Что такое вращательное и поступательное движение: Поступательное и вращательное движение твердого тела – определение, виды, примеры

Содержание

Поступательное и вращательное движения абсолютно твердого тела

1. Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается параллельно самой себе. Все точки тела, движущегося поступательно, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения, а их траектории полностью совмещаются при параллельном переносе. Поэтому кинематическое рассмотрение поступательного движения абсолютно твердого тела сводится к изучению движения любой его точки. В самом общем случае поступательно движущееся твердое тело обладает тремя степенями свободы.

2. Движение абсолютно твердого тела, при котором две его точки А и B остаются неподвижными, называется вращением (вращательным движением) вокруг неподвижной прямой АВ, называемой осью вращения. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости - перпендикулярны к ней. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, обладает одной степенью свободы: его положение полностью определяется заданием угла f поворота из некоторого начального положения.

3. Угловой скоростью вращения твердого тела называется вектор w, численно равный первой производной от угла поворота по времени,

w = df/dt
и направленный вдоль оси вращения таким образом, чтобы из его конца вращение тела было видно происходящим против часовой стрелки. Направление вектора w совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом.

4. Линейная скорость v произвольной точки М вращающегося тела определяется как векторное произведение по формуле Эйлера
v = [wr]
где r - радиус-вектор, проведенный в точку М из произвольной точки О оси вращения тела. Численное значение v линейной скорости точки М прямо пропорционально ее расстоянию R от оси вращения:

v = wr sina = wR

где a - угол между векторами w и r.

5. Периодом обращения Т тела называется время, в течение которого тело поворачивается вокруг неподвижной оси вращения на угол f = 2p.

6. Угловым ускорением называется вектор e, равный первой производной от вектора угловой скорости по времени:
e = dw/dt

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения во времени вектора угловой скорости тела. При вращении вокруг неподвижной оси направление вектора w сохраняется и

e = dw/dt = d2f/dt2

причем вектор e совпадает но направлению с w в случае ускоренного вращения (e > 0) и противоположен ему по направлению в случае замедленного вращения (e < 0)
Линейное ускорение произвольной точки М (r) вращающегося тела равно
a = dv/dt = d/dt | wr | = | er | + | w | wr ||

ASK71.5 Набордля преобразования вращательного движения в поступательное с балансиром (BPZ:ASK71.5)

Код товара 4621682

Артикул BPZ:ASK71.5

Страна Германия

Наименование Набордля преобразования вращательного движения в поступательное с балансиром

Упаковки  

Сертификат RU C-CH.AM03.B00164-19

Тип изделия Набор

Характеристики

Код товара 4621682

Артикул BPZ:ASK71.5

Страна Германия

Наименование Набордля преобразования вращательного движения в поступательное с балансиром

Упаковки  

Сертификат RU C-CH.AM03.B00164-19

Тип изделия Набор

Всегда поможем:

Центр поддержки
и продаж

Скидки до 10% +
баллы до 10%

Доставка по городу
от 150 р.

Получение в 150
пунктах выдачи

Во вращательное движение вала двигателя внутреннего сгорания

2339828
F02B75/32
Заявка: 2006136474/06, 16.10.2006
Опубликовано: 27.11.2008 Бюл. №33
Авторы: Ю.А. Пахомов, Ю.И, Фокин, С.А. Киселев
Патентообладатель: ГОУВПО «Брянский государственный технический университет»


МЕХАНИЗМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ПОРШНЯ

ВО ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВАЛА ДВИГАТЕЛЯ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ

Изобретение относится к машиностроению, в частности к двигателестроению, и может быть использовано в компрессорах, а также установках, где вращательное движение преобразуется в возвратно-поступательное. Механизм преобразования возвратно-поступательного движения поршня во вращательное движение вала двигателя внутреннего сгорания содержит цилиндр с оппозитно расположенными поршнями, соединенными штоками с расположенными на них зубчатыми рейками, скользящими по образующей цилиндра, на которых выполнены проточки радиусом наружной окружности зубчатого сектора, центры которых расположены на вертикальной оси цилиндра и отстоящих друг от друга на величину хода поршня, зубчатый сектор, выполненный на полуокружности, длина которого равна ходу поршня, который на выходящей из зацепления с рейками стороне срезан на толщину, равную высоте зуба, причем зубчатый сектор расположен на ведущем валу между рейками и периодически входит в зацепление с зубчатыми рейками. Ось цилиндра и ось вращения зубчатого сектора смещены в одну сторону на величину эксцентриситета от геометрической оси сектора, длина полуокружности сектора и развернутой поверхности зубчатой части рейки равны между собой и обеспечивают заданный ход поршня, а профиль зубчатой рейки выполнен в соответствии с зависимостью:

,

где ОА=Rз - расстояние от оси вращения зубчатого сектора до точки зацепления его с зубчатой рейкой, м;

- эксцентриситет;

R - радиус полуокружности зубчатого сектора, м;

- угол поворота радиуса зубчатого сектора, град,

а на рейках выполнены проточки большим радиусом зацепления, центры которых лежат на оси вращения сектора и отстоят друг от друга по вертикали на величину хода поршня. Оси вращения зубчатых секторов не совпадают с осью цилиндра и смещены в разные стороны от оси цилиндра, а эксцентриситеты секторов смещены от их геометрических осей в одну сторону. Изобретение обеспечивает снижение сил инерции, возникающих при резком изменении направления движения поршней и повышение мощности двигателя. 1 з.п. ф-лы, 5 ил.

Метаматериал превратит поступательное движение во вращательное

Frenzel et al. / Science, 2017

Обычно при сжатии материалы расширяются во все стороны. Ученые разработали метаматериал, который закручивается при сжатии, и, таким образом, может быть использован для преобразования поступательного движения во вращательное, сообщается в статье, опубликованной в Science.

Для преобразования поступательного движения во вращательное, как правило, используются кривошипно-шатунные механизмы. Именно благодаря такому механизму в двигателях внутреннего сгорания поступательное движение поршней преобразуется во вращательное движение вала, которое затем передается на колеса автомобиля или другие механизмы. Существуют и гораздо более простые способы такого преобразования, например, в недавно представленном бумажном робочерве для этого использовался специальный паттерн оригами.

Исследователи под руководством Мартина Вегенера (Martin Wegener) из Технологического института Карлсруэ создали для связывания поступательного и вращательного движения новый метаматериал. Он состоит из кубических ячеек с необычной структурой: на каждой ее грани располагается круг, который соединен с вершинами ячейки с помощью касательной. За счет этого при нажатии на касательные круги начинают поворачиваться и заставляют всю ячейку скручиваться.

Перемещения различных областей в метаматериале при сжатии

Frenzel et al. / Science, 2017

Для того, чтобы протестировать механические свойства нового метаматериала, исследователи создали с помощью селективного лазерного спекания несколько образцов из полимера. Сами образцы имели одинаковый размер, но размер каждой ячейки в них различался. Для того, чтобы материал мог свободно скручиваться, каждый образец состоял из двух равных частей, в которых ячейки имели разную хиральность. За счет этого при нажатии одна половина скручивалась в одном направлении, а другая в противоположном. Они также выяснили, что разные образцы проявляют разную степень закручивания. В образце, состоящем из четырех ячеек самого большого размера он составил два градуса на процент деформации. В образце с минимальным размером и максимальным количеством ячеек величина снизилась в два раза.

Образцы метаматериала с различными размерами ячеек

Frenzel et al. / Science, 2017

Существуют и другие интересные разработки в области механических метаматериалов, к примеру, механический «диод», который под воздействием нагрузок смещается только в одну сторону, или материал, структура которого позволяет достичь теоретически рассчитанного верхнего предела упругости для композитных материалов. Также недавно нидерландские исследователи создали материал, жесткость которого не уменьшается, а увеличивается при увеличении его длины.

Григорий Копиев

Вращательное движение

Вращательное движение является периодическим движением.

Период обозначается буквой T.

Чтобы найти период обращения, надо время вращения разделить на число оборотов:

Физическая величина, равная отношению числа полных оборотов тела ко времени, в течение которого эти обороты совершены, называется частотой вращения.

Частота вращения обозначается буквой n.

Чтобы найти частоту вращения, надо число оборотов разделить на время, в течение которого эти обороты совершены:

Частота вращения и период обращения связаны друг с другом как взаимообратные величины: Период измеряется в секундах: [T] = 1 с.

Единица частоты – секунда в минус первой степени: [n] = 1 с–1.

Эта единица имеет собственное название – 1 герц (1 Гц).

Проведем аналогию между вращательным и поступательным движениями.

Поступательно движущееся тело изменяет свое положение в пространстве относительно других тел.

Тела, совершающие вращательное движение поворачиваются на некоторый угол.

Если за любые равные промежутки времени поступательно движущееся тело совершает равные перемещения, движение называется равномерным.

Если за любые равные промежутки времени вращающееся тело поворачивается на один и тот же угол, то такое вращение называется равномерным. Характеристикой равномерного поступательного движения служит скорость Соответствующей характеристикой вращательного движения служит угловая скорость:

Угловая скорость – это физическая величина, равная отношению угла поворота тела ко времени, в течение которого этот поворот совершен.

Угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени.

Чтобы получить единицу угловой скорости, нужно в ее определяющую формулу подставить единицу – 1 радиан, и времени – 1 с. Получаем: [ω] = 1

Аналогично можно ввести характеристику неравномерного вращения. Если видом неравномерного поступательного движения является равнопеременное движение, то для вращательного движения можно ввести понятие равнопеременного вращения.

Характеристикой равнопеременного поступательного движения является ускорение:

Соответственно, для вращательного движения можно ввести величину, определяемую отношением изменения угловой скорости ко времени, в течение которого это изменение происходит – угловое ускорение: Угловое ускорение показывает, на сколько изменилась угловая скорость за единицу времени.

Чтобы получить единицу углового ускорения, нужно в его определяющую формулу подставить единицы угловой скорости 1 рад/с и времени – 1 с. Получаем:

Продолжая аналогию дальше, запишем уравнение для перемещения при прямолинейном равноускоренном движении

Так как при вращении перемещению тела соответствует угол вращения, линейной скорости – угловая скорость, линейному ускорению – угловое ускорение, то аналогичное уравнение для вращательного движения будет иметь вид:

Другому уравнению для поступательного движения будет соответствовать уравнение для вращательного движения:

Метод, который использовался в данном случае, называется методом аналогий.

Точки тела, совершающего вращательное движение, поворачиваются относительно оси вращения на некоторые углы и движутся по дугам окружностей, проходя определенные пути. Таким образом, характеристиками вращательного движения являются и угловая, и линейная скорости.

Линейная скорость точки направлена по касательной к окружности, по которой она движется.

Об этом свидетельствует слетающая с колес автомобиля грязь или искры, летящие от металлического предмета, прижатого к наждачному кругу.

Чем дальше от оси вращения находится точка, тем больше ее линейная скорость. Угловая же скорость точек, лежащих на одном радиусе, одинакова. Следовательно, линейная скорость точки прямо пропорциональна радиусу окружности, по которой она вращается.

За время, равное периоду, точка проходит путь, равный длине окружности. Её линейная скорость при этом равна Отношение же угла поворота ко времени поворота на этот угол равно угловой скорости

Таким образом, линейная скорость вращающейся точки связана с ее угловой скоростью соотношением:

При равномерном вращении скорость меняется по направлению, но не изменяется по величине.

Поскольку всякое изменение скорости характеризуется понятием ускорения, то для равномерного вращения следует ввести еще одно ускорение, изменяющееся не по величине, а по направлению. Это ускорение называют центростремительным.

Пусть вращающееся тело в начальный момент времени находится в точке A и скорость его направлена по касательной. В следующий момент времени тело находится в точке B. При этом скорость его изменилось только по направлению и направлена по касательной к окружности.

Найдем вектор разности скоростей, воспользовавшись правилом действия с векторами. Из чертежа видно, что вектор разности направлен в сторону близкую к центру окружности. Чем меньше угол поворота, тем ближе направлен вектор скорости к направлению на центр вращения.

При малом времени движения изменение положения тела незначительно. Поэтому можно считать, что вектор скорости характеризующий изменение скорости по направлению, направлен на центр. Отсюда и происходит название центростремительного ускорения.

Угловое же ускорение, характеризующее изменение скорости по величине, называют еще касательным или тангенциальным ускорением (при неравномерном вращении).

Получим выражение для центростремительного ускорения. Будем считать, что угол поворота очень мал. Соединим точки A и B. Угол MAN = φ по построению.

Мы имеем два равнобедренных треугольника. Треугольник OAB, ребра которого R и AB, и треугольник MAN, ребра которого и

Так как треугольники подобны (по двум сторонам и углу между ними), то можно записать:

Дуга окружности и хорда практически равны из-за малости угла поворота. Поэтому дуга Следовательно, Получим

Разделив правую и левую части последнего уравнения на t, получим:

Отсюда Таким образом,

Полученная формула является формулой для расчета центростремительного ускорения.

Центростремительное ускорение, при движении тела по окружности, равно отношению квадрата скорости к радиусу окружности, по которой движется тело:

Методические указания к лабораторным работам

1. До сих пор речь шла о характере движения, о траектории, о кинематических характеристиках, но не рассматривалось само движущееся тело. Пример. Движется автомобиль. Он  является  сложным телом. Движения его кузова и колес различны. Если тело сложное, то возникает вопрос: к движению каких частей тела относятся понятия пути, скорости, ускорения, введенные ранее?

Прежде, чем ответить на этот вопрос, надо выделить формы механического движения. Каким бы сложным не было движение тела, его можно свести к двум основным: поступательному движению  и вращению вокруг неподвижной оси. Колебательное движение будет рассмотрено отдельно. В примере с автомобилем поступательно движется кузов автомобиля. Сам автомобиль является  телом, которое может быть рассмотрено  с помощью модели абсолютно твердого тела (а.т.т.).  Для краткости мы будем называть  абсолютно твердое тело просто твердое тело.

Поступательным движением  твердого тела называется движение, при котором любая прямая, проведенная  между его двумя точками, остается  при движении параллельна самой себе.

Поступательное движение может быть и не прямолинейным движением.

Примеры. 1) В аттракционе "Колесо обозрения" кабинки - люльки, в которых сидят люди, двигаются поступательно. 2) Если стакан с водой перемещать по траектории, представленной на рисунке 5 так, чтобы поверхность воды и направляющая стакана составляли бы прямой угол, то движение стакана является не прямолинейным, но поступательным. Прямая АВ остается при движении стакана параллельна самой себе.

Рисунок 4.- Пример поступательного движения твердого тела.

Особенностью поступательного движения твердого тела является то, что все точки тела  описывают одинаковую траекторию, проходят за определенные промежутки времени  t одинаковые пути и в любой момент времени имеют одинаковые скорости. Поэтому кинематическое рассмотрение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения любой из его точек. Поступательное движение тела может быть сведено к движению материальной точки. В динамике обычно за такую точку принимают центр масс тела. Кинематические характеристики и кинематические уравнения, вводимые для материальной точки, описывают и поступательное движение твердого тела.

2. Движение колес автомобиля отличается от движения кузова. Точки колеса, находящиеся на разных расстояниях от его оси, описывают разные траектории, проходят различные пути и имеют разные скорости. Чем дальше точка находится  от оси колеса, тем больше ее скорость, тем больший путь  она проходит за определенный  промежуток времени. Движение, в котором участвуют колеса автомобиля, называется вращательным. Ясно, что модель материальной точки для описания вращения реального тело не подходит. Но и здесь вместо реального тела (например, колеса автомобиля с деформируемыми шинами и т.д.) используют физическую модель - абсолютно твердое тело.

Вращательным движением твердого тела называется движение, когда  все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения и перпендикулярной к плоскостям, в которых вращаются точки тела (Рисунок 5).

Так как для разных точек  вращающегося тела траектории, пути, скорости различны, то встает вопрос: можно ли найти физические величины, которые имели бы одинаковые значения для всех точек вращающегося тела, Да, оказывается, есть такие величины, они называются угловыми.

Рисунок 5.- Вращение твердого тела

Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, его положение в пространстве полностью определяется значением угла поворота ∆φ из некоторого начального положения (Рисунок 5). Все точки твердого тела повернутся за промежуток времени ∆ на угол ∆φ.

При малых промежутках времени, когда углы поворота невелики, их можно рассматривать как векторы, хотя и не совсем обычные. Вектор элементарного (бесконечно малого) угла поворота ∆φ направлен вдоль оси вращения по правилу правого буравчика, его модуль равен углу поворота (Рисунок 5). Вектор ∆φ называется угловым перемещением.

Правило правого буравчика заключается в следующем:

Если рукоятка правого буравчика вращается вместе с телом (точкой), то поступательное движение буравчика совпадает с направлением ∆φ.

Другая формулировка правила: Из конца вектора ∆φ видно, что движение точки (тела) происходит против часовой стрелки.

Положение тела в любой момент времени t определяется кинематическим  уравнением вращательного движения  ∆φ = ∆φ(t).

3. Для характеристики быстроты вращения служит угловая скорость.

Средней угловой скоростью называется физическая величина, равная отношению углового перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло

Предел, к которому стремится средняя угловая скорость при ∆→0, называется мгновенной угловой скоростью тела в данный момент времени  или просто угловой скоростью вращения твердого тела (точки).

Угловая  скорость равна первой производной от углового перемещения по времени. Направление   мгновенной угловой скорости определяется по правилу правого буравчика и совпадает с направлением ∆φ (Рисунок 6). Кинематическое уравнение движения для угловой скорости имеет вид ω = ω (t).

Рисунок 6 - Направление векторов угловых характеристик при вращательном движении.

4. Для характеристики  быстроты изменения угловой скорости тела при неравномерном вращении вводится вектор углового ускорения β, равный первой производной от его угловой скорости ω по времени t.

Среднее угловое ускорение  есть величина отношения изменения угловой скоростиω к промежутку времени ∆t, за которое это изменение произошло   β ср = ∆ω/∆t

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения  и совпадает с направлением угловой скорости, если движение  ускоренное, и противоположен ему, если вращение замедленное (Рисунок 6).

5. При вращательном движении твердого тела все его точки двигаются так, что вращательные характеристики (угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение) для них одинаковы. А линейные характеристики движения зависят от расстояния  точки до оси вращения.

Связь между этими величинами v, ω, r задается следующим соотношением:

v = [ωr],

т.е. линейная скорость v любой точки С твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω, равна векторному произведению ω на радиус-вектор r точки С относительно произвольной точки О на оси вращения.

Подобное соотношение  существует между линейным и угловым ускорениями  вращающейся точки твердого тела:

а = [βr].

Приведение поступательного движения к вращательному

    ПРИВЕДЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ К ВРАЩАТЕЛЬНОМУ [c.26]

    Этот результат мог бы быть получен заменой суммы интегралом аналогично приведенным выше расчетам для поступательного и вращательного движения. [c.226]

    Сумма состояний для исходных веществ определяется произведением трех аналогичных величин, причем сумма состояний поступательного движения для исходных веществ тождественна соответствующей сумме для активированного комплекса. Значение вращательной суммы состояний также определяется по уравнениям (115) или (116), в которые надо подставить соответствующие числа симметрии и моменты инерции. Сумма состояний колебательного движения для исходных веществ содержит только Зл—6 множителей, как и любая нелинейная молекула. Предполагая, что электронный фактор не меняется при переходе из начального в активированное состояние и подставляя приведенные выше величины в уравнение (141), получим следующее выражение для удельной скорости  [c.194]


    В приведенных примерах рабочий орган (плунжер, поршень) совершает возвратно-поступательное движение. Однако имеется очень большое число различных систем объемных машин, в которых рабочий орган имеет вращательное движение (ротационные). [c.28]

    Поскольку сумма по состояниям молекулы идеального газа представляет собой произведение сумм по состояниям для поступательного, вращательного, колебательного и электронного движений [в той мере, в какой эти энергии разделимы в соответствии с уравнением (17.51)], термодинамические величины составлены из аддитивных вкладов от этих различных видов движения. Вклады поступательного, вращательного, колебательного и электронного движений в различные термодинамические величины для двухатомных молекул сведены в табл. 17.5. Для электронно-невозбужденных атомов единственный вклад дает поступательное движение, поэтому можно использовать формулы, приведенные в первой колонке. [c.539]

    Приведение моментов инерции или маховых моментов от поступательного к вращательному движению и наоборот производится на основании равенства кинетической энергии согласно закону сохранения энергии [c.27]

    Основное уравнение гидродинамики — уравнение движения жидкости — характеризует лишь силы, которые действуют в движущейся жидкости, но не дает ответа на вопрос, как при этом движутся частицы жидкости, т. е. не вскрывает механизма движения, так как при движении жидкости согласно приведенным уравнениям частицы ее могут испытывать помимо поступательного движения, растяжения или сжатия еще и вращательное движение. Вращательное движение частиц, жидкости называется вихревым движением жидкости, поэтому к рассмотренным уравнениям необходимо добавить уравнения, описывающие вращательные движения жидкости. [c.93]

    Отметим, что для молекул типа RH, содержащих один атом водорода, колебательная энергия меняется в основном за счет взаимодействия с вращательным, а не с поступательным движением сталкивающихся частиц [22, 48, 92, 104]. В этом случае для оценок в (4.10) вместо х следует подставить приведенную массу атома водорода и частицы среды. [c.21]

    На поверхности земли над скважиной, оборудованной штанговым насосом, размещают механизм для приведения в движение штанги — так называемую насосную лебедку. В насосной лебедке вращательное движение электродвигателя преобразуется в возвратно-поступательное. Такие лебедки состоят из станины, редуктора, кривошипно-шатунного механизма и вспомогательных деталей. [c.95]


    Этим обстоятельством пользуются для определения температуры поступательного движения частиц в плазме спектральным методом относительных заселенностей вращательных линий (см. стр. 30). Однако при использовании этого метода следует иметь в виду, что приведенные выше оценки справедливы для основного электронного состояния молекулы и для таких возбужденных электронных состояний, в которых время жизни достаточно велико по сравнению с временем вращательной релаксации. [c.118]

    Вращательное броуновское движение описывается уравнением диффузии, соверщенно аналогичным уравнению для поступательного движения . Пусть И (б, ф, I) — это приведенная к единичному интервалу в иф вероятность для сферической молекулы иметь ориентацию 6, ф в момент времени / тогда [c.107]

    Приведенный стандартный изобарный потенциал данного газа равен сумме приведенных стандартных изобарных потенциалов поступательного (вместе с электронным), вращательного и колебательного движения молекул вычисленных по (IV, 90), (IV, 102) и (IV, 118)  [c.167]

    В табл. А.7 приведены расстояния между ядрами и колебательные волновые числа двухатомных газов. Рассчитайте для этих газов поступательную, вращательную и колебательную составляющие энтропии, а также общую энтропию как сумму составляющих для различных форм движения.. Сравните полученные результаты с табличными данными, приведенными в. руководствах по физической химии. [c.307]

    В тех случаях, когда молекулы идеального газа имеют число степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движения, приведенные в табя. 4.1, из [c.437]

    Приведенная стандартная энергия Гиббса для данной реакции равна сумме приведенных стандартных энергий Гиббса поступательного (вместе с электронными переходами), вращательного и колебательного движения молекул всех участников реакции и вычисляется по уравнениям (5.63), (5.89) и (5.113), т. е. [c.95]

    Таким образом, разделение движений центра масс системы и относительного движения реагирующих частиц совместно с предположением о равновесии вращательных степеней свободы с поступательными сводит двухчастичную задачу взаимодействия к одноразмерному движению одной броуновской частицы в эффективном потенциальном поле ие с приведенным коэффициентом диссипации. Характерный вид эффективного потенциала взаимодействия изображен на рис. 2.2. Учет вращений реагирующей системы частиц проявляется в том, что эффективный потенциал имеет локальный максимум и уменьшенную величину потенциального барьера. Как показывает анализ, для не очень высоких температур [c.85]

    Расчетные схемы рассматриваемых механизмов изображены на рис. 3.11, а, б. Двухкамерный объемный двигатель показан в виде двухш гокового гидро- или пневмоцилиндра поступательного движения. Он условно отражает и варианты гидро- и пневмоприводов с вращательным движением выходного звена. Дросселирующие распределители изображены в виде гидравлического (пневматического) моста (рис. 3.11, а) и полумоста (рис 3.11, б). Обозначения проводимостей а , 3 и 4 рабочих щелей распределителя соответствуют принятым на рис. 3.4. Зазоры между деталями, че )ез которые происходят утечки рабочей среды, представлены постоянными дросселями с проводимостями 51 и Индексы при величинах л, д, р и Т соответствуют номеру рабочей камеры (полости) объемного двигателя. Инерционные свойства рабочей средьь, объемного двигателя и рабочего механизма учтены суммарной приведенной массой (моментом инерции) т , как это описано в параграфе 2.9. Результирующая всех сил (моментов сил), действующих ла выходное. - нено двигателя, обозначена величиной Н. [c.190]

    MgF и Mg l. Термодинамические функции монофторида и монохлорида магния, приведенные в табл. 323 (П) и 326 (П), были вычислены по уравнениям (11.161) и (11.162) и молекулярным постоянным, приведенным в табл. 240. Значения 1п 2 и 1п 2 в этих уравнениях вычислялись по методу Гордона и Барнес [соотношения (11.137) и (11.138)]. В табл. 242 приведены значения постоянных Сф и s, необходимых для вычисления составляющих жесткого ротатора и поступательного движения, а также значения 6, д и коэффициентов в уравнениях (11.137) и (11.138). Поскольку постоянные центробежного растяжения и колебательно-вращательного взаимодействия Mg l неизвестны, ряд постоянных в уравнениях (II.137) и (II.138) при расчете термодинамических функций этого газа был принят равным нулю. [c.818]

    В этом выражении х = кс( >/кТ, к — постоянная Планка, со — волновое число колебательного движения (т. е. значение, обратное длине волны, вырангенное в см ), к — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура. Значения этой функции приведены в табл. П.З (см. приложение). Для многоатомной молекулы суммирование вкладов от каждой нормальной координатной частоты с соответствующими энтропийными составляющими поступательного и вращательного движения дает полную энтропию молекулы. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение приведенных выше уравнений. [c.120]


    Аппараты с периодическими колебаниями суспензии обеспечивают высокие скорости обтекания твердых частиц жидкостью. Низкочастотные колебания создаются вибромешалками, пластинами, пневматическими и гидравлическими пульсаторами, возвратнопоступательными или вращательными колебаниями сосудов. Одной из самых главных трудностей при разработке такой аппаратуры является создание уравновешенных систем, поскольку в неуравновешенных системах динамическая нагрузка на корпус и фундамент аппарата может в несколько раз превышать силу тяжести. Вместе с тем динамически уравновешенные аппараты, в особенности их приводы, громоздки и конструктивно сложны. К примеру, при необходимости герметичного исполнения аппарата с уравновешенной вибромешаикой потребуется установка в крышке аппарата трех дополнительных штоков мешалок, совершающих возвратно-поступательные движение. Для приведения в колебательное движение суспензии или целжом аппарата требуются значительные затраты [c.454]

    Быстрая релаксация 5е(4 Ро) в Нг, возможно, связана с элек-тронно-вращательным (Е—Р) обменом. Энергетически такой процесс вполне возможен, потому что энергия перехода / = = 0->2 в п-Нг равна 365 см , что только на 179 см меньше разницы энергий состояний Ро— Рь а величина изменения углового момента, обусловленного поступательным движением от центра тяжести, при передаче энергии остается почти неизменной. Для проверки общности выводов о влиянии гидридов на этот вид обмена энергией проведены опыты с системами Ре—Нг и Ре—Вг. Результаты подтверждают концепцию Е—Н-пере-Хода следует особенно отметить, что эффективность Ог в релаксации Ре(а / з) в 100 раз выше, чем Не, хотя приведенные массы в обоих случаях одинаковы [отсутствие V—К-переходов при колебательной релаксации СО (у=1) установлено Милликеном [107], обнаружившим одинаковую эффективность Не и Ог в процессах столкновения с СО]. Высокая эффективность водорода в Е—К-обмене связана с тем, что изменение углового момента ротатора требует относительно большой энергии. [c.291]

    Для ряда двухатомных газов проведены весьма детальные экспериментальные исследования колебательной релаксации и диссоциации в ударных волнах как ниже, так и выше температурной границы лимитирующего влияния переходов по нижним колебательным уровням, определяемой равенством (13.9). Наряду с другими величинами определялась средняя энергия колебаний и соответствующая ей колебательная температура на различных расстояниях от скачка уплотнения. Наиболее подробные исследования такого рода выполнены Лосевым и Яловиком (азот — [43, 68, 69]), Генераловым и Овечкиным (иод — [10, 51]), Максименко (бром — [44]). Результаты этих исследований однозначно указывают на то, что в процессе диссоциации однокомпонентных или не очень сильно разбавленных инертной средой двухатомных газов в ударных волнах большой интенсивности колебательная энергия меньше равновесной и, следовательно, соответствующая ей температура колебаний При больцмановском распределении энергии меньше температуры поступательного и вращательного движений. Граница этого эффекта и данные о Ту1Т и к согласуются с критерием (13.9) и с результатами расчетов Ту/Т и к (Г, Ту)/ /к (Т, Т), приведенными на рис. 3. [c.85]

    Ход дифференциалыэнтропий адсорбции, вычпслелпых по характеристической кривой при помощи уравнения (4), приведен на рис. 4. Полученная кривая свидетельствует о растущем торможении поступательного и вращательного движений молекул бензола при постепенном заполнении адсорбционного пространства. [c.117]

    Согласно квантовой механике поступательное движение также обладает квантовой природой. Возможность игнорировать это в -Приведенных рЕсс жде -ишх осаосана па том, что-величина кванта " энергии постуяательного движения порядка Ю кал/молекула, а величина кТ для обочных условий равна 10 кал/молекула, т. е. в очень много раз больше. Для других форм движения квантовую природу их игнорировать уже нельзя, так как кванты энергии вращательного движения равны 10" —а колебательного — 10-20—10" кал/молекула. [c.459]

    В одноатомном газе сообщаемая извне теплота затрачивается только на поступательное движение, но отнюдь не на вращательное приведенный нами в гл. 1 кинетический вывод уравнения состояния идеального газа базировался на представлении газовых частиц математическими точк 1МИ движущимися, но не вращающимися (вращения точки нельзя себе представить). [c.28]

    Массу колена вала, совершающую вращательное движение, приводят к пальцу кривошипа. Согласно рис. 5.2 она будет определяться как /п = + ШкгГ /г. Таким образом, масса возврат-но-поступательно движущихся частей, приведенная к центру крейцкопфиого пальца, для каждого ряда будет определяться по формуле [c.357]

    Как следует из сказанного выше, при фасовании и упаковывании приходится выполнять много одинаковых операций с различными видами тары и единичными упаковками (отбор из магазина, формирование из плоскосложенной заготовки, открывание и закрывание клапанов, протяжка рулонного материала и т. д.). В большинстве случаев для выполнения этих операций требуются незначительные усилия и затраты энергии, но зато время их осуществления должно варьировать в широком диапазоне, а собственно рабочие органы должны иметь возможность различным образом располагаться в пространстве и т. д. Существующие же упаковочные машины имеют жесткий централизованный привод рабочих органов, превышающий, как правило, величину требуемой полезной мощности, причем часть энергии неизбежно затрачивается на приведение в действие промежуточных передаточных механизмов. Было бы полезным иметь модульные рабочие органы (МРО) для выполнения ограниченного числа типовых движений (возвратно-поступательного, вращательного, колебательного и т. п.) с большим диапазоном скоростей движения, обеспечиваемым собственным приводом МРО. Наличие МРО для выполнения всех типовых операций по фасованию и упаковыванию продукции позволит компоновать любую упаковочную машину в зависимости от предъявляемых к ней требований, легко переналаживать при изменении типоразмеров тары, использовать те же МРО при переходе на другой вид тары без применения большого числа металлоемких, как правило кулачково-рычажных, механизмов и различного вида механических передач. Примером уже работающих МРО могут служить дозаторы, транспортные устройства расфасовочно-упаковочных машин и линий с регулируемыми параметрами. [c.24]


различий между поступательным и вращательным движением - видео и стенограмма урока

Вращательные величины

При переходе от поступательного к вращательному движению многие концепции вообще не меняются. Вы просто заменяете поступательные величины вращательными.

Например, Первый закон Ньютона гласит, что движущееся тело остается в движении, а тело в состоянии покоя остается в покое, если на него не действует неуравновешенная сила. Этот закон справедлив и для вращения! Но вместо линейной силы у нас есть вращающий момент. Первый закон Ньютона , таким образом, сводится к следующему: вращающееся тело будет продолжать вращаться, а невращающееся тело не начнет вращаться, если на него не действует неуравновешенный крутящий момент. Крутящий момент - это просто сила, которая действует не по центру и заставляет объект вращаться.

Практически каждая величина поступательного движения имеет эквивалент вращения. Вместо линейного ускорения у нас есть вращательное (или угловое) ускорение. Вместо сил у нас крутящий момент. Вместо количества движения у нас есть момент количества движения.Вместо скорости у нас есть угловая скорость. И вместо массы у нас есть момент инерции.

Мы рассмотрим все эти вещи индивидуально в других уроках, но пока мы просто скажем, что вращательное движение отделено от поступательного. Но у нас все еще есть скорости, ускорения, силы и массы. Основные принципы точно такие же.

Пример волчка

Давайте еще раз взглянем на Первый закон Ньютона. Однажды вы решили поиграть с волчком.На нем нарисована радуга цветов, и он издает очень приятный звук, когда вращается. После вращения на столе он в конечном итоге перестанет двигаться и упадет. Но вот вам вопрос: какой крутящий момент или крутящие моменты заставляют его это делать?

Ну, во-первых, мы должны помнить, что крутящий момент - это просто вращательная версия силы. Итак, вопрос в том, какие силы останавливают его движение. Представление вращательных величин как линейных может очень помочь, если вы разбираетесь в линейной физике.Первый закон Ньютона гласит, что для увеличения или уменьшения движения вам нужна неуравновешенная сила. Так какая сила останавливает волчок?

Ответ - трение и сопротивление воздуха - трение между волчком и столом и сопротивление воздуха, когда он вращается в воздухе. Это означает, что если бы не трение и сопротивление воздуха, волчок продолжал бы вращаться вечно!

Краткое содержание урока

Поступательное движение - это движение, которое включает в себя скольжение объекта в одном или нескольких из трех измерений: x , y или z .Но объект все еще может двигаться, даже если он просто сидит с определенной координатой x , y и z , потому что он может вращаться. Вращательное движение - это когда объект непрерывно вращается вокруг внутренней оси. Эти два типа движения независимы, но подчиняются одним и тем же законам.

Например, Первый закон Ньютона гласит, что движущееся тело остается в движении, а тело в состоянии покоя остается в покое, если на него не действует неуравновешенная сила.Для вращения у нас есть тот же закон, только с моментами, а не силами. Первый закон Ньютона для вращения гласит, что вращающееся тело будет продолжать вращаться, а невращающееся тело не начнет вращаться, если на него не действует неуравновешенный крутящий момент. Крутящий момент - это просто сила, которая действует не по центру и заставляет объект вращаться.

Вращательное движение объясняет, почему фигуристы становятся быстрее, когда они приближают руки к телу, почему торнадо вращаются так быстро и почему волчок в конечном итоге упадет на стол.

Результаты обучения

Изучив этот урок, вы должны уметь:

  • Описывать поступательное и вращательное движение
  • Определить крутящий момент
  • Объясните, как Первый закон Ньютона применяется к вращательному движению

движения

поступательное движение

Поступательное движение - это движение которое тело перемещается из одной точки пространства в другую.Одним из примеров поступательного движения является движение пули выстрелил из ружья.

Объект имеет прямолинейное движение при движении по прямой линия. В любое время т , объект занимает позицию вдоль линии, как показано на следующем рисунке. Расстояние х , с соответствующий знак, определяющий положение объекта.Когда положение объекта в определенное время известно, движение частицы будет известно, и обычно выражается в форме уравнения, которое связывает расстояние x со временем t , например x = 6 t - 4, или график.

Движение в двух или трех измерениях больше сложный.В двух измерениях нам нужно указать два координаты, чтобы зафиксировать положение любого объекта. На следующем рисунке показан простой пример метательное движение: мяч скатывается со стола. Позволь нам задайте горизонтальное направление как ось x и вертикальное направление как ось y . Представьте, что мяч катится по плоскому столу. с начальной скоростью 10 м / с.

Пока мяч лежит на столе, мы наблюдаем что исходный x -компонент скорости ( v 0x ) составляет 10 м / с (константа), начальная y -компонентная скорость 0 м / с, x -компонент ускорение 0 м / с 2 и y -компонент ускорения 0 м / с 2 .Компоненты ускорение и скорость - вот те части скорость или ускорение, которое указывает на x или у направление. Позвольте нам понаблюдайте, что происходит в момент, когда мяч покидает Таблица.

Начальная скорость в направлении y равна все еще ноль и начальная скорость в направлении x остается 10 м / с. Однако мяч уже не в соприкоснитесь со столом, и он свободно упадет.В ускорение свободного падения мяча вниз. В этом случае движения по горизонтали и вертикали направления следует анализировать самостоятельно. По горизонтали нет ускорения по горизонтали направлении, следовательно, x -компонент скорости постоянная

В в вертикальном направлении возникает ускорение, равное ускорение свободного падения.Следовательно, скорость в вертикальное направление меняется, как показано ниже

Вращательное движение

Вращательным движением занимается только твердые тела .Твердое тело - это объект, удерживающий его общая форма, а это означает, что частицы, которые делают вверх твердое тело остается в том же положении относительно для другого. Колесо и ротор двигателя общие. примеры твердых тел, которые обычно появляются в вопросы, связанные с вращательным движением.

Круговое движение

Круговой движение - это распространенный тип вращательного движения.Как движение снаряда мы можем проанализировать кинематику и узнать что-нибудь об отношениях между положение, скорость и ускорение. Первый закон Ньютона утверждает, что движущийся объект остается в движении на постоянная скорость, если только на нее не действует внешняя сила. Если сила приложена перпендикулярно направлению движения изменится только направление скорости. Если сила постоянно действует перпендикулярно движущемуся объект, объект будет двигаться по круговой траектории на постоянная скорость.Это называется равномерным круговым движением.

Круговое движение твердого тела происходит, когда каждая точка тела движется по кругу путь вокруг линии, называемой осью вращения , который прорезает центр масс, как показано на следующий рисунок.

Равномерное круговое движение

Онлайн-моделирование для измерения положение, скорость и ускорение (оба компоненты и величина) объекта, подвергающегося круговое движение.

Трансляционный Движение в сравнении с вращательным движением

Есть сильная аналогия между вращательным движением и стандартным поступательным движением движение. Действительно, каждое физическое понятие, используемое для анализа вращательное движение имеет и поступательное движение.

Момент инерции

Откройте для себя отношения между угловая скорость, масса, радиус и момент инерции для коллекции точечных масс, колец, дисков и т. д. сложные формы.

Крутящий момент и момент инерции

Рассчитайте чистый крутящий момент и момент инерция, основанная на положениях объектов и масса бруса.

Комбинированное поступательное и вращательное движение

Комбинированное поступательное и вращательное движение
Далее: Рабочий пример 8.1: Балансировка Up: Вращательное движение Предыдущая: Физика бейсбола


Комбинированное поступательное и вращательное движение В разд.4.7, мы проанализировали движение блока, скользящего по наклон без трения. Мы обнаружили, что блок ускоряется вниз по уклон с равномерным ускорением, где угол, образованный наклоном с горизонтом. В таком случае, вся потенциальная энергия теряется блоком, когда он скользит вниз наклон преобразуется в поступательную кинетическую энергию (см. Разд. 5). В частности, нет энергии рассеивается.

Конечно, блок не может скользить по фрикциону поверхность без рассеивания энергии.Однако по опыту мы знаем, что круглый предмет может катить по такой поверхности с трудом любое рассеивание. Например, гораздо легче перетащить тяжелый чемодан по вестибюль аэропорта если у чемодана есть колеса на дне. Исследуем физику качения круглых объектов. по шероховатым поверхностям и, в частности, качению вниз по крутым склонам.

Рассмотрим однородный цилиндр радиуса, катящийся по горизонтальной фрикционной поверхности.См. Рис. 83. Позвольте быть поступательной скоростью центра цилиндра массы, и пусть будет угловая скорость цилиндра относительно оси, идущей вдоль его длина и проходящий через его центр масс. Обдумайте суть контакта между цилиндром и поверхностью. Скорость этой точки состоит из двух компонентов: скорости поступательного движения, которая является общей для всех элементов цилиндра, а тангенциальная скорость , из-за вращательное движение цилиндра. Таким образом,

(396)

Предположим, что цилиндр катится без проскальзывания .Другими словами, предположим, что отсутствует диссипация энергии трения при движении цилиндра по поверхности. Это возможно только при нулевом чистом движении между поверхностью и дно цилиндра, которое подразумевает, или
(397)

Отсюда следует, что когда цилиндр или любой другой круглый предмет катится по шероховатой поверхности без скольжение - , то есть , без рассеивания энергии - тогда поступательное и скорости вращения не являются независимыми, но удовлетворяют определенному соотношению (см. уравнение выше).Конечно, если цилиндр скользит по поверхности, то это соотношение больше не держит.
Рисунок 83: Цилиндр, катящийся по шероховатой поверхности.

Теперь рассмотрим, что происходит, когда цилиндр, показанный на рис. 83, катится, без скольжения по крутому склону, угол наклона которого относительно горизонтали равен . Если цилиндр стартует из состояния покоя и скатывается по склону на вертикальное расстояние , то его гравитационная потенциальная энергия уменьшается на , где - масса цилиндра.Это уменьшение потенциальной энергии должно быть компенсируется соответствующим увеличением кинетической энергии. (Напомним, что когда цилиндр катится без проскальзывания, потери энергии на трение отсутствуют). Цилиндр может обладать двумя разными типами кинетической энергии. Во-первых, переводной кинетическая энергия: , где - поступательная скорость; и, во-вторых, вращательная кинетическая энергия: , куда - угловая скорость цилиндра, - его момент инерции.Следовательно, экономия энергии дает

(398)

Теперь, когда цилиндр катится без пробуксовки, его поступательный и вращательный скорости связаны уравнением. (397). Из уравнения (398) что
(399)

Используя тот факт, что момент инерции однородного цилиндра относительно его ось симметрии , мы можем написать приведенное выше уравнение более явно, как
(400)

Теперь, если тот же цилиндр соскользнет вниз по наклону без трения , так что он упал из состояния покоя через вертикальное расстояние, то его конечная скорость поступательного движения удовлетворяет
(401)

Сравнение формул.(400) и (401) показывают, что когда униформа цилиндр катит вниз по склону без скольжения, его конечный поступательный скорость на меньше, чем на , чем скорость, полученная, когда цилиндр скользит на вниз так же наклон без трения. Причина в том, что в первом случае часть потенциальной энергии, выделяющейся при падении цилиндра, преобразуется в вращательная кинетическая энергия, тогда как в последнем случае все высвобождаемая потенциальная энергия преобразуется в поступательную кинетическую энергию.Обратите внимание, что в обоих случаях общая кинетическая энергия цилиндра составляет внизу уклона равен высвобожденному потенциалу энергия.
Рисунок 84: Цилиндр, катящийся по крутому склону.

Рассмотрим уравнения движения цилиндра массы и радиуса, катящегося по крутой спуск без скольжения. Как показано на рис. 84, имеется три силы, действующие на цилиндр. Во-первых, у нас есть вес цилиндра, который действует вертикально вниз.Во-вторых, у нас есть реакция наклона, которая действует обычно наружу от поверхности склона. Наконец, у нас есть сила трения, который действует вверх по склону параллельно его поверхности.

Как мы уже обсуждали, проще всего описать перевод движение вытянутого тела, следуя движению его центра масс. Это движение эквивалентно движению точечной частицы, масса которой равна тела, которое подвержено тем же внешним силам, что и действующие на теле.Таким образом, приложение трех сил,, и, к центра масс цилиндра и разрешается в направлении, перпендикулярном поверхности наклон, получаем

(402)

Кроме того, второй закон Ньютона, примененный к движению центра масс параллельно откосу дает
(403)

где - поступательное ускорение цилиндра вниз по склону.

Давайте теперь рассмотрим вращательное уравнение движения цилиндра. Во-первых, мы должны оценить крутящие моменты, связанные с тремя силами действующий на цилиндр. Напомним, что крутящий момент, связанный с данная сила является произведением величины этой силы и длина рычага уровня - т. е. , перпендикулярное расстояние между линией действия силы и ось вращения. Теперь по определению вес расширенного объект действует в его центре масс.Однако в этом случае ось вращение проходит через центр масс. Следовательно, длина рычага рука, связанная с весом, равна нулю. Следует что связанный крутящий момент также равен нулю. Из рис. 84 видно, что линия действия силы противодействия `` проходит через центр массы цилиндра, совпадающей с осью вращения. Таким образом, длина рычага Плечо, связанное с, равно нулю, как и связанный с ним крутящий момент. Наконец, согласно рис. 84, расстояние по перпендикуляру между линиями действия силы трения`` и ось вращения просто радиус цилиндра, - поэтому соответствующий крутящий момент равен.Мы заключаем, что чистый крутящий момент, действующий на цилиндр просто

(404)

Отсюда следует, что вращательное уравнение движения цилиндра принимает вид
(405)

где - момент инерции, а - ускорение вращения.

Теперь, если цилиндр катится без проскальзывания, так что ограничение (397) всегда выполняется, то из производной по времени этого ограничения следует следующее соотношение между поступательным и вращательным ускорениями цилиндра:

(406)

Как следует из Ур.(403) и (405), что

Поскольку момент инерции цилиндра фактически равен , над выражения упрощают, чтобы дать
(409)

и
(410)

Обратите внимание, что ускорение однородного цилиндра при его скатывании по склону без скольжение, составляет всего две трети значения, полученного, когда цилиндр скользит по тому же наклону без трения.Это ясно из уравнения. (403) что в первом случае ускорение цилиндра вниз по склону тормозится трением. Обратите внимание, однако, что сила трения просто действует для преобразования поступательной кинетической энергии во вращательную кинетическая энергия и не рассеивает энергию.

Теперь, чтобы наклон проявил силу трения, указанную в формуле. (410), без проскальзывания ската и цилиндра эта сила должна быть меньше максимально допустимой статической силы трения, , где коэффициент трения покоя.Другими словами, условие цилиндр для скатывания по склону без скольжения, или

(411)

Это условие легко выполняется для пологих склонов, но может нарушаться на чрезвычайно крутые склоны (в зависимости от размера). Конечно, вышеуказанное условие всегда нарушается на спусках без трения, для которых.

Предположим, наконец, что мы поместили два цилиндра, бок о бок и в состоянии покоя, наверху фрикционный уклон наклона.Пусть два цилиндра имеют одинаковую массу, и тот же радиус,. Однако предположим, что первый цилиндр однородный, а второй - полая оболочка. Какой цилиндр первым достигает дна откоса, если предположить, что они оба выпущены одновременно, и оба катятся без скольжения? Ускорение каждого цилиндра вниз по склону дается формулой. (407). В случае твердого цилиндра момент инерции равен , так что

(412)

В случае полого цилиндра момент инерции равен ( i.е. , г. такое же, как у кольца с аналогичной массой, радиусом и осью вращения), так что
(413)

Понятно, что сплошной цилиндр достигает дна откоса раньше, чем . полый (так как он обладает большим ускорением). Обратите внимание, что ускорения двух цилиндров не зависят от их размеров или массы. Этот предполагает, что цельный цилиндр всегда будет скатываться по фрикционному уклону быстрее чем полый, независимо от их относительных размеров (при условии, что они оба катятся без скольжения).Фактически, уравнение. (407) предполагает, что всякий раз, когда два разные предметы катятся (без скольжения) по одному склону, затем самый компактный объект - то есть , объект с наименьшим коэффициентом - всегда побеждает в гонке.

Далее: Рабочий пример 8.1: Балансировка Up: Вращательное движение Предыдущая: Физика бейсбола
Ричард Фицпатрик 2006-02-02

Кинематика вращательного движения | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Соблюдайте кинематику вращательного движения.
  • Выведите кинематические уравнения вращения.
  • Оценить стратегии решения проблем для вращательной кинематики.

Просто используя нашу интуицию, мы можем начать видеть, как вращательные величины, такие как θ , ω и α , связаны друг с другом. Например, если колесо мотоцикла имеет большое угловое ускорение в течение довольно длительного времени, оно быстро вращается и совершает много оборотов. С технической точки зрения, если угловое ускорение α колеса велико в течение длительного периода времени t , то конечная угловая скорость ω и угол поворота θ будут большими.Вращательное движение колеса в точности аналогично тому, что большое поступательное ускорение мотоцикла дает большую конечную скорость, и пройденное расстояние также будет большим.

Кинематика - это описание движения. Кинематика вращательного движения описывает отношения между углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением и временем. Начнем с поиска уравнения, связывающего ω , α и t .Чтобы определить это уравнение, вспомним знакомое кинематическое уравнение поступательного или прямолинейного движения:

[латекс] v = {v} _ {0} + {at} \\ [/ latex] (константа a )

Обратите внимание, что во вращательном движении a = a t , и с этого момента мы будем использовать символ a для тангенциального или линейного ускорения. Как и в линейной кинематике, мы предполагаем, что a является постоянным, что означает, что угловое ускорение α также является постоянным, потому что a = .Теперь давайте подставим v = и a = в приведенное выше линейное уравнение:

= 0 + крыс.

Радиус r сокращается в уравнении, давая

ω = ω 0 + ат. (константа a )

, где ω 0 - начальная угловая скорость. Это последнее уравнение представляет собой кинематическое соотношение между ω , α и t , то есть оно описывает их соотношение без ссылки на силы или массы, которые могут влиять на вращение.По форме он аналогичен своему переводному аналогу.

Выполнение подключений Кинематика вращательного движения полностью аналогична поступательной кинематике, впервые представленной в «Одномерной кинематике». Кинематика занимается описанием движения без учета силы или массы. Мы обнаружим, что поступательные кинематические величины, такие как смещение, скорость и ускорение, имеют прямые аналоги во вращательном движении.

Исходя из четырех кинематических уравнений, которые мы разработали в Одномерной кинематике, мы можем вывести следующие четыре кинематических уравнения вращения (представленные вместе с их аналогами для поступательного движения):

Таблица 1.Уравнения вращательной кинематики
Вращательное Трансляционный
[латекс] \ theta = \ bar {\ omega} t \\ [/ latex] [латекс] x = \ bar {v} t \\ [/ latex]
ω = ω 0 + αt v = v o + at (постоянная α , a )
[латекс] \ theta = {\ omega} _ {0} t + \ frac {1} {2} {\ alpha t} ^ {2} \\ [/ latex] [латекс] x = {v} _ {0} t + \ frac {1} {2} {\ text {at}} ^ {2} \\ [/ latex] (постоянная α , a )
ω 2 = ω 0 2 + 2 α θ v 2 = v o 2 + 2ax (постоянная α , a )

В этих уравнениях индекс 0 обозначает начальные значения ( θ 0 , x 0 и t 0 - начальные значения) и среднюю угловую скорость [латекс] \ bar {\ omega} \\ [/ latex] и средняя скорость [latex] \ bar {v} \\ [/ latex] определяются следующим образом:

[латекс] \ bar {\ omega} = \ frac {{\ omega} _ {0} + \ omega} {2} \ text {и} \ overline {v} = \ frac {{v} _ {0} + v} {2} \\ [/ латекс].

Уравнения, приведенные выше в таблице 1, могут использоваться для решения любой задачи вращательной или поступательной кинематики, в которой a и α постоянны.

Стратегия решения проблем для вращательной кинематики
  1. Изучите ситуацию, чтобы определить, задействована ли кинематика вращения (вращательное движение) . Должно быть задействовано вращение, но без учета сил или масс, влияющих на движение.
  2. Определите, что именно необходимо определить в проблеме (определите неизвестные) .Набросок ситуации полезен.
  3. Составьте список того, что дано или может быть выведено из проблемы, как указано (определить известные) .
  4. Решите соответствующее уравнение или уравнения для определяемой величины (неизвестное значение) . Может быть полезно думать в терминах трансляционного аналога, потому что теперь вы знакомы с таким движением.
  5. Подставьте известные значения вместе с их единицами измерения в соответствующее уравнение и получите численные решения вместе с единицами измерения .Обязательно используйте радианы для углов.
  6. Проверьте свой ответ, чтобы убедиться, что он разумен: Имеет ли смысл ваш ответ ?

Пример 1. Расчет ускорения рыболовной катушки

Глубоководный рыбак ловит большую рыбу, отплывающую от лодки, выдергивая леску из своей рыболовной катушки. Вся система изначально находится в состоянии покоя, а леска разматывается с катушки на радиусе 4,50 см от оси вращения. Катушке дается угловое ускорение 110 рад / с 2 для 2.00 с, как показано на рисунке 1. (a) Какова конечная угловая скорость барабана? (b) С какой скоростью леска покидает катушку по прошествии 2,00 с? (c) Сколько оборотов делает катушка? (d) Сколько метров лески сошло с катушки за это время?

Стратегия

В каждой части этого примера стратегия такая же, как и для решения задач линейной кинематики. В частности, идентифицируются известные значения, и затем ищется взаимосвязь, которая может использоваться для решения неизвестного.

Решение для (a)

Здесь даны α, и t , и необходимо определить ω . Самым простым уравнением для использования является ω = ω 0 + αt , потому что неизвестное уже находится на одной стороне, а все остальные члены известны. Это уравнение утверждает, что

ω = ω 0 + αt .

Нам также дано, что ω 0 = 0 (начинается с состояния покоя), так что

ω = 0 + (110 рад / с 2 ) (2.00 с) = 220 рад / с

Решение для (b)

Теперь, когда известно ω , скорость v проще всего найти с помощью соотношения

v = ,

, где радиус r катушки задан равным 4,50 см; таким образом,

v = (0,0450 м) (220 рад / с) = 9,90 м / с.

Еще раз обратите внимание, что радианы всегда должны использоваться в любых вычислениях, касающихся линейных и угловых величин.{2} = \ text {220 рад}. \ End {array} \\ [/ latex]

Преобразование радианов в обороты дает

[латекс] \ theta = (220 \ text {rad}) \ frac {1 \ text {rev}} {2 \ pi \ text {rad}} = 35.0 \ text {rev} \\ [/ latex]

Решение для (d)

Количество метров лески x , которое может быть получено через ее соотношение с θ:

x = = (0,0450 м) (220 рад) = 9,90 м.

Обсуждение

Этот пример показывает, что отношения между вращательными величинами очень похожи на отношения между линейными величинами.Мы также видим в этом примере, как связаны линейные и вращательные величины. Ответы на вопросы реалистичны. После раскручивания в течение двух секунд катушка вращается со скоростью 220 рад / с, что составляет 2100 об / мин. (Неудивительно, что барабаны иногда издают высокие звуки.) Длина разыгранной лески составляет 9,90 м, что примерно соответствует тому моменту, когда клюет большая рыба.

Рис. 1. Леска, сходящая с вращающейся катушки, движется линейно. В примерах 10.3 и 10.4 рассматриваются отношения между вращательными и линейными величинами, связанными с рыболовной катушкой.

Пример 2. Расчет продолжительности, когда рыболовная катушка замедляется и останавливается

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если рыбак затормозит вращающуюся катушку, получив угловое ускорение -300 рад / с 2 . Как долго катушка останавливается?

Стратегия

Нам предлагается найти время t , за которое барабан остановится. Начальные и конечные условия отличаются от условий в предыдущей задаче, в которой использовалась та же рыболовная катушка.Теперь мы видим, что начальная угловая скорость равна ω 0 = 220 рад / с, а конечная угловая скорость ω равна нулю. Угловое ускорение составляет α = -300 рад / с 2 . Изучая доступные уравнения, мы видим все величины, но t известны в ω = ω 0 + αt , что упрощает использование этого уравнения.

Решение

Уравнение утверждает

ω = ω 0 + αt .{2}} = 0 \ text {.} \ Text {733 s} \\ [/ latex].

Обсуждение

Обратите внимание, что следует проявлять осторожность со знаками, указывающими направления различных величин. Также обратите внимание, что время остановки барабана довольно мало, потому что ускорение довольно велико. Леска иногда ломается из-за участвующих в ней ускорений, и рыбаки часто позволяют рыбе плавать некоторое время, прежде чем тормозить катушку. Уставшая рыба будет медленнее, требуя меньшего ускорения.

Пример 3. Расчет медленного ускорения поездов и их колес

Большие грузовые поезда очень медленно ускоряются. Предположим, что один такой поезд ускоряется из состояния покоя, придавая своим колесам радиусом 0,350 м угловое ускорение 0,250 рад / с 2 . После того, как колеса совершат 200 оборотов (предположим, что проскальзывания нет): а) Как далеко поезд продвинулся по рельсам? б) Какова конечная угловая скорость колес и линейная скорость поезда?

Стратегия

В части (а) нас просят найти x , а в (b) нас просят найти ω и v .Нам даны число оборотов θ , радиус колес r и угловое ускорение α .

Решение для (a)

Расстояние x очень легко найти из отношения между расстоянием и углом поворота:

[латекс] \ theta = \ frac {x} {r} \\ [/ latex].

Решение этого уравнения для x дает

x = rθ.

Перед использованием этого уравнения мы должны преобразовать количество оборотов в радианы, потому что мы имеем дело с соотношением между линейными и вращательными величинами:

[латекс] \ theta = \ left (\ text {200} \ text {rev} \ right) \ frac {2 \ pi \ text {rad}} {\ text {1 rev}} = \ text {1257} \ текст {рад} \\ [/ латекс].{1/2} \\ & = & \ text {25,1 рад / с.} \ End {array} \\ [/ latex]

Мы можем найти линейную скорость поезда, v , через ее отношение к ω :

v = = (0,350 м) (25,1 рад / с) = 8,77 м / с.

Обсуждение

Пройденное расстояние довольно велико, а конечная скорость довольно мала (чуть менее 32 км / ч).

Существует поступательное движение даже для чего-то, вращающегося на месте, как показано в следующем примере.На рис. 2 изображена муха на краю вращающейся пластины микроволновой печи. В приведенном ниже примере вычисляется общее пройденное расстояние.

Рис. 2. На изображении показана микроволновая пластина. Муха совершает обороты, пока еда разогревается (вместе с мухой).

Пример 4. Расчет расстояния, пройденного мухой на краю плиты микроволновой печи

Человек решает использовать микроволновую печь, чтобы разогреть обед. При этом муха случайно влетает в микроволновку, приземляется на внешний край вращающейся пластины и остается там.Если тарелка имеет радиус 0,15 м и вращается со скоростью 6,0 об / мин, рассчитайте общее расстояние, пройденное мухой за 2,0-минутный период приготовления. (Игнорируйте время запуска и замедления.)

Стратегия

Сначала найдите общее количество оборотов θ , а затем пройденное линейное расстояние x . Можно использовать [latex] \ theta = \ bar {\ omega} t \\ [/ latex], чтобы найти θ потому что [latex] \ bar {\ omega} \\ [/ latex] задано равным 6,0 об / мин.

Решение

Ввод известных значений в [latex] \ theta = \ bar {\ omega} t \\ [/ latex] дает

[латекс] \ theta = \ bar {\ omega} t = \ left (\ text {6.0 об / мин} \ right) \ left (\ text {2.0 min} \ right) = \ text {12 rev} \\ [/ latex].

Как всегда, необходимо преобразовать обороты в радианы перед вычислением линейной величины, такой как x , из угловой величины, такой как θ :

[латекс] \ theta = \ left (\ text {12 rev} \ right) \ left (\ frac {2 \ pi \ text {rad}} {\ text {1 rev}} \ right) = 75,4 \ text { рад} \\ [/ латекс].

Теперь, используя соотношение между x и θ , мы можем определить пройденное расстояние:

x = = (0.15 м) (75,4 рад) = 11 м.

Обсуждение

Неплохая поездка (если выживет)! Обратите внимание, что это расстояние - это полное расстояние, пройденное мухой. Смещение фактически равно нулю для полных оборотов, потому что они возвращают муху в исходное положение. Различие между общим пройденным расстоянием и перемещением было впервые отмечено в «Одномерной кинематике».

Проверьте свое понимание

Кинематика вращения имеет множество полезных взаимосвязей, часто выражаемых в форме уравнений.Являются ли эти отношения законами физики или они просто описательны? (Подсказка: тот же вопрос относится к линейной кинематике.)

Решение

Кинематика вращения (как и линейная кинематика) носит описательный характер и не отражает законы природы. С помощью кинематики мы можем описать многие вещи с большой точностью, но кинематика не учитывает причины. Например, большое угловое ускорение описывает очень быстрое изменение угловой скорости без учета его причины.

Сводка раздела

Задачи и упражнения

1. С помощью струны гироскоп из состояния покоя разгоняется до 32 рад / с за 0,40 с. а) Каково его угловое ускорение в рад / с 2 ? б) Сколько революций происходит в процессе?

2. Допустим, на компакт-диске оказался кусок пыли. Если скорость вращения компакт-диска составляет 500 об / мин, а пылинка находится на расстоянии 4,3 см от центра, какое общее расстояние проходит пыль за 3 минуты? (Игнорируйте ускорения из-за вращения компакт-диска.)

3. Гироскоп замедляется от начальной скорости 32,0 рад / с до 0,700 рад / с 2 . а) Сколько времени нужно, чтобы успокоиться? б) Сколько оборотов он делает до остановки?

4. При очень быстрой остановке автомобиль замедляется со скоростью 700 м / с 2 .

(a) Каково угловое ускорение его шин радиусом 0,280 м, если предположить, что они не скользят по тротуару?
(b) Сколько оборотов делают шины перед остановкой, если их начальная угловая скорость равна 95.0 рад / с?
(c) Сколько времени нужно автомобилю, чтобы полностью остановиться?
(d) Какое расстояние машина проезжает за это время?
(e) Какова была начальная скорость автомобиля?
(f) Кажутся ли полученные значения разумными, учитывая, что эта остановка происходит очень быстро?

Рис. 3. Йо-йо - это забавные игрушки, которые демонстрируют значительную физику и созданы для повышения производительности на основе физических законов. (Источник: Beyond Neon, Flickr)

5. Повседневное применение: Предположим, у йо-йо есть центральный вал с цифрой 0.Радиусом 250 см и натянута струна.

(a) Если струна неподвижна и йо-йо ускоряется от нее со скоростью 1,50 м / с 2 , каково угловое ускорение йо-йо?
(b) Какова угловая скорость через 0,750 с, если она начинается из состояния покоя?
(c) Внешний радиус йо-йо составляет 3,50 см. Каково тангенциальное ускорение точки на краю?

Глоссарий

кинематика вращательного движения:
описывает отношения между углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением и временем

Избранные решения проблем и упражнения

1.{2} \\ [/ latex] (b) 1.0 rev

3. (а) 45.7 с (б) 116 изм.

5. (а) 600 рад / с 2 (б) 450 рад / с (в) 21,0 м / с

Новый взгляд на работу и энергию - Колледж физики

Цели обучения

  • Выведите уравнение для работы вращения.
  • Рассчитайте кинетическую энергию вращения.
  • Продемонстрируйте закон сохранения энергии.

В этом модуле мы узнаем о работе и энергии, связанных с вращательным движением.(Рисунок) показывает рабочий, использующий электрический точильный камень, приводимый в движение двигателем. Разлетаются искры, и создается шум и вибрация, когда слои стали отделяются от столба. Камень продолжает вращаться даже после выключения двигателя, но в конечном итоге останавливается из-за трения. Ясно, что мотор должен был работать, чтобы заставить камень вращаться. Эта работа включала в себя тепло, свет, звук, вибрацию и значительную кинетическую энергию вращения.

Двигатель вращает точильный камень, передавая ему кинетическую энергию вращения.Затем эта энергия преобразуется в тепло, свет, звук и вибрацию. (Источник: фото ВМС США, сделанный специалистом по массовым коммуникациям моряком Закари Дэвидом Беллом)

Необходимо выполнить работу по вращению таких предметов, как точильные камни или карусели. Работа была определена в разделе «Равномерное круговое движение и гравитация» для поступательного движения, и мы можем опираться на эти знания при рассмотрении работы, выполняемой во вращательном движении. Простейшая ситуация вращения - это ситуация, при которой результирующая сила действует перпендикулярно радиусу диска (как показано на (Рисунок)) и остается перпендикулярно, когда диск начинает вращаться.Сила параллельна перемещению, поэтому проделанная работа является произведением силы на пройденную длину дуги:

Чтобы получить крутящий момент и другие величины вращения в уравнении, мы умножаем и делим правую часть уравнения на и собираем члены:

Мы признаем это и, так что

Это уравнение является выражением вращательной работы. Это очень похоже на знакомое определение переводческой работы как силы, умноженной на расстояние.Здесь крутящий момент аналогичен силе, а угол аналогичен расстоянию. Уравнение справедливо в целом, хотя оно было выведено для частного случая.

Чтобы получить выражение для кинетической энергии вращения, мы должны снова выполнить некоторые алгебраические манипуляции. Первый шаг - это отметить, чтобы

Чистая сила на этом диске сохраняется перпендикулярно его радиусу, поскольку сила заставляет диск вращаться. Таким образом, чистая работа проделана. Чистая работа переходит в кинетическую энергию вращения.

Теперь мы решаем одно из уравнений кинематики вращения для. Начнем с уравнения

Далее мы решаем:

Подставляя это в уравнение для чистых и собираемых членов, получаем

Это уравнение представляет собой теорему работы-энергии только для вращательного движения. Как вы помните, сетевая работа изменяет кинетическую энергию системы. По аналогии с поступательным движением мы определяем термин как кинетическая энергия вращения для объекта с моментом инерции и угловой скоростью:

Выражение для кинетической энергии вращения в точности аналогично поступательной кинетической энергии, при этом аналогично и.Кинетическая энергия вращения имеет важные эффекты. Например, маховики могут использоваться для хранения большого количества кинетической энергии вращения в транспортном средстве, как показано на (Рисунок).

Были построены экспериментальные транспортные средства, такие как этот автобус, в которых кинетическая энергия вращения хранится в большом маховике. Когда автобус спускается с холма, его трансмиссия преобразует его потенциальную гравитационную энергию в. Он также может преобразовывать поступательную кинетическую энергию при остановке автобуса в. Затем энергию маховика можно использовать для ускорения, подъема на другой холм или для предотвращения движения автобуса от трения.

Расчет работы и энергии для вращения точильного камня

Представьте человека, который вращает большой точильный камень, кладя руку на его край и прилагая силу через часть оборота, как показано на (Рисунок). В этом примере мы проверяем, что работа, выполняемая крутящим моментом, который она проявляет, равна изменению энергии вращения. (а) Сколько работы будет выполнено, если она приложит усилие в 200 Н при вращении на? Сила поддерживается перпендикулярно радиусу точильного камня 0,320 м в точке приложения, а эффект трения незначителен.(b) Какова конечная угловая скорость, если точильный камень имеет массу 85,0 кг? (c) Какова конечная кинетическая энергия вращения? (Это должно равняться работе.)

Стратегия

Чтобы найти работу, мы можем использовать уравнение. У нас достаточно информации для расчета крутящего момента и дан угол поворота. Во второй части мы можем найти конечную угловую скорость, используя одно из кинематических соотношений. В последней части мы можем вычислить кинетическую энергию вращения из выражения в.

Решение для (а)

Чистая работа выражается уравнением

, где net - это приложенная сила, умноженная на радиус, потому что нет тормозящего трения, и сила перпендикулярна. Угол указан. Подстановка данных значений в уравнение выше дает

.

отмечая, что,

Большой точильный камень вращается, взявшись за его внешний край.

Решение для (b)

Для поиска по данной информации требуется более одного шага.Начнем с кинематической зависимости в уравнении

Обратите внимание, потому что мы начинаем с отдыха. Извлечение квадратного корня из полученного уравнения дает

Теперь нам нужно найти. Одна возможность -

, где крутящий момент

Формула момента инерции для диска находится на (Рисунок):

Подставляя значения крутящего момента и момента инерции в выражение для, получаем

Теперь подставьте это значение и данное значение в приведенное выше выражение для:

Решение для (c)

Конечная кинетическая энергия вращения равна

.

Оба и были найдены выше.Таким образом,

Обсуждение

Конечная кинетическая энергия вращения равна работе, совершаемой крутящим моментом, что подтверждает, что проделанная работа перешла в кинетическую энергию вращения. Фактически, мы могли бы использовать выражение для энергии вместо кинематической зависимости для решения части (b). Мы сделаем это в следующих примерах.

Пилоты вертолетов хорошо знакомы с кинетической энергией вращения. Они знают, например, что точка невозврата будет достигнута, если они позволят своим лопастям замедляться ниже критической угловой скорости во время полета.Лезвия теряют подъемную силу, и невозможно сразу же заставить лезвия вращаться достаточно быстро, чтобы восстановить ее. Кинетическая энергия вращения должна подаваться на лопасти, чтобы заставить их вращаться быстрее, и не может быть подано вовремя достаточно энергии, чтобы избежать столкновения. Из-за ограничений по весу двигатели вертолетов слишком малы, чтобы обеспечивать как энергию, необходимую для подъема, так и восполнять кинетическую энергию вращения лопастей после их замедления. Кинетическая энергия вращения передается в них перед взлетом, и нельзя допускать, чтобы она упала ниже этого критического уровня.Один из возможных способов избежать столкновения - использовать гравитационную потенциальную энергию вертолета для пополнения кинетической энергии вращения лопастей за счет снижения высоты и выравнивания лопастей таким образом, чтобы вертолет раскручивался при снижении. Конечно, если высота вертолета слишком мала, то лопасти не успевают набрать подъемную силу до того, как коснутся земли.

Стратегия решения проблем для вращательной энергии

  1. Определите, какая энергия или работа участвует во вращении .
  2. Определите интересующую систему . Обычно помогает набросок.
  3. Проанализировать ситуацию, чтобы определить виды работ и задействованные энергии .
  4. Для закрытых систем сохраняется механическая энергия . То есть, обратите внимание, что и каждый может включать поступательные и вращательные вклады.
  5. Для открытых систем механическая энергия может не сохраняться, и другие формы энергии (ранее называвшиеся), такие как теплопередача, могут входить в систему или выходить из нее.Определите, что это такое, и при необходимости рассчитайте их.
  6. По возможности исключите термины, чтобы упростить алгебру .
  7. Проверьте ответ, чтобы убедиться в его обоснованности .

Расчет энергии вертолета

Типичный небольшой спасательный вертолет, похожий на тот, что показан на (Рисунок), имеет четыре лопасти, каждая длиной 4,00 м и массой 50,0 кг. Лопасти можно представить как тонкие стержни, которые вращаются вокруг одного конца оси, перпендикулярной их длине.Вертолет имеет полную массу в снаряженном состоянии 1000 кг. (а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения лопастей, когда они вращаются со скоростью 300 об / мин. (b) Рассчитайте поступательную кинетическую энергию вертолета, когда он летит со скоростью 20,0 м / с, и сравните ее с энергией вращения лопастей. (c) На какую высоту можно было бы поднять вертолет, если бы для его подъема использовалась вся кинетическая энергия вращения?

Стратегия

Вращательная и поступательная кинетические энергии могут быть вычислены по их определениям.Последняя часть проблемы связана с идеей, что энергия может изменять форму, в данном случае от вращательной кинетической энергии до гравитационной потенциальной энергии.

Решение для (а)

Кинетическая энергия вращения

Мы должны преобразовать угловую скорость в радианы в секунду и вычислить момент инерции, прежде чем мы сможем найти. Угловая скорость

Момент инерции одного лезвия будет моментом инерции тонкого стержня, вращающегося вокруг его конца, как показано на (Рисунок).Суммарный момент инерции в четыре раза больше, потому что лопастей четыре. Таким образом,

Ввод и в выражение для кинетической энергии вращения дает

Решение для (b)

Поступательная кинетическая энергия была определена в книге «Равномерное круговое движение и гравитация». Вводя заданные значения массы и скорости, получаем

Чтобы сравнить кинетические энергии, мы берем отношение поступательной кинетической энергии к вращательной кинетической энергии. Это соотношение

Решение для (c)

На максимальной высоте вся кинетическая энергия вращения будет преобразована в энергию гравитации.Чтобы найти эту высоту, мы приравниваем эти две энергии:

или

Теперь мы решаем и подставляем известные значения в полученное уравнение

Обсуждение

Отношение поступательной энергии к вращательной кинетической энергии составляет всего 0,380. Это соотношение говорит нам о том, что большая часть кинетической энергии вертолета находится в его вращающихся лопастях - о чем вы, вероятно, не подозреваете. Высота 53,7 м, на которую вертолет мог быть поднят с помощью кинетической энергии вращения, также впечатляет, еще раз подчеркивая количество кинетической энергии вращения в лопастях.

На первом изображении показано, как вертолеты накапливают большое количество кинетической энергии вращения в своих лопастях. Эту энергию необходимо передать лопастям перед взлетом и поддерживать до конца полета. Двигатели не обладают достаточной мощностью, чтобы одновременно обеспечивать подъемную силу и передавать значительную энергию вращения лопастям. На втором изображении показан вертолет спасательной службы Окленда Вестпак. С момента начала работы в 1973 году было спасено более 50 000 жизней.Здесь показана операция по спасению на воде. (кредит: 111 Emergency, Flickr)

Установление соединений

Сохранение энергии включает вращательное движение, потому что вращательная кинетическая энергия является другой формой. В равномерном круговом движении и гравитации подробно рассматривается сохранение энергии.

Насколько густой суп? Или почему не все объекты катятся вниз с одинаковой скоростью?

Один из элементов контроля качества на заводе по производству томатного супа заключается в скатывании наполненных банок по пандусу.Если они скатываются слишком быстро, суп получается слишком жидким. Почему банки одинакового размера и массы должны катиться по склону с разной скоростью? И почему самый густой суп должен скатываться медленнее всего?

Самый простой способ ответить на эти вопросы - рассмотреть вопрос об энергии. Предположим, каждая банка спускается по пандусу из состояния покоя. Каждая банка, начинающаяся из состояния покоя, означает, что каждая из них начинает с одной и той же гравитационной потенциальной энергии, которая полностью преобразуется в, при условии, что каждая банка катится без скольжения. однако может иметь форму или, а итог - это сумма двух.Если банка скатывается по рампе, она вкладывает часть своей энергии во вращение, оставляя меньше на перемещение. Таким образом, банка движется медленнее, чем если бы она соскользнула вниз. Кроме того, жидкий суп не вращается, в то время как густой суп вращается, потому что он прилипает к банке. Густой суп, таким образом, приводит во вращение больше изначальной гравитационной потенциальной энергии банки, чем жидкий суп, и банка катится медленнее, как показано на (Рисунок).

Три банки супа одинаковой массы мчатся по склону.Первая банка имеет покрытие с низким коэффициентом трения и не катится, а просто скользит по склону. Он выигрывает, потому что преобразует весь свой PE в трансляционный KE. И вторая, и третья банки скатываются по склону без скольжения. Вторая банка содержит жидкий суп и идет второй, потому что часть его первоначального PE идет на вращение банки (но не жидкого супа). В третьей банке густой суп. Он идет на третьем месте, потому что суп вращается вместе с банкой, забирая еще больше начального PE для вращательного KE, оставляя меньше для поступательного KE.

Если предположить, что потери из-за трения отсутствуют, то только одна сила выполняет работу - гравитация. Следовательно, общая проделанная работа - это изменение кинетической энергии. Когда банки начинают двигаться, потенциальная энергия превращается в кинетическую. Сохранение энергии дает

Точнее

или

Итак, начальная энергия делится между поступательной кинетической энергией и вращательной кинетической энергией; и чем больше, тем меньше энергии уходит на перевод.Если банка скользит вниз без трения, тогда вся энергия идет на перевод; таким образом, банка движется быстрее.

Take-Home Experiment

Найдите несколько банок, каждая из которых содержит разные виды еды. Во-первых, предскажите, кто из игроков выиграет гонку по наклонной плоскости, и объясните, почему. Посмотрите, верен ли ваш прогноз. Вы также можете провести этот эксперимент, собрав несколько пустых цилиндрических контейнеров одинакового размера и наполнив их разными материалами, такими как влажный или сухой песок.

Расчет скорости цилиндра, скатывающегося по наклонной поверхности

Рассчитайте конечную скорость твердого цилиндра, катящегося по склону высотой 2,00 м. Цилиндр запускается из состояния покоя, имеет массу 0,750 кг и радиус 4,00 см.

Стратегия

Мы можем найти конечную скорость, используя закон сохранения энергии, но сначала мы должны выразить вращательные величины в терминах поступательных величин, чтобы в итоге получить единственное неизвестное.

Решение

Сохранение энергии для этой ситуации записывается, как описано выше:

Прежде чем мы сможем найти, мы должны получить выражение из (рисунок).Поскольку и связаны между собой (обратите внимание, что цилиндр вращается без проскальзывания), мы также должны подставить соотношение в выражение. Эти замены дают

Интересно, что радиус и масса цилиндра сокращаются, давая

Алгебраически уравнение для конечной скорости дает

Подставляя известные значения в полученное выражение, получаем

Обсуждение

Поскольку и отменить, результат действителен для любого твердого цилиндра, подразумевая, что все твердые цилиндры будут катиться по склону с одинаковой скоростью, независимо от их массы и размеров.(Скатывание цилиндров вниз по склону - это то, что на самом деле сделал Галилей, чтобы показать, что объекты падают с одинаковой скоростью независимо от массы.) Обратите внимание, что если цилиндр без трения скользил вниз по склону без качения, то вся потенциальная гравитационная энергия перешла бы в поступательную кинетическую энергию. . Таким образом, и, что на 22% больше, чем. То есть, внизу цилиндр двигался бы быстрее.

Проверьте свое понимание

Аналогия вращательной и поступательной кинетической энергии Является ли кинетическая энергия вращения полностью аналогичной поступательной кинетической энергии? В чем, если таковые имеются, их отличия? Приведите пример каждого типа кинетической энергии.

Да, вращательная и поступательная кинетическая энергия - точные аналоги. Оба они представляют собой энергию движения, связанную с скоординированным (неслучайным) движением массы относительно некоторой системы отсчета. Единственная разница между вращательной и поступательной кинетической энергией состоит в том, что поступательное движение - это прямолинейное движение, а вращательное - нет. Пример кинетической и поступательной кинетической энергии можно найти в шине велосипеда при движении по велосипедной дорожке. Вращательное движение шины означает, что она обладает кинетической энергией вращения, в то время как движение велосипеда по траектории означает, что шина также обладает поступательной кинетической энергией.Если бы вы подняли переднее колесо велосипеда и повернули его, пока велосипед неподвижен, то колесо имело бы только кинетическую энергию вращения относительно Земли.

Исследования PhET: Моя солнечная система

Создайте свою собственную систему небесных тел и наблюдайте за гравитационным балетом. С помощью этого симулятора орбиты вы можете установить начальные положения, скорости и массы 2, 3 или 4 тел, а затем увидеть, как они вращаются вокруг друг друга.

Концептуальные вопросы

Опишите преобразования энергии, происходящие, когда йо-йо бросается вниз, а затем снова поднимается по своей веревке, чтобы попасть в руку пользователя.

Какие преобразования энергии происходят, когда двигатель драгстера набирает обороты, его сцепление быстро выключается, его колеса вращаются, и он начинает ускоряться вперед? Опишите источник и преобразование энергии на каждом этапе.

У Земли теперь больше кинетической энергии вращения, чем у облака газа и пыли, из которого она образовалась. Откуда взялась эта энергия?

Огромное облако вращающегося газа и пыли сжалось под действием силы тяжести, образуя Землю, и в процессе этого кинетическая энергия вращения увеличилась.(кредит: НАСА)

Задачи и упражнения

В этой задаче рассматриваются энергетические и рабочие аспекты (рисунок) - используйте данные из этого примера по мере необходимости. (а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения в карусели плюс ребенок, когда они имеют угловую скорость 20,0 об / мин. (b) Используя соображения энергии, найдите количество оборотов, которое отец должен будет сделать, чтобы достичь этой угловой скорости, начиная с состояния покоя. (c) Опять же, используя энергетические соображения, вычислите силу, которую отец должен приложить, чтобы остановить карусель за два оборота

(а) 185 Дж

(б) 0.0785 рев.

(в)

Какова конечная скорость обруча, который катится, не соскальзывая с холма высотой 5,00 м, начиная с состояния покоя?

(a) Рассчитайте кинетическую энергию вращения Земли вокруг своей оси. б) Какова кинетическая энергия вращения Земли на ее орбите вокруг Солнца?

(а)

(б)

Рассчитайте кинетическую энергию вращения колеса мотоцикла ((Рисунок)), если его угловая скорость составляет 120 рад / с. Предположим, что M = 12.0 кг, R 1 = 0,280 м, и R 2 = 0,330 м.

Бейсбольный питчер бросает мяч движением, при котором предплечье вращается вокруг локтевого сустава, а также другие движения. Если линейная скорость мяча относительно локтевого сустава составляет 20,0 м / с на расстоянии 0,480 м от сустава, а момент инерции предплечья равен, какова кинетическая энергия вращения предплечья?

Во время игры с футбольным мячом кикер вращает ногой вокруг тазобедренного сустава.Момент инерции ноги и ее кинетическая энергия вращения составляет 175 Дж. А) Какова угловая скорость ноги? (b) Какова скорость кончика ботинка игрока, если он находится на расстоянии 1,05 м от тазобедренного сустава? (c) Объясните, как футбольному мячу можно придать скорость, превышающую скорость носка ботинка (это необходимо для приличной дистанции удара).

Автобус содержит маховик массой 1500 кг (диск с радиусом 0,600 м) и имеет общую массу 10 000 кг. (a) Вычислите угловую скорость, с которой маховик должен выдерживать достаточно энергии, чтобы перевести автобус из состояния покоя до скорости 20.0 м / с, предполагая, что 90,0% кинетической энергии вращения может быть преобразовано в поступательную энергию. (б) На какую высоту может подняться автобус с этой накопленной энергией, сохранив скорость 3,00 м / с на вершине холма? Ясно покажите, как вы следуете шагам Стратегии решения проблем для вращательной энергии.

(а)

(б)

Мяч с начальной скоростью 8,00 м / с катится в гору без скольжения. Рассматривая мяч как сферическую оболочку, рассчитайте высоту, которую он достигает по вертикали.(b) Повторите расчет для того же шара, если он скользит по склону, не катясь.

Во время тренировки в фитнес-центре мужчина ложится на скамью лицом вниз и поднимает вес одной голенью, контактируя с мышцами задней части верхней части ноги. (a) Найдите угловое ускорение, создаваемое при поднимаемой массе 10,0 кг на расстоянии 28,0 см от коленного сустава, моменте инерции голени, мышечной силе 1500 Н и эффективном перпендикулярном плече рычага 3.00 см. б) Сколько работы выполняется, если нога поворачивается на угол с постоянной силой, прилагаемой мышцей?

(а)

(б)

Чтобы развить мышечный тонус, женщина поднимает в руке гирю весом 2,00 кг. Она использует свою двуглавую мышцу, чтобы согнуть нижнюю часть руки под углом. (a) Каково угловое ускорение, если груз находится на расстоянии 24,0 см от локтевого сустава, ее предплечье имеет момент инерции, а результирующая сила, которую она прикладывает, составляет 750 Н при эффективном перпендикулярном плече рычага, равном 2.00 см? б) Сколько работы она выполняет?

Рассмотрим два цилиндра, которые спускаются по одинаковому наклону из состояния покоя, за исключением того, что один из них не имеет трения. Таким образом, один цилиндр катится без скольжения, а другой скользит без трения. Они оба преодолевают небольшое расстояние внизу, а затем поднимаются по другому склону. (а) Покажите, что они оба достигают одинаковой высоты на другом склоне и что эта высота равна их первоначальной высоте. (b) Найдите отношение времени, которое требуется цилиндру качения для достижения высоты на втором уклоне, к времени, которое требуется цилиндру скольжения для достижения высоты на втором уклоне.(c) Объясните, почему время качения больше, чем время скольжения.

Каков момент инерции объекта, который катится без проскальзывания по склону высотой 2,00 м, начиная из состояния покоя, и имеет конечную скорость 6,00 м / с? Выразите момент инерции как кратное, где - масса объекта, а - его радиус.

Предположим, что мотоцикл весом 200 кг с двумя колесами, подобными тому, который описан в задаче 10.15, движется в сторону холма со скоростью 30.0 м / с. а) Насколько высоко он сможет взлететь на холм, если вы пренебрегаете трением? (b) Сколько энергии теряется на трение, если мотоцикл набирает высоту только 35,0 м перед остановкой?

В софтболе питчер выполняет бросок с полностью вытянутой рукой (прямо в локте). На быстрой подаче мяч отрывается от руки со скоростью 139 км / ч. (a) Найдите кинетическую энергию вращения руки питчера с учетом ее момента инерции, когда мяч покидает руку на расстоянии 0,600 м от точки поворота на плече.(b) Какую силу приложили мышцы, чтобы заставить руку вращаться, если их эффективное перпендикулярное плечо рычага составляет 4,00 см, а мяч весит 0,156 кг?

(а) 1,49 кДж

(б)

Создайте свою проблему

Представьте себе работу, которую выполняет вращающаяся фигуристка, подтягивая руки, чтобы увеличить скорость вращения. Постройте задачу, в которой вы рассчитываете проделанную работу с помощью вычисления «сила, умноженная на расстояние», и сравниваете ее с увеличением кинетической энергии фигуриста.

Глоссарий

теорема работы-энергии
если одна или несколько внешних сил действуют на твердый объект, вызывая изменение его кинетической энергии с на, то работа, совершаемая чистой силой, равна изменению кинетической энергии
кинетическая энергия вращения
кинетическая энергия, вызванная вращением объекта. Это часть его полной кинетической энергии

Страница не найдена | MIT

Перейти к содержанию ↓
  • Образование
  • Исследовательская работа
  • Инновации
  • Прием + помощь
  • Студенческая жизнь
  • Новости
  • Выпускников
  • О Массачусетском технологическом институте
  • Подробнее ↓
    • Прием + помощь
    • Студенческая жизнь
    • Новости
    • Выпускников
    • О Массачусетском технологическом институте
Меню ↓ Поиск Меню Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
Попробуйте поискать что-нибудь еще! Что вы ищете? Увидеть больше результатов

Предложения или отзывы?

Существуют аналогии между вращательными и поступательными физическими величинами.Идентифицируйте вращательный термин, аналогичный каждому из следующих: ускорение, сила, масса, работа, поступательная кинетическая энергия, «ближний импульс», импульс.

Определение величин, связанных с поступательным движением, и их аналогов во вращательном движении.

  • Ускорение
  • Аналогом линейного ускорения (a) во вращательном движении является угловое ускорение (α).

    Единица линейного ускорения S.I. - мс-2, тогда как единица углового ускорения S.I. - rads-2.

  • Сила
  • Сила (F) - это произведение массы и линейного ускорения. Крутящий момент (τ) является аналогом силы во вращательном движении. Крутящий момент - это произведение момента инерции и углового ускорения.

    Единицей измерения силы является Ньютон, а единицей измерения крутящего момента - Ньютон-метр.

  • Масса
  • При вращательном движении момент инерции (I) является аналогом массы (м) при поступательном движении.

    Момент инерции - это произведение массы системы вращающейся частицы и квадрата перпендикулярного расстояния между частицей и осью вращения.Математически I = mR2.

    Единица массы S.I. - килограмм, обозначенный как кг, а единица момента инерции - килограмм-метр в секунду - квадрат, обозначенный как кг · м2.

  • Работа:
  • При поступательном движении проделанная работа определяется выражением F → .d →, где F → - сила, а d → - смещение. При вращательном движении вокруг фиксированной оси выполняемая работа является произведением крутящего момента (τ →) и углового смещения (θ →), представленного τ →. θ →. Единица выполненной работы как в

    поступательное и вращательное движение совпадает i.е. Ньютон-метр.

  • Поступательная кинетическая энергия:
  • Поступательное движение зависит от массы (m) и скорости (v) объекта. Выражается как,

    K.E.tran = 12мв2

    При вращательном движении учитывается кинетическая энергия вращения. Он представлен как,

    К.Э.rot = 12Iω2

    Здесь I - момент инерции, ω - угловая скорость.

    Единица кинетической энергии при поступательном и вращательном движении одинакова i.е. джоуль.

  • Линейный импульс
  • Угловой момент является аналогом количества движения во вращательном движении. Поскольку линейный импульс (p) является произведением массы (m) и линейной скорости (v), точно так же угловой момент (L) является произведением его момента инерции (I) и его угловой скорости (ω).

    L = Iω

    Единицей измерения количества движения является килограмм-метр в секунду, а угловой момент - килограмм-метр в квадрате в секунду.

  • Импульс
  • Импульс (I) - это интеграл силы (F) за интервал времени (t).Вращательный аналог поступательного импульса - угловой импульс. Выражается как

    Дж = τ т

    Здесь τ - крутящий момент, t - временной интервал.

    Единицей измерения линейного импульса является ньютон-метр, а для углового импульса - ньютон-метр-секунда.

    Таким образом, различные физические величины, связанные с линейным движением, и их аналоги во вращательном движении. При вращательном движении угловая скорость, угловое смещение, момент вставки и крутящий момент играют ту же роль, что и линейная скорость, смещение, масса и сила соответственно в линейном движении.

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *