Степень с рациональным показателем вариант 1 ответы: Степень с рациональным показателем - КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ - Управленческое образование

Содержание

Контрольная работа по теме «Степень с рациональным показателем»

Контрольная работа по теме

«Степень с рациональным показателем»

Вариант 1

1. Найдите значение выражения:

2. Вычислите:

а) ; б) ; в) ;

г) .

3. Упростите выражение:

а) ; б); в) ;

г) ; д) .

4. Представьте выражениев виде степени и найдите его значение при у = 8.

5. Сравните числа.

6. Решите уравнение: а) б)

7. Сократите дробь: а) ; б).

Контрольная работа по теме

«Степень с рациональным показателем»

Вариант 2

1. Найдите значение выражения:

2. Вычислите:

а) ; б) ; в) ;

г) .

3. Упростите выражение:

а) ; б); в) ;

г) ; д) .

4. Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при х = 0,5.

5. Сравните числа.

6. Решите уравнение: а) б)

7. Сократите дробь: а) ; б).

Контрольная работа по теме

«Степень с рациональным показателем»

Вариант 3

1. Найдите значение выражения

2. Вычислите:

а) ; б) ; в) ;

г) .

3. Упростите выражение:

а) ; б); в) ;

г) ; д) .

4. Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при х = 1,5.

5. Сравните числа.

6. Решите уравнение: а) б)

7. Сократите дробь: а) ; б).

Степень с рациональным показателем. Как считать и ограничения

Мы уже знакомы с понятием степени с целым показателем. Давайте разберемся, что такое степень с рациональным показателем.

Рациональный показатель – это выражение вида $\frac{p}{q}$, где $p$-некоторое целое число, а $q$ – натуральное число, причем $q\ge2$.

Определение

Положительное число $a$ в рациональной степени $\frac{p}{q}$ является арифметическим корнем степени $q$ из числа $a$ в степени $p$:

$$ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}.{\frac{1}{2}}, $$

Так как $0 \lt \frac{1}{5} \lt 1$ и $\frac{1}{3} \lt \frac{1}{2}$

Проверочная работа по алгебре 10 класс. Тема»Степень с действительным показателем» | Учебно-методический материал (алгебра, 10 класс) по теме:

Вариант 1. Вычислите: a), b) , c) , d), e) , f) .	Вариант 2. 1.Вычислите: a), b) , c) , d), e) , f) ( 3.
Вариант 1. Вычислите: a), b) , c) , d), e) , f) .	Вариант 2. 1.Вычислите: a), b) , c) , d), e) , f) ( 3.
Вариант 1. Вычислите: a), b) , c) , d), e) , f) .	Вариант 2. Вычислите: a), b) , c) , d), e) , f) ( 3.
Вариант 1. Вычислите: a), b) , c) , d), e) , f) .	Вариант 2. Вычислите: a), b) , c) , d), e) , f) ( 3.
Вариант 1. Вычислите: a), b) , c) , d), e) , f) .е=1$. «Определение степени с рациональным показателем и ее свойства » Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края «Лабинский социально-технический техникум» Методическая разработка урока математики по теме: «Определение степени с рациональным показателем и ее свойства » Подготовила: преподаватель математики Пятакова З.В. Лабинск, 2015 Определение степени с рациональным показателем и ее свойства Цели урока: образовательные:обобщить и систематизировать знания по теме; закрепить навыки действий со степенями, обобщить теоретический материал по теме урока; проверить знания основных понятий на определение степени с рациональным показателем. развивающие:развивать умения анализировать учебный материал; развивать любознательность, внимание, наблюдательность; развивать интерес учащихся к математике, при анализе жизненных ситуаций; формировать умение применять знания на практике. воспитательные:воспитать умения и навыки групповой и самостоятельной работы; расширить кругозор обучающихся в историческом аспекте; прививать трудолюбие, аккуратность в математических вычислениях и записях. Оборудование: компьютер, интерактивная доска, карточки. Тип урока: формирования умений и навыков План урока: I. Организационный момент (2 мин). II. Подготовка к основному этапу занятия (2 мин). III.Закрепление и систематизация раннее изученного материала. (12 мин.) IV. Самостоятельная работа (7 мин). V. Физкультминутка (3 мин). VI. Работа в группах (8 мин). VII. Обобщение материала (2 мин). VIII. Самостоятельная подготовка (2 мин). IX. Итог урока (1 мин). X. Рефлексия (1 мин). Девиз урока: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!» А. Нивен Ход урока: Организационный момент. Приветствие, проверка присутствующих. Объявление целей и задач урока. На уроке закрепляем и систематизируем ранее изученный материал по теме «Степень с рациональным показателем и ее свойства». Учащиеся задают вопросы по домашней работе. Обсуждение наиболее проблемных заданий. Учитель озвучивает оценки по самостоятельной работе, проведенной на предыдущем уроке. Заранее на доске записана тема урока и домашнее задание. Подготовка к основному этапу занятия. Повторим! Определение. Арифметическим корнем n-й степени (n N, n 2) из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, n – я степень которого равна а. Имеют место формулы: = , n N = , n N = , при 0. 2) Определение. Степень с рациональным показателем = , где m Z, n N, 0; Если 0, то = , при 0. 3) Свойства степени с рациональным показателем: При a 0, b 0; p,q Q : а) = , г) = , б ) = , д) = , в) = , е) = . Закрепление и систематизация раннее изученного материала. Представьте выражение в виде степени числа m: а) , , б) , , , . 2. Вычислите: 1) 6) 2) 7) : 3) 8) 4) 9) 5) . 10) 3. Найдите значение выражения: а) , в) + , б) , г) . 4. Имеет ли смысл выражение: а) , в) , б) , г) ? 5. Решите уравнение: а) = 2, в) = , б) = 8, г) = . Самостоятельная работа (разноуровневая). 1 вариант 1. Вычислите: а) , б) в) 2. Сократите дробь: а) , б) . 3.Решите уравнение: а) = 2, б) = 1, 2 вариант 1. Вычислите: а) , б) в) , 2. Сократите дробь: а) , б) . 3. Решите уравнение: а) = , б) = 3. Для сильных учащихся: 3 вариант 1. Вычислите: а) , б) , 2. Упростите выражение: а) б) 3. Решите уравнение: а) 2 = 0, б) 2 = 0. Самостоятельную работу могут проверить 2-3 сильных учащихся по заранее заготовленным учителем критериям и ответам. Оценки озвучиваются. Физкультминутка. На интерактивной доске открыт слайд с кроссвордом. Учитель предлагает учащимся отдохнуть, разгадывая кроссворд. По горизонтали: Показатель степени. Геометрическая фигура, у которой все стороны равны и углы равны между собой. Выпуклый четырехугольник, у которого только две противолежащие стоны параллельны между собой, а две другие – нет. Параллелограмм, у которого все углы прямые. Восполнение (от араб. اَلْجَبْرْ‎‎, «аль-джабр» ). По вертикали: Раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольника. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Произведение, состоящее из одинаковых множителей. Геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Работа в группах. Учитель делит класс на группы по 2 человека. (1учащийся с высокой мотивацией к учебе и 1 2 учащихся со средним (или низким) уровнем знаний). 1.Вычислите: а) б) 2. Упростите: а) б) в) г) . После коллективного обсуждения и решения в парах, вызывается слабый ученик к доске. На выбор учащийся комментирует решение любых одного-двух примеров. После чего можно всем сверить ответы с ответами на интерактивной доске. Обобщение материала. Учащиеся из сильной группы опрашивают учащихся со средней и слабой мотивацией к учебе. а) Что такое степень с рациональным показателем? б) Какие формулы применяются при решении заданий по данной теме? 2. Учитель дает задание решить уравнение: а) = 1, б) = 1. По желанию 1 ученик решает у доски с комментариями. Решение: а) Возведя обе части уравнения в куб, получим: = 1; = 1. б) Это практически то же самое уравнение, что и в пункте а), но с одной существенной оговоркой: поскольку переменная возводится в дробную степень, она по определению должна принимать только положительные значения. Значит, из найденных выше двух значений в качестве корня уравнения мы имеем право взять лишь значение = 1. Ответ: а) 1 ; б) 1. Самостоятельная подготовка. 1.Решите уравнения: 1) 2) = 2. Вычислите: Для сильных учащихся. 3. Упростите: 1), 2) Итоги урока. Разбираются ошибки в самостоятельной работе. Затем учитель дает свои комментарии по поводу оценок, в том числе оценивая работу сильных учащихся. Рефлексия . Учитель предлагает учащимся выбрать смайлик из предложенных трех вариантов которые лежат на парте. Рис. №1 – тема несложная. Я легко справлюсь с домашним заданием. Рис. №2 – тема сложная, но мне достаточно ещё раз самому сесть и прочитать параграф учебника. Почитать конспекты. Выполнить вдумчиво домашнее задание. Рис. №3 – тема очень сложная, и мне нужна дополнительная работа с учителем по этой теме. Поднимите тот, который ближе всего отражает ваше настроение в конце урока. Рис. №1. Рис. №2. Рис. №3. Урок окончен. Спасибо за хорошую работу! ГДЗ: Алгебра 9 класс Журавлев, Малышева Алгебра 9 класс Тип: Тетрадь для самостоятельных и контрольных работ Авторы: Журавлев, Малышева Издательство: Экзамен Для некоторых девятиклассников алгебра становится серьёзным испытанием на прочность. Объём учебного материала по математическим предметам в 9 классе огромен, а ещё скоро итоговое тестирование. Для прохождения тестов приходится брать дополнительные задачи для самостоятельного изучения. Такие пособия позволяют контролировать уровень знаний и вовремя ликвидировать пробелы. Но не всем по плечу самостоятельно разобраться в сложных темах. В таких случаях будет полезен решебник с готовыми домашними заданиями. Содержание тетради Тетрадь для самостоятельных и контрольных работ по алгебре авторов Журавлева и Малышевой издательства книги Экзамен вобрал список тем, которые школьники проходили за всё изучение алгебры. Тетрадь разделена на две большие части — с контрольными и самостоятельными работами, каждые из которых даются в двух уровнях сложности и в четырех вариантах заданий. Первые два — для среднего уровня, а последние — гораздо тяжелее и рассчитаны на учеников с хорошим пониманием темы. Среди встречающихся упражнений можно выделить: Арифметические и геометрические прогрессии Задачи со степенями Элементы комбинаторики Системы уравнений Что входит в пособие В решебник с «ГДЗ по алгебре 9 класс Журавлева» вошли подробные решения всех заданий. Необходимые ответы с решениями распределены по названиям тем и номерам вариантов. Чем полезна работа с пособием ГДЗ Журавлева примечательно для учеников тем, что здесь разобраны темы для предстоящих экзаменов. Здесь также представлены сложные темы, которые будут полезны для школьников, желающих в дальнейшем учиться на специальностях с математическим уклоном. Но такие задания не всегда можно быстро решить, даже при помощи учебника. А вот просмотреть наглядное решение такого примера онлайн, может оказаться лучшим способом разобраться в сложной теме. формулировки, доказательства, примеры, формулы степеней Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике. Свойства степени с натуральным показателем Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение n-ного количества множителей, каждый из которых равен а. Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства: Определение 1 1. Главное свойство степени: am·an=am+n Можно обобщить до: an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk. 2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: am:an=am−n 3. Свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn Равенство можно расширить до: (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn 4. Свойство частного в натуральной степени: (a:b)n=an:bn 5. Возводим степень в степень: (am)n=am·n, Можно обобщить до:(((an1)n2)…)nk=an1·n2·…·nk 6. Сравниваем степень с нулем: если a>0, то при любом натуральном n, an будет больше нуля; при a, равном 0, an также будет равна нулю; при a<0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2·m, a2·m будет больше нуля; при a <0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2·m−1, a2·m−1 будет меньше нуля. 7. Равенство an<bn будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу. 8. Неравенство am>an будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и не меньше единицы. В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: am·an=am+n — то же самое, что и am+n=am·an. В таком виде оно часто используется при упрощении выражений. Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства. 1. Начнем с основного свойства степени: равенство am·an=am+n будет верным при любых натуральных m и n и действительном a. Как доказать это утверждение? Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида: Это можно сократить до (вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем m+n. Таким образом, am+n, значит, основное свойство степени доказано. Разберем конкретный пример, подтверждающий это. Пример 1 Итак, у нас есть две степени с основанием 2. Их натуральные показатели — 2 и 3 соответственно. У нас получилось равенство: 22·23=22+3=25 Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства. Выполним необходимые математические действия: 22·23=(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 25=2·2·2·2·2=32 В итоге у нас вышло: 22·23=25. Свойство доказано. В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел n1, n2 и др. буквой k, мы получим верное равенство: an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk. Пример 2 Пример с конкретными числами (легко посчитать самостоятельно): (2,1)3·(2,1)3·(2,1)4·(2,1)7=(2,1)3+3+4+7=(2,1)17. 2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство am:an=am−n, которое справедливо при любых натуральным m и n (причем m больше n) ) и любом отличном от нуля действительном a. Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь 0n=0). Условие, чтобы число m обязательно было больше n, нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя n из m, мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями. Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так: am−n·an=a(m−n)+n=am Из него можно вывести: am−n·an=am Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что am−n– частное степеней am и an. Это и есть доказательство второго свойства степени. Пример 3 Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π: π5:π2=π5−3=π3 3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn при любых действительных a и b и натуральном n. Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так: Вспомнив свойства умножения, запишем: . Это значит то же самое, что и an·bn. Пример 4 Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем: (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn Пример 5 С конкретными числами получим следующее верное равенство: (2·(-2,3)·a)7=27·(-2,3)7·a 4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: (a:b)n=an:bn при любых действительных a и b, если b не равно 0, а n – натуральное число. Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если (a:b)n·bn=((a:b)·b)n=an , а (a:b)n·bn=an, то из этого выходит, что (a:b)n есть частное от деления an на bn. Пример 6 Подсчитаем пример: 312:-0.53=3123:(-0,5)3 5. Далее мы поговорим о свойстве возведения степени в степень: (am)n=am·n для любого действительного a и любых натуральных n и m. Пример 7 Начнем сразу с примера: (52)3=52·3=56 А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства: Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа p, q, r, s, то верно будет: apqys=ap·q·y·s Пример 8 Добавим конкретики: (((5,2)3)2)5=(5,2)3·2·5=(5,2)30 6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения. Для начала сравним степень с нулем. Почему an>0 при условии, что а больше 0? Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени an с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно. Пример 9 35>0, (0,00201)2>0 и 3491351>0 Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им. Пример 10 Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его 2·m, где m – натуральное число. Тогда: Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a·a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда и степень a2·m также положительны. Пример 11 Например, (−6)4>0, (−2,2)12>0 и -296>0 А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его 2·m−1. Тогда Все произведения a·a, согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число a, то конечный результат будет отрицателен. Тогда получим: (−5)3<0, (−0,003)17<0 и -111029<0 7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот). Как это доказать? an<bn– неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a<b. Вспомним основные свойства неравенств справедливо и an<bn. Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать задание Пример 12 Например, верны неравенства: 37<(2,2)7 и 3511124>(0,75)124 8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Докажем эти утверждения. Для начала нам нужно убедиться, что am<an при условии, что m больше, чем n, и а больше 0, но меньше 1.Теперь сравним с нулем разность am−an Вынесем an за скобки, после чего наша разность примет вид an·(am−n−1). Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, m−n>0, тогда am−n−1–отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием. У нас вышло, что am−an<0 и am<an. Свойство доказано. Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше: am>a справедливо при m>n и a>1. Укажем разность и вынесем an за скобки: (am−n−1).Степень an при а, большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при a>1 степень am−n больше единицы. Выходит, am−an>0 и am>an, что нам и требовалось доказать. Пример 13 Пример с конкретными числами: 37>32 Основные свойства степеней с целыми показателями Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое). Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул: Определение 2 1. am·an=am+n 2. am:an=am−n 3. (a·b)n=an·bn 4. (a:b)n=an:bn 5. (am)n=am·n 6. an<bn и a−n>b−n при условии целого положительного n, положительных a и b, a<b 7. am<an, при условии целых m и n, m>n и 0<a<1, при a>1 am>an. Если основание степени равно нулю, то записи am и an имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных m и n. В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия. Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств (ap)q=ap·q, (a−p)q=a(−p)·q, (ap)−q=ap·(−q) и (a−p)−q=a(−p)·(−q) Условия: p=0 или натуральное число; q– аналогично. Если значения p и q больше 0, то у нас получится (ap)q=ap·q. Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если p=0, то: (a0)q=1q=1 a0·q=a0=1 Следовательно, (a0)q=a0·q Для q=0 все точно так же: (ap)0=1 ap·0=a0=1 Итог: (ap)0=ap·0. Если же оба показателя нулевые, то (a0)0=10=1 и a0·0=a0=1, значит, (a0)0=a0·0. Далее разберем равенство (a−p)q=a(−p)·q. Согласно определению степени с целым отрицательным показателем имеем a-p=1ap, значит, (a-p)q=1apq. Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем: 1apq=1qapq Если 1p=1·1·…·1=1 иapq=ap·q, то 1qapq=1ap·q Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в a(−p)·q. Так же: ap-q=1(ap)q=1ap·q=a-(p·q)=ap·(-q). И (a-p)-q=1ap-q=(ap)q=ap·q=a(-p)·(-q) Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты. Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, a−n>b−n верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных a и b при условии, что a меньше b. Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом: 1an>1bn Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования: 1an-1bn=bn-anan·bn Вспомним, что в условии a меньше b, тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: — an<bn, в итоге: bn−an>0. an·bn в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь bn-anan·bn, которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда 1an>1bn откуда a−n>b−n, что нам и нужно было доказать. Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными. Основные свойства степеней с рациональными показателями В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем: Определение 3 1. am1n1·am2n2=am1n1+m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 ( свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями). 2.am1n1:bm2n2=am1n1-m2n2 , если a>0 (свойство частного). 3. a·bmn=amn·bmn при a>0 и b>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 и (или) b≥0 (свойство произведения в дробной степени). 4. a:bmn=amn:bmn при a>0 и b>0, а если mn>0, то при a≥0 и b>0 (свойство частного в дробной степени). 5. am1n1m2n2=am1n1·m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 (свойство степени в степени). 6. ap<bp при условии любых положительных a и b, a<b и рациональном p при p>0; если p<0 — ap>bp (свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями). 7. ap<aq при условии рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1; если a>0 – ap>aq Для доказательства указанных положений нам понадобится вспомнить, что такое степень с дробным показателем, каковы свойства арифметического корня n-ной степени и каковы свойства степени с целыми показателем. Разберем каждое свойство. Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим: am1n1=am1n1 и am2n2=am2n2, следовательно, am1n1·am2n2=am1n1·am2n2 Свойства корня позволят нам вывести равенства: am1·m2n1·n2·am2·m1n2·n1=am1·n2·am2·n1n1·n2 Из этого получаем: am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2 Преобразуем: am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2 Показатель степени можно записать в виде: m1·n2+m2·n1n1·n2=m1·n2n1·n2+m2·n1n1·n2=m1n1+m2n2 Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств: am1n1: am2n2=am1n1: am2n2=am1·n2:am2·n1n1·n2==am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2n1·n2-m2·n1n1·n2=am1n1-m2n2 Доказательства остальных равенств: a·bmn=(a·b)mn=am·bmn=amn·bmn=amn·bmn;(a:b)mn=(a:b)mn=am:bmn==amn:bmn=amn:bmn;am1n1m2n2=am1n1m2n2=am1n1m2n2==am1m2n1n2=am1·m2n1n2==am1·m2n2·n1=am1·m2n2·n1=am1n1·m2n2 Следующее свойство: докажем, что для любых значений a и b больше 0, если а меньше b, будет выполняться ap<bp, а для p больше 0 — ap>bp Представим рациональное число p как mn. При этом m–целое число, n–натуральное. Тогда условия p<0 и p>0 будут распространяться на m<0 и m>0. При m>0 и a<b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство am<bm. Используем свойство корней и выведем: amn<bmn Учитывая положительность значений a и b, перепишем неравенство как amn<bmn. Оно эквивалентно ap<bp. Таким же образом при m<0 имеем a am>bm, получаем amn>bmn значит, amn>bmn и ap>bp. Нам осталось привести доказательство последнего свойства. Докажем, что для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 ap<aq, а при a>0 будет верно ap>aq. Рациональные числа p и q можно привести к общему знаменателю и получить дроби m1n и m2n Здесь m1 и m2 – целые числа, а n – натуральное. Если p>q, то m1>m2 (учитывая правило сравнения дробей). Тогда при 0<a<1 будет верно am1<am2, а при a>1 – неравенство a1m>a2m. Их можно переписать в следующем виде: am1n<am2nam1n>am2n Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге: am1n<am2nam1n>am2n Подводим итог: при p>q и 0<a<1 верно ap<aq, а при a>0– ap>aq. Основные свойства степеней с иррациональными показателями На такую степень можно распространить все описанные выше свойства, которыми обладает степень с рациональными показателями. Это следует из самого ее определения, которое мы давали в одной из предыдущих статей. Сформулируем кратко эти свойства (условия: a>0, b>0, показатели p и q– иррациональные числа): Определение 4 1. ap·aq=ap+q 2. ap:aq=ap−q 3. (a·b)p=ap·bp 4. (a:b)p=ap:bp 5. (ap)q=ap·q 6. ap<bp верно при любых положительных a и b, если a<b и p – иррациональное число больше 0; если p меньше 0, то ap>bp 7. ap<aq верно, если p и q– иррациональные числа, p<q, 0<a<1; если a>0, то ap>aq. Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a>0 обладают теми же свойствами. 9.2 — Радикальные выражения и рациональные экспоненты Цели обучения (9.2.1) — Определить и идентифицировать радикальное выражение (9.2.2) — Преобразование радикалов в выражения с рациональными показателями (9.2.3) — Преобразование выражений с рациональными показателями в их радикальный эквивалент (9.2.4) — Рациональные показатели, числитель которых не равен единице (9.2.5) — Упростить радикальные выражения Упростить радикальные выражения с помощью факторизации Упростите радикальные выражения, используя рациональные показатели степени и законы показателей Квадратные корни чаще всего записываются с помощью знака корня, например [латекс] \ sqrt {4} [/ latex].{\ tfrac {1} {2}}} [/ латекс]. Не можете представить себе возведение числа до рациональной степени? К ним может быть трудно привыкнуть, но рациональные показатели могут действительно помочь упростить некоторые проблемы. Запись радикалов с рациональными показателями пригодится, когда мы обсудим методы упрощения более сложных радикальных выражений. {\ frac {1} {n}}} [/ latex].{\ frac {1} {3}}}} = 2 \ sqrt [3] {x} [/ латекс] Гибкость Мы можем писать радикалы с рациональными показателями, и, как мы увидим, когда мы упростим более сложные радикальные выражения, это может упростить задачу. Наличие различных способов выражения и записи алгебраических выражений позволяет нам гибко решать и упрощать их. Это похоже на тезаурус, когда вы пишете: вы хотите иметь возможность самовыражения! Пример Запишите [латекс] \ sqrt [4] {81} [/ latex] как выражение с рациональной степенью.3} = 2 [/ латекс] В нашем последнем примере мы перепишем выражения с рациональными показателями как радикалы. Эта практика поможет нам, когда мы упростим более сложные радикальные выражения и научимся решать радикальные уравнения. Обычно проще упростить, когда мы используем рациональные показатели степени, но это упражнение предназначено для того, чтобы помочь вам понять, как числитель и знаменатель показателя степени являются показателем степени подкоренного выражения и индексом радикала. {4 }} y} [/ латекс].{\ frac {1} {2}}} [/ латекс] И поскольку вы знаете, что возведение числа в степень [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] — это то же самое, что извлечение квадратного корня из этого числа, вы также можете записать это так. [латекс] \ sqrt {3x} = \ sqrt {3} \ cdot \ sqrt {x} [/ латекс] Посмотрите на это — вы можете думать о любом числе под радикалом как о произведении отдельных множителей , каждый под собственным радикалом. Продукт, возведенный в правило степени или иногда называемый квадратным корнем правила продукта Для любых действительных чисел [латекс] a [/ латекс] и [латекс] b [/ латекс], [латекс] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ cdot \ sqrt {b} [/ latex].{2}}} [/ латекс]. Квадратный корень из правила произведения поможет нам упростить корни, которые не идеальны, как показано в следующем примере. Упростите радикальные выражения с помощью факторизации Пример Упростить. 2 [/ latex], поэтому мы можем переписать подкоренное выражение.{2} [/ латекс]. [латекс] \ sqrt {7} \ cdot 3 [/ латекс] Переставьте множители так, чтобы целое число стояло перед радикалом, а затем умножьте. (Это сделано для того, чтобы было ясно, что под радикалом находится только 7, а не 3.) [латекс] 3 \ cdot \ sqrt {7} [/ латекс] Ответ [латекс] \ sqrt {63} = 3 \ sqrt {7} [/ latex] Окончательный ответ [latex] 3 \ sqrt {7} [/ latex] может выглядеть немного странно, но в упрощенной форме. Вы можете прочитать это как «три корня из семи» или «три раза больше квадратного корня из семи».{2}} [/ латекс]	[латекс] \ слева \| x \ справа \| [/ латекс]
[латекс] -5 [/ латекс]	25	5	5
[латекс] -2 [/ латекс]	4	2	2
0	0	0	0
6	36	6	6
10	100	10	10

Примечание. {2}} = \ left | x \ right | [/ latex].2 [/ latex] всегда будет неотрицательным. Один совет, чтобы знать, когда применять абсолютное значение после упрощения любого даже индексированного корня, — это посмотреть на конечный показатель степени в ваших переменных условиях. Если показатель нечетный, включая 1, добавьте абсолютное значение. Это относится к упрощению любого корня с помощью четного индекса, как мы увидим в следующих примерах.

В следующем видео вы увидите больше примеров того, как упростить радикальные выражения с помощью переменных.

Мы покажем другой пример, где упрощенное выражение содержит переменные как с нечетной, так и с четной степенью.2} = 2 [/ латекс]; и вставив [латекс] x = 1 [/ latex] в наш окончательный ответ, также получим: [latex] | 1-3 | = 2 [/ latex]. Однако, если мы не поставим знаки абсолютного значения, подключение [латекс] x = 1 [/ latex] к [latex] x-3 [/ latex] даст [latex] 1-3 = -2 [/ latex], другое значение.

В нашем следующем примере мы начнем с выражения, записанного с рациональной экспонентой. Вы увидите, что вы можете использовать аналогичный процесс — разложение и сортировку членов по квадратам — для упрощения этого выражения.

Пример

Упростить.{4}} [/ латекс]

Упростить кубические корни

Мы можем использовать те же методы, которые мы использовали для упрощения квадратных корней, чтобы упростить корни более высокого порядка. Например, чтобы упростить кубический корень, цель состоит в том, чтобы найти множители под радикалом, которые являются идеальными кубами, чтобы вы могли извлечь их кубический корень. Нам больше не нужно беспокоиться о том, идентифицировали ли мы главный корень, поскольку теперь мы находим кубические корни. По мере упрощения сосредоточьтесь на поиске одинаковых трех факторов.

Пример

Упростить.{4}} [/ латекс].

В следующем видео мы покажем больше примеров моделирования кубических корней.

Упрощение корней четвертой степени

Теперь перейдем к упрощению корней четвертой степени. Независимо от того, какой корень вы упрощаете, применима одна и та же идея: найти кубы для кубических корней, степени четырех для корней четвертой степени и т. Д. Вспомните, что когда ваше упрощенное выражение содержит четный индексированный радикал и переменный множитель с нечетной степенью, вам нужно применить абсолютное значение.{2}}} [/ латекс]

Ну, это заняло время, но вы сделали это. Вы применили то, что вы знаете о дробных показателях, отрицательных показателях и правилах экспонент, чтобы упростить выражение.

В нашем последнем видео мы показываем, как использовать рациональные показатели для упрощения радикальных выражений.

Сводка

Радикальное выражение — это математический способ представления корня n -й степени числа. Квадратные корни и кубические корни являются наиболее распространенными радикалами, но корень может быть любым числом.{n}}} = \ left | х \ право | [/ латекс]. (Абсолютное значение учитывает тот факт, что если x отрицательно и возведено в четную степень, это число будет положительным, как и главный корень n -го числа этого числа.)

Рациональные экспоненты — стенограмма видео и урока

От рационального к радикальному

Радикальное выражение

Во-первых, у нас есть радикальный символ.(1/2). Вы видите, что 4 x не в скобках, как в предыдущем примере? Поскольку 4 и x не указаны в скобках, только x возводится в степень 1/2. Четверка сама по себе. Так как это выглядело бы радикально? Поскольку 4 не возведена в степень, она будет стоять перед радикалом. Что касается радикала, числитель равен 1, поэтому показатель степени внутри подкоренного выражения равен 1. Знаменатель равен 2, так что это будет наш индекс. Когда мы видим радикальный символ без числа в индексе, мы всегда предполагаем, что это 2.

Резюме урока

Как вы видели, дробь говорит нам, что мы будем переписывать экспоненту как радикальное выражение. Числитель дроби — это показатель степени внутри подкоренного выражения, а знаменатель — это просто индекс.

Цели урока

По завершении этого урока у вас не возникнет проблем с преобразованием рациональной степени в радикальное выражение и наоборот.

Упрощение выражений с помощью рациональных экспонентов — видео и стенограмма урока

Пример № 1

y (1/2) * y (1/3)

В этом примере мы будем следовать произведению степеней.Помните, когда мы умножаем, мы складываем их показатели.

1/2 + 1/3 = 5/6

Итак, ответ будет y (5/6).

В примере 2 для нахождения решения используется свойство отношения степеней.

Пример № 2

Упростить: x (3/5) / x (2/3)

Для этого мы будем использовать частное степеней. Помните, когда мы делим, мы вычитаем их показатель степени.Итак, у нас будет:

x (3/5 — 2/3)

3/5 — 2/3 = -1/15

Итак, наш ответ: x (-1 / 15).

Пример № 3

Упростить: x (-2/7)

Для этого мы собираемся использовать свойство отрицательной степени. Помните, когда у нас есть отрицательная экспонента, мы переворачиваем ее. Если он в числителе, мы переворачиваем его в знаменатель, который есть в данном случае.

Итак, наш ответ будет 1 / ( x (2/7)).(3/5)

Пример № 5

Включение нескольких правил экспоненты для работы со свойствами экспоненты … Упростите использование положительных показателей. Всегда уменьшайте дроби до наименьших значений.

Сначала мы собираемся упростить мощность до мощности. Итак, теперь у нас будет:

При необходимости поставьте одинаковые термины друг над другом.Что ж, у нас уже есть p вместо p и q вместо q . Теперь нет необходимости упрощать дроби. Мы собираемся сразу перейти к упрощению отношения степеней. Помните, когда мы делим, мы вычитаем их показатель степени. Итак, мы имеем:

p (2/6 — 1/2) * q (6/3 — 1/2)

Это дает нам:

p (-1/6) * q (9/6)

Затем нам нужно уменьшить дроби, потому что мы почти добрались до нашего ответа.Итак, у нас будет:

p (-1/6) * q (3/2)

Мы хотим переписать их, используя положительные показатели. Помните, если значение в числителе отрицательное, оно переворачивается в знаменатель. Итак, наш окончательный ответ будет:

q (3/2) / p (1/6)

Пример № 6

Решение для примера 6 после применения свойства отношения степеней

Упростите, используя положительные показатели.Всегда уменьшайте дроби до наименьших значений. У нас будет:

Мы собираемся упростить мощность до мощности. Итак, у нас будет:

Помните, степень в степени означает умножение степени. Далее давайте напишем одинаковые термины друг над другом. У нас уже есть 23 более 82 и м (6/3) более м (2/6). Итак, перейдем к следующему шагу. Пока нет необходимости упрощать дроби, поэтому мы собираемся упростить отношение степеней.Помните, когда мы делим, мы вычитаем. Итак, теперь у нас будет:

8/64 * м (6/3 — 2/6)

Ну, 8/64 это 1/8. м до 6/3 — 2/6 это м до 10/6. Получается, что наш окончательный ответ:

м (5/3) / 8

Мы не будем касаться неправильной дроби в этом видео. Мы просто упрощаем рациональные показатели.

Example # 7

Упростите, используя положительные показатели. Всегда уменьшайте дроби до наименьших значений.

Сначала мы собираемся упростить мощность до мощности. Помните, что сила в степени означает умножение показателей. Это даст нам:

Затем, если нужно, напишите одинаковые термины друг над другом. Теперь нет необходимости упрощать дроби. Мы собираемся перейти к коэффициенту степеней. Помните, когда мы делим, мы вычитаем их показатель степени. Это даст нам:

p (3/10 — (-2/10)) q (-1/4 — (-1/4))

Итак, давайте продолжим упрощение.

p (5/10) q (0)

Нулевой показатель показывает, что q 0 равно 1. Теперь нам нужно уменьшить нашу дробь на 5/10. Это даст нам ответ:

p (1/2)

Формула радикала к рациональной дроби, использованная в примере 8

Формула радикальной дроби в рациональную

Пересмотреть формулу радикальной дроби в рациональную …

Корень b -й корень из x a = x ( a / b )

Индекс является знаменателем.Показатель степени является числителем. Что происходит, когда в выражении есть радикалы?

Заменить радикалы на рациональные показатели
Следуйте правилам экспоненты

Пример # 8

(корень третий из x ) (корень пятой степени из x 4)

Сначала нам нужно перейти на рациональные показатели, поэтому у нас будет:

x (1 / 3) * x (4/5)

Вы помните, что знаменатель — это порядковый номер, а числитель — это степень подкоренного выражения? Следуя нашим правилам экспоненты, мы собираемся создать произведение степеней.Помните, когда мы умножаем, мы складываем их показатели. Итак, у нас будет:

x (1/3 + 4/5)

Ну, 1/3 плюс 4/5 будет 17/15. Итак, наш ответ будет:

x (17/15)

Помните, нам нужно снова изменить рациональную экспоненту на радикальное выражение.

x (17/15) = 15-й корень из x 17

Резюме урока

Рациональные показатели следуют правилам экспонент. Не забудьте уменьшить дроби в качестве окончательного ответа, но вам не нужно уменьшать до окончательного ответа.Для операций с радикальными выражениями измените радикальное выражение на рациональное, следуйте правилам экспоненты, затем измените рациональное выражение обратно на радикальное выражение.

Цели урока

К концу этого урока вы научитесь упрощать выражения с помощью рациональных показателей.

Промежуточная алгебра
Урок 38: Рациональные экспоненты

WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня

Цели обучения

По завершении этого руководства вы сможете:

Перепишите рациональную экспоненту в радикальной записи.
Упростите выражение, содержащее рациональную экспоненту.
Используйте рациональные показатели, чтобы упростить радикальное выражение.

Введение

Учебник

Рациональные экспоненты и корни

Если x положительный, p и q являются целые числа и q положительное,

Другими словами, когда у вас есть рациональный показатель степени, знаменатель этого показателя — это ваш индекс или корень и числитель экспонента — экспоненциальная часть.

Мне было легче думать об этом в двух частях. Найдите корень сначала часть, а затем, если возможно, переходите к экспоненциальной части. Это значительно упрощает работу с числами.

Радикальные экспоненты следуют точно таким же правилам экспонент, как обсуждалось in Tutorial 23: Exponents and Scientific Обозначения, часть I Учебное пособие по и 24: Показатели и научная запись, Часть II . В тех два урока мы имели дело только с целыми числами, но вы можете расширить эти правила рациональным показателям.

Вот краткий обзор этих экспоненциальных правил:

Обзор экспоненциальных правил

Пример 1 : Используйте радикальные обозначения, чтобы написать выражение и упростить его.

Ищем квадратный корень из 4 в степени 1, который это то же самое, что просто сказать квадратный корень из 4.

Если числитель вашей экспоненты равен 1, вы в основном просто ищете корень (показатель знаменателя).

Наш ответ — 2 , поскольку квадратный корень из 4 равен 2.

Пример 2 : Используйте радикальные обозначения, чтобы написать выражение и упростить его.

В этой задаче мы ищем кубический корень из -27 в квадрате. Опять же, я думаю, что проще сначала сделать корневую часть, если это возможно. С числами будет легче работать.

Кубический корень из -27 равен -3, а квадрат (-3) равен 9.

Пример 3 : Используйте радикальные обозначения, чтобы написать выражение и упростить его.

В этой задаче мы ищем квадратный корень из куба 36/49. Опять же, я думаю, что проще сначала сделать корневую часть, если это возможно. С числами будет легче работать.

Квадратный корень из 36/49 равен 6/7, а кубический 6/7 равен 216/343.

Пример 4 : напишите с положительной степенью и упростите.

В этой задаче мы ищем кубический корень 1/8, возведенный в пятая степень.Опять же, я думаю, что проще сначала сделать корневую часть если возможно. С числами будет легче работать.

Кубический корень из 1/8 равен 1/2, а 1/2 в пятой степени равна 1/32.

Пример 5 : Упростите выражение.Пишите с положительными показателями Только.

Пример 6 : Упростите выражение. Пишите только с положительными показателями.

Пример 7 : Умножить.

Пример 8 : Разложите на множитель общего множителя данного выражения.

* Выносим за множитель x до 1/4

Пример 9 : Используйте рациональные показатели, чтобы упростить радикал. Предположим, что переменная представляет собой положительное число.

Практические задачи

Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практика Задачи 1a — 1c: Используйте радикальные обозначения, чтобы написать выражение и упростить его.

Практика Задача 2a: Запишите с положительной степенью и упростите.

Практика Задачи 3a — 3b: Упростите выражение, запишите с положительными показателями Только.

Практика Задача 4a: Умножить.

Практика Задача 5a: Разложите общий множитель на множители данного выражения.

Практика Задача 6a: Используйте рациональные показатели, чтобы упростить радикал. Предположим, что переменная представляет собой положительное число.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?

Функция мощности — свойства, графики и приложения

Когда-нибудь работали с функцией, содержащей один термин? Скорее всего, вы работали с степенной функцией. Этот тип функции настолько разнообразен, что если вы изучаете функции, мы на 100% уверены, что вы уже встречались с типом степенной функции, даже не зная, что это так.

Почему бы нам не начать с определения степенных функций?

Степенная функция — это функция, состоящая из одного члена, которая содержит переменную в своем основании и константу в качестве экспоненты.

Это означает, что существует множество родительских функций, которые также являются степенными функциями. В этой статье мы узнаем:

Что такое силовые функции.
Особые свойства, которые может проявлять степенная функция.
Применяйте эти свойства при построении графиков и идентификации степенных функций.

Обязательно держите под рукой блокнот, так как здесь подробно обсуждаются функции питания. Мы даже научимся применять степенные функции в текстовых задачах.

Почему бы нам не начать с его определения и некоторых примеров степенных функций?

Что такое степенная функция?

Прежде чем мы углубимся в важные свойства степенной функции, мы должны понять фундаментальное определение степенных функций. Вот общая форма степенных функций:

Давайте разберем эту общую форму и найдем примеры степенных функций, использующих это определение.

Обязательно ознакомьтесь с этой формой, поскольку мы будем использовать ее неоднократно на протяжении всей статьи.

Определение и примеры степенных функций

Как показано в предыдущем разделе, степенные функции — это функции в форме f (x) = kx ^a или y = kx ^a , где k — ненулевой коэффициент, а a — действительное число.

Вот несколько примеров степенных функций:

y = -5x ²
y = 2 √x
f (x) = 3 / x ²
g (x) = 2x ³

Обратите внимание, что каждая функция содержит только один термин для каждого примера — важный идентификатор степенных функций.Показатели степенных функций также должны быть действительными числами, поэтому давайте проверим каждый показатель из примеров, чтобы подтвердить это.

Функция y = -5x ² и g (x) = 2x ³ — это функции с целыми числами в качестве экспонентов, поэтому они являются степенными функциями.
Функция квадратного корня y = 2 √x может быть переписана как y = 2x ^1/2 , поэтому ее показатель степени является действительным числом, поэтому это также степенная функция.
Мы применяем тот же процесс с f (x) = 3 / x ² и получаем f (x) = 3x ^-2, что подтверждает, что это степенная функция, поскольку -2 — действительное число.

Ниже приведены лишь некоторые родительские функции, и давайте посмотрим, почему все они также считаются степенными функциями.

Родительская функция	Функциональная форма
Постоянная функция	y = a
Линейная функция	y = x
Квадратичная функция	y = x ²
Кубическая функция	y = x ³
Обратная функция	y = 1 / x, y = 1 / x ²
Функция квадратного корня	y = √x

Поскольку эти родительские функции содержат по одному члену и действительные числа для их показателей, все они являются степенными функциями.

Как построить график степенных функций?

При построении графиков степенных функций мы должны иметь в виду эти два важных свойства степенных функций: их симметрию и поведение конца .

Вот краткое руководство по построению графиков функций мощности, чтобы показать вам, почему эти две функции могут помочь вам сэкономить время:

Определите, является ли функция мощности нечетной или четной.
Применяйте преобразования всякий раз, когда можете.
Найдите точки, которые помогут построить график половины функции мощности.
Применяет свойство симметрии данной степенной функции.
Еще раз проверьте их конечное поведение.

Почему бы нам не обновить свои знания о нечетных и четных функциях и не посмотреть, как они влияют на график степенной функции?

Симметрия четных степенных функций и поведение конца

Степенные функции либо четные, либо нечетные, поэтому они также либо симметричны относительно оси y и начала координат . Мы также можем предсказать конечное поведение степенных функций на основе их коэффициента и мощности .

Давайте посмотрим на график этих четных степенных функций: y = 2x ² и y = -4x ⁴. Чтобы построить график каждой функции, нарисуйте несколько точек справа и отразите эту кривую по оси ординат.

Для обоих графиков, поскольку показатели четные, функции также четные, и, следовательно, их графики симметричны по оси y.

Давайте начнем с четных степенных функций, где коэффициент положительный, например y = 2x ².

Поскольку коэффициент 2 положительный, график открывается вверх на .
Мы видим, что когда x <0, функция убывает, а когда x> 0, функция убывает.
Следовательно, и левая, и правая стороны кривой будут расти (↑) .

Теперь давайте рассмотрим четных степенных функции с отрицательным коэффициентом , например y = -4x ⁴.

Поскольку коэффициент -4 отрицательный, график открывается вниз на .
Здесь мы можем видеть, что когда x <0, функция увеличивается, а когда x> 0, функция убывает.
Это означает, что для с обеих сторон мы ожидаем, что кривая пойдет вниз (↓).

Симметрия и конечное поведение функций нечетной мощности

Как насчет функций нечетной мощности? Давайте продолжим и рассмотрим эти две функции: y = 3x ³ и y = -x ⁵.

Чтобы построить график этих двух функций, мы можем нанести некоторые значения либо на левую, либо на правую сторону координатной плоскости.Отразите график над началом координат.

Из определения нечетных функций мы видим, что обе степенные функции симметричны относительно начала координат .

Вот некоторые вещи, которые мы можем наблюдать на основе графика y = 3x ³, где коэффициент положительный :

Мы можем видеть, что когда x <0, функция увеличивается, и когда x> 0 функция увеличивается на .
Следовательно, левая сторона опускается (↓) , а правая сторона поднимается (↑) .

Теперь рассмотрим поведение нечетных функций при отрицательном коэффициенте .

Мы видим, что когда x <0 и x> 0, функция уменьшается
Следовательно, левая сторона поднимается (↑) , а правая сторона опускается (↓) .

Понимание влияния показателя степени, a

Мы подробно обсудили влияние на график степенной функции на основе ее четности и значения k.Теперь давайте попробуем увидеть разницу, когда a — это дробь, а когда a — целое число.

Случай 1. Когда a = 0 и a = 1 , мы ожидаем, что график сведется к постоянной функции и линейной функции соответственно.

Графики y = 2 и y = 2x подтверждают это. Такое же поведение применяется ко всем значениям k.

Доменом для этого случая будут все действительные числа или в интервальной нотации, то есть (-∞, ∞).

Случай 2: Когда a <0 .Давайте посмотрим на графики y = x ^-1 и y = x ^-2:

Когда a отрицательно, а степенная функция возвращает рациональное выражение, мы можем видеть, что графики приближаются, но никогда не равно 0 . Это означает, что областью значений этих степенных функций будет любое действительное число, кроме 0, , поэтому областью является (-∞, 0) U (0, ∞) .

Два графика также вогнуты вверх с обеих сторон .

Случай 3: Когда 1 .Давайте рассмотрим графики y = x ^1/2 и y = x ^1/3:

Когда a является дробью, а степенная функция возвращает радикальное выражение. Мы видим, что область значений будет зависеть от того, является ли знаменатель четным или нечетным:

Если знаменатель четный, только положительные значения x будут частью области значений или [0, ∞).
Если знаменатель нечетный, все его области могут быть действительными числами или (-∞, ∞).

Два графика также вогнуты вниз с обеих сторон .

Случай 4. Когда a> 1 , давайте рассмотрим графики y = x ⁵ и y = x ⁶.

Когда показатель степени положительный, мы ожидаем, что графики будут вогнутыми вверх . Доменом для этого типа степенной функции будут все действительные числа или обозначения интервала , (-∞, ∞) .

Как найти степенную функцию?

Иногда нам дают график степенной функции или несколько точек, проходящих через его график.Мы все еще можем найти выражение, представляющее степенную функцию, используя две точки.

Подставьте эти две точки в общую форму степенных функций: y = kx ^a .
Найдите способ сохранить k или a в одном из уравнений.
Определите значения для k и a и подставьте их обратно в общую форму степенных функций.

Допустим, мы хотим найти степенную функцию, проходящую через (2, 16) и (3, 54). Подставьте эти значения в общий вид:

(2, 16)

16 = k (2) ^a

16/2 ^a = k

(3, 54)

54 = k (3) ^a

54/3 ^a = k

Давайте приравняем оба выражения в правой части и получим:

16/2 ^a = 54 / 3 ^a

8/2 ^a = 27/3 ^a

2 ³/2 ^a = 3 ³/3 ^a

2 ^{3 — a} = 3 ^{3 — a}

Это уравнение будет истинным, только если обе стороны равны 1.Это означает, что 3 — a должно быть равно 0. Следовательно, a = 3.

Подставим это обратно в любое из выражений k:

k = 16/2 ³

= 16/8

= 2

Теперь, когда у нас есть a = 3 и k = 2, мы можем записать выражение степенной функции: y = 2x ³.

Что, если мы хотим найти выражение степенной функции на основе ее графика? Просто обратите внимание на две точки, через которые проходит график функции, а затем примените тот же процесс.

Прежде чем мы попробуем еще несколько вопросов, связанных с степенными функциями, почему бы нам не подытожить все, что мы знаем о степенных функциях?

Сводка формул степенной функции и их свойств
Вот несколько полезных напоминаний при работе с степенными функциями и их приложениями:
При определении того, является ли функция степенной функцией, убедитесь, что выражение является единственным терм , k — константа , а a — действительное число .
Графики степенных функций будут зависеть от значений k и a.
Применяйте свойства четных и нечетных функций, когда это применимо.
При нахождении выражения для степенной функции всегда используйте общую форму: y = kx ^a .
Используйте приведенную ниже таблицу, чтобы спрогнозировать конечное поведение степенных функций.
Условие для k Функции четной мощности Функции нечетной мощности
Когда k> 0
Функция уменьшается, когда x <0:
As x → — ∞, y → ∞
Функция увеличивается, когда x> 0:
При x → ∞, y → ∞
Функция увеличивается на протяжении интервала x:
При x → — ∞, y → — ∞
При x → ∞, y → ∞
При k <0
Функция увеличивается при x <0:
При x → — ∞, y → — ∞
Функция уменьшается при x > 0:
При x → ∞, y → — ∞
Функция убывает на всем интервале x:
При x → — ∞, y → ∞
При x → ∞, y → — ∞
Убедитесь, что вы понимаете концепцию силовых функций и ознакомьтесь с различное конечное поведение.Когда будете готовы, давайте попробуем решить некоторые задачи!
Пример 1
Какие из следующих функций считаются степенными?
а. f (x) = -2x ² · 3x
b. g (x) = 2√x + 5
c. h (x) = 0,5x ^π
d. m (x) = — (x + 1) ²
e. n (x) = 1 / x ³
Решение
Проверьте каждую из указанных функций и по возможности упростите выражения.
а. Функцию все еще можно упростить до f (x) = -6x ³. Мы видим, что он содержит только один член и имеет действительное число для его коэффициента и показателя степени, поэтому f (x) является степенной функцией .
Следующие два элемента (b и d) содержат более одного члена и не могут быть упрощены, поэтому функции g (x) и m (x) не считаются степенными функциями .
г. Мы всегда возвращаемся к фундаментальному определению степенных функций: они содержат один член, а коэффициент и показатели являются действительными.И 0,5, и π являются действительными числами, поэтому h (x) также является степенной функцией .
эл. Поскольку 1 / x ³ = 1 · x ^-3, мы можем видеть путем осмотра, что он удовлетворяет условиям степенных функций, поэтому n (x) также является степенной функцией .
Следовательно, функции в a, c и e являются степенными функциями .
Пример 2
Заполните пробелы всегда , иногда и никогда , чтобы следующие утверждения были верными.
а. Кубические функции — это ______________ степенные функции.
г. Постоянные функции — это _____________ степенные функции.
г. У степенных функций ___________ будут отрицательные показатели.
Решение
Давайте продолжим и проверим каждую выписку:
a. Некоторые примеры кубических функций: 2x ³ и x ³ — x ² + x — 1. Мы видим, что первый пример является степенной функцией, а второй — нет. Это означает, что кубические функции могут быть , иногда степенными функциями.
г. Общий вид постоянных функций — y = c, где c — любая ненулевая константа. Из общей формы видно, что независимо от значения c, постоянные функции всегда будут иметь один член с действительными числами для их коэффициента и экспоненты. Следовательно, постоянные функции будут всегда степенными функциями.
г. Пока функция содержит один член и экспоненту действительного числа, она будет считаться степенной функцией. Это означает, что степенная функция может иметь положительные и отрицательные показатели.Таким образом, они могут иметь , иногда отрицательные показатели.
Пример 3
Определите конечное поведение следующих степенных функций:
a. f (x) = x ³
б. g (x) = -4x ⁴
c. h (x) = (-3x) ³
Решение
При прогнозировании конечного поведения степенной функции проверьте знак коэффициента и значение показателя. Используйте таблицу, которую мы предоставили, чтобы помочь вам предсказать конечное поведение.
а. Функция f (x) = x ³ имеет коэффициент 1 и положительный показатель степени 3. Поскольку степень нечетная, ожидается, что функция будет увеличиваться во всей области определения.
Это означает, что левая сторона кривой идет вниз, а правая — вверх: (↓ ↑).
б. Для второй функции g (x) = -4x ⁴ имеет отрицательный коэффициент и четный положительный показатель степени. Это означает, что график должен открываться вниз.Функция также будет увеличиваться, когда x <0, и уменьшаться, когда x> 0.
Это означает, что как левая, так и правая стороны кривой должны идти вниз: (↓↓).
г. Давайте сначала упростим выражение для h (x): h (x) = -27x ³. Мы видим, что h (x) имеет отрицательный коэффициент и нечетную экспоненту. Когда это происходит, функция уменьшается во всем своем домене.
Кривая графика идет вверх с левой стороны и спускается с правой стороны: (↑ ↓).
Пример 4
Покажите, что произведение двух степенных функций всегда будет также возвращать степенную функцию.
Решение
Пусть две степенные функции будут f (x) = mx ^p и g (x) = nx ^q, где m и n — коэффициенты действительных чисел. Показатели p и q также являются действительными числами.
Умножение двух функций приведет к:
f (x) · g (x) = (mx ^p) · (nx ^q)
= mn x ^{p + q}
Пусть mn = k и p + q = a, следовательно, f (x) · g (x) = kx ^a.
Поскольку mn и p + q — действительные числа, k и a также будут действительными числами. Продукт по-прежнему возвращает степенную функцию, поэтому мы только что подтвердили, что произведение двух степенных функций также будет степенной функцией.
Пример 5
Изобразите степенную функцию f (x) = -3x ⁵ и ответьте на следующие вопросы.
а. Каков домен и диапазон функции?
г. Если график сдвинуть на 6 единиц вверх, будет ли полученная функция по-прежнему степенной?
Решение
Поскольку f (x) — нечетная функция, мы ожидаем, что график будет симметричным относительно начала координат.
Мы можем нанести эти точки на половину кривой и отразить ее по началу координат.
а. Поскольку показатель степени положительный и нечетный, область и диапазон f (x) будут все действительными числами или (-∞, ∞) . Это также можно подтвердить, просмотрев график.
г. Когда мы переводим f (x) на 6 единиц, мы добавляем 6 к выражению. Следовательно, выражение новой функции теперь будет -3x ⁵ + 6. Это выражение будет содержать два члена, и, таким образом, новая функция больше не будет степенной функцией .
Пример 6
Используйте показанный ниже график, чтобы найти выражение для h (x).
Решение
Поскольку график h (x) проходит через (-1, -2), (1, -2) и (1/2, -8), мы можем использовать любое из этих три точки в общем виде степенной функции: y = kx ^a.
Обратите внимание на график? Кривые приближаются, но никогда не могут быть равны 0, поэтому мы ожидаем, что показатель степени будет дробным.
Давайте сначала подставим (1, -2) в общий вид степенной функции. (Это будет лучший вариант, поскольку k1 ^a уменьшится до k .)
-2 = k (1) ^a
-2 = k
Примените тот же процесс для (1/2, -8), но на этот раз также будем использовать k = -2.
-8 = (-2) (- 1/2) ^a
4 = (-1/2) ^a
(-1/2) ^-2 = (-1/2) ^a
Чтобы это было правдой, a должно быть равно -2.Следовательно, мы имеем h (x) = -2x ^-2 .
Пример 7
Степенная функция g (x) проходит через точки (4, -6) и (9, -9).
а. Каково выражение для g (x)?
г. Постройте график функции g (x).
г. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.
Решение
Давайте подставим каждую пару значений в общую форму степенных функций: y = kx ^a и упростим полученное уравнение.
(4, -6)
-6 = k (4) ^a
-6 = k4 ^a
-6/4 ^a = k
( 9, -9)
-9 = k (9) ^a
-9 = k9 ^a
-9/9 ^a = k
Теперь, когда у нас есть k на обе правые части уравнений приравняем выражения в левой части. Решите относительно a из полученного уравнения.
-6/4 ^a = -9/9 ^a
-2/4 ^a = -3/9 ^a
-2 ¹/2 ^2a = -3 ¹/3 ^2a
-2 ^{1 — 2a} = -3 ^{1 — 2a}
Это уравнение будет верно только тогда, когда обе стороны равны 1, поэтому показатели степени должны быть равны 0
1 — 2a = 0
1 = 2a
a = ½
Подставьте значение a в одно из выражений для k.
k = -6/4 ^a
= -6 / 4 ^1/2
= -6 / 2
= -3
Подставьте эти два значения обратно в общую форму степенных функций, чтобы найти выражение для g (x).
г (x) = kx ^a
= -3x ^1/2
= -3√x
a. Следовательно, мы имеем g (x) = -3√x .
Давайте используем две заданные точки для соединения кривой. Вспомните форму родительской функции функции извлечения квадратного корня, чтобы знать, чего ожидать от графика g (x).
г.
Мы можем найти домен и диапазон g (x), проверив график. Поскольку g (x) имеет рациональную экспоненту с четным знаменателем, мы ожидаем, что для x будут только положительные значения. График также может это подтвердить.
Поскольку график g (x) никогда не поднимается выше отрицательной оси y, мы ожидаем, что его диапазон будет состоять только из отрицательных чисел.
г. Следовательно, область для g (x) равна [0, ∞) , а диапазон — (-∞, 0] . График показывает, что она непрерывно уменьшается, а кривая последовательно идет вниз на .
Пример 8
Площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса r. Площадь круга с радиусом 10 единиц составляет 314 единиц ^2, и круга с радиусом 20 единиц составляет 1256 единиц ².
а. Найдите степенную функцию A (r), представляющую площадь круга через r. Что представляет собой коэффициент при A (r)?
г. Без учета ограничений на r, будет ли A (r) четным или нечетным?
г.Каково конечное поведение A (r)?
г. Если мы примем во внимание тот факт, что r представляет радиус круга, изменится ли домен?
Решение
Поскольку площадь прямо пропорциональна r ², мы можем выразить A (r) как kr ², где k — ненулевая константа.
Давайте используем любую из двух заданных пар значений, чтобы найти k.
A (r) = kr ²
314 = k (10) ²
314 = 100k
k = 3.14
а. Подставим обратно k в выражение, и мы получим A (r) = 3,14r ². Напомним, что 3,14 — это приблизительное значение π, , поэтому коэффициент A (r) представляет π .
г. Поскольку A (r) — квадратичное выражение; это четная функция .
г. Коэффициент при A (r) положительный, а его показатель четный, поэтому мы ожидаем, что график будет уменьшаться, когда x <0, и увеличиваться, когда x> 0. Следовательно, ожидается, что оба конца кривой будут двигаться. вверх .
г. Первоначально, поскольку A (r) представляет собой квадратичное выражение, мы ожидаем, что оно будет иметь область определения (-∞, ∞). Но с учетом того факта, что измерения должны быть больше 0, домен теперь становится (0, ∞).
Практические вопросы
1. Какие из следующих функций считаются степенными?
а. f (x) = -3x ² · 2x + 2x · x
b. g (x) = 12√x
c. h (x) = πx ^√3
г.m (x) = x ² — 3x + 4
e. n (x) = 1 / 2x
2. Заполните пробелы всегда , иногда и никогда сделайте следующие утверждения верными.
а. Взаимные функции — это ______________ степенные функции.
г. Радикальные функции — это _____________ степенные функции.
г. Степенные функции будут ___________ иметь область (-∞, ∞).
3. Определите конечное поведение следующих степенных функций:
a.f (x) = -2x ⁵
б. g (x) = 3x ⁶
c. h (x) = (-2x) ⁴
4. Верно или неверно? Сумма двух степенных функций также всегда будет возвращать степенную функцию. Обосновать ответ.
5. Степенная функция g (x) проходит через точки (1,4) и (2, 2).
а. Каково выражение для g (x)?
г. Постройте график функции g (x).
г. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.
6. Изобразите степенную функцию y = 2x ⁴ и ответьте на следующие вопросы.
а. Каков домен и диапазон функции?
г. Если график сдвинуть на 2 единицы вверх, будет ли полученная функция по-прежнему степенной?
7. Объем конуса прямо пропорционален кубу его радиуса r. Объем конуса с радиусом 10 единиц равен 100π / 3 единиц ^3, и круга с радиусом 20 единиц составляет 400π / 3 единиц ³.
а. Найдите степенную функцию V (r), представляющую объем конуса через r.
г. Без учета ограничений на r, будет ли V (r) четным или нечетным?
г. Каково конечное поведение V (r)?
г. Если мы примем во внимание тот факт, что r представляет радиус круга, изменится ли домен?
8. Мощность P (в ваттах), производимая гидроэлектростанцией, прямо пропорциональна квадрату скорости воды v (в милях в час). Если падающая вода со скоростью 24 мили в час генерирует 144 Вт мощности, сколько энергии вырабатывается при скорости воды 12 и 36 миль в час?
а. Используйте эти значения для построения графика P (v).
г. Каково выражение для P (v)?
г. Определите конечное поведение P (v).

Изображения / математические рисунки создаются с помощью GeoGebra.
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
Что произойдет, если возвести число в дробь?
Когда вы «возводите число в степень», вы умножаете это число на само, а «степень» представляет, сколько раз вы это делаете. Итак, 2 в 3-й степени равнозначно 2 x 2 x 2, что равно 8.Однако когда вы увеличиваете число до дроби, вы идете в противоположном направлении — вы пытаетесь найти «корень» числа.
Терминология
Математический термин для возведения числа в степень — «возведение в степень». Экспоненциальное выражение состоит из двух частей: основания, которое представляет собой число, которое вы увеличиваете, и экспоненты, представляющего собой «степень». Итак, когда вы возводите 2 в 3-ю степень, база равна 2, а показатель степени равен 3. Повышение базы до 2-й степени обычно называется возведением базы в квадрат, а возведение в 3-ю степень обычно называется кубированием базы.4. Это равно 2 x 2 x 2 x 2, или 16. Поскольку 2, умноженное на себя четыре раза, равно 16, «корень 4-й степени» из 16 равен 2. Теперь посмотрите на число 729. Оно распадается на 9 x 9. x 9 — значит, 9 — это 3-й корень из 729. Он также распадается на 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3, поэтому 3 — это корень 6-й степени из 729. Корень 2-й степени обычно называют корнем квадратный корень, а третий корень — кубический корень.
Дробные экспоненты
Когда показатель степени является дробью, вы ищете корень основания.2/3. Знаменатель «3» означает, что вы ищете кубический корень; числитель «2» говорит о том, что вы будете возводить во 2-ю степень. Неважно, какую операцию вы выполните в первую очередь. В любом случае вы получите тот же результат. Итак, вы можете начать с возведения 3-го корня из 8, который равен 2, а затем возвести его во 2-ю степень, что даст вам 4. Или вы можете начать с возведения 8 во 2-ю степень, которая равна 64, а затем взять корень третьей степени из этого числа, который равен 4. Тот же результат.
Универсальное правило
На самом деле правило «числитель как степень, знаменатель как корень» применяется ко всем показателям степени — даже целочисленным показателям и дробным показателям с числителем 1.1/2. Вы можете начать с возведения 9 в «1-ю степень». Но любое число, возведенное в 1-ю степень, и есть само число. Итак, все, что вам нужно сделать, это получить квадратный корень из 9, который равен 3. Правило все еще применяется, но в этих ситуациях вы можете пропустить шаг.
Рациональные многочлены — MATLAB и Simulink
Загрузите данные теплового расширения из файла hahn1.mat , который предоставляется с набором инструментов.
Рабочая область содержит две новые переменные:
Откройте приложение Curve Fitting, введя:
Выберите temp и thermex из списки X данных и Y данных .
Приложение Curve Fitting подбирает и отображает данные.
Выберите Rational в соответствует списку категорий.
Попробуйте начальный выбор для рациональной модели квадратичной / квадратичной. Выберите 2 для обеих степеней числителя и знаменателя степень .
Приложение Curve Fitting соответствует квадратичной / квадратичной рациональной системе.
Изучите остатки. Выберите View > Residuals Plot или щелкните кнопка на панели инструментов.
Проверьте данные, соответствие и остатки. Обратите внимание, что при подборе отсутствуют данные для наименьшего и наибольшего значения предикторов. Кроме того, остатки показывают сильную закономерность. по всему набору данных, что указывает на возможность лучшего соответствия.
Для следующей подгонки попробуйте кубическое / кубическое уравнение. Выберите 3 для оба числитель, степень и знаменатель степень .
Проверьте данные, соответствие и остатки. Подгонка демонстрирует несколько разрывы вокруг нулей знаменателя.
Примечание
Ваши результаты зависят от случайных начальных точек и могут отличаться от те, что показаны.
Посмотрите на панель Результаты . В сообщение и числовые результаты указывают на то, что совпадения не совпадают.
Расчет Fit не сходился: Подгонка остановлена, поскольку количество итераций или оценки функций превысили указанный максимум.
Хотя сообщение на панели результатов указывает на то, что вы можете улучшить посадку, если увеличите максимальное количество итераций, лучший выбор на данном этапе подгонки процесс заключается в использовании другого рационального уравнения, потому что текущий fit содержит несколько разрывов.

Контрольная работа по теме «Степень с рациональным показателем»

Степень с рациональным показателем. Как считать и ограничения

Проверочная работа по алгебре 10 класс. Тема»Степень с действительным показателем» | Учебно-методический материал (алгебра, 10 класс) по теме:

«Определение степени с рациональным показателем и ее свойства »

ГДЗ: Алгебра 9 класс Журавлев, Малышева

Содержание тетради

Что входит в пособие

Чем полезна работа с пособием

формулировки, доказательства, примеры, формулы степеней

Свойства степени с натуральным показателем

Основные свойства степеней с целыми показателями

Основные свойства степеней с рациональными показателями

Основные свойства степеней с иррациональными показателями

9.2 — Радикальные выражения и рациональные экспоненты

Цели обучения

Пример

Продукт, возведенный в правило степени или иногда называемый квадратным корнем правила продукта

Упростите радикальные выражения с помощью факторизации

Пример

Пример

Упростить кубические корни

Пример

Упрощение корней четвертой степени

Сводка

Рациональные экспоненты — стенограмма видео и урока

От рационального к радикальному

Резюме урока

Цели урока

Упрощение выражений с помощью рациональных экспонентов — видео и стенограмма урока

Пример № 1

Пример № 2

Пример № 3

Пример № 5

Пример № 6

Example # 7

Формула радикальной дроби в рациональную

Пример # 8

Резюме урока

Цели урока

Функция мощности — свойства, графики и приложения

Что произойдет, если возвести число в дробь?

Терминология

Дробные экспоненты

Универсальное правило

Рациональные многочлены — MATLAB и Simulink

Author: alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики