На плоскости хоу задана своими координатами точка а указать: На плоскости ХОY задана своими координатами точка А. Указать, где она расположена (на какой

Программирование ветвящихся алгоритмов. Решение и обсуждение заданий

1. Разместить решение любой задачи первого и второго уровня на слайдах коллективной презентации (условие задачи, текст программы, блок-схему, тест для проверки задачи). Не забываем подписывать слайды. 1. Даны два угла треугольника (в градусах). Определить, существует ли такой треугольник. Если да, то будет ли он прямоугольным. 2. На плоскости XOY задана своими координатами точка A. Указать, где она расположена: на какой оси или в каком координатном угле. 3. Грузовой автомобиль выехал из одного города в другой со скоростью v₁ км/ч. Через t ч в этом же направлении выехал легковой автомобиль со скоростью v₂ км/ч. Составить программу, определяющую, догонит ли легковой автомобиль грузовой через t₁ ч после своего выезда 4. Написать программу нахождения суммы большего и меньшего из 3 чисел. 5. Написать программу, распознающую по длинам сторон среди всех треугольников прямоугольные. Если таковых нет, то вычислить величину угла C. 6. Найти max{min(a, b), min(c, d)}. 7. Составить программу, осуществляющую перевод величин из радианной меры в градусную или наоборот. Программа должна запрашивать, какой перевод нужно осуществить, и выполнять указанное действие. 8. Заданы размеры A, B прямоугольного отверстия и размеры x, y, z кирпича. Определить, пройдет ли кирпич через отверстие. 9. Составить программу, осуществляющую перевод величин из радианной меры в градусную или наоборот. Программа должна запрашивать, какой перевод нужно осуществить, и выполнять указанное действие. 10. Два прямоугольника, расположенные в первом квадранте, со сторонами, параллельными осям координат, заданы координатами своих левого верхнего и правого нижнего углов. Для первого прямоугольника это точки (x₁, y₁) и (x₂, 0), для второго — (x₃, y₃), (

x₄, 0). Составить программу, определяющую, пересекаются ли данные прямоугольники, и вычисляющую площадь общей части, если они пересекаются. 11. В небоскребе N этажей и всего один подъезд; на каждом этаже по 3 квартиры; лифт может останавливаться только на нечетных этажах. Человек садится в лифт и набирает номер нужной ему квартиры M. На какой этаж должен доставить лифт пассажира? 12. Написать программу, которая по заданным трем числам определяет, является ли сумма каких-либо двух из них положительной. 13. Известно, что из четырех чисел a₁, a₂, a₃ и a₄ одно отлично от трех других, равных между собой; присвоить номер этого числа переменной n. 14. Составить программу, которая проверяла бы, не приводит ли суммирование двух целых чисел A и B к переполнению (т.е. к результату большему, чем 32767). Если будет переполнение, то сообщить об этом, иначе вывести сумму этих чисел.

2. Оценить свое решение. Результаты самооценки разместить в таблице

Другое написать программу 📝 в vb6 Информатика

1. Сколько стоит помощь?

Цена, как известно, зависит от объёма, сложности и срочности. Особенностью «Всё сдал!» является то, что все заказчики работают со экспертами напрямую (без посредников). Поэтому цены в 2-3 раза ниже.

2. Каковы сроки?

Специалистам под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный, требующий существенных временных затрат. Для каждой работы определяются оптимальные сроки. Например, помощь с курсовой работой – 5-7 дней. Сообщите нам ваши сроки, и мы выполним работу не позднее указанной даты. P.S.: наши эксперты всегда стараются выполнить работу раньше срока.

3. Выполняете ли вы срочные заказы?

Да, у нас большой опыт выполнения срочных заказов.

4. Если потребуется доработка или дополнительная консультация, это бесплатно?

Да, доработки и консультации в рамках заказа бесплатны, и выполняются в максимально короткие сроки.

5. Я разместил заказ. Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

Да, конечно — оценка стоимости бесплатна и ни к чему вас не обязывает.

6. Каким способом можно произвести оплату?

Работу можно оплатить множеством способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, в терминале, в салонах Евросеть / Связной, через Сбербанк и т.д.

7. Предоставляете ли вы гарантии на услуги?

На все виды услуг мы даем гарантию. Если эксперт не справится — мы вернём 100% суммы.

8. Какой у вас режим работы?

Мы принимаем заявки 7 дней в неделю, 24 часа в сутки.

Декартова система координат: основные понятия и примеры

Если вы находитесь в некоторой нулевой точке и размышляете над тем, сколько единиц расстояния нужно пройти строго вперёд, а затем — строго вправо, чтобы оказаться в некоторой другой точке, то вы уже пользуетесь прямоугольной декартовой системой координат на плоскости. А если точка находится выше плоскости, на которой вы стоите, и к вашим расчётам добавляется подъём к точке по лестнице строго вверх также на определённое число единиц расстояния, то вы уже пользуетесь прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

Упорядоченная система двух или трёх пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат.

С именем французского математика Рене Декарта (1596-1662) связывают прежде всего такую систему координат, в которой на всех осях отсчитывается общая единица длины и оси являются прямыми. Помимо прямоугольной существует

общая декартова система координат (аффинная система координат). Она может включать и не обязательно перпендикулярные оси. Если же оси перпендикулярны, то система координат является прямоугольной.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве — три оси. Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат — чисел в соответствии единице длины системы координат.

Заметим, что, как следует из определения, существует декартова система координат и на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого любой точке прямой ставится в соответствие вполне определённое вещественное число, то есть координата.

Метод координат, возникший в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную перестройку всей математики. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так, неравенство z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy и находящейся выше этой плоскости на 3 единицы.

С помощью декартовой системы координат принадлежность точки заданной кривой соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a; b) удовлетворяют уравнению (

x — a)² + (y — b)² = R².

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из этих осей называется осью Ox, или осью абсцисс, другую — осью Oy, или осью ординат. Эти оси называются также координатными осями. Обозначим через Mx и My соответственно проекции произвольной точки М на оси Ox и Oy. Как получить проекции? Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Ox. Эта прямая пересекает ось Ox в точке Mx. Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Oy. Эта прямая пересекает ось Oy в точке My. Это показано на рисунке ниже.

Декартовыми прямоугольными координатами x и y точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OMx и OMy. Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x0 — 0 и y = y0 — 0. Декартовы координаты x и y точки М называются соответственно её абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты x и y, обозначается так: M(x, y).

Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта, нумерация которых показана на рисунке ниже. На нём же указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте.

Помимо декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривается также полярная система координат. О способе перехода от одной системы координат к другой — в уроке

полярная система координат.

Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом O и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве.

Одну из указанных осей называют осью Ox, или осью абсцисс, другую — осью Oy, или осью ординат, третью — осью Oz, или осью аппликат. Пусть Mx, My Mz — проекции произвольной точки М пространства на оси Ox, Oy и Oz соответственно.

Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Ox. Эта плоскость пересекает ось Ox в точке Mx. Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oy. Эта плоскость пересекает ось Oy в точке My. Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz. Эта плоскость пересекает ось Oz в точке Mz.

Декартовыми прямоугольными координатами x, y и z точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OMx, OMy и OMz. Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x0 — 0, y = y0 — 0 и z = z0 — 0.

Декартовы координаты x, y и z точки М называются соответственно её абсциссой, ординатой и аппликатой.

Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях xOy, yOz и zOx.

Пример 1. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(2; -3);

B(3; -1);

C(-5; 1).

Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox, а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ординату (координату на оси Oy, которую ось абсцисс пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось абсцисс:

Ax(2; 0);

Bx(3; 0);

Cx(-5; 0).

Пример 2. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(-3; 2);

B(-5; 1);

C(3; -2).

Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy, а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсциссу (координату на оси Ox, которую ось ординат пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось ординат:

Ay(0; 2);

By(0; 1);

Cy(0; -2).

Пример 3. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(2; 3);

B(-3; 2);

C(-1; -1).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox.

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Ox направленный отрезок, идущий от оси Ox до данной точки. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Ox, будет иметь такую же абсциссу, что и данная точка, и ординату, равную по абсолютной величине ординате данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox:

A’(2; -3);

B’(-3; -2);

C’(-1; 1).

Пример 4. Определить, в каких квадрантах (четвертях, рисунок с квадрантами — в конце параграфа «Прямоугольная декартова система координат на плоскости») может быть расположена точка M(x; y), если

1) xy > 0;

2) xy < 0;

3) x − y = 0;

4) x + y = 0;

5) x + y > 0;

6) x + y < 0;

7) x − y > 0;

8) x − y < 0.

Правильное решение и ответ.

Пример 5. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(-2; 5);

B(3; -5);

C(a; b).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy.

Правильное решение и ответ.

Пример 6. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(-1; 2);

B(3; -1);

C(-2; -2).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy.

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Oy направленный отрезок, идущий от оси Oy до данной точки. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oy, будет иметь такую же ординату, что и данная точка, и абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy:

A’(1; 2);

B’(-3; -1);

C’(2; -2).

Пример 7. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(3; 3);

B(2; -4);

C(-2; 1).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат.

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг начала координат направленный отрезок, идущий от начала координат к данной точке. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате данной точки, но противоположные им по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат:

A’(-3; -3);

B’(-2; 4);

C(2; -1).

Пример 8. В декартовой системе координат в пространстве даны точки

A(4; 3; 5);

B(-3; 2; 1);

C(2; -3; 0).

Найти координаты проекций этих точек:

1) на плоскость Oxy;

2) на плоскость Oxz;

3) на плоскость Oyz;

4) на ось абсцисс;

5) на ось ординат;

6) на ось апликат.

Решение.

1) Проекция точки на плоскость Oxy расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxy:

Axy(4; 3; 0);

Bxy(-3; 2; 0);

Cxy(2; -3; 0).

2) Проекция точки на плоскость Oxz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxz:

Axz(4; 0; 5);

Bxz(-3; 0; 1);

Cxz(2; 0; 0).

3) Проекция точки на плоскость Oyz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oyz:

Ayz(0; 3; 5);

Byz(0; 2; 1);

Cyz(0; -3; 0).

4) Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox, а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, а ордината и апликата проекции равны нулю (поскольку оси ординат и апликат пересекают ось абсцисс в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось абсцисс:

Ax(4; 0; 0);

Bx(-3; 0; 0);

Cx(2; 0; 0).

5) Проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy, а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, а абсцисса и апликата проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и апликат пересекают ось ординат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось ординат:

Ay(0; 3; 0);

By(0; 2; 0);

Cy(0; -3; 0).

6) Проекция точки на ось апликат расположена на самой оси апликат, то есть оси Oz, а следовательно имеет апликату, равную апликате самой точки, а абсцисса и ордината проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и ординат пересекают ось апликат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось апликат:

Az(0; 0; 5);

Bz(0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Пример 9. В декартовой системе координат в пространстве даны точки

A(2; 3; 1);

B(5; -3; 2);

C(-3; 2; -1).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно:

1) плоскости Oxy;

2) плоскости Oxz;

3) плоскости Oyz;

4) оси абсцисс;

5) оси ординат;

6) оси апликат;

7) начала координат.

Решение.

1) «Продвигаем» точку по другую сторону оси Oxy на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oxy, будет иметь абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную по величине апликате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxy:

A’(2; 3; -1);

B’(5; -3; -2);

C’(-3; 2; 1).

2) «Продвигаем» точку по другую сторону оси Oxz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oxz, будет иметь абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную по величине ординате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxz:

A’(2; -3; 1);

B’(5; 3; 2);

C’(-3; -2; -1).

3) «Продвигаем» точку по другую сторону оси Oyz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oyz, будет иметь ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную по величине абсциссе данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oyz:

A’(-2; 3; 1);

B’(-5; -3; 2);

C’(3; 2; -1).

По аналогии с симметричными точками на плоскости и точками пространства, симметричными данным относительно плоскостей, замечаем, что в случае симметрии относительно некоторой оси декартовой системы координат в пространстве, координата на оси, относительно которой задана симметрия, сохранит свой знак, а координаты на двух других осях будут теми же по абсолютной величине, что и координаты данной точки, но противоположными по знаку.

4) Свой знак сохранит абсцисса, а ордината и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси абсцисс:

A’(2; -3; -1);

B’(5; 3; -2);

C’(-3; -2; 1).

5) Свой знак сохранит ордината, а абсцисса и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси ординат:

A’(-2; 3; -1);

B’(-5; -3; -2);

C’(3; 2; 1).

6) Свой знак сохранит апликата, а абсцисса и ордината поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси апликат:

A’(-2; -3; 1);

B’(-5; 3; 2);

C’(3; -2; -1).

7) По аналогии с симметрии в случае с точками на плоскости, в случае симметрии относительно начала координат все координаты точки, симметричной данной, будут равными по абсолютной величине координатам данной точки, но противоположными им по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно начала координат:

A’(-2; -3; -1);

B’(-5; 3; -2);

C’(3; -2; 1).

Поделиться с друзьями

Весь блок «Аналитическая геометрия»

• Векторы
• Плоскость
• Прямая на плоскости

Вариант 2

№ 1	Ветвление	На плоскости XOY задана своими координатами точка А. Указать, где она расположена: на какой оси или в каком координатном угле
№ 2	Циклы (все три вида: For, While, Repeat)	Дана последовательность из N произвольных целых чисел. Написать программу, которая определяет, сколько в этой последовательности положительных чисел, кратных 3
№ 3	Теория чисел	Поменять местами первую и последнюю цифры числа
№ 4	Одномерные массивы	Дана последовательность целых чисел, в которой есть нулевые элементы. Сформировать массив из номеров этих элементов
№ 5	Двумерные массивы	Дан двумерный массив А. Сформировать двумерный массив В путем возведения в квадрат элементов массива А
№ 6	Строковые величины	Определить количество символов в предложении, исключая знаки препинания
№ 7	Процедуры и функции	Вычислить сумму: 1! + 2! + 3! … + n!, используя функцию вычисления факториала числа k!
№ 8	Записи	Построить массив записей о студентах. Каждая запись должна содержать фамилию, группу, баллы за контрольную неделю по дисциплинам. Рассчитать для каждого студента средний балл
№ 1	Ветвление	Определить, является ли треугольник со сторонами a, b, c равнобедренным
№ 2	Циклы	Написать программу вычисления суммы всех двузначных чисел, кратных 3 и 9
№ 3	Теория чисел	Найти количество четных цифр целого положительного числа
№ 4	Одномерные массивы	Дана произвольная последовательность натуральных чисел. Создать массив из четных чисел этой последовательности. Если таких чисел нет, то вывести сообщение об этом факте
№ 5	Двумерные массивы	Найти число элементов, расположенных в четных строках, которые больше заданного числа К
№ 6	Строковые величины	Дан текст. Проверить, можно ли заданной последовательностью символов составить слово «информатика»
№ 7	Процедуры и функции	Даны действительные числа x1, y1, x2, y2,…x10, y10. Найти периметр десятиугольника, вершины которого имеют соответственно координаты (x1, y1), (x2, y2),…, (x10, y10). Определить функцию вычисления расстояния между двумя точками, заданными своими координатами
№ 8	Записи	Построить массив записей о студентах СРШБ направления «ПО ВТ и АС». Каждая запись содержит поля: фамилия, группа, экзаменационные оценки за период обучения. Для каждого студента определить среднюю оценку

В прямоугольном параллелепипеде провести сечение, проходящее через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

В прямоугольном параллелепипеде провести сечение, проходящее через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания. В треугольной призме построить сечение, проходящее через одну из сторон верхнего основания и противолежащую вершину нижнего. | В прямом параллелепипеде провести сечение, проходящее через большую диагональ нижнего основания и одну из вершин верхнего основания. | В прямом цилиндре построить осевое сечение. | В четырехугольной пирамиде построить сечение, параллельное основанию. | В правильной шестиугольной призме построить сечение, проходящее через большую диагональ нижнего основания и одну из сторон верхнего. | В прямоугольном параллелепипеде провести сечение, проходящее через сторону верхнего основания и противоположную сторону нижнего основания. | В правильной шестиугольной призме построить сечение, проходящее через большую диагональ верхнего основания и одну из сторон нижнего. | В правильной шестиугольной пирамиде построить сечение, параллельное основанию. | В треугольной призме построить сечение, проходящее через одну из сторон нижнего основания и противолежащую вершину верхнего. | В треугольной пирамиде построить сечение, проходящее через одну из сторон основания и середину противоположного ребра. |

16. Построить график функции:

17. Дана строка символов, среди которых есть двоеточие (:). Оп­ределить, сколько символов ему предшествует.

18. Найти наибольшие элементы и их порядковые номера массивов X(N) и Y(M) ( N<=80, M<=70). Составить функцию — подпрограмму обработки массива заданной размерности. Использовать эту функцию в основной программе.

19. Записать в файл N действительных чисел. Найти наибольшее из значений модулей компонентов с нечетными номерами.

20. Создать файл, содержащий текст, набранный заглавными английскими буквами. Провести частотный анализ текста, т.е. указать (в процентах), сколько раз встречается та или иная буква.

21. На аптечном складе хранятся лекарства. Сведения о лекарствах содержатся в специальной ведомости: наименование лекарственного препарата; количество; цена; срок хранения ( в месяцах). Выяснить, сколько стоит самый дорогой и самый дешевый препарат; сколько препаратов хранится на складе; какие препараты имеют срок хранения более 3 месяцев; сколько стоят все препараты, хранящиеся на складе.

22. Написать программу, демонстрирующую работу с объектами классов «прямоугольник» и «квадрат».

Предусмотреть следующие методы:

— создать объект

— изобразить объект на экране

— сравнить объекты по площади.

 

Индивидуальное задание (вариант № 5)

1. Напишите программу для расчета по двум формулам (результаты вычислений по обеим формулам должны совпадать).

.

1. Даны два действительных числа x и y. Вычислить их сумму, разность, произведение и частное.
2. Напишите программу, в текстовом режиме приводящую экран к виду, соответствующему номеру вашего варианта.

 

1. На плоскости XOY задана своими координатами точка A. Указать, где она расположена (на какой оси или в каком координатном угле).
2. Написать программу, которая вводит координаты точки (x, y) и определяет, попадает ли точка в заштрихованную область на рисунке, который соответствует Вашему варианту. Попадание на границу области считать попаданием в область.

1. Пусть элементами круга являются радиус (первый элемент), диаметр (второй элемент) и длина окружности (третий элемент). Составить программу, которая по номеру элемента запрашивала бы его соответствующее значение и вычисляла бы площадь круга.
2. Вычислить и вывести на экран в виде таблицы значения функции, заданной с помощью ряда Тейлора, на интервале от x_нач до x_кон с шагом dx c точностью ε. Таблицу снабдить заголовком и шапкой. Каждая строка таблицы должна содержать значение аргумента, значение функции и количество просуммированных членов ряда.

.

1. Вычислить приближенное значение интеграла по формулам прямоугольников и Симпсона для n = 40 .
2. Составить алгоритм решения ребуса барс + рысь =кошки (различные буквы обозначают различные цифры, старшая – не 0).
3. В одномерном массиве, состоящем из n вещественных элементов, вычислить:

а) максимальный элемент массива;

b) сумму элементов массива, расположенных до последнего положительного элемента.

1. Сжать одномерный массив, состоящий из n вещественных элементов,

удалив из него все элементы, модуль которых находится в интервале [a; b]. Освободившиеся в конце массива элементы заполнить нулями.

---

Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 124 | Нарушение авторских прав

---

---

mybiblioteka.su — 2015-2021 год. (0.043 сек.)

Аналитическая геометрия в пространстве (Лекция №19)

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

   M(-2; 1; 4) параллельно плоскости 3x+2y-7z+8=0.

   Уравнение плоскости будем искать в виде Ax+By+Cz+D=0. Из условия параллельности плоскостей следует, что: . Поэтому можно положить A=3, B=2, C=-7. Поэтому уравнение плоскости принимает вид3x+2y-7z+D=0.

   Кроме того, так какMÎ α, то-6+2-28+D=0, D=32.

   Итак, искомое уравнение 3x+2y-7z+32=0.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(1; 1; 1), M₂(0; 1; –1) перпендикулярно плоскости x+y+z=0.

   Так как M₁Î α, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, будем иметь A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0.

   Далее, так как M₂Î α, то подставив координаты точки в выписанное уравнение, получим равенство -A-2C=0 или A+2C=0.

   Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому A+B+C=0.

   Выразим коэффициенты Aи Bчерез C: A=-2C, B=C и подставим их в исходное уравнение: -2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0.

   Окончательно получаем -2x+y+z=0.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2; 3; 6) перпендикулярно плоскостям 2x+3y-2z-4=0 и 3x+5y+z=0.

   Так как MÎ α, то A(x+2)+B(x-3)+C(z-6)=0.

   По условию задачи , поэтому

   Итак уравнение плоскости принимает вид 13(x+2)-8(y-3)+z-6=0 или 13x-8y+z+44=0.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М₁ и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М₁(x₁, y₁, z₁), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М₁ и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М₁(x₁, y₁, z₁) – точка, лежащая на прямой l, и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox, следовательно, m=0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz.

Примеры.

1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₁(1;0;-2) параллельно вектору .

   Канонические уравнения: .

   Параметрические уравнения:

2. Составить уравнения прямой, проходящей через две точки М₁(-2;1;3), М₂(-1;3;0).

   Составим канонические уравнения прямой. Для этого найдем направляющий вектор . Тогда l: .

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z= 0:

Решив эту систему, найдем точку M₁(1;2;0).

Аналогично, полагая y= 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz:

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М₁ на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М₁ получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y= 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l: .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l₁ параллельна l₂ тогда и только тогда, когда параллелен .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

Примеры.

1. Найти угол между прямыми и .

2. Найти уравнения прямой проходящей через точку М₁(1;2;3) параллельно прямой l₁:

   Поскольку искомая прямая l параллельна l₁, то в качестве направляющего вектора искомой прямой l можно взять направляющий вектор прямой l₁.

3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М₁(-4;0;2) и перпендикулярной прямым: и .

   Направляющий вектор прямой l можно найти как векторное произведение векторов и :

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

Примеры.

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(2;-3;4) параллельно прямым и .

   Так как M₁Î α, то уравнение плоскости будем искать в виде

   .

   Применяя условие параллельности прямой и плоскости, получим систему линейных уравнений

   Отсюда

   Итак, или .

2. Найти угол между прямой и плоскостью .

   Направляющий вектор прямой . Нормальный вектор плоскости . Следовательно,

3. Найдите точку, симметричную данной М(0;-3;-2) относительно прямой .

   Составим уравнение плоскости α перпендикулярной l. MÎ α, . Следовательно, или .

   Найдём точку пересечения прямой l и α:

   Итак, N(0.5;-0.5;0.5). Пусть искомая точка М₁ имеет координаты М₁(x,y,z). Тогда очевидно равенство векторов , т.е. (0,5;2,5;2,5)=(х-0.5;у+0.5;z-0.5). Откуда x=1, y=2, z=3 или М₁(1;2;3)..

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ.

Чтобы построить изображение предмета, сначала изображают отдельные его элементы в виде простейших элементов пространства. Так, изображая геометрическое тело, следует построить его вершины, представленные точками; ребра, представленные прямыми и кривыми линиями; грани, представленные плоскостями и т.д

Правила построения изображений на чертежах в инженерной графике основываются на методе проекций. Одно изображение (проекция) геометрического тела не позволяет судить о его геометрической форме или форме простейших геометрических образов, составляющих это изображение. Таким образом, нельзя судить о положении точки в пространстве по одной ее проекции; положение ее в пространстве определяется двумя проекциями.

Рассмотрим пример построения проекции точки А, расположенной в пространстве двугранного угла (рис. 60). Одну из плоскостей проекции расположим горизонтально, назовем ее горизонтальной плоскостью проекций и обозначим буквой П₁. Проекции элементов

пространства на ней будем обозначать с индексом 1 : А₁, а₁, S₁ … и называть горизонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).

Вторую плоскость расположим вертикально перед наблюдателем, перпендикулярно первой, назовем ее вертикальной плоскостью проекций и обозначим П₂. Проекции элементов пространства на ней будем обозначать с индексом 2: А₂, <a₂, S₂ и называть фронтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).П₂=A₂;

Проецирующие лучи АА₁ и АА₂ взаимно перпендикулярны и создают в пространстве проецирующую плоскость АА₁АА₂, перпендикулярную обеим сторонам проекций. Эта плоскость пересекает плоскости проекций по линиям, проходящим через проекции точки А.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим горизонтальную плоскость проекций П₁ с фронтальной плоскостью П₂ вращением вокруг оси П₂/П₁ (рис. 61, а). Тогда обе проекции точки окажутся на одной линии, перпендикулярной оси П₂/П₁. Прямая А₁А₂, соединяющая горизонтальную А₁ и фронтальную А₂ проекции точки, называется вертикальной линией связи.

Полученный плоский чертеж называется комплексным чертежом. Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.

Две связанные между собой ортогональные проекции точки однозначно определяют ее положение относительно плоскостей проекций. Если определить положение точки а относительно этих плоскостей (рис. 61, б) ее высотой h (АА₁ =h) и глубиной f(AA₂ =f), то эти величины на комплексном чертеже существуют как отрезки вертикальной линии связи. Это обстоятельство позволяет легко реконструировать чертеж, т. е. определить по чертежу положение точки относительно плоскостей проекций. Для этого достаточно в точке А₂ чертежа восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа (считая ее фронтальной) длиной, равной глубине f. Конец этого перпендикуляра определит положение точки А относительно плоскости чертежа.

Для определения положения геометрического тела в пространстве и получения дополнительных сведений на их изображениях может возникнуть необходимость в построении третьей проекции. Тогда третью плоскость проекций располагают справа от наблюдателя перпендикулярно одновременно горизонтальной плоскости проекций П₁ и фронтальной плоскости проекций П₂ (рис. 62, а). В результате пересечения фронтальной П₂ и профильной П₃ плоскостей проекций получаем новую ось П₂/П₃, которая располагается на комплексном чертеже параллельно вертикальной линии связи A₁A₂ (рис. 62, б). Третья проекция точки А — профильная — оказывается связанной с фронтальной проекцией А₂ новой линией связи, которую называют горизонталь-

ной. Фронтальная и профильная проекции точки всегда лежат на одной горизонтальной линии связи. Причем A₁A₂ _|_ А₂А₁ и А₂А₃, _|_ П₂/П₃.

Положение точки в пространстве в этом случае характеризуется ее широтой — расстоянием от нее до профильной плоскости проекций П₃, которое обозначим буквой р.

Полученный комплексный чертеж точки называется трехпроек-ционным.

В трехпроекционном чертеже глубина точки АА₂ проецируется без искажений на плоскости П₁и П₂ (рис. 62, а). Это обстоятельство позволяет построить третью — фронтальную проекцию точки А по ее горизонтальной А₁ и фронтальной А₂ проекциям (рис. 62, в). Для этого через фронтальную проекцию точки нужно провести горизонтальную линию связи A₂A₃ _|_A₂A₁. Затем в любом месте на чертеже провести ось проекций П₂/П₃ _|_ А₂А₃, измерить глубину f точки на горизонтальном поле проекции и отложить ее по горизонтальной линии связи от оси проекций П₂/П₃. Получим профильную проекцию А₃ точки А.

Таким образом, на комплексном чертеже, состоящем из трех ортогональных проекций точки, две проекции находятся на одной линии связи; линии связи перпендикулярны соответствующим осям проекций; две проекции точки вполне определяют положение ее третьей проекции.

Необходимо отметить, что на комплексных чертежах, как правило, не ограничивают плоскости проекций и положение их задают осями (рис. 62, в). В тех случаях, когда условиями задачи этого не требу-

ется, проекции точек могут быть даны без изображения осей (рис. 63, а, б). Такая система называется безосновой. Линии связи могут также проводиться с разрывом (рис. 63, б).

Расположение проекций точек на комплексном чертеже зависит от положения точки в пространстве трехмерного угла. Рассмотрим некоторые случаи:

Две точки в пространстве могут быть расположены по-разному. В отдельном случае они могут быть расположены так, что проекции их на какой-нибудь плоскости проекций совпадают. Такие точки называются конкурирующими. На рис. 64, а приведен комплексный чертеж точек А и В. Они расположены так, что проекции их совпадают на плоскости П₁ [А₁ == В₁]. Такие точки называются горизонтально конкурирующими. Если проекции точек A и В совпадают на плоскости

П₂ (рис. 64, б), они называются фронтально конкурирующими. И если проекции точек А и В совпадают на плоскости П₃ [А₃ == B₃] (рис. 64, в), они называются профильно конкурирующими.

По конкурирующим точкам определяют видимость на чертеже. У горизонтально конкурирующих точек будет видима та, у которой больше высота, у фронтально конкурирующих — та, у которой больше глубина, и у профильно конкурирующих — та, у которой больше широта.

Свойства трехпроекционного чертежа точки позволяют по горизонтальной и фронтальной ее проекциям строить третью на другие плоскости проекций, введенные взамен заданных.

На рис. 65, а показаны точка А и ее проекции — горизонтальная А₁ и фронтальная А₂. По условиям задачи необходимо произвести замену плоскостей П₂. Новую плоскость проекции обозначим П₄ и расположим перпендикулярно П₁. На пересечении плоскостей П₁ и П₄ получим новую ось П₁/П₄. Новая проекция точки А₄ будет расположена на линии связи, проходящей через точку А₁ и перпендикулярно оси П₁/П₄.

Поскольку новая плоскость П₄ заменяет фронтальную плоскость проекции П₂, высота точки А изображается одинаково в натуральную величину и на плоскости П₂, и на плоскости П₄.

Это обстоятельство позволяет определить положение проекции A₄, в системе плоскостей П₁ _|_ П₄ (рис. 65, б) на комплексном чертеже. Для этого достаточно измерить высоту точки на заменяемой плоско-

сти проекции П₂, отложить ее на новой линии связи от новой оси проекций — и новая проекция точки А₄ будет построена.

Если новую плоскость проекций ввести взамен горизонтальной плоскости проекций, т. е. П₄ _|_ П₂ (рис. 66, а), тогда в новой системе плоскостей новая проекция точки будет находиться на одной линии связи с фронтальной проекцией, причем А₂А₄ _|_. В этом случае глубина точки одинакова и на плоскости П₁, и на плоскости П₄. На этом основании строят А₄ (рис. 66, б) на линии связи А₂А₄ на таком расстоянии от новой оси П₁/П₄ на каком А₁ находится от оси П₂/П₁.

Как уже отмечалось, построение новых дополнительных проекций всегда связано с конкретными задачами. В дальнейшем будет рассмотрен ряд метрических и позиционных задач, решаемых с применением метода замены плоскостей проекций. В задачах, где введение одной дополнительной плоскости не даст желаемого результата, вводят еще одну дополнительную плоскость, которую обозначают П₅. Ее располагают перпендикулярно уже введенной плоскости П₄ (рис. 67, а), т. е. П₅П₄ и производят построение, аналогичное ранее рассмотренным. Теперь расстояния измеряют на заменяемой второй из основных плоскостей проекций (на рис. 67, б на плоскости П₁) и откладывают их на новой линии связи А₄А₅, от новой оси проекций П₅/П₄. В новой системе плоскостей П₄П₅ получают новый двухпроекционный чертеж, состоящий из ортогональных проекций А₄ и А₅, связанных линией связи

Три основные плоскости проекций (П₁_|_П₂ _|_ П₃) могут рассматриваться и как координатные плоскости. Тогда оси проекций становятся координатными осями: осью абсцисс х, П₁/П₃ —осью координат у,П₂/П₃ —осью аппликат z.

Начало координат (точка О) располагается в точке пересечения осей координат (рис. 68, а).

Чтобы отнести точку А к натуральной системе координат Oxyz, надо построить ортогональную проекцию точки А на плоскости хОу. Затем проекцию А₁ ортогонально проецировать на ось х в точку А_х. Тогда получим пространственную координатную ломаную АА₁А_ХО, отрезки которой параллельны осям координат и соответственно называются: ОА_Х — отрезком абсциссы; А_Х А₁ — отрезком ординат; А₁А — отрезком аппликаты.

Измерив координатные отрезки единицей длины l, получим три отвлеченных числа — три координаты точки А:

х = OA_X абсцисса; у = A_xA₁— ордината; z = AA₁ — аппликата.

Если точка задана своими координатами А (х, у, z), то можно построить ее комплексный чертеж, задав соответствующую единицу длины l (например, l = 1 мм). Абсцисса точки определяет положение

вертикальной линии связи (рис. 68, б). Горизонтальная проекция точки определяется величиной ординаты, а фронтальная — величиной аппликаты.

Контакты для заказа чертежей

Справочная по строит. черч.

Телефон

89042493591

кроме выходных

задать вопрос, узнать о возможности, сроках и цене изготовления чертежей можно по аське:

587-149-933

Новости:

Открылся наш сайт

Здесь вы можете заказать красивые цветы из ткани на платье и заколки.

Геометрия

— вычисление произвольных точек из уравнения плоскости

геометрия — вычисление произвольных точек из уравнения плоскости — Mathematics Stack Exchange

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Подписаться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 5 лет, 4 месяца назад

Просмотрено 9к раз

$ \ begingroup $

Я понимаю, как можно вычислить плоское уравнение (ax + by + cz = d) из трех точек, но как сделать наоборот?

Как можно вычислить произвольные точки из уравнения плоскости?

Создан 23 апр. 2}} $$

Направления вдоль плоскости (не единичные векторы) и перпендикулярно к $ \ hat {n} $.2 \ end {pmatrix} \ end {align} $$

Вы можете проверить, что $ \ hat {e} _1 \ cdot \ hat {n} = 0 $, $ \ hat {e} _2 \ cdot \ hat {n} = 0 $ и $ \ hat {e} _1 \ cdot \ hat {e} _2 = 0 $, где $ \ cdot $ — точечное (внутреннее) произведение.

Подтверждение через GeoGebra

_{ПРИМЕЧАНИЯ. Измените уравнение, чтобы было ясно, что вы ищете свойства плоскости, когда задана плоскость в форме уравнения.}

Создан 23 апр.

Джон АлексиуДжон Алексиу

10k11 золотой знак2626 серебряных знаков5555 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 5 $ \ begingroup $

Вы произвольно выбираете два значения $ a, b $ для $ x $ и $ y $, вставляете их в уравнение, решаете его для $ z $ и получаете значение $ c $.Точка $ (a, b, c) $ — это точка вашей плоскости.

Создан 23 апр.’16 в 23: 592016-04-23 23:59

BéréniceBérénice

9,2122 золотых знака2222 серебряных знака3737 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 2

Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками геометрия или задайте свой вопрос.

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

координат точки — Math Open Reference

Координаты точки — Math Open Reference Пара чисел, определяющая положение точка на двумерном самолет .

Попробуй это Перетащите точку A. При перетаскивании обратите внимание на два числа, определяющих ее положение на плоскости.

Координаты точка представляют собой пару чисел, определяющих его точное местоположение на двумерном самолет. Напомним, что координатная плоскость имеет две оси, расположенные под прямым углом друг к другу, называемые x и осью y . Координаты данной точки показывают, как далеко по каждой оси расположена точка.

Заказанная пара

Координаты записываются в виде «упорядоченной пары», как показано ниже.Буква P — это просто название точки, и она используется, чтобы отличать ее от других. Два числа в скобках — координаты x и y точки. Первое число (x) указывает, насколько далеко по оси x (горизонтальной) находится точка. Вторая — это координата y и указывает, насколько далеко вверх или вниз по оси y нужно пройти. Это называется упорядоченной парой, потому что порядок двух чисел имеет значение — первое — всегда координата x (по горизонтали).

Знак координаты важен.Положительное число означает переход вправо (x) или вверх (y). Отрицательные числа означают движение влево (x) или вниз (y). (На рисунке вверху страницы указаны значения осей, помеченные соответствующим знаком).

Абсцисса

Абсцисса — это другое название координаты точки x (по горизонтали). Произносится «ab-SISS-ah» (‘c;’ молчит). Не очень-то используется. Чаще всего используется термин «x-координата».

Ордината

Ордината — это другое название для координаты точки y (по вертикали).Произносится «ОРД-инет». Не очень-то используется. Чаще всего используется термин «y-координата».

Что попробовать

На рисунке вверху страницы сначала нажмите «сброс». Если вы предпочитаете это, вы можете перетащить начало координат в любой угол, чтобы отобразить только один квадрант.

• Точка A находится в верхнем правом квадранте (первом квадранте). Обратите внимание, как координаты x и y положительны, потому что точка находится справа от начала координат.
• Перетащите точку в верхний левый квадрант (второй квадрант).Обратите внимание, что координата x отрицательна, потому что она находится слева от начала координат, где значения x отрицательны.
• Перетащите точку в нижний правый квадрант (четвертый квадрант). Координата x снова положительна, потому что она находится справа от начала координат, но теперь координата y отрицательна из-за того, что она находится ниже начала координат.

Другие темы о координатной геометрии

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Координатная плоскость

— определение, факты и примеры

Координатная плоскость — это двумерная плоскость, образованная пересечением вертикальной линии, называемой осью y, и горизонтальной линии, называемой осью x.Это перпендикулярные линии, которые пересекаются друг с другом в нуле, и эта точка называется началом координат.

Что такое координатная плоскость?

Координатная плоскость — это двумерная поверхность, образованная двумя числовыми линиями. Он образуется, когда горизонтальная линия, называемая осью X, и вертикальная линия, называемая осью Y, пересекаются в точке, называемой началом координат. Числа на координатной сетке используются для определения точек. Координатная плоскость может использоваться для построения точек, линий и многого другого.Он действует как карта и дает точные указания от одной точки к другой.

Определение координатной плоскости

Определение координатной плоскости следующее: Координатная плоскость , также известная как сетка прямоугольной координатной плоскости , представляет собой двумерную плоскость, образованную пересечением вертикальной линии, называемой осью Y, и горизонтальной линии, называемой ось X.

Координатная плоскость

Координатный график , иногда называемый координатной плоскостью , состоит из двух числовых линий, называемых осями, которые проходят перпендикулярно друг другу.

Координаты

Координаты — это набор из двух значений, которые определяют местоположение определенной точки на сетке координатной плоскости, более известной как координатная плоскость. Точка в координатной плоскости называется ее упорядоченной парой (x, y), записанной в скобках, соответствующей координате X и координате Y. Эти координаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными, в зависимости от положения точки в соответствующих квадрантах.

Квадранты на координатной плоскости

Квадрант может быть определен как область / часть декартовой или координатной плоскости, полученная, когда две оси пересекаются друг с другом.

• Первый квадрант: x> 0, y> 0
• Второй квадрант: x <0, y> 0
• Третий квадрант: x <0, y <0
• Четвертый квадрант: x> 0, y <0

Определение точки на координатной плоскости

Теперь, когда мы уже знакомы с координатной плоскостью и ее частями, давайте обсудим, как определять точки на координатной плоскости. Чтобы найти точку на координатной плоскости, выполните следующие действия:

• Шаг 1: Найдите точку.
• Шаг 2: Найдите квадрант, глядя на знаки его координат X и Y.
• Шаг 3: Найдите координату X или абсциссу точки, считывая количество единиц, в которых точка находится справа / слева от начала координат по оси X.
• Шаг 4: Найдите координату Y или ординату точки, считывая количество единиц, в которых точка находится выше / ниже начала координат по оси Y.

Давайте посмотрим на примеры координатной плоскости.Посмотрите на рисунок, показанный ниже.

• Шаг 1: Обратите внимание на синюю точку на графике координат.
• Шаг 2: Он находится во втором квадранте.
• Шаг 3: Точка находится на расстоянии 3 единиц от начала координат по отрицательной оси X.
• Шаг 4: Точка находится на расстоянии 2 единиц от начала координат вдоль положительной оси Y.

Таким образом, точка на графике имеет координаты (-3, 2).

Построение точки на координатной плоскости

В этом разделе мы узнаем, как построить точку на координатной плоскости. Возьмем для примера точку P = (5, 6). Чтобы нанести точку на координатную плоскость, выполните следующие действия:

• Шаг 1. Постройте два перпендикуляра: ось X и ось Y.
• Шаг 2: Начните с начала координат. Переместите 5 единиц вправо по положительной оси X.
• Шаг 3. Переместите на 6 единиц вверх вдоль положительной оси Y.
• Шаг 4: Отметьте точку пересечения. Обозначьте это как (5, 6).

Обратите внимание, что P находится в первом квадранте. Кроме того, это называется положительной координатной плоскостью, поскольку значение обеих координат для любой точки в этом квадранте будет положительным.

Важные точки на координатной плоскости:

• Первый квадрант (+, +), известный как квадрант положительных координат, представлен римской цифрой I.
• Второй квадрант (-, +) представлен римской цифрой II.
• Третий квадрант (-, -) представлен римской цифрой III.
• Четвертый квадрант (+, -) представлен римской цифрой IV.
• Координаты любой точки заключаются в скобки.

Попробуйте решить этот сложный вопрос:

Найдите любые три точки, лежащие в положительной координатной плоскости, для которых абсцисса и ордината равны и неотрицательны.

Темы, связанные с координатной плоскостью

Часто задаваемые вопросы о координатной плоскости

Что такое координатная плоскость в геометрии?

Координатная плоскость — это двумерная плоскость, образованная пересечением оси x, горизонтальной линии и оси y, вертикальной линии.Эти перпендикулярные линии пересекаются друг с другом в точке, называемой началом координат.

Кто изобрел координатную плоскость?

Система координат была изобретена в 17 веке французским математиком Рене Декартом.

Какие части координатной плоскости?

Координатные плоскости включают оси (ось X и ось Y), начало координат (0,0) и четыре квадранта.

Что такое начало на координатной плоскости?

Точка пересечения двух осей координатной плоскости является началом координатной плоскости.Координаты начала координат (0, 0).

Что такое координата XY?

Координата XY — это двумерная плоскость с осями координат, осью X и осью Y, перпендикулярными друг другу.

Как построить координатную плоскость?

Координатная плоскость может быть построена следующим образом:

• Шаг 1. Возьмите лист миллиметровой или сеточной бумаги.
• Шаг 2: Проведите горизонтальную линию. Эта линия называется осью x и используется для определения значений x.
• Шаг 3: Проведите вертикальную линию. Эта линия называется осью y и используется для определения значений y. Чтобы показать, что ось на самом деле

Примечание: чтобы показать, что эти оси на самом деле идут вечно в обоих направлениях, используйте маленькие стрелки на каждом конце линии.

Когда бы вы использовали координатную плоскость?

Декартова плоскость координат x и y хорошо работает во многих ситуациях в реальной жизни, например, при планировании размещения различных предметов мебели в комнате, можно нарисовать двумерную сетку, представляющую комнату и, таким образом, подходящую можно использовать единицу измерения.

Как построить график на координатной плоскости?

Любую точку или объект можно изобразить в координатах, используя координаты. Координаты заданных точек могут быть нанесены на график в соответствующих квадрантах координатной плоскости и объединены для образования конкретной формы или объекта.

Сколько квадрантов на координатной плоскости?

В координатной плоскости четыре квадранта. Эти четыре квадранта представлены римскими цифрами I, II, III и IV, в зависимости от знаков координат.

Как прочитать координатную плоскость?

Мы можем считать координатную плоскость следующим образом:

• Шаг 1: Найдите квадрант, в котором расположена данная точка, посмотрев на знаки ее координат x и y.
• Шаг 2: Считайте количество единиц, в которых точка находится справа / слева от начала координат по оси x, чтобы найти ее координату x.
• Шаг 3: Считайте количество единиц, в которых точка находится вверх / вниз от начала координат по оси y, чтобы найти ее координату y.

Как определить, находится ли точка на линии с помощью уравнения

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Мы не можем найти эту страницу

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$ select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Прямоугольная система координат

Точка, которая делит пополам отрезок прямой, образованный двумя точками (x1, y1) и (x2, y2), называется средней точкой. Если две точки (x1, y1) и (x2, y2), Средняя точка — это упорядоченная пара, заданная формулой (x1 + x22, y1 + y22).и задается следующей формулой:

Средняя точка — это упорядоченная пара, образованная путем нахождения среднего значения x и среднего значения y данных точек.

Пример 8: Вычислите среднюю точку между (-1, -2) и (7, 4).

Решение: Сначала вычислите среднее значение x — и y — значений заданных точек.

Затем сформируйте среднюю точку в виде упорядоченной пары, используя усредненные координаты.

Чтобы убедиться, что это действительно средняя точка, вычислите расстояние между двумя заданными точками и убедитесь, что результат равен сумме двух равных расстояний от конечных точек до этой средней точки. Эта проверка предоставляется читателю в качестве упражнения.

Попробуй! Найдите середину между (−6, 5) и (6, −11).

Тематические упражнения

Часть A: Заказанные пары

Укажите координаты точек A , B , C , D и E .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Изобразите данный набор упорядоченных пар.

7. {(−4, 5), (−1, 1), (−3, −2), (5, −1)}

8. {(−15, −10), (−5, 10), (15, 10), (5, −10)}

9. {(−2, 5), (10, 0), (2, −5), (6, −10)}

10. {(−8, 3), (−4, 6), (0, −6), (6, 9)}

11. {(−10, 5), (20, −10), (30, 15), (50, 0)}

12. {(−53, −12), (- 13, 12), (23, −1), (53, 1)}

13. {(-35, -43), (25, 43), (1, -23), (0, 1)}

14.{(−3,5, 0), (−1,5, 2), (0, 1,5), (2,5, −1,5)}

15. {(-0,8, 0,2), (-0,2, -0,4), (0, -1), (0,6, -0,4)}

16. {(-1,2, -1,2), (-0,3, -0,3), (0, 0), (0,6, 0,6), (1,2, 1,2)}

Укажите квадрант, в котором находится данная точка.

17. (−3, 2)

18. (5, 7)

19. (−12, −15)

20. (7, −8)

21. (-3,8, 4.6)

22. (17,3, 1,9)

23. (−18, −58)

24. (34, −14)

25. x> 0 и y <0

26. x <0 и y <0

27. x <0 и y> 0

28. x> 0 и y> 0

Средняя цена галлона обычного неэтилированного бензина в городах США представлена ​​на следующем линейном графике. Используйте график, чтобы ответить на следующие вопросы.

Источник: Бюро статистики труда.

29. Какова была средняя цена галлона неэтилированного бензина в 2004 году?

30. Какова была средняя цена галлона неэтилированного бензина в 1976 году?

31. В какие годы средняя цена галлона неэтилированного бензина составляла 1,20 доллара США?

32. Насколько выросла цена галлона бензина с 1980 по 2008 год?

33.На сколько процентов увеличилась цена галлона неэтилированного бензина с 1976 по 1980 год?

34. Каков процент увеличения цены галлона неэтилированного бензина с 2000 по 2008 год?

Средняя цена на универсальную белую муку в городах США с 1980 по 2008 год представлена ​​на следующем линейном графике. Используйте график, чтобы ответить на следующие вопросы.

Источник: Бюро статистики труда.

35. Какова была средняя цена за фунт универсальной белой муки в 2000 году?

36. Какова была средняя цена за фунт универсальной белой муки в 2008 году?

37. В каком году мука стоила в среднем 0,25 доллара за фунт?

38. В какие годы цена на муку составляла в среднем 0,20 доллара за фунт?

39. Каков процент увеличения объема муки с 2000 по 2008 год?

40.Каков процент увеличения муки с 1992 по 2000 год?

С учетом следующих данных создайте линейный график.

41. Процент от общего числа выпускников средней школы, поступивших в колледж.

Год	В процентах
1969	36%
1979	40%
1989	47%
1999	42%

Источник: Сборник статистики образования.

42. Средняя дневная температура в мае в градусах Фаренгейта.

Экзамен	Температура
8:00	60
12:00	72
16:00	75
20:00	67
12:00	60
4:00	55

Вычислите площадь формы, образованной соединением следующего набора вершин.

43. {(0, 0), (0, 3), (5, 0), (5, 3)}

44. {(−1, −1), (−1, 1), (1, −1), (1, 1)}

45. {(−2, −1), (−2, 3), (5, 3), (5, −1)}

46. {(−5, −4), (−5, 5), (3, 5), (3, −4)}

47. {(0, 0), (4, 0), (2, 2)}

48. {(−2, −2), (2, −2), (0, 2)}

49. {(0, 0), (0, 6), (3, 4)}

50. {(−2, 0), (5, 0), (3, −3)}

Часть B: Формула расстояния

Рассчитайте расстояние между заданными двумя точками.

51. (−5, 3) и (−1, 6)

52. (6, −2) и (−2, 4)

53. (0, 0) и (5, 12)

54. (−6, −8) и (0, 0)

55. (−7, 8) и (5, −1)

56. (-1, -2) и (9, 22)

57. (−1, 2) и (−7/2, −4)

58. (−12, 13) и (52, −113)

59. (−13, 23) и (1, −13)

60. (12, −34) и (32, 14)

61.(1, 2) и (4, 3)

62. (2, −4) и (−3, −2)

63. (-1, 5) и (1, -3)

64. (1, −7) и (5, −1)

65. (−7, −3) и (−1, 6)

66. (0, 1) и (1, 0)

67. (-0,2, -0,2) и (1,8, 1,8)

68. (1,2, −3,3) и (2,2, −1,7)

Для каждой задачи покажите, что три точки образуют прямоугольный треугольник.

69.(−3, −2), (0, −2) и (0, 4)

70. (7, 12), (7, −13) и (−5, −4)

71. (-1,4, 0,2), (1, 2) и (1, -3)

72. (2, -1), (-1, 2) и (6, 3)

73. (−5, 2), (−1, −2) и (−2, 5)

74. (1, −2), (2, 3) и (−3, 4)

Равнобедренные треугольники имеют две стороны равной длины. Для каждой задачи покажите, что следующие точки образуют равнобедренный треугольник.

75.(1, 6), (-1, 1) и (3, 1)

76. (−6, −2), (−3, −5) и (−9, −5)

77. (−3, 0), (0, 3) и (3, 0)

78. (0, -1), (0, 1) и (1, 0)

Вычислите площадь и периметр треугольников, образованных следующим набором вершин.

79. {(−4, −5), (−4, 3), (2, 3)}

80. {(−1, 1), (3, 1), (3, −2)}

81. {(−3, 1), (−3, 5), (1, 5)}

82.{(−3, −1), (−3, 7), (1, −1)}

Часть C: Формула средней точки

Найдите середину между заданными двумя точками.

83. (−1, 6) и (−7, −2)

84. (8, 0) и (4, −3)

85. (-10, 0) и (10, 0)

86. (−3, −6) и (−3, 6)

87. (−10, 5) и (14, −5)

88. (0, 1) и (2, 2)

89. (5, −3) и (4, −5)

90.(0, 0) и (1, 1)

91. (-1, -1) и (4, 4)

92. (3, −5) и (3, 5)

93. (−12, −13) и (32, 73)

94. (34, −23) и (18, −12)

95. (53, 14) и (−16, −32)

96. (−15, −52) и (710, −14)

97. Дан прямоугольный треугольник, образованный вершинами (0, 0), (6, 0) и (6, 8), покажите, что середины сторон образуют прямоугольный треугольник.

98. Для равнобедренного треугольника, образованного вершинами (−10, −12), (0, 12) и (10, −12), покажите, что середины сторон также образуют равнобедренный треугольник.

99. Вычислите площадь треугольника, образованного вершинами (−4, −3), (−1, 1) и (2, −3). (Подсказка: вершины образуют равнобедренный треугольник.)

100. Вычислите площадь треугольника, образованного вершинами (−2, 1), (4, 1) и (1, −5).

Часть D. Темы дискуссионной доски

101.Изучите и обсудите жизнь и вклад в математику Рене Декарта.

102. Изучите и обсудите историю прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора.

103. Что такое тройка Пифагора? Приведите несколько примеров.

104. Объясните, почему нельзя использовать линейку для вычисления расстояния на графике.

105. Как разделить отрезок пополам с помощью циркуля и линейки?

Wolfram | Примеры альфа: координатная геометрия

---

Линии

Вычислите уравнение и начертите график в виде линии.

Укажите линию через две точки:

Укажите линию по наклону и пересечению:

Другие примеры

---

Самолеты

Вычислите уравнение и начертите трехмерный график плоскости.

Укажите плоскость через три точки:

Другие примеры

---

Квадранты

Определите квадрант, в котором находится данная 2D-точка.

Определите квадрант, содержащий данную точку:

Другие примеры

---

Другие примеры

Конические сечения

Определяет и вычисляет свойства окружностей, эллипсов, парабол и гипербол.

Постройте коническое сечение и определите его тип:

Найдите круг, проходящий через три точки:

Вычислить свойства параболы:

Другие примеры

---

Другие примеры

Перехваты

Найдите точки пересечения геометрического объекта с его осями координат.

Найдите точки пересечения линии или кривой на плоскости:

Найдите точки пересечения плоскости или поверхности:

Другие примеры

.