Производная график: Производная функции. Геометрический смысл производной.

Содержание

Производная функции. Геометрический смысл производной.

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза.

И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку A с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого —

тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке  равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

.

Величина  в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке  функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол  с положительным направлением оси . Значит, в точке  производная положительна.

В точке  наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол  с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке  производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках  (точка максимума) и  (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка  — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке  с «плюса» на «минус».

В точке  — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
+ 0 0 +

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба

:

В точке  касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки  функция возрастала — и после точки  продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

Графики функций и их производных.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНОЙ

возрастание

убывание

функции.

Алгоритм нахождения промежутков возрастания (убывания) функции

1. Находим область определения функции

2.Находим производную функции

3.Находим точки, в которых f’(x) =0

или f’(x) не существует

4.Отмечаем эти точки на числовой прямой

и определяем знаки производной

на полученных промежутках

5.Делаем выводы о промежутках

возрастания и убывания

Исследование

по формуле

по графику

0, значит, функция возрастает. Если f / (x) значит, функция убывает. «

Признаки:

Если f / (x) 0,

значит, функция возрастает.

Если f / (x)

значит, функция убывает.

По формуле функции

Практикум:

Найдите промежутки возрастания

(убывания) функции.

Задания:

1 вариант

D(f)

2 вариант

f ‘ (x)

f ‘ (x) = 0

(не существует)

Знаки

Промежутки возрастания

производной

Промежутки убывания

1 вариант

D(f)

2 вариант

f ‘ (x)

R

f ‘ (x) = 0

R

(не существует)

Знаки

-1; 1

1

Промежутки возрастания

производной

-1; 1

Промежутки убывания

-1

+

+

+

-1

1

Графики.

Графики

функций

Графики

производных

График

функции

Если функция возрастает ,

то производная

положительна

y

4

2

1

-1

0

x

Если функция убывает ,

то производная

отрицательна

В7(ЕГЭ) На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к этому графику.

Определите знак производной в точке касания.

В7 (ЕГЭ) На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к этому графику. Определите знак производной в точке касания.

В7 .егэ .   На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-9;8). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции  по­ло­жи­тель­на .

В7 (егэ). На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 8). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на

  • В7(егэ).  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции  от­ри­ца­тель­на.

За­да­ние 7 № 6871.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции ,

опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-1;12) .Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на.

0, значит, функция возрастает. Признаки: Если f / (x) значит, функция убывает. «

Графики производных

Задания В7 (ЕГЭ)

Если f / (x) 0,

значит, функция возрастает.

Признаки:

Если f / (x)

значит, функция убывает.

0, значит, функция возрастает. На рисунке изображен график y=f'(x)   — производной функции f(x) , определенной на интервале (-6;8) . Найдите количество промежутков возрастания функции f(x) . График производной «

Если f / (x) 0,

значит, функция возрастает.

На рисунке изображен график y=f'(x)   — производной функции f(x) , определенной на интервале (-6;8) . Найдите количество промежутков возрастания функции f(x)

.

График производной

Функция задана на отрезке. На рисунке изображен график ее производной.

  • Укажите количество

промежутков

возрастания функции.

у

y=f ‘(x)

1

0

b

1

х

а

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x) , определенной на интервале (-8;6) . Найдите количество промежутков убывания функции f(x).

Если f / (x)

значит, функция убывает.

Функция задана на отрезке. На рисунке изображен график ее производной.

у

  • Укажите количество

промежутков

убывания функции

y=f ‘(x)

1

0

b

1

х

а

На рисунке изображен график производной функции f(x),

определенной на интервале (a;b). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

у

y=f ‘(x)

1

b

0

а

1

х

(1)

На рисунке изображен график производной функции f(x),

определенной на интервале (a;b). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

у

y=f ‘(x)

1

b

0

а

1

х

(2)

За­да­ние 7 .На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-6;6) . В какой точке от­рез­ка[-5;-1]  функция при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние.  

За­да­ние 7 .На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-6;6) . Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции . В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.  

За­да­ние 7.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции, опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-9;2). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции . В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.  

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле .Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции . В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.  

Домашнее задание:

Составить подборку однотипных заданий В7 из сборника егэ, прорешать.

Спасибо

за урок!

23

Как определить значение производной по графику. Производная функции. Геометрический смысл производной. Вычисление точек максимума и минимума

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

  1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
  2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
  3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

  1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
  2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
  3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

  1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
  2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

  1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
  2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
  3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

  1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
  2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

  1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
  2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

  1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
  2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
  3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
+ 0 0 +

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Сергей Никифоров

Если производная функции знакопостоянна на интервале, а сама функция непрерывна на его границах, то граничные точки при­со­еди­ня­ют­ся как к про­ме­жут­кам воз­рас­та­ния, так и к про­ме­жут­кам убы­ва­ния, что полностью соответствует определению возрастающих и убывающих функций.

Фарит Ямаев 26.10.2016 18:50

Здравствуйте. Как же (на каком основании) можно утверждать, что в точке, где производная равна нулю, функция возрастает. Приведите доводы. Иначе, это просто чей-то каприз. По какой теореме? А также доказательство. Спасибо.

Служба поддержки

Значение производной в точке не имеет прямого отношения к возрастанию функции на промежутке. Рассмотрите, например, функции — все они возрастают на отрезке

Владлен Писарев 02.11.2016 22:21

Если функция возрастает на интервале (а;b) и определена и непрерывна в точках а и b, то она возрастает на отрезке . Т.е. точка x=2 входит в данный промежуток.

Хотя, как правило возрастание и убывание рассматривается не на отрезке, а на интервале.

Но в самой точке x=2, функция имеет локальный минимум. И как объяснять детям, что когда они ищут точки возрастания (убывания), то точки локального экстремума не считаем, а в промежутки возрастания (убывания) — входят.

Учитывая, что первая часть ЕГЭ для «средней группы детского сада», то наверное такие нюансы- перебор.

Отдельно, большое спасибо за «Решу ЕГЭ» всем сотрудникам- отличное пособие.

Сергей Никифоров

Простое объяснение можно получить, если отталкиваться от определения возрастающей/убывающей функции. Напомню, что звучит оно так: функция называется возрастающей/убывающей на промежутке, если большему аргументу функции соответствует большее/меньшее значение функции. Такое определение никак не использует понятие производной, поэтому вопросов о точках, где производная обращается в ноль возникнуть не может.

Ирина Ишмакова 20.11.2017 11:46

Добрый день. Здесь в комментариях я вижу убеждения, что границы включать нужно. Допустим, я с этим соглашусь. Но посмотрите, пожалуйста, ваше решение к задаче 7089. Там при указании промежутков возрастания границы не включаются. И это влияет на ответ. Т.е. решения заданий 6429 и 7089 противоречат друг другу. Проясните, пожалуйста, эту ситуацию.

Александр Иванов

В заданиях 6429 и 7089 совершенно разные вопросы.

В одном про промежутки возрастания, а в другом про промежутки с положительной производной.

Противоречия нет.

Экстремумы входят в промежутки возрастания и убывания, но точки, в которых производная равна нулю, не входят в промежутки, на которых производная положительна.

A Z 28.01.2019 19:09

Коллеги, есть понятие возрастания в точке

(см. Фихтенгольц например)

и ваше понимание возрастания в точке x=2 противочет классическому определению.

Возрастание и убывание это процесс и хотелось бы придерживаться этого принципа.

В любом интервале, который содержит точку x=2, функция не является возрастающей. Поэтому включение данный точки x=2 процесс особый.

Обычно, чтобы избежать путаницы о включении концов интервалов говорят отдельно.

Александр Иванов

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

В точке х=2 функция дифференцируема, а на интервале (2; 6) производная положительна, значит, на промежутке её значения строго положительны, значит функция на этом участке только возрастает, поэтому значение функции в левом конце x = −3 меньше, чем её значение в правом конце x = −2.

Ответ: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Пользуясь графиком первообразной Φ 2 (x ) (в нашем случае это синий график), определите какое из 2-ух значений функции больше φ 2 (−1) или φ 2 (4)?

По графику первообразной видно, что точка x = −1 находится на участке возрастания, следовательно значение соответсвующей производной положительно. Точка x = 4 находится на участке убывания и значение соответствующей производной отрицательно. Поскольку положительное значение больше отрицательного, делаем вывод — значение неизвестной функции, которая как раз и является производной, в точке 4 меньше, чем в точке −1.

Ответ: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Подобных вопросов по отсутствующему графику можно задать много, что обуславливает большое разноообразие задач с кратким ответом, построенных по такой же схеме. Попробуйте решить некоторые из них.

Задачи на определение характеристик производной по графику функции.


Рисунок 1.


Рисунок 2.

Задача 1

y = f (x ), определенной на интервале (−10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Производная функции положительна на тех участках, где функция возрастает. По рисунку видно, что это промежутки (−10,5;−7,6), (−1;8,2) и (15,7;19). Перечислим целые точки внутри этих интервалов: «−10″,»−9», «−8″,»0», «1»,»2″, «3»,»4″, «5»,»6″, «7»,»8″, «16»,»17″, «18». Всего 15 точек.

Ответ: 15

Замечания.
1. Когда в задачах о графиках функций требуют назвать «точки», как правило, имеют в виду только значения аргумента x , которые являются абсциссами соответствующих точек, расположенных на графике. Ординаты этих точек — значения функции, они являются зависимыми и могут быть легко вычислены при необходимости.
2. При перечислении точек мы не учитывали края интервалов, так как функция в этих точках не возрастает и не убывает, а «разворачивается». Производная в таких точках не положительна и не отрицательна, она равна нулю, поэтому они называются стационарными точками. Кроме того, мы не рассматриваем здесь границы области определения, потому что в условии сказано, что это интервал.

Задача 2

На рисунке 1 изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (−10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции f » (x ) отрицательна.

Производная функции отрицательна на тех участках, где функция убывает. По рисунку видно, что это промежутки (−7,6;−1) и (8,2;15,7). Целые точки внутри этих интервалов: «−7″,»−6», «−5″,»−4», «−3″,»−2», «9»,»10″, «11»,»12″, «13»,»14″, «15». Всего 13 точек.

Ответ: 13

См. замечания к предыдущей задаче.

Для решения следующих задач нужно вспомнить еще одно определение.

Точки максимума и минимума функции объединяются общим названием — точки экстремума .

В этих точках производная функции либо равна нулю, либо не существует (необходимое условие экстремума ).
Однако необходимое условие — это признак, но не гарантия существования экстремума функции. Достаточным условием экстремума является смена знака производной: если производная в точке меняет знак с «+» на «−», то это точка максимума функции; если производная в точке меняет знак с «−» на «+» , то это точка минимума функции; если в точке производная функции равна нулю, либо не существует, но знак производной при переходе через эту точку не меняется на противоположный, то указанная точка не является точкой экстремума функции. Это может быть точка перегиба, точка разрыва или точка излома графика функции.

Задача 3

На рисунке 1 изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Вспомним, что уравнение прямой имеет вид y = kx + b , где k — коэффициент наклона этой прямой к оси Ox . В нашем случае k = 0, т.е. прямая y = 6 не наклонена, а параллельна оси Ox . Значит искомые касательные также должны быть параллельны оси Ox и также должны иметь коэффициент наклона 0. Таким свойством касательные обладают в точках экстремумов функций. Поэтому для ответа на вопрос нужно просто посчитать все точки экстремумов на графике. Здесь их 4 — две точки максимума и две точки минимума.

Ответ: 4

Задача 4

Функции y = f (x ), определенной на интервале (−11;23). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке .

На указанном отрезке мы видим 2 точки экстремума. Максимум функции достигается в точке x 1 = 4, минимум в точке x 2 = 8.
x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12.

Ответ: 12

Задача 5

На рисунке 1 изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите количество точек, в которых производная функции f » (x ) равна 0.

Производная функции равна нулю в точках экстремума, которых на графике видно 4:
2 точки максимума и 2 точки минимума.

Ответ: 4

Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.


Рисунок 1.

Рисунок 2.

Задача 6

На рисунке 2 изображен график f » (x ) — производной функции f (x ), определенной на интервале (−11;23). В какой точке отрезка [−6;2] функция f (x ) принимает наибольшее значение.

На указанном отрезке производная нигде не была положительной, следовательно функция не возрастала. Она убывала или проходила через стационарные точки. Таким образом, наибольшего значения функция достигала на левой границе отрезка: x = −6.

Ответ: −6

Замечание: По графику производной видно, что на отрезке [−6;2] она равна нулю трижды: в точках x = −6, x = −2, x = 2. Но в точке x = −2 она не меняла знака, значит в этой точке не могло быть экстремума функции. Скорее всего там была точка перегиба графика исходной функции.

Задача 7

На рисунке 2 изображен график f » (x ) — производной функции f (x ), определенной на интервале (−11;23). В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение.

На отрезке производная строго положительна, следовательно функция на этом участке только возрастала. Таким образом, наименьшего значения функция достигала на левой границе отрезка: x = 3.

Ответ: 3

Задача 8

На рисунке 2 изображен график f » (x ) — производной функции f (x ), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек максимума функции f (x ), принадлежащих отрезку [−5;10].

Согласно необходимому условию экстремума максимум функции может быть в точках, где её производная равна нулю. На заданном отрезке это точки: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. Но согласно достаточному условию он точно будет только в тех из них, где знак производной меняется с «+» на «−». На графике производной мы видим, что из перечисленных точек такой является только точка x = 6.

Ответ: 1

Задача 9

На рисунке 2 изображен график f » (x ) — производной функции f (x ), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек экстремума функции f (x ), принадлежащих отрезку .

Экстремумы функции могут быть в тех точках, где её производная равна 0. На заданном отрезке графика производной мы видим 5 таких точек: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. Но в точке x = 14 производная не поменяла знак, следовательно её надо исключить из рассмотрения. Таким образом, остаются 4 точки.

Ответ: 4

Задача 10

На рисунке 1 изображен график f » (x ) — производной функции f (x ), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите промежутки возрастания функции f (x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Промежутки возрастания функции совпадают с промежутками положительности производной. На графике мы видим их три — (−9;−7), (4;12), (18;19). Самый длинный из них второй. Его длина l = 12 − 4 = 8.

Ответ: 8

Задача 11

На рисунке 2 изображен график f » (x ) — производной функции f (x ), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (x ) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Угловой коэффициент (он же тангенс угла наклона) заданной прямой k = −2. Нас интересуют параллельные или совпадающие касательные, т.е. прямые с таким же наклоном. Исходя из геометрического смысла производной — угловой коэффициент касательной в рассматриваемой точке графика функции, пересчитываем точки, в которых производная равна −2. На рисунке 2 таких точек 9. Их удобно считать по пересечениям графика и линии координатной сетки, проходящей через значение −2 на оси Oy .

Ответ: 9

Как видите, по одному и тому же графику можно задать самые разнообразные вопросы о поведении функции и её производной. Также один тот же вопрос можно отнести к графикам разных функций. Будьте внимательны при решении этой задачи на экзамене, и она покажется Вам очень легкой. Другие виды задач этого задания — на геометрический смысл первообразной — будут рассмотрены в другом разделе.

Как построить график производной по графику функции

  • Как по графику производной построить график функции
  • Как найти точку максимума и минимума
  • Как найти функцию по ее графику

Определите формулу функции по составленному уравнению производной:
Y=k/2 * х²+bx+с

Свободный член с найти по графику производной нельзя. Положение графика функции вдоль оси Y не фиксируется. По точкам постройте график полученной функции — параболу. Ветви параболы направлены вверх при k>0 и вниз при k

УСЛОВИЕ:

По графику функции построить график её первой производной

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Область определения функции
x∈(-∞;a)U(-a;a)U(a;+∞)
Производная также не определена в точках х=-а и х=а.2-190x+361 — выделяем полный квадрат, получим уравнение гиперболы

Знание — сила. Познавательная информация

График функции по графику производной

По графику производной y= f ‘ (x) можно не только исследовать поведение функции y=f(x) , но и попытаться построить ее график.

Поскольку для одной функции первообразных существует бесконечное множество, график функции по графику производной можно построить лишь схематично: точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции определить можно, а нули функции и экстремумы — нет.

Дан график производной: y= f ‘ (x):

Построить график функции y=f(x).

Точки x=x2, x=x3, x=x4, в которых производная y= f ‘ (x) обращается в нуль — это точки экстремума функции y=f(x).

В точках x=x2 и x=x4 производная меняет знак с «-«на «+», поэтому x2 и x=x4 — точки минимума функции y=f(x).

В точке x=x3 производная меняет знак с «+» на «-«, поэтому x=x3 — точка максимума функции.

На промежутках [x1;x2] и [x3;x4] f ‘ (x) 0, поэтому для y=f(x) они являются промежутками возрастания.

Сказать что-то более определенное о нулях и других значениях функции y=f(x) не получится. Данный эскиз графика y=f(x) — один из множества графиков первообразных для функции y= f ‘ (x). Другие могут быть получены из него параллельным переносом вдоль оси oy.

Если график производной y= f ‘ (x) представляет собой прямую, параллельную оси ox (y=b, где b- число),, то функция y=f(x) — линейная. Она является возрастающей, если b>0, убывающей, если b Светлана Иванова, 14 Фев 2014

Урок 14. геометрический смысл производной — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала анализа, 11 класса.

Урок №14. Геометрический смысл производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Геометрический смысл производной;

2) Алгоритм нахождения касательной к графику функции в точке;

3) Сравнение производных заданной функции по ее графику в различных точках.

Глоссарий по теме

Число k= tgα называется угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой и осью Ох.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Напомним, что графиком линейной функции у=кх + b является прямая.

Число k= tgα называется угловым коэффициентом прямой, а угол α – углом между этой прямой и осью Ох.

Если k>0, то 0<α< π/2, в этом случае функция возрастает

Если k<0, то — π/2<α<0, в этом случае функция убывает

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Рассмотрим график функции f ( ):

Из рисунка видно, что для любых двух точек A и B графика функции: f(x0+Δx)/f(x0)Δx=tgα, где  — угол наклона секущей AB

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. 

Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то Δx неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС

Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.

Отсюда следует:

производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Составить уравнение касательной к графику функции y=x+e-2x, параллельной прямой y=-x

Решение:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания x0. Т.к. касательная параллельна прямой y=-x, значит ее угловой коэффициент равен –1. Таким образом, f'(x0) = -1.

Уравнение касательной:

Уравнение касательной: y=1-1(x-0) = 1-x

Ответ: y=1-x.

№2. На параболе у=х2-2х-8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х+у+4=0.

Решение:

Определим угловой коэффициент касательной к параболе у=х2-2х-8:

k =у’=(х2-2х-8)’=2х-2.

Найдем угловой коэффициент прямой 4х+у+4=0:

у=-4х-4, k =-4.

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е.

2х-2=-4;

х=-1 – абсцисса точки касания.

Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у=х2-2х-8, т.е.

у(-1)=(-1)2-2(-1)-8=-5, М(-1;-5).

Ответ: М(-1;-5).

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции

      Рассмотрим график некоторой функции   y = f (x),   точки   A= (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   на графике, прямую, проходящую через точки   A   и   B,   и произвольную точку   C = (x; y)   на этой прямой (рис. 1).

Рис.1

      Определение 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.

      В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки   A   и   B   графика функции   y = f (x),   является секущей этого графика.

      Выведем уравнение секущей графика функции.

      Для этого рассмотрим векторы и , координаты которых имеют вид:

      Поскольку векторы и лежат на одной прямой, то справедливо равенство

(1)

где   k   – некоторое число.

      Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

(2)

      Исключая из системы (2) переменную   k ,  получим систему (3):

(3)

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

(4)

      Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

Касательная к графику функции

      Проведем секущую графика функции   y = f (x),   проходящую через точки   A   и   B   этого графика, и рассмотрим случай, когда точка   A   неподвижна, а точка   B   неограниченно приближается к точке   A   по графику функции   y = f (x)   (рис. 2).

Рис.2

      Неограниченное приближение точки   B   к точке   A   принято обозначать

BA

и произносить   «B   стремится к   A».

      Заметим, что, если   B → A   для точек   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))  графика функции  y = f (x),   то это означает, что   x1 → x0 .

      Определение 2. Если при   x1 → x0   существует предельное положение секущей графика фукнкции   y = f (x),   то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))  (рис. 3) .

Рис.3

Производная функции

      Определение 3. Если при   x1 → x0   отношение

(5)

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции   y = f (x) в точке   x0 ,   обозначают   f ′(x0)   или и записывают так:

(6)

Уравнение касательной к графику функции

      Из формул (4) и (6) вытекает следующее

      Утверждение. Если у функции   y = f (x)   существует производная в точке   x0 ,   то к графику функции   y = f (x)   в точке с координатами  (x0;  f (x0))   можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

y = f′(x0) (x – x0) + f (x0)(7)

Геометрический смысл производной

      Рассмотрим сначала возрастающую функцию   y = f (x)   и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1)) (рис. 4).

Рис.4

      Обозначим буквой   φ   угол, образованный секущей и положительным направлением оси   Ox,   отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол   BAD   в треугольнике   ABD   на рисунке 4 равен   φ ,   и по определению тангенса угла получаем равенство

(8)

причем по определению углового коэффициента прямой   tg φ   является угловым коэффициентом секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

      Случай, когда функция   y = f (x)   убывает, изображен на рисунке 5

Рис.5

      В этом случае угол   φ  является тупым, причем

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция   y = f (x)   убывает.

      Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

где буквой   α   обозначен угол, образованный касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))   с положительным направлением оси   Ox   (рис. 6).

Рис.6

      Таким образом, если у функции   y = f (x)   в точке   x0   существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   (x0;  f (x0)) :

f′(x0) = tg α ,

где угол наклона   α   образован касательной и положительным направлением оси   Ox   и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Исследование функции с помощью производной /qualihelpy

Рассмотрим функции  и , которые непрерывны на отрезке  и дифференцируемы на интервале .
Теорема Ферма : если функция  в точке  имеет локальный экстремум, то  .
Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке  параллельна оси абсцисс. 

Теорема Лагранжа:  , где .

Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке   параллельна секущей, соединяющей концы графика этой функции.

Теорема Ролля: если  и  , то .

Геометрический смысл теоремы: у графика функции существует точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Теорема Коши: если  , то .

Исследование функции с помощью первой производной

С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

а) если на заданном промежутке   , то функция возрастает на этом промежутке;

б) если   , то функция убывает на этом промежутке.

Экстремум функции

Максимумом (минимумом) функции   называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рис. 6.4).

Максимум и минимум функции называются  экстремумом функции . Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума . На рисунке 6.4 значения , , ,  и  являются точками экстремума рассматриваемой функции.

 

Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение: .

Алгоритм нахождения точек экстремума функции:

1) находим область определения функции  ;
2) находим ;

3) находим критические точки функции, решая уравнение ;

4) наносим критические точки на область определения функции;

5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;

6) определяем точки экстремума функции по правилу: 
если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.

Рассмотрим функцию   на отрезке . Свое наибольшее и наименьшее значение она может принимать либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке:  

1) находим ;

2) находим критические точки функции, решая уравнение ;

3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;

4) определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.

Исследование функции с помощью второй производной

Критическими точками второго рода функции  называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.

Критические точки второго рода функции находят, решая уравнение .

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба  графика функции.

Если на некотором промежутке выполняется неравенство , то функция  вогнута на этом промежутке, а если , то функция выпукла на этом промежутке.

4.5 Производные и форма графика — том исчисления 1

Цели обучения

  • 4.5.1 Объясните, как знак первой производной влияет на форму графика функции.
  • 4.5.2 Сформулируйте первый тест производной для критических точек.
  • 4.5.3 Используйте точки вогнутости и перегиба, чтобы объяснить, как знак второй производной влияет на форму графика функции.
  • 4.5.4 Объясните тест на вогнутость функции на открытом интервале.
  • 4.5.5 Объясните связь между функцией и ее первой и второй производными.
  • 4.5.6 Сформулируйте тест второй производной для локальных экстремумов.

Ранее в этой главе мы заявляли, что если функция ff имеет локальный экстремум в точке c, c, то cc должна быть критической точкой f.f. Однако не гарантируется, что функция имеет локальный экстремум в критической точке. Например, f (x) = x3f (x) = x3 имеет критическую точку при x = 0x = 0, поскольку f ′ (x) = 3x2f ′ (x) = 3×2 равно нулю при x = 0, x = 0, но ff не имеет локального экстремума при x = 0.х = 0. Используя результаты из предыдущего раздела, теперь мы можем определить, действительно ли критическая точка функции соответствует локальному экстремальному значению. В этом разделе мы также увидим, как вторая производная предоставляет информацию о форме графика, описывая, изгибается ли график функции вверх или вниз.

Первый производный тест

Следствие 33 теоремы о среднем значении показало, что если производная функции положительна на интервале II, то функция возрастает на интервале I.I. С другой стороны, если производная функции отрицательна в интервале I, I, тогда функция убывает в интервале II, как показано на следующем рисунке.

Фигура 4,30 Обе функции растут на интервале (a, b). (A, b). В каждой точке x, x производная f ′ (x)> 0. f ′ (x)> 0. Обе функции убывают на интервале (a, b). (A, b). В каждой точке x, x производная f ′ (x) <0. f ′ (x) <0.

Непрерывная функция ff имеет локальный максимум в точке cc тогда и только тогда, когда ff переключается с увеличения на уменьшение в точке c.c. Точно так же ff имеет локальный минимум в точке cc тогда и только тогда, когда ff переключается с уменьшения на увеличение в точке c.c. Если ff — непрерывная функция на интервале II, содержащем cc и дифференцируемая по I, I, за исключением, возможно, точек c, c, единственный способ ff может переключиться с увеличения на уменьшение (или наоборот) в точке cc, если f′f ′ меняет знак при увеличении xx на cc Если ff дифференцируема в c, c, это единственный способ, которым f′.f ′. может менять знак при увеличении xx на cc, если f ′ (c) = 0. f ′ (c) = 0. Следовательно, для функции ff, которая непрерывна на интервале II, содержащем cc и дифференцируема по I, I, за исключением, возможно, точек c, c, единственный способ ff может переключиться с увеличения на уменьшение (или наоборот) — это если f ′ (c ) = 0f ′ (c) = 0 или f ′ (c) f ′ (c) не определено.Следовательно, чтобы найти локальные экстремумы для функции f, f, мы ищем точки cc в области определения ff такие, что f ′ (c) = 0f ′ (c) = 0 или f ′ (c) f ′ (c) равно неопределенный. Напомним, что такие точки называются критическими точками ф.ф.

Обратите внимание, что ff не обязательно должен иметь локальные экстремумы в критической точке. Критические точки являются кандидатами только в локальные экстремумы. На рис. 4.31 мы показываем, что если непрерывная функция ff имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке, но функция может не иметь локального экстремума в критической точке.Мы показываем, что если ff имеет локальный экстремум в критической точке, то знак f′f ′ меняется по мере увеличения xx через эту точку.

Фигура 4,31 Функция ff имеет четыре критических точки: a, b, c, andd.a, b, c иd. Функция ff имеет локальные максимумы в точках aa и d, d и локальный минимум в точках b.b. Функция ff не имеет локального экстремума в c.c. Знак f′f ′ меняется на всех локальных экстремумах.

Используя рисунок 4.31, мы суммируем основные результаты, касающиеся локальных экстремумов.

  • Если непрерывная функция ff имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке c.c.
  • Функция имеет локальный экстремум в критической точке cc тогда и только тогда, когда производная f′f ′ меняет знак при увеличении xx через c.c.
  • Следовательно, чтобы проверить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке c, c, мы должны определить знак f ′ (x) f ′ (x) слева и справа от c.c.

Этот результат известен как тест первой производной.

Теорема 4.9

Первый производный тест

Предположим, что ff — непрерывная функция на интервале II, содержащем критическую точку c.c. Если ff дифференцируема над I, I, за исключением, возможно, точки c, c, то f (c) f (c) удовлетворяет одному из следующих описаний:

  1. Если f′f ′ меняет знак с положительного, когда x c, x> c, то f (c) f (c) является локальным максимумом f.f.
  2. Если f′f ′ меняет знак с отрицательного при x c, x> c, то f (c) f (c) является локальным минимумом f.f.
  3. Если f′f ′ имеет один и тот же знак для x c, x> c, то f (c) f (c) не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом f.f.

Мы можем резюмировать тест первой производной как стратегию поиска локальных экстремумов.

Стратегия решения проблем

Стратегия решения проблем: использование первого производного теста

Рассмотрим функцию ff, непрерывную на интервале I.I.

  1. Найдите все критические точки ff и разделите интервал II на меньшие интервалы, используя критические точки в качестве конечных точек.
  2. Проанализируйте знак f′f ′ в каждом из подынтервалов.Если f′f ′ непрерывен на данном подынтервале (что обычно бывает), то знак f′f ′ на этом подынтервале не меняется и, следовательно, может быть определен путем выбора произвольной контрольной точки xx в этом подынтервале. и оценивая знак f′f ′ в этой контрольной точке. Используйте знаковый анализ, чтобы определить, увеличивается или уменьшается ff в течение этого интервала.
  3. Используйте тест первой производной и результаты шага 22, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум, локальный минимум или ни один из них в каждой из критических точек.

Теперь давайте посмотрим, как использовать эту стратегию для поиска всех локальных экстремумов для определенных функций.

Пример 4,17

Использование теста первой производной для поиска локальных экстремумов

Используйте тест первой производной, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов для f (x) = x3−3×2−9x − 1.f (x) = x3−3×2−9x − 1. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

Решение

Шаг 1. Производная равна f ′ (x) = 3×2−6x − 9.f ′ (x) = 3×2−6x − 9. Чтобы найти критические точки, нам нужно найти, где f ′ (x) = 0. f ′ (x) = 0. Разлагая многочлен на множители, мы заключаем, что критические точки должны удовлетворять

3 (x2−2x − 3) = 3 (x − 3) (x + 1) = 0,3 (x2−2x − 3) = 3 (x − 3) (x + 1) = 0.

Следовательно, критическими точками являются x = 3, −1.x = 3, −1. Теперь разделите интервал (−∞, ∞) (- ∞, ∞) на меньшие интервалы (−∞, −1), (- 1,3) и (3, ∞). (- ∞, −1), ( −1,3) и (3, ∞).

Шаг 2. Поскольку f′f ′ — непрерывная функция, для определения знака f ′ (x) f ′ (x) на каждом подынтервале достаточно выбрать точку на каждом из интервалов (−∞, −1 ), (- 1,3) и (3, ∞) (- ∞, −1), (- 1,3) и (3, ∞) и определяют знак f′f ′ в каждой из этих точек.Например, давайте выберем x = −2, x = 0 и x = 4x = −2, x = 0 и x = 4 в качестве контрольных точек.

Интервал Контрольная точка Знак f ′ (x) = 3 (x − 3) (x + 1) f ′ (x) = 3 (x − 3) (x + 1) в контрольной точке Заключение
(−∞, −1) (- ∞, −1) х = −2x = −2 (+) (-) (-) = + (+) (-) (-) = + ff увеличивается.
(−1,3) (- 1,3) х = 0х = 0 (+) (-) (+) = — (+) (-) (+) = — ff уменьшается.
(3, ∞) (3, ∞) х = 4х = 4 (+) (+) (+) = + (+) (+) (+) = + ff увеличивается.

Шаг 3. Поскольку f′f ′ меняет знак с положительного на отрицательный, когда xx увеличивается до –1, f – 1, f имеет локальный максимум при x = −1.x = −1. Поскольку f′f ′ меняет знак с отрицательного на положительный при увеличении xx до 3, f3, f имеет локальный минимум при x = 3.x = 3. Эти аналитические результаты согласуются со следующим графиком.

Фигура 4,32 Функция ff имеет максимум при x = −1x = −1 и минимум при x = 3x = 3.

Контрольно-пропускной пункт 4.16

Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для f (x) = — x3 + 32×2 + 18x.f (x) = — x3 + 32×2 + 18x.

Пример 4,18

Использование первого производного теста

Используйте тест первой производной, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов для f (x) = 5×1 / 3 − x5 / 3.f (x) = 5×1 / 3 − x5 / 3. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

Решение

Шаг 1. Производная —

f ′ (x) = 53x − 2 / 3−53×2 / 3 = 53×2 / 3−5×2 / 33 = 5−5×4 / 33×2 / 3 = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3.f ′ (x) = 53x − 2 / 3−53×2 / 3 = 53×2 / 3−5×2 / 33 = 5−5×4 / 33×2 / 3 = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3.

Производная f ′ (x) = 0f ′ (x) = 0, когда 1 − x4 / 3 = 0,1 − x4 / 3 = 0. Следовательно, f ′ (x) = 0f ′ (x) = 0 при x = ± 1.x = ± 1. Производная f ′ (x) f ′ (x) не определена при x = 0.x = 0. Следовательно, у нас есть три критических точки: x = 0, x = 0, x = 1, x = 1 и x = −1.x = −1. Следовательно, разделим интервал (−∞, ∞) (- ∞, ∞) на меньшие интервалы (−∞, −1), (- 1,0), (0,1), (- ∞, −1), (−1,0), (0,1) и (1, ∞). (1, ∞).

Шаг 2: Поскольку f′f ′ непрерывен на каждом подынтервале, достаточно выбрать контрольную точку xx в каждом из интервалов шага 11 и определить знак f′f ′ в каждой из этих точек.Точки x = −2, x = −12, x = 12 и x = 2x = −2, x = −12, x = 12 и x = 2 являются контрольными точками для этих интервалов.

Интервал Контрольная точка Знак f ′ (x) = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3f ′ (x) = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3 в контрольной точке Заключение
(−∞, −1) (- ∞, −1) х = −2x = −2 (+) (-) + = — (+) (-) + = — ff уменьшается.
(-1,0) (- 1,0) х = -12х = -12 (+) (+) + = + (+) (+) + = + ff увеличивается.
(0,1) (0,1) х = 12х = 12 (+) (+) + = + (+) (+) + = + ff увеличивается.
(1, ∞) (1, ∞) х = 2х = 2 (+) (-) + = — (+) (-) + = — ff уменьшается.

Шаг 3: Поскольку ff убывает на интервале (−∞, −1) (- ∞, −1) и увеличивается на интервале (−1,0), (- 1,0), ff имеет локальный минимум при x = −1.x = −1. Поскольку ff возрастает на интервале (−1,0) (- 1,0) и интервале (0,1), (0,1), ff не имеет локального экстремума при x = 0.х = 0. Поскольку ff возрастает на интервале (0,1) (0,1) и убывает на интервале (1, ∞), f (1, ∞), f имеет локальный максимум при x = 1.x = 1. Аналитические результаты согласуются со следующим графиком.

Фигура 4,33 Функция f имеет локальный минимум при x = −1x = −1 и локальный максимум при x = 1.x = 1.

Контрольно-пропускной пункт 4,17

Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для f (x) = x − 13. f (x) = x − 13.

Вогнутость и точки перегиба

Теперь мы знаем, как определить, где функция увеличивается или уменьшается.Однако есть еще одна проблема, которую следует учитывать в отношении формы графика функции. Если график изгибается, изгибается ли он вверх или вниз? Это понятие называется вогнутостью функции.

На рис. 4.34 (a) показана функция ff с графиком, изгибающимся вверх. По мере увеличения xx наклон касательной увеличивается. Таким образом, поскольку производная увеличивается с увеличением xx, f′f ′ является возрастающей функцией. Мы говорим, что эта функция ff вогнута вверх. На рис. 4.34 (b) показана функция ff, которая изгибается вниз.По мере увеличения xx наклон касательной уменьшается. Поскольку производная убывает с увеличением xx, f′f ′ — убывающая функция. Мы говорим, что эта функция ff вогнута вниз.

Определение

Пусть ff — функция, дифференцируемая на открытом интервале I.I. Если f′f ′ возрастает над I, I, мы говорим, что ff вогнута вверх над I.I. Если f′f ′ убывает над I, I, мы говорим, что ff вогнута вниз над I.I.

Фигура 4,34 (a), (c) Поскольку f′f ′ возрастает на интервале (a, b), (a, b), мы говорим, что ff вогнутая вверх на отрезке (a, b).(а, б). (b), (d) Поскольку f′f ′ убывает на отрезке (a, b), (a, b), мы говорим, что ff вогнутая вниз на отрезке (a, b). (a, b).

В общем, не имея графика функции f, f, как мы можем определить ее вогнутость? По определению функция ff вогнута вверх, если f′f ′ возрастает. Из следствия 3,3 мы знаем, что если f′f ′ — дифференцируемая функция, то f′f ′ возрастает, если ее производная f ″ (x)> 0. f ″ (x)> 0. Следовательно, дважды дифференцируемая функция ff вогнута вверх, когда f ″ (x)> 0.f ″ (x)> 0. Аналогично, функция ff вогнута вниз, если f′f ′ убывает. Мы знаем, что дифференцируемая функция f′f ′ убывает, если ее производная f ″ (x) <0. f ″ (x) <0. Следовательно, дважды дифференцируемая функция ff вогнута вниз, когда f ″ (x) <0. f ″ (x) <0. Применение этой логики известно как тест на вогнутость.

Теорема 4.10

Тест на вогнутость

Пусть ff — функция, дважды дифференцируемая на интервале I.I.

  1. Если f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для всех x∈I, x∈I, то ff вогнута вверх над I.I.
  2. Если f ″ (x) <0f ″ (x) <0 для всех x∈I, x∈I, то ff вогнута вниз над I.I.

Мы заключаем, что мы можем определить вогнутость функции ff, глядя на вторую производную f.f. Кроме того, мы видим, что функция ff может переключать вогнутость (рисунок 4.35). Однако непрерывная функция может переключать вогнутость только в точке xx, если f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 или f ″ (x) f ″ (x) не определено. Следовательно, чтобы определить интервалы, в которых функция ff вогнута вверх и вогнута вниз, мы ищем те значения xx, где f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 или f ″ (x) f ″ (x) равно неопределенный.Когда мы определили эти точки, мы разделим область определения ff на меньшие интервалы и определим знак f ″ f ″ для каждого из этих меньших интервалов. Если f ″ f ″ меняет знак при прохождении через точку x, x, то ff меняет вогнутость. Важно помнить, что функция ff не может изменять вогнутость в точке xx, даже если f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 или f ″ (x) f ″ (x) не определено. Если, однако, ff действительно изменяет вогнутость в точке aa и ff непрерывен в a, a, мы говорим, что точка (a, f (a)) (a, f (a)) является точкой перегиба f.f.

Определение

Если ff непрерывен в aa, а ff изменяет вогнутость в a, a, точка (a, f (a)) (a, f (a)) является точкой перегиба f.f.

Фигура 4,35 Поскольку f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для x a, x> a, функция ff вогнута вниз на интервале (a, ∞). (A, ∞). Точка (a, f (a)) (a, f (a)) является точкой перегиба f.f.

Пример 4.19

Испытания на вогнутость

Для функции f (x) = x3−6×2 + 9x + 30, f (x) = x3−6×2 + 9x + 30, определить все интервалы, где ff вогнута вверх, и все интервалы, где ff вогнута вниз. Перечислите все точки перегиба для f.f. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

Решение

Чтобы определить вогнутость, нам нужно найти вторую производную f ″ (x) .f ″ (x). Первая производная равна f ′ (x) = 3×2−12x + 9, f ′ (x) = 3×2−12x + 9, поэтому вторая производная равна f ″ (x) = 6x − 12.f ″ (x) = 6x − 12. Если функция изменяет вогнутость, это происходит либо когда f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0, либо f ″ (x) f ″ (x) не определено. Поскольку f ″ f ″ определено для всех действительных чисел x, x, нам нужно только найти, где f ″ (x) = 0. f ″ (x) = 0. Решая уравнение 6x − 12 = 0,6x − 12 = 0, мы видим, что x = 2x = 2 — единственное место, где ff может изменить вогнутость. Теперь мы проверяем точки на интервалах (−∞, 2) (- ∞, 2) и (2, ∞) (2, ∞), чтобы определить вогнутость f.f. Точки x = 0x = 0 и x = 3x = 3 являются контрольными точками для этих интервалов.

Интервал Контрольная точка Знак f ″ (x) = 6x − 12f ″ (x) = 6x − 12 в контрольной точке Заключение
(−∞, 2) (- ∞, 2) х = 0х = 0 −− ff вогнутая вниз
(2, ∞) (2, ∞) х = 3х = 3 ++ ff вогнутый вверх.

Мы заключаем, что ff вогнута вниз на интервале (−∞, 2) (- ∞, 2) и вогнута вверх на интервале (2, ∞). (2, ∞). Поскольку ff изменяет вогнутость при x = 2, x = 2, точка (2, f (2)) = (2,32) (2, f (2)) = (2,32) является точкой перегиба. Рисунок 4.36 подтверждает аналитические результаты.

Фигура 4,36 Данная функция имеет точку перегиба в (2,32) (2,32), где график меняет вогнутость.

Контрольно-пропускной пункт 4,18

Для f (x) = — x3 + 32×2 + 18x, f (x) = — x3 + 32×2 + 18x, найти все интервалы, где ff вогнута вверх, и все интервалы, где ff вогнута вниз.

Теперь мы суммируем в таблице 4.1 информацию, которую первая и вторая производные функции ff предоставляют о графике f, f, и проиллюстрируем эту информацию на рисунке 4.37.

Знак f′f ′ Знак f ″ f ″ Ff увеличивается или уменьшается? Вогнутость
Положительный Положительный Увеличение Вогнутый вверх
Положительный отрицательный Увеличение Вогнутый вниз
Отрицательный Положительный По убыванию Вогнутый вверх
Отрицательный отрицательный По убыванию Вогнутый вниз

Стол 4.1 Что производные говорят нам о графиках

Фигура 4,37 Рассмотрим дважды дифференцируемую функцию ff на открытом интервале И.И. Если f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 для всех x∈I, x∈I, функция возрастает по I.I. Если f ′ (x) <0f ′ (x) <0 для всех x∈I, x∈I, функция убывает по I.I. Если f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для всех x∈I, x∈I, функция вогнута вверх. Если f ″ (x) <0f ″ (x) <0 для всех x∈I, x∈I, функция вогнута вниз на I.I.

Тест второй производной

Тест первой производной предоставляет аналитический инструмент для поиска локальных экстремумов, но вторая производная также может использоваться для определения экстремальных значений.Иногда использование второй производной может быть более простым методом, чем использование первой производной.

Мы знаем, что если у непрерывной функции есть локальные экстремумы, они должны возникать в критической точке. Однако функция не обязательно должна иметь локальные экстремумы в критической точке. Здесь мы исследуем, как можно использовать тест второй производной, чтобы определить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке. Пусть ff — дважды дифференцируемая функция такая, что f ′ (a) = 0f ′ (a) = 0 и f ″ f ″ непрерывна на открытом интервале II, содержащем a.а. Предположим, что f ″ (a) <0. f ″ (a) <0. Поскольку f ″ f ″ непрерывна над I, I, f ″ (x) <0f ″ (x) <0 для всех x∈Ix∈I (рис. 4.38). Тогда по следствию 3,3 f′f ′ - убывающая функция над I.I. Поскольку f ′ (a) = 0, f ′ (a) = 0, заключаем, что для всех x∈I, f ′ (x)> 0x∈I, f ′ (x)> 0, если x ax> a. Следовательно, по тесту первой производной ff имеет локальный максимум при x = a.x = a. С другой стороны, предположим, что существует точка bb такая, что f ′ (b) = 0f ′ (b) = 0, но f ″ (b)> 0. f ″ (b)> 0. Поскольку f ″ f ″ непрерывна на открытом интервале II, содержащем b, b, то f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для всех x∈Ix∈I (рисунок 4.38). Тогда по следствию 3 f′3, f ′ — возрастающая функция над I.I. Поскольку f ′ (b) = 0, f ′ (b) = 0, мы заключаем, что для всех x∈I, x∈I, f ′ (x) <0f ′ (x) <0, если x 0f ′ (x)> 0, если x> bx> b. Следовательно, по тесту первой производной ff имеет локальный минимум при x = b.x = b.

Фигура 4,38 Рассмотрим дважды дифференцируемую функцию ff такую, что f ″ f ″ непрерывна. Поскольку f ′ (a) = 0f ′ (a) = 0 и f ″ (a) <0, f ″ (a) <0, существует интервал II, содержащий aa, такой, что для всех xx в I, I, ff равно увеличивается, если x a.х> а. В результате ff имеет локальный максимум при x = a.x = a. Поскольку f ′ (b) = 0f ′ (b) = 0 и f ″ (b)> 0, f ″ (b)> 0, существует интервал II, содержащий bb такой, что для всех xx в I, I, ff равно уменьшается, если x bx> b. В результате ff имеет локальный минимум при x = b.x = b.

Теорема 4.11

Второй производный тест

Предположим, что f ′ (c) = 0, f ″ f ′ (c) = 0, f ″ непрерывно на интервале, содержащем c.c.

  1. Если f ″ (c)> 0, f ″ (c)> 0, то ff имеет локальный минимум в c.c.
  2. Если f ″ (c) <0, f ″ (c) <0, то ff имеет локальный максимум в c.c.
  3. Если f ″ (c) = 0, f ″ (c) = 0, то проверка не дает результатов.

Обратите внимание, что для случая iii. когда f ″ (c) = 0, f ″ (c) = 0, тогда ff может иметь локальный максимум, локальный минимум или ни один из них в c.c. Например, функции f (x) = x3, f (x) = x3, f (x) = x4, f (x) = x4 и f (x) = — x4f (x) = — x4 все имеют критические указывает на x = 0.x = 0. В каждом случае вторая производная равна нулю при x = 0.x = 0. Однако функция f (x) = x4f (x) = x4 имеет локальный минимум при x = 0x = 0, тогда как функция f (x) = — x4f (x) = — x4 имеет локальный максимум при x, x, а функция f (x) = x3f (x) = x3 не имеет локального экстремума при x = 0.х = 0.

Давайте теперь посмотрим, как использовать тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в критической точке cc, где f ′ (c) = 0. f ′ (c) = 0.

Пример 4.20

Использование теста второй производной

Используйте вторую производную, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов для f (x) = x5−5×3.f (x) = x5−5×3.

Решение

Чтобы применить тест второй производной, нам сначала нужно найти критические точки cc, где f ′ (c) = 0.f ′ (c) = 0. Производная равна f ′ (x) = 5×4−15×2.f ′ (x) = 5×4−15×2. Следовательно, f ′ (x) = 5×4−15×2 = 5×2 (x2−3) = 0f ′ (x) = 5×4−15×2 = 5×2 (x2−3) = 0, когда x = 0, ± 3.x = 0, ± 3.

Чтобы определить, есть ли у ff локальные экстремумы в любой из этих точек, нам нужно оценить знак f ″ f ″ в этих точках. Вторая производная —

f ″ (x) = 20×3−30x = 10x (2×2−3). f ″ (x) = 20×3−30x = 10x (2×2−3).

В следующей таблице мы оцениваем вторую производную в каждой из критических точек и используем тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в любой из этих точек.

х х f ″ (x) f ″ (x) Заключение
−3−3 −303−303 Локальный максимум
00 00 Тест второй производной безрезультатно
33 303303 Местный минимум

Используя проверку второй производной, мы заключаем, что ff имеет локальный максимум при x = −3x = −3, а ff имеет локальный минимум при x = 3.х = 3. Тест второй производной не дает результатов при x = 0.x = 0. Чтобы определить, есть ли у ff локальные экстремумы при x = 0, x = 0, мы применяем тест первой производной. Чтобы оценить знак f ′ (x) = 5×2 (x2−3) f ′ (x) = 5×2 (x2−3) для x∈ (−3,0) x∈ (−3,0) и x∈ ( 0,3), x∈ (0,3), пусть x = −1x = −1 и x = 1x = 1 — две контрольные точки. Поскольку f ′ (- 1) <0f ′ (- 1) <0 и f ′ (1) <0, f ′ (1) <0, мы заключаем, что ff убывает на обоих интервалах и, следовательно, ff не имеет локальные экстремумы при x = 0x = 0, как показано на следующем графике.

Фигура 4.39 Функция ff имеет локальный максимум при x = −3x = −3 и локальный минимум при x = 3x = 3.

Контрольно-пропускной пункт 4,19

Рассмотрим функцию f (x) = x3− (32) x2−18x.f (x) = x3− (32) x2−18x. Точки c = 3, −2c = 3, −2 удовлетворяют условию f ′ (c) = 0. f ′ (c) = 0. Используйте тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в этих точках.

Мы разработали инструменты, необходимые для определения того, где функция увеличивается и уменьшается, а также получили понимание основной формы графика.В следующем разделе мы обсудим, что происходит с функцией при x → ± ∞.x → ± ∞. На данный момент у нас есть достаточно инструментов для создания точных графиков большого количества функций.

Раздел 4.5 Упражнения

194 .

Если cc является критической точкой для f (x), f (x), когда нет локального максимума или минимума в c? C? Объяснять.

195 .

Для функции y = x3, y = x3, является ли x = 0x = 0 точкой перегиба и локальным максимумом / минимумом?

196 .

Для функции y = x3, y = x3, является ли x = 0x = 0 точкой перегиба?

197 .

Может ли точка cc быть одновременно точкой перегиба и локальным экстремумом дважды дифференцируемой функции?

198 .

Зачем нужна непрерывность для первого производного теста? Придумайте пример.

199 .

Объясните, должна ли функция вогнутого вниз пересекать y = 0y = 0 для некоторого значения x.x.

200 .

Объясните, может ли многочлен степени 22 иметь точку перегиба.

Для следующих упражнений проанализируйте графики f ‘, f’, затем перечислите все интервалы, в которых ff увеличивается или уменьшается.

202 . 204 .

Для следующих упражнений проанализируйте графики f ′, f ′, затем перечислите все интервалы, где

  1. ff увеличивается и уменьшается и
  2. расположены минимумы и максимумы.
206 . 208 . 210 .

Для следующих упражнений проанализируйте графики f ‘, f’, затем перечислите все точки перегиба и интервалы ff, которые вогнуты вверх и вогнуты вниз.

212 . 214 .

Для следующих упражнений нарисуйте граф, который удовлетворяет заданным спецификациям для области xϵ [−3,3].хϵ [-3,3]. Функция не обязательно должна быть непрерывной или дифференцируемой.

216 .

f (x)> 0, f ′ (x)> 0f (x)> 0, f ′ (x)> 0 над x> 1, −3 1, −3 217 .

f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 над x> 2, −3 2, −3 218 .

f ″ (x) <0f ″ (x) <0 сверх −1 0, −3 0, −3 219 .

Существует локальный максимум при x = 2, x = 2, локальный минимум при x = 1, x = 1, и график не является ни вогнутым вверх, ни вогнутым вниз.

220 .

Имеются локальные максимумы при x = ± 1, x = ± 1, функция вогнута вверх для всех x, x, и функция остается положительной для всех x.x.

Для следующих упражнений определите

  1. интервалов увеличения или уменьшения ff и
  2. локальных минимумов и максимумов f.f.
221 .

f (x) = sinx + sin3xf (x) = sinx + sin3x над −π

Для следующих упражнений определите a.интервалы, где ff вогнута вверх или вогнута вниз, и b. точки перегиба ф.ф.

223 .

f (x) = x3−4×2 + x + 2f (x) = x3−4×2 + x + 2.

Для следующих упражнений определите

  1. интервалов увеличения или уменьшения ff,
  2. локальных минимумов и максимумов f, f,
  3. интервалов, где ff является вогнутым вверх и вогнутым вниз, и
  4. точки перегиба ф.ф.
225 .

f (x) = x3−6x2f (x) = x3−6×2

226 .

f (x) = x4−6x3f (x) = x4−6×3

227 .

f (x) = x11−6x10f (x) = x11−6×10

228 .

f (x) = x + x2 − x3 f (x) = x + x2 − x3

Для следующих упражнений определите

  1. интервалов увеличения или уменьшения ff,
  2. локальных минимумов и максимумов f, f,
  3. интервалов, где ff является вогнутым вверх и вогнутым вниз, и
  4. точки перегиба ф.ф. Нарисуйте кривую, а затем с помощью калькулятора сравните свой ответ. Если вы не можете определить точный ответ аналитически, воспользуйтесь калькулятором.
231 .

[T] f (x) = sin (πx) −cos (πx) f (x) = sin (πx) −cos (πx) над x = [- 1,1] x = [- 1,1 ]

232 .

[T] f (x) = x + sin (2x) f (x) = x + sin (2x) over x = [- π2, π2] x = [- π2, π2]

233 .

[T] f (x) = sinx + tanxf (x) = sinx + tanx над (−π2, π2) (- π2, π2)

234 .

[T] f (x) = (x − 2) 2 (x − 4) 2f (x) = (x − 2) 2 (x − 4) 2

235 .

[T] f (x) = 11 − x, x ≠ 1f (x) = 11 − x, x ≠ 1

236 .

[T] f (x) = sinxxf (x) = sinxx над x = x = [2π, 0) ∪ (0,2π] [2π, 0) ∪ (0,2π]

237 .

f (x) = sin (x) exf (x) = sin (x) ex над x = [- π, π] x = [- π, π]

238 .

f (x) = lnxx, x> 0 f (x) = lnxx, x> 0

239 .

f (x) = 14x + 1x, x> 0 f (x) = 14x + 1x, x> 0

240 .

f (x) = exx, x ≠ 0 f (x) = exx, x ≠ 0

Для следующих упражнений интерпретируйте предложения в терминах f, f ′ и f ″ .f, f ′ и f ″.

241 .

Население растет медленнее. Здесь ff — население.

242 .

Велосипед ускоряется быстрее, а машина едет быстрее.Здесь f = f = положение велосипеда минус положение автомобиля.

243 .

Самолет плавно приземляется. Здесь ff — высота самолета.

244 .

Цены на акции на пике. Здесь ff — цена акции.

245 .

Экономика набирает обороты. Здесь ff — это показатель экономики, например ВВП.

Для следующих упражнений рассмотрим многочлен третьей степени f (x), f (x), который обладает свойствами f ′ (1) = 0, f ′ (3) = 0. f ′ (1) = 0, f ′ (3) = 0. Определите, являются ли следующие утверждения истинными или ложными .Обосновать ответ.

246 .

f (x) = 0f (x) = 0 для некоторых 1≤x≤31≤x≤3

247 .

f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 для некоторого 1≤x≤31≤x≤3

248 .

Абсолютного максимума не существует при x = 3x = 3

249 .

Если f (x) f (x) имеет три корня, то у нее 11 точек перегиба.

250 .

Если f (x) f (x) имеет одну точку перегиба, то она имеет три действительных корня.

Заметки по исчислению I, раздел 2-10

Заметки по исчислению I, разделы 2-10 Примечания, Урок 2.10
Что значит f ‘ Про f ?

Первая производная функции — это выражение, которое сообщает нам наклон касательной линия к кривой в любой момент. Из-за этого определения первый производная функции многое говорит нам о функции. Если положительный, то должен увеличиваться. Если отрицательный, то должен уменьшаться. Если равно нулю, то должно быть при относительном максимуме или относительном минимуме.говорит нам похожие вещи о. также дает нам ценную информацию о. В в частности, он сообщает нам, когда функция вогнута вверх, вогнута вниз, или есть точка перегиба. Такой же тип информации указал о по и так далее.

увеличение +
уменьшение
относительный мин.или макс. 0
вогнуться увеличение +
вогнуться уменьшение
точка перегиба относительный мин. или макс. 0
вогнуться увеличение +
вогнуться уменьшение
точка перегиба относительный мин. или макс. 0
вогнуться увеличение
вогнуться уменьшение
точка перегиба относительный мин.или макс.
вогнуться
вогнуться
точка перегиба



Использование Инструменты для обогащения Calculus CD (пришедший вместе с книгой), загрузите и запустите модуль 2.10 . Этот модуль позволит вам попрактиковаться в использовании графической информации. о f ‘для определения наклона графика ф ..

Определение:

Первоначальное Первоначальная производная f является функция F такая, что F ‘ = f .

Здесь мы видим процесс, обратный тому, что мы изучение.Мы начинаем с производной, и мы хотим найти функцию. Этот тип процесса открытия является общим для научных экспериментов и данных встреча.

Во-первых, нам нужно знать, что разные функции могут результат в точно такая же производная. Посмотрите на пример ниже:

Здесь мы видим семейство кривых, построенных с их общая производная.

Семейство параболических функций:, где c принимает значения: -1, 0, 1, 2, 3 и 4.

Прямая линия на графике выше. Это
производная функция для всех шести параболических функций.
Поскольку дериватив — это прежде всего инструмент для определение формы функции положение графика не влияет на форму. Следовательно совпадающие кривые, которые ориентированы одинаково, но имеют разные позиция имеют такую ​​же производную.

Проверить концепции
# 1: положительная производная что насчет функции?

Выберите одну функцию положительная функция отрицательная функция возрастающая функция убывающая

# 2: отрицательная секунда производная говорит, что насчет функция?

Выберите одну функцию уменьшается Функция вогнута вниз Функция отрицательный

# 3: Верно или неверно.В производная функции также функция.

Выберите одно верно неверно

# 4: Вторая производная нуля говорит, что насчет оригинальная функция?

Выберите там точка перегиба Есть относительный минимум или максимум It должна быть постоянной функцией

# 5: Верно или неверно.А вторая производная функции дает ценную информацию о функции.

Выберите одно верно неверно



4.5 Производные и форма графика — Объем исчисления 1

Цели обучения

  • Объясните, как знак первой производной влияет на форму графика функции.
  • Укажите первую производную проверку критических точек.
  • Используйте точки вогнутости и перегиба, чтобы объяснить, как знак второй производной влияет на форму графика функции.
  • Объясните тест на вогнутость функции на открытом интервале.
  • Объясните связь между функцией и ее первой и второй производными.
  • Укажите критерий второй производной для локальных экстремумов.

Ранее в этой главе мы заявляли, что если функция имеет локальный экстремум в точке, то она должна быть критической точкой. Однако не гарантируется, что функция имеет локальный экстремум в критической точке.Например, имеет критическую точку в, поскольку в точке равен нулю, но в точке нет локального экстремума. Используя результаты из предыдущего раздела, теперь мы можем определить, действительно ли критическая точка функции соответствует локальному экстремальному значению. В этом разделе мы также увидим, как вторая производная предоставляет информацию о форме графика, описывая, изгибается ли график функции вверх или вниз.

Следствие 3 теоремы о среднем значении показало, что если производная функции положительна на интервале, то функция возрастает на протяжении С другой стороны, если производная функции отрицательна на интервале, то функция убывает на протяжении как показано на следующем рисунке.

0. Другими словами, f увеличивается. На рисунке b показана функция, вогнутая, возрастающая от (a, f (a)) до (b, f (b)). В двух точках берется производная, и отмечается, что в обеих точках f ’> 0. Другими словами, f увеличивается. На рисунке c показана функция, вогнутая, убывающая от (a, f (a)) до (b, f (b)). В двух точках берется производная, и отмечается, что в обеих f ’<0. Другими словами, f уменьшается. На рисунке d показана функция, выпукло убывающая от (a, f (a)) до (b, f (b)). В двух точках берется производная, и отмечается, что в обеих точках f ’<0.Другими словами, f уменьшается. "> Рисунок 1. Обе функции растут в интервале В каждой точке производная Обе функции убывают в интервале В каждой точке производная

Непрерывная функция имеет локальный максимум в точке тогда и только тогда, когда она переключается с увеличения на уменьшение в точке. за исключением, возможно, единственного способа переключиться с увеличения на уменьшение (или наоборот) в точке, если меняет знак при увеличении через If, дифференцируемо единственным способом, который может изменять знак при увеличении через, если, следовательно, для функции, которая является непрерывной в течение интервала, содержащего и дифференцируемого, за исключением, возможно, единственного способа переключения с увеличения на уменьшение (или наоборот) — if или undefined.Следовательно, чтобы найти локальные экстремумы для функции, мы ищем точки в области определения таких, что или не определено. Напомним, такие точки называются критическими точками

.

Обратите внимание, что нет необходимости иметь локальные экстремумы в критической точке. Критические точки являются кандидатами только в локальные экстремумы. На (Рисунок) мы показываем, что если непрерывная функция имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке, но функция может не иметь локального экстремума в критической точке. Мы показываем, что если в критической точке имеется локальный экстремум, то знак переключается как увеличивается через эту точку.

Используя (рисунок), мы суммируем основные результаты, касающиеся локальных экстремумов.

Этот результат известен как тест первой производной .

Мы можем резюмировать тест первой производной как стратегию поиска локальных экстремумов.

Теперь давайте посмотрим, как использовать эту стратегию для поиска всех локальных экстремумов для определенных функций.

Использование теста первой производной для поиска локальных экстремумов

Используйте первый производный тест, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для

Решение

имеет локальный минимум -2 и локальный максимум 3.

Использование первого производного теста

Используйте первый производный тест, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для

Решение

не имеет локальных экстремумов, потому что не меняет знак на

Теперь мы знаем, как определить, где функция увеличивается или уменьшается.Однако есть еще одна проблема, которую следует учитывать в отношении формы графика функции. Если график изгибается, изгибается ли он вверх или вниз? Это понятие называется вогнутостью функции.

(Рисунок) (a) показывает функцию с графиком, который изгибается вверх. По мере увеличения наклон касательной увеличивается. Таким образом, поскольку производная увеличивается с увеличением, является возрастающей функцией. Мы говорим, что эта функция вогнута вверх . (Рисунок) (b) показывает функцию, которая изгибается вниз.По мере увеличения наклон касательной уменьшается. Поскольку производная убывает при увеличении, является убывающей функцией. Мы говорим, что эта функция — вогнутая вниз .

В общем, не имея графика функции, как мы можем определить ее вогнутость? По определению функция вогнута вверх, если возрастает. Из следствия 3 мы знаем, что if — дифференцируемая функция, то увеличивается, если ее производная. Следовательно, дважды дифференцируемая функция вогнута вверх, когда Аналогично, функция вогнута вниз, если убывает.Мы знаем, что дифференцируемая функция убывает, если ее производная. Следовательно, дважды дифференцируемая функция вогнута вниз, когда Применение этой логики известно как тест на вогнутость .

Мы пришли к выводу, что мы можем определить вогнутость функции, посмотрев на вторую производную от. Кроме того, мы замечаем, что функция может переключать вогнутость ((рисунок)). Однако непрерывная функция может переключать вогнутость только в точке, если или не определено. Следовательно, чтобы определить интервалы, в которых функция вогнута вверх и вогнута вниз, мы ищем те значения, где или не определено.Когда мы определили эти точки, мы разделим область на меньшие интервалы и определим знак для каждого из этих меньших интервалов. Если меняет знак, когда мы проходим через точку, то меняется и вогнутость. Важно помнить, что функция не может изменять вогнутость в точке, даже если или не определено. Если, однако, вогнутость в какой-то точке меняется и остается непрерывной в точке, мы говорим, что точка является точкой перегиба из

Испытание на вогнутость

Для функции определите все интервалы, где находится вогнутый вверх, и все интервалы, где вогнутый вниз.Перечислите все точки перегиба для использования графической утилиты, чтобы подтвердить свои результаты.

Теперь мы суммируем на (Рисунок) информацию, которую первая и вторая производные функции предоставляют о графике, и проиллюстрируем эту информацию на (Рисунок).

Что производные говорят нам о графиках
Знак Знак Увеличивается или уменьшается? Вогнутость
Положительный Положительный Увеличение Вогнутый вверх
Положительный отрицательный Увеличение Вогнутая вниз
Отрицательный Положительный По убыванию Вогнутый вверх
Отрицательный отрицательный Уменьшение Вогнутая вниз

Тест первой производной предоставляет аналитический инструмент для поиска локальных экстремумов, но вторая производная также может использоваться для определения экстремальных значений.Иногда использование второй производной может быть более простым методом, чем использование первой производной.

Мы знаем, что если у непрерывной функции есть локальные экстремумы, они должны возникать в критической точке. Однако функция не обязательно должна иметь локальные экстремумы в критической точке. Здесь мы исследуем, как тест второй производной может использоваться, чтобы определить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке. Пусть — дважды дифференцируемая функция такая, что и непрерывна на открытом интервале, содержащем Предположим, что поскольку она непрерывна для всех ((рисунок)).Тогда, согласно следствию 3, является убывающей функцией над Поскольку мы заключаем, что для всех, если и если Следовательно, по первому критерию производной, имеет локальный максимум в С другой стороны, предположим, что существует точка такая, что, но С непрерывно над открытый интервал, содержащий затем для всех ((Рисунок)). Тогда по следствию есть возрастающая функция над Поскольку мы заключаем, что для всех, если и если Следовательно, по первому критерию производной, имеет локальный минимум на

Обратите внимание, что для случая iii.когда тогда может быть локальный максимум, локальный минимум или ни один из них, например, функции и все имеют критические точки в В каждом случае вторая производная равна нулю в точке Однако функция имеет локальный минимум в, тогда как функция имеет локальный минимум максимум при и функция не имеет локального экстремума при

Давайте теперь посмотрим, как использовать второй тест производной, чтобы определить, есть ли локальный максимум или локальный минимум в критической точке, где

Использование теста второй производной

Используйте вторую производную, чтобы найти местоположение всех локальных экстремумов для

Мы разработали инструменты, необходимые для определения того, где функция увеличивается и уменьшается, а также получили понимание основной формы графика.В следующем разделе мы обсудим, что происходит с функцией. На этом этапе у нас есть достаточно инструментов для создания точных графиков большого разнообразия функций.

1. If — критическая точка, когда нет локального максимума или минимума в Объяснении.

2. Для функции одновременно точка перегиба и локальный максимум / минимум?

Решение

Это не локальный максимум / минимум, потому что не меняет знак

3. Для функции это точка перегиба?

4. Может ли точка быть одновременно точкой перегиба и локальным экстремумом дважды дифференцируемой функции?

5. Зачем нужна непрерывность для первого производного теста? Придумайте пример.

6. Объясните, должна ли функция вогнутого вниз пересекаться для некоторого значения

Решение

Ложь; например,

7. Объясните, может ли многочлен степени 2 иметь точку перегиба.

Для следующих упражнений проанализируйте графики и перечислите все интервалы, в которых увеличивается или уменьшается.

9. 10.
Решение

Уменьшение для увеличения для

11. 12.

Для следующих упражнений проанализируйте графики, затем перечислите все интервалы, где

  1. увеличивается и уменьшается и
  2. расположены минимумы и максимумы.
13. 14. 15. 16.
Решение

а. Увеличивается по уменьшению в течение b. Минимум

17.

Для следующих упражнений проанализируйте графики и перечислите все точки перегиба и интервалы, которые являются вогнутыми вверх и вогнутыми вниз.

18.
Решение

Вогнутость во всех точках без перегиба

19. 20.
Решение

Вогнутость во всех точках без перегиба

21. 22,

Для следующих упражнений нарисуйте график, который удовлетворяет заданным спецификациям для области. Функция не обязательно должна быть непрерывной или дифференцируемой.

Решение

Ответы будут отличаться

25. выше локального максимума в локальных минимумах на

26. Существует локальный максимум в локальном минимуме в, и график не вогнут вверх и не вогнут вниз.

Решение

Ответы будут отличаться

27. Имеются локальные максимумы на функции, вогнутая для всех, и функция остается положительной для всех

Для следующих упражнений определите

  1. интервалов увеличения или уменьшения и
  2. локальных минимумов и
  3. максимумов

29.

Для следующих упражнений определите a. интервалы, где вогнутый вверх или вогнутый вниз, и b. точки перегиба

30.

Решение

а.Вогнутое вверх для вогнутого вниз для b. Точка перегиба на

Для следующих упражнений определите

  1. интервалов увеличения или уменьшения,
  2. локальных минимумов и
  3. максимумов
  4. интервалов, где находится вогнутый вверх и вогнутый вниз, и
  5. точки перегиба

31.

32.

33.

34.

35.

37.

Для следующих упражнений определите

  1. интервалов увеличения или уменьшения,
  2. локальных минимумов и
  3. максимумов
  4. интервалов, где находится вогнутый вверх и вогнутый вниз, и
  5. точек перегиба нарисуйте кривую, затем с помощью калькулятора сравните свой ответ. Если вы не можете определить точный ответ аналитически, воспользуйтесь калькулятором.

38. [T] свыше

39.[T] более

41. [Т]

42. [Т]

Решение

а. Увеличение для всех, где это определено b. Нет локальных минимумов или максимумов c. Вогнусь вверх для вогнутости вниз на d. В домене

нет точек перегиба

44. более

45.

46.

47.

Для следующих упражнений интерпретируйте предложения в терминах

.

48. Население растет медленнее. Вот население.

Решение

49. Велосипед ускоряется быстрее, но автомобиль едет быстрее. Здесь позиция велосипеда минус позиция автомобиля.

50. Самолет плавно приземляется. Вот высота самолета.

Решение

51. Цены на акции достигли пика. Вот цена акции.

52. Экономика набирает обороты.Вот такой показатель экономики, как ВВП.

Решение

Для следующих упражнений рассмотрите многочлен третьей степени, который имеет свойства Определить, являются ли следующие утверждения истинными или ложными . Обосновать ответ.

53. для некоторых

54. для некоторых

Решение

Верно, по теореме о среднем значении

55. Абсолютного максимума на

нет

56. Если имеет три корня, то имеет 1 точку перегиба.

Решение

Верно, изучите производную

57. Если имеет одну точку перегиба, значит, у него три реальных корня.

Как сравнить график функции и ее производной — блог Magoosh

Чтение графика производной является важной частью учебной программы AP Calculus. Типичные задачи исчисления включают получение функции или графика функции и поиск информации о точках перегиба, наклоне, вогнутости или существовании производной.

Существует ли производная?

Во-первых, глядя на график, мы должны знать, существует ли вообще производная функции. В нашем производном блоге есть немного больше информации об этом.

Три ситуации, когда производная не существует

Производная не существует, если на кривой есть разрыв.

Это любой момент, когда есть излом кривой, когда две части кривой не соединяются.

Типы несплошностей:

Имеется устранимая несплошность.Представьте себе линейную функцию, такую ​​как y = x + 3. Если бы мы добавили ограничение, в котором x не определено при x = 0, у нас был бы такой разрыв.

Бесконечный разрыв. Это происходит, когда у нас есть какое-либо уравнение, в котором есть разрыв между двумя непрерывными участками кривой из-за того, что асимптоты достигают бесконечности. Например, пусть y = 3 / (x-2). Обратите внимание, у нас есть две вертикальные асимптоты, которые не соединяются.

И, наконец, разрыв скачка.Это происходит с кусочными функциями, где две секции просто не соединяются.

Не существует производной там, где есть острый угол.

Это часто происходит с проблемами абсолютного значения. Давайте посмотрим на график y = √x 2

При x = 0 производной нет, потому что у нас есть резкий изгиб кривой.

Наконец, нет производной везде, где есть вертикальный разрез графика.

Если есть вертикальное сечение графика, наклон не определен; следовательно, производной не существует.

Чтение графика производных.

Глядя на график, мы должны иметь возможность быстро оценить наклон на любом участке и получить приблизительное представление о том, каким должен быть наклон. Это позволяет легко сопоставить график с его производной.

Глядя на первый график, можете ли вы выяснить, какой из трех приведенных ниже графиков является графиком производной?

f ‘(x):

a

b

c

Несколько ключей к правильному ответу.Сразу должно быть видно, что это какая-то тригонометрическая функция. Мы знаем, что наклон функции равен 0 в нескольких точках; поэтому график производной в какой-то момент должен проходить через ось абсцисс. Также, глядя на график, мы должны увидеть, что это происходит где-то между -2,5 и 0, а также между 0 и 2,5. Одного этого достаточно, чтобы увидеть, что последний график является правильным ответом.

Построение графика функции на основе производной и двойной производной.

Производная и двойная производная говорят нам несколько ключевых вещей о графике:

(Хорошая практика AP: как мы можем определить, является ли он минимальным или максимальным?)

график производной функции f (x).

Вот график функции. Можем ли мы увидеть, как они соотносятся?

Умение читать графики производной и знать, какой должна быть общая форма исходной функции, является важной частью учебной программы AP Calculus. Убедитесь, что вы знаете, как определять точки перегиба, локальные минимумы и максимумы, а также где функция увеличивается или уменьшается.

Гарантированно повысьте свой результат по SAT или ACT. Начните 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh SAT Prep или 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh ACT Prep уже сегодня!

  • Захари — бывший инженер-механик, учитель физики, математики и информатики в средней школе.Он окончил Университет Макгилла в 2011 году и работал в автомобильной промышленности в Детройте, прежде чем перейти к образованию. Он преподает и занимается репетиторством в течение последних пяти лет, но вы также можете найти его в приключениях, чтении, скалолазании и путешествиях, когда появляется такая возможность.

    Просмотреть все сообщения

Кстати, Magoosh может помочь вам подготовиться к экзаменам SAT и ACT. Нажмите сюда, чтобы узнать больше!

4.3: Как производные влияют на форму графа

Ранее в этой главе мы заявляли, что если функция \ (f \) имеет локальный экстремум в точке \ (c \), то \ (c \) должен быть критическая точка \ (f \).2 \) равен нулю в точке \ (x = 0 \), но \ (f \) не имеет локального экстремума в точке \ (x = 0 \). Используя результаты из предыдущего раздела, теперь мы можем определить, действительно ли критическая точка функции соответствует локальному экстремальному значению. В этом разделе мы также увидим, как вторая производная предоставляет информацию о форме графика, описывая, изгибается ли график функции вверх или вниз.

Первый производный тест

Следствие \ (3 \) теоремы о среднем значении показало, что если производная функции положительна на интервале \ (I \), то функция возрастает на \ (I \).С другой стороны, если производная функции отрицательна на интервале \ (I \), то функция убывает на протяжении \ (I \), как показано на следующем рисунке.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Обе функции увеличиваются в интервале \ ((a, b) \). В каждой точке \ (x \) производная \ (f ‘(x)> 0 \). Обе функции убывают на интервале \ ((a, b) \). В каждой точке \ (x \) производная \ (f ‘(x) <0. \)

Непрерывная функция \ (f \) имеет локальный максимум в точке \ (c \) тогда и только тогда, когда \ (f \) переключается с увеличения на уменьшение в точке \ (c \).Аналогично, \ (f \) имеет локальный минимум в \ (c \) тогда и только тогда, когда \ (f \) переключается с уменьшения на увеличение в \ (c \). Если \ (f \) — непрерывная функция на интервале \ (I \), содержащем \ (c \) и дифференцируемая над \ (I \), за исключением, возможно, точки \ (c \), единственный способ \ (f \) может переключаться с увеличения на уменьшение (или наоборот) в точке \ (c \), если \ (f ‘\) меняет знак, когда \ (x \) увеличивается на \ (c \). Если \ (f \) дифференцируема в \ (c \), единственный способ, которым \ (f ‘\). может менять знак при увеличении \ (x \) на \ (c \), если \ (f ‘(c) = 0 \).Следовательно, для функции \ (f \), непрерывной на интервале \ (I \), содержащем \ (c \) и дифференцируемой над \ (I \), за исключением, возможно, точки \ (c \), единственный путь \ ( f \) может переключаться с увеличения на уменьшение (или наоборот), если \ (f ‘(c) = 0 \) или \ (f’ (c) \) не определено. Следовательно, чтобы найти локальные экстремумы для функции \ (f \), мы ищем точки \ (c \) в области определения \ (f \) такие, что \ (f ‘(c) = 0 \) или \ (f ‘(c) \) не определено. Напомним, что такие точки называются критическими точками \ (f \).

Обратите внимание, что \ (f \) не обязательно иметь локальные экстремумы в критической точке.Критические точки являются кандидатами только в локальные экстремумы. На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) показано, что если непрерывная функция \ (f \) имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке, но функция может не иметь локального экстремума в критической точке. . Мы показываем, что если \ (f \) имеет локальный экстремум в критической точке, то знак \ (f ‘\) переключается, когда \ (x \) увеличивается через эту точку.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): функция \ (f \) имеет четыре критических точки: \ (a, b, c \) и \ (d \). Функция \ (f \) имеет локальные максимумы в \ (a \) и \ (d \) и локальный минимум в \ (b \).Функция \ (f \) не имеет локального экстремума в точке \ (c \). Знак \ (f ‘\) меняется на всех локальных экстремумах.

Используя рисунок \ (\ PageIndex {2} \), мы суммируем основные результаты, касающиеся локальных экстремумов.

  • Если непрерывная функция \ (f \) имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке \ (c \).
  • Функция имеет локальный экстремум в критической точке \ (c \) тогда и только тогда, когда производная \ (f ‘\) меняет знак при увеличении \ (x \) на \ (c \).
  • Следовательно, чтобы проверить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке \ (c \), мы должны определить знак \ (f ‘(x) \) слева и справа от \ (c \).

Этот результат известен как тест первой производной .

Первый производный тест

Предположим, что \ (f \) — непрерывная функция на интервале \ (I \), содержащем критическую точку \ (c \). Если \ (f \) дифференцируема над \ (I \), за исключением, возможно, точки \ (c \), то \ (f (c) \) удовлетворяет одному из следующих описаний:

  1. Если \ (f ‘\) меняет знак с положительного, когда \ (x c \), то \ (f (c) \) является локальным максимумом \ (f \ ).
  2. Если \ (f ‘\) меняет знак с отрицательного, когда \ (x c \), то \ (f (c) \) является локальным минимумом \ (f \) .
  3. Если \ (f ‘\) имеет одинаковый знак для \ (x c \), то \ (f (c) \) не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом \ ( е \)

Теперь давайте посмотрим, как использовать эту стратегию для поиска всех локальных экстремумов для определенных функций. 2−9x − 1.2−2x − 3) = 3 (x − 3) (x + 1) = 0. \ nonumber \]

Следовательно, критическими точками являются \ (x = 3, −1. \). Теперь разделим интервал \ ((- ∞, ∞) \) на меньшие интервалы \ ((- ∞, −1), (- 1, 3) \) и \ ((3, ∞). \)

Шаг 2. Поскольку \ (f ‘\) — непрерывная функция, для определения знака \ (f’ (x) \) на каждом подынтервале достаточно выбрать точку на каждом из интервалов \ ((- ∞ , −1), (- 1,3) \) и \ ((3, ∞) \) и определяют знак \ (f ‘\) в каждой из этих точек. Например, давайте выберем \ (x = −2 \), \ (x = 0 \) и \ (x = 4 \) в качестве контрольных точек.2−9x − 1. \) Интервал Контрольная точка Знак \ (f ‘(x) = 3 (x − 3) (x + 1) \) в контрольной точке Заключение \ ((- ∞, −1) \) \ (х = -2 \) (+) (-) (-) = + \ (f \) увеличивается. \ ((- 1,3) \) \ (х = 0 \) (+) (-) (+) = + \ (f \) увеличивается. \ ((3, ∞) \) \ (х = 4 \) (+) (+) (+) = + \ (f \) увеличивается.

Шаг 3. Поскольку \ (f ‘\) меняет знак с положительного на отрицательный, когда \ (x \) увеличивается на \ (1 \), \ (f \) имеет локальный максимум в \ (x = −1 \). Поскольку \ (f ‘\) меняет знак с отрицательного на положительный, когда \ (x \) увеличивается до \ (3 \), \ (f \) имеет локальный минимум в \ (x = 3 \). Эти аналитические результаты согласуются со следующим графиком.2 + 18x.{2/3}}\) at Test Point»> \ (\ frac {(+) (-)} {+} = — \) \ (f \) убывает.

Шаг 3: Поскольку \ (f \) убывает на интервале \ ((- ∞, −1) \) и увеличивается на интервале \ ((- 1,0) \), \ (f \) имеет локальный минимум в точке \ (x = −1 \). Поскольку \ (f \) возрастает на интервале \ ((- 1,0) \) и интервале \ ((0,1) \), \ (f \) не имеет локального экстремума в точке \ (x = 0 \). Поскольку \ (f \) возрастает на интервале \ ((0,1) \) и убывает на интервале \ ((1, ∞) \), \ (f \) имеет локальный максимум при \ (x = 1 \).Аналитические результаты согласуются со следующим графиком.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): функция \ (f \) имеет локальный минимум в точке \ (x = −1 \) и локальный максимум в точке \ (x = 1 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для \ ((x) = \ dfrac {3} {x − 1} \).

Подсказка

Единственная критическая точка \ (f \) — это \ (x = 1. \)

Ответ

\ (f \) не имеет локальных экстремумов, потому что \ (f ‘\) не меняет знак в \ (x = 1 \).

Вогнутость и точки перегиба

Теперь мы знаем, как определить, где функция увеличивается или уменьшается. Однако есть еще одна проблема, которую следует учитывать в отношении формы графика функции. Если график изгибается, изгибается ли он вверх или вниз? Это понятие называется вогнутостью функции.

На рисунке \ (\ PageIndex {4a} \) показана функция \ (f \) с графиком, который изгибается вверх. По мере увеличения \ (x \) наклон касательной увеличивается.Таким образом, поскольку производная увеличивается с увеличением \ (x \), \ (f ‘\) является возрастающей функцией. Мы говорим, что эта функция \ (f \) вогнута вверх. На рисунке \ (\ PageIndex {4b} \) показана функция \ (f \), которая изгибается вниз. По мере увеличения \ (x \) наклон касательной уменьшается. Поскольку производная убывает при увеличении \ (x \), \ (f ‘\) — убывающая функция. Мы говорим, что эта функция \ (f \) вогнута вниз.

Определение: тест на вогнутость

Пусть \ (f \) — функция, дифференцируемая на открытом интервале \ (I \).Если \ (f ‘\) увеличивается над \ (I \), мы говорим, что \ (f \) — это вогнутое вверх на над \ (I \). Если \ (f ‘\) убывает над \ (I \), мы говорим, что \ (f \) на вогнута вниз на над \ (I \).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): (a), (c) Поскольку \ (f ‘\) увеличивается на интервале \ ((a, b) \), мы говорим, что \ (f \) вогнутая вверх над \ ((a, b). (b), (d) \) Поскольку \ (f ‘\) убывает на интервале \ ((a, b) \), мы говорим, что \ (f \) вогнутая вниз над \ ((a, b). \)

В общем, не имея графика функции \ (f \), как мы можем определить ее вогнутость? По определению функция \ (f \) вогнута вверх, если \ (f ‘\) возрастает.Из следствия \ (3 \) мы знаем, что если \ (f ‘\) — дифференцируемая функция, то \ (f’ \) возрастает, если его производная \ (f » (x)> 0 \). Следовательно, дважды дифференцируемая функция \ (f \) вогнута вверх, когда \ (f » (x)> 0 \). Точно так же функция \ (f \) вогнута вниз, если \ (f ‘\) убывает. Мы знаем, что дифференцируемая функция \ (f ‘\) убывает, если ее производная \ (f’ ‘(x) <0 \). Следовательно, дважды дифференцируемая функция \ (f \) вогнута вниз, когда \ (f '' (x) <0 \). Применение этой логики известно как тест на вогнутость .

Испытание на вогнутость

Пусть \ (f \) — функция, дважды дифференцируемая на интервале \ (I \).

  1. Если \ (f » (x)> 0 \) для всех \ (x∈I \), то \ (f \) вогнута вверх над \ (I \)
  2. Если \ (f » (x) <0 \) для всех \ (x∈I, \), то \ (f \) вогнута вниз над \ (I \).

Мы заключаем, что мы можем определить вогнутость функции \ (f \), глядя на вторую производную от \ (f \). Кроме того, мы видим, что функция \ (f \) может переключать вогнутость (рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).Однако непрерывная функция может переключать вогнутость только в точке \ (x \), если \ (f » (x) = 0 \) или \ (f » (x) \) не определено. Следовательно, чтобы определить интервалы, в которых функция \ (f \) вогнута вверх и вогнута вниз, мы ищем те значения \ (x \), где \ (f » (x) = 0 \) или \ (f ‘ ‘(x) \) не определено. Когда мы определили эти точки, мы разделим область определения \ (f \) на меньшие интервалы и определим знак \ (f » \) на каждом из этих меньших интервалов. Если \ (f » \) меняет знак, когда мы проходим через точку \ (x \), то \ (f \) меняет вогнутость.Важно помнить, что функция \ (f \) не может изменять вогнутость в точке \ (x \), даже если \ (f » (x) = 0 \) или \ (f » (x) \) не определено. Если, однако, \ (f \) действительно меняет вогнутость в точке \ (a \) и \ (f \) непрерывно в \ (a \), мы говорим, что точка \ ((a, f (a)) \ ) точка перегиба \ (f \).

Определение: точка перегиба

Если \ (f \) непрерывен в \ (a \) и \ (f \) меняет вогнутость в \ (a \), точка \ ((a, \, f (a)) \) является точкой точка перегиба \ (f \).2−12x + 9, \), поэтому вторая производная равна \ (f » (x) = 6x − 12. \) Если функция меняет вогнутость, это происходит либо при \ (f » (x) = 0 \) или \ (f » (x) \) не определено. Поскольку \ (f » \) определено для всех действительных чисел \ (x \), нам нужно только найти, где \ (f » (x) = 0 \). Решая уравнение \ (6x − 12 = 0 \), мы видим, что \ (x = 2 \) — единственное место, где \ (f \) может изменить вогнутость. Теперь мы проверяем точки на интервалах \ ((- ∞, 2) \) и \ ((2, ∞) \), чтобы определить вогнутость \ (f \). Точки \ (x = 0 \) и \ (x = 3 \) являются контрольными точками для этих интервалов.2 + 9x + 30. \) Интервал Контрольная точка Знак \ (f » (x) = 6x − 12 \) в контрольной точке Заключение \ ((- ∞, 2) \) \ (х = 0 \) – \ (f \) вогнутая вниз \ ((2, ∞) \) \ (х = 3 \) + \ (f \) вогнутая вверх

Мы заключаем, что \ (f \) вогнута вниз на интервале \ ((- ∞, 2) \) и вогнута вверх на интервале \ ((2, ∞) \).2 + 18x \), найти все интервалы, где \ (f \) вогнуто вверх, и все интервалы, где \ (f \) вогнуто вниз.

Подсказка

Найти где \ (f » (x) = 0 \)

Ответ

\ (f \) вогнута вверх на интервале \ ((- ∞, \ frac {1} {2}) \) и вогнута вниз на интервале \ ((\ frac {1} {2}, ∞) \ )

Теперь мы суммируем в таблице \ (\ PageIndex {4} \) информацию, которую первая и вторая производные функции \ (f \) предоставляют о графике \ (f \), и проиллюстрируем эту информацию на рисунке. \ (\ PageIndex {8} \).

Таблица: \ (\ PageIndex {4} \): Что производные говорят нам о графиках
Знак \ (f ‘\) Знак \ (f » \) \ (f \) увеличивается или уменьшается? Вогнутость
Положительный Положительно Увеличение Вогнутый вверх
Положительный отрицательный Увеличение Вогнутая вниз
Отрицательный Положительно Уменьшение Вогнутый вверх
Отрицательный отрицательный Уменьшение Вогнутая вниз
Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): Рассмотрим дважды дифференцируемую \ (I \) на открытом интервале \ (I \).Если \ (f ‘(x)> 0 \) для всех \ (x∈I \), функция возрастает по \ (I \). Если \ (f ‘(x) <0 \) для всех \ (x∈I \), функция убывает по \ (I \). Если \ (f '' (x)> 0 \) для всех \ (x∈I \), функция вогнута вверх. Если \ (f » (x) <0 \) для всех \ (x∈I \), функция вогнута вниз на \ (I \).

Тест второй производной

Тест первой производной предоставляет аналитический инструмент для поиска локальных экстремумов, но вторая производная также может использоваться для определения экстремальных значений. Иногда использование второй производной может быть более простым методом, чем использование первой производной.

Мы знаем, что если у непрерывной функции есть локальный экстремум, он должен произойти в критической точке. Однако функция не обязательно должна иметь локальный экстремум в критической точке. Здесь мы исследуем, как тест второй производной может использоваться, чтобы определить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке. Пусть \ (f \) — дважды дифференцируемая функция такая, что \ (f ‘(a) = 0 \) и \ (f’ ‘\) непрерывна на открытом интервале \ (I \), содержащем \ (a \) . Предположим, что \ (f » (a) <0 \). Поскольку \ (f '' \) непрерывно над \ (I, f '' (x) <0 \) для всех \ (x∈I \) (рисунок \ (\ PageIndex {9} \)).Тогда по следствию \ (3 \) \ (f '\) - убывающая функция над \ (I \). Поскольку \ (f '(a) = 0 \), мы заключаем, что для всех \ (x∈I, \, f' (x)> 0 \), если \ (x a \). Следовательно, по критерию первой производной \ (f \) имеет локальный максимум в \ (x = a \).

С другой стороны, предположим, что существует точка \ (b \) такая, что \ (f ‘(b) = 0 \), но \ (f’ ‘(b)> 0 \). Поскольку \ (f » \) непрерывно на открытом интервале \ (I \), содержащем \ (b \), то \ (f » (x)> 0 \) для всех \ (x∈I \) (рис. \ (\ PageIndex {9} \)).Тогда по следствию \ (3 \) \ (f ‘\) — возрастающая функция над \ (I \). Поскольку \ (f ‘(b) = 0 \), мы заключаем, что для всех \ (x∈I \), \ (f’ (x) <0 \), если \ (x 0 \), если \ (x> b \). Следовательно, по критерию первой производной \ (f \) имеет локальный минимум в \ (x = b. \)

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): Рассмотрим дважды дифференцируемую функцию \ (f \) такую, что \ (f » \) непрерывна. Поскольку \ (f ‘(a) = 0 \) и \ (f’ ‘(a) <0 \), существует интервал \ (I \), содержащий \ (a \) такой, что для всех \ (x \) в \ (I \), \ (f \) увеличивается, если \ (x
a \).В результате \ (f \) имеет локальный максимум в \ (x = a \). Поскольку \ (f ‘(b) = 0 \) и \ (f’ ‘(b)> 0 \), существует интервал \ (I \), содержащий \ (b \) такой, что для всех \ (x \) в \ (I \), \ (f \) уменьшается, если \ (x b \). В результате \ (f \) имеет локальный минимум в \ (x = b \).

Второй производный тест

Предположим, что \ (f ‘(c) = 0 \) и \ (f’ ‘\) непрерывно на интервале, содержащем \ (c \).

  1. Если \ (f » (c)> 0 \), то \ (f \) имеет локальный минимум в \ (c \).3. \) \ (х \) \ (f » (x) \) Заключение \ (- \ sqrt {3} \) \ (- 30 \ sqrt {3} \) Локальный максимум \ (0 \) \ (0 \) Тест второй производной безрезультатно \ (\ sqrt {3} \) \ (30 \ sqrt {3} \) Местный минимум

    Используя проверку второй производной, мы заключаем, что \ (f \) имеет локальный максимум в \ (x = — \ sqrt {3} \), а \ (f \) имеет локальный минимум в \ (x = \ sqrt {3} \). 2−18x \).Точки \ (c = 3, \, — 2 \) удовлетворяют \ (f ‘(c) = 0 \). Используйте тест второй производной, чтобы определить, имеет ли \ (f \) локальный максимум или локальный минимум в этих точках.

    Подсказка

    \ (f » (x) = 6x − 3 \)

    Ответ

    \ (f \) имеет локальный максимум в точке \ (- 2 \) и локальный минимум в точке \ (3 \).

    Мы разработали инструменты, необходимые для определения того, где функция увеличивается и уменьшается, а также получили понимание основной формы графика.В следующем разделе мы обсудим, что происходит с функцией при \ (x → ± ∞. \). На этом этапе у нас есть достаточно инструментов для создания точных графиков большого разнообразия функций.

    Исчисление I — Форма графа, часть I

    Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 4-5: Форма графа, часть I

    В предыдущем разделе мы увидели, как использовать производную для определения абсолютного минимального и максимального значений функции.Однако существует гораздо больше информации о графике, который можно определить по первой производной функции. Мы начнем изучать эту информацию в этом разделе. Основная идея, которую мы рассмотрим в этом разделе, будет заключаться в выявлении всех относительных экстремумов функции.

    Давайте начнем этот раздел с повторения знакомой темы из предыдущей главы. Предположим, что у нас есть функция \ (f \ left (x \ right) \). Из нашей работы в предыдущей главе мы знаем, что первая производная \ (f ‘\ left (x \ right) \) — это скорость изменения функции.Мы использовали эту идею, чтобы определить, где функция увеличивалась, уменьшалась или не менялась.

    Прежде чем рассматривать эту идею, давайте сначала запишем математическое определение увеличения и уменьшения. Все мы знаем, как выглядит график возрастающей / убывающей функции, но иногда полезно иметь и математическое определение. Вот.

    Определение
    1. Для любых \ ({x_1} \) и \ ({x_2} \) из интервала \ (I \) с \ ({x_1} <{x_2} \), если \ (f \ left ({{x_1} } \ right) , увеличивая на \ (I \).
    2. Для любых \ ({x_1} \) и \ ({x_2} \) из интервала \ (I \) с \ ({x_1} <{x_2} \), если \ (f \ left ({{x_1}} \ right)> f \ left ({{x_2}} \ right) \), то \ (f \ left (x \ right) \) равно , уменьшая на \ (I \).

    Фактически, это определение будет использовано при доказательстве следующего факта в этом разделе.

    Теперь вспомним, что в предыдущей главе мы постоянно использовали идею о том, что если производная функции была положительной в какой-то точке, то функция возрастала в этой точке, а если производная была отрицательной в какой-то точке, то функция в этой точке убывала. точка.Мы также использовали тот факт, что если производная функции была равна нулю в какой-то точке, тогда функция не изменялась в этой точке. Мы использовали эти идеи для определения интервалов увеличения и уменьшения функции.

    Следующий факт резюмирует то, что мы делали в предыдущей главе.

    Факт
    1. Если \ (f ‘\ left (x \ right)> 0 \) для каждого \ (x \) на некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) увеличивается на интервал.
    2. Если \ (f ‘\ left (x \ right) <0 \) для каждого \ (x \) на некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) убывает на интервал.
    3. Если \ (f ‘\ left (x \ right) = 0 \) для каждого \ (x \) на некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) постоянно на интервал.

    Доказательство этого факта можно найти в разделе «Доказательства на основе производных приложений» главы «Дополнительно».

    Рассмотрим пример.Этот пример преследует две цели. Во-первых, это напомнит нам об увеличивающемся / уменьшающемся типе проблем, которые мы делали в предыдущей главе. Во-вторых, что, возможно, более важно, теперь в решение будут включены критические точки. Мы не знали о критических точках в предыдущей главе, но если вы вернетесь и посмотрите на эти примеры, первый шаг почти в каждой проблеме увеличения / уменьшения — это найти критические точки функции, и поэтому процесс мы использовать в следующем примере должно быть знакомо.2} \ left ({x — 4} \ right) \ left ({x + 2} \ right) \ end {align *} \]

    Обратите внимание, что когда мы разложили на множители производную, мы сначала разложили на множители «-1», чтобы немного упростить остальную часть факторинга.

    Из факторизованной формы производной мы видим, что у нас есть три критических точки: \ (x = — 2 \), \ (x = 0 \) и \ (x = 4 \). Они нам понадобятся немного позже.

    Теперь нам нужно определить, где производная положительна, а где отрицательна.Мы делали это несколько раз как в главе «Обзор», так и в предыдущей главе. Поскольку производная является многочленом, она непрерывна, и поэтому мы знаем, что единственный способ изменить знак — сначала пройти через ноль.

    Другими словами, единственное место, где производная может менять знаки, — это критические точки функции. Теперь у нас есть другое применение для критических точек. Итак, мы построим числовую линию, нанесем на график критические точки и выберем контрольные точки из каждого региона, чтобы увидеть, является ли производная положительной или отрицательной в каждом регионе.

    Вот числовая линия и контрольные точки для производной.

    Убедитесь, что вы проверили свои позиции в производной. Одна из наиболее распространенных ошибок — вместо этого проверять точки в функции! Напомним, что мы знаем, что производная будет одного знака в каждом регионе. Единственное место, где производная может менять знак, — это критические точки, и мы отметили единственные критические точки на числовой прямой.

    Итак, похоже, мы получили следующие интервалы увеличения и уменьшения.

    \ [\ begin {align *} {\ mbox {Increase:}} & — 2

    В этом примере мы использовали тот факт, что единственное место, где производная может изменить знак, — это критические точки. Кроме того, критическими точками для этой функции были те, для которых производная была равна нулю. Однако то же самое можно сказать и о критических точках, в которых не существует производной.Это приятно знать. Функция может менять знак, если он равен нулю или не существует. В предыдущей главе все наши примеры этого типа имели только критические точки, в которых производная была равна нулю. Теперь, когда мы знаем больше о критических точках, позже мы также увидим один или два примера с критическими точками, в которых не существует производной.

    Если вы не уверены, что считаете, что функции (они, конечно, не обязательно должны быть производными) могут менять знак там, где их нет, рассмотрите \ (f \ left (x \ right) = \ frac {1} { Икс}\) .2}}} \) например. Опять же, этого явно не существует в \ (x = 0 \) и все же положительно по обе стороны от \ (x = 0 \).

    Итак, повторим еще раз. Функции, независимо от того, являются ли они производными или нет, могут (но не обязательно) менять знак, если они либо равны нулю, либо не существуют.

    Теперь, когда у нас есть предыдущий пример «напоминания», давайте перейдем к новому материалу. Когда у нас есть интервалы увеличения и уменьшения для функции, мы можем использовать эту информацию, чтобы получить набросок графика.3} + 5 \] Показать решение

    В этом примере действительно не так много. Каждый раз, когда мы рисуем график, хорошо иметь несколько точек на графике, которые могут служить нам отправной точкой. Итак, мы начнем с функции в критических точках. Это даст нам некоторые отправные точки, когда мы перейдем к наброску графика. Эти точки равны,

    \ [f \ left ({- 2} \ right) = — \ frac {89} {3} = — 29,67 \ hspace {0,25 дюйма} f \ left (0 \ right) = 5 \ hspace {0,5 дюйма} f \ слева (4 \ справа) = \ frac {1423} {3} = 474.33 \]

    После того, как эти точки нанесены на график, мы переходим к увеличению и уменьшению информации и начинаем рисовать. Для справки это информация о возрастании / убывании.

    \ [\ begin {align *} {\ mbox {Increase:}} & — 2

    Обратите внимание, что нам нужен только набросок графика. Как уже отмечалось, прежде чем мы начали этот пример, мы не сможем точно предсказать кривизну графика в этой точке. Однако даже без этой информации мы все равно сможем получить общее представление о том, как должен выглядеть график.

    Чтобы получить этот набросок, мы начинаем с самого левого края графика и знаем, что график должен уменьшаться и будет продолжать уменьшаться, пока не дойдем до \ (x = — 2 \). В этот момент функция будет продолжать увеличиваться, пока не достигнет \ (x = 4 \). Однако обратите внимание, что во время фазы увеличения он должен пройти через точку в \ (x = 0 \), и в этой точке мы также знаем, что производная здесь равна нулю, и поэтому график проходит через \ (x = 0 \) по горизонтали. Наконец, как только мы достигаем \ (x = 4 \), график начинает и продолжает уменьшаться.Также обратите внимание, что, как и в случае \ (x = 0 \), график должен быть горизонтальным, когда он проходит через две другие критические точки.

    Вот график функции. Мы, конечно, использовали графическую программу для создания этого графика, однако, помимо некоторых потенциальных проблем с кривизной, если вы следили за информацией об увеличении / уменьшении и сначала нанесли все критические точки, у вас должно быть что-то похожее на это.

    Давайте воспользуемся наброском из этого примера, чтобы дать нам очень хороший тест для классификации критических точек как относительных максимумов, относительных минимумов или ни минимумов, ни максимумов.

    Вспомните из раздела «Минимальные и максимальные значения», что все относительные экстремумы функции берутся из списка критических точек. График в предыдущем примере имеет два относительных экстремума, и оба возникают в критических точках, как мы и предсказывали в этом разделе. Также обратите внимание, что у нас есть критическая точка, которая не является относительными экстремумами (\ (x = 0 \)). Это нормально, поскольку нет оснований полагать, что все критические точки будут относительными экстремумами. Известно только, что относительные экстремумы будут исходить из списка критических точек.

    На эскизе графика из предыдущего примера мы видим, что слева от \ (x = — 2 \) график убывает, а справа от \ (x = — 2 \) график увеличивается и \ (x = — 2 \) — относительный минимум. Другими словами, график ведет себя около минимума точно так же, как он должен быть для того, чтобы \ (x = — 2 \) было минимумом. То же самое можно сказать и об относительном максимуме при \ (x = 4 \) . График увеличивается слева и уменьшается справа точно так, как должно быть, чтобы \ (x = 4 \) было максимальным.Наконец, график возрастает по обе стороны от \ (x = 0 \), поэтому эта критическая точка не может быть минимумом или максимумом.

    Эти идеи можно обобщить, чтобы получить хороший способ проверить, является ли критическая точка относительным минимумом, относительным максимумом или ни одним из них. Если \ (x = c \) является критической точкой и функция убывает слева от \ (x = c \) и увеличивается вправо, то \ (x = c \) должен быть относительным минимумом функции . Аналогично, если функция увеличивается слева от \ (x = c \) и уменьшается вправо, то \ (x = c \) должен быть относительным максимумом функции.Наконец, если функция возрастает с обеих сторон от \ (x = c \) или убывает с обеих сторон для \ (x = c \), то \ (x = c \) не может быть ни относительным минимумом, ни относительным максимумом.

    Эти идеи можно обобщить в следующем тесте.

    Первый производный тест

    Предположим, что \ (x = c \) является критической точкой \ (f \ left (x \ right) \), тогда

    1. Если \ (f ‘\ left (x \ right)> 0 \) слева от \ (x = c \) и \ (f’ \ left (x \ right) <0 \) справа от \ (x = c \), тогда \ (x = c \) является относительным максимумом.
    2. Если \ (f ‘\ left (x \ right) <0 \) слева от \ (x = c \) и \ (f' \ left (x \ right)> 0 \) справа от \ ( x = c \), то \ (x = c \) является относительным минимумом.
    3. Если \ (f ‘\ left (x \ right) \) — один и тот же знак по обе стороны от \ (x = c \), то \ (x = c \) не является ни относительным максимумом, ни относительным минимумом.

    Здесь важно отметить, что тест первой производной классифицирует только критические точки как относительные экстремумы, а не как абсолютные экстремумы.Как мы помним из раздела «Поиск абсолютных экстремумов», абсолютные экстремумы — это наибольшие и наименьшие значения функции, которые могут даже не существовать или быть критическими точками, если они существуют.

    Первый тест на производную — это именно такой тест, использующий первую производную. Он никогда не использует значение функции, и поэтому из теста нельзя сделать никаких выводов об относительном «размере» функции в критических точках (который может потребоваться для определения абсолютных экстремумов) и даже не может начать чтобы обратить внимание на тот факт, что абсолютные экстремумы не могут возникать в критических точках.{\ frac {2} {3}}}}} \ end {align *} \]

    Итак, похоже, у нас здесь четыре критических точки. Их,

    \ [\ begin {align *} t & = \ pm \, 2 & \ hspace {1.0in} & {\ mbox {Здесь не существует производной}} {\ mbox {.}} \\ t & = \ pm \ sqrt {\ frac {{12}} {5}} = \ pm 1.549 & \ hspace {1.0in} & {\ mbox {Здесь производная равна нулю}} {\ mbox {.}} \ end {align * } \]

    Определение интервалов увеличения и уменьшения также даст классификацию критических точек, так что давайте сначала разберемся с ними.Вот числовая линия с нанесенными на график критическими точками и контрольными точками.

    Итак, похоже, у нас есть следующие интервалы увеличения и уменьшения.

    \ [\ begin {align *} {\ mbox {Increase:}} & — \ infty

    Отсюда похоже, что \ (t = — 2 \) и \ (t = 2 \) не являются ни относительным минимумом, ни относительным максимумом, поскольку функция возрастает с обеих сторон от них. С другой стороны, \ (t = — \ sqrt {\ frac {12} {5}} \) — относительный максимум, а \ (t = \ sqrt {\ frac {12} {5}} \) — относительный минимум.

    Вот график функции для полноты картины. Обратите внимание, что этот график немного сложнее нарисовать, основываясь только на увеличивающейся и уменьшающейся информации. Он представлен здесь только для справки, чтобы вы могли увидеть, как он выглядит.

    В предыдущем примере две критические точки, где производная не существовала, не оказались относительными экстремумами. Не читайте в этом ничего. Часто они будут относительными экстремумами.Посмотрите пример 5 в разделе «Абсолютные экстремумы», чтобы увидеть пример одной такой критической точки.

    Давайте поработаем еще пару примеров.

    Пример 4 Предположим, что высота дороги над уровнем моря задается следующей функцией. \ [E \ left (x \ right) = 500 + \ cos \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) + \ sqrt 3 \ sin \ left ({\ frac {x} {4}} \Правильно)\]

    где \ (x \) в милях. Предположим, что если \ (x \) положительно, мы находимся к востоку от начальной точки измерения, а если \ (x \) отрицательно, мы находимся к западу от начальной точки измерения.

    Если мы начнем в 25 милях к западу от начальной точки измерения и проедем до тех пор, пока не окажемся в 25 милях к востоку от начальной точки, сколько миль мы прошли по склону?

    Показать решение

    Хорошо, это просто действительно причудливый способ спросить, каковы интервалы увеличения и уменьшения для функции на интервале \ (\ left [{- 25,25} \ right] \). Итак, нам сначала нужна производная функции.

    \ [E ‘\ left (x \ right) = — \ frac {1} {4} \ sin \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) + \ frac {{\ sqrt 3}} { 4} \ cos \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) \]

    Установка этого значения равным нулю дает

    \ [\ begin {align *} — \ frac {1} {4} \ sin \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) + \ frac {{\ sqrt 3}} {4} \ cos \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) & = 0 \\ \ tan \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) & = \ sqrt 3 \ end {align *} \]

    Решения для этого и, следовательно, критических точек:

    \ [\ begin {array} {* {20} {c}} {\ displaystyle \ frac {x} {4} = 1.0472 + 2 \ pi n, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots} \\ {\ displaystyle \ frac {x} {4} = 4,1888 + 2 \ pi n, \, \ , n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots} \ end {array} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ begin {array} {* {20} {c}} { x = 4,1888 + 8 \ pi n, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \, \,} \\ {x = 16,7552 + 8 \ pi n, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots} \ end {array} \]

    Я предоставляю вам проверить, что критические точки, попадающие в интервал, который мы ищем, это

    \ [- 20.9439, \, \, \, — 8.3775, \, \, \, 4.1888, \, \, \, 16.7552 \]

    Вот числовая линия с критическими точками и контрольными точками.

    Итак, интервалы увеличения и уменьшения, похоже,

    \ [\ begin {align *} {\ mbox {Increase:}} & — 25

    Обратите внимание, что нам пришлось заканчивать интервалы на -25 и 25, поскольку мы не выполняли никакой работы за пределами этих точек, и поэтому мы не можем действительно сказать что-нибудь о функции вне интервала \ (\ left [{- 25,25} \ right] \).

    По интервалам мы действительно можем ответить на вопрос. Мы ехали по склону во время интервалов подъема, поэтому общее количество миль составляет

    км. \ [\ begin {align *} {\ mbox {Distance}} & = \ left ({- 20.9439 — \ left ({- 25} \ right)} \ right) + \ left ({4.1888 — \ left ({- 8.3775} \ right)} \ right) + \ left ({25 — 16.7552} \ right) \\ & = 24.8652 {\ mbox {miles}} \ end {align *} \]

    Несмотря на то, что проблема не требовала этого, мы также можем классифицировать критические точки, которые находятся в интервале \ (\ left [{- 25,25} \ right] \).2} \ ln \ left ({3t} \ right) + 6 \]

    Определите, уменьшится ли численность населения в первые два года.

    Показать решение

    Итак, мы снова действительно находимся после интервалов и увеличиваемся и уменьшаемся в интервале [0,2].

    Мы обнаружили, что единственной критической точкой для этой функции в разделе «Критические точки» является

    . \ [x = \ frac {1} {{3 \ sqrt {\ bf {e}}}} = 0,202 \]

    Вот числовая линия для интервалов увеличения и уменьшения.

    Итак, похоже, что численность населения на короткий период уменьшится, а затем продолжит расти бесконечно.

    Кроме того, хотя проблема и не требовала этого, мы видим, что единственная критическая точка является относительным минимумом.

    В этом разделе мы увидели, как мы можем использовать первую производную функции, чтобы дать нам некоторую информацию о форме графика и как мы можем использовать эту информацию в некоторых приложениях.

    Использование первой производной для получения информации о том, увеличивается или уменьшается функция, является очень важным применением производных инструментов и возникает довольно регулярно во многих областях.

    Математических изображений | Полиномиальные функции и производная (1): линейные функции

    Простейшие функции — это линейные функции. Их формулы представляют собой многочлены степени один или cero (это случай, когда функция является постоянной функцией).Их графики представляют собой прямые линии.

    Мы заинтересованы в изучении производных простых функций с помощью интуитивно понятного и наглядного подхода. Начнем с линейной функции.

    ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

    Производная функции в точке может быть определена как мгновенная скорость изменения или как наклон касательной линии к график функции в этой точке. Можно сказать, что этот наклон касательной функции в точке — это наклон функция.

    Наклон функции, как правило, зависит от x. Тогда, начиная с функции, мы можем получить новую функцию, производную функцию исходной функции.

    Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

    Значение производной функции для любого значения x — это наклон исходной функции в точке x.

    Как мы можем нарисовать производную функцию заданной функции (в нашем случае линейной функции)?

    Общая процедура проста: мы начинаем рисовать касательную к функции в заданной точке.

    В нашем случае это очень просто, потому что касательная к прямой — это та же самая линия:

    Затем мы проводим параллельную линию касательной, проходящую через значение x-1, и получаем прямоугольный треугольник. Длина вертикальной стороны — наклон касательной.

    Затем мы можем нарисовать производную функцию линейной функции, что очень просто, потому что это постоянная функция. Ценность этого Постоянная функция — это наклон исходной линейной функции.

    Например, линейная функция с положительным наклоном:

    Другой пример, линейная функция с отрицательным наклоном:

    Когда функция является постоянной функцией, это означает, что ее график представляет собой горизонтальную линию (наклон равен 0). Тогда производная постоянной функции — это постоянная функция 0.

    Одна простая и интересная идея заключается в том, что когда мы переводим график функции вверх и вниз (мы добавляем или вычитаем число из исходной функции) производная не меняется.Причина очень интуитивна, и мы можем поиграть с интерактивным приложением, чтобы увидеть это свойство. Когда ты переместите фиолетовую точку, которую вы переводите вверх и вниз по графику, и производная будет такой же:

    Важно отметить, что производная многочлена степени 1 является постоянной функцией (многочленом степени 0). Когда мы получить такую ​​полиномиальную функцию, результатом будет многочлен, степень которого на 1 меньше, чем у исходной функции.

    Когда мы изучаем интеграл многочлена степени 1, мы видим, что в этом случае новая функция является многочленом степени 2.Еще на один градус чем исходная функция.

    Эти результаты связаны с основной теоремой исчисления.

    ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

    Майкл Спивак, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.

    Том М. Апостол, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

    БОЛЬШЕ ССЫЛКИ

    Производная кубической функции — это квадратичная функция, парабола.

    Многочлены Лагранжа — это многочлены, проходящие через n заданных точек.Мы используем полиномы Лагранжа, чтобы исследовать общую полиномиальную функцию и ее производную.

    Если производная от F (x) равна f (x), то мы говорим, что неопределенный интеграл от f (x) относительно x равен F (x). Мы также говорим, что F — первообразная или примитивная функция от f.

    Две точки определяют прямую линию. Как функцию мы называем линейной функцией. Мы можем видеть наклон линии и то, как мы можем получить уравнение прямой через две точки. Мы также изучаем точки пересечения по оси x и оси y линейного уравнения.

    Степень с натуральными показателями — простые и важные функции. Их обратные функции — это степени с рациональными показателями (радикал или корень n-й степени)

    Многочлены степени 2 — это квадратичные функции. Их графики — параболы. Чтобы найти точки пересечения по оси x, мы должны решить квадратное уравнение. Вершина параболы — это максимум минимума функции.

    Многочлены степени 3 — это кубические функции. Реальная кубическая функция всегда пересекает ось x хотя бы один раз.

    В качестве введения в кусочно-линейные функции мы изучаем линейные функции, ограниченные открытым интервалом: их графики подобны отрезкам.

    Кусочная функция — это функция, которая определяется несколькими подфункциями. Если каждый кусок является постоянной функцией, то кусочная функция называется кусочно-постоянной функцией или ступенчатой ​​функцией.

    Непрерывная кусочно-линейная функция определяется несколькими отрезками или лучами, соединенными без скачков между ними.

    Интегральное понятие ассоциируется с понятием площади. Мы начали рассматривать область, ограниченную графиком функции и осью абсцисс между двумя вертикальными линиями.

    Монотонные функции на отрезке интегрируемы. В этих случаях мы можем ограничить ошибку, которую мы допускаем при приближении интеграла с помощью прямоугольников.

    Если мы рассматриваем нижний предел интегрирования a как фиксированный и если мы можем вычислить интеграл для различных значений верхнего предела интегрирования b, то мы можем определить новую функцию: неопределенный интеграл от f.

    Подсчитать площадь под прямой несложно. Это первый пример интеграции, который позволяет нам понять идею и ввести несколько основных понятий: интегральное как область, пределы интеграции, положительные и отрицательные области.

    Вычислить площадь по параболе сложнее, чем вычислить площадь по линейной функции. Мы покажем, как аппроксимировать эту область с помощью прямоугольников и что интегральная функция многочлена степени 2 является многочленом степени 3.

    Мы можем увидеть некоторые основные понятия об интегрировании, применяемые к общей полиномиальной функции. Интегральные функции от полиномиальных функций — это полиномиальные функции с одной степенью выше, чем исходная функция.

    Фундаментальная теорема исчисления говорит нам, что каждая непрерывная функция имеет первообразную, и показывает, как построить ее с помощью интеграла.

    Вторая основная теорема исчисления — мощный инструмент для вычисления определенного интеграла (если мы знаем первообразную функции).

    Увеличивая степень, полином Тейлора все больше и больше приближает экспоненциальную функцию.

    Увеличивая степень, полином Тейлора все больше и больше приближает функцию синуса.

    Функция не определена для значений меньше -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат приближают функцию от -1 до 1.

    Функция имеет особенность в -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат приближают функцию от -1 до 1.

    Функция имеет особенность в -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат приближают функцию от -1 до 1.

    Эта функция имеет две действительные особенности в точках -1 и 1. Многочлены Тейлора аппроксимируют функцию в интервале с центром в центре ряда. Его радиус — это расстояние до ближайшей особенности.

    Это непрерывная функция, не имеющая реальных особенностей. Однако ряд Тейлора приближает функцию только в интервале.Чтобы понять это поведение, мы должны рассмотреть сложную функцию.

    .

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *