Posted in Егэ

Решение задач егэ на вероятность: Теория вероятностей на ЕГЭ по математике. Формулы, теория, решения

Содержание

ЕГЭ. Задача 4. Теория вероятностей

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Полезные материалы и видеоразборы задач по теории вероятностей.

Полезные материалы

Видеоразборы задач

За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

 

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 28 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 1 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

 

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 10 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятнадцатым будет выступать прыгун из России.

 

На рисунке изображен лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому еще не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придет к выходу D.

 

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

 

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Подборка задач

  1. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
  2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
  3. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
  4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
  5. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора Максимова окажется запланированным на последний день конференции?
  6. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  8. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
  9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орел, а во второй — решка.
  10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
  11. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.
  12. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
  13. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
  14. В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
  15. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.
  16. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
  17. Если гроссмейстер Антонов играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Борисова с вероятностью 0,52. Если Антонов играет черными, то Антонов выигрывает у Борисова с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры Антонов и Борисов играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Антонов выиграет оба раза.
  18. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
  19. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
  20. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
  21. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
  22. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
  23. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
  24. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
  25. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
  26. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых
  27. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
  28. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
  29. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятость того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
  30. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
  31. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
  32. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
  33. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
  34. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Артем хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что Артем пойдет в магазин?
  35. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трех предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трех предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что Петров получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что Петров сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей
  36. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение задач открытого банка заданий ЕГЭ по математике профильного уровня по теории вероятностей

Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ профильного уровня содержит 403 задачи на 41 странице. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.

1. Задачи на применение классической формулы вероятности события

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: .

Задача 1.1. В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Решение. Число благоприятных исходов – это и есть число канадских спортсменок. Их 70-(25+17) =28. Общее число исходов – 70, это количество спортсменок, участвующих в чемпионате. Итак, искомая вероятность равна 28/70 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Замечание: решительно всё равно, какой по счёту, первой, как в условии задачи, или второй, третьей, …, семидесятой будет выступать канадская спортсменка. Искомая вероятность зависит только от количества канадских гимнасток и общего количества участниц.

Задача 1.2. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Решение. Для выбранного уже по условию задачи россиянина Анатолия Москвина благоприятных исходов (его партнёр — российский теннисист) остаётся всего 6. Уменьшается на единицу и общее число всех равновозможных исходов – число спортсменов, готовых сражаться с Москвиным, их – 75. Значит, искомая вероятность равна 6/75 = 0,008.

Ответ: 0,08.

Задача 1.3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:

N исходов

Первое бросание

Второе бросание

  1.  

Решка

Решка

  1.  

Орёл

Орёл

  1.  

Орёл

Решка

  1.  

Решка

Орёл

Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно одному появлению решки) благоприятствуют исходы с номерами 3 и 4. Их два, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна 2/4 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет оба раза.

Решение. Благоприятному событию (А) — орёл выпадет оба раза благоприятствует один исход – номер 2 (см. задачу 1.3). Таким образом, Р(А) = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Задача 1.5. На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение. Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 350-(140+140) =70. Значит, искомая вероятность равна 70/350 =0,2

Ответ: 0,2.

Задача 1.6. В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение. Способ 1. Интересующее нас событие – «турист В. полетит первым рейсом вертолёта» означает, что он попадает в число15 человек, вылетающих первым рейсом, поэтому искомая вероятность есть 15/300 = 0,05.

Способ 2. Всего рейсов 300/15 = 20. Туристу В, согласно условию задачи, подходит только один из них, значит, вероятность определяется отношением 1/20 = 0,05.

Ответ: 0,05.

Задача 1.7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение. Качественных сумок 100, а общее число сумок 100+3=103. Значит, вероятность вычисляется как отношение 100/103 ≈ 0,971 ≈ 0,97.

Ответ: 0,97.

Задача 1.8. В школе 51 пятиклассник, среди них — Саша и Настя. Всех пятиклассников случайным образом делят на три группы, по 17 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе.

Решение. Предполагаем, что Саша уже попал в одну из трёх групп, безразлично, какую. Для Насти, таким образом, число мест в Сашиной группе сократилось до 16, т.к. место занято Сашей. Заметим, что на единицу уменьшилось и общее число участников распределения по группам, т.к. из их числа уже исключён Саша. Таким образом, вероятность того, что Саша и Настя окажутся в одной группе, равна 16/50 = 0,32.

Ответ: 0,32.

Задача 1.9. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. При бросании двух игральных костей возможны 36 исходов испытания, т.к. любой исход испытания при бросании первой кости (1, 2, 3, 4, 5, 6) может сочетаться с любым из шести исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) при бросании второй кости. Интересующему нас событию — в сумме выпадет 7 очков благоприятны исходы: 1 и 6, 6 и 1, 5 и 2, 2 и 5, 4 и 3, 3 и 4. Их всего – 6. Значит, искомая вероятность 6/36 = 0,1(6) ≈ 0,17.

Ответ: 0,17.

Задача 1.10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Как и в предыдущей задаче, общее число всех равновозможных исходов – 36. Благоприятными исходами будут: 6 и 3, 3 и 6, 4 и 5, 5 и 4. Их всего четыре. Вычисляем вероятность: 4/36 = 0,(1) ≈0,11.

Ответ: 0,11.

Задача 1.11. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 11 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Всех равновозможных исходов – 36. Благоприятные: 5 и 6, 6 и 5. Их два, и поэтому вероятность равна 2/36 = 1/18 ≈ 0,06.

Ответ: 0,06.

Задача 1.12. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза.

Решение. Составим таблицу, в которой символ «+» обозначит тот факт, что команда Сапфир начинает игру, а символ будет означать, что игру начинает другая команда (соперник Сапфира):

№ исходов

I команда

II команда

III команда

1 

+

+

+

2 

+

+

—

3

+

—

+

4

—

+

+

5

—

—

+

6

—

+

—

7

+

—

—

8

—

—

—

Очевидно, что интересующему нас событию А — в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза, благоприятствуют исходы с номерами 5, 6, 7, 8. Всего исходов – 8, значит, вероятность равна 4/8 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 1.13. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза.

Решение. Таблица исходов приведена в предыдущей задаче. Событию А — в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза,  благоприятствует исход с номером 1 (он – единственный). Таким образом, искомая вероятность  вычисляется как отношение 1/8 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Задача 1.14. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

Решение. При рассмотрении подобных задач на геометрическую вероятность полезно иметь ввиду, что один час на двенадцатичасовом циферблате занимает сектор 360o/12 = 30o. От 7 до 1 проходит 6 часов, часовая стрелка преодолевает 30o × 6 = 180o, таким образом, искомая вероятность вычисляется как 180/360 = 0,5.

С другой стороны, посмотрев на 12-часовой циферблат, можем видеть, что промежуток от 7 часов до 1 часа занимает ровно половину циферблата, значит, вероятность равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 1.15. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза.

Решение. Все возможные исходы (их 8) при трёх бросаниях представлены в таблице:

№ исхода

1-е бросание

2-е бросание

3-e бросание

1

Орёл

Орёл

Орёл

2

Орёл

Решка

Решка

3

Решка

Орёл

Решка

4

Решка

Решка

Орёл

5

Орёл

Орёл

Решка

6

Решка

Орёл

Орёл

7

Орёл

Решка

Орёл

8

Решка

Решка

Решка

Благоприятный исход один – последний: Решка-Решка-Решка. Вероятность, согласно классической формуле, равна 1/8 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Задача 1.16. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
 
Решение. Можно составить таблицу и для четырёх бросаний симметричной монеты:

№ исхода

1-е бросание

2-е бросание

3-e бросание

4-e бросание

1

Решка

Решка

Решка

Решка

2

Решка

Решка

Решка

Орёл

3

Орёл

Решка

Решка

Решка

4

Решка

Орёл

Решка

Решка

5

Решка

Решка

Орёл

Решка

6

Решка

Решка

Орёл

Орёл

7

Орёл

Орёл

Решка

Решка

8

Орёл

Решка

Решка

Орёл

9

Решка

Орёл

Орёл

Решка

10

Решка

Орёл

Решка

Орёл

11

Орёл

Решка

Орёл

Решка

12

Решка

Орёл

Орёл

Орёл

13

Орёл

Решка

Орёл

Орёл

14

Орёл

Орёл

Решка

Орёл

15

Орёл

Орёл

Орёл

Решка

16

Орёл

Орёл

Орёл

Орёл

Число исходов равно 16. Благоприятные исходы в таблице имеют номера: 6,7,8,9,10,11. Их всего 6. Значит, вероятность равна 6/16 = 3/8 = 0.375.

Если взять на себя труд и выучить теорему Я.Бернулли, то составления таблицы можно избежать.

Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn(k) того, что в серии n однородных независимых испытаний событие А наступит ровно k раз, равна:

(1).

Здесь  – число сочетаний из n элементов по k в каждом, q – вероятность события, противоположного событию А.

В условиях нашей задачи p = 1/2, q = 1 — 1/2 = 1/2,

Подставляем в формулу (1) и получаем :

Ответ: 0,375.

2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события
3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий
4. Задачи на применение теоремы умножения вероятностей независимых событий

Презентация : «Табличный метод решения задач ЕГЭ по теории вероятностей

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Табличный метод решения задач ЕГЭ по теории вероятностей

Номер слайда 2

Номер слайда 3

1.Вероятность достоверного события равна единице.   2.Вероятность невозможного события равна нулю.   3.Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Номер слайда 4

4.Формула сложения вероятностей совместных событий: P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A∩B)

Номер слайда 5

6.Вероятность произведения независимых событий А и В (наступают одновременно) вычисляется по формуле:  P (A∩B) = P(A) ∙ P(B).

Номер слайда 6

5.Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.    P (A U B) =P(A) + P(B)         

Номер слайда 7

7. Формула умножения вероятностей: P(A∩B) = P(A) ∙ P(B/A), где P(B/A) – условная вероятность события В, при условии, что событие А наступило.

Номер слайда 8

Задача 1. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, то она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

Номер слайда 9

Номер слайда 10

Номер слайда 11

Задача 2. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Номер слайда 12

Номер слайда 13

Задача 3. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция» нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Номер слайда 14

Номер слайда 15

Задача 4. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.

Номер слайда 16

Номер слайда 17

Задача 5. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 24-х пассажиров, равна 0,57. Вероятность того, что окажется меньше 17-ти пассажиров, равна 0,28. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 17 до 23.

Номер слайда 18

Задача 6. Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Билл стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,25. На столе лежит 5 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Билл видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл попадёт в муху.

Номер слайда 19

Номер слайда 20

Номер слайда 21

Задача 7. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Номер слайда 22

Номер слайда 23

Задача 8. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Номер слайда 24

Номер слайда 25

Номер слайда 26

Номер слайда 27

Задача 9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.

Номер слайда 28

Номер слайда 29

Номер слайда 30

Номер слайда 31

Номер слайда 32

Принципы составления таблиц вероятностей

Номер слайда 33

Спасибо за внимание!

Задания В6. Теория вероятности | Подготовка к ЕГЭ по математике

Теория для решения задач здесь

Задача 1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:+ показать

События «Достанется вопрос по теме Вписанные углы» и «Достанется вопрос по теме вписанная окружность» – несовместные. Значит,  вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем равна сумме вероятностей этих событий:

Ответ:

Задача 2.При изготовлении подшипников диаметром мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на мм, равна Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем мм или больше чем мм.

