Как перевести десятичную дробь в десятичную систему: Десятичные дроби и смешанные числа в разных системах счисления

Содержание

Десятичные дроби и смешанные числа в разных системах счисления


Автор — Лада Борисовна Есакова.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую обычно не вызывает проблем. А вот необходимость перевести десятичную дробь или смешанное число (число с целой и дробной частью) из системы в систему часто ставит в тупик даже сильных учеников.

1. Перевод смешанного числа в десятичную систему счисления из любой другой.

Для перевода смешанного числа в десятичную систему из любой другой следует пронумеровать разряды числа, начиная с нуля, справа налево от младшего целого разряда. Разряды дробной части нумеруются слева направо от -1 в убывающем порядке. Теперь представим число в виде суммы произведений его цифр на основание системы в степени разряда числа и ответ готов.

Пример 1.

Переведите число 105,4 из восьмеричной системы в десятичную.

Решение:

Пронумеруем целые разряды числа справа налево от 0, дробные – слева направо от -1 :

Посчитаем сумму произведений цифр числа на 8 (основание системы) в степени разряда числа:

Ответ:

2. Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в любую другую.

Для перевода десятичной дроби из десятичной системы в любую другую следует умножать дробь, а затем дробные части произведений, на основание новой системы пока дробная часть не станет равной 0 или до достижения указанной точности. Затем целые части выписать, начиная с первой.

Пример 2

Переведите десятичное число 0,816 в двоичную систему с точностью до сотых.

Решение:

Умножаем дробь 0,816, а затем дробную часть произведения (0,632) на 2 и выписываем целые части, начиная с первой:

Ответ:

Пример 3.

Переведите десятичное число 0,8125 в восьмеричную систему.

Решение:

Умножаем дробь 0,8125, а затем дробную часть произведения (0,5) на 8 и выписываем целые части, начиная с первой:

Ответ:

3. Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Если необходимо перевести смешанное число из десятичной системы в любую другую, следует перевести целую и дробную части, а затем записать, разделив десятичной запятой.

Пример 4.

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 14,125?

Решение:

Переведем целую часть числа в двоичную систему:

Переведем дробную часть числа в двоичную систему:

Соединим целую и дробную части:


14,12510 = 1110,0012

Количество единиц равно 4.

Ответ: 4

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

После того, как я сделал несколько калькуляторов для перевода между разными системами счисления — вот список от первой до последней версии, от самого простого к сложному: Перевод числа в другие системы счисления, Перевод из десятичной системы счисления, Перевод из одной системы счисления в другую — в комментариях стали периодически спрашивать — а что же, мол, дробные числа, как же их переводить? И когда спросили больше трех раз, я таки решил изучить этот вопрос.

Результатом стал калькулятор, который вы видите ниже, он умеет переводить и дробные числа в том числе. Как водится, для любознательных под калькулятором немного теории.

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Основание системы счисления исходного числа

Основание системы счисления переведенного числа

Точность вычисления

Знаков после запятой: 8

Переведенное число

 

Исходное число в десятичной системе счисления

 

Переведенное число в десятичной системе счисления

 

Погрешность перевода (в десятичном выражении)

 

Максимальная погрешность перевода (в десятичном выражении)

 

Ссылка Сохранить Виджет

Теперь теория. Я, честно говоря, думал, что вопрос довольно сложный, но при ближайшем рассмотрении все оказалось проще простого. Надо было только держать в голове тот факт, что речь идет о позиционных системах счисления.

В чем тут суть? Рассмотрим на примере десятичного числа 6.125. Это дробное число в десятичной системе счисления представляется так:

Все просто, не так ли? Та же самая простота сохраняется и при записи дробного числа в любой другой системе счисления. Возьмем, например, горячо любимую каждым программистом двоичную систему и число, например, 110.001. Эта запись есть не что иное как

Да-да, число для примера было выбрано не просто так. То есть, 110.001 в двоичной системе есть 6.125 в десятичной. Принцип, я думаю, ясен.

Есть только одно но — все-таки из-за того, что здесь участвую дроби с разными знаменателями, не всегда одно и тоже число можно одинаково точно выразить в разных системах счисления. Что я имею в виду?

Возьмем, например, число . Отлично смотрится в десятичной системе счисления. Но вот если попробовать получить запись этого числа в двоичной системе счисления — будут проблемы. Попробуем, пока не устанем

Продолжать можно еще довольно долго, но уже сейчас видно, что 0.8 в десятичной системе это 0.11001100…(дальше очень много цифр) в двоичной. Если честно, то это периодическое число с перидом 1100, так что мы никогда не сможем выразить его точно в двоичной системе счисления. 110011001100… будет продолжаться до бесконечности.

Поэтому перевод дробного числа из одной системы счисления в другую чаще всего дает погрешность. Погрешность эта зависит от того, сколько разрядов мы используем для записи дробной части переведенного числа. Возьмем пример с числом 0.8 и используем для записи его двоичного представления шесть разрядов после запятой — 0.110011. Полученное число вовсе не 0.8, а 0.796875, разница при этом составляет 0.003125. Это и есть наша погрешность перевода десятичного числа 0.8 в двоичный вид при использовании шести разрядов после запятой.

Вес крайнего правого разряда (самого младшего разряда) называется разрешением (resolution) или точностью (precision), и определяет наименьшее неравное нулю число, которое может быть представлено данным числом разрядов. Для нашего примера это . При этом максимально возможная погрешность представления числа, как нетрудно сообразить, не превышает половины этого веса, или 0.0078125. Так что для 0.8 мы имеем еще и не самую плохую погрешность.

Вот, собственно, и все.

Четырехичная система счисления

Содержание:
Что такое четырехичная система счисления
Как перевести целое десятичное число в четырехичную систему счисления
Как перевести десятичную дробь в четырехичную систему счисления
Как перевести число из четырехичной системы счисления в десятичную
Как перевести дробное четырехичное число в десятичное
Таблица значений десятичных чисел от 0 до 100 в четырехичной системе счисления

Что такое четырехичная система счисления

Четырехичная система счисления, является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в четырехичной системе счисления используется четыре цифры 0, 1, 2 и 3. Для определения в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется
основанием
системы счисления. Например, 3214 или 10334

Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн.

Как перевести целое десятичное число в четырехичную систему счисления

Для того, чтобы перевести целое десятичное число в четырехичную систему счисления нужно десятичное число делить на 4 до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.

Например, переведем число 34510 в четырехичную систему счисления:

345 : 4 = 86 остаток: 1
86 : 4 = 21 остаток: 2
21 : 4 = 5 остаток: 1
5 : 4 = 1 остаток: 1
1 : 4 = 0 остаток: 1

34510 = 111214

Как перевести десятичную дробь в четырехичную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в четырехичную систему счисления необходимо сначала перевести целую часть десятичной дроби в четырехичную систему счисления, а затем дробную часть, последовательно умножать на 4, до тех пор, пока в дробной части произведения не получиться ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой. Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль. В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.

Например, переведем десятичное число 4.7

10 в четырехичную систему счисления:

Переведем целую часть

4 : 4 = 1 остаток: 0
1 : 4 = 0 остаток: 1

410 = 104

Переведем дробную часть

0.7 · 4 = 2.8
0.8 · 4 = 3.2
0.2 · 4 = 0.8
0.8 · 4 = 3.2
0.2 · 4 = 0.8
0.8 · 4 = 3.2
0.2 · 4 = 0.8
0.8 · 4 = 3.2
0.2 · 4 = 0.8
0.8 · 4 = 3.2

0.710 = 0.23030303034
4.710 = 10.23030303034

Четырехичные дроби, как и десятичные могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной четырехичной. В данном примере получается бесконечная периодическая четырехичная дробь, поэтому умножение на 4 можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь 4.7 не может быть точно представлена в четырехичной системе счисления. К примеру, дробь 4.5

10 может быть представлена в четырехичной системе счисления в виде конечной 2.510 = 10.24.

Как перевести число из четырехичной системы счисления в десятичную
Для того, чтобы перевести число из четырехичной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо записать позиции каждой цифры в числе с права на лево начиная с нуля. Каждая позиция цифры будет степенью числа 4, так как система счисления 4-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число на 4 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.

Например, переведем число 20314 в десятичную систему счисления:

Позиция в числе3210
Число2031

20314 = 2 ⋅ 4

3 + 0 ⋅ 42 + 3 ⋅ 41 + 1 ⋅ 40 = 14110

Как перевести дробное четырехичное число в десятичное
Для того, чтобы перевести дробное четырехичное число в десятичное, необходимо записать дробное четырехичное число, убрав точку и затем сверху расставить индексы. Индексы в дробной части числа начинаются от -1 и продолжаются на уменьшение вправо, индексы в целой части начинаются с 0 и ставятся с права на лево по возрастанию. Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа 4, так как система счисления 4-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число на 4 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.

Например, переведем дробное четырехичное число 30.214 в десятичное:

Позиция в числе10-1-2
Число3021

30.214 = 3 ⋅ 41 + 0 ⋅ 40 + 2 ⋅ 4-1 + 1 ⋅ 4-2 = 12.562510

Таблица значений десятичных чисел от 0 до 100 в четырехичной системе счисления
Значение числа в десятичной системе счисленияЗначение числа в четырехичной системе счисления
01004
11014
21024
31034
410104
510114
610124
710134
810204
910214
1010224
1110234
1210304
1310314
1410324
1510334
16101004
17101014
18101024
19101034
20101104
21101114
22101124
23101134
24101204
25101214
26101224
27101234
28101304
29101314
30101324
31101334
32102004
33102014
34102024
35102034
36102104
37102114
38102124
39102134
40102204
41102214
42102224
43102234
44102304
45102314
46102324
47102334
48103004
49103014
50103024
Значение числа в десятичной системе счисленияЗначение числа в четырехичной системе счисления
51103034
52103104
53103114
54103124
55103134
56103204
57103214
58103224
59103234
60103304
61103314
62103324
63103334
641010004
651010014
661010024
671010034
681010104
691010114
701010124
711010134
721010204
731010214
741010224
751010234
761010304
771010314
781010324
791010334
801011004
811011014
821011024
831011034
841011104
851011114
861011124
871011134
881011204
891011214
901011224
911011234
921011304
931011314
941011324
951011334
961012004
971012014
981012024
991012034
1001012104

1.5.2. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления

Перевод целых чисел.

1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

3) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) составить число в новой системе счисления, записывая его начиная с последнего остатка.

Пример 1. Перевести число 3710 в двоичную систему. Для обозначения цифр в за­пи­си числа используем символику: a5a4a3a2a1a0

Отсюда: 3710 – 1001012

Пример 2. Перевести десятичное число 315 в восьмеричную и в шест­над­ца­те­рич­ную системы:

Отсюда следует:

31510=473 8= 13B16.

Напомним, что 1110 = В16

Перевод дробных чисел.

1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все по­сле­дующие действия производить в десятичной системе счисления;

2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произ­ве­де­ний на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет рав­ной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой сис­теме счисления;

3) полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой сис­те­ме счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой час­ти первого произведения.

Пример 3. Перевести десятичную дробь 0,1876 в двоичную, восьмеричную и шест­над­­цатеричную системы.

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей.

Отсюда:

0,187510= 0,00112= 0,148 =0,316.

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алго­ритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дроб­ной запятой (точкой).

Пример 4. Перевести десятичное число 315,1875 в восьмеричную и в шест­над­ца­те­рич­ную системы счисления. Из рассмотренных выше примеров следует:

315,187510=473,148= 13В,316

1.5.3. Системы счисления, используемые в эвм (с основанием 2n)

Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2n (4, 8, 16 и т.д.), нужно:

1) данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней левой группе окажется меньше п разрядов, то ее надо допол­нить слева нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее со­от­вет­ствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.

Для того чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2n, нужно:

1) данное двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней правой группе окажется меньше п разрядов, то ее надо допол­нить спра­ва нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соот­вет­с­тву­ющей цифрой в системе счисления q=2n.

Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с осно­ва­ни­ем q = 2n, нужно:

1) данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой;

2) если в последних правой и левой группах окажется меньше п разрядов, то их на­до допол­нить справа и слева нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соот­вет­ствующей цифрой в системе счисления q=2n.

Для того чтобы произвольное число записанное в системе счисления с ос­но­ва­­ни­ем q =2n, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заме­нить ее nразрядным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Применительно к компьютерной информации часто используются системы с осно­ва­ни­ем 8 (восьмеричная) и 16 (шестнадцатеричная).

Пример 5. Перевести число 15FC16 в двоичную систему. Для решения задачи вос­поль­зуемся приведенной ниже двоично-шестнадцатеричной таблицей.

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления заключается в поиске целых частей при умножении на 2.

Пример. Переведем десятичную дробь 0,322 в двоичную систему счисления.

Чтобы найти первую после запятой цифру двоичной дроби, нужно умножить заданное число на 2 и выделить целую часть произведения.

Решение:

0,32210 8,8310

0.322*2=0.644 0 8:2=4 остаток 0

0.644*2=1.288 1 4:2=2 остаток 0

0.288*2=0.576 0 2:2=1 остаток 0

0.576*2=1.152 1 1:2=0 остаток 1

Ответ:

0,322210=0.01012 0.83*2=1.66 целая часть равна 1

0.66*2=1.32 целая часть равна 1

0.32*2=0.64 целая часть равна 0

0.64*2=1.28 целая часть равна 1

Ответ: 8,83=1000,1101

Перевод десятичных чисел в восьмеричную систему счисления

Для перевода числа из десятичной системы в восьмеричную применяется тот же прием, что и при переводе в двоичную систему.

Преобразуемое число делят на 8 по правилам десятичной системы с запоминанием остатка, который, конечно, не превышает 7. Если полученное частное больше 7, его тоже делят на 8, сохраняя остаток.

Решение:

891:8=111 3

111:8=13 7

13:8= 1 5

1: 8=0 1

(старшая цифра двоичного числа).

Ответ: 89110=15738

Перевод десятичных чисел в шестнадцатиричную систему счисления

Аналогично преобразуют десятичное число в шестнадцатеричное с той лишь разницей, что это число вместо 8 делят на 16.

Пример: Число 891 перевести из десятичной системы в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение: остаток

891:16=55 11

55:16=3 7

3:16=0 3

89110=37B16

Самостоятельная работа студента с преподователям:

1. Задание: Представьте виде суммы степеней основания числа:

1. 42510 8. 3678,89810

2. 25610 9. 7,2908310

3. 85210 10. 0,003210

4. 124310 11. 2,358910

5. 256910 12. 48,96510

6. 456810 13. 56,89710

7. 1256810 14. 48,97510

2. Задание:Переводите десятичные числа в двоичную систему счисления:

1. 32310 8. 12510

2. 15010 9. 22910

3. 28310 10. 8810

4. 42810 11. 25510

5. 31510 12. 32510

6. 18110 13. 25910

7. 17610 14. 65210

3. Задание:Переводите дробные десятичные числа в двоичную систему счисления:

1. 0,32210 8. 37,2510

2. 150,700610 9. 206,12510

3. 283,24510 10. 0,38610

4. 0,42810 11. 10,10310

5. 315,07510 12. 8,8310

6. 181,36910 13. 14,12510

7. 176,52610 14. 15,7510

4. Задание:Переводите десятичные числа в восьмеричную систему счисления:

1. 32210 8. 700610

2. 52410 9. 12510

3. 283,24510 10. 22910

4. 42810 11. 8810

5. 315,07510 12. 37,2510

6. 181,36910 13. 206,12510

7. 176,52610 14. 94010

5. Задание:Переводите десятичные числа в шестнадцатиричную систему счисления:

1. 32210 8. 36910

2. 150,700610 9. 12510

3. 283,24510 10. 22910

4. 42810 11. 8810

5. 315,07510 12. 37,2510

6. 18110 13. 206,12510

7. 176,52610 14. 98,9310

Контрольные вопросы:

1. Что называют системой счисления?

2. В чем отличие позиционных систем счисления от непозиционных?

3. Что называют основанием позиционной системы счисления?

4. Что такое разряд?

Лабораторная работа №2

Тема занятия: Двоичная система счисления. Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную, шестнадцатиричную систему счисления. Арифметические действия над двоичными числами. (1 час), СРС (2час).

В компьютерах применяется, как правило, не десятичная, а позиционная двоичная система счисления, т.е. система счисления с основанием 2. В двоичной системе любое число записывается с помощью двух цифр 0 и 1 и называется двоичным числом.

Для того чтобы отличить двоичное число от десятичного, содержащего только цифры 0 и1, к записи двоичного числа в индексе добавляется признак двоичной системы счисления, например 110101,1112. Каждый разряд (цифру) двоичного числа называют битом.

Как и десятичное число, любое двоичное число можно записать в виде суммы, явно отражающей различие весов цифр, входящих в двоичное число 2. Например, для двоичного числа 1010101,101 сумма примет вид

1010101,1012 =1*26+0*25+1*24+0*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3

Эта сумма записывается по тем же правилам, что и сумма для десятичного числа. В данном примере двоичное числа имеет семизначную целую и трехзначную дробную части. Поэтому старшая цифра целой части, т.е. единица, умножается на 27-1=26, следующая цифра целой части, равная нулю, умножается на 25 и т.д. по убывающим степеням двойки до младшей, третьей, цифры дробной части, которая будет умножена на 2-3. Выполняя в этой сумме арифметические операции по правилам десятичной системы, получим десятичное число 85,625. Таким образом, двоичное число 1010101,101 совпадает с десятичным числом 85,625 или 1010101,101=85,62510

1. 111000112=1×27+1×26+1×25+0×24+0×23+0×22+1×21+1×20= 128+64+32+2+1=22710

2. 0,101000112=1×2-1+0×2-2+1×2-3+0×2-4+0×2-5+0×2-6+1×2-7+1×2-8=0,5+0,125+0,0078+0,0039 =0,636710

Персональный сайт — 59. Позиционные системы счисления. Перевод целых и дробных чисел из десятичной системы счисления . Перевод целых и дробных чисел в десятичную сис

59. Позиционные системы счисления. Перевод целых и дробных чисел  из десятичной системы счисления   . Перевод целых и дробных чисел  в десятичную систему счисления.  . Пример в MS Exсel.

Система счисления это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой форме записи чисел

  ab  = an bn + an-1 bn-1 + . . . + a1 b1 + a0 b0 + a-1 b-1 + . . .  a-m b-m,

где {а }  — алфавит системы счисления, iпозиция,   b — основание системы, …, b-2 , b-1 , 1, b, b2 , b3 , …, bn, … базис            

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную (b=10) 

Такой перевод осуществляется по правилам десятичной с помощью формулы

   ab  = an bn + an-1 bn-1 + . . . + a1 b1 + a0 b0 + a-1 b-1 + . . .  a-m b-m,   

Пример. 1011101— >Х10         

10111012 =1*26 + 0*25 + 1*24 + 1*23 + 1*22 +0*2 + 1*20 =64+16+8+4+1=9310 

Ответ: 9310

Как пеpевести правильную конечную b-ичную дpобь в десятичную?

По схеме Горнера a=(((( a-m b-1  + a-m+1 )*b-1+… a-3 )*b-1 + a-2 )*b-1  + a-1)* b-1

Дана правильная конечная дробь =0,a-1a-2…a-m

Требуется получить запись этой дроби в десятичной системе счисления. Для решения этой задачи представим дробь в развернутой форме

 a = a-1 b-1+a-2 b-2 +a-3 b-3 +…am+1 bm+1+ am bm  =   

=(((( a-m b-1  + a-m+1 )*b-1+… a-3 )*b-1 + a-2 )*b-1  + a-1)* b-1

Данное выражение называется схемой Горнера для вычисления значения b-ичной дроби в десятичной системе счисления (цифры в дроби по Горнеру нужно выписывать в обратном порядке))

Алгоритм. Для того, чтобы исходную, правильную дробь

0,a-1a-2…amзаменить равной ее правильной десятичной дробью, необходимо

  1. Получить am b-1  , для этого цифру младшего разряда дроби разделить на основание b, по правилам десятичной арифметики
  2. Получить (am b-1  + am+1 ), для этого к полученному частному прибавить цифру следующего (более старшего разряда)
  3. Получить ( am b-1  + am+1 )*b-1 для этого с полученной суммой, как с первой взятой цифрой, смотри пункт 1
  4. Эти операции продолжать до тех пор, пока не будет прибавлена цифра старшего разряда искомой дроби ((( am b-1  + am+1 )*b-1+… a-3 )*b-1 + a-2 )*b-1  + a-1)   
  5. Получить (((( am b-1  + am+1 )*b-1+… a-3 )*b-1 + a-2 )*b-1  + a-1)* b-1 , для этого полученную сумму разделить еще раз на b

Пример. Перевести в десятичную систему дроби

 

1) 0,11012=X10

(рассматриваем цифры в обратном порядке)

1:2=0,5

0,5+0=0,5

0,5:2=0,25

0,25+1=1,25

1,25:2=0,625

0,625+1=1,625

1,625:2=0,8125

Ответ: 0,11012= 0,812510

2) 0,3568=0,X10

(рассматриваем цифры в обратном порядке)

6:8=0,75

0,75+5=5,75

5,75:8=0,371875

0,371875+3=3,371875

3,371875:8=0,46484375

Ответ: 0,3568=0,4648437510

3) 0,A6E16=0,X10

(рассматриваем цифры в обратном порядке)

14:16=0,875

0,875+6=6,875

6,875:16=0,4296875

0,4296875+10=10,4296875

10,4296875:16=0,65185546875

Ответ: 0,A6E16=0,6518554687510

Как перевести целое число из десятичной системы (b=10) в любую другую позиционную систему счисления?

Теорема:  Преобразование чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием b производится последовательным делением исходного числа на основание системы b по правилам b- арифметики, пока частное не станет равным 0. Это деление в остатках дает запись числа-ответа в соответствующей системе, но в обратном порядке: от младшей цифры к старшей.

Пример. Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

 

Ответ: 7510 = 10010112 = 1138 = 4B16.

Как перевести правильную десятичную дробь

  z=0,z-1z-2…zm  в любую другую позиционную систему счисления?

По формуле с выделением целой части. z*b=a-1+a-2 b-1 +a-3 b-2 +…am bm+2+ am bm+1 

Алгоритм. Для того, чтобы исходную десятичную правильную дробь 0,z-1z-2…zmзаменить равной ее правильной дробью 0,a-1a-2…am, нужно

1. 0,z-1z-2…zm умножить на основание b, по правилам десятичной арифметики, целую часть полученного произведения считать цифрой старшего разряда искомой дроби

2. Дробную часть полученного произведения вновь умножить на b, целую часть полученного результата считать следующей цифрой искомой дроби.

Пункт 2 повторять до тех пор, пока дробная часть не окажется равной нулю, либо будет достигнута требуемая точность.

Пример. Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

 

Ответ: 0,3510 = 0,010112 = 0,2638 = 0,5916 .

 

Перевод чисел  с применением MS Exсel.

   

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ — это… Что такое ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ?

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ, число, записанное в ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ справа от десятичной запятой. Например, число 52,437 представляет собой сумму ЦЕЛОГО ЧИСЛА 52 с десятичной дробью 0,437. Его можно представить в таком виде: 52 + (4310-1) + (3310-2) + (7310-3) или иначе: 52 + (4/10 + 3/100 + 7/1000), либо 52 + 437/1000, а также в виде неправильной дроби 52437/1000. Десятичные дроби складываются, умножаются, делятся и вычитаются, как целые числа, но после каждого действия необходимо правильно располагать десятичную запятую.

Научно-технический энциклопедический словарь.

  • ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА
  • ДЕСЯТИЧНЫЙ ЗНАК

Смотреть что такое «ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ» в других словарях:

  • Периодические десятичные дроби — см. Дробь …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Десятичные логарифмы — Рис. 1. Графики логарифмических функций Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и ax = b равносильны. Пример …   Википедия

  • Египетские дроби — Египетская дробь  в математике сумма нескольких (конечного числа) попарно различных дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой… …   Википедия

  • Десятичная дробь — Десятичная дробь  разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде где   знак дроби: либо , либо ,   десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа… …   Википедия

  • Дробь (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Дробь. 8 / 13        числитель числитель знаменатель знаменатель Две записи одной дроби Дробь в математике  число, состоящее из одной или нескольких частей… …   Википедия

  • ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ — Интуитивное представление о числе, по видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения… …   Энциклопедия Кольера

  • АРИФМЕТИКА — искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была… …   Энциклопедия Кольера

  • История арифметики — Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы …   Википедия

  • Конструктивные способы определения вещественного числа — При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты,… …   Википедия

  • Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой положительное целое число. Пример: . Египетская дробь… …   Википедия


Преобразование десятичного числа в двоичное числа с дробной частью — Преобразование — DYclassroom

В этом уроке мы научимся преобразовывать десятичное число с дробной частью в двоичное.

Прежде чем мы углубимся в основную тему, давайте немного поговорим о десятичной и двоичной системе счисления, с которой мы будем работать в этом руководстве.

Десятичная система счисления состоит из 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Итак, любое число, которое мы используем в повседневной жизни, на самом деле находится в десятичной системе счисления.

Двоичная система счисления состоит всего из 2 цифр: 0 и 1. И наиболее часто используется в компьютерах.

Как преобразовать десятичное число с дробной частью в двоичное?

Десятичное число с плавающей запятой состоит из двух частей. Целая часть, которая находится слева от десятичной точки, и дробная часть, которая находится справа от десятичной точки. Например, 10.16 — десятичное число с плавающей запятой. Целая часть этого числа равна 10, а дробная часть числа — 0.16 и вместе они составляют число.

Итак, чтобы преобразовать десятичное число с плавающей запятой в двоичную форму, мы должны сначала преобразовать целую часть в двоичную форму. Затем преобразуйте дробную часть в двоичную форму. Наконец, объедините два, чтобы получить результат.

Чтобы получить двоичную дробную часть, мы должны умножить дробную часть на 2, взять целую часть перед десятичной точкой в ​​качестве результата и снова умножить оставшуюся дробную часть на 2. Мы выполняем этот процесс до тех пор, пока дробная часть не станет 0.В некоторых случаях дробная часть не станет 0, поэтому для этих сценариев мы остановимся после N цифр, где N будет достаточно большим или задано в вопросе.

Преобразовать десятичное число 0,125 в двоичную форму

Сначала мы преобразуем целую часть 0 в двоичную, а затем дробную часть .125 в двоичную.

Целая часть равна 0, что меньше 2, поэтому 0 (основание 10) = 0 (основание 2)

  Двоичный из 0,125

Шаг 1
----------
Умножаем 0.125 на 2 и возьмем целую часть
0,125 х 2 = 0,250
Целая часть = 0
Дробная часть = 0,250

Поскольку дробная часть не равна 0, мы копируем ее на следующий шаг.

Шаг 2
----------
Умножаем 0,250 на 2 и берем целую часть
0,250 х 2 = 0,500
Целая часть = 0
Дробная часть = 0,500

Поскольку дробная часть не равна 0, мы копируем ее на следующий шаг.

Шаг 3
----------
Умножаем 0,500 на 2 и берем целую часть
0,500 х 2 = 1,000
Целая часть = 1
Дробная часть = 0

Теперь дробная часть равна 0, поэтому мы останавливаемся на этом. 

Рассчитанная целая часть выглядит следующим образом.
Шаг 1: 0
Шаг 2: 0
Шаг 3: 1

Чтобы найти двоичный файл, мы должны сканировать целую часть сверху
Итак, 0,125 (основание 10) = 0,001 (основание 2)
В качестве альтернативы, (0,125) 10 = (0,001) 2
Где , (основание 10) означает, что число находится в десятичной системе счисления, а (основание 2) означает, что число находится в двоичной системе счисления.

Преобразование десятичного числа 10.16 в двоичной форме

Сначала преобразуем целую часть 10 в двоичную.

  Шаг 1
----------------
Дивиденд = 10
Делитель = 2
Частное = 5

2) 10 (5
    10
   ----
     0

Разделив 10 на 2, мы получим 0 в качестве остатка.
Итак, 1-й остаток = 0
Дивиденд за шаг 2 = частное из шага 1
Итак, дивиденд за шаг 2 = 5

Шаг 2
----------------
Дивиденд = 5
Делитель = 2
Частное = 2

2) 5 (2
    4
   ----
    1

Разделив 5 на 2, получим 1 остаток.
Итак, 2-й остаток = 1
Дивиденд за шаг 3 = частное из шага 2
Итак, дивиденд за шаг 3 = 2

Шаг 3
----------------
Дивиденд = 2
Делитель = 2
Частное = 1

2) 2 (1
    2
   ----
    0

Разделив 2 на 2, мы получим 0 в качестве остатка.Итак, третий остаток = 0
Дивиденд за шаг 4 = частное из шага 3
Итак, дивиденд за шаг 4 = 1

Шаг 4
-----------------
Дивиденд = 1

Поскольку дивиденд меньше 2, мы остановимся на этом и скопируем дивиденд как последний остаток.
Итак, 4-й ремейдер = 1
  

Рассчитанный остаток выглядит следующим образом.
1-й остаток = 0
2-й остаток = 1
3-й остаток = 0
4-й остаток = 1

Чтобы найти двоичный файл, мы должны сканировать остаток снизу.
Итак, 10 (основание 10) = 1010 (основание 2)
В качестве альтернативы, (10) 10 = (1010) 2
Где (основание 10) означает, что число находится в десятичной системе счисления и (основание 2) означает, что число находится в двоичной системе счисления.

Теперь преобразуем дробную часть 0,16 в двоичную.

  Двоичный из 0,16

Шаг 1
----------
Умножаем 0,16 на 2 и берем целую часть
0,16 х 2 = 0,32
Целая часть = 0
Дробная часть = 0,32

Поскольку дробная часть не равна 0, мы копируем ее на следующий шаг.

Шаг 2
----------
Умножаем 0,32 на 2 и берем целую часть
0,32 х 2 = 0,64
Целая часть = 0
Дробная часть = 0,64

Поскольку дробная часть не равна 0, мы копируем ее на следующий шаг.

Шаг 3
----------
Умножаем 0.64 на 2 и возьмем целую часть
0,64 х 2 = 1,28
Целая часть = 1
Дробная часть = 0,28

Поскольку дробная часть не равна 0, мы копируем ее на следующий шаг.

Шаг 4
----------
Умножаем 0,28 на 2 и берем целую часть
0,28 х 2 = 0,56
Целая часть = 0
Дробная часть = 0,56

Поскольку дробная часть не равна 0, мы копируем ее на следующий шаг.

Шаг 5
----------
Умножаем 0,56 на 2 и берем целую часть
0,56 х 2 = 1,12
Целая часть = 1
Дробная часть = 0,12

Поскольку дробная часть не равна 0, мы копируем ее на следующий шаг.ШАГ 6
----------
Умножаем 0,12 на 2 и берем целую часть
0,12 х 2 ...

в этом случае у нас есть 5 цифр в качестве ответа, а дробная часть все еще не равна 0, поэтому мы останавливаемся на этом.
  

Рассчитанная целая часть выглядит следующим образом.
Шаг 1: 0
Шаг 2: 0
Шаг 3: 1
Шаг 4: 0
Шаг 5: 1

Чтобы найти двоичный файл, мы должны сканировать целую часть сверху
Итак, 0,16 (основание 10) = 0,00101 … (основание 2)
В качестве альтернативы, (0.16) 10 = (0,00101 …) 2
Или (0,16) 10 = (0,00101) 2 (приблизительное значение)
Где (основание 10) означает, что число является десятичным числом система и (основание 2) означает, что число находится в двоичной системе счисления.

Теперь, чтобы получить двоичное десятичное число 10.16, мы должны объединить два двоичных результата. (10) 10 = (1010) 2
(0,16) 10 = (0,00101 …) 2
Итак, (10,16) 10 = (1010.00101 …) 2
или, (10.16) 10 = (1010.00101) 2 (приблизительное значение)

Десятичная система чисел — деление, округление и преобразование

Деление десятичных чисел
Деление десятичных чисел выполняется так же, как и целые числа, если только делитель не является десятичным.

Если делитель является десятичным, перед делением его необходимо заменить на целое число. Для этого переместите десятичную дробь в делителе вправо, пока не останется десятичных знаков.При этом переместите десятичную запятую в делимом вправо на такое же количество разрядов. Затем разделите. Десятичная дробь в частном будет помещена непосредственно над десятичной дробью в дивиденде.

Пример: разделить 0,144 на 0,12

Переместите десятичную дробь в делителе (0,12) на две позиции вправо. Затем переместите десятичную дробь в делимом (0,144) на две позиции вправо. Затем разделите. Результат 1.2.

Пример: Площадь крыла самолета составляет 262,6 квадратных футов, а его размах — 40.4 фута. Найдите среднюю хорду его крыла по формуле: Площадь ÷ размах = средняя хорда.

Переместите десятичную дробь в делителе (40.4) на одну позицию вправо. Затем переместите десятичную дробь в делимом (262,6) на одну позицию вправо. Затем разделите. Средняя длина хорды составляет 6,5 футов.

Округление десятичных чисел

Иногда необходимо округлить десятичное число до некоторого значения, которое удобно использовать.

Например, значение измерения равно 29.4948 дюймов. Чтобы использовать это измерение, мы можем использовать процесс «округления». Десятичная дробь «округляется» путем сохранения цифр в определенном количестве разрядов и отбрасывания остальных. Требуемая степень точности определяет количество сохраняемых цифр. Если цифра справа от последней сохраненной цифры равна 5 или больше, округлите до 1. Если цифра справа от последней сохраненной цифры меньше 5, оставьте последнюю сохраненную цифру без изменений.

Пример: вал привода — 2.1938 дюймов в диаметре. Округлите до ближайшей десятой.

Цифра в столбце десятых — 1. Цифра справа от 1 — 9. Так как 9 больше или равно 5, «округлите» 1 до 2. Следовательно, 2,1938 округляется до ближайшая десятая — 2,2.

Пример: Внешний диаметр подшипника составляет 2,1938 дюйма. Округлить до ближайшей сотой.

Цифра в столбце сотых — 9. Цифра справа от 9 — это 3. Поскольку 3 меньше 5, не округляйте 9 в большую сторону.Следовательно, 2,1938 с точностью до сотых равно 2,19.

Пример: длина втулки составляет 2,1938 дюйма. Округлить до ближайшей тысячной.

Цифра в тысячных долях — это 3. Цифра справа от 3 — это 8. Поскольку 8 больше или равно 5, «округлите» 3 до 4. Следовательно, 2,1938 до ближайшего тысячная — 2,194.

Преобразование десятичных чисел в дроби

Чтобы преобразовать десятичное число в дробь, «прочтите» десятичное число, а затем запишите его в дробь, как показано ниже.

Пример: одна заклепка увеличенного размера имеет диаметр 0,52 дюйма. Преобразовать 0,52 в дробь. Десятичная дробь 0,52 читается как «пятьдесят две сотых».

Следовательно,

Измерение часто появляется в руководстве по обслуживанию или на чертеже как десятичное, а не дробное. Чтобы использовать размер, его, возможно, потребуется преобразовать в дробь. Авиационный механик часто использует стальную линейку, калиброванную с шагом 1/64 дюйма. Чтобы заменить десятичную дробь на ближайшую эквивалентную обыкновенную дробь, умножьте десятичную дробь на 64.Произведение десятичной дроби и 64 будет числителем дроби, а 64 будет знаменателем. При необходимости уменьшите фракцию.

Пример: ширина болта с шестигранной головкой составляет 0,3123 дюйма. Преобразуйте десятичную дробь 0,3123 в обычную дробь, чтобы решить, какое гнездо лучше всего подходит для головки болта. Сначала умножьте десятичную дробь 0,3123 на 64:

Затем округлите произведение до ближайшего целого числа: 19,98722 ≈ 20.

Используйте это целое число (20) в качестве числителя и 64 в качестве знаменателя: 20⁄64.

Теперь уменьшите 20⁄64 до 5⁄16.

Следовательно, правильной головкой будет головка 5⁄16 дюйма (уменьшенная на 20⁄64).

Пример: Когда для конструкций самолета требуются точные отверстия одинакового диаметра, их сначала просверливают примерно на 1/64 дюйма меньше, а затем рассверливают до окончательного желаемого диаметра. Сверло какого размера следует выбрать для отверстия меньшего диаметра, если последнее отверстие расширяется до диаметра 0,763 дюйма? Сначала умножьте десятичную дробь 0,763 на 64.

Затем округлите произведение до ближайшего целого числа: 48.832 ≈ 49.

Используйте это число (49) в качестве числителя и 64 в качестве знаменателя: 49⁄64 — это дробь, ближайшая к окончательному диаметру развертывания 0,763 дюйма. Чтобы определить размер сверла для начального отверстия меньшего диаметра, вычтите 1⁄64 дюйма из окончательного размера отверстия.

Следовательно, для начальных отверстий меньшего диаметра следует использовать сверло 3⁄4 дюйма.

Преобразование дробей в десятичные

Чтобы преобразовать любую дробь в десятичную, просто разделите верхнее число (числитель) на нижнее число (знаменатель).У каждой дроби будет приблизительный десятичный эквивалент.

Пример:

Совет калькулятора: Числитель (верхнее число) ÷ Знаменатель (нижнее число) = десятичный эквивалент дроби.

Преобразование некоторых дробей в десятичные дает повторяющееся десятичное число.

Пример:

Десятичная таблица эквивалентов
Рисунок 1-6 представляет собой диаграмму эквивалентности дробных и десятичных долей в миллиметрах. Измерения от 1⁄64 дюйма до 23 дюймов были преобразованы в десятичные числа и миллиметры.
Рисунок 1-6. Дроби, десятичные дроби и миллиметры.

Flight Mechanic рекомендует

Десятичная дробь

Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой при выражении в форме обыкновенной дроби является степенью десяти (10, 100, 1000, 10000 и т. Д.). Ниже приведены несколько примеров.

Десятичные дроби имеют значения меньше 1. Число, такое как 2,38, которое имеет десятичную дробь, а также целую часть числа, иногда называют десятичным смешанным числом.Однако термин «десятичный» также может использоваться для обозначения как десятичных дробей, так и десятичных смешанных чисел.

Преобразование десятичной дроби в дробь требует понимания разряда. Обратите внимание, что в приведенных выше примерах количество нулей в знаменателе равно количеству цифр после десятичной точки. В 0.1 после десятичной запятой стоит только 1 цифра, а его дробная форма — 1/10. Можно преобразовать десятичные дроби в дроби, помня, что количество нулей, добавленных к 1 в знаменателе, равно количеству цифр после десятичной точки.Однако причина того, что это работает, заключается в природе десятичной системы счисления, которая является наиболее широко используемой системой счисления. Таким образом, понимание того, как это связано с числовой стоимостью, даст вам основу для работы с другими математическими концепциями.

Как записывать десятичные дроби

Числитель десятичной дроби состоит из ненулевых цифр десятичной дроби. Знаменатель представляет собой степень 10, основанную на позиции последней ненулевой цифры десятичной дроби.Например, в 0,625 разрядная цифра «5» (тысячные) определяет знаменатель. Таким образом, для 0,625 ненулевыми цифрами являются 6, 2 и 5, которые пишутся поверх разряда 1000:

.

Чтобы понять, почему это работает, мы могли бы разбить число на значения каждой из его цифр:

Чтобы сложить дроби, у них должен быть один и тот же знаменатель, поэтому конвертируйте каждую цифру в эквивалентные дроби. Поскольку все знаменатели являются степенями 10, наименьший общий знаменатель — это наибольшая степень 10, или в данном случае 1000:

Может быть полезно записывать значение каждой цифры, пока учащийся не освоится с концепцией разряда, после чего он может сразу же записать все цифры в числителе с соответствующей степенью 10 в знаменателе.

Ниже представлена ​​диаграмма значений разряда от единиц до десятитысячных. Значения разряда продолжаются в любом направлении, но для десятичных дробей в качестве примера показан только этот диапазон.



Как превратить целое число в десятичное

Обновлено 2 ноября 2020 г.

Лиза Мэлони

••• Дэвид Хагерман / iStock / GettyImages

Целые числа — это числа, с помощью которых вы научились считать, начиная с ноль и возрастание: 0, 1, 2, 3, 4 и так далее.Как следует из названия, в целых числах не используются дробные или десятичные дроби, но вам все равно может потребоваться ввести целое число в десятичной форме. Вы также встретите целые числа как часть смешанных чисел — то есть целое число плюс дробь — и в этом случае вы можете преобразовать смешанное число в десятичную форму.

Преобразование смешанных чисел в десятичную форму

Смешанные числа состоят из целого числа и дроби. Хотя это обычно не записывается, между целым числом и дробью стоит знак плюса.Так, например,

6 \ frac {1} {2} \ text {можно также записать как} 6 + \ frac {1} {2}

Чтобы преобразовать дробь в десятичную, помните, что 1/2 — это то же, что и 1 ÷ 2, и отработайте деление. Эти два принципа пригодятся при преобразовании смешанных чисел в десятичные, потому что вы можете сохранить целое число, выполнить деление, чтобы преобразовать дробь в десятичную, а затем сложить два вместе.

Преобразование простого смешанного числа в десятичную форму

Например, если вы хотите преобразовать 6 1/2 в десятичную форму, вы сохраняете 6, выполняете деление, чтобы преобразовать 1/2 в десятичную — результат равно 0.5 — а затем сложите их вместе, чтобы получить результат 6.5.

Преобразование более сложного смешанного числа

Что делать, если вас попросят преобразовать более сложное смешанное число в десятичную форму, например:

4 \ frac {11} {16}

Вы используете тот же процесс. Сохраните 4 и произведите деление, чтобы преобразовать 11/16 в десятичную дробь:

11 ÷ 16 = 0,6875

Затем вы складываете целое число 4 с дробной дробью 0,6875 и получаете результат 4,6875.

Запись целых чисел как десятичных

Если вы работаете с проблемами или проводите эксперименты, в которых количества или результаты должны указываться с определенным количеством знаков после запятой, вам может потребоваться записать целые числа как десятичные числа.В этом случае вы добавляете десятичную точку, которая, как считается, находится справа от целого числа, а затем добавляете столько нулей, сколько необходимо после десятичной точки.

Пример

Если ваше целое число равно 5 и вас попросили записать его в виде десятичной дроби с точностью до сотого разряда, то есть второго места справа от десятичной точки, вы записываете его как 5,00. Если вам нужно записать одно и то же число до тысячного разряда, то есть третьего места справа от десятичной точки, вы пишете 5.000 и так далее. Это работает так же с любым целым числом, переходя к любому количеству знаков после десятичной точки, потому что понимается бесконечное количество пробелов после десятичной дроби, а в случае целого числа каждое пространство заполняется нулем. . Вам просто нужно решить, сколько из них вам нужно.

3/4 в виде десятичного числа — Cuemath

В этом интересном мини-уроке мы узнаем, как преобразовать 3/8 в десятичное число. При этом мы также рассмотрим другие преобразования дробных чисел в десятичные, такие как 3/2 как десятичное число и 1/10 как десятичное.

Вы можете проверить интерактивные вопросы, чтобы узнать больше об уроке, и попробовать свои силы в решении нескольких интересных практических вопросов в конце урока.

Прежде чем мы начнем, давайте посмотрим, что смущает мистера Майка.

Г-н Майк спрашивает Джона: «Не могли бы вы сказать мне, что меньше, 3/4 или 0,34?»

Джон не знает, так как оба числа имеют разную форму.

Он может легко ответить на вопрос, если он может представить оба в одной и той же форме i.е. как в десятичном, так и в дробном виде.

Посмотрим, как это сделать.

План урока

Что такое 3/4 в виде десятичной дроби?

Слово «Десятичный» происходит от латинского слова Decimus , что означает одну десятую. В десятичной системе счисления основание 10

.

1/10 в виде десятичного среднего 0,1 и 1/100 представляет 0,01

Когда мы переводим дробь в десятичную форму, мы преобразуем ее в число со знаминателем 1.Итак, числитель принимает форму с десятичной точкой.

В десятичной форме \ (\ dfrac {3} {4} \, \) 0,75

Визуализация 0,75

Посмотрите на квадратную сетку, состоящую из 100 сеток. Каждый квадрат здесь представляет собой дробь \ (\ dfrac {1} {100} \)

0,75 = 0,5 + 0,25

0,5 = 0,50, что означает 50 из 100, а 0,25 означает 25 из 100

Перейдем к изучению методов преобразования 3/4 в десятичную форму.


Как заменить 3/4 на десятичную дробь?

Дробь \ (\ dfrac {3} {4} \, \) может быть преобразована в форму со знаминателем 1, найдя ее десятичную форму.

Чтобы получить десятичную форму \ (\ dfrac {3} {4} \, \), возможны различные подходы.

Метод 1

В этом методе мы используем деление в столбик.

Здесь числитель = 3, а знаменатель = 4. Разделим 3 на 4

Получаем остаток 3 при делении.Итак, продолжаем деление, пока не получим остаток 0

Десятичная точка ставится после 3, и мы добавляем 0, чтобы продолжить деление. Это также вводит десятичную точку в частном после 0. Теперь у нас есть остаток 30

\ [4 \ times 7 = 28 \] и, \ [30-28 = 2 \]

Remainder = 2. Итак, продолжаем деление.

Поставьте еще один 0 после десятичной дроби в делимое и уменьшите его, чтобы теперь остаток стал равным 20.

\ (4 \ раз 5 = 20 \) и \ (20-20 = 0 \)

Остаток = 0.Итак, мы перестаем делиться. Частное дает десятичную форму \ (\ dfrac {3} {4} \).

\ (\ dfrac {3} {4} = 0,75 \ text {десятичная форма} \)

Мы можем использовать этот метод для преобразования любой дроби в десятичную форму.

Пример. Попробуем представить дробь 3/8 в виде десятичной дроби.

Числитель = 3, Знаменатель = 8

Воспользуемся длинным делением.

Получаем \ [\ dfrac {3} {8} = 0,375 \]

Метод 2

Другой метод — преобразовать дробь в эквивалентную дробь со знаменателем в виде степени 10

Пример: Рассмотрим \ (\ dfrac {3} {2} \), мы можем выразить 3/2 в виде десятичной дроби, преобразовав ее в эквивалентную дробь со знаминателем 10

\ begin {align} \ dfrac {3} {2} & = \ dfrac {3 \ times 5} {2 \ times 5} \\ & = \ dfrac {15} {10} \\ & = 1.5 \ end {align}

В дроби \ (\ dfrac {3} {4} \), знаменатель = 4

Нам нужно найти число, кратное 4, которое является степенью 10

Первая степень 10 равна 10, что не кратно 4. Итак, давайте посмотрим на второе кратное, то есть 100, которое кратно 4

\ begin {align} \ dfrac {3} {4} & = \ dfrac {3 \ times 25} {4 \ times 25} \\ & = \ dfrac {75} {100} \ end {align}

Теперь обратите внимание, что в знаменателе два нуля.

Итак, в числителе будет две цифры после запятой.

\ (\ dfrac {3} {4} = 0,75 \)

Мы можем даже преобразовать десятичную дробь в дробь. Для этого мы считаем количество цифр после запятой.

Пример : Возьмем 0,15, после запятой две цифры.

\ begin {align} 0.15 & = \ dfrac {15} {100} \\ & = \ dfrac {3} {20} \ end {align}

  1. Десятичные дроби используются для обозначения дробей, значение которых меньше 1
  2. В десятичной системе счисления основание 10
  3. Для преобразования дроби в десятичную дробь можно использовать любой из двух методов: a) Длинное деление b) Использование эквивалентных дробей.

Решенные примеры

Генри хочет выразить \ (\ dfrac {3} {2} \, \) десятичным числом. Можете ли вы помочь ему, используя метод деления в столбик, чтобы преобразовать дробь в десятичную?

Решение

Числитель = 3, Знаменатель = 2

Воспользуемся методом деления в столбик.

\ (\ поэтому \ dfrac {3} {2} = 1,5 \)

Давайте рассмотрим вопрос, который мы видели во введении, и найдем ответ на вопрос, который г-н.- спросил Майк Джона.

Что больше: 3/4 или 0,34?

Решение

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте запишем 3/4 в десятичной форме, а затем сравним его с 0,34

\ (\ dfrac {3} {4} = 0,75 \)

Сейчас,

\ (0,75> 0,34 \)

\ (\ следовательно \ dfrac {3} {4}> 0,34 \)

  1. Фактически не находя десятичной формы дробей \ (\ dfrac {3} {4} \) и \ (\ dfrac {3} {8} \), можете ли вы сказать, какая из двух больше?
  2. Можно ли каждое десятичное число преобразовать в дробь?

Интерактивные вопросы

Вот несколько занятий для вас.

Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.


Подведем итоги

Мы надеемся, что вам понравилось узнавать о дробях до десятичных с помощью моделирования и практических вопросов. Теперь вы сможете легко решать задачи для 3/4 в виде десятичного числа, дроби в десятичное, 1/10 как десятичного и других подобных преобразований.

О компании Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя исследуют тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.


Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Что такое 3/4 в виде десятичной дроби?

Десятичная форма \ (\ dfrac {3} {4} = 0,75 \)

2. Что такое 3/4 как десятичная дробь и процент?

Десятичная форма \ (\, \ dfrac {3} {4} = 0.75 \), а в процентной форме записывается как \ (75 \% \)

3. Как писать 3/4 часа?

1 час = 60 минут.

\ (\ dfrac {3} {4} \) часа \ (= \ dfrac {3} {4} \ times 60 = 45 \) мин.

Как преобразовать двоичные дроби в десятичные

В предыдущих сообщениях мы видели, как можно преобразовывать целые числа из десятичной системы в двоичную и обратно, но до сих пор во всех моих сообщениях мы рассматривали только целые (или целые) числа.Что, если бы мы хотели вместо этого представлять действительные числа? Что, если бы мы хотели представлять числа дробными частями? В сегодняшнем посте мы рассмотрим двоичные и десятичные дроби.

Десятичные дроби

Рассмотрим пример использования десятичного числа 345,678 10 .

Как вы знаете, когда мы записываем число в десятичном формате, мы можем разбить его на несколько различных компонентов:

Номер База
как мощность
10 2 10 1 10 0 . 10 -1 10 -2 10 -3
Эквивалент 100 10 1 . 1/10 1/100 1/1000
Наш номер 3 4 5 . 6 7 8

Как мы видели с целыми числами, у нас есть разные столбцы с левой стороны от десятичной точки, которые представляют различные компоненты целой части нашего числа.

В этом случае, однако, справа от десятичной точки у нас также есть дробные части. Как видите, дробная часть также состоит из ряда различных столбцов, представляющих дробные компоненты разного размера.

То, что вы могли не осознавать, так это то, что так же, как показатель степени (число, на которое возводится основание нашего числа или основание системы счисления) уменьшается на единицу по мере того, как мы перемещаемся слева направо к десятичной запятой, эта тенденция продолжается и справа. сторона десятичной точки.

Когда наша экспонента становится отрицательной, мы получаем дроби, а в случае десятичной дроби это приводит к 10-м, 100-м, 1000-м столбцам и так далее. -n в точности совпадает с записью 1/10 n ).

Радикс-точка

Итак, давайте рассмотрим аналогичный пример в двоичном формате. Первое, что здесь следует упомянуть, это то, что нам нужно исправить некоторую терминологию.

В приведенном выше описании я назвал разделитель между целой и дробной частями числа десятичной точкой.В следующем примере, хотя мы и не представляем числа как десятичные, мы будем использовать двоичную систему, так как мы называем этот разделитель?

Ну, как я уже упоминал ранее, альтернативное название системы счисления в конкретной системе счисления — основание системы счисления. Поэтому, хотя термин десятичная точка является правильным (по крайней мере, для десятичной дроби), более точным термином для использования является точка счисления (http://en.wikipedia.org/wiki/Radix_point). Я попробую использовать эту терминологию по мере продвижения вперед.

Двоичные дроби

Итак, вернемся к нашему примеру.Допустим, мы хотели представить двоичную дробь 101,101 2 в десятичной системе. Что ж, сначала мы могли бы разбить его на составляющие компоненты следующим образом:

Номер База
как мощность
2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 . 2 -1 2 -2 2 -3
Эквивалент 16 8 4 2 1 . 1/2 1/4 1/8
Наш номер 1 0 1 . 1 0 1

Обратите внимание, как экспонента становится отрицательной в правой части точки счисления, как и с десятичной дробью. Давайте посмотрим, сможем ли мы теперь преобразовать нашу двоичную дробь в ее десятичный эквивалент.

Преобразование двоичной дроби в десятичную дробь

Процесс преобразования двоичной дроби в ее десятичный эквивалент на самом деле двоякий, и мы будем иметь дело с числами в левой и правой частях системы счисления по отдельности.

Для начала давайте посмотрим на левую часть.

При преобразовании двоичного числа в левой части точки счисления мы преобразуем его так же, как и при преобразовании любого двоичного целого числа в его десятичный эквивалент. Мы делаем это, добавляя результаты из каждого столбца с разными числами:

101 2 = (1 * 2 2 ) + (0 * 2 1 ) + (1 * 2 0 )

или альтернативно:

101 2 = (1 * 4) + (0 * 2) + (1 * 1) = 5 10

Теперь давайте посмотрим на правую часть системы счисления.Здесь мы делаем то же самое, что и слева, только с дробными столбцами:

0,101 2 = (1 * 2 -1 ) + (0 * 2 -2 ) + (1 * 2 -3 )

или

0,101 2 = (1 * 1/2) + (0 * 1/4) + (1 * 1/8)

или

0,1012 = (1 * 0,5) + (0 * 0,25) + (1 * 0,125) = 0,625 10

Итак, у нас есть дробная часть, которая представляет 0,625 10 .

Все, что нам нужно сделать, это объединить целую и дробную части вместе по обе стороны от точки счисления.Это дает нам число 5,625 10 .

Преобразование десятичной дроби в двоичную дробь

А что, если бы мы хотели пойти другим путем, от десятичной системы к двоичной? В следующем примере мы возьмем десятичную дробь и найдем ее двоичный эквивалент. На этот раз мы собираемся использовать 9,125 10 и снова сначала разберемся с левой частью точки счисления.

Вычисление целого числа, часть

Шаг первый — найти наибольший множитель 2, который уместится в целую часть нашего числа.

Если мы посмотрим на столбцы с различными двоичными числами выше, то увидим, что наибольший подходящий коэффициент равен 8 (или 2 3 ), поэтому мы помещаем 1 в столбец 8 и вычитаем значение этого столбца (8 10 ) с нашего исходного номера (9 10 ) и запишите напоминание (1 10 ).

Затем мы смотрим на столбец 4 и проверяем, вписывается ли он в наш остаток. Нет, поэтому мы ставим 0 в этот столбец.

Затем мы смотрим на столбец 2, и снова значение этого столбца (2 10 ) не вписывается в наш остаток (1 10 ), поэтому мы снова помещаем 0 в этот столбец.Наконец, мы проверяем столбец 1.

В столбце с единицей значение столбца (1 10 ) действительно вписывается в наше напоминание (1 10 ), поэтому мы помещаем 1 в этот столбец и снова вычитаем значение столбца (1 10 ). ) от остатка (1 10 ), чтобы получить новый остаток (0 10 ). На этот раз у нас осталось 0, так что на этом мы закончили.

При этом имеем:

9 10 = (1 * 8) + (0 * 4) + (0 * 2) + (1 * 1) = 1001 2

или альтернативно

9 10 = (1 * 2 3 ) + (0 * 2 2 ) + (0 * 2 1 ) + (1 * 2 0 ) = 1001 2

Вычисление дробной части

Затем нам нужно разобраться с дробной частью нашего десятичного числа (которое, как напоминание, равно 0.125).

Опять же, существует простой пошаговый метод преобразования.

Для начала возьмем десятичную дробь и умножим ее на два (т.е. 2 10 * 0,125 10 = 0,250 10 ). Затем мы берем целую числовую часть результата как первую двоичную цифру после точки счисления. В данном случае это 0, поэтому мы получили 0,125 10 = 0,0? 2

Далее мы игнорируем целую часть предыдущего результата (т.е.е. игнорируйте 0 перед точкой счисления) и снова умножьте результат на два.

Целая числовая часть этого нового результата является второй цифрой после точки счисления (т.е. 2 10 * 0,250 10 = 0,50 10 ).

В этом случае целая часть снова равна 0, поэтому мы получили 0,125 10 = 0,00? 2

Опять же, не учитывая целочисленную часть результата и снова умножаем на 2 (т.е. 2 10 * 0.50 10 = 1,0 10 ).

Снова мы берем целую часть числа, на этот раз как значение третьей цифры после точки счисления. В этом случае целая часть числа равна 1, поэтому мы получили 0,125 10 = 0,001? 2

Снова мы отбрасываем целую часть числа, но так как оставшаяся дробная часть равна 0. Поскольку у нас ничего не осталось, мы закончили.

Это оставляет нам наше окончательное представление; 0,125 10 в точности эквивалентно 0.001 2 .

Теперь, когда мы извлекли как целую часть нашего исходного числа, так и дробную часть, мы можем, наконец, объединить их по обе стороны от точки счисления:

9,125 10 = 1001,001 2

Бесконечные дроби

Хотя двоичные и десятичные дроби работают по одним и тем же принципам, у каждой из них есть свои проблемы, когда дело доходит до точного представления чисел с заданным числом цифр.

В обоих случаях есть определенные числа, которые всегда будут приводить к так называемой ошибке округления, когда число не может быть представлено точно, и вместо этого нужно использовать ближайшее число.

Например, в десятичной системе счисления возникает проблема с точным представлением дроби. ⅓ в десятичной системе счисления на самом деле является бесконечным повторением 0,3333 (т. Е. Тройки продолжаются бесконечно после десятичной точки).

Когда мы представляем в десятичном виде с использованием фиксированного числа десятичных знаков, мы получаем ошибку округления, представление ⅓ никогда не бывает полностью точным.

Аналогичные ситуации происходят с двоичным кодом. Если вы попытаетесь представить дробь, в которой знаменатель (бит под линией дроби) не является степенью 2, вы также получите ошибку округления с заданным количеством цифр.

Это тот случай, когда мы берем самые конечные десятичные дроби, то есть дроби, которые могут быть точно представлены в десятичном виде, например 1/10, и пытаемся выразить их как двоичные дроби. Вместо того, чтобы быть конечной дробью, как в десятичных дробях, таких как 1/10, бесконечно повторяются при выражении в двоичном формате.

Остерегайтесь этого, когда вы используете двоичные дроби в своих программах.

Что такое десятичная дробь? — Определение, факты и пример

Десятичные игры

Добавить десятичные дроби

Работайте с визуальными моделями, чтобы понять, как сложить десятичные дроби.Расширьте знания о сложении многозначных чисел, добавляя десятичные дроби (до сотых разрядов)

Охватывает Common Core Curriculum 5.NBT.7Играть сейчас Умножить десятичные дроби на 10

Определить образец размещения десятичной точки, когда десятичная дробь умножается на степень 10. Иногда вам может потребоваться добавить нули в продукт.

охватывает общий основной учебный план 5.NBT.7Играть сейчасПосмотреть все игры с десятичными знаками >>
Учитесь с полной программой обучения математике K-5

Что такое десятичная дробь? В алгебре десятичное число может быть определено как число, целая и дробная части которого разделены десятичной точкой.Точка в десятичном числе называется десятичной точкой. Цифры, следующие за десятичной точкой, показывают значение меньше единицы.

Вот пример десятичного числа 17,48, в котором 17 — целое число, а 48 — десятичная часть.

Десятичные дроби основаны на предшествующих степенях 10. Таким образом, при движении слева направо разрядное значение цифр делится на 10, что означает, что десятичное значение определяет десятые, сотые и тысячные доли.Десятая часть означает одну десятую или 1/10. В десятичной форме это 0,1. Сотня означает 1/100. В десятичной форме это 0,01.

Вот пример того, как дробная часть может быть преобразована в десятичные числа.

Десятичные знаки можно записывать как в развернутом виде, так и прописью.

Десятые, сотые и тысячные доли могут быть представлены на числовой строке. Чтобы представить десятые доли, расстояние между каждым целым числом на числовой прямой делится на 10 равных частей, где каждая часть представляет собой десятую часть.

Интересные факты

  • Десятичные дроби были впервые разработаны и использованы китайцами в конце 4 века до нашей эры, а затем распространились на Ближний Восток, а оттуда в Европу.

Давайте сделаем это!

Вместо того, чтобы учить десятичные дроби и затем раздавать детям рабочие листы, дайте им примеры из реальной жизни, в которых они могут использовать десятичные дроби или преобразовывать числа в десятичные.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *