Равномерное прямолинейное движение | ЮКлэва
Всё в мире находится в движении.
Каждый день, когда мы выходим из дома, мы стараемся рассчитать, насколько быстро доберемся до школы или работы.
Может, однажды мы захотим научиться чему-то новому и купим машину.
А физика объяснит тебе, как не попасть в аварию и как всюду успевать.
Приступим!
СодержаниеО том, как решить основную задачу механикиРавномерное прямолинейное движениеОпределение равномерного прямолинейного движенияСкоростьРешение основной задачи механики для равномерного прямолинейного движенияГрафики равномерного прямолинейного движенияПостроение графикаЗависимость графика от проекции скоростиВстречаГрафик зависимости проекции скорости от времени. Нахождение проекции перемещенияРешение простейших задач и задач на графики равномерного прямолинейного движенияТекстовые задачиЗадачи на графикиСредняя скорость по перемещению. Средняя путевая скоростьОтносительность движения. Операции над скоростямиРешение задач на среднюю скорость и действия со скоростямиЗадачи в плоскостиКраткое содержание, основные формулы и определенияЗаключение
О том, как решить основную задачу механики
Мы помним, что основная задача механики – указать положение тела в пространстве в любой момент времени, не только в настоящем, но и в будущем.
Мы узнали это, когда только начали изучать кинематику.
Итак, что нужно знать для того, чтобы найти положение тела в пространстве?
Неплохо было бы знать, где оно находилось в начале своего движения, его начальные координаты. Ведь нам важно, откуда мы выдвигаемся в путь.
Зависят ли начальные координаты тела от времени? Совсем нет: мы просто принимаем то, что тело где-то есть.
А еще нам важно знать, как далеко оказалось тело от своего начального положения и куда вообще двигалось. Важно знать перемещение этого тела.
Давай опробуем свои силы! Думаю, мы уже готовы решить главную задачу!
Рассмотрим какое-то тело. Оно подвигалось, изменило свое положение, оказалось в другой точке.
Назовем ее конечной и постараемся найти ее координаты, то есть узнать положение тела после совершенного им перемещения.
Помним, что перемещение – вектор, поэтому изобразим его:
Уже сейчас мы можем указать начальные координаты тела! Нет чисел – не пугаемся, используем буквы:
Нам нужно узнать конечное положение тела. Отметим координаты тела в конце, их нам и нужно найти, чтобы определить положение тела в конце:
Но как найти эти координаты, зная лишь начальное положение тела и его перемещение? Как нам попасть из \({{x}_{0}}\) в \(x\) и из \({{y}_{0}}\) в \(y\) ?
Все очень просто! Если есть вектор, то какая-нибудь проекция-то найдется, правда? Отметим их:
Теперь ответить на вопрос, как добраться из начала в конец становится очень легким: просто нужно прибавить к начальной точке проекцию перемещения для нужной оси!
То есть положение точки в любой момент времени можно записать так:
\(x={{x}_{0}}+{{S}_{x}}\) — для оси Х
\(y={{y}_{0}}+{{S}_{y}}\) — для оси Y
Поздравляю! Мы только что решили основную задачу механики!
Правда, сделали это в общем виде… Но перемещение ведь может быть очень разнообразным! Как вообще его найти? Не всегда же оно будет дано!
Это зависит от движения тела.
Равномерное прямолинейное движение
Определение равномерного прямолинейного движения
Самым простым движением по праву считается равномерное прямолинейное движение. Мы начнем с него.
Давай попробуем дать ему определение.
Всегда стоить помнить, что знать определения наизусть вовсе не обязательно. Главное – научиться строить его самостоятельно.
Успех любого хорошего определения заключается в правильной его структуре.
Равномерное прямолинейное движение – это движение. Мы нашли главное слово нашего определения. Давай развивать его.
Мы уже знаем, что такое движение. Давай дополним это определение.
Что значит равномерное? Равная мера… Но что является этой самой равной мерой?
Тело проходит равные пути. Логично, что происходит это за какие-то промежутки времени.
А за какие промежутки? За равные. За секунду, за минуту, за час. Не обязательно за ОДНУ секунду, ОДНУ минуту, ОДИН час. Равными промежутками времени могут быть, например, три часа или две секунды.
Но что значит прямолинейное? Можно сказать, что это движение по прямой. Но давайте объясним это, исходя из уже знакомых нам понятий.
Представь: какое-то тело движется, у нас в руках секундомер.
Прошла секунда – тело переместилось на метр. Еще секунда – еще метр. В том же направлении.
То есть тело совершает равные перемещения!
Поэтому…
Равномерное прямолинейное движение — такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.
С перемещением намного проще объяснить, почему за равные промежутки времени можно принимать абсолютно любое количество единиц времени.
Пусть тело совершает за 1 секунду перемещение \(vec{S}\).
Тогда за две секунды совершает перемещение \(2vec{S}\):
Будет ли тело все еще совершать равные перемещения за каждые 2 секунды? Конечно! Давай посмотрим:
Скорость
Равномерное прямолинейное движение тоже бывает разным: быстрым и медленным. Чтобы охарактеризовать его, существует скорость.
Чем большее перемещение совершает тело за промежуток времени, тем больше его скорость. Это очевидно: за одно и то же время гепард преодолевает расстояние во много раз большее, чем термит.
То есть скорость прямо пропорциональна перемещению!
А еще мы помним, что нам действительно важно направление скорости, ведь нам важно направление движения. То есть скорость – величина векторная. Давай убедимся в этом.
Скорость равномерного прямолинейного движения
есть физическая величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло.
Запишем это в виде формулы:
\(vec{V}=frac{{vec{S}}}{t}\)
Векторы с обеих сторон, верно, но… Мы ведь учились умножать векторы, а не делить их. При делении тоже вектор получается?
Да. Ведь любое деление можно представить в виде умножения, смотри:
\(vec{V}=frac{1}{t}cdot vec{S}\)
Время – скалярная величина. Оно не имеет направления. Поэтому можно сказать, что скорость есть перемещение, умноженное на скаляр, то есть тоже вектор! Более того, вектор перемещения и скорости сонаправлены.
Подробнее о свойствах векторов можно прочитать в Большой теории по векторам.
Помнишь, мы чуть выше выясняли, будет ли тело все так же совершать одинаковые перемещения за 2 секунды, а не за одну? Причем эти перемещения сами будут в два раза больше. Значит отношение останется прежним, вот так:
\(vec{V}=frac{2vec{S}}{2t}=frac{{vec{S}}}{t}\)
Отсюда делаем вывод:
Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна.
Как это записать? Кажется, очевидно, но это «задачка со звездочкой». Вот так:
\(vec{V}=overrightarrow{const}\)
Мы не можем приравнять векторную величину к скалярной. Поэтому над константой тоже нужно ставить вектор.
Решение основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения
Из уравнения скорости можно легко выразить перемещения, что сделает нас на шаг ближе к конкретному решению основной задачи. Давай сделаем это:
\(vec{S}=vec{V}cdot t\)
Из свойств векторов мы помним, что это будет справедливо и для проекций:
\({{S}_{x}}={{V}_{x}}cdot t\)
\({{S}_{y}}={{V}_{y}}cdot t\)
Стоп-стоп-стоп… Мы что, можем уже с помощью этого определить положение точки?
Да, почему нет? Просто подставим это вместо проекций перемещения туда, где мы решали основную задачу механики в общем виде:
\(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t\)
\(y={{y}_{0}}+{{V}_{y}}cdot t\)
Обычно в задачах по физике мы стараемся выбрать оси так, чтобы было проще работать с проекциями. Мы стараемся расположить их так, чтобы как можно больше векторов располагалось параллельно один осям и перпендикулярно другим, вот так:
Проекция перемещения на ось Y будет равняться нулю, мы можем не обращать на нее внимания.
По оси Y тело вообще не меняло своего положения, верно?
Именно поэтому в задачах чаще всего мы будем использовать упрощенный вариант нахождения конечного положения тела. Его координата будет описана лишь одним числом.
То есть используем лишь одну ось:
\(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t\)
Работаем с проекциями. Настораживаемся. Вспоминаем о знаках.
Здесь все просто: если проекция скорости положительна, тело движется вдоль оси. Если она отрицательна, тело движется против оси.
Помни, что работаем мы с координатной осью! Начальное положение тела тоже может быть отрицательным
Графики равномерного прямолинейного движения
Построение графика
Очень важно уметь описывать движение графиком.{2}}\). Это показывает, что функция \(f\) зависит от значения \(x\).
Давай аналогично составим график движения тела. Вспомним то главное уравнение:
\(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t\)
Иными словами, это график зависимости координаты тела от времени. Давай так и запишем:
\(x(t)={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t\)
Начинаем работать с уравнением. Предположим, что нам известна проекция скорости и начальное положение тела. Работать с конкретными числами удобнее.
Пусть: \({{V}_{x}}=0.5\)м/с и \({{x}_{0}}=3\)м
Тогда уравнение имеет вид: \(x=3+0.5cdot t\)
Нарисуем оси и обозначим их. Так как у нас даны единицы измерения (метры и секунды), мы обязательно должны подписать их рядом с названиями осей!
Теперь можем взять и рассмотреть положение тела в любую секунду: хоть в первую, хоть в двенадцатую!
Отметим точки и соединим их. Получим график движения.
А теперь вопрос на засыпку: может ли время быть отрицательным?
Могу ли я указать положение тела в минус третью секунду? Могу.
Для этого стоит помнить, что «нулевая» секунда – момент, когда мы запускаем секундомер, когда мы только начинаем наблюдать за телом. Но оно могло двигаться и до того, как мы включили таймер, верно?
Давай покажем движение тела до наших наблюдений пунктирной линией:
Зачастую точки пересечения графика с осями несут в себе очень важную информацию!
Например, когда мы только включили секундомер (\(t=0\)с), тело находилось в начальном положении (\({{x}_{0}}=3\)м), и это видно по графику!
А когда координата тела была равна нулю?
Все очень просто: за 6 секунд до того, как мы включили секундомер! Прямая пересекает ось времени в точке -6.
Итак, мы выяснили, что…
График равномерного прямолинейного движения представляет собой прямую.
Точка пересечения ее с осью Х есть координата в начальный момент времени.
Точка пересечения с осью времени показывает ту секунду, когда тело находится в начале координат.
И действительно, само уравнение \(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t\) уже напоминает стандартное уравнение прямой, которое мы изучаем на математике: \(y=kx+m\), где \(m\) — точка пресечения графика с осью Х, а \(k\) — коэффициент наклона прямой.
В нашем случае роль коэффициента наклона играет проекция скорости.
Зависимость графика от проекции скорости
Давай изобразим несколько графиков в общем виде, то есть без каких-либо конкретных значений. Например, пусть у нас есть два движущихся тела, вот так:
Чем отличаются движения этих двух тел?
Ну, прежде всего, у них разные начальные положения. Ладно.
А что насчет проекции скорости?
Рассмотрим первое тело. С течением времени оно все больше удаляется от начала координат. А вот второе к нему приближается: оно даже достигает начала координат через некоторое время (когда пересекает ось).
Значит, первое тело идет вдоль оси, а второе против нее, то есть к началу! Мы помним, что это определяет знак проекции скорости.
А именно: проекция скорости первого тела положительна. Проекция скорости второго тела отрицательна.
Со знаками разобрались. А как быть, если попросят узнать, какая проекция скорости больше?
Рассмотрим следующий график. Чтобы было легче его анализировать, представим, что два тела имеют одинаковое положение, когда мы включаем секундомер:
Чтобы понять, чья скорость больше, рассмотрим определенный промежуток времени, отделим его вертикальной пунктирной линией. А еще обозначим начальную и конечную координаты тел в этот промежуток времени:
Теперь посмотрим, чем отличаются графики. Ну так, навскидку. Они отличаются наклоном.
График движения второго тела расположен к оси Х значительно ближе. Что это значит?
Рассмотрим, какое расстояние прошло первое тело, обозначим его на рисунке. Оно численно равно проекции перемещения, убедимся с помощью формулы:
\(Delta {{x}_{1}}={{x}_{1}}-{{x}_{01}}={{S}_{x}}_{1}\)
Теперь рассмотрим расстояние, которое преодолело второе тело:
\(Delta {{x}_{2}}={{x}_{2}}-{{x}_{02}}={{S}_{x}}_{2}\)
Видим, что за одинаковый промежуток времени второе тело прошло значительно большее расстояние! Это значит, что его скорость больше.
Чем ближе к оси Х расположена прямая, тем больше скорость движения тела.
А что будешь делать с таким графиком?
Координата тела с течением времени не меняется. Значит ли это, что тело не движется вовсе?
Нет. Тело не движется лишь по этой оси. Но по какой-нибудь другой оси оно двигаться может. Например, вот так:
Тело не меняет координаты по оси Х, однако движется по оси Y.
Если мы видим такой график, мы можем лишь утверждать, что проекция скорости равна нулю. О самой скорости говорить не можем.
Встреча
Помнишь самый первый рисунок с двумя телами? Вот этот:
В нем есть одна интересная деталь. Графики движения тел пересекаются.
Со временем все понятно: оно для всех идет одинаково, ничего не поделаешь.
А вот с координатой интереснее: ведь мы можем утверждать, что в какой-то момент тела встретились. То есть в какой-то момент их координаты на оси Х стали равны. Обозначим момент встречи и координату («место») встречи:
Встреча – такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.
Это еще один момент, о котором стоит помнить при решении задач на графики.
А еще стоит обратить внимание на то, что координаты тел должны совпадать в один момент времени! Если в лесу мимо дуба пробежала лань, а через несколько дней мимо этого же дуба пробежал енот, мы не можем сказать, что они встретились. Просто у них совпала траектория.
График зависимости проекции скорости от времени. Нахождение проекции перемещения
Рассмотрим несколько другой график. График зависимости проекции скорости от времени при равномерном прямоли… Стоп, чего? Какой зависимости? Скорость ведь постоянная и не меняется со временем.
Ты абсолютно прав. А график-то начертить можем, вот так:
Скучный график. Просто прямая, параллельная оси времени. Проекция скорости не меняется, а время всё идет и идет.
Давай хоть что-то найдем по графику. Хоть площадь под ним. Обозначим эту область:
Получили прямоугольник. Его площадь ищем путем перемножения двух соседних сторон, то есть мы берем проекцию скорости и умножаем еще на время.
Где-то мы это слышали.
Верно, ведь именно так ищется проекция перемещения!
\({{S}_{x}}={{V}_{x}}cdot t\)
Совпадение? Не думаю.
Искать проекцию перемещения таким способом можно не только для равномерного прямолинейного движения, но и для других его видов!
Проекция перемещения тела численно равна площади под графиком скорости тела.
Решение простейших задач и задач на графики равномерного прямолинейного движения
Текстовые задачи
Задача 1. Охарактеризуйте движение соседки, которая спускается по лестнице и одновременно с этим закатывает рукава, услышав в 11 часов вечера громкую музыку из квартиры снизу, если уравнение ее движения: \(x=2cdot t\), а ось направлена вниз по лестнице.
Решение:
Итак, для начала вспомним уравнение движения в общем виде:
\(x={{x}_{0}}+{{S}_{x}}\)
Соответствует ли уравнение движения соседки уравнению выше? Конечно!
Почему? По глазам вижу, догадываешься! Потому что его можно записать так:
\(x=0+2cdot t\)
Начальная координата соседки равна нулю: соседка двигалась из начала координат. С этим разобрались. Осталось определить тип ее движения.
Она движется вниз по лестнице. Значит, идет по прямой в одном направлении. Это прямолинейное движение.
Она свирепеет и ускоряется? Нет. Она движется равномерно. Давай вспомним уравнение движения для равномерного прямолинейного движения:
\(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t\)
И еще раз посмотрим на наше:
\(x=0+2cdot t\)
Сопоставляем их и понимаем, что рядом с временем расположена проекция скорости. Она, как видим, положительна и равна 2 м/с. Соседка двигается вдоль оси. Ось направлена вниз и соседка движется туда же!
Подробно мы разбирали зависимость направления от знака проекции в Большой теории по векторам.
Таким образом, соседка совершает равномерное прямолинейное движение вдоль оси из начала координат, а проекция ее скорости на эту ось равняется 2 м/с.
Задача 2. Таракан Вася совершает равномерное прямолинейное движение вдоль линейки (соответствующей оси Х) на столе семиклассника Вовы, который, старательно уча уроки, уже неделю не выносит из комнаты мусор. Проекция скорости таракана на эту ось 0.1 м/с. Вова берет секундомер и начинает отсчет в тот момент, когда таракан находится на втором сантиметре линейки. На каком сантиметре линейки окажется таракан через две секунды?
Решение:
Первое правило решающих физику: увидеть тему и писать формулы по теме.
Второе правило решающих физику: увидеть тему и писать ВСЕ формулы по теме. Могут пригодиться.
Знаем тип движения! Равномерное прямолинейное!
Знаем уравнение равномерного прямолинейного движения! Пишем:
\(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t\)
Делов-то! Начнем подставлять известные величины для таракана. Из задачи знаем, что в начале отсчета таракан находится на втором сантиметре линейки…
Стоп. «Сантиметре…»
Никогда не теряй бдительность, боец. Всегда проверяй величины.
Переведем все, что есть, в СИ. Скорость – в м/с. Отлично, уже есть. Как быть с линейкой? Просто перевести сантиметры в метры!
Таракан был на втором сантиметре, а значит на 0.02 метре линейки!
Теперь можем записать уравнение его движения:
\(x=0.02+0.1cdot t\)
Чтобы узнать, где окажется таракан через 2 секунды, просто подставим цифру 2 в это уравнение:
\(x=0.02+0.1cdot 2=0.22\)м
На 0.22 метре линейки! Получили ответ. Но в задаче спрашивается, на каком сантиметре будет находится таракан. Переводим наш ответ в сантиметры и получаем, что таракан будет находится на 22-ом сантиметре линейки!
Задача 3. По коридору мчится восьмиклассник Петя, уравнение его движения можно описать следующим уравнением: \(x=6+2cdot t\). За ним несётся разъяренный директор Максим Михайлович, уравнение его движения: \(x=3+3cdot t\). Догонит ли директор Петю и, если догонит, когда и на каком метре коридора это произойдет? Скорость измерять в м/с, время в секундах.
Решение:
Итак, давай разберемся. Что вообще значит «догонит»? То же самое, что «встретит», верно?
Мы знаем, что такое встреча. Это такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.
Чтобы понять, встретятся ли они вообще, давай построим графики движения Пети (П) и директора (Д):
Видим, что прямые пересекаются. В какой-то момент времени их координаты действительно одинаковы.
Но как узнать, в какой?
Что-что? Видно по графику? Ну уж нет! Думаешь, там координата 12? А вдруг там 11.999?
Всегда нужно проверять себя аналитически.
Запишем два уравнения:
\({{x}_{P}}=6+2cdot t\) — Пети
\({{x}_{D}}=3+3cdot t\) — директора
При встрече у них одинаковые координаты: \({{x}_{P}}={{x}_{D}}\)
Да… Наверное, другие части уравнений приравнять будет полезнее:
\(6+2cdot t=3+3cdot t\)
Отсюда легко вычислить время встречи:
\(t=3\) c
Значит, через три секунды после начала отсчета их координаты будут одинаковы, они встретятся. Найдем место встречи, просто подставив время в одно из двух (какое больше нравится 🙂 ) уравнений:
\({{x}_{B}}=6+2cdot 3=12\) м
Директор догонит Петю через 3 секунды. Это произойдет на 12-ти метрах от начала коридора.
Задачи на графики
Задача 4. Написать уравнение движение тела, если график этого движения:
Решение:
Какое это движение? Видим, что графиком движения является прямая. Значит, это равномерное прямолинейное движение.
Удивительно, но начнем с уравнения:
\(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t\)
График очень информативный. По крайней мере мы уже знаем начальную координату: \({{x}_{0}}=8\) м
Имеем:
\(x=8+{{V}_{x}}cdot t\)
Как найти проекцию скорости? Ну, давай ее выразим для начала.
\({{V}_{x}}=frac{x-8}{t}\) м/с
Дальше все очень просто: сделаем так, чтобы она осталось единственной неизвестной. Подставим в уравнение координату и время из графика, абсолютно любую пару, вот так:
Считаем:
\({{V}_{x}}=frac{6-8}{2}=-1\) м/с
Проекция скорости отрицательна. И правда: с течением времени тело приближается к началу координат, то есть движется против оси.
Подставим в уравнение:
\(x=8-t\) — уравнение движения тела.
Задача 5. Тело движется вдоль оси Х. Описать движение на каждом участке графика. Найти проекции скоростей. Построить графики проекции скорости и пройденного пути от времени.
Решение:
Опишем движение. Какое оно?
«Ха! Это не прямая, — скажешь ты, — а ломаная!»
И будешь абсолютно прав.
А я скажу: «А что такое ломаная? Это просто соединенные между собой отрезки! А отрезки — части прямых!»
Поэтому давай рассматривать этот график частями!
С первым отрезком все понятно: равномерное прямолинейное движения, ведь эта часть графика – прямая. С течением времени тело приближается к началу координат, значит движется против оси.
Найдем проекцию скорости.
Для начала, что есть скорость?
Мы помним, что скорость – отношение перемещения к промежутку времени.
\(vec{V}=frac{{vec{S}}}{t}\)
Знаем, что это справедливо и для проекций:
\({{V}_{x}}=frac{{{S}_{x}}}{t}\)Ну, время у нас есть. А проекцию перемещения откуда взять?
Давай вспомним, что это такое. Перемещение – вектор, проведенный из начального положения тела в конечное. А проекция перемещения – проекция этого вектора. Логично, правда? То есть:
\({{S}_{x}}=x-{{x}_{0}}\)Подробнее о проекциях можно узнать в Большой теории по векторам.
Вот и нашли проекцию скорости:
\({{V}_{x}}=frac{x-{{x}_{0}}}{t}\)Подставим в уравнение выше значения необходимых величин:
\({{V}_{x}}=frac{4-10}{2}=-3\) м/с
Проекция скорости на первом участке графика равна -3м/с.
Второй отрезок необычнее: тело не меняет координату. Тело на этом участке неподвижно.
Так как в условии сказано, что тело движется именно вдоль оси Х, модуль проекции скорости на эту ось равен длине вектора скорости.
Так как тело не меняет координату, проекция его перемещения равна нулю. А значит и проекция скорости равна нулю.
Третий отрезок описывает равномерное прямолинейное движение. Тело отдаляется от начала координат и движется туда же, куда направлена ось.
Найдем проекцию скорости на третьем участке:
\({{V}_{x}}=frac{9-4}{12-7}=1\) м/с
Так. Давай разберемся, почему там 12-7.
Помнишь, мы считаем отношение проекции перемещения к ПРОМЕЖУТКУ времени. А от 7 до 12 секунды промежуток времени составляет 5 секунд.
Проекция скорости на третьем участке равна 1м/с.
Всё нашли, осталось лишь построить графики! Начнем с графика зависимости проекции скорости от времени. Начертим и обозначим оси, обязательно обозначив единицы измерения и помня, что проекция может быть отрицательна:
Работаем с первой частью:
Мы выяснили, что в течение первых двух секунд проекция скорости была постоянна (как-никак, равномерное прямолинейное движение 🙂 ) и равна -3 м/с.
Давай нарисуем!
На втором участке проекция скорости равна нулю, а на третьем – единице.
Избавимся от вспомогательных линий и получим:
Что-то мне подсказывает, что на графике пути тоже будет три участка. Приступим.
Нарисуем оси и обозначим их:
Логично будет утверждать, что, пока тело не начало двигаться, оно и путь никакой не прошло. Отметим это точкой на графике:
Первые две секунды тело двигалось равномерно со скоростью 3 метра в секунду. Значит, за две секунды тело прошло \(3cdot 2=6\) метров! Отметим это!.. Нет, не так, на графике отметим:
Движемся дальше. Мы знаем, что на втором участке тело было неподвижно, а значит путь никакой не проходило. За промежуток времени второго участка тело не прошло никакой путь.
Однако суммарно за всё свое движение тело все так же прошло 6 метров:
На третьем участке тело движется. Значит, суммарно пройденный путь увеличится. Оно двигалось со скоростью 1м/с. Посмотрим сколько оно прошло за 5 (12-7) секунд.
Оно пройдет 5 метров.
Добавим их к нашим уже пройденным 6 метрам и получим 11 метров:
Остается только соединить точки прямой:
Задача 6. Найти проекцию перемещения тела по графику:
Решение:
Определимся, из чего вообще складывается то, что нам нужно найти. В разные промежутки времени тело двигалось с разными постоянными скоростями.
Значит, проекция перемещения складывается из проекций перемещения в разных промежутках времени! Их 6:
\({{S}_{x}}={{S}_{x1}}+{{S}_{x2}}+{{S}_{x3}}+{{S}_{x4}}+{{S}_{x5}}+{{S}_{x6}}\)
Попробуем найти первую проекцию. Помнишь, мы знаем, что проекция перемещения есть площадь под графиком?
«Под графиком» означает «между графиком и осью», то есть вот эта:
Что ж, давай найдем перемещение:
Проекция скорости есть -2м/с, а промежуток времени – 3с.
Поэтому: \({{S}_{x1}}=-2cdot 3=-6\)м
Попробуем найти площадь второго прямоугольника:
Сразу обрати внимание на то, что промежуток времени – с третьей по пятую секунду, то есть 2 секунды!
\({{S}_{x2}}=2cdot 2=4\)м
Аналогично для остальных:
\({{S}_{x3}}=3cdot 3=9\)м
\({{S}_{x4}}=2cdot 1=2\)м
\({{S}_{x5}}=1cdot 1=1\)м
\({{S}_{x6}}=-3cdot 2=-6\)м
Посмотрим, чему равна проекция перемещения:
\({{S}_{x}}=-6+4+9+2+1-6=4\)м
Тяжело в учении – легко в бою. Давай поднажмём и составим график зависимости проекции перемещения от времени.
Когда мы включили таймер, она была равна нулю:
В конце первого промежутка времени она становится равна -6м:
А, ну дальше-то все легко: отмечаем 4, потом отмечаем 9… Нет!
Мы ведь работаем с ОБЩЕЙ проекцией. А общая проекция есть сумма.
Тогда в конце второго промежутка проекция будет равна:
\({{S}_{x}}={{S}_{x1}}+{{S}_{x2}}\)
Дальше – больше слагаемых.
Следующая точка: \(-6+4=-2\) м
А после нее:\(-6+4+9=7\) м и т.д.
Теперь соединяем точки по порядку:
Задача 7. Постройте траекторию движения колибри, если начальное положение его по оси Х – 1 м, по оси Y – 3 м, а проекция его скорости на оси, расположенные перпендикулярно друг другу, описывается следующими графиками:
Решение:
Увидел сложную задачу – пиши всё, что знаешь! Зачем? Так надо! Пиши!
Скорость изменяется скачками, но на отдельных промежутках она постоянна. Тело движется равномерно.
Тело изменяет свое положение в пространстве. Изменяет свою координату.
Вспомним, как записывается уравнение координаты тела при равномерном прямолинейном движении:
\(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t\)
\(y={{y}_{0}}+{{V}_{y}}cdot t\)Мы учились делать это раньше. Построим графики зависимости координаты от времени.
Итак, по оси Х у нас 3 участка, обозначим их вспомогательными линиями на нашем новом графике:
Начнем с первого участка. Знаем проекцию скорости и даже начальную координату! Подарок судьбы.
\(x=1+2cdot t\)
Строим его на первом промежутке:
Теперь координата тела – 17м и тело начинает двигаться с другой скоростью. Из координаты 17 тело движется со скоростью… А, ни с какой скоростью. Проекция скорости на эту ось равна нулю, поэтому:
\(x=17+0cdot t\)
Координата не меняется. Рисуем:
Тело на 17 м. Оттуда продолжаем движение с проекцией скорости -2 м/с.
Тогда: \(x=17-2cdot t\)
Аналогично строим график для оси Y. Теперь у нас есть два графика:
Построим траекторию движения в плоскости. Для этого нам нужны оси Х и Y одновременно!
Давай построим их:
Всегда бери длину с запасом! Чтобы потом не перечерчивать оси. Наибольшее значение по Х – 17м. По Y – 15м. На всякий случай будем брать 20Х20.
Давай будем анализировать по секундам. Каковы были координаты тела в момент начала отсчета? Давай посмотрим.
В начальный момент времени координата по Х равна 1м, по Y – 3м. В конечный момент по Х координата равна 13, по Y – 15м.
Отметим эти точки:
Дальше будем рассматривать «переломные моменты». Для первого графика это 8 и 10с, для второго – 4 и 6с.
То есть секунды: 4, 6, 8, 10.
Запишем координаты точек для нужных нам секунд:
4: (9;15)
6: (13; 9)
8: (17;11)
10: (17;13)
Отметим их и соединим прямой, укажем последовательность:
Задача решена!
Теперь ты знаешь, как работать с графиками равномерного прямолинейного движения и их уравнениями! Движемся дальше. Иронично звучит 🙂
Средняя скорость по перемещению. Средняя путевая скорость
Хочешь, покажу фокус?
Смотри.
Из горной пещеры вылетает дракон, а за ним в ту же секунду выбегает доблестный рыцарь. Дракон хочет разрушить замок, находящийся от пещеры на расстоянии 7 километров. Задача рыцаря – добраться до замка первым и остановить дракона.
Рыцарь скачет на лошади прямо к замку по равнине в течении 20 минут. Он обнаруживает, что мост через реку на пути к замку разрушен, поэтому решает переплыть реку, и (спасибо его хорошей подготовке) у него уходит лишь 5 минут на то, чтобы снять с себя доспехи и сделать это. Затем в течении 10 минут он продолжает движение к замку.
Дракон после вылета из пещеры движется вперед и вверх, на это у него уходит 15 минут. На какой-то высоте он останавливается, потому что видит стаю пролетающих мимо уток. Драконы, динозавры, птицы… Смекаешь, да? Он решает поиграться со своими «родственниками», на что у него уходит 15 минут. Затем он вспоминает о замке и стремительно пикирует к нему на протяжении 5 минут.
Давай всё это изобразим для наглядности:
Дракон и рыцарь совершили одинаковые перемещения, так? 7 км, ведь они оказались у замка, двигаясь из пещеры.
Давай посчитаем время каждого в пути. И для дракона, и для рыцаря оно составило 35 минут. Они прибыли к замку одновременно.
Так что ж получается… Они совершили одинаковое перемещение за одинаковый промежуток времени.
Но их траектории были очень различны! И двигались они по-разному!
Для того, чтобы описать это, существует средняя скорость по перемещению.
Средняя скорость тела – векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела на определенном участке траектории ко времени, за которое оно совершено.
Можно в виде формулы: \({{vec{V}}_{cp}}=frac{{vec{S}}}{t}\)
Средняя скорость дракона и рыцаря по перемещению одинакова, ведь они пришли одновременно в одно и то же место.
Есть подвох, о котором тебе на математике не рассказали. Ты все время работал не с этой средней скоростью. А с этой:
Средняяпутеваяскорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден.
Понял, да? Путевая – про путь, а не про перемещение. Средняя путевая скорость совпадает (по модулю) со средней скоростью по перемещению только в том случае, если тело двигалось по прямой в одном направлении.
Средняя путевая скорость дракона сильно отличается от средней путевой скорости рыцаря.
Если не помнишь, в чем отличие пути от перемещения, советую посмотреть основные определения кинематики!
Относительность движения. Операции над скоростями
Давай вспомним одну из важнейших вещей, когда мы говорим про движение. Мы давали ему определение, когда говорили о кинематике в целом.
Это тело отсчета. То тело, относительно которого мы рассматриваем движение.
Мы уже знаем, что относительно одного тела тело может нестись с бешеной скоростью, а относительно другого не двигаться вовсе.
От системы отсчета зависит изменение положения тела. А что еще от нее зависит? Траектория зависит?
Оказывается, да!
Однажды человек изобрел колесо и изменил мир. Давай воспользуемся этим изобретением для того, чтобы найти ответ на вопрос выше.
Возьмем какую-то точку на колесе и пусть оно катится по дороге! Как движется эта точка относительно оси колеса? По кругу.
А относительно Земли?
Вот так:
Круто, да?
Эта кривая называется циклоида. И она точно отличается от траектории движения точки относительно оси колеса.
Сегодня мы научимся определять и связывать скорости в разных системах отсчета.
А еще на относительности основан главный закон скоростей – закон об их сложении.
Поступим как настоящие ученые. Готовые формулы – для слабаков. Мы будем выводить их сами.
Рассмотрим ситуацию.
По реке плывет плот (П) со спортсменом (С). На берегу реки сидит рыбак (Р) и наблюдает за этим. В какой-то момент пловец прыгает с плота и движется к другому берегу реки. Их несёт течение реки.
Давай изобразим это:
Давай нарисуем вектор перемещения спортсмена относительно плота и назовем его относительным перемещением:
Теперь нарисуем вектор перемещения плота, которого несет течение. Назовем этот вектор переносным:
А теперь посмотрим, как спортсмен двигался относительно рыбака, и назовем вектор этого перемещения абсолютным:
Ты только посмотри! У нас тут треугольник!
Нет, оставь свои теории заговора и иллюминатов. Не тот треугольник. Треугольник суммы векторов!
Переносное перемещение и относительное в сумме дают абсолютное!
\({{vec{S}}_{a}}={{vec{S}}_{n}}+{{vec{S}}_{o}}\)
Как связать перемещение со скоростью? Нужно поделить его на время!
Та-а-ак… А его откуда брать?
Оно для всех течёт одинаково. Смело делим:\(frac{{{{vec{S}}}_{a}}}{t}=frac{{{{vec{S}}}_{n}}}{t}+frac{{{{vec{S}}}_{o}}}{t}\)И получаем:\({{vec{V}}_{a}}={{vec{V}}_{n}}+{{vec{V}}_{o}}\)А теперь давай разбираться.
Что такое абсолютная скорость? В нашем случае это скорость пловца относительно берега.
Абсолютная скорость – скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета.
Что такое переносная скорость? Скорость плота, скорость течения реки относительно берега.
Переносная скорость – скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
Что такое относительная скорость? Это скорость спортсмена относительна плота.
Относительная скорость – скорость движения тела относительно подвижной системы отсчета.
Таким образом,
Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно движущейся системы отсчета и скорости движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
Иначе говоря:
Абсолютная скорость есть векторная сумма относительной и переносной скоростей.
Чем хороши векторные уравнения? Они не заставляют тебя думать о знаках.
Знаки ты определишь в проекциях. Это будет зависеть от условия задачи.
Внимание, практика!
Решение задач на среднюю скорость и действия со скоростями
Задача 8 (продолжение задачи 3 🙂 ). Поймавший Петю директор пишет замечание в его дневник, его ручка движется по листу бумаги со скоростью 0.05 м/с. Через 3 секунды Петя взмолится перед Максимом Михайловичем, его ручка станет двигаться со скоростью 0.03 м/с на протяжении 4 секунд. А если бедному ученику повезёт и ручка начнет плохо писать, то, чтобы расписать ее, директор будет давить на нее сильнее в течение 5 секунд и скорость ее станет равна 0.01 м/с. Найдите среднюю путевую скорость ручки. Зная, что длина красноречивого замечания равна 24 см, найдите среднюю скорость ручки по перемещению.
Решение:
Если в задаче много букв – составляй ее план. Давай это сделаем и переведем все в СИ, если необходимо.
3с – 0.05 м/с
4с – 0.03 м/с
5с – 0.01 м/с
24см=0.24м
Что значит «длина замечания»? Фактически, расстояние от начала до конца, то есть это кратчайшая ПРЯМАЯ. Запишем ее как вектор – получим перемещение.
Ведь перемещение есть вектор, проведенный из начального положение в конечное.
Давай посчитаем, сколько времени директор писал замечание:
\(3+4+5=12\) с
Значит, мы уже можем найти среднюю скорость по перемещению!
Сделаем это:
\({{V}_{cp}}=frac{0.24}{12}=0.02\) м/с
Почему там не вектор? Помни: мы не можем приравнивать векторные величины к скалярным. Когда нам сказали, чему равно перемещение, нам дали ДЛИНУ вектора перемещения. А длина есть величина скалярная.
Приступим к средней путевой скорости. Для начала нам нужно найти путь, время у нас уже есть.
Путь будет состоять из трёх участков, в которых тело двигалось с разными скоростями:\(L={{L}_{1}}+{{L}_{2}}+{{L}_{3}}\)Каждый из них можно найти умножением скорости на участке на время движения с этой скоростью. Вот так:\(L={{V}_{1}}cdot {{t}_{1}}+{{V}_{2}}cdot {{t}_{2}}+{{V}_{3}}cdot {{t}_{3}}\)Давай подставим:\(L=0.05cdot 3+0.03cdot 4+0.01cdot 5=0.32\)А теперь можем найти среднюю путевую скорость:\({{V}_{cpL}}=frac{0.32}{12}approx 0.027\) м/сЗадача решена!
Задача 9. В небе летят два вертолёта. Скорость одного из них – 350 км/ч, другого – 400 км/ч. Найти скорость второго вертолёта относительно первого.
Решение:
Вот тебе дело: найди одно очень важное потерянное условие.
Дело в том, что в задаче не сказано, летят ли они в одном направлении или в разных. Рассмотрим оба случая.
Случай 1. Вертолеты движутся в одном направлении.
Давай вспомним главное уравнение:
\({{vec{V}}_{a}}={{vec{V}}_{n}}+{{vec{V}}_{o}}\)Мы ищем скорость одного вертолета относительно другого. Скорость одного движущегося тела относительно другого движущегося тела называется относительной. Выразим ее:\({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{a}}-{{vec{V}}_{n}}\)Помним, что с векторами рука об руку идут их проекции. Давай начертим схему задачи и построим ось, на которую будем проецировать векторы скорости:
Всё это, конечно, здорово, но какая скорость абсолютная, а какая переносная?
Давай разбираться.
Переносная скорость – скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
В система отсчета, которую требует задача, все происходит относительно первого вертолета. Он – тело отсчета.
Значит, переносная скорость – скорость первого вертолета относительно земли.
Абсолютная скорость – скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета. То есть это скорость второго вертолета, данная в задаче.
Вернемся к уравнению и запишем его по-новому:\({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{a}}-{{vec{V}}_{n}}\)\({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{2}}-{{vec{V}}_{1}}\)Мы помним, что с векторами рука об руку идут проекции. Давай запишем это уравнение в проекции на ось Х.
Обе этих скорости направлены по направлению оси. Значит, их проекции положительны:\({{V}_{ox}}={{V}_{2x}}-{{V}_{1x}}\)Мы выбрали ось так, чтобы векторы были ей параллельны, поэтому мы смело можем утверждать, что проекции по модулю равны длинам векторов:\({{V}_{o}}={{V}_{2}}-{{V}_{1}}\)Считаем:\({{V}_{o}}=400-350=50\) км/ч
Случай 2. Вертолеты движутся в разных направлениях.
Нарисуем схему снова:
Нетрудно догадаться, что теперь проекция уравнения на ось будет иметь другой вид. Проекция скорости первого вертолета будет отрицательна: она направлена против оси.\({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{2}}-{{vec{V}}_{1}}\)\({{V}_{o}}={{V}_{2}}-(-{{V}_{1}})={{V}_{2}}+{{V}_{1}}\)Скорости складываются. И правда: оба вертолета стремятся отдалиться друг от друга, никто никого не догоняет.\({{V}_{o}}=400+350=750\) км/ч
Таким образом, скорость второго вертолета относительно первого равна 50 км/ч, если они движутся в одном направлении, и 750 км/ч, если движутся в разных.
Задача 10. Дядя Стэн, с уверенностью открыв сезон рыбалки, мчится на моторной лодке против течения реки в течение 3 ч и преодолевает 4 км, пока не вспоминает, что забыл дома свой любимый сборник анекдотов. Скорость течения реки – 2.5 км/ч. Сколько времени понадобится Стэну, чтобы преодолеть то же самое расстояние, возвращаясь обратно?
Решение:
Давай сделаем рисунок. Это в большинстве случаев упрощает задачу!
Сначала нарисуем реку с течением:
А теперь лодку Стэна, которая плывет против течения. Обозначим ее собственную скорость.
Давай посмотрим, как мы можем связать эти две скорости с путем и временем.
Для начала вспомним формулу:\({{vec{V}}_{a}}={{vec{V}}_{n}}+{{vec{V}}_{o}}\)Пройденный путь и время будет определять абсолютная скорость – та, что характеризует движение тела относительно неподвижной системы отсчета. В нашем случае – берега.
Можно объяснять проекциями, а можно просто понять. Куда легче плыть? По течению или против? Конечно, по течению! Оно подгоняет тебя.
В нашей ситуации Стэн сначала плывет против течения. Абсолютная скорость будет меньше собственной скорости лодки, ведь ее тормозит течение.
Давай запишем:\({{V}_{a1}}={{V}_{L}}-{{V}_{T}}\) или \(frac{L}{{{t}_{1}}}={{V}_{L}}-{{V}_{T}}\), где \({{t}_{1}}\) — время против течения
Хорошо. Посмотрим, что может дать нам вторая часть задачи.
Здесь лодка идет по течению. Уравнение имеет вид:
\(frac{L}{{{t}_{2}}}={{V}_{L}}+{{V}_{T}}\), где \({{t}_{2}}\) — время по течению
Таким образом, у нас есть система уравнений:\(frac{L}{{{t}_{2}}}={{V}_{L}}+{{V}_{T}}\)\(frac{L}{{{t}_{1}}}={{V}_{L}}-{{V}_{T}}\)Нам неизвестна собственная скорость лодки. А нам она и не нужна! Вычтем одно уравнение из другого и получим:\(frac{L}{{{t}_{2}}}-frac{L}{{{t}_{1}}}=2cdot {{V}_{T}}\)Отсюда нужно выразить время по течению:\({{t}_{2}}=frac{L}{2cdot {{V}_{T}}+frac{L}{{{t}_{1}}}}\)Считаем:\({{t}_{2}}=frac{4}{2cdot 2.5+frac{4}{3}}approx 0.6\) ч
36 минут потребуется Стэну, чтобы приплыть обратно.
Задача 11. По узкой лесной тропе колонной длиной в 30 метров идут туристы со скоростью 5 км/ч. Замыкающий посылает одного туриста в начало строя, чтобы тот передал гиду карту местности. Турист бежит в начало строя со скоростью 8 км/ч и, выполнив поручение, тут же бежит обратно с той же скоростью. Сколько времени потребуется туристу, чтобы добежать до начала строя и вернуться обратно?
Решение:
Начнем с рисунка. Есть колонна определенной длины (пусть будет l), она движется с определенной скоростью. Из начала выходит турист (Т) и движется с другой скоростью:
Смотри. Пока турист движется, колонна тоже движется. Значит туда он пробежит путь больше, чем обратно:
Выглядит сложно.
Ну да, конечно! Это как идти в школу в соседнем дворе и для этого каждый раз покупать билет в Антарктиду.
Нужно выбрать удобную систему отсчета!
Сделаем так, чтобы колонна была неподвижна. Будем рассматривать все относительно нее. Можно даже представить, что ты один из туристов 🙂
Сделаем другую картинку!
Если ты один из туристов, будет очевидно, что туда и обратно “посыльный” будет двигаться с разной скоростью.
Например, когда ты едешь по шоссе, кто кажется быстрее: машины, которые обгоняют твою или машины, которые едут на встречу? Очевидно, что те, кто едут навстречу.
Теперь осталось определить, с какой скоростью турист движется туда и обратно.
Изначально он движется с колонной в одном направлении, то есть пытается ее обогнать. Результирующая скорость будет меньше его собственной:
\({{V}_{1}}={{V}_{T}}-{{V}_{K}}\)\({{V}_{1}}=8-5=3\) км/чКогда он движется обратно, колонна будет идти ему навстречу. Результирующая скорость будет больше:\({{V}_{2}}={{V}_{T}}+{{V}_{K}}\)\({{V}_{2}}=8+5=13\) км/чСлишком быстро? Посиди и подумай. Мне не удастся просто вложить знания в твою голову. Ты сам тоже должен стараться!
Итак, из чего складывается время, затраченное туристом? Из времени туда и обратно!\(t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}\)Время в пути есть путь, деленный на скорость. Давай подставим:\(t=frac{l}{{{V}_{1}}}+frac{l}{{{V}_{2}}}=frac{l}{{{V}_{T}}-{{V}_{K}}}+frac{l}{{{V}_{T}}+{{V}_{K}}}\)Теперь можем посчитать!\(t=frac{0.03}{3}+frac{0.03}{13}approx 0.0123\)ч
Или приблизительно 44 секунды!
Задача решена! Оказывается, она очень простая, если верно выбрать систему отсчета.
Задачи в плоскости
Задача 12. Индейцы переплывают реку. Один из них, Красный Джо, встает напротив маленького причала и прыгает в воду, начиная плыть в его сторону со скоростью 2 м/с. Расстояние от причала до берега – 120 м. Течение реки имеет скорость 3 км/ч. Куда на самом деле приплывет Красный Джо, позабывший духовную (и не только) связь своей скорости с рекой, и сколько времени на это уйдет?
Решение.
Итак, в мыслях индейцах он плыл бы так:
И это было бы верно, если бы он плыл в стоячей воде! Но течение изменяет его движение:
Он движется вперед и его еще переносит река! Обозначим расстояние, на которое его перенесет от причала, за Х. Его и нужно найти.
Еще нам дано расстояние до причала. Покажем на рисунке:
Как можно найти Х? Давай посмотрим, как движется тело по горизонтали. Оно просто смещается со скоростью течения, верно?
Значит, Х можно найти самым простым уравнением пути, которое мы знаем еще с пятого класса!\(X={{V}_{T}}cdot t\)Но как найти время?
Для этого нужно понять, что сносить его будет ровно столько времени, сколько он движется вперед.
То есть это то же время, что он затратил бы в стоячей воде, чтобы переплыть реку!\(t=frac{l}{{{V}_{K}}}\)Подставим в уравнение выше:\(X={{V}_{T}}cdot frac{l}{{{V}_{K}}}\) Теперь можем ответить на все вопросы задачи! Только не забудь перевести все в единую систему единиц измерения.
В задачах на движение не особенно важно (если не сказано иное), какие использовать единицы измерения. Главное, чтобы везде в решении они были одинаковые, например, везде километры или везде метры, везде часы или везде секунды. Как тебе удобно.
3 км/ч примерно равняется 0.83 м/с.
Подставляем значения в формулы:
\(X=0.83cdot frac{120}{2}=49.8\)м
Найдем время:
\(t=frac{120}{2}=60\)c
Таким образом, Красному Джо потребуется 1 минута на то, чтобы переплыть реку и оказаться на расстоянии 49.8 метров от причала.
Но есть и другой способ решения, если этот кажется тебе подозрительно легким 🙂
Попробуем решить эту задачу геометрией!
Вектор скорости течения параллелен отрезку Х, который нам нужно найти. Давай используем параллельный перенос и поставим его в более удобное место:
Сумма векторов скорости Красного Джо и течения даст нам абсолютную скорость – скорость, с которой тело движется относительно берега.
Вектор абсолютной скорости будет лежать на пунктире, конец которого – положение Джо после преодоления реки.
А теперь рассмотрим подобные треугольники:
Теперь запишем для них уравнение подобия, используя известные нам величины:\(frac{l}{{{V}_{K}}}=frac{X}{{{V}_{T}}}\)Отсюда можем легко найти Х:\(X=frac{lcdot {{V}_{T}}}{{{V}_{K}}}\)У нас получилась та же самая формула!
Задача 13. При скорости ветра 12 м/с капли дождя падают под углом 30 градусов к вертикали. При какой скорости ветра они будут падать под углом 45 градусов?
Решение:
Приятно и легко смотреть на дождь в окне. А еще легче решить эту задачу.
Если в физике видишь углы, ты точно будешь использовать тригонометрию. От нее не убежишь.
Начертим рисунок. Прежде всего, у нас есть вектор скорости ветра и какая-то вертикаль:
Как бы падали капли без ветра? Просто вниз:
Для удобства будем рассматривать одну каплю.
В этой задаче ветер можно сравнить с течением реки! Давай сделаем рисунок по этому сравнению!
Но где тут угол? Все просто: это будет угол вектора суммы!
Именно этот вектор принадлежит абсолютной скорости – той, что описывает движение капли относительно земли (и вертикали)
Давай разбираться. Скорость капли при отсутствии ветра нам неизвестна.
Не пугайся. Надежда на то, что неизвестные сократятся, всегда умирает последней.
Нам известна скорость ветра. И угол.
Рассмотрим получившийся у нас треугольник: он прямоугольный, его гипотенуза – абсолютная скорость. Она тоже неизвестна.
Давай попробуем с помощью угла связать два катета этого треугольника! Здесь поможет тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему, то есть:\(tgalpha =frac{{{V}_{B}}}{{{V}_{K}}}\)Без векторов, потому что мы рассматриваем их длины и работаем с треугольником!
Давай выразим скорость капли в безветренную погоду, она ведь не изменится, она просто дана (вообще-то не дана, ну ладно) нам как факт.{o}}}=frac{12cdot 3}{sqrt{3}}approx 20.8\) м/сЗадача решена!
Краткое содержание, основные формулы и определения
Сегодня ты узнал:
- Как решить основную задачу механики в общем виде;
- Равномерное прямолинейное движение — такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения;
- Скорость равномерного прямолинейного движения есть физическая величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло;
- Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна;
- Как решить основную задачу механики для равномерного прямолинейного движения;
- Как строить и анализировать графики равномерного прямолинейного движения;
- Графиком равномерного прямолинейного движения является прямая;
- Встреча – такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают;
- Проекция перемещения тела численно равна площади под графиком скорости тела;
- Как строить траекторию движения тела;
- Средняя скорость тела – векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела на определенном участке траектории ко времени, за которое оно совершено;
- Средняя путеваяскорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден;
- Траектория движения тела зависит от выбора системы отсчета;
- Как доказать закон сложения скоростей;
- Абсолютная скорость есть векторная сумма относительной и переносной скоростей;
А еще ты научился решать задачи разного уровня сложности!
Ой, я что, не сказал? Там сложные были!
Ты, наверное, и не заметил 😉
Заключение
Мы разобрались с самым простым видом движения.
Необходимо очень хорошо разбираться даже в тех вещах, которые кажутся очевидными.
Дальше будет легче, ведь у нас уже есть хорошая база! Теперь будут меняться лишь характеристики движения.
Надеюсь, тебе понравились задачи 🙂
Все ли было понятно? Узнал ли ты что-то, о чем не рассказывали в школе?
Остались вопросы? Пиши в комментариях!
Поделитесь в социальных сетях:
Урок 2. равномерное прямолинейное движение материальной точки — Физика — 10 класс
Физика, 10 класс
Урок 2. Равномерное прямолинейное движение материальной точки
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: 1) основная задача механики; 2) относительность механического движения; 3) система отсчёта, материальная точка, перемещение, траектория, скорость; 4) кинематическое уравнение.
Глоссарий по теме:
Раздел механики, в котором изучается движение тел без выяснения причин, вызывающих данное движение, называют кинематикой.
Механическим движением тела называется изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.
Материальной точкой называют тело, размерами и формой которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь. Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчета. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов называют системой отсчета.
Траектория — линия, по которой движется точка в пространстве.
Длину траектории, по которой двигалось тело в течение какого-то промежутка времени, называют путем, пройденным за этот промежуток времени.
Перемещением тела (материальной точки) называется вектор, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением.
Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения.
Скорость равномерного прямолинейного движения точки – величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.
Относительность механического движения – это зависимость траектории движения тела, пройденного пути, перемещения и скорости от выбора системы отсчёта
Основная и дополнительная литература по теме урока:
Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н.. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2016.– С.10-30.
Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс.-М.:Дрофа,2009.
Открытые электронные ресурсы по теме урока:
http://kvant.mccme.ru/1974/12/byvaet_li_ravnomernoe_dvizheni.htm.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Основная задача классической механики — определить положение тела в пространстве в любой момент времени. По характеру решаемых задач классическую механику делят на кинематику, динамику и статику. В кинематике описывают движение тел без выяснения причин, вызывающих данное движение. Раздел механики, в котором изучаются причины движения, называют динамикой. Статика — раздел механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твердых тел. Законы сохранения импульса и энергии являются следствиями законов Ньютонов.
Механическим движением тела называется изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Сформулируем закон относительности движения: характер движения тела зависит от того, относительно каких тел мы рассматриваем движение. Нет абсолютно неподвижных тел.
Рассмотрим самое простое движение – прямолинейное равномерное движение. Описать движение тела – это значит, указать способ определения его положения в пространстве в любой момент времени.
Для описания движения нужно ввести некоторые понятия: материальная точка, траектория, путь, перемещение, координата, момент времени, промежуток времени, скорость. Материальной точкой называют тело, размерами которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь. Это первая физическая модель реальных тел. Практически всякое тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела, очень велики по сравнению с его размерами. Например, материальными точками считают Землю и другие планеты при изучении их движения вокруг Солнца. В данном случае различия в движении разных точек любой планеты, вызванные её суточным вращением, не влияют на величины, описывающие годовое движение. Но при решении задач, связанных с суточным вращением планет (например, при определении времени восхода солнца в разных местах поверхности земного шара), считать планету материальной точкой нельзя, так как результат задачи зависит от размеров этой планеты и скорости движения точек её поверхности.
Тело, движущееся поступательно, можно принимать за материальную точку даже в том случае, если его размеры соизмеримы с проходимыми им расстояниями. Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любой отрезок, соединяющий любые две точки тела, остается параллельным самому себе.
Что нужно знать для того, чтобы в любой момент времени указать положение тела? Надо, во-первых, знать, где оно было в начальный момент времени; во-вторых, каков вектор перемещения в любой момент времени. Мы уже знаем, что движение любого тела относительно. Поэтому, изучая движение тела, мы обязательно указываем, относительно какого тела это движение рассматривается. Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчета. Чтобы рассчитать положение материальной точки относительно выбранной точки отсчета, надо связать с ним систему координат и измерить время. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов называют системой отсчета.
Рассмотрим два наиболее часто применяемых способа описания движения тел: координатный и векторный. В координатном способе положение тела в пространстве задается координатами, которые с течением времени меняются.
Рассмотрим движение материальной точки М с координатами (х, y, z) в момент времени t.
Математически это принято записывать в виде:
Количество координат зависит от условия задачи: на прямой – одна, в плоскости – две, в пространстве – три.
В векторном способе используется радиус-вектор. Радиус-вектор – это направленный отрезок, проведенный из начала координат в данную точку. Закон (или уравнение) движения в векторной форме — зависимость радиуса-вектора от времени:
Итак, для задания закона движения материальной точки необходимо указать либо вид функциональной зависимости всех трех ее координат от времени, либо зависимость от времени радиус-вектора этой точки.
Три скалярных уравнения или эквивалентное им одно векторное уравнение называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.
Двигаясь, материальная точка занимает различные положения в пространстве относительно выбранной системы отсчета. При этом она «описывает» в пространстве какую-то линию. Линия, по которой движется точка в пространстве, называется траекторией. По форме траектории все движения делятся на прямолинейные и криволинейные. Траектория движения указывает все положения, которые занимала точка, но, зная траекторию, ничего нельзя сказать о том, быстро или медленно проходила точка отдельные участки траектории. Длину траектории, по которой двигалось тело в течение какого-то промежутка времени, называют путём, пройденным за этот промежуток времени, его обозначают буквой S. Путь – скалярная величина.
Для описания движения тела нужно указать, как меняется положение точек с течением времени. Если участки криволинейные, то изменение координат тела описывают с помощью такого понятия как перемещение. Перемещением тела (материальной точки) называется вектор, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Обозначается на чертежах как направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положение тела в пространстве:
Путь и модуль перемещения могут совпадать по значению, только в том случае, если тело движется вдоль одной прямой в одном направлении.
Важной величиной, характеризующей движение тела, является его скорость. Скорость – векторная величина. Она считается заданной, если известен ее модуль и направление. Скорость равномерного прямолинейного движения точки – векторная величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. Пусть радиус-вектор задает положение точки в начальный момент времени t0, а радиус-вектор- в момент времени t. Тогда промежуток времени:
,
и перемещение:
.
Подставляя выражение для скорости, получим:
Если начальный момент времени t0 принять равным нулю, то скорость равна:
Выразим отсюда радиус-вектор :
Это и есть уравнение равномерного прямолинейного движения точки, записанное в векторной форме. Оно позволяет найти радиус-вектор точки при этом движении в любой момент времени, если известны скорость точки и радиус-вектор, задающий ее положение в начальный момент времени. В проекциях на ось ОХ уравнение можно записать в виде:
х=х0+vхt.
Это уравнение есть уравнение равномерного прямолинейного движения точки, записанное в координатной форме. Оно позволяет найти координату х тела при этом движении в любой момент времени, если известны проекция его скорости на ось ОX и его начальная координата х0.
Путь S, пройденный точкой при движении вдоль оси ОХ, равен модулю изменения ее координаты:
Его можно найти, зная модуль скорости
Строго говоря, равномерного прямолинейного движения не существует. Но приближенно на протяжении не слишком большого промежутка времени движение автомобиля можно считать равномерным и прямолинейным с достаточной для практических целей точностью. Таково одно из упрощений действительности, позволяющее без больших усилий описывать многие движения.
Полученные результаты можно изобразить наглядно с помощью графиков. Для прямолинейного равномерного движения график зависимости проекции скорости от времени очень прост. Это прямая, параллельная оси времени.
Как мы уже знаем, зависимость координаты тела от времени описывается формулой х=х0+𝞾хt. График движения представляет собой прямую линию:
Из второго рисунка видим, что углы наклона прямых разные. Угол наклона второй прямой больше угол наклона первой прямой , т.е за одно и тоже время тело, движущееся со скоростью , проходит большее расстояние, чем при движении со скоростью А значит А что же в случае 3, когда угол α < 0? В случае 3 тело движется в сторону, противоположную оси ОХ. Проекция скорости в случае 3 имеет отрицательное значение и график проходит ниже оси ОХ. Проекция скорости определяет угол наклона прямой х(t) к оси t и численно равна тангенсу угла
Относительность механического движения – это зависимость траектории движения тела, пройденного пути, перемещения и скорости от выбора системы отсчёта. В рамках классической механики время есть величина абсолютная, то есть протекающее во всех системах отсчета одинаково.
Примеры и разбор решения заданий
1. Тело движется равномерно и прямолинейно в положительном направлении оси ОХ. Координата тела в начальный момент времени равна xо = -10м. Найдите координату тела через 5с, если модуль её скорости равен ʋ=2 м/с. Какой путь проделало тело за это время?
Дано: xо = — 10 м, t = 5 c, ʋ = 2 м/с. Найти s, х.
Решение: координату точки найдем по формуле:
х = х0 + 𝞾х t
Так как направление вектора скорости совпадает с направлением оси координат, проекция вектора скорости положительна и равна ʋx=ʋ; тогда вычисляем:
х = — 10 + 2· 5 = 0 (м).
Пройденный путь найдем s = ʋ t; s = 2·5 = 10 м.
2. Равномерно друг за другом движутся два поезда. Скорость первого равна 72 км/ч, а скорость второго — 54 км/ч. Определите скорость первого поезда относительно второго.
Дано:
Найти .
Решение: Из условия задачи ясно, что векторы скоростей поездов направлены в одну сторону. По закону сложения скоростей запишем:
,
где — искомая величина.
Находим проекцию скоростей на ось ОХ и записываем, чему равен модуль искомой величины
Ответ: .
при прямолинейном движении вдоль оси Х проекция скорости тела на ось Х меняется по закону
тіло рухаючись рівноприскорено з стану спокою пройшло деякий шлях за 16 с.2/2 прировнять к A(S).
Добрый вечер! Пожалуйста помогите ответить на вопрос с полноценным объяснением. На первом участке пути тело двигалось со скоростью v1, а на втором со … скоростью v2. Возможна ли ситуация, в которой путевая скорость движения тела равна среднему арифметическому скоростей v1 и v2? И что такое в целом представляет из себя путевая скорость ( типо просто S = v/t ? ) То есть по сути, если изменить трактовку, то путевая скорость это по путю S, а по перемещению средняя скорость, это по х?
Контейнер на 50 г с деревянным бруском 20 г плавает в воде. Затем деталь вынимается, приклеивается к дну сосуда и опускается обратно в воду. Каков объ … ем погруженной части сосуда вначале?плотность древесины 800, воды 1000
Распишите как вывести формулу для буквы «А»
№8. Два тела массами m1 = 1 кг и m2 = 3 кг соединены пружиной жесткости k = 50 Н/м (см. рисунок). На тело m2 начинает действовать постоянная сила F = … 10 Н в направлении тела m1. Найти деформацию пружины при установившемся движении. Какими по модулю будут ускорения тел сразу после прекращения действия силы (ответ округлите до десятых)? Трения нет
№6. В калориметр, содержащий 30 кг воды при температуре 20 ˚С, положили 20 кг льда с температурой -10 ˚С. Какая температура установится в калориметре? … cв = 4200 Дж/(кг ∙˚С), cл = 2100 Дж/(кг ∙˚С), λ = 330 кДж/кг.
Равномерное движение
Равномерное движение
Равномерное движение — движение вдоль прямой линии с постоянной (как по модулю, так и по направлению) скоростью. При равномерном движении пути, которые тело проходит за равные промежутки времени, также равны.
Для кинематического описания движения расположим ось OХ вдоль направления движения. Для определения перемещения тела при равномерном прямолинейном движении достаточно одной координаты Х. Проекции перемещения и скорости на координатную ось можно рассматривать, как алгебраические величины.
Пусть в момент времени t1 тело находилось в точке с координатой x1, а в момент времени t2 — в точке с координатой x2. Тогда проекция перемещения точки на ось OХ будет запишется в виде:
∆s=x2-x1.
В зависимости от направления оси и направления движения тела эта величина может быть как положительной, так и отрицательной. При прямолинейном и равномерном движении модуль перемещения тела совпадает с пройденным путем. Скорость равномерного прямолинейного движения определяется по формуле:
v=∆s∆t=x2-x1t2-t1
Если v>0, тело движется вдоль оси OX в положительном направлении. Иначе — в отрицательном.
Математическое описание равномерного прямолинейного движения
Закон движения тела при равномерном прямолинейном движении описывается линейным алгебраическим уравнением.
Уравнение движения тела при равномерном прямолинейном движенииx(t)=x0+vt
v=const ; x0 — координата тела (точки) в момент времени t=0.
Пример графика равномерного движения — на рисунке ниже.
Здесь два графика, описывающих движение тел 1 и 2. Как видим, тело 1 во время t=0 находилось в точке x=-3.
От точки x1 до точки x2 тело переместилось за две секунды. Перемещение тела составило три метра.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание∆t=t2-t1=6-4=2с
∆s=6-3=3м.
Зная это, можно найти скорость тела.
v=∆s∆t=1,5мс2
Есть еще один способ определения скорости: из графика ее можно найти как отношение сторон BC и AC треугольника ABC.
v=∆s∆t=BCAC.
Причем, чем больше угол, который образует график с осью времени, тем больше скорость. Говорят также, что скорость равна тангенсу угла α.
Аналогично вычисления проводятся для второго случая движения. Рассмотрим теперь новый график, изображающий движение с помощью отрезков прямых. Это так называемый кусочно-линейный график.
Движение, изображенное на нем — неравномерное. Скорость тела меняется мгновенно в точках излома графика, а каждый отрезок пути до новой точки излома тело движется равномерно с новой скоростью.
Из графика мы видим, что скорость менялась в моменты времени t=4c, t=7с, t=9с. Значения скоростей также легко находятся из графика.
Отметим, что путь и перемещение не совпадают для движения, описываемого кусочно-линейным графиком. Например, в интервале времени от нуля до семи секунд тело прошло путь, равный 8 метрам. Перемещение тела при этом равно нулю.
Решение задач по теме «Равномерное движение»
План-конспект урока по теме «Решение задач по теме «Равномерное движение»»
Дата:
Тема: «Решение задач по теме «Равномерное движение»»
Цели:
Образовательная: формирование практических умений по решению задач на тему «Равномерное движение»;
Развивающая: совершенствовать интеллектуальные умения (наблюдать, сравнивать, размышлять, применять знания, делать выводы), развивать познавательный интерес;
Воспитательная: прививать культуру умственного труда, аккуратность, учить видеть практическую пользу знаний, продолжить формирование коммуникативных умений, воспитывать внимательность, наблюдательность.
Тип урока: обобщение и систематизация знаний
Оборудование и источники информации:
Исаченкова, Л. А. Физика : учеб. для 9 кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, А. А. Сокольский ; под ред. А. А. Сокольского. Минск : Народная асвета, 2015
Структура урока:
Организационный момент (5 мин)
Актуализация опорных знаний (5 мин)
Закрепление знаний(30 мин)
Итоги урока (5 мин)
Содержание урока
Организационный момент
Здравствуйте, садитесь! (Проверка присутствующих). Сегодня на уроке мы должны научиться решать задачи по теме «Равномерное движение». А это значит, что Тема урока: «Решение задач по теме «Равномерное движение»»
Актуализация опорных знаний
Дайте определение скорости равномерного прямолинейного движения.
Что показывает модуль скорости равномерного прямолинейного движения?
Как направлена скорость при равномерном прямолинейном движении?
Как зависит координата тела от времени при равномерном прямолинейном движении? Какой будет эта зависимость, если начальное положение тела совпадает с началом координат?
В каком случае проекция скорости движения будет отрицательной? Равной нулю?
Закрепление знаний
А сейчас перейдем к решению задач из сборника:
№ 58
Птица летит с постоянной скоростью, модуль которой v = 36 . За какой промежуток времени она преодолеет путь s = 200 м?
№ 59
Водитель легкового автомобиля, движущегося равномерно и прямолинейно со скоростью, модуль которой = 90 , отвлекся на время Δt = 2,0 с от дороги (смотрел в сторону). Какой путь за это время проехал автомобиль? Почему опасно отвлекать водителя во время движения?
№ 60
Электропоезд длиной = 150 м, движущийся равномерно со скоростью, модуль которой v = 45 , въезжает в тоннель длиной = 300 м. Через какой промежуток времени электропоезд полностью выйдет из тоннеля?
№ 61
Один из автомобилей, двигаясь со скоростью, модуль которой =18, в течение промежутка времени Δtt = 10 с совершил такое же перемещение, как и другой за промежуток времени Δt2 = 15 с. Определите модуль скорости движения другого автомобиля, если оба двигались равномерно.
№ 66
Два бегуна двигались по пересекающимся под углом = 60° прямым дорожкам со скоростями, модули которых равны. Через промежуток времени Δt = 30 с после их встречи в месте пересечения дорожек расстояние между бегунами стало = 90 м. Определите модуль скорости движения бегунов.
№ 73
Равномерное прямолинейное движение туриста относительно турбазы задано уравнением x = A + Bt, где А = 200 м, В = 2,5 . Определите начальную координату туриста и проекцию скорости его движения вдоль оси Ох.
№ 75
Прямолинейное движение вдоль оси Ох лодки задано уравнением х = А + Bt, где А = 100 м, Б = 7,20. Чему равна проекция скорости движения лодки? Найдите координату лодки в момент времени t= 10,0 с.
№ 80
Начальная координата лыжника х0 = 200 м, проекция скорости его движения на ось Ох постоянна и равна = 36 . Запишите кинематический закон движения лыжника. Найдите по формуле и по графику координату лыжника в момент времени t = 5,0 с от начала движения.
Закрепление знаний
Для равномерного прямолинейного движения график проекции скорости — прямая, параллельная оси времени.
Графики проекции перемещения и координаты — прямые, наклон которых к оси времени определяется проекцией скорости.
Площадь фигуры между графиком проекции скорости и осью времени определяет проекцию перемещения.
Итоги урока
Итак, подведем итоги. Что вы сегодня узнали на уроке?
Организация домашнего задания
§6,7,8, упр. 3 № 4, упр.4 № 3.
Рефлексия.
Продолжите фразы:
Сегодня на уроке я узнал…
Было интересно…
Знания, которые я получил на уроке, пригодятся
Равномерное прямолинейное движение тела, просто и с пояснениями
Школьный курс физики содержит раздел «кинематика». Большинство задач этого раздела можно решить, рассматривая движение вдоль одной оси — одномерное движение. Его еще называют прямолинейным движением.
Для некоторых задач нужно рассматривать движение на плоскости – двумерный случай.
Вообще, движение тела может происходить:
- вдоль оси – одномерный случай, ось часто именуют, как «Ox»;
- на плоскости;
- в трехмерном пространстве;
Здесь рассмотрим одномерный случай движения — движение тел вдоль оси.
Параметры, описывающие движение
Чтобы описать движение, используют:
- перемещение тела;
- время, в течение которого движение происходило;
- скорость тела;
- начальные и конечные координаты тела;
- траекторию тела;
Траектория – линия, вдоль которой двигалось тело.
Траектория – скаляр, в СИ длину траектории измеряют в метрах.
Для криволинейного движения траектория будет отрезком кривой.
Если движение прямолинейное, траектория – отрезок прямой линии.
Перемещение тела – это вектор. Он соединяет точки, в которых тело находилось в начале и конце движения, направлен из начальной точки в конечную.
Модуль этого вектора – его длину, в СИ измеряют в метрах.
Может ли перемещение тела равняться нулю, при том, что траектория имеет какую-либо протяженность?
Да, такое может быть. Когда тело движется так, что в конце движения оно вернется в начальную точку, в которой находилось перед началом движения.
Если в завершении движения тело окажется на каком-то расстоянии от начальной точки, длина вектора перемещения будет положительной.
Примечания:
- Модуль (длина) вектора не бывает отрицательным, он либо положительный, либо нулевой.
- Когда тело движется по прямой и не меняет направление, длина траектории совпадает с длиной (модулем) перемещения.
Уравнение движения — описывает характер движения.
Оно содержит:
- время движения,
- начальную и конечную координаты тела и
- его скорость.
Вместо координат тела уравнение движения может содержать перемещение.
Примечания:
- Координаты тела, время движения и траектория – это скалярные величины.
- А скорость тела, его ускорение и перемещение – это векторы.
- Когда движение равномерное, скорость тела не меняется.
- Скорость отвечает на вопрос: как быстро изменяется координата (или путь, перемещение).
Описанные параметры применяют и для равномерного и для неравномерного движения.
Прямолинейное движение вдоль оси
Рассмотрим движение по прямой, когда скорость тела не меняется. Это — равномерное прямолинейное движение.
На рисунке 1 представлено движение тела вдоль оси, назовем ее для определенности Ox:
Рис. 1. Перемещение – это разница между конечной и начальной координатами тела
Ось «Ox» на рисунке 1 обозначена большим символом «X».
Точка, в которой тело находилось в начале движения \(x_{0} \left( \text{м} \right)\) — начальная координата тела;
В эту точку тело переместилось к концу движения \(x \left( \text{м} \right)\) — конечная координата тела;
Расстояние между двумя точками \(S \left( \text{м} \right)\) – это перемещение тела. Перемещение – это вектор.
Формула перемещения для одномерного случая
Для движения по оси (одномерный случай), длину перемещения находят так:
\[ \large \boxed { S = \left| x — x_{0} \right| }\]
Знак модуля нужен для того, чтобы длина перемещения оставалась положительной, даже, если движение происходит влево по оси, т. е. против направления оси Ox.
Сравним два случая движения тел. Первый – в положительном направлении оси Ox (рис 2а), второй – в направлении, противоположном оси (рис 2б).
Рис. 2. Перемещение вправо по оси – а) и влево по оси – б)
Чтобы найти длину вектора перемещения при движении в положительном направлении оси (рис. 2а), модуль раскрываем так:
\[ S = \left| x — x_{0} \right| = x — x_{0} \]
Для движения в отрицательном направлении оси (рис. 2б), длина вектора перемещения выражается так:
\[ S = \left| x — x_{0} \right| = — \left( x — x_{0} \right) = x_{0} — x \]
И в первом, и во втором случае, длина (модуль) вектора перемещения окажется положительной.
Скорость равномерного движения
В учебниках физики равномерному движению дают такое определение:
Движение равномерное, когда тело за одинаковые интервалы времени проходит равные расстояния.
Упростим формулировку:
Если каждую секунду тело проходит одинаковые расстояния – оно движется равномерно.
Слово «равномерное» состоит из двух частей.
Если разбить его на части, получим
«равно» — одинаковый, равный,
«мерное» — отмерять.
Или, другими словами: каждую секунду отмеряем одинаковые расстояния (рис. 2).
Рис. 3. Если тело проходит равные пути за одинаковые кусочки времени, движение будет равномерным
Для равномерного движения тела его
- перемещение,
- время движения и
- скорость,
связаны соотношением:
\[ \left|\vec{S} \right| = \left|\vec{v} \right|\cdot t \]
Эта формула называется уравнением движения. Или, развернуто: «уравнение равномерного прямолинейного движения».
Где \( \left|\vec{S} \right| \) — длина (модуль) вектора перемещения и, \(\left|\vec{v} \right|\) — длина (модуль) вектора скорости.
Уравнение движения можно записать проще:
\[ \large \boxed { S = v \cdot t }\]
\(S \left( \text{м} \right)\) – расстояние, пройденное телом (перемещение).
\(t \left( c \right)\) – промежуток времени, в течение которого тело двигалось.
\(v \left( \frac{\text{м}}{c} \right)\) – скорость, с которой двигалось тело.
Разделив обе части уравнения \( S = v \cdot t \) на интервал времени \( t \), получим выражение для скорости тела:
\[ \large \boxed { \frac{S}{t} = v }\]
График уравнения равномерного движения
Вспомним, что перемещение является разностью конечных и начальных координат тела
\( S = \left| x — x_{0} \right| \)
Воспользуемся тем, что при движении вдоль положительного направления оси модуль можно раскрыть так:
\( \left| x — x_{0} \right| = x — x_{0} \)
Тогда уравнение движения перепишем так:
\[ \large \boxed { x — x_{0} = v \cdot t }\]
Прибавим к обеим частям уравнения величину \( x_{0} \). Получим такую запись
\[ \large x = v \cdot t + x_{0}\]
Это уравнение задает на плоскости tOx линию. Ее график на осях «x» и «t» — это прямая линия.
Вспомним, что для прямой линии в математике применяют такой вид записи:
\( y = k \cdot x + b\)
Сравним два уравнения:
\[ \begin{cases} x = v\cdot t + x_{0}\\ y = k\cdot x + b \end{cases} \]
Видно, что число \( x_{0}\) – начальная координата тела, выполняет роль коэффициента \(b\).
А скорость тела \( v\) – играет роль углового коэффициента \(k\).
Сравним графики линий (рис. 4), описанных соотношениями \( y = k \cdot x + b\) и \( x = v \cdot t + x_{0}\)
Рис.4. При равномерном движении тела координата изменяется по линейному закону
Видно, что линия на рисунке 4а, располагается и слева и справа от вертикальной оси.
Линия же, описывающая движение тела, представленная на рисунке 4б, располагается только лишь в правой полуплоскости. Это не с проста. На горизонтальной оси рисунка 4б отложено время, а в левой полуплоскости время будет отрицательным. При решении задач физики мы считаем, что в начальный момент задачи время равно нулю. Поэтому, область отрицательного времени в физике нас не интересует.
Рассмотрим теперь на графике равномерное движение двух тел, обладающих разными скоростями (рис. 5). Движение тела 1 на рисунке описывает синяя линия, а тела 2 – красная.
Рис.5. Равномерное движение двух тел, обладающих разными скоростями. Скорость тела 1 (синий цвет) больше скорости тела 2 (линия красного цвета).
Два тела стартуют из точки \( x_{0}\) и двигаются равномерно воль оси Ox. За промежуток времени \( \Delta t\) тело 1, проходит больший путь, чем тело 2.
Примечание: Чем сильнее на графике x(t) прямая линия прижимается к вертикали, тем больше скорость, с которой движется тело!
Как отмечалось выше, тело может двигаться не только в положительном направлении вдоль оси, но и в отрицательном направлении.
На следующем рисунке представлены случаи движения тела в положительном (рис. 6а) и, в отрицательном (рис. 6б) направлениях оси Ox.
Когда скорость направлена по оси (рис. 6а) — координата «x» увеличивается,
а когда против оси (рис. 6б) — координата «x» уменьшается.
Перемещение тела в положительном направлении оси – а) и в отрицательном направлении по оси Ox – б)
На рисунке рядом с прямыми x(t) приведены уравнения движения. Когда скорость направлена против оси (рис. 6б), перед ней записывают знак «минус».
Угол \(\alpha\) на рисунке связан со знаком скорости. Если скорость направлена по оси (рис. 6а), то угол будет острым. А если скорость направлена против оси (рис. 6б) – угол тупой.
Примечание: Скорость – это вектор. Когда вектор направлен против оси, его проекция на эту ось будет отрицательной. Читайте тут о проекциях векторов. Длина любого вектора – это положительная величина.
Как по графику перемещения определить скорость
Пользуясь графиком функций S(t), или x(t) равномерного движения можно определить скорость, с которой движется тело.
Примечания:
- График S(t) называют так: «зависимость перемещения S от времени t», или кратко — график перемещения от времени.
- А график x(t) — так: «зависимость координаты x от времени t», или кратко — график координат от времени.
Скорость находим за четыре шага (рис. 7):
- Выбираем две точки на линии, описывающей движение и определяем их координаты;
- Находим разность вертикальных координат;
- После находим разность координат по горизонтали;
- Делим «вертикаль» на «горизонталь»
Полученное число и будет скоростью тела.
Примечания:
- Когда просят найти скорость, обычно имеют ввиду, что нужно найти модуль вектора скорости.
- Скорость в системе СИ измеряют в метрах, деленных на секунду.
Обращаем внимание на то, в каких единицах на осях измерены расстояние S и время t. Если нужно, переводим расстояние в метры, а время — в секунды, чтобы получить скорость в правильных единицах измерения.
Рис.7. Две точки 1 и 2 выбраны для того, чтобы по графику x(t) найти скорость равномерного прямолинейного движения тела
Рассмотрим рисунок 7.
На рисунке первая точка имеет координаты \( \left( t_{1} ; x_{1} \right) \),
координаты второй точки: \( \left( t_{2} ; x_{2} \right) \).
Разницы между координатами находим, руководствуясь принципом («конечная» — «начальная») по формулам
\( \Delta t = t_{2} — t_{1} \)
\( \Delta x = x_{2} — x_{1} \)
Скорость вычислим из соотношения
\[ v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\]
Читайте далее о том, как переводить скорость из километров в час в метры в секунду и о равнопеременном движении
1. График зависимости скорости от времени при прямолинейном движении с постоянным ускорением
Самое простое из всех неравномерных движений — это прямолинейное движение с постоянным ускорением.
При движении с постоянным ускорением (a→=const→) скорость тела линейно зависит от времени:
v→=v→o+a→t.
В проекциях на ось \(Ox\) данные равенства имеют вид:
ax=const;
vx=vox+axt.
Построим графики зависимостей axt и vxt для случаев ax>0 и ax<0.
Примем vox>0.
Поскольку в обоих случаях ax=const, то графиком зависимости axt ускорения от времени в обоих случаях будет прямая, параллельная оси времени.
Только при ax>0 данная прямая будет лежать в верхней полуплоскости (рис. \(1\)), а при ax<0 — в нижней (рис. \(2\)).
Рис. \(1\)
Рис. \(2\)
Графиком зависимости скорости движения тела от времени vxt является прямая, пересекающая ось скорости в точке v0 и образующая с положительным направлением оси времени острый угол при ax>0 (рис. \(3\)) и тупой угол при ax<0 (рис. \(4\)).
Рис. \(3\)
Рис. \(4\)
График на рисунке \(3\) описывает возрастание проекции скорости vx. При этом модуль скорости тела также растёт. Данный график соответствует равноускоренному движению тела.
График на рисунке \(4\) показывает, что проекция vx скорости тела вначале положительна.
Она уменьшается и в момент времени t=tп становится равной нулю.
В этот момент тело достигает точки поворота, в которой направление скорости тела меняется на противоположное, и при t>tп проекция скорости становится отрицательной.
Из последнего графика также видно, что до момента поворота модуль скорости уменьшался — тело двигалось равнозамедленно.
При t>tп модуль скорости растёт — тело движется равноускоренно.
Для любого равнопеременного прямолинейного движения площадь фигуры между графиком vx и осью времени \(t\) численно равна проекции перемещения Δrx.
Рис. \(5\)
Согласно данному правилу, проекция перемещения Δrx при равнопеременном движении определяется площадью трапеции \(ABCD\) (рис. \(5\)). Эта площадь равна полусумме оснований трапеции, умноженной на её высоту:
S=AB+DC2⋅AD.
В результате:
Δrx=vox+vx2⋅Δt.
Из данной формулы получим формулу для среднего значения проекции скорости:
vxср=ΔrxΔt=vox+vx2.
При движении с постоянным ускорением данное отношение выполняется не только для проекций, но и для векторов скорости:
vcp→=vo→+v→2.
Средняя скорость движения с постоянным ускорением равна полусумме начальной и конечной скоростей.
Движение снаряда
Снаряд — это любой объект, который после запуска или падения продолжает движение по собственной инерции, и на него влияет только сила тяжести, направленная вниз.
Движение снаряда , также известное как параболическое движение , является примером композиции движения в двух измерениях: ед. на горизонтальной оси и u.a.r.m. по вертикальной оси. В этом разделе мы изучим:
Начнем?
Концепция и представление
Движение снаряда , также известное как параболическое движение , состоит в том, что запускает тело со скоростью, которая образует угол α с горизонтом .На следующем рисунке вы можете увидеть представление о ситуации.
Параболическое движение
Это движение характерно для снарядов, движущихся объектов действует только сила тяжести. По оси x тело движется с постоянной скоростью v 0x (u.r.m.), а по оси y — с постоянным ускорением свободного падения (u.a.r.m.).
Характеризуется тем, что в наивысшей точке траектории скорость тела всегда v 0x (нет v y ).
Движение снаряда или параболическое движение является результатом композиции равномерного прямолинейного движения ( по горизонтали, ) и равномерно ускоренного прямолинейного движения при запуске вверх или вниз ( по вертикали, ).
Уравнения
Уравнения движения снаряда:
Поскольку, как мы сказали выше, скорость образует угол α с горизонтом, компоненты x и y определяются с использованием наиболее распространенных тригонометрических соотношений:
Разложение вектора скорости
Любой вектор, включая скорость, может быть разбит на 2 вектора, v x и v y , которые имеют те же направления, что и декартовы оси.Величину обоих векторов можно вычислить из угла, который вектор образует с горизонталью, с помощью выражений, показанных на рисунке.
Наконец, принимая во внимание вышесказанное, что y 0 = H , x 0 = 0 , и что a y = -g, , мы можем переписать формулы, как показано в следующем списке. Это окончательные выражения для расчета кинематических величин при движении снаряда или параболическом движении :
Экспериментируй и учись
Данные
г = 9.8 м / с 2 | |
Движение снаряда
Синий шар на рисунке представляет тело, подвешенное над землей. Вы можете перетащить его на желаемую начальную высоту H и выбрать начальную скорость (v 0 ), с которой он будет запускаться под углом (α) к по горизонтали. Серая линия представляет траекторию, по которой он будет двигаться в зависимости от выбранных вами значений.
Затем нажмите кнопку воспроизведения. Перетащите время и наблюдайте, как положение (x и y) и скорость (v x и v y ) рассчитываются для каждого момента его спуска на землю.
Убедитесь, что проекция по оси Y (зеленый) описывает вертикальное движение запуска, а по оси X (красный) — равномерное прямолинейное движение.
Уравнение положения и траектории движения снаряда
Уравнение положения тела помогает нам узнать, в какой точке оно находится в каждый момент времени.В случае движения тела в двух измерениях помните, что в общем случае оно описывается следующим образом:
Подставляя приведенные выше выражения положения по горизонтальной оси (u.r.m.) и по вертикальной оси (u.a.r.m.) в общее уравнение положения, мы можем получить выражение уравнения положения для параболического движения.
Уравнение положения снаряда задается следующим образом:
r → = (x0 + v0x⋅t) · i → + (H + v0y · t-12 · g · t2) · j →
С другой стороны, чтобы узнать, по какой траектории следует тело, то есть его уравнение траектории, мы можем объединить приведенные выше уравнения, чтобы исключить t , получив:
y = H + v0y · (xv0x) -12 · g · (xv0x) 2 = H + k1 · x-k2 · x2k1 = v0yvx; k2 = 12 · v0x2 · g
Как и ожидалось, это уравнение параболы.
С другой стороны, часто в упражнениях вас будут спрашивать о некоторых из следующих значений.
Максимальная высота
Это значение достигается, когда скорость по оси Y , v y , равна 0. Исходя из уравнения скорости по оси Y и получая v y = 0 , мы получить время t , которое требуется телу, чтобы достичь этой высоты. С этого времени и из уравнений положения, мы можем вычислить расстояние до начала координат по обеим осям, оси x и оси y .
Время полета
Рассчитано для y = 0 , вертикальной составляющей позиции. То есть время полета — это время, необходимое для того, чтобы высота стала равной 0 (снаряд достигнет земли).
Диапазон
Это максимальное расстояние по горизонтали от начальной точки движения до точки падения тела на землю. Как только будет получено сильное время полета > , просто подставьте в уравнение положения горизонтальный компонент.
Угол траектории
Угол траектории в данной точке совпадает с углом, который образует вектор скорости с горизонтом в этой точке. Для его расчета получаем компоненты v x и v y и из тригонометрического определения тангенса угла вычисляем α :
tanα = противоположная сторона смежная сторона = vyvx⇒α = tan-1vyvx
Пример
Минута 90 игры… Lopera приближается к мячу, чтобы выполнить штрафной удар в 40 метрах от ворот, делает два шага назад и делает удар ногой. Мяч взлетает на высоте 20 ° … и ГООООООЛЛ !!! ГООООООООЛЛЛ !!!! Мяч проходит через верхний угол на высоте 1,70 м !!!. Сможете ли вы, послушав эту радиопередачу, ответить на следующие вопросы?
а) Сколько времени прошло от удара Лоперы до взятия ворот? и какова была начальная скорость мяча в момент удара?
б) Какова максимальная высота мяча?
c) Насколько быстро летел мяч, когда достиг цели?
4.3 Движение снаряда — Университетская физика, том 1
Снаряд фейерверка взрывается высоко и далеко
Во время фейерверка снаряд запускается в воздух с начальной скоростью 70,0 м / с под углом 75,0 ° и 75,0 ° над горизонтом, как показано на рисунке 4.13. Взрыватель рассчитан на воспламенение снаряда в момент, когда он достигает своей наивысшей точки над землей. (а) Рассчитайте высоту взрыва снаряда. б) Сколько времени проходит между запуском снаряда и взрывом? (c) Каково горизонтальное смещение снаряда при взрыве? (d) Каково полное смещение от точки запуска до самой высокой точки?Рисунок 4.13 Траектория выстрела фейерверка. Взрыватель настроен так, чтобы взорвать снаряд в наивысшей точке его траектории, которая находится на высоте 233 м и 125 м по горизонтали.
Стратегия
Движение можно разбить на горизонтальные и вертикальные движения, в которых ax = 0ax = 0 и ay = −g.ay = −g. Затем мы можем определить x0x0 и y0y0 равными нулю и найти желаемые величины.Решение
(a) Под «высотой» мы подразумеваем высоту или вертикальное положение y над начальной точкой.Наивысшая точка любой траектории, называемая апексом , достигается, когда vy = 0.vy = 0. Поскольку мы знаем начальную и конечную скорости, а также начальное положение, мы используем следующее уравнение, чтобы найти y : vy2 = v0y2−2g (y − y0) .vy2 = v0y2−2g (y − y0).Поскольку y0y0 и vyvy оба равны нулю, уравнение упрощается до
0 = v0y2−2gy. 0 = v0y2−2gy.Решение y дает
Теперь мы должны найти v0y, v0y, составляющую начальной скорости в направлении y .Он задается формулами v0y = v0sinθ0, v0y = v0sinθ0, где v0v0 — начальная скорость 70,0 м / с, а θ0 = 75 ° θ0 = 75 ° — начальный угол. Таким образом,
v0y = v0sinθ = (70,0 м / с) sin75 ° = 67,6 м / sv0y = v0sinθ = (70,0 м / с) sin75 ° = 67,6 м / си y равно
y = (67,6 м / с) 22 (9,80 м / с2). y = (67,6 м / с) 22 (9,80 м / с2).Таким образом, имеем
Обратите внимание, что поскольку верх положительный, начальная вертикальная скорость положительна, как и максимальная высота, но ускорение свободного падения отрицательное. Отметим также, что максимальная высота зависит только от вертикальной составляющей начальной скорости, так что любой снаряд с калибром 67.Начальная вертикальная составляющая скорости 6 м / с достигает максимальной высоты 233 м (без учета сопротивления воздуха). Цифры в этом примере приемлемы для больших фейерверков, снаряды которых достигают такой высоты перед взрывом. На практике сопротивлением воздуха нельзя пренебречь, поэтому начальная скорость должна быть несколько больше, чем заданная для достижения той же высоты.
(b) Как и во многих других физических задачах, существует несколько способов решения, пока снаряд достигает своей наивысшей точки.В этом случае самый простой способ — использовать vy = v0y − gt.vy = v0y − gt. Поскольку vy = 0vy = 0 на вершине, это уравнение сводится к просто
или
t = v0yg = 67,6 м / с 9,80 м / с2 = 6,90 с. t = v0yg = 67,6 м / с 9,80 м / с2 = 6,90 с.Это время также подходит для больших фейерверков. Если вы видите запуск фейерверка, обратите внимание, что проходит несколько секунд, прежде чем снаряд взорвется. Другой способ найти время — использовать y = y0 + 12 (v0y + vy) t.y = y0 + 12 (v0y + vy) t. Это оставлено вам в качестве упражнения.
(c) Поскольку сопротивление воздуха незначительно, ax = 0ax = 0 и горизонтальная скорость постоянна, как обсуждалось ранее. Горизонтальное смещение — это горизонтальная скорость, умноженная на время, как задано формулой x = x0 + vxt, x = x0 + vxt, где x0x0 равно нулю. Таким образом,
, где vxvx — x -компонент скорости, равной
. | s → | = 1252 + 2332 = 264m | s → | = 1252 + 2332 = 264m Φ = tan − 1 (233125) = 61.8 °. Φ = tan − 1 (233125) = 61,8 °.Обратите внимание, что угол для вектора смещения меньше начального угла запуска. Чтобы понять, почему это так, просмотрите Рисунок 4.11, на котором показана кривизна траектории к уровню земли.
Движение в двух измерениях | Безграничная физика
Постоянная скорость
Объект, движущийся с постоянной скоростью, должен иметь постоянную скорость в постоянном направлении.
Цели обучения
Изучите термины для постоянной скорости и их применимость к ускорению
Основные выводы
Ключевые моменты
- Постоянная скорость означает, что движущийся объект движется по прямой с постоянной скоростью.
- Эта строка может быть представлена алгебраически как: [latex] \ text {x} = \ text {x} _0 + \ text {vt} [/ latex], где [latex] \ text {x} _0 [/ latex] представляет положение объекта в [latex] \ text {t} = 0 [/ latex], а наклон линии указывает скорость объекта.
- Скорость может быть положительной или отрицательной и указывается знаком нашего наклона. Это говорит нам, в каком направлении движется объект.
Ключевые термины
- постоянная скорость : Движение, которое не меняется ни по скорости, ни по направлению.
Движение с постоянной скоростью — одна из простейших форм движения. Этот тип движения возникает, когда объект движется (или скользит) в присутствии небольшого или незначительного трения, подобно тому, как хоккейная шайба скользит по льду. Чтобы иметь постоянную скорость, объект должен иметь постоянную скорость в постоянном направлении. Постоянное направление заставляет объект двигаться по прямой траектории.
Второй закон Ньютона ([latex] \ text {F} = \ text {ma} [/ latex]) предполагает, что когда к объекту прикладывается сила, объект испытывает ускорение.Если ускорение равно 0, объект не должен подвергаться воздействию внешних сил. Математически это можно представить следующим образом:
[латекс] \ text {a} = \ frac {\ text {dv}} {\ text {dt}} = 0 ~ \ Rightarrow ~ \ text {v} = \ text {const} [/ latex].
Если объект движется с постоянной скоростью, график зависимости расстояния от времени ([latex] \ text {x} [/ latex] vs. [latex] \ text {t} [/ latex]) показывает такое же изменение положение по каждому интервалу времени. Поэтому движение объекта с постоянной скоростью представлено прямой линией: [latex] \ text {x} = \ text {x} _0 + \ text {vt} [/ latex], где [latex] \ text {x} _0 [/ latex] — это смещение, когда [latex] \ text {t} = 0 [/ latex] (или в точке пересечения оси Y).
Движение с постоянной скоростью : Когда объект движется с постоянной скоростью, он не меняет ни направления, ни скорости, и поэтому отображается как прямая линия на графике как расстояние во времени.
Вы также можете получить скорость объекта, если знаете его след во времени. Имея график, как в, мы можем вычислить скорость по изменению расстояния с течением времени. Графически скорость можно интерпретировать как наклон линии.Скорость может быть положительной или отрицательной и указывается знаком нашего наклона. Это говорит нам, в каком направлении движется объект.
Постоянное ускорение
Анализ двумерного движения снаряда выполняется путем разбиения его на два движения: по горизонтальной и вертикальной осям.
Цели обучения
Анализировать двумерное движение снаряда по горизонтальной и вертикальной осям
Основные выводы
Ключевые моменты
- Постоянное ускорение при движении в двух измерениях обычно происходит по образцу снаряда.
- Движение снаряда — это движение объекта, брошенного или выброшенного в воздух, с учетом только (вертикального) ускорения силы тяжести.
- Мы анализируем двумерное движение снаряда, разбивая его на два независимых одномерных движения по вертикальной и горизонтальной осям.
Ключевые термины
- кинематика : или относящиеся к движению или кинематике
Движение снаряда — это движение объекта, брошенного или выброшенного в воздух, подверженное только силе тяжести.Объект называется снарядом, а его путь называется его траекторией. Движение падающих предметов — это простой одномерный тип движения снаряда, при котором нет горизонтального движения. В двумерном движении снаряда, таком как движение футбольного мяча или другого брошенного объекта, есть как вертикальная, так и горизонтальная составляющие движения.
Движение снаряда : Бросок камня или удар ногой по мячу, как правило, создает образец движения снаряда, который имеет как вертикальную, так и горизонтальную составляющие.
Самый важный факт, о котором следует помнить, это то, что движения по перпендикулярным осям независимы и поэтому могут быть проанализированы отдельно. Ключ к анализу двумерного движения снаряда состоит в том, чтобы разбить его на два движения, одно по горизонтальной оси, а другое по вертикали. Чтобы описать движение, мы должны иметь дело со скоростью и ускорением, а также со смещением.
Предположим, что все силы, кроме силы тяжести (например, сопротивление воздуха и трение), незначительны. 2 + 2 \ text {a} _ \ text {y} (\ text {y} — \ text {y} _0) [/ latex]
Мы анализируем двумерное движение снаряда, разбивая его на два независимых одномерных движения по вертикальной и горизонтальной осям.Горизонтальное движение простое, потому что [latex] \ text {a} _ \ text {x} = 0 [/ latex] и [latex] \ text {v} _ \ text {x} [/ latex], таким образом, является постоянным. Скорость в вертикальном направлении начинает уменьшаться по мере подъема объекта; в самой высокой точке вертикальная скорость равна нулю. Когда объект снова падает на Землю, вертикальная скорость снова увеличивается по величине, но указывает в направлении, противоположном начальной вертикальной скорости. Движения [latex] \ text {x} [/ latex] и [latex] \ text {y} [/ latex] могут быть рекомбинированы для получения общей скорости в любой заданной точке траектории.
ключевых концепций движения, которые вам необходимо знать в физике
Движение — это процесс, при котором объект меняет свое положение с течением времени. Эта концепция неразрывно связана с изучением физики, поэтому важно понимать, что представляют собой различные типы движения. Есть несколько типов движения, но все они могут быть разделены на две большие категории — прямолинейное движение и нелинейное движение.
Прямолинейное движение
Прямолинейное движение относится к движению, которое происходит по прямой линии и, таким образом, может быть описано как имеющее только одну координатную ось.Другими словами, он не меняет направление постоянно. Этот тип движения может относиться как к движению частицы, так и тела. Движение тела называется прямолинейным движением, если две частицы в теле проходят одинаковое расстояние по параллельным прямым линиям. Некоторые примеры прямолинейного движения включают движение автомобиля или поезда по прямой линии или движение лифтов.
Есть три основных типа прямолинейного движения.
1. Равномерное прямолинейное движение : Это происходит, когда частица или тело движутся с постоянной скоростью.т.е. без разгона.
2. Равномерно ускоренное прямолинейное движение : Это происходит, когда объект движется с постоянным ускорением.
3. Прямолинейное движение с неравномерным ускорением : Это происходит, когда объект движется с неравномерной скоростью и ускорением.
Прямолинейное движение тела.
В случае прямолинейного движения вычислить его перемещение, скорость и ускорение относительно просто. На рисунке x (t) относится к окончательному положению частиц как функции времени t , где направление движения — вдоль оси x.
Как только мы узнаем положение частиц вдоль направления движения, мы можем определить смещение, скорость и ускорение. В этих случаях мы часто предполагаем, что ускорение является постоянным, чтобы получить и использовать уравнения, которые помогают нам вычислить значения, упомянутые выше. Вот уравнения для скорости и положения в случае прямолинейного движения.
v (t) = v (0) + при
x (t) = x (0) + v (0) t + 1/2 при 2
В этих уравнениях v (t) и x (t) относятся к скорости и положению объекта в момент времени t , a относятся к ускорению (которое является константой), а v (0) и x (0) относятся к скорости и положению в момент времени t = 0 соответственно.
Поскольку смещение ( d ) определяется как x (t) — x (0) ,
d = v (0) t + 1/2 при 2
Вы также можете найти скорость, используя только смещение, ускорение и начальную скорость, исключив время как переменную, используя следующее уравнение:
v (t) 2 = v (0) 2 + 2ad
Как видите, если ускорение известно и постоянно, вам просто нужно подставить соответствующие значения в уравнения, чтобы найти смещение, скорость и ускорение объекта.В случае, когда ускорение не является постоянным, вы должны использовать математический анализ, чтобы получить соответствующее уравнение.
Например, если ускорение задано как функция времени, вам нужно будет интегрировать его один раз, чтобы найти уравнение для скорости, и дважды для смещения. И наоборот, если дано уравнение смещения, вам придется дифференцировать его один раз для скорости и дважды для уравнения ускорения.
Нелинейное движение
Нелинейное движение — это движение, которое не происходит по прямой.То есть его скорость постоянно меняется. Опять же, существует несколько типов нелинейного движения. Вот лишь несколько примеров:
1. Движение снаряда : Это происходит, когда объект отрывается от земли, движется по воздуху под действием силы тяжести. Это означает, что он движется по параболе. Некоторые примеры этого типа движения включают футбольный мяч или стрелу, летящую по воздуху после запуска.
2. Круговое движение : Это происходит, когда объект движется по кругу.Даже если скорость постоянна, его скорость постоянно меняется, потому что его направление постоянно меняется, что делает его движение нелинейным. Этому изменению скорости способствует центростремительная сила, которая представляет собой результирующую силу, направленную перпендикулярно направлению скорости к центру круга. Примеры кругового движения включают воду, вращающуюся внутри ведра, или спутник, вращающийся вокруг Земли.
Работать с этими типами движения несколько сложнее, поскольку они больше не одномерные, как прямолинейное движение.В случае движения снаряда вам придется иметь дело с вертикальной и горизонтальной составляющими движения. Для круговых движений вам придется иметь дело с такими понятиями, как угловое смещение и угловая скорость.
Эти концепции может быть трудно понять самому, поэтому не стесняйтесь обращаться за помощью. Независимо от того, изучаете ли вы физику уровня O или A, мы можем помочь упростить эти концепции, чтобы сделать их более удобоваримыми. Математические формулы могут показаться сложными для усвоения, но с нашими уроками физики вы увидите, что изучение физики может быть увлекательным и обогащающим занятием.
4.3 Движение снаряда — Университетская физика, том 1
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Используйте одномерное движение в перпендикулярных направлениях для анализа движения снаряда.
- Рассчитайте дальность, время полета и максимальную высоту снаряда, который выпущен и попадает в плоскую горизонтальную поверхность.
- Найдите время полета и скорость удара снаряда, который приземляется на высоте, отличной от высоты запуска.
- Рассчитайте траекторию полета снаряда.
Движение снаряда — это движение объекта, брошенного или выброшенного в воздух, с ускорением только под действием силы тяжести. Применения движения снаряда в физике и технике многочисленны. Некоторые примеры включают метеоры при входе в атмосферу Земли, фейерверки и движение любого мяча в спорте. Такие объекты называются снарядами , а их путь называется траекторией .Движение падающих объектов, описанное в разделе «Движение по прямой», представляет собой простой одномерный тип движения снаряда, в котором нет горизонтального движения. В этом разделе мы рассматриваем двумерное движение снаряда и не учитываем влияние сопротивления воздуха.
Самый важный факт, который следует здесь помнить, это то, что движения вдоль перпендикулярных осей являются независимыми и, таким образом, могут быть проанализированы отдельно. Мы обсуждали этот факт в статье «Векторы смещения» и «Векторы скорости», где мы увидели, что вертикальные и горизонтальные движения независимы.Ключ к анализу двумерного движения снаряда состоит в том, чтобы разбить его на два движения: одно по горизонтальной оси, а другое по вертикали. (Этот выбор осей является наиболее разумным, поскольку ускорение свободного падения является вертикальным; таким образом, нет ускорения вдоль горизонтальной оси, когда сопротивление воздуха незначительно.) Как обычно, мы называем горизонтальную ось осью x и вертикальная ось y — ось. Необязательно, чтобы мы использовали этот выбор осей; это просто удобно в случае ускорения свободного падения.В других случаях мы можем выбрать другой набор осей. (Рисунок) иллюстрирует обозначение смещения, где мы определяем
— полное смещение, а
и
— его составляющие векторы по горизонтальной и вертикальной осям соответственно. Величины этих векторов равны s , x и y .
Рисунок 4.11 Общее смещение s футбольного мяча в точке на его пути.Векторимеет компоненты
и
по горизонтальной и вертикальной осям. Его величина равна s, и он составляет угол θ с горизонтом.
Чтобы полностью описать движение снаряда , мы должны включить скорость и ускорение, а также смещение. Мы должны найти их компоненты по осям x- и y . Предположим, что все силы, кроме силы тяжести (например, сопротивление воздуха и трение), незначительны.Определив положительное направление как восходящее, компоненты ускорения будут очень простыми:
Поскольку сила тяжести вертикальная,
Если
, это означает, что начальная скорость в направлении x равна конечной скорости в направлении x , или
С этими условиями для ускорения и скорости, мы можем записать кинематику (Уравнение) через (Уравнение) для движения в однородном гравитационном поле, включая остальные кинематические уравнения для постоянного ускорения из Движение с постоянным ускорением.Кинематические уравнения движения в однородном гравитационном поле становятся кинематическими уравнениями с
Горизонтальное перемещение
Вертикальное перемещение
Используя эту систему уравнений, мы можем анализировать движение снаряда, учитывая некоторые важные моменты.
Стратегия решения проблем: движение снаряда
- Разложите движение на горизонтальные и вертикальные компоненты по осям x и y .Величины компонентов смещения
по этим осям составляют x и y. Величины компонент скорости
это
, где v — величина скорости, а θ — ее направление относительно горизонтали, как показано на (Рисунок).
- Рассматривайте движение как два независимых одномерных движения: одно горизонтальное, а другое вертикальное.Используйте кинематические уравнения для горизонтального и вертикального движения, представленные ранее.
- Найдите неизвестные в двух отдельных движениях: одном горизонтальном и одном вертикальном. Обратите внимание, что единственная общая переменная между движениями — это время t . Процедуры решения проблем здесь такие же, как и для одномерной кинематики, и проиллюстрированы в следующих решенных примерах.
- Перекомбинируйте величины в горизонтальном и вертикальном направлениях, чтобы найти полное смещение
и скорость
Определите величину и направление смещения и скорости, используя
., где θ — направление смещения
и
— постоянная величина. (c) Скорость в вертикальном направлении начинает уменьшаться по мере того, как объект поднимается. В самой высокой точке вертикальная скорость равна нулю. Когда объект снова падает на Землю, вертикальная скорость снова увеличивается по величине, но указывает в направлении, противоположном начальной вертикальной скорости.(d) Движения по осям x и y объединяются для получения полной скорости в любой заданной точке траектории.
Пример
Снаряд фейерверка взрывается высоко и далеко
Во время фейерверка в воздух с начальной скоростью 70,0 м / с под углом
выстреливается снаряд.выше горизонтали, как показано на (Рисунок). Взрыватель рассчитан на воспламенение снаряда в момент, когда он достигает своей наивысшей точки над землей. (а) Рассчитайте высоту взрыва снаряда.б) Сколько времени проходит между запуском снаряда и взрывом? (c) Каково горизонтальное смещение снаряда при взрыве? (d) Каково полное смещение от точки запуска до самой высокой точки?
Рис. 4.13 Траектория выстрела фейерверка. Взрыватель настроен так, чтобы взорвать снаряд в наивысшей точке его траектории, которая находится на высоте 233 м и 125 м по горизонтали.Стратегия
Движение можно разбить на горизонтальное и вертикальное, в котором
и
Затем мы можем определить
и
равняться нулю и найти желаемые количества.
Решение
(a) Под «высотой» мы понимаем высоту или вертикальное положение y над начальной точкой. Наивысшая точка любой траектории, называемая апексом , достигается, когда
Поскольку нам известны начальная и конечная скорости, а также начальное положение, мы используем следующее уравнение, чтобы найти y :
Потому что
и
равны нулю, уравнение упрощается до
Решение y дает
Теперь мы должны найти
составляющая начальной скорости в направлении y .Выдается
где
— начальная скорость 70,0 м / с,
— начальный угол. Таким образом,
и y равно
Таким образом, имеем
Обратите внимание, что поскольку верх положительный, начальная вертикальная скорость положительна, как и максимальная высота, но ускорение свободного падения отрицательное.Отметим также, что максимальная высота зависит только от вертикальной составляющей начальной скорости, так что любой снаряд с начальной вертикальной составляющей скорости 67,6 м / с достигает максимальной высоты 233 м (без учета сопротивления воздуха). Цифры в этом примере приемлемы для больших фейерверков, снаряды которых достигают такой высоты перед взрывом. На практике сопротивлением воздуха нельзя пренебречь, поэтому начальная скорость должна быть несколько больше, чем заданная для достижения той же высоты.
(b) Как и во многих других физических задачах, существует несколько способов решения, пока снаряд достигает своей наивысшей точки. В этом случае самый простой способ — использовать
.Потому что
на вершине, это уравнение сводится просто к
или
Это время также подходит для больших фейерверков. Если вы видите запуск фейерверка, обратите внимание, что проходит несколько секунд, прежде чем снаряд взорвется.Другой способ узнать время — использовать
.Это оставлено вам в качестве упражнения.
(c) Поскольку сопротивление воздуха незначительно,
, а горизонтальная скорость постоянна, как обсуждалось ранее. Горизонтальное смещение — это горизонтальная скорость, умноженная на время, равное
.где
равно нулю. Таким образом,
где
— это составляющая скорости x , равная
.Время t для обоих движений одинаково, поэтому x равно
Горизонтальное движение — это постоянная скорость при отсутствии сопротивления воздуха.Обнаруженное здесь горизонтальное смещение могло быть полезно для предотвращения падения фрагментов фейерверка на зрителей. Когда снаряд взрывается, сопротивление воздуха оказывает большое влияние, и многие осколки падают прямо под ним.
(d) Горизонтальная и вертикальная составляющие смещения были только что рассчитаны, поэтому все, что здесь нужно, — это найти величину и направление смещения в наивысшей точке:
Обратите внимание, что угол для вектора смещения меньше начального угла запуска.Чтобы понять, почему это так, просмотрите (рисунок), на котором показана кривизна траектории к уровню земли.
При решении (рис.) (А) найденное нами выражение для y справедливо для любого движения снаряда, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь. Назовем максимальную высоту y = h . Затем
Это уравнение определяет максимальную высоту снаряда над его стартовой позицией и зависит только от вертикальной составляющей начальной скорости.
Проверьте свое понимание
Камень сброшен со скалы горизонтально
со скоростью 15,0 м / с. (а) Определите начало системы координат. (б) Какое уравнение описывает горизонтальное движение? (c) Какие уравнения описывают вертикальное движение? (г) Какова скорость камня в точке удара?
[показывать-ответ q = ”fs-id1165168031779 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165168031779 ″]
(a) Выберите вершину утеса, куда бросается камень из начала системы координат.Хотя это произвольно, мы обычно выбираем время t = 0, чтобы соответствовать началу координат. (b) Уравнение, описывающее горизонтальное движение:
с
это уравнение становится
(c) (рисунок) — (рисунок) и (рисунок) описывают вертикальное движение, но с
эти уравнения значительно упрощаются и становятся
и
(d) Мы используем кинематические уравнения, чтобы найти составляющие x и y скорости в точке удара.Используя
и учитывая, что точка удара равна -100,0 м, мы находим, что составляющая скорости при ударе y составляет
Нам дается компонент x ,
, поэтому мы можем рассчитать общую скорость при ударе: v = 46,8 м / с и
ниже горизонтали.
[/ hidden-answer]
Пример
Расчет движения снаряда: теннисист
Теннисист выигрывает матч на стадионе Артура Эша и отбивает мяч на трибунах со скоростью 30 м / с и под углом
над горизонтом ((Рисунок)).Спускаясь вниз, зритель ловит мяч на 10 м выше точки удара. (а) Подсчитайте время, за которое теннисный мяч достигает зрителя. (б) Каковы величина и направление скорости мяча при ударе?
Рисунок 4.14 Траектория удара теннисного мяча о трибуны.Стратегия
Опять же, разделение этого двумерного движения на два независимых одномерных движения позволяет нам найти желаемые величины. Время нахождения снаряда в воздухе определяется только его вертикальным движением.Таким образом, сначала мы решаем t . Пока мяч поднимается и опускается вертикально, горизонтальное движение продолжается с постоянной скоростью. В этом примере запрашивается окончательная скорость. Таким образом, мы рекомбинируем вертикальный и горизонтальный результаты, чтобы получить
в конечный момент времени t , определенный в первой части примера.
Решение
(a) Пока мяч находится в воздухе, он поднимается, а затем падает в конечное положение на 10,0 м выше его начальной высоты.Мы можем найти время для этого, используя (Рисунок):
Если взять начальную позицию
равняется нулю, тогда конечная позиция будет y = 10 м. Начальная вертикальная скорость — это вертикальная составляющая начальной скорости:
Подставив в (рисунок) y , мы получим
Перестановка членов дает квадратное уравнение в t :
Использование формулы корней квадратного уравнения дает t = 3.79 с и т = 0,54 с. Поскольку мяч находится на высоте 10 м два раза на протяжении своей траектории — один раз по пути вверх и один раз по пути вниз, — мы выбираем более длительное решение для времени, которое требуется мячу, чтобы достичь зрителя:
Время движения снаряда полностью определяется вертикальным движением. Таким образом, любой снаряд, который имеет начальную вертикальную скорость 21,2 м / с и приземляется на 10,0 м ниже начальной высоты, проводит в воздухе 3,79 с.
(б) Мы можем найти окончательные горизонтальную и вертикальную скорости
и
с использованием результата из (а).Затем мы можем объединить их, чтобы найти величину вектора полной скорости
и угол
делает с горизонтальным. С
является постоянным, мы можем найти его в любом горизонтальном положении. Мы выбираем начальную точку, потому что знаем как начальную скорость, так и начальный угол. Следовательно,
Окончательная вертикальная скорость определяется выражением (Рисунок):
с
было найдено в части (а) как 21.2 м / с, имеем
Величина конечной скорости
это
Направление
находится через арктангенс:
Значение
(a) Как упоминалось ранее, время движения снаряда полностью определяется вертикальным движением. Таким образом, любой снаряд, который имеет начальную вертикальную скорость 21,2 м / с и приземляется 10.0 м ниже начальной высоты проводит в воздухе 3,79 с. (b) Отрицательный угол означает, что скорость равна
.ниже горизонтали в точке удара. Этот результат согласуется с тем фактом, что мяч ударяется о точку с другой стороны от вершины траектории и, следовательно, имеет отрицательную составляющую скорости y . Величина скорости меньше, чем величина ожидаемой начальной скорости, поскольку он падает на 10,0 м над отметкой пуска.
Время полета, траектория и дальность
Интерес представляют время полета, траектория и дальность полета снаряда, выпущенного по плоской горизонтальной поверхности и ударяющегося по этой же поверхности. В этом случае кинематические уравнения дают полезные выражения для этих величин, которые выводятся в следующих разделах.
Время полета
Мы можем вычислить время полета снаряда, который одновременно запускается и ударяется о плоскую горизонтальную поверхность, выполнив некоторые манипуляции с кинематическими уравнениями.Отметим, что положение и смещение в y должны быть нулевыми при запуске и при ударе о ровную поверхность. Таким образом, мы устанавливаем смещение в y равным нулю и находим
Факторинг, у нас
Решение для т дает нам
Это время полета для снаряда, выпущенного и попавшего в плоскую горизонтальную поверхность. (Рисунок) неприменимо, когда снаряд приземляется на высоте, отличной от того, на каком он был выпущен, как мы видели на (Рисунок), когда теннисист отбивает мяч в трибуны.Другое решение, t = 0, соответствует времени запуска. Время полета линейно пропорционально начальной скорости в направлении y и обратно пропорционально g . Таким образом, на Луне, где сила тяжести в шесть раз меньше земной, снаряд, запущенный с той же скоростью, что и на Земле, будет лететь в шесть раз дольше.
Траектория
Траектория снаряда может быть найдена путем исключения временной переменной t из кинематических уравнений для произвольного t и решения для y ( x ).Берем
, поэтому снаряд запускается из исходной точки. Кинематическое уравнение для x дает
Подставляем выражение для t в уравнение для позиции
дает
Переставляя термины, получаем
Это уравнение траектории имеет вид
, которое представляет собой уравнение параболы с коэффициентами
Диапазон
Из уравнения траектории мы также можем найти дальность , или горизонтальное расстояние, пройденное снарядом.Факторинг (рисунок), имеем
Положение y равно нулю как для точки запуска, так и для точки удара, поскольку мы снова рассматриваем только плоскую горизонтальную поверхность. Установка y = 0 в этом уравнении дает решения x = 0, соответствующие точке запуска, и
соответствует точке удара. Использование тригонометрического тождества
и установив x = R для диапазона, находим
Обратите особое внимание на то, что (рисунок) действительно только для запуска и удара о горизонтальную поверхность.Мы видим, что диапазон прямо пропорционален квадрату начальной скорости
.и
, и он обратно пропорционален ускорению свободного падения. Таким образом, на Луне дальность полета будет в шесть раз больше, чем на Земле при той же начальной скорости. Кроме того, из множителя
видно, что, что диапазон максимален на
Эти результаты показаны на (Рисунок). В (а) мы видим, что чем больше начальная скорость, тем больше диапазон.В (b) мы видим, что диапазон максимален на
Это верно только для условий, не учитывающих сопротивление воздуха. Если учесть сопротивление воздуха, максимальный угол будет несколько меньше. Интересно, что тот же диапазон обнаружен для двух начальных углов пуска, которые в сумме составляют
°.Снаряд, выпущенный с меньшим углом, имеет меньшую вершину, чем больший угол, но они оба имеют одинаковую дальность.
Рисунок 4.15 Траектории полета снарядов на ровной поверхности.(а) Чем больше начальная скорость, тем больше диапазон для данного начального угла. (б) Влияние начального угла
на дальность полета снаряда с заданной начальной скоростью. Обратите внимание, что диапазон такой же для начальных углов
и
, хотя максимальные высоты этих путей различаются.
Пример
Сравнение снимков в гольф
Гольфист оказывается в двух разных ситуациях на разных лунках.На второй лунке он находится в 120 м от грина и хочет отбить мяч на 90 м и позволить ему вылететь на лужайку. Он направляет выстрел низко к земле, на
.в горизонтальное положение, чтобы мяч катился после удара. На четвертой лунке он находится в 90 м от грина и хочет, чтобы мяч упал с минимальным перекатом после удара. Здесь он направляет выстрел на
.в горизонтальное положение, чтобы свести к минимуму перекатывание после удара. Оба выстрела попадают и попадают на ровную поверхность.
(а) Какова начальная скорость мяча во второй лунке?
(b) Какова начальная скорость мяча на четвертой лунке?
(c) Напишите уравнение траектории для обоих случаев.
(d) Постройте траектории.
Стратегия
Мы видим, что уравнение дальности имеет начальную скорость и угол, поэтому мы можем найти начальную скорость как для (a), так и для (b). Когда у нас есть начальная скорость, мы можем использовать это значение для записи уравнения траектории.
Решение
(а)
(б)
(в)
(d) Используя графическую утилиту, мы можем сравнить две траектории, которые показаны на (Рисунок).
Рисунок 4.16 Две траектории мяча для гольфа с дальностью 90 м. Точки удара обоих находятся на том же уровне, что и точка взлета.Значение
Начальная скорость для выстрела на
больше начальной скорости выстрела на
Примечание из (Рисунок), что два снаряда, выпущенные с одинаковой скоростью, но под разными углами, имеют одинаковую дальность, если углы запуска добавляют к
.Углы запуска в этом примере складываются, чтобы получить число больше
.Таким образом, выстрел на
должен иметь большую стартовую скорость, чтобы достичь 90 м, иначе он приземлится на меньшем расстоянии.
Проверьте свое понимание
Если бы два удара в гольф на (Рис.) Были произведены с одинаковой скоростью, какой удар имел бы наибольшую дальность?
[show-answer q = ”fs-id1165166636799 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165166636799 ″]
Удар для гольфа на
[/ hidden-answer]
Когда мы говорим о дальности полета снаряда на ровной поверхности, мы предполагаем, что R очень мала по сравнению с окружностью Земли.Однако, если диапазон большой, Земля изгибается под снаряд, и ускорение свободного падения меняет направление на траектории. Дальность больше, чем предсказано уравнением дальности, приведенным ранее, потому что снаряд должен упасть дальше, чем на ровной поверхности, как показано на (Рисунок), который основан на чертеже Ньютона Principia. Если начальная скорость достаточно велика, снаряд выходит на орбиту. Поверхность Земли опускается на 5 м каждые 8000 м. За 1 с объект падает на 5 м без сопротивления воздуха.Таким образом, если объекту задана горизонтальная скорость
(или
у поверхности Земли, он выйдет на орбиту вокруг планеты, потому что поверхность постоянно падает от объекта. Это примерно скорость космического челнока на низкой околоземной орбите, когда он работал, или любого спутника на низкой околоземной орбите. Эти и другие аспекты орбитального движения, такие как вращение Земли, более подробно рассматриваются в книге «Гравитация».
Рисунок 4.17 Снаряд в спутник. В каждом показанном здесь случае снаряд запускается с очень высокой башни, чтобы избежать сопротивления воздуха. С увеличением начальной скорости дальность действия увеличивается и становится больше, чем на ровной поверхности, потому что Земля изгибается под своим путем. Со скоростью 8000 м / с достигается орбита.Сводка
- Движение снаряда — это движение объекта, подверженного только ускорению свободного падения, где ускорение постоянно, как у поверхности Земли.
- Чтобы решить задачи о движении снаряда, мы анализируем движение снаряда в горизонтальном и вертикальном направлениях, используя одномерные кинематические уравнения для x и y .
- Время полета снаряда, выпущенного с начальной вертикальной скоростью.
на ровной поверхности дает
Это уравнение действительно только тогда, когда снаряд приземляется на той же высоте, с которой был запущен.
- Максимальное горизонтальное расстояние, пройденное снарядом, называется дальностью. Опять же, уравнение для дальности действительно только тогда, когда снаряд приземляется на той же высоте, с которой он был запущен.
Концептуальные вопросы
Ответьте на следующие вопросы относительно движения снаряда по ровной поверхности, предполагая незначительное сопротивление воздуха, с начальным углом, не равным
или
(a) Скорость когда-нибудь равна нулю? (б) Когда скорость минимальна? Максимум? (c) Может ли скорость когда-либо быть такой же, как начальная скорость в любой момент времени, кроме t = 0? (d) Может ли скорость когда-либо быть такой же, как начальная скорость, в любой момент времени, кроме t = 0?
[показывать-ответ q = ”fs-id1165167780957 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165167780957 ″]
а.нет; б. минимум на вершине траектории и максимум при старте и ударе; c. нет, скорость — вектор; d. да, где приземляется
[/ hidden-answer]
Ответьте на следующие вопросы относительно движения снаряда по ровной поверхности, предполагая незначительное сопротивление воздуха, с начальным углом, не равным
или
(a) Ускорение всегда равно нулю? (б) Ускорение когда-либо в том же направлении, что и компонент скорости? (c) Ускорение когда-либо противоположно направлению компонента скорости?
Монета кладется на край стола так, чтобы она немного свешивалась.Четверть скользит горизонтально по поверхности стола перпендикулярно краю и ударяется о десятицентовую монету. Какая монета первой падает на землю?
[Показать-ответ q = ”fs-id1165166623383 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165166623383 ″]
Они оба одновременно упали на землю.
[/ hidden-answer]
Проблемы
Пуля выпускается горизонтально с высоты плеча (1,5 м) с начальной скоростью 200 м / с. а) Сколько времени проходит до того, как пуля упадет на землю? (б) Как далеко пуля летит по горизонтали?
[show-answer q = ”fs-id1165168072758 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165168072758 ″]
а.
, г.
[/ hidden-answer]
Мрамор скатывается со столешницы высотой 1,0 м и ударяется об пол на расстоянии 3,0 м от края стола в горизонтальном направлении. а) Как долго мрамор витает в воздухе? б) С какой скоростью мрамор отрывается от края стола? (c) С какой скоростью он падает на пол?
Дротик метается горизонтально со скоростью 10 м / с в мишень мишени для дротика 2.На расстоянии 4 м, как показано на следующем рисунке. (а) Насколько далеко ниже намеченной цели попадает дротик? (б) Что ваш ответ говорит вам о том, как опытные игроки в дартс бросают свои дротики?
[show-answer q = ”fs-id1165168078466 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165168078466 ″]
а.
, г. Они стремятся высоко.
[/ hidden-answer]
Самолет, летящий горизонтально со скоростью 500 км / ч на высоте 800 м, сбрасывает ящик с припасами (см. Следующий рисунок).Если парашют не открывается, как далеко от точки сброса ящик ударяется о землю?
Предположим, что самолет в предыдущей задаче выпускает снаряд горизонтально в направлении своего движения со скоростью 300 м / с относительно плоскости. (а) На каком расстоянии от точки срабатывания снаряд ударяется о землю? б) С какой скоростью он ударяется о землю?
[показывать-ответ q = ”fs-id1165167989106 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165167989106 ″]
а.,
г.
[/ hidden-answer]
Питчер фастбола может бросать бейсбольный мяч со скоростью 40 м / с (90 миль / ч). (a) Предполагая, что питчер может выпустить мяч на расстоянии 16,7 м от пластины дома, поэтому мяч движется горизонтально, сколько времени требуется мячу, чтобы добраться до пластины дома? (b) Как далеко падает мяч между рукой питчера и тарелкой хозяина?
Снаряд запускается под углом
и приземляется через 20 с на той же высоте, на которой был запущен.а) Какова начальная скорость снаряда? б) Какая максимальная высота? (c) Каков диапазон? (d) Рассчитайте смещение от точки запуска до положения на траектории за 15 с.
[показывать-ответ q = ”fs-id1165166793284 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165166793284 ″]
а.
, г.
г.
г.
[/ hidden-answer]
Баскетболист стреляет в корзину 6.1 м и 3,0 м над полом. Если мяч выпущен на высоте 1,8 м от пола под углом
выше горизонтали, какой должна быть начальная скорость, если он пройдет через корзину?
В определенный момент воздушный шар находится на высоте 100 м и снижается с постоянной скоростью 2,0 м / с. Именно в этот момент девушка бросает мяч горизонтально относительно себя с начальной скоростью 20 м / с. Когда она приземлится, где она найдет мяч? Не обращайте внимания на сопротивление воздуха.
[show-answer q = ”fs-id11651665
″] Показать решение [/ show-answer][скрытый-ответ a = ”fs-id11651665
″][/ hidden-answer]
Человек на мотоцикле, едущем с постоянной скоростью 10 м / с, бросает пустую банку прямо вверх относительно себя с начальной скоростью 3,0 м / с. Найдите уравнение траектории, которую видит полицейский на обочине дороги. Предположим, что исходное положение банки — это точка, в которую ее бросают.Не обращайте внимания на сопротивление воздуха.
В прыжке в длину спортсмен может прыгнуть на расстояние 8,0 м. На какое максимальное расстояние спортсмен может прыгнуть на Луне, где ускорение свободного падения в шесть раз меньше земного?
[показывать-ответ q = ”fs-id1165167996165 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165167996165 ″]
[/ hidden-answer]
Максимальное горизонтальное расстояние, на которое мальчик может бросить мяч, составляет 50 метров. Предположим, он может бросать с одинаковой начальной скоростью под любым углом.Насколько высоко он подбрасывает мяч, когда бросает его прямо вверх?
Камень сброшен со скалы под углом
по горизонтали. Высота обрыва 100 м. Начальная скорость камня 30 м / с. а) Насколько высоко над краем утеса возвышается скала? б) Как далеко он переместился по горизонтали, когда находится на максимальной высоте? (c) Через какое время после выброса он падает на землю? г) Каков радиус действия скалы? (e) Каковы горизонтальное и вертикальное положение скалы относительно края обрыва при t = 2.0 с, т = 4,0 с и т = 6,0 с?
[показывать-ответ q = ”fs-id1165167746378 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165167746378 ″]
а.
,
г.
,
г.
,
г.
,
e.
[/ hidden-answer]
Пытаясь спастись от преследователей, секретный агент спускается на лыжах со склона
. ниже горизонтали на скорости 60 км / ч. Чтобы выжить и приземлиться на снегу на 100 м ниже, он должен преодолеть ущелье шириной 60 м. Он это делает? Не обращайте внимания на сопротивление воздуха.
Игрок в гольф на фервее находится в 70 м от грина, который находится ниже уровня фервея на 20 м.Если гольфист отбивает мяч под углом
с начальной скоростью 20 м / с, насколько близко она к грин?
[показывать-ответ q = ”fs-id1165168065281 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165168065281 ″]
Таким образом, удар гольфиста попадает на расстояние 13,3 м от грина.
[/ hidden-answer]
Снаряд выпущен по холму, основание которого находится на расстоянии 300 м.Снаряд выпущен на
над горизонтом с начальной скоростью 75 м / с. Холм можно представить как плоскость с уклоном
°.к горизонтали. Относительно системы координат, показанной на следующем рисунке, уравнение этой прямой линии равно
. Куда на холме приземляется снаряд?
Астронавт на Марсе бьет футбольный мяч под углом
с начальной скоростью 15 м / с.Если ускорение свободного падения на Марсе составляет 3,7 м / с, (а) каков радиус действия футбольного удара по плоской поверхности? б) Какова будет дальность такого же удара на Луне, где сила тяжести в шесть раз меньше земной?
[показывать-ответ q = ”fs-id1165166572087 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165166572087 ″]
а.
,
г.
[/ hidden-answer]
Майк Пауэлл является рекордсменом по прыжкам в длину из 8.95 м, установлен в 1991 году. Если он отрывался от земли под углом
какова была его начальная скорость?
Робот-гепардMIT может перепрыгивать через препятствия высотой 46 см и развивает скорость 12,0 км / ч. (а) Если робот запускается под углом
на этой скорости, какова его максимальная высота? б) Какой должен быть угол запуска, чтобы достичь высоты 46 см?
[показывать-ответ q = ”fs-id1165167842253 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165167842253 ″]
а.
[/ hidden-answer]
Mt. Асама в Японии — действующий вулкан. В 2009 году в результате извержения были выброшены твердые вулканические породы, упавшие на 1 км по горизонтали от кратера. Если бы вулканические породы были запущены под углом
°.относительно горизонтали и приземлились на 900 м ниже кратера, (а) какова будет их начальная скорость и (б) каково время их полета?
Дрю Брис из Нового Орлеана Сэйнтс может бросить футбольный мяч 23.0 м / с (50 миль / ч). Если он направит бросок под углом
от горизонтали, на какое расстояние он пролетит, если должен быть пойман на той же высоте, что и брошенный?
[показывать-ответ q = ”fs-id1165168098591 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165168098591 ″]
[/ hidden-answer]
Лунный движущийся аппарат, использовавшийся в последних миссиях НАСА Apollo , достиг неофициальной наземной скорости Луны 5.0 м / с — астронавт Юджин Сернан. Если бы марсоход двигался с такой скоростью по плоской лунной поверхности и ударился о небольшую неровность, которая выступала за поверхность под углом
°.как долго он будет «летать» на Луне?
Высота футбольных ворот 2,44 м. Игрок отбивает мяч ногой на расстоянии 10 м от ворот под углом
Какова начальная скорость футбольного мяча?
[показывать-ответ q = ”fs-id1165167854326 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165167854326 ″]
[/ hidden-answer]
Олимп-Монс на Марсе — крупнейший вулкан Солнечной системы, высотой 25 км и радиусом 312 км.Если вы стоите на вершине, с какой начальной скоростью вам нужно было бы запустить снаряд из пушки по горизонтали, чтобы очистить вулкан и приземлиться на поверхности Марса? Обратите внимание, что Марс имеет ускорение свободного падения
.В 1999 году Робби Книвел первым прыгнул через Гранд-Каньон на мотоцикле. В узкой части каньона (ширина 69,0 м), двигаясь со взлетной рампы 35,8 м / с, он достиг другой стороны. Какой у него был угол запуска?
[показывать-ответ q = ”fs-id1165168009639 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165168009639 ″]
[/ hidden-answer]
Вы бросаете бейсбольный мяч с начальной скоростью 15.0 м / с под углом
по горизонтали. Какой должна быть начальная скорость мяча при
на планете, которая имеет вдвое большее ускорение силы тяжести, чем Земля, чтобы достичь той же дальности? Рассмотрим запуск и удар о горизонтальную поверхность.
Аарон Роджерс бросает мяч со скоростью 20,0 м / с в свой широкий ресивер, который бежит прямо по полю со скоростью 9,4 м / с на 20,0 м. Если Аарон бросает мяч, когда дальний приемник достигает 10.0 м, под каким углом должен быть Аарон, чтобы запустить мяч, чтобы получатель поймал его на отметке 20,0 м?
[показывать-ответ q = ”fs-id1165166777489 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165166777489 ″]
Широкому ресиверу требуется 1,1 с, чтобы покрыть последние 10 м своего бега.
[/ hidden-answer]
Глоссарий
- движение снаряда
- движение объекта, подверженного только ускорению свободного падения
- диапазон
- максимальная горизонтальная дальность полета снаряда
- время вылета
- время нахождения снаряда в воздухе
- траектория
- путь снаряда в воздухе
механиков | Определение, примеры, законы и факты
механика , наука, изучающая движение тел под действием сил, включая особый случай, когда тело остается в покое.В первую очередь проблема движения — это силы, которые тела действуют друг на друга. Это приводит к изучению таких тем, как гравитация, электричество и магнетизм, в зависимости от природы задействованных сил. Учитывая силы, можно искать способ, которым тела движутся под действием сил; это предмет собственно механики.
Британская викторина
Викторина «Все о физике»
Кто был первым ученым, проведшим эксперимент по управляемой цепной ядерной реакции? Какая единица измерения для циклов в секунду? Проверьте свою физическую хватку с помощью этой викторины.
Исторически механика была одной из первых возникших точных наук. Его внутренняя красота как математической дисциплины и ранний замечательный успех в количественном учете движений Луны, Земли и других планетных тел оказали огромное влияние на философскую мысль и послужили толчком для систематического развития науки.
Механику можно разделить на три части: статика, которая имеет дело с силами, действующими на покоящееся тело и в нем; кинематика, описывающая возможные движения тела или системы тел; и кинетика, которая пытается объяснить или предсказать движение, которое произойдет в данной ситуации.В качестве альтернативы механику можно разделить по типу изучаемой системы. Простейшей механической системой является частица, определяемая как настолько маленькое тело, что его форма и внутренняя структура не имеют значения в данной задаче. Более сложным является движение системы из двух или более частиц, которые действуют друг на друга и, возможно, испытывают силы, действующие со стороны тел вне системы.
Принципы механики были применены к трем общим областям явлений.Движение таких небесных тел, как звезды, планеты и спутники, можно предсказать с большой точностью за тысячи лет до того, как они произойдут. (Теория относительности предсказывает некоторые отклонения от движения в соответствии с классической или ньютоновской механикой; однако они настолько малы, что их можно наблюдать только с помощью очень точных методов, за исключением задач, затрагивающих всю или большую часть обнаруживаемой Вселенной. Как вторая область, обычные объекты на Земле вплоть до микроскопических размеров (движущиеся со скоростью намного ниже скорости света) правильно описываются классической механикой без значительных исправлений.Инженер, проектирующий мосты или самолеты, может с уверенностью использовать ньютоновские законы классической механики, даже если силы могут быть очень сложными, а вычислениям не хватает прекрасной простоты небесной механики. Третья область явлений включает поведение материи и электромагнитного излучения в атомном и субатомном масштабах. Хотя вначале были достигнуты ограниченные успехи в описании поведения атомов в терминах классической механики, эти явления должным образом рассматриваются в квантовой механике.
Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчасКлассическая механика занимается движением тел под действием сил или равновесием тел, когда все силы уравновешены. Этот предмет можно рассматривать как разработку и применение основных постулатов, впервые сформулированных Исааком Ньютоном в его книге Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), широко известной как Principia . Эти постулаты, называемые законами движения Ньютона, изложены ниже.Их можно использовать для предсказания с большой точностью самых разных явлений, от движения отдельных частиц до взаимодействий очень сложных систем. В этой статье обсуждается множество этих приложений.
В рамках современной физики классическую механику можно понять как приближение, вытекающее из более глубоких законов квантовой механики и теории относительности. Однако такой взгляд на место объекта сильно недооценивает его важность в формировании контекста, языка и интуиции современной науки и ученых.Наш современный взгляд на мир и место человека в нем прочно укоренен в классической механике. Более того, многие идеи и результаты классической механики выживают и играют важную роль в новой физике.
Центральными понятиями классической механики являются сила, масса и движение. Ни сила, ни масса не были четко определены Ньютоном, и оба они были предметом многих философских спекуляций со времен Ньютона. Оба они наиболее известны своими эффектами. Масса — это мера склонности тела сопротивляться изменениям в состоянии движения.С другой стороны, силы ускоряют тела, то есть они изменяют состояние движения тел, к которым они приложены. Взаимодействие этих эффектов — основная тема классической механики.
Хотя законы Ньютона фокусируют внимание на силе и массе, три другие величины приобретают особое значение, потому что их общее количество никогда не меняется. Эти три величины — энергия, (линейный) импульс и угловой момент. Любой из них может быть перемещен из одного тела или системы тел в другое.Кроме того, энергия может менять форму, будучи связанной с единственной системой, проявляясь как кинетическая энергия, энергия движения; потенциальная энергия, энергия позиции; тепло или внутренняя энергия, связанная со случайными движениями атомов или молекул, составляющих любое реальное тело; или любая комбинация из трех. Тем не менее полная энергия, импульс и угловой момент во Вселенной никогда не меняются. Этот факт выражается в физике, говоря, что энергия, импульс и угловой момент сохраняются.Эти три закона сохранения вытекают из законов Ньютона, но сам Ньютон их не выражал. Их нужно было обнаружить позже.
Примечательно, что, хотя законы Ньютона больше не считаются фундаментальными и даже не совсем правильными, три закона сохранения, вытекающие из законов Ньютона — сохранение энергии, импульса и момента количества движения — остаются в точности верными даже в квантовая механика и теория относительности. Фактически, в современной физике сила больше не является центральным понятием, а масса — лишь одним из множества атрибутов материи.Однако энергия, импульс и угловой момент по-прежнему прочно занимают центральное место. Сохраняющаяся важность этих идей, унаследованных от классической механики, может помочь объяснить, почему этот предмет сохраняет такое большое значение в современной науке.
Характеристики движения снаряда
Как обсуждалось ранее в этом уроке, снаряд — это объект, на который действует единственная сила тяжести. Многие снаряды совершают не только вертикальное движение, но и горизонтальное движение.То есть, двигаясь вверх или вниз, они также перемещаются горизонтально. Есть две составляющие движения снаряда — горизонтальное и вертикальное движение. А поскольку перпендикулярные составляющие движения независимы друг от друга, эти две составляющие движения можно (и нужно) обсуждать отдельно. Цель этой части урока — обсудить горизонтальную и вертикальную составляющие движения снаряда; особое внимание будет уделено наличию / отсутствию сил, ускорений и скорости.
Давайте вернемся к нашему мысленному эксперименту , проведенному ранее в этом уроке. Представьте пушечное ядро, которое пушка проецирует горизонтально с вершины очень высокого утеса. В отсутствие гравитации ядро продолжало бы горизонтальное движение с постоянной скоростью. Это соответствует закону инерции. Более того, если просто упасть из состояния покоя в присутствии силы тяжести, пушечное ядро ускорится вниз, набрав скорость в 9 единиц.8 м / с каждую секунду. Это согласуется с нашей концепцией свободно падающих объектов, ускоряющихся со скоростью, известной как ускорение свободного падения .
Если наш мысленный эксперимент продолжается и мы проецируем пушечное ядро горизонтально в присутствии силы тяжести, то пушечное ядро будет поддерживать то же горизонтальное движение, что и раньше, — постоянную горизонтальную скорость. Кроме того, сила тяжести воздействует на пушечное ядро, вызывая такое же вертикальное движение, как и раньше — ускорение вниз.Пушечное ядро падает на такое же расстояние, как и при падении из состояния покоя (см. Диаграмму ниже). Однако наличие силы тяжести не влияет на горизонтальное движение снаряда. Сила тяжести действует вниз и не может изменить горизонтальное движение. Чтобы вызвать горизонтальное ускорение, должна быть горизонтальная сила. (И мы знаем, что на снаряды действует только вертикальная сила.) Вертикальная сила действует перпендикулярно горизонтальному движению и не влияет на него, поскольку перпендикулярные компоненты движения независимы друг от друга.Таким образом, снаряд движется с постоянной горизонтальной скоростью и вертикальным ускорением вниз .
Приведенную выше информацию можно обобщить в следующей таблице.
| горизонтальный Движение | Вертикальный Движение | |
| Силы (Присутствует? — Да или Нет) (Если есть, то какой?) | Нет | да Сила тяжести действует вниз |
| Разгон (Присутствует? — Да или Нет) (Если есть, то какой?) | Нет | да «g» меньше 9.8 м / с / с |
| Скорость (Постоянный или изменяющийся?) | Постоянный | Изменение (на 9,8 м / с каждую секунду) |
Снаряды негоризонтально запускаемые
Теперь предположим, что наша пушка направлена вверх и стреляет под углом к горизонту с той же скалы.В отсутствие силы тяжести (т.е. если предположить, что переключатель силы тяжести может быть отключен ) снаряд снова будет лететь по прямолинейной инерциальной траектории. Движущийся объект продолжил бы движение с постоянной скоростью в том же направлении, если бы не было неуравновешенной силы. Так обстоит дело с объектом, движущимся в пространстве в отсутствие гравитации. Однако, если бы переключатель силы тяжести мог быть повернут на на так, чтобы пушечное ядро действительно было снарядом, то объект снова упал бы в свободном падении ниже этого прямолинейного инерционного пути.Фактически, снаряд будет лететь по параболической траектории . Сила тяжести, направленная вниз, будет действовать на пушечное ядро, вызывая такое же вертикальное движение, как и раньше — ускорение вниз. Пушечное ядро за каждую секунду падает на такое же расстояние, как и при падении из состояния покоя (см. Диаграмму ниже). Еще раз, наличие силы тяжести не влияет на горизонтальное движение снаряда. Снаряд по-прежнему перемещается на такое же расстояние по горизонтали за каждую секунду полета, как и при выключении гравитационного переключателя .Сила тяжести является вертикальной силой и не влияет на горизонтальное движение; перпендикулярные составляющие движения независимы друг от друга.
В заключение, снаряды движутся по параболической траектории из-за того факта, что направленная вниз сила тяжести ускоряет их вниз от их прямой, свободной от гравитации траектории. Эта направленная вниз сила и ускорение приводят к смещению вниз из положения, в котором объект находился бы, если бы не было силы тяжести.Сила тяжести не влияет на горизонтальную составляющую движения; Снаряд поддерживает постоянную горизонтальную скорость, поскольку на него не действуют горизонтальные силы.
Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom.Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего симулятора движения снаряда. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Симулятор позволяет в интерактивном режиме исследовать концепции движения снаряда. Измените высоту, измените угол, измените скорость и запустите снаряд.
Используйте свое понимание снарядов, чтобы ответить на следующие вопросы.Когда закончите, нажмите кнопку, чтобы просмотреть свои ответы.
1. Рассмотрите эти диаграммы, отвечая на следующие вопросы.
Какая диаграмма (если есть) может представлять …
а. … начальная горизонтальная скорость?г. … начальная вертикальная скорость?
г. … горизонтальное ускорение?
г. … вертикальное ускорение?
e…. чистая сила?
2. Предположим, что снегоход оборудован ракетницей, способной запускать сферу вертикально (относительно снегохода). Если снегоход находится в движении и запускает ракету и после запуска сохраняет постоянную горизонтальную скорость, то где же приземлится ракета (не считая сопротивления воздуха)?
а.перед снегоходомг. за снегоходом
г. в снегоходе
3. Предположим, что спасательный самолет бросает пакет помощи, когда он движется с постоянной горизонтальной скоростью на большой высоте. Если предположить, что сопротивление воздуха незначительно, где приземлится пакет помощи по отношению к самолету?
а.под самолетом и за ним.г. прямо под самолетом
г.
