Решить уравнение в целых числах: Урок 9. решение уравнений в целых числах - Алгебра и начала математического анализа - 10 класс - Управленческое образование

Содержание

Уравнения в целых числах — Математика

Файл к уроку 8

Уравнения в целых числах.

Диофант и история диофантовых уравнений.

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:

«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь» (примерно 84 года).

Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.

Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.)

Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.

1.1 Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения. Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении , НОД , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении , НОД и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении , НОД и , то оно равносильно уравнению , в котором .

Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

где х₀, у₀ – целое решение уравнения , — любое целое число.

Алгоритм решения уравнения в целых числах.

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .

Найти наибольший общий делитель чисел a и b,

если и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;

если и , то

Разделить почленно уравнение на , получив при этом уравнение , в котором .
Найти целое решение (х₀, у₀) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ;
Составить общую формулу целых решений данного уравнения

где х₀, у₀ – целое решение уравнения , — любое целое число.

Способы решения уравнений

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Метод полного перебора.

2. Метод разложения на множители.

3. Выделение целой части и оценка дроби.

4. Выделение полного квадрата.

5. Решение уравнения с двумя переменными как квадратное относительно одной из переменных и др.

Задачи по теме:

Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями решения: 49x + 51y = 602.

Решение: Выразим из уравнения переменную х через у, получим: . Так как x и y – натуральные числа, то , тогда , отуда . Возможные значения у от 1 до 10. Перебором убеждаемся, что единственное решение у = 7, тогда х = 5. Ответ: (5; 7)

Решить в целых числах уравнение: 13x+41y=8

Решение: Вновь выразим одну переменную через другую, получим:

Чтобы решение было в целых числах, нужно, чтобы дробь была целым числом. Так как в числителе стоит четное число, а в знаменателе нечетное, то обозначим , где . Выразим через t у и х:

Ответ: (-12+41t; 4-13t), t.

Решить в натуральных числах уравнение: .

Решение: снова используем метод полного перебора. Рассмотрим левую часть уравнения. При левая часть будет содержать множитель от 1 до 5, и заканчиваться на 0. Посмотрим, при каких значениях y справа тоже может стоять число, оканчивающееся на 0. Рассмотрим таблицу:

Видим, что получить такое число ни при каких у нам не удастся, остается рассмотреть 4 значения х и подобрать для них у:

Чему равен х	Чему равен у²
1	13
2	14
3	18
4	36

Как видим, единственным натуральным решением будет х = 4, у = 6.

Ответ: (4; 6).

Решить в целых числах уравнение x² + 1 = 3y.

Решение: это еще один из вариантов перебора всех случаев. Выражение справа делится на 3. Рассмотрим выражение слева на предмет делимости на 3. Как мы знаем, число при делении на 3 может давать остатки 0, 1 и 2. Это же число в квадрате может давать остатки только 0 или 1. Тогда х²+1 не делится на 3 ни при каком значении х. А значит уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет решений.

Решить уравнение в натуральных числах:

Решение: Здесь используем метод разложения на множители. Преобразовав уравнение, получим: , или . Число 23 – простое, возможны варианты: разность равна -1, сумма 23.

Ответ: (11; 12)

Решить в целых числах уравнение: x + y = xy.

Подсказка: Используем метод разложения на множители.

Ответ: (2;2), (0;0).

Найти все целочисленные решения уравнения:

Решение: Используем метод выделения полных квадратов: Представим число 29 в виде двух слагаемых, являющихся полными квадратами, и при этом одно их них красно 4. Перебором убеждаемся, что это 4 и 25. Тогда

Ответ:

Решить в целых числах уравнение:

Решение: используем метод оценки. Разделим первую скобку на х, вторую на у, получим: . Применим неравенство Коши: . Равенство в неравенстве Коши возможно только при a = b. Тогда х = 2, у = 1, или х = -2, у = -1.

Ответ: (2;1), (-2;-1).

Решить в целых числах уравнение

Подсказка: Попробуйте рассмотреть уравнение как квадратное относительно х с параметром у.

Ответ: (-1; -1).

Решить уравнение в целых числах:

Подсказка: Выразить у через х и перебрать все возможные варианты.

Ответ: (2;-2), (0; -2).

Решить в целых числах уравнение: .

Ответ: (-10+97t; 2-19t) t – целое число.

Решить в целых числах: .

Ответ: (1750; -18), (-1944; -20), (-96; 1828), (-98; -1866).

Решить в целых числах уравнение: .

Решить в целых числах уравнение .
Решить уравнение в целых числах: 2х²-2ху +9х+у=2
Решить в натуральных числах уравнение: , где тп.
Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т
Найдите все пары (х;
у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №19. Уравнения в целых числах.

Мы привыкли решать уравнения с одной переменной. А если переменных в одном уравнении целых две? А если 4? С такими ситуациями мы встречаемся, решая задачу 19 Профильного ЕГЭ по математике. И обычно нам помогает то, что эти переменные — целые.

Возьмем… нет, не реальную задачи 19. Возьмем такую, о которых пишут: «Она взорвала интернет».

А началось все с того, что один британский школьник лет 10-11 попросил маму помочь с домашним заданием. А мама не смогла. И папа тоже. И, уложив дите спать, родители отправились куда? — Правильно, в интернет! На форум для родителей. Но и там никто не смог решить задачу, только перессорились. И на других форумах тоже.

А вы справитесь с задачей, которая поставила в тупик столько взрослых людей?

1. На берегу стоят три маяка. Первый включается на три секунды, затем выключается на три секунды. Второй включается на четыре секунды и затем выключается на четыре секунды. Третий включается на пять секунд, затем выключается на пять секунд. Все три маяка начинают работать одновременно.

а) Через сколько минут после начала работы все три маяка снова одновременно включатся?

б) В какой момент времени все три маяка одновременно отключатся?

По условию, все три маяка включаются одновременно. Маяк может либо светить, либо нет. Нарисуем графики их работы:

а) В какие моменты включаются первый и второй маяки? Первый маяк включается через 6 секунд после начала работы, через 12, через секунд.

Второй маяк — через 8 секунд после начала работы, через — то есть через секунд.

Очевидно, что одновременное включение первого и второго маяков произойдет через 24 секунды после начала работы, поскольку 24 — это наименьшее общее кратное чисел 6 и 8 (то есть наименьшее число, которое делится на 6 и на 8).

Третий маяк включается через секунд после начала работы. Найдем наименьшее общее кратное чисел 6, 8 и 10, то есть наименьшее число, которое делится на 6, на 8 и на 10.

Поскольку , наименьшее общее кратное чисел 6, 8 и 10 должно делиться на , на 3 и на 5. Это число 120. Значит, через секунд после начала работы все три маяка включатся одновременно.

Можно сказать, что все три графика работы маяков — периодические функции, причем период для первого маяка равен 6, для второго 8, для третьего 10.

б) В какие же моменты одновременно отключаются все три маяка?

Первый маяк отключается через секунд после начала работы.

Второй маяк — через секунд после старта, а третий — через секунд после старта. Если существует такой момент, что все три маяка отключаются одновременно, то должны выполняться условия:

Эта система не имеет решений. В самом деле, величины и — четные. Тогда в первом уравнении в левой части — нечетная величина, а в правой — четная. Во втором уравнении левая часть четна, правая нечетная. Нет такого момента, когда все три маяка одновременно отключились!

Мы увидели один из принципов решения уравнений в целых числах. Если левая часть уравнения четна, то и правая должна быть четна. Если левая делится на 10, то и правая должна делиться на 10.

Следующая задача предлагалась когда-то на реальном ЕГЭ, часто встречалась в Демоверсиях ЕГЭ, а теперь появилась и в возможной демоверсии ОГЭ — которая пока называется «перспективной моделью измерительных материалов для государственной итоговой аттестации». Правда, в задаче для ОГЭ осталось два пункта из трех, а именно (а) и (в). Но мы решим задачу полностью.

2. На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно — 7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно — 12.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Напомним, что среднее арифметическое нескольких чисел есть сумма этих чисел, делённая на их количество.

В условии сказано, что на доске написаны положительные и отрицательные числа. Есть ли среди этих чисел нули? — Да, могут быть и нули. Они не внесут вклад в сумму чисел, зато повлияют на их среднее арифметическое.

Пусть на доске написано чисел. Тогда их сумма: Обозначим: — количество положительных чисел, — количество отрицательных чисел, — количество нулей. Таким образом,

Пусть и — суммы положительных и отрицательных чисел соответственно. Имеем: , и так как , то:

а) Правая часть данного равенства делится на 6. Поскольку 6 и 7 взаимно просты, число n делится на 6. Между числами 42 и 54 есть только одно такое число:

Ответ: 48.

б) Из равенства получаем после сокращения на 6:

Кроме того:

Сложим полученные равенства: Так как 104 при делении на 3 дает остаток 2, число также даёт остаток 2: Отсюда: , или

Соответственно,

Составляем разность: так что — отрицательных чисел написано больше.

в) Из равенства видим, что

Приведём пример с (тогда ). Пусть написано 12 чисел 6, 34 числа и два нуля. Этот набор удовлетворяет условию задачи: среднее арифметическое положительных чисел равно, очевидно, 6; среднее арифметическое отрицательных чисел равно , а среднее арифметическое всех чисел:

Следовательно, наибольшее возможное количество положительных чисел равно 12.

Ответ: 12.

Видите, как из уравнения с тремя неизвестными мы получили всё. Как в сказке про суп из топора.

И еще одна задача. Сколько чисел на доске — не знаем. Есть одинаковые или все разные — не знаем. Переменных штук, то есть в 2 раза больше, чем самих чисел. И все-таки мы это решим!

3. (ЕГЭ-2015) На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в три раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в пять раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел

Двузначные числа на доске — это числа вида , где — первая цифра, — вторая.

По условию,

а)

Обозначим

Отсюда

Подберем пример:

Пусть

Тогда

б) Предположим,

Тогда

Если на доске чисел, то , поскольку все

Если , то , поскольку

Из условия мы получили, что . Мы пришли к противоречию — значит, в пункте (б) ответ «нет».

И снова «суп из топора». Всё из ничего! Наша задача — извлечь из условия всё что можно и применить, чтобы сделать оценки нужных величин.

в)

Найдем наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел. Выразим из системы:

Заметим, что делится на 99. Пусть тогда

тогда и .

Мы получили систему:

Пусть на доске было чисел. — сумма первых цифр этих чисел, — сумма вторых цифр этих чисел, причем цифры взяты от 1 до 9,

Из первого неравенства мы взяли оценку для А в неравенстве (оно следует из второго) умножили обе части на 9, чтобы получить другую оценку для . Тогда:

значит, , (т.к. — целое)

Тогда

Если , то ,

Приведем пример, когда

Пусть

Получим:

Ответ: 693.

Основные методы решения уравнений в целых числах

Введение

Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. В качестве примера можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Стоит отметить, что, несмотря на достаточно простую формулировку этих задач, решаются они весьма сложно, с применением аппарата математического анализа и комбинаторики. Идеи решения первых двух задач принадлежат швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783). Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что все решения данного уравнения исчерпываются подобранными (то есть решений, отличных от подобранных, не существует). Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные. Анализ дополнительной математической литературы показывает, что подобные задания достаточно часто встречаются в олимпиадах по математике разных лет и различных уровней, а также в задании 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень). В то же время в школьном курсе математики данная тема практически не рассматривается, поэтому школьники, участвуя в математических олимпиадах или сдавая профильный ЕГЭ по математике, обычно сталкиваются со значительными трудностями при выполнении подобного рода заданий. В связи с этим целесообразно выделить систему основных методов решения уравнений в целых числах, тем более что в изученной математической литературе этот вопрос явно не оговаривается. Описанная проблема определила цель данной работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) Проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;

2) Обозначить методы решения уравнений в целых числах и выделить преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрировать примерами;

4) Составить несколько тренировочных заданий по данной теме;

5) Применяя разработанные задания, определить степень готовности учащихся девятых классов МБОУ СОШ №59 к решению подобного рода задач и сделать практические выводы.

Основная часть

Анализ разнообразной математической литературы показывает, что среди методов решения уравнений в целых числах в качестве основных можно выделить следующие:

Представление уравнения в виде произведения нескольких множителей, равного некоторому целому числу;
Представление уравнения в виде суммы квадратов нескольких слагаемых, равной некоторому целому числу;
Использование свойств делимости, факториалов и точных квадратов;
Использование Малой и Великой теорем Ферма;
Метод бесконечного спуска;
Выражение одной неизвестной через другую;
Решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных;
Рассмотрение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое число.

Сразу же нужно оговорить, что мы понимаем под основными методами решения уравнений. Основными будем называть наиболее часто применяющиеся методы, что, конечно, не исключает возможности периодического применения новых «неожиданных» приёмов. Кроме того, причём в подавляющем большинстве случаев, применяют их различные сочетания, то есть проводят комбинирование нескольких методов.
В качестве примера сочетания методов рассмотрим уравнение, предлагавшееся на ЕГЭ по математике в 2013 году (задание С6).

Задача. Решить в натуральных числах уравнение n! + 5n + 13 = k².

Решение. Заметим, что оканчивается нулём при n > 4. Далее, при любых n ∈ N оканчивается либо цифрой 0, либо цифрой 5. Следовательно, при n > 4 левая часть уравнения оканчивается либо цифрой 3, либо цифрой 8. Но она же равна точному квадрату, который не может оканчиваться этими цифрами. Поэтому нужно перебрать только четыре варианта: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

Значит, уравнение имеет единственное натуральное решение n = 2, k = 5.

В этой задаче использовались свойства точных квадратов, свойства факториалов, и остатки от деления обеих частей уравнения на 10.

Теперь приведём комплекс авторских задач.

Задача 1. Решить в целых числах уравнение n² — 4y! = 3.

Решение. Сначала перепишем исходное уравнение в виде n² = 4y! + 3. Если посмотреть на это соотношение с точки зрения теоремы о делении с остатком, то можно заметить, что точный квадрат, стоящий в левой части уравнения, даёт при делении на 4 остаток 3, что невозможно. Действительно, любое целое число представимо в одном из следующих четырёх видов:

Таким образом, точный квадрат при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 1. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ключевая идея – применение свойств точных квадратов.

Задача 2. Решить в целых числах уравнение 8z² = (t!)² + 2.

Решение. Непосредственная проверка показывает, что t = 0 и t = 1 не являются решениями уравнения. Если t > 1, то t! является чётным числом, то есть, оно представимо в виде t! = 2s. В таком случае уравнение можно преобразовать к виду 4z² = 2s² + 1. Однако, полученное уравнение заведомо не имеет решений, ибо в левой части стоит чётное число, а в правой – нечётное.

Ключевая идея – применение свойств факториалов.

Задача 3. Решить в целых числах уравнение x² + y² – 2x + 6y + 5 = 0.

Решение. Исходное уравнение можно переписать следующим образом: (x – 1)² + (y + 3)² = 5.

Из условия следует, что (x – 1), (y + 3) – целые числа. Следовательно, данное уравнение эквивалентно следующей совокупности:

Теперь можно выписать всевозможные целые решения уравнения.

Задача 4. Решить в целых числах уравнение zt + t – 2z = 7.

Решение. Исходное уравнение можно преобразовать к виду (z + 1) (t – 2) = 5. Числа (z + 1), (t – 2) являются целыми, поэтому имеют место следующие варианты:

Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения.

Ключевая идея – представление уравнения в виде произведения, равного целому числу.

Задача 5. Решить в целых числах уравнение n(n + 1) = (2k + 1)‼

Решение. Число (2k + 1)‼ нечётно при всех неотрицательных значениях k согласно определению (при отрицательных k оно вообще не определено). С другой стороны, оно равно числу n(n + 1), которое чётно при всех целых значениях k. Противоречие.

Ключевая идея – использование чётности/нечётности частей уравнения.

Задача 6. Решить в целых числах уравнение xy + x + 2y = 1.

Решение. Путём преобразований уравнение можно свести к следующему:

Данное преобразование не изменило ОДЗ неизвестных, входящих в уравнение, так как подстановка y = –1 в первоначальное уравнение приводит к абсурдному равенству –2 = 1. Согласно условию, x – целое число. Иначе говоря, тоже целое число. Но тогда число обязано быть целым. Дробь является целым числом тогда и только тогда, когда числитель делится на знаменатель. Делители числа 3: 1,3 –1, –3. Следовательно, для неизвестной возможны четыре случая: y = 0, y = 2, y = –2, y = –4. Теперь можно вычислить соответствующие значения неизвестной x. Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).

Ключевая идея – выражение одной неизвестной через другую.

Задача 7. Решить в целых числах уравнение 5^m= n²+ 2.

Решение. Если m = 0, то уравнение примет вид n²= –1. Оно не имеет целых решений. Если m < 0, то левая часть уравнения, а значит, и n, не будет являться целым числом. Значит, m > 0. Тогда правая часть уравнения (как и левая) будет кратна 5. Но в таком случае n² при делении на 5 должно давать остаток 3, что невозможно (это доказывается методом перебора остатков, который был изложен при решении задачи 1). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ключевая идея – нахождение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое натуральное число.

Задача 8. Решить в целых числах уравнение (x!)⁴ + (y – 1)⁴ = (z + 1)⁴.

Решение. Заметим, что в силу чётности показателей степеней уравнение эквивалентно следующему: (x!)⁴ + |y – 1|⁴ = |z + 1|⁴. Тогда x!, |y – 1|, |z + 1| – натуральные числа. Однако, согласно Великой теореме Ферма, эти натуральные числа не могут удовлетворять исходному уравнению. Таким образом, уравнение неразрешимо в целых числах.

Ключевая идея – использование Великой теоремы Ферма.

Задача 9. Решить в целых числах уравнение x² + 4y² = 16xy.

Решение. Из условия задачи следует, что x – чётное число. Тогда x² = 4x₁². Уравнение преобразуется к виду x₁² + y²= 8x₁y. Отсюда вытекает, что числа x₁, y имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая.

1 случай. Пусть x₁, y – нечётные числа. Тогда x₁ = 2t + 1, y = 2s + 1. Подставляя эти выражения в уравнение, получим:

Выполним соответствующие преобразования:

Сокращая обе части полученного уравнения на 2, получим?

В левой части стоит нечётное число, а в правой – чётное. Противоречие. Значит, 1 случай невозможен.

2 случай. Пусть x₁, y – чётные числа. Тогда x₁ = 2x₂ + 1, y = 2y₁. Подставляя эти значения в уравнение, получим:

Таким образом, получилось уравнение, точно такое же, как на предыдущем шаге. Исследуется оно аналогично, поэтому на следующем шаге получим уравнение и т.д. Фактически, проводя эти преобразования, опирающиеся на чётность неизвестных, мы получаем следующие разложения: . Но величины n и k не ограничены, так как на любом шаге (со сколь угодно большим номером) будем получать уравнение, эквивалентное предыдущему. То есть, данный процесс не может прекратиться. Другими словами, числа x, y бесконечно много раз делятся на 2. Но это имеет место, только при условии, что x = y = 0. Итак, уравнение имеет ровно одно целое решение (0; 0).

Ключевая идея – использование метода бесконечного спуска.

Задача 10. Решить в целых числах уравнение 5x² – 3xy + y² = 4.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде 5x² – (3x)y + (y² – 4) = 0. Его можно рассмотреть как квадратное относительно неизвестной x. Вычислим дискриминант этого уравнения:

Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы , то есть Отсюда имеем следующие возможности для y: y = 0, y = 1, y = –1, y = 2, y = –2.

Итак, уравнение имеет ровно 2 целых решения: (0;2), (0;–2).

Ключевая идея – рассмотрение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных.

Составленные автором задачи были использованы при проведении эксперимента, который состоял в следующем. Всем учащимся девятых классов были предложены разработанные задания с целью выявления уровня подготовки детей по данной теме. Каждому из учеников необходимо было предложить метод нахождения целочисленных решений уравнений. В эксперименте приняли участие 64 ученика. Полученные результаты представлены в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

Номер задания	Количество учащихся, справившихся с заданием (в процентах)
1	11
2	21
3	18
4	11
5	7
6	11
7	11
8	14
9	11
10	7

Данные показатели говорят о том, что уровень подготовки учащихся девятых классов по данной теме очень низкий. Поэтому целесообразной представляется организация спецкурса «Уравнения в целых числах», который будет направлен на усовершенствование знаний учеников в данной области. Прежде всего, это ученики, которые систематически участвуют в математических конкурсах и олимпиадах, а также планируют сдавать профильный ЕГЭ по математике.

Выводы

В ходе выполнения данной работы:

1) Проанализированы олимпиадные материалы, а также материалы ЕГЭ по математике;

2) Обозначены методы решения уравнений в целых числах и выделены преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрированы примерами;

4) Составлены тренировочные задания для учащихся девятых классов;

5) Поставлен эксперимент по выявлению уровня подготовки по данной теме учащихся девятых классов;

6) Проанализированы результаты эксперимента и сделаны выводы о целесообразности изучения уравнений в целых числах на математическом спецкурсе.

Результаты, полученные в ходе данного исследования, могут быть использованы при подготовке к математическим олимпиадам, ЕГЭ по математике, а также при проведении занятий математического кружка.

Список литературы

1. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. – М.: Наука, 1983 – 64 с.

2. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ – М.: МЦНМО, 2009 – 336 с.

3. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 303 с., илл.

4. Далингер В.А. Задачи в целых числах – Омск: Амфора, 2010 – 132 с.

5. Гастев Ю. А., Смолянский М. Л. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант, август 1972.

Глоссарий

Метод бесконечного спуска – метод, разработанный французским математиком П.Ферма (1601–1665), заключающийся в получении противоречия путём построения бесконечно убывающей последовательности натуральных чисел. Разновидность метода доказательства от противного.

Точный (полный) квадрат — квадрат целого числа.

Факториал натурального числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Как решить уравнение в целых числах онлайн

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Целые уравнения представляют собой уравнения, у которых в левой и правой части выражения целого типа. Данного рода уравнения являются одними из самых простых, поскольку решаются одним способом.

Так же читайте нашу статью «Решить интегральное уравнение онлайн решателем»

Пример уравнения данного вида — \[2x + 16= 8x — 4\]. Приведенный пример решается довольно просто, поскольку все, что необходимо сделать для его решения — перенести числа из одной части в другую. Выполнив эти простые действия, у вас должно получиться уравнение, где в одной части находятся все переменные, а в другой — все числа. Однако выполнять перенос необходимо с учетом правила — переносить числа с \[\div\] и \[\cdot \] нельзя, если же вы переносите числа с «+/-«, то после переноса вы меняете знак на противоположный. Вернувшись к нашему примеру и придерживаясь вышеописанных правил, решение данного управления сводится к следующему:

До переноса: \[-2x + 16 = 8x — 4\]

После переноса: \[-6x = -20\]

Далее производим деление правой стороны на левую и получаем следующий результат: \[x = \sim 3.3\]

Приведенный выше пример относится к базовому уровню, однако в уравнения данного типа входят и другие уравнения, сложность которых намного выше, например, квадратные, биквадратные, линейные уравнения.

Где можно решить целое уравнение онлайн?

Решить в целых числах уравнение онлайн любого вида вы можете с помощью нашего сайта https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Решение уравнений в целых числах

Задачи с целочисленными неизвестными
Павловская Нина Михайловна,
учитель математики МБОУ «СОШ № 92
г. Кемерово

Алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющими число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения получили название диофантовых уравнений .
Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными трудной является даже задача доказательства существования целочисленных решений. Более того, доказано, что не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения.

Простейшими диофантовыми уравнениями являются уравнения вида
ax + by = c , a ≠ 0; b ≠ 0
Если с = 0 , то решение очевидно х = 0, у = 0.
Если с ≠ 0 , и решение (х 0 ; у 0 ) , то целое число
ax 0 + by 0 делится на d = (a ; b) , поэтому с так же должно делиться на общий делитель a и b .
Например: 3х + 6у = 5 не имеет целых решений, так как (3; 6) = 3, а с = 5 не делится на 3 без остатка.
Если уравнение ax + by = c имеет решение (х 0 ; у 0 ) , и (a ; b) = 1 , то все решения уравнения задаются формулами х = х 0 + bn; y = у 0 – an, где nлюбое целое решение.
Например: 3х + 5у = 13, (3; 5) = 1, значит уравнение имеет бесконечно много решений, х 0 =1; у 0 =2
6
16
11
х
1
у
?
2
?
?
?
?
?
-4
-1
-7

Большая (великая) теорема Ферма гласит: уравнение вида не имеет решений в натуральных числах.
Эта теорема была сформулирована итальянским математиком Пьером Ферма более 300 лет назад, а доказана лишь в 1993 году.

Метод разложения на множители .
1) Решить в целых числах уравнение
x + y = xy.
Решение. Запишем уравнение в виде
(x — 1)(y — 1) = 1.
Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба они равны 1. Т. е. исходное уравнение равносильно совокупности
с решениями (0,0) и (2,2).

2. Решите в целых числах уравнение:
3х² + 4ху – 7у²= 13.
Решение: 3х² — 3ху + 7ху – 7у²= 13,
3х(х – у) +7у(х – у) = 13,
(х – у)(3х + 7у) = 13.
Так как 13 имеет целые делители ±1 и ±13,
1. х – у = 1, 7х – 7у = 7, х = 2,
3х + 7у= 13; 3х + 7у = 13; откуда у = 1
2. х – у = 13, 7х – 7у = 91, х = 9,2,
3х + 7у= 1; 3х + 7у =1; откуда у=- 3,8.
3 . х – у = -1, 7х – 7у = -7, х = -2,
3х + 7у= -13; 3х + 7у = -13; откуда у = -1.
4. х – у = -13, 7х – 7у = -91, х = -9,2,
3х + 7у= -1; 3х +7у= -1; откуда у =3,8.
Следовательно уравнение имеет два решения в целых числах: (2;1) и (-2;-1)

3 . Решите в целых числах уравнение:
9х² + 4х – ху +3у = 88.
Решение: 9х² + 4х – 88 = ху – 3у,
9х² + 4х – 88 = у(х – 3)
так как 5 имеет целые делители ± 1и ± 5, то
х
у
— 2
2
12
4
44
8
72
104
Линейные диофантовы уравнения онлайн
Линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида:
В основе нашего калькулятора лежит расширенный алгоритм Евклида, записанный в виде цепной дроби. Однако, в некоторых случаях (например, когда коэффициент ) применяются более простые подходы. Также калькулятор не рассматривает случаи, когда хотя бы один из коэффициентов или равен , так как они приводят к обычному линейному уравнению.
Если коэффициент не делится нацело на , то линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными не имеет решений. Напротив, если делится нацело на , то указанное уравнение имеет бесконечное множество целых решений.
Для решения линейного диофантового уравнения с двумя неизвестными сначала необходимо найти частное решение и , а затем записать общее решение, используя формулы:
Рассмотрим пример решения линейного диофантового уравнения с двумя неизвестными:
Коэффициенты уравнения: .
Поскольку делится нацело на , то данное уравнение имеет решения в целых числах.
Далее, найдём какое-нибудь конкретное (частное) решение и исходного уравнения. Для этого, сначала необходимо найти частное решение и вспомогательного уравнения с коэффициентом :
а затем умножить найденное частное решение и вспомогательного уравнения на и получить частное решение и исходного уравнения:
Чтобы найти частное решение вспомогательного уравнения используем цепные дроби. Для этого составим дробь , числителем которой будет коэффициент , а знаменателем коэффициент .
Преобразуем данную дробь в цепную дробь:
В полученной цепной дроби отбросим последнюю дробь :
Полученная дробь является отношением частных решений и выбранных с правильным знаком:
Подставляя четыре значения во вспомогательное уравнение, определяем его частное решение:
Теперь, чтобы найти частное решение и исходного уравнения, умножим найденное частное решение и вспомогательного уравнения на :
Используя формулы для общего решения, запишем конечный ответ:
Наш онлайн калькулятор может решить любое линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными с описанием подробного хода решения на русском языке. Чтобы начать работу, необходимо ввести уравнение и задать искомые переменные.
В описании подробного решения встречается функция которая означает — наибольший общий делитель чисел и .
Решение уравнений в целых числах
Основная часть (выдержка)
Решение уравнений в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной
Задача: Решите уравнение в целых числах 5х2+5у2+8ху+2у-2х+2=0.
Решение: Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х:
5х2+(8у-2)х+5у2+2у+2=0. отсюда
Найдем дискриминант: D=b2-4ac=(8у-2)2-4*5*(5у2+2у+2)
Затем найдем корни уравнения: х=(2-8у±√(8у-2)2-20(5у2+2у+2))/10=(2(1-4у) ±√64у2-32у+4-100у2-40у-40)/10=2(1-4у±√-9(у2+2у+1))/5=(1-4у±√-9(у+1)2)/5
Так как выражение -9(у+1)2≥0, то (у+1)2≤0, а значит у+1=0, у=-1, х=1.
Этот способ решения уравнений намного проще, но не всегда возможен, так как под корнем может быть и положительное число, и продолжать решение будет невозможно.
Рассмотрим еще несколько уравнений, которые можно решить как квадратные относительно, например, х.
Задача: Решите уравнение в целых числах х2-4ху+5у2=169.
Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х, тогда а=0, b=-4у, с=5у2-169. Дискриминант в таком случае будет равен -4у2+676. Найти х можно по формуле х=(16у2±√-4у2+676)/2. Для того, чтобы можно было найти х,
-4у2+676 должно быть положительным или равно нулю, а следовательно, должно выполняться неравенство у2≤169. Это возможно, если у[-13;13], уN. Подставляя, вместо у все возможные значения, выясним, при каких корень из дискриминанта извлекается, и найдем х.
Задача: Решите уравнение в целых числах х2+2ху+2у2=4.
Решение: Решим уравнение относительно х. Тогда получим, а=1, b=2у, с=2у2-4. Значит, √D=√-4у2+16. Для того, чтобы извлекся корень, выражение -4у2+16 должно быть неотрицательным, то есть должно выполняться неравенство 16≥4у2, отсюда у{±2,±1,0}. При у=±1 корень из дискриминанта будет нецелым числом, при у=±2 D=0, при у=0 √D=±4. Получаем, корни х=-2, у=2; х=2, у=-2, х=±2, у=0.
Задача: Решите в целых числах уравнение: 1 + 2k + 22k+1 = n2.
Решение. Если k = 0, то уравнение примет вид 5 =n2 и не имеет решений.
Если k = -1, то уравнение примет вид 2 =n2 и тоже не имеет решений.
Если k ≤ -2, то 1
Остается рассмотреть случай, когда k — натуральное число. Тогда 1 + 2k + 22k+1 ≤ 11 и n — целое неотрицательное число. Не теряя общности рассуждений можно считать, что n — натуральное число, так как при n
2k(1 + 2k + 1) = (n — 1)(n + 1).
Понятно, что n будет нечетным числом. Пусть n = 2m + 1. Тогда (n — 1)(n + 1) = 2m(2m + 2) = 4m(m + 1) и наше уравнение примет вид:
2k — 2(1 + 2k + 1) = m(m + 1). (*)
Числа 2k — 2 и 1 + 2k + 1 взаимно просты. Действительно, если d их наибольший общий делитель, то число
1 + 2k + 1 — 2 ⋅ 2k — 2 = 1 делится на d. Значит d равно 1.
Аналогично доказывается, что числа m и m + 1 тоже являются взаимно простыми.
Пусть m четное число. Так как правая часть уравнения (*) делится на m, то и правая его часть тоже делится на m. Так как и 1 + 2k + 1 — нечетное число, то 2k — 2 делится на m. При этом правая часть уравнения (*) делится на 2k — 2, значит и его правая часть тоже делится на 2k — 2. В силу того, что m + 1 — нечетное число, то m делится на 2k — 2. Натуральные числа m и 2k — 2 делятся друг на друга. Это возможно только при m = 2k — 2. Тогда m + 1 = 1 + 2k + 1 и m = 2k + 1. Получили, что m равно двум различным натуральным числам 2k + 1 и 2k — 1. Чего быть не может.
Также приходит к противоречие, если m + 1 — четное число. Таким образом, ни m, ни m + 1 не могут быть четными. Но из двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является четным. Значит, данное уравнение решений в целых числах не имеет.
Задача: Решить уравнение в целых числах 4х2 — 2ху + 2у2 + у – 2х – 1 = 0
Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:
4х2 – 2(у + 1)х + (2у2 + у -1) = 0,
D1 = (у + 1)2 – 4(2у2 + у – 1) = — 7у2 – 2у + 5.
D1 0
— 7у2 – 2у 0, + 5
7у2 + 2у — 0, 5
-1 у 0 .
Так как у – целое число, то у = -1 или у =0.
Если у =0, то исходное уравнение примет вид:
4 х2 – 2х – 1= 0,
D1 = 1 + 4 = 5,
Целых корней нет.
Если у = -1, то исходное уравнение примет вид:
4 х2 = 0,
х= 0.
Ответ: (0;-1).
Задача: Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах, кроме случаев .
Решение уравнений с целыми числами с использованием свойств равенства
Результаты обучения
Решите уравнения, используя свойства равенства
на сложение и вычитание.
Решите уравнения, используя свойства умножения и деления равенства
Решите уравнения с целыми числами, используя свойства равенства и вычитания
В разделе «Решение уравнений со свойствами равенства» для вычитания и сложения мы решили уравнения, аналогичные двум показанным здесь, с использованием свойств равенства для «вычитания» и «сложения».Теперь мы можем снова использовать их с целыми числами.
[латекс] x + 4 = 12 [/ латекс] [латекс] y-5 = 9 [/ латекс]
[латекс] x + 4 \ цвет {красный} {- 4} = 12 \ цвет {красный} {- 4} [/ латекс] [латекс] y-5 \ цвет {красный} {+ 5} = 9 \ цвет {красный} {+ 5} [/ латекс]
[латекс] x = 8 [/ латекс] [латекс] y = 14 [/ латекс]
Когда вы прибавляете или вычитаете одну и ту же величину из обеих частей уравнения, вы все равно получаете равенство.
Свойства равенств
Свойство равенства вычитания Дополнительное свойство равенства
[латекс] \ text {Для любых чисел} a, b, c [/ латекс],
[латекс] \ text {if} a = b \ text {then} a-c = b-c [/ latex].
[латекс] \ text {Для любых чисел} a, b, c [/ latex],
[латекс] \ text {if} a = b \ text {then} a + c = b + c [/ latex].
пример
Решить: [латекс] y + 9 = 5 [/ латекс].
Решение
[латекс] y + 9 = 5 [/ латекс]
Вычтите [латекс] 9 [/ латекс] с каждой стороны, чтобы отменить сложение. [латекс] y + 9 \ color {red} {- 9} = 5 \ color {red} {- 9} [/ latex]
Упростить. [латекс] y = -4 [/ латекс]
Проверьте результат, подставив [латекс] -4 [/ латекс] в исходное уравнение.
[латекс] y + 9 = 5 [/ латекс]
Заменить [латекс] −4 [/ латекс] на y [латекс] -4 + 9 \ stackrel {?} {=} 5 [/ латекс]
[латекс] 5 = 5 [/ латекс]
Поскольку [latex] y = -4 [/ latex] делает [latex] y + 9 = 5 [/ latex] истинным утверждением, мы нашли решение этого уравнения.
пример
Решить: [латекс] a — 6 = -8 [/ латекс]
Показать решение
Решение
[латекс] a-6 = -8 [/ латекс]
Добавьте [латекс] 6 [/ латекс] с каждой стороны, чтобы отменить вычитание. [латекс] a-6 \ color {red} {+ 6} = — 8 \ color {red} {+ 6} [/ latex]
Упростить. [латекс] a = -2 [/ латекс]
Проверьте результат, подставив [латекс] -2 [/ латекс] в исходное уравнение: [латекс] a-6 = -8 [/ латекс]
Заменитель [латекс] -2 [/ латекс] на [латекс] а [/ латекс] [латекс] -2-6 \ stackrel {?} {=} — 8 [/ латекс]
[латекс] -8 = -8 [/ латекс]
Решение [латекс] a — 6 = -8 [/ латекс] — [латекс] -2 [/ латекс].
Поскольку [latex] a = -2 [/ latex] делает [latex] a — 6 = -8 [/ latex] истинным утверждением, мы нашли решение этого уравнения.
В следующем видео мы покажем больше примеров того, как решать линейные уравнения с целыми числами, используя свойства равенства и сложения и вычитания.

Смоделируйте свойство разделения равенства
Все уравнения, которые мы решили до сих пор, имели вид [латекс] x + a = b [/ latex] или [latex] x-a = b [/ latex].Мы смогли изолировать переменную, добавляя или вычитая постоянный член. Теперь посмотрим, как решать уравнения с делением.
Смоделируем уравнение с конвертами и счетчиками.

Здесь два одинаковых конверта с одинаковым количеством счетчиков. Помните, что левая сторона рабочего пространства должна равняться правой стороне, но счетчики на левой стороне «спрятаны» в конвертах. Так сколько жетонов в каждом конверте?
Для определения количества разделите счетчики с правой стороны на [латекс] 2 [/ латекс] группы одинакового размера.Итак, счетчики [latex] 6 [/ latex], разделенные на группы [latex] 2 [/ latex], означают, что в каждой группе должно быть счетчиков [latex] 3 [/ latex] (поскольку [latex] 6 \ div2 = 3 [/ latex] ]).
Какое уравнение моделирует ситуацию, показанную на рисунке ниже? Есть два конверта, и каждый содержит счетчики [latex] x [/ latex]. Вместе два конверта должны содержать в общей сложности 6 счетчиков [латекса] [/ латекса]. Таким образом, уравнение, моделирующее ситуацию, [латекс] 2x = 6 [/ латекс].

Мы можем разделить обе части уравнения на [латекс] 2 [/ латекс], как мы делали с конвертами и счетчиками.
[латекс] \ frac {2x} {\ color {red} {2}} = \ frac {6} {\ color {red} {2}} [/ latex]
[латекс] x = 3 [/ латекс]
Мы обнаружили, что каждый конверт содержит [латекс] \ text {3 счетчика.} [/ Latex] Это проверка? Мы знаем [latex] 2 \ cdot 3 = 6 [/ latex], так что это работает. Три фишки в каждом из двух конвертов равны шести.
Другой пример показан ниже.

Теперь у нас есть [latex] 3 [/ latex] одинаковых конверта и [latex] \ text {12 счетчиков.} [/ Latex] Сколько счетчиков в каждом конверте? Мы должны разделить [latex] \ text {12 counter} [/ latex] на [latex] \ text {3 группы.} [/ latex] Поскольку [latex] 12 \ div 3 = 4 [/ latex], в каждом конверте должно быть [latex] \ text {4 counter} [/ latex].

Уравнение, моделирующее ситуацию: [латекс] 3x = 12 [/ латекс]. Мы можем разделить обе части уравнения на [латекс] 3 [/ латекс].
[латекс] \ frac {3x} {\ color {red} {3}} = \ frac {12} {\ color {red} {3}} [/ latex]
[латекс] x = 4 [/ латекс]
Это проверяет? Это так, потому что [латекс] 3 \ cdot 4 = 12 [/ латекс].
Выполнение задания по манипуляционной математике «Свойство деления равенства» поможет вам лучше понять, как решать уравнения с помощью свойства равенства деления.
пример
Напишите уравнение, состоящее из конвертов и счетчиков, а затем решите его.
Решение
Слева есть неизвестные значения [latex] \ text {4,} [/ latex] или [latex] 4 [/ latex], которые соответствуют [latex] \ text {8 counters} [/ latex] справа. Назовем неизвестное количество в конвертах [латекс] х [/ латекс].
Напишите уравнение. [латекс] 4x = 8 [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 4 [/ латекс]. [латекс] \ frac {4x} {\ color {красный} {4}} [/ латекс]
Упростить. [латекс] x = 2 [/ латекс]
В каждом конверте есть [latex] \ text {2 counter} [/ latex].
попробуйте
Напишите уравнение, моделируемое конвертами и счетчиками. Тогда реши это.
[латекс] 4x = 12 [/ латекс]; [латекс] x = 3 [/ латекс]
Напишите уравнение, моделируемое конвертами и счетчиками. Тогда реши это.
[латекс] 3x = 6 [/ латекс]; [латекс] x = 2 [/ латекс]
Решите уравнения, используя свойство деления равенства
Предыдущие примеры ведут к свойству разделения равенства. Когда вы разделите обе части уравнения на любое ненулевое число, вы все равно получите равенство.
Свойство Равенства деления
[латекс] \ begin {array} {ccc} \ text {Для любых чисел} & a, b, c, \ text {and} & c \ ne 0, \\ \ hfill \ text {Если } & a = b \ text {then} & \ frac {a} {c} = \ frac {b} {c}.\ end {array} [/ latex]
пример
[латекс] \ text {Решить:} 7x = -49 [/ latex].
Показать решение
Решение
Чтобы изолировать [latex] x [/ latex], нам нужно отменить умножение.
[латекс] 7x = -49 [/ латекс]
Разделите каждую сторону на [латекс] 7 [/ латекс]. [латекс] \ frac {7x} {\ color {red} {7}} = \ frac {-49} {\ color {red} {7}} [/ latex]
Упростить. [латекс] x = -7 [/ латекс]
Проверьте решение.
[латекс] 7x = -49 [/ латекс]
Замените x [латекс] −7 [/ latex]. [латекс] 7 \ left (-7 \ right) \ stackrel {?} {=} — 49 [/ latex]
[латекс] -49 = -49 [/ латекс]
Следовательно, [латекс] -7 [/ латекс] является решением уравнения.
пример
Решить: [латекс] -3y = 63 [/ латекс].
Показать решение
Решение
Чтобы выделить [latex] y [/ latex], нам нужно отменить умножение.
[латекс] -3y = 63 [/ латекс]
Разделите каждую сторону на [латекс] −3 [/ латекс]. [латекс] \ frac {-3y} {\ color {red} {- 3}} = \ frac {63} {\ color {red} {- 3}} [/ latex]
Упростить [латекс] y = -21 [/ латекс]
Проверьте решение.
[латекс] -3y = 63 [/ латекс]
Заменить y на [латекс] −21 [/ латекс]. [латекс] -3 \ слева (-21 \ справа) \ stackrel {?} {=} 63 [/ латекс]
[латекс] 63 = 63 [/ латекс]
Поскольку это верное утверждение, [latex] y = -21 [/ latex] является решением уравнения.
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть больше примеров того, как использовать свойства деления и умножения для решения уравнений с целыми числами.

Решать уравнения с помощью целых чисел; Свойство деления равенства — предалгебра
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
Определить, является ли целое число решением уравнения
Решите уравнения с целыми числами, используя свойства сложения и вычитания равенства
Смоделируйте свойство разделения равенства
Решите уравнения, используя свойство деления равенства
Переведите в уравнение и решите
Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Переведите в алгебраическое выражение меньше
Если вы пропустили эту задачу, просмотрите (рисунок).
Решайте уравнения с целыми числами, используя свойства равенства и вычитания
В разделе «Решение уравнений со свойствами равенства» для вычитания и сложения мы решили уравнения, аналогичные двум показанным здесь, с использованием свойств равенства для «вычитания» и «сложения».Теперь мы можем снова использовать их с целыми числами.
Когда вы прибавляете или вычитаете одну и ту же величину из обеих частей уравнения, вы все равно получаете равенство.
Свойства равенств
Свойство равенства вычитания Дополнительное свойство равенства

Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решите уравнения, используя свойство деления равенства
Предыдущие примеры ведут к свойству разделения равенства.Когда вы разделите обе части уравнения на любое ненулевое число, вы все равно получите равенство.
Раздел Собственность равенства
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Решить:
Упражнения по разделам
Самопроверка
ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.
ⓑ В целом, посмотрев контрольный список, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующей главе? Почему или почему нет?
Упражнения для повторения главы
Введение в целые числа
Найдите положительные и отрицательные числа в числовой строке
В следующих упражнениях найдите и пометьте целое число в числовой строке.
Порядок положительных и отрицательных чисел
В следующих упражнениях закажите каждую из следующих пар чисел, используя или
Найти противоположности
В следующих упражнениях найдите противоположность каждого числа.
В следующих упражнениях упростите.
ⓐ
ⓑ
ⓐ
ⓑ
Оцените в следующих упражнениях.
Упростить абсолютные значения
В следующих упражнениях упростите.
Оцените в следующих упражнениях.
В следующих упражнениях введите каждую из следующих пар чисел.
В следующих упражнениях упростите.
Преобразование фраз в выражения с целыми числами
В следующих упражнениях переведите каждую из следующих фраз в выражения с положительными или отрицательными числами.
противоположность
противоположность
отрицательный
минус минус
температура ниже нуля
возвышение ниже уровня моря
Сложить целые числа
Модель Сложение целых чисел
В следующих упражнениях смоделируйте следующее, чтобы найти сумму.
Упростить выражения с помощью целых чисел
В следующих упражнениях упростите каждое выражение.
Вычислить выражения переменных с целыми числами
В следующих упражнениях оцените каждое выражение.
Перевод словосочетаний в алгебраические выражения
В следующих упражнениях переведите каждую фразу в алгебраическое выражение, а затем упростите.
10 + [−5 + (−6)] = −1
Добавить целые числа в приложения
В следующих упражнениях решите.
Температура В понедельник высокая температура в Денвере была выше, чем во вторник. Какая была высокая температура во вторник?
Кредит задолженность Фриды по кредитной карте. Потом она заряжала больше. Каков был ее новый баланс?
Вычесть целые числа
Модель вычитания целых чисел
В следующих упражнениях смоделируйте следующее.

5

7
Упростить выражения с помощью целых чисел
В следующих упражнениях упростите каждое выражение.
Вычислить выражения переменных с целыми числами
В следующих упражнениях оцените каждое выражение.
Перевод фраз в алгебраические выражения
В следующих упражнениях переведите каждую фразу в алгебраическое выражение, а затем упростите.
разница
вычесть из
Вычесть целые числа в приложениях
В следующих упражнениях решите указанные приложения.
Температура Однажды утром температура в Бангоре, штат Мэн была ниже. К полудню она упала. Какова была дневная температура?
Температура 4 января высокая температура в Ларедо, штат Техас, была высокой, а в Хоултоне, штат Мэн, была максимальная температура. Какая разница в температуре в Ларедо и Холтоне?
Умножение и деление целых чисел
Умножение целых чисел
В следующих упражнениях умножайтесь.
Разделить целые числа
В следующих упражнениях разделите.
Упростить выражения с помощью целых чисел
В следующих упражнениях упростите каждое выражение.
Вычислить выражения переменных с целыми числами
В следующих упражнениях оцените каждое выражение.
Перевод словосочетаний в алгебраические выражения
В следующих упражнениях переведите на алгебраическое выражение и, если возможно, упростите.
произведение и
частное и сумма и
Решать уравнения с помощью целых чисел; Разделение собственности равенства
Определить, является ли число решением уравнения
В следующих упражнениях определите, является ли каждое число решением данного уравнения.
Использование свойств равенства и сложения и вычитания
В следующих упражнениях решите.
Модель разделения собственности равенства
В следующих упражнениях напишите уравнение, смоделированное конвертами и счетчиками. Тогда реши это.
Решите уравнения, используя свойство равенства деления
В следующих упражнениях решите каждое уравнение, используя свойство деления равенства, и проверьте решение.
Переведите в уравнение и решите.
В следующих упражнениях переведите и решите.
Четыре больше чем
Повседневная математика
Опишите, как вы использовали две темы из этой главы в своей жизни за пределами урока математики в течение последнего месяца.
Глава Практический тест
Найдите и отметьте и на числовой строке.
В следующих упражнениях сравните числа, используя
ⓐ
ⓑ
ⓐ
ⓑ
В следующих упражнениях найдите противоположность каждого числа.
ⓐ
ⓑ
В следующих упражнениях упростите.
Оцените в следующих упражнениях.
В следующих упражнениях переведите каждую фразу в алгебраическое выражение, а затем, если возможно, упростите.
разница −7 и −4
частное и сумма и
В следующих упражнениях решите.
Однажды рано утром температура в Сиракузах была ниже. К полудню она поднялась. Какая была температура в полдень?
Коллетт задолжала по кредитной карте.Затем она списала. Каков был ее новый баланс?
В следующих упражнениях решите.
В следующих упражнениях переведите и решите.
y — 8 = −32; y = −24
Поиск целых чисел в алгебраических уравнениях
Целые числа включают любое целое число , указанное в числовой строке. Они также включают любое отрицательное число, которое попадает в числовую строку.Целые числа строго положительны. Целые числа не включают ничего, что является дробной или десятичной дробью.
Например:
-4 — целое число.
0 — целое число.
5,3 не является целым числом.
Стоит отметить, что некоторые люди по-разному учат целые числа. Некоторые не верят, что 0 — это целое число и что целые числа автоматически включают отрицательные числа. Если этот критерий применим к вам, просто измените определение целого числа, представленное здесь.
Это так просто! Так же легко найти их в алгебраических уравнениях. Это потому, что целые числа — это просто элементы, добавленные к математическим уравнениям. Поскольку их можно легко идентифицировать, не возникает вопросов, когда вы сталкиваетесь с ними, за исключением, может быть, случаев, когда они скрыты в переменной.
Части алгебраического уравнения
Алгебраическое уравнение включает в себя более сложные элементы, чем ваше основное арифметическое уравнение. Также называемые алгебраическими выражениями, они используют переменные, целые числа и другие числа, а также по крайней мере одну алгебраическую операцию.
Пример:
2x + 3y (15-3) = 30
Переменные в уравнении: x и y . Переменные заменяют числа, которые мы должны решить. Мы еще не знаем, является ли переменная целым числом или нет. Помните, что целые числа не включают дроби и десятичные дроби.
Коэффициент — число, на которое мы умножаем нашу переменную — для члена 2x равно 2. Для 3y это 3.
Наши алгебраические операции включают сложение (+), вычитание (-) и умножение ( 3y (15-3) … ).
Однако мы можем сразу идентифицировать целые числа в нашем уравнении. Это 2, 3, 15 и 30.
Выявление переменной
Есть только один способ определить, является ли переменная целым числом или нет, — это решить уравнение. Не каждая проблема, которую вы решите, предоставит вам значения переменных. Фактически, вы, скорее всего, будете создавать свои собственные алгебраические уравнения, в которых вам нужно будет найти переменную в реальной жизни.Особенно это актуально при расчете прибыли. Вы можете использовать любую переменную для представления своего значения.
В данном случае a = 12 000 долларов (общая выручка) , b = 10 000,45 долларов (общие расходы) и c = прибыль .
a — b = c
Вставьте свои значения в приведенное выше уравнение прибыли.
12 000–10 000 долл. США 45 =
с.
Решите относительно c .
$ 1 999,55 = c
В этом случае c не представляет собой целое число.Если ваши значения не являются целыми числами и включают части — если в ваших долларах есть центы — если части не противоречат друг другу, ваша прибыль не будет целым числом.
Решение для значения переменной
Поскольку нам нужно решить, чтобы найти переменную, которая могла бы скрывать целое число, давайте изучим простой способ решения для переменной. В этом уравнении будут использоваться одинаковые термины с одной переменной.
14x + 13 (7 * 6) — 6x = 610
1. Объедините похожие термины
Во-первых, давайте объединим одинаковые члены в этом уравнении: 14x и -6x .Вы можете комбинировать их только тогда, когда переменная одинакова.
8x + 13 (7 * 6) = 610
2. Соблюдайте порядок действий
Следуя порядку операций, мы сначала решаем то, что указано в скобках, а затем умножаем.
8x + 13 (42) = 610
8x + 546 = 610
3. Изолировать переменную
Затем нам нужно начать изолировать переменную или удалить оставшиеся числа и коэффициент из левой части уравнения.Правило гласит, что все, что сделано с одной стороной уравнения, должно быть сделано и с другой. В этом случае мы вычтем 546 с обеих сторон.
8x = 64
Наконец, чтобы полностью изолировать переменную, разделите 8x на 8 и 64 на 8 .
х = 8
4. Подтвердите свой ответ
Согласно этому ответу наша переменная является целым числом. Давайте докажем наше уравнение, поместив переменную в уравнение и найдя результат 610.
14 (8) + 13 (7 * 6) — 6 (8) = 610
112 + 13 (42) — 48
112 + 546 — 48
658 — 48 = 610
Наше целое работает!
Заключение
Поиск целых чисел в алгебраических уравнениях — это все о знании того, что считается целым числом, а что нет. Это также зависит от вашей способности решать переменные. Опять же, никогда не предполагайте, что переменные являются целыми числами. Случаев, когда это не так, очень много.
См. 1 комментарий ниже.
3.5: Решение уравнений с целыми числами II
Мы возвращаемся к решению уравнений с целыми числами, только на этот раз уравнения будут немного более продвинутыми, требующими использования свойства распределения и умения комбинировать одинаковые термины. Давай начнем.
Пример 1
Решить для x : 7 x — 11 x = 12.
Раствор
Объедините похожие термины.
\ [\ begin {align} 7x-11x = 12 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ = 4x = 12 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Объедините похожие термины: } 7x-11x = -4x.} \ End {выровнено} \ nonumber \]
Чтобы отменить эффект умножения на −4, разделите обе части последнего уравнения на −4.
\ [\ begin {align} \ frac {-4x} {- 4} = \ frac {12} {- 4} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -4.} \\ x = -3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить:} 12 / (- 4) = -3.} \ end {align} \ nonumber \]
Чек
Заменим −3 вместо x в исходном уравнении.
\ [\ begin {align} 7x-11x = 12 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 7 (-3) -11 (-3) = 12 ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Substitute} -3 \ text {for} x.} \\ -21 + 33 = 12 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева сначала умножьте.}} \\ 12 = 12 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева добавить.}} \ end {align} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, −3 является решением исходного уравнения.
Упражнение
Решите относительно x : −6 x -5 x = 22.
Ответ
х = −2
Пример 2
Решите относительно x : 12 = 5 x — (4 + x ).
Раствор
Чтобы получить отрицательное значение в сумме, отрисуйте каждый член в сумме (замените каждый член на противоположный). Таким образом, — (4 + x ) = −4 — x .
\ [\ begin {align} 12 = 5x — (4 + x) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 12 = 5x — 4 — x ~ & \ textcolor {red} {- (4 + x) = — 4-x.} \\ 12 = 4x-4 ~ & \ textcolor {red} {\ text { Объедините похожие термины:} 5x — x = 4x.} \ End {align} \ nonumber \]
Чтобы отменить эффект вычитания 4, прибавьте 4 к обеим сторонам последнего уравнения.
\ [\ begin {align} 12 + 4 = 4x-4 + 4 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавить 4 с обеих сторон.}} \\ 16 = 4x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]
Чтобы отменить эффект умножения на 4, разделите обе части последнего уравнения на 4.
\ [\ begin {align} \ frac {16} {4} = \ frac {4x} {4} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 4.}} \\ 4 = x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить: 16/4 = 4.} \ end {align}]
Чек
Замените 4 на x в исходном уравнении.
\ [\ begin {align} 12 = 5x — (4 + x) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 12 = 5 (4) — (4 + 4) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить 4 на} x.} \\ 12 = 20 — 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Справа 5 (4) = 20 и оценить}} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {круглые скобки:} 4 + 4 = 8.} \\ 12 = 12 ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Упростить.}} \ End {align} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, 4 является решением исходного уравнения.
Упражнение
Решить относительно x : 11 = 3 x — (1 — x )
Ответ
x = 3
Переменные на обеих сторонах
Переменные могут встречаться по обе стороны уравнения.
Гол
Выделите члены, содержащие переменную, которую вы решаете, на одной стороне уравнения.
Пример 3
Решить для x : 5 x = 3 x — 18.
Раствор
Чтобы изолировать переменные на одной стороне уравнения, вычтите 3 x из обеих частей уравнения и упростите.
\ [\ begin {align} 5x = 3x-18 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 5x-3x = 3x-18-3x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract} 3x \ text {с обеих сторон.}} \\ 2x = -18 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Объедините похожие термины:} 5x — 3x = 2x} \\ ~ & \ textcolor {red} {\ text {и} 3x — 3x = 0.} \ end {align} \ nonumber \]
Обратите внимание, что теперь переменная изолирована в левой части уравнения. Чтобы отменить эффект умножения на 2, разделите обе части последнего уравнения на 2.
\ [\ begin {align} \ frac {2x} {2} = \ frac {-18} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2.}} \\ x = -9 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify:} -18/2 = = -9.} \ end {align} \ nonumber \]
Чек
Замените −9 на x в исходном уравнении.
\ [\ begin {align} 5x = 3x — 18 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 5 (-9) = 3 (-9) -18 ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Substitute} -9 \ text {for} x.} \\ -45 = -27-18 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножьте с обеих сторон.}} \\ -45 = -45 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть справа:} -27 — 18 = -45.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, −9 является решением исходного уравнения.
Упражнение
Решить для x : 4 x — 3 = x
Ответ
х = 1
Пример 4
Решите для x : 5 x = 3 + 6 x .
Раствор
Чтобы изолировать переменные на одной стороне уравнения, вычтите 6 x из обеих частей уравнения и упростите.
\ [\ begin {align} 5x = 3 + 6x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 5x — 6x = 3 + 6x — 6x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть} 6x \ text {с обеих сторон.}} \\ -x = 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Объедините похожие термины:} 5x — 6x = -x} \\ ~ & \ textcolor {красный } {\ text {и} 6x — 6x = 0.} \ end {align} \ nonumber \]
Обратите внимание, что теперь переменная изолирована в левой части уравнения.
Есть несколько способов завершить это решение.Помните, что — x то же самое, что (−1) x , поэтому мы могли бы отменить эффект умножения на −1, разделив обе части уравнения на −1. Умножение обеих частей уравнения на -1 будет работать одинаково хорошо. Но, возможно, самый простой способ продолжить — просто отрицать обе части уравнения.
\ [\ begin {выровнено} — (- x) = -3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Игнорировать обе стороны.}} \\ x = -3 ~ & \ textcolor {red} {\ text { Упростить:} — (- x) = x.} \ End {align} \ nonumber \]
Чек
Замените −3 на x в исходном уравнении.
\ [\ begin {align} 5x = 3 + 6x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 5 (-3) = 3 + 6 (-3) ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Substitute} -3 \ text {for} x.} \\ -15 = 3-18 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножьте с обеих сторон.}} \\ -15 = — 15 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть справа:} 3-8 = -15.} \ End {align} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, −3 является решением исходного уравнения.
Упражнение
Решить для x : 7 x = 18 + 9 x
Ответ
х = -9
Работа с −x.
Если ваше уравнение имеет вид
— x = c ,
, где c — некоторое целое число, обратите внимание, что это эквивалентно уравнению (-1) x = c . Следовательно, разделив обе части на −1, мы получим решение для x . Умножение обеих частей на -1 работает одинаково хорошо. Однако, пожалуй, проще всего перевернуть каждую сторону, получив
— (- x ) = — c , что эквивалентно x = — c .
Пример 5
Решите относительно x : 6x — 5 = 12x + 19.
Раствор
Чтобы изолировать переменные на одной стороне уравнения, вычтите 12x из обеих частей уравнения и упростите.
\ [\ begin {align} 6x-5 = 12x + 19 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 6x-5-12x = 12x + 19 — 12x ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Subtract} 12x \ text {с обеих сторон.}} \\ -6x — 5 = 19 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Объедините похожие термины:} 6x-12x = -6x} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {и} 12x-12x = 0.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]
Обратите внимание, что теперь переменная изолирована в левой части уравнения. Затем, чтобы «отменить» вычитание 5, прибавьте 5 к обеим частям уравнения.
\ [\ begin {align} -6x -5 + 5 = 19 + 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавьте 5 с обеих сторон.}} \\ -6x = 24 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить:} -5 + 5 = 0 \ text {и} 19 + 5 = 24.} \ end {align} \ nonumber \]
Наконец, чтобы «отменить» умножение на −6, разделите обе части уравнения на −6.
\ [\ begin {align} \ frac {-6x} {- 6} = \ frac {24} {- 6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -6.} \\ x = -4 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify:} 24 / (- 6) = — 4.} \ end {align} \ nonumber \]
Проверить. Заменим −4 вместо x в исходном уравнении
\ [\ begin {align} 6x-5 = 12x + 19 ~ & \ textcolor {red} {Исходное уравнение.}} \\ 6 (-4) -5 = 12 (-4) +19 ~ & \ textcolor { red} {\ text {Substitute} -4 \ text {for} x.} \\ -24-5 = -48 + 19 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножьте с обеих сторон.}} \\ -29 = -29 ~ & \ textcolor {red} {Добавить:} -24 — 5 = -29 \ text {и} -48 + 19 = -29.} \ End {align} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, −4 является решением исходного уравнения.
Упражнение
Решить для x : 2 x + 3 = 18 — 3 x
Ответ
x = 3
Пример 6
Решите относительно x : 2 (3 x + 2) — 3 (4 — x ) = x + 8.
Раствор
Используйте свойство распределения, чтобы удалить скобки в левой части уравнения.
\ [\ begin {align} 2 (3x + 2) -3 (4-x) = x + 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 6x + 4 — 12 + 3x = x + 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Используйте свойство распределения.}} \\ 9x — 8 = x + 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Объедините похожие термины:} 6x + 3x = 9x} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {и} 4-12 = -8.} \ End {align} \ nonumber \]
Изолируйте переменные слева, вычтя x из обеих частей уравнения
\ [\ begin {align} 9x-8 -x = x + 8 — x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть} x \ text {с обеих сторон.}} \\ 8x — 8 = 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Объедините похожие термины:} 9x-x = 8x} \\ ~ & \ textcolor {red} {\ text {и} xx = 0. } \ конец {выровнено} \ nonumber \]
Обратите внимание, что теперь переменная изолирована в левой части уравнения. Затем, чтобы «отменить» вычитание 8, прибавьте 8 к обеим частям уравнения.
\ [\ begin {align} 8x-8 + 8 = 8 + 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавьте 8 с обеих сторон.}} \\ 8x = 16 ~ & \ textcolor {red} {\ текст {Упростить:} -8 + 8 = 0 \ text {и} 8 + 8 = 16.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]
Наконец, чтобы «отменить» умножение на 8, разделите обе части уравнения на 8.
\ [\ begin {align} \ frac {8x} {8} = \ frac {16} {8} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 8.}} \\ x = 2 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify:} 16/8 = 2.} \ end {align} \ nonumber \]
Проверить. Замените 2 на x в исходном уравнении.
\ [\ начало {выровнено} \ конец {выровнено} \ nonumber \]
Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, 2 является решением исходного уравнения.
Упражнение
Решите для x : 3 (2 x — 4) — 2 (5 — x ) = 18
Ответ
x = 5
Упражнения
В упражнениях 1–16 решите уравнение.
1. −9x + x = −8
2. 4x — 5x = −3
3. −4 = 3x — 4x
4. −6 = −5x + 7x
5. 27x + 51 = −84
6. −20x + 46 = 26
7.9 = 5x + 9 — 6x
8. −6 = x + 3 — 4x
9. 0 = −18x + 18
10. 0 = −x + 71
11. 41 = 28x + 97
12. −65 = −x — 35
13. 8x — 8 — 9x = −3
14. 6x + 7 — 9x = 4
15. −85x + 85 = 0
16. 17x — 17 = 0
В упражнениях 17-34 решите уравнение.
17. −6x = −5x — 9
18. −5x = −3x — 2
19. 6x — 7 = 5x
20. 3x + 8 = −5x
21.4x — 3 = 5x — 1
22. х — 2 = 9х — 2
23. −3x + 5 = 3x — 1
24. −5x + 9 = −4x — 3
25. −5x = −3x + 6
26. 3x = 4x — 6
27. 2x — 2 = 4x
28. 6x — 4 = 2x
29. −6x + 8 = −2x
30. 4x — 9 = 3x
31. 6x = 4x — 4
32. −8x = −6x + 8
33. −8x + 2 = −6x + 6
34. −3x + 6 = −2x — 5
В упражнениях 35-52 решите уравнение.
35.1 — (х — 2) = −3
36. 1 — 8 (x — 8) = 17
37. −7x + 6 (x + 8) = −2
38. −8x + 4 (x + 7) = −12
39,8 (−6x — 1) = −8
40. −7 (−2x — 4) = −14
41. −7 (−4x — 6) = −14
42. −2 (2x + 8) = −8
43. 2 — 9 (x — 5) = −16
44. 7-2 (x + 4) = −1
45. 7x + 2 (x + 9) = −9
46. −8x + 7 (x — 2) = −14
47,2 (−x + 8) = 10
48,2 (−x — 2) = 10
49.8 + 2 (х — 5) = −4
50. −5 + 2 (x + 5) = −5
51. 9x — 2 (x + 5) = −10
52. −8x — 5 (x — 3) = 15
В упражнениях 53-68 решите уравнение.
53,4 (−7x + 5) + 8 = 3 (−9x — 1) — 2
54. −4 (−x + 9) + 5 = — (- 5x — 4) — 2
55. −8 (−2x — 6) = 7 (5x — 1) — 2
56,5 (−4x — 8) = −9 (−6x + 4) — 4
57,2 (2x — 9) + 5 = −7 (−x — 8)
58. −6 (−4x — 9) + 4 = −2 (−9x — 8)
59.6 (−3x + 4) — 6 = −8 (2x + 2) — 8
60. −5 (5x — 9) — 3 = −4 (2x + 5) — 6
61. 2 (−2x — 3) = 3 (−x + 2)
62. −2 (7x + 1) = −2 (3x — 7)
63. −5 (−9x + 7) + 7 = — (- 9x — 8)
64,7 (−2x — 6) + 1 = 9 (−2x + 7)
65,5 (5x — 2) = 4 (8x + 1)
66,5 (−x — 4) = — (- x + 8)
67. −7 (9x — 6) = 7 (5x + 7) — 7
68. −8 (2x + 1) = 2 (−9x + 8) — 2
Ответы
1. 1
3.4
5. −5
7. 0
9. 1
11–2
13. −5
15. 1
17. 9
19. 7
21–2
23. 1
25. −3
27. −1
29. 2
31. −2
33. −2
35. 6
37,50
39. 0
41. −2
43. 7
45. −3
47. 3
49. −1
51.0
53. 33
55. 3
57,23
59. 21
61. −12
63. 1
65,2
67. 0
одношаговых уравнений с целыми числами — предалгебра
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
3.5 Решать уравнения с помощью целых чисел; Свойство разделения на равенство — Предалгебра 2e
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
Определить, является ли целое число решением уравнения
Решите уравнения с целыми числами, используя свойства сложения и вычитания равенства
Смоделируйте свойство разделения равенства
Решите уравнения, используя свойство деления равенства
Переведите в уравнение и решите
Будьте готовы 3.10
Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.
Вычислить x + 4, когда x = −4. Вычислить x + 4, когда x = −4.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 3.22.
Будьте готовы 3.11
Решить: y − 6 = 10. Решить: y − 6 = 10.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 2.33.
Будьте готовы 3.12
Перевести в алгебраическое выражение 55 меньше x.x.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Таблицу 1.3.
Определить, является ли число решением уравнения
В разделе «Решение уравнений со свойствами равенства» вычитания и сложения мы увидели, что решение уравнения — это значение переменной, которая делает истинное утверждение при подстановке в это уравнение.В этом разделе мы нашли решения, которые были целыми числами. Теперь, когда мы поработали с целыми числами, мы найдем целочисленные решения уравнений.
Шаги, которые мы предпринимаем, чтобы определить, является ли число решением уравнения, одинаковы, независимо от того, является ли решение целым или целым числом.
How To
Как определить, является ли число решением уравнения.
Шаг 1. Подставьте номер переменной в уравнение.
Шаг 2.Упростите выражения с обеих сторон уравнения.
Шаг 3. Определите, истинно ли полученное уравнение.
Если это правда, число является решением.
Если это не так, число не решение.
Пример 3.60
Определите, является ли каждое из следующих решений 2x − 5 = −13: 2x − 5 = −13:
ⓐx = 4x = 4
ⓑx = −4x = −4
ⓒx = −9.x = −9.
Решение
Поскольку x = 4x = 4 не приводит к истинному уравнению, 44 не является решением уравнения.
Поскольку x = −4x = −4 приводит к истинному уравнению, −4−4 является решением этого уравнения.
ⓒ Подставьте -9 вместо x в уравнение, чтобы определить, истинно ли оно.
Заменим −9 вместо x.
Умножить.
Вычесть.
Поскольку x = −9x = −9 не приводит к истинному уравнению, −9−9 не является решением уравнения.
Попробовать 3.119
Определите, является ли каждое из следующего решения 2x − 8 = −14: 2x − 8 = −14:
ⓐx = −11x = −11
ⓑx = 11x = 11
ⓒx = −3x = −3
Попробовать 3.120
Определите, является ли каждое из следующего решения 2y + 3 = −11: 2y + 3 = −11:
ⓐy = 4y = 4
ⓑy = −4y = −4
ⓒy = −7y = −7
Решайте уравнения с целыми числами, используя свойства равенства и вычитания
В разделе «Решение уравнений со свойствами равенства» для вычитания и сложения мы решили уравнения, аналогичные двум показанным здесь, с использованием свойств равенства для «вычитания» и «сложения».Теперь мы можем снова использовать их с целыми числами.
Когда вы прибавляете или вычитаете одну и ту же величину из обеих частей уравнения, вы все равно получаете равенство.
Свойства равенств
Равенство вычитания Дополнительное свойство равенства
Для любых чисел a, b, c, Для любых чисел a, b, c,
ifa = bthena − c = b − c. Ifa = bthena − c = b − c. Для любых чисел a, b, c, Для любых чисел a, b, c, 90 152 ifa = bthena + c = b + c.если a = bthena + c = b + c.
Пример 3.61
Решение
Вычтите 9 с каждой стороны, чтобы отменить сложение.
Упростить.
Проверьте результат, подставив −4−4 в исходное уравнение.
y + 9 = 5y + 9 = 5
Заменить −4 вместо y −4 + 9 =? 5−4 + 9 =? 5
5 = 5 ✓ 5 = 5 ✓
Поскольку y = −4y = −4 делает y + 9 = 5y + 9 = 5 истинным утверждением, мы нашли решение этого уравнения.
Попробовать 3,122
Решить:
y + 15 = −4y + 15 = −4
Пример 3.62
Решите: a − 6 = −8a − 6 = −8
Решение
Решение a − 6 = −8a − 6 = −8 равно −2. − 2.
Поскольку a = −2a = −2 делает утверждение a − 6 = −8a − 6 = −8 истинным, мы нашли решение этого уравнения.
Попробовать 3.123
Решить:
a − 2 = −8a − 2 = −8
Попробовать 3.124
Решить:
n − 4 = −8n − 4 = −8
Смоделируйте свойство разделения равенства
Все уравнения, которые мы решили до сих пор, имели форму x + a = bx + a = b или x − a = b.х-а = б. Мы смогли изолировать переменную, добавляя или вычитая постоянный член. Теперь посмотрим, как решать уравнения с делением.
Мы смоделируем уравнение с огибающими и счетчиками на рис. 3.21.
Рисунок 3.21
Здесь два одинаковых конверта с одинаковым количеством счетчиков. Помните, что левая сторона рабочего пространства должна равняться правой стороне, но счетчики на левой стороне «спрятаны» в конвертах. Так сколько жетонов в каждом конверте?
Чтобы определить количество, разделите счетчики с правой стороны на 22 группы одинакового размера.Таким образом, 66 счетчиков, разделенных на 22 группы, означает, что в каждой группе должно быть 33 счетчика (так как 6 ÷ 2 = 3). 6 ÷ 2 = 3).
Какое уравнение моделирует ситуацию, показанную на рис. 3.22? Есть два конверта, в каждом по хх счетчиков. Вместе два конверта должны содержать в общей сложности 66 фишек. Таким образом, уравнение, моделирующее ситуацию, имеет вид 2x = 6,2x = 6.
Рисунок 3.22
Мы можем разделить обе части уравнения на 22, как мы делали с конвертами и счетчиками.
Мы обнаружили, что каждый конверт содержит по 3 фишки.3 счетчика. Это проверяет? Мы знаем, что 2 · 3 = 6,2 · 3 = 6, так что это работает. Три фишки в каждом из двух конвертов равны шести.
На рис. 3.23 показан другой пример.
Рисунок 3.23
Теперь у нас 33 одинаковых конверта и 12 фишек. 12 фишек. Сколько фишек в каждом конверте? Мы должны разделить 12 счетчиков12 счетчиков на 3 группы. 3 группы. Так как 12 ÷ 3 = 4,12 ÷ 3 = 4, в каждом конверте должно быть 4 счетчика4 счетчика. См. Рисунок 3.24.
Рисунок 3.24
Уравнение, моделирующее ситуацию: 3x = 12,3x = 12. Мы можем разделить обе части уравнения на 3,3.
Это проверяет? Это так, потому что 3 · 4 = 12,3 · 4 = 12.
Манипулятивная математика
Выполнение упражнения по манипулятивной математике «Свойство деления равенства» поможет вам лучше понять, как решать уравнения с использованием свойства равенства деления.
Пример 3.63
Напишите уравнение, состоящее из конвертов и счетчиков, а затем решите его.
Решение
Есть 4 конверта, 4 конверта или 44 неизвестных значения слева, которые соответствуют 8 счетчикам 8 счетчикам справа. Назовем неизвестную величину в конвертах x.x.
Напишите уравнение.
Разделите обе стороны на 4.
Упростить.
По 2 счетчика2 счетчика в каждом конверте.
Попробовать 3,125
Напишите уравнение, моделируемое конвертами и счетчиками. Тогда реши это.
Попробуйте 3,126
Напишите уравнение, моделируемое конвертами и счетчиками. Тогда реши это.
Решите уравнения, используя свойство деления равенства
Предыдущие примеры ведут к свойству разделения равенства. Когда вы разделите обе части уравнения на любое ненулевое число, вы все равно получите равенство.
Подразделение Равноправия
Для любых чисел a, b, c и c ≠ 0, если a = bthenac = bc.Для любых чисел a, b, c и c ≠ 0, если a = bthenac = bc.
Пример 3.64
Решить: 7x = −49 Решить: 7x = −49.
Решение
Чтобы изолировать x, x, нам нужно отменить умножение.
Разделите каждую сторону на 7.
Упростить.
Проверьте решение.
7x = -497x = -49
Заменить x на −7. 7 (−7) =? — 497 (−7) =? — 49
−49 = −49 ✓ −49 = −49 ✓
Следовательно, −7−7 является решением уравнения.
Пример 3.65
Решите: −3y = 63. − 3y = 63.
Решение
Чтобы выделить y, y, нам нужно отменить умножение.
Разделим каждую сторону на −3.
Упростить
Проверьте решение.
−3y = 63−3y = 63
Заменить y на −21. −3 (−21) =? 63−3 (−21) =? 63
63 = 63 ✓63 = 63 ✓
Поскольку это верное утверждение, y = −21y = −21 является решением уравнения.
Попробовать 3,130
Решить:
−12м = 108−12м = 108
Перевести в уравнение и решить
В нескольких предыдущих примерах нам давали уравнение, содержащее переменную.В следующих нескольких примерах нам нужно сначала преобразовать словесные предложения в уравнения с переменными, а затем мы будем решать уравнения.
Пример 3.66
Переведите и решите: пять больше, чем xx, равно −3. − 3.
Решение
на пять больше xx равно −3−3
Перевести х + 5 = -3x + 5 = -3
Вычтем 55 с обеих сторон. x + 5−5 = −3−5x + 5−5 = −3−5
Упростить. х = -8х = -8
Проверьте ответ, подставив его в исходное уравнение.
x + 5 = −3−8 + 5 =? — 3−3 = −3 ✓x + 5 = −3−8 + 5 =? — 3−3 = −3 ✓
Попробовать 3.131
Перевести и решить:
Семь больше xx равно −2−2.
Попробовать 3.132
Перевести и решить:
На одиннадцать больше, чем на 2, на одиннадцать больше, чем на 2,
Пример 3.67
Переведите и решите: разница между nn и 66 равна −10.−10.
Решение
разница nn и 66 составляет −10−10
Перевести. п − 6 = −10n − 6 = −10
Добавьте 66 с каждой стороны. п − 6 + 6 = −10 + 6n − 6 + 6 = −10 + 6
Упростить. п = -4n = -4
Проверьте ответ, подставив его в исходное уравнение.
n − 6 = −10−4−6 =? — 10−10 = −10 ✓n − 6 = −10−4−6 =? — 10−10 = −10 ✓
Попробуй 3.133
Перевести и решить:
Разница между пп и 22 составляет −4−4.
Попробовать 3.134
Перевести и решить:
Разница между qq и 77 составляет −3−3.
Пример 3.68
Переведите и решите: число 108108 является произведением −9−9 и y.y.
Решение
число 108108 является произведением −9−9 и yy
Перевести. 108 = −9y108 = −9y
Разделим на −9−9. 108−9 = −9y − 9108−9 = −9y − 9
Упростить. −12 = y − 12 = y
Проверьте ответ, подставив его в исходное уравнение.
108 = −9y108 =? — 9 (−12) 108 = 108 ✓108 = −9y108 =? — 9 (−12) 108 = 108 ✓
Попробовать 3.135
Перевести и решить:
Число 132132 — произведение −12−12 и yy.
Попробуй 3.136
Перевести и решить:
Число 117117 — произведение −13−13 и zz.
Раздел 3.5 Упражнения
Практика ведет к совершенству
Определите, является ли число решением уравнения
В следующих упражнениях определите, является ли каждое число решением данного уравнения.
285.
4x − 2 = 64x − 2 = 6
ⓐx = −2x = −2
ⓑx = −1x = −1
ⓒx = 2x = 2
286.
4y − 10 = −144y − 10 = −14
ⓐy = −6y = −6
ⓑy = −1y = −1
ⓒy = 1y = 1
287.
9a + 27 = −639a + 27 = −63
ⓐa = 6a = 6
ⓑa = −6a = −6
ⓒa = −10a = −10
288.
7c + 42 = -567c + 42 = -56
ⓐ c = 2c = 2
ⓑ c = −2c = −2
ⓒ c = −14c = −14
Решите уравнения, используя свойства сложения и вычитания равенства
В следующих упражнениях найдите неизвестное.
297.
х + (- 2) = — 18x + (- 2) = — 18
298.
г + (- 3) = — 10 лет + (- 3) = — 10
299.
r — (- 5) = — 9r — (- 5) = — 9
300.
с — (- 2) = — 11 с — (- 2) = — 11
Смоделируйте свойство равенства деления
В следующих упражнениях напишите уравнение, смоделированное с помощью конвертов и счетчиков, а затем решите его.
302. 304.
Решите уравнения, используя свойство равенства деления
В следующих упражнениях решите каждое уравнение, используя свойство равенства деления, и проверьте решение.
Переведите в уравнение и решите
В следующих упражнениях переводите и решайте.
317.
Четыре больше чем nn равно 1.
318.
Девять больше мм равно 5.
319.
Сумма восьми и пп равняется −3−3.
320.
Сумма двух и qq равна −7−7.
321.
Разница между aa и тремя составляет −14−14.
322.
Разница между bb и 55 составляет −2−2.
323.
Число −42 — произведение −7 и xx.
324.
Число −54 — произведение −9 и yy.
325.
Произведение -15 и ff равно 75.
326.
Произведение −18 и gg равно 36.
327.
−6 плюс куб.см равно 4.
328.
−2 плюс dd равно 1.
329.
Девять меньше, чем мм, равно −4.
330.
Тринадцать меньше nn равно −10−10.
Смешанная практика
Решите следующие упражнения.
331.
ⓐx + 2 = 10x + 2 = 10
ⓑ2x = 102x = 10
332.
ⓐy + 6 = 12y + 6 = 12
ⓑ6y = 126y = 12
333.
ⓐ − 3p = 27−3p = 27
ⓑp − 3 = 27p − 3 = 27
334.
ⓐ − 2q = 34−2q = 34
ⓑq − 2 = 34q − 2 = 34
Повседневная математика
347.
Упаковка печенья Пакет из 51 печенья51 печенье содержит 33 одинаковых ряда печенья. Найдите количество печенья в каждой строке c, c, решив уравнение 3c = 51,3c = 51.
348.
Класс детского сада В классе детского сада Конни 24 ребенка, 24 ребенка. Она хочет, чтобы они попали в 44 равные группы.Найдите количество детей в каждой группе g, g, решив уравнение 4g = 24,4g = 24.
Письменные упражнения
349.
Полезно ли моделирование свойства равенства деления с помощью огибающих и счетчиков для понимания того, как решить уравнение 3x = 15? 3x = 15? Объясните, почему да или почему нет.
350.
Предположим, вы используете конверты и счетчики для моделирования решения уравнений x + 4 = 12x + 4 = 12 и 4x = 12,4x = 12. Объясните, как вы решите каждое уравнение.
351.
Фрида начала решать уравнение −3x = 36−3x = 36, добавляя 33 к обеим частям.Объясните, почему метод Фриды не решает уравнение.
352.
Рауль начал решать уравнение 4y = 404y = 40, вычитая 44 из обеих частей. Объясните, почему метод Рауля не решает уравнение.
Самопроверка
ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении задач этого раздела.
ⓑ В целом, посмотрев контрольный список, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующей главе? Почему или почему нет?
Решение уравнений над неотрицательными целыми числами
Решение уравнений над неотрицательными целыми числами

Математический факультет Университета штата Иллинойс
MAT 305: Темы комбинаторики для K-8 Учителя
Ищем количество способов решения уравнений типа когда мы можем используйте только неотрицательные целые числа в качестве слагаемых в таких уравнениях.Здесь две проблемы, чтобы представить нашу работу:
Проблема № 1 : Если у нас есть неограниченный запас монет, никели, десять центов и четвертинки, сколько есть способов собрать вместе 6 монет, если:
а) допустимо отсутствие каких-либо конкретных монета?
б) у нас должно быть хотя бы по 1 монете каждого типа?
Проблема № 2 : Сэнди Софтнакл страдает легкой формой болезни. обсессивно-компульсивного расстройства.Сэнди особенно очарована со способами организовать обеденные салфетки для официальных вечеринок. Предполагая У Сэнди неограниченный запас салфеток зеленого, белого и красного цветов. сколькими способами Сэнди может создать набор из 20 салфеток, если:
а) не иметь салфеток определенного цвет?
б) должна быть хотя бы одна салфетка каждого цвета?
в) должно быть более 3 салфеток каждого цвета?
Каждая из этих проблем — это конкретный случай, который мы стремимся решить. уравнение, использующее некоторое подмножество неотрицательных целых чисел в качестве набор решений.Для первой версии проблемы с монетами мы ограничено положительными целыми числами. Для последней версии таблицы проблема салфеток, у нас должны быть решения со значением 4 или больше.
Также важно объединить наши усилия для решения этих проблемы с нашим еще не отвеченным вопросом о количестве собраны члены в разложении многочлена . Хотя вы можете пока не вижу сходства между этими двумя классами проблем, стратегия решения аналогична.
Монеты в стопке
В первой версии проблемы с монетами мы хотим определить количество способов собрать 6 монет, состоящих из пенсов, nuckels, dimes и четверти, с уверенностью, что есть по крайней мере, по одной монете каждого типа.
Одно из решений — иметь 3 пенни и по 1 пенни каждого другого типа. монет. Мы могли бы выразить это как {3,1,1,1}, где каждая позиция в набор представляет собой тип монеты по порядку {пенни, никели, десятицентовики, четвертинки}.Другое решение — {2,1,2,1}, требующее 2 пенни, 1 монета, 2 центов и 1 четверть. Обратите внимание, что мы не озабочены расстановкой монет или порядком, который у нас может быть получил их. Наше внимание сосредоточено на сборке монет.
Чтобы разработать комбинаторный аргумент для решения задачи, рассмотрите рисунок ниже.
Круги представляют шесть монет, которые мы должны собрать, изначально из неизвестный тип. Три разделителя будут использоваться для создания четырех групп. монет, потому что три разделителя образуют четыре группы, как показано со словом центов , центов , центов и кварталов среди делителей.
Где разместить разделители? Пять вопросительных знаков среди монет есть места, где мы можем разместить разделители. Вот парой способов сделать это. Верхний рисунок иллюстрирует решение {1,2,2,1}, или 1 пенни, 2 никеля, 2 центов и 1 четверть. Дно На рисунке показано решение {2,1,1,2}.
Чтобы подсчитать количество способов размещения разделителей, мы подсчитываем комбинации из 5 вещей, взятых по 3 за раз. То есть из числа 5 вопросительные знаки, мы выбираем 3 места для размещения 3 разделителей.Это важно понимать, что у нас на единицу меньше места для разделителей, чем общее количество объектов и что нам нужно на один делитель меньше, чем мы иметь разные типы объектов.
В целом, для n всего объектов k различных типов, существует C (n-1, k-1) способов сборки n всего объектов из типов k , уверяя, что у нас будет на не менее 1 объектов каждого типа.
Это также стратегия решения для ответа на следующие вопрос:
Что делать, если 0 возможен для одного или нескольких типы объектов?
Вторая версия проблемы с монетами ослабила ограничение на необходимое количество каждого типа объекта, чтобы было возможно не иметь ни одного из одного или нескольких типов объектов.Поэтому мы можем иметь {0,0,0,6} и {0,2,3,1} как решения, где записи в каждом наборе представляют собой количество пенсов, пятак, десятицентовиков и четвертаков, соответственно.
Что касается предметов и разделителей, то у нас осталось 6 прежних и три последних. Однако на этот раз разделители могут быть соседний. Вот иллюстрации двух решений под новым условие. Первый — {0,3,0,3}, а второй — {1,0,0,5}.
Эффективный способ рассмотреть это в комбинаторных терминах — это рассматривайте монеты и разделители как один большой набор предметов.Есть 9! = P (9,9) способов расставить 9 объектов. Без ограничения по договорённостям, учитываем все возможные способы разделители могут быть размещены среди монет. Потому что разделители неразличимы и потому что мы рассматриваем объекты как одно class, прежде чем мы разделим их, мы должны разделить на 3! = P (3,3) и 6! = P (6,6). Таким образом, имеется 9! / (3! 6!) Способов расставить разделители. среди монет или в контексте проблемы есть 9! / (3! 6!) Разных способов собрать 6 монет 4-х типов при условии, что у нас может быть 0 одного или нескольких типов.
Мы можем выразить это значение как комбинацию, так как С (п, г) = п! / (Г! (П-г)!).

	[латекс] y + 9 = 5 [/ латекс]
Вычтите [латекс] 9 [/ латекс] с каждой стороны, чтобы отменить сложение.	[латекс] y + 9 \ color {red} {- 9} = 5 \ color {red} {- 9} [/ latex]
Упростить.	[латекс] y = -4 [/ латекс]

	[латекс] y + 9 = 5 [/ латекс]
Заменить [латекс] −4 [/ латекс] на y	[латекс] -4 + 9 \ stackrel {?} {=} 5 [/ латекс]
	[латекс] 5 = 5 [/ латекс]

	[латекс] a-6 = -8 [/ латекс]
Добавьте [латекс] 6 [/ латекс] с каждой стороны, чтобы отменить вычитание.	[латекс] a-6 \ color {red} {+ 6} = — 8 \ color {red} {+ 6} [/ latex]
Упростить.	[латекс] a = -2 [/ латекс]
Проверьте результат, подставив [латекс] -2 [/ латекс] в исходное уравнение:	[латекс] a-6 = -8 [/ латекс]
Заменитель [латекс] -2 [/ латекс] на [латекс] а [/ латекс]	[латекс] -2-6 \ stackrel {?} {=} — 8 [/ латекс]
	[латекс] -8 = -8 [/ латекс]

Напишите уравнение.	[латекс] 4x = 8 [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 4 [/ латекс].	[латекс] \ frac {4x} {\ color {красный} {4}} [/ латекс]
Упростить.	[латекс] x = 2 [/ латекс]

	[латекс] 7x = -49 [/ латекс]
Разделите каждую сторону на [латекс] 7 [/ латекс].	[латекс] \ frac {7x} {\ color {red} {7}} = \ frac {-49} {\ color {red} {7}} [/ latex]
Упростить.	[латекс] x = -7 [/ латекс]

	[латекс] 7x = -49 [/ латекс]
Замените x [латекс] −7 [/ latex].	[латекс] 7 \ left (-7 \ right) \ stackrel {?} {=} — 49 [/ latex]
	[латекс] -49 = -49 [/ латекс]

	[латекс] -3y = 63 [/ латекс]
Разделите каждую сторону на [латекс] −3 [/ латекс].	[латекс] \ frac {-3y} {\ color {red} {- 3}} = \ frac {63} {\ color {red} {- 3}} [/ latex]
Упростить	[латекс] y = -21 [/ латекс]

	[латекс] -3y = 63 [/ латекс]
Заменить y на [латекс] −21 [/ латекс].	[латекс] -3 \ слева (-21 \ справа) \ stackrel {?} {=} 63 [/ латекс]
	[латекс] 63 = 63 [/ латекс]

ⓒ Подставьте -9 вместо x в уравнение, чтобы определить, истинно ли оно.

Заменим −9 вместо x.
Умножить.
Вычесть.


Вычтите 9 с каждой стороны, чтобы отменить сложение.
Упростить.

	y + 9 = 5y + 9 = 5
Заменить −4 вместо y	−4 + 9 =? 5−4 + 9 =? 5
	5 = 5 ✓ 5 = 5 ✓

Напишите уравнение.
Разделите обе стороны на 4.
Упростить.


Разделите каждую сторону на 7.
Упростить.

	7x = -497x = -49
Заменить x на −7.	7 (−7) =? — 497 (−7) =? — 49
	−49 = −49 ✓ −49 = −49 ✓


Разделим каждую сторону на −3.
Упростить

	−3y = 63−3y = 63
Заменить y на −21.	−3 (−21) =? 63−3 (−21) =? 63
	63 = 63 ✓63 = 63 ✓

	на пять больше xx равно −3−3
Перевести	х + 5 = -3x + 5 = -3
Вычтем 55 с обеих сторон.	x + 5−5 = −3−5x + 5−5 = −3−5
Упростить.	х = -8х = -8

	разница nn и 66 составляет −10−10
Перевести.	п − 6 = −10n − 6 = −10
Добавьте 66 с каждой стороны.	п − 6 + 6 = −10 + 6n − 6 + 6 = −10 + 6
Упростить.	п = -4n = -4

	число 108108 является произведением −9−9 и yy
Перевести.	108 = −9y108 = −9y
Разделим на −9−9.	108−9 = −9y − 9108−9 = −9y − 9
Упростить.	−12 = y − 12 = y