Решение:+ показать

Задача 3. В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение: + показать

Задача 4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:+ показать

Оба автомата неисправны с вероятностью

Хотя бы один автомат исправен (исправен+неисправен, неисправен+исправен, исправен+исправен)– это событие, противоположное событию «оба автомата неисправны», поэтому его вероятность есть

Ответ:

Задача 5. Биатлонист раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна Найдите вероятность того, что биатлонист первые раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение: + показать

Биатлонист попадает в мишень первый раз и (умножение) второй,  и третий:

Так как вероятность попадания в цель – , то вероятность противоположного события, промаха, –

Биатлонист промахнулся при четвертом выстреле и при пятом:

Тогда вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишень, а (и!) последние два промахнулся такова:

Ответ:

Задача 6. Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение: + показать

Задача 7. Вероятность того, что на тесте по математике учащийся У. верно решит больше задач, равна Вероятность того, что У. верно решит больше задач, равна Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно задач.

Решение: + показать

Задача 8. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение: + показать

Вероятность перегорания всех трех лампочек в течении года

Тогда вероятность противоположного события – “Хотя бы одна лампа не перегорит” – есть

Ответ:

Задача 9. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает % этих стекол, вторая – %. Первая фабрика выпускает % бракованных стекол, а вторая – %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:+ показать

Задача 10.  Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. % яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — % яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает % яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение: + показать

I способ

Пусть вероятность того, что яйцо  из I хозяйства, есть . Тогда вероятность того, что яйцo  из II хозяйства, есть .

Высшую категорию получает яйцо, если оно

из I хозяйства и I категории

или

из II хозяйства и I категории,

то есть

Ответ:

Задача 11. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью , если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью На столе лежит револьверов, из них только пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение: + показать

Задача 12. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает очков, в случае ничьей — очко, если проигрывает — очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны

Решение: + показать

Вероятность  события “Ничья” равна

Устраивают варианты: “Выигрыш+Ничья” или “Выигрыш+Выигрыш” или “Ничья+Выигрыш”.

То есть искомая вероятность есть

Ответ:

Задача 13. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее баллов по математике, равна , по русскому языку — , по иностранному языку — и по обществознанию — .

Найдите вероятность того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение: + показать

Вероятность события “Поступления на Лингвистику” есть

Вероятность события “Поступления на Коммерцию” есть

События “Поступление на Лингвистику” и “Поступление на Коммерцию” совместные. Поэтому вероятность суммы двух указанных событий есть сумма вероятностей указанных событий без вероятности их одновременного свершения.

Вероятность поступления и на “Лингвистика” и на “Коммерция” есть

Итак,

Ответ:

Задача 14. На фабрике керамической посуды % произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется % дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Решение: + показать

Задача 15. В кармане у Пети было монеты по рублю и монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

Решение: + показать

Двухрублевые монеты лежат в одном кармане, если Петя переложил 122, 212, 221 или 111.

Вероятность события “122” есть

Вероятность события “212” есть

Вероятность события “221” есть

Вероятность события “111” есть

Итак, искомая вероятность есть

Ответ:

Задача 16. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение: + показать

Возможны следующие события (при условии, что 3 августа хорошая погода):

А) ХХХХ

В) ХОХХ

С) ХХОХ

D) ХХХО

E) ХООХ

F) ХХОО

J) ХООО

H) ХОХО

(Мы отметили за «X» – «хорошая погода», «O» – «отличная погода»)

Интересующие нас события (6 августа – отличная погода): D, F, J, H.

Событие D: XХXO произойдет с вероятностью

Событие F: ХХОО произойдет с вероятностью

Событие J: ХOОО произойдет с вероятностью

Событие H: ХОXО произойдет с вероятностью

Тогда вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода есть

Ответ:

Задача 17. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Решение: + показать

На своем пути паук встречает четыре развилки. И на каждой развилке паук может выбрать путь, ведущий к выходу D, с вероятностью (ведь на каждой развилке возможны два независимых  равновозможных события: «выбор верного пути» и «выбор неверного пути»). Паук дойдет до выхода D, если выберет «верный путь» на первой развилке и на второй, и на третьей, и на четвертой, то есть к выходу D паук придет с вероятностью, равной
Ответ:

Задача 18. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью  Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью Известно, что у % пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Решение: + показать

Пусть – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом.

Тогда – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, не болен гепатитом.

Анализ дает положительный результат в случаях

пациент болен и (умножение) анализ положителен

или (сложение)

пациент не болен и анализ ложно положителен

Так как по условию задачи  у % пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат,  то

Округляем до тысячных: .

Ответ:

Задача 19. При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна , а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — . Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее ?

Решение: + показать

Переформулируем вопрос задачи:

Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше ?

При одном  выстреле вероятность промаха  – .

При двух выстрелах вероятность промаха – (первый выстрел – промах и второй выстрел – промах).

При трех выстрелах вероятность промаха –

При четырех выстрелах вероятность промаха –

При пяти выстрелах вероятность промаха –

Замечаем, что .

Итак, пяти выстрелов достаточно, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее

Ответ:

Вы можете пройти Тест №2 по Задачам №4.

Способы решения задач по теории вероятностей ЕГЭ по математике профильного уровня

одновременно относятся к этим двум темам, нет», применяем теорему сложения

вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,2+0,35 = 0,55.

Ответ: 0,55.

Задача 3.2. Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно

решит больше 9 задач, равна 0,63. Вероятность того, что А. верно решит больше 8 задач,

равна 0,75. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 9 задач.

Решение. Введём обозначения: событие А- решено более 9 задач, событие В – решено

больше 8 задач. Другими словами, событие В заключается в том, что решено ровно 9 или

больше 9 задач. Пусть событие С – учащийся решил ровно 9 задач. Тогда В=А+С. По

теореме сложения вероятностей для несовместных событий, Р(В)=Р(А)+Р(С), и,

следовательно, Р(С)=Р(В)-Р(А). Подставляя числовые значения, получаем: Р(С)=0,75-

0,63=0,12.

Ответ: 0,12.

Задача 3.3. Вероятность того, что на тестировании по физике учащийся А. верно решит

больше 6 задач, равна 0,61. Вероятность того, что А. верно решит больше 5 задач, равна

0,66. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 6 задач.

Решение. Содержание задачи аналогично предыдущей. Пусть событие Е – решено верно

ровно 6 задач, событие F – решено верно больше 5 задач, событие K – решено верно

больше 6 задач. Тогда F=K+E и P(Е)=Р(F)-Р(K)=0,66-0,61=0,05.

Ответ: 0,05.

Задача 3.4. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,94.

Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность

того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение. Пусть событие А — новый сканер прослужит больше года, событие В —

прослужит больше двух лет, событие С – сканер прослужит меньше двух лет, но больше

года. Тогда А=В+С. Согласно теореме сложения вероятностей Р(А)=Р(В)+Р(С) и тогда

Р(С)=Р(А)-Р(В). Имеем: Р(С)=0,94-0,87=0,07.

Ответ: 0,07.

4. Задачи на применение теоремы умножения вероятностей независимых событий

Произведением двух событий А и В называют событие     , которое заключается в

том, что происходят и событие А, и событие В.

Событие В называют независимым от события А, если вероятность появления события В

не зависит от того, произошло событие А или не произошло.

Теорема: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна

произведению вероятности одного из них на вероятность другого: 

  

   .

Задача 4.1. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста

Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью

0,45. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет

фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение. Пусть событие А – шахматист А. выиграл первую партию, событие В –

шахматист А. выиграл вторую партию, тогда событие   – шахматист А. выиграл обе

партии. Применяем теорему умножения вероятностей независимых событий: 

  

 

     .

Информатика — Задачи на вероятность из ЕГЭ по математике.

1.   Что такое  вероятность

Вот три задачи.

А. В корзине лежат елочные игрушки – 4 шарика разных  цветов, красный, синий, зеленый и золотой. Вера наугад достает шарик из корзины.  С какой вероятностью она достанет золотой шарик?

Б. В мешке лежат теннисные мячи разных сортов: 45 белых , 35 жёлтых и 20 светло-голубых. С какой вероятностью случайно вынутый из мешка мяч окажется желтым?

В. Для экзамена по информатике  есть 30 билетов, в 27 из них встречается вопрос по алгоритмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по алгоритмам.

Во всех этих задачах описаны однотипные ситуации. А именно.

1. Совершается определенное действие (можно сказать и так: происходит  событие):

А) Вера достает шарик из корзины.
Б) Кто-то достает мячик из мешка.
В) Школьник тащит билет.

 2. У событие может быть несколько исходов.

!!! Все исходы – равно возможны  (можно сказать – «равновероятны»).

А) Исход – какой шарик достала Вера.  Количество исходов – 4.
Б) Исход – какой мячик достали. Количество исходов – 45+35+20 = 100.
В) Исход – какому билет вытянул школьник. Количество исходов – 30.

 3. Некоторые исходы считаются «успешными» (в смысле задачи :), по жизни в таком «успехе» может ничего особенного не быть). Нам важно, сколько есть «успешных» исходов.

А) Успешный исход –Вера достала золотой шарик.
Количество успешных исходов – 1.

Б) Успешный исход – достали желтый мячик.
Количество успешных исходов – 35.

В) Успешный исход – школьник вытянул билет без вопроса по алгоритмам.
Количество успешных исходов – 30-27 = 3.

Так вот.

    Вероятность  успеха (иными словами – вероятность того, что произойдет один из исходов, которые мы считаем успешными) – это отношение числа успешных исходов к  общему числу возможных исходов.

Схематично это можно записать так (знак # заменяет слово «количество»):

 

                                         # успешных исходов

Вероятность   =     ——————————-

                                              # всех исходов

 

Понятно, что вероятность не может быть меньше 0 или больше 1.

 

4. Таким образом,  в задачах получаем такие ответы:

А) 1/4 = 0,25

Б) 35/100 = 0,35

В) 3/30 = 0,1

 

Вот, собственно говоря, и все. В заключение – два важных замечания.

Замечание 1: В основе определения вероятности – предположение о том, что все исходы равноправны (равно возможны). Например, в задаче В школьник не должен знать, что написано в билетах, а Вера не должна подсматривать. В условиях задач на это указывают слова «наугад», «по жребию», и т.п. Иногда таких слов в условии нет, равноправность исходов подразумевается по смыслу (например, в задаче В).

Замечание 2. Разбираясь, что считать исходом в конкретной задаче,  нужно следить за тем, чтобы исходы было (по смыслу задачи) равноправны (равновероятны). Например, некто мог бы в задаче Б считать исходом цвет вытащенного мячика. Тогда исходов было бы 3 (белый, желтый, светло-зеленый), из них один успешный. Но эти исходы не равноправны – ведь мячиков разное число.

Упражнение. Вот известный анекдот.

Какова вероятность того, что первый человек, которого ты встретишь, выйдя из дома, будет королева Великобритании

Ответ. Есть 2 исхода – либо королева, либо не королева. Успешный исход – 1. Значит вероятность равна ½ = 0,5 = 50%.

Разберитесь – где в рассуждении ошибка.

 

2.   Как решать задачи

Вероятность находим так.

  1. Разбираемся, что в задаче является исходом и сколько их.

!!! Следим за тем, чтобы исходы были равновероятными.

2. Разбираемся в том, какие исходы считаются успешными. Находим количество успешных исходов.

3. Находим вероятность – делим количество успехов на количество всех возможных исходов.

При этом не ошибаемся в арифметике и записываем ответ ДЕСЯТИЧНОЙ дробью.

4. Радуемся, что решили задачу 🙂

 

3.   Еще два примера

3.1. На чемпионате по гимнастике  выступают 50 спортсменов, среди них 6 спортсменов  из Китая. Спортсменам по жребию дали номера – от 1-го до 50-го. Найдите вероятность того, что под номером 37 будет выступать гимнаст из прыгун из Китая.

В этой задаче исход – это спортсмен, которому достался 37-й номер. Всего исходов – 50. То, что говорится о 37-м номере, а не о, скажем,  первом нас не смущает. У всех спортсменов равные шансы получить этот номер!  Успешных  исходов – 6 (спортсмены из Китая). Дальше – сами 🙂

3.2. Завод выпускает часы. В среднем на 1800 качественных часов приходится 200 часов со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленные часы, сделанные на этом заводе, окажутся с дефектом.

В этой задаче – одна тонкость и одна ловушка (несложная).

Тонкость связана со словами «в среднем». По-хорошему, количество  исходов, — это количество доступных покупателю часов этого завода. Количество «успехов» — количество доступных ему дефектных часов. Ни того, ни другого мы не знаем.  Так в жизни бывает часто.

И часто поступают так.

1) Выбирают наугад достаточно большую группу часов, обозначим ее размер N.

2) Считают количество дефектных часов (т.е. успешных исходов) в этой группе, обозначим его G.

3) Вычисляем вероятность успеха по формуле (P – вероятность):

P = G/N

То есть, мы считаем, что вероятность успеха среди всех исходов (примерно) такая же, как и в выбранном наугад подмножестве всех исходов. Такое предположение выглядит разумно и может быть обосновано (если  аккуратно разбираться, что значит «наугад», насколько большое подмножество нужно выбирать и насколько вероятность успеха для множества всех исходов может отличаться от вероятности, подсчитанной по подмножеству).

Слова «в среднем» и означают, что нужно применить такой подход. При этом в выбранном множестве исходов будет 1800 «неуспехов» (качественных часов 🙂 ) и 200 «успехов (дефектных часов). Ловушка в том, что общее количество исходов N здесь не указано. Его нужно подсчитать: N = 1800+200 = 2000. Таким образом, вероятность здесь считается по формуле P = G/N = 200/2000 = 0,1 = 10%/

Ответ: 0,1

 

  4.   События, их пересечения, объединения и дополнения.

Вот письмо посетителя сайта http://ege-go.ru/math-ege/b10math/comment-page-1/#comment-1262 :  «Помогите, пожалуйста, решить такую задачу.

Задача. В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате чай закончится, равна 0,4. Вероятность того, что к концу дня чай закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.

Я рассуждаю, что исходя из того, что вероятность не может превышать 1:

1-0,2=0,8 — вероятность, того что чай останется в обоих автоматах. А в ответе 0,4. Не могу понять, где я ошибаюсь.»

Комментарий. Спасибо за письмо! Задача действительно трудная. А трудность в том, чтобы разобраться, что означают слова «вероятность того, что к концу дня в автомате чай закончится»; «вероятность того, что к концу дня чай закончится в обоих автоматах»; «вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах».  Я чуть позже разберу задачу на сайте подробно  Пока пишу коротко.

Ты ошибаешься вот в чем. Формула 1-0,2=0,8 означает, что события «к концу дня чай закончился в обоих автоматах» и «к концу дня чай остался в обоих автоматах» являются взаимно дополнительными, то есть в любой день происходит ровно одно из этих событий и они никогда не происходят одновременно. На самом деле, одновременно эти события, конечно произойти не могут, но может не произойти ни одно из них: в одном автомате чай может закончиться, а в другом – нет. Поэтому   вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах, заведомо меньше, чем 1-0,2=0,8. Насколько меньше – нужно разбираться.

Решение. Возьмем какой-то день. Для удобства, присвоим автоматам имена A и В. К концу дня может случиться ровно одно из четырех событий (говорят: эти события образуют полную систему)

1)      Чай закончился в обоих автоматах (обозначение: А+В+)

2)      Чай закончился в автомате А, но остался в автомате В (обозначение: А+В-)

3)      Чай закончился в автомате В, но остался в автомате А (обозначение: А-В+)

4)      Чай остался в обоих автоматах (обозначение: А-В-).

Обозначим вероятности этих событий соответственно:  Р(А+В+), Р(А+В-),  Р(А-В+), Р(А-В-).

Так, как перечисленные события образуют полную систему, то

Р(А+В+) + Р(А+В-) +  Р(А-В+) + Р(А-В-) = 1                                                          (1)

Событие «чай закончился в автомате А» — это объединение двух дополнительных событий Р(А+В+) и Р(А+В-). Поэтому

  Р(А+В+) + Р(А+В-) = 0,4                                                                              (2)

Аналогично, для автомата В получаем:

  Р(А+В+) + Р(А-В+) = 0,4                                                                              (3)

              Наконец, по условию,

Р(А+В+) = 0,2                                                                                           (4)

                Нужную нам вероятность  Р(А-В-) находим, решая систему (1)-(4).

Р(А-В-) = Р(А+В+) + Р(А+В-) +  Р(А-В+) + Р(А-В-) –

— (Р(А+В+) + Р(А+В-) )  — (Р(А+В+) + Р(А+В-) )  +

+ Р(А+В+) =

= 1 -0,4 -0,4 +0,2 = 0,4.

Ответ:0,4

Замечание. Чтобы решать такие задачи, нужно уметь свободно рассуждать о событиях – множествах возможных элементарных исходов. В нашей задаче элементарные исходы – это дни. Например, событие  А+В- — это множество всех дней, в которые чай в автомате А закончился, а в автомате В – нет. Про подсчет количества элементов в объединении и пересечении множеств – см. http://ege-go.ru/temy/sets/ .

 

 

 

Теория вероятностей на ЕГЭ. Трудные задачи. – МАТЕМАТИКА

Еще одна статья по теории вероятностей. В ней собраны задачи на проценты, вероятности зависимых событий, а также задачи, требующие последовательного подсчёта разных вероятностей. Эти задачи относятся к категории “трудные задачи”, однако разобрав их с нами, они таковыми вам уже не покажутся.

Теоретическая часть

Если имеются события А и В, то

Эти формулы следуют применять, когда А и В – зависимые совместные события (более простые случаи рассмотрены в предыдущих статьях (часть1, часть 2, часть 3, часть 4).

Задачи о зависимых событиях

Задача 5.1 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.
1-й способ.

Так как 0,4 ·0,4 ≠ 0,22, то события «кофе закончился в 1-ом автомате» и «кофе закончился во 2-ом автомате» зависимые. Обозначим через А событие «кофе остался в первом автомате», через В – «кофе остался во втором автомате». Тогда .

Событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» – это А U В, его вероятность равна Р(А U В) = 1 – 0,22 = 0,78, так как оно противоположно событию «кофе закончился в обоих автоматах». По формуле для пересечения событий: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B)= 0,6 + 0,6 – 0,78 = 0,42

2-й способ
Обозначим через Х событие «кофе закончился в первом автомате», через Y – «кофе закончился во втором автомате».
Тогда по условию Р(X) = Р(Y) = 0,4, P(X ∩ Y) = 0,22. Так как P(X ∩ Y) ≠ P(X) · P(Y), то события Х и Y зависимые. По формуле для объединения событий:

P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y) = 0,4 + 0,4 – 0,22 = 0,58.

Мы нашли вероятность события Х U Y «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Противоположным событием будет  «кофе остался в обоих автоматах», его вероятность равна = 1 –P(X ∪ Y) = 1 –0,58 = 0,42.

3-й способ.
Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.

Второй автомат
кофе закончилсякофе остался
Первый автоматкофе закончился0,22
кофе остался

По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.

В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Второй автомат
кофе закончилсякофе остался
Первый автоматкофе закончился0,220,18
кофе остался

Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Второй автомат
кофе закончилсякофе остался
Первый автоматкофе закончился0,220,18
кофе остался0,18

Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1 – 0,22 – 0,18 – 0,18 = 0,42.

Второй автомат
кофе закончилсякофе остался
Первый автоматкофе закончился0,220,18
кофе остался0,180,42

Ответ: 0,42.

Задачи на проценты

Задача 5.2 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.
Пусть х – искомая вероятность. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x · n яиц, из них 0,6х·n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1- x) · n яиц, из них 0,4 • (1- x) • n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц.

Отсюда

Ответ: 0,4

Задача 5.3 На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение.
Пусть всего произведено х тарелок. Качественных тарелок 0,8х (80% от общего числа), они поступают в продажу.

Дефектных тарелок 0,2х, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 • 0,2х = 0,06x.
Всего в продажу поступило 0,8х + 0,06x = 0,86x тарелок.
Вероятность купить тарелку без дефектов равна  ≈ 0,93

Ответ: 0,93.

Разные задачи

Задача 5.4 На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.

Решение.
1-й способ.
Будем считать исходом порядок выступления групп на фестивале. Разобьём множество исходов на подмножества следующим образом: в одно подмножество будем включать исходы, полученные перестановками рок-групп из Финляндии, Бельгии и Греции (с сохранением мест всех остальных рок-групп).

Тогда в каждом подмножестве будет 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Из этих шести исходов благоприятным будет только БФГ. Следовательно, благоприятными являются 1/6 всех исходов. Искомая вероятность равна 1\6 ≈ 0,17

2-й способ (этот способ не является математически верным, но при решении на экзамене может помочь, если первый способ непонятен)

Так как в условии не указано общее число рок-групп, будем считать, что их всего три: из Финляндии, Бельгии и Греции. Будем считать исходом порядок выступлений, всего 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Благоприятным является только исход БФГ. Искомая вероятность равна  1\6 ≈ 0,17.

Ответ: 0,17.

Задача 5.5 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем  0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.
1-й способ
Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 – 0,2 = 0,8. Вероятность промаха при каждом последующем равна 0,3. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 – 0,98 = 0,02.

Вероятность непоражения
после второго выстрела равна 0,8 • 0,3 = 0,24;
после третьего  0,24 • 0,3 = 0,072;
после четвёртого  0,072 • 0,3 = 0,0216;
после пятого  0,0216 • 0,3 = 0,00648.

Следовательно, необходимо 5 выстрелов.

2-й способ (этот способ имеет математическое значение, но непригоден на экзамене из-за необходимости приближённого вычисления логарифма)

Вероятность непоражения после n выстрелов равна , так как при первом выстреле вероятность промаха 0,8, а при каждом последующем 0,3.

По условию необходимо, чтобы


Ответ: 5.

Задача 5.6 Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе.
Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку  0, 5, по литературе  0,6 и по математике 0,9.
Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение.

Вероятность того, что Н. не сможет набрать 60 баллов ни по литературе, ни по математике равна (1 – 0,6) • (1 –0,9) = 0,4 • 0,1 = 0,04. Следовательно, хотя бы по одному из этих двух предметов он получит 60 баллов с вероятностью 1 – 0,04 = 0,96.
Для поступления нужно набрать требуемый балл по русскому языку, истории и хотя бы по одному предмету из литературы и математики. Вероятность поступления равна 0,5 • 0,8 • 0,96 = 0,384.

Ответ: 0,384.

Задача 5.7 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной стране.

11 марта12 марта13 марта14 марта

хорошая

1

отличная0

Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей, с вероятностью 0,1 станет отличной. Занесём эти данные в таблицу.

11 марта12 марта13 марта14 марта
хорошая10,9
отличная00,1

Хорошая погода 13 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 12 марта была хорошей и не изменилась. Вероятность этого равна 0,9 • 0,9 = 0,81.
2) Погода 12 марта была отличной и изменилась. Вероятность этого равна 0,1 • 0,1 = 0,01.

Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта равна 0,81 + 0,01 = 0,82. Вероятность отличной погоды 13 марта равна 1 – 0,82 = 0,18. Заносим эти данные в таблицу.

11 марта12 марта13 марта14 марта
хорошая10,90,82
отличная00,10,18

Отличная погода 14 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 13 марта была хорошей и изменилась. Вероятность этого равна 0,82 • 0,1 = 0,082.
2) Погода 13 марта была отличной и не изменилась. Вероятность этого равна 0,18 • 0,9 = 0,162.

Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта равна 0,082 + 0,162 = 0,244.

11 марта12 марта13 марта14 марта
хорошая10,90,82
отличная00,10,180,244

Ответ: 0,244.

Подведем итог

Это последняя часть материала по началам теории вероятностей, знание которого необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня.

Для закрепления изученного предлагаю вам задачи для самостоятельного решения.

Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.

Также рекомендую изучить “Задачи с параметром” и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник “Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей”. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

Навигация по записям

Вероятностные примеры с вопросами и ответами

Пример 1: Монета брошена 3 раза. Какова вероятность того, что выпадет хотя бы одна голова?
Sol: Пробел = [HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT]
Общее количество путей = 2 × 2 × 2 = 8. Fav. Случаи = 7
P (A) = 7/8
OR
P (получение хотя бы одной головы) = 1 — P (без головы) ⇒ 1 — (1/8) = 7/8

Пример 2: Найдите вероятность получить пронумерованную карту, когда карта вытаскивается из колоды из 52 карт.
Sol: Всего карт = 52. Нумерованные карты = (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) 9 каждой масти 4 × 9 = 36
P (E) = 36/52 = 9/13

Пример 3: Есть 5 зеленых 7 красных шаров. Два шара выбираются один за другим без замены. Найдите вероятность того, что первое будет зеленым, а второе — красным.
Sol: P (G) × P (R) = (5/12) x (7/11) = 35/132

Пример 4: Какова вероятность получения суммы 7 при бросании двух кубиков?
Sol: Математика вероятностей — общее количество способов = 6 × 6 = 36 способов.Благоприятные случаи = (1, 6) (6, 1) (2, 5) (5, 2) (3, 4) (4, 3) — 6 способов. P (A) = 6/36 = 1/6

Пример 5: Случайным образом вытягивается 1 карта из колоды из 52 карт.
(i) Найдите вероятность того, что это карта чести.
(ii) Это лицевая карта.
Sol: (i) карты чести = (A, J, Q, K) 4 карты каждой масти = 4 × 4 = 16
P (карта чести) = 16/52 = 4/13
(ii) лицо карты = (J, Q, K) по 3 карты каждой масти = 3 × 4 = 12 карт.
П (лицевая карта) = 12/52 = 3/13

Пример 6: Две карты вытягиваются из колоды из 52 карт.Найдите вероятность того, что оба являются бриллиантами или оба являются королями.
Sol: Общ. путей = 52 C 2
Случай I: Оба бриллианта = 13 C 2
Случай II: Оба короли = 4 C 2
P (оба бриллианта или оба являются королями) = ( 13 C 2 + 4 C 2 ) / 52 C 2

Пример 7 : Три кубика бросаются вместе.Какова вероятность получить хотя бы одну четверку?
Sol: Общее количество путей = 6 × 6 × 6 = 216. Вероятность получения числа «4» хотя бы один раз
= 1 — (Вероятность отсутствия числа 4) = 1 — (5/6) x (5/6) x (5/6) = 91/216

Обязательно прочтите статьи о вероятностях

Пример 8: Задача дается трем людям P, Q, R, чьи шансы решить ее соответственно равны 2/7, 4/7, 4/9. Какова вероятность того, что проблема будет решена?
Sol: Вероятность решения проблемы = 1 — (Вероятность того, что никто из них не решит проблему)

Вероятность решения проблемы = 1 — (5/7) x (3/7) x (5/9) = (122/147)

Пример 9: Найдите вероятность выпадения двух орлов при подбрасывании пяти монет.
Sol: Количество способов получения двух голов = 5 C 2 = 10. Общее количество способов = 2 5 = 32
P (две головы) = 10/32 = 5/16

Пример 10: Какова вероятность получить сумму 22 или более, когда брошены четыре кубика?
Sol: Общее количество способов = 6 4 = 1296. Количество способов получения суммы 22 равно 6,6,6,4 = 4! / 3! = 4
6,6,5,5 = 4! / 2! 2! = 6. Количество способов получить сумму 23 равно 6,6,6,5 = 4! / 3! = 4.
Количество способов получения суммы 24 равно 6,6,6,6 = 1.
Fav. Количество корпусов = 4 + 6 + 4 + 1 = 15 способов. P (получая сумму 22 или более) = 15/1296 = 5/432

Пример 11: Две кости бросаются вместе. Какова вероятность того, что число, полученное на одной из игральных костей, кратно числу, полученному на другой кости?
Sol: Общее количество случаев = 6 2 = 36
Поскольку число на кубике должно быть кратным другому, возможны следующие варианты:
(1, 1) (2, 2) (3, 3) — —— (6, 6) — 6 выводов
(2, 1) (1, 2) (1, 4) (4, 1) (1, 3) (3, 1) (1, 5 ) (5, 1) (6, 1) (1, 6) — 10 путей
(2, 4) (4, 2) (2, 6) (6, 2) (3, 6) (6, 3) — 6 путей
Благоприятные случаи = 6 + 10 + 6 = 22.Итак, P (A) = 22/36 = 11/18

Пример 12: Из колоды карт наугад вытягиваются три карты. Найдите вероятность того, что каждая карта принадлежит к разной масти.
Sol: Общее количество ящиков = 52 C 3
Следует выбрать по одной карте разной масти. Три масти можно выбрать в 4 C 3 было
Всего карт можно выбрать ( 4 C 3 ) x ( 13 C 1 ) x ( 13 C 1 ) x ( 13 C 1 )
Вероятность = 4 C 3 x ( 13 C 1 ) 3 / 52 C 3
= 4 x ( 13) 3 / 52 С 3

Пример 13 : Найдите вероятность того, что в високосном году 52 воскресенья.
Sol: В високосном году может быть 52 воскресенья или 53 воскресенья. В високосном году 366 дней, из которых 52 полных недели и оставшиеся 2 дня. Теперь эти два дня могут быть (Sat, Sun) (Sun, Mon) (Mon, Tue) (Tue, Wed) (Wed, Thur) (Thur, Friday) (Friday, Sat).
Итак, всего 7 случаев, из которых (Сб, Вс) (Вс, Пн) — два благоприятных. Итак, P (53 воскресенья) = 2/7
Сейчас, P (52 воскресенья) + P (53 воскресенья) = 1
Итак, P (52 воскресенья) = 1 — P (53 воскресенья) = 1 — (2/7 ) = (5/7)

Пример 14: Пятнадцать человек сидят за круглым столом.Каковы шансы, что два человека не будут сидеть вместе?
Sol: 15 человек могут разместиться в 14! Пути. Количество способов, которыми два человека сидят вместе — 13! × 2!
Вероятность того, что два человека сядут вместе 13! 2! / 14! = 1/7
Шансы против события = 6: 1

Начните подготовку с БЕСПЛАТНОГО доступа к 25+ макетам, 75+ видео и 100+ тестам по главам. Пример 15: Три пакета содержат 3 красных, 7 черных; 8 красных, 2 черных, 4 красных и 6 черных шаров соответственно.Случайно выбирается 1 из мешков, и из него вынимается шар. Если выпавший шар красный, найдите вероятность того, что он будет вытянут из третьего мешка.
Sol: Пусть E1, E2, E3 и A являются событиями, определенными следующим образом.
E1 = Выбран первый мешок
E2 = Выбран второй мешок
E3 = Выбран третий мешок
A = Выпавший шар красный
Поскольку имеется три мешка, и один из мешков выбирается случайным образом, то P (E1) = P (E2) = P (E3) = 1/3
. Если E1 уже произошло, то был выбран первый мешок, содержащий 3 красных и 7 черных шаров.Вероятность вытащить из него 1 красный шар — 3/10. Итак, P (A / E 1 ) = 3/10, аналогично P (A / E 2 ) = 8/10 и P (A / E 3 ) = 4/10. Нам необходимо найти P (E 3 / A), то есть, учитывая, что выпавший шар красный, какова вероятность того, что мяч будет вытянут из третьего мешка по правилу Бая
.

Вероятностные практические задачи

1. На шестигранном кубике каждая сторона имеет число от 1 до 6. Какова вероятность выпадения 3 или 4?
  1. 1 к 6
  2. 1 к 3
  3. 1 к 2
  4. 1 к 4
2.Три монеты подбрасываются в воздух по одной. Какова вероятность того, что двое из них выпадут орлом, а один — решкой?
  1. 0
  2. 1/8
  3. 1/4
  4. 3/8
3. Двузначное число выбирается случайным образом. Какова вероятность того, что выбранное число кратно 7?
  1. 1/10
  2. 1/9
  3. 11/90
  4. 12/90
  5. 13/90
4. Сумка содержит 14 синих, 6 красных, 12 зеленых и 8 фиолетовых кнопок.25 пуговиц извлекаются из сумки случайным образом. Сколько из удаленных кнопок было красными, если шанс вытащить красную пуговицу из сумки теперь 1/3?
  1. 0
  2. 1
  3. 3
  4. 5
  5. 6
5. В сумке 6 синих шариков, 3 красных шарика и 5 желтых шариков. Какова вероятность выбрать синий или красный шарик при первом розыгрыше?
  1. 1/3
  2. 4/7
  3. 8/14
  4. 9/14
  5. 11/14
6.Используя шестигранный кубик, Карлин выбрасывает шесть при каждом из 4 последовательных бросков. Какова вероятность того, что Карлин выкинет шестерку при следующем броске?
  1. 1/2
  2. 1/4
  3. 1/6
  4. 1/30
  5. 1/3125
7. Обычная колода карт состоит из 52 карт. Предполагая, что вы не замените карту, которую вы вытащили перед следующим розыгрышем, какова вероятность вытянуть три туза подряд?
  1. 1 дюйм 52
  2. 1 дюйм 156
  3. 1 дюйм 2000
  4. 1 дюйм 5525
  5. 1 дюйм 132600
8.MP3-плеер настроен на воспроизведение песен в случайном порядке из пятнадцати песен, которые он содержит в памяти. Любую песню можно воспроизвести в любое время, даже если она повторяется. Есть 5 песен Band A, 3 песни Band B, 2 Band C и 5 Band D. Если игрок только что проиграл две песни подряд Band D, какова вероятность того, что следующая песня также будет быть группой D?
  1. 1 из 5
  2. 1 из 3
  3. 1 из 9
  4. 1 из 27
  5. Недостаточно данных для определения.
9.Возвращаясь снова к MP3-плееру, описанному в вопросе 8, какова вероятность того, что следующие две песни будут обеими от Band B?
  1. 1 из 25
  2. 1 из 3
  3. 1 из 5
  4. 1 из 9
  5. Недостаточно данных для определения.
10. Если мешок воздушных шаров состоит из 47 белых шаров, 5 желтых шаров и 10 черных шаров, какова приблизительная вероятность того, что воздушный шар, случайно выбранный из мешка, будет черным?
  1. 19%
  2. 16%
  3. 21%
  4. 33%
11.В лотерее на каждые 100 проданных билетов приходится 2 победителя. Если мужчина купит 10 билетов, каковы шансы, что он станет победителем?
  1. 1 к 2
  2. 1 к 5
  3. 2 к 5
  4. 2 к 2

Ответы и пояснения

1. B: На шестигранной матрице вероятность броска любое число равно 1 к 6. Вероятность выпадения 3 или 4 вдвое больше, или 2 к 6. Это можно упростить, разделив 2 и 6 на 2.

Следовательно, вероятность выброса 3 или 4 равна 1 к 3.

2. D: Ниже показан пример пространства возможных исходов для подбрасывания трех монет по одной. Поскольку существует вероятность двух исходов (орла или решки) для каждой монеты, всего для трех монет существует всего 2 * 2 * 2 = 8 возможных исходов. Обратите внимание, что H представляет орел, а T — решку:

HHH HHT HTT HTH TTT TTH THT THH

Обратите внимание, что из 8 возможных исходов только 3 из них (HHT, HTH и THH) соответствуют желаемому условию, что две монеты выпадет орлом вверх, и одна монета выпадет решкой.Вероятность, по определению, — это количество желаемых результатов, деленное на количество возможных результатов. Таким образом, вероятность выпадения двух орлов и одной решки равна 3/8, выбор D.

3. E: Существует 90 двузначных чисел (все числа от 10 до 99). Из них 13 кратных 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.

4. B: Добавьте 14 синих, 6 красных, 12 зеленых и 8 фиолетовых кнопок, чтобы получить в общей сложности 40 кнопок. Если удалить 25 пуговиц, в сумке останется 15 пуговиц.Если шанс вытянуть красную кнопку теперь равен 1/3, то 5 из 15 оставшихся кнопок должны быть красными. Первоначальное количество красных кнопок было 6. Итак, одна красная кнопка была удалена.

5. D: Используйте это соотношение для вероятности:

Вероятность = Количество желаемых результатов

Количество возможных результатов

Есть 6 синих шариков и 3 красных шарика, всего 9 желаемых результатов. Сложите общее количество шариков, чтобы получить общее количество возможных результатов, 14.Вероятность выбора красного или синего шарика составляет 9/14.

6. C: Результаты предыдущих бросков не влияют на результаты будущих бросков. Есть один желаемый результат и шесть возможных результатов. Вероятность выпадения шестерки при пятом броске равна 1/6, как и вероятность выпадения шестерки при любом отдельном броске.

7. D: Вероятность выпадения трех тузов подряд является произведением вероятностей для каждого розыгрыша. Для первого туза это 4 из 52 или 1 из 13; для второго это 3 из 51 или 1 из 27; а для третьего — 2 из 50 или 1 из 25.Таким образом, общая вероятность, P , равна P = 1/13 * 1/17 * 1/25 = 1 / 5,525

8. B: Вероятность воспроизведения песни определенной группой пропорциональна числу песен этой группы, разделенных на общее количество песен, или 5/15 = 1/3 для B и D. Вероятность воспроизведения какой-либо конкретной песни не зависит от того, что игралось ранее, поскольку выбор является случайным и песни может повторяться.

9. A: Поскольку 3 из 15 песен принадлежат группе B, вероятность того, что любая песня будет принадлежать этой группе, составляет 3/15 = 1/5.Вероятность того, что следующие две песни принадлежат диапазону B, равна произведению двух вероятностей, где каждая вероятность состоит в том, что следующая песня принадлежит диапазону B: 1/5 * 1/5 = 1/25 Такая же вероятность 1 / 5 может быть умножено дважды, потому что то, принадлежит ли первая песня Band B или нет, не влияет на то, принадлежит ли вторая песня Band B. Это независимые события.

10. B: Сначала подсчитайте общее количество воздушных шаров в сумке: 47 + 5 + 10 = 62.

Десять из них черные, поэтому разделите это число на 62.Затем умножьте вероятность на 100, чтобы выразить вероятность в процентах:

10/62 = 0,16

0,16 100 = 16%

11. B: Во-первых, эту задачу легче решить, если мы узнаем, сколько билеты продаются на одного победителя. Если на каждые 100 билетов приходится 2 победителя, то на каждые 50 проданных билетов выделяется 1 победитель.

Следовательно, если он купит десять билетов, шансы на выигрыш будут равны 10 из 50.

Это также можно выразить как 1 из 5.

Вероятностные вопросы с решениями

Вопросы и их решения

Вопрос 1

Бросается игральная кость, найдите вероятность того, что выпадет четное число.
Решение
Давайте сначала запишем пространство отсчетов S эксперимента.
S = {1,2,3,4,5,6}
Пусть E будет событием «получено четное число» и запишите его.
E = {2,4,6}
Теперь воспользуемся формулой классической вероятности.
P (E) = n (E) / n (S) = 3/6 = 1/2

Вопрос 2

Брошены две монеты, найдите вероятность выпадения двух орлов. Примечание: Каждая монета имеет два возможных исхода: H (решка) и T (решка).
Решение
Пространство отсчетов S определяется выражением.
S = {(H, T), (H, H), (T, H), (T, T)}
Пусть E — событие «выпали две головы».
E = {(H, H)}
Воспользуемся формулой классической вероятности.
P (E) = n (E) / n (S) = 1/4

Вопрос 3

Какое из этих чисел не может быть вероятностью?
а) -0,00001
б) 0,5
в) 1,001
г) 0
д) 1
е) 20%
Решение
Вероятность всегда больше или равна 0 и меньше или равна 1, поэтому только a) и c) выше не может представлять вероятности: -0.00010 меньше 0 и 1.001 больше 1.

Вопрос 4

Выпадают два кубика, найдите вероятность того, что сумма
а) равно 1
б) равно 4
в) менее 13
Решение
a) Примерное пространство S двух игральных костей показано ниже.
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
Пусть E — событие «сумма, равная 1».Нет исходов, соответствующих сумме, равной 1, поэтому
P (E) = n (E) / n (S) = 0/36 = 0
b) Три возможных исхода дают сумму, равную 4: E = {(1,3), (2,2), (3,1)}, следовательно.
P (E) = n (E) / n (S) = 3/36 = 1/12
c) Все возможные исходы, E = S, дают сумму меньше 13, следовательно.
P (E) = n (E) / n (S) = 36/36 = 1

Вопрос 5

Бросается кубик и бросается монета, найдите вероятность того, что на кубике будет нечетное число, а на монете — голова.
Решение
Пусть H будет головой, а T хвостом монеты.Примерное пространство S эксперимента, описанного в вопросе 5, выглядит следующим образом:
S = {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6 ,ЧАС)
(1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}
Пусть E будет событием «на кубике показано нечетное число, а на монете — голова». Событие E можно описать следующим образом:
E = {(1, H), (3, H), (5, H)}
Вероятность P (E) определяется как
P (E) = n (E) / n (S) = 3/12 = 1/4.

Вопрос 6

Карта выбирается случайным образом из колоды карт. Найдите вероятность получить 3 бубна.
Решение
Пространство выборки S эксперимента в вопросе 6 меньше

Пусть E будет событием «получение тройки ромба». Исследование пространства выборки показывает, что есть одна «тройка ромба», так что n (E) = 1 и n (S) = 52. Следовательно, вероятность возникновения события E определяется как
P (E) = 1 / 52

Вопрос 7

Карта выбирается случайным образом из колоды карт. Найдите вероятность получить ферзя.
Решение
Примерное пространство S эксперимента в вопросе 7 показано выше (см. Вопрос 6)
Пусть E будет событием «получение ферзя».Исследование пространства выборки показывает, что имеется 4 «ферзей», так что n (E) = 4 и n (S) = 52. Следовательно, вероятность наступления события E определяется выражением
P (E) = 4/52 = 1/13

Вопрос 8

В банке 3 красных шарика, 7 зеленых шариков и 10 белых шариков. Если из кувшина наугад вытащить шарик, какова вероятность, что этот шарик белый?
Решение
Сначала мы построим таблицу частот, которая дает распределение цветов мрамора следующим образом:
цвет частота
красный 3
зеленый 7
белый 10
Теперь мы используем эмпирическую формулу вероятности
P (E) = Частота для белого цвета / Общие частоты в приведенной выше таблице.
= 10/20 = 1/2

Вопрос 9

Группы крови 200 человек распределяются следующим образом: 50 имеют группу крови A , 65 — группу крови B , 70 — группу крови O и 15 — кровь типа AB .Если случайным образом будет выбран человек из этой группы, какова вероятность того, что у этого человека группа крови O?
Раствор
Мы составляем таблицу частот для групп крови следующим образом:
группа частота
50
B 65
O 70
AB 15

Мы используем эмпирическую формулу вероятности
P (E) = Частота для O крови / Общие частоты
= 70/200 = 0.35 год

Упражнения

а) Бросается кубик, найдите вероятность того, что полученное число больше 4.
b) Подброшены две монеты, найдите вероятность того, что будет получена только одна голова .
c) Выпадают два кубика, найдите вероятность того, что сумма равна 5.
г) Карта случайным образом вытягивается из колоды карт. Найдите вероятность получить Короля сердца.

Ответы на приведенные выше упражнения


а) 2/6 = 1/3
б) 2/4 = 1/2
в) 4/36 = 1/9
г) 1/52

Подробнее Литература и ссылки

элементарных статистик и вероятностей.
Домашняя страница

Вероятность | Теория, решенные примеры и практические вопросы

Когда соискатели MS и MBA задают нам: « Каковы мои шансы поступить в Гарвард? ‘или‘ Какова моя вероятность получить стипендию Оксфорда? «косноязычим. В игре так много переменных, что трудно дать точный ответ.

Но когда вы получаете вопросы о вероятности в программе экзаменов GRE и GMAT, вам не нужно запутаться.Понимание основных правил и формул вероятности поможет вам получить высокие баллы на вступительных экзаменах.

Значение и определение вероятности

Как сказано в Оксфордском словаре, «Вероятность» означает «степень, в которой что-то возможно; вероятность того, что что-то произойдет или произойдет ».

В математике вероятность означает то же самое — вероятность наступления события.

Примеры событий:

  • Подбрасывание монеты головой вверх
  • Рисование красной ручкой из пачки разноцветных ручек
  • Вытягивание карты из колоды 52 карт и т. Д.

Либо событие обязательно произойдет, либо не произойдет вовсе. Или есть вероятность, что событие может произойти в разной степени.

Событие, которое обязательно произойдет, называется определенным событием, и его вероятность равна 1.

Событие, которое вообще не происходит, называется невозможным событием, и его вероятность равна 0.

Это означает, что все другие возможности возникновения события лежат между 0 и 1.

Это изображено следующим образом:

0 <= P (A) <= 1

, где A — событие, а P (A) — вероятность наступления события.

Это также означает, что значение вероятности никогда не может быть отрицательным.

У каждого события будет набор возможных исходов. Это называется «пробелом».

Рассмотрим пример подбрасывания монеты.

Когда подбрасывается монета, возможны следующие исходы: «орел» и «решка». Итак, образец пространства представлен как {H, T}.

Аналогично, когда подбрасываются две монеты, пробелом является {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}.

Вероятность выпадения орла каждый раз, когда вы подбрасываете монету, равна 1/2.Так вероятность хвоста.

Основная формула вероятности

Как вы, возможно, знаете из списка математических формул GMAT, вероятность наступления события A определяется как:

P (A) = (Количество способов, которыми может произойти A) / (Общее количество возможных результатов)

Другой пример — бросание игральных костей. Когда бросается один кубик, размер образца равен {1,2,3,4,5,6}.

Какова вероятность выпадения 5 при бросании кубика?

№способов это может произойти = 1

Общее количество возможных исходов = 6

Таким образом, вероятность выпадения определенного числа при бросании кубика = 1/6.

Сложная вероятность

Сложная вероятность — это когда в постановке задачи задается вопрос о вероятности возникновения более чем одного результата.

Формула сложной вероятности
  • P (A или B) = P (A) + P (B) — P (A и B)

, где A и B — любые два события.

P (A или B) — вероятность наступления хотя бы одного из событий.

P (A и B) — это вероятность одновременного появления A и B.

Взаимоисключающих событий:

Взаимоисключающие события — это события, появление одного из которых указывает на отсутствие другого

ИЛИ

Когда два события не могут произойти одновременно, они считаются взаимоисключающими.

Примечание: Для взаимоисключающего события P (A и B) = 0.

Пример 1: Какова вероятность выпадения 2 или 5 при броске кубика?

Решение:

Принимая индивидуальные вероятности каждого числа, получая 2, получаем 1/6 и, следовательно, получаем 5.

Применяя формулу сложной вероятности,

Вероятность получения 2 или а 5,

P (2 или 5) = P (2) + P (5) — P (2 и 5)

==> 1/6 + 1/6 — 0

==> 2/6 = 1/3.

Пример 2: Рассмотрим пример определения вероятности выбора черной карты или 6 из колоды из 52 карт.

Решение:

Нам нужно узнать P (B или 6)

Вероятность выбора черной карты = 26/52

Вероятность выбора 6 = 4/52

Вероятность выбора как черной карты, так и 6 = 2/52

P (B или 6) = P (B) + P (6) — P (B и 6)

= 26/52 + 4/52 — 2/52

= 28/52

= 7/13.

Независимые и зависимые события

Независимое событие

Когда происходит несколько событий, если результат одного события НЕ влияет на исход других событий, они называются независимыми событиями.

Скажем, кубик бросается дважды. Результат первого броска не влияет на второй результат. Это два независимых события.

Пример 1: Допустим, монета подбрасывается дважды. Какова вероятность выпадения двух подряд решек?

Вероятность получить хвост за один бросок = 1/2

Монета подбрасывается дважды.Итак, 1/2 * 1/2 = 1/4 — это ответ.

Вот подтверждение вышеприведенного ответа с помощью пробела.

Когда монета подбрасывается дважды, пробел составляет {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}.

Наше желаемое событие — это (T, T), которое происходит только один раз из четырех возможных исходов, и, следовательно, наш ответ — 1/4.

Пример 2: Рассмотрим другой пример, в котором упаковка содержит 4 синих, 2 красных и 3 черных ручки. Если перо наугад извлекается из пачки, заменяется и процесс повторяется еще 2 раза, какова вероятность вытащить 2 синих ручки и 1 черную ручку?

Решение

Здесь общее количество ручек = 9

Вероятность рисования 1 синей ручкой = 4/9
Вероятность рисования другой синей ручкой = 4/9
Вероятность рисования 1 черной ручкой = 3/9
Вероятность рисования 2 синих и 1 черной ручки = 4/9 * 4 / 9 * 3/9 = 48/729 = 16/243

Зависимые события

Когда происходят два события, если результат одного события влияет на результат другого, они называются зависимыми событиями.

Рассмотрим вышеупомянутый пример рисования ручки из пачки с небольшими отличиями.

Пример 1: В упаковке 4 синих, 2 красных и 3 черных ручки. Если из колоды случайным образом вытягиваются 2 ручки, заменяется НЕ , а затем вытягивается другая ручка. Какова вероятность нарисовать 2 синие ручки и 1 черную ручку?

Решение:

Вероятность рисования 1 синей ручкой = 4/9
Вероятность рисования другой синей ручкой = 3/8
Вероятность рисования 1 черной ручкой = 3/7
Вероятность рисования 2 синих ручек и 1 черной ручки = 4/9 * 3 / 8 * 3/7 = 1/14

Рассмотрим другой пример:

Пример 2: Какова вероятность последовательного вытягивания короля и ферзя из колоды из 52 карт, без замены .

Вероятность выпадения короля = 4/52 = 1/13

После вытягивания одной карты количество карт составляет 51.

Вероятность выпадения ферзя = 4/51.

Теперь вероятность того, что вы вытащите короля и ферзя подряд, равна 1/13 * 4/51 = 4/663

Условная вероятность

Условная вероятность — это вычисление вероятности события с учетом того, что другое событие уже произошло.

Формула условной вероятности P (A | B), читаемая как P (A при B):

P (A | B) = P (A и B) / P (B)

Рассмотрим следующий пример:

Пример: В классе 40% студентов изучают математику и естественные науки.60% студентов изучают математику. Какова вероятность того, что студент будет изучать естественные науки, если он / она уже изучает математику?

Решение

P (M и S) = 0,40

P (M) = 0,60

P (S | M) = P (M и S) / P (S) = 0,40 / 0,60 = 2/3 = 0,67

Дополнение к мероприятию

Дополнение к событию A может быть указано как то, которое НЕ содержит возникновения A.

Дополнение к событию обозначается как P (A c ) или P (A ’).

P (A c ) = 1 — P (A)

или, можно сказать, P (A) + P (A c ) = 1

Например,

, если A — это событие, когда при подбрасывании монеты выпадает голова, то A c не получает голову, то есть хвост.

, если A — это событие получения четного числа при броске кубика, A c — событие НЕ получения четного числа, т.е. получение нечетного числа.

, если A — это событие случайного выбора числа в диапазоне от -3 до 3, A c — это событие выбора каждого числа, которое НЕ является отрицательным i.е., 0,1,2 & 3 (0 не является ни положительным, ни отрицательным).

Рассмотрим следующий пример:

Пример: Одна монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность получить хотя бы одну голову?

Решение:

Решите эту проблему с помощью дополнения.

Вероятность отсутствия головы = P (все решки) = 1/32

П (хотя бы одна голова) = 1 — П (все решки) = 1 — 1/32 = 31/32.

Примеры вопросов о вероятности с решениями

Пример вероятности 1

Какова вероятность выпадения нечетного числа или числа меньше 5 при выпадении правильного кубика.

Решение

Пусть событие появления нечетного числа будет «A», а событие появления числа, которое меньше 5, будет «B». Нам нужно найти P (A или B).

P (A) = 3/6 (нечетные числа = 1,3 и 5)

P (B) = 4/6 (числа меньше 5 = 1,2,3 и 4)

P (A и B) = 2/6 (числа, которые являются нечетными и меньше 5 = 1 и 3)

Теперь, P (A или B) = P (A) + P (B) — P (A или B)

= 3/6 + 4/6 — 2/6

P (A или B) = 5/6.

Пример вероятности 2

В коробке 4 шоколадных батончика и 4 мороженого. Том съедает 3 из них по очереди. Какова вероятность последовательно выбрать 2 чокобара и 1 мороженое?

Решение

Вероятность выбора 1 чокобара = 4/8 = 1/2

После извлечения 1 чокобара общее количество составляет 7.

Вероятность выбора 2-го чокобара = 3/7

Вероятность выбора 1 мороженого из 6 = 4/6 = 2/3

Таким образом, окончательная вероятность выбора 2 чокобаров и 1 мороженого = 1/2 * 3/7 * 2/3 = 1/7

Пример вероятности 3

Когда выпадают два кубика, найдите вероятность выпадения большего числа на первом кубике, чем на втором, учитывая, что сумма должна равняться 8.

Решение

Пусть событие выпадения большего числа на первом кубике будет G.

Есть 5 способов получить сумму 8, когда выпадают два кубика = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}.

И есть два способа, когда число на первом кубике больше, чем число на втором, при условии, что сумма должна быть равна 8, G = {(5,3), (6,2)}.

Следовательно, P (сумма равна 8) = 5/36 и P (G) = 2/36.

Теперь P (G | сумма равна 8) = P (G и сумма равна 8) / P (сумма равна 8)

= (2/36) / (5/36)

= 2/5

Тест на вероятность: примеры вопросов для практики

Проблема вероятности 1

В сумке находятся синие и красные шары.Случайно выпадают два шара без замены. Вероятность выбрать синий, а затем красный шар составляет 0,2. Вероятность выбора синего шара в первом розыгрыше — 0,5. Какова вероятность выпадения красного шара, учитывая, что первый выпавший шар был синим?
а) 0,4
б) 0,2
в) 0,1
г) 0,5

Задача 2

Трижды бросается игральная кость. Какова вероятность того, что сумма бросков будет как минимум 5.
a) 1/216
b) 1/6
c) 3/216
d) 212/216


Узнайте, как решать:
— Простые и сложные задачи
— Задачи о скорости, расстоянии и времени
— Соотношение и пропорции
— Список математических формул

Пройдите этот доступный онлайн-курс по вероятности и проверьте свои знания, задав более 600 практических вопросов.В нем обучается более 18 000 студентов, средний рейтинг — 4,6 звезды. Щелкните ниже. Станьте мастером теории вероятностей и статистики

вероятностных вопросов по математике ACT: стратегии и практика

Какова вероятность того, что вы подбросите монету и получите орел? А два раза подряд? Три раза? Вопросы о вероятности задают вам определение вероятности того, что событие или любое количество событий должно произойти, и чем больше вы практикуетесь, тем выше ваши шансы справиться с этими типами вопросов на ACT (посмотрите, что мы там делали?).

Это будет ваше полное руководство по вероятности на ACT — как работает вероятность, различные типы вопросов вероятности, которые вы увидите в тесте, и шаги, которые вам нужно будет предпринять, чтобы их решить.

Что означает вероятность?

$ \ Probability = {\ желаемый \ исход} / {\ все \ возможные \ исходы}

$

В ACT вопросы вероятности могут быть сформулированы по-разному. Вас могут попросить определить «вероятность» того, что событие произойдет, «шансы», «шансы» или «вероятность».Но независимо от того, как это написано на тесте, все это способы просить об одном и том же.

Способ представления вероятности события (или событий) состоит в том, чтобы выразить в виде дроби, как часто это событие происходит из общего числа возможных результатов.

Итак, если мы воспользуемся нашим примером сверху — «Каковы шансы, что вы подбросите монету и получите орел?» — шансы будут:

$ {\ желаемый \ исход} / {\ all \ possible \ results}

$

$ 1/2 $

В этом одном броске есть один возможный шанс получить решку.Это означает, что наш числитель 1.

Есть также два возможных результата (орел или решка), что означает, что наш знаменатель будет 2.

Теперь давайте посмотрим на другой пример:

Мара нанизывает ожерелье и выбирает наугад каждую бусину из корзины с бусинами. Если в настоящее время в корзине 5 желтых бусинок, 10 красных бусин, 15 зеленых бусинок и 20 синих бусинок, каковы шансы, что она выберет красную бусину в следующий раз?

$ {\ желаемый \ исход} / {\ all \ possible \ results}

$

Есть 10 красных бусинок, и это наш желаемый результат.Это означает, что 10 — наш числитель.

В корзине также всего 5 \ желтых \ бусин + 10 \ красных \ бусин + 15 \ зелёных \ бусин + 20 \ синих \ бус = 50 \ всего \ бусин $. Это наш знаменатель, поскольку он представляет все возможные результаты.

Когда мы сложим их вместе, наша вероятность будет:

$ 10/50 $

$ 1/5 $

Шансы, что Мара выберет красную бусину, — 1 из 5 или 1/5 $.

А что, если мы сформулируем желаемый результат как отрицательный?

Каковы шансы, что Мара НЕ выберет зеленую бусину?

Чтобы найти отрицательную вероятность, мы должны вычесть шансы того, что Мара нарисует зеленую бусинку.(Мы также можем думать об этом как о нахождении желаемого результата, когда она выбирает желтую бусину, красную бусину или синюю бусину, о чем мы рассмотрим более подробно в следующем разделе.)

Есть только желтые, красные, зеленые и синие бусинки, поэтому мы можем сложить наши шансы желтых, красных и синих бусинок, исключая зеленые. Есть 5 желтых бусинок, 10 красных бусинок и 20 синих бусинок, поэтому мы можем сложить их вместе, чтобы получить числитель.

$ 5 + 10 + 20 = 35 $

И в нашем знаменателе все еще остается 5 + 10 + 15 + 20 = 50 $ бусинок.

Так каковы шансы, что Мара НЕ выберет зеленую бусину?

$ 35/50 $

$ 7/10 $

Вероятность 7 из 10 (7 долларов / 10 долларов), что Мара нарисует бусину любого цвета , кроме зеленой.

Выражение вероятностей

Как видите, вероятности выражаются дробями. Это означает, что событие, которое будет происходить всегда и обязательно, будет иметь вероятность 1/1 $ или 1.

С другой стороны, вероятность невозможного события будет равна $ 0 / x $ или 0.

Вы также можете думать о вероятностях как о процентах. Если шансы на то, что вы вытащите туза из колоды карт составляют 4/52 доллара, это то же самое, что сказать, что вероятность того, что вы вытащите туза, составляет 7,69%.

Почему? Потому что $ 4 ÷ 52 = 0,0769 $, а 0,0769 $ * 100 = 7,69% $.

Возможности (не совсем) безграничны.

Либо / Либо Вероятность

$ {\ вероятность \ либо \ событие = [{\ исход A} / {\ total \ number \ of \ results}] + [{\ result B} / {\ total \ number \ of \ results}] $

(Специальное примечание: это называется вероятностью «неперекрытия».В этом случае, невозможно , чтобы два (или более) события произошли одновременно. — это такая вещь, как вероятность или / или для перекрывающихся событий, но вас никогда не попросят сделать это на ACT, поэтому мы не включили это в это руководство.)

Вероятность «или / или» увеличивает шансы на то, что желаемый результат произойдет, потому что нас не волнует , какое из двух событий произойдет, а только то, что произойдет одно из них.

Следовательно, чтобы решить эту проблему, мы должны добавить вероятность каждого отдельного события.Их сумма станет вероятностью либо событий.

Итак, давайте еще раз посмотрим на наш предыдущий пример с Марой и ее бусинами.

Вместо того, чтобы спрашивать, с какой вероятностью Мара выберет только красную бусину, каковы шансы, что Мара выберет либо красную бусину, либо зеленую бусину, если у нее 5 желтых бус, 10 красных бус, 15 зеленых бусинок и 20 синих. бусы в корзину?

Мы увеличили наши шансы, так как не имеет значения, зеленая или красная бусина, до тех пор, пока бусинка, которую мы выбираем, НЕ синяя или желтая (по сути, мы решаем другую версию нашей предыдущей отрицательной проблемы — » каковы шансы, что конкретное событие НЕ произойдет? »)

Это означает, что мы можем сложить вероятностей наших отдельных событий вместе, чтобы найти их совокупную вероятность.

Итак, давайте найдем вероятность того, что она нарисовала красную бусину:

$ 10 / (5 + 10 + 15 + 20) $

$ 10/50 $

И найдем вероятность того, что она нарисовала зеленую бусину:

$ 15 / (5 + 10 + 15 + 25) $

$ 15/50 $

Итак, если мы сложим две вероятности вместе, мы получим:

10/50 + 15/50

25 долл. США / 50 долл. США

$ 1/2 $

Поскольку эта задача включает в себя шансы двух событий с одинаковым общим числом результатов (всего 50 возможных бусинок на выбор каждый раз), мы также могли бы просто сложить два желаемых результата вместе по общему количеству результатов.Итак:

$ (10 + 15) / (5 + 10 + 15 + 20) $

25 долл. США / 50 долл. США

$ 1/2 $

В любом случае вероятность того, что Мара вытащит красную или зеленую бусину, равна 1 к 2 или 1/2 $ (50%).

Каковы шансы, что мы пойдем тем или иным путем ?

Комбинированная вероятность

$ \ Комбинированный \ вероятность = [{\ исход A} / {\ total \ number \ of \ results}] * [{\ ​​result B} / {\ total \ number \ of \ results}] $

«Каковы шансы того, что два или более событий произойдут одновременно?» Этот тип вопроса о вероятности называется комбинированной вероятностью, и есть большая вероятность, что вы встретите вопрос такого типа во второй половине математического раздела ACT.

Обратите внимание на то, что комбинированный вопрос о вероятности существенно отличается от вопроса о вероятности или / или о вероятности. Вопрос «или / или» спрашивает, происходит ли одно из нескольких событий (независимо от того, какое событие было). Вопрос «и / и» требует, чтобы произошло несколько событий и все .

Чтобы найти вероятность вопроса «или / или», мы должны сложить наши вероятности. Чтобы найти вероятность комбинированного вопроса о вероятности, мы должны умножить на наши вероятности.

Хороший способ запомнить это — помнить, что комбинированный вопрос о вероятности в конечном итоге будет иметь вероятность на меньше, чем вероятность только одного (или любого) события. Чем больше событий вам нужно, тем меньше вероятность, что все они произойдут. Насколько вероятно, что ваш первый и второй подбрасывания монеты будут ОДИН орлом? Меньше, чем шансы просто один раз перевернуть голову.

С другой стороны, вопрос о вероятности или / или вероятности будет иметь более высокие шансы, чем вероятность того, что произойдет хотя бы одно из его событий.Вы объединяете силы, чтобы увеличить свои шансы на получение желаемого результата. Насколько велика вероятность того, что вы будете бросать орел или решку при каждой подбрасывании? 100%!

Каковы шансы, что Дженни бросит пару кубиков и на обоих выпадет шесть?

У кубика шесть граней, поэтому вероятность выпадения любого конкретного числа составляет $ 1/6 $. Поскольку вопрос просит нас найти шансы выпадения двух шестерок (и ничего другого), мы должны использовать нашу комбинированную вероятность. Итак:

$ 1/6 * 1/6 = 1/36 $

Есть шанс 1 из 36, что Дженни бросит пару кубиков и получит две шестерки.

Комбинированные вопросы вероятности означают, что события не могут быть разделены.

Типичные вопросы вероятности ACT

Существует много различных типов вероятностей и вопросов вероятности (включая перекрывающиеся и условные вероятности), но вопросы вероятности ACT используют только основные вероятности, которые мы рассмотрели выше.

Для большинства вопросов о вероятности ACT вам будет предложено найти либо прямую вероятность, либо отношение вероятностей.Вас также могут попросить найти или изменить новую вероятность вместо существующей.

Теперь давайте рассмотрим каждый тип проблемы.

Простая вероятность

Вопросы такого рода всегда представляют собой задачи со словами, в которых вам рассказывают историю и просят определить вероятность одного или нескольких событий. Это может быть прямая вероятность, либо / или вероятность, либо комбинированная вероятность.

Просто используйте то, что мы узнали выше, и вы сможете без проблем решать подобные вопросы.

Мы знаем, что вероятность равна $ {\ desire \ result} / {\ all \ possible \ results} $.

Наш желаемый результат — получить одну из пяти дополнительных частей, поэтому числитель будет 5.

В коробке 750 частей пазла ПЛЮС пять дополнительных частей, поэтому наш знаменатель будет: 750 + 5 = 755

долларов.

Когда мы сложим их вместе, наша окончательная вероятность будет:

$ 5/755 $

Наш окончательный ответ — D.

Коэффициент вероятности

Один из способов, которым ACT любит вращать вероятности и делать их более сложными, — это представлять их в виде соотношений или спрашивать у вас ответ в виде отношений.Чтобы узнать больше о соотношениях, ознакомьтесь с нашим руководством по фракциям и соотношениям ACT.

Для вопросов такого типа обращайте пристальное внимание на то, что представляет собой соотношение, чтобы не решить полностью неправильный вопрос.

Нам говорят, что мы должны найти шансы события как отношение $ \ in \ the 25-35 \ age \ range: \ not \ in \ the 25-35 \ age \ range $ (другими словами, $ \ желаемый \ результат: \ оставшиеся \ исходы $).

Нам дано количество избирателей в процентах, поэтому мы можем перевести 42% избирателей в возрастном диапазоне от 25 до 35 лет как 42 доллара США / 100 долларов США.

И если возрастная категория 25-35 имеет вероятность 42 доллара / 100 долларов, то оставшиеся избиратели будут иметь вероятность:

{100 — 42} долл. США / 100 долл. США

$ 58/100 $

Теперь мы можем представить наше соотношение $ 25-35 \ избиратели: \ все \ другие \ избиратели $ как:

$ 42: 58 $

Оба числа делятся на 2, поэтому мы можем уменьшить соотношение до:

$ 21: 29 $

Наш окончательный ответ — D.

Изменение вероятности

Наконец, для ACT довольно часто просят изменить вероятность.Обычно они представляют вам существующую вероятность, а затем просят вас найти число, до которого вы должны увеличить желаемый результат (ы), и общее количество результатов, чтобы достичь определенной новой вероятности.

Например:

Итак, есть два способа решить эту проблему: используя пропорции или используя стратегию вставки ответов. Давайте посмотрим на оба метода.

Метод 1 — Пропорции

Нас просят найти дополнительное количество красных шариков, которое мы должны добавить к общему количеству шариков, чтобы найти новую вероятность.Текущая вероятность выбрать красный шарик:

$ 12/32 $

Теперь мы добавляем определенное количество красных шариков и только красных шариков. Это означает, что количество красных шариков увеличивается ровно на ту же величину, что и общее количество. Таким образом, мы можем представить новую вероятность как:

$ {12 + x} / {32 + x}

долл. США

Теперь мы хотим, чтобы эта новая вероятность была равна $ 3/5 $, поэтому давайте установим их как пропорцию.

$ {12 + x} / {32 + x} = 3/5 $

И поскольку это пропорция, мы можем умножить крест.

$ (32 + x) (3) = (12 + x) (5)

долларов США

96 долларов + 3x = 60 + 5x

долларов

Теперь решите для $ x $.

36 долларов = 2x

долларов

18 долларов = x

долларов

Итак, мы должны добавить 18 красных шариков, чтобы получить новую вероятность:

.

$ {12 + 18} / {32 + 18 $

30 долл. США / 50 долл. США

$ 3/5 $

Наш окончательный ответ — G, 18.

Метод 2. Добавление ответов

Альтернативой использованию пропорций является использование PIA. Мы можем просто добавить варианты ответов к 12 красным шарикам в числителе и 32 шарикам в знаменателе и посмотреть, какой вариант ответа даст нам окончательное соотношение $ 3/5 $.

Начнем, как всегда, с выбора ответа посередине.

Вариант ответа H дает нам 28, поэтому давайте попробуем добавить 28 как к красным шарикам, так и к общему количеству шариков.

$ {12 + 28} / {32 + 28} $

$ 40/60 $

$ 2/3 $

Этот ответ слишком велик. Мы также можем видеть, что чем больше число, которое мы добавляем и к числителю, и к знаменателю, тем больше будет наша вероятность (вы можете проверить это, подставив вариант ответа J или K — для K, если вы добавите 40 к 12 и 32, ваша окончательная доля вероятности будет 52/72 $ => 13/18 $, что даже больше, чем 2/3 $.)

Это означает, что мы можем исключить варианты ответов H, J и K.

Теперь попробуем вариант ответа G.

$ {12 + 18} / {32 + 18} $

30 долл. США / 50 долл. США

$ 3/5 $

Мы нашли желаемое соотношение.

Наш окончательный ответ — G, 18.

Как видите, независимо от того, какой метод вы используете, вы можете найти правильное решение.

Кто-то должен победить, верно? Что ж, у вас больше шансов получить удар молнии (шансы: 1.3 миллиона к 1), а ЗАТЕМ упасть с 15-этажного здания и выжить (шансы: 90 к 1), чем вы должны выиграть в лотерею (шансы: 120 миллионов к 1).

Как решить вопрос о вероятности

Есть несколько математических стратегий ACT, которые вы должны помнить при решении вопроса о вероятности. Прежде всего, вы узнаете, задают ли вам вопрос о вероятности в ACT, потому что где-то в проблеме вам будет предложено указать «вероятность», «шансы» или «шансы» одного. или больше событий происходит.

Практически всегда в ACT будет использоваться слово «вероятность», но не забывайте, что все эти слова взаимозаменяемы. Когда вы видите эти фразы, обязательно выполните следующие действия:

# 1: Убедитесь, что вы внимательно верите в вопрос.

Может быть легко ошибиться с отношениями вероятностей или смешать вопрос «либо / или вероятность» с вопросом «и / и». Убедитесь, что вы всегда внимательно изучаете проблему, прежде чем тратить драгоценное время, пытаясь ответить на неправильный вопрос.

Кайл подбрасывает монетку и записывает количество выпавших и решенных результатов. Пока что он подбрасывал монету 5 раз и каждый раз получал орел. Каковы шансы, что ему выпадет решка при следующем подбрасывании монеты?

У вас может возникнуть соблазн подумать, что на наш желаемый результат (наш числитель) влияет количество раз, когда Кайл уже подбрасывал монету, и результаты, но на самом деле вероятность того, что Кайл получит решку при следующем броске. составляет $ 1/2 $.

Почему? Потому что каждый подбрасывание монеты не зависит от другого подбрасывания монеты.Это означает, что это простой вопрос определения желаемого результата по количеству общих результатов. Есть одна возможность получить решку — числитель 1 — и два возможных варианта — орел или решка, знаменатель 2.

Таким образом, шансы Кайла получить решку при следующем броске равны 1 из 2 .

А теперь давайте рассмотрим немного другой вопрос.

Кайл подбросил монету 5 раз, и каждый раз выпадал орел. Каковы были шансы, что это случилось?

Теперь нас просят найти вероятность ответа на вопрос «и / и», поскольку нас просят определить вероятность нескольких событий , все происходят.(Если это помогает представить, вы можете перефразировать вопрос так: «Каковы шансы, что ОБЕИЕ его первые подбрасывания монеты были орлом? И каковы были шансы, что ОБЕИ его следующие подбрасывания были орлом?» И т. Д.)

Итак, если мы используем то, что знаем о комбинированных вероятностях, мы могли бы сказать:

$ 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2

$ 1/32 $

Вероятность 1 из 32 (3,125%), что Кайл подбросил бы орла пять раз подряд.

# 2: Подумайте логически о том, когда ваши шансы увеличатся или уменьшатся

Вероятность того, что произойдет два или более событий, будет на больше, чем на , чем вероятность одного из событий отдельно.Вероятность того, что оба (или несколько событий) произойдут, будет на меньше , чем вероятность одного из этих событий.

Всегда находите минутку, чтобы логически обдумать вопросы вероятности, чтобы не умножать, когда нужно складывать, или наоборот.

# 3: Упростите идею вероятности

Когда вы привыкнете работать с вероятностями, вы обнаружите, что вопросы вероятности часто представляют собой просто причудливые способы работы с дробями и процентами.

Отношение вероятностей — это то же самое, что вопрос, в котором вам просто задают соотношение. Просто освежите свои дроби и соотношения, если вы почувствуете страх по какой-либо причине.

И при необходимости всегда можно использовать PIA или PIN-код. Эти методы иногда требуют немного больше времени, но они всегда приведут вас к правильному ответу.


Вероятность получения этой руки меньше 0,0000004%, поэтому я иду олл-ин.

Проверьте свои знания

Теперь пора проверить, что вы узнали, используя реальные практические задачи ACT:

Ответы: F, E, D, B

Объяснение ответа:

1. Это еще один пример вопроса с изменяющейся вероятностью, и, опять же, у нас есть два варианта его решения. Давайте рассмотрим как метод алгебры / пропорции, так и метод PIA.

Метод 1 — пропорции.

Мы знаем, что мы должны увеличить количество красных шариков и только красных шариков, поэтому количество новых шариков, добавленных к набору красных шариков и к общему количеству шариков, будет одинаковым.

Наша начальная вероятность выпадения красных шариков:

$ 6/18 $

Итак, теперь мы должны увеличить каждую часть нашей дроби на ту же величину и установить ее равной желаемой вероятности $ ⅗ $.

$ {6 + x} / {18 + x} = 3/5 $

$ (18 + x) (3) = (6 + x) (5)

$

54 доллара + 3x = 30 + 5x

долларов

24 доллара = 2x

долларов

12 долларов = x

долларов

Таким образом, мы должны увеличить количество красных шариков (и, следовательно, общее количество шариков) на 12, чтобы получить вероятность выбора красного шарика $ ⅗ $.

Чтобы еще раз проверить это, мы можем снова подставить это число в нашу вероятность.

$ {6 + 12} / {18 + 12} $

$ 18/30 $

$ 3/5 $

Мы успешно нашли ответ!

Наш окончательный ответ — F, 12.

Метод 2 — PIA

Альтернативный метод — использовать вставку ответов. Мы просто добавим варианты ответов, чтобы увеличить количество красных шариков (и общее количество шариков), и посмотрим, какой вариант ответа дает вероятность 3/5 долларов.

Начнем с варианта ответа H, 18.

$ {6 + 18} / {18 + 18} $

$ 24/36 $

$ 2/3 $

Эта вероятность слишком велика, и чем больше число, тем больше вероятность. Это означает, что мы можем исключить варианты ответов H, J и K.

А теперь попробуем вариант ответа G, 16.

$ {6 + 16} / {18 + 16} $

$ 22/34 $

$ 11/17 $

Эта вероятность все еще слишком велика. В процессе исключения наш ответ должен быть F, но давайте проверим его, чтобы быть уверенным.

$ {6 + 12} / {18 + 12} $

$ 18/30 $

$ 3/5 $

Успех! Мы нашли правильный ответ.

Наш окончательный ответ снова: F , 12.

2. Поскольку Эллиотт должен правильно ответить на все вопросы, это означает, что это вопрос с комбинационной вероятностью. Нам говорят, что он отвечает на каждый вопрос случайным образом, и на все вопросы есть 3 варианта ответа, что означает, что правильный ответ на один вопрос с вероятностью:

$ 1/3 $

И, поскольку это задача комбинации, правильный ответ на ВСЕ 4 вопроса будет:

$ 1/3 * 1/3 * 1/3 * 1/3 $

$ 1/81 $

Наш окончательный ответ — E, $ 1/81 $

3. Всего у нас 150 человек, 67 из них имеют кровь типа А, а 6 из них — типа АВ. Это означает, что кровь типа A имеет вероятность:

67 долл. США / 150 долл. США

А кровь типа AB имеет вероятность:

$ 6/150 $

Теперь мы можем сложить эти вероятности.

67/150 + 6/150 = 73/150

Наш окончательный ответ — D, 73 $ / 150 $

4. Здесь у нас есть еще один вопрос вероятности, который усложняется использованием соотношений.Опять же, если вам нужно напомнить о соотношениях, ознакомьтесь с нашим руководством по фракциям и соотношениям ACT.

Во-первых, мы должны определить фактическое количество учеников 10 и 11 классов.

Нам говорят, что соотношение между 10-классниками и общей численностью учащихся составляет 86: 255, а для 11-х классов — 18:51. Сначала мы должны установить эти соотношения для равного количества студентов, чтобы определить количество студентов в каждом классе.

Мы видим, что у 11-классников пониженное соотношение, поэтому мы должны умножить каждую сторону отношения на ту же величину, чтобы общее количество учеников равнялось коэффициенту 10-х классов (255).

К счастью для нас, 255/51 = 5 долларов. Это хорошее круглое число, с которым можно работать.

Теперь мы должны умножить коэффициент 11-го класса на 5 с каждой стороны, чтобы выровнять игровое поле.

18 (5): 51 (5)

долл. США

90 долл. США: 255 900 долл. США12

На данный момент мы предполагаем, что всего 255 студентов (может быть 255 долларов * 2 доллара или 255 долларов * 3 доллара и т. Д., Но это не повлияет на наш окончательный результат; все, что имеет значение, это то, что мы выбираем общее количество студентов, которые одинаковы для всех оценок / соотношений.)

Итак, 86 учеников 10-го класса, 90 учеников 11-го класса, а остальные ученики 12-го класса. Зная, что всего 255 учеников, мы можем найти количество 12-классников, сказав:

255 — 86 — 90 = 79 900 12

Всего учится 79 12-классников.

Это означает, что вероятность случайного выбора 10-го, 11-го или 12-го класса составляет:

$ 86/255 $, 90/255 $, 79/255 $ соответственно.

Шансы на то, что лотерея выберет 11-го класса, выше, поскольку числитель для 11-го класса больше, чем у остальных.

Наш окончательный ответ — B, 11-классники.


Вы успешно ответили на вопросы о вероятности! Ты свободен!

На вынос

Чем больше вы практикуетесь в работе с вероятностями, тем легче они станут. Хотя может потребоваться некоторое время, чтобы научиться правильно различать разные типы вопросов о вероятности, большинство вопросов о вероятности ACT довольно просты.

Поймите, что вероятности — это просто дробные отношения желаемых результатов по всем потенциальным результатам, и вы сможете быстро решать подобные вопросы по математике ACT.

Что дальше?

Теперь, когда вы сложили шансы в свою пользу на свои вопросы о вероятности, пора убедиться, что вы в курсе остальных вопросов математики ACT. У нас есть руководства по всем вашим индивидуальным математическим потребностям, от тригонометрии до склонов и многого другого.

Хотите знать, как складываются ваши очки? Узнайте, что дает «хороший» результат и как можно извлечь максимальную пользу из учебного времени для достижения поставленной цели.

Не хватает времени на ACT? Ознакомьтесь с нашим руководством о том, как с максимальной пользой потратить время и набрать очки за отведенный час.

Хотите получить наивысший балл? Узнайте, как получить высший балл по математике ACT, написанной человеком, набравшим 36 очков.

Хотите улучшить свой результат ACT на 4 балла?

Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к ACT.Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой результат ACT на 4 или более балла.

Наша программа полностью интерактивна, и она адаптирует то, что вы изучаете, к вашим сильным и слабым сторонам. Если вам понравился этот урок математики, вам понравится наша программа. Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы учились наиболее эффективно. Мы также дадим вам пошаговую программу, которой нужно следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.

Воспользуйтесь нашей 5-дневной бесплатной пробной версией:

149+ решенных вероятностных вопросов и ответов с пояснениями

ФАКТЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ВОПРОСОВ

1. Эксперимент: Операция, которая может дать некоторые четко определенные результаты, называется экспериментом.

2. Случайный эксперимент: Эксперимент, в котором известны все возможные результаты, а точный результат нельзя предсказать заранее, называется случайным экспериментом.

Пример:

и. Подбрасывание честной монеты.

ii. Бросок беспристрастной кости.

iii. Вытягивание карты из колоды хорошо перемешанных карт.

3. Подробная информация о вышеуказанных экспериментах:

и. Когда мы бросаем монету, появляется голова (H) или хвост (T).

ii. Игральные кости — это сплошной куб, имеющий 6 граней, отмеченных цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 соответственно.Когда мы бросаем кубик, результат — число, которое появляется на его верхней грани.

iii. В колоде 52 карты.

  • В нем 13 карт каждой масти, назовите Пики, Трефы, Сердца и Бубны.
  • Карты пик и треф — черные карты.
  • Карты червы и бубны — это красные карты.

Есть 4 награды каждой единицы. Есть короли, дамы и валеты. Все они называются лицевыми картами.

4.Пространство выборки: Когда мы проводим эксперимент, набор S всех возможных результатов называется пространством выборки.

Пример:

1. При подбрасывании монеты S = {H, T}

2. Если подброшены две монеты, S = {HH, HT, TH, TT}.

3. При броске кубика S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие: Любое подмножество пространства выборки называется событием.

5.Вероятность наступления события:

Пусть S — образец, а E — событие.

Тогда, ES

∴P (E) = n (E) n (S)

6. Результаты по вероятности:

и. P (S) = 1 ii. 0≤P (E) ≤1 iii. П (∅) = 0

iv. Для любых событий A и B у нас есть:

P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

v. Если A обозначает (не-A), то P (A) = 1-P (A)

Вероятность того, что студент сможет решить 5 из 7 задач на экзамене

Вероятность того, что студент сможет решить 5 из 7 задач на экзамене — Mathematics Stack Exchange
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  2. 0
  3. +0
  6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 1к раз

$ \ begingroup $

Студент готовится к экзамену, изучая список из 12 задач.Она может решить 9 из них. Для экзамена инструктор случайным образом выбирает 7 задач из 12, представленных студентам. Какова вероятность того, что студент сможет решить 5 из 7 задач на экзамене?

Меня очень смущает эта проблема. Первой моей мыслью было сделать:

(5 выбрали 7) (7 выбрали 0) / (12 выбрали 7)

Но я не уверен на 100% в этом.

Создан 13 фев.

пользователь125627

33911 золотой знак66 серебряных знаков2020 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $

Ваш знаменатель правильный.Это общее количество возможных экзаменов. В числителе укажите общее количество экзаменов, на которых студент может решить 5/7 задач. Итак, вы хотите выбрать набор решаемых проблем, а затем выбрать набор нерешаемых проблем.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *