Как перевести десятичную дробь в систему счисления: Перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления

Содержание

Как переводить числа с запятой

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

После того, как я сделал несколько калькуляторов для перевода между разными системами счисления — вот список от первой до последней версии, от самого простого к сложному: Перевод числа в другие системы счисления, Перевод из десятичной системы счисления, Перевод из одной системы счисления в другую — в комментариях стали периодически спрашивать — а что же, мол, дробные числа, как же их переводить? И когда спросили больше трех раз, я таки решил изучить этот вопрос.

Результатом стал калькулятор, который вы видите ниже, он умеет переводить и дробные числа в том числе. Как водится, для любознательных под калькулятором немного теории.

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Теперь теория. Я, честно говоря, думал, что вопрос довольно сложный, но при ближайшем рассмотрении все оказалось проще простого. Надо было только держать в голове тот факт, что речь идет о позиционных системах счисления.
В чем тут суть? Рассмотрим на примере десятичного числа 6.125. Это дробное число в десятичной системе счисления представляется так:

Все просто, не так ли? Та же самая простота сохраняется и при записи дробного числа в любой другой системе счисления. Возьмем, например, горячо любимую каждым программистом двоичную систему и число, например, 110.001. Эта запись есть не что иное как

Да-да, число для примера было выбрано не просто так. То есть, 110.001 в двоичной системе есть 6.125 в десятичной. Принцип, я думаю, ясен.

Есть только одно но — все-таки из-за того, что здесь участвую дроби с разными знаменателями, не всегда одно и тоже число можно одинаково точно выразить в разных системах счисления. Что я имею в виду?

Возьмем, например, число . Отлично смотрится в десятичной системе счисления. Но вот если попробовать получить запись этого числа в двоичной системе счисления — будут проблемы. Попробуем, пока не устанем

Продолжать можно еще довольно долго, но уже сейчас видно, что 0.8 в десятичной системе это 0.11001100. (дальше очень много цифр) в двоичной. Если честно, то это периодическое число с перидом 1100, так что мы никогда не сможем выразить его точно в двоичной системе счисления. 110011001100. будет продолжаться до бесконечности.

Поэтому перевод дробного числа из одной системы счисления в другую чаще всего дает погрешность. Погрешность эта зависит от того, сколько разрядов мы используем для записи дробной части переведенного числа. Возьмем пример с числом 0.8 и используем для записи его двоичного представления шесть разрядов после запятой — 0.110011. Полученное число вовсе не 0.8, а 0.796875, разница при этом составляет 0.003125. Это и есть наша погрешность перевода десятичного числа 0.8 в двоичный вид при использовании шести разрядов после запятой.

Вес крайнего правого разряда (самого младшего разряда) называется разрешением (resolution) или точностью (precision), и определяет наименьшее неравное нулю число, которое может быть представлено данным числом разрядов. Для нашего примера это . При этом максимально возможная погрешность представления числа, как нетрудно сообразить, не превышает половины этого веса, или 0.0078125. Так что для 0.8 мы имеем еще и не самую плохую погрешность.

Нужно перевести число 1011010.101 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

  • Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;
  • Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;
  • В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
  • Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

.116 • 2 = 0.232
.232 • 2 = 0.464
.464 • 2 = 0.928
.928 • 2 = 1.856
.856 • 2 = 1.712
.712 • 2 = 1.424
.424 • 2 = 0.848
.848 • 2 = 1.696
.696 • 2 = 1.392
.392 • 2 = 0.784
и т. д.
Получим: 206,11610=11001110,00011101102

· Преобразование восьмеричных чисел в десятичные.

Алгоритм перевода чисел из восьмеричной в десятичную систему счисления аналогичен уже рассматривавшему мною в разделе: Преобразование двоичных чисел в десятичные.

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо заменить каждую цифру восьмеричного числа на триплет[1] двоичных цифр.

Пример: 25418 = 010 101 100 001 = 0101011000012

Существует таблица перевода восьмеричных чисел в двоичные

8=0002
18=0012
28=0102
38=0112
48=1002
58=1012
68=1102
78=1112

· Преобразование шестнадцатеричных чисел в десятичные.

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число 5A3 в десятичное. В этом числе 3 цифры. В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

5A316 = 3·16 0 +10·16 1 +5·16²= 3·1+10·16+5·256= 3+160+1280= 144310

Для перевода многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему нужно разбить его на тетрады справа налево и заменить каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

0101101000112 = 0101 1010 0011 = 5A316

Таблица перевода чисел

16=010=08
116=110=18
216=210=28
316=310=38
416=410=48
516=510=58
616=610=68
716=710=78
816=810=108
916=910=118
A16=1010=128
B16=1110=138
C16=1210=148
D16=1310=158
E16=1410=168
F16=1510=178

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9467 – | 7450 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Пример
44(10) переведём в двоичную систему
44 делим на 2. частное 22, остаток 0
22 делим на 2. частное 11, остаток 0
11 делим на 2. частное 5, остаток 1
5 делим на 2. частное 2, остаток 1
2 делим на 2. частное 1, остаток 0
1 делим на 2. частное 0, остаток 1
Частное равно нулю, деление закончено. Теперь записав все остатки снизу вверх получим число 101100(2)

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в нуль и начать умножение получившегося числа на основание той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль. Ниже приводится пример перевода числа 103,625(10) в двоичную систему счисления.

Переводим целую часть по правилам, описанным выше, получаем 103(10) = 1100111(2).
0,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1.
0,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0.
0,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1.
Итак, сверху вниз получаем число 101(2)
103,625(10) = 1100111,101(2)

Точно также осуществляется перевод в системы счисления с любым основанием.
Сразу нужно отметить, что этот пример специально подобран, в общем случае очень редко удаётся завершить перевод дробной части числа из десятичной системы в другие системы счисления, а потому, в подавляющем большинстве случаев, перевод можно осуществить с какой либо долей погрешности. Чем больше знаков после запятой — тем точнее приближение результата перевода к истине. В этих словах легко убедиться, если попытаться, например, перевести в двоичный код число 0,626.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

В современной вычислительной технике информация чаще всего кодируется с помощью последовательности сигналов всего двух видов: включено или невключено, намагничено или ненамагничено, высокое или низкое напряжение и т.д. Принято обозначать одно состояние цифрой 0, а другое — 1. Такое представление информации в цифровом виде называют двоичным. Набор (последовательность) из нулей и единиц называют двоичным кодом.

Система счисления - совокупность приемов наименования и обозначения чисел. Системы счисления разделяются на две группы: позиционные и непозиционные. Позиционной называется система счисления, в которой значение цифры зависит от ее места (позиции) в ряду цифр, обозначающих число. Системы, не обладающие этим свойством, называются непозиционными (римская система счисления). Основанием позиционной системы счисления называется число цифр, которое используют при записи.

В ЭВМ часто используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. В восьмеричной системе счисления числа записываются с помощью восьми цифр (0 1 2 3 4 5 6 7). Сама восьмерка записывается двумя цифрами: 10. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо уже располагать шестнадцатью различными символами, используемыми как цифры:

10-я: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16-я: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А  В   С   D  E   F

Пример 1. Переведем десятичное число 45 в двоичную систему счисления.

Правило: Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание и т.д. до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

46 = 1011002.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

  

672 = 12408.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

 

934 = 3А616.

Пример 4. Переведем в двоичную систему счисления положительную десятичную дробь 0.3.

Правило: Чтобы перевести положительную десятичную дробь в двоичную, нужно дробь умножить на 2. Целую часть произведения взять в качестве первой цифры после запятой в двоичной дроби, а дробную часть вновь умножить на 2. В качестве следующей цифры двоичной дроби взять целую часть этого произведения, а дробную часть произведения снова умножить на 2 и т.д. до получения после запятой заданного количества цифр.

  

Дробная часть 0,6 уже была на втором шаге вычислений. Поэтому вычисления будут повторяться. Следовательно в двоичной системе счисления число 0,3 представляется периодической дробью:

0,3 = 0,0(1001)2.

Пример 5. Переведем в двоичную систему счисления положительную десятичную дробь 0,625.

  

0,625 = 0,1012.

Замечание: Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления проводится отдельно для его целой и дробной части.

Пример 6. Переведем в десятичную систему счисления двоичное число 1011,011.

Правило: Чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления, нужно двоичное число представить в виде суммы степеней двойки с коэффициентами-цифрами и найти эту сумму.

1011,0112 = 1•23+0•22+1•21+1•2

0+0•2–1+1•2–2+1•2–3 =1•8+1•2+1+1•(1/2)2+1•(1/2)3 = 8+2+1+1/4+1/8 = 11,375

1011,0112 = 11,37510.

Пример 7. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

5118 = 5•8

2+1•81+1•80 =5•64+1•8+1 = 329

5118 = 32910.

Пример 8. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

1•163+1•162+5•16

1+1•160 = 1•4096+1•256+5•16+1 = 4096+256+80+1 = 4433.

115116 = 443310.

Пример 9. Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную форму.

Правило: Для преобразования двоичного числа в восьмеричное необходимо двоичную последовательность разбить на группы по три цифры справа налево и каждую группу заменить соответствующей восьмеричной цифрой. Аналогично поступают и при переводе в шестнадцатеричную систему, только двоичную последовательность разбивают не на три, а на четыре цифры.


Переведем наше число в восьмеричную и шестнадцатеричную системы:

1100001111010110

1 100 001 111 010 110                                                    1100 0011 1101 0110

1   4    1      7     2    6                                                      С       3       D       6

Аналогично осуществляется и обратное преобразование: для этого каждую цифру восьмеричного или шестнадцатеричного числа заменяют группой из трех или четырех цифр. Например:

      A        B         5       1                               1   7       7       2       0       4

   1010   1011   0101   0001                             1   111   111   010   000   100

Перевод правильной десятичной дроби в другую систему счисления

Правильная десятичная дробь переводится в систему счисления q умножением ее на qи последовательным умножением дробной части получаемого результата на

q. Умножение продолжается, пока не будет достигнута заданная точность или дробная часть в результате очередного произведения не станет равной нулю.

Предельная погрешность ∆ представления дроби k знаками в системе счисления с основанием q определяется по формуле:

∆ = q-(k+1)/2 2.2

Пример.Перевести десятичную дробь 0,36 в двоичную систему счисления. Решение:

0, Х 2
Х 2
Х 2
Х 2
1 Х 2


Ответ: 0,3610 = 0,010112 Предельная погрешность ∆ = 2-7

Двоичная арифметика

Арифметические действия с числами в любой позиционной системе аналогичны. В частности, для двоичной системы арифметические правила, учитывая объем двоичного алфавита, имеют вид:

— сложение: 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10

— вычитание : 0 – 0 = 0; 1 – 0 = 1; 10 – 1 = 1; 100 – 1 = 11; 1000 – 1 = 111 и т. д.

— умножение: 0 * 0 = 0; 1 * 0 = 0; 0 * 1 = 0; 1 * 1 = 1.

Примеры:
1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0

+ 1 0 1 0 1 0 1 0 х 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0, 1

1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 11 0 1 0

1 1 1 1 1 0 1 0 0

Представление чисел в компьютере

Целые числа без знака

Целые числа без знака обычно занимают в компьютере один, два или четыре байта

Таблица 2.1

  Формат числа в байтах Количество двоичных разрядов числа   Диапазон чисел
0 ÷ 255
0 ÷ 65 535
0 ÷ 4 294 967 295

Целые числа со знаком

Целые числа со знаком также занимают один, два или четыре байта, при этом самый левый разряд отведен для кода знака числа: «0» — положительное число, «1» — отрицательное число. Поэтому разрядность и диапазон значений этих чисел меньше указанных в табл. 2.1.

Таблица 2.2

  Формат числа в байтах Количество двоичных разрядов числа   Диапазон чисел
— 128 ÷ — 127
— 32 768 ÷ 32 767
— 2 147 483 648 ÷ 2 147 483 647

В компьютере применяется три формы кодов записи целых чисел со знаком: прямой код, обратный код и дополнительный код.

Положительное число имеет одинаковые прямой, обратный и дополнительный коды – двоичное число и цифра 0 в разряде для знака.

Пример. Запись числа 1100101 в однобайтовом формате:

0

знак числа «+»

Отрицательное число имеет разные прямой, обратный и дополнительный коды.

Прямой код отрицательного числа содержит цифру 1 (знак числа ‘-‘) и абсолютную величину двоичного числа.

Обратный код отрицательного числа содержит цифру 1 и инвертированные (замененные на 1 нули и замененные на 0 единицы) цифры прямого кода.

Дополнительный код — это обратный код с прибавленной единицей в младшем разряде.

Пример.Записать число – 11101 в прямом, обратном и дополнительном кодах однобайтового формата. Прямой код:

Обратный код:

Дополнительный код:

Представление в компьютере чисел в обратном и дополнительном кодах широко применяется, так как позволяет выполнять арифметические действия с числами только при помощи операций сложения и сдвига регистра. Это дает возможность упростить устройство центрального процессора компьютера.

Обычно отрицательные числа при вводе в компьютер автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из компьютера происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Вещественные числа

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде

N = M×qP, 2.3

где Р – порядок числа,

М – мантисса, содержащая все цифры числа.

Запись числа в виде (2.3) называется представлением числа с плавающей точкой.

Если мантисса числа – правильная дробь (т.е. 0.1 £ М < 1), то число N называется нормализованным.

Пример. Десятичные числа: 312.41 = 0.31241×103; — 0.0000723917 = 0.723917×10-4. Двоичные числа: 0.000011 = 0.11× 2-100; — 101.01 = 0.10101× 211.

Нормальная форма позволяет при одинаковой разрядности получать существенно больший диапазон представления чисел. Это приводит к уменьшению вероятности переполнения разряд­ной сетки в ячейках хранения числа.

Структура записи нормализованного числа в компьютере в формате с n разрядами имеет следующий вид:

n-1 n-2 3 2 1 0

                       

Знак мантиссы

Смещенный порядок Абсолютная величина мантиссы

 

Смещенный порядок применяется для однообразного отображения положительных и отрицательных порядков. Например, порядок, принимающий значения в диапазоне – 32 ÷ + 31, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 64.

Сложение и вычитание нормализованных чисел производится путем сложения и вычитания их мантисс. Перед выполнением действия производится выравнивание порядков чисел.

Пример. 1.Сложить числа 0.10111×2-1 и 0.11011×210. Для выравнивания порядков мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

0.00010111 × 210

+ 0.11011 × 210

0.11101111 × 210

2.Выполнить вычитание 0.10101×210 – 0.11101×21. Для выравнивания порядков мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

0.10101 ×210

— 0.011101 ×210

0.001101 ×210

 

Результат получен не нормализованный. Поэтому его нормализуют к виду 0.1101×20.

При умножении нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

При делении нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

При выводе из компьютера десятичных чисел для отображении их в нормализованном виде применяются записи вида:

— для чисел одинарной точности: МЕ ±Р

— для чисел двойной точности: МD±Р,

где М – мантисса числа, Р – порядок числа, а латинские буквы E и D означаю, что число имеет одинарную и соответственно двойную точность.

Пример. Число одинарной точности: 0.1234567Е + 16. Число двойной точности: 0.123456789012345D – 65.

Лекция 3

5.7. Как перевести правильную десятичную дробь в любую другую позиционную систему счисления?

Для перевода правильной десятичной дpоби  Fв систему счисления с основаниемqнеобходимоFумножить наq, записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить наq,и т. д., до тех пор, пока дpобная часть очередного пpоизведения не станет pавной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числаFвq-ичной системе. Представлением дробной части числаFв новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных однойq-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числаFсоставляетkзнаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняетсяq -(k+1) / 2.

Пример.Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше.

5.8. Как перевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?

Перевод в десятичную систему числа x, записанного вq-ичной cистеме счисления (q= 2, 8 или 16) в видеxq = (anan-1   …  a0  ,  a-1  a-2     a-m)q,  сводится к вычислению значения многочлена

x10 = an  qn +  an-1  qn-1   +   …   +  a0   q0   +   a-1   q -1   +   a-2   q-2   +     …     +   a-m   q-m

средствами десятичной арифметики.

Примеры:

5.9. Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах — десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую. Порядок переводов определим в соответствии с рисунком:

На этом рисунке использованы следующие обозначения:

  • в кружках записаны основания систем счисления;

  • стрелки указывают направление перевода;

  • номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице 4.1.

Например: означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.

Сводная таблица переводов целых чиселТаблица 4.1.

5.10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком   и  деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

С л о ж е н и е

Таблицы сложения легко составить, используя Правило счета.

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

                 Сложение в шестнадцатеричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

  Пример 1.Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная:F16+616

Ответ:15+6 = 2110= 101012= 258= 1516.Проверка.Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012= 24+ 22+ 20= 16+4+1=21,  258= 2.81+ 5.80= 16 + 5 = 21,  1516= 1.161+ 5.160= 16+5 = 21.

 

Пример 2.Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная:F16+716+316

Ответ:5+7+3 = 2510= 110012= 318= 1916.Проверка:110012= 24+ 23+ 20= 16+8+1=25, 318= 3.81+ 1.80= 24 + 1 = 25,  1916= 1.161+ 9.160= 16+9 = 25.

  Пример 3.Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ:141,5 + 59,75 = 201,2510= 11001001,012= 311,28= C9,416

Проверка.Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,012= 27+ 26+ 23+ 20+ 2-2= 201,25

311,28= 3.82+ 181+ 1.80+ 2.8-1= 201,25

C9,416= 12.161+ 9.160+ 4.16-1= 201,25

В ы ч и т а н и е

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108и 1016

Пример 5.Вычтем единицу из чисел 1002, 1008и 10016.

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ:201,2510— 59,7510= 141,510= 10001101,12= 215,48= 8D,816.

Проверка.Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,12= 27+ 23+ 22+ 20+ 2-1= 141,5;

215,48= 2.82+ 1.81+ 5.80+ 4.8-1= 141,5;

8D,816= 8.161+ D.160+ 8.16-1= 141,5.

У м н о ж е н и е

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

 

Пример 7.Перемножим числа 5 и 6.

Ответ:5.6 = 3010= 111102= 368.

Проверка.Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

111102= 24+ 23+ 22+ 21= 30;

368= 3*81+ 6*80= 30.

 

Пример 8.Перемножим числа 115 и 51.

Ответ:115.51 = 586510= 10110111010012= 133518.

Проверка.Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

10110111010012= 212+ 210+ 29+ 27+ 26+ 25+ 23+ 20= 5865;

133518= 1.84+ 3.83+ 3.82+ 5.81+ 1.80= 5865.

Д е л е н и е

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.     Пример 9.Разделим число 30 на число 6.

Ответ:30 : 6 = 510= 1012= 58.

Пример 10.Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная:133518:1638

Ответ:5865 : 115 = 5110= 1100112= 638.

Проверка.Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

1100112= 25+ 24+ 21+ 20= 51; 638= 6.81+ 3.80= 51.

  Пример 11.Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная:438: 168

Ответ:35 : 14 = 2,510= 10,12= 2,48.

Проверка.Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10,12= 21+ 2-1= 2,5;

2,48= 2.80+ 4.8-1= 2,5.

перевести десятичную дробь в шестнадцатеричную систему счисления.В новой записи числа

По приезде Василий с Петром обнаружили в своем номере в гостинице странный прибор. Он был оснащен дисплеем, на котором показывалось число 0, и двумя к … нопками. Василий сразу понял, что первая кнопка увеличивает число на дисплее на 1, а вторая умножает его на K. В этот момент Петр обнаружил на своей кровати листок бумаги, на котором было написано единственное число N.Теперь друзья хотят воспроизвести число N на дисплее найденного ими устройства, и, поскольку их ждет еще множество дел, им интересно минимальное число нажатий на кнопки устройства для получения числа N.Входные данныеВ первой строке входных данных записано целое неотрицательное число N (1 ≤ N ≤ 109).Во второй строке входных данных записано целое положительное число K (2 ≤ K ≤ 109).Выходные данныеВыведите единственное число — минимальное количество нажатий на кнопки устройства для получения на его дисплее числа N.Система оценкиРешения, работающие при K = 2, будут набирать не менее 20 баллов.Решения, работающие при N ≤ 20, будут набирать не менее 15 баллов.Решения, работающие при N ≤ 105, будут набирать не менее 35 баллов.ПримерВводВыводПояснение423Василий и Петр хотят воспроизвести число 4. Кнопка умножает на 2 число, которое показывается на дисплее. Первой операцией друзья увеличивают текущее число на 1, нажимая первую кнопку, после чего оно становится равно 1. Затем они умножают его на 2, нажимая вторую кнопку. Текущее число становится равно 2. После чего, для получения на дисплее числа 4 достаточно один раз нажать вторую кнопку и умножить текущее число (то есть 2) на 2. Несложно показать, что меньше, чем за три операции, получить число 4 невозможно. Таким образом, минимальное число действий равняется трем.Сдать решение

Напиши формулу Р.Хартли: Что означает каждый символ?

надо собрать слово! ​

Штука на якій друкувати як називаєтья?​

N1- Сколько символов в тексте, если мощность алфавита 32 символа, а объем информации 1200 бит?N2- Сколько символов в тексте, если мощность алфавита 32 … символа, а объем информации 1200 бит?N3- Укажите единицу измерения пропускной способности: А) Бит Г) Мбит Б) Байт Д) Бит/с В) Гц N4- 9.Отметь правильный вариант: Витая пара Оптоволокно Информация передается по металлическим проводам Не чувствителен к электромагнитным помехам Большая скорость передачи (10 Гбит/с) Информация передается в виде светового излучения С помощью этой кабели соединены в локальную сеть компьютеры в кабинете информатики N5- Укажи соответствия: Тактовая частота Показывает сколько бит данных он может принять и обработать в регистрах за 1 такт Кэш Показатель скорости выполнения команд за 1 секунду Разрядность Часть процессора осуществляющая выполнение одного потока команд Ядро Сверхбыстрая и энергозависимая память ДАЮ 100 БАЛЛОВ СОР МОЖЕТЕ ОТПРАВИТЬ ТЕКСТОМ!.

Выберите все подходящие ответы из списка. 1.создание высокопроизводительных серверов 2.создание веб-приложений 3.написание низкоуровневых драйверов 4. … создание приложений баз данных 5.создание приложений анализа данных 6.создание операционных систем 7.создание системных утилит 8.создание графических приложений GUI

5. Запиши назначение устройств из задания 4 в тетради. Наименование устройства Выполняемая функция 6 класс 5 задание​

ПОМОГИТЕЕЕЕЕЕ пжжжжжж ТЖБ СОЧ ПЖЖЖЖЖЖЖ

Сдать решение задачи 2-Межпланетные грузовые перевозки Задача 2: Межпланетные грузовые перевозки В последнем обновлении компьютерной игры «Totally Spa … ce!» появилась возможность заказывать космические корабли. Каждый корабль характеризуется своей грузоподъемностью. Терминал заказа показывает два числа: количество уже заказанных космических кораблей x и начальную грузоподъемность кораблей y. Также у вас есть k очков опыта, которые вы можете израсходовать следующим образом: Заказать новый корабль с грузоподъемностью y. Стоимость операции: 1 очко опыта. Увеличить на 1 грузоподъемность всех кораблей, уже заказанных на данный момент времени. Стоимость операции: 1 очко опыта. Вы захотели потратить все k очков опыта, и вам стало интересно, какова же максимальная масса груза, которую можно перевезти, используя все заказанные корабли. Кроме того, вы, как частый посетитель игры «Totally Space!», еще не раз столкнётесь с данной задачей, поэтому вам предлагается решить её для четырёх разных ситуаций. Номер ситуации x y k 1 1 1 2 2 3 4 4 3 6 6 7 4 2 8 8 Ответом на данную задачу являются четыре целых числа, перечисленных через пробел: максимальная масса перевозимого груза в первой, второй, третьей и четвертой ситуациях соответственно. Если вы не можете дать ответ для какой-то ситуации, запишите в качестве ответа для данной ситуации любое число. Примечание. Рассмотрим пример. Пусть количество уже заказанных кораблей равно 2, и их грузоподъемность равна 1, вам доступно 2 очка опыта. Тогда один из оптимальных вариантов следующий: увеличить количество заказанных кораблей на 1 и потратить одно очко опыта, а затем увеличить грузоподъемность всех заказанных кораблей на 1, потратив еще одно очко опыта. Таким образом, максимальная масса груза, перевозимая данными кораблями, будет равна 6 условных единиц.

Задача 6: Странное устройство Полный балл: 100 Ограничение времени: 1 с Ограничение памяти: 512M Ограничение размера стека: 64M По приезде Василий с П … етром обнаружили в своем номере в гостинице странный прибор. Он был оснащен дисплеем, на котором показывалось число 0, и двумя кнопками. Василий сразу понял, что первая кнопка увеличивает число на дисплее на 1, а вторая умножает его на K. В этот момент Петр обнаружил на своей кровати листок бумаги, на котором было написано единственное число N. Теперь друзья хотят воспроизвести число N на дисплее найденного ими устройства, и, поскольку их ждет еще множество дел, им интересно минимальное число нажатий на кнопки устройства для получения числа N. Входные данные В первой строке входных данных записано целое неотрицательное число N (1 ≤ N ≤ 109). Во второй строке входных данных записано целое положительное число K (2 ≤ K ≤ 109). Выходные данные Выведите единственное число — минимальное количество нажатий на кнопки устройства для получения на его дисплее числа N. Система оценки Решения, работающие при K = 2, будут набирать не менее 20 баллов. Решения, работающие при N ≤ 20, будут набирать не менее 15 баллов. Решения, работающие при N ≤ 105, будут набирать не менее 35 баллов. Нужно написать код, желательно на Пайтоне

Перевести десятичные дроби в шестнадцатеричную систему счисления. 745; 101; 8453; 3451;

По приезде Василий с Петром обнаружили в своем номере в гостинице странный прибор. Он был оснащен дисплеем, на котором показывалось число 0, и двумя к … нопками. Василий сразу понял, что первая кнопка увеличивает число на дисплее на 1, а вторая умножает его на K. В этот момент Петр обнаружил на своей кровати листок бумаги, на котором было написано единственное число N.Теперь друзья хотят воспроизвести число N на дисплее найденного ими устройства, и, поскольку их ждет еще множество дел, им интересно минимальное число нажатий на кнопки устройства для получения числа N.Входные данныеВ первой строке входных данных записано целое неотрицательное число N (1 ≤ N ≤ 109).Во второй строке входных данных записано целое положительное число K (2 ≤ K ≤ 109).Выходные данныеВыведите единственное число — минимальное количество нажатий на кнопки устройства для получения на его дисплее числа N.Система оценкиРешения, работающие при K = 2, будут набирать не менее 20 баллов.Решения, работающие при N ≤ 20, будут набирать не менее 15 баллов.Решения, работающие при N ≤ 105, будут набирать не менее 35 баллов.ПримерВводВыводПояснение423Василий и Петр хотят воспроизвести число 4. Кнопка умножает на 2 число, которое показывается на дисплее. Первой операцией друзья увеличивают текущее число на 1, нажимая первую кнопку, после чего оно становится равно 1. Затем они умножают его на 2, нажимая вторую кнопку. Текущее число становится равно 2. После чего, для получения на дисплее числа 4 достаточно один раз нажать вторую кнопку и умножить текущее число (то есть 2) на 2. Несложно показать, что меньше, чем за три операции, получить число 4 невозможно. Таким образом, минимальное число действий равняется трем.Сдать решение

Напиши формулу Р.Хартли: Что означает каждый символ?

надо собрать слово! ​

Штука на якій друкувати як називаєтья?​

N1- Сколько символов в тексте, если мощность алфавита 32 символа, а объем информации 1200 бит?N2- Сколько символов в тексте, если мощность алфавита 32 … символа, а объем информации 1200 бит?N3- Укажите единицу измерения пропускной способности: А) Бит Г) Мбит Б) Байт Д) Бит/с В) Гц N4- 9.Отметь правильный вариант: Витая пара Оптоволокно Информация передается по металлическим проводам Не чувствителен к электромагнитным помехам Большая скорость передачи (10 Гбит/с) Информация передается в виде светового излучения С помощью этой кабели соединены в локальную сеть компьютеры в кабинете информатики N5- Укажи соответствия: Тактовая частота Показывает сколько бит данных он может принять и обработать в регистрах за 1 такт Кэш Показатель скорости выполнения команд за 1 секунду Разрядность Часть процессора осуществляющая выполнение одного потока команд Ядро Сверхбыстрая и энергозависимая память ДАЮ 100 БАЛЛОВ СОР МОЖЕТЕ ОТПРАВИТЬ ТЕКСТОМ!.

Выберите все подходящие ответы из списка. 1.создание высокопроизводительных серверов 2.создание веб-приложений 3.написание низкоуровневых драйверов 4. … создание приложений баз данных 5.создание приложений анализа данных 6.создание операционных систем 7.создание системных утилит 8.создание графических приложений GUI

5. Запиши назначение устройств из задания 4 в тетради. Наименование устройства Выполняемая функция 6 класс 5 задание​

ПОМОГИТЕЕЕЕЕЕ пжжжжжж ТЖБ СОЧ ПЖЖЖЖЖЖЖ

Сдать решение задачи 2-Межпланетные грузовые перевозки Задача 2: Межпланетные грузовые перевозки В последнем обновлении компьютерной игры «Totally Spa … ce!» появилась возможность заказывать космические корабли. Каждый корабль характеризуется своей грузоподъемностью. Терминал заказа показывает два числа: количество уже заказанных космических кораблей x и начальную грузоподъемность кораблей y. Также у вас есть k очков опыта, которые вы можете израсходовать следующим образом: Заказать новый корабль с грузоподъемностью y. Стоимость операции: 1 очко опыта. Увеличить на 1 грузоподъемность всех кораблей, уже заказанных на данный момент времени. Стоимость операции: 1 очко опыта. Вы захотели потратить все k очков опыта, и вам стало интересно, какова же максимальная масса груза, которую можно перевезти, используя все заказанные корабли. Кроме того, вы, как частый посетитель игры «Totally Space!», еще не раз столкнётесь с данной задачей, поэтому вам предлагается решить её для четырёх разных ситуаций. Номер ситуации x y k 1 1 1 2 2 3 4 4 3 6 6 7 4 2 8 8 Ответом на данную задачу являются четыре целых числа, перечисленных через пробел: максимальная масса перевозимого груза в первой, второй, третьей и четвертой ситуациях соответственно. Если вы не можете дать ответ для какой-то ситуации, запишите в качестве ответа для данной ситуации любое число. Примечание. Рассмотрим пример. Пусть количество уже заказанных кораблей равно 2, и их грузоподъемность равна 1, вам доступно 2 очка опыта. Тогда один из оптимальных вариантов следующий: увеличить количество заказанных кораблей на 1 и потратить одно очко опыта, а затем увеличить грузоподъемность всех заказанных кораблей на 1, потратив еще одно очко опыта. Таким образом, максимальная масса груза, перевозимая данными кораблями, будет равна 6 условных единиц.

Задача 6: Странное устройство Полный балл: 100 Ограничение времени: 1 с Ограничение памяти: 512M Ограничение размера стека: 64M По приезде Василий с П … етром обнаружили в своем номере в гостинице странный прибор. Он был оснащен дисплеем, на котором показывалось число 0, и двумя кнопками. Василий сразу понял, что первая кнопка увеличивает число на дисплее на 1, а вторая умножает его на K. В этот момент Петр обнаружил на своей кровати листок бумаги, на котором было написано единственное число N. Теперь друзья хотят воспроизвести число N на дисплее найденного ими устройства, и, поскольку их ждет еще множество дел, им интересно минимальное число нажатий на кнопки устройства для получения числа N. Входные данные В первой строке входных данных записано целое неотрицательное число N (1 ≤ N ≤ 109). Во второй строке входных данных записано целое положительное число K (2 ≤ K ≤ 109). Выходные данные Выведите единственное число — минимальное количество нажатий на кнопки устройства для получения на его дисплее числа N. Система оценки Решения, работающие при K = 2, будут набирать не менее 20 баллов. Решения, работающие при N ≤ 20, будут набирать не менее 15 баллов. Решения, работающие при N ≤ 105, будут набирать не менее 35 баллов. Нужно написать код, желательно на Пайтоне

Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную с помощью таблиц

Перевод целых чисел из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Перевод правильных десятичных дробей в любую другую позиционную систему счисления

При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

Умножение производится до тех поp, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифр в результате, которое поместится в ячейку.

Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ:

0,35(10)=0,01011(2)=0,263(8)=0,59(16)

Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную с помощью таблиц

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Все двоичные числа записаны в четырёхзначном виде (там, где знаков меньше четырёх, слева добавлены нули). Проделаем следующее: каждую цифру в шестнадцатеричном числе 15FC заменим на соответствующую ей в таблице четвёрку двоичных знаков. Т.е., перекодируем число 15FC по таблице в двоичную форму. Получается:
0001 0101 1111 1100.

Если отбросить нули справа (в любой системе счисления они не влияют на значение целого числа), то получим искомое двоичное число.

десятичная восьмеричная двоичная шестнадцатеричная двоичная
А(10)
B(11)
C(12)
D(13)
E(14)
F(15)

Перевод в двоично-десятичную систему (ДДК — двоично-десятичное кодирование)

Для перевода из десятичной системы в ДДК, каждая цифра десятичной системы записывается в виде четырех разрядов двоичной системы.

Пример: 351(10)=0011 0101 0001(2-10)

Преобразуем теперь двоично-десятичное число 1000 0000 0111 0010 в его десятичный эквивалент. Каждая группа из 4 бит прямо преобразуется в ее десятичный эквивалент, и тогда получаем 1000 0000 0111 0010ДДК=807210.

десятичное ДДК=(2-10)
Статьи к прочтению:

Таблица триад и тетрад. Системы счисления.


Похожие статьи:

Двоичные дроби и дробные двоичные числа

Мы знаем, что десятичные числа (или денар ) используют десятичную систему счисления, в которой каждая цифра десятичного числа может принимать одно из десяти возможных значений в диапазоне от 0 до 9. Итак, переход от справа налево по десятичному числу, каждая цифра будет иметь значение в десять раз больше, чем цифра справа от нее.

Но так же, как каждая цифра в десять раз больше предыдущего числа при движении справа налево, каждая цифра также может быть в десять раз меньше, чем соседнее число, когда мы движемся в противоположном направлении слева направо. Правильно.

Однако, как только мы достигнем нуля (0) и десятичной точки, нам не нужно просто останавливаться, но мы можем продолжить движение слева направо вдоль цифр, производя то, что обычно называется дробными числами .

A Типичное дробное число

Здесь, в этом примере десятичного (или десятичного) числа, цифра сразу справа от десятичной точки (число 5) стоит одну десятую (1/10 или 0,1) цифры непосредственно слева от десятичной точки (число 4), который равен умножению на единицу (1).

Таким образом, когда мы перемещаемся по числу слева направо, каждая последующая цифра будет составлять одну десятую значения цифры, находящейся непосредственно в ее левой позиции, и так далее.

Затем десятичная система счисления использует концепцию позиционных или относительных весовых значений, создавая позиционную нотацию, где каждая цифра представляет различное взвешенное значение в зависимости от позиции, занимаемой по обе стороны от десятичной точки.

Таким образом, математически в стандартной денарной системе счисления эти значения обычно записываются как: 4 0 , 3 1 , 2 2 , 1 3 для каждой позиции слева от десятичной точки в нашем примере выше. .Аналогичным образом, для дробных чисел справа от десятичной точки вес числа становится более отрицательным, что дает: 5 -1 , 6 -2 , 7 -3 и т. Д.

Итак, мы видим, что каждая цифра в стандартной десятичной системе указывает величину или вес этой цифры в числе. Тогда значение любого десятичного числа будет равно сумме его цифр, умноженной на их соответствующие веса, поэтому для нашего примера выше: N = 1234,567 10 в взвешенном десятичном формате это тоже будет равно:

1000 + 200 + 30 + 4 + 0.5 + 0,06 + 0,007 = 1234,567 10

или можно записать, чтобы отразить вес каждой денарной цифры:

(1 × 1000) + (2 × 100) + (3 × 10) + (4 × 1) + (5 × 0,1) + (6 × 0,01) + (7 × 0,001) = 1234,567 10

или даже в полиномиальной форме как:

(1 × 10 3 ) + (2 × 10 2 ) + (3 × 10 1 ) + (4 × 10 0 ) + (5 × 10 -1 ) + (6 × 10 -2 ) + (7 × 10 -3 ) = 1234,567 10

Мы также можем использовать эту идею позиционного обозначения, где каждая цифра представляет различное взвешенное значение в зависимости от позиции, которую она занимает в двоичной системе счисления.На этот раз разница в том, что двоичная система счисления (или просто двоичные числа) является позиционной системой, в которой различные взвешенные позиции цифр выражаются в степени 2 (основание-2) вместо 10.

Двоичные дроби

Двоичная система счисления — это система счисления с основанием 2, которая содержит только две цифры, «0» или «1». Таким образом, каждая цифра двоичного числа может принимать значение «0» или «1» с положением 0 или 1, указывающим его значение или вес. Но мы также можем иметь двоичное взвешивание для значений меньше 1, производящих так называемые дробные двоичные числа без знака.

Подобно десятичным дробям, двоичные числа также могут быть представлены как дробные числа без знака, помещая двоичные цифры справа от десятичной точки или, в данном случае, двоичной точки. Таким образом, все цифры дробной части справа от двоичной точки имеют соответствующие веса, которые являются отрицательными степенями двойки, образуя двоичную дробь. Другими словами, степени двойки отрицательны.

Таким образом, для дробных двоичных чисел справа от двоичной точки вес каждой цифры становится более отрицательным, что дает: 2 -1 , 2 -2 , 2 -3 , 2 -4 и так далее, как показано.

Двоичные дроби

и т. Д. И т. Д.

Таким образом, если мы возьмем двоичную дробь 0,1011 2 , тогда учитываются позиционные веса для каждой из цифр, давая ее десятичный эквивалент:

В этом примере преобразование десятичной дроби двоичного числа 0,1011 2 составляет 0,6875 10 .

Бинарные дроби Пример №1

Теперь предположим, что у нас есть следующее двоичное число: 1101.0111 2 , что будет его десятичным эквивалентом.

1101.0111 = (1 × 2 3 ) + (1 × 2 2 ) + (0 × 2 1 ) + (1 × 2 0 ) + (0 × 2 -1 ) + ( 1 × 2 -2 ) + (1 × 2 -3 ) + (1 × 2 -4 )

= 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 1/4 + 1/8 + 1/16

= 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 13,4375 10

Следовательно, десятичный эквивалент 1101.0111 2 дается как: 13.4375 10

Итак, мы можем видеть, что дробные двоичные числа, то есть двоичные числа с весом менее 1 (2 0 ), могут быть преобразованы в их десятичный эквивалент путем последовательного деления двоичного весового коэффициента на значение два для каждое уменьшение в степени 2, помня также, что 2 0 равно 1, а не нулю.

Примеры других бинарных фракций

0,11 = (1 × 2 -1 ) + (1 × 2 -2 ) = 0.5 + 0,25 = 0,75 10

11,001 = (1 × 2 1 ) + (1 × 2 0 ) + (1 × 2 -3 ) = 2 + 1 + 0,125 = 3,125 10

1011.111 = (1 × 2 3 ) + (1 × 2 1 ) + (1 × 2 0 ) (1 × 2 -1 ) + (1 × 2 -2 ) + ( 1 × 2 -3 )

= 8 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 11,875 10

Преобразование десятичной дроби в двоичную

Преобразование десятичной дроби в дробное двоичное число достигается с помощью метода, аналогичного тому, который мы использовали для целых чисел.Однако на этот раз умножение используется вместо деления на целые числа вместо остатков, используемых с цифрой переноса, являющейся двоичным эквивалентом дробной части десятичного числа.

При преобразовании десятичного числа в двоичное целая (положительная последовательность справа налево) и дробная (отрицательная последовательность слева направо) части десятичного числа вычисляются отдельно.

Для целой части числа двоичный эквивалент находится путем последовательного деления (известного как последовательное деление) целой части десятичного числа на 2 (÷ 2), отмечая остатки в обратном порядке от младшего бита ( LSB) в самый старший бит (MSB), пока значение не станет равным «0», создавая двоичный эквивалент.

Итак, чтобы найти двоичный эквивалент десятичного целого числа: 118 10

118 (разделить на 2) = 59 плюс остаток 0 (младший бит)

59 (разделить на 2) = 29 плюс остаток 1 (↑)

29 (разделить на 2) = 14 плюс остаток 1 (↑)

14 (разделить на 2) = 7 плюс остаток 0 (↑)

7 (разделить на 2) = 3 плюс остаток 1 (↑)

3 (разделить на 2) = 1 плюс остаток 1 (↑)

1 (разделить на 2) = 0 плюс остаток 1 (MSB)

Тогда двоичный эквивалент 118 10 будет: 1110110 2 ← (LSB)

Дробная часть числа находится путем последовательного умножения (известного как последовательное умножение) заданной дробной части десятичного числа на 2 (× 2) с учетом переносов в прямом порядке, до тех пор, пока значение не станет равным «0», что дает двоичный эквивалент.

Таким образом, если процесс умножения дает произведение больше 1, переносом является «1», а если процесс умножения дает произведение меньше «1», переносом является «0».

Отметьте также, что если кажется, что последовательные процессы умножения не стремятся к окончательному нулю, дробное число будет иметь бесконечную длину или до тех пор, пока не будет получено эквивалентное количество битов, например 8 бит. или 16 бит и т. д. в зависимости от требуемой степени точности.

Итак, чтобы найти двоичную дробь, эквивалентную десятичной дроби: 0,8125 10

0,8125 (умножить на 2) = 1 . 625 = 0,625 перенос 1 (MSB)

0,625 (умножить на 2) = 1 0,25 = 0,25 перенос 1 (↓)

0,25 (умножить на 2) = 0 . 50 = 0,5 перенос 0 (↓)

0,5 (умножить на 2) = 1 .00 = 0,0 перенос 1 (младший бит)

Таким образом, двоичный эквивалент 0.8125 10 , следовательно: 0.1101 2 ← (LSB)

Мы можем дважды проверить этот ответ, используя описанную выше процедуру для преобразования двоичной дроби в десятичный эквивалент: 0,1101 = 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 0,8125 10

Пример двоичной фракции №2

Найдите двоичную дробь, эквивалентную следующему десятичному числу: 54,6875

Сначала мы конвертируем целое число 54 в двоичное число обычным способом, используя последовательное деление сверху.

54 (разделить на 2) = остаток 27 0 (LSB)

27 (разделить на 2) = остаток 13 1 (↑)

13 (разделить на 2) = 6 остаток 1 (↑)

6 (разделить на 2) = 3 остатка 0 (↑)

3 (разделить на 2) = 1 остаток 1 (↑)

1 (разделить на 2) = 0 остаток 1 (MSB)

Таким образом, двоичный эквивалент 54 10 будет: 110110 2

Далее мы преобразуем десятичную дробь 0.6875 в двоичную дробь с использованием последовательного умножения.

0,6875 (умножить на 2) = 1 . 375 = 0,375 перенос 1 (MSB)

0,375 (умножить на 2) = 0 0,75 = 0,75 перенос 0 (↓)

0,75 (умножить на 2) = 1 . 50 = 0,5 перенос 1 (↓)

0,5 (умножить на 2) = 1 .00 = 0,0 перенос 1 (младший бит)

Таким образом, двоичный эквивалент 0,6875 10 равен: 0.1011 2 ← (МЗБ)

Следовательно, двоичный эквивалент десятичного числа: 54.6875 10 равен 110110.1011 2

Сводка двоичных дробей

В этом руководстве мы видели около двоичных дробей , что для преобразования любой десятичной дроби в ее эквивалентную двоичную дробь мы должны умножить десятичную дробную часть и только десятичную дробную часть на 2 и записать цифру, которая появляется слева. двоичной точки.Эта двоичная цифра, которая является цифрой переноса, ВСЕГДА будет либо «0», либо «1».

Затем мы должны умножить оставшуюся десятичную дробь на 2, снова повторяя указанную выше последовательность, используя последовательное умножение, пока дробь не уменьшится до нуля или не будет завершено необходимое количество двоичных битов для повторяющейся двоичной дроби. Дробные числа представлены отрицательной степенью 2.

Для смешанных десятичных чисел мы должны выполнить две отдельные операции. Последовательное деление целой части слева от десятичной точки и последовательное умножение дробной части справа от десятичной точки.

Обратите внимание, что целая часть смешанного десятичного числа всегда будет иметь эквивалент точного двоичного числа, но десятичная дробная часть может не иметь, так как мы могли бы получить повторяющуюся дробь, приводящую к бесконечному количеству двоичных цифр, если бы мы хотели представить десятичную дробь. точно.

Десятичный преобразователь в двоичный

Из Двоичный Десятичный Шестнадцатеричный

К Двоичный Десятичный Шестнадцатеричный

= Конвертировать × Сброс Поменять местами Двоичное дополнение до 2 со знаком

Группировка цифр

Шаги вычисления от десятичного к двоичному

Разделите на 2, чтобы получить цифры остатка:

Отдел
по 2
Частное

Остаток

(цифры)
Бит #

Преобразование двоичного числа в десятичное ►

Как преобразовать десятичное число в двоичное

Шаг преобразования:
  1. Разделите число на 2.
  2. Получить целое частное для следующей итерации.
  3. Получите остаток от двоичной цифры.
  4. Повторяйте эти шаги, пока частное не станет равным 0.
Пример # 1

Преобразование 13 10 в двоичное:

Отдел
по 2
Частное остаток Бит #
13/2 6 1 0
6/2 3 0 1
3/2 1 1 2
1/2 0 1 3

Итак 13 10 = 1101 2

Пример # 2

Преобразование 174 10 в двоичное:

Отдел
по 2
Частное остаток Бит #
174/2 87 0 0
87/2 43 1 1
43/2 21 1 2
21/2 10 1 3
10/2 5 0 4
5/2 2 1 5
2/2 1 0 6
1/2 0 1 7

Итак 174 10 = 10101110 2

Таблица преобразования десятичных чисел в двоичные

Десятичное число
Число
Двоичное
Число
Hex
Число
0 0 0
1 1 1
2 10 2
3 11 3
4 100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 С
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
16 10000 10
17 10001 11
18 10010 12
19 10011 13
20 10100 14
21 10101 15
22 10110 16
23 10111 17
24 11000 18
25 11001 19
26 11010 1A
27 11011
28 11100
29 11101 1D
30 11110 1E
31 11111 1 этаж
32 100000 20
64 1000000 40
128 10000000 80
256 100000000 100


См. Также

Напишите, как улучшить эту страницу

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НОМЕРА
БЫСТРЫЕ СТОЛЫ
Этот веб-сайт использует файлы cookie для улучшения вашего опыта, анализа трафика и отображения рекламы.Учить больше

Преобразовать десятичные дроби в дроби

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробную, выполните следующие действия:

  • Шаг 1: Запишите десятичную дробь, разделенную на 1, например: десятичное 1
  • Шаг 2: Умножьте верхнюю и нижнюю часть на 10 для каждого числа после десятичной точки. (Например, если после десятичной точки стоят два числа, используйте 100, если их три, используйте 1000 и т. Д.)
  • Шаг 3: Упростите (или уменьшите) дробь

Пример: преобразовать 0,75 в дробь

Шаг 1: Запишите 0,75, разделив на 1:

0,75 1

Шаг 2: Умножьте верхнюю и нижнюю части на 100 (поскольку после десятичной точки стоят 2 цифры, поэтому получается 10 × 10 = 100):

× 100
0.75 1 = 75 100
× 100

(Вы видите, как верхнее число
превращается в целое?)

Шаг 3: Упростите дробь (это заняло у меня два шага):

÷ 5 ÷ 5
75 100 = 15 20 = 3 4
÷ 5 ÷ 5

Ответ =

3 4

Примечание: 75/100 называется десятичной дробью , а 3/4 называется обыкновенной дробью !

Пример: преобразовать 0.625 к дроби

Шаг 1: запишите:

Шаг 2: умножьте верхнюю и нижнюю части на 1000 (3 цифры после десятичной точки, поэтому 10 × 10 × 10 = 1000)

Шаг 3: Упростите дробь (здесь мне потребовалось два шага):

÷ 25 ÷ 5
625 1000 = 25 40 = 5 8
÷ 25 ÷ 5

Ответ =

5 8

Когда есть целая часть числа, отложите целое число в сторону и верните его в конце:

Пример: преобразование 2.35 к дроби

Отложите 2 в сторону и продолжайте работать над 0,35

Шаг 1: запишите:

Шаг 2: умножьте верхнюю и нижнюю части на 100 (2 цифры после десятичной точки, чтобы получилось 10 × 10 = 100):

Шаг 3: Упростим дробь:

÷ 5
35 100 = 7 20
÷ 5

Верните 2 (чтобы получить смешанную фракцию):

Ответ = 2

7 20

Пример: преобразовать 0.333 к дроби

Шаг 1: Запишите:

Шаг 2: Умножьте верхнюю и нижнюю часть на 1000 (3 цифры после десятичной точки, чтобы получилось 10 × 10 × 10 = 1000)

Шаг 3: Упростить дробь:

Нет ничего проще!

Ответ =

333 1000

Но особое примечание:

Если вы действительно имели в виду 0.333 … (другими словами, 3 секунды, повторяющиеся бесконечно, что называется 3 повторяющиеся ), тогда нам нужно следовать специальному аргументу. В таком случае записываем:

Затем умножьте верх и низ на 3:

× 3
0,333 … 1 = 0,999 … 3
× 3

и 0.999 … = 1 (Есть? — см. 9 повторяющихся обсуждений, если вам интересно), поэтому:

Ответ = 1 3

944, 1358, 945, 1359, 3483, 3484, 3485, 3486, 946, 1360

Соотношение между дробями и десятичными знаками

Соотношение между дробями и десятичными знаками очень важно понимать, чтобы развить прочную основу в арифметике. Когда число представлено в форме p / q, где p и q принадлежат целым числам, а q не равно 0, оно называется дробью и может быть преобразовано в десятичную форму путем преобразования знаменателя в степень от 10 или методом длинного деления.

Какая связь между дробями и десятичными знаками?

И дроби, и десятичные дроби — это всего лишь два способа представления чисел. Дроби записываются в виде p / q, где q 0, а в десятичных дробях целая и дробная части соединяются через десятичную точку, например 0,5. Дроби и десятичные дроби представляют собой отношение части к целому. И в дробях, и в десятичных дробях мы представляем целое как 1. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять взаимосвязь между дробями и десятичными знаками.Рассмотрим пиццу на тонком тесте с 6 ломтиками. Ваша мать дала половину, то есть 3 ломтика, тогда в дробной форме мы записываем это как 1/2, а в десятичной форме мы пишем как 0,5.

Рассмотрим другой пример. Эмма делит свой сад на 12 равных частей. В каждой части сада она выращивает цветы разных цветов. Из 12 слотов она зарезервировала 8 равных частей для красных цветов, 2 части для цветов желтого цвета и 2 для цветов синего цвета. Запишем долю цветов каждого цвета в дробной и десятичной дробях.

  • Красные цветы выращивают в 8/12 или 0,666 части сада.
  • Желтые цветы выращивают в 2/12 или 0,1666 части сада.
  • Синие цветы также выращивают в 2/12 или 0,1666 части сада.

Давайте посмотрим на дробное и десятичное представление, приведенное в таблице ниже, чтобы получить больше ясности о соотношении дробей и десятичных дробей.

Преобразование дроби в десятичную

Мы можем преобразовать дробь в десятичную форму двумя следующими способами.

  • Метод длинного деления
  • Преобразует знаменатель дроби в число, кратное 10, например 10, 100, 1000 и т. Д.

Преобразование дробной части в десятичную методом длинного деления

Когда число представлено в форме дроби, то есть p / q, для преобразования его в десятичную форму мы используем метод деления в столбик. Шаги по преобразованию дробей в десятичные приведены ниже. Давайте разберемся в этих этапах деления в столбик на примере.

Преобразование 3/8 в десятичные дроби.

Шаг 1. Считайте цифру числителя дроби делимым, а знаменатель — делителем. В этом случае числитель меньше знаменателя.
Шаг 2: Сделайте делимое больше числителя, поместив 0 рядом с цифрой и частным. Теперь у нас есть 30 новых дивидендов. (30> 8).
Шаг 3: В частном поместите десятичную дробь после 0 и начните деление.
Шаг 4: Умножьте 8 на число, чтобы произведение было меньше 30.8 умножить на 3 равно 24. Теперь цифра в частном равна 3, остаток — 6. После введения десятичной дроби в частное мы можем добавить один 0 на каждом шаге деления.
Шаг 5: Теперь новый дивиденд равен 60. Умножьте 8 на число так, чтобы произведение было меньше 60. 8 умножить на 7 равно 56. Теперь частное равно 7, остаток равен 4.
Шаг 6. Теперь новый дивиденд равен 40. Умножьте 8 на число так, чтобы произведение было меньше 40. 8 умножить на 5 равно 40.
Шаг 7: Окончательный остаток равен 0, а частное — 0.375.
3/8 = 0,375.

Преобразовать знаменатель

Другой метод преобразования дроби в десятичную — преобразование знаменателя дроби в степени 10, такие как 10, 100, 1000 и т. Д. Давайте разберемся с этим с помощью шагов, приведенных ниже. Мы возьмем пример, чтобы выполнить данные шаги.

Преобразование 3/4 в десятичные дроби.

Шаг 1. Придумайте число, на которое мы можем легко умножить знаменатель и числитель, чтобы получить степень 10.
Шаг 2: знаменатель равен 4. 4 умножить на 25 равно 100.
Шаг 3: Умножьте числитель еще и на то же число
Шаг 4: Умножив числитель дроби на 25, получим (3 × 25) = 75
Шаг 5: Теперь у нас есть знаменатель в единицах степеней 10.
Шаг 6: 75/100 = 0,75.
Десятичный разряд в окончательном ответе зависит от количества завершающих нулей, присутствующих в цифре знаменателя.

Преобразование десятичной дроби в дробь

Каждое десятичное число может быть выражено в виде дроби.Шаги по преобразованию десятичного числа в дробную форму приведены ниже:

  1. Перепишите число, игнорируя десятичную точку.
  2. Разделите число на степень 10 так, чтобы количество нулей в нем было равно количеству десятичных разрядов в данном числе.
  3. Упростите дробь.

Посмотрите на этот пример для более глубокого понимания.

Десятичная форма = 6,5 = 65/10 = 13/2 (дробная форма 6,5)

Важные примечания:

  1. Дроби представляют собой соотношение между двумя числами, поэтому они показывают конечное значение.Например, 1/3, или можно сказать 1 из 3 частей.
  2. Десятичные дроби также могут представлять бесконечные значения наряду с конечными значениями. Например, если мы преобразуем указанную выше дробь в десятичную, мы получим 0,33333333, и это будет продолжаться до бесконечности.

Статьи по теме

Просмотрите ссылки на интересные статьи, посвященные соотношению дробей и десятичных знаков.

Часто задаваемые вопросы о

Взаимосвязь дробей и десятичных дробей

Какое значение имеют дробь и десятичная дробь?

Дроби и десятичные дроби требуются, когда требуется точность в значении, потому что целые числа могут использоваться только для подсчета.Для измерения используются десятичные дроби и дроби. Десятичное число дает более точное значение по сравнению с дробями, поскольку мы даже можем представлять бесконечные числа с помощью десятичных знаков, что невозможно с дробями.

В чем разница между дробью и десятичной дробью?

Основное различие между дробью и десятичными знаками заключается в том, что дробь представляет собой соотношение между двумя, в то время как десятичные дроби также могут использоваться для записи бесконечных значений и для большей точности. Дроби имеют вид p / q, где p и q — целые числа, а q не равно 0, а десятичные дроби записываются с помощью десятичной точки между ними, чтобы отделить целую часть числа от дробной части числа. , например, 2.89 — десятичное число.

Как представлены десятичные дроби и дроби?

Дроби записываются в виде p / q, где q 0, а в десятичных дробях целая часть числа и дробная часть соединяются через десятичную точку, например 0,5.

Как преобразовать десятичные дроби в дроби?

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь, мы выполняем три основных шага, упомянутых ниже:

  • Перепишите число, игнорируя десятичную точку
  • Разделите число на разряд последней цифры дробной части числа
  • Упростить дробь

Что такое 22/7 в десятичных дробях?

22/7 — иррациональное число, которое выражается цифрой 3.14 в десятичных дробях с точностью до двух знаков после запятой. Это непрерывное и неповторяющееся десятичное число, увеличивающееся до бесконечности.

Как можно преобразовать дробь в десятичную?

Есть два способа преобразовать дробь в десятичную, которые приведены ниже:

  • Метод длинного деления
  • Преобразование знаменателя в степени 10

Как преобразовать смешанную дробь в десятичную?

Чтобы преобразовать смешанную дробь в десятичную, нам сначала нужно преобразовать ее в неправильную дробь.Затем мы можем разделить числитель на знаменатель, чтобы преобразовать его в десятичную дробь.

Двоичные дроби и числа с плавающей запятой

Двоичные дроби и числа с плавающей запятой!

Неплохо вдвое.

Введение

До сих пор мы имели дело с целыми числами. Расширить это на дроби не так уж сложно, поскольку мы на самом деле просто используем те же механизмы, с которыми мы уже знакомы. Как мы увидим ниже, двоичные дроби демонстрируют некоторые интересные особенности поведения.

В этом разделе мы начнем с рассмотрения того, как мы представляем дроби в двоичном формате. Затем мы рассмотрим двоичную систему с плавающей запятой, которая является средством представления чисел, которое позволяет нам представлять как очень маленькие дроби, так и очень большие целые числа. Это значение по умолчанию означает, что компьютеры используют для работы с этими типами чисел и фактически официально определено IEEE. Он известен как IEEE 754.

Двоичные дроби

Двоичная — это позиционная система счисления.Это также базовая система счисления . Чтобы узнать больше об этом, прочтите наше Введение в системы счисления. Когда мы перемещаем позицию (или цифру) влево, степень, которую мы умножаем на основание (2 в двоичном формате), увеличивается на 1. При перемещении вправо мы уменьшаемся на 1 (до отрицательных чисел).

Итак, в десятичной системе число 56,482 фактически переводится как

.
5 * 10 1 50
6 * 10 0 6
4 * 10 -1 4/10
8 * 10 -2 8/100
2 * 10 -3 2/1000

В двоичном формате это тот же процесс, но вместо этого мы используем степень двойки.

Таким образом, в двоичном формате число 101.101 переводится как

.
1 * 2 2 4
0 * 2 1 0
1 * 2 0 1
1 * 2 -1 1/2
0 * 2 -2 0
1 * 2 -3 1/8

В десятичной системе счисления это довольно просто, поскольку мы перемещаем каждую позицию дроби вправо, мы добавляем 0 к знаменателю.В двоичной системе знаменатель удваивается.

По мере вашего продвижения знаменатель удваивается, поэтому мы получаем следующие значения знаменателя:
2 -1 1/2
2 -2 1/4
2 -3 1/8
2 -4 1/16
2 -5 1/32
2 -6 1/64

и так далее.

Преобразование двоичной дроби в десятичную дробь — это просто вопрос сложения соответствующих значений для каждого бита, который равен 1 .

Дроби, которые мы не можем представить

В десятичном формате существуют различные дроби, которые мы можем неточно представить. 1/3 — одна из них. Мы можем подойти очень близко (например, 0,3333333333), но мы никогда не сможем точно представить значение. То же самое и с двоичными дробями, однако количество значений, которые мы не можем точно представить, на самом деле больше.Обычно это не проблема, потому что мы можем представлять значение в достаточно двоичных разрядах, чтобы оно было достаточно близко для практических целей. Мы вернемся к этому, когда рассмотрим преобразование в двоичные дроби ниже.

Двоичная точка

До сих пор мы представляли наши двоичные дроби с использованием двоичной точки. Это нормально, когда мы работаем нормально, но на компьютере это невозможно, поскольку он может работать только с 0 и 1 .Мы обходим это, согласовывая, где должна быть двоичная точка.

Так, например, если мы работаем с 8-битными числами, можно договориться, что двоичная точка будет помещена между 4-м и 5-м битами.

Тогда предполагается, что

01101001 фактически представляет 0110.1001

Преобразование десятичной дроби в двоичную

Многие операции при работе с двоичными файлами — это просто вопрос запоминания и применения простого набора шагов.Преобразование десятичных дробей в двоичные ничем не отличается.

Самый простой подход — это метод, в котором мы многократно умножаем дробь на 2 и записываем, является ли цифра слева от десятичной точки 0 или 1 (т. Е. Если результат больше 1), а затем отбрасываем 1, если она является. Когда вы закончите, прочтите значение сверху вниз. Давайте посмотрим на несколько примеров. Этот пример заканчивается после 8 бит справа от двоичной точки, но вы можете продолжать так долго, как захотите.(или пока вы не получите 0 в множителе или повторяющуюся последовательность битов).

0.

Результат в двоичном формате:

с плавающей точкой

То, что мы рассмотрели ранее, называется двоичными дробями с фиксированной запятой. Это удобный способ представления чисел, но как только число, которое мы хотим представить, становится очень большим или очень маленьким, мы обнаруживаем, что нам нужно очень большое количество битов для их представления.Если мы хотим представить десятичное значение 128, нам потребуется 8 двоичных цифр (10000000). Это более чем в два раза больше цифр для представления одного и того же значения. Чем дальше от нуля, тем хуже становится.

Чтобы обойти это, мы используем метод представления чисел под названием с плавающей запятой . Плавающая точка очень похожа на научную нотацию как средство представления чисел. Однако мы теряем немного точности при работе с очень большими или очень маленькими значениями, что обычно приемлемо.Здесь я расскажу о стандарте IEEE для определения номеров точек (поскольку это в значительной степени стандарт де-факто, который все используют).

Напомните мне еще раз, как работает научная нотация

Некоторые из вас могут быть хорошо знакомы с научными обозначениями. Некоторые из вас, возможно, помнят, что выучили это некоторое время назад, но хотели бы освежиться. Давайте разберемся, как это работает.

В приведенном выше примере 1,23 — это то, что называется мантиссой (или мантиссой), а 6 — это то, что называется экспонентой.Мантисса всегда настраивается так, чтобы слева от десятичной точки находилась только одна (не нулевая) цифра. Показатель степени говорит нам, на сколько мест переместить точку. В данном случае мы перемещаем его на 6 позиций вправо. Если мы сделаем экспоненту отрицательной, то переместим ее влево.

Если мы хотим представить 1230000 в экспоненциальной форме, мы делаем следующее:

  • Отрегулируйте число так, чтобы слева от десятичной точки была только одна цифра. 1,23
  • Чтобы создать это новое число, мы переместили десятичную запятую на 6 разрядов.Это становится показателем.
  • Таким образом, в научном представлении это становится: 1,23 x 10 6

То же самое в двоичном формате

Мы можем сделать то же самое в двоичном формате, и это составляет основу нашего числа с плавающей запятой.

Здесь мы перемещаем не десятичную точку, а двоичную точку, и поскольку она перемещается, она называется плавающей. Ниже мы рассмотрим то, что называется стандартом IEEE 754 для представления чисел с плавающей запятой.Стандарт определяет количество битов, используемых для каждого раздела (экспонента, мантисса и знак), и порядок, в котором они представлены.

Ничто не мешает вам представлять числа с плавающей запятой в вашей собственной системе, однако почти все используют IEEE 754. Это включает производителей оборудования (включая процессоры) и означает, что в этих устройствах существуют схемы, в частности, для обработки чисел с плавающей запятой IEEE 754. Используя стандарт для представления чисел, ваш код может использовать это и работать намного быстрее.Это также означает, что взаимодействие улучшается, поскольку все представляют числа одинаково.

Стандарт определяет следующие форматы чисел с плавающей запятой:

одинарной точности , который использует 32 бита и имеет следующую компоновку:

  • 1 бит для знака числа. 0 означает положительный результат, а 1 — отрицательный.
  • 8 бит для показателя степени.
  • 23 бита для мантиссы.

Двойная точность , который использует 64 бита и имеет следующую компоновку.

  • 1 бит для знака числа. 0 означает положительный результат, а 1 — отрицательный.
  • 11 бит для экспоненты.
  • 52 бита для мантиссы.

например. 0 00011100010 0100001000000000000001110100000110000000000000000000

Двойная точность имеет больше битов, что позволяет представлять гораздо большие и гораздо меньшие числа.Поскольку мантисса также больше, степень точности также увеличивается (помните, что многие дроби не могут быть точно представлены в двоичном формате). Хотя числа с плавающей запятой двойной точности имеют эти преимущества, они также требуют большей вычислительной мощности. С увеличением вычислительной мощности ЦП и переходом к 64-битным вычислениям многие языки программирования и программное обеспечение по умолчанию используют двойную точность.

Мы рассмотрим, как работают числа с плавающей запятой одинарной точности ниже (просто потому, что это проще).Двойная точность работает точно так же, только с большим количеством бит.

Знаковый бит

Это первый бит (самый левый) в числе с плавающей запятой, и это довольно просто. Как упоминалось выше, если ваше число положительное, сделайте этот бит 0 . Если ваш номер отрицательный, сделайте его 1 .

Показатель

Показатель степени становится немного интереснее. Помните, что показатель степени может быть положительным (для представления больших чисел) или отрицательным (для представления маленьких чисел, т. Е. Дробей).Ваше первое впечатление может заключаться в том, что здесь идеально подошло бы два дополнения, но стандарт имеет немного другой подход. Это сделано, поскольку это позволяет упростить обработку и манипулирование числами с плавающей запятой.

С 8 битами и беззнаковым двоичным кодом мы можем представлять числа от 0 до 255. Чтобы учесть отрицательные числа в числах с плавающей запятой, мы берем нашу экспоненту и прибавляем к ней 127. Диапазон значений, который мы можем представить, становится от 128 до -127. 128, однако, не допускается и сохраняется как особый случай для обозначения определенных специальных чисел, перечисленных ниже.

Напр. скажем:

  • Мы хотим, чтобы наша экспонента была 5. 5 + 127 равно 132, поэтому наша экспонента становится — 10000100
  • Мы хотим, чтобы наша экспонента была -7. -7 + 127 равно 120, поэтому наша экспонента становится — 01111000

Хорошим побочным преимуществом этого метода является то, что если крайний левый бит равен 1, тогда мы знаем, что это положительный показатель степени, и это большое число, а если это 0, то мы знаем, что показатель степени отрицателен и это дробь (или небольшое число).

Здесь легко запутаться, так как знаковый бит для числа с плавающей запятой в целом имеет 0 для положительного значения и 1 для отрицательного, но это переворачивается для экспоненты из-за использования механизма смещения. Это просто то, о чем вы должны помнить при работе с числами с плавающей запятой.

Мантисса

В экспоненциальном представлении помните, что мы перемещаем точку так, чтобы слева от нее была только одна (не нулевая) цифра.Когда мы делаем это с двоичным кодом, эта цифра должна быть 1 , поскольку другой альтернативы нет. Создатели стандарта с плавающей запятой использовали это в своих интересах, чтобы получить немного больше данных, представленных в виде числа.

После преобразования двоичного числа в экспоненциальное представление перед сохранением в мантиссе мы опускаем ведущее число 1 . Это позволяет нам хранить в мантиссе еще 1 бит данных.

например.

Если наш номер для хранения был 111.00101101, то в экспоненциальном представлении это будет 1.1100101101 с показателем степени 2 (мы переместили двоичную точку на 2 позиции влево). Опускаем ведущую 1. и нужно хранить только 1100101101.

Если бы наше число для сохранения было 0,0001011011, то в экспоненциальном представлении это было бы 1,011011 с показателем -4 (мы переместили двоичную точку на 4 позиции вправо). Опускаем ведущую 1. и хранить нужно только 011011.

Особые случаи

Следует рассмотреть несколько особых случаев.

Ноль

Ноль представлен битом знака 1 или 0 , а все остальные биты 0

например. 1 00000000 00000000000000000000000 или 0 00000000 00000000000000000000000

Это равняется мантиссе 1 с показателем -127, который является наименьшим числом, которое мы можем представить в виде с плавающей запятой. Это не 0, но это довольно близко, и системы знают, что точно интерпретируют его как ноль.

Бесконечность

Можно представлять как положительную, так и отрицательную бесконечность. Просто переключите знаковый бит.

Для представления бесконечности у нас есть показатель степени всех 1 с мантиссой всех 0 .

например. 0 11111111 00000000000000000000000 или 1 11111111 00000000000000000000000

Не число

Используется для обозначения того, что что-то произошло, в результате чего число не может быть вычислено.Например, деление на ноль или квадратный корень из отрицательного числа. Это представлено показателем степени, который представляет собой все 1 , и мантиссой, которая представляет собой комбинацию 1 и 0 (но не все 0 , так как тогда это будет представлять бесконечность). Знаковый бит может иметь значение 1 или 0.

например. 0 11111111 00001000000000100001000 или 1 11111111 11000000000000000000000

Шаблоны 1 и 0 обычно используются для обозначения характера ошибки, однако это решает программист, поскольку нет списка официальных кодов ошибок.

Итого:

Ноль 0 00000000 00000000000000000000000
Отрицательный ноль 1 00000000 00000000000000000000000
Бесконечность 0 11111111 00000000000000000000000
Отрицательная бесконечность 1 11111111 00000000000000000000000
Не число (NaN) 0 11111111 00001000000000100001000

Преобразование в числа с плавающей запятой

Преобразование числа в числа с плавающей запятой включает следующие шаги:

  • Установите бит знака — если число положительное, установите бит знака равным 0.Если число отрицательное, установите его на 1.
  • Разделите ваше число на две части — целую часть и дробную часть.
  • Преобразовать в двоичное — преобразовать два числа в двоичное, а затем соединить их двоичной точкой.
  • Вычислите показатель степени — Это делается путем определения, на сколько пробелов нужно переместить двоичную точку, чтобы она находилась сразу после первых 1 в результате. Если вы переместите двоичную точку влево, это число будет положительным.Если вы переместите его вправо, то число будет отрицательным. Добавьте 127 к этому числу, а затем преобразуйте его в двоичное.
  • Отформатируйте мантиссу — Для этого нужно отбросить первые 1 числа и записать следующие 23 бита.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть это в действии.

Результат в двоичном формате:

Чтобы преобразовать число с плавающей запятой обратно в десятичное, просто выполните действия в обратном порядке.

Деятельность

Итак, лучший способ научиться этому — практиковать его, и теперь мы заставим вас сделать именно это.

Для первых двух действий дроби округлены до 8 бит. Ваши числа могут немного отличаться от показанных результатов из-за округления результата. Это хорошо.

Преобразование десятичных знаков в дроби — Математика для сделок: Объем 1

Чад решил, что он хочет работать с деньгами в дробной форме, а не в десятичной.Почему ты спрашиваешь? Я не знаю. Однако поработайте со мной здесь, потому что было трудно втянуть Чада в десятичную историю. Может, он просто хочет, чтобы его ученики знали немного больше по математике. Никакого вреда нет. Здесь мы видим следующее:

[латекс] \ LARGE0.5 \ text {to} \ dfrac {1} {2} [/ latex]

Важно знать, как это сделать, чтобы работать с разными числовыми формами на рабочем месте. Например, Дэвид, ученик класса Чада, работает машинистом. Машинисты производят металлические детали с точностью до одной тысячной дюйма.Если вы постоянно работаете с десятичными числами, вы можете забыть, как работать с дробями, поэтому Дэвид хочет знать, как преобразовать эти десятичные дроби в дроби. Лучший способ проиллюстрировать, как это сделать, — это просто на примере.

Начнем с простой десятичной дроби, например 0,25, и поработаем над преобразованием ее в дробь.

Шаг 1 : Переведите вопрос в дробную форму так, чтобы десятичная дробь была больше 1.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {0,25} {1} [/ латекс]

Шаг 2 : Возьмите числитель и знаменатель и умножьте их на 10 для каждой цифры справа от десятичной точки.В этом случае у нас 2 цифры справа. Поэтому умножаем каждую на 100 (10 × 10).

Шаг 3 : Сократите дробь до наименьшего значения, и мы получим окончательный ответ.

Заменить десятичную дробь 0,729 на дробную.

Шаг 1 : Переведите уравнение в дробную форму так, чтобы десятичная дробь была больше 1.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {0,729} {1} [/ латекс]

Шаг 2 : Возьмите числитель и знаменатель и умножьте их на 10 для каждой цифры справа от десятичной точки.В этом случае у нас есть 3 цифры справа. Поэтому умножаем каждую на 1000 (10 × 10 × 10).

Шаг 3 : Уменьшите дробь, чтобы получить окончательный ответ.

Это сложно уменьшить. Я предлагаю делать это поэтапно. Начните с маленьких чисел, таких как 2 и 3. Входит ли число 2 и в числитель, и в знаменатель? Ответ был бы отрицательным. Как насчет 3? Тоже нет. Продолжайте этот процесс, пока не найдете подходящий номер.

Возможно, вы не найдете номер, а мы уже на самом низком уровне.Так обстоит дело здесь. Наш окончательный ответ прост:

.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {729} {1000} [/ латекс]

Задайте пару практических вопросов и посмотрите видеоответы.

Заменить следующие десятичные дроби на дроби. Изложите свой ответ в минимальной форме.

[латекс] \ LARGE0.362 [/ латекс]

[латекс] \ LARGE0.963 [/ латекс]

Теперь пора перейти к ситуации, которую мы можем найти на сайте вакансий. Вы когда-нибудь были на стройплощадке, и начальник просил вас отрезать кусок трубы или, может быть, кусок дерева? Какое было измерение? Может, это было что-то вроде 8 ⅜ дюймов.Может быть, 2 фута 2 ¼ дюйма. Это довольно стандартно.

Но что, если бы вас попросили отрезать кусок материала 2,9384 фута? Для Дэвида, машиниста, это могло быть именно то измерение, которое он получил бы при создании металлических изделий. Но что бы вы сделали в некоторых других сделках?

Это причина, по которой нам нужно иметь возможность заменять десятичные дроби на дроби. Целое число в этом примере остается неизменным, поэтому нам не нужно с этим разбираться. Нам нужно работать с 0.9384.

Цель состоит в том, чтобы преобразовать 2,9384 в футы, дюймы и доли дюйма. Мы рассмотрим пример, чтобы показать вам, как это делается.

Шаг 1 : Во-первых, обратите внимание, что число, с которым мы имеем дело, выражается в футах. У нас 2,9384 фута. Две целые ножки не потребуют замены и в хорошем состоянии. Что нам нужно сделать в первую очередь, так это изменить 0,9384 на дюймы, прежде чем переходить к долям дюйма. Начните с того, сколько дюймов в футе.

[латекс] \ LARGE1 \ text {foot} = 12 \ text {дюймы} [/ латекс]

Возьмите один фут и умножьте его на 12.

[латекс] \ LARGE0.9384 \ times12 = 11.2608 \ text {дюймы} [/ латекс]

Шаг 2 : У нас осталось 11 дюймов с десятичной дробью дюйма. 11 дюймов и так хороши, но нам нужно изменить десятичную дробь дюйма на доли дюйма. Возникает вопрос, на какую долю дюйма мы должны его изменить?

Это зависит от вас. Это могут быть четвертые, восьмые, шестнадцатые или тридцать секунд. Самый распространенный способ — заменить десятичную дробь дюйма на шестнадцатую.Это делается путем умножения десятичной дроби дюйма на число в знаменателе той дроби, над которой вы работаете. В нашем примере мы хотим преобразовать десятичную дробь в шестнадцатую, поэтому умножаем ее на 16.

[латекс] \ LARGE0.2608 \ times16 = 4,1728 [/ латекс]

Когда мы смотрим на 4.1728, на самом деле мы смотрим на:

[латекс] \ LARGE \ dfrac {4.1728} {16} [/ латекс]

Если бы мы взяли 0,2608 дюйма и умножили его на 8, наш ответ был бы в восьмых долях дюйма.Если бы мы умножили на 4, наш ответ был бы в четвертях (или четвертях) дюйма.

Шаг 3 : Округлите ответ до ближайшей доли дюйма, а затем уменьшите дробь, если необходимо.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {4.1728} {16} \ rightarrow \ dfrac {4} {16} \ rightarrow \ dfrac {1} {4} [/ latex]

Тогда наш окончательный ответ будет:

Измените следующие футы и десятичные дроби фута на футы, дюймы и шестнадцатые доли дюйма.

[латекс] \ LARGE7.6939 \ text {feet} [/ latex]

Шаг 1 : Измените десятичную дробь фута на дюймы.

[латекс] \ LARGE0.6939 \ times12 = 8.3268 \ text {дюймы} [/ латекс]

Шаг 2 : У нас осталось 8 дюймов с десятичной дробью дюйма. 8 дюймов и так хороши, но нам нужно изменить десятичную дробь дюйма на доли дюйма. Нам нужно заменить десятичную дробь дюйма на шестнадцатую, поэтому умножьте ее на 16.

[латекс] \ LARGE0.3268 \ times16 = 5.2288 [/ латекс]

Шаг 3 : Округлите ответ до ближайшей доли дюйма, а затем уменьшите дробь, если необходимо.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {5.2288} {16} \ rightarrow \ dfrac {5} {16} [/ латекс]

Наш окончательный ответ:

Измените следующие футы и десятичные дроби фута на футы, дюймы и шестнадцатые доли дюйма. Кратко сформулируйте свой ответ, а когда закончите, посмотрите видео-ответы.

[латекс] \ LARGE9.1234 \ text {ноги} [/ латекс]

[латекс] \ LARGE0.058 \ text {ноги} [/ латекс]

Упражнение по преобразованию десятичной и двоичной системы счисления, часть 2: дроби

В части 1 этих упражнений мы рассматривали целые числа или целые числа.Эта вторая серия будет иметь дело с дробями.

Дроби — это деления чисел, в отличие от целых чисел. 2/3 — это дробь, как и 0,342. В большинстве случаев дроби записываются как последние с десятичным разрядом, потому что это более интуитивно понятно.

преобразование двоичных дробей в десятичные:

Давайте возьмем двоичную дробь, такую ​​как 0,1001 по основанию 2, в качестве повторяющегося примера. Обратите внимание, что десятичная точка делает это число дробью. Разрядные числа двоичных дробей определяются, начиная с десятичной точки, а отсчет ведется с отрицательной единицы (-1).То есть первая цифра после десятичной точки имеет разрядное значение 2, увеличенное до минус 1 или 2 -1 . Вторая цифра имеет разрядное значение 2 -2 , третья — разрядное значение 2 -3 и так далее и так далее соответственно.

Следовательно, чтобы преобразовать 0,1001 2 с использованием расширенной записи в базу 10:

 0,1001 = 1 x 2 + 0 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 
 = 1/2 + 0 +0 + 1 / 16 

Затем сделаем все знаменатели одинаковыми

 = 8/16 + 1/16
            = 9/16
            = 0.5625  10  

В качестве альтернативы вы можете преобразовать дроби в десятичные числа, а затем суммировать десятичные дроби, хотя этот маршрут может занять больше времени.

Другой способ:

  1. Поместите десятичную запятую в позицию в конце последней цифры. Теперь это целое число
  2. Подсчитайте количество мест, на которое вы переместили десятичную точку, и обозначьте ее как n.
  3. Преобразование целого числа в десятичное или десятичное.
  4. Разделите результат в (3) на 2 n .
  5. Произвести десятичную дробь из дроби.

Разместите десятичную точку в конце: 0,1001 станет 1001,0

Подсчитайте количество разрядов, на которое вы переместили десятичную точку, n: 4.

Преобразуйте целое число в десятичное: 1001 с основанием 2 равно 9 с основанием 10.

Разделите результат 2 n , т.е. 2 4 : 9/16

Вывести десятичный эквивалент дроби: 0,5625 по основанию 10.


преобразование десятичных дробей в двоичные

Десятичные дроби могут быть двух типов: дроби, знаменатели которых являются простыми множителями 2, и дроби, знаменатель которых не является.Знаменатели более раннего типа имеют завершающие двоичные дробные эквиваленты, в то время как последние имеют двоичные дроби, которые не заканчиваются, и это важно при выполнении преобразований.


Пора размять ноги? Предоставлено: Wikimedia Commons.

Давайте возьмем в качестве примера десятичную дробь 0,5625 10 , прежде чем попробуем другое упражнение с дробью без десятичной точки.

Методика:

  1. Умножьте десятичную дробь на 2.
  2. Если результат меньше 1, поместите 0 после следующей десятичной точки, иначе результат будет больше 1, поместите 1 после следующей десятичной точки и удалите целую часть результата.Если результат равен 1, поставьте 1 после следующей десятичной точки; вы достигли конечной точки для двоичной дроби.
  3. Если (2) не завершился, вернитесь к (1).

Десятичная дробь в двоичную. Завершение.
Дробь Результат
0,5625 0.
0,5625 x 2 = 1,125> 1 0,1

Результат умножения дроби на 2 больше 1, поэтому я добавил 1 к следующему десятичному знаку после десятичной точки.Двоичная дробь (или результат) не прекращается. Итак, продолжим. Но сначала я уберу целое число из дроби.


0,125 x 2 = 0,25 <1 0,10
0,25 x 2 = 0,5 <1 0,100
0,5 x 2 = ** 1,0 = 1 ** 0,1001

Повторяя описанные выше шаги, мы пришли к удвоенной дроби, которая равна 1.Двоичная дробь завершилась и в результате составила 0,1001 2 . Все просто, правда?

Двоичные дроби, которые не заканчиваются, — это дроби, знаменатели которых не являются простыми множителями 2. Знаменатель — это число под разделительной линией дроби. Скажем, в 2/3 числитель равен 2, а знаменатель — 3. Преобразование этой десятичной дроби в двоичную не завершится, хотя вы можете завершить манипуляции, когда получите повторяющийся узор. Возьмем для примера 2/3.


Десятичная дробь, образующая непрерывную двоичную дробь.
Дробь Результат
2/3 0.
2/3 x 2 = 4/3 = 11/3> 1 0,1

Первоначальное умножение на 2 дает число больше 1. Мы ставим 1 после следующей десятичной точки, удаляем целое число из дроби и продолжаем.


1/3 x 2 = 2/3 <1 0,10
2/3 x 2 = 4/3 = 11/3> 1 0,101
1/3 x 2 = 2/3 <1 0,1010

Обратите внимание, что последняя строка таблицы является повторением более ранней строки. В результате получается повторяющийся шаблон: 0,101010 … Преобразование двоичной системы в десятичную и наоборот — это весело. Иногда я делаю их, даже когда слушаю музыку.Вы можете сделать то же самое. Готфрид Лейбниц около 300
лет назад написал статью о полезности двоичной арифметики. Вы найдете интересным обсуждение китайских фигурок фуси.

упражнение по преобразованию в десятичную и двоичную системы, часть 1: целые числа


подписывайтесь на меня в твиттере, @emeka_david или станьте другом в фейсбуке, nnaemeka david .

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *