Сложные задачи на проценты как решать: Урок 84. сложные задачи на проценты — Математика — 6 класс

Сложные задачи на проценты | Шевкин.Ru

25.04.2017

Задачи этого раздела являются необязательными для всех учащихся, среди них есть действительно сложные задачи, но есть и такие, в которых всем учащимся разобраться полезно. Это задачи на так называемые сложные проценты — проценты начисляемые на процентные деньги. Первая задача этого раздела была дана на олимпиаде Малого мехмата МГУ для семиклассников в 1991 году. Шутливое отражение в ней политических страстей того времени не должно отвлечь учащихся от важного вопроса: что получится, если число сначала увеличить, а потом уменьшить на 50 % (на одно и то же число процентов). Полученный здесь опыт поможет решить и другие олимпиадные задачи.

344.* В начале года винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 1 р. за 1 кг. 30 февраля Верховный Совет СССР принял закон о повышении цен на винтики на 50

 % и снижению цен на шпунтики на 50 %. 31 февраля Верховный Совет РСФСР принял закон о снижении цен на винтики на 50 % и повышению цен на шпунтики на 50 %. Какой товар будет самым дорогим и какой самым дешевым в марте?

Ошибочное решение задачи 345 нетрудно предвидеть: учащиеся сложат проценты от разных величин.

345.* 1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза?

2) Число увеличили на 10 %, результат уменьшили на 10 %. Какое получилось число — большее или меньшее первоначального? На сколько процентов?

346.* Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

347.* Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился за лето на 30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму прибавил в весе 10 %. Остался ли за этот год его вес прежним?

Если Женя весил x кг, то после уменьшения веса на 20 % он стал весить 0,8x кг, а после увеличения веса на 30 % – 0,8x·1,3 кг и т. д., в итоге Женя весил 0,8x·1,3·0,8·1,1 или 0,9152x кг, что меньше x кг. Значит, Женя похудел.

348.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %?

349.* Все стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

350.* Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

351.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 20 %. Как изменилась площадь прямоугольника?

352.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

353.* Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

354.* Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10 % меньше, но по цене на 10 

% больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе и на сколько процентов?

355.* На некотором участке пути машинист уменьшил скорость поезда на 25 %. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?

356.* Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98 %. Какова теперь масса арбуза?

На первый взгляд кажется, что масса арбуза мало изменилась, но это на первый взгляд! Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100 – 99 = 1 (%). Это 20·0,01 = 0,2 кг. После усушки его масса составляла уже 100 – 98 = 2 (%). То есть те же самые 0,2 кг составляют 2 % от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02 = 10 (кг).

Интересная переформулировка этой известной задачи встретилась недавно на олимпиаде.

357.* Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?

Если бы экологи хорошо знали проценты, то они смогли бы возразить предприимчивому директору леспромхоза, планирующему вырубить как минимум половину леса – это при условии, что вырубать будут только сосны. Если же топор коснется и других деревьев, то от соснового леса можно оставить меньше половины. Ведь удовлетворить условию задачи можно, оставив в лесу 50 деревьев: 49 сосен и 1 березу.

358.* а) Яблоки, содержащие 70 % воды, потеряли при сушке 60 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?

б) Груши, содержащие 65 % воды, потеряли при сушке 50 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?

Объясняя решение задачи 358 (а), воспользуемся следующей иллюстрацией.

Вода составляла 70 % массы яблок, 60 из них испарилось, а 10 осталось. Теперь 10 частей воды приходится на 30 частей «сухого вещества» яблок или на 40 частей массы сушеных яблок. Масса воды составляет 10:40 = 0,25, или 25 % массы сушеных яблок?

359.* а) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 10%-й раствор соли?

б) Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, содержащего 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержащий 20 % сахара?

360.

* На коробке вермишели написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хранится при влажности 25 %?

361.* Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30 % воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95 % воды?

362.* Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6 % примесей. Сколько процентов примесей в руде?

363.* Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие — 20 %. Сколько сухих фруктов получится из
40 кг свежих?

364.* До сушки влажность зерна составляла 23 %, а после сушки составила 12 %. Сколько процентов массы теряет зерно при сушке?

365

.* В драмкружке число мальчиков составляет 80 % от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?

I способ. Число мальчиков составляют 80 % от числа девочек (100 %). Определим, сколько процентовсоставляют 100 % от 80 % :

¹⁰⁰/₈₀ = ^100×100/₈₀ % = 125 %.

II способ. Число мальчиков (m) составляют 80 % от числа девочек (d), значит, m = 0,8d. Отсюда d = 1,25m, то есть число девочек составляет 125 % от числа мальчиков.

III способ. На 10 девочек приходится 8 мальчиков, число девочек составляет ¹⁰

/₈  или 125 %  от числа мальчиков.

366. С 1 октября 1993 г. за хранение денег на срочном депозите в течение года Сбербанк выплачивал доход из расчета 150% от вложенной суммы; в течение полугода — 130% годовых, в течение трех месяцев — 120 % годовых. Каким образом за год на условиях Сбербанка можно было получитьнаибольший доход на 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?

На первый взгляд самое выгодное вложение денег на год — под 150 % годовых (через год сумма обратится в 100·2,5 = 250 тыс. р.). Но это только на первый взгляд! Давайте для сравнения положим деньги на полгода, а через полгода получим их обратно с доходом 130:2 =
= 65 (%) от вложенной суммы. Затем все полученные деньги положим еще на полгода. Таким образом через год мы получим:

100·1,65·1,65 = 272,25 (тыс. р.).

Это несколько больше полученной ранее суммы. Попросите учащихся провести расчеты для третьего случая. Пусть они убедятся, что знание процентов может быть полезным при выборе более выгодного способа вложения денег.

367.* Компания X выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчета 140 % годовых. Компания Y выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?

368.* Производительность труда повысили на 25 %. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания.

369.* Если при повышении производительности труда рабочего на 10 % повысить его зарплату на 6,7 %, то это позволит снизить расход на оплату труда в расчете на единицу продукции на 3

 %. Проверьте это.

370.* Рабочий повысил производительность труда на 15 %, а его зарплата увеличилась на 10,4 %. На сколько процентов уменьшился расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?

371.* Купили конфеты и печенье. За 1 кг конфет заплатили на 50 % больше, чем за 1 кг печенья, но их купили на 50 % меньше, чем печенья. За что заплатили больше?

372. * Кусок сплава весом 700 г, содержащий 80 % олова, сплавили с куском олова весом 300 г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.

373.* Имеется 500 г 40 %-го раствора кислоты. Сколько воды требуется добавить, чтобы получить 25 %-й раствор кислоты?

374.* В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на 2 %, во второй день он перевыполнил дневное задание на 4 %. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?

375.* В автоинспекции города N подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивалось в последние годы на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за пять лет, если эта тенденция сохранится?

376.* Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20 % дохода. За сколько летвложенная сумма удвоится?

377. * В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?

Если число мальчиков принять за 100 %, то число девочек от него составляет 60 %, а число всех участников секции 160 % от числа мальчиков. 60 % от 160 % составляет ^60×100/₁₆₀ = 37,5 (%). Но понять это решение из-за нагромождения процентов нелегко. Если же число мальчиков обозначитьбуквой x, то те же самые действия легче объяснить и понять. Итак, число девочек равно 0,6x, а число всех участников секции x + 0,6x = 1,6x. Определим, сколько процентов от 1,6х составляет число 0,6х:

^0,6x×100/_1,6x = 37,5 (%).

378. В некотором царстве, в некотором государстве пятиклас­сники стали изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться не 45, а 40 минут. Сколько процентов учебного времени потеряли пятиклассники? Ответ округлите до десятых.

Эту задачу могли бы решить учителя математики всего несколько лет назад, чтобы объяснить себе катастрофическую нехватку времени, которая стала ощущаться в связи с указанными в условии задачи нововведениями.

Учебное время теперь составляет ⁵/₆×⁴⁰/₄₅ = ²⁰/₂₇ от прежнего. Потеря составила 1 – ²⁰/₂₇ = 
=  ⁷/₂₇ = 0,2592…, или примерно 25,9 %.

379.* а) Торговец продал книгу со скидкой 5 % от назначенной цены и получил 14 % прибыли. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец при продаже книги?

б) Торговец продал товар, имевший небольшой дефект, уступив покупателю 30 % от назначенной цены. При этом он имел 16 % убытка. Какой процент прибыли планировал получить торговец при продаже товара?

Рассмотрим решение первой задачи. Пусть торговец планировал продать книгу за a р., тогда он продал ее за (1 – 0,05)a = 0,95a р. Эта сумма составила 100 + 14 = 114 (%) цены, по которой торговец сам купил книгу и которая составляла ^0,95а/_1,14 = ⁵/₆ а р. Подсчитаем доход, который планировал получить торговец (в процентах): 

a: ⁵/₆ a ·100 = 120 (%).

Торговец планировал получить 120 – 100 = 20 % дохода.

Сложные задачи на проценты — Сайт учителя математики Кобец Анны Викторовны — Сайт учителя математики Кобец Анны Викторовны

СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

1. * В начале года винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 1 р. за 1 кг. 30 февраля Верховный Совет СССР принял закон о повышении цен на винтики на 50 % и снижению цен на шпунтики на 50 %. 31 февраля Верховный Совет РСФСР принял закон о снижении цен на винтики на 50 % и повышению цен на шпунтики на 50 %. Какой товар будет самым дорогим и какой самым дешевым в марте?

2.* 1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза?

2) Число увеличили на 10 %, результат уменьшили на 10 %. Какое получилось число — большее или меньшее первоначального? На сколько процентов?

3.* Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

4. * Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился за лето на 30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму прибавил в весе 10 %. Остался ли за этот год его вес прежним?

5.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %?

6.* Все стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

7.* Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

8.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 20 %. Как изменилась площадь прямоугольника?

9.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

10.* Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

11.* Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10 % меньше, но по цене на 10 % больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе и на сколько процентов?

12.* На некотором участке пути машинист уменьшил скорость поезда на 25 %. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?

13.* Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98 %. Какова теперь масса арбуза?

14.* Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?

15.* а) Яблоки, содержащие 70 % воды, потеряли при сушке 60 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?

б) Груши, содержащие 65 % воды, потеряли при сушке 50 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?

16.* а) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 10%-й раствор соли?

б) Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, содержащего 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержащий 20 % сахара?

17.* На коробке вермишели написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хранится при влажности 25 %?

18. * Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30 % воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95 % воды?

19.* Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6 % примесей. Сколько процентов примесей в руде?

20.* Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие — 20 %. Сколько сухих фруктов получится из
40 кг свежих?

21.* До сушки влажность зерна составляла 23 %, а после сушки составила 12 %. Сколько процентов массы теряет зерно при сушке?

22.* В драмкружке число мальчиков составляет 80 % от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?

23. С 1 октября 1993 г. за хранение денег на срочном депозите в течение года Сбербанк выплачивал доход из расчета 150 % от вложенной суммы; в течение полугода — 130 % годовых, в течение трех месяцев — 120 % годовых. Каким образом за год на условиях Сбербанка можно было получить наибольший доход на 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?

24.* Компания X выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчета 140 % годовых. Компания Y выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?

25.* Производительность труда повысили на 25 %. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания.

26.* Если при повышении производительности труда рабочего на 10 % повысить его зарплату на 6,7 %, то это позволит снизить расход на оплату труда в расчете на единицу продукции на 3 %. Проверьте это.

27.* Рабочий повысил производительность труда на 15 %, а его зарплата увеличилась на 10,4 %. На сколько процентов уменьшился расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?

28. * Купили конфеты и печенье. За 1 кг конфет заплатили на 50 % больше, чем за 1 кг печенья, но их купили на 50 % меньше, чем печенья. За что заплатили больше?

29.* Кусок сплава весом 700 г, содержащий 80 % олова, сплавили с куском олова весом 300 г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.

30.* Имеется 500 г 40 %-го раствора кислоты. Сколько воды требуется добавить, чтобы получить 25 %-й раствор кислоты?

31.* В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на 2 %, во второй день он перевыполнил дневное задание на 4 %. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?

32.* В автоинспекции города N подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивалось в последние годы на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за пять лет, если эта тенденция сохранится?

33. * Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20 % дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится?

34.* В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?

35. В некотором царстве, в некотором государстве пятиклас­сники стали изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться не 45, а 40 минут. Сколько процентов учебного времени потеряли пятиклассники? Ответ округлите до десятых.

36.* а) Торговец продал книгу со скидкой 5 % от назначенной цены и получил 14 % прибыли. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец при продаже книги?

       б) Торговец продал товар, имевший небольшой дефект, уступив покупателю 30 % от назначенной цены. При этом он имел 16 % убытка. Какой процент прибыли планировал получить торговец при продаже товара?

Литература: Шевкин А. В. Текстовые задачи по математике в 5-6 классах

Сложные проценты на примерах

Задачи на сложные проценты решаются в достаточно быстрый способ при знании нескольких простых формул. Часть из них касается начислений по вкладу или кредиту, когда те осуществляются через определенные промежутки времени . Также сложные проценты используют в задачах химии, медицины и ряде других сфер.

ФОРМУЛЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

В случае размещения вкладов с капитализацией процентов на годы конечная сумма депозита определяется формулой
Здесь P – первоначальный взнос, r – процентная ставка, n – количество лет. По сложным процентам работают банки, инвестиционные фонды, страховые компании. Распространенные за рубежом, а теперь и в Украине — пенсионные фонды и фонды страхования жизни работают по схеме сложных процентов.
При размещении вкладов с капитализацией процентов ежеквартально формула сложных процентов будет выглядеть
где q – количество полных кварталов.
При капитализации процентов ежемесячно применяют следующую формулу для вычислений
где s – количество месяцев существования соглашения.
Последний случай, непрерывное начисление процентов, когда сложные проценты начисляются ежедневно, рассчитывают по формуле
где m – количество дней.
Страхование жизни и откладывания пенсий исчисляют сложными формулами, кроме начисления сложных процентов ежегодно осуществляются необходимые взносы.
Рассмотрим два случая накопления. Мужчина откладывает 5000 грн. в течение 20 лет. За это время он отложит
20*5000=100000 (грн).
При откладывании в накопительные фонды с годовой ставкой 13%, за первый год сумма возрастет до
5000*(1+13/100)=5650 (грн).
В следующем году человек в данной суммы добавляет еще 5000 грн. В результате, за второй год сумма увеличится
(5650+5000)*(1+0,13)=12034.50 (грн) .
Продолжая подобные вычисления, в конце срока получим сумму размером 457349,58 грн.
Поверьте — ошибок при исчислении форуме, большое значение набегает за счет сложных процентов. Сомнительным остается только история изменения платежеспособности гривны через 20 лет. Учитывая политику государства вкладывать деньги в такие фонды люди не спешат, однако за рубежом практика откладывания денег распространена, правда процентные ставки намного ниже.

Рассмотрим распространенные задачи на сложные проценты.

Пример 1. Вкладчик положил на депозит $ 3000 под 9% годовых на 10 лет. Какая сумма аккумулируется конце 10-го года при годовой капитализации? На сколько вырастет сумма по сравнению с первоначальным взносом?

Решение: Применяем формулу сложных процентов для нахождения суммы в конце срока

Чтобы ответить на второй вопрос, от значения 7102,09 вычитаем сумму вклада.

Разница составляет 4102 доллара.

 

Пример 2. Инвестор вложил 7000 грн под 10% годовых при условии начисления сложных процентов ежеквартально. Какую сумму он получит через 8 лет?

Решение: Применяем 2 формулу сложных процентов. Находим количество кварталов
8*4=32.
и подставляем в формулу

Школьные задачи на сложные проценты

Например, возьмем задачи из учебника для 9 класса авторов А. Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Аглгебра». (Номер в скобках)

Задача 1. (556) Костюм стоил 600 грн. После того как цена была снижена дважды, он стал стоить 432 грн., Причем процент снижения второй был в 2 раза больше, чем в первый раз. На сколько процентов каждый раз снижалась цена?

Решение: Для упрощения вычислений обозначим
X – первая скидка;
X/2 – вторая скидка.
Для вычисления неизвестной X составляем уравнение

Упрощаем, и сводим к квадратному уравнению

и решаем


Первый решение не имеет физического смысла, второй учитываем при вычислениях. Значение 0,2 соответствует снижению на 0,2*100%=20% после первой скидки, и X/2 =10% после второй скидки.

 

Задача 2. (557) Определенный товар стоил 200 грн. Сначала его цену повысили на несколько процентов, а затем снизили на столько же процентов, после чего стоимость его стала 192 грн. На сколько процентов каждый раз происходила смена цены товара?

Решение: Поскольку проценты одинаковы, то обозначаем изменении цены товара через X.
На основе условия задачи получим уравнение

Его упрощение приведет к решению уравнения

откуда корни приобретут значений

Первая значение отвергаем, оно меняет суть задачи (сначала имеем снижение, а затем рост процентов, противоречит условию). Второе при пересчете составит 0,2*100%=20% процентов.

 

Задача 3. (558) Вкладчик положил в банк 4000 грн. За первый год ему начислена определенный процент годовых, а второго года банковский процент увеличен на 4%. На конец второго года на счете стало 4664 грн. Сколько процентов составила банковская ставка в первый год?

Решение: Обозначим через X – увеличение вклада в первый год, тогда
X+4/100%=X+0,04
начисления во второй год.
По условию задачи составляем уравнение для определения неизвестной X

После упрощений получим квадратное уравнение вида

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Первый корень отбрасываем, второй соответствует ставке в 6% годовых.

 

Задача 4. (564) В сосуде 12 кг кислоты. Часть кислоты отлили и долили до прежнего уровня водой. Затем снова отлили столько же, как и в первый раз, и долили водой до прежнего уровня. Сколько литров жидкости отливали каждый раз, если в результате получили 25-процентный раствор кислоты?

Решение: Обозначим через X – часть кислоты, которую отливали.
После первого раза ее осталось 12-X, а процентное содержание кислоты

После второй попытки содержание кислоты в сосуде составило
.
Разведя водой до 12 кг, процентное содержание составляло 25%. Составляем уравнение

Упрощаем проценты и избавляемся знаменателей


Решаем квадратное уравнение


Условии задачи удовлетворяет второе решение, а это значит, что каждый раз отливали 6 кг жидкости.

На этом знакомство со сложными процентами завершается. На практике Вам встретятся как простые так и сложные задачи. При проблемах с вычисления сложных процентов обращайтесь к нам, мы поможем Вам в решении задач.

Задачи на «сложные» проценты

1	Собрали 100 кг винограда. После сортировки 30% ягод были отсеяны, а остальные отправлены в магазин для продажи. В магазине 10% ягод испортилось, поэтому они не поступили в продажу. Сколько килограммов винограда поступило в продажу?
2	Число 17,28 трижды увеличивали, а затем трижды уменьшали на одно и то же число процентов. Получили 7,29. Чему равно это число процентов?
3	После двух последовательных повышений зарплата выросла на 56%. На сколько процентов повысили зарплату в первый раз, если второе повышение в процентном отношении было в полтора раза больше первого?
4	В некотором регионе в течение двух лет наблюдался рост рождаемости: в первом году рост рождаемости составил р%, а во втором году — увеличился на единицу по сравнению с процентом роста рождаемости в первом году. Найти процент роста рождаемости в регионе за первый год, если известно, что он на 5,2 меньше, чем процент роста рождаемости за два года.	Рождаемость выросла на 4%.
5	В течение года яблоки подешевели на 40%, а зарплата дважды увеличивалась на 20%. На сколько процентов больше можно купить яблок после снижения цены и повышения зарплаты? А во сколько раз?	На 140% больше яблок, что в 2,4 раза больше первоначального значения
6	В первый год работы завода было выпущено 100 станков типа А. В течение нескольких последующих лет годовой объем производства станков этого типа увеличивался на 25% по сравнению с каждым предыдущим годом, затем на протяжении последующих трех лет поддерживался на достигнутом уровне, после чего станки типа А были сняты с производства. Общее количество выпущенных станков типа А за все время составило 850 штук. Сколько лет завод выпускал станки типа А?	Завод выпускал станки типа А в течение 6 лет.
7	Курс рубля по отношению к доллару падает на 2847% в квартал. Вкладчик разделил имеющуюся у него сумму в долларах на две равные части и одну половину разместил в банке «А» на депозите с начислением 60% годовых, а вторую половину конвертировал в рубли и разместил в банке «Б» на депозите с начислением 510% годовых. В каком из банков через год сумма денег в пересчете на рубли окажется больше?	Через год сумма денег в пересчете на рубли окажется больше в банке «А», чем в банке «Б».
8	Курс рубля в течение двух месяцев уменьшался каждый месяц на одно и то же, не превышающее 22, число процентов. В начале первого месяца гражданин А имел некоторую сумму в долларах, которую он тогда же конвертировал в рубли. Двое других граждан (В и С), имея каждый рублевые суммы в 6,25 раза большие, чем та, которую получил гражданин А от совершенно им валютной операции, конвертировали их в доллары: один — в конце первого месяца, другой — в конце второго. При этом у одного из них оказалось долларов больше ровно на столько, сколько гражданин А имел в начале первого месяца. На сколько процентов за два месяца уменьшился курс рубля?

Задачи на смеси и сплавы (ЕГЭ — 2021)

Концентрация какого-то вещества в растворе – это отношение массы или объема этого вещества к массе или объему всего раствора.

То же самое относится и к сплавам: содержание одного из металлов в сплаве – это отношение массы этого металла к массе всего сплава.

Обычно концентрация измеряется в процентах.

Что такое процент?

Напомню, что это сотая доля числа. То есть, если массу или объем разделить на \( \displaystyle 100\), получим \( \displaystyle 1\%\) этой массы или объема.

Чтобы вычислить концентрацию в процентах, достаточно полученное число умножить на \( \displaystyle 100\%\).

Почему?

Сейчас покажу: пусть масса всего раствора равна \( \displaystyle M\), а масса растворенного вещества (например, соли или кислоты) – \( \displaystyle m\). Тогда один процент от массы раствора равен \( \displaystyle \frac{M}{100}\).

Как узнать, сколько таких процентов содержится в числе \( \displaystyle m\)?

Просто: поделить число \( \displaystyle m\) на этот один процент: \( \displaystyle \frac{m}{\frac{M}{100}}=\frac{m}{M}\cdot 100\), но ведь \( \displaystyle \frac{m}{M}\) – это концентрация.

Вот и получается, что ее надо умножить на \( \displaystyle 100\), чтобы узнать, сколько процентов вещества содержится в растворе.

Более подробно о процентах – в темах «Дроби, рациональные числа», «Проценты».

Поехали дальше.

Масса раствора, смеси или сплава равна сумма масс всех составляющих.

Логично, правда?

Например, если в растворе массой \( \displaystyle 10\) кг содержится \( \displaystyle 3\) кг соли, то сколько в нем воды? Правильно, \( \displaystyle 7\)кг.

И еще одна очевидность:

При смешивании нескольких растворов (или смесей, или сплавов), масса нового раствора становится равной сумме масс всех смешанных растворов.

А масса растворенного вещества в итоге равна сумме масс этого же вещества в каждом растворе отдельно.

Например: в первом растворе массой \( \displaystyle 10\) кг содержится \( \displaystyle 3\) кг кислоты, а во втором растворе массой \( \displaystyle 14\) кг – \( \displaystyle 5\) кг кислоты.

Когда мы их смешаем, чему будет равна масса нового раствора?

\( \displaystyle 10+14=24\) кг.

А сколько в новом растворе будет кислоты? \( \displaystyle 3+5=8\) кг.

Теперь соединим полученные знания и решим несколько примеров.

Разбор примеров

Решение примера №10

В \( \displaystyle 10\%\) раствор кислоты массой \( \displaystyle 3\) кг добавили \( \displaystyle 1,8\) кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)?

Решил? Смотри:

1. 1

   Вычисляем массу кислоты. Для этого запишем, что такое концентрация:
   \( \displaystyle \frac{m}{M}\cdot 100\%=10\%\text{ }\Rightarrow \text{ }\frac{m}{M}=0,1\text{ }\Rightarrow \text{ }m=0,1\cdot M=0,1\cdot 3=0,3\) кг.
   Впредь проценты всегда будем сразу записывать в виде десятичной дроби:
   \( \displaystyle 1\%=0,01\).

2. 2

   Вычисляем массу нового раствора: \( \displaystyle 3+1,8=4,8\) кг.

3. 3

   Новая концентрация: \( \displaystyle \frac{0,3}{4,8}=0,0625=6,25\%\).

Решение примера №11

Смешали два раствора: \( \displaystyle 2\) кг \( \displaystyle 10\%\)-ного и \( \displaystyle 3\) кг \( \displaystyle 20\%\)-ного. Какова концентрация полученного раствора?

Решение:

Визуализируем ситуацию: схематично изобразим емкости с растворами, около них подпишем массу раствора, а внутри – содержание кислоты:

Решение примера №12

Изюм содержит \( \displaystyle 5\%\) влаги. Его получают из винограда, содержащего \( \displaystyle 90\%\) влаги. Сколько потребуется винограда, чтобы получить \( \displaystyle 3\) кг изюма?

Решение:

Занятия 1 4. Что мы знаем о процентах? Три основные задачи на проценты. Занимательные задачи на проценты.

Задачи по теме «Проценты»

Задачи по теме «Проценты» Что такое процент? — это одна сотая часть от числа. Процент записывается с помощью знака %. Проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить

Подробнее

Проценты в нашей жизни

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ «ШКОЛА 2048» Проценты в нашей жизни Даниэль Айратович Мустафин, ученик 6 «е» класса Научный

Подробнее

Задчи на проценты % 250 х%

Задчи на проценты Процентом (%) числа а называется его сотая часть. Следовательно, само число составляет 100 процентов. При решении задач на проценты некоторая величина b принимается за 100%, а ее часть

Подробнее

Проценты. План работы:

Белоусов Андрей.. 6 класс, МБОУ гимназия 11 Королев, Россия Проценты План работы: 1.История возникновения процентов. 2. Правило, объяснение решения задач с процентами. 3. Закрепление материала, решение

Подробнее

Процентные расчеты на каждый день

Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Теория вероятности Процентные расчеты на каждый день Кравцов Максим Олегович, МОУ «Лицей 9» г. Пермь,

Подробнее

М 6 Вводное тестирование. I вариант

М 6 Вводное тестирование. I вариант Часть А 1. Найдите значение выражения: 12,4 9,36. А. 2,14 Б. 3,04 В. 3,14 Г. 2,04 2. Вычислите: 41,5 + 2,26. А. 6,31 Б. 6,21 В. 43,7 Г. 4,37 3. Найдите частное : 53,4

Подробнее

г. Малоярославец 2015 г.

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 4», г. Малоярославец Малоярославецкого района Калужской области «Задачи с экономическим содержанием» Выполнила ученица 5

Подробнее

б) 5837 г) свой ответ. 45

Содержание: 1. Сложение и вычитание натуральных чисел. Сравнение натуральных чисел. 2. Числовые и буквенные выражения. Уравнение. 3. Умножение натуральных чисел. 4. Деление натуральных чисел.. Обыкновенные

Подробнее

Предлагаются задания в 20 вариантах.

Годовая контрольная работа по математике в 6-х классах для тех, кто обучается по ученику авторов: С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. Предлагаются задания в 20 вариантах. Каждый вариант

Подробнее

21. Текстовые задачи

21. Текстовые задачи 1. Сколькими нулями заканчивается число, полученное от умножения всех натуральных чисел от 1 до 100? 2. Доказать, что при делении двух целых чисел на их разность получаются равные

Подробнее

Вариант 1. Вариант 2.

Вариант 1. Вариант 2. 1. Скорый поезд за час проходит 60км, а пассажирский 40км. Определить расстояние между двумя городами, если известно, что скорый поезд проходит это расстояние на 2ч 15мин быстрее

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ Учебно-методическое пособие для школьников К. Л. Самаров, 2010 ООО «Резольвента», 2010 числа? Определение

Подробнее

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «Тульский государственный университет» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

Математика 6. 1 задание 2 задания

Математика 6. Контрольная работа 1 Вариант 1 Оценка «зачет» «4» «5» Обязательная 5 заданий 5 заданий 6 заданий Дополнительная 1 задание 2 задания Обязательная 1 о. Вычислите: 3/8 * 2/5 : 3/16 2 о. В школу

Подробнее

Математика 6 класс Учебник: «Математика», 6 класс. Авторы: Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд, Москва, «Мнемозина» Пояснительная записка

Математика 6 класс Учебник: «Математика», 6 класс. Авторы: Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд, Москва, «Мнемозина» Пояснительная записка Учащиеся должны знать Делимость натуральных чисел.

Подробнее

Решение текстовых задач (проценты)

Краевой конкурс творческих работ учащихся «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Решение текстовых задач (проценты) Шанев Евгений Витальевич, 8 кл.,

Подробнее

ID_1082 1/6 neznaika.pro

1 Простейшие текстовые задачи Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Стоимость

Подробнее

Решать задачи становится интереснее

Светлана Станиславовна Минаева Решать задачи становится интереснее Газета «Математика», 21, 2007, ИД «Первое сентября» (продолжение, начало 8, с. -16 и 19, с.29-31, 2007) Продолжим примеры задач, при решении

Подробнее

«Проценты и семейный бюджет»

Научно-исследовательская работа Тема работы: «Проценты и семейный бюджет» Выполнила: Артамонова Валерия Алексеевна, учащаяся 8 класса МБОУ «Аннинская СОШ с УИОП». Руководитель: Авдеева Ольга Анатольевна,

Подробнее

Проценты в нашей жизни

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Проценты в нашей

Подробнее

Математика 3 класс Рабочая программа

Математика 3 класс Рабочая программа 1.Пояснительная записка Программа разработана на основе федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования, основной образовательной

Подробнее

Задание 17 Практические задачи

Задание 17 Практические задачи 1. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов

Подробнее

Справка В1. Проценты. 1% — это есть одна сотая часть чего-либо, то есть 1% = 0,01 =. Соответственно, 2% = 0,02 =, 5% = 0,05 =, 10% = 0,10 = 0,1 = =.

1. Нахождение процента ОТ числа Справка В1 Проценты 1% — это есть одна сотая часть чего-либо, то есть 1% = 0,01 =. Соответственно, 2% = 0,02 =, 5% = 0,05 =, 10% = 0,10 = 0,1 = =. Найдем, например, 25%

Подробнее

Технология и практика обучения

Технология и практика обучения Л.И. Лапушкина, доцент кафедры прикладной математики СТАНКИНа. К.Н. Лунгу, профессор кафедры дифференциальных уравнений МГОУ ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ В ОБУЧЕНИИ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ

Подробнее

ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ В. С. Крамор ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ ШКОЛЬНЫ ОНИКС Москва Мир и Образование УДК 512(075.3) ББК 22.14я75 К78 К78 Крамор В. С.

Подробнее

Сложные задачи математики

Тема 1.  Проценты

Решение задач на проценты.

Цель: Овладение умениями решать задачи на проценты различных видов, различными способами.

Тема 2.  Числа и выражения. Преобразование выражений

Свойства арифметического квадратного корня. Стандартный вид числа. Формулы сокращённого умножения. Приёмы разложения на множители. Выражение переменной из формулы. Нахождение значений переменной.

Цель: актуализация вычислительных навыков.
Развитие  навыков тождественных преобразований.

Тема 3.  Уравнения

Способы решения различных уравнений (линейных, квадратных и сводимых к ним, дробно-рациональных ).

Цель:  Овладение умениями решать уравнения различных видов, различными способами.

 

Тема 4. Системы уравнений

Различные методы решения систем уравнений (графический, метод подстановки, метод сложения). Применение специальных приёмов при решении систем уравнений.   

Цель:       Овладение разными способами решения линейных и нелинейных систем уравнений. 

 Тема 5. Неравенства

Способы решения различных неравенств (числовых, линейных).

Цель: Овладение умениями решать неравенства различных видов, различными способами.

 

Тема 6. Функции

Функции, их свойства и графики (линейная, обратно-пропорциональная, квадратичная и др.) «Считывание» свойств функции по её графику. Анализирование графиков, описывающих зависимость между величинами. Установление соответствия между графиком функции и её аналитическим заданием.

Цель: Обобщение знаний о различных функциях и их графиках.

Тема 7. Текстовые задачи

.Задачи на «движение», на «концентрацию», на «смеси и сплавы», на «работу».

Цель: Овладение умениями решать текстовые задачи различных видов, различными способами.

Тема 8. Уравнения и неравенства с модулем

Модуль числа, его геометрический смысл, основные свойства модуля. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля и способы их решения.

Цель: Овладение умениями решать уравнения, содержащие знак модуля различных видов, различными способами.

Тема 9. Уравнения и неравенства с параметром

Линейные  уравнения и неравенства с параметром, способы их решения.  Системы линейных уравнений.

Цель:  Овладение умениями решать уравнения и неравенства с параметрами.

Тема 10. Геометрические задачи

Задачи геометрического содержания.

Цель:  Овладение умениями решать задачи геометрического содержания.

Тема 11. Обобщающее повторение.

Решение задач из контрольноизмерительных материалов.

Цель:  Умение работать с  КИМами.

Алгебра: проблемы с процентами

Проблемы с процентами

Есть три веские причины положить свои сбережения на банковский счет, а не прятать их в шкафу или матрасе:

1. В банке безопаснее, и если ваши деньги украдут , обычно существуют федеральные законы, которые страхуют ваши инвестиции.
2. Банк предоставляет вам уникальную возможность писать ручками, прикованными к столу. Несмотря на то, что ваши деньги позволяют банкам сами загребать деньги, по какой-то причине они очень непреклонны, чтобы вы случайно не взяли их ручки, каждая из которых стоит всего гроши.
3. Вы зарабатываете проценты на свои деньги вообще без каких-либо усилий.

Talk the Talk

Сумма денег, которую вы изначально вкладываете в процентную ставку, называется основной суммой .

Интерес — это здорово. Это бесплатные деньги, которые вы зарабатываете, просто храня деньги в надежном месте. В алгебре вас могут попросить решить задачи, в которых вы вычисляете проценты, полученные от некоторых первоначальных инвестиций (которые называются основной суммой ) за некоторый промежуток времени.В частности, вас могут попросить решить два основных типа проблем с процентами: простые проценты и сложные проценты.

Простые проценты

Если ваши деньги растут в соответствии с простыми процентами, вы в основном зарабатываете небольшой процент от своих первоначальных инвестиций каждый год в виде процентов. Например, если основная сумма счета составляет 100 долларов США, а ваша годовая процентная ставка составляет 6,75%, в конце каждого года вы будете зарабатывать дополнительно 6,75 доллара США (поскольку 6,75 доллара США равны 6.75% от 100 долларов).

Вот и плохая новость: даже если ваш счет будет немного расти с каждым годом, вы не будете зарабатывать больше процентов! При простых проблемах с процентами вы получаете проценты только на первоначальные инвестиции, независимо от того, как долго у вас был активный банковский счет или сколько процентов были начислены на эти деньги.

Формула для расчета простых процентов:

, где p — ваша основная сумма, r — годовая процентная ставка, выраженная в десятичной дроби, а i — это проценты, которые вы заработали после того, как деньги были инвестированы в т. гг.

Пример 1 : Вы были очень экономным и находчивым ребенком. Вместо того, чтобы тратить деньги, которые зубная фея дала вам на молочные зубы, вы в подростковом возрасте вложили эти деньги единовременно в размере 32 долларов США на банковский счет с фиксированной годовой процентной ставкой 7,75%. Каков остаток на счете ровно 30 лет спустя?

Критическая точка

Чтобы преобразовать процент в десятичную дробь, отбросьте знак процента и умножьте его на 0,01. Например, десятичный эквивалент 6.75% равно (6,75) (0,01) = 0,0675. (И наоборот, чтобы преобразовать десятичную дробь в процент, умножьте ее на 100 и приклейте знак процента в конце. Следовательно, процентный эквивалент 0,45 равен (0,45) (100) = 45%.)

Решение : Чтобы рассчитать баланс счета, просто добавьте проценты, которые вы заработали, к основной сумме. Конечно, вам еще нужно понять, что это за интерес. Используйте формулу i = prt , где p = 32, r = 0,0775 (десятичный эквивалент 7,75%) и t = 30.

• i = prt
• i = (32) (. 0775) (30)
• i = 74,4

Вы заработали 74,40 доллара США в виде процентов за этот 30-летний период, поэтому, если вы добавите при первоначальных инвестициях ваш общий баланс составляет:

• остаток = основная сумма + полученные проценты
• = 32 доллара + 74,40 доллара
• = 106,40 доллара

Сложные проценты

Большинство банков не используют простые проценты; чем больше денег вы вкладываете, тем больше денег они потенциально могут заработать, поэтому они хотят побудить вас внести как можно больше на свой счет.Один из способов сделать это — использовать сложных процентов , в которых вы зарабатываете деньги на основе вашей первоначальной основной суммы и процентов, которые вы накопили к этому моменту.

Talk the Talk

Если на ваш банковский счет начисляются сложных процентов , то вы получаете проценты на основе всего вашего баланса, а не только начальных инвестиций.

Допустим, вы вносите 100 долларов на счет, на который ежегодно начисляются проценты по ставке 6,0%. В конце первого года у вас будет баланс в размере 106 долларов, как и с простыми процентами.Однако в конце второго года вы заработаете 6,0% процентов от нового баланса в размере 106 долларов, а не только от первоначального баланса в 100 долларов.

Еще лучше то, что большинство банков не увеличивают проценты раз в год. Суммируются ли они еженедельно (52 раза в год), ежемесячно (12 раз в год) или ежеквартально (4 раза в год), может иметь большое значение для вашей чистой прибыли.

Формула расчета сложных процентов немного сложнее простых процентов; это выглядит так:

Critical Point

Чем больше будет начисляться процент на вашем счете, тем больше денег вы заработаете.Наилучшим возможным сценарием было бы непрерывное начисление процентов, которое составляет бесконечное количество раз. Подобные вещи возможны; фактически, вы научитесь делать это в предварительном исчислении.

Предостережения Келли

Обратите внимание, что формула сложных процентов дает вам общий баланс , тогда как формула простых процентов дает вам проценты , только вам нужно было добавить основную сумму к процентам в примере 1, чтобы рассчитать простой процент. остаток средств.

В этой формуле p — это основная инвестиция, r — это еще раз годовая процентная ставка в десятичной форме, n — количество раз, когда проценты начисляются за один год, а b — это остаток. на вашем счете по прошествии ровно t лет.

Пример 2 : Сколько больше денег вы заработали бы, если бы вложили 3000 долларов в сберегательный счет, годовая процентная ставка которого 6,25% начислялась ежемесячно, а не ежеквартально, если вы планировали оставить деньги в покое на 18 месяцев? (Чтобы наши ответы были единообразными, округлите все десятичные дроби до семи десятичных знаков при вычислении.)

Решение : вам нужно будет рассчитать два отдельных баланса: один с n = 12 для ежемесячного начисления сложных процентов и один с n = 4 для квартальных процентов. Остальные переменные будут соответствовать обеим задачам: p = 3000, r = 0,0625 и t = 1,5. Будь осторожен! Переменная t должна измерять годы, а не месяцы; поскольку 18 месяцев — это ровно полтора года, t = 1,5, а не 18.

Предостережения Келли

Как в простых, так и в сложных задачах с процентами t должны измеряться годами.Следовательно, если ваши инвестиции приносят проценты в течение 24 месяцев, t = 2, а не 24, поскольку 24 месяца равны двум годам.

Рассчитайте остаток, если начисляете ежемесячно.

• = 3000 (1 + .0052083) ¹⁸
• = 3000 (1.0980173)
• = 3294,0519

Поскольку банки не присуждают доли пенни, ваш окончательный ответ должен содержать только 2 десятичных знака: 3294,05 доллара . Теперь рассчитайте баланс, если проценты начисляются только ежеквартально.

• 3000 (1 + 0,015625) ⁶
• 3000 (1.0974893)
• = 3292,4679

На этот раз ваш баланс составляет 3292,47 доллара США. Вычтите два остатка, чтобы найти общую разницу: 3294,05 доллара — 3292,47 доллара = 1,58 доллара. Конечно, 1,58 доллара — не большая разница, но чем больше сумма основного долга и чем дольше вы оставляете деньги, тем больше эта разница будет расти.

У вас проблемы

Задача 1. Рассчитайте остаток на счете, если его основная сумма в 5000 долларов приносит:

(a) Простые проценты по годовой процентной ставке 8.25% на 20 лет.

(b) Начисление процентов еженедельно ( n = 52) по годовой процентной ставке 8,25% в течение 20 лет.

При необходимости округлите десятичные дроби до 7 знаков при расчетах.

Выдержки из Полное руководство для идиотов по алгебре 2004 У. Майкла Келли. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Вы можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

Как решать проблемы, связанные с интересами: шаги и примеры — видео и стенограмма урока

Обнаружение интереса

Допустим, Карен вкладывает свои 500 долларов в счет, приносящий 5% годовых. Ого! Где этот банк? В городе Алгебра вымышленное место с потрясающими процентными ставками! Ой, орехи. В любом случае: сколько процентов она заработает через три года?

Чтобы решить эту проблему, давайте выполним наши действия. Читаем проблему. И мы хотим знать заработанные проценты, которые составляют I .Давайте разберемся, что мы знаем из нашей формулы. Мы знаем, что сумма основного долга составляет 500 долларов. Процентная ставка 5%. А срок — три года.

Следует отметить, что мы используем эту формулу для расчета простых процентов. Этим мы и займемся на протяжении всего урока. Противоположность простому проценту — сложный процент. Сложные проценты немного сложнее. Это то, что происходит, когда заработанные проценты добавляются к основной сумме через определенные интервалы, например, ежемесячно, а затем новые проценты рассчитываются на основе новой основной суммы.

Представьте, что у вас есть 100 долларов, а через месяц вы зарабатываете 5 долларов в виде процентов. Что касается сложных процентов, мы считаем, что основная сумма долга за второй месяц составляет 105 долларов. И основная сумма долга будет расти с каждым периодом.

Но мы просто сосредотачиваемся на более прямом простом проценте, где основная сумма никогда не меняется в течение рассматриваемого периода.

Хорошо, вернемся к Карен и ее 500 долларам. Давайте составим наше уравнение. Помните, что это I = Prt . Мы знаем, что Prt — это 500 *.05 * 3. Это сумма основного долга, умноженная на процентную ставку (в десятичной дроби), умноженная на время в годах.

500 * .05 * 3 равно 75. Это означает, что I = 75, и Карен заработала 75 долларов в виде процентов за три года. Это как бесплатные деньги, которые банк заплатил ей только за то, что она позволила им удержать ее 500 долларов.

В поисках времени

В тот же день, когда Карен получает свои 75 долларов в виде процентов, она узнает, что ее родители учредили для нее сберегательный залог, срок выплаты которого наступил. Они вложили 1000 долларов в облигацию с доходностью 4%.Сейчас он стоит 1600 долларов. Как давно они вложили деньги?

На этот раз мы упускаем время. Но мы знаем основную сумму — 1000 долларов и процентную ставку — 4%. Мы также знаем общий интерес. Будьте осторожны, чтобы не предположить, что это 1600 долларов. Обратите внимание, что это основная сумма и проценты, или общая стоимость после сложения двух сумм. Итак, процент составляет всего 1600 — 1000 или 600.

Давайте составим наше уравнение. Опять же, это I = Prt . Мы знаем, что 600 = 1000 * 0,04 * t .1000 * 0,04 равно 40. 600/40 равно 15. Итак, t = 15. Это означает, что инвестиции были сделаны 15 лет назад.

Определение процентной ставки

Итак, 75 долларов в виде процентов, сберегательная облигация на 1600 долларов … все готово, Карен! Позже в тот же прекрасный день Карен ждет еще один сюрприз. Карен не успела оплатить счет четыре года назад за подписку на журнал, которую она купила в Интернете. Видимо, она нажала «выставить счет позже», а потом просто забыла об этом. Подписка изначально стоила 30 долларов, но теперь они утверждают, что она должна 120 долларов.Святая корова! Какая была процентная ставка?

Давайте выясним. Здесь мы знаем, что основная сумма составляет 30 долларов. Срок — 4 года. А как насчет интереса? Если она сейчас должна 120 долларов, то проценты будут 90 долларов, или 120 — 30. Давайте найдем эту ставку.

Наше уравнение: I = Prt равно 90 = 30 * r * 4. 30 * 4 равно 120, а 90/120 равно 0,75. Таким образом, процентная ставка составляет 75%. В следующий раз Карен прочтет мелкий шрифт.

Резюме урока

Подводя итог, мы узнали о расчете процентов , или денег, выплачиваемых с течением времени для инвестированной основной суммы .Принципал относится к первоначальным инвестициям.

Мы использовали формулу I = Prt , где I — это начисленные проценты, P — основная сумма, r — процентная ставка, а t — время в годах.

Мы можем использовать эту формулу для расчета простых процентов. Мы также можем использовать его, чтобы найти любую из недостающих переменных, например, время или процентную ставку .

Результаты обучения

По завершении этого урока вы сможете:

• Определять проценты и основную сумму
• Различия между простыми и сложными процентами
• Определите формулу для расчета простых процентов

«Инвестиционные» проблемы Word

«Инвестиционный» Проблемы Word (стр. 1 из 2) Инвестиционные проблемы обычно включают простые годовые проценты (в отличие от сложных интерес), используя формула процента I = Prt , где I стоит для процентов на первоначальные инвестиции P обозначает сумму первоначальных инвестиций (называемую «основной суммой»), r — процентная ставка (выраженная в десятичной форме), а t — время. На годовой процент , время t должно быть в годах. Если они дадут вам время, скажем, девять месяцев, вы должны сначала преобразуйте это в 9 / 12 = 3 / 4 = 0,75 года. В противном случае вы получите неправильный ответ. Единицы времени должны соответствовать единицам процентной ставки. Если вы получили ссуду в дружном районе ростовщик, где процентная ставка ежемесячная, а не годовая, тогда ваше время нужно измерять месяцами. Инвестиционные проблемы со словом обычно не очень реалистичны; в «реальной жизни», интерес почти всегда каким-то образом усугубляется, и инвестиции обычно не все за целые числа лет. Но вы получите более «практичный» прочее позже; это просто разминка, чтобы подготовить вас к дальнейшим действиям. Во всех случаях этих проблем, вы захотите подставить всю известную информацию в « I = Prt «уравнение, а затем решите все, что осталось. Вы вкладываете 1000 долларов в инвестицию с доходностью 6% годовых; вы оставили деньги на два года. Сколько процентов вы получите в конце этих двух лет? В этом случае P = 1000 долларов, r = 0,06 (потому что мне нужно преобразовать процент в десятичную форму), а время составляет t = 2. Подставляя, Я получаю: I = (1000) (0.06) (2) = 120 Я получу 120 долларов в виде процентов. Другой пример: Вы инвестировали $ 500 и через три года получили $ 650 . Какая была процентная ставка? Для этого упражнения я Сначала нужно найти сумму процентов.Поскольку проценты добавляются к принципалу, а так как P = 500 долларов, то I = 650 — 500 = 150 долларов. Время t = 3. Подставляя все эти значения в формулу простого процента, я получаю: Конечно, мне нужно не забудьте преобразовать это десятичное число в проценты. Самое сложное приходит, когда упражнения требуют многократных вложений.Но в этих что делает их довольно простыми в обращении. Авторские права © Элизабет Стапель 1999-2011 Все права защищены У вас есть 50 000 долларов для инвестирования, и два фонда, в которые вы хотите инвестировать. Фонд You-Risk-It (Фонд Y) приносит 14% годовых. Экстра-скучный фонд (Fund X) приносит 6% годовых. Из-за финансовой помощи колледжа вы не думаете вы можете позволить себе заработать более 4500 долларов в виде процентного дохода в этом году.Сколько вы должны вложить в каждый фонд? « Проблема здесь из-за того, что я разделяю эти 50 000 долларов в основном на две меньшие суммы. Вот как с этим справиться: I п. r т Фонд 904 х 11 ? ? 0.06 1 Фонд Y ? ? 0,14 1 всего 4500 50 000 — — Как мне заполнить эти вопросительные знаки? Начну с основного P .Допустим, я поставил « x » долларов в Фонд X и « y » долларов в Фонд Y. Тогда x + y = 50 000. Это мало помогает, так как я знаю только, как решать уравнения в одна переменная. Но затем я замечаю, что могу решить x + y = 50 000, чтобы получить y = 50 000 долларов — x . ЭТА МЕТОДИКА ЯВЛЯЕТСЯ ВАЖНЫЙ! г. сумма в Фонде Y (общая) меньше (что мы уже учли в Фонде X), или 50 000 — х .Вам понадобится эта техника, конструкция «сколько осталось», в будущем, поэтому убедитесь, что вы понимаете это сейчас. I п. r т Фонд 904 х 11 ? x 0.06 1 Фонд Y ? 50 000 — x 0,14 1 всего 4500 50 000 — — Теперь я покажу вам, почему Я поставил стол вот так.Организуя столбцы в соответствии с формулу процента, теперь я могу умножить (справа налево) и заполните графу «проценты». I п. r т Фонд 904 х 11 0.06 x x 0,06 1 Фонд Y 0,14 (50 000 — x ) 50 000 — x 0,14 1 всего 4500 50 000 — — Так как проценты от Фонд X и проценты от Фонда Y в сумме составят 4500 долларов, я могу добавить вниз по столбцу «проценты» и установите эту сумму равной общая сумма процентов: 0.06 x + 0,14 (50 000 — x ) = 4500 0,06 x + 7000 — 0,14 x = 4500 7 000 — 0,08 x = 4500 –0,08 x = –2 500 x = 31 250 Тогда y = 50 000 — 31 250 = 18 750. Я должен вложить 31 250 долларов в Фонд X и 18 750 долларов в Фонд Y. Обратите внимание, что ответ сделал не использовать «аккуратные» значения, такие как «10 000 долларов». или «35 000 долларов».Вы должны понимать, что это означает, что вы не всегда можете ожидать уметь использовать «угадывай и проверяй», чтобы найти ответы. Вы действительно действительно нужно знать, как делать эти упражнения. Вверх | 1 | 2 | Возвращаться к указателю Вперед >> Цитируйте эту статью как: Стапель, Елизавета.«Проблемы со словом« инвестиции »». Purplemath . Доступна с https://www.purplemath.com/modules/investmt.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

решенных примеров на простой интерес

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

Электронное обучение — это будущее сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Примеры в этом разделе я решил по простому интересу. Ссылаясь на них, вы можете решить свои вопросы.

Примеры:

1) Ariel берет ссуду в размере 8000 долларов на покупку бывшего в употреблении грузовика по ставке 9% простых процентов. Рассчитайте годовые проценты, подлежащие уплате на сумму ссуды.

Решение:
Из деталей, приведенных в задаче Принцип = P = 8000 долларов и R = 9% или 0.09 в виде десятичной дроби.

Поскольку годовой процент должен быть рассчитан, период времени T = 1.

Подставляя эти значения в простую формулу процентов,

I = P x T x R

= 8000 x 1 x 0,09

= 720,00

Годовой процент к выплате = 720 долларов США

________________________________________________________________
2) Стив вложил 10 000 долларов в сберегательный счет в банке, который приносил 2% простых процентов. Найдите проценты, заработанные, если сумма хранилась в банке 4 года.

Решение:
Принцип P = 10000 долларов США Период времени T = 4 года и процентная ставка = 2% = 0,02

Подставляя эти значения в формулу простой процентной ставки,
I = PX TXR

= 10000 X 4 x 0,02

= 800 долларов

Процентные доходы от инвестиций = 800 долларов

________________________________________________________________
3) Райан купил 15000 долларов в банке, чтобы купить автомобиль под 10% простой процентной ставки. Если он заплатил 9000 долларов в качестве процентов при погашении ссуды, найдите время, на которое ссуда была предоставлена.

Решение: Принцип = Процентная ставка 15 000 долларов США R = 10% = 0,10, а выплаченные проценты = I = 9 000 долларов США. И T нужно найти.

T = I / (PR)

= 9000 / (15000 x 0,10)

= 6 лет.

Кредит предоставлен сроком на 6 лет.

________________________________________________________________
Решенные примеры по простому проценту
4) Через сколько времени будет простой процент на 3500 долларов по ставке 9% р.a быть таким же, как простая процентная ставка на 4000 долларов под 10,5% годовых в течение 4 лет?

Решение:
SI на 4000 долларов США по ставке 10,5% = 10,5 / 100 = 0,105 на 4 года

SI = (P x R x T) / 100

= 4000 x 0,105 x 4

SI = 1,680 долларов США

Процентная ставка в размере 1 680 долл. США такая же, как и процентная ставка по 3 500 долл. США под 9% годовых в течение предположительно t лет.

SI x 100
Время = t = ————
P x R

1680 x 100
Время = t = ————
3500 x 9

168,000
Время = t = ————
31,500

Время = t = 5.33 года.

---

Простой процент (SI)

• Определение ставки, когда указаны основная сумма и время
• Определение времени, когда указаны основная сумма и ставка
• Решенные примеры по простому проценту

Из примеров по простому проценту к бизнес-математике Home Page

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Решите это простым способом: проблемы со сложными процентами

Один из видов количественных вопросов GRE предполагает начисление сложных процентов.Если у вас возникла такая проблема, вам в первую очередь следует подумать о том, чтобы избежать точного расчета суммы сложных процентов. Для этого существует сложная формула, но здесь мы рассмотрим более простой и быстрый метод.

Рассмотрим следующий вопрос из банка вопросов GRE Tutor журнала The Economist :

Кейт сделала вклад на сберегательный счет, на который выплачиваются 5% сложных процентов ежегодно два года назад. Если ее текущий баланс составляет 1323 доллара, сколько она внесла на счет?

A) 1000 долларов

B) 1100 долларов

C) 1200 долларов

D) 1300 долларов

E) 1400 долларов

Сложные проценты просто подумайте об этом как о простой проблеме процентов, определите, сколько простых процентов она могла бы заработать, сделайте несколько быстрых сумм, и мы должны получить наш ответ.

Начните с варианта B. Я предлагаю это, потому что, если мы увидим, что вариант B слишком мал, мы можем одновременно исключить вариант A, без необходимости его вычислять.

5% от 1100 — 55 долларов.

Процентные ставки за два года по этой ставке принесут 110 долларов.

1,100 + 110 = 1,210. Этого недостаточно. Исключите варианты A и B.

Посмотрите на вариант D. Если бы она начала с 1300, она заработала бы больше, чем $ 23. Исключите варианты D и E.

На этом этапе нет необходимости производить расчеты с использованием варианта C, но давайте сделаем это просто для вашего спокойствия.

5% от 1200 долларов — 60 долларов.

На два года это 120 долларов.

1,200 + 120 = 1320, и это очень близко к цифре с использованием сложных процентов в размере 1323 долларов. Вариант C.

Помните: во многих областях математики GRE не требуется точных вычислений. Часто это бывает проще и быстрее оценить. У вас будет больше времени для ответов на более сложные вопросы.

Формула простого процента и примеры

Простые проценты — это когда проценты по ссуде или инвестициям рассчитываются только на первоначально вложенную или ссуду сумму.Это отличается от сложных процентов, где проценты начисляются на первоначальную сумму и на любые полученные проценты. Как вы увидите в примерах ниже, простую формулу процентов можно использовать для расчета заработанных процентов, общей суммы и других значений в зависимости от проблемы.

реклама

Примеры определения процентов, полученных по простой формуле процентов

Во многих простых задачах с процентами вы будете находить общий процент, заработанный за установленный период, который представлен как \ (I \).Формула для этого:

Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как работает эта формула. Помните, что в формуле основная сумма \ (P \) — это начальная сумма инвестиций.

Пример

Двухлетний заем в размере 500 долларов предоставляется под 4% простых процентов. Найдите заработанные проценты.

Решение

Всегда находите время, чтобы определить значения, указанные в проблеме. Здесь дано:

• Время 2 года: \ (t = 2 \)
• Начальная сумма 500 $: \ (P = 500 \)
• Ставка 4%.Запишите это в виде десятичной дроби: \ (r = 0,04 \)

Теперь примените формулу:

\ (\ begin {align} I & = Prt \\ & = 500 (0,04) (2) \\ & = \ bbox [граница: сплошной черный 1 пиксель; отступ: 2 пикселя] {40} \ end {align} \)

Ответ : Полученные проценты составляют 40 долларов.

В этом примере время указано в годах, как и в формуле. Но что, если вам дается только несколько месяцев? Давайте рассмотрим другой пример, чтобы увидеть, как это может быть по-другому.

Пример

Общая сумма инвестиций составляет 1200 долларов США по простой процентной ставке 6% сроком на 4 месяца.Сколько процентов заработано на этих инвестициях?

Решение

Прежде чем мы сможем применить формулу, нам нужно будет записать время в 4 месяца в годах. Поскольку в году 12 месяцев:

\ (\ begin {align} t & = \ dfrac {4} {12} \\ & = \ dfrac {1} {3} \ end {align} \)

С поправкой на годы, теперь мы можем применить формулу с \ (P = 1200 \) и \ (r = 0,06 \).

\ (\ begin {align} I & = Prt \\ & = 1200 (0,06) \ left (\ dfrac {1} {3} \ right) \\ & = \ bbox [граница: 1 пиксель сплошной черный; отступ: 2 пикселя] {24} \ end {align} \)

Ответ : Полученные проценты составляют 24 доллара.

Если бы вы не обратились здесь, вы бы нашли проценты за 4 года, что было бы намного выше. Поэтому всегда проверяйте, что время исчисляется годами, прежде чем применять формулу.

Важно! Время должно быть в годах, чтобы применить формулу простого процента. Если вам даны месяцы, используйте дробь, чтобы представить их годами.

Другой тип проблем, с которыми вы можете столкнуться при работе с простыми процентами, — это определение общей суммы задолженности или общей стоимости инвестиций через заданный промежуток времени.Это называется будущей стоимостью, и ее можно рассчитать несколькими способами.

Определение будущей стоимости простых процентов

Один из способов рассчитать будущую стоимость — просто найти проценты и затем добавить их к основной сумме. Однако более быстрый способ — использовать следующую формулу.

Вы знаете, как использовать эту формулу, когда вам задают такие вопросы, как «какова общая сумма, которая должна быть возвращена» или «какова стоимость инвестиций» — все, что кажется относящимся к общей сумме после учета процентов.

Пример

Бизнес берет простую ссуду под проценты в размере 10 000 долларов по ставке 7,5%. Какую общую сумму выплатит бизнес, если срок кредита составляет 8 лет?

Решение

Общая сумма, которую они выплатят, является будущей стоимостью \ (A \). Нам также дано, что:

• \ (t = 8 \)
• \ (г = 0,075 \)
• \ (P = 10 \, 000 \)

Использование формулы простого процента для будущей стоимости:

\ (\ begin {align} A & = P (1 + rt) \\ & = 10 \, 000 (1 + 0.075 (8)) \\ & = \ bbox [граница: сплошной черный 1 пиксель; отступ: 2px] {16 \, 000} \ end {align} \)

Ответ : Компания выплатит в общей сложности 16 000 долларов.

Это может показаться высоким, но помните, что в контексте ссуды проценты — это на самом деле просто плата за ссуду денег. Чем выше процентная ставка и дольше срок, тем дороже ссуда.

Также обратите внимание, что вы можете рассчитать это, сначала найдя процент, I = Prt = 10000 (0,075 (8)) = 6000 долларов, и добавив его к основной сумме в 10000 долларов.Окончательный ответ одинаков при использовании любого метода.

реклама

Продолжить интересующее вас исследование

Теперь, когда вы изучили простую формулу процента, вы можете изучить более сложную идею сложных процентов. Большинство сберегательных счетов, кредитных карт и ссуд основаны на сложных процентах, а не на простых процентах. Вы можете просмотреть эту идею здесь:

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

Простые ответы на интересующие вопросы | Практические задачи

Направления: Ответьте на следующие практические вопросы в соответствии с вашим суждением. Эти вопросы основаны на простом интересе.

Q.1. Если Rs. 4 становится рупий. 10 через 50 лет под простой процент, ставка% р.а. является

а) 5%

б) 2 1/2%

в) 3 1/3%

г) 3%

д) 6%

Ответ и объяснение

Sol: опция D
Пояснение: SI = 10 — 4 = 6, следовательно, 6 = (4xRx50) / 100 → R = 3%.

Q.2. Узнайте размер капитала, необходимого для получения ежемесячных процентов в размере рупий. 210 под 7% простых процентов.

а) рупий. 24000

б) рупий. 30000

c) Rs. 18000

г) рупий.36000

e) Rs. 72000

Ответ и объяснение

Sol: опция D
Пояснение: 210 = (Px7x1) / 100×12 → P = 36000

Q.3. Если Rs. 460 рупий. 640 через 6 лет, что будет через 2 года при той же ставке%?

a) 520 рупий

б) рупий. 585

c) Rs. 700

г) рупий. 640

e) Rs. 685

Ответ и объяснение

Sol: Вариант A
Пояснение: Проценты за 6 лет = 640 — 460 = Rs.180
, следовательно, проценты за 2 года = (180/6) x2 = 60 рупий
, следовательно, 460 станет 460 + 60 = рупий. 520 через 2 года

Q.4. Определенная денежная сумма составляет 7/4 себя за 3 года. Ставка процента годовых является

а) 25%

б) 20%

в) 15%

г) 10%

д) 5%

Ответ и объяснение

Sol: Вариант A
Пояснение: R = [100 (x-1)] / t%, следовательно, R = [100 (7 / 4-1)] / 3 = 25%

В.5. В какое время будет рупий. 25 стать рупий. 37 ат.% В год простой интерес?

а) 1/2 года

б) 2 года

c) 2 1/4 года

г) 2 1/2 года

e) 3 года

Ответ и объяснение

Sol: Опция E
Пояснение: Проценты = 37-25 = 12 → 12 = (25/100) x16xT → T = 3 года

Обязательно читать статьи о простых интересах

• Простые практические задачи по интересам: уровень 01

В.6. Простой процент на денежную сумму равен основной сумме, а количество лет равно процентной ставке в год. Ставка% годовых является

а) 5%

б) 2 1/3%

в) 10%

г) 9%

д) 3 1/3%

Ответ и объяснение

Sol: опция A
Пояснение: = P / 4 = (PxRxR) / 100 → R ² = 25% → R = 5%

Q7. Ростовщик ссужает рупий. 60 и собирает рупий.66 по прошествии четырех месяцев. Процентная ставка в год. является

а) 5%

б) 10%

в) 20%

г) 30%

д) 9%

Ответ и объяснение

Sol: Опция D
Пояснение: Проценты = 66-60 = 6, следовательно, 6 = 60/100 x R x 4/12 ⇒ R = 30%.

Q8. Четырехлетний сертификат Индиры Викас со сроком погашения рупий. 700 покупается за рупий. 500.
Ставка% р.а. является

а) 15%

б) 7 1/2%

в) 5%

г) 10%

д) 7%

Ответ и объяснение

Sol: Опция D
Пояснение: Процентная ставка = 200 ⇒ 200 = (500 x R x 4) / 100 ⇒ R = 10%.

Q9. В какой период времени будет рупий. 10,000 зарабатывают проценты в размере рупий. 2000 под 10% годовых?

а) 2 года

б) 5 лет

в) 6 лет

г) 3 года

д) 7 лет

Ответ и объяснение

Sol: опция A
Пояснение: 2000 = (10,000x10xT) / 100
T = 2 года

Q10. Anoop одолжил рупий. 800 под 6% годовых И рупий. 1200 под 7% годовых на такой же срок. Он должен был заплатить рупий. 1584 всего как проценты. Найдите период времени.

а) 10 лет

б) 11 лет

в) 12 лет

г) 13 лет

д) 15 лет

Ответ и объяснение

Sol: Опция C
Объяснение: Процентная ставка по 1 ^st на 1 год = 800 x (6×1) / 100 = Rs.