Формулы по геометрии площадей: Формулы площади. Площадь треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции, круга, эллипса. - Управленческое образование

Содержание

Формулы площади и программы для расчета площадей

Содержание:

Площадь геометрической фигуры — часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром данной фигуры. Величина площади выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

1-ая формула

S — площадь треугольника

a, b — длины 2-х сторон треугольника

С — угол между сторонами a и b

2-ая формула

S — площадь треугольника

a — длина стороны треугольника

h — длина высоты, опущенной на сторону a

3-ья формула

S — площадь треугольника

a, b, c — длины 3-х сторон треугольника

p — полупериметр треугольника

4-ая формула

S — площадь треугольника

r — радиус вписанной окружности

p — полупериметр треугольника

5-ая формула

S — площадь треугольника

a, b, c — длины 3-х сторон треугольника

R — радиус описанной окружности

См. также: Программа для расчета площади треугольника.

Формулы площади квадрата:

1) Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны (a).

2) Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали (d).

S — площадь квадрата

a — длина стороны квадрата

d — длина диагонали квадрата

См. также: Программа для расчета площади квадрата.

Формула площади прямоугольника:

1) Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон (a, b).

S — площадь прямоугольника

a — длина 1-ой стороны прямоугольника

b — длина 2-ой стороны прямоугольника

См. также: Программа для расчета площади прямоугольника.

Формула площади параллелограмма:

1) Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на длину высоты (a, h).

S — площадь параллелограмма

a — длина основания

h — длина высоты

См. также: Программа для расчета площади параллелограмма.

Формула площади трапеции:

1) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (a, b, h).

S — площадь трапеции

a — длина 1-ого основания

b — длина 2-ого основания

h — длина высоты трапеции

См. также: Программа для расчета площади трапеции.

Формулы площади ромба:

1) Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту (a, h).

2) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S — площадь ромба

a — длина основания ромба

h — длина высоты ромба

d₁ — длина 1-ой диагонали

d₂ — длина 2-ой диагонали

См. также: Программа для расчета площади ромба.

Формула площади круга:

1) Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи (3.1415).

2) Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус.

S — площадь круга

π — число пи (3.1415)

r — радиус круга

См. также: Программа для расчета площади круга.

Формула площади эллипса:

1) Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи (3.1415).

S — площадь эллипса

π — число пи (3.1415)

a — длина большой полуоси

b — длина малой полуоси

См. также: Программа для расчета площади эллипса.

Слишком сложно?

Формулы площади не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Все формулы по геометрии. Задача в3: площади фигур

Больше половины всех задач В3 из вариантов ЕГЭ — это задачи, в которых надо посчитать площадь фигуры. Чтобы решить их, надо знать формулы по геометрии — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала стоит выучить формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!

Конечно же, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задачи С4 применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников:

S = 5 + 7,5 = 12,5.

Ответ: 12,5.

В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем:

S = 25 – 5 – 5 – 4,5 = 10,5.

Ответ: 10,5.

Иногда в задании В3 надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.

Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна πR² = π, так как R=1. Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна 2πR = 2π (так как R=1), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в π раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в π раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в π раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: 1.

И ещё примерно половина прототипов задачи В3 — это простые задачи на тему «Координаты и векторы». Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по Х) и что такое ордината (координата по Y). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами. Все прототипы задачи В3 можно найти на сайте

mathege.ru.

Геометрия на егэ по математике

Геометрия на ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.

Геометрия на ЕГЭ — это четыре задачи в части и В (две по планиметрии и две по стереометрии), а также задача С2 и для многих недосягаемая С4. Как же научиться их решать?

Начнем с планиметрии. Прежде всего, вам нужно выучить основные формулы геометрии.

На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части В.

Для решения задачи С4 нужна более серьезная подготовка. Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Программа по геометрии.

1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).

2. Построение треугольника: практические задания. а) Три стороны треугольника АВС равны 4, 6 и 8 сантиметров соответственно. Постройте треугольник АВС с помощью циркуля и линейки. б) В треугольнике АВС угол В равен 48 градусов, сторона АВ равна двум, ВС равна 9. Постройте треугольник АВС. в) В треугольнике АВС сторона ВС равна 5, угол В равен 26°, угол С равен 58°. Постройте треугольник АВС.

3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.

4. Постройте с помощью циркуля и линейки: а) серединный перпендикуляр к отрезку; б) биссектрису угла.

5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.

6. Теорема о сумме углов треугольника.

7. Внешний угол треугольника.

8. Постройте в одном и том же треугольнике а) три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника. б) три биссектрисы. в) три медианы.

9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.

10. Средняя линия треугольника и ее свойства.

11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

12. Определения синуса, косинуса и тангенса — для острого угла прямоугольного треугольника — для произвольного угла.

13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.

14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.

15. Виды параллелограммов и их свойства. (ромб, прямоугольник, квадрат).

16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.

17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.

18. Площадь треугольника. Формулы и .

19. Теоремы синусов и косинусов.

20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.

21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)

22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)

23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.

24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.

25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.

26. Теоремы о вписанных углах.

27. Теорема о пересекающихся хордах.

28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.

29. Теорема о секущей и касательной.

30. Дан треугольник АВС. Постройте а) окружность, вписанную в данный треугольник б) окружность, описанную вокруг данного треугольника. Где находятся центры этих окружностей?

31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).

32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?

(Программа по стереометрии будет размещена в ближайшее время.)

Отдельно — тема «Векторы». Напомним, что на ЕГЭ по математике векторы встречаются в задаче В3. Они также пригодятся вам в решении задачи С2.

Освоив теорию, можно приступать к решению сложных задач по геометрии, входящих в часть С ЕГЭ. Мы рекомендуем вам сборники: Р. К. Гордин «ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия» и А. Г. Корянов и А. А. Прокофьев «Пособие по решению заданий типа С4». Можно найти на сайте alexlarin.net.

Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части В, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные С4.

Решая на ЕГЭ задачи С4 по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:

«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90º. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90º.

Тупой угол — больший 90º. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается С. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла А, обозначается а.

Угол А обозначается соответствующей греческой буквой α.

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет а, лежащий напротив угла α, называется противолежащим (по отношению к углу α). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла α, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

Сумма углов любого треугольника равна 180º. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90º.
С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла β катет а будет прилежащим.

Получаем, что cos β = sin A. Иными словами, cos (90º — А) = sin A.

Возьмем теорему Пифагора: a² + b² = c².

Поделим обе части на cos² A:

Мы получили основное тригонометрическое тождество:

Поделив обе части основного тригонометрического тождества на cos² A, получим:

Это значит, что если нам дан тангенс острого угла α, то мы сразу можем найти его косинус.

Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180°.

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a² + b² = с².

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0 до 90°.

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку А+В = 90°, sin A = cos B = 0,1.

2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АВ = 5, . Найдите AC.

Имеем:

Отсюда

Найдем АС по теореме Пифагора.

Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90°, 30° и 60° или с углами 90°, 45° и 45°. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами 90°, 30° и 60° катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами 90°, 45° и 45° — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

S = ab,

которая позволяет найти площадь прямоугольникапрямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab	a и b – смежные стороны
		Посмотреть вывод формулы	d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями
		S = 2R² sin φ Получается из верхней формулы подстановкой d=2R	R – радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями
Параллелограмм		S = a h_a Посмотреть вывод формулы	a – сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону
		S = absin φ Посмотреть вывод формулы	a и b – смежные стороны, φ – угол между ними
		Посмотреть вывод формулы	d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними
Квадрат		S = a²	a – сторона квадрата
		S = 4r²	r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	d – диагональ квадрата
		S = 2R² Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R	R – радиус описанной окружности
Ромб		S = a h_a Посмотреть вывод формулы	a – сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону
		S = a² sin φ Посмотреть вывод формулы	a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба
		Посмотреть вывод формулы	d₁, d₂ – диагонали
		S = 2ar Посмотреть вывод формулы	a – сторона, r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырёх углов ромба
Трапеция		Посмотреть вывод формулы	a и b – основания, h – высота
		S = m h	m – средняя линия, h – высота
		Посмотреть вывод формулы	d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними
		Посмотреть вывод формулы	a и b – основания, c и d – боковые стороны
Дельтоид		S = ab sin φ	a и b – неравные стороны, φ – угол между ними
			a и b – неравные стороны, φ₁ – угол между сторонами, равными a , φ₂ – угол между сторонами, равными b.
		S = (a + b) r Посмотреть вывод формулы	a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	d₁, d₂ – диагонали
Произвольный выпуклый четырёхугольник		Посмотреть вывод формулы	d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними
Вписанный четырёхугольник		, Посмотреть вывод формулы Брахмагупты	a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p – полупериметр, Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
	S = ab где a и b – смежные стороны
	где d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями Посмотреть вывод формулы
	S = 2R² sin φ где R – радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Параллелограмм
	S = a h_a где a – сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы
	S = absin φ где a и b – смежные стороны, φ – угол между ними Посмотреть вывод формулы
	где d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы
Квадрат
	S = a² где a – сторона квадрата
	S = 4r² где r – радиус вписанной окружности
	где d – диагональ квадрата Посмотреть вывод формулы
	S = 2R² где R – радиус описанной окружности Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Ромб
	S = a h_a где a – сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы
	S = a² sin φ где a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба Посмотреть вывод формулы
	где d₁, d₂ – диагонали Посмотреть вывод формулы
	S = 2ar где a – сторона, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
	где r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырёх углов ромба Посмотреть вывод формулы
Трапеция
	где a и b – основания, h – высота Посмотреть вывод формулы
	S = m h где m – средняя линия, h – высота
	где d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы
	где a и b – основания, c и d – боковые стороны Посмотреть вывод формулы
Дельтоид
	S = ab sin φ где a и b – неравные стороны, φ – угол между ними
	где a и b – неравные стороны, φ₁ – угол между сторонами, равными a , φ₂ – угол между сторонами, равными b.
	S = (a + b) r где a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
	где d₁, d₂ – диагонали Посмотреть вывод формулы
Произвольный выпуклый четырёхугольник
	где d₁, d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними Посмотреть вывод формулы
Вписанный четырёхугольник
	, где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p – полупериметр Формулу называют «Формула Брахмагупты» Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Прямоугольник

S = ab

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Посмотреть вывод формулы

S = 2R² sin φ

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

S = a h_a

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

S = absin φ

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

где
d₁, d₂ – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Квадрат

S = a²

где
a – сторона квадрата

S = 4r²

где
r – радиус вписанной окружности

где
d – диагональ квадрата

Посмотреть вывод формулы

S = 2R²

где
R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

S = a h_a

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

S = a² sin φ

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

где
d₁, d₂ – диагонали

Посмотреть вывод формулы

S = 2ar

где
a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

Посмотреть вывод формулы

S = m h

где
m – средняя линия,
h – высота

где
d₁, d₂ – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны,

Посмотреть вывод формулы

Дельтоид

S = ab sin φ

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b.

S = (a + b) r

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
d₁, d₂ – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Произвольный выпуклый четырёхугольник

где
d₁, d₂ – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где d₁ и d₂ – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле

S = a h_a ,

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Рис. 2

Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

S_ABCD = S_AEFD = a h_a ,

что и требовалось доказать.

Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Рис. 3

Доказательство. Поскольку

h_a = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a h_a = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Рис. 4

Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания трапеции, а h – высотавысотавысота (рис.5).

Рис. 5

Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,

(рис.6).

Рис. 6

Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Следовательно,

где

что и требовалось доказать.

Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Рис. 7

Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Формулы площади треугольника

Подождите пару секунд пока подгрузятся формулы

Внимание! Десятичную дробь надо писать с точкой(.), а не с запятой!

Через основание и высоту

$$S= \frac{1}{2} ah $$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — основание

$h$ — высота

$a =$ $h =$

Через две стороны и угол

$$S= \frac{1}{2} ab sin \alpha $$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$ \alpha $ — угол между сторонами $a$ и $b$

$a =$ $b =$ $ \alpha =$

Формула Герона

$$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$c$ — сторона

$p$ — полупериметр, $p= \frac{a+b+c}{2}$

$a =$ $b =$ $c =$

Через радиус вписанной окружности

$$S= rp $$ $S$ — площадь треугольника

$r$ — радиус вписанной окружности

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$c$ — сторона

$p$ — полупериметр, $p= \frac{a+b+c}{2}$

$r =$ $p =$

Через радиус описанной окружности

$S= \frac{abc}{4R} $

$S$ — площадь треугольника

$R$ — радиус описанной окружности

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$c$ — сторона

$a =$ $b =$

$c =$ $R =$

Площадь прямоугольного треугольника

$$S= \frac{1}{2} ab $$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$a =$ $b =$

Площадь прямоугольного треугольника

$$S= de $$ $S$ — площадь треугольника

$d =$ $e =$

Формула Герона для прямоугольного треугольника

$$ S= (p-a)(p-b) $$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$p$ — полупериметр, $p= \frac{a+b+c}{2}$

$a =$ $b =$ $p =$

Площадь равнобедренного треугольника

$$S= \frac{1}{2} a^2 sin \alpha$$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — сторона

$\alpha$ — угол между боковыми сторонами

$a =$ $ \alpha =$

Площадь равнобедренного треугольника

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$\alpha$ — угол между боковыми сторонами и основанием

$a =$ $b =$ $ \alpha =$

Площадь равнобедренного треугольника

$$S= \frac{b^2}{4tg \frac{ \alpha }{2}} $$ $S$ — площадь треугольника

$b$ — сторона

$\alpha$ — угол между боковыми сторонами и основанием

$b =$ $\alpha =$

Формула Герона для равнобедренного треугольника

a = b =

Площадь равностороннего треугольника

$$S= \frac{ \sqrt{3}a^2}{4} $$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — сторона

$a =$

Площадь равностороннего треугольника

$$S= \frac{3 \sqrt{3}R^2}{4}$$ $S$ — площадь треугольника

$R$ — радиус описанной окружности

$R =$

Площадь равностороннего треугольника

$$S= 3 \sqrt{3}r^2 $$ $S$ — площадь треугольника

$r$ — радиус вписанной окружности

$r =$

Площадь равностороннего треугольника

$$S= \frac{h^2}{\sqrt{3}}$$ $S$ — площадь треугольника

$h$ — высота

$h =$

Площадь треугольника

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.

Таблица с формулами площади треугольника (в конце страницы)

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки или файла PDF (в конце страницы)

— Вычисления (показано) (скрыто)

— примечания (показано) (скрыто)

Для всех треугольников

Площадь треугольника по основанию и высоте

Сторона a

Высота h

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Сторона a

Сторона b

Угол α° между сторонами a и b

Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус r вписанной окружности

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус R описанной окружности

Площадь треугольника по формуле Герона

Полупериметр:

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Сторона a

Угол β°

Угол α°

Для равнобедренных треугольников

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Сторона a (a = b)

Сторона c

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Угол α° между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Основание треугольника c

Угол β° между основанием и стороной

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Основание треугольника c

Угол α° между боковыми сторонами

Для равносторонних треугольников

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Основание треугольника c

Высота h

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Сторона a (a = b = c)

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Высота h

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Радиус r вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Радиус R описанной окружности

Для прямоугольных треугольников

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a

Катет b

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Сторона c

Угол α

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Сторона b

Угол α

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Отрезок d

Отрезок e

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Сторона с

Радиус r

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Полупериметр:

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.

В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.

Таблица с формулами площади треугольника

Определения

Площадь треугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км², м², см², мм² и т.д.

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки

Планиметрия (Геометрия на плоскости) — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Основные теоретические сведения

Треугольник

К оглавлению…

При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
Вертикальные углы равны между собой.

Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы (медиана — линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

Свойства медиан:

Все три медианы пересекаются в одной точке.
Медианы делят треугольник на шесть треугольников одинаковой площади.
В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.

Свойство биссектрисы (биссектриса — линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике — линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Трапеция

К оглавлению…

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Некоторые свойства трапеций:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания — подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны — равновелики.
Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
У равнобедренной трапеции диагонали равны.
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.

Параллелограмм

К оглавлению…

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Некоторые свойства параллелограмма:

Противоположные стороны параллелограмма равны.
Противоположные углы параллелограмма равны.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

Квадрат

К оглавлению…

Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

Ромб и прямоугольник

К оглавлению…

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Свойства ромба:

Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.
Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.
Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

Произвольные фигуры

К оглавлению…

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Многоугольники

К оглавлению…

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна:

Число диагоналей всякого многоугольника равно (где: n – число сторон):

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Внутренний угол правильного многоугольника равен:

Центральный угол правильного n-угольника равен:

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, длиной стороны a, радиусом описанной окружности R, полупериметром p и радиусом вписанной окружности r, может быть рассчитана по следующим формулам:

Окружность

К оглавлению…

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

Урок 22. формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности — Геометрия — 9 класс

Обозначим S площадь правильного n-угольника, a_n его сторону, Р периметр, r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей.
Рассмотрим сначала доказательство, что площадь данного многоугольника будет равна: S = 1/2 P r
Выполним следующее построение
Проведем линии из центра многоугольника к его вершинам. Многоугольник разбили на несколько треугольников. Применяя формулу площади треугольника запишем следующее равенство. Площадь каждого треугольника будет равна: S = 1/2 a_nr, где a_n – сторона многоугольника; r – радиус вписанной окружности, является высотой каждого рассматриваемого треугольника.
Так как все треугольники равны, то умножим количество треугольников на площадь треугольника:
S = n ∙ 1/2 a_nr, где n – количество треугольников.
После преобразований получим формулу: S = 1/2 (n ∙ a_n)r
Произведение в скобках отражает периметр рассматриваемого многоугольника. Таким образом, формула расчёта площади многоугольника выглядит следующим образом: S = 1/2 Pr
Выведем формулы для вычисления стороны правильного многоугольника и радиуса вписанной окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁Н₁О. Угол А₁ рассматриваемого треугольника будет равен половине угла αn многоугольника (отмечен красным), т.к. сторона треугольника А₁О является так же биссектрисой угла α_n многоугольника.
По формуле вычисления угла α правильного многоугольника α_n = (n — 2)/n ∙ 180° применяя простые преобразования получим равенство для угла А₁ рассматриваемого треугольника: ∠A₁ = α_n/2 = (n — 2)/2n ∙ 180° = 90° — (180°)/n
Полагая, что сторона правильного многоугольника an будет равна a_n = 2A₁H₁ и, учитывая, что треугольник А₁Н₁О является прямоугольным, воспользуемся соотношениями между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Получим следующее равенство: a_n = 2A₁H₁ = 2 Rcos⁡(90° — (180°)/n) = 2 R sin (180°)/n.
Итак, сторона правильного многоугольника a_n = ⁡2 R sin (180°)/n
радиус вписанной окружности r = R cos (180°)/n
Формулы расчета сторон для правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.
Треугольник: a₃ = 2 R sin⁡(180°)/3 = 2 R sin60° = 2 R ∙ √3/2 = R√3
Квадрат: a₄ = 2 R sin⁡(180°)/4 = 2 R sin45° = 2 R∙√2/2 = R√2
Шестиугольник: a₆ = 2 R sin⁡(180°)/6 = 2 R sin30° = 2 R ∙ 1/2 = R

Формулы площади

( пи = = 3,141592 …)

Площадь Формулы

Примечание: «ab» означает «а» умножить на «б». «a

²» означает «квадрат», что то же самое, что «а» умножить на «а».

Будьте осторожны !! Количество единиц. Используйте то же самое единиц для всех измерений. Примеры

квадрат = a ²

прямоугольник = ab

параллелограмм = bh

трапеция = h / 2 (b ₁ + b ₂)

круг pi r ²

эллипс = pi r ₁ r ₂

треугольник =

, равная половине длины основания, умноженной на высоту треугольник

равносторонний треугольник =

треугольник с учетом SAS (две стороны и противоположный угол)
= (1/2) a b sin C

треугольник с учетом a, b, c = [s (s-a) (s-b) (s-c)] когда s = (a + b + c) / 2 (формула Герона)

правильный многоугольник = (1/2) n sin (360 ° / n) S ²
когда n = количество сторон и S = длина от центра до угла

Квартир

Площадь измеряется в «квадратных» единицах.Площадь фигуры количество квадратов, необходимых для его полного покрытия, как плитки на пол.

Площадь квадрата = сторона, умноженная на сторону. Поскольку каждая сторона квадрата — это то же самое, это может быть просто длина одной стороны в квадрате.

Если у квадрата одна сторона 4 дюйма, площадь будет 4 дюйма, умноженная на 4 дюйма или 16 квадратных дюймов. (Квадратные дюймы также можно записать в ².)

Обязательно используйте одни и те же единицы для всех измерений. Нельзя умножить футы на дюймы, квадрат не получается. измерение.

Площадь прямоугольника — это длина сбоку. раз больше ширины. Если ширина 4 дюйма, а длина 6 футов, что это площадь?

НЕ ПРАВИЛЬНО …. 4 раза 6 = 24

ПРАВИЛЬНО …. 4 дюйма равны 1/3 фута. Площадь 1/3 фута умножить на 6 футов = 2 квадратных фута.(или 2 кв. фута, или 2 фута ²).

6.5: Формулы площади, площади поверхности и объема

Формулы площади

Пусть \ (b \) = основание

Пусть \ (h \) = высота

Пусть \ (s \) = сторона

Пусть \ (r \) = радиус

Таблица 6.5.1: Формулы площади
Имя формы	Форма	Формула площади
Прямоугольник		\ (А = bh \)
Площадь		\ (\ begin {array} {l} A = b h \\ A = s ^ {2} \ end {array} \)
Параллелограмм		\ (А = bh \)
Треугольник		\ (A = \ dfrac {1} {2} b h \)
Круг		\ (A = \ pi r ^ {2} \)
Трапеция		\ (A = \ dfrac {1} {2} h \ left (b_ {1} + b_ {2} \ right) \)

Формулы площади поверхности

Переменные :

\ (SA \) = Площадь поверхности

\ (B \) = площадь основания фигуры

\ (P \) = периметр основания фигуры

\ (h \) = высота

\ (s \) = наклонная высота

\ (r \) = радиус

Таблица 6.5.2: Формулы площади поверхности
Формула площади поверхности	Площадь Значение
	\ (S A = 2 B + P h \)	Найдите площадь каждой грани.Сложите все области.
\ (S A = B + \ dfrac {1} {2} s P \)	Найдите площадь каждой грани. Сложите все области.
	Найдите площадь основания, умноженную на 2, затем добавьте площади к площадям прямоугольника, равным длине окружности, умноженной на высоту.{2} \)	Найдите площадь большого круга и умножьте ее на 4.
	\ (S A = B + \ pi r S \)	Найдите площадь основания и сложите произведение радиуса, умноженного на наклонную высоту, на PI.

Формулы объема

Переменные :

\ (SA \) = Площадь поверхности

\ (B \) = площадь основания фигуры

\ (P \) = периметр основания фигуры

\ (h \) = высота

\ (s \) = наклонная высота

\ (r \) = радиус

Таблица 6.5.3: Формула объема
Формула объема	Объем Значение
\ (V = B h \)	Найдите площадь основания и умножьте ее на высоту
\ (V = \ dfrac {1} {3} B h \)	Найдите площадь основания и умножьте ее на 1/3 высоты.{3} \)	Найдите площадь большого круга и умножьте ее на радиус, а затем умножьте на 4/3.
\ (V = \ dfrac {1} {3} B h \)	Найдите площадь основания и умножьте ее на 1/3 высоты.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Найдите площадь круга диаметром 14 футов. {2}
\ end {align} \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Найдите объем сферы диаметром 6 метров.{3} \ end {align} \ nonumber \]

Партнерская деятельность 1

Найдите площадь треугольника с основанием 40 дюймов и высотой 60 дюймов.
Найдите площадь квадрата со стороной 15 футов.
Найдите площадь поверхности Земли, диаметр которой составляет 7917,5 миль. Используйте 3,14 для PI.
Найдите объем банки с супом, имеющей радиус 2 дюйма и высоту 3 дюйма. Используйте 3,14 для PI.

Дополнительный курс: Методика обучения математике

Часть 1

оценок:

В чем разница между формирующими и итоговыми оценками? Какой из них важнее?
Примеры формирующего оценивания и когда их использовать
Примеры сводной оценки и когда их использовать

Часть 2

Напишите формирующее и итоговое оценивание для своего плана урока

Часть 3

Убедитесь, что вы работаете в Khan Academy в течение семестра.

Калькулятор площади

. Найдите область из 16 популярных фигур!

Если вам интересно, как рассчитать площадь любой основной формы, вы попали в нужное место — этот калькулятор площади ответит на все ваши вопросы. Воспользуйтесь нашим интуитивно понятным инструментом, чтобы выбрать одну из шестнадцати различных форм и вычислить их площадь в мгновение ока. Если вы ищете определение площади или, например, формулу ромба, у нас есть все необходимое. Продолжайте прокручивать, чтобы узнать больше, или просто поиграйте с нашим инструментом — вы не будете разочарованы!

Что такое площадь в математике? Определение площади

Проще говоря, площадь — это размер поверхности .Другими словами, его можно определить как пространство, занимаемое плоской формой. Чтобы понять концепцию, обычно полезно думать о площади как о количестве краски, необходимом для покрытия поверхности . Посмотрите на картинку ниже — все фигуры имеют одинаковую площадь, 12 квадратных единиц:

Есть много полезных формул для вычисления площади простых форм. В разделах ниже вы найдете не только хорошо известные формулы для треугольников, прямоугольников и кругов, но и другие формы, такие как параллелограммы, воздушные змеи или кольца.

Мы надеемся, что после этого объяснения у вас не возникнет проблем с определением области в математике!

Как рассчитать площадь?

Ну конечно это зависит от формы ! Ниже вы найдете формулы для всех шестнадцати форм, представленных в нашем калькуляторе площади. Для ясности мы перечислим только уравнения — их изображения, объяснения и выводы можно найти в отдельных абзацах ниже (а также в инструментах, посвященных каждой конкретной форме).

Вы готовы? Вот наиболее важные и полезные формулы площади для шестнадцати геометрических фигур:

Квадрат формула площади: A = a²
Прямоугольник формула площади: A = a * b
Формулы площади треугольника :
- A = b * h / 2 или
- A = 0,5 * a * b * sin (γ) или
- A = 0,25 * √ ((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c)) или
- A = a² * sin (β) * sin (γ) / (2 * sin (β + γ))
Круг формула площади: A = πr²
Сектор круга формула площади: A = r² * угол / 2
Эллипс формула площади: A = a * b * π
Трапеция формула площади: A = (a + b) * h / 2
Параллелограмм формулы площади:
- A = a * h или
- A = a * b * sin (угол) или
- A = e * f * sin (угол)
Ромб формулы площади:
- A = a * h или
- A = (e * f) / 2 или
- A = s² * sin (угол)
Kite формулы площади:
- A = (e * f) / 2 или
- A = a * b * sin (γ)
Пентагон Формула площади: A = a² * √ (25 + 10√5) / 4
Шестиугольник формула площади: A = 3/2 * √3 * a²
Восьмиугольник формула площади: A = 2 * (1 + √2) * a²
Формула площади кольцевого пространства : A = π (R² - r²)
Четырехугольник формула площади: A = e * f * sin (угол)
Правильный многоугольник формула площади: A = n * a² * детская кроватка (π / n) / 4

Если ваша форма неправильная, попробуйте мысленно разделить ее на основные формы, для которых вы можете легко вычислить площадь.

Хотите изменить единицу площади? Просто нажмите на название устройства, и появится раскрывающийся список.

Формула площади

Вы забыли, что такое формула площади? Тогда вы попали в нужное место. Площадь квадрата равна длине его сторон:

Площадь квадрата = a * a = a² , где a — сторона квадрата

Это самая основная и наиболее часто используемая формула, хотя существуют и другие.Например, есть формулы площади, в которых используются диагональ, периметр, радиус описанной окружности или внутренний радиус.

Формула площади прямоугольника

Формула площади прямоугольника тоже несложная задача — это просто умножение сторон прямоугольника:

Расчет площади прямоугольника чрезвычайно полезен в повседневных ситуациях: от строительства здания (оценка необходимой плитки, настила, сайдинга или поиск площади крыши) до декорирования вашей квартиры (сколько краски или обоев мне нужно?) До расчета количества людей Ваш листовой торт может накормить.

Формула площади треугольника

Существует множество различных формул для вычисления площади треугольника, в зависимости от того, что дано и какие законы или теоремы используются. В этом калькуляторе площади мы реализовали четыре из них:

1. Данные база и высота

Площадь треугольника = b * h / 2

2. Даны две стороны и угол между ними (SAS)

Площадь треугольника = 0,5 * a * b * sin (γ)

3.Учитывая три стороны (SSS) (Эта формула площади треугольника называется формулой Герона )

Площадь треугольника = 0,25 * √ ((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c))

4. Даны два угла и сторона между ними (ASA)

Площадь треугольника = a² * sin (β) * sin (γ) / (2 * sin (β + γ))

Есть треугольник особого вида, прямоугольный.В этом случае основание и высота — это две стороны, которые образуют прямой угол. Тогда площадь прямоугольного треугольника может быть выражена как:

Площадь прямоугольного треугольника = a * b / 2

Формула площади круга

Формула площади круга — одна из самых известных формул:

Площадь круга = πr² , где r — радиус окружности

В этом калькуляторе мы реализовали только это уравнение, но в нашем круговом калькуляторе вы можете рассчитать площадь по двум разным формулам:

Диаметр

Площадь круга = πr² = π * (d / 2) ²

Окружность

Кроме того, формула площади круга удобна в повседневной жизни — как серьезная дилемма, какой размер пиццы выбрать.

Формула площади сектора

Формулу площади сектора можно найти, взяв пропорцию круга. Площадь сектора пропорциональна его углу, поэтому, зная формулу площади круга, мы можем записать это:

α / 360 ° = Площадь сектора / Площадь круга

Преобразование угла говорит нам, что 360 ° = 2π

α / 2π = Площадь сектора / πr²

так:

Площадь сектора = r² * α / 2

Формула площади эллипса

Чтобы найти формулу площади эллипса, сначала вспомните формулу площади круга: πr² .Для эллипса у вас есть не одно значение радиуса, а два разных значения: a и b . Единственная разница между формулой площади круга и эллипса заключается в замене r² произведением большой и малой полуосей, a * b :

Площадь эллипса = π * a * b

Формула площади трапеции

Площадь трапеции можно найти по следующей формуле:

Площадь трапеции = (a + b) * h / 2 , где a и b — длины параллельных сторон, а h — высота

Также формула площади трапеции может быть выражена как:

Площадь трапеции = м * ч , где м — среднее арифметическое длин двух параллельных сторон

Площадь формулы параллелограмма

Если вы хотите рассчитать площадь с учетом основания и высоты, сторон и угла или диагоналей параллелограмма и угла между ними, вы находитесь в правильном месте.В нашем инструменте вы найдете три формулы площади параллелограмма:

1. Основание и высота

Площадь параллелограмма = a * h

2. Стороны и угол между ними

Площадь параллелограмма = a * b * sin (α)

3. Диагонали и угол между ними

Площадь параллелограмма = e * f * sin (θ)

Площадь формулы ромба

Мы реализовали три полезные формулы для вычисления площади ромба.Вы можете найти этот район, если знаете:

1. Сторона и высота

2. Диагонали

Площадь ромба = (e * f) / 2

3. Сторона и любой угол, например, α

Площадь ромба = a² * sin (α)

Площадь кайта формулы

Для расчета площади воздушного змея можно использовать два уравнения, в зависимости от того, что известно:

Площадь формулы воздушного змея с учетом диагоналей змея

Площадь формулы воздушного змея с учетом двух несовпадающих длин сторон и угла между этими двумя сторонами

Площадь змеевика = a * b * sin (α)

Формула площади пятиугольника

Площадь пятиугольника рассчитывается по формуле:

Площадь пятиугольника = a² * √ (25 + 10√5) / 4 , где a — сторона правильного пятиугольника

Ознакомьтесь с нашим специальным инструментом пятиугольника, в котором представлены другие важные свойства правильного пятиугольника: сторона, диагональ, высота и периметр, а также радиус описанной и вписанной окружности.

Площадь шестиугольника формула

Основная формула площади шестиугольника:

Площадь шестигранника = 3/2 * √3 * a² , где a — сторона правильного шестиугольника

Так откуда взялась формула? Вы можете представить себе правильный шестиугольник как набор из шести равносторонних треугольников. Чтобы найти площадь шестиугольника, все, что нам нужно сделать, это найти площадь одного треугольника и умножить ее на шесть. Формула для площади правильного треугольника равна квадрату стороны, умноженному на квадратный корень из 3, деленный на 4:

Площадь равностороннего треугольника = (a² * √3) / 4

Площадь шестиугольника = 6 * Площадь равностороннего треугольника = 6 * (a² * √3) / 4 = 3/2 * √3 * a²

Площадь восьмиугольника по формуле

Чтобы найти площадь восьмиугольника, все, что вам нужно сделать, это знать длину стороны и формулу ниже:

Площадь восьмиугольника = 2 * (1 + √2) * a²

Площадь восьмиугольника также можно рассчитать по формуле:

Площадь восьмиугольника = периметр * апофема / 2

Периметр в восьмиугольном корпусе — это просто 8 * .А что такое апофема? Апофема — это расстояние от центра многоугольника до середины стороны. В то же время это высота треугольника, образованного линией от вершин восьмиугольника к его центру. Этот треугольник — один из восьми конгруэнтных — является равнобедренным треугольником, поэтому его высоту можно рассчитать, например, с помощью теоремы Пифагора по формуле:

h = (1 + √2) * a / 4

Итак, в итоге мы получаем первое уравнение:

Площадь восьмиугольника = периметр * апофема / 2 = (8 * a * (1 + √2) * a / 4) / 2 = 2 * (1 + √2) * a²

Формула площади кольцевого пространства

Кольцо — это объект в форме кольца — это область, ограниченная двумя концентрическими окружностями разного радиуса.Найти формулу площади кольца — простая задача, если вы помните формулу площади круга. Вы только посмотрите: площадь кольца — это разница площадей большего круга радиуса R и меньшего радиуса r:

Площадь кольца = πR² - πr² = π (R² - r²)

Кстати, вы видели наш конвертер размеров колец?

Площадь четырехугольника

Четырехугольная формула, которую реализует этот калькулятор площади, использует две заданные диагонали и угол между ними.

Площадь четырехугольника = e * f * sin (α) , где e, f — диагонали

Мы можем использовать любой из двух углов, так как мы вычисляем их синус. Зная, что два соседних угла являются дополнительными, мы можем утверждать, что sin (угол) = sin (180 ° - угол) .

Если вы ищете другие формулы для определения площади четырехугольника, воспользуйтесь нашим специальным инструментом для четырехугольника, где вы найдете формулу Бретшнайдера (с учетом четырех сторон и двух противоположных углов) и формулу, в которой используются бимедианы и угол между ними. .

Формула площади правильного многоугольника

Формула для площади правильного многоугольника выглядит следующим образом:

Площадь правильного многоугольника = n * a² * детская кроватка (π / n) / 4

где n — количество сторон, а a — длина стороны.

Существуют и другие уравнения, в которых используются, например, такие параметры, как радиус описанной окружности или периметр. Вы можете найти эти формулы в специальном абзаце нашего калькулятора площади многоугольника.

Если вы имеете дело с неправильным многоугольником, помните, что вы всегда можете разделить фигуру на более простые фигуры.Просто посчитайте площадь каждого из них и в конце просуммируйте их. Разбиение многоугольника на набор треугольников называется триангуляцией многоугольника.

Область базовых формул

Овладейте семью столпами успеха в школе

Повысьте свои оценки и снизьте уровень стресса

Формулы для определения площади основания геометрических фигур

площадь основания

Треугольник	*1⁄2 b h b = основание h = высота b = основание h = высота**
Прямоугольник	*длина ширина**
Трапеция	1⁄2 h (b_1 + b_2) h = высота b_1 = база 1 b_2 = основание 2
Квадрат	с ^ 2 с = сторона
Параллелограмм	*база высота**
Пентагон	*1⁄2 a p a = apothem P = периметр**
Шестигранник	*1⁄2 a p a = apothem P = периметр**
Гептагон	*1⁄2 a p a = apothem P = периметр**
Восьмиугольник	*1⁄2 a p a = apothem P = периметр**

Основание фигуры, такой как многоугольник, — это нижняя часть фигуры.Используемая формула для определения площади основания зависит от формы объекта. Вот список наиболее распространенных формул базовой площади.

формул геометрии | Суперпроф

В этой статье мы составили список геометрических формул, которые очень полезны при решении вопросов, связанных с площадями, объемами и периметрами геометрических фигур. Итак, приступим.

Формулы площади и периметра

В этом разделе мы составили список формул площади и периметра различных геометрических фигур.

Площадь геометрической фигуры — это количество пространства в квадратных единицах длины, занимаемое поверхностью геометрической фигуры. С другой стороны, периметр относится к расстоянию вокруг замкнутой геометрической фигуры или формы.

Треугольник

Треугольник — одна из самых фундаментальных геометрических фигур, состоящая из трех сторон и трех вершин. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам. Треугольники трех типов: равносторонние, равнобедренные и разносторонние.

Формула площади треугольника:

Площадь =

Формулы для периметра равностороннего, равнобедренного и разностороннего треугольников немного отличаются. По сути, все они включают добавление длины трех сторон треугольника.

Периметр равностороннего треугольника = 3 x длина его стороны

Периметр равнобедренного треугольника = 2 x длина + основание

Периметр разностороннего треугольника = P = a + b + c

Квадрат

Квадрат — это правильный четырехугольник, который имеет четыре равные стороны и углы.Это означает, что все стороны квадрата имеют одинаковую длину и все углы равны по размеру.

Формула для вычисления площади квадрата:

Площадь = lxl

Формула для вычисления периметра квадрата:

Периметр = 4 x длина его стороны

Прямоугольник

Прямоугольник — это тип четырехугольник с четырьмя прямыми углами. Противоположные стороны прямоугольника одинаковой длины и параллельны друг другу.

Формула площади прямоугольника:

Площадь = lxw, где l — длина прямоугольника, а w — его ширина

Формула для определения периметра прямоугольника:

Периметр = 2 (l + w)

Ромб

Ромб — это параллелограмм с четырьмя равными сторонами и противоположными равными углами.Это означает, что все четыре стороны ромба имеют одинаковую длину и противоположные углы совпадают.

Формула для вычисления площади ромба:

Площадь =, здесь D и d представляют диагонали ромба

Формула для расчета периметра ромба:

Периметр = 4 x длина стороны ромб

Ромб

Ромб — это тип параллелограмма, у которого соседние стороны имеют разную длину, а углы не равны 90 градусам.

Формула для вычисления площади ромбовидного тела:

Площадь = основание x высота

Формула для расчета периметра ромбовидного тела:

Периметр = 2. (a + b), где a и b — стороны ромба

Площадь трапеции

Трапеция — это четырехугольник с одной парой параллельных сторон, как показано на рисунке ниже:

Формула для расчета площади трапеции трапеция:

Площадь =

Площадь правильного многоугольника

В геометрии правильный многоугольник — это равносторонний и равносторонний многоугольник.Это означает, что все стороны правильного многоугольника имеют одинаковую длину и все его углы одинаковой меры.

Формула для вычисления площади правильного многоугольника:

Площадь =

Формула для вычисления периметра правильного многоугольника:

Периметр = nxl, где n обозначает количество сторон многоугольника

Многоугольник

Если у вас есть неправильный многоугольник, похожий на рисунок, приведенный ниже, то вы можете вычислить площадь, триангулируя многоугольник и добавляя площади этих треугольников.

Окружность

Окружность — это геометрическая фигура, в которой все точки расположены на равном расстоянии от ее центра.

Формула для вычисления площади круга:

, где r — радиус круга

Круговой сектор

Круговой сектор, также называемый центром диска или центром круга, — это часть круга, которая заключен в дугу и два радиуса окружности.

Формула для вычисления площади кругового сектора приведена ниже:

Формула для расчета длины дуги кругового сектора:

Круговой сегмент

Круговой сегмент относится к области круга, который «отрезан» от оставшейся окружности хордой или секущей.

Формула для вычисления площади кругового сегмента:

Круговая площадь сегмента AB = Площадь кругового сектора AOB — Площадь треугольника AOB

Луна Гиппократа

Это относится к ограниченной лунке. двумя дугами окружности. Вы можете прочитать нашу статью здесь, чтобы узнать больше об этой концепции.

Площадь луны = площадь полукруга — площадь кругового сегмента.

Площадь луны = Площадь прямоугольного треугольника

Круговая трапеция

В двух заданных концентрических кругах круговая трапеция относится к области, которая находится между двумя непересекающимися хордами круга.

Формула для расчета площади круговой трапеции приведена ниже:

Площадь, заключенная между двумя концентрическими кругами

Формула для расчета площади между двумя концентрическими кругами приведена ниже:

Лучшие преподаватели математики в наличии

Поехали

Формулы площади поверхности и объема

В этом разделе статьи мы составили список формул площади поверхности и объема различных геометрических фигур.

Тетраэдр

Тетраэдр — это твердое тело, содержащее четыре плоских треугольных грани

Формула для вычисления площади тетраэдра:

Формула для вычисления объема тетраэдра:

Октаэдр

Октаэдр относится к трехмерной форме, имеющей восемь плоских граней.

Формула для вычисления площади октаэдра:

Формула для вычисления объема октаэдра:

Икосаэдр

Икосаэдр — это сплошная фигура, содержащая 20 плоских граней.

Формула для расчета площади икосаэдра:

Формула для расчета объема тетраэдра:

Додекаэдр

Додекаэдр — это трехмерная фигура с двенадцатью плоскими гранями.

Куб

Трехмерная фигура, содержащая шесть равных квадратов, называется кубом.

Формула для расчета объема куба:

Формула для расчета площади поверхности куба:

Кубоид

Трехмерная геометрическая фигура, содержащая шесть прямоугольных граней, известна как кубоид

Формула для расчета площади кубоида:

Формула для расчета объема кубоида:

Призма

Под призмой понимается сплошная геометрическая фигура, у которой два конца равны, похожи и параллельные прямолинейные фигуры, а стороны — параллелограммы, как показано на рисунке ниже:

Пирамида

В геометрии пирамида представляет собой многогранник, который образован путем соединения точки на основе многоугольника, известной как вершина

Усеченная пирамида

Усеченная пирамида получается в результате разрезания пирамиды плоскостью, параллельной основанию, и отделения части, которая совпадает с основанием. содержит верхушку.

P = Периметр большего основания

P ‘= Периметр меньшего основания

A = Площадь большего основания

A’ = Площадь меньшего основания

Цилиндр

A Цилиндр, как показано ниже, относится к поверхности, которая содержит все точки на всех прямых, которые параллельны данной прямой и которые проходят через фиксированную плоскую кривую в плоскости, которая не параллельна данной прямой.

Конус

Конус в геометрии относится к трехмерной форме, которая плавно сужается от плоского основания к точке, известной как вершина или вершина.

Усеченный конус

Секция конуса или пирамида без вершины и заканчивающаяся в плоскости, обычно параллельной основанию .

Это конус или пирамида без вершины, оканчивающаяся в плоскости, обычно параллельной основанию.

Сфера

Как и круг, сфера относится к набору точек, которые расположены на одинаковом расстоянии «r» от данной точки.

Сферический клин

Сферический клин, также известный как язычок, представляет собой часть шара, ограниченного двумя плоскими полудисками и сферической лункой.

Сферический колпачок

Сферический колпачок, также известный как сферический колпачок, представляет собой часть сферы или шара, «срезанную» плоскостью.

Сферический сегмент

Сферический сегмент — это твердое тело, образованное разрезанием шара или сферы парой параллельных линий.

Что такое круг и его свойства? (определение, формулы, примеры)

Круг — это замкнутая форма, образованная путем отслеживания точки, которая движется в плоскости таким образом, чтобы расстояние от нее до данной точки было постоянным.Слово круг происходит от греческого слова kirkos, что означает обруч или кольцо. В этой статье мы рассмотрим важные термины, связанные с кругами, их свойствами и различными формулами кругов.

Ниже приводится краткое описание тем, которые мы рассмотрим в этой статье:

Определение круга

Когда набор всех точек , которые находятся на на фиксированном расстоянии от фиксированной точки , соединяется, полученная геометрическая фигура называется окружностью.

Давайте теперь немного узнаем о терминологии, используемой в кругах.

Термины, связанные с кругами

Центр

Неподвижная точка в окружности называется центром.

Итак, набор точек находится на фиксированном расстоянии от центра круга.

Радиус

Радиус — это фиксированное расстояние между центром и набором точек. Он обозначается «R» .

Диаметр

Диаметр — это линейный сегмент, имеющий граничные точки окружностей в качестве конечных точек и проходящий через центр.

Итак, логически диаметр можно разбить на две части:
- Одна часть от одной граничной точки круга до центра
- И, другая часть от центра до другой граничной точки.
  - Следовательно, Диаметр = Двойная длина радиуса или «D = 2R»

Окружность

Это мера внешней границы круга.

Итак, длина окружности или периметр окружности называется Окружностью.

Дуга окружности

Дуга окружности — это часть окружности.

Из любых двух точек, лежащих на границе круга, можно создать две дуги: Малую и Большую дугу.

Малая дуга: Более короткая дуга, образованная двумя точками.
Большая дуга: Более длинная дуга, образованная двумя точками.

Сектор круга:

Сектор образуется путем соединения концов дуги с центром.

При соединении конечных точек с центром будут получены два сектора: Minor и Major.
- По умолчанию мы учитываем только второстепенный сектор, если не указано иное.

полукруг

Полукруг — это половина круга или,

Полукруг получается, когда круг делится на две равные части.

Теперь, когда мы знаем всю терминологию, относящуюся к кругам, давайте узнаем о свойствах круга.

Геометрия — важная тема для асов, если вы планируете набрать 700+ на GMAT. Позвольте нам помочь вам достичь совершенства в GMAT Geometry. Начните с подписки на бесплатную пробную версию и учитесь у лучших в отрасли. В конце концов, наша компания — самая популярная компания на gmatclub.
Кэрри Лоу, Гильермо, Сириш и Рагхав — это лишь некоторые из студентов, которые с помощью электронного GMAT набрали Q50 + балл в разделе GMAT Quant.

Важные свойства круга — линии

Объекты собственности, относящиеся к линиям по кругу

аккорд

Хорда — это отрезок прямой, концы которого лежат на границе круга.

Свойства аккорда

Перпендикуляр, опущенный из центра, делит пояс на две равные части.

Касательная

Касательная — это линия, которая касается окружности в любой точке.

Свойства касательной

Радиус всегда перпендикулярен касательной в точке, где он касается окружности.

Важные свойства круга, связанные с углами

Свойства, относящиеся к углам в окружности

Угол с надписью

Вписанный угол — это угол между двумя хордами, когда они встречаются на границе круга.

Свойства вписанных углов

1. Углы, образованные одной и той же дугой на окружности окружности, всегда равны.

2. Угол полукруга всегда равен 90 °.

Центральный угол

Центральный угол — это угол, образующийся, когда две линейные сегменты встречаются таким образом, что одна из конечных точек обоих линейных сегментов находится в центре, а другая — на границе круга.

Собственность центральных углов

Угол, образованный дугой в центре, в два раза больше вписанного угла , образованного той же дугой.

Важные формулы круга: площадь и периметр

Ниже приведены некоторые математические формулы, которые помогут вам вычислить площадь и периметр / длину окружности.

Периметр:

Периметр или окружность круга = 2 × π × R.
Длина дуги = (Центральный угол, образованный дугой / 360 °) × 2 × π × R.

Площадь:

Площадь круга = π × R²
Площадь сектора = (Центральный угол, образованный сектором / 360 °) × π × R².

Обзор всех свойств круга

Вот обобщенный список всех свойств, которые мы изучили в статье до этого момента.

Важные свойства

Линии по окружности

аккорд

Перпендикуляр, опущенный из центра, делит хорду на две равные части.

Касательная

Радиус всегда перпендикулярен касательной в точке, где он касается окружности.

Углы по окружности

Угол с надписью

1. Углы, образованные одной и той же дугой на окружности окружности, всегда равны.
2. Угол в полукруге всегда равен 90.

Центральный угол

Угол, образованный дугой в центре, в два раза больше вписанного угла, образованного той же дугой.

Важные формулы

Окружность круга

2 × π × R.

Длина дуги

(Центральный угол, образованный дугой / 360 °) × 2 × π × R

Площадь круга

π × R²

Площадь сектора

(Центральный угол, образованный дугой / 360 °) × π × R²

Применение свойств в вопросах

Вопрос 1

Длина двух сторон прямоугольного треугольника, кроме гипотенузы, составляет 6 см и 8 см.Если этот прямоугольный треугольник вписан в круг, то какова площадь круга?

5 π
10 π
15 π
20 π
25 π

Решение

Шаг 1: Дано

Длина двух сторон прямоугольного треугольника, кроме гипотенузы, составляет 6 см и 8 см.
Этот треугольник вписан в круг.

Шаг 2: найти

Шаг 3: подход и разработка

Нарисуем схематическое изображение.

Применяя свойство, что угол в полукруге равен 90º, мы можем сказать, что AB — это диаметр окружности.

И, как только мы найдем длину диаметра, мы сможем найти радиус, а затем мы также сможем найти площадь круга.

Применение теоремы Пифагора в △ ABC,

AB² = AC² + BC²
- AB² = 6² + 8² = 36 +64 = 100
- AB = 10 см

Поскольку AB — диаметр, AB = 2R = 10

Площадь круга = π × R² = π × 5² = 25 π.

Следовательно, правильный ответ — вариант E.

Вопрос 2

На приведенной выше диаграмме О — центр круга. Если OB = 5 см и ∠ABC = 30 ⁰, то какова длина дуги AC?

5π / 6
5π / 3
5π / 2
5π
10π

Решение

Шаг 1: Дано

Шаг 2: найти

Шаг 3: подход и разработка

Длина дуги = (Центральный угол дуги / 360 °) × 2 × π × R.

Чтобы найти длину дуги, нам нужно значение двух переменных, центрального угла, образованного дугой, и радиуса.

Нам уже дан радиус как OB = 5см
Нам нужно найти ∠AOC

При визуализации диаграммы угол, вписанный дугой AC, равен ABC, а центральный угол дугой AC равен AOC.

Следовательно, мы можем применить свойство, согласно которому угол, образованный дугой в центре, вдвое превышает вписанный угол, образованный той же дугой.
Таким образом, AOC = 2 × ∠ABC = 2 × 30 ° = 60 °

Теперь мы знаем и центральный угол, образованный дугой.

Следовательно, длина дуги AC = (центральный угол дуги / 360 °) × 2 × π × R.
- = (60 ° / 360 °) × 2 × π × 5.
- = (1/6) × 2 × π × 5.
- = (5π / 3) см

Таким образом, правильный ответ — вариант Б.

Если вам понравилась эта статья, вот еще несколько статей, связанных с геометрией:

Геометрия: Формулы площади:: TI Math Nspired

Управление настройками файлов cookie

Вы можете управлять своими предпочтениями в отношении того, как мы используем файлы cookie для сбора и использования информации, пока вы находитесь на веб-сайтах TI, изменяя статус этих категорий.

Категория	Описание	Разрешить
Аналитические и рабочие файлы cookie	Эти файлы cookie, включая файлы cookie из Google Analytics, позволяют нам распознавать и подсчитывать количество посетителей на сайтах TI и видеть, как посетители перемещаются по нашим сайтам. Это помогает нам улучшить работу сайтов TI (например, облегчая вам поиск информации на сайте).
Рекламные и маркетинговые файлы cookie	Эти файлы cookie позволяют размещать рекламу на основе интересов на сайтах TI и сторонних веб-сайтах с использованием информации, которую вы предоставляете нам при взаимодействии с нашими сайтами. Объявления на основе интересов отображаются для вас на основе файлов cookie, связанных с вашими действиями в Интернете, такими как просмотр продуктов на наших сайтах.Мы также можем передавать эту информацию третьим лицам для этих целей. Эти файлы cookie помогают нам адаптировать рекламные объявления в соответствии с вашими интересами, управлять частотой, с которой вы видите рекламу, и понимать эффективность нашей рекламы.
Функциональные файлы cookie	Эти файлы cookie помогают идентифицировать вас и хранить ваши действия и информацию об учетной записи, чтобы предоставлять расширенные функциональные возможности, в том числе более персонализированный и релевантный опыт на наших сайтах.Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно. Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно.
Файлы cookie социальных сетей	Эти файлы cookie позволяют идентифицировать пользователей и контент, подключенный к онлайн-социальным сетям, таким как Facebook, Twitter и другим платформам социальных сетей, и помогают TI улучшить охват социальных сетей.
Обязательно	Эти файлы cookie необходимы для работы сайтов TI или для выполнения ваших запросов (например, для отслеживания того, какие товары вы поместили в корзину на TI. Author: alexxlab Навигация по записям ← Егэ план социальные ценности: План по обществознанию на тему Социальные нормы Аргументы егэ русский язык 2018 таблица: Аргументы для сочинения ЕГЭ по русскому языку → Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Search for: Рубрики Биология География Гиа Егэ Информатика История Математика Обществознание Огэ Подготовка к ГИА Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ Подготовка Фипи Разное Русский Советы по обучению Уроки биологии Уроки географии Уроки информатики Уроки истории Уроки математики Уроки обществознания Уроки русского Уроки физики Уроки химии Физика Фипи Химия 2019 © Все права защищены. Карта сайта

Формулы площади и программы для расчета площадей

Формулы площади треугольника

Формулы площади квадрата:

Формула площади прямоугольника:

Формула площади параллелограмма:

Формула площади трапеции:

Формулы площади ромба:

Формула площади круга:

Формула площади эллипса:

Все формулы по геометрии. Задача в3: площади фигур

Геометрия на егэ по математике

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Формулы для площадей четырехугольников

Вывод формул для площадей четырехугольников

Формулы площади треугольника

Формулы площади треугольника

Через основание и высоту

Через две стороны и угол

Формула Герона

Через радиус вписанной окружности

Через радиус описанной окружности

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Формула Герона для прямоугольного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Формула Герона для равнобедренного треугольника

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника

Площадь треугольника

Площадь треугольника по основанию и высоте

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Таблица с формулами площади треугольника

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки

Планиметрия (Геометрия на плоскости) — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Треугольник

Трапеция

Параллелограмм

Квадрат

Ромб и прямоугольник

Произвольные фигуры

Многоугольники

Окружность

Урок 22. формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности — Геометрия — 9 класс

Формулы площади

Площадь Формулы

Примечание: «ab» означает «а» умножить на «б». «a

Будьте осторожны !! Количество единиц. Используйте то же самое единиц для всех измерений. Примеры

6.5: Формулы площади, площади поверхности и объема

Формулы площади

Формулы площади поверхности

Формулы объема

Партнерская деятельность 1

Дополнительный курс: Методика обучения математике

. Найдите область из 16 популярных фигур!

Что такое площадь в математике? Определение площади