Демоверсия по математике 2018: Демоверсия ЕГЭ 2018 по математике

Содержание

Демоверсия ВПР 2018 по математике. 4 класс

Новая демоверсия 2019 - 4vpr.ru/4-klass/225-demoversiya-vpr-2019-po-matematike-v-4-klasse.html

Образец проверочной работы для четвероклассников с описанием.

Проведение работы - 24 апреля 2018 года.

На выполнение работы по математике даётся 45 минут. Работа содержит 11 заданий.

Скачать демоверсию: demo-4-matematika-2018.pdf
Скачать описание: opisanie-4-matematika-2018.pdf

Задачи демоверсии ВПР













Ответы

Подробнее о типах заданий

В заданиях 1, 2, 7 проверяется умение выполнять арифметические действия с числами и числовыми выражениями.

В частности, задание 1 проверяет умение выполнять сложение, вычитание, умножение и деление однозначных, двузначных и трехзначных чисел в случаях, сводимых к действиям в пределах 100 (в том числе с нулем и числом 1).

Задание 2 проверяет умение вычислять значение числового выражения, соблюдая при этом порядок действий. Заданием 7 контролируется умение выполнять письменно действия с многозначными числами (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа в пределах 10 000).

Выполнение заданий 3 и 8 предполагает использование начальных математических знаний для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, для оценки количественных и пространственных отношений предметов, процессов, явлений. Так, задания 3 и 8 поверяют умение решать арифметическим способом (в одно-два действия) учебные задачи и задачи, связанные с повседневной жизнью.

Задание 4 выявляет умение читать, записывать и сравнивать величины (время), используя основные единицы измерения величин и соотношения между ними.

Умение решать текстовые задачи в три-четыре действия проверяется заданием 8. При этом в задании 8 необходимо выполнить действия, связанные с использованием основных единиц измерения величин (длина, вес).

Умение исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры проверяется заданием 5. Пункт 1 задания предполагает вычисление периметра прямоугольника и квадрата, площади прямоугольника и квадрата. Пункт 2 задания связан с построением геометрических фигур с заданными измерениями (отрезок, квадрат, прямоугольник) с помощью линейки, угольника.

В задании 6 проверяется умение работать с таблицами, с емами, графиками, диаграммами, анализировать и интерпретировать данные. Задание предполагает чтение и анализ несложных готовых таблиц. Овладение основами логического и алгоритмического мышления контролируется заданиями 9 и 11. Задание 9 связано с интерпретацией информации (объяснять, сравнивать и обобщать данные, делать выводы и прогнозы). Задание 11 требует умения решать текстовые задачи в три-четыре действия.

Овладение основами пространственного воображения выявляется заданием 10. Оно предполагает описание взаимного расположения предметов в пространстве и на плоскости.

Источник: fioco.ru

Демоверсия ЕГЭ 2018 по математике от ФИПИ

Спецификация
контрольных измерительных материалов
для проведения в 2018 году единого государственного экзамена
по МАТЕМАТИКЕ (профильный уровень)

1. Назначение контрольных измерительных материалов

Контрольные измерительные материалы (КИМ) позволяют установить уровень освоения выпускниками Федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования.

Результаты единого государственного экзамена по математике признаются общеобразовательными организациями, в которых реализуются образовательные программы среднего (полного) общего образования, как результаты государственной (итоговой) аттестации, а образовательными учреждениями среднего профессионального образования и образовательными учреждениями высшего профессионального образования как результаты вступительных испытаний по математике.

2. Документы, определяющие содержание контрольных измерительных материалов

Содержание экзаменационной работы определяется на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 

«Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).

3. Подходы к отбору содержания, разработке структуры контрольных измерительных материалов

Представленная модель экзаменационной работы по математике (кодификаторы элементов содержания и требований для составления КИМ, демонстрационный вариант, система оценивания экзаменационной работы) сохраняет преемственность с экзаменационной моделью прошлых лет в тематике, примерном содержании и уровне сложности заданий. Однако по сравнению с моделью 2015 г. имеются изменения. В целях оптимизации структуры варианта в условиях перехода к двухуровневому экзамену из первой части исключены два задания.

Выполнение заданий части 1 экзаменационной работы (задания 1-8) свидетельствует о наличии общематематических умений, необходимых человеку в современном обществе. Задания этой части проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, умение анализировать информацию, представленную на графиках и в таблицах, использовать простейшие вероятностные  и статистические модели,  ориентироваться  в  простейших геометрических конструкциях. В часть 1 работы включены задания по всем основным разделам курса математики: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического анализа, теория вероятностей и статистика.

В целях эффективного отбора выпускников для продолжения образования в высших учебных заведениях с различными требованиями к уровню математической подготовки абитуриентов, задания части 2 работы проверяют знания на том уровне требований, который традиционно предъявляется вузами с профильным экзаменом по математике. Последние три задания части 2 предназначены для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов.

Сохранена успешно зарекомендовавшая себя в 2010-2015 гг. система оценивания заданий с развернутым ответом. Эта система, продолжившая традиции выпускных и вступительных экзаменов по математике, основывается на следующих принципах.

1.   Возможны различные способы и записи развернутого решения. Главное требование - решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений автора работы. В остальном (метод, форма записи) решение может быть произвольным. Полнота и обоснованность рассуждений оцениваются независимо от выбранного метода решения. При этом оценивается продвижение выпускника в решении задачи, а не недочеты по сравнению с «эталонным» решением.

2.  При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

Настоящая модель экзаменационной работы разработана в следующих предположениях.

1.  Варианты ЕГЭ формируются на основе и с использованием открытого банка заданий по математике.

2.  Допускается проведение экзамена как по данной модели, так и по варианту КИМ базового уровня.

Тексты заданий предлагаемой модели экзаменационной работы в целом соответствуют формулировкам, принятым в учебниках и учебных пособиях, включенным в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых Министерством образования и науки РФ к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ основного общего и среднего общего образования.

...........................

ВПР по математике 5 класс 2018 год

19 апреля проведены всероссийские проверочные работы ВПР по математике в 5 классах.

В 2018 году ВПР по математике для 5 классов проводятся в обязательном порядке.

Доступны новые образцы ВПР по математике 2019 года

ВПР по математике 5 класс варианты с ответами 2018 год 

Демоверсия ВПР 5 класс  по математике 2018 год

Проверочная работа по математике в 5 классах содержит 14 заданий, на выполнение которых дается 60 минут.

В заданиях проверяется владение понятиями «делимость чисел», «обыкновенная дробь», «десятичная дробь», умение находить часть числа и число по его части, находить неизвестный компонент арифметического действия, умение решать текстовые задачи на движение, работу, проценты и задачи практического содержания.

Также у пятиклассников проверяются умения применять полученные знания для решения задач практического характера, извлекать информацию, представленную в таблицах и диаграммах, применять геометрические представления при решении практических задач. Задания повышенного уровня сложности направлены на проверку логического мышления, умения проводить математические рассуждения.

Распределение заданий варианта проверочной работы по содержанию, проверяемым умениям и видам деятельности

В заданиях 1–3 проверяется владение понятиями «делимость чисел», «обыкновенная дробь», «десятичная дробь».

В задании 4 проверяется умение находить часть числа и число по его части.

Заданием 5 контролируется умение находить неизвестный компонент арифметического действия.

В заданиях 6–8 проверяются умения решать текстовые задачи на движение, работу, проценты и задачи практического содержания.

В задании 9 проверяется умение находить значение арифметического выражения с натуральными числами, содержащего скобки.

Заданием 10 контролируется умение применять полученные знания для решения задач практического характера. Выполнение данного задания требует построения алгоритма решения и реализации построенного алгоритма.

В задании 11 проверяется умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах.

Задание 12 направлено на проверку умения применять геометрические представления при решении практических задач, а также на проверку навыков геометрических построений.

Заданием 13 проверяется развитие пространственных представлений.

Задание 14 является заданием повышенного уровня сложности и направлено на проверку логического мышления, умения проводить математические рассуждения.

Успешное выполнение обучающимися заданий 13 и 14 в совокупности с высокими результатами по остальным заданиям свидетельствует о целесообразности построения индивидуальных образовательных траекторий для обучающихся в целях развития их математических способностей.

 Обучающимся, набравшим 19–20 баллов, по решению ОО может быть выставлено две отметки «5». Кроме того, рекомендуется обеспечить возможности для развития математических способностей у таких обучающихся.

Смотрите также:

Демоверсии и спецификации работ по оценке уровня образовательных достижений обучающихся (итоговый контроль)

Биология

5 класс                    Демоверсия и спецификация

6 класс                    Демоверсия и спецификация    

7 класс                    Демоверсия и спецификация

8 класс                    Демоверсия и спецификация

10 класс                  Демоверсия и спецификация базовый уровень

10 класс                  Демоверсия и спецификация профильный уровень

История                      

5 класс                    Демоверсия и спецификация

6 класс                    Демоверсия и спецификация

7 класс                    Демоверсия и спецификация

8 класс                    Демоверсия и спецификация

Математика           

5 класс                    Демоверсия и спецификация

6 класс                    Демоверсия и спецификация

8 класс                    Демоверсия и спецификация

10 класс                  Демоверсии

Обществознание   

8 класс                    Демоверсия и спецификация

10 класс                  Демоверсия и спецификация

Русский язык        

5 класс                   Демоверсия

6 класс                   Демоверсия

7 класс                   Демоверсия

8 класс                   Демоверсия

10 класс                 Демоверсия базовый уровень

10 класс                 Демоверсия профильный уровень

Физика                  

8 класс                   Демоверсия и спецификация

10 класс                 Демоверсия и спецификация базовый уровень

10 класс                 Демоверсия и спецификация профильный уровень

Химия                  

8 класс                   Демоверсия и спецификация

10 класс                 Демоверсия и спецификация базовый уровень

10 класс                 Демоверсия и спецификация профильный уровень

7 классных занятий по математике, которые сделают математику увлекательной и увлекательной

Вернуться к статьям Веселые практические математические игры - отличный способ прояснить первые математические концепции и заинтересовать учащихся.

Представление математических игр в классе - отличный способ сделать обучение интересным, увлекательным и мотивирующим для молодых учеников.

И самое лучшее в раннем начале (с детского сада до 2 класса) - это то, что это помогает вашим ученикам с раннего возраста развить положительное отношение к математике, настраивая их на успешное академическое будущее.

Вот несколько увлекательных заданий по математике, которые заставят ваших учеников делать больше.

Математическое бинго

Эта математическая игра обязательно станет любимой среди ваших учеников. Вы можете выбрать любой навык, который хотите проверить, например сложение, вычитание или последовательность чисел. Игра работает так же, как и в обычном бинго, за исключением того, что ученики должны решать математические задачи, чтобы знать, какое число отметить на своем листе.

Для подготовки составьте список из 25 математических задач (например,грамм. 2 + 1, 3–0 или 2, 4, 6, _). Запишите ответы на том же листе бумаги.

Создавайте свои собственные карты бинго 5x5 или создавайте их онлайн. Наугад запишите ответы на карточках, используя решения из вашего списка. У каждого учащегося должна быть карта бинго. Вы можете ламинировать карточки, чтобы использовать их в следующий раз, и попросите учащихся положить монеты или камни, чтобы отметить свои ответы.

Сделать часы из бумажной тарелки

В этом году ваши ученики учатся определять время? Это практическое занятие по ремеслу - отличный способ попрактиковаться в этом важном навыке.

Начните с бумажной тарелки и сделайте небольшое отверстие в центре. Студенты должны писать числа в правильных местах. Затем, используя цветную бумагу, они могут обрезать стрелки часов до нужного размера и закрепить их шплинтом из центра. Вы даже можете использовать вторую тарелку (другого цвета), чтобы учащиеся записывали протокол. Приклейте вторую пластину ко дну первой так, чтобы получился ободок.

Угадай вес

Дети любят играть в угадайку, и когда дело доходит до того, тяжелое или легкое, их наверняка ждет несколько сюрпризов.

Соберите несколько предметов и разложите их на столе. Поочередно попросите учащихся угадать вес каждого элемента и записать свои прогнозы в один столбец на странице (вы также можете создать простой шаблон для этого). Используя кухонные весы, предложите учащимся взвесить каждый предмет и записать правильные ответы во втором столбце. Вы также можете добавить столбец между ними и передавать каждый предмет по классу, чтобы учащиеся могли угадать вес, держа каждый предмет в руках.

Классики по математике

Эта игра - отличный способ вывести ваших учеников на улицу в хороший солнечный день.С помощью мелка нарисуйте на тротуаре сетку в классиках, имитирующую схему калькулятора. Попросите учащихся выстроиться в линию и по очереди предложите им простую операцию (например, 2 + 3, 5–0). Учащиеся должны по очереди переходить к каждому элементу уравнения в правильном порядке и наконец найти ответ.

В другой игре вы можете набрать номер и попросить учащихся выполнить любое уравнение, равное этому числу. В качестве забавного поворота попросите учащихся запрыгнуть на одну ногу для нечетных чисел и на две ноги для четных.

Математика в классиках - это увлекательное занятие, которое помогает студентам практиковать простые операции.

Фракции пиццы

Дроби могут быть непростыми, поэтому это упражнение действительно может помочь учащимся визуализировать ключевые концепции. Создайте инструкцию с пятью разными дробями на каждой (вы можете создать несколько, чтобы разные ученики получали разные наборы). Студенты должны создать пиццу (используя плотную бумагу или даже внутреннюю часть пустой коробки для пиццы) и украсить начинку, чтобы представить каждую фракцию.

Например, если у них есть четверть (четвертая), они должны покрыть одну четверть пиццы определенным ингредиентом (например, грибами или пепперони).

"Длительная" охота за мусором

Разделите учащихся на группы и дайте каждой группе список измерений и измерительный инструмент (например, линейку, ленту, вращающееся колесо). Попросите учащихся найти предметы, длина которых в точности соответствует тому, что они перечислили. Для младших школьников, которые еще не знакомы с измерением, нарисуйте на листе различные линии и попросите их найти предметы точно такой же длины.

Убедитесь, что вы подготовили предметы заранее и поместили их в безопасное и видимое место. Это задание можно выполнять вне дома или в классе.

Обзор и график

Попросите каждого ученика придумать вопрос, по которому он хотел бы опросить своих одноклассников. Например, они могут спросить своих одноклассников, какое у них любимое животное - собака, обезьяна, свинья или курица. Дайте ученикам время прогуляться по классу, опрашивать друг друга и записывать свои данные.

Когда ученики соберут достаточно данных, попросите их представить свои результаты, построив гистограмму, используя кубики, блоки или конструкторы Lego. Они могут использовать стикеры или кусочки бумаги для наклеек над каждой полосой. Сделайте снимок графика каждого ученика, который позже вы сможете распечатать, чтобы создать коллаж класса для отображения.

Ищете новые способы сделать элементарную математику интересной? Mathseeds - это основанная на исследованиях интерактивная математическая программа, специально разработанная для учащихся K – 2 классов.Mathseeds, созданный высококвалифицированной командой учителей начальных классов, предлагает уроки для самостоятельного изучения, веселые игры, автоматизированные отчеты и ряд обучающих инструментов, которые помогут вашим ученикам начальных классов математики добиться успеха. Подпишитесь на бесплатную пробную версию сегодня.

Микаэль Вейдемо-Йоханссон | индекс

Микаэль Вейдемо-Йоханссон (произносится как Майкл Вей-демо Йоханссон).

По состоянию на осенний семестр 2016 года я доцент кафедры науки о данных на математическом факультете CUNY Колледж Статен-Айленда.

Если вы студент, используйте [email protected] . По всем остальным вопросам обращайтесь по адресу [email protected] . Мой офис в колледже CUNY на Статен-Айленде, кампус Уиллоубрук, - 1S-208. Я предпочитаю связаться по электронной почте, а не по телефону.

Моя основная область интересов - прикладная алгебраическая топология и анализ топологических данных: как вычислить форму набора данных и как использовать эту форму для понимания лежащих в основе данных.

Большая коллекция слайдов лекций, письменных работ и др. информацию можно найти на сайте моего резюме.

Я помог создать несколько пакетов программного обеспечения для постоянной гомологии, последний из которых - JavaPlex.

Я председатель координационного комитета серии конференций ATMCS.

Среди моих многочисленных побочных проектов перечисление возможных узловых точек. В качестве дополнения к этой статье я написал веб-страницу с генератором случайных узлов.

Весна 2021 г.

  • MTh213: Введение в вероятность и статистику с компьютерными приложениями

Осень 2020

  • HON223: Семинар Маколея по науке и технологиям, Нью-Йорк

Весна 2020

Осень 2019

  • HON223: Семинар Маколея по науке и технологиям, Нью-Йорк

Весна 2019

Осень 2018

Весна 2018

Осень 2017

Весна 2017

Осень 2016

Я испытываю постоянный интерес к математическому искусству, особенно к использованию лазерных резаков, 3D-принтеров и других современных методов мелкосерийного производства.

Я выставлялся на Joint Mathematics Meetings 2020.

Я выставлялся в групповой выставке «Математическая красота» в галерее AAAS.

Я выставлялся на Joint Mathematics Meetings 2019.

Я выставлялся и читал приглашенную лекцию на Bridges Mathematical Art Conference 2018.

Я выставлялся на Joint Mathematics Meetings 2012.

Я помогаю основать сообщество Illustrating Mathematics. В настоящее время лучшее место, чтобы познакомиться с нами, - это наша вики.

Добро пожаловать | Математика

Algebra Nation - это динамический онлайн-ресурс (и печатная рабочая тетрадь), который помогает студентам овладеть алгеброй 1 - вводным математическим курсом, который имеет значение для успеваемости учащихся в средней / старшей школе и за ее пределами, а также тот, который слишком много для американских средних / старших классов. студенты не справляются. Algebra Nation обеспечивает круглосуточный доступ к высококачественным обучающим видео, рабочим тетрадям, инструментам для совместного обучения, а также к адаптивным оценкам и поддержке.Чтобы гарантировать, что эти материалы охватывают все концепции, которые студенты должны освоить, чтобы преуспеть в алгебре 1, мы полностью настраиваем наш контент в соответствии с академическими стандартами каждого из наших отдельных государств-партнеров и работаем с местными университетами, чтобы проверить нашу согласованность для каждого штата.

В настоящее время Algebra Nation предоставляет специализированные ресурсы во Флориде, Миссисипи, Мичигане, Алабаме, Южной Каролине и Нью-Йорке. Чтобы узнать больше о Algebra Nation и о том, как наши специально разработанные ресурсы могут помочь студентам в вашем штате значительно улучшить их успеваемость по алгебре, свяжитесь с нами сегодня, отправив электронное письмо learnmore @ algebranation.com.

В новостях

Флорида Дейли -

Цифровая платформа Math Nation UF расширяется, чтобы помочь большему количеству оценок с помощью Microsoft

Центр обучения Lastinger Университета Флориды объявил на прошлой неделе, что Microsoft США предоставила почти 1 миллион долларов в качестве финансирования для улучшения своей цифровой платформы Math Nation, которая также предназначена для учащихся начальных классов, готовящихся к средней школе.В ответ на быстрый переход к дистанционному обучению из-за COVID-19, платформа была сделана бесплатной для любой школы страны через […]

Читать далее

Новости Окичоби -

Math Nation доступна, поскольку школы готовятся к виртуальному обучению из-за COVID-19

ГАЙНСВИЛЛ - Поскольку наша страна принимает меры по минимизации распространения COVID-19, Math Nation, созданная Центром обучения и обучения Ластингер Университета Флориды, стремится поддерживать постоянный доступ к высококачественным портативным учебным материалам по математике для учителя и ученики.Поскольку семьи, школы и округа сталкиваются с трудными решениями относительно удержания учащихся […]

Читать далее

WCJB - 21 апреля 2020 г.

UF Онлайн-обучение и учебная программа бесплатны

«Это время, когда многие из нас чувствуют себя беспомощными и неспособными что-либо делать. Как правило, способ показать, что мы заботимся о нас, - это прийти друг к другу, а когда вы не можете появиться ... предоставление этих ресурсов - это поддержка, которую мы можем предложить, чтобы помочь детям в это действительно сложное время.”

Читать далее Просмотреть всю прессу

Интернет-ресурсы доступны круглосуточно и без выходных

Math Nation - это высокоэффективный динамичный онлайн-ресурс, адаптированный для учителей и студентов. Он включает в себя обучающие видеоролики, интерактивную стену для обсуждения, инструмент для практики и многое другое. Студенты могут получить доступ к Math Nation в Интернете или загрузить бесплатное мобильное приложение Math Nation для помощи по математике на ходу!

COVID-19 Обновление

Math Nation предлагает бесплатный цифровой доступ к нашей онлайн-платформе обучения до 30 июня 2021 года студентам и семьям по всей стране, чтобы улучшить виртуальное и / или гибридное обучение.Если вы заинтересованы в получении доступа, вы можете начать здесь. Если вы находитесь в штатах Флорида, Южная Каролина, Мичиган или Массачусетс, возможно, у вас уже есть доступ через вашу школу, и вы можете продолжить вход в систему. Если вы - школа или округ, заинтересованный в приобретении Math Nation, отправьте электронное письмо на [email protected] для больше информации

Продолжить вход

×

В какую школу ты ходишь?

Если у вашей школы есть доступ к Math Nation, начните печатать и выберите свою школу ниже!

Школа не найдена.

Пожалуйста, напишите по электронной почте

(также можно скачать бесплатное мобильное приложение
путем поиска "Math Nation" в магазине приложений на телефоне / планшете)

×

Еще одна вещь!

Чтобы войти в Math Nation, введите номер студенческого билета и дату своего рождения.

Нужна помощь со входом?
Напишите в справку @ MathNation.com или позвоните по телефону 1-888-608-MATH.

×

Еще одна вещь!

Чтобы войти в Math Nation, введите свой 7-значный ссылочный номер (идентификатор сотрудника) и свою фамилию.

Нужна помощь со входом?
Пожалуйста, напишите на [email protected] или позвоните по телефону 1-888-608-MATH.

×

Добро пожаловать в Math Nation!

Math Nation - это динамический бесплатный математический ресурс, который предоставляет динамические обучающие видео, рабочие тетради и интерактивные занятия для студентов и учителей в Нью-Йорке.Math Nation на 100% соответствует стандартам обучения New York Common Core. Настроить доступ легко и бесплатно! Нажмите здесь, чтобы узнать больше

Если в вашей школе еще нет доступа к Math Nation, не волнуйтесь! Вы можете сразу изучить наши ресурсы.

×

Конференция CBMS 2018 - Главная

Конференция CBMS 2018 - Главная

Региональная конференция NSF / CBMS по математическим наукам


Техасский христианский университет


Форт-Уэрт, Техас
4 - 8 июня 2018 г.

Информация о конференции

Сроки

Запросы о финансовой поддержке: 15 апреля
Комнаты на территории ТЦУ: 1 мая

Главный спикер

Главный преподаватель Дэвид А.Cox , профессор математики Уильяма Дж. Уокера в Амхерстском колледже. Профессор Кокс прочитает 10 часовых лекций.

Профессор Кокс - всемирно известный мастер-толкователь и отмеченный наградами автор нескольких популярных и высоко цитируемых книг по прикладной алгебраической геометрии. Хотя эта область математики восходит, по крайней мере, к 18 веку, современные достижения в доступности компьютеров с большой памятью и параллельной вычислительной мощностью привели к современному возрождению как практических приложений, так и новых вычислительных вопросов.На лекциях профессора Кокса будут обсуждаться исторические разработки в этой области в свете современных перспектив, вплоть до текущих исследований и приложений в таких различных областях, как автоматизированное проектирование, жесткость механических связей и сети химических реакций. Каждая пара лекций профессора Кокса будет развивать выбранную тему, а за ней последует следующая лекция специалиста, которого он лично выбрал, чтобы глубже взглянуть на передовые направления текущих исследований по этой теме. Дополнительные мероприятия конференции помогут участникам развить широкое и глубокое понимание текущих исследовательских проблем, а также предоставят участникам возможность взаимодействовать с лидерами в этой области и друг с другом.

Профессор Кокс будет читать лекции по изучению полиномиальных систем с помощью методов алгебраической геометрии и коммутативной алгебры, включая: 1) историю результатов, лежащих в основе вычислительных методов в алгебраической геометрии и коммутативной алгебре; 2) современные вычислительные подходы к решению полиномиальных систем и последние достижения; и 3) выбор текущих приложений, призванных помочь участникам решить их собственные прикладные проблемы. Конкретные темы пары лекций будут включать теорию исключения, полиномиальные системы в реальном мире, геометрическое моделирование, теорию геометрических ограничений и сети химических реакций.Дополнительные мероприятия конференции будут включать стендовую сессию, демонстрацию программного обеспечения, панельную дискуссию и проблемную сессию, призванную помочь новым исследователям войти в эту область посредством активного участия.

Руководство по лекциям (2018)
Тезисы докладов профессора Кокса (2017)
Слайды выступлений профессора Кокса (2018)

Дополнительные докладчики

Тезисы дополнительных выступлений

Тезисы стендовых докладов

Демонстрационные слайды программного обеспечения

Слайды Джона по альфа-теории
Файл с описанием примеров из демонстрации Джона Бертини
Файлы для примеров Джона
Код Хосе
Слайды Маргарет
Слайды Дэни

Видео

Дэвид Кокс: Введение
Дэвид Кокс Лекция 1: Теория исключения в XVIII и XIX веках
Дэвид Кокс Лекция 2: Теория исключения в XX веке
Карлос Д'Андреа: Теория исключения в XXI веке
Дэвид Кокс Лекция 3: Числовые многочлены через линейную алгебру
Дэвид Кокс Лекция 4: Продолжение гомотопии и приложения
Джон Хауэнштейн: Применение выборки в числовой алгебраической геометрии
Дэвид Кокс Лекция 5: Геометрическое моделирование: геометрия
Дэвид Кокс Лекция 6: Геометрическое моделирование: Алгебра
Хэл Шенк: алгебры Риса , сизигии и вычислительная геометрия
Дэвид Кокс Лекция 7: Геометрия жесткости
Дэвид Кокс Лекция 8: Комбинаторика жесткости
Джессика Сидман: Полиномиальные методы и теория жесткости
Дэвид Кокс Лекция 9: Классическая теория химических реакций
Дэвид Кокс Лекция 10 : Торические динамические системы
Алисия Диккенштейн: Алгебраические методы для e исследование сетей биохимических реакций

Поддержка

Конференция проводится при поддержке гранта Национального научного фонда (DMS-1741730), Колледжа науки и инженерии TCU и Департамента математики TCU.Финансовая поддержка доступна, чтобы помочь отсрочить расходы на проезд и проживание некоторых участников. Такую поддержку можно запросить в регистрационной форме. Запросы о поддержке должны поступать в 15 апреля будет полностью рассмотрено, а решения о финансировании будут объявлены к 1 мая. Особенно рекомендуется подавать заявки на участие в программе для аспирантов, недавних докторов наук и членов недостаточно представленных групп по математике.

Организаторы

Хосе Каррион
Грег Фридман
Эрик Хэнсон
Скотт Ноллет
Efton Park

Местный контакт

Связаться с Грегом Фридманом (отправить электронное письмо) если у вас есть вопросы о конференции или комментарии на этом сайте.

Преподавание математики с помощью концептуальной мотивации и практического обучения

Это практический концептуальный документ, описывающий избранные средства для практического обучения и концептуальной мотивации на всех уровнях математического образования. В нем подробно описан подход, используемый авторами для разработки идей для практиков преподавания математики. В статье показано, что такой подход в математическом образовании, основанный на практическом обучении в сочетании с естественной мотивацией, проистекающей из здравого смысла, является эффективным.Кроме того, стимулирующие вопросы, компьютерный анализ (включая поиск в Интернете) и классические известные задачи являются важными инструментами мотивации в математике, которые особенно полезны в рамках практического обучения. Авторы утверждают, что вся учебная программа по математике K-20 под единым зонтом возможна, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом широком спектре. Этот аргумент подтверждается различными примерами, которые могут быть полезны на практике школьным учителям и преподавателям вузов.Авторы нашли прагматическую причину для практического обучения в рамках математического образования практически на любом этапе академической жизни учащихся.

1. Введение

В настоящее время студентам требуется как познавательный, так и практический опыт на протяжении всего их математического образования, чтобы быть продуктивными гражданами 21 века. Происхождение этого утверждения можно проследить до работ Джона Дьюи, который подчеркивал важность образовательной деятельности, которая включает «развитие любого рода артистических способностей, особых научных способностей, эффективных гражданственности, а также профессиональных и деловых качеств». профессий »([1], с.307). Совсем недавно Биллетт [2], основываясь на своих исследованиях интеграции опыта обучения студентов высших учебных заведений в дисциплинах, связанных с сестринским уходом и аналогичными услугами в поддержку человеческих потребностей, предположил, что «возможно, можно полностью интегрировать практический опыт в совокупность опыта высшего образования, которая способствует развитию прочных и критических профессиональных знаний »(стр. 840). Главный аргумент данной статьи заключается в том, что в контексте математического образования практическое обучение (концепция, представленная в разделе 3) - это сам процесс передачи этого опыта в сочетании с концептуальной мотивацией (термин, введенный в разделе 2) при обучении математике. по всей учебной программе K-20.С этой целью в этом концептуальном документе, основанном на практических методах, подробно описывается подход, использованный авторами для разработки идей для практикующих преподавателей математики, предлагается обзор избранных средств практического обучения в рамках формального континуума математического образования. В определенной степени эта статья продвигает идею обучения на практике [3] в контексте математического образования. Представлены аргументы, подтверждающие ценность практического обучения для всех участвующих лиц (на уровне колледжа, добавление к дуэту студента и преподавателя математики третьего сообщества или университетского профессионала-нематематика) (разделы 2–4).Также рассматривается интеграция компьютерной педагогики подписи (CASP) и нецифровой технологии, а также эффективное опросы с обучением действием (разделы 5 и 6).

Учащиеся могут с радостью получать формальное математическое образование в течение двадцати и более лет, и они могут быть мотивированы повсюду с помощью обширных учебных программ по математике. Практическое обучение в математическом образовании в сочетании с механической теорией переносит математические темы в реальный мир. Естественно, что примеры начального уровня имеют основополагающее значение, и это подкрепляется практическим обучением на вторичном уровне (разделы 4.1.1 и 4.1.2). Открытые проблемы математики часто могут быть представлены учащимся начальных, средних и высших учебных заведений (Раздел 7). Традиционно классические результаты и открытые задачи мотивируют не только студентов, но и самих педагогов. Поскольку необходимы эффективные учителя математики, практическое обучение следует использовать на всех уровнях математического образования, зная, что будущие инструкторы входят в число нынешних учащихся. Конечно, возможность участвовать в открытиях очень мотивирует всех, включая студентов и учителей математики, по крайней мере.

2. Любопытство и мотивация

Хотя необходимость изучения математики в начальной, средней и высшей школе общеизвестна, вопрос о том, как преподавать математику, является спорным. Как более подробно описано в [4] со ссылками на [5–10], разногласия связаны с неоднородностью программ подготовки учителей, разногласиями между формализмом и смыслом между преподавателями математики и различными взглядами на использование технологий. Мы считаем, что надлежащий способ преподавания математики на всех уровнях - это делать это через приложения, а не использовать традиционные лекции, подчеркивая формализм математического аппарата.Реальные приложения поддерживают мотивацию заинтересованных людей в изучении математики. Эту естественную мотивацию можно рассматривать как зависящий от возраста процесс, простирающийся от естественного детского любопытства в начальной школе до истинного интеллектуального любопытства на уровне высшего образования. Независимо от возраста учащихся, любопытство можно рассматривать как мотивацию «приобретать или преобразовывать информацию в обстоятельствах, которые не представляют немедленной адаптивной ценности для такой деятельности» ([11], с. 76). То есть любопытство и мотивация - тесно связанные психологические черты.

Большинство исследований по развитию любознательности касается начального образования. Однако эти исследования могут помочь нам понять, как любопытство превращается в мотивацию стать высококлассным профессионалом. Например, Видлер [12] проводил различие между эпистемическим и перцептивным любопытством, которые проявляются, соответственно, «запросом о знании» и проявляются, например, когда ребенок ломает голову над какой-то научной проблемой, с которой он столкнулся… [и] повышенное внимание дается объектам в ближайшем окружении ребенка, например, когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не на симметричную фигуру на экране »(стр.18). Точно так же взрослые учащиеся на высшем уровне могут быть мотивированы призывом своего учителя математики задать вопросы, касающимся информации, которой они поделились, или их опытом общения с окружающим миром, когда они пытаются интерпретировать «ткань мира… [используя] некоторые причины максимум и минимум »(Эйлер, цит. по [13], с. 121).

Связанный с высшим уровнем, Видлер [14] определил мотивацию достижения как «образец… действий… связанных со стремлением достичь некоторого усвоенного стандарта качества» (стр.67). Есть также взрослые ученики, которые «заинтересованы в совершенстве ради него самого, а не ради вознаграждения, которое оно приносит» ([14], с. 69). Биггс [15] допускает, что внутренняя мотивация в изучении математики связана с «интеллектуальным удовольствием от решения проблем независимо от каких-либо вознаграждений, которые могут быть вовлечены… [предполагая, что] цели глубокого обучения и мотивации достижений в конечном итоге расходятся» (стр. 62). Классическим примером в поддержку этого предположения является решение гипотезы Пуанкаре (столетней давности), выполненное геометром Григорием Перельманом, который после почти десятилетия «глубокого обучения» отказался от нескольких международных наград за свою работу, включая медаль Филдса («Медаль Филдса»). Нобелевская премия ») и (1 миллион долларов) Clay Millennium Prize (https: // www.Claymath.org/).

Поскольку любопытство является источником мотивации к обучению, Мандельброт [16] в пленарной лекции по экспериментальной геометрии и фракталам на 7-м Международном конгрессе по математическому образованию посоветовал аудитории, состоящей в основном из дошкольных преподавателей математики, как сосредоточиться на любопытстве, когда преподавание математики: «Мотивируйте студентов тем, что увлекательно, и надейтесь, что возникающий энтузиазм создаст достаточный импульс, чтобы продвинуть их через то, что не весело, но необходимо» (стр.86). Именно такую ​​мотивацию авторы называют концептуальной мотивацией. В частности, в этой статье термин «мотивация концепции» означает стратегию обучения, с помощью которой, используя любопытство учащихся в качестве стержня, введение новой концепции оправдывается использованием ее в качестве инструмента в приложениях для решения реальных проблем. Например, операция сложения может быть мотивирована необходимостью регистрации увеличения большого количества объектов другой такой величиной, концепция иррационального числа может быть мотивирована необходимостью измерения периметров многоугольных ограждений на плоскости решетки ( называется геодиской на начальном уровне), или концепция интеграла может быть мотивирована необходимостью найти области криволинейных плоских фигур.

Еще один математически значимый инструмент мотивации - конкретность. Согласно Дэвиду Гильберту, математика начинается с постановки задач в контексте конкретных действий, «подсказываемых миром внешних явлений» ([17], с. 440). Мы считаем, что «конкретность» является подходящим синонимом мотивации в отношении математического образования. Сам термин бетон указывает на то, что различные ингредиенты объединяются и синтезируются. Цель изучения математики - конкретизировать как теоретические, так и прикладные понятия.Полезно иметь точное понимание чего-либо. Люди по своей природе хотят иметь «полное» знание определенных вещей. Зная детали и конкретизируя идеи, мы уменьшаем беспокойство, связанное с описанием и использованием этих идей. Конкретность мотивирует все стороны, участвующие в математическом образовании. Даже на административном уровне существует понимание того, что «основная учебная программа FKL [Основы знаний и обучения] предоставит вам возможность изучить множество жизненно важных областей обучения, сделав вас более осведомленными и вовлеченными в понимание проблем, которые глобальные реальности требуют »([18], курсив, добавлено), где мы делаем упор на« реальности ».Это мотивация для всех, поскольку все мы хотели бы использовать математическую теорию или, по крайней мере, увидеть ее применение. Следовательно, мотивация у взрослых учащихся пропорционально выше, чем у детей, которые могут не видеть «полезности» в математике. В Университете Южной Флориды преподавателей определенных курсов (например, последовательности исчисления) просят включить утверждение FKL в свои учебные планы.

До недавнего времени термины «промышленный» и «технический» имели довольно уничижительный оттенок в математическом образовании.Традиционное формальное чтение лекций по-прежнему преобладает в большинстве классных комнат. Однако при изучении математической теории часто используется некоторая «отрасль» или «техника», поэтому эти два понятия не дополняют друг друга. Трудно выделить часть огромного объема учебных программ по математике K-20, которая исключает использование теории или возможного практического применения. Кроме того, теория неявно включена в образование в области STEM из-за ее научного компонента.

В контексте подготовки учителей математики акцент на приложениях дает будущим учителям очень важную способность наглядно демонстрировать математические идеи.Затем эту способность можно передать своим ученикам. Еще на уровне дошкольного образования можно понять, что математические знания возникают из необходимости разрешать реальные жизненные ситуации разной степени сложности. Принцип учебной программы, выдвинутый Национальным советом учителей математики [19], включает в себя представление о том, что всем учащимся на этом уровне следует предлагать опыт, «чтобы увидеть, что математика имеет мощное применение в моделировании и прогнозировании явлений реального мира» (стр. 15 -16). Этот акцент на приложениях выходит за рамки дошкольного уровня.Действительно, математика значительно развивается и проникает во все сферы жизни, делая университетское математическое образование необходимым, но спорным элементом современной культуры.

3. Обучение действиям

Многие люди прагматичны, делая то, что работает. Когда что-то не работает, человек вынужден задавать вопросы, как заставить это работать. Начиная с 1940-х годов Реджинальд Реванс начал разрабатывать концепцию обучения действием, метод решения проблем, характеризующийся действием и размышлением о результатах, в качестве педагогической педагогики для развития бизнеса и решения проблем [20, 21].С тех пор обучение действием стало описывать различные формы, которые оно может принимать, и контексты, в которых его можно наблюдать. В контексте достижения высокого качества университетского обучения «целью практического обучения является обучение отдельного учителя» ([22], с. 7). В общем контексте повышения профессиональной результативности Дилворт [23] утверждает, что практическое обучение начинается с исследования реальной проблемы, так что независимо от того, является ли проблема «тактической или стратегической… [процесс] обучения является стратегическим» (стр.36). Практическое обучение в математическом образовании можно определить как обучение через индивидуальную работу учащихся над реальной проблемой с последующим размышлением над этой работой. В большинстве случаев эту работу поддерживает «более знающий друг».

В математическом образовании практическое обучение, зародившееся в раннем детстве, имеет естественный уровень зрелости. Прежде чем мы займемся повседневными обязанностями, связанными с взрослой жизнью, мы можем свободно рассмотреть практическое обучение в игровой форме.Наша страсть к играм и изучению выигрышных стратегий переносится в более позднюю жизнь как средство развлечения и как инструмент для обучения следующего поколения детей. Мотивация к практическому обучению в математическом образовании постепенно меняется от выигрыша в играх к успеху в реальных предприятиях. Залог успеха - умение решать проблемы. Исследования показывают, что любопытство можно охарактеризовать как волнение по поводу необычных наблюдений и неожиданных явлений [24].Кроме того, «то, что будет интересно детям, во многом зависит от природы окружающего их мира и их предыдущего опыта» ([12], стр. 33). Учащиеся на всех уровнях образования стремятся к конкретности, естественно интересуются реальным миром и пользуются преимуществами практического обучения, особенно когда они неоднократно используют его в математическом образовании. В частности, в программе послесреднего математического образования для нематематических специальностей проблемы должны иметь применимость к реальности. Интересно, что мы, кажется, возвращаемся к «играм», когда имеем дело с чистой теорией, поскольку мы можем искать абстрактное решение ради самого решения.

Макс Вертхаймер, один из основателей гештальт-психологии, утверждал, что для многих детей «имеет большое значение, есть ли реальный смысл вообще ставить проблему» ([25], с. 273). Он привел пример 9-летней девочки, которая не училась в школе. В частности, она не могла решать простые задачи, требующие использования элементарной арифметики. Однако, когда ей давали проблему, которая возникла из конкретной ситуации, с которой она была знакома и решение которой «требовалось ситуацией, она не сталкивалась с необычными трудностями, часто проявляя превосходный смысл» ([25], с.273-274). Другими словами, лучшая стратегия развития у студентов интереса к предмету - это сосредоточить преподавание на темах, которые находятся в пределах их интересов. Как сказал Уильям Джеймс, классик американской психологии, который первым применил это к обучению учителей, «Любой объект, не интересный сам по себе, может стать интересным, если он станет ассоциироваться с объектом, к которому интерес уже существует» ( [26], стр. 62). Интерес также можно использовать для развития мотивации в образовании, поскольку он «относится к модели выбора среди альтернатив - моделей, которые демонстрируют некоторую стабильность во времени и которые, по-видимому, не являются результатом внешнего давления» ([27], с.132).

Отражение так же важно, как и действие. Способность размышлять о выполняемых действиях составляет так называемый внутренний контроль, когда люди считают себя ответственными за собственное поведение, что отличается от внешнего контроля, когда они видят, что другие или обстоятельства являются основной мотивацией индивидуального поведения [28 ]. Процесс практического обучения при решении реальной проблемы обычно начинается с трех основных вопросов. Мы спрашиваем: во-первых, что должно происходить? Во-вторых, что нам мешает это сделать? В-третьих, что мы можем сделать?

Практическое обучение (часто называемое в академических кругах практическим исследованием [29, 30]) традиционно использовалось для обучения управлению бизнесом и социальным наукам [31, 32], проведению научных исследований [33] и повышению квалификации учителей [22, 34–36].В математическом образовании [4, 37] практическое обучение как метод обучения было принято как педагогика, ориентированная на самостоятельное решение реальных проблем с последующей рефлексией. Обучение - это основная цель, даже если решение проблем реально и важно. Обучение облегчается за счет отказа от устоявшихся мировоззрений, тем самым создавая несколько незнакомую обстановку для проблемы. Теперь у нас есть методика практического обучения с использованием технологий для преподавания математики через реальные проблемы под руководством инструкторов STEM и специалистов сообщества, использующих компонент проекта [4].Цифровые технологии видны, по крайней мере, в рамках необходимой типологии рукописей. Конечно, он может пойти намного дальше и включать в себя важную утилиту (например, числовой интегратор, электронную таблицу или специализированное программное обеспечение). Наконец, действие действие обучение (берущее начало в бизнес-образовании [20, 21]) обеспечивает эффективный и четкий подход к математическому образованию. Этот подход был разработан на основе различных (и, как упоминалось в начале раздела 2, иногда спорных) активных методов обучения, которые повсеместно используются преподавателями математики в различных контекстах обучения, ориентированных на конструктивизм и ориентированных на учащихся [38–41 ].

4. Практическое обучение на практике математического образования

Наша команда USF-SUNY [4] установила, что практическое обучение является положительной педагогической чертой на всех уровнях обучения (K-20). Кто-то может возразить, что, поскольку многие люди учатся на протяжении всей жизни, некоторые из нас могут использовать практическое обучение (возможно, в качестве преподавателей математики) за пределами K-20. Наша мотивация к практическому изучению математики может дать молодым ученикам возможность познакомиться с интересным, что известно о математике. Основные концепции могут быть довольно сложными, и студенты могут вернуться к идеям и развить их дальше по мере накопления опыта.Примеры практического обучения представлены в подразделах ниже по уровням обучения. Эти примеры даны с акцентом на конкретность, которая, в свою очередь, мотивирует учащихся. Использование компонента проекта делает модель зонтика математики «один + два» доступной на высшем уровне (раздел 4.2.2).

4.1. Мотивация и обучение действиям на уровне начальной и средней школы

На уровне начальной школы математические концепции могут быть мотивированы с помощью надлежащим образом разработанных практических занятий, подкрепленных манипулятивными материалами.Такие действия должны объединять богатые математические идеи со знакомыми физическими инструментами. Как упоминалось выше, важным аспектом обучения действием является его ориентация на игру. Педагогическая характеристика игры в контексте обучения математике с помощью инструментов - это «нестандартное мышление», то есть то, что в присутствии учителя как «более знающего другого» открывает окно для будущего обучения учащихся. Тем не менее, отсутствие опоры можно наблюдать, как выразился Видлер [12], «когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не на симметричную фигуру» (стр.18) интуитивно, через любопытство восприятия, осознавая, что устойчивость фигуры зависит от ее положения. То есть перцептивное любопытство в сочетании с творческим мышлением часто выходит за рамки деятельности, предназначенной для одного уровня, и сливается с изучением более продвинутых идей на более высоком когнитивном уровне. В следующих двух разделах показано, как использование двусторонних счетчиков и квадратных плиток, физических инструментов, обычно используемых в настоящее время в классе элементарной математики, может поддерживать, соответственно, введение чисел Фибоначчи, что позволяет с помощью вычислений открыть окно. к концепции золотого сечения и связать построение прямоугольников (из плиток) с обсуждением особых числовых соотношений между их периметрами и площадями.В обоих случаях переход от начального уровня к второстепенному может быть облегчен за счет использования цифровых технологий. То есть математические идеи, рожденные в контексте практического обучения с помощью физических инструментов, могут быть расширены на более высокий уровень с помощью вычислительных экспериментов, поддерживаемых цифровыми инструментами.

4.1.1. От двусторонних счетчиков к золотому сечению посредством обучения действием

Рассмотрим следующий сценарий обучения действиям:

Определите количество различных вариантов расположения одного, двух, трех, четырех и т. Д. На двусторонних (красных / желтых) счетчиках в котором не появляются две красные фишки подряд.

Экспериментально можно сделать вывод, что один счетчик можно расположить двумя способами, два счетчика - тремя способами, три счетчика - пятью и четыре счетчика - восемью (рис. 1). В частности, на рисунке 1 показано, что все комбинации с четырьмя счетчиками можно подсчитать путем рекурсивного сложения 3 + 5 = 8, поскольку их можно разделить на две группы, так что в первой группе (с мощностью три) крайний правый счетчик красный, а во второй группе (мощность пять) крайний правый жетон желтый.Реализуя эту идею под руководством учителя, молодой ученик может обнаружить, что следующая итерация (пять счетчиков - 13 способов, так как 13 = 5 + 8) согласуется с описанием на рисунке 1. Увеличение для единообразия последовательность 2, 3, 5, 8, 13 двумя единицами (при условии, что пустой набор счетчиков имеет только одно расположение) позволяет описать завершение вышеупомянутого сценария обучения действиям (то есть размышления о результатах воздействия на конкретный материалов согласно определенному правилу) через последовательность 1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 13,…, (в которой первые два числа равны единице, а каждое число, начиная с третьего, является суммой два предыдущих числа) - одна из самых известных числовых последовательностей во всей математике, названная в честь Фибоначчи (1270–1350), самого выдающегося итальянского математика своего времени.В рамках размышления над сценарием юным студентам можно сказать, что, какими бы эзотерическими ни казались числа Фибоначчи, они, вероятно, столкнутся с ними снова.


Действительно, на вторичном уровне числа Фибоначчи можно исследовать в терминах отношений двух последовательных членов. С этой целью можно использовать электронную таблицу, чтобы продемонстрировать, что отношения приближаются к числу 1,61803 по мере увеличения n , независимо от первых двух членов последовательности, и. Точное значение, число, известное как золотое сечение.Это пример того, как использование компьютера может предоставить ученикам и их учителям неформальный мост, соединяющий более низкий когнитивный уровень с более высоким. Без простоты вычисления соотношений двух последовательных чисел Фибоначчи, представленных в электронной таблице, было бы гораздо труднее связать простую обучающую деятельность по конкретному расположению двусторонних счетчиков с когнитивно более сложной идеей сходимости отношения к числу, известному с древности как золотое сечение.Золотое сечение, мотивируемое компьютером, может быть обнаружено в контексте изучения специальной числовой последовательности, описывающей задачу обучения действиям, подходящую для маленьких детей. Другими словами, компьютер может естественным образом открыть окно для будущего практического обучения учащихся (см. Примечание об исследовании болезни Альцгеймера в Разделе 6 ниже).

В связи с использованием двусторонних счетчиков в контексте чисел Фибоначчи следует отметить, что многие кандидаты в учителя считают, что конкретные материалы можно использовать только на элементарном уровне, а выше этого уровня они бесполезны.Имея это в виду, авторы хотели бы утверждать, что, как и в случае с числами Фибоначчи, конкретные материалы могут использоваться для введения довольно сложных понятий, чтобы добавить фактор конкретности в изучение абстрактных идей. В частности, двусторонние счетчики могут служить воплощением двоичной арифметики во вводном курсе информатики. Более конкретно, если записать первые 16 натуральных чисел в двоичной форме, то при поддержке двусторонних счетчиков можно увидеть следующее.Есть два однозначных числа, в которых в ряду не появляются никакие единицы (без красных жетонов подряд), три двузначных числа без единиц, стоящих подряд, пять трехзначных чисел, в которых в ряду не появляются никакие единицы, и восемь четырехзначных чисел, в которых подряд не появляются единицы. Числа 2, 3, 5 и 8 - это последовательные числа Фибоначчи, которые, таким образом, могут быть использованы в качестве фрагментов предыдущих знаний учащихся при разработке новых идей посредством практического обучения. Более подробные исследования вторичного (и третичного) уровня с числами Фибоначчи см. В [43].

Очевидно, что мотивация связана с ожидаемым будущим успехом как следствие подросткового возраста. Теперь студенты стремятся к большей конкретизации понятий. Когда учащиеся средней школы имеют сильную мотивацию к практическому обучению, они могут создавать проекты уровня бакалавриата, как описано для студентов в Разделе 4.2 ниже. Постепенное ощущение «серьезности» сопровождает «зрелую» проектную работу. Прекрасные примеры практического обучения учащихся средних школ, выступающих на уровне колледжа, можно увидеть в проекте Publix Лорен Вудбридж «Pallet Physics» ([44], v.3, 2 (8)), проект квантовых вычислений Бо Муна «Проблема суммы подмножеств: уменьшение временной сложности NP-полноты с помощью квантового поиска» ([44], т. 4, 2 (2)), ракетный проект Логана Уайта « Моделирование полета ракеты в приближении низкого трения »([44], v. 6, 1 (5)), и проект Рошана Вармана по спиновым вычислениям« Spintronic Circuits: The Building Blocks of Spin-based Computing »([44] , т. 7, 1 (1)).

4.1.2. Креативность и обучение действиям

Люди творческие, когда они мотивированы, и можно проявить больше творческих способностей после общей, формирующей конкретизации идей.Важно рано распознавать творческие способности студентов. Педагоги рассматривают творчество как «один из важнейших навыков 21 века… жизненно важный для индивидуального и организационного успеха» ([45], стр. 1). Способность учителей распознавать творческие способности своих учеников, которые могут быть скрыты за их незрелой успеваемостью в классе, имеет решающее значение для успешного преподавания и продуктивного обучения. Если скрытые творческие способности учеников не признаются и не поддерживаются учителем, они, скорее всего, останутся бездействующими, а то и исчезнут [46].Следующая история, взятая из класса второго класса, поддерживает идею о том, что учителя являются главными хранителями раскрытия творческого потенциала маленьких детей.

Кандидат в учителя начальных классов, работая индивидуально с учеником второго класса (под руководством классного руководителя), попросил его построить все возможные прямоугольники из десяти квадратных плиток (настоящая проблема для второго класса), ожидая, что ученик Постройте два прямоугольника, 1 на 10 и 2 на 5, каждый из которых представляет собой факт умножения числа 10, что будет изучено позже (в третьем классе).Кандидат в учителя был удивлен, увидев три прямоугольника, как показано на рисунке 2. Большое количество обучающих идей для практического обучения может быть связано с принятием прямоугольника с отверстием, которое демонстрирует скрытые творческие способности ребенка. Некоторые идеи могут быть связаны со вторичной математикой. Чтобы уточнить, подумайте о том, чтобы изучить взаимосвязь между площадью и периметром этого прямоугольника с отверстием, считая как внешний, так и внутренний периметры (размышление под руководством учителя о действиях ученика с использованием конкретных материалов).Видно, что площадь составляет 10 квадратных единиц, а периметр - 20 погонных единиц. То есть численно периметр в два раза больше площади. Сравнение площадей с периметрами прямоугольников известно еще со времен Пифагора [47]. В режиме обучения действием можно исследовать следующую ситуацию: существуют ли другие прямоугольники с прямоугольными отверстиями, у которых периметр в два раза больше площади? С этой целью на уровне средней школы можно ввести четыре переменные: a , b , c и d , как длину и ширину большего и меньшего прямоугольников.Отсюда следует соотношение ab - cd = a + b + c + d . Используя Wolfram Alpha - вычислительную систему знаний, доступную бесплатно в Интернете, - можно попросить программу решить указанное выше уравнение над положительными целыми числами. Результат будет следующим:


Если задать a = b = 3, можно выбрать c = 1, откуда d = 1. Это дает нам квадрат с квадратным отверстием (рисунок 3).Этот пример показывает, как знание алгебры и возможности использования технологий могут помочь практикующим учителям в работе с маленькими детьми по развитию критического мышления и развитию творческих способностей. То есть, опять же, технологии служат неформальным мостом, мотивирующим связующим звеном между двумя разными классами учебной программы по математике. Принимая во внимание, что учитель может не обязательно видеть богатую среду обучения за нетрадиционным ответом ученика, сам факт того, что такой ответ был принят и похвален, будет мотивировать этого и других учеников продолжать мыслить нестандартно.


В заключение этого раздела отметим, что тройку, ученика начальной школы, классного учителя и кандидата в учителя, можно сравнить в контексте практического обучения с учеником бакалавриата, математическим факультетом и предметом. Area Advisor, как описано ниже в Разделе 4.2.2. Сходство этих двух сред (с разницей в несколько лет) заключается в двойном наблюдении за учеником, изучающим математику, дуэтом «более знающих других».

4.2. Бакалавриат математики и практического обучения
4.2.1. Понимание абстрактности с обучением на практике

Язык математики абстрактен с большей абстракцией на более высоких уровнях. Традиционно университетская математика для нематематических специальностей преподается, дистанцируясь от реальности, без связи с профессиональными интересами студентов. В этом контексте многие будущие профессионалы не видят важности математики в своих перспективных областях [48]. Более того, абстрактность в обучении часто приводит к проблемам в общении.Как отмечено в [49], в связи с преподаванием инженерной математики могут быть несоответствия между терминологией и идеями, используемыми математиком-преподавателем, и их интерпретацией студентами. Из-за того, что математическое образование на университетском уровне слишком теоретическое, оно становится неэффективным: нематематические специальности изучают предмет «потому что они должны». Альтернативный подход к математическому образованию основан на хорошо известном и прагматичном понятии «обучение на практике» (напр.ж., [50–54]), что делает возможным конструктивное взаимодействие чистых и прикладных идей. Этот подход имеет большой потенциал для внедрения экспериментального обучения в математический анализ - базовую последовательность курсов в учебной программе по высшей математике.

4.2.2. Математика Umbrella Model

Вся университетская учебная программа по математике для нематематических специальностей может извлечь выгоду из практического обучения. Было обнаружено, что, особенно на университетском уровне, следует придерживаться «середины пути» в отношении относительных весов, придаваемых теории и применению.Математическая зонтичная группа (MUG) Университета Южной Флориды (USF), созданная Аркадием Гриншпаном в 1999 году [55], занимает эту «позицию». Он устраняет разрыв между математическим образованием и приложениями, одновременно вдохновляя студентов STEM на приобретение математических навыков, необходимых для успеха в их соответствующих дисциплинах. Эта инициатива привела к разработке модели «Зонтик математики» в образовании STEM, включающей сотни междисциплинарных (прикладных математических) студенческих проектов.За десять лет, прошедших с момента сообщения о том, что программа MUG была первой организацией, которая содействовала персонализированным математическим проектам, при поддержке консультантов по математике и предметным областям, для обучения нематематических дисциплин студентам STEM [56], MUG оставалась уникальной в этом отношении. Каждый проект выполняется под двойным контролем: консультант по математике (математический факультет) и консультант по предметной области (университетский или общественный специалист), который обычно предлагает проблему [4, 48, 55, 57–59].

Отличительной чертой MUG является уловка, заключающаяся в соединении одного студента бакалавриата с как минимум двумя специалистами. Ситуация проиллюстрирована на Рисунке 4. В результате ученики получают доступ к более широкому кругу знаний, чем обычно предоставляется одному преподавателю математики.


Еще одной сильной стороной является наличие связей с сообществом, которые возможны, или междисциплинарные связи, которые, по крайней мере, имеют место за пределами математического факультета учебного заведения.Практическое обучение привносит «реальность» в абстракции математики. Даже когда преподаватели математики пытаются решить задачи с помощью приложений, полезность не осознается из первых рук, пока студенты не начнут применять ее. Это мотивационный подход для всех участников трио. Позже студенты могут решить провести исследование в связи с их опытом работы в проекте. Кроме того, они, вероятно, сохранят задействованные концепции дольше, чем при подходе «чистой лекции».

4.2.3. Практическое обучение на курсах математического анализа верхнего уровня

Практическое обучение является сильным мотивирующим фактором для всех участников, участвующих в математической группе Umbrella. Этот фактор, кажется, является общей нитью во всем спектре практического обучения K-20. Заинтересованность участников в практическом обучении может быть пропорциональна индивидуальному опыту. Преподаватели математики потенциально могут получить наибольшую пользу, но от студентов ожидается, что они будут знать теорию достаточно, чтобы их можно было мотивировать. Что касается программ бакалавриата по математике, таких как математический анализ II и III, считается, что студентам достаточно пройти несколько небольших тестов и домашних заданий, а затем направить свою энергию на практическое обучение, а не требовать от них успешной сдачи выпускного экзамена.В частности, эта педагогика практического обучения помогает студентам, которые «незначительно успешны», позволяя включать в их итоговые оценки компонент практического обучения, которому по праву придается значительный вес в общей оценке курса.

Чаще встречаются «успешные», которые могут быть очень продуктивными в своих проектах по обучению действиям. Есть вероятность, что работы студентов будут опубликованы или, возможно, даже отмечены [4, 57], как и многие студенты за последние два десятилетия.Это прекрасные мотиваторы для всех сторон, участвующих в практическом обучении. Поскольку действие проистекает из мотивации, важно осознавать роль «мотиваторов действия». Для студентов высших учебных заведений мощным мотиватором часто является изучение чего-то полезного и того, на чем можно построить или улучшить успешную карьеру.

Примечательно, что студенты естественным образом мотивированы успехом в изучении математики. Влияние практического обучения было проанализировано в Университете Южной Флориды на курсах инженерного расчета, в которых участвовали тысячи студентов, прошедших эти курсы и последующие курсы с весны 2003 г. по весну 2015 г. [59].Некоторые результаты (сгруппированные по расе и этнической принадлежности) представлены на Рисунке 5 [59]. На этом рисунке показан эффект обучения действием, параллельных разделов обучения без действия и исторических (традиционных) разделов. В этой части исследования участвовали 1589 студентов, изучающих действие, и 1405 студентов, обучающихся на курсах, не использующих элемент обучения действием. Наконец, еще 2316 человек были помечены как «исторические», что означает, что они прошли курс до весны 2003 г. (то есть до того, как было проведено различие в отношении использования или неиспользования практического обучения в своих курсах).Исследователи внимательно включили доверительные интервалы в свои результаты. Очевидно, что в этой относительно большой подгруппе из более крупного исследования все четыре категории расы / этнической принадлежности предпочитают быть участниками обучения действием. Для размышления есть много информации из [59]. Во всяком случае, этот и другие результаты демонстрируют академическое превосходство в действии над обучением без действия. Прагматический вывод - обучение действиям, поскольку оно работает.


4.2.4. Практическое обучение как универсальная образовательная концепция

Мотивация преподавателей математики возникает в результате знакомства с новым опытом практического обучения. В настоящее время зарегистрировано много сотен обучающих проектов, охватывающих широкий круг тем. Кроме того, всегда происходит обучение тонким действиям, которое никогда не документируется. Из тех проектов, которые доступны в Журнале для студентов по математическому моделированию: один + два (UJMM) [44], очевидно, что практически во всех областях можно использовать практическое обучение.Есть проекты, посвященные очень специфическим отраслям инженерии, например, биомедицинским нанотехнологиям. Есть также много других проектов, не относящихся к «собственно инженерному делу», например, связанных с музыкой или даже образованием. Другие - это кросс-полевые типы, которые не поддаются четкой категоризации. Типы мостов часто представляют особый интерес. Это мотивирует преподавателей увидеть, что входит в смесь и какие области могут быть связаны посредством практического обучения. Это междисциплинарные особенности, желательные для всех учебных программ (в «вселенной учебных программ», то есть в образовании).Некоторые подробности доступны на главном веб-сайте Mathematics Umbrella Group (см. Центр промышленной и междисциплинарной математики). В журнале представлена ​​избранная подгруппа из более чем 2400 студенческих проектов, представленных с 2000 года. Признак разнообразия тематики проектов и участников студенческих работ очевиден из разнообразия тем, рассматриваемых в последних изданиях UJMM ([44], v. 8 , 1-2): «Применение простых гармоник для моделирования толчка» Кая Раймонда, «Силы, действующие на парусник» Келли Стукбауэр, «Оптимизация топливного элемента» Эдуардо Гинеса, «Анализ осадков в Тампе» Эми Полен, «Аппроксимация площади поверхности колеблющихся липидных листочков с использованием взвешенной сеточной мозаики» Анаф Сиддики, «Рудиментарная модель реакции глюкозы на стресс» Нашей Риос-Гусман, «Органический сельскохозяйственный анализ: эффективность общепринятой практики» Брэдли Биега, «Использование Баланс скорости энтропии для определения теплопередачи и работы во внутренне обратимом, политрофическом, установившемся процессе потока »Саванна Гриффин,« Модельная функция улучшения мирового рекорда женщин на 1500 м с течением времени »Энни Аллмарк , «Максимальная мощность солнечного модуля из поликристаллического кремния» Джейнил Патель, «Оптимизация реакции сдвига водяного газа» Али Албулуши и «Волны цунами» Саманты Пеннино.

Помимо множества опубликованных проектов бакалавриата, существуют «сценарии практического обучения», которые можно рассматривать как совокупность различных практических занятий. Этот смешанный опыт имеет несколько идеалистических проблем. Проблемы можно считать типичными для того, что может рассматриваться в проекте, а не реальными примерами. Эти сценарии мотивируют преподавателя математики включать практическое обучение в обычный теоретический курс.Этим опытом, вероятно, поделятся любые преподаватели математики, занимающие аналогичные должности в математическом образовании. Непосредственной мотивацией здесь является расширение нашего понимания взаимосвязи между теорией математики и решением актуальных проблем в реальном мире.

5. Мотивирующие вопросы как основное средство изучения математики
5.1. Вопросы как инструменты обучения действиям

Вопросы обычно становятся более сложными по мере взросления учащихся.Преподаватели на всех уровнях математического образования используют знания и опыт, чтобы ответить на вопросы. Желательны конкретные и уверенные ответы, при этом иногда (как правило, на более высоких уровнях) вопросы могут потребовать дополнительных размышлений перед их изложением. В контексте постановки проблем и их решения важно различать два типа вопросов, которые могут быть сформулированы так, чтобы стать проблемой: вопросы, требующие информации, и вопросы, требующие объяснения полученной информации [60].Подобно двум типам знаков - символам первого порядка и символике второго порядка [61] - можно относиться к вопросам, ищущим информацию, как к вопросам первого порядка, а те, которые требуют объяснения, как к вопросам второго порядка [46]. В то время как на вопросы первого порядка можно ответить, используя разные методы, похоже, что не все методы могут быть использованы для объяснения того, что было получено при поиске информации, то есть для предоставления ответа на вопрос второго порядка. Часто просьба о объяснении является разумным размышлением о методе предоставления информации.

Что означает, что учителя должны обладать «глубоким пониманием» математики? Зачем им нужно такое понимание? У будущих учителей есть несколько причин, по которым они должны быть тщательно подготовлены к математике, чтобы иметь положительное влияние на успеваемость молодых изучающих математику. Во-первых, в современном классе математики ожидается, что ученики всех возрастов будут задавать вопросы, и их даже поощряют. В Соединенных Штатах национальные стандарты уже для классов до K-2 предполагают, что «необходимо воспитывать естественную склонность учащихся задавать вопросы… [даже] когда ответы не сразу очевидны» ([19], с.109). Это предложение подтверждается следующим комментарием кандидата в учителя начальной школы: «Не зная ответа на вопрос - это нормально, но нельзя оставлять этот вопрос без ответа». Кандидат описывает себя как «тот педагог, который всегда будет побуждать моих учеников задавать себе одни и те же вопросы, которые позволят им участвовать в глубоком размышлении».

5.2. Международный характер обучения с помощью вопросов

На границе с США министерство образования Онтарио в Канаде в рамках своей учебной программы по математике для младших классов ожидает, что учителя будут иметь возможность «задавать учащимся открытые вопросы ... поощряйте студентов задавать себе подобные вопросы… [и] моделируйте способы, которыми можно ответить на различные вопросы »([62], с.17). Для развития такого мастерства «учителя должны знать способы использования математических рисунков, диаграмм, манипулятивных материалов и других инструментов для освещения, обсуждения и объяснения математических идей и процедур» ([63], с. 33). В Чили учителя математики должны «использовать представления, опираться на предварительные знания, задавать хорошие вопросы и стимулировать любознательное отношение и рассуждение учащихся» ([64], с. 37). В Австралии учителя математики знают, как мотивировать «любопытство, бросить вызов мышлению учащихся, обсудить математический смысл и моделировать математическое мышление и рассуждения» ([65], с.4). Репертуар возможностей обучения, которые преподаватели предлагают своим ученикам, включает постоянный поиск альтернативных подходов к решению проблем, а также помощь ученикам в изучении конкретной стратегии решения проблем, с которой они боролись. В национальной учебной программе по математике в Англии используются такие термины, как «практика со все более сложными задачами с течением времени… [и] может решать задачи… с возрастающей степенью сложности» ([66], стр. 1). С этой целью учителя должны быть готовы иметь дело с ситуациями, когда естественный поиск вопросов приводит учеников к этой изощренности и усложнению математических идей.Необходимость такой подготовки учителей подтверждается кандидатом в учителя, который сформулировал это следующим образом: «Если ученик спрашивает, почему, а учитель не может объяснить, как что-то произошло, ученик теряет всякую веру и интерес к предмету и уважение к учителю ».

На уровне бакалавриата часто обсуждаются вопросы второго порядка. Преподаватели математики знают, что такие вопросы могут быть полезны для стимулирования дальнейших исследований. Возможно, правда, что математика, с которой приходится сталкиваться на уровне начальной и средней школы, должна быть безупречно понята преподавателями математики и что учащиеся могут быть «уверены» в том, что им преподают.Когда мы начинаем заниматься, скажем, теорией множеств или двумерной / трехмерной геометрией, могут быть загадочные результаты, которые действительно побуждают учащихся задуматься об изучении высшей математики. Любопытство математики - это то, что учащиеся, вероятно, сочтут привлекательным. Конечно, преподавателю математики полезно иметь глубокое понимание темы; однако в ответе могут быть детали, которые не поддаются немедленному описанию. В некоторых редких случаях ответ даже недоступен. Ожидается, что зрелость студентов позволит им признать, что на более высоких уровнях математики они не должны терять веру и уважение к преподавателю, если объяснение откладывается.На более ранних этапах математического образования учащиеся верят, что математика идеальна. Однако математика так же несовершенна, как и все остальное, изобретенное людьми. Студенты должны это знать.

6. Компьютерная сигнатурная педагогика и модель обучения и преподавания 3P

Любопытство и мотивация также могут поддерживаться использованием цифровых инструментов в качестве инструментов практического обучения. Как было показано на примерах из дошкольного математического образования, компьютеры могут способствовать переходу с одного познавательного уровня на другой (более высокий).Это согласуется с современным использованием компьютеров в математических исследованиях, когда новые результаты возникают в результате вычислительных экспериментов. Например, радость перехода от визуального к символическому, когда двухсторонние счетчики были предложены как средство рекурсивного построения чисел Фибоначчи, которые затем можно было смоделировать в электронной таблице, где, возможно, благодаря интуиции, определился определенный образец в поведении соотношений могут быть обнаружены два последовательных члена. Это открытие мотивирует формальное объяснение того, почему отношения ведут себя определенным образом.Точно так же переход от числового описания прямоугольников с точки зрения периметра и площади приводит к их формальному представлению. В то время как прямоугольник с отверстием был обнаружен путем мышления «нестандартно», наличие цифрового инструмента облегчает переход от визуального к символическому с последующим использованием последнего представления в ситуации математического моделирования.

Мощь вычислительного моделирования может служить мотивацией для разработки и последующего исследования более сложных рекуррентных соотношений, чем у чисел Фибоначчи.Как обсуждалось в [58], использование моделирования электронных таблиц может быть применено в контексте исследования болезни Альцгеймера для изучения популяции трансгенных мышей с упором на финансовую осуществимость покупки двух родительских мышей (самца и самку) и выращивания популяции мышей определенного размер. Эффективный подход к этой проблеме включает теорию рекуррентных соотношений, которые первоначально были введены на вторичном уровне через числа Фибоначчи. Результаты, полученные с помощью моделирования в электронной таблице, затем могут быть использованы для проверки теоретических результатов.Подробнее об этом проекте см. [55].

Все это приводит к понятию компьютерной сигнатурной педагогики (CASP), когда побуждает размышлять и поддерживать анализ действий, предпринятых учеником в контексте практического обучения, обеспечивает CASP глубинную (а не поверхностную) структуру обучения . [67] нанят учителем как «более знающий друг». Точно так же в более ранней публикации Биггс [15] проводил различие между поверхностной и глубинной структурой подходов ученика к обучению , описывая первый подход в терминах ученика, «вкладывающего минимальное время и усилия в соответствии с видимостью соответствия требованиям… [ тогда как последний подход] основан на интересе к предмету задачи; стратегия максимального понимания »(стр.6). Адаптировав модель обучения в классе, предложенную Данкином и Биддлом [68], Биггс [15] представил теперь известную 3P-модель обучения студентов, основанную на представлениях студентов об обучении в целом и их текущей учебной среде (прогноз), студенческий подход к обучению (процессу) и результат обучения студента (продукт). Исследование того, как первый P модели влияет на второй P и, как следствие, на третий P, было проведено Лиццио, Уилсоном и Саймонсом [69], которые выдвинули семь теоретических положений.Одно из этих предположений было основано на аргументе о том, что если студенты университетов воспринимают преподавание курсов их профессорами как надежное, то они с большей вероятностью выберут глубокий подход к обучению. Авторы пришли к выводу, что этот аргумент верен не только для учебных курсов по высшей математике, но и для курсов по методам математики для будущих школьных учителей. В современном преподавании математики правильное использование технологий является важной характеристикой учебной среды.В частности, в контексте студенческого подхода к обучению в глубокой структуре под эгидой CASP, можно расширить использование одного цифрового инструмента, такого как электронная таблица, другими современными технологиями, такими как Wolfram Alpha. С этой целью CASP, структурированный на основе глубоких подходов к преподаванию и обучению, может включать использование так называемых интегрированных электронных таблиц [70], которые поддерживают преподавание математики на всех образовательных уровнях с вычислительной надежностью обучения учащихся.

7.Проблемы и догадки, которые вдохновляют и мотивируют

Студент, изучающий математику (на любом уровне образования), скорее всего, столкнется с «тщетностью» математического совершенства. В математике есть легко выражаемые вопросы (предположения), на которые нет ответов (доказательство). Это похоже на принцип неопределенности Гейзенберга, где есть «пределы точности», например, при нахождении как положения, так и импульса. Важное понятие состоит в том, что не всегда есть «стандартные» решения математических задач.Зная это, учащиеся могут продолжить изучение математики для решения некоторых задач. В этих случаях действует «нестандартное» обучение действиям. Первоначальные размышления носят в основном теоретический характер, но в конечном итоге будет вызвано приложение. Заметьте, что проблему даже не нужно решать, многое предстоит узнать в этой попытке. Это мотивационный процесс. Кроме того, размышление привносит конкретность в концепции проблемы и относится к общей «природе» проблем и решению проблем.

Реальные приложения математики в значительной степени стимулируют различные виды исследований в предметной области, в которых участвуют как профессиональные математики, так и студенты разных специальностей. Это не означает, что прикладная математика является единственным значимым источником развития математической мысли. Действительно, в самой математике есть много проблем, которые раньше мотивировали и продолжают мотивировать тех, кто стремится получить полное представление о математике как о фундаментальной науке.Некоторые из этих задач (иногда называемых предположениями) можно рекомендовать для включения в учебную программу по математике для не математических специальностей, а также для кандидатов в учителя. Опыт авторов показывает, что теоремы и предположения, берущие начало как в чистой, так и в прикладной математике, могут запустить воображение и мыслительный процесс тех, чей ум открыт для оспаривания.

Например, формулировки и исторические подробности таких захватывающих проблем, как Великая теорема Ферма, доказанная Эндрю Уайлсом [71], и гипотеза Бибербаха, доказанная Де Бранжем [72] (см. Также [73]), могут быть включены в некоторые базовые курсы математики. для нематематических специальностей.Доказательства этих теорем требуют не только элементарных средств, но и чрезвычайно сложны. Однако, как заметил Стюарт [74], «тот факт, что доказательство важно для профессионального математика, не означает, что преподавание математики данной аудитории должно ограничиваться идеями, доказательства которых доступны этой аудитории» (стр. 187). . Давайте посмотрим на них.

Последняя теорема Ферма утверждает, что уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений для x, y и z, когда .В частности, эта теорема может быть представлена ​​различным группам студентов-математиков как способ ответа на вопрос: Можно ли расширить интерпретацию троек Пифагора как разделение квадрата на сумму двух квадратов, чтобы включить аналогичные представления для более высоких степеней ? Как подробно описано в [75], использование электронной таблицы со второстепенными кандидатами в учителя позволяет визуализировать Великую теорему Ферма путем моделирования несуществующих решений вышеуказанного уравнения почти таким же образом, как и для.Точно так же вполне возможно, что с помощью технологий или других средств естественный мост между утверждением Великой теоремы Ферма и некоторыми геометрическими свойствами модульных эллиптических кривых в доказательстве Уайлса станет доступным для будущих студентов-математиков.

Гипотеза Бибербаха утверждает, что для каждой аналитической функции, взаимно однозначной в единичном круге, выполняется неравенство. Один только этот легендарный результат с его потрясающими рекордами (см., Например, [76]) может вызвать у студентов интерес к изучению таких важных математических понятий, как взаимно однозначные функции, степенные ряды, сходимость и коэффициенты Тейлора, которые, в частности, являются целесообразно обсудить с инженерами-майорами.Здесь также стоит упомянуть о глубоких геометрических корнях гипотезы Бибербаха. Например, его доказательство для основано на представлении плоской заданной области в виде контурного интеграла, и, таким образом, оно доступно для нематематических специальностей, зачисленных на курс исчисления верхнего уровня.

Существует также известная гипотеза Гольдбаха [77], которая утверждает, что каждое четное число больше двух может быть записано как сумма двух простых чисел (возможно, более чем одним способом). Было бы чудом, если бы эта гипотеза оказалась ложной.Пока встречных примеров не найдено. Хотя поиск противоположного примера кажется бесплодным, эмпирически было показано, что гипотеза Гольдбаха верна для всех четных чисел больше двух и меньше некоторого известного числа, состоящего из 17 цифр.

Другой известной, но простой для понимания проблемой является гипотеза палиндрома [78]. Он имеет дело со свойством палиндромов (т. Е. Целых чисел, которые читаются так же, как вперед и назад) привлекать целые числа в соответствии со следующей процедурой: начать с любого целого числа, перевернуть его цифры и сложить два числа; повторите процесс с суммой и продолжайте видеть, что это приводит к палиндрому.Примечательно, что эта «игра с числами» недавно была упомянута как одна из двенадцати нерешенных проблем современной математики [79]. Именно эта проблема и, как отмечено в Принципах и стандартах школьной математики [19], ее образовательный потенциал для учащихся средних школ «ценить истинную красоту математики» (стр. 21) побудил кандидата в учителя средней школы работать с один из авторов по разработке вычислительных обучающих сред для учебных презентаций и экспериментов с большим классом развлекательных задач, как решенных, так и нерешенных [80].Как выразился Гаусс, «в арифметике самые элегантные теоремы часто возникают экспериментально в результате более или менее неожиданной удачи, а их доказательства лежат настолько глубоко погруженными в темноту, что опровергают самые острые вопросы» (цитируется в [81]. ], стр. 112).

Похоже, что использование технологий для значимых экспериментов с числами под эгидой CASP может вдохновить и мотивировать студентов уже на уровне дошкольного образования к новым открытиям в элементарной теории чисел.Каким-либо образом расширяя наше понимание математики, мы потенциально расширяем нашу способность «процветать». Это неотъемлемая ценность и мотивация для обучения действиям. Предполагается, что вся математика может иметь приложения. Нам нужно только иметь мотивацию для разработки этих приложений.

8. Заключение

В этой статье, используя опыт авторов в преподавании математики и надзоре за применением предмета в практике государственных школ и промышленности, представлена ​​структура совместного использования практического обучения и концептуальной мотивации в контексте К-20 математического образования.Были представлены различные примеры практического обучения - индивидуальная работа над реальной проблемой с последующим размышлением под наблюдением «более знающего другого». Такое руководство может включать в себя «дуэт других» - классного учителя и кандидата в учителя в школе K-12, а также преподавателя математики и советника по предметной области в университете. В статье показано, что практическое изучение математики идет рука об руку с концептуальной мотивацией - методикой обучения, при которой введение математических концепций мотивируется (соответствующими классу) реальными приложениями, которые могут включать в себя действия учащихся над объектами, приводящие к формальному описанию этого. действие через символику математики.Этот подход основан на важных рекомендациях математиков [5, 16, 17] и педагогических психологов [1, 25, 26, 61].

Главный вывод статьи состоит в том, что за счет многократного использования концептуальной мотивации и практического обучения на всех уровнях математического образования общий успех учащихся имеет большой потенциал для улучшения. Это сообщение подкрепляется примерами творческого мышления молодых учащихся в классе, основанного на всестороннем сотрудничестве школьных учителей и преподавателей университета (в духе Группы Холмса [82]).Точно так же это сообщение было подкреплено примерами интереса студентов к изучению математического анализа посредством практического обучения в реальной жизни. Похоже, что растущий интерес студентов к математике связан с практическим обучением и концептуальной мотивацией, которые использовались для исправления широко распространенного формализма в преподавании математики, который, в частности, стал препятствием на пути к успеху STEM-образования [4, 7, 8] . Когда учащиеся имеют опыт практического изучения математики в школьные годы, они, вероятно, продолжат изучение предмета в том же духе, тем самым избежав многих препятствий перехода от среднего к высшему.Как упоминалось в разделе 4.2.3, исследование внедрения практического обучения инженерного исчисления с участием тысяч студентов Университета Южной Флориды [4, 59] показывает, что, хотя интерес студентов к практическому обучению может быть пропорционален индивидуальному опыту в этом случае их результаты обучения демонстрируют академическое превосходство практического обучения над другими педагогическими средствами проведения расчетов.

В начале формального математического образования школьники должны начать знакомство с педагогикой практического обучения и концептуальной мотивации, усиленной, в зависимости от обстоятельств, путем задания вопросов и ответов на них, а также обучения использованию технологий.Как было показано в документе, не только учебные программы по математике K-12 во многих странах поддерживают обучение учащихся, задавая вопросы, но и их будущие учителя ценят такой вид математического обучения. Аналогичным образом, компьютерная сигнатурная педагогика [37] может использоваться для максимального понимания учащимися математики и поощрения их глубокого подхода к обучению [15]. У студентов университетов больше мотивации, чем у школьников, чтобы справляться с обязанностями взрослой жизни. Тем не менее, обе группы студентов все еще могут быть мотивированы своим естественным «бросающим вызов возрасту» любопытством.В этом отношении стимулирующие вопросы, склонность к использованию компьютеров и известные классические задачи являются важными инструментами мотивации при изучении математики. Объединение всей учебной программы по математике K-20 в единую систему возможно, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом образовательном спектре. Наконец, очевидно, что есть прагматическая причина для того, чтобы знакомить учеников с радугой обучения действием, и это потому, что среди сегодняшних учеников есть завтрашние учителя.Процесс должен и дальше развиваться.

Доступность данных

Данные, использованные для подтверждения выводов этого исследования, включены в статью.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

GED - Практический тест по математике

ЛИЦЕНЗИОННОЕ СОГЛАШЕНИЕ НА ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

Copyright © 2006-2016 Все права защищены. NCS Pearson, Inc., 5601 Green Valley Drive, Блумингтон, Миннесота, 55437 www.pearsonvue.com

Copyright © 2012-2016 Все права защищены. GED Testing Service LLC., 5601 Green Valley Drive, Блумингтон, Миннесота 55437

ВАЖНОЕ ПРИМЕЧАНИЕ

ПОЖАЛУЙСТА, внимательно прочтите ДАННОЕ ЛИЦЕНЗИОННОЕ СОГЛАШЕНИЕ НА ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ, прежде чем загружать связанное с ним программное обеспечение. ВЫ СОГЛАШАЕТЕСЬ, ЧТО НАСТОЯЩЕЕ СОГЛАШЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО, КАК ЛЮБОЕ НАПИСАННОЕ ПЕРЕГОВОРНОЕ СОГЛАШЕНИЕ, ПОДПИСАННОЕ ВАМИ. ЕСЛИ ВЫ НЕ СОГЛАСНЫ, НЕ ИСПОЛЬЗУЙТЕ ДАННОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ.

Настоящее лицензионное соглашение по программному обеспечению («Соглашение») устанавливает условия, в соответствии с которыми NCS Pearson, Inc. будет предоставлять программное обеспечение, необходимое для того, чтобы вы могли узнать, как будет проводиться компьютерный тест NCS Pearson, Inc. (« Программное обеспечение"). Это Программное обеспечение является исключительной собственностью NCS Pearson, Inc., аффилированных лиц, дочерних компаний или любой организации, находящейся под контролем NCS Pearson, Inc. («NCS Pearson, Inc.»), включая, помимо прочего, структуру, организацию и код Программного обеспечения.Использование вами Программного обеспечения строго обусловлено вашим явным принятием условий настоящего Соглашения, и использование вами этого Программного обеспечения будет считаться вашим согласием с изложенными здесь положениями и условиями и вашим согласием с ними («Лицензия »). NCS Pearson, Inc. предоставляет вам неисключительную Лицензию на использование Программного обеспечения для целей, описанных выше.

Если вы не согласны с этими положениями и условиями, изложенными в настоящем документе, выберите вариант «Я не принимаю условия настоящего Соглашения» и нажмите кнопку «Нет».Если вам был предоставлен компакт-диск, удалите компакт-диск из вашей системы, удалите все копии исполняемого файла Программного обеспечения (например, файл .EXE), которые вы загрузили или скопировали в свою систему, и свяжитесь с NCS Pearson, Inc. относительно инструкции по возврату или уничтожению такого Программного обеспечения. Настоящая Лицензия предоставляется с учетом и при соблюдении взаимных прав и обязательств, изложенных в настоящем Соглашении, достаточность которых вы подтверждаете, используя это Программное обеспечение.

ДАННОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРЕДОСТАВЛЯЕТСЯ NCS PEARSON, INC.«КАК ЕСТЬ» И НИКАКИХ ЯВНЫХ ИЛИ ПОДРАЗУМЕВАЕМЫХ ГАРАНТИЙ, ВКЛЮЧАЯ ТОВАРНОЙ ПРИГОДНОСТИ ИЛИ ПРИГОДНОСТИ ДЛЯ КОНКРЕТНОЙ ЦЕЛИ. НА ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ НЕ ГАРАНТИРУЕТСЯ И НЕ ОЖИДАЕТСЯ БЕЗ ОШИБОК. НИ ПРИ КАКИХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ NCS PEARSON, INC. НЕ НЕСЕТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ ЗА ЛЮБЫЕ ПРЯМЫЕ, КОСВЕННЫЕ, СЛУЧАЙНЫЕ, ОСОБЫЕ, ПРИЧИНЕННЫЕ ИЛИ КОСВЕННЫЕ УБЫТКИ, КАКИЕ-ЛИБО ПРИЧИНЕННЫЕ И ПО ЛЮБОЙ ТЕОРИИ ОТВЕТСТВЕННОСТИ, БЕЗ ПРИНЯТИЯ КОНТРАКТА, СТРОИТЕЛЬНОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТИ ИЛИ ПРИНЯТИЯ НЕОБХОДИМОСТИ В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ ОТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДАННОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ, ДАЖЕ ПРИ СООБЩЕНИИ ВОЗМОЖНОСТИ ТАКОГО ПОВРЕЖДЕНИЯ.

Использование программного обеспечения

Вы соглашаетесь со следующими ограничениями на использование Программного обеспечения:

- Для использования Программного обеспечения только в личных целях и с единственной целью ознакомления с порядком проведения компьютерного теста NCS Pearson, Inc.

- Вы не можете копировать это Программное обеспечение. Вы также соглашаетесь не осуществлять реконструирование, декомпилировать, дизассемблировать, создавать производные работы, изменять, модифицировать или иным образом изменять Программное обеспечение без явного письменного согласия NCS Pearson, Inc..

- Запрещается продавать, дублировать, передавать, переуступать или сдавать в аренду Программное обеспечение или любую его часть какому-либо физическому или юридическому лицу.

Если вы используете Программное обеспечение каким-либо образом, несовместимым с настоящей Лицензией или нарушаете любое из вышеупомянутых ограничений, ваши права по этой Лицензии прекращаются автоматически.

Ответственность

Вы понимаете и соглашаетесь с тем, что несете ответственность за использование, работу и хранение Программного обеспечения.Вы принимаете на себя риск и единоличную ответственность за любые и все повреждения оборудования, Программного обеспечения или компакт-диска, если таковые имеются, в результате использования вами такого Программного обеспечения. Кроме того, вы соглашаетесь возместить ущерб и обезопасить NCS Pearson, Inc. и ее сотрудников, должностных лиц, агентов и правопреемников от всех претензий третьих лиц, убытков, судебных исков или урегулирований, возникающих в результате использования вами Программного обеспечения. NCS Pearson, Inc. не несет никакой ответственности по настоящему Соглашению.

Общие

- Если какое-либо из положений настоящего Соглашения по какой-либо причине будет признано или признано недействительным, незаконным или не имеющим исковой силы судом компетентной юрисдикции, такая недействительность, незаконность или неисполнимость не повлияет на какие-либо другие положения настоящего Соглашения.

- Настоящее Соглашение регулируется и толкуется в соответствии с законодательством штата Миннесота, Соединенные Штаты Америки.

Я подтверждаю, что могу просматривать, загружать и использовать Программное обеспечение, доступное через этот сайт или через компакт-диск, только с целью ознакомления с тем, как компьютерный тест NCS Pearson, Inc. будет проводиться в соответствии с условия, изложенные в настоящем Соглашении. Я также подтверждаю, что могу просматривать, загружать и использовать Программное обеспечение только в соответствии с настоящим Соглашением.Кроме того, я понимаю, что по настоящему Соглашению мне не предоставляется лицензия для каких-либо других целей.

Иллюстративная математическая алгебра 2, Раздел 6.19 - Учителя

Целью этого упражнения является моделирование данных с помощью тригонометрической функции в контексте, который напрямую не связан с круговым движением. Периодическое изменение количества видимой Луны определяется орбитой Луны вокруг Земли и орбитой Земли вокруг Солнца. Эти орбиты можно смоделировать эллипсами, а не кругами, хотя обе они довольно близки к круглым.В этом упражнении учащиеся анализируют данные разминки, делая прогнозы об амплитуде, средней линии, периоде и горизонтальном перемещении для тригонометрической модели.

Затем студенты проверяют, насколько хорошо их модель соответствует реальным данным, и используют технологию для изменения параметров в своей модели по мере необходимости. Наконец, учащиеся используют свои модели, чтобы делать прогнозы относительно Луны на более поздние даты в 2018 году. Эта работа по прогнозированию является очень важной частью задачи не только потому, что прогнозирование является одной из основных причин для создания моделей, но и потому, что это может принести из недостатков, которые в противном случае не очевидны.Например, 30-дневный период хорошо соответствует данным за январь, но он предсказывает полнолуние 28 декабря 2018 года, когда видно только 62% Луны. 29-дневный период также не соответствует данным января и предсказывает полнолуние 16 декабря, что слишком рано. Период в 29,5 дней подходит для общих данных лучше, чем 29 или 30 дней, хотя он, кажется, не соответствует данным января, а также 30. С точностью до сотой орбита Луны занимает 29,53 дня.

Для справки по мере того, как студенты работают над задачами, следующие два полнолуния в 2018 году в горном часовом поясе (источник данных) - 2 марта 2018 г. и 31 марта 2018 г.Существует множество онлайн-сайтов, на которых можно получить больше данных о Луне в определенные даты, чтобы студенты могли проверить свои прогнозы дня рождения.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *