Определите какие высказывания истинные: Урок «Высказывания. Истинные и ложные высказывания»

Урок «Высказывания. Истинные и ложные высказывания»

Тема: Высказывания. Истинные и ложные высказывания.

Класс: 4

Цель:

учебная: ознакомить обучающихся с высказываниями и логическими структурами;

развивающая: развивать навыки работы за компьютером, с помощью компьютерного тренажера и манипулятора «мышь»;

воспитательная: воспитывать чувство ответственности за порученное дело, исполнительности, аккуратности, добросовестности, чувства долга.

Тип урока: усвоение и закрепление новых знаний

Методы и приемы: слово учителя, беседа, работа за компьютерами.

ХОД УРОКА

І. ОРГАНИЗАЦИЯ КЛАССА

Приветствие. Проверить присутствие учеников, отметить отсутствующих. Проверить готовность учеников к уроку (наличие рабочих тетрадей, шариковых ручек). Проверить домашнее задание.

ІІ. СООБЩЕНИЕ ТЕМЫ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧ УРОКА

Тема сегодняшнего нашего урока: Высказывания. Истинные и ложные высказывания.

Задачи:

Образовательные: изучить логические структуры;

Развивающие: развивать познавательные интересы, навыки работы с мышью и клавиатурой, самоконтроль, умение конспектировать.

Воспитательные: воспитание упорства, ответственности и настойчивости учащихся; развитие аккуратности, внимательности.

ІІІ. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ, НАВЫКОВ

Беседа:

Каким символом обозначается вставка текста в Paint?

Возможно ли выбрать цвет вставленного текста?

Какие вы знаете примитивы в Paint?

Возможно ли выбрать размер вставленного текста?

Как создать новый рисунок в Paint?

ІV. ВОСПРИЯТИЕ И УСВОЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Информатика имеет дело с предложениями. Но только мы будем говорить не о вопросительных или восклицательных предложениях. Нас будут интересовать повествовательные предложения. И такие предложения мы будем называть высказываниями. Например, «Сегодня – первый день зимы», «Идет дождь».

ВЫСКАЗЫВАНИЕ — предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить, как истинное или ложное. 

Высказывания может быть истинным (1) или ложным (0). 

Истинное – то, что соответствует действительности.

Ложное — то. что действительности не соответствует.

Примеры высказываний:

После объяснения материала, обучающиеся выполняют задания на карточках. ПРИЛОЖЕНИЕ А.

V. ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

Просмотр видеоролика (ПРИЛОЖЕНИЕ Б). Обучающиеся смотрят как выполняет преподаватель и повторяют.

VI. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

 

Задание:

Обведи истинное утверждение красным, а ложное – синим цветом.

Есть трубка

Есть диск с цифрами

Носят в сумке

Аппарат для разговора

VII. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ МАТЕРИАЛА

Беседа:

Высказывание — это?

Приведите пример истинного высказывания?

Ложное высказывание — это?

VIII. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ И ИНСТРУКТАЖ ЕГО ВЫПОЛНЕНИЯ

Конспект учить, записать в тетради 5 истинных и 5 ложных высказываний.

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А

1. Определите, какие высказывания истинные, а какие – ложные.

Если в городе идет дождь, то асфальт мокрый. Истинное

Люди всегда говорят только правду.

Ложное

Все дети любят пить молоко. Ложное

Если у ребенка ангина, то у него болит горло. Истинное

Слоны машут ушами, чтобы взлететь. Ложное

У колобка есть голова и хвост. Ложное

У лягушки нет рогов. Истинное

 

2. Дополните высказывания словами «все», «некоторые» так, чтобы получились истинные высказывания.

НЕКОТОРЫЕ дети знают математику на пять.

НЕКОТОРЫЕ фигуры треугольники.

ВСЕ квадраты четырёхугольники;

ВСЕ отрезки ограничены с двух сторон;

НЕКОТОРЫЕ числа складываются

НЕКОТОРЫЕ числа двузначные

ПРИЛОЖЕНИЕ А
DOCX / 73.03 Кб

Урок 3 — Информатика 7 класс г Рогачева

Логика высказываний Теоретический материал       Высказывание — повествовательное предложение (утверждение), о котором в настоящее время можно сказать, истинно оно или ложно.     Истинное высказывание — высказывание, в котором заключена правдивая информация.     Ложное высказывание — высказывание, в котором заключена неверная информация.     Составные высказывания — высказывания, которые состоят из простых высказываний, соединенных друг с другом логическими операциями И, ИЛИ, НЕ. Пример. Земля является планетой Солнечной системы (истинно)                  Все дети — ученики (ложно) Логическая операция НЕ       Логическая операция НЕ (отрицаниеили инверсия) меняет значение высказывания на противоположное: истинно на ложно, а ложно на истинно.       Логическое отрицание получается из высказывания путем добавления частицы «не» к сказуемому или с использованием оборота «неверно, что…»       Если высказывание содержит слова «все», «всякий», «любой», то отрицание такого высказывания строится с использованием слов «некоторые», «хотя бы один». И наоборот, для высказываний со словами «некоторые», «хотя бы один» отрицание будет содержать слова «все», «всякий», «любой». Для  записи логической операции НЕ можно использовать следующие выражения : НЕ А, Not A, ¬A,  ~A.       Высказывание и его отрицание никогда не могут быть истинными или ложными одновременно. Таблица истинности:  А  Не А  И Л   Л И  Видео Логика высказываний Практическая часть Задание 1. Выберите предложения, которые являются высказываниями: У слона есть хобот. Пейте томатный сок! Париж — столица Франции. Все птицы улетают на юг. Вперед, гардемарины! Задание 2. Определите, истинными (И) или ложными (Л) являются высказывания с логической операцией НЕ. Карась — не рыба Витебск не является столицей Беларуси Принтер не предназначен для печати. Задание 3. Вставьте слова «все», «не все» так, чтобы высказывания стали истинными. ……….. дети — школьники. ……….. приборы — компьютеры. ……….. программы — игры. ……….. числа простые. Электронная рабочая тетрадь   Проверка знаний

Урок математики «Высказывания истинные и ложные», 4 класс

Урок математики. 4 класс.

средняя школа № 20

г. Белгород

учитель Липич Светлана Николаевна

Тема: «Высказывания истинные и ложные»

Цели:1. познакомить учащихся понятиями истинности и ложности высказываний.

2. развивать логические способности учащихся, мышление, память.

3. воспитывать интерес к математике.

Задачи: 1. дать понятие истинного и ложного высказывания, их обозначения в математике.

2. продолжить отработку вычислительных навыков

3. закрепить знания об объёме с помощью решения задач.

4. повторить теоретический материал посредством тестирования.

Ход урока.

Организационный этап. Приветствие гостей, учителя.

Психоэмоциональный настрой на урок:

За окном трещит мороз –

Греем уши, греем нос.

Разомнём-ка пальчики,

девочки и мальчики!

Чтобы дольше не устать,

Много нового узнать!

— Ну, что же, сядем удобно и после массажа приступим к уроку. Сели правильно, проверили посадку, взяли ручку, записываем число, слова «Классная работа». При написании обратите внимание на выделенные орфограммы.

12

123

-Обратите внимание на написание цифры 2.Эта цифра у многих вызывает сложности в написании.

-Какой разряд она обозначает в обоих числах? (ед. и дес.)

— Как сделать, чтобы она обозначала сотни? \Первое число добавить 00, второе- 0\

III. Проверка домашнего задания.

Тестовая работа.

• Сегодня проверку домашнего задания мы проведём с помощью теста. В нужных клеточках вы должны поставить значки: если вы согласны – строчка «да», если не согласны – строчка «нет»

Задания:

1. Чтобы найти площадь, надо длину сложить с шириной и полученную сумму умножить на 2

2. Чтобы найти объём, надо длину умножить на ширину и умножить на высоту

3. Куб – это параллелепипед, у которого все рёбра равны.

4. Объём измеряется квадратными см, дм, м

5. Кубическим сантиметром называют объём куба с длиной ребра 1 см.

Проверка:

рисунок – ключ на доске

IV. Сообщение темы урока.

• Работая над тестом, вы пользовались словами «да», «нет»

• Вам понятен их смысл? \да\

• Их употребление в речи не вызывает у вас трудностей? \нет\

• В математике мы тоже будем использовать понятия, чтобы определить верно высказывание или нет.

• А сейчас мы мысленно перенесёмся в нашу виртуальную научно- исследовательскую лабораторию, которая определит тему нашего урока, заодно повторив изученные приемы умножения многозначных чисел.

• 3 отделения начнут параллельную работу

3 ряд— отделение – решает примеры у доски, записывает буквы в таблицу

260 х 30 л

4500 х 20 о

123 х 40 ж

140 х 600 н

220 х 4000 ы

3130х30 е

последние 2 человека – 1 консультант (проверяет правильность), 2 консультант заполняет таблицу с буквами.

2 ряд работает самостоятельно с перфокартами

( на перфокарте – ключ – ответ – подвёрнутые края)

4000 : 20 6000 : 300

120 х 80 130 х 20

40 х 90 40 х 800

3600 : 10 45000 : 10

860 х 1000 340 х 1000

24000 : 6 360000 : 6

тот, кто первым проверит, тот берет карточку с фразой «Истина дороже золота», думает как её понимать.

1 ряд работает с учителем

-Вам нужно показать знаками действия, при которых данные выражения будут правильными.

20…10 = 200

450 … 50 = 500

8000 … 1000 = 8

200 … 30 = 6 000

1600 … 300 = 1300

Подберите синоним этому слову /истина/

• Ну. Что же, ваши высказывания были истинными

• Какое слово получилось у третьего ряда? /ложные/

• Какая фраза была у третьего ряда? Как вы её поняли?

Прочитайте тему урока:

V. Этап усвоения новых знаний.

Прочитайте высказывания

В Белгороде протекает 3 реки.

324 < 305

Любой прямоугольник является квадратом.

342 – 2 = 344

— Определите, какие это высказывания, используя слова из темы урока.

Работа с учебником. Правило.

С. 71 – чтение

-Как вы думаете, для чего нужно уметь определить истинность или ложность высказывания?

№ 265 – в тетрадь

-А теперь закрепим, насколько хорошо вы усвоили понятия истинного и ложного высказывания. Немного отдохнем и сменим положение при работе.

VI. Физминутка.

Поскольку недавно у нас проходила олимпиада по краеведению, я включила в задания сведения о Белгороде и области.

Если вы слышите истинное высказывание, вы дважды хлопаете в ладони, если ложное – дважды топаете ногой.

• Белгород построен в 1593 году

• В этом году мы отметили 100-летие со дня рождения святителя Иоасафа.

• Главная площадь Белгорода – Соборная

• Наша школа расположена на улице им. Гагарина

• В январе мы отмечаем День защитника Отечества.

-А какие праздники мы отмечаем?

/Новый год, Рождество, Крещение/

VI. Повторение ранее изученного.

-А на какой праздник в старину на реках делали проруби?

/Крещение./ Как их называли? Почему?

• Можно ли самим делать такие проруби на реке?

• Нет, т. к. на лёд детям выходить нельзя, зимы тёплые, лед тонкий. В некоторых областях до сих пор существует традиция делать в день крещения проруби на реках и окунаться в них. Конечно, делают это закалённые люди. Как их называют? Моржи.

Задача.

В Белгороде тоже есть такие люди. В 2000 году они сделали на Северском Донце прорубь прямоугольной формы длиной 14 м и шириной 7 м. Определите, сколько им понадобилось метров оградительной ленты и какова была площадь поверхности проруби?

— Как найти периметр? Это истинное или ложное высказывание?

— Как найти площадь? Это истинное или ложное высказывание?

Решение у доски.

Р = (14 + 7) х 2 = 42 м

S = 14 х 7 =98 м²

Задача 2.

В северных областях нашей страны зимой проходят необычные конкурсы на лучшую ледяную скульптуру.

Для скульптур привозят заготовки в виде параллелепипеда. В прошлом году в Архангельске для центральной скульптуры Деда Мороза привезли заготовку длиной 6 м, шириной 4 м и высотой 10 м. Каков был объём заготовки?

2 чел. у доски.

Физминутка.

-А вы знаете, что на ослепительный снег и лёд долго смотреть нельзя, т. к. из-за большой отражательной способности снега, сетчатка глаза может получить серьёзный ожог. Горнолыжники используют защитные очки, а мы для своих глаз – особые упражнения, чтобы глаза не уставали.

Разминка «Цветовые кружки»

VII. Применение полученных знаний.

Работа в печатной тетради.

№ – определение истинности и ложности высказываний.

IX. Информация о домашней работе.

1. № 272 – повторение правил нахождения объёма.

творческое: подготовить 1 истинное высказывание и 1 ложное по Белгороду. На доске.

X. Подведение итогов.

-Какова же тема нашего урока?

-Какими бывают высказывания в математике?

-Как на письме обозначим истинность и ложность высказывания?

— Что мы повторили на уроке?

XI. Рефлексия.

А теперь вы получите карточки с высказываниями, у которых вы должны указать их истинность или ложность для каждого из вас и оценить свою работу в уроке.

Проверка: карточки на доске.

V. Определите, являются ли следующие высказывания истинными или ложными. (True/False)

1. Hitler was popular with the German people. 2. The first mass victims were physically and mentally handicapped. 3. Euthanasia and eugenics were put into practice in Germany in the 1920s. 4. There are many decrees that directly link Hitler to the Holocaust. 5. By law all Jews wore yellow stars. 6. 1,400 Berlin Jews were saved by sympathetic Austrians.

 

VI. Прочтите текст еще раз и переведите его на русский/белорусский язык. Найдите в словаре и запишите в рабочую тетрадь незнакомые слова.

 

VII. Письменно ответьте на следующие вопросы:

1. What is the essence of “mercy killing”? How was it carried out in Germany? 2. What was the essence of a “General Plan East”? 3. What were the outcomes of the Wannsee Conference? 4. What was the condition of the Jewish community within Germany?

 

VIII. Выделите в тексте ключевые слова и нарисуйте spidergram.

IX. Составьте план текста. Напишите краткую аннотацию.

 

SECTION II

ТЕКСТЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФИЛОЛОГИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА И ФАКУЛЬТЕТА БЕЛОРУССКОЙ ФИЛОЛОГИИ И КУЛЬТУРОЛОГИИ

TEXT I

Упр. 1. Прочитайте и запомните слова активного словаря текста I:

· connection [k¶`nekòn] n связь, родство · ordinary [`É:dnri] a обыкновенный, заурядный · signature [`signitò¶] n подпись · unclear [Ùn`kli¶] a неясный · provide [pr¶`vaid] v обеспечивать, заготовлять, снабжать · forever [f¶`rev¶] навсегда, постоянно · inherit [in`herit] v наследовать, унаследовать · possession [p¶`zeò¶n] n владение, обладание, одержимость · employ [im`plÉi] v употреблять, применять · sign [sain] n знак, признак · preserve [pri`z¶:v] v сохранить, предохранить · follow [`fÉlou] v следовать · reveal [ri`vi:l] v обнаруживать, открывать · cipher [`saif¶] n шифр · bottom [`bÉt¶m] n нижняя часть · vary [`vε¶ri] v изменять(ся), расходиться · occasional [¶`kei nl] a

случайный, редкий · unique [ju:`ni:k] a бесподобный, единственный в своем роде · unfortunately [Ùn`fÉ:tònitli] к несчастью, к сожалению · aid [eid] v помогать · deciphering [di`saif¶rih] n расшифровка · discover [dis`kÙv¶] v раскры(ва)ть

Упр. 2. Переведите однокоренные слова, обращая внимание на часть речи, и в скобках укажите ее:

1. connect — connection — connected; 2. heir — inherit — inheritance — inherited; 3. vary — various — variety; 4. relate — relative — relation — relatively; 5. sign — signature; 6. employ — employment — unemployed — unemployment — employee.

Упр. 3. Прочитайте и переведите текст. Найдите в словаре значение неизвестных вам слов и запишите их в свою рабочую тетрадь:

TEXT I. HANDWRITING OF COLUMBUS

Columbus used a seven-lettered monogram in connection with his ordinary signature. The significance of these seven letters remains unclear. However, Columbus considered his monogram especially important and provided that his heirs forever employ its form.

“Don Diego, my son, or any other who shall inherit this entail, after inheriting and coming into possession of the same, shall sign with my signature which I now employ which is an X with an S over it and an M with a Roman A over it and over that an S and then a Greek Y with an S over it, preserving the relations of the lines and the punctuation.” The heirs did not follow his instructions and Columbus never revealed the meaning of this cipher.

Only the bottom line varied from its usual Xpo FERENS, a half Greek and a half Latin form of Columbus (“bearer for Christ”) to the occasional, “el Admirante” meaning the “Admiral”, as shown above. A number of documents and letters bearing Columbus’s unique signature have been preserved.

The Admiral generally marked a cross at the head of any piece of paper on which he was to write. According to his son, Ferdinand, he began all his writings in Latin with “Jesus cum Maria sit nobis in via” which means “May Jesus and Mary be with us in our way.” Unfortunately, these words do not aid in deciphering his monogram. Although there has been much speculation, it is unlikely that any accurate meaning will be discovered.

 

Упр. 4. Определите, соответствуют или не соответствуют следующие утверждения содержанию текста:

1. Columbus used a seventeen-lettered monogram. 2. Columbus considered his monogram significant. 3. Columbus marked a line at the head of any piece of paper. 4. Only the bottom line varied from its usual Xpo FERENS, a half Roman and a half Latin form of Columbus. 5. «el Admirante» means «admiration».

TEXT II

Упр. 1. Прочитайте слова активного словаря текста II. Запомните их:

· lay [`lei] баллада · warfare [`wÉ:fe¶] война · mute [mju:t] приглушать · appeal [¶`pi:l] привлекательность · dim [dim] по(тускнеть), за(туманиться) · brilliant [`brilj¶nt] блестящий, сверкающий · slackening [slækeniŋ] слабость, замедление · actually [`æktju¶li] действительно · continue [k¶n`tinju:] продолжать · well-known [`wel `nоun] известный · acquire [¶`kwai¶] приобретать · previously [`pri:vj¶sli] прежде · a scribe [skraib] писец, переписчик · include [in`klu:d] содержать, включать · secular [`sekjul¶] светский, мирской · commision [k¶`miò¶n] комиссия · writing [`raitiŋ] писание, сочинение, произведение · closed down [`kl¶uz `daun] закрытие · parish [`pæriò] погибать · invaluable [in`vælju¶bl] неоценимый · vague [veig] неясный, неопределенный, смутный · notion [`nouò¶n] представление, понятие · jeweler [`d u:¶l¶] ювелир · therefore [ e¶fÉ:] поэтому, следовательно · refuse [ri`fju:z] отказываться · marvelous [`ma:v¶l¶s] изумительный, удивительный · belong [bi`lÉŋ] принадлежать, относиться · voice [vÉis] голос · widespread [`waidspred] широко распространенный · subject [sLb`d ekt] подчинить, подвергнуть · doubt [`daut] сомнение · although [É:l` ou] хотя · testimonial [testi`monj¶l] рекомендательное письмо · authentic [É:`qentik] подлинный, аутентичный · authenticity [,É:qen`tisiti] подлинность, достоверность, аутентичность · preserve [pri`z¶:v] сохранять · investigate [in`vestigeit] исследовать · hardly possible [ha:dli `pÉs¶bl] едва ли возможно · obscure [¶b`skju¶] неясный, неизвестный, непонятный · clarify [`klærifai] выяснять, делать ясным · reference [`refr¶ns] ссылка, упоминание · actual [`æktju¶l] действительный · insulate [`insjuleit] изолировать, отделять, обособлять · fight (fought) [fait] воевать, бороться · for the sake of [seik] ради чего-либо · purely personal [`pju¶li `p¶:snl] чисто личный · claim [kleim] требование, претензия, иск · cursory [`k¶:s¶ri] беглый, поверхностный · enumeration [i`nju:m¶reiòn] перечисление · achievement [¶`tòi:vm¶nt] достижение · evidence [`evid¶ns] доказательство, улика · contemporary [k¶n`temp¶ri] современный, современник · applied arts [¶`plaid] прикладные искусства · pride [praid] гордость · wealth [welq] богатство, изобилие · destroy [dis`trÉi] уничтожать, истреблять, разрушать · enemy [`enimi] враг, противник, неприятель · raid [reid] набег, налет, облава · perish [`periò] погибать · negligence [`neglid ¶ns] небрежность · prove [pru:v] доказывать, удостоверять · existence [ig`zist¶ns] существование · development [di`vel¶pm¶nt] развитие · numerous [`nju:m¶r¶s] многочисленный · demand [di`ma:nd] требование; потребность, спрос · habit [`hæbit] привычка · diversity [dai`v¶:siti] разнообразие, различие · reflect [ri`flekt] отражать · separate [`seprit] отдельный · feudal [`fju:d¶l] феодальный · princedom [`prinsd¶m] княжество · exert [ig`z¶:t] оказывать влияние · refine [ri`fain] очищать, совершенствовать; делать более утонченным · indisputably [indi`spju:t¶bli] неоспоримо, бесспорно · attempt [¶`tempt] попытка · establish [is`tæbliò] установить · identity [ai`dentiti] тождественность · assumption [¶`sLmpò¶n] предположение · assume [¶`sju:m] предполагать · view [vju:] кругозор, взгляд, намерение · monk [mLŋk] монах · familiar [f¶`milji¶] близкий · concept [`kÉnsept] идея, концепция · educated [`edju(:)keitid] образованный · toil [`tÉil] заниматься тяжелым физическим трудом · remote [ri`mout] отдаленный, дальний · response [ris`pÉns] отклик, отзыв, ответ · recent [ri:snt] недавний, свежий · happening [`hæpniŋ] случай, событие · hurt [h¶:t] причинять боль · vividly [`vividli] ярко, живо · hint [hint] намек · reminder [ri`maind¶] напоминание · indication [indi`keiò¶n] указание ·

 

Упр. 2. Прочитайте и обратите внимание на значение следующих интернациональных слов:

· patriotic [pætri`Étik] патриотический · epic [`epik] эпический · poem [`pouim] поэма, стихотворение · idea [ai`di¶] идея, мысль · antiquity [æn`tikwiti] древность, старина · manuscript [`mænjuskript] рукопись · original [¶`rid ¶nl] подлинный, первоначальный, оригинальный · copy [`kÉpi] копия, рукопись · collection [k¶`lekò¶n] коллекция, собрание · agent [`eid ¶nt] агент, доверенное лицо · literature [`lit¶ritò¶] литература · literary [`lit¶r¶ri] литературный · architecture [`a:kitektò¶] архитектура · surprise [s¶`praiz] удивление, сюрприз · historical [his`tÉrik¶l] исторический · science [`sai¶ns] наука · genuine [`d enjuin] подлинный, неподдельный · imitation [imi`teiò¶n] подделка · actual [`æktju¶l] действительный · feudal [`fju:d¶l] феодальный · fractioning [`frækò¶niŋ] деление · economical [i:k¶`nÉmik(¶)l] экономический · political [p¶`litik¶l] политический · cultural [`kLltò¶r¶l] культурный · genre [` a:nr] литературный жанр; жанр, стиль · style [stail] стиль · tradition [tr¶`diò¶n] традиция, предание · natural [`nætòr¶l] естественный · combination [kÉmbi`neò¶n] сочетание, комбинация · fantastic [fæn`tæstik] фантастичный, причудливый · author [`É:q¶] автор · social [`souò¶l] социальный · position [p¶`ziò¶n] положение · soldier [`sould ¶] солдат · sympathy [`simp¶qi] сочувствие, симпатия · elite [ei`li:t] элита, цвет (общества) · element [`elim¶nt] элемент · elements основы · poetry [`pouitri] поэзия · campaign [kæm`pein] поход, кампания ·

 

Упр. 3. Прочитайте и переведите текст II. Найдите в словаре и выпишите в рабочую тетрадь незнакомые слова:

Постправда о великих изречениях – Weekend – Коммерсантъ

«Остерегайтесь лидера, который бьет в барабаны войны, чтобы возбудить в гражданах патриотизм, ибо патриотизм — обоюдоострый меч, который не только бодрит кровь, но и сужает разум. Когда барабаны лихорадочно стучат, кровь кипит от ненависти, а разум закрыт — нет необходимости лишать граждан их прав, напротив, они сами, испуганные и ослепленные патриотизмом, радостно откажутся от них. Откуда я это знаю? Именно это я и сделал. И я есть Цезарь» — эти слова впервые появились в конце 2001 года на форумах, посвященных обсуждению атаки на башни Всемирного торгового центра и последовавшего за ними принятия Патриотического акта, предоставившего ФБР и полиции право на прослушивание граждан США и слежку за ними. Цитата мгновенно стала вирусной, разойдясь по социальным сетям, колонкам политических обозревателей и блогам борцов с государственным контролем над частной жизнью. Многие публиковавшие цитату были убеждены, что она взята из трагедии Шекспира «Юлий Цезарь», однако ни в этой пьесе, ни вообще в корпусе текстов Шекспира таких слов нет. Более того, исследователи античных текстов утверждают, что ничего похожего не встречается ни в речах Цезаря, ни в текстах, связанных с ним. Скорее всего, цитата была придумана одним из пользователей форума и для весомости приписана великому драматургу.

«Великие люди имеют свойство быть актуальными во все времена. Поэтому я повторю за Шекспиром: «Остерегайтесь лидера, который бьет в барабаны войны, чтобы возбудить в гражданах патриотизм, ибо патриотизм — обоюдоострый меч, который не только бодрит кровь, но и сужает разум. Когда барабаны лихорадочно стучат, кровь кипит от ненависти, а разум закрыт — нет необходимости лишать граждан их прав, напротив, они сами, испуганные и ослепленные патриотизмом, радостно откажутся от своих прав. Откуда я это знаю? Именно это я и сделал. И я есть Цезарь»»

Барбра Стрейзанд на благотворительном концерте в пользу Демократической партии, 2002 год

Урок 4. Суждения и высказывания. Введение в силлогистику

В прошлых уроках рассказывалось о том, как правильно работать с понятиями и определениями. Хотя операции над ними очень важны и встречаются повсеместно, сами по себе они ещё не составляют рассуждений. В этом уроке мы как раз приблизимся к теме того, как правильно рассуждать. Мы будем рассматривать рассуждения на примере силлогистики. Силлогистика – это самая древняя логическая система. Она была изобретена древнегреческим философом Аристотелем в IVвеке до н.э. До сих пор она остаётся одной из самых понятных, приближенных к естественному языку и лёгких для изучения логических систем. Одно из главных её достоинств – возможность применения в повседневных ситуациях без особых усилий.
 

Содержание:

1. Суждения и высказывания
2. Состав и виды категорических атрибутивных высказываний
3. Условия истинности для категорических атрибутивных высказываний в традиционной силлогистике
4. Игра «Пересечение множеств»
5. Упражнения
6. Проверочные вопросы на усвоение материала

Суждения и высказывания

Что такое рассуждение? Можно было бы сказать: вывод, умозаключение, размышление, доказательство и т.д. Всё это верно, но, пожалуй, самым очевидным ответом было бы: рассуждение – это последовательность суждений, которые в идеале должны быть связаны между собой согласно правилам логики. Поэтому обучение правильному рассуждению нужно начинать с того, что такое суждения и как ими корректно пользоваться.

Суждение – это мысль об утверждении или отрицании наличия некоторой ситуации в мире.

В естественном языке суждения передаются с помощью повествовательных предложений, или высказываний. Примеры суждений, выраженных в высказываниях: «Пришла осень», «Катя не знает английского языка», «Я люблю читать», «Трава зелёная, а небо голубое». Одно и то же суждение может быть выражено с помощь разных высказываний, в частности: «Небо голубое» и «The sky is blue» – разные высказывания, но суждение они выражают одно и то же, так как они передают одну и ту же мысль. Точно также высказывания «Никто не покидал дома» и «Все оставались дома» разные, но они передают одно суждение.

Поскольку высказывания посредством суждений фиксируют какое-то положение дел в мире, в отличие от понятий и определений, мы можем оценивать их с точки зрения их истинности и ложности. Так высказывание «Бил Гейтс основал компанию “Microsoft”» – истинное, а высказывание «Апельсины фиолетовые» – ложное.

Если вспомнить треугольник Фреге, то высказывание будет находиться на вершине, обозначающей знак, суждение будет составлять его смысл, а истина и ложь – значение.

Существует множество типов суждений и, соответственно, высказываний. Разные логические системы концентрируются на их разных аспектах. Силлогистика работает с так называемыми категорическими атрибутивными высказываниями. Категорические высказывания противопоставляются гипотетическим. Гипотетические высказывания говорят о возможности наличия или отсутствия какой-то ситуации в мире: «Возможно, пойдёт дождь». Категорические высказывания безапелляционно утверждают о том, что какая-то ситуация имеется или не имеется: «Пошёл дождь». Термин «атрибутивный» означает, что эти высказывания говорят о наличии либо отсутствии у предмета или класса предметов некоторого свойства. Примеры категорических атрибутивных высказываний: «Моя машина синего цвета», «Парк около нашего дома большой», «Никто не любит рыбий жир», «Некоторые люди считают, что они самые умные». Хотя на первый взгляд может показаться, что из-за концентрации именно на категорических атрибутивных высказываниях, применение силлогистики ограничено, это не так. Огромный пласт рассуждений не выходит за рамки подобных высказываний, а потому знания силлогистики оказывается достаточно для того, чтобы научиться размышлять логично и не давать ввести себя в заблуждение.

Состав и виды категорических атрибутивных высказываний

Категорические атрибутивные высказывания состоят из терминов, предицирующих связок и кванторов.

Термины делятся на субъект и предикат.

• Субъект – это термин, обозначающий предмет или группу предметов, о которых нечто утверждается или отрицается. Обычно субъект изображается с помощью буквы S.
• Предикат – это термин, обозначающий собственно то, что утверждается или отрицается о субъекте, некоторое свойство, признак, наличие или отсутствие которого приписывается субъекту. Предикат изображается с помощью буквы P.

Предицирующие связки, как, возможно, вы помните из первого урока, это связки «есть» и «не есть». В естественном языке они могут выражаться с помощью разных слов и конструкций: «есть», «являться», «суть», «это», «выступать», знака тире, глаголов, либо вообще опускаться.

Кванторы – это слова, указывающие на количественные характеристики субъекта. Существует два вида кванторов: квантор общности («все», «каждый», «любой», «ни один», «никто») и квантор существования («некоторые», «не все», «какой-либо», «многие»). Также как и предицирующие связки, кванторы в естественной речи могут опускаться. Мы можем сказать: «Люди равны перед законом», подразумевая, что «Все люди равны перед законом»; или «Дети любят сладкое» – подразумевая, что «Многие дети любят сладкое». Зачастую лучше всего уточнить у вашего собеседника, какой именно квантор он имеет в виду, так как это будет сказываться на условиях истинности его высказываний.

Давайте разберём следующее высказывание: «Кошки мурлычут, когда им приятно». «Кошки» – это субъект, «существа, мурлычущие, когда им приятно» – это предикат. Также здесь присутствует невидимая связка «есть», которая соединяет субъект с предикатом, и невидимый квантор общности «все». Так, если записать это высказывание в соответствии с его логической формой, то получим: «Все кошки есть существа, которые мурлычут, когда им приятно». Благодаря этому примеру становится ясно, что прежде чем определять, истинно высказывание или ложно, нужно выявить его логическую форму и преобразовать исходное высказывание так, чтобы все четыре элемента (квантор, субъект, связка, предикат) были на своих местах.

В зависимости от свойств логических и нелогических терминов, входящих в состав категорических атрибутивных высказываний, их можно разделить на несколько видов.

1. В зависимости от характера субъекта категорические атрибутивные высказывания делятся на единичные и множественные. Если в качестве субъекта выступает имя, то речь идёт о единичном высказывании («Сократ был философом»). Единичные высказывание не имеют квантора перед субъектом. Если же субъект – это термин, обозначающий множество предметов, то высказывание называют множественным. Множественные высказывания в свою очередь делятся на частные и общие в зависимости от того квантора, который стоит перед ним. Если используется квантор существования, то высказывание будет частным («Некоторые девушки красивы»), если квантор общности – то общим («Все люди стремятся к счастью»).
2. В зависимости от предицирующей связки высказывания делятся на утвердительные и отрицательные. Если утверждается наличие какого-то свойства у субъекта, то высказывание утвердительное («Петя – настоящий друг»), если отрицается – то отрицательное («Ни один студент не пришёл на первую пару!»).

Если мы скомбинируем эти виды между собой, то получается, что всего существует шесть видов категорических атрибутивных высказываний:

• Единичноутвердительные: s есть P. Александр Пушкин – это русский писатель.
• Единичноотрицательные: s не есть P. Сервантес не был художником.
• Общеутвердительные: Все S есть P. Все квартиры в этом доме имеют высокие потолки.
• Общеотрицательные: Ни один S не есть P. Ни один студент из нашей группы не сдал экзамен на пятёрку.
• Частноутвердительные: Некоторые S есть P. Некоторые машины из нашего автопарка нуждаются в срочном ремонте.
• Частноотрицательные: Некоторые S не есть P. Некоторые тексты песен не имеют смысла.

Условия истинности для категорических атрибутивных высказываний в традиционной силлогистике

Следует начать с того, что традиционная силлогистика накладывает два ограничения на используемые термины, а именно: они должны быть непусты и неуниверсальны, то есть если под термин не подпадает ни один объект из универсума рассмотрения или, наоборот, подпадают все объекты универсума, то они не могут быть предметом рассмотрения. Посмотрим на рисунки:

Первый рисунок изображает ситуацию, когда термин А пуст, поэтому весь квадратик (универсум рассмотрения) остался белым. Второй рисунок показывает случай, когда объём термина А совпадает с объёмом универсума рассмотрения, поэтому весь квадрат заштрихован. Последний рисунок репрезентирует термин А, который является непустым и в то же время неуниверсальным. Заштрихованая область соотвествует объёму А. Традиционная силлогистика работает только с терминами, которые соотвествуют третьему рисунку. Такое условие ставится для того, чтобы исключить из рассмотрения высказывания, которые невозможно оценить как истинные либо ложные. Возьмём высказывание: «Все дети Ивана лысые». Вроде бы с высказыванием всё впорядке, однако представьте, что у Ивана нет детей. Мы не можем в данном случае просто сказать, что высказывание ложное. Если назвать его ложным, то тем самым мы подразумеваем, что не все дети Ивана лысые, а это не так. В то же время мы не можем сказать, что оно истинное. Выход из этого затруднительного положения состоит как раз в том, чтобы указать на пустоту термина «дети Ивана». Поскольку у Ивана нет детей, этот термин пуст, и мы не можем построить с ним корректное высказывание.

Непустота и неуниверсальность термина будут определяться не только контекстом, но и выбранным универсумом рассмотрения. Если наш квадратик представляет собой универсум живых существ или материально существующих предметов, то, конечно, такие термины как «русалка», «хоббит», «дракон» и т.п. окажутся пустыми, и мы не сможем их рассматривать. Однако, если универсум рассмотрения – это мифологические или сказочные существа, то все эти термины перестают быть пустыми. То же самое верно и для универсальности. Термин «люди» может рассматриваться как универсальный, что исключает его из области традиционной силлогистики. Однако если мы хотим сказать «Сократ – человек», то в качестве универсума рассмотрения вполне можно взять живых существ. На универсуме живых существ, термин «люди» уже не будет универсальным.

Кроме того, нужно помнить, что субъект и предикат должны задаваться на одном и том же универсуме рассмотрения.

Теперь посмотрим, при каких условиях разные типы категориальных атрибутивных высказываний будут истинными. Для этого советуем ещё раз заглянуть в урок, посвящённый отношениям между понятиями. По большому счёту, субъект и предикат – это термины, представляющие некоторые понятия. Соответственно, если соединить эти понятия в одном предложении с помощью предицирующих связок и кванторов, то, чтобы узнать будут эти предложения истинными или ложными, достаточно посмотреть на диаграммы, иллюстрирующие отношения между этими двумя понятиями. Итак, преступим.

Единичноутвердительные высказывания формы «s есть P» истинны, только если термины s и P находятся в следующем отношении:

Другими словами, единичноутвердительные высказывания истинны, если точка, представляющая собой имя s, находится внутри кружочка, изображающего объём термина P. Например, возьмём высказывание «Лев Толстой проповедовал вегетарианство». «Лев Толстой» – это субъект, имя s. «Человек, проповедующий вегетарианство» – это предикат, термин P. Это высказывание истинно, так как точка s будет входить в объём термина P. Если же взять высказывание «Николай Гоголь – это великий русский композитор», то точка s, представляющая имя («Николай Гоголь»), не будет входить в объём термина P («великие русские композиторы»). Поэтому это высказывание ложно.

Единичноотрицательные высказывания, имеющие форму «s не есть P» истинны, если термины s и P находятся в следующем отношении:

Как видно из рисунка, здесь имеет место ситуация, прямо противоположная условиям истинности единичноутвердительных высказываний. Если точка, представляющая имя s, находится вне объёма термина P, то высказывание истинно. В обратном случае, оно ложно. Пример истинного единичноотрицательного высказывания: «Александр Пушкин никогда не был во Франции». Ложным единичноотрицательным высказыванием будет: «Иван Бунин не получил Нобелевскую премию по литературе».

Общеутвердительные высказывания формы «Все S есть P» истинны, если термины S и P находятся в одном из следующих отношений:

Первый рисунок изображает отношение равнообъёмности, второй – обратного подчинения. Если объёмы двух терминов совпадают (S и P делят один кружочек) или объём термина S полностью входит в объём термина P (кружочек S полностью включается в P), то общеутвердительное высказывание истинно. Если термины S и P находятся в каком-либо другом отношении, то общеутвердительные высказывания не могут быть истинными. В качестве иллюстрации истинных высказываний можно привести: «Все хвойные растения имеют шишки», «Все киты – это млекопитающие». Пример ложных высказываний: «Все политики – обманщики», «Все девушки мечтают выйти замуж за миллионера». В этих примерах термины, обозначающие субъект и предикат, не находятся ни в одном из указанных выше отношений.

Общеотрицательные высказывания, имеющие форму «Ни один S не есть P» истинны, только если термины S и P находятся в следующих отношениях:

На первом рисунке представлено отношение противоречия, а на втором – соподчинения. Как видно, у S и P нет общих элементов, их объёмы не пересекаются. К примеру, истинными будут высказывания: «Ни один павлин не относится к числу певчих птиц», «Ни один человек младше восемнадцати лет не является совершеннолетним в России». Пример ложного высказывания: «Ни один гуманитарий не разбирается в математике». Высказывание ложно, так как термины «гуманитарий» и «люди, разбирающиеся в математике» не находятся ни в отношении противоречия, ни в отношении соподчинения.

Частноутвердительные высказывания формы «Некоторые S есть P» истинны, если термины S и P находятся в следующих отношениях:

Рисунки последовательно представляют отношения: пересечения, дополнительности, подчинения, равнообъёмности и обратного подчинения. С первыми тремя картинками всё должно быть довольно ясно: видно, что объёмы терминов S и P пересекаются, поэтому в области пересечения находятся элементы, которые одновременно обладают и признаком S и признаком P. Примеры истинных высказываний таких типов: «Некоторые актёры хорошо поют», «Некоторые автомобили с ценой ниже миллиона стоят больше шестисот тысяч», «Некоторые грибы съедобны».

Что касается отношений равнообъёмности и обратного подчинения, то может возникнуть вопрос, почему они тоже представляют собой условия истинности для частноутвердительных высказываний, если на картинках, обозначающих их, чётко видно, что не только некоторые S есть P, но все S есть P. Правда, естественный язык толкает нас к идее, что если некоторые S есть P, то ещё существуют и другие S, которые не есть P: некоторые грибы съедобны, а некоторые несъедобны. Для логиков такое заключение неверно. Из высказывания «Некоторые S есть P» нельзя вывести заключение, что некоторые S не есть P. Зато из высказывания «Все S есть P» можно заключить, что и некоторые S есть P, потому что если что-то верно относительно всех элементов объёма термина, то оно будет верно и относительно некоторых отдельных элементов. Поэтому в силлогистике слово «некоторые» употребляется в значении «по крайней мере некоторые», но не в значении «только некоторые». Таким образом, из высказывания «Все папоротники размножаются спорами» можно смело вывести и высказывание «Некоторые папоротники размножаются спорами», а из высказывания «Все ученики пятого класса являются пионерами» – высказывание «Некоторые ученики пятого класса являются пионерами».

Частноутвердительные высказывания будут ложными, только если термины S и P находятся в отношении противоречия или соподчинения: «Некоторые тракторы – это самолёты», «Некоторые ложные высказывания истинны».

Частноотрицательные высказывания типа «Некоторые S не есть P» истинны, если термины S и P находятся в следующих отношениях:

Это отношения: пересечения, дополнительности, включения, противоречия и соподчинения. Очевидно, что первые три отношения совпадают с тем, что было верно и для частноутвердительных высказываний. Все они как раз представляют случаи, когда некоторые S есть P, и в то же время некоторые S не есть P. Примеры подобных истинных высказываний: «Некоторые здоровые люди не употребляют алкоголь», «Некоторые наши работники из категории младше сорока ещё не достигли возраста и двадцати пяти», «Некоторые деревья не являются вечнозелёными».

По тем же причинам, по которым отношения равнообъёмности и обратного подчинения представляли собой условия истинности для частноутвердительных высказываний, отношения противоречия и соподчинения будут верны для частноотрицательных высказываний. Из высказывания, имеющего форму «Некоторые S не есть P» нельзя логично вывести высказывание «Некоторые S есть P». Однако из высказывания «Все S не есть P» можно перейти к высказыванию «Некоторые S не есть P», так как на основании информации, которой мы обладаем обо всех элементах объёмов терминов S и P, можно сделать вывод и об их отдельных представителях. Поэтому верными будут высказывания: «Некоторые журналы не являются книгами», «Некоторые глупцы не являются умными» и т.п.

Частноотрицательные высказывания будут ложными, только если термины S и P находятся в отношениях равнообъёмности и обратного подчинения. Примеры ложных высказываний: «Некоторые рыбы не умеют дышать под водой», «Некоторые яблоки не являются фруктами».

Итак, мы выяснили, при каких условиях высказывания той или иной формы будут истинными и ложными. При этом стало понятно, что не всегда истинность и ложность высказываний с логической точки зрения совпадает с нашими интуитивными представлениями. Иногда одинаковые на первый взгляд высказывания оцениваются совершенно по-разному, так как за ними скрываются разные логические формы и, следовательно, разные отношения между входящими в них терминами. Эти условия истинности важно запомнить. Они пригодятся, когда в следующем уроке мы научимся складывать высказывания в цепочки рассуждений и будем пытаться найти такие формы умозаключений, которые будут всегда правильными.

Игра «Пересечение множеств»

В этом упражнении вам нужно внимательно прочитать текст задания и правильно расположить множества, соответствующие понятиям.

Упражнения

Прочитайте следующие категориальные атрибутивные высказывания. Определите, к какому типу они относятся. С помощью диаграмм покажите, истинны они или ложны.

• Всё действительное разумно, всё разумное действительно.
• Соль – это яд.
• Яд – это соль.
• Все музыканты имеют хороший слух.
• Некоторые музыканты имеют хороший слух.
• Все люди, имеющие хороший слух, – музыканты.
• Некоторые люди, имеющие хороший слух, – музыканты.
• Некоторые вампиры опоздали на работу.
• Волколаки – это разновидность оборотней.
• Все круглые квадраты не имеют углов.
• Никто не любит, когда у него болят зубы.
• Ни один попугайчик не пьёт виски.
• Некоторым не нравится их работа.
• Иван Иванович поссорился с Иваном Никифоровичем.
• Фильмы Тарковского считаются классикой русского кино.
• Достоевский никогда не играл в карты.
• Некоторые куздры совсем не глокие.
• Каждый сотрудник мечтает о повышении.
• Некоторые псы умеют читать.
• Все счастливые семьи похожи друг на друга, каждая несчастливая семья несчастлива по-своему.
• Некоторые акулы – это рыбы.
• Некоторые люди не летали на Марс.

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

Ксения Галанина

Цитаты / Лев Толстой

О знании

Лучше знать немного истинно хорошего и нужного, чем очень много посредственного и ненужного.

«Круг чтения»

Знание только тогда знание, когда оно приобретено уси­лиями своей мысли, а не памятью.

«Круг чтения»

Мысль только тогда движет жизнью, когда она добыта своим умом или хотя отвечает на вопрос, возникший уже в душе. Мысль же чужая, воспринятая умом и памятью, не вли­яет на жизнь и уживается с противными ей поступками.

«Круг чтения»

Ученый — тот, кто много знает из книг; образованный — тот, кто усвоил себе все самые распространенные в его время знания и приемы; просвещенный — тот, кто понимает смысл своей жизни.

«Круг чтения»

О вере

Истинная религия есть такое установленное человеком отношение к окружающей его бесконечной жизни, которое связывает его жизнь с этою бесконечностью и руководит его поступками.

«Круг чтения»

Сущность всякой религии состоит только в ответе на во­прос, зачем я живу и какое мое отношение к окружающему меня бесконечному миру. Нет ни одной религии, от самой возвышенной и до самой грубой, которая не имела бы в осно­ве своей этого установления отношения человека к окружаю­щему его миру.

«Круг чтения»

Вера суть понимание смысла жизни и признание вытекающих из этого понимания обязанностей.

«Круг чтения»

Люди живы любовью; любовь к себе — начало смерти, любовь к Богу и людям — начало жизни.

«Круг чтения»

О цели жизни

Я был бы несчастливейшим из людей, ежели бы я не нашел цели для моей жизни – цели общей и полезной…

Дневник. 17 апреля 1847

Чтоб жить честно, надо рваться, путаться, биться, бросать, и вечно бороться и лишаться. А спокойствие – душевная подлость.

Письмо А.А. Толстой. Октябрь 1857

Я был одинок и несчастлив, живя на Кавказе. Я стал думать так, как только раз в жизни люди имеют силу думать…Это было и мучительное и хорошее время. Никогда, ни прежде, ни после я не доходил до такой высоты мысли… И все, что я нашел тогда, навсегда останется моим убеждением… Я нашел простую, старую вещь, я нашел, что есть бессмертие, что есть любовь и что жить надо для другого, для того, чтобы быть счастливым вечно…

Письмо А.А. Толстой. Апрель-май 1859

Со мной случился переворот, который давно готовился во мне и задатки которого всегда были во мне. Со мной случилось то, что жизнь нашего круга — богатых, ученых, не только опротивела мне, но потеряла всякий смысл. Я отрекся от жизни нашего круга.

«Исповедь». 1879

Каждый человек – алмаз, который может очистить и не очистить себя, в той мере, в которой он очищен, через него светит вечный свет, стало быть, дело человека не стараться светить, но стараться очищать себя.

Записная книжка. 13 марта 1890

Если нет сил гореть и разливать свет, то хоть не засти его.

«Круг чтения»

Вообрази себе, что цель жизни — твое счастие, — и жизнь жестокая бессмыслица. Признай то, что говорит тебе и муд­рость людская, и твой разум, и твое сердце: что жизнь есть служение тому, кто послал тебя в мир, и жизнь становится постоянной радостью.

«Круг чтения»

Счастливые периоды моей жизни были только те, когда я всю жизнь отдавал на служение людям. Это были: школы, посредничество, голодающие и религиозная помощь.

Дневник. 8 апреля 1901

…деятельность нравственная… составляет высшее призвание человека…

«О том, что называют искусством». 1896

О слове

Один человек крикнет в наполненном народом здании: «Горим!» — и толпа бросается, и убиваются десятки, сотни людей.

Таков явный вред, производимый словом. Но вред этот не менее велик и тогда, когда мы не видим людей, пострадавших от нашего слова.

«Круг чтения»

О воспитании и образовании

Основа воспитания — установление отношения к началу всего и вытекающего из этого отношения руководства поведения.

«Круг чтения»

Для того чтобы воспитать человека, годного для будущего, надо воспитывать его, имея в виду вполне совершенного Человека, — только тогда воспитанник будет достойным членом того поколения, в котором ему придется жить.

«Круг чтения»

Я хочу образования для народа только для того, чтобы спасти тех тонущих там Пушкиных, Остроградских, Филаретов, Ломоносовых. А они кишат в каждой школе.

Письмо к А.А. Толстой. 15–30 декабря 1874

И воспитание, и образование нераздельны. Нельзя воспитывать, не передавая знания, всякое же знание действует воспитательно.

«О воспитании»

Первое и главное знание, которое свойственно прежде всего преподавать детям и учащимся взрослым, – это ответ на вечные и неизбежные вопросы, возникающие в душе каждого приходящего к сознанию человека. Первый: что я такое и каково мое отношение к бесконечному миру? И второй, вытекающий из первого: как мне жить, что считать всегда, при всех возможных условиях, хорошим, и что всегда, при всех возможных условиях, дурным?

«О воспитании»

Если учитель имеет только любовь к делу, — он будет хороший учитель. Если учитель имеет только любовь к ученику, как отец, мать, — он будет лучше того учителя, который прочел все книги, но не имеет любви ни к делу, ни к ученикам.

Если учитель соединяет в себе любовь к делу и к ученикам, он — совершенный учитель.

«Азбука. Общие замечания для учителя»

…воспитание представляется сложным и трудным делом только до тех пор, пока мы хотим, не воспитывая себя, воспитывать своих детей или кого бы то ни было. Если же поймем, что воспитывать других мы можем только через себя, воспитывая себя, то упраздняется вопрос о воспитании и остается один вопрос жизни: как надо самому жить? Я не знаю ни одного действия воспитания детей, которое не включало бы и воспитания себя.

Письмо к Ф. А. Желтову. 18 декабря 1895

О человеке

Люди как реки: вода во всех одинакая и везде одна и та же, но каждая река бывает то узкая, то быстрая, то широкая, то тихая. Так и люди. Каждый человек носит в себе зачатки всех свойств людских и иногда проявляет одни, иногда другие и бывает часто совсем непохож на себя, оставаясь одним и самим собою.

«Воскресение»

Вся моя мысль в том, что ежели люди порочные связаны между собой и составляют силу, то людям честным надо сделать только то же самое.

«Война и мир». Эпилог. 1863–1868

О войне

«Неужели тесно жить людям на этом прекрасном свете, под этим неизмеримым звездным небом? Неужели может среди этой обаятельной природы удержаться в душе человека чувство злобы, мщения или страсти истребления себе подобных?»

«Набег», 1853

«…война… противное человеческому разуму и всей человеческой природе событие».

«Война и мир», 1863–1868 гг.

«Ведь совершенно очевидно, что если мы будем продолжать жить так же, как теперь, руководясь как в частной жизни, так и в жизни отдельных государств одним желанием блага себе и своему государству, и будем, как теперь, обеспечивать это благо насилием, то, неизбежно увеличивая средства насилия друг против друга и государства против государства, мы, во-первых, будем всё больше и больше разоряться, перенося большую часть своей производительности на вооружение; во-вторых, убивая в войнах друг против друга физически лучших людей, будем всё более и более вырождаться и нравственно падать и развращаться».

«Одумайтесь!» 1904.

«Я хочу, чтобы любовь к миру перестала быть робким стремлением народов, приходящих в ужас при виде бедствий войны, а чтоб она стала непоколебимым требованием честной совести».

Интервью французскому журналисту

Ж. А. Бурдону (газета «Фигаро»).

Ясная Поляна. 2/15 марта 1904

Мы собрались здесь для того, чтобы бороться против войны…надеемся победить эту огромную силу всех правительств, имеющих в своем распоряжении миллиарды денег и миллионы войск…в наших руках только одно, но зато могущественнейшее средство в мире – истина

Доклад, подготовленный для Конгресса мира в Стокгольме

Для меня безумие, преступность войны, особенно в последнее время, когда я писал и потому много думал о войне, так ясны, что кроме этого безумия и преступности ничего не могу в ней видеть.

Письмо к Л.Л. Толстому. 15 апреля 1904

Война такое несправедливое и дурное дело, что те, которые воюют, стараются заглушить в себе голос совести.

Дневник. 6 января 1853

О цивилизации

То, что называют цивилизацией, есть рост человечества. Рост необходим, нельзя про него говорить, хорошо ли это или дурно. Это есть, в нем – жизнь. Как рост дерева. Но сук или силы жизни, растущие в суку, неправы, вредны, если они поглощают всю силу роста. Это с нашей лжецивилизацией.

Дневник. 6 июля 1905

Об искусстве и творчестве

Поэзия есть огонь, загорающийся в душе человека. Огонь этот жжет, греет и освещает. Настоящий поэт сам невольно и с страданием горит и жжет других. И в этом все дело.

Записная книжка. 28 октября 1870

Искусство – одно из средств различения доброго от злого, одно из средств узнавания хорошего.

Дневник. 20 октября 1896

Чтобы произведение было хорошо, надо любить в нем главную, основную мысль. Так, в «Анне Карениной» я любил мысль семейную…

Запись в Дневнике С.А. Толстой. 3 марта 1877

Главная цель искусства… та, чтобы проявить, высказать правду о душе человека… Искусство есть микроскоп, который наводит художник на тайны своей души и показывает эти общие всем тайны людям.

Дневник. 17 июня 1896

Ясная Поляна, Москва

Без своей Ясной Поляны я трудно могу представить себе Россию и мое отношение к ней. Без Ясной Поляны я, может быть, яснее увижу общие законы, необходимые для моего отечества, но я не буду до пристрастия любить его.

«Лето в деревне». 1858

…главная тайна о том, как сделать, чтобы все люди не знали никаких несчастий, никогда не ссорились и не сердились, а были бы постоянно счастливы, эта тайна была, как он нам говорил, написана им на зеленой палочке, и палочка эта зарыта у дороги, на краю оврага старого Заказа, в том месте, в котором я … просил в память Николеньки закопать меня… И как я тогда верил, что есть та зеленая палочка, на которой написано то, что должно уничтожить все зло в людях и дать им великое благо, так я верю и теперь, что есть эта истина и что будет она открыта людям и даст им то, что она обещает.

«Воспоминания». 1906

Помню, что мне досталось въезжать в Москву в коляске с отцом. Был хороший день, и я помню свое восхищение при виде московских церквей и домов, восхищение, вызванное тем тоном гордости, с которым отец показывал мне Москву.

«Воспоминания». 1906

Какое великое зрелище представ­ляет Кремль! Иван Великий стоит как исполин посреди дру­гих соборов и церквей… Белые каменные стены видели стыд и поражение непобедимых полков наполеоновых; у этих стен взошла заря освобождения России от наполеоновского ига, а за несколько столетий в этих же стенах положено было начало освобождения России от власти поляков во времена Самозванца; а какое прекрасное впечатление производит эта тихая река Москва! Она видела, как быв еще селом, никем не занимаемая, потом возвеличивалась. Сделавшись городом, видела ее все несчастия и славу и наконец, дождалась до ее величия. Теперь эта бывшая деревенька … сделалась величайшим и многолюднейшим городом Европы.

Ученическое сочинение. 1837

О природе

Смотрел, подходя к Овсянникову, на прелестный солнечный закат. В нагроможденных облаках просвет, и там, как красный неправильный угол, солнце. Всё это над лесом, рожью. Радостно. И подумал: Нет, этот мир не шутка, не юдоль испытания только и перехода в мир лучший, вечный, а это один из вечных миров, который прекрасен, радостен и который мы не только можем, но должны сделать прекраснее и радостнее для живущих с нами и для тех, кто после нас будет жить в нем.

Дневник. 14 июня 1894

Самая чистая радость, радость природы.

Письмо к С. А. Толстой. 6 мая 1898

…друг — хорошо; но он умрет, он уйдет как-нибудь, не поспеешь как-нибудь за ним; а природа, на которой женился посредством купчей крепости или от которой родился по наследству, еще лучше. Своя собственная природа. И холодная она, и неразговорчивая, и важная, и требовательная, но зато это уж такой друг, которого не потеряешь до смерти, а и умрешь, всё в нее же уйдешь.

Письмо к А. А. Фету. 12 мая 1861

Теперь лето и прелестное лето, и я, как обыкновенно, ошалеваю от радости плотской жизни и забываю свою работу. Нынешний год долго я боролся, но красота мира победила меня. И я радуюсь жизнью и больше почти ничего не делаю.

Письмо к А. А. Фету. 8 июля 1880

Природа входит в человека и дыханием, и пищей, так что человек не может не чувствовать себя частью ее и ее частью себя.

Дневник. 2 января 1899

Дело жизни, назначение ее радость. Радуйся на небо, на солнце. На звезды, на траву, на деревья, на животных, на людей. Нарушается эта радость, значит. Ты ошибся где-нибудь — ищи эту ошибку и исправляй. Нарушается эта радость чаще всего корыстию, честолюбием… Будьте как дети – радуйтесь всегда.

Дневник. 15 сентября 1889

Утром опять игра света и тени от больших, густо одевшихся берез прешпекта по высокой уж, темно-зеленой траве, и незабудки, и глухая крапива, и всё – главное, маханье берез прешпекта такое же, как было, когда я 60 лет тому назад в первый раз заметил и полюбил красоту эту.

Письмо к С. А. Толстой. 3 мая 1897

…люди живут, как живет природа: умирают, родятся, совокупляются, опять родятся, дерутся, пьют, едят, радуются и опять умирают, и никаких условий, исключая тех неизменных, которые положила природа солнцу, траве, зверю, дереву. Других законов у них нет…

«Казаки». 1863

Счастье — это быть с природой, видеть ее, говорить с ней.

«Казаки». 1863

О любви, браке, семье

Любить — значит жить жизнью того, кого любишь.

«Круг чтения»

Любовь уничтожает смерть и превращает ее в пустой призрак; она же обращает жизнь из бессмыслицы в нечто осмысленное и из несчастия делает счастие.

«Круг чтения»

Если сколько голов, столько умов, то и сколько сердец, столько родов любви.

«Анна Каренина»

Истинное и прочное соединение мужчины и женщины — только в духовном общении. Половое общение без духовного — источник страдания для обоих супругов.

«Круг чтения»

Кроме смерти, нет ни одного столь значительного, резкого, всё изменяющего и безвозвратного поступка, как брак.

Из письма к М. Л. Оболенской. 18 декабря 1896 г.

Жениться надо всегда так же, как мы умираем, т. е. только тогда, когда невозможно иначе.

Из письма к М. А. Сопоцько. 24 августа 1893 г.

О писателях

Многому я учусь у Пушкина, он мой отец, и у него надо учиться.

С. А. Толстая. Дневники. 1873 г.

Читал и Герцена «С того берега» и тоже восхищался. Следовало бы написать о нем, чтобы люди нашего времени понимали его. Наша интеллигенция так опустилась, что уже не в силах понять его. Он уже ожидает своих читателей впереди. И далеко над головами теперешней толпы передает свои мысли тем, которые будут в состоянии понять их.

Дневник. 12 октября 1905 г.

Чехов был у нас, и он понравился мне. Он очень даровит, и сердце у него, должно быть, доброе, но до сих пор нет у него своей определенной точки зрения.

Письмо к Л. Л. Толстому. 4 сентября 1895 г.

Очень много благодарен Вам за столь любопытное и прекрасное исследование о Сильвестре. Судя по нем, я догадываюсь, какие сокровища — подобных которым не имеет ни один народ — таятся в нашей древней литературе. И как верно чутье народа, тянущее его к древнерусскому и отталкивающее его от нового.

Письмо к архимандриту Леониду (Кавелину). 16…20 марта 1875 г.

О молчании, многословии и злословье

Люди учатся, как говорить, а главная наука — как и когда молчать.

«Путь жизни»

Говори только о том, что для тебя ясно, иначе молчи.

«На каждый день»

Если один раз пожалеешь, что не сказал, то сто раз пожалеешь о том, что не смолчал.

«Круг чтения»

Правда, что там, где есть золото, есть и много песку; но это никак не может быть поводом к тому, чтобы говорить много глупостей для того, чтобы сказать что-нибудь умное.

«Что такое искусство?»

Больше всех говорит тот, кому нечего сказать.

«Круг чтения»

Часто молчание лучший из ответов.

«Путь жизни»

Злословие так нравится людям, что очень трудно удержаться от того, чтобы не сделать приятное своим собеседникам: не осудить человека.

«Круг чтения»

Что такое заявления? Определение и примеры

Давайте рассмотрим несколько примеров утверждений и не-утверждений, чтобы определить вид предложений, которые образуют утверждения.

Чтобы поговорить об утверждениях, мы начнем с некоторых примеров утверждений и не-утверждений.

Выписки	Утверждения
Поезда всегда опаздывают.	Добро пожаловать в Оклендский университет!
Попадание через борт — основная причина автомобильных аварий.	Как я могу перестать бежать?
Я люблю бананы, потому что в них нет костей.	Когда впереди идущая машина достигает объекта, убедитесь, что вы можете сосчитать до четыре крокодила , прежде чем достигнете того же объекта.

Итак, что делает что-то заявлением?

• Определение : Утверждения — это предложения, которые являются истинными или ложными.

Таким образом, утверждение — это утверждение, что что-то есть или нет.Утверждение истинно, если то, что оно утверждает, верно, и ложно, если то, что оно утверждает, не соответствует действительности. Например, утверждение «Поезда всегда опаздывают» истинно только в том случае, если то, что оно описывает, соответствует действительности, то есть если на самом деле означает, что поезда всегда опаздывают. Это неверно в Окленде. Иногда поезда идут вовремя, а иногда опаздывают. Кто-то может нетерпеливо жаловаться на то, что поезда всегда опаздывают, чтобы выразить свое недовольство системой поездов, но, строго говоря, то, что они говорят, неверно.Это правда, что у бананов нет костей, и я люблю бананы, но я люблю бананы, потому что они вкусные и полезные, а не потому, что в них нет костей. Поэтому я бы сказал неправду, если бы сказал: «Я люблю бананы, потому что в них нет костей». Вот почему «Я люблю бананы, потому что в них нет костей» — это такое заявление. Это предложение, которое либо истинно, либо ложно — в данном случае ложно. Однако не имеет смысла говорить, что фраза «Добро пожаловать в Оклендский университет!» либо верно, либо неверно.Разве вы не удивились бы, если бы в ответ на приветствие кто-то ответил «верно»? Это был бы неподходящий ответ. «Как я могу перестать бежать?» это вопрос; предложение не выражает ни истины, ни лжи. Наконец, «Когда впереди идущая машина достигает объекта, убедитесь, что вы можете сосчитать до четыре крокодила , прежде чем достигнете того же объекта». это совет. Он советует вам убедиться, что вы можете сосчитать до четырех крокодилов (одного крокодила, двух крокодилов,…, четырех крокодилов), прежде чем вы достигнете того же объекта, что и автомобиль, идущий впереди вас.Попытайся! Вы станете намного более безопасным водителем (это верное утверждение!).

4,8

416 отзывов

Итак, предложения, которые могут быть истинными или ложными, являются утверждениями. Довольно просто. Но все может быть сложнее. Посмотрим как. Что-то может быть утверждением, даже если мы не знаем, правда это или ложь.В утверждениях важно только то, что они могут быть истинными или ложными, а не то, что мы знаем, истинны они или ложны. Например:

• Иван Слотвский, известный ирландский строитель Мадрида, в этот момент ест ветчину и чатни.

Верно или неверно? Я не знаю. Но это то, что может быть правдой или ложью. Вот еще один:

• Когда-нибудь в ближайшие 39 лет у меня будет жуткий сосед по соседству.

Пока все хорошо.Мне повезло, и у меня не было жуткого соседа по соседству. Но утверждение верно, если однажды в ближайшие 39 лет у меня будет жуткий сосед по соседству. В противном случае утверждение неверно. Но я не знаю, верно это утверждение или нет. В любом случае важно то, что это предложение является истинным или ложным. Другой пример: Понятия не имею, что такое Веро или Промина. Но предложение выражает то, что истинно или ложно. Одно и то же утверждение может быть верным в одних случаях и ложным в других.То есть утверждения не всегда верны или всегда ложны. Вот пример: Это утверждение верно в отношении Тима и неверно в отношении Патрика. Или заявление

• Патрик счастлив в браке.
Код

был ложным до того, как Патрик женился, он верен сейчас (пока я это печатаю) и может стать ложным в будущем. Одна из трудностей с утверждениями заключается в том, что они иногда могут выражать две разные вещи. Мы называем эти двусмысленные утверждения . Вот пример:

• Джон приветствовал всех улыбкой.

Какие два состояния дел может описывать это утверждение? Попробуйте ответить на этот вопрос сами, прежде чем продолжить. Отвечать:

1. Джон улыбнулся и поздоровался со всеми. В данном случае правда, что он всех приветствовал улыбкой — своей улыбкой.
2. Может быть, были улыбающиеся и не улыбающиеся люди, и Джон приветствовал только тех, кто улыбался.

Таким образом, предложение «Иоанн всех приветствовал улыбкой» можно использовать для описания двух разных вещей.Вот что делает его неоднозначным. С этим нужно быть осторожным. Если вы используете двусмысленные утверждения, вы рискуете, что другие неправильно поймут то, что вы говорите. В некоторых случаях то, что другие думают, что вы говорите, может сильно отличаться от того, что вы пытались выразить. Например, Тим — пташка. Он встает рано каждое утро и всегда раньше своей жены. Теперь предположим, что он попытался выразить это, сказав:

• Я бил свою жену каждый день.

Это наверняка неправильно.Постарайтесь не использовать двусмысленные предложения! Во втором списке не-утверждений у нас были вопросы и команды, которые обычно не являются утверждениями.

• Если люди произошли от обезьян, почему у нас все еще есть обезьяны?

В этом вопросе не говорится о том, что может быть правдой или ложью. Нет смысла отвечать «правда» или «ложь», когда вы это слышите. Это не заявление. Обратите внимание, что часть предложения является утверждением, а именно: «люди произошли от обезьян». Это ложное заявление.Человек не произошел от обезьяны. У людей, обезьян и обезьян в целом есть общий предок, которого больше нет. Даже если вопрос содержит как часть ложное утверждение, он не делает сам вопрос истинным или ложным. Однако иногда в особом контексте тот же вопрос может использоваться для выражения утверждения. Можете ли вы представить контекст, в котором кто-то может использовать этот вопрос, чтобы выразить что-то истинное или ложное? Если это так, то, вероятно, человек будет использовать этот вопрос, чтобы выразить ложность того, что люди произошли от обезьян, поскольку обезьяны все еще существуют.Мы называем вопросы, которые используются для выражения утверждений, риторических вопросов . Когда вы видите риторический вопрос, вы всегда должны перефразировать его как утверждение. В нашем случае утверждение будет примерно таким:

• Люди не произошли от обезьян, потому что обезьяны у нас все еще есть.

Таким образом, утверждений, — это предложения, которые либо истинны, либо ложны. Предложения неоднозначны, когда их можно использовать для выражения нескольких утверждений. Когда у вас есть двусмысленное предложение, вам нужно решить, для какого утверждения оно используется.Вопросы, команды и советы обычно не являются утверждениями, потому что они не выражают ничего, что является истинным или ложным. Но иногда люди используют их риторически для выражения утверждений. Мы видели пример вопроса, который сам по себе не является утверждением, но может использоваться для выражения утверждения. Когда вы видите риторические вопросы, всегда перефразируйте их как утверждения.

© Патрик Жирар, Оклендский университет

Математических утверждений

Подраздел Атомные и молекулярные утверждения

Заявление — это любое декларативное предложение, которое является истинным или ложным.Утверждение является атомарным , если оно не может быть разделено на более мелкие утверждения, в противном случае оно называется молекулярным .

Пример 0.2.1.

Это операторы (фактически, атомарных операторов ):

• Телефонные номера в США состоят из 10 цифр.

• Луна сделана из сыра.

• 42 — правильный квадрат.

• Каждое четное число больше 2 может быть выражено как сумма двух простых чисел.

• \ (\ Displaystyle 3 + 7 = 12 \)

И это не утверждения:

Причина, по которой предложение «\ (3 + x = 12 \)» не является утверждением, состоит в том, что оно содержит переменную. В зависимости от того, что такое \ (x \), предложение либо истинно, либо ложно, но сейчас это не так. Один из способов превратить предложение в оператор состоит в том, чтобы каким-либо образом указать значение переменной. Это можно сделать, указав конкретную замену, например, «\ (3 + x = 12 \) где \ (x = 9 \ text {,} \)», что является истинным утверждением.Или вы можете захватить свободную переменную, количественно определив над ней, как в «для всех значений \ (x \ text {,} \) \ (3 + x = 12 \ text {,} \)», что ложно. Мы обсудим кванторы более подробно в конце этого раздела.

Вы можете построить более сложные (молекулярные) утверждения из более простых (атомных или молекулярных), используя логических связок . Например, это молекулярная инструкция:

Телефонные номера в США состоят из 10 цифр, 42 из которых представляют собой полный квадрат.

Обратите внимание, что мы можем разбить это на два более мелких утверждения. Два более коротких оператора — это , соединенные с знаком «и». Мы рассмотрим 5 связок: «и» (Сэм — мужчина, а Крис — женщина), «или» (Сэм — мужчина или Крис — женщина), «если…, то…» (если Сэм — мужчина, тогда Крис — женщина), «если и только если» (Сэм — мужчина, если и только если Крис — женщина) и «нет» (Сэм не мужчина). Первые четыре называются бинарными связками (потому что они соединяют два оператора), в то время как «не» является примером унарной связки (поскольку оно применяется к одному оператору).

Эти молекулярные утверждения, конечно же, остаются утверждениями, поэтому они должны быть либо истинными, либо ложными. Абсолютно ключевым наблюдением здесь является то, что значение истинности молекулярного утверждения полностью определяется типом связки и значениями истинности частей. Нам не нужно знать, что на самом деле говорят части, нам нужно знать только то, истинны они или ложны. Итак, чтобы проанализировать логические связки, достаточно рассмотреть пропозициональных переменных (иногда называемых сентенциальными переменными ), обычно заглавными буквами в середине алфавита: \ (P, Q, R, S, \ ldots \ text {.} \) Мы думаем об этом как о замене (обычно атомарных) операторов, но есть только два значений , которые могут быть достигнуты переменными: истина или ложь. ¹ У нас также есть символы для логических связок: \ (\ wedge \ text {,} \) \ (\ vee \ text {,} \) \ (\ imp \ text {,} \) \ (\ iff \ текст {,} \) \ (\ neg \ text {.} \)

В компьютерном программировании мы должны называть такие переменные Булевыми переменными .

Логические связки.

• \ (P \ wedge Q \) читается как «\ (P \) и \ (Q \ text {,} \)» и называется соединением .
• \ (P \ vee Q \) читается как «\ (P \) или \ (Q \ text {,} \)» и называется дизъюнкцией .
• \ (P \ imp Q \) читается как «если \ (P \), то \ (Q \ text {,} \)» и называется импликацией или условным .
• \ (P \ iff Q \) читается как «\ (P \) тогда и только тогда, когда \ (Q \ text {,} \)» и называется двухусловным .
• \ (\ neg P \) читается как «не \ (P \ text {,} \)» и называется отрицанием .

Значение истинности утверждения определяется значением истинности его части (частей), в зависимости от связок:

Условия истинности для связок.

• \ (P \ wedge Q \) истинно, когда оба \ (P \) и \ (Q \) истинны.
• \ (P \ vee Q \) истинно, когда \ (P \) или \ (Q \) или оба истинны.
• \ (P \ imp Q \) истинно, когда \ (P \) ложно, или \ (Q \) истинно, или и то, и другое.
• \ (P \ iff Q \) истинно, когда \ (P \) и \ (Q \) оба истинны, или оба ложны.
• \ (\ neg P \) истинно, когда \ (P \) ложно.

Обратите внимание, что для нас или — это включительно или (а не иногда используемое исключительное или ), что означает, что \ (P \ vee Q \) на самом деле истинно, когда и \ (P \), и \ (Q \) верны.Что касается других связок, «и» ведет себя так, как и следовало ожидать, как и отрицание. Двуусловное (если и только если) может показаться немного странным, но вы должны думать об этом как о том, что две части утверждений эквивалентны в том смысле, что они имеют одинаковое значение истинности. Остается только условное выражение \ (P \ imp Q \), которое в математике имеет несколько иное значение, чем при обычном использовании. Однако импликации настолько распространены и полезны в математике, что мы должны развить беглость в их использовании, и как таковые они заслуживают отдельного раздела.

Подраздел Значение

Последствия.

Импликация или условная — это молекулярное утверждение формы

\ begin {уравнение *} P \ imp Q \ end {уравнение *}

, где \ (P \) и \ (Q \) — утверждения. Мы говорим, что

• \ (P \) — это гипотеза (или антецедент ).
• \ (Q \) — это вывод , вывод (или , следствие ).

Подразумевается, что истинно при условии, что \ (P \) ложно или \ (Q \) истинно (или оба), и ложно в противном случае.2 \ text {.} \) ”

Тем не менее, важно помнить, что импликация — это утверждение, и поэтому оно либо истинно, либо ложно. Значение истинности импликации определяется значениями истинности его двух частей. Чтобы согласиться с приведенным выше использованием, мы говорим, что импликация истинна либо тогда, когда гипотеза ложна, либо когда верен вывод. Это оставляет только один путь для того, чтобы импликация была ложной: когда гипотеза верна, а вывод ложен.

Пример 0.2.2.

Рассмотрим выписку:

Если Боб получит 90 баллов в финале, то Боб пройдет класс.

Это определенно подразумевается: \ (P \) — это утверждение «Боб получает 90 баллов в финале», а \ (Q \) — утверждение «Боб передаст класс».

Предположим, я сделал это заявление Бобу. При каких обстоятельствах было бы справедливо называть меня лжецом? Что, если Боб действительно набрал 90 баллов в финале и сдал класс? Тогда я не солгал; мое утверждение верно.Однако, если Боб действительно получил 90 баллов в финале и не прошел класс, я солгал, сделав утверждение ложным. Сложный случай заключается в следующем: что, если Боб не набрал 90 баллов в финале? Может, он проходит класс, а может, нет. В любом случае я солгал? Думаю, нет. В этих двух последних случаях \ (P \) было ложным, а утверждение \ (P \ imp Q \) было истинным. В первом случае \ (Q \) было истинным, как и \ (P \ imp Q \ text {.} \). Итак, \ (P \ imp Q \) истинно, когда либо \ (P \) ложно, либо \ (Q \) верно.

Для ясности, хотя мы иногда читаем \ (P \ imp Q \) как «\ (P \) подразумевает \ (Q \)», мы не настаиваем на наличии причинно-следственной связи между утверждениями \ (P \) и \ (Q \ text {.} \) В частности, если вы утверждаете, что \ (P \ imp Q \) является ложным , вы не говорите, что \ (P \) не подразумевает \ (Q \ text {,} \), а скорее, что \ (P \) истинно, а \ (Q \) ложно.

Пример 0.2.3.

Решите, какие из следующих утверждений верны, а какие нет. Кратко объясню.

1. Если \ (1 = 1 \ text {,} \), то у большинства лошадей 4 ноги.

2. Если \ (0 = 1 \ text {,} \), то \ (1 = 1 \ text {.} \)

3. Если 8 — простое число, то 7624-я цифра \ (\ pi \) равна 8.

4. Если 7624-я цифра \ (\ pi \) равна 8, то \ (2 + 2 = 4 \ text {.} \)

Решение

Все четыре утверждения верны. Помните, что единственный способ сделать импликацию ложной — это если часть , если будет истинной, а часть , то будет ложной.

1. Здесь и гипотеза, и вывод верны, значит, верно и импликация. Не имеет значения, что нет значимой связи между истинным математическим фактом и фактом о лошадях.

2. Здесь гипотеза ложна, а вывод верен, поэтому импликация верна.

3. Понятия не имею, что такое 7624-я цифра \ (\ pi \), но это не имеет значения. Поскольку гипотеза ложна, импликация автоматически верна.

4. Точно так же здесь, независимо от истинности гипотезы, вывод верен, а импликация истинна.

Важно понимать условия, при которых импликация истинна, не только для того, чтобы решить, истинно ли математическое утверждение, но и для того, чтобы доказать, что это так.Доказательства могут показаться пугающими (особенно если у вас был плохой школьный опыт геометрии), но все, что мы на самом деле делаем, — это объясняем (очень осторожно), почему утверждение верно. Если вы понимаете условия истинности импликации, у вас уже есть план доказательства.

Прямые доказательства последствий.

Чтобы доказать импликацию \ (P \ imp Q \ text {,} \), достаточно предположить \ (P \ text {,} \) и из него вывести \ (Q \ text {.} \)

Возможно, лучший способ сказать это — чтобы доказать утверждение формы \ (P \ imp Q \) напрямую, вы должны объяснить, почему \ (Q \) истинно, но вы, , дойдете до , предполагая \ (P \) верно в первую очередь.В конце концов, вы заботитесь только о том, истинно ли \ (Q \) в том случае, если \ (P \) тоже.

Существуют и другие методы доказательства утверждений (подтекстов и т. Д.), С которыми мы будем сталкиваться в ходе наших исследований, и постоянно открываются новые методы доказательства. Прямое доказательство — это самый простой и элегантный вид доказательства, и его преимущество состоит в том, что такое доказательство часто отлично объясняет , почему утверждение верно.

Пример 0.2.4.

Докажите: если два числа \ (a \) и \ (b \) четные, то их сумма \ (a + b \) четна.

Решение

Доказательство.

Предположим, что числа \ (a \) и \ (b \) четные. Это означает, что \ (a = 2k \) и \ (b = 2j \) для некоторых целых чисел \ (k \) и \ (j \ text {.} \) Тогда сумма равна \ (a + b = 2k + 2j = 2 (k + j) \ text {.} \) Поскольку \ (k + j \) является целым числом, это означает, что \ (a + b \) четное число.

Обратите внимание, что, поскольку мы можем предположить гипотезу импликации, у нас сразу есть место для начала. Доказательство основывается на постоянных вопросах и ответах: «Что это значит?» В конце концов, мы приходим к выводу, что это означает заключение.

Аргументы такого рода встречаются и вне математики. Если вы когда-либо начинали спор со слов «гипотетически, допустим…», значит, вы пытались получить прямое доказательство своего желаемого вывода.

Импликация — это способ выражения отношения между двумя утверждениями. Часто бывает интересно спросить, существуют ли другие отношения между утверждениями. Здесь мы вводим общий язык для ответа на этот вопрос.

Конверс и контрапозитив.

• Преобразование импликации \ (P \ imp Q \) — это импликация \ (Q \ imp P \ text {.} \) Обратное НЕ логически эквивалентно исходной импликации. То есть, истинно ли обратное импликации, не зависит от истинности импликации.

• Контрпозитив импликации \ (P \ imp Q \) — это утверждение \ (\ neg Q \ imp \ neg P \ text {.} \) Импликация и ее контрпозитив логически эквивалентны (они оба являются истина или оба ложь).

Математика изобилует примерами истинных выводов, которые имеют ложное утверждение. Если число больше 2 простое, то это число нечетное. Однако то, что число нечетное, не означает, что оно простое. Если фигура квадратная, то это прямоугольник. Но неверно, что если фигура представляет собой прямоугольник, то это квадрат.

Однако иногда верно и обратное истинное утверждение. 2 \ text {,} \), то треугольник со сторонами \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (c \) — это прямоугольный треугольник .Всякий раз, когда вы сталкиваетесь с математическим выводом, всегда разумно спросить, верно ли обратное.

С другой стороны, контрапозитив всегда имеет то же значение истинности, что и его первоначальный смысл. Это может быть очень полезно при принятии решения о том, верен ли вывод: часто легче проанализировать контрапозитив.

Пример 0.2.5.

Верно или неверно: если вы возьмете любые девять игральных карт из обычной колоды, то у вас будет как минимум три карты одной масти.Верно ли обратное?

Решение

Верно. Первоначальный вывод немного сложно проанализировать, потому что существует так много различных комбинаций из девяти карт. Но рассмотрим контрапозитив: если у нет хотя бы трех карт одной масти, то у вас нет девяти карт. Легко понять, почему это так: у вас может быть максимум две карты каждой из четырех мастей, всего восемь карт (или меньше).

Обратное: если у вас есть хотя бы три карты одной масти, значит, у вас девять карт.Это неправда. У вас может быть три пики и больше ничего. Обратите внимание: чтобы продемонстрировать, что обратное утверждение (импликация) неверно, мы привели пример, в котором гипотеза верна (у вас есть три карты одной масти), но где вывод неверен (у вас нет девяти карт).

Понимание обратных и контрапозитивных может помочь понять последствия и их истинные значения:

Пример 0.2.6.

Предположим, я скажу Сью, что если она наберет 93% за свой финал, то она получит пятерку в классе.Если предположить, что то, что я сказал, правда, что вы можете сделать в следующих случаях:

1. Сью получает 93% в финале.

2. Сью получает пятерку в классе.

3. Сью не набрала 93% в финале.

4. Сью не получила пятерки в классе.

Решение

Прежде всего обратите внимание, что всякий раз, когда \ (P \ imp Q \) и \ (P \) оба являются истинными утверждениями, \ (Q \) также должно быть истинным. Для этой задачи возьмите \ (P \), чтобы обозначить «Сью набрала 93% за свой финал», и \ (Q \), чтобы обозначить «Сью получит пятерку в классе.”

1. У нас есть \ (P \ imp Q \) и \ (P \ text {,} \), поэтому \ (Q \) следует. Сью получает А.

2. Ничего не сделаешь. Сью могла получить пятёрку, например, потому что она сделала дополнительный балл. Обратите внимание, что мы не знаем, что если Сью получит \ (A \ text {,} \), то она получит 93% в своем финале. Это обратное исходному выводу, так что оно может быть правдой, а может и нет.

3. Противоположностью обратного \ (P \ imp Q \) является \ (\ neg P \ imp \ neg Q \ text {,} \), в котором говорится, что если Сью не наберет 93% в финале, то она не получит пятерку в классе.Но это не следует из первоначального смысла. Опять же, мы ничего не можем сделать. Сью могла бы сделать дополнительную заслугу.

4. Что произойдет, если Сью не получит пятерку, но получит ли 93% в финале? Тогда \ (P \) будет истинным, а \ (Q \) — ложным. 2 \) четно.2 \) четно, то \ (n \) четно.

   Вы можете думать, что операторы «если и только если» состоят из двух частей: импликации и обратной. Можно сказать, что одна часть — это «если», а другая — «только если». Мы также иногда говорим, что у операторов «если и только если» есть два направления: прямое \ ((P \ imp Q) \) и обратное (\ (P \ leftarrow Q \ text {,} \), что на самом деле просто неряшливая запись для \ (Q \ imp P \)).

   Давайте немного подумаем, какая часть какая. Является ли \ (P \ imp Q \) частью «если» или частью «только если»? Рассмотрим пример.

   Пример 0.2.7.

   Допустим, я пою тогда и только тогда, когда я в душе. Мы знаем, что это означает как то, что если я пою, то я в душе, так и наоборот, что если я в душе, то я пою. Пусть \ (P \) будет утверждением: «Я пою», а \ (Q \) — «Я в душе». Итак, \ (P \ imp Q \) — это утверждение: «Если я пою, значит, я в душе». Какая часть оператора if и only if это?

   То, что мы действительно просим, ​​- это значение слов «Я пою , если я в душе» и «Я пою , только если я в душе.Когда первое (часть «если») ложно ? Когда я в душе, но не пою. Это то же условие ложности, что и утверждение «если я в душе, то я пою». Таким образом, часть «если» — это \ (Q \ imp P \ text {.} \). С другой стороны, сказать: «Я пою, только если я в душе» — это то же самое, что сказать «если я пою, то Я в душе », поэтому часть« только если »- это \ (P \ imp Q \ text {.} \)

   Не очень важно знать, какая часть является« если »или« только если » часть, но это действительно иллюстрирует кое-что очень, очень важное: есть много способов заявить о подтексте!

   Пример 0.2.8.

   Перефразируйте подтекст: «Если я сплю, значит, я сплю» как можно множеством различных способов. Затем проделайте то же самое с обратным.

   Решение

   Все следующие значения эквивалентны исходному заключению:

   1. Я сплю, если мне снится.

   2. Мне снится, только если я сплю.

   3. Чтобы мечтать, я должен спать.

   4. Чтобы присниться, нужно, чтобы я спал.

   5. Чтобы уснуть, достаточно мечтать.

   6. Я не сплю, пока не сплю.

   Следующее эквивалентно обратному (если я сплю, то мне снится):

   1. Мне снится, если я сплю.

   2. Я сплю, только если мне снится.

   3. Для того, чтобы уснуть, нужно, чтобы я мечтала.

   4. Мне достаточно спать, чтобы мечтать.

   5. Если мне не снится, значит, я не сплю.

   Надеюсь, вы согласны с приведенным выше примером. Мы включаем «необходимые и достаточные» версии, потому что они распространены при обсуждении математики. Собственно, давайте раз и навсегда согласимся, что они означают.

   Необходимо и достаточно.

   Если честно, у меня с ними проблемы, если я не очень осторожен. Я считаю, что для справки полезно использовать стандартный пример.

   Пример 0.2.9.

   Напомним из исчисления, если функция дифференцируема в точке \ (c \ text {,} \), то она непрерывна в \ (c \ text {,} \), но обратное этому утверждению неверно (для например, \ (f (x) = | x | \) в точке 0).Подтвердите этот факт, используя «необходимый и достаточный» язык.

   Решение

   Это правда, что для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке \ (c \ text {,} \), необходимо, чтобы функция была непрерывной в \ (c \ text {.} \). Однако это не обязательно, чтобы функция была дифференцируемой в точке \ (c \), чтобы она была непрерывной в точке \ (c \ text {.} \)

   Верно, что для непрерывности в точке \ (c \ text {,} \) достаточно, чтобы функция была дифференцируемой в \ (c \ text {.} \). Однако это не тот случай, когда функция at \ (c \) достаточно для дифференцируемости функции в \ (c \ text {.} \)

   Размышление о необходимости и достаточности условий также может помочь при написании доказательств и обосновании выводов. Если вы хотите установить какой-то математический факт, полезно подумать, каких еще фактов будет достаточно (достаточно), чтобы доказать ваш факт. Если у вас есть предположение, подумайте о том, что также должно быть необходимым, если эта гипотеза верна.

   Подраздел Предикаты и квантификаторы

   Расследовать!

   Рассмотрите приведенные ниже утверждения.Решите, эквивалентны ли одни из них или подразумевают какие-то другие.

   1. Некоторых можно постоянно дурачить.

   2. Иногда можно всех обмануть.

   3. Всегда можно кого-нибудь обмануть.

   4. Иногда можно всех обмануть.

   Было бы неплохо использовать переменные в наших математических предложениях. Например, предположим, что мы хотим заявить, что если \ (n \) простое число, то \ (n + 7 \) не простое число.Это похоже на подтекст. Я хотел бы написать что-то вроде

   \ begin {уравнение *} Р (п) \ имп \ нег Р (п + 7) \ end {уравнение *}

   , где \ (P (n) \) означает «\ (n \) простое число». Но это не совсем так. Во-первых, поскольку в этом предложении есть свободная переменная (то есть переменная, о которой мы ничего не указали), это не оператор. Предложение, содержащее переменные, называется предикатом .

   Теперь, если мы вставим определенное значение для \ (n \ text {,} \), мы получим инструкцию.Фактически, оказывается, что независимо от того, какое значение мы подставляем для \ (n \ text {,} \), в этом случае мы получаем истинное значение. Что мы действительно хотим сказать, так это то, что для всех значений \ (n \ text {,} \), если \ (n \) простое число, то \ (n + 7 \) — нет. Нам нужно количественно определить переменную.

   Хотя существует множество типов кванторов в английском языке (например, многие, немногие, большинство и т. Д.) В математике мы по большей части придерживаемся двух: экзистенциального и универсального.

   Универсальные и экзистенциальные кванторы.

   Квантификатор существования — \ (\ существует \) и читается как «существует» или «существует». Например,

   \ begin {уравнение *} \ существует х (х \ lt 0) \ end {уравнение *}

   утверждает, что существует число меньше 0.

   Универсальный квантор \ (\ forall \) читается «для всех» или «для каждого». Например,

   \ begin {уравнение *} \ forall х (х \ ge 0) \ end {уравнение *}

   утверждает, что каждое число больше или равно 0.

   Как и все математические утверждения, мы хотели бы решить, являются ли количественные утверждения истинными или ложными.Рассмотрим заявление

   \ begin {уравнение *} \ forall x \ существует y (y \ lt x) \ text {.} \ end {уравнение *}

   Вы бы прочитали это: «для каждого \ (x \) существует некоторый \ (y \) такой, что \ (y \) меньше, чем \ (x \ text {.} \)». Это правда? Ответ зависит от того, какова наша область дискурса : когда мы говорим «для всех» \ (x \ text {,} \), имеем в виду все положительные целые числа или все действительные числа или все элементы некоторого другого набора? Обычно эта информация подразумевается. В дискретной математике мы почти всегда количественно определяем более натуральных чисел , 0, 1, 2,…, так что давайте возьмем это для нашей области дискурса здесь.

   Чтобы утверждение было истинным, нам нужно, чтобы независимо от того, какое натуральное число мы выбираем, всегда есть какое-то натуральное число, которое строго меньше. Возможно, мы могли бы позволить \ (y \) быть \ (x-1 \ text {?} \) Но вот проблема: что, если \ (x = 0 \ text {?} \) Тогда \ (y = -1 \ ) и это не число! (в нашей области дискурса). Таким образом, мы видим, что утверждение неверно, потому что существует число, которое меньше или равно всем другим числам. В символах,

   \ begin {уравнение *} \ существует x \ forall y (y \ ge x) \ text {.} \ end {уравнение *}

   Чтобы показать, что исходное утверждение ложно, мы доказали, что отрицание , было истинным. Обратите внимание на сравнение отрицания и исходного утверждения. Это типично.

   Кванторы и отрицание.

   \ (\ neg \ forall x P (x) \) эквивалентно \ (\ exists x \ neg P (x) \ text {.} \)

   \ (\ neg \ exists x P (x) \) эквивалентно \ (\ forall x \ neg P (x) \ text {.} \)

   По сути, мы можем передать символ отрицания через квантификатор, но это заставит квантификатор переключить тип.Это не должно вызывать удивления: если не все имеет свойство, значит, что-то не имеет этого свойства. И если нет чего-то с свойством, значит, этого свойства нет у всего.

   Неявные квантификаторы.

   В математике всегда полезно быть точным. Однако иногда мы можем немного расслабиться, если все мы согласны с соглашением. Примером такого соглашения является предположение, что предложения, содержащие предикаты со свободными переменными, предназначены как утверждения, где переменные универсально количественно определены.

   Например, вы верите, что если фигура представляет собой квадрат, то это прямоугольник? Но как это может быть правдой, если это не утверждение? Чтобы быть немного более точным, у нас есть два предиката: \ (S (x) \) означает «\ (x \) является квадратом» и \ (R (x) \) означает «\ (x \) равно Прямоугольник». Предложение , на которое мы смотрим:

   \ begin {уравнение *} S (х) \ имп R (х) \ текст {.} \ end {уравнение *}

   Это ни правда, ни ложь, так как это не утверждение. Но давай! Все мы знаем, что мы хотели рассмотреть заявление

   .

   \ begin {уравнение *} \ forall x (S (x) \ imp R (x)) \ text {,} \ end {уравнение *}

   , и это то, что наша конвенция советует нам учитывать.

   Точно так же мы часто будем немного небрежно относиться к различию между предикатом и утверждением. Например, мы можем написать , пусть \ (P (n) \) будет оператором , «\ (n \) простое число», , что технически неверно. Подразумевается, что мы подразумеваем, что мы определяем \ (P (n) \) как предикат, который для каждого \ (n \) становится утверждением, \ (n \) является простым.

   Написание и классификация истинных, ложных и открытых утверждений по математике — видео и стенограмма урока

   Классифицирующие утверждения

   Утверждение истинно, если оно соответствует ситуации.Истинное утверждение не зависит от неизвестного. В математике мы используем правила и доказательства, чтобы гарантировать, что данное утверждение истинно. Если вы начнете с утверждения, которое истинно, и будете использовать правила для поддержания этой целостности, то в конечном итоге получите утверждение, которое также истинно. Доказательства — это математические суды истины, методы, с помощью которых мы можем убедиться, что утверждение остается верным.

   В математике утверждения обычно верны, если выполняется одно или несколько из следующих условий:

   • Математическое правило утверждает, что оно истинно (например, рефлексивное свойство говорит, что a = a ).
   • Математическая задача дает это как начальное условие (например, в задаче говорится, что у Томми три апельсина).
   • Утверждение может быть достигнуто с помощью логического набора шагов, которые начинаются с известного истинного утверждения (например, доказательства).

   В качестве альтернативы ложное утверждение — это утверждение, которое не соответствует текущей ситуации. В математике утверждение неверно, если применяется одно или несколько из следующих условий:

   • Это противоречит математическому правилу (например, если вы говорите, что a ≠ a или a > a ).
   • Это противоречит части информации, приведенной в математической задаче (например, если в задаче указано, что у Томми три апельсина, а вместо этого вы записываете четыре апельсина).
   • Это противоречит набору логических шагов, которые начинаются с известного истинного утверждения (например, если вы знаете, что две величины равны, а затем вы говорите, что они равны после добавления разных величин с каждой стороны).

   Открытый оператор — это оператор, в котором у вас недостаточно информации (или вы еще не нашли ее), чтобы определить, правда это или нет.Вы можете определить открытые утверждения в математике, ища условия.

   • В задаче указано условие или вопрос (например, «Мэри зарабатывает больше 10 долларов в час?»).
   • В утверждении есть переменные, которые могут сделать его истинным при определенных условиях (например, x = y , если они оба равны одному и тому же значению).

   Написание утверждений

   Если от вас требуется написать истинное утверждение, например, когда вы решаете проблему, вы можете использовать известную информацию и соответствующие математические правила, чтобы написать новое истинное утверждение.Например, вы можете узнать, что 2 x — 3 = 2 x — 3, используя определенные правила.

   1. Начните с x = x (рефлексивное свойство).
   2. Умножьте обе стороны на 2, записав 2 x = 2 x (мультипликативное свойство равенства).
   3. Вычтите 3, записав 2 x — 3 = 2 x — 3 (свойство вычитания равенства).

   Поскольку на всех этапах сохранялась целостность истинного утверждения, оно по-прежнему верно, и вы написали новое истинное утверждение.Вы начали с истинного утверждения, следовали математическим правилам на каждом этапе и закончили с другим истинным утверждением.

   Написать ложные утверждения может быть сложно, потому что многие утверждения, которые кажутся ложными, на самом деле могут быть условными. Например, утверждение, что небо не голубое, не является ни правдой, ни ложью, потому что это зависит от условий, в которых вы смотрите на небо. В математике ложные утверждения — это те, которые неверны для данной задачи. Вы можете написать ложное утверждение, опровергнув одно из свойств математики, опровергнув данный факт или неправильно используя математическое правило.Например, вы всегда можете написать x ≠ x для ложного утверждения.

   Условные утверждения верны при одних условиях и ложны при других. Верны они или нет, зависит от другой информации. Легко написать условный оператор x = y , потому что он зависит от значений для x и y .

   Резюме урока

   Хорошо, давайте на секунду вспомним, что мы узнали.В математике определенное утверждение является истинным, , если это правильное утверждение, и считается ложным , если оно неверно. И если истинность утверждения зависит от неизвестного значения, тогда утверждение открыто . Возможность определять, являются ли утверждения истинными, ложными или открытыми, поможет вам в ваших математических приключениях.

   Определение того, является ли утверждение истинным, ложным или неопределенным

   Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

   Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

   Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

   Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

   Вы должны включить следующее:

   Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

   Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

   Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
   101 S. Hanley Rd, Suite 300
   St. Louis, MO 63105
   

   Или заполните форму ниже:

   Раздел 1.1

   Раздел 1.1 Логические формы и эквиваленты

   Логическая форма и логика Эквивалентность | Определения | Сложный Заявления | Таблицы истинности

   Логическая эквивалентность | Законы ДеМоргана | Таблица логических эквивалентов

   ---

   Логический Форма и логическая эквивалентность

   Содержание утверждения не совпадает с его логической формой.Например, рассмотрим 2 следующих утверждения:

   Если Салли просыпается поздно или опаздывает на автобус, она опоздает на работу. Поэтому, если Салли приходит на работу вовремя, она не просыпалась поздно и не опаздывала на автобус.

   Если x — действительное число такое, что x <-2 или x> 2, то x ² > 4. Следовательно, если x ² < 4, то x > -2 и x < 2.

   Логический анализ не помогает определить достоинства аргумента.Вместо это помогает проанализировать форму аргумента, чтобы определить, правда ли Вывод следует из истинности предыдущих утверждений. В то время как содержание двух приведенных выше утверждений различно, их логическая форма похожий.

   Пусть p означает утверждения «Салли поздно просыпается». и «x — действительное число такое, что x <-2».
   Пусть q означает утверждения «Салли опаздывает на автобус». и «x — действительное число такое, что x> -2».
   Пусть r означает утверждения «Салли опаздывает на работу». и «x ² > 4».

   
   Тогда общая форма для обоих приведенных выше аргументов:

   Если p или q, то r.
   Следовательно, если не r, то не p и не q.

   Практические упражнения

   ---

   Д Е Ф И Н И Т И О Н С
   Аргумент:	последовательность утверждений, направленных на доказательство истины утверждения или утверждения.
   Заявление:	предложение, истинное или ложное, но не то и другое. Это также называется предложением.
   Отрицание:	, если p — переменная оператора, отрицание p — это «не p », обозначается ~ p . Если п верно, то ~ p ложно.
   Соединение:	, если p и q — переменные инструкции, то соединение p и q составляет « p и q », обозначено pq . Конъюнкция истинна только тогда, когда истинны обе переменные. Если 1 или обе переменные ложны, pq ложно.
   Разъединение:	, если p и q — переменные инструкции, то дизъюнкция p и q составляет « p или q », обозначено pq . Дизъюнкция истинна, если истинны одна или обе переменные. шт. ложно, только если обе переменные ложны.
   Тавтология:	Форма утверждения, которая всегда верна. Правда делает не полагаться на значения отдельных утверждений, замененных переменные оператора, но от логической структуры самого оператора. (т.е. вы получите пятерку в этом классе или нет).
   Противоречие:	Бланк заявления, который всегда является ложным. Как тавтология, ложность заключается не в отдельных переменных утверждения, а в логическая структура самого высказывания.(т.е. я всегда вру.)

   ---

   
   Составные отчеты

   используйте символы (логические И), (логическое ИЛИ), и ~ (НЕ) для построения сложных логических операторов из более простых.

   Пусть p = «жарко» и q = «солнечно». Тогда заявление «Не жарко, но солнечно». можно написать символически:

   ~ п в

   Практические упражнения

   ---

   
   Однако утверждения должны иметь четко определенные истинностные значения — они должны быть либо истинными, либо ложными.Истинность утверждения может быть выражена по таблице истинности . А таблица истинности для данного утверждения отображает результирующие значения истинности для различных комбинации значений истинности для переменных. Правда соединения утверждение может быть логически выведено с использованием известных значений истинности для различных части заявления.

   Таблица истинности для ~ стр.		Таблица истинности для pq			Таблица истинности для pq
   п.	~ стр.	п.	кв	шт.	п.	кв	шт.
   т	Ф.	т	т	т	т	т	т
   Ф.	т	т	Ф.	Ф.	т	Ф.	т
   		Ф.	т	Ф.	Ф.	т	т
   		Ф.	Ф.	Ф.	Ф.	Ф.	Ф.

   Практические упражнения

   ---

   Логическая эквивалентность:

   Два оператора логически эквивалентны тогда и только тогда, когда их результирующие формы логически эквивалентны, когда идентичны переменные оператора используются для представления операторов компонентов.

   Две формы операторов логически эквивалентны тогда и только тогда, когда их результирующие таблицы истинности идентичны для каждого варианта переменных утверждения.

   шт. и qp имеют одинаковые значения истинности, поэтому они логически эквивалентны .

   п.	кв	шт.	qp
   т	т	т	т
   т	Ф.	Ф.	Ф.
   Ф.	т	Ф	Ф
   Ф.	Ф.	Ф.	Ф.

   Другие логически эквивалентные утверждения включают:

   Чтобы проверить логическую эквивалентность 2 утверждений, постройте таблица истинности, которая включает в себя каждую переменную, которая должна быть оценена, а затем проверить чтобы увидеть, эквивалентны ли результирующие значения истинности двух утверждений.

   
   

   
   

   ---

   Законы ДеМоргана

   Отрицание конъюнкции (логическое И) двух операторов. логически эквивалентен дизъюнкции (логическое ИЛИ) каждого оператора отрицание.Звучит сложно, но это означает, что «не (A и B) « логически эквивалентно », а не А или нет В ».

   Аналогично отрицание дизъюнкции 2 утверждений логически эквивалентен соединению отрицания каждого утверждения. Положил просто «не (A или B)» логически эквивалент «не A и не B» . Символически это можно записать как

   Эти два утверждения логически эквивалентны (щелкните здесь для определения), и это можно проверить используя таблицу истинности.

   
   

   
   

   ---

   Таблица логики Эквиваленты:

   Следующая таблица может быть использована для сокращения составных операторов до более простые формы. Данные переменные инструкции p, q, и r , тавтология t и противоречие c, следующее правила логического удержания:

   Логические эквиваленты могут использоваться для упрощения форм выписок и подтверждения или опровергнуть эквивалентность, чтобы создать эффективный и логически правильный компьютер программ или для помощи в проектировании цифровых логических схем.

   Чтобы упростить эквивалентность, начните с одной стороны уравнения и попытайтесь чтобы заменить его части эквивалентными выражениями. Продолжайте делать это до тех пор, пока вы получили желаемую форму заявления.

   Практические упражнения

   видов заявлений

   Виды выписок
   Некоторые полезные определения

   При анализе аргументов философы сочли полезным категоризировать высказывания по-разному.Хотя терминология, введенная этим анализом, поначалу может показаться запутанным, основные концепции относительно простой и должен быть изучен на раннем этапе подхода студента к философии.

   Утверждения, сделанные либо в аргументе, либо в простом изложении позиции без аргументов обычно называются « операторов » или
   «предложения» .

   Заявление (предложение): значение, подразумеваемое любым предложением, которое можно назвать истинным или ложь .

   Обратите внимание, что «предложение» — это не то же самое, что «утверждение»; это скорее, транспортное средство, которым передается заявление. Таким образом, два разных предложения могут содержать одно и то же утверждение. «Мэри любит Джона». и «Джон любимые Марией «- это два способа передать одно и то же утверждение. Более того, предложение может быть неоднозначным, допускать более одного одинакового разумное толкование его значения; каждому отдельному значению приписывается к неоднозначному предложению считается отличным от высказывание .

   Отметьте также, что истинность или ложность утверждения не обязательно должна быть известна или согласовано. Все, что требуется, — это иметь смысл сказать, что (или спросите, истинно это утверждение или нет. Так, например, предложения: «Есть жизнь после смерти». или «Юлий Цезарь ел яичницу за завтраком 15 марта 33 г. до н. э. «делать заявления, хотя их действительные правда или ложь неизвестны.

   Фактическое значение истинности утверждения зависит от того, как мир есть, или как говорят философы, «природы реальности». «Поскольку претензии о природе реальности метафизических утверждений, , «истина» считается метафизической концепцией . Однако будь или не какой-либо человек (или не человек) знает истинную ценность утверждение — это утверждение о характере знаний, предмете из эпистемологии. Следовательно, пока вопросы о том, что правда, метафизические , вопросы о том, что один знает, что истинно, — это эпистемологические вопросы.

   
   Истина Значение: свойство утверждения быть либо истинным или ложь. Все утверждений (по определению «утверждений») истинны. ценить; нас часто интересует определение истинности, другими словами в определении того, является ли утверждение истинным или ложным. Все заявления значение истины, независимо от того, знает ли кто-либо на самом деле , что это за правда значение есть. [Предложение, которое нельзя назвать истинным или ложным, не содержит значение истины, и, следовательно, не утверждает «утверждения».» Вопросов и команды, например, являются подлинными предложениями, но не утверждают утверждения и поэтому не имеют истинной ценности.]

   
   Помните, что синус утверждение определяется как то, что означает предложение, когда мы говорим о утверждении или , мы имеем в виду, что значения условия в этом заявлении остаются неизменными. Если мы изменим смысл или переопределить любой из терминов утверждения, тогда мы, по сути, конструируем новый статус.

   Утверждения разделены на , почему они верны или ложны в « аналитических отчетов » и « синтетических отчетов .»

   Аналитический отчет: отчет истинность которого определяется значениями его терминов, например ., «Все квадраты четырехгранные». Иногда говорят ( например, Канта), когда утверждение находится в простой форме субъект-предикат, что аналитическое оператор — это тот, в котором предикат ( например, , свойство быть четырехсторонний) — «содержится внутри» предмета (понятие квадрата).

   Термин «тавтология» тесно связан с «аналитическими высказываниями»:

   Тавтология (тавтологическое высказывание) утверждение, которое обязательно истинно на основе его логико-синтаксического состав.

   Термин «тавтология» иногда используется как синоним слова «аналитически верный». оператор «, но точнее, он ограничен только этим подклассом аналитически верных утверждений, истинных на основе синтаксиса (формального логическая структура) в одиночку; например , «Роза есть роза». или «Либо Платон был греком или Платон не был греком ».

   Противоположность тавтологии, которая является утверждением, которое всегда ложно:

   Внутреннее противоречие (сам противоречивое утверждение) утверждение, которое обязательно является ложным на основу его логической структуры.Само-противоречивое заявление и утверждает, и отрицает один и тот же предикат субъекта, , например. , г. «Это роза, а не роза». или «Новый Орлеан — самый большой город в Луизиане и Новом Орлеане не самый большой город Луизианы ».

   И тутологии, и самопротиворечие используют понятие «необходимость». применительно к значению истины:

   Необходимая правда: логически невозможно быть кроме правды.

   Декарт сформулировал концепцию необходимой истины так, что утверждение считается «обязательно истинным», если логически невозможно отрицать это ( и.е. , считаю ложным). Обратите внимание, что требуется логическая невозможность (не физическая или психологическая невозможность). Так, например, аналитическое утверждение: «Все треугольники трехсторонние». обязательно верно, потому что логически невозможно представить, что потребовалось бы отрицать это утверждение, а именно «нетрехсторонний треугольник». Что бы это могло быть?

   Нет необходимости выражать эту концепцию необходимой истины в менталистический словарь традиционной философии Просвещения, я.е. о чем мы можем представить. Можно также сказать, что утверждение обязательно истина, если его отрицание логически противоречит самому себе, т.е. обязательно ложный. Чтобы попытаться показать «Все треугольники трехсторонние». ложь один пришлось бы утверждать: «По крайней мере, у одного треугольника нет трех сторон». Но с тех пор «треугольник» определяется как трехсторонняя фигура, это утверждение станет «По крайней мере, одна трехсторонняя фигура не является трехсторонней». что было бы обычно принято как логически обязательно ложное.

   Аналитически верные утверждения или тавтологии обязательно верны. Однако, поскольку их истина является результатом значений их терминов (их семантика) или их логическая структура (их синтаксис), они информативны только о лингвистических соглашениях, а не о фактах, которые логически могло быть иначе. По этой причине общепринято считать, что аналитические утверждения не могут передать информацию о том, каков мир; они есть считается «пустым», «неинформативным» или «пустым от эмпирического содержания».»
   .
   
   
   

   Синтетическое заявление: заявление истинная ценность которой зависит от пути — мир; например , г. «Новый Орлеан — самый большой город Луизианы».

   Синтетические утверждения — это все те утверждения, которые являются , а не аналитическими, или другими словами, любое утверждение, истинность которого не может быть определена только по языковому значению.
   
   
   

   Условное заявление заявление что логически могло быть либо истинным, либо ложным.

   Все верные утверждения, которые не обязательно верны (логически не могут быть отличным от истины) условно верны. Их правда считается случайной от (зависит от) фактов, касающихся того, как устроен мир. Таким образом, весь контингент утверждения — это синтетические утверждения.
   
   

   Утверждения также могут быть классифицированы в соответствии с , как их истинность может быть быть определенным: и здесь есть две возможности:
   

   A Priori известен самостоятельно любого конкретного опыта (наблюдения) за миром.

   
   Утверждение называется «известным априори», если мы можем определить его ценность истины без какого-либо обращения к фактам опыта.
   

   A Posteriori (эмпирический) известен только на основании опыт мира.

   
   Все утверждения, сделанные на основании наблюдения, являются «известными апостериори», их называют «эмпирическими» утверждениями. (на практике слово «эмпирический» почти полностью заменил использование выражения «известное апостериори»).

   ПРИМЕЧАНИЕ: Из этих определений должно быть ясно, что любое аналитическое утверждение может быть известно a priori и что любое утверждение, истинность которого может быть познано только эмпирически и будет синтетическим утверждением. Будь или не некоторые синтетические утверждения могут быть известны априори; т.е. ., могут ли некоторые истины о мире быть познаны независимо от любое переживание мира) остается нерешенным философским вопросом, хотя большинство современных философов отрицали бы, что любое синтетическое утверждение может быть известно априори.

   Тот факт, что проведенные выше различия являются основными для оценки западной эпистемологии означает, что некоторые концепции, связанные с приведенные выше определения не вызывают проблем. Действительно правильный способ категоризации высказываний остается постоянной темой для интенсивных философских дебаты. В частности, конец двадцатого века засвидетельствовал продолжающиеся дебаты о том, может ли аналитическое / синтетическое различие быть ясно нарисованным или могут ли быть известны какие-то синтетические утверждения обязательно правда.
   
   

   Таблицы истинности и анализ аргументов: примеры

   Таблицы истинности

   Поскольку сложные логические утверждения могут быть сложными для размышления, мы можем создать таблицу истинности , чтобы отслеживать, какие значения истинности для простых утверждений делают сложное утверждение истинным, а какое ложным

   Таблица истинности

   Таблица, показывающая, каково результирующее значение истинности сложного утверждения для всех возможных значений истинности для простых утверждений.

   Пример 1

   Предположим, вы выбираете новый диван, и ваша вторая половинка говорит: «Купите что-нибудь секционное или с шезлонгом».

   Это сложное утверждение, состоящее из двух более простых условий: «является секционным» и «имеет шезлонг». Для простоты воспользуемся S для обозначения «является секционным» и C для обозначения «имеет шезлонг». Условие S выполняется, если кушетка секционная.

   Таблица истинности для этого будет выглядеть так:

   S	К	S или C
   т	т	т
   т	F	т
   ф.	т	т
   ф.	F	F

   В таблице T означает истину, а F — ложь.В первой строке, если S истинно и C также истинно, то комплексное утверждение « S или C » истинно. Это будет секция, у которой тоже есть шезлонг, что соответствует нашему желанию.

   Помните также, что или в логике не исключают; если диван имеет обе функции, он соответствует условию.

   Для дальнейшего сокращения наших обозначений мы собираемся ввести некоторые символы, которые обычно используются для и , или , а также , а не .

   Символы

   Символ ⋀ используется для и : A и B обозначен как A ⋀ B .

   Символ ⋁ используется для или : A или B обозначается A ⋁ B

   Символ ~ используется для , а не : не A обозначается ~ A

   Вы можете запомнить первые два символа, связав их с формами объединения и пересечения. A ⋀ B — это элементы, которые существуют в обоих наборах, в A ⋂ B.Аналогично, A ⋁ B будут элементами, которые существуют в любом наборе, в A ⋃ B.

   В предыдущем примере таблица истинности на самом деле просто суммировала то, что мы уже знаем о работе операторов или . Таблицы истинности для базовых утверждений и , или и , а не показаны ниже.

   Основные таблицы истинности

   А	В	A ⋀ B
   т	т	т
   т	F	F
   ф.	т	F
   ф.	F	F

   A	В	A ⋁ B
   т	т	т
   т	F	т
   ф.	т	т
   ф.	F	F

   Таблицы истинности действительно становятся полезными при анализе более сложных логических операторов.

   Пример 2

   Создайте таблицу истинности для утверждения A ⋀ ~ ( B ⋁ C )

   Это помогает работать изнутри при создании таблиц истинности и создавать таблицы для промежуточных операций. Начнем с перечисления всех возможных комбинаций истинностных значений для A , B и C . Обратите внимание, что первый столбец содержит 4 Ts, за которыми следуют 4 F, второй столбец содержит 2 Ts, 2 F, затем повторяется, а последний столбец чередуется.Этот шаблон обеспечивает учет всех комбинаций. Наряду с этими начальными значениями мы перечислим истинные значения для самого внутреннего выражения: B ⋁ C .

   А	В	К	B ⋁ C
   т	т	т	т
   т	т	F	т
   т	F	т	т
   т	F	F	F
   ф.	т	т	т
   ф.	т	F	т
   ф.	F	т	т
   ф.	F	F	F

   Далее мы можем найти отрицание B ⋁ C , отработав только что созданный столбец B ⋁ C .

   А	В	К	B ⋁ C	~ ( B ⋁ C )
   т	т	т	т	F
   т	т	F	т	F
   т	F	т	т	F
   т	F	F	F	т
   ф.	т	т	т	F
   ф.	т	F	т	F
   ф.	F	т	т	F
   ф.	F	F	F	т

   Наконец, мы находим значения A и ~ ( B ⋁ C )

   А	В	К	B ⋁ C	~ ( B ⋁ C )	A ⋀ ~ ( B ⋁ C )
   т	т	т	т	F	F
   т	т	F	т	F	F
   т	F	т	т	F	F
   т	F	F	F	т	т
   ф.	т	т	т	F	F
   ф.	т	F	т	F	F
   ф.	F	т	т	F	F
   ф.	F	F	F	т	F

   Оказывается, это сложное выражение истинно только в одном случае: если A истинно, B ложно, а C ложно.

   Когда мы обсуждали условия ранее, мы обсуждали тип, при котором мы предпринимаем действие, основанное на значении условия. Теперь мы поговорим о более общей версии условного оператора, который иногда называют импликацией .

   Последствия

   Последствия — это логические условные предложения, в которых говорится, что утверждение p , называемое антецедентом, подразумевает следствие q .

   Последствия обычно записываются как p → q

   Последствия аналогичны условным операторам, которые мы рассматривали ранее; p → q обычно записывается как «если p, то q» или «p, следовательно, q.«Разница между импликациями и условными предложениями заключается в том, что условные выражения, которые мы обсуждали ранее, предполагают действие — если условие истинно, то в результате мы предпринимаем какое-то действие. Последствия — это логическое утверждение, которое предполагает, что следствие должно логически следовать, если антецедент верен.

   Пример 3

   Английское высказывание «Если идет дождь, то в небе облака» является логическим следствием. Это веский аргумент, потому что если предшествующее утверждение «идет дождь» верно, то следствие «в небе облака» также должно быть верным.

   Обратите внимание, что это утверждение ничего не говорит нам о том, чего ожидать, если не будет дождя. Если антецедент ложен, то импликация становится неактуальной.

   Пример 4

   Друг говорит вам, что «если вы загрузите эту фотографию в Facebook, вы потеряете работу». Есть четыре возможных исхода:

   1. Вы загружаете картинку и сохраняете свою работу
   2. Вы загружаете картинку и теряете работу
   3. Вы не загружаете картинку и сохраняете свою работу
   4. Вы не загружаете картинку и теряете работу

   Есть только один возможный случай, когда ваш друг лгал — первый вариант, когда вы загружаете фотографию и сохраняете свою работу.В последних двух случаях ваш друг ничего не сказал о том, что произойдет, если вы не загрузите изображение, поэтому вы не можете сделать вывод, что его утверждение недействительно, даже если вы не загрузили изображение и все равно потеряли свое работа.

   В традиционной логике импликация считается действительной (истинной) до тех пор, пока нет случаев, в которых антецедент истинен, а следствие ложно. Важно помнить, что символическая логика не может охватить все тонкости английского языка.

   Истинные ценности для следствий

   п.	q	p → q
   т	т	т
   т	F	F
   ф.	т	т
   ф.	F	т

   Пример 5

   Постройте таблицу истинности для утверждения ( м ⋀ ~ p ) → r

   Начнем с построения таблицы истинности для антецедента.

   м	п	~ п.	м ⋀ ~ p
   т	т	F	F
   т	F	т	т
   ф.	т	F	F
   ф.	F	т	F

   Теперь мы можем построить таблицу истинности для импликации

   м	п.	~ п.	м ⋀ ~ p	r	( м ⋀ ~ p ) → r
   т	т	F	F	т	т
   т	F	т	т	т	т
   ф.	т	F	F	т	т
   ф.	F	т	F	т	т
   т	т	F	F	F	т
   т	F	т	т	F	F
   ф.	т	F	F	F	т
   ф.	F	т	F	F	т

   В этом случае, когда m истинно, p ложно и r ложно, тогда антецедент m ⋀ ~ p будет истинным, но последствие ложным, в результате недействительное следствие; любой другой случай дает верное значение.

   Для любой импликации существует три связанных утверждения: обратное, обратное и противополагающее.

   Связанные заявления

   Исходное значение: «если p , то q »: p → q

   Обратное: «если q , то p »: q → p

   Обратное выражение: «если не p , то не q »: ~ p → ~ q

   Контрапозитив: «если не q , то не p »: ~ q → ~ p

   Пример 6

   Рассмотрим еще раз верное утверждение: «Если идет дождь, то в небе облака.”

   Обратное выражение: «Если на небе облака, значит, идет дождь». Это, конечно, не всегда так.

   Обратное будет: «Если не идет дождь, то на небе нет облаков». Точно так же это не всегда так.

   Противоположный ответ: «Если на небе нет облаков, значит, не идет дождь». Это утверждение верно и эквивалентно исходному выводу.

   Глядя на таблицы истинности, мы можем видеть, что исходное условное и контрпозитивное логически эквивалентны, а обратное и обратное логически эквивалентны.

   		Последствия	Конверс	Обратный	Контрапозитив
   p	кв	p → q	q → p	~ p → ~ q	~ q → ~ p
   т	т	т	т	т	т
   т	F	F	т	т	F
   ф.	т	т	F	F	т
   ф.	F	т	т	т	т

   Эквивалентность

   Условное утверждение и его контрпозитив логически эквивалентны.

   Обратное и обратное утверждения логически эквивалентны.

   Аргументы

   Логический аргумент — это утверждение, что набор предпосылок поддерживает заключение. Есть два основных типа аргументов: индуктивные и дедуктивные.

   Типы аргументов

   Индуктивный аргумент использует набор конкретных примеров в качестве предпосылок и использует их, чтобы предложить общий вывод.

   Дедуктивный аргумент использует набор общих утверждений в качестве предпосылок и использует их, чтобы предложить конкретную ситуацию в качестве заключения.

   Пример 7

   Аргумент «когда я пошел в магазин на прошлой неделе, я забыл свой кошелек, а когда я пошел сегодня, я забыл свой кошелек. Я всегда забываю свой кошелек, когда иду в магазин », — это индуктивный аргумент.

   Помещения:

   Я забыл сумочку на прошлой неделе
   Сегодня забыл сумочку

   Вывод:

   Я всегда забываю свой кошелек

   Обратите внимание, что посылки — это конкретные ситуации, а заключение — это общее утверждение.В данном случае это довольно слабый аргумент, поскольку он основан всего на двух примерах.

   Пример 8

   Аргумент «каждый день в течение последнего года над моим домом в 14:00 пролетает самолет. Самолет будет пролетать над моим домом каждый день в 14:00 »- более сильный индуктивный аргумент, поскольку он основан на большем количестве доказательств.

   Оценка индуктивных аргументов

   Индуктивный аргумент никогда не может доказать истинность вывода, но он может предоставить либо слабые, либо убедительные доказательства того, что это может быть правдой.

   Многие научные теории, такие как теория большого взрыва, никогда не могут быть доказаны. Напротив, это индуктивные аргументы, подкрепленные множеством свидетельств. Обычно в науке идея считается гипотезой до тех пор, пока она не будет хорошо проверена, после чего она становится теорией. Все общеизвестные научные теории, такие как теория гравитации Ньютона, выдержали годы испытаний и доказательств, хотя иногда их нужно корректировать на основе новых данных.Что касается гравитации, это произошло, когда Эйнштейн предложил общую теорию относительности.

   Дедуктивный аргумент является более достоверным или нет, что упрощает их оценку.

   Оценка дедуктивных аргументов

   Дедуктивный аргумент считается действительным, если все посылки верны, и вывод логически следует из этих посылок. Другими словами, посылки верны, и вывод обязательно следует из этих посылок.

   Пример 9

   Аргумент «Все кошки — млекопитающие, а тигр — это кошка, значит, тигр — это млекопитающее» — действенный дедуктивный аргумент.

   Помещения:

   Все кошки — млекопитающие
   Тигр — это кошка

   Вывод:

   Тигр — млекопитающее

   Оба предположения верны. Чтобы увидеть, что посылки должны логически вести к заключению, можно использовать диаграмму Венна. Исходя из первой предпосылки, мы можем заключить, что набор кошек — это подмножество множества млекопитающих. Из второй посылки нам говорят, что тигр находится внутри множества кошек. Исходя из этого, мы можем видеть на диаграмме Венна, что тигр также находится внутри группы млекопитающих, так что вывод верен.

   Анализ аргументов с помощью диаграмм Венна

   Анализ аргумента с помощью диаграммы Венна

   1. Нарисуйте диаграмму Венна, основываясь на предпосылках аргумента
   2. Если помещения недостаточно, чтобы определить, что определяет расположение элемента, укажите это.
   3. Аргумент действителен, если ясно, что заключение должно быть верным

   Пример 10

   Предпосылка: все пожарные знают CPR
   Предпосылка: Джилл знает CPR
   Заключение: Джилл — пожарный

   Из первой предпосылки мы знаем, что все пожарные находятся в группе тех, кто знает СЛР.Из второй посылки мы знаем, что Джилл является членом этого большего набора, но у нас недостаточно информации, чтобы знать, является ли она также членом меньшего подмножества, то есть пожарных.

   Поскольку вывод не обязательно следует из предпосылок, это неверный аргумент, независимо от того, действительно ли Джилл является пожарным.

   Важно отметить, что то, действительно ли Джилл является пожарным, не имеет значения для оценки обоснованности аргумента; нас интересует только то, достаточно ли предпосылок, чтобы доказать вывод.

   В дополнение к этим предпосылкам категориального стиля в форме «все ___», «некоторые ____» и «нет ____» также часто можно увидеть посылки, которые имеют значение.

   Пример 11

   Предпосылка: Если вы живете в Сиэтле, вы живете в Вашингтоне.
   Предпосылка: Маркус не живет в Сиэтле
   Заключение: Маркус не живет в Вашингтоне

   Из первой предпосылки мы знаем, что множество людей, живущих в Сиэтле, находится внутри множества тех, кто живет в Вашингтоне.Из второй посылки мы знаем, что Маркус не находится в множестве Сиэтла, но у нас недостаточно информации, чтобы знать, живет ли Маркус в Вашингтоне или нет. Это недопустимый аргумент.

   Пример 12

   Рассмотрим аргумент «Вы женатый мужчина, значит, у вас должна быть жена».

   Это неверный аргумент, поскольку есть, по крайней мере, в некоторых частях мира, мужчины, состоящие в браке с другими мужчинами, поэтому посылка недостаточна, чтобы сделать вывод.

   Некоторые аргументы лучше анализировать с помощью таблиц истинности.

   Пример 13

   Рассмотрим аргумент:

   Помещение: Если вы купили хлеб, то вы пошли в магазин
   Помещение: вы купили хлеб
   Вывод: вы пошли в магазин

   Хотя мы надеемся, что этот пример является довольно очевидным аргументом, мы можем проанализировать его с помощью таблицы истинности, представив каждую из посылок символически. Затем мы можем взглянуть на импликацию, что все предпосылки вместе подразумевают заключение. Если таблица истинности является тавтологией (всегда верно), то аргумент действителен.

   Мы получим, что B означает «вы купили хлеб», а S — «вы пошли в магазин». Тогда аргумент принимает вид:

   Помещение: B → S
   Помещение: B
   Заключение: S

   Чтобы проверить достоверность, мы смотрим, подразумевает ли комбинация обоих посылок вывод; правда ли, что [( B → S ) ⋀ B ] → S ?

   B	S	B → S	( B → S ) ⋀ B	[( B → S ) ⋀ B ] → S
   т	т	т	т	т
   т	F	F	F	т
   ф.	т	т	F	т
   ф.	F	т	F	т

   Поскольку таблица истинности для [( B → S ) ⋀ B ] → S всегда истинна, это допустимый аргумент.

   Анализ аргументов с использованием таблиц истинности

   Чтобы проанализировать аргумент с помощью таблицы истинности:

   1. Символически обозначить каждое из помещений
   2. Создайте условное утверждение, объединив все посылки с антецедентом и образуя его, и используя заключение как следствие.
   3. Создайте таблицу истинности для этого утверждения. Если это всегда правда, то аргумент действителен.

   Пример 14

   Предпосылка: если я пойду в торговый центр, то куплю новые джинсы
   Предпосылка: если я куплю новые джинсы, я куплю к ним рубашку
   Вывод: если я приду в торговый центр, я куплю рубашка.

   Пусть M = иду в торговый центр, J = покупаю джинсы, а S = покупаю рубашку.

   Предпосылки и заключение можно изложить как:

   Помещение: M → J
   Помещение: J → S
   Заключение: M → S

   Мы можем построить таблицу истинности для [( M → J ) ⋀ ( J → S )] → ( M → S )

   м	Дж	S	M → Дж	Дж → Ю	( M → J ) ⋀ ( J → S )	M → S	[( M → J ) ⋀ ( J → S )] → ( M → S )
   т	т	т	т	т	т	т	т
   т	т	F	т	F	F	F	т
   т	F	т	F	т	F	т	т
   т	F	F	F	т	F	F	т
   ф. Author: alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт 2019 © Все права защищены. Карта сайта