Геометрия площади всех фигур: Площади геометрических фигур / math4school.ru

Содержание

Площади геометрических фигур / math5school.ru

 

 

Треугольник

 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

 

 

Треугольник

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. 

 

 

Треугольник

 

 

 

 

Площадь треугольника равна корню квадратному из произведения полупериметра этого треугольника и разностей полупериметра и всех его сторон. 

 

 

Треугольник 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата его стороны на синусы прилежащих углов к удвоенному синусу противолежащего угла. 

 
 

 

 

Треугольник

 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата его высоты на синус угла, из вершины которого проведена эта высота, к удвоенному произведению синусов двух других углов.

 
 

 

 

Треугольник 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна произведению квадрата его полупериметра на тангенсы половин всех углов треугольника. 

 

 

Прямоугольный треугольник

 

 

 

 

 

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 

 

 

Равнобедренный треугольник

 

 

 

 

 

 

Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на корень квадратный из разности квадратов боковой стороны и половины основания. 

 

 

Равносторонний треугольник 

 

 

 

 

 

Площадь равностороннего треугольника равна четверти произведения квадрата стороны этого треугольника и квадратного корня из трёх. 

 

 

Равносторонний треугольник  

 

 

 

 

Площадь равностороннего треугольника равна отношению квадрата его высоты к квадратному корню из трёх. 

 

 

 

Треугольник

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна отношению произведения всех его сторон к четырём радиусам, описанной около него окружности. 

 

 

Треугольник 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна удвоенному произведению квадрата радиуса, описанной около него окружности, и синусов всех его углов.

 

 

 

Треугольник

 

 

 

 

 

Площадь треугольника (многоугольника) равна произведению его полупериметра и радиуса окружности, вписанной в этот треугольник (многоугольник). 

  

 

 

Треугольник 

 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна произведению квадрата радиуса вписанной окружности на котангенсы половин всех углов треугольника.

 

 

Прямоугольник

 

 

 

 

 

Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон. 

 

 

Квадрат

 

 

 

 

Площадь квадрата равна квадрату его стороны. 

 

 

Квадрат

 

 

 

 

 

Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали. 

 

 

Параллелограмм

 

 

 

 

 

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. 

 

 

Параллелограмм

 

 

 

 

 

Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними.  


 

Ромб

 

 

 

 

 

 

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус одного из его углов.  

 

 

 

Ромб (дельтоид)

 

 

 

 

 

Площадь ромба (как и дельтоида) равна половине произведения его диагоналей. 

 

 

Трапеция

 

 

 

 

 

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. 

 

 

Трапеция

 

 

 

 

 

 

Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту. 

 

 

 

Выпуклый четырёхугольник

 

 

 

 

 

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.  

 

 

Вписанный четырёхугольник

 

 

 

 

Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, равна корню квадратному из произведения разностей полупериметра этого четырёхугольника и всех его сторон. 

 

 

Круг

 

 

 

 

 

Площадь круга равна произведению числа "пи" на квадрат радиуса. 

 

 

Круг 

 

 

 

  

Площадь круга равна четверти произведения числа "пи" на квадрат диаметра. 

 

 

Круговой сектор

формулы для случаев градусной и радианной мер центральных углов

Площадь кругового сектора равна произведению площади единичного сектора (сектор, соответствующий центральному углу с мерой равной единице) на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.

 

 

Круговое кольцо

 

 

 

  

  

Площадь кругового кольца равна произведению числа "пи" на разность квадратов внешнего и внутреннего радиусов. 

 

 

Круговое кольцо

 

 

  

  

Площадь кругового кольца равна четверти произведения числа "пи" на разность квадратов внешнего и внутреннего диаметров. 

 

 

Круговое кольцо

 

 

 

  

Площадь кругового кольца равна удвоенному произведению числа "пи", среднего радиуса кольца и его ширины. 

Формулы геометрии. Площади фигур - материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по Математике

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!


Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в  раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в  раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

Читайте также о задачах на тему "Координаты и векторы". Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по ) и что такое ордината (координата по ). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами.

Формулы площадей всех основных фигур

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

b - верхнее основание

a - нижнее основание

c - равные боковые стороны

α - угол при нижнем основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

 

 

2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

R - радиус вписанной окружности

D - диаметр вписанной окружности

O - центр вписанной окружности

H - высота трапеции

α, β - углы трапеции

 

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:

 

 

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d - диагональ трапеции

α, β - углы между диагоналями

 

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

 

 

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

m - средняя линия трапеции

c - боковая сторона

α, β - углы при основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

 

 

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

b - верхнее основание

a - нижнее основание

h - высота трапеции

 

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

 

Формула вычисления площади для всех геометрических фигур

Стандартное обозначение площади - S

Площадь

Пусть длина стороны квадрата равна a, тогда формул квадрата:

S = a ⋅ a = a2

Прямоугльник

Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b

S = a ⋅ b

Параллелограмм

Пусть длины сторон параллелограмма равны a и b и ha это высота на сторону a, и hb это высота на сторону b
Формула площади параллелограмма:

S = a ⋅ ha = b ⋅ hb

Трапеция

Допустим, что длины параллельных сторон трапеции имеют длину a и b и расстояние между двумя основами s h(the trapezoid altitude).2\cdot \text{ctg}(\frac{\pi}{n})$

n - число ребер(вершин).
$\pi=3,14159265359$

Формулы площади. Площадь треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции, круга, эллипса.

Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

    Формула Герона

    S = √p(p - a)(p - b)(p - c)


  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
    S = 1a · b · sin γ
    2
  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

    где S - площадь треугольника,
    a, b, c - длины сторон треугольника,
    h - высота треугольника,
    γ - угол между сторонами a и b,
    r - радиус вписанной окружности,
    R - радиус описанной окружности,
    p = a + b + c  - полупериметр треугольника.
    2

Формулы площади квадрата

  1. Формула площади квадрата по длине стороны
    Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

    S = a2


  2. Формула площади квадрата по длине диагонали
    Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

    где S - Площадь квадрата,
    a - длина стороны квадрата,
    d - длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

S = a · b


где S - Площадь прямоугольника,
a, b - длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

  1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
    Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

    S = a · h


  2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
    Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

    S = a · b · sin α


  3. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
    Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

    где S - Площадь параллелограмма,
    a, b - длины сторон параллелограмма,
    h - длина высоты параллелограмма,
    d1, d2 - длины диагоналей параллелограмма,
    α - угол между сторонами параллелограмма,
    γ - угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

  1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
    Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

    S = a · h


  2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
    Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

    S = a2 · sin α


  3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
    Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
    где S - Площадь ромба,
    a - длина стороны ромба,
    h - длина высоты ромба,
    α - угол между сторонами ромба,
    d1, d2 - длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

  1. Формула Герона для трапеции
    S = a + b√(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d)
    |a - b|
  2. Формула площади трапеции по длине основ и высоте
    Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту
    где S - Площадь трапеции,
    a, b - длины основ трапеции,
    c, d - длины боковых сторон трапеции,
    p = a + b + c + d  - полупериметр трапеции.
    2

Формулы площади выпуклого четырехугольника

  1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
    Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:
    где S - площадь четырехугольника,
    d1, d2 - длины диагоналей четырехугольника,
    α - угол между диагоналями четырехугольника.
  2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)
    Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

    S = p · r


  3. Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

    S = √(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos2θ


    где S - площадь четырехугольника,
    a, b, c, d - длины сторон четырехугольника,
    p = a + b + c + d  - полупериметр четырехугольника,
    2
    θ = α + β - полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
    2

  4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность

    S = √(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)



Формулы площади круга

  1. Формула площади круга через радиус
    Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

    S = π r2


  2. Формула площади круга через диаметр
    Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи. где S - Площадь круга,
    r - длина радиуса круга,
    d - длина диаметра круга.

Формулы площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

S = π · a · b


где S - Площадь эллипса,
a - длина большей полуоси эллипса,
b - длина меньшей полуоси эллипса.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Как найти площадь фигуры? Ответ на webmath.ru

Содержание:

Определения

Площадь является одним из основных математических понятий. Она характеризует как плоские, так и поверхностные геометрические объекты.

Определение

Площадью плоской замкнутой фигуры называется величина части плоскости, которая находится внутри указанной фигуры.

Единицей измерения площади плоской фигуры является квадрат со стороной, равной единице. Число, соответствующее площади некоторой фигуры, состоящей из частей, равно сумме чисел, соответствующих площадям этих частей. Измерение площадей треугольников и многоугольников основано на возможности построения равновеликих им прямоугольников.

Площадь произвольной ограниченной плоской фигуры определяется как общий предел площадей описанных и вписанных в нее многоугольников, наибольшие стороны которых по длине стремятся к нулю.

Если фигура имеет площадь, то она называется квадрируемой.

Формулы площади основных геометрических фигур

Площадь треугольника

Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними. То есть если известны длины двух сторон треугольника $ABC$, которые равны $a$ и $b$, а также угол $\alpha$ между этими сторонами, то искомая площадь:

$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a b \sin \alpha$$

Читать дальше: формулы площади треугольника и примеры решений →

Площадь круга

Чтобы найти площадь круга, надо найти произведение числа $\pi$ на квадрат радиуса этого круга, то есть

$$\mathrm{S}_{\kappa p}=\pi R^{2}$$

Читать дальше: формула площади круга и примеры решений →

Площадь квадрата

Чтобы найти площадь квадрата, надо длину его стороны возвести в квадрат, то есть

Читать дальше: формула площади квадрата и примеры решений →

Площадь прямоугольника

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину, то есть

Читать дальше: формула площади прямоугольника и примеры решений →

Площадь параллелограмма

Чтобы найти площадь параллелограмма, нужно найти произведение стороны $a$ параллелограмма на высоту , проведенную к этой стороне, то есть

Читать дальше: формулы площади параллелограмма и примеры решений →

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно длину средней линии умножить на длину высоты , опущенной к основанию:

Читать дальше: формулы площади трапеции и примеры решений →

Площадь ромба

Чтобы найти площадь ромба, надо длину стороны умножить на длину высоты, проведенной к этой стороне:

Читать дальше: формулы площади ромба и примеры решений →

Площадь эллипса

Чтобы найти площадь эллипса, нужно найти произведение длин большой и малой полуосей этого эллипса на число $\pi$, то есть

Читать дальше: формула площади эллипса и примеры решений →

Формулы площадей всех фигур в геометрии - примеры вычислений

Площадь — это одна из наиболее важных и неотъемлемых характеристик любой замкнутой геометрической фигуры, показывающая её размер. Она может измеряться в различных единицах: квадратных миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и так далее. Это своеобразный аналог объёма трёхмерных фигур (шара, цилиндра, конуса и других). В геометрии разработаны формулы площадей. Их доказательством являются соответствующие теоремы. Существует общепринятое обозначение площади — буква S (от англ. square).

Формулы для треугольников

Имеется несколько формул площади треугольника. Если в треугольнике известны две величины: во-первых, длина стороны, а во-вторых, высота, опущенная из противоположного угла перпендикулярно этой стороне, то площадь можно определить, умножив длину на высоту и разделив полученное произведение на два. Выглядит формула так: S = ½ * a * h. Буквой a обозначена длина, буквой h — высота.

При известности всех трёх сторон — a, b, c, широко применяется формула, названная в честь Герона — математика из Древней Греции: S = √(p*(p — a)*(p — b)*(p — c)). Величина p — это половина от периметра треугольника (полупериметр). Чтобы его рассчитать, необходимо суммировать все стороны и разделить сумму на два: (a + b + c)/2.

Для ещё одной формулы требуются следующие данные:

  • длина двух соприкасающихся в одной вершине сторон — a и b;
  • градус угла, который образуют эти стороны.

Тогда расчёт можно произвести таким способом: S = ½ * a * b * sin γ. Синус угла является одной из тригонометрических функций, представляющей собой результат деления (отношение) в прямоугольном треугольнике противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе (сторона напротив прямого угла). Значение sin γ для конкретного угла можно посмотреть в специальной таблице.

Когда два треугольника являются подобными (подобие означает, что у них равны углы и стороны пропорциональны), то отношение их площадей соответствует отношению возведённых в квадрат сторон. Такое отношение сторон для них (например, AB: A (1) B (1)) именуется коэффициентом подобия (k). Поэтому отношение площадей равняется коэффициенту подобия в квадрате.

Если в треугольнике даны все стороны, тогда, кроме формулы Герона, есть возможность воспользоваться ещё одним способом. Он основан на том, что можно вписать любой треугольник в круг. Зная такую величину, радиус ® окружности и три стороны треугольника, производится расчёт: S = (a * b * c) / 4 R.

В любой треугольник: равносторонний и разносторонний, остроугольный и тупоугольный, в силу его геометрических свойств также может быть вписана окружность. В таком случае формула нахождения площади следующая: S = p * r. Буква p обозначает ½ периметра треугольника, r — это радиус окружности.

Площадь четырёхугольников

Четырёхугольник — это одна из фигур в геометрии (многоугольник), имеющая четыре стороны, а также четыре вершины, три из которых не находятся на одной прямой. Четырёхугольник называется выпуклым, если он располагается по одну сторону относительно прямой, являющейся продолжением любой из его сторон.

К выпуклым четырёхугольникам относятся практически все известные фигуры, имеющие четыре вершины, а также четыре стороны. Основными их видами выступают: 1) ромб; 2) прямоугольник; 3) трапеция; 4) квадрат; 5) параллелограмм.

Квадрат и прямоугольник

Самый простой способ вычисления площади квадрата — умножить сторону «саму на себя», иными словами, возвести в квадрат длину любой из его сторон (S = a2 ). Такой расчёт обусловлен особым признаком квадрата — тем, что все его стороны являются абсолютно равными между собой, поэтому квадрат называется правильной фигурой.

Существует вторая, более сложная, формула площади квадрата, где осуществляется расчёт через диагональ. Диагональ — это линия, соединяющая в фигуре два угла, друг другу противоположных. Для определения площади необходимо длину диагонали возвести в квадрат и полученный результат разделить на два: S = ½ d 2.

Для прямоугольника используется формула: S = a * b, где a, b — длина двух разных, имеющих общую вершину, сторон.

Параллелограмм, ромб и трапеция

Параллелограмм представляет собой четырёхугольник, в котором имеются два противоположных друг другу тупых угла и два — острых.

Применяются три формулы площади параллелограмма:

  • Умножить сторону на высоту, перпендикулярную стороне: S = a * h.
  • Перемножить две, выходящих из одной вершины, стороны параллелограмма, и умножить на синус угла, образованного ими: S = a * b * sin γ.
  • Перемножить диагонали фигуры, затем умножить на синус угла, образованного диагоналями, и разделить результат на два: S = ½ d (1) * d (2) * sin γ.

Ромб похож на параллелограмм с одним отличием: он является равносторонним. Поэтому для вычисления площади ромба используются похожие формулы:

  • Умножить длину стороны на высоту.
  • Для ромба вторая формула площади параллелограмма преобразуется следующим образом: S = a 2 * sin γ. Поскольку все стороны у ромба равны (то есть a = b), то рассчитывается квадрат любой из них.
  • Площадь ромба рассчитать можно также, перемножив диагонали и разделив полученное число на два: S = ½ d (1) * d (2).
  • Трапеция является геометрической фигурой, имеющей такие элементы: два параллельных основания — верхнее и нижнее, две боковые стороны, расположенные к нижнему основанию под острым углом. Что касается боковых сторон, то они могут быть как равными по длине (так называемая равнобедренная трапеция), так и разными.

    В связи с тем, что в «составе» трапеции можно «выделить» прямоугольник и два расположенных по бокам от него треугольника, то можно определить площадь по специальной формуле Герона: S = (a + b): | a + b | * √(p — a) * (p — b) * (p — a — c) * (p — a — d).

    В этой формуле имеются следующие обозначения:

    • буквы a, b — это основы трапеции,
    • буквы c, d — стороны,
    • p — полупериметр.

    Выпуклый четырёхугольник

    В отношении всех иных выпуклых четырёхугольников, то есть имеющих разные по длине стороны и разные углы, разработаны свои формулы вычисления площади.

    Прежде всего, можно перемножить две диагонали, а также синус образуемого ими угла, разделив общий результат на два, то есть применить формулу: S = ½ d (1) * d (2) * sin γ.

    В том случае, когда внутри выпуклого четырёхугольника, так же как и внутри треугольника, может быть вписан круг, то для нахождения площади четырёхугольной фигуры, требуется определить две величины:

    • r — радиус окружности;
    • p — ½ периметра четырёхугольника.

    После чего полупериметр умножается на радиус. Это и будет площадь четырёхугольника. Формула выглядит так: S = p * r.

    Для тех случаев, когда круг может быть очерчен вокруг четырёхугольника, применяется другая формула. Для её использования все стороны фигуры должны быть известны. Они обозначаются буквами a, b, c, d. Рассчитывается половина периметра: p = (a + b + c + d)/2. Затем определяется площадь: S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d).

    Когда конфигурация четырёхугольника такова, что не позволяет возле него описать круг, то в связи с этим формула площади немного дополняется: S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos2 γ.

    Коэффициент γ представляет собой половину от суммы двух противоположных углов четырёхугольной фигуры: γ = (угол (1) + угол (2)) / 2.

    Круг и эллипс

    Самое распространённое и широко применяемое правило определения площади круга — это умножение радиуса окружности в квадрате на число пи: S = π * r 2.

    Число пи, обозначаемое греческой буквой «π» — это математическая постоянная, которая является результатом деления длины окружности на диаметр. π — иррациональное число. Для расчётов признаётся его среднее значение, равное 3,14.

    Вместо радиуса можно использовать диаметр окружности: диаметр возводится в квадрат, умножается на число π, результат делится на четыре. Формула выглядит так: S = (π * d 2) / 4.

    Для того чтобы посчитать площадь такой фигуры, как эллипс, необходимо провести две оси, то есть две линии, каждая из которых разделяет эллипс на две равные части, при этом сами линии перпендикулярны друг другу (образуют прямой угол). Точка пересечения разделяет каждую из осей напополам, образуя полуоси.

    Площадь эллипса вычисляется как произведение трёх величин: числа π, длины большой полуоси (а) и длины малой полуоси (b): S = π * a * b. Для удобства расчёта площадей различных фигур также можно использовать специальные онлайн-калькуляторы.

    Предыдущая

    МатематикаМетод координат в геометрии - примеры решения и построения

    Следующая

    МатематикаСвойства и признаки диагоналей прямоугольника - формулы и примеры расчетов

    Площадь круга, треугольника, квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, эллипса и сектора

    Площадь - это размер поверхности!
    Узнайте больше о площади или воспользуйтесь калькулятором площади.

    Пример: Какова площадь этого прямоугольника?

    Формула:

    Площадь = w × h
    w = ширина
    h = высота

    Мы знаем, что w = 5 и h = 3 , поэтому:

    Площадь = 5 × 3 = 15

    Пример: Какова площадь этого круга?

    Радиус = r = 3

    Площадь = π × r 2
    = π × 3 2
    = π × (3 × 3)
    = 3.14159 ... × 9
    = 28,27 (до 2 знаков после запятой)

    Пример: Какова площадь этого треугольника?

    Высота = h = 12

    База = b = 20

    Площадь = ½ × b × h = ½ × 20 × 12 = 120

    Более сложный пример:

    Пример: Сэм косит траву по цене 0,10 доллара за квадратный метр

    Сколько зарабатывает Сэм, обрабатывая эту область:

    Разобьем область на две части:

    Часть А представляет собой квадрат:

    Площадь A = a 2 = 20 м × 20 м = 400 м 2

    Часть B представляет собой треугольник.При взгляде сбоку он имеет основание 20 м и высоту 14 м.

    Площадь B = ½b × h = ½ × 20 м × 14 м = 140 м 2

    Итак, общая площадь:

    Площадь = Площадь A + Площадь B = 400 м 2 + 140 м 2 = 540 м 2

    Сэм зарабатывает 0,10 доллара за квадратный метр

    Сэм зарабатывает = 0,10 доллара × 540 млн 2 = 54 доллара

    Что такое площадь?

    Площадь - это размер поверхности!

    Пример:

    У всех этих фигур одинаковая площадь 9:

    Это помогает представить , сколько краски покроет форму.

    Площадь простых форм

    Для определенных форм существуют специальные формулы:

    Пример: Какова площадь этого прямоугольника?

    Формула:

    Площадь = w × h
    w = ширина
    h = высота

    Ширина равна 5, а высота 3, поэтому мы знаем, что w = 5 и h = 3 :

    .

    Площадь = 5 × 3 = 15

    Узнайте больше в Area of ​​Plane Shapes.

    Площадь по счету квадратов

    Мы также можем нанести фигуру на сетку и подсчитать количество квадратов:


    Прямоугольник имеет площадь 15

    Пример: когда каждый квадрат равен 1 метр со стороны, тогда площадь составляет 15 м 2 (15 квадратных метров)

    Квадратный метр vs Квадратный метр

    Базовая единица площади в метрической системе - это квадратных метров. - квадрат, каждая сторона которого имеет 1 метр:


    1 квадратный метр

    Будьте осторожны, говоря «квадратные метры», а не «квадратные метры»:

    Есть также «квадратный мм», «квадратный см» и т. Д., Подробнее см. Метрическая площадь.

    Приблизительная площадь при подсчете квадратов

    Иногда квадраты не совсем соответствуют форме, но мы можем получить «приблизительный» ответ.

    В одну сторону:
    • больше чем половина квадрата считается как 1
    • меньше чем половина квадрата считается как 0

    Как это:


    Этот пятиугольник имеет площадь примерно 17

    Или мы можем сосчитать один квадрат, когда кажется, что площади
    в сумме дают .

    Пример: Здесь площадь, обозначенная « 4 », кажется равной примерно 1 целому квадрату (также для « 8 »):


    Этот круг имеет площадь примерно 14

    Но лучше всего использовать формулу (когда это возможно):

    Пример: круг имеет радиус 2,1 метра:

    Формула:

    Площадь = π × r 2

    Где:

    Радиус 2.1м , итого:

    Площадь = 3,1416 ... × (2,1 м) 2

    = 3,1416 ... × (2,1 м × 2,1 м)

    = 13,854 ... м 2

    Таким образом, круг имеет площадь 13,85 квадратных метров (с точностью до 2 знаков после запятой)

    Область сложных форм

    Иногда мы можем разбить фигуру на две или более простые формы:

    Пример: Какова площадь этой формы?

    Разобьем область на две части:

    Часть А представляет собой квадрат:

    Площадь A = a 2 = 20 м × 20 м = 400 м 2

    Часть B представляет собой треугольник.При взгляде сбоку он имеет основание 20 м и высоту 14 м.

    Площадь B = ½b × h = ½ × 20 м × 14 м = 140 м 2

    Итак, общая площадь:

    Площадь = Площадь A + Площадь B

    Площадь = 400 м 2 + 140 м 2

    Площадь = 540м 2

    Площадь путем сложения треугольников

    Мы также можем разбить фигуру на треугольники:

    Затем измерьте основание ( b ) и высоту ( h ) каждого треугольника:

    Затем рассчитайте каждую площадь (используя Area = ½b × h) и сложите их все.

    Площадь по координатам

    Когда мы знаем координаты каждой угловой точки, мы можем использовать метод «Площадь неправильных многоугольников».

    Есть область многоугольника с помощью инструмента рисования, который тоже может помочь.

    Площадь круга

    Калькулятор

    Введите радиус , диаметр, окружность или площадь круга, чтобы найти остальные три.Расчеты производятся "вживую":

    images / circle-dia-circ.js

    Как рассчитать площадь

    Площадь круга:

    или, если известен диаметр: A = (π / 4) × D 2

    или, если вы знаете Окружность: A = C 2 / 4π

    Пример: Какова площадь круга радиусом 3 м?

    Радиус = r = 3

    Площадь = π r 2

    = π × 3 2

    = 3.14159 ... × (3 × 3)

    = 28,27 м 2 (до 2 знаков после запятой)

    Как помнить?


    Чтобы помочь вам вспомнить, подумайте «Пирог в квадрате»
    (хотя пироги обычно круглые )

    Сравнение круга с квадратом

    Интересно сравнить площадь круга с квадратом:

    Окружность составляет около 80% площади квадрата такой же ширины.
    Фактическое значение (π / 4) = 0.785398 ... = 78,5398 ...%

    Почему? Поскольку площадь квадрата составляет w 2
    , а площадь круга составляет (π / 4) × w 2

    Пример: сравните квадрат с кругом шириной 3 м

    Площадь квадрата = w 2 = 3 2 = 9 м 2

    Оценка площади круга = 80% площади квадрата = 80% от 9 = 7,2 м 2

    Истинная площадь круга = (π / 4) × D 2 = (π / 4) × 3 2 = 7.07 м 2 (до 2 знаков после запятой)

    Оценка 7,2 м 2 не за горами 7,07 м 2

    Пример "Реальный мир"

    Пример: Макс строит дом. Первый шаг - просверлить отверстия и залить их бетоном.

    Отверстия шириной 0,4 м и глубиной 1 м , сколько бетона Макс должен заказывать для каждого отверстия?

    Отверстия круглые (в поперечном сечении), так как высверливаются с помощью шнека.

    Диаметр 0,4 м, значит Площадь:

    A = (π / 4) × D 2

    А = (3,14159 ... / 4) × 0,4 2

    А = 0,7854 ... × 0,16

    A = 0,126 м 2 (до 3 знаков после запятой)

    А ямки глубиной 1 м, итак:

    Объем = 0,126 м 2 × 1 м = 0,126 м 3

    So Max должен заказать 0,126 кубометра бетона для заполнения каждой дыры.

    Примечание: Макс мог иметь по оценке площади по:

    • 1.Расчет квадратного отверстия: 0,4 × 0,4 = 0,16 м 2
    • 2. Взяв 80% этого (примерный круг): 80% × 0,16 м 2 = 0,128 м 2
    • 3. А объем скважины глубиной 1 м составляет: 0,128 м 3

    И кое-что интересное для вас:

    См. Площадь круга по линиям

    Квадрат (Геометрия)

    (Перейти на площадь квадрата или периметра квадрата)

    Квадрат - это плоская форма с 4 равными сторонами, каждый из которых представляет собой прямой угол (90 °).

    означает «прямой угол»
    показать равные стороны
    Все стороны равны по длине
    Каждый внутренний угол составляет 90 °
    Противоположные стороны параллельны (значит, это параллелограмм).

    Играть с квадратом:

    Квадрат также соответствует определению прямоугольника (все углы равны 90 °), ромба (все стороны равны), параллелограмма (противоположные стороны параллельны и равны по длине) и правильного многоугольника (все углы равны и все стороны равный). Какой герой!

    Площадь Квадрата

    Площадь - это длина стороны в квадрате :

    Площадь = a 2 = a × a

    Пример. У квадрата длина стороны 6 м. Какова его площадь?

    Площадь = 6 м × 6 м = 36 м 2

    Площадь также составляет , половина диагонали в квадрате:

    Площадь = d 2 2

    Периметр квадрата

    Периметр - это расстояние по краю.

    Периметр составляет , в 4 раза больше длины стороны:

    Периметр = 4a

    Пример: у квадрата длина стороны 12 см, каков его периметр?

    Периметр = 4 × 12 см = 48 см

    Диагонали квадрата

    У квадрата две диагонали, они равны по длине и пересекаются посередине.

    Диагональ - это длина стороны , умноженная на квадратный корень из 2 :

    Диагональ "d" = a × √2

    Пример. У квадрата длина стороны 5 м. Какова длина диагонали?

    Длина по диагонали = a × √2

    = 5 × 1.41421 ...

    = 7,071 м (до 3 знаков после запятой)

    Калькулятор

    Введите длину стороны , площадь, диагональ или периметр , а остальные значения рассчитываются в реальном времени.

    Что такое область 2D-форм?

    Что такое площадь 2D-фигур?

    Площадь любой 2D-формы - это размер области, заключенной в нее. Есть несколько 2D-форм, таких как квадрат, прямоугольник, круг, ромб и треугольник.Цветная область в каждой форме представляет область соответствующей формы.

    Единица площади называется квадратными. У разных форм есть разные формулы для расчета площади.

    Площадь квадрата и прямоугольника :

    Площадь квадрата и прямоугольника равна произведению двух смежных сторон.

    2D Форма Формула площади Пример
    Квадрат

    Площадь квадрата = Сторона × Сторона

    Площадь = S × S

    Площадь = 4 × 4 = 16 кв.размеры в см

    Прямоугольник

    Площадь прямоугольника = длина × ширина

    = длина × ширина

    Площадь = 8 × 3 = 24 кв. См

    Площадь треугольника :

    Треугольники могут быть разных типов, например равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник и прямоугольный треугольник, но формула для площади всех видов треугольников одинакова.

    Площадь треугольника определяется по формуле: 1 2 × b × h, где основание (b) - длина любой стороны треугольника, а высота (h) - расстояние по перпендикуляру между основанием. и верхняя вершина треугольника.

    Пример:

    В треугольнике ABC основание составляет 6 единиц, а высота - 4 единицы.

    Итак, площадь треугольника ABC = 1 2 × b × h

    = 1 2 × 6 × 4

    = 12 кв. Единиц

    Круг :

    Площадь круга вычисляется по формуле π × r 2 , где r - радиус круга, а π - постоянная величина, значение которой равно 227 или 3.14

    Пример: Площадь вышеуказанного круга = π × r 2

    = 3,14 × 4 2

    = 3,14 × 16

    = 50,24 кв. См

    Ромб :

    Формула для определения площади ромба: pq / 2, где p и q - две диагонали ромба.

    В ромбе ABCD площадь можно вычислить следующим образом:

    Площадь ромба = 1 2 шт.

    = 1 2 × 3 × 5

    = 7,5 см кв.

    Параллелограмм :

    Чтобы найти площадь параллелограмма, мы используем формулу b × h, где b обозначает основание, а h обозначает высоту. Высота - это расстояние по вертикали между основанием и верхом.

    Пример:

    На приведенном выше рисунке площадь параллелограмма равна b × h. Следовательно, это 6 × 4 = 24 кв. См

    Интересные факты

    Что такое площадь формы?

    Площадь фигур

    Геометрические фигуры - это фигуры с набором точек, соединенных линиями, в результате чего получается замкнутая фигура.

    Например, , треугольник, квадрат, прямоугольник и четырехугольник - это фигуры с 3 и 4 точками, соединенными линиями.Фигуры с ограниченными кривыми не имеют сторон, но имеют окружность.

    Зеркала разной формы со сторонами и закруглениями.

    Площадь

    Площадь фигуры - это «пространство, заключенное внутри периметра или границы» данной фигуры. Рассчитываем площадь для разных форм по математическим формулам.

    На следующих рисунках заштрихованная область обозначает область для соответствующих форм.

    Имя и форма Недвижимость Площадь

    Круг

    • Длина между центром «o» и точкой на окружности равна радиусу «r»

    А = πr2

    π = 3.14 (постоянная)

    Треугольник

    • Один угол - прямой
    A = 1 2 × База × Высота

    Квадрат

    • Все стороны равны
    • Каждый угол составляет 90 градусов
    A = длина стороны 2

    Ромб

    • Все стороны равны
    • Противоположные стороны параллельны
    • Противоположные углы равны
    А = p × q

    Прямоугольник

    • Противоположные стороны равны и параллельны
    • Каждый угол составляет 90 градусов
    A = длина × ширина

    Параллелограмм

    • Противоположные стороны равны и параллельны
    • Противоположные углы равны
    A = основание × высота

    «Текстурированная» область представляет собой область формы

    Единица измерения

    Единицей измерения площади всегда является квадрат единицы, в которой даны длины.Результирующая единица является произведением единиц данной длины.

    Возьмем для примера площадь квадрата со стороной 8 см:

    Площадь = (длина стороны) 2

    Площадь = 8 см × 8 см

    Площадь = 64 см 2

    Заявка

    Область применения формулы площади - архитектура, землеустройство и картографирование. Измененная версия области для данного места полезна при разработке инструментов знаний, таких как глобусы и геофизические карты.Расчет площади для двумерной формы - это первый шаг к интерпретации объема трехмерного объекта, такого как конус, цилиндр, шар и куб.

    Интересные факты

    • Вавилонские глиняные таблички с писцами использовались для изучения математики и интерпретации концепции площади с использованием формул в течение 1800-1600 гг. До н. Э.

    • Египтяне построили великие пирамиды, используя свойства на основе площади и соотношение между площадью поверхности сторон и площадью основания для идеально сбалансированной конструкции

    Сопутствующая математическая лексика

    Геометрические формы - площади

    Квадрат

    Площадь квадрата можно рассчитать как

    A = a 2 (1a)

    Сторона квадрата может быть рассчитана как

    a = A 1/2 (1b)

    Диагональ квадрата может быть рассчитана как

    d = a 2 1/2 (1c)

    Прямоугольник

    Площадь прямоугольника можно рассчитать как

    A = ab (2a)

    Диагональ прямоугольника можно рассчитать как

    d = (a 2 + b 2 ) 1/2 ( 2b)

    Параллелограмм

    Площадь параллелограмма можно рассчитать как

    A = ah

    = a b sin α (3a)

    Диаметр параллелограмма можно рассчитать как

    d 1 = ((a + h cot α ) 2 + h 2 ) 1 / 2 (3b)

    d 2 = ((a - h кроватка α ) 2 + h 2 ) 1/2 (3b)

    Равносторонний треугольник

    Равносторонний треугольник - это треугольник, в котором все три стороны равны.

    Площадь равностороннего треугольника можно рассчитать как

    A = a 2 /3 3 1/2 (4a)

    Площадь равностороннего треугольника можно рассчитать как

    h = a / 2 3 1/2 (4b)

    Треугольник

    Площадь треугольника можно рассчитать как

    A = ah / 2

    = rs (5a)

    r = ah / 2s (5b)

    R = bc / 2 h (5c)

    s = (a + b + c) / 2 (5d)

    x = s - a (5e)

    y = s - b (5f)

    z = s - c (5g)

    9 0009 Трапеция

    Площадь трапеции можно рассчитать как

    A = 1/2 (a + b) h

    = mh (6a)

    m = (a + b) / 2 (6b)

    Шестигранник

    Площадь шестиугольника можно рассчитать как

    A = 3/2 a 2 3 1/2 (7a)

    d = 2 а

    = 2/3 1/2 с

    = 1.1547005 s (7b)

    s = 3 1/2 /2 d

    = 0,866025 d (7c)

    Окружность

    Площадь круга может быть рассчитана как

    A = π / 4 d 2

    = π r 2

    = 0,785 .. d 2 (8a)

    C = 2 π r C = 2 π r

    = π d (8b)

    где

    C = окружность

    Сектор и сегмент окружности

    Сектор окружности

    Сектор окружности

    может быть выражено как

    A = 1/2 θ r r 2 (9)

    900 02 = 1/360 θ d π r 2

    , где

    θ r = угол в радианах

    θ d d = угол в градусах

    сегмента

    Площадь сегмента круга может быть выражена как

    A = 1/2 (θ r - sin θ r ) r 2

    = 1/2 (π θ d / 180 - sin θ d ) r 2 (10)

    Правый круговой цилиндр

    Площадь боковой поверхности правильного кругового круга может быть выражена как

    A = 2 π rh (11)

    , где

    h = высота цилиндра (м, фут)

    r = радиус основания (м, фут)

    Правый круговой конус

    Площадь боковой поверхности правого кругового конуса быть выраженным как

    A = π rl

    = π r (r 2 + h 2 ) 1/2 (12)

    , где

    h = высота конус (м, фут)

    r = радиус основания (м, фут)

    l = наклонная длина (м, фут)

    Сфера

    Площадь боковой поверхности сферы можно выразить как

    A = 4 π r 2 (13)

    .

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *