Число размещений из m по n: Вычислить число размещений из n по m. Сводка формул для всех видов соединений комбинаторика - Управленческое образование

Содержание

Найти число размещений элементов множества. Онлайн калькулятор

Комбинаторика. Размещения. Теория
Количество размещений в комбинаторике вычисляется по формуле Где n – количество элементов множества, m – количество объектов в размещении. Для размещений в отличии от сочетаний важен порядок расположения элементов в каждом размещении.
Например, дано множество букв {A, B, C, D} сколько вариантов размещений, если количество элементов в каждом размещении 2?
Решение:
Ответ:
AB, BA, AC, CA, AD, DA,
BC, CB, BD, DB, CD, DC

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка.

Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N₂ | Двоичная система счисления

N₃ | Троичная система счисления

N₄ | Четырехичная система счисления

N₅ | Пятеричная система счисления

N₆ | Шестеричная система счисления

N₇ | Семеричная система счисления

N₈ | Восьмеричная система счисления

N₉ | Девятеричная система счисления

N₁₁ | Одиннадцатиричная система счисления

N₁₂ | Двенадцатеричная система счисления

N₁₃ | Тринадцатеричная система счисления

N₁₄ | Четырнадцатеричная система счисления

N₁₅ | Пятнадцатеричная система счисления

N₁₆ | Шестнадцатеричная система счисления

N₁₇ | Семнадцатеричная система счисления

N₁₈ | Восемнадцатеричная система счисления

N₁₉ | Девятнадцатеричная система счисления

N₂₀ | Двадцатеричная система счисления

N₂₁ | Двадцатиодноричная система счисления

N₂₂ | Двадцатидвухричная система счисления

N₂₃ | Двадцатитрехричная система счисления

N₂₄ | Двадцатичетырехричная система счисления

N₂₅ | Двадцатипятеричная система счисления

N₂₆ | Двадцатишестеричная система счисления

N₂₇ | Двадцатисемеричная система счисления

N₂₈ | Двадцативосьмеричная система счисления

N₂₉ | Двадцатидевятиричная система счисления

N₃₀ | Тридцатиричная система счисления

N₃₁ | Тридцатиодноричная система счисления

N₃₂ | Тридцатидвухричная система счисления

N₃₃ | Тридцатитрехричная система счисления

N₃₄ | Тридцатичетырехричная система счисления

N₃₅ | Тридцатипятиричная система счисления

N₃₆ | Тридцатишестиричная система счисления

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажер по математике

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление.

Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона.

Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора.

Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

Большая энциклопедия школьника

Большая энциклопедия школьникауникальное издание, содержащее весь свод знаний, необходимый ученикам младших классов. Для детей, собирающихся в 1-й класс, она послужит незаменимым помощником для подготовки к школе. В этой энциклопедии ребенок сможет найти любую интересующую его информацию, в понятном и простом для него изложении. Вы подбираете слова и определения для простых вещей, которые надо объяснить ребенку? Сомневаетесь в формулировках? Просто возьмите «Большую энциклопедию школьника» и найдите нужный ответ вместе с малышом!

Математика в стихах
Развитие речи
Азбука в картинках
Игры на развитие внимания
Как правильно выбрать школу
Ваш ребенок левша
Как готовить домашнее задание
Контрольные и экзамены

Большая энциклопедия школьника — это твой надёжный путеводитель в мире знаний. Она проведёт сквозь извилистые лабиринты наук и раскроет завесу великих тайн Вселенной. С ней ты поднимешься высоко к звёздам и опустишься на дно самых глубоких морей, ты научишься видеть мельчайшие организмы и осязать огромные пространства Земли. Отправившись в это увлекательное путешествие, ты значительно расширишь свой кругозор и поднимешься на новую ступень развития. Отныне никакие вопросы учителей не смогут поставить тебя в тупик, ты сможешь найти выход из любой ситуации. Мир знаний зовёт тебя. В добрый путь!

Ребенок не хочет учить буквы

Ребенок не хочет учить буквы — Понимаете, ведь надо что-то делать! — с тревогой говорила мне полная, хорошо одетая дама, едва умещающаяся на стуле. Ее ноги в аккуратных лодочках были плотно сжаты (юбка до середины колена казалась слегка коротковатой для такой монументальной фигуры), руки сложены на коленях. — Ей же на тот год в школу, все ее сверстники уже читают, а она даже буквы …

Past continuous passive

Страдательный залог образуется с помощью вспомогательного глагола ‘to be’. Страдательный залог глагола ‘to repair’ в группе ‘continuous’ : To be repaired = Быть исправленным. The road is being repaired = Дорогу чинят. The road is not being repaired = Дорогу не чинят. Is the road being repaired? = Чинят ли дорогу? The road was being repaired = Дорогу чинили. The road was not being repaired = Дорогу не чинили. Was the road being repaired? = Чинили ли дорогу? Страдательный …

Определение формулы органического вещества по его молярной массе

Задание: Определить формулу углеводорода, если его молярная масса равна 78 г. № п/п Последовательность действий Выполнение действий 1. Записать общую формулу углеводорода. Общая формула углеводорода СхНу 2. Найти молярную массу углеводорода в общем виде. М(СхНу)=12х +у 3. Приравнять найденное в общем виде значение молярной массы к данному в . ..

У ЗВУК (У). 1) Удобная буква! Удобно в ней то, Что можно на букву Повесить пальто. У – сучок, В любом лесу Ты увидишь букву У. 2) ФОНЕТИЧЕСКАЯ ЗАРЯДКА. — Как воет волк! ( у – у – у ) 3) ЗАДАНИЯ. а) Подними руку, если услышишь звук (у): паук, цветок, лужа, диван, стол, стул, голуби, курица. б) Где стоит (у)? Зубы, утка, наука, кенгуру …

Урок 32. сочетания с повторениями — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №32. Сочетания с повторениями.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Элементы комбинаторики
Сочетания с повторениями

Глоссарий по теме

Перестановки

В комбинаторике конечное упорядоченное множество называется перестановкой без повторения, а их число обозначают Р_n .

Перестановки элементов одного и того же множества отличаются только порядком расположения элементов друг относительно друга.

P_n=1∙2∙3∙4∙…∙(n-1)∙n

Если элементы множества расставлены по кругу, то это так называемые перестановки n элементов по кругу. Их количество равно (n — 1)!

Если множество содержит одинаковые элементы, то подсчет количества перестановок с повторениями производится следующим образом: элементы первого типа можно переставить между собой (n₁ – количество таких элементов) способами, второго типа – способами, k -го типа — способами. Значит, число перестановок с повторениями меньше n! в раз, чем число перестановок без повторения, то есть это число равно

Размещения

В комбинаторике упорядоченные подмножества данного множества называются «размещениями из n элементов на k мест» или, проще: «размещениями из n по k».

Выбор m элементов из множества, содержащего n элементов с повторением и с упорядочиванием выбранных элементов в последовательную цепочку называют размещениями с повторениями из n элементов по m , а общее число обозначают

В комбинаторике подмножества данного множества называются «сочетаниями из n по k элементов» или, проще: «сочетания из n по k».

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Представим себе, что из элементов множества мы составляем всевозможные трехэлементные комбинации, в которых порядок не важен (как в сочетаниях), но выбрав каждый элемент мы возвращаем его обратно в множество и можем выбирать его снова. Сколько же в таком случае мы получим комбинаций

Считаем, что aab, aba или baa одинаковые наборы

aba и abc –разные наборы

Изучение этого случая начнем с простого примера:

В кондитерской имеются пирожные трех видов. Сколькими способами можно заказать набор, состоящий из пяти пирожных?

Поскольку порядок расположения пирожных в коробке не важен, речь идет о сочетаниях. Кроме того, в наборах обязательно будут повторения.

Зашифруем каждый заказ нулями и единицами. Сначала напишем столько единиц, сколько заказали пирожных первого вида. Потом напишем ноль. Дальше напишем столько единиц, сколько заказали пирожных второго вида. Затем опять ноль. Опять напишем столько единиц, сколько заказали пирожных третьего вида.

пирожные			Шифр заказа
Первый вид	Второй вид	Третий вид	Шифр заказа
2	2	1	1101101
5			1111100

Каждый «зашифрованный» заказ представляет собой комбинацию из пяти 1 и двух 0. Число выбора заказа равно числу перестановок с повторениями элементов множества {1,1,1,1,1,0,0}. В этом множестве 1 повторяется пять раз и 0 – два раза

Применим формулу для числа перестановок с повторениями

Значит, способов заказать набор пирожных 21.

Выбор m элементов из множества, содержащего n элементов с повторением и без упорядочивания выбранных элементов в последовательную цепочку называют сочетаниями с повторениями из n элементов по m

Пусть множество содержит n элементов, а выборка будет содержать m элементов. Аналогично тому, как мы делали в примере, зашифруем каждую выборку единицами и нулями.

Число единиц равно числу выбираемых элементов, то есть m. Поскольку всего различных элементов в множестве n, то мы должны поставить между единицами (n-1) «перегородку», то есть (n-1) нулей. Число размещений с повторениями равно числу перестановок с повторениями элементов полученного множества из m единиц и (n-1) нулей

Сочетания с повторениями используем тогда, когда порядок расположения элементов в выборке не имеет значения и элементы могут повторяться

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из следующих значений: 5, 6, 7, 8, 9?

Решение:

Данные стороны таковы, что любые три из них соответствуют правилу треугольника, т. е. каждая сторона меньше суммы двух других. Значит, любая комбинация из трех сторон образует треугольник. Здесь речь идет о числе сочетаний из 5 элементов по 3 с повторениями:

Ответ: 35

Пример 2.

Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае.

Поскольку , , , , , то существует 5+15+35+70+126=251 чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 126

основные правила и формулы. Формулы комбинаторики Перестановки и теория вероятностей

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т. к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *…*n k .

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая — из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n 1 =6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =…n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*…*n (читается: «эн факториал»), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5 . Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т. к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Т.к. число четное на третьем месте может стоять 0, 2, 4, 6, т.е. четыре цифры. На втором месте может стоять любая из семи цифр. На первом месте может стоять любая из семи цифр кроме нуля, т.е. 6 возможностей. Результат =4*7*6=168.
2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
На первом месте может стоять любая цифра кроме 0, т.е. 9 возможностей. На втором месте может стоять любая цифра, т.е. 10 возможностей. На третьем месте тоже может стоять любая цифра из, т.е. 10 возможностей. Четвертая и пятая цифры определены заранее, они совпадают с первой и второй, следовательно, число таких чисел 9*10*10=900.
3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16!))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
В первый конверт можно положить 1 из восьми писем, во второй одно из семи оставшихся, в третий одно из шесть т.д. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Все N элементов, и ни один не повторяется, то это задача о количестве перестановок. Решение можно найти простым . На первом месте в ряду может стоять любой из N элементов, следовательно, получается N вариантов. На втором месте — любой, кроме того, который уже был использован для первого места. Следовательно, для каждого из N уже найденных вариантов есть (N — 1) вариантов второго места, и общее количество комбинаций становится N*(N — 1).
Это же можно повторить для остальных элементов ряда. Для самого последнего места остается только один вариант — последний оставшийся элемент. Для предпоследнего — два варианта, и так далее.
Следовательно, для ряда из N неповторяющихся элементов возможных перестановок равно произведению всех целых от 1 до N. Это произведение называется факториалом числа N и обозначается N! (читается «эн факториал»).

В предыдущем случае количество возможных элементов и количество мест ряда совпадали, и их число было равно N. Но возможна ситуация, когда в ряду меньше мест, чем имеется возможных элементов. Иными словами, количество элементов в выборке равно некоторому числу M, причем M Во-первых, может потребоваться сосчитать общее количество возможных способов, которыми можно выстроить в ряд M элементов из N. Такие способы называются размещениями.
Во-вторых, исследователя может интересовать число способов, которыми можно выбрать M элементов из N. При этом порядок расположения элементов уже не важен, но любые два варианта должны различаться между собой хотя бы одним элементом. Такие способы называются сочетаниями.

Чтобы найти количество размещений по M элементов из N, можно прибегнуть к такому же способу рассуждений, как и в случае с перестановками. На первом месте здесь по-прежнему может стоять N элементов, на втором (N — 1), и так далее. Но для последнего места количество возможных вариантов равняется не единице, а (N — M + 1), поскольку, когда размещение будет закончено, останется еще (N — M) неиспользованных элементов.
Таким образом, число размещений по M элементов из N равняется произведению всех целых чисел от (N — M + 1) до N, или, что то же самое, частному N!/(N — M)!.

Очевидно, что количество сочетаний по M элементов из N будет меньше количества размещений. Для каждого возможного сочетания есть M! возможных размещений, зависящих от порядка элементов этого сочетания. Следовательно, чтобы найти это количество, нужно разделить число размещений по M элементов из N на N!. Иными словами, количество сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N — M)!).

Друзья! Раз уж есть у меня этот мертвый блокнот, использую-ка я его для того, чтобы задать вам задачку, над которой вчера билось три физика, два экономиста, один политеховский и один гуманитарий. Мы сломали себе весь мозг и у нас постоянно получаются разные результаты. Может быть, среди вас есть программисты и математические гении, к тому же, задачка вообще школьная и очень легкая, у нас просто не выводится формула. Потому что мы бросили занятия точными науками и вместо этого зачем-то пишем книги и рисуем картины. Простите.

Итак, предыстория.

Мне выдали новую банковскую карточку и я, как водится, играючи угадала ее пин-код. Но не подряд. В смысле, допустим, пин-код был 8794, а я назвала 9748. То есть, я триумфально угадала все цифры , которое содержались в данном четырехзначном числе. Ну да, не само число , а просто его составляющие у гадала. Но цифры-то все верные! ПРИМЕЧАНИЕ — я действовала наугад, то есть, мне не надо было расставить уже известные числа в нужном порядке, я просто действовала в духе: вот тут есть неизвестные мне четыре цифры, и я считаю, что среди них могут быть 9, 7, 4 и 8, а порядок их не важен. Мы тут же задались вопросом, сколько у меня вообще было вариантов (наверное, чтобы понять, насколько это круто, что я вот взяла и угадала). То есть, из скольких комбинаций четырех цифр мне нужно было выбирать? И тут, натурально, начался ад. У нас весь вечер взрывалась голова, и у всех, в итоге, вышли абсолютно разные варианты ответа! Я даже начала выписывать все эти комбинации в блокнот подряд по мере возрастания, но на четырех сотнях поняла, что их больше четырех сотен (во всяком случае, это опровергло ответ физика Трэша, который уверял меня, что комбинаций четыре сотни, но все равно это не совсем однозначно) — и сдалась.

Собственно, суть вопроса. Какова вероятность угадывания (в любом порядке) четырех чисел, содержащихся в четырехзначном числе?

Или нет, переформулируем (я гуманитарий, простите, хотя к математике всегда питала огромную слабость), чтобы было яснее и четче. Сколько не повторяющихся комбинаций цифр содержится в ряду порядковых числительных от 0 до 9999? (пожалуйста, не путайте это с вопросом «сколько комбинаций не повторяющихся цифр»!! ! цифры могут повторяться! в смысле, 2233 и 3322 — это в данном случае одна и та же комбинация!!).

Или еще конкретнее. Мне нужно четыре раза угадать одну цифру из десяти. Но не подряд.

Ну или еще как-нибудь. В общем, нужно узнать, сколько у меня было вариантов числовой комбинации, из которой складывался пин-код карточки. Помогите, люди добрые! Только, пожалуйста, помогая, не начинайте сразу писать, что вариантов этих 9999 (вчера такое всем приходило в голову поначалу), потому что это же глупости — ведь в том ракурсе, который нас волнует, число 1234, число 3421, число 4312 и так далее являются одним и тем же! Ну и да, цифры же могут повторяться, ведь бывает пин-код 1111 или там, например, 0007. Можно представить вместо пин-кода номер машины. Допустим, какова вероятность угадать все однозначные цифры, из которых складывается номер машины? Или, чтобы вообще убрать теорию вероятности — из скольких числовых комбинаций мне нужно было выбрать одну?

Пожалуйста, подкрепите свои ответы и рассуждения какими-нибудь точными формулами, потому что мы вчера и так чуть не свихнулись. Заранее всем большое спасибо!

P.S. Один умный человек, программист, художник и изобретатель, только что очень верно подсказал правильное решение проблемы, подарив мне несколько минут прекрасного настроения: «решение задачи такое: у неё обсессивно-комп ульсивное расстройство, лечение такое: замуж и окучивать помидоры. меня бы больше на её месте волновал не вопрос «какова вероятность», а вопрос «схуя ли я обращаю внимание на все эти цифры»? В общем-то, даже нечего добавить:)

Калькулятор ниже предназначен для генерации всех сочетаний из n по m элементов.
Число таких сочетаний, как можно рассчитать с помощью калькулятора Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.

Описание алгоритма генерации под калькулятором.

Алгоритм

Комбинации генерируются в лексикографическом порядке. Алгоритм работает с порядковыми индексами элементов множества.
Рассмотрим алгоритм на примере.
Для простоты изложения рассмотрим множество из пяти элементов, индексы в котором начинаются с 1, а именно, 1 2 3 4 5.
Требуется сгенерировать все комбинации размера m = 3.
Сначала инициализуется первая комбинация заданного размера m — индексы в порядке возрастания
1 2 3
Далее проверяется последний элемент, т. е. i = 3. Если его значение меньше n — m + i, то он инкрементируется на 1.
1 2 4
Снова проверяется последний элемент, и опять он инкрементируется.
1 2 5
Теперь значение элемента равно максимально возможному: n — m + i = 5 — 3 + 3 = 5, проверяется предыдущий элемент с i = 2.
Если его значение меньше n — m + i, то он инкрементируется на 1, а для всех следующих за ним элементов значение приравнивается к значению предыдущего элемента плюс 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Далее снова идет проверка для i = 3.
1 3 5
Затем — проверка для i = 2.
1 4 5
Потом наступает очередь i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
И далее,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 — последнее сочетание, так как все его элементы равны n — m + i.

Несмотря на важную роль PIN-кодов в мировой инфраструктуре, до сих пор не проводилось академических исследований о том, как, собственно, люди выбирают PIN-коды.

Исследователи из университета Кембриджа Sören Preibusch и Ross Anderson исправили ситуацию, опубликовав первый в мире количественный анализ сложности угадывания 4-циферного банковского PIN-кода.

Используя данные об утечках паролей из небанковских источников и онлайн анкетирование, учёные выяснили, что к выбору PIN-кодов пользователи относятся гораздо серьёзнее, чем к выбору паролей для веб-сайтов: большинство кодов содержат практически случайный набор цифр. Тем не менее, среди исходных данных присутствуют и простые комбинации, и дни рождения, — то есть, при некотором везении злоумышленник может просто угадать заветный код.

Отправной точкой исследования был набор 4-циферных последовательностей в паролях из базы RockYou (1.7 млн), и базы из 200 тысяч PIN-кодов от программы блокировки экрана iPhone (базу предоставил разработчик приложения Daniel Amitay). В графиках, построенных по этим данным, проступают интересные закономерности — даты, года, повторяющиеся цифры, и даже PIN-коды, заканчивающиеся на 69. На основе этих наблюдений учёные построили линейную регрессионную модель, которая оценивает популярность каждого PIN-кода в зависимости от 25 факторов, — например, является ли код датой в формате ДДММ, является ли он возрастающей последовательностью, и так далее. Этим общим условиям соответствуют 79% и 93% PIN-кодов в каждом из наборов.

Итак, пользователи выбирают 4-циферные коды на основе всего нескольких простых факторов. Если бы так выбирались и банковские PIN-коды, 8-9% из них можно было бы угадать всего за три попытки! Но, конечно, к банковским кодам люди относятся гораздо внимательнее. Ввиду отсутствия сколько-нибудь большого набора настоящих банковских данных, исследователи опросили более 1300 человек, чтобы оценить, насколько реальные PIN-коды отличаются от уже рассмотренных. Учитывая специфику исследования, у респондентов спрашивали не о самих кодах, а только о их соответствии какому-либо из вышеназванных факторов (возрастание, формат ДДММ, и т. д.).

Оказалось, что люди действительно гораздо тщательнее выбирают банковские PIN-коды. Примерно четверть опрошенных используют случайный PIN, сгенерированный банком. Более трети выбирают свой PIN-код, используя старый номер телефона, номер студенческого билета, или другой набор цифр, который выглядит случайным. Согласно полученным результатам, 64% владельцев карт используют псевдослучайный PIN-код, — это гораздо больше, чем 23-27% в предыдущих экспериментах с не-банковскими кодами. Ещё 5% используют цифровой паттерн (например, 4545), а 9% предпочитают паттерн на клавиатуре (например, 2684). В целом, злоумышленник с шестью попытками (три с банкоматом и три с платёжным терминалом) имеет меньше 2% шансов угадать PIN-код чужой карты.

Фактор	Пример	RockYou	iPhone	Опрос
*Даты*
ДДММ	2311	5.26	1.38	3. 07
ДМГГ	3876	9.26	6.46	5.54
ММДД	1123	10.00	9.35	3.66
ММГГ	0683	0.67	0.20	0.94
ГГГГ	1984	33.39	7.12	4.95
Итого		58.57	24.51	22.76
*Клавиатурный паттерн*
смежные	6351	1.52	4.99	—
квадрат	1425	0.01	0.58	—
углы	9713	0.19	1.06	—
крест	8246	0.17	0.88	—
диагональная линия	1590	0.10	1.36	—
горизонтальная линия	5987	0.34	1. 42	—
слово	5683	0.70	8.39	—
вертикальная линия	8520	0.06	4.28	—
Итого		3.09	22.97	8.96
*Цифровой паттерн*
заканчивается на 69	6869	0.35	0.57	—
только цифры 0-3	2000	3.49	2.72	—
только цифры 0-6	5155	4.66	5.96	—
повторяющиеся пары	2525	2.31	4.11	—
одинаковые цифры	6666	0.40	6.67	—
убывающая последовательность	3210	0.13	0.29	—
возрастающая последовательность	4567	3.83	4. 52	—
Итого		15.16	24.85	4.60
*Случайный набор цифр*		23.17	27.67	63.68

Всё бы хорошо, но, к сожалению, существенная часть опрошенных (23%) выбирает PIN-код в виде даты, — и почти треть из них использует дату своего рождения. Это существенно меняет дело, ведь почти все (99%) респонденты ответили, что хранят в бумажнике с банковскими картами различные удостоверения личности, на которых эта дата напечатана. Если злоумышленник знает день рождения владельца карты, то при грамотном подходе вероятность угадывания PIN-кода взлетает до 9%.

100 самых популярных PIN-кодов

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

P.S. На практике, разумеется, злоумышленнику гораздо проще подсмотреть ваш PIN-код, чем угадывать его. Но и от подглядывания можно защититься — даже, казалось бы, в безвыходном положении:

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика — раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В — n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n 1 способами, второе действие n 2 способами, третье — n 3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

способами.

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т. е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно вы б рать и разместить по m различным местам m из n предметов, с реди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера- составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Перестановки без повторений . Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Как посчитать количество комбинаций из 4. Формулы комбинаторики

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.