Основные теоремы геометрии: Теоремы по математике и геометрии

{2}$ было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н.э. По мнению ученого, строители строили тогда прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Содержание

Список основных понятий и теорем по геометрии 9 класса

Список основных понятий и теорем по геометрии 9 класса

  • Дайте определение вектора.

  • Дайте определение равных векторов.

  • Дайте определение коллинеарных векторов.

  • Дайте определение средней линии трапеции.

  • Сформулируйте теорему о средней линии трапеции. Поясните ее чертежом. Напишите формулу.

  • Сформулируйте лемму о коллинеарных векторах. Поясните ее чертежом. Напишите формулу.

  • Сформулируйте теорему о разложении вектора по 2 неколлинеарным векторам. Напишите формулу.

  • Что такое координатные вектора. Нарисуйте чертеж.

  • Как связаны между собой координаты равных векторов.

  • Напишите формулу разложения любого вектора по координатным векторам. Если , то как будет выглядеть такое разложение.

  • Если и , то какие координаты будет иметь вектор .

  • Если и , то какие координаты будет иметь вектор .

  • Если , то какие координаты будет иметь вектор .

  • Как найти координаты вектора, зная координаты его граничных точек. Поясните чертежом и соответствующими записями типа «Если……., то …….».

  • Что такое радиус-вектор. Нарисуйте чертеж.

  • Как найти координаты радиус-вектора.

  • Как найти координаты вектора, зная его разложение по координатным векторам. Поясните соответствующими записями типа «Если……., то …….».

  • Как найти координаты середины отрезка. Поясните чертежом и соответствующими записями типа «Если……., то …….».

  • Как найти расстояние между 2 точками. Поясните чертежом и соответствующими записями типа «Если……., то …….».

  • Напишите формулу для вычисления длины вектора по его координатам. Поясните соответствующими записями типа «Если……., то …….».

  • Какие типы линий на плоскости вы знаете, напишите уравнения этих линий. Нарисуйте рисунок.

  • Напишите уравнение окружности с центром в начале координат. Поясните чертежом.

  • Напишите уравнение окружности с центром в произвольной точке. Поясните чертежом.

  • Напишите уравнение прямой в общем виде. Поясните про все буквы входящие в него.

  • Напишите уравнения осей координат.

  • Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

  • Что называется синусом острого угла прямоугольного треугольника? Нарисуйте чертеж. Напишите формулу.

  • Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника? Нарисуйте чертеж. Напишите формулу.

  • Что называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника? Нарисуйте чертеж. Напишите формулу.

  • Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством? Напишите его формулу. Напишите формулы-выводы для нахождения синуса и косинуса.

  • Чему равны значения синуса, косинуса для углов 30, 45,60, 90, 0.

  • Чему равны значения синуса, косинуса для углов 120, 0, 180, 135, 150.

  • Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность.

  • Объясните, что такое синус и косинус угла L из промежутка ?

  • Что называется тангенсом угла L ? Для какого значения L тангенс не определен и почему?

  • Электронный учебник по геометрии: все темы школьной программы

     

    Геометрия является одним из разделов математики, изучаемых в школе. Начиная с 7 класса, под изучение этого предмета выделяется отдельный урок. И с этого момента геометрия будет сопровождать школьников, на протяжении всего обучения.

    • Геометрия является предметом, который развивает и формирует у школьников пространственное изображение и логическое мышление.
      При изучении школьники узнают об основных методах доказательства теорем и утверждений.

    Темы школьной геометрии

    Школьный курс геометрии разбит на два больших раздела: планиметрия (геометрия на плоскости) и стереометрия (геометрия в пространстве).

    • Первые три года (с 7 по 9 класс) изучается планиметрия.

    В 7 классе изучаются основные понятия геометрии: точка, прямая, отрезок, угол, луч. После изучения основ, рассматривается одна из основных фигур – треугольник. Изучаются три признака равенства треугольников и основные теоремы: теорема о сумме углов треугольника, неравенство треугольника и д.р. А также исследуются параллельные прямые.

    В 8 классе продолжается изучение треугольников. Рассматриваются три признака подобия треугольников. Рассматриваются основные виды четырехугольников. На этом же этапе изучения рассматривается подробно понятие площади фигуры. Даются формулы для вычисления площадей прямоугольника, треугольника, трапеции. Изучается теорема Пифагора. Вводится понятие вектора. Изучаются правила сложения и вычитания векторов.

    В 9 классе изучается очень мощный метод используемый при решении широкого класса геометрических задач – метод координат. Кроме того, изучается основные теоремы о соотношении между сторонами и углами в произвольном треугольнике: теорема синусов и теорема косинусов. Вводится понятие правильного многоугольника и изучаются основные виды правильных многоугольников. Даются формулы для вычисления площади правильного многоугольника. 

    • На этом заканчивается изучение планиметрии. В 10 и 11 классе изучается стереометрия.

    На начальном этапе изучаются основные понятия и аксиомы стереометрии. Изучаются основные виды расположения прямых в пространстве: пересечение, параллельность, скрещивание. Кроме того изучается расположение прямой и плоскости в пространстве.

    После изучения основ изучаются основные виды многогранников: призма, пирамида, усеченная пирамида. Кроме того, в конце 10 класса начинается изучение векторов в пространстве, что бы в начале 11 класса начать изучение метода координат в пространстве. 

    Кроме метода координат, в 11 классе изучаются фигуры образованные вращением прямой: цилиндр, конус, усеченный конус, а также сфера. Также вводится понятие объема тела и даются основные формулы для вычисления объемов различных геометрических фигур.

    Стоит напомнить, что знания этого предмета проверяются в некоторых заданиях ЕГЭ по математике. В части С обязательно есть геометрическая задача.

    • Ниже есть список из классов, в каждом из которых есть список тем. Каждая тема написана нашим репетитором по геометрии. Все материалы по геометрии уникальны и могут использоваться любыми желающими на этом сайте.

    Все материалы разбиты по классам:

    Геометрия 7 классГеометрия 8 классГеометрия 9 классГеометрия 10 класс

    Нужна помощь в учебе?


    Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.

    Произвольный треугольник

    Произвольный треугольник В приведенных ниже формулах используются следующие обозначения: а) с длины сторон АВС лежащие против углов А В и С соответственно б) высоты медианы l l l биссектрисы в) радиус

    Подробнее

    Задание 3, 6, 16. Планиметрия

    Задание 3, 6, 6. Планиметрия Угловые соотношения в плоских фигурах Теорема. Сумма смежных углов равна 80 0. и смежные углы Теорема. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Теорема. Вертикальные

    Подробнее

    Задание 16. Планиметрия

    Задание 6. Планиметрия Угловые соотношения в плоских фигурах Теорема. Две прямые, параллельные третьей, параллельны. Теорема. Если две прямые параллельности пересечены секущей, то. Накрест лежащие углы

    Подробнее

    Планиметрия (расширенная)

    1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

    Подробнее

    Анализ геометрических высказываний

    Анализ геометрических высказываний 1. 1. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы

    Подробнее

    Тест 250. Отрезок. Длина

    Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

    Подробнее

    Анализ геометрических высказываний

    Анализ геометрических высказываний 1. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы

    Подробнее

    Теоретическая часть экзамена по Г-8 кл.

    Теоретическая часть экзамена по Г-8 кл. Знать и понимать (сделать чертеж и показать на рисунке) следующие определения и теоремы (без доказательства) из учебника Г-8 А.Г. Мерзляка Глава 1 1. Сумма углов

    Подробнее

    ID_7510 1/9 neznaika.pro

    1 Анализ геометрических высказываний Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

    Подробнее

    Многогранники. Призма

    Справка В9 Многогранники Многогранник это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников,

    Подробнее

    Вписанные и описанные окружности

    Вписанные и описанные окружности Окружностью, описанной около треугольника, называется окружность, которая проходит через все его вершины. Около всякого треугольника можно описать единственную окружность.

    Подробнее

    ОГЭ 2015 (задание 13, модуль «ГЕОМЕТРИЯ»)

    ОГЭ 2015 (задание 13, модуль «ГЕОМЕТРИЯ») 169915 Какие из следующих утверждений верны? 1) Если угол равен 45, то вертикальный с ним угол равен 45. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Через

    Подробнее

    10 класс Повторение планиметрии

    Учебное пособие по геометрии 10 класс Повторение планиметрии (задачи в картинках) Для учащихся Лицея 1502 при МЭИ І полугодие Краткое содержание 1. Программа коллоквиума по «Планиметрии». 2. Содержание

    Подробнее

    7 класс 1. Виды углов.

    7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

    Подробнее

    n n a a Формулы n n n a a b

    Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( — = — + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( — = — + — Сумма кубов + = ( + ( — + Разность кубов

    Подробнее

    Площадь круга. 1)Пусть х 1

    Квадрат L S = l= ; а в Трапеция O угол между диагоналями l средняя линия трапеции Метод координат l D ) Пусть А(х ; у ), В(х ; у ), тогда координаты вектора АВх х у ) Пусть А(х ; у ), В(х ; у ), тогда

    Подробнее

    Билет 10. Билет 12. Билет 13. Билет 14

    Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Параллелограмм. Определение, свойства. 3. Задача по теме «Координаты и векторы». Билет 2 1. Второй признак равенства треугольников. 2. Прямоугольник.

    Подробнее

    Вписанные и описанные окружности

    Вписанные и описанные окружности Окружностью, описанной около треугольника, называется окружность, которая проходит через все его вершины. Около всякого треугольника можно описать единственную окружность.

    Подробнее

    ЗАДАНИЕ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. 1. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 2. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB.

    ЗАДАНИЕ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 1. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 2. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 3. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 4. В треугольнике

    Подробнее

    7 sin A. Найдите AB. 25

    Прототипы задания 6 1. В треугольнике ABC угол C равен 90 0, AC = 4,8, 25. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, 33 tga. 7 4 33 sin A. Найдите AB. 25 Найдите AC. 2. В треугольнике ABC угол C равен 90 0,

    Подробнее

    Работа по геометрии для 8 класса.

    Работа по геометрии для 8 класса. 1.Вид работы: промежуточная аттестация по геометрии в 8 классе Цель работы: оценка уровня достижения учащимися 8 класса планируемых результатов обучения геометрии 2.Перечень

    Подробнее

    Все главные формулы по математике

    Оглавление Формулы сокращенного умножения и разложения на множители… Квадратное уравнение… Парабола… 3 Степени и корни… 3 Логарифмы… 4 Прогрессии… 4 Тригонометрия… 5 Тригонометрические уравнения…

    Подробнее

    Метод ключевых задач

    Метод ключевых задач Задачи, в которых фигурируют середины отрезков Задача. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Пример. В четырехугольнике = = 90. Точки и

    Подробнее

    Тема 21 «Трапеция. Многоугольники».

    Тема 1 «Трапеция. Многоугольники». Трапеция четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются

    Подробнее

    Задание 8, 14. Стереометрия

    Задание 8, 4. Стереометрия Основные определения Аксиомы стереометрии Теорема. Через любые три точки, не лежащих на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Теорема. Если две точки прямой

    Подробнее

    AC 6, cos A. Найдите BH.

    Прототипы задания 6 1. Задание 6 ( 26097) 16. Задание 6 ( 20001) В треугольнике ABC угол C равен 90, sin A 0, 6, 21 AC 4. Найдите AB. В треугольнике ABC AC BC 12, sin B. 5 2. Задание 6 ( 29580) Найдите

    Подробнее

    А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ КЛАССЫ»

    А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ. 0 КЛАССЫ» Базовый уровень (,5 ч в неделю) Номера пункта Содержание материала Кол-во часов Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий). Аксиомы

    Подробнее

    по геометрии 7-9 классы (базовый уровень)

    Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Основная общеобразовательная школа 9» г. Ливны «РАССМОТРЕНО» На заседании школьного МО Протокол от 2018г. Руководитель МО Г.Д. Воропаева «СОГЛАСОВАНО»

    Подробнее

    Прототипы задания В6-2 (2013)

    Прототипы задания В6-2 (2013) ( 27742) Один острый угол прямоугольного треугольника на больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.\circ\).

    Вертикальные углы равны: \(\alpha=\gamma\).


     

    Определения

    Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

    Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.


     

    Теоремы: признаки равенства треугольников

    1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

     

    2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

     

    3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.\circ\).

     

    Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

     

    Замечание

    Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

     

    Теорема

    В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).


     

    \[{\Large{\text{Параллельные прямые}}}\]

    Определение

    Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

     

    Замечание

    Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

     

    Аксиома параллельных прямых

    Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.\circ\), то \(\angle 4 = \angle 1 + \angle 2\), что и требовалось доказать.  

    \[{\Large{\text{Равнобедренный треугольник}}}\]

    Определения

    Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
    Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона — основанием.

     

    Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
    Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

     

    Теорема

    В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

     

    Доказательство

    Пусть \(ABC\) – равнобедренный треугольник, \(AB = BC\), \(BD\) – биссектриса (проведённая к основанию).

    Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(BCD\): \(AB = BC\), \(\angle ABD = \angle CBD\), \(BD\) – общая. Таким образом, \(\triangle ABD = \triangle BCD\) по двум сторонам и углу между ними.

    Из равенства этих треугольников следует, что \(AD = DC\), следовательно, \(BD\) – медиана.\circ = \angle CDB\), то есть \(BD\) – высота.

     

    Верны и другие утверждения:
    В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
    В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

     

    Теорема

    В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

     

    Доказательство

    Проведем биссектрису \(BD\) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда \(\triangle ABD=\triangle CBD\) по первому признаку, следовательно, \(\angle A=\angle C\).

     

    Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

    1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

     

    2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.  

    Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

    В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.\circ\).


     

    Способы доказательства теорем и приемы решения геометрических задач

    Аксиома есть очевидная истина, не требующая доказательства.

    Теорема или предложение есть истина, требующая доказательства.

    Доказательство есть совокупность рассуждений, делающих данное предложение очевидным.

    Доказательство достигает своей цели, когда при помощи его обнаруживается, что данное предложение есть необходимое следствие аксиом или какого-нибудь другого предложения, уже доказанного.

    Всякое доказательство основано на том начале, что при правильном умозаключении из истинного предложения нельзя вывести ложного заключения.

    Состав теоремы. Всякая теорема состоит из двух частей, a) условия и b) заключения или следствия.

    Условие иногда называют предположением. Оно дано и поэтому иногда получает название данного.

    Обратная теорема. Предложение, у которого заключение данной теоремы делается условием, а условие заключением, называется теоремой обратной данной.

    В таком случае данная теорема называется прямой.

    Две теоремы в совокупности, прямая и обратная, называются взаимно-обратными теоремами.

    Они находятся в таком взаимном отношении, что, выбрав любую из них за прямую, можно другую принять за обратную.

    В двух взаимно-обратных предложениях одно из них вытекает как необходимое следствие другого.

    Если в теореме мы обозначим условие буквой, стоящей на первом месте, а заключение буквой, стоящей на втором месте, то прямую теорему можно схематически представить выражением (Aa), а обратную выражением (aA).

    Выражение (Aa) схематически представляет предложение: если имеет место A, то имеет место a.

    Если для данного предложения (Aa) имеет место и теорема (aA), то обе теоремы (Aa) и (aA) называются взаимно-обратными теоремами.

    Примером двух таких взаимно-обратных теорем могут послужить теоремы:

    Первая теорема. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.

    Вторая теорема. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

    В первой теореме данным условием будет равенство сторон треугольника, а заключением равенство противолежащих углов, а во второй наоборот.

    Не всякая теорема имеет свою обратную.

    Примером арифметического предложения, не имеющего своего обратного, может послужить следующая теорема. Если в двух произведениях множители равны, то и произведения равны.

    Обратное предположение несправедливо. Действительно, из того, что произведения равны, не следует, что множители равны.

    Примером геометрического предложения, для которого обратное предложение не имеет места, может послужить теорема: во всяком квадрате диагонали равны.

    Предложение обратное этому будет: если диагонали четырехугольника равны, то он будет квадратом.

    Это предположение неверно, ибо диагонали бывают равными не в одном квадрате.

    Так как обратное предположение не всегда справедливо, то каждый раз обратное предложение требует особого доказательства.

    В теории геометрических доказательств весьма важно иногда знать, когда данное предложение допускает свое обратное.

    Для этой цели может послужить следующее правило обратимости. Когда в предположении всем возможным и различным условиям соответствуют все возможные и различные заключения, обратное предложение имеет место.

    Рассмотрим для примера.

    Прямое предложение. Если два треугольника имеют по две равные стороны, то третья сторона будет больше, равна или меньше третьей стороны другого треугольника, смотря по тому, будет ли угол между равными сторонами больше, равен или меньше соответствующего угла другого треугольника.

    В этом предложении трем различным и возможным предположениям об угле соответствуют три различных и возможных заключения о противолежащей стороне, поэтому, согласно с правилом обратимости, данная теорема допускает обратное предположение:

    Когда два треугольника имеют по две равных стороны, угол между ними будет больше, равен или меньше соответствующего угла другого треугольника, смотря по тому, будет ли третья сторона больше, равна или меньше третьей стороны данного треугольника.

    Кроме обратной прямая теорема может иметь свою противоположную.

    Противоположная теорема есть такая, в которой из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

    Противоположная теорема может иметь свою обратную.

    Чтобы обобщить все эти теоремы, мы их представим схематически в следующей общей форме:

    1. Прямая или основная теорема. Если имеет место условие или свойство A, то имеет место заключение или свойство B.

    2. Обратная. Если имеет место B, то имеет место A.

    3. Противоположная. Если не имеет места A, то не имеет места B.

    4. Обратная противоположной. Если не имеет места B, то не имеет места A.

    Следующие примеры поясняют на частных случаях взаимное отношение этих теорем:

    1. Прямая теорема. Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

    2. Обратная теорема. Если две прямые параллельны, то при пересечении их третье, соответственные углы равны.

    3. Противоположная. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.

    4. Обратная противоположной. Если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

    При геометрическом изложении теорем достаточно доказать только две из этих трех теорем, тогда остальные две теоремы справедливы без доказательства.

    На этой связи теорем основан прием, по которому для доказательства обратной теоремы ограничиваются часто только доказательством теоремы противоположной.

    Способы геометрических доказательств

    Для доказательства геометрических теорем существует два основных способа: синтетический и аналитический.

    Эти методы называют иногда сокращенно синтезом и анализом.

    Синтез есть такой метод доказательства, в котором данное предложение является необходимым следствием другого, уже доказанного.

    В синтезе цепь доказательств начинается с какого-нибудь известного предложения и оканчивается данным предложением. При доказательстве исходное предложение сопоставляется с аксиомой или с другим уже известным предложением. Синтетический способ удобен для вывода таких новых предложений, которые заранее не обозначены. Для доказательства же данного предложения он представляет много неудобств. В нем не видно: a) какую из известных теорем нужно выбрать для того, чтобы доказываемое предложение вытекало как ее необходимое следствие, и b) какое из следствий выбранного предложения приводит к доказываемому предложению.

    Синтез называют поэтому не методом открытия новых истин, а методом их изложения.

    Впрочем и при самом изложении теорем методом синтетическим является неудобство в том отношении, что не видно, почему за исходную истину в цепи доказательств выбрано то, а не другое предложение, то, а не другое его следствие.

    Примером синтетического способа доказательства может послужить следующая теорема.

    Теорема. Сумма углов треугольника равна двум прямым.

    Дан треугольник ABC (черт. 224).

    Требуется доказать, что A + B + C = 2d.

    Доказательство. Проведем прямую DE параллельную AC.

    Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно,

    α + B + γ = 2d

    Так как

    α = A, γ = C

    то, заменяя в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами, имеем:

    A + B + C = 2d (ЧТД).

    Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, лежащих по одну сторону прямой.

    Она поставлена в связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною.

    Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.

    Анализ есть способ обратный синтезу. В анализе цепь рассуждений начинается доказываемой теоремой и оканчивается какой-нибудь другой уже известной истиной.

    Анализ является в двух видах. От доказываемого предложения мы можем перейти к предложению, служащему его ближайшим основанием или его ближайшим следствием.

    Переходя от данного предложения к предложению, служащему его ближайшим основанием, мы смотрим на данное предложение как на необходимое следствие.

    Переходя от данного предложения к его ближайшему следствию, мы смотрим на данное предложение как на основание для цепи умозаключений.

    Первый способ анализа. Совершая анализ переходом к основанию, отыскивают то первое ближайшее предложение, из которого данное вытекает как необходимое следствие. Если это предложение было прежде доказано, то доказано и данное предложение, если же нет, то отыскивают второе предложение, служащее основанием для первого.

    Такой переход к основанию следует продолжать до тех пор, пока не дойдем до предложения вполне доказанного. Данное предложение явится как необходимое следствие последнего доказанного предложения.

    Обозначая каждое предложение буквой и ставя ее впереди или позади другой, смотря по тому, будет ли оно служить основанием или следствием другого предложения, мы схематически можем этот прием анализа выразить в виде

    H — K — L — M

    где M есть данное предложение, L его ближайшее основание, а H предложение, вполне доказанное. Если верно предложение H, то верно предложение K; если верно K, то верно L; если верно L, то верно и M.

    Второй способ анализа состоит в переходе от данного предложения к его следствию. Этот прием применяют чаще, потому что легче находить необходимое следствие, нежели отыскивать основание какой-нибудь истины. По этому способу выводят из данного предложения ту теорему, которая служит его ближайшим следствием. Если это следствие есть предложение прежде доказанное, то на нем и останавливаются; если же нет, переходят к следующему ближайшему следствию и вообще продолжают такой последовательный вывод следствий до тех пор, пока не дойдут до предложения, вполне доказанного.

    Если последнее предложение не верно, то и данное не верно, ибо неверное следствие нельзя получить из верного предложения.

    Если же последнее предложение верно, то для убеждения в верности данного предложения требуется, чтобы были соблюдены некоторые условия.

    Схематически этот прием анализа можно представить в виде

    M — N — O — P — Q — R — S

    где M данное предложение, N предложение, служащее его ближайшим следствием, а S то последнее предложение, в справедливости которого мы вполне убеждены.

    Из двух предложений R и S, стоящих в такой связи, что если справедливо R, то справедливо и предложение S, мы, как известно, не всегда можем обратно заключать, что если справедливо S, то справедливо и предложение R.

    Чтобы последнее заключение имело место, требуется, чтобы теоремы R и S были взаимно-обратными предложениями.

    Итак, для того, чтобы убедиться, что теоремы R и S стоят в такой связи, что она удовлетворяет схеме R — S и схеме S — R, требуется доказать, что предложения R и S взаимно-обратны.

    Таким образом, чтобы можно было по верности последнего предложения S заключить о верности данного предложения M, требуется доказать, что каждые два рядом стоящие предложения R и S, P и R, O и P, N и O, M и N удовлетворяют закону обратимости.

    Если это доказано, то цепь предложений можно обратить, и рядом со схемой M — N — O — P — Q — R — S справедлива и схема

    S — R — Q — P — O — N — M

    по которой мы имеем право заключить, что если справедливо предложение S, то справедливо и предложение M.

    Так как затруднительно всякий раз доказывать обратимость двух предложений, то этого избегают, соединяя способ аналитический с синтетическим. После того, как из предложения M выведено предложение S как его следствие, смотрят, нельзя ли обратно вывести предложение M как необходимое следствие предложения S.

    Если синтез есть способ, называемый дедукцией или выводом, то анализ можно назвать редукцией (приведение, наводка).

    Примером аналитического способа доказательства может послужить следующая теорема.

    Теорема. Диагонали параллелограмма пересекаются пополам.

    Доказательство. Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны (черт. 225). Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ как накрест-лежащие углы.

    Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до предложения уже доказанного.

    Сравнение синтеза с анализом. Способ аналитический вернее ведет к доказательству данной теоремы, ибо от данной теоремы легче переходить к его ближайшему основанию или следствию.

    Хотя анализ лучше синтеза объясняет, почему выбран тот или другой путь для доказательства теоремы, однако неопределенность при доказательствах не устраняется вполне в том смысле, что при последовательных заменах одного предложения другим, мы не всегда можем дойти до предложения нам известного, ибо иногда не видно, какое из следствий или какое из оснований данного предложения нужно выбрать для того, чтобы его доказать. Затруднения увеличиваются еще больше, когда приходится для доказательства проводить новые вспомогательные прямые. Иногда трудно дать верные указания, какие из них облегчают доказательство данной теоремы.

    Анализ, как и все логические приемы, только облегчает и помогает находить доказательство данного предложения, но не всегда необходимо ведет к самому доказательству.

    Кроме этих прямых существует непрямой способ доказательства, известный под именем доказательства от противного или способа приведения к нелепости.

    Способ доказательства от противного состоит в том, что для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

    На этом основании это доказательство называется доказательством от противного. Оно достигает своей цели всякий раз, когда из двух предложений, данного и противоположного, одно непременно имеет место.

    В этом случае для доказательства данного, допустив противоположное предложение, выводят из него такие следствия, которые противоречат аксиомам или теоремам, уже доказанным. Если одно из следствий этого предложения ложно, то и противоположное предложение ложно, а следовательно данное предложение справедливо.

    Этот прием часто применяют для доказательства теорем обратных или противоположных данным.

    Не трудно заметить, что этот способ есть второй способ анализа, в котором от данного предложения последовательно переходят к его следствиям.

    Примером применения такого способа может послужить приведенное выше доказательство теоремы: против равных углов в треугольнике лежат равные стороны (теорема 26).

    В геометрии также применяют способы, зависящие от самого содержания геометрических истин. Геометрические истины относятся к геометрическим протяжениям. Эти протяжения обладают определенными свойствами, подлежащим внешним чувствам. Геометрическое протяжение может рассматриваться как целое, доступное наблюдению внешними чувствами. Убедительности доказательства содействует и самое чувственное созерцание. Обойтись без него в геометрии невозможно.

    К числу приемов, имеющих место в геометрии, принадлежат: способ наложения, способ пропорциональности и способ пределов.

    Способ наложения состоит в том, что одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений, смотря по тому, совмещаются или не совмещаются ни при наложении.

    Способ пропорциональности состоит в применении к геометрическим протяжениям свойств пропорций. Этот способ применяется при доказательстве теорем, относящихся к подобным фигурам и к пропорциональным отрезкам.

    Способ пределов состоит в том, что вместо данных протяжений рассматривают свойства протяжений близких по своим свойствам к данному, и выводы, получаемые из рассмотрения одних, применяют к другим сходным протяжениям.

    Способы решения геометрических задач

    При решении геометрических задач синтез и анализ применяют точно так же как и при доказательстве теорем.

    Решая задачу синтетически, берут такую другую задачу, которую умеют решить, потом из ее решения выводят решение следующей задачи, как ее необходимое следствие, и поступают так до тех пор, пока не доходят до решения данной задачи.

    Синтетический метод решения задачи обладает всеми теми же недостатками, какими обладает и синтетический метод доказательства.

    Поэтому чаще и успешнее для решения задач применяют анализ.

    При решении задачи анализом заменяют данную задачу новой. Эту новую задачу будем называть заменяющей.

    Если две задачи находятся в таком отношении, что условия второй есть необходимые следствия условий первой, то первую задачу будем называть начальной, а вторую — производной.

    При анализе существуют два способа.

    Первый способ. Заменяющую задачу выбирают так, чтобы условия данной задачи вытекали как необходимое следствие условий новой заменяющей задачи, т. е. по нашей терминологии от данной задачи переходят к первой начальной задаче. Если решение этой задачи известно, то решение данной является как необходимое следствие решения начальной задачи. Если же ее решение неизвестно, то от нее переходят ко второй, третьей начальной задаче и продолжают так поступать до тех пор, пока не получат задачу, решение которой известно.

    Решив эту последнюю задачу, вместе с этим последовательно доходят и до решения данной задачи.

    Второй способ. Можно переходить от данной задачи к такой другой, условия которой являются следствием условий данной, т. е. от данной задачи переходят к ее производной.

    Заменяя таким образом последовательно одну задачу другой ее производной, мы можем дойти до задачи, решение которой уже известно. Решение этой задачи дает иногда возможность решить и данную задачу.

    Такой переход от данной задачи к ее производной применяют чаще, ибо переходить к следствию легче, нежели подыскивать основание для какой-нибудь истины.

    В этом частном случае анализа обыкновенно полагают, что задача решена, и из этого предположения выводят соотношения, дающие возможность решить данную задачу.

    При переходе от данной задачи к ее заменяющей весьма важно обращать внимание на то, будут ли две задачи обладать свойством взаимной обратимости. Эта взаимность в условиях двух задач является тогда, когда одна задача, будучи начальной для другой, может быть в то же время и ее производной; иначе когда две задачи находятся в таком отношении, что условия одной могут быть и необходимыми следствиями другой и наоборот.

    Если две задачи, данная и новая, обладают такими свойствами, то новая задача вполне заменяет данную. В этом случае все решения одной будут и решениями другой.

    Если же условия двух задач не обладают свойствами взаимной обратимости, то, заменяя данную задачу новой, мы можем найти или лишние решения или иметь некоторые из решений потерянными.

    Если заменяющая задача будет производной для данной, то мы можем найти некоторые лишние решения; если же она будет начальной для данной, то мы можем найти некоторые решения потерянными.

    Так как чаще от данной задачи переходят к задаче производной, то чаще приходится получать решения лишние.

    Чтобы отделить лишние решения и отыскать потерянные, поверяют все найденные решения.

    Поверка есть способ отделения посторонних (лишних) решений. Она дополняет анализ.

    Аналитическое решение задачи указывает на то построение, которое нужно сделать для решения задачи. Совершая это построение, поступают при решении задачи способом обратным анализу, т. е. прибегают к синтетическому способу. Этот синтетический способ часто может заменить и самую поверку найденных решений.

    Совместное применение синтеза и анализа дает средство избегнуть тех ошибок, которые могут получиться при применении только одного из этих методов решения.

    Решим одну и ту же задачу синтетически и аналитически. Для примера может послужить следующая задача.

    Задача. Разделить данный отрезок AB в крайнем и среднем отношении.

    Решение. Восставим из конца отрезка AB перпендикуляр BO равный половине AB (черт. 226). Из центра O опишем окружность радиусом BO, соединим центр O с точкой A и отложим на отрезке AB отрезок AC равный AD, тогда отрезок AC или AD будет искомый.

    Доказательство. Прямая AB — касательная к окружности, следовательно

    AE/AB = AB/AD

    откуда имеем:

    (AE — AB)/AB = (AB — AD)/AD

    Так как DE = AB и AD = AC, то в предыдущей пропорции имеем:

    AE — AB = AE — DE = AD = AC
    AB — AD = AB — AC = BC

    откуда имеем пропорцию

    AC/AB = BC/AC

    Это решение синтетическое. В нем мы отправляемся от известной теоремы о свойствах касательной и решение данной задачи вытекало как необходимое следствие этой теоремы.

    Решение аналитическое. Допустим, что задача решена, а следовательно и отрезок AC найден, тогда

    AB/AC = AC/CB (1)

    откуда

    (AB + AC)/AB = (AC + CB)/AC

    или

    (AB + AC)/AB = AB/AC (2).

    Из последней пропорции видно, что AB есть касательная, AB + AC пересекающаяся, AC ее внешний и AB внутренний отрезок.

    Отсюда вытекает и само построение. Нужно из конца B восставить перпендикуляр равный ½AB, провести окружность, соединить O с A и отложить на отрезке AB часть AC = AD.

    В этом аналитическом решении мы данную задачу, удовлетворяющую условию (1), заменяем задачей, удовлетворяющей условию (2).

    Условие (2) указывает и путь для решения самой задачи построением.

    Обыкновенно, найдя решение задачи способом аналитическим, совершают построение, в котором, применяя способ рассуждений синтетический, доказывают, что это построение действительно разрешает задачу и этим доказательством заменяют поверку, имеющую в виду устранить посторонние решения.

    В данном примере между задачами, удовлетворяющим условиям (1) и (2), существует полная обратимость, ибо из условий (1) вытекают условия (2) как необходимое следствие и наоборот, поэтому здесь нет ни потерянных, ни посторонних решений.

    Исследование второстепенных и вспомогательных приемов решения задач еще не достигло в своей обработке полной и совершенной законченности. Мы пока устраняемся от их подробного рассмотрения.

    § Что такое аксиома и теорема

    Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.

    Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь. Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией:
    «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».

    Чтобы лучше понять сказанное, нарисуем наглядный рисунок, где прямая a пересекает точки A и B.

    Казалось бы, очевидно, если попытаться провести еще одну прямую b через точки A и B, она совпадет с прямой a.

    Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?

    Важно!

    Дело в том, что утверждение, которое в своем доказательстве
    не опирается на выстроенную логическую цепочку доказательств, нельзя считать доказанным.

    Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.

    В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь утверждение с помощью рассуждений».

    Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.

    Нам остается, только принять их на веру без доказательств. Иначе мы не сможем доказывать следующие утверждения, чтобы двигаться дальше.

    Что такое аксиома

    Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.

    Запомните!

    Аксиома — утверждение, которое не требует доказательств.

    С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.

    Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:

    • через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
    • через точку, не лежащую на данной прямой, проходим только одна прямая, параллельная данной;
    • если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки;
    • любая фигура равна самой себе.

    Что такое теорема

    Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.

    Запомните!

    Теорема — утверждение, которое требует доказательства.

    Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.

    Примеры формулировок теорем:

    • сумма углов треугольника равна 180 градусов;
    • площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон;
    • теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
    Важно!

    Формулировки аксиом и теорем необходимо учить строго наизусть
    без искажений.

    Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.

    Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.

    Что такое лемма

    Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

    Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.

    Запомните!

    Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы.

    Пример леммы:

    • если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

    Что такое следствие в геометрии

    Запомните!

    Следствие — утверждение, которое выводится непосредственно из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

    Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

    • если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
    • если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

    Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:

    • аксиомы — фундамент дома;
    • теоремы — основные кирпичи дома;
    • леммы и следствия — вспомогательные кирпичи для упрочнения конструкции.

    Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.

    Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.



    Геометрия — Сводка — Углы

    Определения

    Интерактивная демонстрация некоторых определений углов.
    Переместите ползунок, чтобы увидеть варианты соответствующих углов и альтернативных углов.
    1. Угол одного оборота составляет 360 °.
    2. Два угла, разделяющих общий луч, называются смежными .
    3. Два соседних угла, лежащих вдоль линии, называются дополнительными. углы .
    4. Если два дополнительных угла равны, они равны прямым углам .
    5. Угол, который меньше одного прямого угла, составляет острый угол .
    6. Угол, который больше одного прямого и меньше двух прямых углов, равен тупому углу .
    7. Линия, пересекающая две другие линии, называется поперечной . Углы равны , соответствующим углам .
    8. Углы — альтернативных углов .
    9. Углы равны вертикальным углам .
    10. Угол — это внешний угол к треугольнику.

    Примечание: Номер 1 был добавлен в список, хотя градусы не упоминаются в Элементах Евклида.

    Задачи GeoGebra

    Проведите линию a через точки A и B , и линия b , проходящая через точки C и D . Входить точка пересечения E и угол α . Место точка F на линии b .

    Задача 1

    Сделайте угол β в точке F равным α , и таким образом, что β становится альтернативным углом когда рисуется новая линия.Что вы можете сказать о линейке , и новая линия?

    Задача 2

    Сделайте угол β в точке F равным α , и таким образом, что β становится , соответствующим углу когда рисуется новая линия. Что вы можете сказать о линейке , и новая линия?

    Теоремы

    Теорема 1 Вертикальные углы равны.

    Теорема 2 В любом треугольнике сумма двух внутренних углов меньше двух прямых углов.

    Теорема 3 Если две прямые пересекаются трансверсалью и если альтернативные углы равны, то две линии параллельны.

    Теорема 4 Если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то альтернативные углы равны.

    Теорема 5 Если две прямые пересекаются трансверсалью и если соответствующие углы равны, то две линии параллельны.

    Теорема 6 Если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то соответствующие углы равны.

    Теорема 7 — Теорема о внешнем угле Внешний угол треугольник равен сумме двух удаленных внутренних углов.

    Теорема 8 Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам.

    Теорема 9 Теорема, обратная теореме о равнобедренном треугольнике Если два угла в треугольнике равны, то треугольник равнобедренный.

    Упражнения

    Теоремы, которые вы должны знать, прежде чем делать это: случаи сравнения SAS, SSS, ASA и теорема об углах в равнобедренном треугольнике.

    Упражнение 1

    Докажите теорему 1

    Упражнение 2

    На демонстрации ниже D является средней точкой сегмента AC , а также средней точкой. сегмента BE . Пока вершины треугольника имеют против часовой стрелки: A , B , C ; сумма α и γ меньше двух прямых углов. Показать что γ = β . Затем докажите теорему 2.Вам разрешено использовать только теоремы, которые уже было доказано.

    Демонстрация суммы двух углов в треугольнике.
    Упражнение 3

    Докажите теорему 3. Попробуйте провести доказательство. от противного, т.е. предположим, что ваше предложение неверно; тогда покажи что это предположение приводит к противоречию. Затем используйте теорему 3 для доказательства теоремы 4, доказательство от противного работает в и в этом случае.

    Упражнение 4

    Используйте некоторые из уже доказанных теорем для доказательства теорем 5 и 6.

    Упражнение 5

    Докажите теорему 7 — теорему о внешнем угле. Используйте картинку ниже. Линия l параллельна AC .

    Упражнение 6

    Докажите теорему 8.

    Упражнение 7

    Докажите теорему 9! Подсказка: нарисуйте биссектрисный угол в одной из вершин треугольника.

    Докажите геометрические теоремы: линии и углы — Common Core: High School

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Основные теоремы абсолютной геометрии

    Евклидовы теоремы , доказанные без пятого постулата Евклид доказал первые 28 теорем из книги I, не используя постулат 5 (параллельный постулат).Помимо ряда построений с линейкой и циркулем, он доказал большую часть знакомых школьных теорем, принадлежащих к абсолютной геометрии. Вот список из наиболее полезных (с числами Евклида). См. Http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html для получения сведений об элементах Евклида, дополненных pro of s, полезными комментариями и рисунками, с которыми можно манипулировать. SAS: Если две стороны одного треугольника и угол между ними равны соответствующим частям второго треугольника, то эти два треугольника совпадают.(это означает, что третьи стороны также будут равны и углы, противоположные равным сторонам, будут равны) .5. (Pons Asinorum) Углы при основании равнобедренного треугольника равны 6. (Обратно к 5). Если два угла треугольника равны, то стороны, противоположные этим углам, равны. SSS: если три стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам второго треугольника, то два треугольника совпадают.14. Если с любой прямой линией два отрезка на противоположных сторонах линии имеют одну точку линии и образуют смежные углы, которые в сумме составляют два прямых угла, то эти отрезки лежат на той же строке 15. Вертикально противоположные углы равны 16. Внешний угол любого треугольника больше, чем внутреннего и противоположных углов. 17. Сумма любых двух углов треугольника меньше двух прямых углов.18. В любом треугольнике большая сторона образует больший угол. (Обратно к 18) В любом треугольнике больший угол образует большая сторона 20. (Неравенство треугольника) В любом треугольнике две стороны, вместе взятые, больше, чем остальная сторона. Если на одной из сторон треугольника от его концов будут построены две прямые линии, пересекающиеся внутри треугольника, то построенные таким образом прямые будут меньше, чем две оставшиеся стороны < strong> треугольника, но будет содержать больший угол.24. Если две стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого, но включенный угол из , первый превышает этот из вторая, а затем третья сторона первого треугольника будет больше, чем второго. 25. (Обратитесь к 24). Если две стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого, но третья сторона первого треугольника превышает эту из второго, то угол, противоположный этой стороне первого треугольника, будет превышать соответствующий угол второго.26. AAS и ASA: если два угла и одна сторона одного треугольника равны соответствующим частям второго треугольника, то эти два треугольника равны. Если прямая линия, падающая на две прямые, делает чередующиеся (внутренние) углы равными друг другу, прямые линии будут параллельны друг другу.

    Угловые свойства, постулаты и теоремы — Wyzant Lessons

    Для логического изучения геометрии
    важно понимать ключевые математические свойства
    и знать, как применять полезные постулаты и теоремы.Постулат — это утверждение
    , которое не было доказано, но считается истинным на основании
    для математических рассуждений. Теоремы , с другой стороны, являются утверждениями, истинность которых
    была доказана с использованием других теорем или утверждений. В то время как
    некоторые постулаты и теоремы были введены в предыдущих разделах, другие
    являются новыми для нашего изучения геометрии. Мы будем применять эти свойства, постулаты и теоремы
    , чтобы помочь нашим математическим доказательствам очень логичным и разумным образом.

    Прежде чем мы начнем, мы должны ввести понятие конгруэнтности. Углы равны конгруэнтным
    , если их размеры в градусах равны. Примечание : «конгруэнтно» не означает
    «равно». Хотя они кажутся очень похожими, совпадающие углы не обязательно должны указывать
    в одном направлении. Единственный способ получить равные углы — это сложить два угла
    одинаковой меры друг на друга.

    Недвижимость

    Мы будем использовать следующие свойства, чтобы помочь нам рассуждать с помощью нескольких геометрических доказательств
    .

    Рефлексивное свойство

    Количество равно самому себе.

    Симметричное свойство

    Если A = B , то B = A .

    Переходное свойство

    Если A = B и B = C , то A = C .

    Дополнительное свойство равенства

    Если A = B , то A + C = B + C .

    Угловые постулаты

    Постулат сложения углов

    Если точка лежит внутри угла, этот угол представляет собой сумму двух меньших углов
    с участками, которые проходят через данную точку.

    Рассмотрим рисунок ниже, на котором точка T находится внутри
    ? QRS . Согласно этому постулату, мы имеем ? QRS =? QRT +? TRS .
    Мы фактически применили этот постулат, когда практиковались в нахождении дополнений
    и дополнений углов в предыдущем разделе.

    Постулат о соответствующих углах

    Если трансверсаль пересекает две параллельные линии , пары соответствующих углов
    совпадают.

    Обратное также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и соответствующие
    угла совпадают, то прямые параллельны.

    На рисунке выше показаны четыре пары соответствующих углов.

    Параллельный постулат

    Для данной линии и точки не на этой линии существует уникальная линия, проходящая через точку
    , параллельную данной прямой.

    Постулат параллельности — это то, что отличает евклидову геометрию от неевклидовой геометрии.

    Есть бесконечное количество линий, которые проходят через точку E , но только
    красная линия проходит параллельно линии CD .Любая другая линия, проходящая через E , в конечном итоге
    пересечет линию CD .

    Угловые теоремы

    Теорема об альтернативных внешних углах

    Если трансверсаль пересекает две параллельные линии , то альтернативные внешние углы
    совпадают.

    Обратное также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и альтернативные внешние углы
    совпадают, то прямые параллельны.

    Альтернативные внешние углы имеют одинаковые градусы, потому что линии расположены на
    параллельно друг другу.

    Теорема об альтернативных внутренних углах

    Если трансверсаль пересекает две параллельные линии , то альтернативные внутренние углы
    совпадают.

    Обратное также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и альтернативные внутренние углы
    совпадают, то прямые параллельны.

    Альтернативные внутренние углы имеют одинаковые градусы, потому что линии на
    параллельны друг другу.

    Теорема о конгруэнтных дополнениях

    Если два угла являются дополнениями одного и того же угла (или совпадающих углов), то два угла
    совпадают.

    Теорема о конгруэнтных дополнениях

    Если два угла являются дополнениями одного и того же угла (или равных углов), то два угла
    совпадают.

    Теорема о прямых углах

    Все прямые углы совпадают.

    Теорема

    об односторонних внутренних углах

    Если трансверсаль пересекает две параллельные линии , то внутренние углы
    на той же стороне трансверсали являются дополнительными.

    Обратное также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и внутренние
    угла на одной стороне трансверсали являются дополнительными, то линии параллельны
    .

    Сумма градусов внутренних углов той же стороны составляет 180 °.

    Теорема о вертикальных углах

    Если два угла — это вертикальные углы, то они имеют равные меры.

    Вертикальные углы имеют одинаковые градусы. Есть две пары вертикальных углов.

    Упражнения

    (1) Дано: м? DGH = 131

    Найти: m? GHK

    Во-первых, мы должны полагаться на информацию, которую нам дают, чтобы начать наше доказательство.В этом упражнении
    мы отмечаем, что величина ? DGH равна 131 ° .

    Из представленной иллюстрации мы также видим, что линии DJ и EK
    параллельны друг другу. Следовательно, мы можем использовать некоторые из угловых теорем
    выше, чтобы найти меру ? GHK .

    Мы понимаем, что существует связь между ? DGH и ? EHI :
    , это соответствующие углы.Таким образом, мы можем использовать постулат соответствующих углов
    , чтобы определить, что ? DGH ?? EHI .

    Прямо напротив ? EHI находится ? GHK . Поскольку это
    вертикальных угла, мы можем использовать теорему о вертикальных углах , чтобы увидеть, что ? EHI ?? GHK .

    Теперь, по транзитивности , мы имеем ? DGH ?? GHK .

    Конгруэнтные углы имеют равные градусы, поэтому размер ? DGH
    равен размеру ? GHK .

    Наконец, мы используем замену , чтобы сделать вывод, что величина ? GHK
    равна 131 ° . Этот аргумент организован в виде доказательства в две колонки ниже.

    (2) Дано: m? 1 = m? 3

    Доказательство: м? PTR = m? STQ

    Доказательство начнем с того, что меры ? 1 и ? 3
    равны.

    На втором этапе мы используем рефлексивное свойство , чтобы показать, что ? 2
    равно самому себе.

    Несмотря на тривиальность, предыдущий шаг был необходим, потому что он заставил нас использовать
    Сложение Свойство Равенства , показав, что добавление меры ? 2
    к двум равным углам сохраняет равенство.

    Затем с помощью постулата сложения углов мы видим, что ? PTR — это сумма
    из ? 1 и ? 2 , тогда как ? STQ — это сумма
    . ? 3 и ? 2 .

    В конечном счете, с помощью замены становится ясно, что меры ? PTR
    и ? STQ равны. Доказательство из двух столбцов для этого упражнения показано
    ниже.

    (3) Дано: м? DCJ = 71 , м? GFJ = 46

    Доказательство: м? AJH = 117

    Нам дается размер ? DCJ и ? GFJ , чтобы начать упражнение
    .Также обратите внимание, что три линии, которые проходят горизонтально на рисунке
    , параллельны друг другу. Диаграмма также показывает нам, что на заключительных этапах нашего доказательства
    может потребоваться сложить два угла, которые составляют ? AJH .

    Мы обнаружили, что существует взаимосвязь между ? DCJ и ? AJI :
    , они являются альтернативными внутренними углами. Таким образом, мы можем использовать теорему об альтернативных внутренних углах
    , чтобы утверждать, что они конгруэнтны друг другу.

    По определению сравнения их углы имеют одинаковые размеры, поэтому
    они равны.

    Теперь мы заменяем мерой ? DCJ на 71
    , поскольку нам дано это количество. Это говорит нам, что ? AJI также
    71 ° .

    Поскольку ? GFJ и ? HJI также являются альтернативными внутренними углами,
    мы требуем совпадения между ними по теореме об альтернативных внутренних углах .

    Определение конгруэнтных углов еще раз доказывает, что углы имеют равные
    меры. Поскольку мы знали величину ? GFJ , мы просто подставляем вместо
    , чтобы показать, что 46 является градусной мерой ? HJI .

    Как предсказывалось выше, мы можем использовать постулат сложения угла , чтобы получить сумму
    из ? AJI и ? HJI , поскольку они составляют ? AJH .
    В конечном итоге мы видим, что сумма этих двух углов дает нам 117 ° .
    Доказательство из двух столбцов для этого упражнения показано ниже.

    (4) Дано: m? 1 = 4x + 9 , m? 2 = 7 (x + 4)

    Найти: м? 3

    В этом упражнении нам не даются конкретные градусные меры для показанных углов.
    Скорее, мы должны использовать некоторую алгебру
    , чтобы помочь нам определить меру ? 3 . Как всегда, мы начинаем с информации
    , указанной в задаче. В этом случае нам даны уравнения для мер
    из ? 1 и ? 2 . Также отметим, что на диаграмме существует две пары
    параллельных прямых.

    По теореме о внутренних углах одинаковой стороны , мы знаем, что эта сумма ? 1
    и ? 2 составляет 180 , потому что они являются дополнительными.

    После замены этих углов на данные нам меры и упрощения,
    мы получим 11x + 37 = 180 . Чтобы найти x , мы сначала вычтем
    обе части уравнения на 37 , а затем разделим обе стороны на 11 .

    Как только мы определили, что значение x равно 13 , мы снова подключаем его к уравнению для меры
    из ? 2 с намерением в конечном итоге использовать соответствующих углов
    Постулат
    .Подключение 13 для x дает нам меру
    119 для ? 2 .

    Наконец, мы заключаем, что ? 3
    также должны иметь эту степень степени, поскольку ? 2 и ? 3
    являются конгруэнтными . Доказательство из двух столбцов, показывающее этот аргумент, показано ниже.

    постулатов и теорем

    постулатов и теорем

    Постулаты & Теоремы

    Глава 2 Геометрическая система

    Постулат 2-1 Через любые две точки проходит ровно одна линия.

    Постулат 2-2 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость.

    Постулат 2-3 Линия содержит не менее двух точек.

    Постулат 2-4 На плоскости есть как минимум три точки, не лежащие на одной прямой.

    Постулат 2-5 Если две точки лежат на плоскости, то вся линия, содержащая эти две точки лежит в этой плоскости.

    Постулат 2-6 Если две плоскости пересекаются, то их пересечение представляет собой линию.

    Теорема 2-1 Если есть прямая и точка не на прямой, то есть ровно одна плоскость, содержит их.

    Теорема 2-2 Если два линии пересекаются, то ровно одна плоскость содержит обе прямые.

    Глава 3 Измерение

    Постулат 3-1 Правитель Постулат. Точки на любой линии могут быть объединены с действительными числами, так что с учетом любых двух баллов P
    и Q на прямой, P соответствует нулю, а Q соответствует положительному количество.

    Постулат 3-2 Расстояние Постулат Для любых двух точек на линии и данной единицы измерения существует уникальный позитив
    число называется мерой расстояния между двумя точками.

    Постулат 3–3 Сегмент Постулат сложения Если линия PQR, то PQ + RQ = PR

    Теорема 3-1 Каждый сегмент имеет ровно одну среднюю точку.

    Теорема 3-2 Сравнение. сегментов рефлексивно, симметрично и транзитивно.

    Теорема 3-3 Середина Теорема. Если M — середина прямой PQ, то прямая PM конгруэнтна прямой MQ

    .

    Теорема 3-4 Биссектриса Теорема. Если прямая PQ делится пополам в точке M, то прямая PM конгруэнтна прямой MQ

    Глава 4 Углы и перпендикуляры

    Постулат 4-1 Угол Постулат меры Для каждого угла существует однозначное положительное число между 0. и 180 позвонили
    градусная мера угла

    Постулат 4-2 Транспортир Постулат. Для любого луча на краю полуплоскости g для каждого положительного числа. r между 0
    и 180 есть ровно один луч в полуплоскости такой, что мера степени угла, образованного
    два луча r.

    Постулат 4-3 Угол Постулат сложения Если R находится вне угла PQS, то мера угла PQR +
    мера угла RQS = мера угла PQS

    Приложение к постулату 4-4 Постулат. Если два угла образуют линейную пару, то они являются дополнительными углами.

    Теорема 4-1 Сравнение. углов является рефлексивным, симметричным и переходным.

    Теорема 4-2 Если два углы являются дополнительными к тому же углу, тем они совпадают.

    Теорема 4-3 Если два углы являются дополнительными к двум равным углам, тогда эти два угла равны каждому
    Другие.

    Теорема 4-4 Если два углы дополняют один и тот же угол, тогда они конгруэнтны каждому Другие.

    Теорема 4-5 Если два углы дополняют два равных угла, тогда два угла равны каждому
    Другие.

    Теорема 4-6 Если два если углы прямые, то углы равны.

    Теорема 4-7 Если один угол в линейной паре — это прямой угол, тогда другой угол — это прямой угол.

    Теорема 4-8 Если два углы совпадают и дополняют друг друга, тогда каждый угол является прямым.

    Теорема 4-9 Если два пересекающиеся линии образуют один прямой угол, на них — четыре прямых угла.

    Теорема 4-10 Если два угла вертикальные, то они совпадают.

    Теорема 4-11 Если две прямые перпендикулярно, то они образуют четыре прямых угла.

    Теорема 4-12 Если точка находится на линия в данной плоскости, то есть ровно одна линия в этой плоскости, перпендикулярная к
    заданная линия в заданной точке.

    Теорема 4-13 Два пересекающихся прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда они образуют конгруэнтные смежные углы.

    Теорема 4-14 Площадь треугольника Если треугольник имеет площадь A квадратных единиц, основание B единиц. и соответствующий
    высота ч единиц, тогда А = 1 / 2bh .

    Раздел 5 Параллели

    Постулат 5-1, параллель Постулат Если есть линия и точка не на линии, то есть ровно одна линия через
    точка, параллельная заданной линии.

    Теорема 5-1 Если два параллельные прямые разрезаются трансверсалью, затем каждая пара соответствующих углов конгруэнтно.

    Теорема 5-2 Если два параллельные линии разрезаются трансверсалью, затем каждая пара чередующихся внутренних углы совпадают.

    Теорема 5-3 Если два параллельные линии разрезаются трансверсалью, затем каждая пара следующих друг за другом внутренних углы
    дополнительный.

    Теорема 5-4 Если два параллельные линии разрезаются трансверсалью, затем каждая пара чередующихся внешних углы совпадают.

    Теорема 5-5 В плоскости, если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна к другому.

    Теорема 5-6 В плоскости, если две линии пересекаются трансверсалью так, чтобы пара чередующихся внутренних углы совпадают,
    тогда две линии параллельны.

    Теорема 5-7 В плоскости, если две прямые пересекаются трансверсалью так, чтобы пара соответствующих углов конгруэнтно, тогда
    две линии параллельны.

    Теорема 5-8 В плоскости, если две линии пересекаются трансверсалью так, чтобы пара последовательных внутренних углы
    дополнительные, то линии параллельны.

    Теорема 5-9 В плоскости, если две линии пересекаются трансверсалью так, что пара чередующихся внешних углы совпадают,
    тогда линии параллельны.

    Теорема 5-10 В плоскости, если два линии перпендикулярны одной и той же линии, тогда две линии параллельны.

    Теорема 5-11 Две прямые имеют одинаковый наклон тогда и только тогда, когда они параллельны и не вертикальны.

    Теорема 5-12 Два невертикальных линии перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их наклонов равно -1.

    Глава 6 Треугольники

    Постулат 6-1 SSS Если каждая сторона одного треугольника конгруэнтна соответствующей стороне другого треугольник, затем
    треугольники конгруэнтны.

    Постулат 6-2 SAS Если две стороны и включенный угол одного треугольника конгруэнтны соответствующему стороны и
    включенный угол другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.

    Постулат 6-3 ASA Если два угла и включенная сторона одного треугольника конгруэнтны соответствующему углы и
    включенная сторона другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.

    Теорема 6-1 Угол Теорема о сумме Сумма степеней углов треугольника составляет 180.

    Теорема 6-2. треугольник — это прямоугольный треугольник, тогда острые углы дополняют друг друга.

    Теорема 6-3. треугольник равноугольный, тогда размер каждого угла в градусах равен 60.

    Теорема 6-4 Внешний вид Теорема об угле. Если угол является внешним углом треугольника, то его мера равно сумме
    размеров двух удаленных внутренних углов.

    Теорема 6-5 Неравенство Теорема Для любых чисел a и b, a> b тогда и только тогда, когда существует положительное число c такое, что
    а = Ь + с.

    Теорема 6-6. угол — это внешний угол треугольника, тогда его размер больше, чем измерение любого пульта
    внутренний угол.

    Теорема 6-7 Сравнение. треугольников рефлексивно, симметрично и транзитивно.

    Теорема 6-8 AAS Если два угла и невключенная сторона одного треугольника конгруэнтны соответствующему углы
    и невключенная сторона другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.

    Глава 7 Дополнительная информация о треугольниках

    Постулат 7-1 HL Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующему стороны еще
    прямоугольный треугольник, то треугольники конгруэнтны.

    Теорема 7-1 Равнобедренная. Теорема о треугольнике Если две стороны треугольника совпадают, то угол напротив тех сторон
    конгруэнтны.

    Теорема 7-2 Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда оно равноугольное.

    Теорема 7-3 Каждая Угол равностороннего треугольника равен 60 градусам.

    Теорема 7-4 Если два углы треугольника равны, тогда стороны, противоположные этим углам конгруэнтны.

    Теорема 7-5 HA Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующий
    гипотенуза и острый угол другого прямоугольного треугольника, то треугольники конгруэнтный.

    Теорема 7-6 LL Если катеты одного прямоугольного треугольника совпадают с соответствующими катетами другого прямоугольный треугольник, затем
    треугольники равны.

    Теорема 7-7 LA Если одна катета и острый угол одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующему нога и острый
    угол другого прямоугольного треугольника, то треугольники конгруэнтны.

    Теорема 7-8 Если размеры двух сторон треугольника не равны, тогда размеры углов напротив тех
    стороны неравны в одинаковом порядке.

    Теорема 7-9 Если если два угла треугольника не равны, то размеры сторон напротив тех
    углы не равны в том же порядке.

    Теорема 7-10 Отрезок — это кратчайший отрезок от точки до прямой тогда и только тогда, когда это отрезок, перпендикулярный к
    линия.

    Теорема 7-11. Отрезок — это кратчайший отрезок от точки до плоскости тогда и только тогда, когда это отрезок, перпендикулярный к
    самолет.

    Теорема 7-12 Неравенство треугольника Сумма мер любых двух сторон другого треугольника и меры из
    включенные углы не равны, тогда размеры третьей стороны не равны в том же порядке.

    Теорема 7-13 Теорема Хиджа Если две стороны одного треугольника совпадают с двумя сторонами другого треугольника и
    меры включенных углов неодинаковы, тогда меры третьего стороны равны в одном
    порядок.

    Теорема 7-14. Теорема о шарнире.Если две стороны одного треугольника совпадают с двумя сторонами еще
    треугольника и размеры третьих сторон неравны, то меры углов в комплекте
    между парами конгруэнтных сторон неравны в одном и том же порядке.

    Глава 8 Полигоны

    Теорема 8-1 Если выпуклый многоугольник имеет n сторон, а S является суммой степеней углов,
    тогда S = ( n -2) 180.

    Теорема 8-2. многоугольник выпуклый, тогда сумма степеней внешних углов, по одному в каждой вершине,
    составляет 360.

    Теорема 8-3 Если четырехугольник — это параллелограмм, тогда диагональ разделяет его на два конгруэнтных треугольники.

    Теорема 8-4 Если a четырехугольник — параллелограмм, тогда его противоположные углы равны.

    Теорема 8-5 Если a четырехугольник — параллелограмм, тогда его противоположные стороны равны.

    Теорема 8-6 Если a четырехугольник — это параллелограмм, тогда его диагонали делят друг друга пополам.

    Теорема 8-7 Если оба пары противоположных сторон четырехугольника равны, тогда четырехугольник — параллелограмм.

    Теорема 8-8 Если два стороны четырехугольника параллельны и конгруэнтны, тогда четырехугольник — параллелограмм.

    Теорема 8-9 Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, тогда четырехугольник — это параллелограмм.

    Теорема 8-10 Если четырехугольник — прямоугольник, то его диагонали равны.

    Теорема 8-11 Если четырехугольник ромб, то каждая диагональ делит пополам пару противоположных углов.

    Теорема 8-12 Если четырехугольник ромб, то его диагонали перпендикулярны.

    Теорема 8-13 Если трапеция равнобедренный, то каждая пара углов основания конгруэнтна.

    Теорема 8-14 Если трапеция равнобедренная, то ее диагональ конгруэнтна.

    Теорема 8-15 Если четырехугольник трапеция, то медиана параллельна основаниям, а ее мера равна половина
    сумма мер баз.

    Теорема 8-16. Если отрезок апофема правильного многоугольника, то она перпендикулярна стороне многоугольника на
    точка касания с вписанной окружностью.

    Глава 9 Сходство

    Постулат 9-1 AA Сходство Если два угла одного треугольника совпадают с двумя соответствующими углы еще
    треугольник, то треугольники аналогичны.

    Теорема 9-1 Равенство перекрестных произведений Для любых чисел a и c и любых ненулевых чисел b и d, a / b = c / d, если
    и только если ad = bc

    Теорема 9-2 Дополнение и свойства вычитания пропорций

    a / b = c / d тогда и только тогда, когда a + b / b = c + d / d
    a / b = c / d тогда и только тогда, когда a-b / b = c-d / d

    Теорема 9-3 Суммирование Свойство пропорций a / b = c / d тогда и только тогда, когда a / b = a + c / b + d или c / d a + c / b + d

    Теорема 9-4 Сходство SSS Если между двумя треугольниками существует соответствие, так что меры из их
    соответствующие стороны пропорциональны, тогда два треугольника подобны.

    Теорема 9-5 SAS подобие Если размеры двух сторон треугольника пропорциональны размерам из двух
    соответствующие стороны другого треугольника, и включенные углы совпадают, тогда треугольников будет
    аналогичный

    Теорема 9-6. линия параллельна одной стороне треугольника и пересекает две другие стороны, затем разделяет стороны
    на отрезки пропорциональной длины.

    Теорема 9-7. линия пересекает две стороны треугольника и разделяет стороны на отрезки пропорциональных длин,
    тогда линия параллельна третьей стороне.

    Теорема 9-8 Если a сегмент имеет своими конечными точками середины двух сторон треугольника, тогда параллельно третьему
    сторона и ее длина составляет половину длины третьей стороны.

    Теорема 9-9 Если три параллельные прямые пересекают две трансверсали, затем они делят трансверсаль пропорционально.

    Теорема 9-10 Если три параллельных линии обрезают конгруэнтные отрезки на одной поперечной, затем конгруэнтные
    отрезки на любой поперечной.

    Теорема 9-11 Если два треугольника подобны, то меры соответствующих периметров пропорциональны к
    меры соответствующих сторон.

    Теорема 9-12. Если два треугольника подобны, то меры соответствующих высот пропорциональны
    меры соответствующих сторон.

    Теорема 9-13 Если два треугольника подобны, то меры соответствующих биссектрис углов треугольников
    пропорционально размерам соответствующих сторон.

    Теорема 9-14 Если два треугольника подобны, то меры соответствующих медиан пропорциональны
    меры соответствующих сторон.

    Теорема 9-15. Если расширение с центр C и масштабный коэффициент k отображает A на E и B на D , затем ED = k ( AB )

    Глава 10 Правые треугольники

    Теорема 10-1 Если высота проводится от вершины прямого угла до гипотенузы прямоугольного треугольника, затем
    два образованных треугольника подобны данному треугольнику и друг другу.

    Теорема 10-2 Мера высоты, проведенной от прямого угла к гипотенузе прямоугольного треугольника это
    среднее геометрическое между измерениями двух отрезков гипотенузы.

    Теорема 10-3 Если высота проводится к гипотенузе прямоугольного треугольника, то длина катета треугольник
    среднее геометрическое между мерой гипотенузы и мерой сегмент
    гипотенуза, прилегающая к этой ноге.

    Торем 10-4 Теорема Пифагора. Если треугольник прямоугольный, то сумма квадраты мер
    длины катетов равна площади меры гипотенузы.

    Теорема 10-5 Обращение Теорема Пифагора Если сумма квадратов мер двух сторон из
    треугольник равен квадрату длины самой длинной стороны, тогда треугольник — прямоугольный треугольник.

    Теорема 10-6 45-45-90 Теорема В треугольнике 45-45-90 мерой гипотенузы является квадратный корень из 2. раз
    размер ноги.

    Теорема 10-7 30-60-90 Теорема В треугольнике 30-60-90 мера гипотенузы в 2 раза больше меры из
    корень корень из трех раз больше меры
    более короткая нога.

    Глава 11 Круги

    Постулат 11-1 Постулат сложения дуги Если Q — точка на дуге PQR, то мера дуги PQ + мера дуги
    QR = мера дуги PQR.

    Теорема 11-1 Все радиусы окружности конгруэнтны.

    Теорема 11-2 По кругу в конгруэнтных окружностей, два центральных угла конгруэнтны тогда и только тогда, когда их второстепенные дуги
    конгруэнтный.

    Теорема 11-3 По кругу или в конгруэнтные окружности, две второстепенные дуги конгруэнтны тогда и только тогда, когда им соответствуют аккорды
    конгруэнтны.

    Теорема 11-4 По кругу, если диаметр перпендикулярен хорде, затем он делит хорду и ее дугу пополам.

    Теорема 11-5 По кругу или в конгруэнтные круги, две хорды конгруэнтны тогда и только тогда, когда они равноудалены из
    центр.

    Теорема 11-6 Если вписан угол в круге, тогда размер угла равен половине его
    перехваченная дуга.

    Теорема 11-7 Если вписано два углы окружности или конгруэнтные окружности пересекают конгруэнтные дуги, затем углы
    конгруэнтный.

    Теорема 11-8 Если вписан угол полукругом, то угол прямой.

    Теорема 11-9 Если прямая касается касательной к окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному до точки касания.

    Теорема 11-10 На плоскости, если прямая перпендикулярна до радиуса круга в его конечной точке на окружности, тогда линия
    касательная.

    Теорема 11-11 Если два отрезка из одного и того же внешние точки касаются окружности, то они конгруэнтны.

    Теорема 11-12. Если две секущие пересекаются в внутренней части круга, то размер образованного угла составляет половину
    сумма мер дуг, пересекаемых этим углом, и его вертикальным углом.

    Теорема 11-13. Если две секущие пересекаются в внешняя сторона круга, то полученный угол составляет половину
    положительная разница размеров перехваченных дуг.

    Теорема 11-14 Если секущая и касательная пересекаются в точке касания, то размер каждого образованного угла составляет
    половина длины перехваченной дуги.

    Теорема 11-15. Если секущая и касательная, или две касательные, пересекающиеся снаружи круга, тогда мера
    образующийся угол составляет половину положительной разницы размеров перехваченного дуги.

    Теорема 11-16. Если две хорды пересекаются в круг, то произведение мер отрезков одной хорды равно
    произведение мер отрезков другой хорды.

    Теорема 11-17. Если два секущих отрезка нарисованный на круг из внешней точки, то произведение мер
    один секущий сегмент и его внешний секущий сегмент равны произведению меры прочие
    секущие отрезки и его внешний секущий отрезок.

    Теорема 11-18. Если касательный отрезок и секущий отрезок проведен к окружности от внешней точки, затем квадрат
    меры касательного отрезка равна произведению мер секущего сегмента и его
    внешний секущий сегмент.

    Теорема 11-19 Общее уравнение круга. Уравнение окружности с центром в точке ( h, k ) и радиусом r ед.
    равно ( x — h ) 2 + ( y — k ) 2 = r 2

    Теорема 11-20 Окружность круга, если круг имеет площадь A квадратных единиц и радиус r единиц,
    тогда C = 2 пи (r ) .

    Теорема 11-21 Площадь круга Если круг имеет площадь A квадратных единиц и радиус r единиц, то A = pi ( r ) 2 .

    Глава 12 Площадь и объем

    Постулат 12-1 Объемный постулат Для любой твердой области и данной единицы измерения существует единственный положительный номер
    называется мерой объема региона.

    Постулат 12-2 Если две твердые области конгруэнтны, то они равны по объему.

    Постулат 12-3 Добавление объема Постулат Если твердый регион разделен на неперекрывающиеся области, то сумма
    их объем равен объему данного региона.

    Постулат 12-4 Если призма правая имеет объем В, куб. ед., основание площадью В, кв. единиц, а высотой х
    ед., то V = Bh .

    Постулат 12-5 Принцип Кавальери Если два твердых тела имеют одинаковую площадь поперечного сечения на каждом уровне и одинаковые
    высота, то объемы у них одинаковые.

    Теорема 12-1 Боковая площадь a Правая призма Если правая призма имеет боковую площадь L квадратных единиц, высотой х шт.,
    и каждая база имеет периметр p единиц, тогда L = ph .

    Теорема 12-2 Общая площадь поверхности правой призмы Если общая площадь правой призмы составляет T квадратных ед., каждая база
    имеет площадь B квадратных единиц, периметр p единиц и высоту из h единиц, затем T = ph + 2 b .

    Теорема 12-3 Боковая площадь a Правый цилиндр Если правый цилиндр имеет боковую площадь л квадратных единиц, высота h
    единиц, а основания имеют радиус r единиц, тогда L = 2pi ( r ) ( h ).

    Теорема 12-4 Общая площадь поверхности правого цилиндра Если правый цилиндр имеет общую площадь T квадратных единиц, а
    высота х единиц, а основания имеют радиус х единиц, затем т. = 2pi ( r ) ( h ) + 2pi ( r ) 2 .

    Теорема 12-5 Боковая площадь для a Обычная пирамида Если у правильной пирамиды боковая площадь L квадратных ед., уклон
    высота л единиц, а ее основание имеет периметр p единиц, затем L = 1/2 пл .

    Теорема 12-6 Боковая и полная Площадь поверхности правого кругового конуса Если у правого кругового конуса площадь л
    квадратных единиц, общей площадью т квадратных единиц, наклонная высота л шт, а радиус основания
    r единиц, затем L = pi ( r ) ( l ) + pi r ) 2 .

    Теорема 12-7 Площадь поверхности Сфера Если сфера имеет площадь поверхности А квадратных единиц и радиус из р шт, затем
    A = 4pi ( r ) 2 .

    Теорема 12-8 Объем права Цилиндр Если правая пирамида имеет объем V кубических единиц, высота ч, единиц, а
    площадь основания составляет B квадратных единиц, тогда V = pi ( r ) 2 ( h ).

    Теорема 12-9 Объем права Пирамида Если правая пирамида имеет объем V кубических единиц, высота кубических единиц. h единиц, а
    площадь основания B квадратных единиц, тогда V = 1/3 Bh .

    Теорема 12-10 Объем правого циркуляра Конус Если правый круговой конус имеет объем V кубических единиц, высота из ч
    единиц, а площадь основания B квадратных единиц, затем V = 1/3 Bh .

    Теорема 12-11 Объем сферы Если сфера имеет объем V кубических единиц и радиус r единиц, то
    V = 4 / 3pi ( r ) 2 .

    Теорема 12-12 Даны две точки A ( x 1 , y 1 , z 1 ) и B ( x 2 , y 2 , z 2 ) в пространстве расстояние между A и B задается
    следующее уравнение. AB — квадратный корень из ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 + ( z z 2 + z 1 ) 2 .

    Глава 13 Loci

    Постулат 13-1 В данной ротации если A является прообразом, P является изображением и W является центром вращения, то
    мера угла поворота, угол AWP , равна удвоенной мере угла между
    пересекающиеся линии отражения.

    По материалам: http://phs.mesa.k12.co.us/math/quickfacts/postulatestheorems.html

    НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ТЕРМИНЫ, ТЕОРЕМЫ И ПОСТУЛАТЫ

    A. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УСЛОВИЯ

    « undefined term » — это термин или слово, которое не требует дальнейшее объяснение или описание. Он уже существует в самом базовом форма. Эти основные термины используются для определения или объяснения более сложных термины или понятия.Геометрия распознает четыре неопределенных термина. В то время как некоторые книги признают только три сроки, все четыре будут включены сюда. Хотя они «Undefined», я попытаюсь описать их для вас ниже.

    ТОЧКА (неопределенный термин)
    В геометрии точка не имеет размера (фактический размер). Несмотря на то, что мы представляем точку точкой, точка не имеет длины, ширины или толщины.Наша точка может быть очень крошечный или очень большой, но он по-прежнему представляет собой точку. Точка обычно названы с большой буквы. В координатной плоскости точка названные упорядоченной парой, ( x, y ).

    ЛИНИЯ (неопределенный термин)
    В геометрии линия не имеет толщины, но ее длина простирается на одно измерение и продолжается вечно в обоих направлениях.Пока не в противном случае линия рисуется как прямая линия с двумя стрелками, указывающими, что линия проходит без конца в обоих направлениях. Линия названа одиночная строчная буква, , или любыми двумя точками на линии, .

    САМОЛЕТ (неопределенный термин)
    В геометрии плоскость не имеет толщины, но простирается бесконечно во всех направлениях.Самолеты обычно представлены формой который выглядит как столешница или параллелограмм. Хотя диаграмма плоскость имеет края, вы должны помнить, что плоскость не имеет границ. Самолет обозначается одной буквой (плоскость м ) или тремя неколлинеарными точек (плоскость ABC).

    В геометрии есть несколько основных понятий, которые необходимо должны быть поняты, но редко используются в качестве доводов в формальном доказательстве.

    Коллинеарные точки точек, лежащих на одной прямой.
    Копланарные точки точек, лежащих в одной плоскости.
    Противоположные лучи 2 луча, лежащих на одной линии, с общей конечной точкой и никакими другими общими точками. Противоположный лучи образуют прямую линию и / или прямой угол (180 ° :).
    Параллельные линии две копланарные линии, которые не пересечь
    перекос линии

    два некомпланарные линии, которые не пересекаются.

    Б. ТЕОРЕМЫ

    В математике теорема — это утверждение, которое было доказано на основе ранее установленных утверждений, таких как другие теоремы, и ранее принятых утверждений, таких как аксиомы.Вывод теоремы часто интерпретируется как доказательство истинности полученного выражения, но разные дедуктивные системы может дать другие интерпретации, в зависимости от значений правила вывода. Доказательство математической теоремы представляет собой логическое аргумент, демонстрирующий, что выводы являются необходимым следствием гипотез в том смысле, что если гипотезы верны, то выводы также должны быть верными, без каких-либо дополнительных предположений. В Таким образом, понятие теоремы по своей сути является дедуктивным , в отличие от понятия научной теории, которое является эмпирическим . Хотя они могут быть записаны в полностью символической форме, например, с помощью исчисления высказываний, теоремы часто выражаются на естественном языке, например на английском. В то же самое верно и в отношении доказательств, которые часто выражаются как логически организованные и четко сформулированные неформальные аргументы, призванные убедить читатели, уверенные в истинности утверждения теоремы, вне всякого сомнения, и из каких аргументов в принципе может быть проведено формальное символическое доказательство. построен. Такие аргументы обычно легче проверить, чем чисто символические — действительно, многие математики отдали бы предпочтение доказательство, которое не только демонстрирует справедливость теоремы, но и Каким-то образом объясняет , почему очевидно верно.В некоторых случаях Одного изображения может быть достаточно для доказательства теоремы. Потому что теоремы лгут лежащие в основе математики, они также играют центральную роль в ее эстетике. Теоремы часто называют «тривиальными», «сложными» или «глубокий» или даже «красивый». Эти субъективные суждения разнятся не только от человека к человеку, но и со временем: например, в качестве доказательства упрощенная или более понятная, некогда трудная теорема может стать тривиальным. С другой стороны, глубокую теорему можно просто сформулировать: но его доказательство может включать удивительные и тонкие связи между разрозненные области математики.Великая теорема Ферма — особенно известный пример такой теоремы.

    C. ПОСТУЛАТЫ

    Постулаты — это утверждения, истинность или истинность которых предполагаются без доказательств.

    РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПОСТУЛАТЫ В ГЕОМЕТРИИ

    Общий:

    Рефлексивное свойство Величина конгруэнтна (равна) самой себе. а = а
    Симметричное свойство Если a = b, тогда b = a.
    Переходное свойство Если a = b и b = c, тогда a = c.
    Дополнительный постулат Если равные количества добавляются к равные количества, суммы равны.
    Постулат вычитания Если вычесть равные количества из равных количеств, различия равны.
    Умножение Постулат Если перемножаются равные количества в равных количествах продукты равны. (также Doubles of равные количества равны.)
    Постулат дивизии Если равные количества разделить на равные ненулевые величины, частные равны. (также Половинки равные количества равны.)
    Замена Постулат Количество может быть заменено на равно в любом выражении.
    Постулат раздела Целое равно сумме его частей.
    Также: Между точками: AB + BC = AC
    Постулат сложения углов : m
    Строительство Две точки определяют прямую линия.
    Строительство С заданной точки (или не дальше) линия, к ней можно провести один и только один перпендикуляр.

    Углы:

    Прямоугольник Все прямые углы совпадают.
    Уголки прямые Все прямые углы конгруэнтны.
    Конгруэнтные добавки Приставки того же угла, или конгруэнтные углы конгруэнтны.
    Конгруэнтные дополнения Дополнения к одному и тому же углу, или конгруэнтные углы конгруэнтны.
    Линейная пара Если два угла образуют линейная пара, они являются дополнительными.
    Вертикальные углы Вертикальные углы совпадают.
    Сумма треугольника Сумма внутренних углов треугольника равна 180º.
    Внешний угол Внешний угол треугольника равен равна сумме мер двух несмежных внутренних углы.
    Внешний угол треугольника больше, чем либо несмежный внутренний угол.
    Теорема об основном угле
    (Равнобедренный треугольник)
    Если две стороны треугольника равны конгруэнтны, углы напротив этих сторон равны.
    конверсы с базовым углом
    (равнобедренный треугольник)
    Если два угла треугольника равны конгруэнтны, стороны, противоположные этим углам, равны.

    Треугольники:

    Сторона-сторона-сторона (SSS) Конгруэнтность Если три стороны одного треугольника совпадают с три стороны другого треугольника, тогда треугольники конгруэнтный.
    Боковой угол-сторона (SAS) Конгруэнтность Если у одного треугольника две стороны и угол наклона конгруэнтны соответствующим частям другого треугольника, треугольники конгруэнтны.
    Угол-сторона-угол (ASA) Конгруэнтность Если два угла и входящая сторона одного треугольника конгруэнтны соответствующим частям другого треугольника, треугольники конгруэнтны.
    Угол-угол-сторона (AAS) Конгруэнтность Если два угла и не включенная сторона одного треугольника конгруэнтны соответствующим частям другого треугольник, треугольники равны.
    Гипотенуза-ножка (HL) Конгруэнтность (прямоугольный треугольник) Если гипотенуза и катет одной правой треугольник конгруэнтны соответствующим частям другого правого треугольник, два прямоугольных треугольника равны.
    CPCTC Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны.
    Угол-угол (AA) Сходство Если два угла одного треугольника равны двум углы другого треугольника, треугольников похожий.
    SSS на подобие Если три комплекта соответствующие стороны двух треугольников пропорциональны, треугольники похожи.
    SAS для подобия Если угол один треугольник конгруэнтен соответствующему углу другого треугольника и длины сторон, включая эти углы, находятся в пропорции, треугольники похожи.
    Боковая пропорциональность Если два треугольника равны аналогичный , соответствующие стороны пропорциональны.
    Теорема о среднем сегменте
    (также называемая средней линией)
    Отрезок, соединяющий середины две стороны треугольника параллельны в третью сторону и вдвое меньше длинный.
    Сумма двух сторон

    Сумма длины любых двух сторон треугольника должны быть больше, чем третья сторона

    Самая длинная сторона В треугольнике самая длинная сторона напротив самого большого угла.
    В треугольнике наибольший угол находится напротив самой длинной стороны.
    Правило высоты Высота гипотенузе прямоугольного треугольника — среднее значение, пропорциональное между сегментами, на которые он делит гипотенузу.
    Правило ноги Каждая полка прямоугольного треугольника — среднее значение, пропорциональное гипотенузе и проекция катета на гипотенузу.

    Параллели:

    Соответствующие углы Если две параллельные линии пересекаются трансверсалью, то пары соответствующих углов конгруэнтны.
    Соответствующие углы Converse Если две линии пересекаются поперечным и соответствующие углы совпадают, линии равны параллель .
    Альтернативные внутренние углы
    Если два параллельные линии разрезаются трансверсалью, то альтернативные внутренние углы совпадают.
    Альтернативные внешние углы Если два параллельные линии обрезаются поперечный, затем чередующиеся внешние углы конгруэнтны.
    Интерьеры на одной стороне Если двое параллельные линии разрезаны поперечно, внутренние углы на с той же стороны трансверсали дополнительный.
    Альтернативные внутренние углы
    Converse
    Если две строки разрезаются поперечной и альтернативной внутренние углы совпадают, линии параллель .
    Альтернативные внешние углы наклона
    Converse
    Если две строки разрезаются поперечной и альтернативной внешние углы совпадают, линии параллельно.
    Интерьеры там же Боковые кеды Converse Если две линии разрезаются поперечный и внутренний углы на одном стороны трансверсали являются дополнительными, линии параллельны.

    Четырехугольники:

    Параллелограммы
    О сторонах
    * Если четырехугольник — параллелограмм,
    противоположных стороны параллельны.
    * Если четырехугольник — параллелограмм,
    противоположных стороны равны.
    Об углах * Если четырехугольник — параллелограмм, противоположные
    угла конгруэнтны.
    * Если четырехугольник — это параллелограмм,
    последовательных угла являются дополнительными.
    О диагоналях * Если четырехугольник представляет собой параллелограмм, диагонали
    рассекают друг друга пополам.
    * Если четырехугольник представляет собой параллелограмм, диагонали
    образуют два равных треугольника.
    Параллелограмм конвертирует

    О сторонах


    * Если обе пары Противоположные стороны четырехугольника
    параллельны, четырехугольник — параллелограмм.
    * Если обе пары Противоположные стороны четырехугольника
    равны, четырехугольник — параллелограмм
    .
    Об углах * Если обе пары Противоположные углы четырехугольника
    равны, четырехугольник — параллелограмм
    .
    * Если последовательные углы четырехугольника —
    дополнительных, четырехугольник — параллелограмм.
    О диагоналях * Если диагонали четырехугольник делит пополам
    друг друга, четырехугольник —
    параллелограмм.
    * Если диагонали четырехугольника образуют два
    равных треугольника, четырехугольник —
    параллелограмм.
    Параллелограмм Если одна пара сторон четырехугольника ОБА параллельна и конгруэнтный, четырехугольник — параллелограмм.
    Прямоугольник Если параллелограмм имеет один прямой угол это прямоугольник
    А параллелограмм является прямоугольником тогда и только тогда, когда его диагонали равны конгруэнтный.
    А прямоугольник — это параллелограмм с четырьмя прямыми углами.
    Ромб А ромб — это параллелограмм с четырьмя равными сторонами.
    Если у параллелограмма две последовательные стороны совпадают, это ромб.
    А параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда каждая диагональ делит пополам пара противоположных углов.
    А параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда диагонали перпендикуляр.
    Площадь А квадрат — параллелограмм с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямые углы.
    А четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда это ромб и прямоугольник.
    Трапеция А трапеция — это четырехугольник, в котором ровно одна пара параллельных стороны.
    Равнобедренная трапеция An равнобедренная трапеция — это трапеция с конгруэнтными ногами.
    А трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда базовые углы равны конгруэнтный
    А трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда диагонали равны конгруэнтный
    Если трапеция равнобедренная, противоположные углы — дополнительные.

    кругов:

    Радиус По кругу радиус перпендикулярно хорде делит хорду и дугу пополам.
    По кругу радиус делится пополам хорда перпендикулярна хорде.

    В окружности серединный перпендикуляр хорды проходит через центр круга.

    Если прямая касается окружности, он перпендикулярен радиусу, проведенному до точки касания.
    Аккорды

    В круге, или равных кругах, конгруэнтных аккорды равноудалены от центра.(и наоборот)

    По кругу или равным кругам, конгруэнтные хорды имеют конгруэнтные дуги. (и наоборот 0
    По кругу параллельными хордами пересечение конгруэнтных дуг
    В том же круге или конгруэнтно окружности, совпадающие центральные углы имеют совпадающие хорды (и наоборот)
    Касательные Касательные сегменты к окружности от одинаковые внешние точки совпадают
    Дуги В том же круге, или конгруэнтно окружности, совпадающие центральные углы имеют совпадающие дуги.(а также наоборот)
    Уголки Угол, вписанный в полукруг — это прямой угол.

    В круг вписаны углы, которые пересекают одинаковые дуги конгруэнтны.

    Противоположные углы в циклическом четырехугольник дополнительный
    По кругу или равным кругам, конгруэнтные центральные углы имеют конгруэнтные дуги.

    теорем | Евклидова геометрия

    Теорема — это гипотеза (предложение), истинность которой может быть доказана с помощью общепринятых математических операций и аргументов.Доказательство — это процесс доказательства правильности теоремы.

    Теорема, обратная теореме, противоположна гипотезе и заключению. Например, с учетом теоремы «если \ (A \), то \ (B \)», обратное будет «если \ (B \), то \ (A \)».

    Заявление:

    Если линия проведена от центра окружности до середины хорды, то эта линия перпендикулярна хорде.

    (Причина: линия от центра до средней точки \ (\ perp \))

    Окружность с центром \ (O \) и прямой \ (OP \) до средней точки \ (P \) на хорде \ (AB \).

    \ (OP \ perp AB \)

    Draw \ (OA \) и \ (OB \).

    В \ (\ треугольник OPA \) и в \ (\ треугольник OPB \), \ [\ begin {array} {rll} OA & = OB & \ text {(равные радиусы)} \\ AP & = PB & \ text {(задано)} \\ OP & = OP & \ text {(общая сторона)} \\ \ следовательно \ треугольник OPA & \ эквив \ треугольник OPB & \ text {(SSS)} \\ \ поэтому O \ hat {P} A & = O \ hat {P} B & \\ \ text {и} O \ hat {P} A + O \ hat {P} B & = \ text {180} \ text {°} & ( \ angle \ text {on str. line}) \\ \ поэтому O \ hat {P} A = O \ hat {P} B & = \ text {90} \ text {°} & \ end {array} \] Следовательно, \ (OP \ perp AB \).

    Теорема: серединный перпендикуляр хорды проходит через центр окружности

    Утверждение:

    Если провести серединный перпендикуляр хорды, то линия пройдет через центр окружности.

    (Причина: \ (\ perp \) биссектриса через центр)

    Окружность со средней точкой \ (P \) на хорде \ (AB \).

    Линия \ (QP \) нарисована так, что \ (Q \ hat {P} A = Q \ hat {P} B = \ text {90} \ text {°} \).

    Линия \ (RP \) нарисована так, что \ (R \ hat {P} A = R \ hat {P} B = \ text {90} \ text {°} \).

    Центр окружности \ (O \) лежит на прямой \ (PR \)

    Нарисуйте линии \ (QA \) и \ (QB \).

    Нарисуйте линии \ (RA \) и \ (RB \).

    В \ (\ треугольник QPA \) и в \ (\ треугольник QPB \), \ [\ begin {array} {rll} AP & = PB & \ text {(given)} \\ QP & = QP & \ текст {(общая сторона)} \\ Q \ hat {P} A = Q \ hat {P} B & = \ text {90} \ text {°} & \ text {(задано)} \\ \ следовательно \ треугольник QPA & \ эквив \ треугольник QPB & \ text {(SAS)} \\ \ поэтому QA & = QB & \ end {array} \]

    Аналогичным образом можно показать, что в \ (\ треугольник RPA \) и в \ (\ треугольник RPB \), \ (RA = RB \). 2 & = 9 & \\ x & = 3 & \ end {array} \]

    Запишите окончательный ответ

    \ (x = 3 \) единиц.

    Дополнительное исследование

    Углы, образованные дугой в центре и окружности круга

    1. Измерить углы \ (x \) и \ (y \) на каждом из следующих графиков:

    2. Заполните table:

    3. Используйте свои результаты, чтобы сделать предположение о взаимосвязи между углами, образованными дугой в центре круга, и углами на окружности круга.
    4. Теперь нарисуйте три аналогичные диаграммы и измерьте углы, чтобы проверить свою гипотезу.

    Теорема: угол в центре круга в два раза больше угла на окружности

    Заявление:

    Если дуга образует угол в центре окружности и на окружности, тогда угол в центре в два раза больше угла на окружности.

    (Причина: \ (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в описании.} \))

    Окружность с центром \ (O \), дуга \ (AB \), входящая в \ (A \ hat {O} B \) в центре круга и \ (A \ hat {P} B \) по окружности.

    \ (A \ hat {O} B = 2A \ hat {P} B \)

    Draw \ (PO \) расширен до \ (Q \) и пусть \ (A \ hat {O} Q = \ hat {O} _1 \) и \ (B \ hat {O} Q = \ hat {O} _2 \).

    \ [\ begin {array} {rll} \ hat {O} _1 & = A \ hat {P} O + P \ hat {A} O & (\ text {ext.} \ Angle \ треугольник = \ text { sum int. opp.} \ angle \ text {s}) \\ \ text {и} A \ hat {P} O & = P \ hat {A} O & (\ text {равные радиусы. равнобедренный сустав} \ треугольник APO ) \\ \ поэтому \ hat {O} _1 & = A \ hat {P} O + A \ hat {P} O & \\ \ hat {O} _1 & = 2A \ hat {P} O & \ end {array} \]

    Аналогичным образом мы также можем показать, что \ (\ hat {O} _2 = 2B \ hat {P} O \).

    Для первых двух диаграмм, показанных выше, мы имеем следующее: \ [\ begin {array} {rll} A \ hat {O} B & = \ hat {O} _1 + \ hat {O} _2 & \\ & = 2A \ hat {P} O + 2B \ hat {P} O & \\ & = 2 (A \ hat {P} O + B \ hat {P} O) & \\ \, следовательно, A \ hat {O} B & = 2 (A \ hat {P} B) & \ end {array} \] И для последней диаграммы: \ [\ begin {array} {rll} A \ hat {O} B & = \ hat {O} _2 — \ hat {O} _1 & \\ & = 2B \ hat {P} O — 2A \ hat {P} O & \\ & = 2 (B \ hat {P} O — A \ hat {P} O ) & \\ \ поэтому A \ hat {O} B & = 2 (A \ hat {P} B) & \ end {array} \]

    Пример

    Вопрос

    Учитывая \ (HK \), диаметр окружности, проходящей через центр \ (O \).

    Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы и стороны на диаграмме.

    Решите относительно \ (a \)

    In \ (\ треугольник HJK \): \ [\ begin {array} { rll} H \ hat {O} K & = \ text {180} \ text {°} & (\ angle \ text {on str. line)} \\ & = 2a & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {в окружности}) \\ \ поэтому 2a & = \ text {180} \ text {°} & \\ a & = \ cfrac {\ text {180} \ text {°}} {2 } & \\ & = \ text {90} \ text {°} & \ end {array} \]

    Заключение

    Диаметр круга образует прямой угол на окружности (углы в полукруге).

    Дополнительное исследование

    Подложенные углы в том же сегменте окружности

    1. Измерить углы \ (a \), \ (b \), \ (c \), \ (d \) и \ (e \) на диаграмме ниже:

    2. Выберите любые две точки на окружности круга и пометьте их \ (A \) и \ (B \).

    3. Нарисуйте \ (AP \) и \ (BP \) и измерьте \ (A \ hat {P} B \).

    4. Нарисуйте \ (AQ \) и \ (BQ \) и измерьте \ (A \ hat {Q} B \).

    5. Что вы наблюдаете? Сделайте предположение об этих типах углов.

    Теорема: обращенные углы в одном и том же сегменте круга равны

    Утверждение:

    Если углы, образуемые хордой круга, находятся на одной стороне хорды, то углы равны.

    (Причина: \ (\ angle \) s в том же сегменте.)

    Окружность с центром \ (O \) и точками \ (P \) и \ (Q \) на окружности круга. Дуга \ (AB \) включает \ (A \ hat {P} B \) и \ (A \ hat {Q} B \) в один и тот же сегмент круга.

    \ (A \ hat {P} B = A \ hat {Q} B \)

    \ [\ begin {array} {rll} A \ hat {O} B & = 2 A \ hat {P } B & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в окружности.}) \\ A \ hat {O} B & = 2 A \ hat {Q} B & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {at окруж.}) \\ \, следовательно, 2 A \ hat {P} B & = 2 A \ hat {Q} B & \\ A \ hat {P} B & = A \ hat {Q} B & \ end {array} \]

    Равные дуги соединяют равные углы

    Из приведенной выше теоремы мы можем вывести, что если углы на окружности окружности стянуты дугами одинаковой длины, то углы равны. На рисунке ниже обратите внимание, что если бы мы переместили две хорды одинаковой длины ближе друг к другу, пока они не перекрываются, у нас была бы такая же ситуация, как и с теоремой выше.Это показывает, что углы, образуемые дугами одинаковой длины, также равны.

    Теорема: обратное: конциклические точки

    Утверждение:

    Если отрезок прямой имеет равные углы в двух других точках с той же стороны от отрезка прямой, то эти четыре точки находятся на пересечении (лежат на окружности).

    Отрезок прямой \ (AB \), образующий равные углы в точках \ (P \) и \ (Q \) на одной стороне отрезка \ (AB \).

    \ (A \), \ (B \), \ (P \) и \ (Q \) лежат на окружности.

    Доказательство противоречием:

    Точки на окружности круга: мы знаем, что есть только два возможных варианта относительно данной точки — она ​​либо лежит на окружности, либо нет.

    Предположим, что точка \ (P \) не лежит на окружности.

    Мы рисуем круг, который разрезает \ (AP \) в \ (R \) и проходит через \ (A \), \ (B \) и \ (Q \). \ [\ Begin {array} {rll} A \ hat {Q} B & = A \ hat {R} B & (\ angle \ text {s в том же сегменте}) \\ \ text {but} A \ hat {Q} B & = A \ hat { P} B & (\ text {given}) \\ \ поэтому A \ hat {R} B & = A \ hat {P} B & \\ \ text {but} A \ hat {R} B & = A \ hat {P} B + R \ hat {B} P & (\ text {ext.} \ угол \ треугольник = \ текст {сумма целых. opp.}) \\ \ поэтому R \ hat {B} P & = \ text {0} \ text {°} & \ end {array} \] Следовательно, предположение, что круг не проходит через \ (P \) должно быть ложным.

    Мы можем заключить, что \ (A \), \ (B \), \ (Q \) и \ (P \) лежат на окружности (\ (A \), \ (B \), \ (Q \ ) и \ (P \) параллельны).

    Пример

    Вопрос

    Учитывая \ (FH \ parallel EI \) и \ (E \ hat {I} F = \ text {15} \ text {°} \), определите значение \ (b \) .

    Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме.

    Решите относительно \ (b \)

    \ [\ begin {array} {rll} H \ hat {F} I & = \ text {15} \ text {°} & (\ text {alt.} \ angle, FH \ parallel EI) \\ \ text {and} b & = H \ hat {F} I & (\ angle \ text {s in same seg.}) \\ \ поэтому b & = \ text { 15} \ text {°} & \ end {array} \]

    Циклические четырехугольники

    Циклические четырехугольники — это четырехугольники, все четыре вершины которых лежат на окружности окружности (конциклической).

    Дополнительное исследование

    Циклические четырехугольники

    Рассмотрим схемы, приведенные ниже:

    1. Заполните следующее:

      \ (ABCD \) — круговой четырехугольник, потому что \ (\ ldots \ ldots \) ​​

    2. Заполните таблица:

      Круг \ (\ text {1} \) Круг \ (\ text {2} \) Круг \ (\ text {3} \)
      \ (\ hat {A} = \)
      \ (\ hat {B} = \)
      \ (\ hat {C} = \)
      \ (\ hat {D} = \)
      \ (\ hat {A} + \ hat {C} = \)
      \ (\ hat {B} + \ hat {D} = \)
    3. 900 06 Используйте свои результаты, чтобы сделать предположение о связи между углами вписанных четырехугольников.

    Теорема: противоположные углы циклического четырехугольника

    Утверждение:

    Противоположные углы циклического четырехугольника являются дополнительными.

    (Причина: циклический четырехугольник противоположной \ (\ angle \).)

    Окружность с центром \ (O \) с точками \ (A, B, P \) и \ (Q \) на окружности так, что \ (ABPQ \) — вписанный четырехугольник.

    \ (A \ hat {B} P + A \ hat {Q} P = \ text {180} \ text {°} \) и \ (Q \ hat {A} B + Q \ hat {P } B = \ text {180} \ text {°} \)

    Нарисуйте \ (AO \) и \ (OP \).Обозначьте \ (\ hat {O} _1 \) и \ (\ hat {O} _2 \). \ [\ begin {array} {rll} \ hat {O} _1 & = 2A \ hat {B} P & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в описании.}) \\ \ шляпа {O} _2 & = 2A \ шляпа {Q} P & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в окружности}) \\ \ text {и} \ hat {O} _1 + \ hat {O} _2 & = \ text {360} \ text {°} & (\ angle \ text {s вокруг точки}) \\ \ поэтому 2A \ hat {B} P + 2A \ hat {Q} P & = \ text {360} \ text {°} & \\ A \ hat {B} P + A \ hat {Q} P & = \ text {180} \ text {°} & \ end {array} \] Точно так же мы можем показать, что \ (Q \ hat {A} B + Q \ hat {P} B = \ text {180} \ text {°} \).

    Converse: внутренние противоположные углы четырехугольника

    Если внутренние противоположные углы четырехугольника являются дополнительными, то четырехугольник является вписанным.

    Внешний угол циклического четырехугольника

    Если четырехугольник является циклическим, то внешний угол равен внутреннему противоположному углу.

    Пример

    Вопрос

    Дана окружность с центром \ (O \) и вписанным четырехугольником \ (PQRS \).\ (SQ \) нарисован и \ (S \ hat {P} Q = \ text {34} \ text {°} \). Определите значения \ (a \), \ (b \) и \ (c \).

    Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме.

    Решите относительно \ (b \)

    \ [\ begin {array} {rll} S \ hat {P} Q + c & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {opp.} \ angle \ text {s cyclic quad supp.}) \\ \ поэтому c & = \ text {180} \ text {°} — \ text {34} \ text {°} & \\ & = \ text {146} \ text {°} & \ end {array} \] \ [\ begin {array} {rll} a & = \ text {90 } \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге}) \ end {array} \] В \ (\ треугольник PSQ \): \ [\ begin {array} {rll} a + b + \ text {34} \ text {°} & = \ text {180} \ text {°} & (\ angle \ text {сумма} \ треугольник) \\ \ поэтому b & = \ text {180} \ text {°} — \ text {90} \ text {°} — \ text {34} \ text {°} & \\ & = \ text {56} \ text {°} & \ end {array} \]

    Методы для Доказательство того, что четырехугольник циклический

    Есть три способа доказать, что четырехугольник является вписанным четырехугольником:

    Пример

    Вопрос

    Докажите, что \ (ABDE \) — вписанный четырехугольник.

    Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме.

    Докажите, что \ (ABDE \) является циклическим четырехугольником

    \ [\ begin {array} {rll} D \ hat {B } C & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге}) \\ \ text {и} \ hat {E} & = \ text {90} \ text {°} & (\ text {given}) \\ \ поэтому D \ hat {B} C & = \ hat {E} & \\ \ поэтому ABDE \ text {является циклическим} & \ text {четырехугольником} & \ text {( ext. \ @ \ (\ angle \) равно int.\ @ opp. \ @ \ (\ angle \))} \ end {array} \]

    Касательная линия к окружности

    Касательная — это линия, которая касается окружности только в одном месте. Радиус круга перпендикулярен касательной в точке контакта.

    Теорема: две касательные, проведенные из одной точки вне круга

    Утверждение:

    Если две касательные проводятся из одной точки вне круга, то они равны по длине.

    (Причина: касательные от одной точки равны)

    Окружность с центром \ (O \) и касательными \ (PA \) и \ (PB \), где \ (A \) и \ (B \) — соответствующие точки соприкосновения двух линий.

    В \ (\ треугольник AOP \) и \ (\ треугольник BOP \), \ [\ begin {array} {rll} O \ hat {A} P = O \ hat {B} P & = \ text {90} \ text {°} & (\ text {tangent} \ perp \ text {radius}) \\ AO & = BO & (\ text {равные радиусы}) \\ OP & = OP & (\ text {common сторона}) \\ \ следовательно \ треугольник AOP & \ Equiv \ треугольник BOP & (\ text {RHS}) \\ \ следовательно AP & = BP & \ end {array} \]

    Пример

    Вопрос

    В диаграмма ниже \ (AE = \ text {5} \ text {cm} \), \ (AC = \ text {8} \ text {cm} \) и \ (CE = \ text {9} \ text {cm} \).Определите значения \ (a \), \ (b \) и \ (c \).

    Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме.

    Решите относительно \ (a \), \ (b \) и \ (c \)

    \ [\ begin {array} {rll} AB = AF & = a & (\ text {касательные от} A) \\ EF = ED & = c & (\ text {касательные от} E) \\ CB = CD & = b & (\ text {касательные от} C) \\ \, следовательно, AE = a + c & = 5 & \\ \ text {и} AC = a + b & = 8 & \\ \ text {и} CE = b + c & = 9 & \ end { array} \]

    Решите для неизвестных переменных, используя одновременные уравнения

    \ [\ begin {array} {rll} a + c & = 5 & \ ldots (1) \\ a + b & = 8 & \ ldots ( 2) \\ b + c & = 9 & \ ldots (3) \ end {array} \]

    Вычтите уравнение \ ((1) \) из уравнения \ ((2) \), а затем подставьте в уравнение \ ( (3) \):

    \ [\ begin {array} {rll} (2) — (1) \ quad bc & = 8-5 & \\ & = 3 & \\ \, следовательно, b & = c + 3 & \\ \ text {Заменить в} (3) \ quad c + 3 + c & = 9 & \\ 2c & = 6 & \\ c & = 3 & \\ \, следовательно, a & = 2 & \\ \ text {and} b & = 6 & \ end {array} \]

    Вариант al Investigation

    Теорема о касательной хорде

    Рассмотрим диаграммы, приведенные ниже:

    1. Измерьте следующие углы с помощью транспортира и заполните таблицу:

      Диаграмма \ (\ text {1} \) Диаграмма \ (\ text {2} \) Диаграмма \ (\ text {3} \)
      \ (A \ hat {B} C = \)
      \ (\ hat {D} = \)
      \ (\ hat {E} = \)
    2. Используйте свои результаты, чтобы выполнить следующее: угол между касательной к окружности и хордой равен \ (\ ldots \ ldots \) ​​к углу в альтернативном сегменте.

    Теорема: Теорема о касательной и хорде

    Утверждение:

    Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной в точке контакта, равен углу, который хорда образует в альтернативном сегменте.

    (Причина: теорема о хорде)

    Окружность с центром \ (O \) и касательной \ (SR \), касающаяся окружности в точке \ (B \). Хорда \ (AB \) подпирает \ (\ hat {P} _1 \) и \ (\ hat {Q} _1 \).

    1. \ (A \ hat {B} R = A \ hat {P} B \)
    2. \ (A \ hat {B} S = A \ hat {Q} B \)

    Диаметр вытяжки \ (BT \) и присоедините \ (T \) к \ (A \).

    Пусть \ (A \ hat {T} B = T_1 \). \ [\ Begin {array} {rll} A \ hat {B} S + A \ hat {B} T & = \ text {90} \ text {°} & (\ text {tangent} \ perp \ text {radius}) \\ B \ hat {A} T & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге }) \\ \ поэтому A \ hat {B} T + T_1 & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {сумма} \ треугольник BAT) \\ \, следовательно, A \ hat {B } S & = T_1 & \\ \ text {but} Q_1 & = T_1 & (\ angle \ text {s в том же сегменте}) \\ \ поэтому Q_1 & = A \ hat {B} S & \ end {array} \] \ [\ begin {array} {rll} A \ hat {B} S + A \ hat {B} R & = \ text {180} \ text {°} & (\ angle \ text {s на ул.line}) \\ \ hat {Q} _1 + \ hat {P} _1 & = \ text {180} \ text {°} & (\ text {opp.} \ angle \ text {s cyclic quad. Supp.} ) \\ \ поэтому A \ hat {B} S + A \ hat {B} R & = Q_1 + P_1 & \\ \ text {и} A \ hat {B} S & = Q_1 & \\ \, следовательно, A \ hat {B} R & = P_1 & \ end {array} \]

    Пример

    Вопрос

    Определите значения \ (h \) и \ (s \).

    Используйте теоремы и данную информацию, чтобы найти все равные углы на диаграмме.

    Решите относительно \ (h \)

    \ [\ begin {array} {rll} O \ hat {Q} S & = S \ hat {R} Q & (\ text {теорема о касательной хорде}) \\ h + \ text {20} \ text {°} & = 4h — \ text {70} \ text {°} & \\ \ text {90} \ text {°} & = 3h & \\ \, следовательно, h & = \ text {30} \ text {°} & \ end {array} \]

    Решить относительно \ (s \)

    \ [ \ begin {array} {rll} P \ hat {Q} R & = Q \ hat {S} R & (\ text {теорема о касательной хорде}) \\ s & = 4h & \\ & = 4 (\ text { 30} \ text {°}) & \\ & = \ text {120} \ text {°} & \ end {array} \]

    Converse: Теорема о касательной-хорде

    Если линия проведена через конец точка хорды образует угол, равный углу, образуемому хордой в альтернативном сегменте, тогда прямая является касательной к окружности.

    (Причина: \ (\ угол \) между линией и хордой \ (= \ угол \) в альтернативном сегменте)

    Пример

    Вопрос

    \ (BD \) является касательной к окружности с центром \ (O \), с \ (BO \ perp AD \).

    Докажите, что:

    1. \ (CFOE \) — циклический четырехугольник

    2. \ (FB = BC \)

    3. \ (\ angle A \ hat {O} C = 2 B \ hat { F} C \)

    4. Будет ли \ (DC \) ​​касательной к окружности, проходящей через \ (C, F, O \) и \ (E \)? Мотивируйте свой ответ.

    Доказательство \ (CFOE \) является циклическим четырехугольником, показывая, что противоположные углы являются дополнительными

    \ [\ begin {array} {rll} BO & \ perp OD & (\ text {given}) \\ \ поэтому F \ hat {O} E & = \ text {90} \ text {°} & \\ F \ hat {C} E & = \ text {90} \ text {°} & (\ angle \ text {в полукруге }) \\ \ поэтому CFOE & \ text {является циклическим четырехугольником.} & (\ text {opp.} \ angle \ text {s suppl.}) \ end {array} \]

    Prove \ (BFC \) является равнобедренным треугольником

    Чтобы показать, что \ (FB = BC \), мы сначала докажем, что \ (\ треугольник BFC \) является равнобедренным треугольником, показав, что \ (B \ hat {F} C = B \ hat {C} F \).

    \ [\ begin {array} {rll} B \ hat {C} F & = C \ hat {E} O & (\ text {tangent-chord}) \\ C \ hat {E} O & = B \ hat {F} C & (\ text {ext.} \ angle \ text {cyclic quad.} CFOE) \\ \ поэтому B \ hat {F} C & = B \ hat {C} F \\ \, следовательно, FB & = BC & (\ треугольник BFC \ text {isosceles}) \ end {array} \]

    Доказать \ (A \ hat {O} C = 2 B \ hat {F} C \)

    \ [\ begin {array} {rll} A \ hat {O} C & = 2 A \ hat {E} C & (\ angle \ text {at center} = 2 \ angle \ text {at окружность}) \\ \ text { и} A \ hat {E} C & = B \ hat {F} C & (\ text {ext.} \ angle \ text {циклический четырехугольник. } CFOE) \\ \ поэтому A \ hat {O} C & = 2 B \ hat {F} C \ end {array} \]

    Определите, является ли \ (DC \) ​​касательной к окружности через \ (C \), \ (F \), \ (O \) и \ (E \)

    Доказательство от противного.

    Предположим, что \ (DC \) ​​касается окружности, проходящей через точки \ (C \), \ (F \), \ (O \) и \ (E \): \ [\ begin { array} {rll} \ поэтому D \ hat {C} E = C \ hat {O} E \ quad (\ text {tangent-chord}) \ end {array} \] И используя круг с центром \ (O \ ) и касательной \ (BD \) имеем: \ [\ begin {array} {rll} D \ hat {C} E & = C \ hat {A} E & (\ text {tangent-chord}) \\ \ text {but} C \ hat {A} E & = \ cfrac {1} {2} C \ hat {O} E & (\ angle \ text {в центре} = 2 \ angle \ text {в окружности.}) \\ \ поэтому D \ hat {C} E & \ ne C \ hat {O} E & \ end {array} \] Следовательно, наше предположение неверно, и мы можем заключить, что \ (DC \) ​​не является касательная к окружности, проходящая через точки \ (C \), \ (F \), \ (O \) и \ (E \).

    Пример

    Вопрос

    \ (FD \) нарисован параллельно касательной \ (CB \)

    Докажите, что:

    1. \ (FADE \) — циклический четырехугольник

    2. \ (F \ hat {E} A = \ hat {B} \)

    Доказательство \ (FADE \) — это циклический четырехугольник с углами в том же сегменте

    \ [\ begin {array} {rll} F \ hat {D } C & = D \ hat {C} B & (\ text {alt.

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *