Решение иррациональных неравенств и уравнений: Урок 20. иррациональные уравнения и неравенства — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Комментарий. Сущность процесса решения уравнений можно описать следующим образом: исходное уравнение упрощается посредством определенных преобразований, т.е. выстраивается цепочка от исходного к некоторому итоговому уравнению, решение которого очевидно или способ (алгоритм) решения которого хорошо известен. При этом возможны три типа преобразований, три принципиально разные ситуации.

1. Применяемые в процессе решения преобразования таковы, что множества корней исходного и итогового уравнений совпадают; в этом случае исходное и итоговое уравнения называют равносильными; соответствующие преобразования также называют равносильными.

2. Применяемые в процессе решения преобразования таковы, что множество корней итогового уравнения «шире», чем множество корней исходного уравнения; в этом случае говорит, что в процессе решения применены неравносильные преобразования, которые могли привести к появлению посторонних корней.

3. Применяемые в процессе решения преобразования таковы, что множество корней итогового уравнения «уже», чем множество корней исходного уравнения; в этом случае говорят, что в процессе решения применены неравносильные преобразования, которые могли привести к потере корней.

Проиллюстрируем сказанное примерами.

Пример 6.1.

а) Дано уравнение:

Перепишем уравнение, разложив на множители знаменатели:

Умножим обе части уравнения на выражение x² + 4; это равносильное преобразование, т.к. x² + 4 ≠ 0 при любом значении х:

б) Дано уравнение:

Возведем обе его части в квадрат:

Так как , то получаем . Множество корней этого уравнения — все действительные числа. При этом простая проверка показывает, что отрицательное число не может быть корнем исходного уравнения. Таким образом, в процессе решения были применены неравносильные преобразования и появились посторонние корни. Действительно, возведение обоих частей уравнения в четную степень является равносильным преобразованием только в том случае, если обе части уравнения неотрицательны.

в) Дано уравнение: x² — 2х – 3 = 4х + 5 + x².

Перепишем уравнение, разложив квадратные трехчлены на множители:

(х + 1)(х — 3) = (5 — х)(х + 1).

Разделим обе части уравнения на выражение х + 1 : х – 3 = 5 — х.

Последнее уравнение имеет единственный корень х = 4, в то время как исходное уравнение имеет два корня: x₁ = 4 и x₂ = -1. Таким образом, в процессе решения уравнения было применено неравносильное преобразование, которое привело к потере корней. Действительно, проводя деление на выражение х + 1, мы не потребовали, чтобы х + 1 ≠ 0.

Как видно из примеров неравносильные преобразования могут стать причиной неверного решения уравнения, привести к ошибке. Так может быть запретить неравносильные преобразования?! Можно запретить. Это один из возможных подходов. Он снимает проблему посторонних и потерянных корней, но приводит, как правило, к некоторому техническому усложнению процесса решения уравнения: появляются смешанные системы (уравнение и неравенство) и совокупности таких систем.

Так, уравнение из примера 6.1, б равносильно совокупности:

Уравнение x² — 2х – 3 = 4х + 5 — x² из примера 6.1, в равносильно совокупности

Рассмотренные совокупности решаются просто, но в более сложных случаях обязательное соблюдение условия равносильности преобразований может привести к серьезным техническим трудностям, сделать решение слишком ветвящимся и громоздким. Поэтому, не будем строго запрещать применение любых неравносильных преобразований. Все ли они одинаково опасны? Понятно, что более опасны неравносильные преобразования, приводящие к потере корней. В примере 6.1, в нам удалось легко понять причину потери корня и исправиться, но в большинстве случаев потерянные корни отыскать весьма трудно (заметим также, что малоопытный решающий, а абитуриент часто именно таков, может вовсе не заметить факта потери корня, и не будет пытаться его отыскать, хотя это, может быть, и получилось бы).

Итак, на не равносильные преобразования, приводящие к потере корней, мы накладываем строгий и категорический запрет. При решении уравнений, таким образом, мы не будем применять деление обеих частей уравнения на выражение, обращающееся в ноль в области определения уравнения, и не будем применять преобразования, приводящие к сужению области определения уравнения.

Что же касается, неравносильных преобразований, приводящих к появлению посторонних корней, то такие преобразования вполне допустимы. Но при этом, обязательным заключительным этапом решения должна быть проверка всех найденных в итоге корней. Заметим, что тактика проверки зависит непосредственно от класса уравнений (рациональные, иррациональные, логарифмические и т.д.), ибо в каждом случае свои причины появления посторонних корней. В этой связи, тактика проверки конечно должна быть гибкой, но можно пользоваться и универсальным приемом: подстановка всех корней итогового уравнения в исходное с последующим вычислением или «прикидкой».

Пример 6.2.

Решим уравнение:

Комментарий. При решении этого уравнения будем придерживаться стратегии, допускающей неравносильные преобразования при обязательной проверке корней. Решая уравнения вида, следует перед возведением в квадрат уединить один из корней, перенеся его в правую часть уравнения. Уединить можно любой из корней, и в большинстве случаев, все равно какой. Но иногда уединение определенного корня приводит к более простому решению, чем уединение других. Поэтому всегда следует анализировать ситуацию в указанном аспекте.

Решение

В нашем уравнение сумма коэффициентов при х в первом и третьем подкоренных выражениях равна коэффициенту при х во втором подкоренном выражении. Поэтому уединить целесообразно именно корень . Полученное после возведения в квадрат уравнение будет содержать х только под корнем. Если бы мы уединяли любой из других корней, то после возведения в квадрат получали бы уравнения, содержащие х и под корнем, и вне корня, что менее удобно для последующего решения.

Итак, имеем:

Комментарий. При решении иррационального уравнения мы осуществляем так называемую рационализацию уравнения, т.е. избавляемся от радикалов (корней). Но, избавляясь от корней, мы избавляемся и от ограничений на подкоренные выражения: Иными словами, происходит расширение области определения уравнения. Это причина появления посторонних корней. Поэтому все корни итогового уравнения, полученного в ходе решение, следует проверить на принадлежность области определения исходного уравнения. В нашем случае область определения исходного уравнения задается системой:

Решив эту систему, получаем область определения уравнения:

Очевидно, что  — посторонний корень, появившийся в процессе решения из-за применения неравносильных преобразований, приведших к расширению области определения уравнения, а x₂ = 0 —– принадлежит области определения уравнения и является его корнем (что легко проверить непосредственной подстановкой).

Ответ: х = 0.

Комментарий. Но единственная ли причина появления посторонних корней при решении иррациональных уравнений с радикалами четной степени — расширение области определения исходного уравнения? Не кроется ли в возведении обеих частей уравнения в четную степень еще одна, менее очевидная, но не менее опасная в смысле ошибки, причина появления посторонних корней?

Пример 6.3.

а) Решим уравнение:

При решении этого уравнения будем придерживаться стратегии, допускающей неравносильные преобразования, т.е. возведем обе части уравнения в квадрат, решим полученное рациональное уравнение и сделаем проверку корней.

Итак,

Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

Пусть х = -1, тогда левая часть исходного уравнения равна -6. Таким образом, х = -1 — посторонний для исходного уравнения корень, появившийся в процессе решения из-за применения неравносильных преобразований. Пусть теперь, х = 7. Тогда исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Исходное уравнение, таким образом, имеет единственный корень х = 7.

б) Решим теперь уравнение (его чрезвычайно, малое отличие от предыдущего уравнения очевидно).

Поступая так же, как в случае «а», получаем:

Итоговое уравнение имеет такие же корни, что и уравнение из случая «а». Проверим их подстановкой в исходное уравнение . Пусть х = -1, тогда исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Пусть, далее, х = 7. Тогда левая часть исходного уравнения равна -2. Таким образом, х = 7 — посторонний для исходного уравнения корень.

В процессе решения следствием уравнений «а», «б» является одно и тоже уравнение имеющее два корня: x₁ = -1 и x₂ = 7. Корень x₁ = -1 — есть корень уравнения «б», но посторонний для уравнения «а»; корень x₂ = 7 — наоборот, корень уравнения «а», посторонний для уравнения «б».

В каждом из случаев «а» и «б» корни, оказавшиеся посторонними, принадлежат области определения данного уравнения. Значит, расширение области определения исходного уравнения — не единственная причина появления посторонних корней. В чем же дело? Заметим, что и в случае «а», и в случае «б» при подстановке в исходное уравнение корень, оказывающийся посторонним, приводит к ситуации: левая и правая части уравнения равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Это не случайно. Уравнение является следствием не только уравнения , но и следствием уравнения . Какие следует сделать из этого выводы?

Во-первых, поскольку появление посторонних корней при решении иррациональных уравнений, содержащих радикалы четной степени может быть и не связано с областью определения исходного уравнения, то и проверка корней не может осуществляться только по области определения, или условиям ее задающим.

Во-вторых, проверка корней иррационального уравнения, должна учитывать обе причины появления посторонних корней; универсальный прием, как уже говорилось, состоит в непосредственной подстановке в исходное уравнение, но могут быть реализованы и другие подходы.

1. Сначала отсечь те корни, которые не принадлежат области определения исходного уравнения, а оставшиеся проверить непосредственной подстановкой во все уравнения левая и правая части которых возводились в квадрат в процессе решения.

2. Опять же исключить все корни, не принадлежащие области определения, а затем проанализировать все случаи возведения в квадрат обеих частей уравнения, выделить те случаи, где было нарушено условие равносильности:

   Далее только в эти уравнения подставить корни итогового уравнения, принадлежащие области определения исходного уравнения.

3. Если решать иррациональные уравнения, применяя только равносильные преобразования, то в каждом случае возведения в квадрат следует предусматривать условие равносильности, сформулированное выше, и изначально следует зафиксировать условия, задающие область определения исходного уравнения.

Рассмотрим схемы равносильных преобразований для иррациональных уравнений основных видов.

Заметим, что важно, конечно, не выучить наизусть эти схемы, а понять их, уметь самостоятельно составлять схемы равносильности для других случаев.

Не надо думать, что в процессе решения иррационального уравнения обязательно появляются посторонние корни. Рассмотрим пример.

Пример 6.4.

Решим уравнение:

Решение

Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем 1 + 3х = x² + 2х + 1, т.е. уравнение x² – х = 0. Его корни x₁ = 0 и x₂ = 1. Подставляя каждый из найденных корней в исходное уравнение, убеждаемся, что оба они являются его корнями.

Пример 6.5.

Решим уравнение:

Решение

Уединим радикалы:

Возведем обе части уравнения в квадрат (дважды):

Корни последнего уравнения:

Далее следует провести проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями т.е. 1 ≤ x ≤ 3. Как нетрудно проверить, полагая приближенно равным 1,7, что оба корня x₁ и x₂ принадлежат области определения исходного уравнения. Значит, если среди x₁ и x₂ есть посторонний корень, то причина его появления связана с нарушением условия равносильного возведения обеих частей уравнения в квадрат. Ясно, также, что первое из проделанных в данном решении возведений в квадрат — равносильное преобразование, поэтому если и появились посторонние корни, то при возведении в квадрат обеих частей уравнения Непосредственной подстановкой именно в это уравнение проверим наши корни x₁ и x₂.

Итак, пусть тогда:

Мы пришли к верному числовому равенству. Значит  — корень данного уравнения.

Пусть теперь

Тогда

Ясно, что левая часть уравнения отрицательна, а правая положительна. Поэтому  — посторонний корень.

Пример 6.6.

Решим уравнение:

Распределим радикалы следующим образом:

Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные слагаемые:

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Проведем проверку корней. Сразу замечаем, что корень не имеет смысла при x = -0,5. Поэтому единственный возможный корень исходного уравнения — это х = 2, удовлетворяющий всем условиям области определения. Поскольку, возводя обе части уравнения в квадрат, мы всякий раз соблюдали условие равносильности, то х = 2 — единственный корень исходного уравнения.

Пример 6.7.

Решим уравнение: .

При решении этого уравнения покажем применение метода введения новой переменной при решении иррациональных уравнений.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Пусть теперь , тогда уравнение можно переписать в виде:

.

Это уравнение имеет два корня: . Таким образом, следствием исходного уравнения является совокупность систем:

.

Решим первую систему совокупности.

Обозначим: и .

Тогда имеем:

Таким образом,

Корни этой совокупности систем:

Аналогично, решая вторую систему исходной совокупности, получаем:

.

Пример 6.8.

Решим уравнение:

Подкоренные выражения и представляют из себя полные квадраты:

Тогда:

Пусть , тогда уравнение можно переписать в виде:

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат, затем воспользуемся тождеством и формулой разности квадратов:

Если у = 0, то , т.е. х = 1. Если у = 2, то , т.е. х = 5. Если у = 1, то , т.е. х = 2. Если у = -1, то уравнение не имеет корней.

Непосредственной подстановкой в исходное уравнение всех найденных значений х, приходим к выводу, что только х = 5 является корнем данного уравнения.

Рассмотрим далее примеры решения иррациональных уравнений с корнями степени, большей, чем вторая.

Пример 6.9.

Решим уравнение:

Перераспределим радикалы

Возведем обе части уравнения в третью степень:

Выражение в скобках, очевидно, есть — , т.е.:

Снова возведем обе части уравнения в третью степень:

Далее имеем:

В процессе решения, был применен прием, связан ный с заменой суммы на выражение , что могло привести к появлению посторонних корней (такой вывод позволяет сделать определенная искусственность этого приема). Поэтому проверим все найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Если х = -2, то исходное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Для подстановки значений возьмем приближенное значение: Тогда и .

Если х = -0,4, то:

Ясно, что это числовое равенство неверно, поскольку все три значения корней положительны, а сумма положительных чисел не может быть равна 0.

Если х = -2,6, то:

Ясно, что эта сумма не может быть равна 0, т.к. уже Заметим, что довольно часто, «прикидка» при проверки корней позволяет сделать необходимый вывод на определенном промежуточном этапе вычислений, и доводить их до явного числового равенства или неравенства совсем не обязательно (это снова к вопросу о гибкой тактике проверки корней).

Таким образом, х = -2 — единственный корень данного уравнения.

Ответ: -2.

Комментарий. Запишем в общем виде прием решения, рассмотренный в этом примере:

По аналогичной схеме решаются уравнения вида .

Большие трудности у абитуриентов вызывают иррациональные уравнения, содержащие радикалы разных степеней. Рассмотрим примеры.

Пример 6.10.

а) Решим уравнение: .

Это уравнение легко рационализируется возведением обеих его частей в шестую степень:

И далее:

Подстановкой выясняем, что только х = 2 является корнем данного уравнения.

б) Решим уравнение:

В этом случае возведение обеих частей уравнения в шестую степень уже нецелесообразно. Проведем замену переменных.

Пусть и тогда a + b = 1. Возведем в куб первое уравнение системы ,и в квадрат второе уравнение этой системы; затем почлено сложим полученные уравнения. В итоге получаем: a³ + b² = 1.

Таким образом, имеем систему уравнений:

Решая ее, получаем: т.е. совокупность систем:

В итоге Непосредственная подстановка в исходное уравнение показывает, что среди этих корней нет посторонних.

Комментарий. Заметим, что описанный в случае «б» прием является достаточно распространенным. Рассмотрим его применение при решении уравнений с радикалами высших степеней.

Пример 6.11.

Решим уравнение:

Пусть Тогда . Возведем в четвертую степень обе части каждого из уравнений системы , и почленно сложим полученные уравнения. В итоге получаем:

Таким образом, имеем систему уравнений:

Это симметрическая система уравнений, стандартно решающаяся заменой переменных a + b = y и ab = z.

Имеем корни: . Отсюда x₁ = 2, x₂ = 6. Проверка показывает, что это действительно корни данного уравнения.

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 6.

Пример 6.12.

Решим уравнение:

Аналогично предыдущему примеру получаем симметрическую систему относительно переменных и :

Корни этой системы легко угадываются: Далее получаем корни исходного уравнения: x₁ = 1 и x₂ = 32.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 32.

Комментарий. Рассмотрим далее несколько примеров решения иррациональных неравенств. Все они, как мы уже обсуждали, решаются применением исключительно равносильных преобразований. Поэтому приведем схемы основных равносильных переходов ().

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

Комментарий. Представленные схемы принципиально не изменяются, если исходно рассматривать нестрогие неравенства.

Пример 6.13.

Решим неравенство:

Решение

Применим схему V:

Таким образом, решение неравенства:

Ответ: 

Пример 6.14.

Решим неравенство:

Решение

Применим схему III:

Таким образом, решение неравенства:

Ответ: 

Пример 6.15.

Решим неравенство:

Решение

Перераспределим радикалы: и, воспользовавшись в качестве принципиального ориентира схемой I, получаем:

Таким образом, решение неравенства: [4, 5).

Ответ: [4, 5).

Пример 6.16.

Решим неравенство:

Решение

Преобразуем первую дробь, и будем решать неравенство, применяя метод введения новой переменной:

Таким образом, решение неравенства: (2, 8).

Ответ: (2, 8).

Пример 6.17.

Решим неравенство:

На этом примере мы также как и в предыдущем случае посмотрим особенности применения метода введения новой переменной при решении иррациональных неравенств.

Пусть , тогда Таким образом:

Итак, решение неравенства:

Ответ: 

Комментарий. Можно было решить это неравенство и без применения метода введения новой переменной, рассмотрев отдельно (в совокупности) случаи, задаваемые условиями х > 0 и x < 0. Приводим запись такого решения:

Результат, естественно не зависит от способа решения:

В заключение рассмотрим пример решения иррационального неравенства с двумя переменными (группа С).

Пример 6.18.

Решим неравенство:

Решение

Пусть , тогда неравенство можно записать в виде:

По известной нам схеме это неравенство равносильно системе:

Итак, условия должны выполняться одновременно, т.е. должна выполняться система:

Из нее следует, что т.е. Это означает, что y = 0.

Подставим найденное значение в исходное неравенство; получим неравенство, из которого следует, что x = 1.

Таким образом, решение данного неравенства: x = 1, y = 0.

Ответ: x = 1, y = 0

Решение иррациональных уравнений и неравенств 11 класс

Решение иррациональных уравнений и неравенств

Рекомендации выпускникам

школ и абитуриентам технических вузов

Учитель математики СОШ № 8

Погорелая О.И.

Содержание.

1. Введение

2. Основные правила

3. Иррациональные уравнения:

   • Решение иррациональных уравнений стандартного вида.

   • Решение иррациональных уравнений смешанного вида.

   • Решение сложных иррациональных уравнений.

4. Иррациональные неравенства:

   • Решение иррациональных неравенств стандартного вида.

   • Решение нестандартных иррациональных неравенств.

   • Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

5. Вывод

6. Список литературы

I. Введение

Я, Погорелая О.И., составила рекомендации для выпускников по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматривают, а на вступительных экзаменах эти задания часто встречаются.

В данной работе показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому мои рекомендации можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также ими можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.

II. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:

Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение = x – 2,

Решение.

= x – 2,

2x – 1 = x² – 4x + 4, Проверка:

x² – 6x + 5 = 0, х = 5, = 5 – 2,

x₁ = 5, 3 = 3

x₂ = 1 – постор. корень х = 1, 1 – 2 ,

Ответ: 5 пост. к. 1 -1.

б) Решить уравнение = х + 4,

Решение.

= х + 4,

Ответ: -1

в) Решить уравнение х – 1 =

Решение.

х – 1 =

х³ – 3х² + 3х – 1 = х² – х – 1,

х³ – 4х² + 4х = 0,

х(х² – 4х + 4) = 0,

х = 0 или х² – 4х + 4 = 0,

(х – 2)² = 0,

х = 2

Ответ: 0; 2.

г) Решить уравнение х – + 4 = 0,

Решение.

х – + 4 = 0,

х + 4 = , Проверка:

х² + 8х + 16 = 25х – 50, х = 11, 11 – + 4 = 0,

х² – 17х + 66 = 0, 0 = 0

х₁ = 11, х = 6, 6 – + 4 = 0,

х₂ = 6. 0 = 0.

Ответ: 6; 11.

Решение иррациональных уравнений смешанного вида:

а) Решить уравнение =

Решение.

= , _{– +}

x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

или

Ответ:

б) Решить уравнение

Решение.

, _{– +}

^x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

или

Ответ: .

а) Решить уравнение

Решение.

ОДЗ:

Пусть = t, t > 0

Сделаем обратную замену:

= 1/49, или = 7,

= ,

– (ур-ние не имеет решений) x = 3.

Ответ: 3

б) Решить уравнение

Решение.

Приведем все степени к одному основанию 2:

данное уравнение равносильно уравнению:

Ответ: 0,7

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в квадрат

3x – 5 – 2

2x – 2 = 2

x –1 =

x Проверка:

x x = 3,

4x 1 = 1.

x = 1,75
Ответ: 3.

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в куб

но , значит:

возведем обе части уравнения в куб

(25 + x)(3 – x) = 27,

Ответ: –24; 2.

а) Решить уравнение

Решение.

Пусть = t, тогда = , где t > 0

t –

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части в квадрат

Проверка: x = 2,5

Ответ: 2,5.

б) Решить уравнение

Решение.

Пусть = t, значит = , где t > 0

t+ t – 6 = 0,

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень

x + 8 = 16, Проверка:

x = 8, x = 2,

x = 2. 6 = 6

Ответ: 2.

в) Решить уравнение

Решение.

Пусть = t, где t > 0

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в квадрат

Проверка:

,

Ответ: –5; 2.

Решение сложных иррациональных уравнений:

Решить уравнение

Решение.

возведем обе части уравнения в куб

возведем обе части уравнения в квадрат

Пусть = t

t ²– 11t + 10 = 0,

Сделаем обратную замену: Проверка:

= 10, или = 1, x = ,

x = -пост. корень 0

Ответ: 1. x = 1,

1 = 1

а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg

Решение.

lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg,

lg(3 = lg,

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Ответ: 32,75

б) Решить уравнение

Решение.

Ответ: ; – 2; 3.

IV. Иррациональные неравенства

Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала).

Иррациональное неравенство вида равносильно системе неравенств:

Иррациональное неравенство вида равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:

и

Решение иррациональных неравенств стандартного вида:

а) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

_{+ – +}

Ответ: [1; 2). 1 3 x

б) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:

Ответ:

в) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: нет решений

Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:

а) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

б) Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

а) Решить неравенство

Решение.

Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

б) Решить неравенство (2x – 5)

Решение.

(2x – 5)

Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

Решить неравенство

Решение.

,

сгруппируем по два слагаемых

вынесем общий множитель за скобку

учитывая, что > 0 и правило знаков при умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: ( 0; 1 )

Решить неравенство

Решение.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

Решить неравенство

Решение.

Пусть = t, тогда = , t > 0

Сделаем обратную замену:

возведем в квадрат обе части неравенства

Ответ:

Решение иррациональных неравенств смешанного вида:

а) Решить неравенство

Решение.

,

т.к. y = 0,8^t , то

0,5x(x – 3) < 2,

0,5x² – 1,5x – 2 < 0,

x² – 3x – 4 < 0,

f(x) = x² – 3x – 4,

ОДЗ, _{+ – +}

Нули функции: x₁ = 4; x₂ = – 1. _{–1 4} x

Ответ: х

б) Решить неравенство 4– 2 < 2– 32

Решение.

4– 2 < 2– 32, ОДЗ: x > 0

2– 2 2 < 2 2⁴ – 2⁵, выполним группировку слагаемых

2(2– 2) – 2⁴(2–2) < 0,

(2– 2) (2– 2⁴) < 0, учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м системам:

или

т.к. y = 2^t , то т.к. y = 2^t , то

Ответ: х

Решить неравенство

Решение.

уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств

Ответ:

V. Вывод

Данные рекомендации помогут выпускникам средней школы научиться решать иррациональные уравнения и неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.

Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.

Этот материал может быть интересен и полезен выпускникам школ и абитуриентам технических вузов.

VI. Список литературы

1. Алгебра и начала анализа. Под редакцией А.Н. Колмогорова

2. 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин

3. Справочные материалы по математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович

4. Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави

5. Справочный материал

Решение иррациональных неравенств

Решение иррациональных неравенств

В этой статье я расскажу,  как решать иррациональные неравенства.

Сначала мы рассмотрим решение неравенства вида 

Чтобы его решить, нужно обе части неравенства возвести в квадрат и вовремя вспомнить об ОДЗ: подкоренное выражение меньшего из корней должно быть неотрицательным — тогда подкоренное выражение большего корня автоматически будет больше нуля. Таким образом, неравенство вида  равносильно системе неравенств:

Практически все сложные иррациональные неравенства, в конечном итоге сводятся к базовым иррациональным неравенствам двух типов.

Иррациональные неравенства первого типа: 

Заметим, что в левой части неравенства стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения, следовательно, чтобы неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной.

Получаем первое условие:

Чтобы решить неравенство, нам нужно обе части возвести в квадрат.

Получаем второе условие:

Возведение в квадрат может привести к появлению  посторонних корней, поэтому не забываем про ОДЗ: подкоренное выражение   должно быть неотрицательным.

Получили третье условие: 

Итак, неравенство вида  равносильно системе неравенств:

Аналогично, нестрогое неравенство   равносильно системе неравенств:

Иррациональные неравенства второго типа:   .

Не смотря на то, что это неравенство с виду похоже на неравенство первого типа, оно принципиально от него отличается.

Поскольку в левой части неравенства стоит квадратный корень, левая часть всегда неотрицательна, поэтому

Итак, неравенство вида  равносильно совокупности двух систем неравенств:

Нестрогое неравенство вида  равносильно совокупности:

.

Рассмотрим примеры решения иррациональных неравенств.

1. Решить неравенство:

Это неравенство второго типа, оно равносильно совокупности двух систем:

Решим каждое неравенство:

1.

D=1-8=-7, старший коэффициент больше нуля, следовательно это неравенство верно при любом значении х. Решением первой системы будет решение ее второго неравенства: x≥2.

2.   Очевидно, что это неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся вторая система не имеет решений.

Ответ: x≥2.

2. Решить неравенство:

Это иррациональное неравенство первого типа, и оно равносильно системе трех неравенств:

Решим каждое неравенство:

1. 

2. 

D=144-200<0, следовательно, это неравенство верно при любом значении х.

3. 

,  

Совместим решения первого и третьего неравенств системы на одной координатной прямой:

Ответ: 0≤ x ≤ 2.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Иррациональные уравнения и иррациональные неравенства

Сложность решения иррациональных уравнений

    _________
  \ / х + 8 = х + 2
 

Мы склонны возводить обе части уравнения в квадрат, но следующая эквивалентность неверна.

      _________
    \ / х + 8 = х + 2 х + 8 = (х + 2)  2 

  Действительно, -4 - решение

    х + 8 = (х + 2)  2 

   но это не решение
      _________
    \ / х + 8 = х + 2

   Очевидно, что следующее выражение верно._________
    \ / х + 8 = х + 2 => х + 8 = (х + 2)  2  

Тем не менее, мы будем решать иррациональные уравнения, возводя обе части в квадрат. Но мы должны знать, что возводя в квадрат, новое уравнение может иметь больше решений, чем исходное.
В конце удаляются «ложные решения».

Есть разные способы найти эти «ложные решения».Один из способов — заранее выстроить подходящее неравенство, чтобы найти «ложные решения». Мы здесь не следуем этому методу.
Самый простой способ — проверить каждое решение данного уравнения. Если данное уравнение не выполняется для этого решения, оно помечается как «ложное решение».

Воспользуемся этой процедурой для уравнения

      _________
    \ / х + 8 = х + 2

=> х + 8 = (х + 2)  2  ...

 х = 1 из х = -4
 

Некоторые примеры

•          _______
     1 + \ / х  2  -9 = х
        _______
   \ / х  2  -9 = х - 1
  
  => х  2 -9 = (х - 1)  2  

  После разработки и упрощения находим x = 5.
  Мы проверяем это значение и видим, что оно не является ложным.
  Исходное уравнение имеет решение x = 5.

•     _______ _______
    \ / 2х + 8 + \ / х + 5 = 7
  
        _______ _______
   \ / 2х + 8 = 7 - \ / х + 5
                      _______
  => 2x + 8 = (7 - \ / x + 5)  2 
  
   После разработки и упрощения
                     _______
      х - 46 = -14 \ / х + 5
  
   Снова возводя в квадрат, получаем
  
  => х  2  - 288 х + 1136 = 0
  
    с решениями 4 и 248.4 - единственное решение исходного уравнения.
   

•     _______ _______ _______
    \ / х + 3 + \ / х + 8 = \ / х + 24
  
   Мы квадратируем каждую сторону, а затем упрощаем
           ______________
  => 2 \ / (х + 3) (х + 8) = 13 - х
  
    Снова возводя в квадрат, получаем
  
  => 3x  2  + 70x - 73 = 0
  
    x = 1 - единственное решение исходного уравнения!
  
   

•      ______________ ______________
      / _______ / _______
    \ / х + \ / х + 11 + \ / х - \ / х + 11 = 4
  
    Мы квадратируем каждую сторону, а затем упрощаем
  
              _____________
  => х + \ / х  2  - х - 11 = 8
  
    Мы переносим x на правую сторону, а затем снова возводим в квадрат.Мы находим x = 5 как решение, и это решение не является ложным.
   

•   3 _______
    \ / 2x - 5 = 3
  
    По наличию кубического корня можно записать
  
    3 _______
    \ / 2x - 5 = 3 2 x - 5 = 27 x = 16
   

•      ________ _______
     \ / cos (2x) - \ / cos (x) = 0
  
        ________ _______
   \ / cos (2x) = \ / cos (x)
  
  => cos (2x) = cos (x)
  
      2x = x + 2 k pi или 2x = - x + 2 k pi
  
       x = 2 k pi или x = 2 k pi / 3
  
       x = 2 k pi или x = 2 pi / 3 + 2 k pi или x = 4 pi / 3 + 2 k pi
  
      x = 2 pi / 3 + 2 k pi и x = 4 pi / 3 + 2 k pi являются ложными решениями
  
  Единственные решения: x = 2 k pi
   

Упражнения

        _______
  3 + \ / 3x + 1 = x (Решение: 8)

    _______ _______
  \ / x + 27 - \ / x - 5 = 2 (Решение: 54)

    _______ _______
  \ / 7x + 2 - \ / 3x + 1 = 1 (Решение: 1)

     __________
    / ______ _______
  \ / 2 \ / x + 1 = \ / 3x - 5 (Решение: 3)
 

Дополнительные примеры в сети

Четырехшаговый метод

Вынесите все члены неравенства в левую часть.Это создает иррациональную функцию f (x) в левой части неравенства. Найдите область определения функции f (x).

шаг 2

Найдите нули иррациональной функции f (x).

шаг 3

Нарисуйте ось действительных чисел.
Исключить область, которая не принадлежит области f (x)
Отметить нули f (x) на оси.
Определите знак f (x) во всех промежуточных интервалах. Это можно сделать с помощью изображения простого x-значения.

шаг 4

По результату шага 3 вы можете прочитать набор решений неравенства.

Примеры

• х + 8> х + 2
  
  Шаг 1:
      _________
    \ / х + 8 - х - 2> 0
  
    Область определения функции f (x) в левой части равна [-8, + infty).
  
  Шаг 2:
  
    Решите уравнение
      _________
    \ / х + 8 - х - 2 = 0
  
    Решение - 1.
  
  Шаг 3: Определите знак f (x)
  
       х | -8 1
      --- | -----------------------------
     f (x) | //////////// + + + + 0 - - -
  
  Шаг 4:
  
     Множество решений неравенства [-8,1)
   

•     _______ _______
    \ / 2x + 8
   

•   3 _______
    \ / 2x - 5 р
  
    Единственный нуль функции f (x) равен 16.
  
    Знак расследования:
  
       х | 16
      --- | ------------------
     f (x) | - - - - 0 + + +
  
    Множество решений неравенства (-infty, 16)
   

Домашняя страница MATH-изобилие — урок

Указатель MATH-учебника

Условия копирования

Все предложения, замечания и отчеты об ошибках отправляйте по адресу jcinfo @ telenet.быть Тема письма должна содержать фламандское слово wiskunde. потому что другие письма фильтруются в корзину

Как решить это иррациональное неравенство с разными знаками?

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Подписаться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 3 года, 6 месяцев назад

Просмотрено 216 раз

Если неравенство умножается или делится на отрицательное число , результаты будут неравны в порядке , противоположном .

Пример 5 Решите относительно x и изобразите решение: -2x> 6

Решение

Чтобы получить x в левой части, мы должны разделить каждый член на — 2. Обратите внимание, что, поскольку мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства.

Обратите на этот факт особое внимание. Каждый раз, когда вы делите или умножаете на отрицательное число, вы должны изменять направление символа неравенства. Это единственное различие между решением уравнений и решением неравенств.

После того, как мы удалили круглые скобки и остались только отдельные члены в выражении, процедура поиска решения почти такая же, как в главе 2.

Давайте теперь рассмотрим пошаговый метод из главы 2 и отметим разницу при решении неравенств.

Первые Исключите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей. (Без изменений, когда мы умножаем на положительное число.)
Второй Упростите, комбинируя одинаковые члены с каждой стороны неравенства. (Без изменений)
Третий Сложите или вычтите количества, чтобы получить неизвестное с одной стороны и числа с другой.(Без изменений)
Четвертый Разделите каждый член неравенства на коэффициент неизвестной. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним. Если коэффициент отрицательный, неравенство будет отменено. (Это важное различие между уравнениями и неравенствами.)

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

• Литеральное уравнение — это уравнение, состоящее из более чем одной буквы.
• Символы являются символами неравенства или отношениями порядка .
• a a находится слева от b в строке действительного числа.
• Двойные символы: указывают, что конечные точки включены в набор решений .

Процедуры

• Чтобы решить буквальное уравнение для одной буквы через другие, выполните те же действия, что и в главе 2.
• Чтобы решить неравенство, используйте следующие шаги:
  Шаг 1 Исключите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей.
  Шаг 2 Упростите, объединив одинаковые термины с каждой стороны неравенства.
  Шаг 3 Сложите или вычтите величины, чтобы получить неизвестное с одной стороны и числа с другой.
  Шаг 4 Разделите каждый член неравенства на коэффициент неизвестной. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним.Если коэффициент отрицательный, неравенство будет отменено.
  Шаг 5 Проверьте свой ответ.
  

Иррациональные неравенства | Кубенс

Понятие иррационального неравенства

Определение: Иррациональное неравенство неравенство, которое содержит переменную под знаком корня -степени.

Решение иррациональных уравнений

Интервальные методы решения иррациональных неравенств

1. Найдите неравенство DHS.
2. Найти нули функции
3. Отменить нули функции в DHS и найти функцию знака на каждом из интервалов, разделяющих DHS.

Пример 1:

Уравнение Розварта:

Решение: Данное неравенство эквивалентно неравенству

Обозначим

DHS: т.е.

Нули: поставить в квадрат слева и справа

— корень находится вне корня.

Ответ:

Эквивалентное преобразование

1. При представлении обеих частей неравенства в нечетной степени (с сохранением знака неравенства) получаем неравенство, равносильное данному.

Пример 2:

Уравнение Розварта:

Решение: DHS:

Данное неравенство эквивалентно неравенствам:

Ответ:

2. Если обе стороны неравенства newmn, когда вы поднимаете обе части неравенства до пары степеней (с сохранением знака неравенства), мы получаем неравенство, равносильное данному.

Пример 3:

Уравнение Розварта:

Решение: DHS:

Обе части данного неравенства newmn, следовательно, равносильны неравенствам:

Данный DHS получен.

Ответ:

3. Если неравенство DHS с учетом некоторой части неравенства может принимать как положительные, так и целые значения, до того, как обе части неравенства больше не будут попадать в пару, эти случаи следует рассматривать отдельно.

Пример 4:

Уравнение Розварта:

Решение: Данное неравенство эквивалентно множеству систем:

или

Тогда или

Неравенство Розвадовского имеют

Учитывая неравенства, получаем решение первой системы. Решение второй системы: Обаньяки этих решений, мы получаем ответ.

Ответ:

Решение рациональных неравенств — ChiliMath

Ключевой подход к решению рациональных неравенств основан на нахождении критических значений рационального выражения, которые делят числовую прямую на отдельные открытые интервалы.

Критические значения — это просто нули числителя и знаменателя. Вы должны помнить, что нули знаменателя делают рациональное выражение неопределенным, поэтому их следует немедленно игнорировать или исключать как возможное решение. Однако нули числителя также необходимо проверять на предмет его возможного включения в общее решение.

В этом уроке я рассмотрю пять (5) рабочих примеров с разным уровнем сложности, чтобы проиллюстрировать как процедуры, так и концепции.

Примеры решения рациональных неравенств

Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

Я начинаю решать это рациональное неравенство с написания его в общем виде. Общая форма подразумевает, что рациональное выражение расположено слева от неравенства, а ноль — справа.

Общая форма имеет четыре (4) типа.

Приятно знать, что эта проблема уже в общей форме.Мой следующий шаг — найти нулей числителя и знаменателя .

Я могу найти нули числителя, полностью вычленив его, а затем отдельно установить каждый множитель равным нулю и решить относительно x. Точно так же поиск нулей знаменателя выполняется таким же образом.

Теперь я буду использовать нули, чтобы разделить числовую строку на интервалы. Нули числителя и знаменателя также известны как критические числа , .В этом случае два критических числа делят числовую прямую на три отдельных интервала.

Следующий шаг — выбрать или выбрать число в каждом интервале и вычислить его обратно в исходное рациональное неравенство; чтобы определить, истинное это утверждение или ложное. Истинное утверждение означает, что интервал является частью решения, в противном случае это не так.

Как видите, числа, которые я выбрал для каждого интервала, выделены желтым.

Обратите внимание, что открытый интервал между -1 и 3, записанный как \ left ({- 1,3} \ right), дает истинное утверждение, которое подразумевает, что оно является частью решения.

Итак, где еще нам искать возможные решения, чтобы покончить с этим?

Проверяйте нули или критические числа числителей только в исходном уравнении. Если это верно, включите это критическое число как часть общего решения.

Нулей в числителе 3. Сейчас проверю.

Использование квадратной скобки означает, что это часть решения, а открытая скобка (скобка) означает, что это не так.Я напишу свой окончательный ответ как \ left ({- 1, \ left. 3 \ right]} \ right ..

Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

Во-первых, данное рациональное неравенство имеет общий вид, потому что рациональное выражение находится слева, а ноль — справа. Это хорошо!

Затем я вынесу за скобки числитель и знаменатель. После этого у вас должно получиться что-то вроде этого.

Теперь я могу найти нули числителя и знаменателя.

Эти нули или критические числа делят числовую строку на отдельные интервалы или части.

Выберите номер теста для каждого интервала и верните исходное рациональное неравенство.

Используйте факторизованную форму исходного рационального неравенства , чтобы оценить числа тестов для упрощения вычислений.

Цифры желтого цвета — это те числа, которые я выбрал для проверки достоверности каждого интервала.

Интервалы, дающие истинные утверждения, равны

Чтобы найти остальную часть решения, проверьте правильность нулей числителя только в исходное рациональное неравенство.

Если вы сделали это правильно, вы должны согласиться с тем, что −4 и 2 — это недействительные ответы , потому что они не дают истинных утверждений после проверки.

Окончательный ответ на эту проблему в интервальной записи:

Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

Я бы сначала вычленил числитель и знаменатель, чтобы найти их нули. В факторизованном виде у меня получилось

Затем определите нули рационального неравенства, установив каждый коэффициент равным нулю, а затем решив относительно x.

• Нули числителя: –1 и 4
• Нули знаменателя: 4

Используйте нули как критические числа, чтобы разделить числовую строку на отдельные интервалы. Я начинаю проверять достоверность каждого интервала, выбирая тестовые значения и оценивая их в соответствии с исходным рациональным неравенством. Желтым — числа, которые я выбрал.

Обратите внимание, что единственный интервал, дающий истинное утверждение, — это \ left ({- 1,4} \ right).

Более того, нули числителя не совпадают с исходным рациональным неравенством, поэтому я должен их игнорировать.

Окончательный ответ — \ left ({- 1,4} \ right).

Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

Это рациональное неравенство не в общем виде . Правая часть должна быть равна нулю. Первый шаг — избавиться от константы на этой стороне путем вычитания обеих частей на 1. После этого сведите к одному рациональному выражению. У вас должен быть аналогичный предварительный шаг, вот так.

Затем найдите нули числителя и знаменателя.

• Нули в числителе: -7
• Нули в знаменателе: -3

Используйте нули как критические числа для разделения числовой прямой на участки или интервалы.

Затем выберите числа тестов для каждого интервала и оцените их в общей форме, чтобы определить их истинностные значения. Желтым цветом обозначены выбранные значения. Вы можете выбрать другие числа, если они находятся в проверяемом интервале.

Интервалы, дающие истинные утверждения, равны

Между тем, после проверки нуля числителя при x = — \, 7 это также приводит к истинному утверждению.Используйте квадратную скобку, чтобы указать, что он включен в качестве решения.

Окончательный ответ в интервальной записи должен быть

Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

Мне нужно обнулить правую часть рационального неравенства. Для этого я буду одновременно прибавлять x и вычитать 5 с обеих сторон. Однако моя конечная цель — выразить это в едином рациональном выражении. Здесь вам пригодятся ваши навыки складывания и вычитания рациональных выражений.У вас должны быть аналогичные шаги ниже.

Затем найдите нули числителя и знаменателя.

• Нули числителя: -3 и 5
• Нули знаменателя: 0

Используйте нули, чтобы разделить числовую строку на отдельные интервалы. Выберите номера тестов для каждого интервала, чтобы проверить, приводит ли он к верным утверждениям. Выбранные тестовые значения для x выделены желтым цветом.

«Истинные» интервалы — это \ left ({- \, \ infty, — 3} \ right) и \ left ({0,5} \ right).Более того, нули числителя также сверяются с общим видом данного рационального неравенства. Следовательно, я должен включить -3 и 5 как часть решения с использованием квадратных скобок.

Окончательный ответ теперь становится

Возможно, вас заинтересует:

Решение рациональных уравнений

Сложение и вычитание рациональных выражений

Умножение рациональных выражений

Решение рациональных неравенств

Рациональный

Рациональное выражение выглядит так:

Неравенства

Иногда нам нужно решить такие рациональные неравенства:

Решение

Решение неравенств очень похоже на решение уравнений… вы делаете почти то же самое.

Это шаги:

• найти «достопримечательности»:
  • точки «= 0» (корни) и
  • «вертикальные асимптоты» (где функция не определена)
• между «точками интереса», функция либо больше нуля (> 0), либо меньше нуля (<0)
• затем выберите тестовое значение, чтобы узнать, какое оно (> 0 или <0)

Вот пример:

Пример:

Первый , давайте упростим!

Но вы не можете умножить на (x − 4)

Потому что «x − 4» может быть положительным или отрицательным…. мы не знаем, следует ли нам менять направление неравенства или нет. Все это объясняется в разделе «Устранение неравенств».

Вместо этого переместите «2» влево:

3x − 10 x − 4 -2> 0

Затем умножьте 2 на (x − 4) / (x − 4):

3x − 10 x − 4 -2 x − 4 x − 4 > 0

Теперь у нас есть общий знаменатель, давайте все вместе:

3x − 10-2 (x − 4) x − 4 > 0

Упростить:

x − 2 x − 4 > 0

Второй , давайте найдем «достопримечательности».

При x = 2 имеем: (0) / (x − 4)> 0, что является точкой «= 0», или корень

При x = 4 имеем: (x − 2) / (0)> 0, что равно undefined

Третий , сделайте контрольные точки, чтобы увидеть, что он делает между:

При x = 0:

• x − 2 = −2, что составляет отрицательное значение
• x − 4 = −4, что также является отрицательным
• Итак, (x − 2) / (x − 4) должно быть положительным

Мы можем сделать то же самое для x = 3 и x = 5 и получить следующие результаты:

Это дает нам полную картину!

А где это> 0?

Итак, наш результат:

(−∞, 2) U (4, + ∞)

Все это мы сделали без рисования сюжета!

Но вот график (x − 2) / (x − 4), поэтому вы можете видеть: