопайте себя по спине. Вас пригласили на конкурс, потому что вы был талант. Вы обнаружите, что, просто участвуя, вы научитесь существенная сумма, которая поможет в будущих турнирах.

О турнире городов

Турнир произошел от соревнования, известного как Олимпиада трех Городов (Москва, Ленинград и Рига) в России, который впервые прошел в 1979-1980, чтобы обеспечить альтернативу Международной олимпиаде для много талантливых студентов, не имевших возможности участвовать в международные соревнования.С тех пор другие города присоединились к конкурса, и название конкурса было изменено на его текущее название в 1980–1981 гг. Сегодня в ней участвуют более 100 городов мира; Австралия была впервые был представлен, когда Канберра вступила в 10-й турнир в 1988 году. Турнир открыт для всех старшеклассников, с самого старшего возраста. студентам около 17 лет.

Студенты получают баллы за три лучших вопроса в каждой работе, и их годовой балл основан на их лучшем балле в любом из четырех документы на год.Существует две версии каждой статьи, известной как Документы для старших (11 и 12 классов) и младших (до 10 классов). Баллы умножаются на соответствующие коэффициенты, чтобы младший студенты, пытающиеся выполнить каждую работу, не находятся в невыгодном положении.

Студенты, набравшие определенный минимальный балл, получают диплом Российская Академия Наук. Все участники получают сертификат от Австралийский математический фонд.

Соревнования и олимпиада по математике для 3–8 классов

Мишель Льюис
Gifted Ed, Lehigh Acres FL

Perennial Math — отличный способ обогатить моих талантливых и одаренных учеников.Ежегодно учащиеся 3-5 классов ждут, кто попадает в команды! Им нравится решать задачи и получать удовольствие от работы над различными типами математических задач каждую неделю, ведущую к ежемесячному компьютерному тесту. Удивительно видеть рост навыков студентов от начала до конца. Мне очень нравится эта программа!

Мисси Шорт
Координатор программы Synergy, Prior Lake-Savage MN

Постоянные соревнования по математике позволили продвинутым учащимся научиться тщательно решать задачи и решать их, чтобы бросить вызов их критическому мышлению.Математика включает в себя многоэтапные вычисления, требующие от учащихся доступа к ранее полученным навыкам.

Лаура Уивер
Одаренный специалист по вмешательству, Bowling Green OH

«Вечная математика» вдохновила моих одаренных учеников на успехи в математике.Соревновательные тесты являются сложными для каждого класса, и программа предлагает учащимся возможность выступить на продвинутом уровне, основываясь на их математических навыках. Студенты, которые не считали себя успешными в математике, стали отличными логическими мыслителями с обновленным чувством выполненного долга! Мои ученики с нетерпением ждут соревнований каждый год, чтобы бороться за медали, и мы рады провести первый турнир для местных школ, который будет соревноваться с нами!

Дуг Бюлер
Учитель математики, Пасадена, Калифорния,

Perennial Math вдохновляет студентов на качественное решение задач и награждает большое количество студентов наградами за качество.

.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *