Математика теория егэ: Теория для ЕГЭ по математике профильного уровня

Линейные, квадратные, кубические уравнения | ЕГЭ по математике (профильной)

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

Раскроем скобки.

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые.2- 5х + 2 = 0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

$a + b + c = 0$

$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

разбор с решением и теория – Российский учебник

• Интернет-магазин
• Где купить
• Аудио
• Новости
• LECTA
• Программа лояльности

Мой личный кабинет Методическая помощь Вебинары Каталог Рабочие программы Дошкольное образование Начальное образование Алгебра Английский язык Астрономия Биология Всеобщая история География Геометрия Естествознание ИЗО Информатика Искусство История России Итальянский язык Китайский язык Литература Литературное чтение Математика Музыка Немецкий язык ОБЖ Обществознание Окружающий мир ОРКСЭ, ОДНК Право Русский язык Технология Физика Физическая культура Французский язык

Как изменятся задания ЕГЭ: полный разбор новых демоверсий от ФИПИ

ФИПИ наконец-то опубликовал утверждённые демоверсии ЕГЭ 2022 года. Наш постоянный блогер Михаил Ланцман сравнил проекты демоверсий и их окончательные варианты. Спойлер: изменений нет только в КИМах по математике и географии.

Полезная рассылка «Мела» два раза в неделю: во вторник и пятницу

10 ноября ФИПИ разместил на своём официальном сайте утверждённые демоверсии ЕГЭ 2022 года по всем предметам. В августе мы увидели проекты документов, и вот после общественно-профессионального обсуждения этих КИМов, мы можем наконец проанализировать окончательные варианты. Преподаватели курсов ЕГЭ и ОГЭ Lancman School внимательно сравнили все демонстрационные варианты и подготовили для вас справку обо всех внесённых изменениях.

Русский язык

Проект демоверсии ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022

В утверждённой демоверсии ЕГЭ по русскому языку есть изменения только в задании № 20. Правильный ответ в новой версии: 23. Это задание в проекте демоверсии вызвало много вопросов, поскольку расстановка знаков препинания демонстрировала спорный случай. Теперь всё упростили, сняв вполне обоснованные претензии преподавателей русского языка.

Было:

Стало:

Математика базовый уровень

Проект демоверсии ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022

Утверждённая ФИПИ демоверсия ЕГЭ по базовой математике базового уровня сложности полностью соответствует проекту демонстрационного варианта, опубликованного в конце августа. Никаких изменений нет.

Математика профильный уровень

Проект демоверсии ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ по профильной математике 2022 года абсолютно идентична проекту демонстрационного варианта. Никаких изменений внесено не было.

Обществознание

Проект демоверсии ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022

В утверждённой демоверсии ЕГЭ по обществознанию 2022 года есть ряд существенных отличий. Увеличена продолжительность экзамена: с 3 до 3,5 часов.

Было:

Стало:

Немного изменилась формулировка задания № 3.

Было:

Стало:

Задание № 15 в утверждённой демоверсии ЕГЭ по обществознанию 2022 полностью поменялось.

Было:

Стало:

Информатика и ИКТ

Проект демоверсии ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022

В утверждённой демоверсии ЕГЭ по информатике 2022 года незначительные изменения есть в пяти заданиях. Например, задание № 17 было полностью заменено:

Было:

Стало:

В заданиях № 18, 19 и 26 убрали пояснения в конце.

Было:

Стало:

Было:

Стало:

Было:

Стало:

В задании № 27 поменялась формулировка задачи (и, разумеется, правильный ответ).

Было:

Стало:

Физика

Проект демоверсии ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022

В утверждённой демоверсии в задании № 30 появилось дополнение с просьбой нарисовать рисунок. Других изменений нет.

Было:

Стало:

Химия

Проект демоверсии ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022

В утверждённой демоверсии по химии 2022 года мы обнаружили изменения в 8 заданиях. Например, в задании № 5 изменилась формулировка.

Было:

Стало:

Небольшие изменения и в задании № 12.

Было:

Стало:

Задание № 16 полностью заменили.

Было:

Стало:

В задании № 20 тоже небольшие изменения.

Было:

Стало:

У задания № 28 появился второй вариант (раньше его не было).

В задании № 33 небольшие расхождения с проектом.

Было:

Стало:

Есть расхождения и в заданиях № 21 и № 23, но они совсем незначительные.

Биология

Проект демоверсии ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022

В утверждённой демоверсии ЕГЭ по биологии 2022 года мы нашли рекордное количество изменений, однако подавляющее большинство из них не повлияли на смысл заданий. Так, например, в заданиях № 3, 4, 8, 9, 15, 16, 19-25 составители КИМов просто заменили некоторые слова или словосочетания на синонимичные или уточнили какие-то формулировки. Таким образом, разработчики ФИПИ устранили некоторые небрежные фразы. Сами задания и правильные ответы при этом остались неизменными.

Задание № 1 в новой демоверсии не изменилось, но в ключах-ответах есть расхождения.

Было:

Стало:

В задании № 4 утверждённой демоверсии убрали четвёртый вариант — теперь их только три.

Было:

В задании № 26 не только подчистили формулировку задания для первого варианта, но и добавили дополнительный вопрос во втором варианте.

Было:

Стало:

Английский язык

Проект демоверсии ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022

В утверждённой демоверсии ЕГЭ 2022 года по английскому языку внесены изменения в формулировки заданий № 40.1 и 40.2 письменной части экзамена. Видимо, письма, которые преподаватели посылают на электронную почту ФИПИ во время общественно-профессионального обсуждения проектов, всё-таки читают.

Было:

Стало:

Есть изменения в задании № 4 устной части утверждённой демоверсии ЕГЭ по английскому языку 2022 года.

Было:

Стало:

История

Проект демоверсии ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022

В утвержденной демоверсии ЕГЭ по истории 2022 года изменений немного. В задании № 15 немного поменяли формулировку задания.

Было:

Стало:

В задании № 16 добавили небольшое пояснение.

Было:

Стало:

В связи с этим добавлением появилось пояснение и в ключе к заданию № 16:

Литература

Проект демоверсии ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022

В утверждённой демоверсии ЕГЭ по литературе 2022 года есть два изменения. Первое — незначительное, а второе — очень существенное В утвержденном варианте немного поменялось задание № 5.2.

Было:

Стало:

Второе изменение касается критериев оценивания. Максимальное количество баллов, которое можно было получить за сочинение, обозначенное в проекте демоверсии, равнялось 20. В утверждённом демонстрационном варианте эта цифра сократилась до 18. Всё дело в том, что изменились максимальные баллы по критериям грамотности. Теперь за орфографию, пунктуацию и соблюдение грамматических норм можно получить не более 3 баллов (по одному за каждый критерий).

Было:

Стало:

География

Проект демоверсии ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022

Утверждённая демоверсия ЕГЭ 2022 года полностью соответствует проекту документа. Никаких изменений нет.

Вы находитесь в разделе «Блоги». Мнение автора может не совпадать с позицией редакции.

Иллюстрация: Pixabay

Программа квалификационных экзаменов | Математический факультет Гарварда

Вопросы Квалификационного экзамена (Quals) направлены на проверку вашей способности решать конкретные задачи путем выявления и применения важных теорем. Они не должны требовать большой изобретательности. В любой год экзамен может не охватывать все темы программы, но он должен охватывать широко репрезентативный набор тем Quals, и со временем все темы Quals должны быть изучены.

Программа квалификационного экзамена разделена на шесть частей.В каждом случае мы предлагаем книгу, чтобы более точно определить программу. Экзаменаторов просят ограничить свои вопросы основными темами квалификационных экзаменов, затронутыми в этих книгах. Мы старались выбирать книги, которые считаем хорошими. Однако есть много хороших книг, и другие могут лучше удовлетворить ваши потребности.

Программа

1) Алгебра

• Теория групп: теоремы Силова, p-группы, разрешимые группы, свободные группы.
• Кольца и модули: тензорные произведения, определители, каноническая форма Жордана, PID, UFD, кольца многочленов.
• Теория поля: поля расщепления, разделимые и неразделимые расширения.
• Теория Галуа: Основные теоремы теории Галуа, конечные поля, круговые поля.
• Представления конечных групп: теория характеров, индуцированные представления, структура группового кольца.
• Основы групп Ли и алгебр Ли: экспоненциальное отображение, нильпотентные и полупростые алгебры Ли и группы Ли.

Ссылки : Даммит и Фут: Абстрактная алгебра, 2-е издание, кроме глав 15, 16 и 17, Серр: Представления конечных групп (разделы 1-6).Фултон-Харрис: теория представлений: первый курс (выпускные тексты по математике / чтения по математике) Группы и алгебры Ли, главы 7-10.

2) Алгебраическая геометрия

• Аффинные и проективные многообразия; регулярные функции и карты; конусы и выступы
• Проективное пространство и грассманиан
• Идеалы сортов; Nullstellensatz
• Рациональные функции, рациональные карты и раздутие
• Размер и степень разнообразия; функция Гильберта и многочлен Гильберта
• Гладкие и особые точки разновидностей; касательное пространство Зарисского; касательные конусы; двойные сорта
• Семейства разновидностей (разновидности Чау и схемы Гильберта)
• алгебраических кривых: род; формула рода для плоских кривых,
• формула Римана-Гурвица.Теорема Римана-Роха.

Список литературы : Шафаревич: Основы алгебраической геометрии 1, 2-е издание, Харрис: Алгебраическая геометрия: первый курс

3) Комплексный анализ

• Голоморфные и мероморфные функции
• Конформные отображения, дробно-линейные преобразования, лемма Шварца
• Комплексные интегралы: теорема Коши, интегральная формула Коши, вычеты
• Гармонические функции: свойство среднего значения; принцип отражения; Проблема Дирихле
Серия
• и разработка продуктов: серия Laurent, разложения на частичные дроби и канонические продукты
• Специальные функции: гамма-функция, дзета-функции и эллиптические функции
• основы римановых поверхностей
• Теорема об отображении Римана.Теоремы Пикара.

Ссылки : Альфорс: Комплексный анализ (3-е издание)

4) Алгебраическая топология

• Фундаментальные группы
• Покрытия
• Высшие гомотопические группы.
• Волокна и длинная точная последовательность расслоений
• Сингулярные гомологии и когомологии
• Относительная гомология
• Комплексы CW и гомология комплексов CW.
• Майер-Вьеторис
• Теорема об универсальном коэффициенте
• Формула Куннета
• Двойственность Пуанкаре
• Формула фиксированной точки Лефшеца
• Теорема Хопфа об индексе
• Когомологии Чеха и когомологии де Рама.
• Эквивалентность сингулярных когомологий, когомологий Чеха и де Рама

Ссылки : А. Хэтчер: алгебраическая топология, У. Фултон: алгебраическая топология, Э. Спаньер: алгебраическая топология, Гринберг и Харпер: алгебраическая топология: первый курс

5) Дифференциальная геометрия

• Основы гладких многообразий: теорема об обратной функции, теорема о неявной функции, подмногообразия, интегрирование на многообразиях
• Основы матричных групп Ли над R и C: определения Gl (n), SU (n), SO (n), U (n), их структуры многообразий, алгебры Ли, право- и левоинвариантные векторные поля и дифференциальные формы , экспоненциальное отображение.
• Определение вещественных и комплексных векторных расслоений, касательных и котангенсных расслоений, основные операции над связками, такие как двойное расслоение, тензорные произведения, внешние произведения, прямые суммы, обратные связки.
• Определение дифференциальных форм, внешний продукт, внешняя производная, когомология де Рама, поведение при откате.
• Метрики на векторных расслоениях.
• Римановы метрики, определение геодезических, существование и единственность геодезических.
• Определение главного расслоения групп Ли для групп матриц.
• Связанные векторные пучки: связь между главными пучками и векторными пучками
• Определение ковариантной производной для векторного расслоения и связности на главном расслоении. Отношения между двумя.
• Определение кривизны, плоские соединения, параллельная транспортировка.
• Определение связности Леви-Чивиты и свойства тензора кривизны Римана.

Ссылки : Таубс: Дифференциальная геометрия: Связки, Связи, Метрики и Кривизна Ли: Многообразия и Дифференциальная Геометрия (Аспирантура по математике 107, AMS), S.Кобаяси и К. Номидзу: основы дифференциальной геометрии

6) Реальный анализ

• Теоремы сходимости для интегралов, мера Бореля, теорема Рисса о представлении
• L ^p пространство, Двойственность L ^p пространство, неравенство Йенсена
• Теорема Лебега о дифференцировании, теорема Фубини, Гильбертово пространство
• Комплексные меры ограниченной вариации, теорема Радона-Никодима.
• Ряд Фурье, преобразование Фурье, свертка.
• Уравнение теплопроводности, задача Дирихле, фундаментальные решения
• Центральная предельная теорема, закон больших чисел, условная вероятность и условное ожидание.
• Распределения, Теорема вложения Соболева.
• Принцип максимума.

Ссылки : Рудин: Реальный и комплексный анализ — это общая справочная информация, но в следующих книгах есть более полезные методы. Штейн и Шакарчи: Реальный анализ. В книге Штейна нет мест L

p .Хорошим источником пространств L ^p и выпуклости является Либ-Лосс: Анализ, Глава 2. Ряды Фурье: Штейн и Шакарчи: Анализ Фурье. Эта книга очень проста, но более чем достаточно глав 2 и 3 — это ряды Фурье, а глава 5 — преобразование Фурье. Пространства Соболева: Эванс: уравнения в частных производных. Глава 5. Вероятность: Ширяев: Вероятность. Феллер: Введение в теорию вероятностей и ее приложения Дарретт: Вероятность: теория и примеры

М.С. Продвинутый / к. Вступительные экзамены по математике | Математика, статистика и наука о данных

I. Алгебра

Этот экзамен состоит из трех разделов. Есть девять вопросов, по три из каждого раздела и Ожидается, что студенты ответят в общей сложности на шесть вопросов (по два из каждого раздела).

и. Теория групп

Основные свойства групп, подгрупп, нормальных подгрупп, факторгрупп, гомоморфизмов групп, фундаментальные теоремы об изоморфизме, циклические группы, группы перестановок, прямые суммы, группы автоморфизмов, действия групп, теоремы Силова и их приложения, простые группы, разрешимые группы.

ii. Теория поля и Галуа,

Расширения полей, поля расщепления, круговые поля, группа Галуа многочлена, фундаментальная теорема теории Галуа, приложения теории Галуа, разрешимость радикалами.

iii. Теория колец и модулей

Основные свойства колец, подколец, идеалов, факторных колец, гомоморфизмов колец, фундаментальные теоремы об изоморфизме для колец, области главных идеалов, однозначная факторизация области, евклидовы области, кольца многочленов, прямые суммы колец, артиновы и Нётеровы кольца, кольца дробей.

Основные свойства модулей, подмодулей, фактормодулей, гомоморфизмов модулей, фундаментальные теоремы об изоморфизме модулей, модули дробей (локализация), ряды длины и композиции, простые модули, свободные и проективные модули, прямые суммы и произведения модулей, условия цепи (артиновы и нётеровы модули), точные последовательности модулей и поиск диаграмм.

Артикул:
Абстрактная алгебра, 3-е издание, Дэвид С. Даммит и Ричард М.Фут (основной текст) Главы 1-4, 6.1, 7-9, 10.1-10.3, 10.5, 13, 14, 15.1, 15.4
Алгебра, 3-е издание, Тексты для выпускников по математике, Серж Ланг (дополнительный текст)
Базовая алгебра I, 2-е издание, Натан Якобсон (дополнительный текст)

Экспертов: Эла Челикбас, Ольгур Челикбас

II. Реальный анализ

Этот экзамен охватывает меру Лебега и связанные темы через L p пробелов. Вопросы из углубленного анализа также составляют значительную часть экзамен.

Расширенное исчисление

• Понятие предела для последовательностей и функций
• Включая sup / inf и limsup / liminf
• Аксиома действительных чисел и ее эквивалентные свойства
• Наборы и свойства
• Открытые наборы, закрытые наборы, компактные наборы
• Непрерывность, равномерная непрерывность, абсолютная непрерывность
• Непрерывные функции на ограниченных отрезках
• Бесконечные серии чисел и функций
• Равномерная сходимость, поточечная сходимость, степенной ряд
• Базовая теория дифференцирования и интегрирование Римана

Реальный анализ

• Мера Лебега и измеримые функции
• Три принципа Литтлвуда
• Развитие интеграла Лебега
• Теоремы сходимости интегралов от последовательностей функций
• Монотонные функции и функции ограниченной полной вариации
• Дифференциация и абсолютная непрерывность, основная теорема исчисления
• Противопоставление интегрирования Римана и Лебега
• л p (E) пространства и их свойства
• Неравенства Минковского и Гёльдера, полнота, приближение ступенчатыми функциями и непрерывные функции

Артикул:
Элементарный анализ: теория исчисления (2-е изд.) Кеннета А.Росс
Реальный анализ (3-е изд., Главы 1-6 или 4-е изд., Главы 1-8) Х.Л. Ройдена и П.М. Фитцпатрик

Экспертов: Харуми Хаттори, Денинг Ли

III. Дифференциальные уравнения

Этот экзамен охватывает промежуточные обыкновенные дифференциальные уравнения примерно на уровне Брауэра и Ноэля. Ниже приведен список тем, рассматриваемых на экзамене.

• Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
• Общее решение, фундаментальная матрица, матрица экспонент, фазовые диаграммы в 2-х измерениях, устойчивость равновесных решений.
• Линейные системы общего назначения
• Фундаментальная матрица, неоднородные системы.
• Линеаризация о критических точках нелинейных автономных систем
• Двухмерные портреты в фазовой плоскости.
• Теория существования, уникальность и непрерывность
• Анализ устойчивости методом возмущений (или линеаризации) и методом Ляпунова
• Существование и устойчивость периодических решений в 2-х измерениях
• Теорема Пуанкаре-Бендиксона.Теория Флоке.
• Анализ бифуркаций и центральные, стабильные, неустойчивые коллекторы
• Седло-узел, транскритическое, вилы.

Артикул:
Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, третье издание, Д. У. Джордан и П. Смит, серия Oxford Applied Math and Computing Science Series (1999), главы 1, 2, 4, 8-12 и Приложение А.
Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений Ф. Брауэра и Дж. Ноэля W.Б. Бенджамин, Инк., Нью-Йорк, (1969), главы 1–6.
Дифференциальные уравнения и динамические системы Лоуренса Перко. Springer-Verlag Главы 1, 2 (кроме 2.13), 3 (с 3.1 по 3.9), 4 (с 4.1 по 4.4).

Экспертов: Касиан Пантея, Гарри Джинголд

IV. Топология

• Методы определения топологических пространств
• Базы и подбазы, локальные базы
• Непрерывные функции
• Различные эквивалентные условия непрерывности
• Технологии создания новых пространств
• Подпространства, пространства продуктов
• Аксиомы разделения
• T0, T1, Хаусдорф, обычный, T3, полностью правильный, Тихонов, нормальный, T4
• Компактные пространства, связанные пространства
• Формулировка и приложения теоремы Тихонова
• Метрические пространства
• Полнота, компактность в контексте метрических пространств

Артикул:
Топология (2-е издание) Дж.Мункрес Главы I-7
Общая топология С. Уилларда Разделы 2–8, 10, 13–17, 24 и 26
Общая топология Дж. Келли Все главы, кроме 2, 6 и Приложения

Экспертов: Кшиштоф Цесельски, Ежи Войцеховски

---

к.т.н. Требования к получению степени по математике — математика и статистика | University of Idaho

к.э.н. кандидаты должны набрать минимум 36 кредитов (12 курсов) дипломов по математике на уровне 500 (исключая математику 500, 510-519, 599, 600, семинары и направленное обучение).Сюда могут входить курсы повышения квалификации для магистра наук. степень.

Примечание : Студенты, ранее работавшие в аспирантуре другого университета, должны получить не менее 18 кредитов (6 курсов) этих курсов в Университете Айдахо.

Каталог выпускников требует как минимум 78 кредитов помимо степени бакалавра наук; однако это число может включать математику 500, 599, 600, семинары и целевое обучение, а также курсы математики 400 уровней и некоторые вспомогательные курсы вне математики.

Предварительные экзамены

Необходимо сдать три предварительных экзамена. Эти обложки:

• Алгебра (555 и 557)
• Анализ (535 и один из 531, 536)

и один экзамен по одной из следующих областей:

• Топология (521 и 528)
• Комбинаторика (два из 575, 576, 579)
• Дифференциальные уравнения (539, 540)
• Функциональный анализ (571, 572)

Описание курсов можно найти в онлайн-каталоге курсов.

Студенты настоятельно рекомендуют сделать первую попытку сдать предварительные экзамены к концу второго года обучения. Все три предварительных экзамена обычно следует сдавать не позднее конца четвертого года обучения в аспирантуре (включая годы обучения в других университетах). Необязательно сдавать все три экзамена сразу. У студентов будет в общей сложности 3 попытки сдать три предварительных экзамена, независимо от того, сколько они будут пытаться каждый раз

Предварительные заявки обычно выдаются по следующему расписанию:

• Начало второй полной недели занятий осеннего семестра.
• Начиная с третьей недели до финальной недели весеннего семестра.

Предварительные экзамены на значительно более высоком уровне, чем M.S. Экзамены.

Когда есть выбор курсов, охватываемых предварительным экзаменом, студент может выбрать, какие два курса будут охватывать экзамен. Обратите внимание, что курсовая работа по перечисленным курсам, как правило, не является адекватной подготовкой к предварительным экзаменам. Каждый письменный экзамен длится 4,5 часа. Следующий список текстов указывает на охват на разных экзаменах.Студенты должны быть готовы к вопросам, охватывающим любую тему в данных текстах.

Список для чтения для предварительных экзаменов

Студентам рекомендуется проконсультироваться с профессорами, сдающими экзамены, чтобы убедиться, что список актуален.

Экзамен по алгебре

Группы и поля I (555):

1. Ротман, Теория групп
2. Хангерфорд, Алгебра
3. Даммит и Фут, Абстрактная алгебра
4. Гарлинг, Курс теории Галуа

Кольца (557):

1. Даммит и Фут, Абстрактная алгебра
2. Хангерфорд, Алгебра

Аналитический экзамен

Реальный анализ (535):

1. Уиден и Зигмунд, Measure and Integral
2. Ройден, Реальный анализ

Вероятность (536):

1. Дарретт, Вероятность: теория и примеры
2. Биллингсли, Вероятность и мера
3. Чанг, Курс теории вероятностей

Комплексный анализ (531):

1. Конвей, Функции одной комплексной переменной

Экзамен по топологии

Топология (521 и 528):

1. Кристенсон и Воксман, Аспекты топологии (2-е изд.)
2. Мункрес, Топология (2-е изд.)
3. Бутби, Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию
   Геометрия

Экзамен по комбинаторике

Теория графов I (575):

1. Бонди и Мёрти, Теория графов с приложениями
2. Шартран и Лесняк, Графы и диграфы
3. West, Введение в теорию графов

Graph Theory II (576) — Тот же список чтения, что и для 575

Комбинаторика (579):

1. Холл, Комбинаторная теория
2. Бонди и Мёрти, Теория графов с приложениями
3. См. Инструктора; этот курс может сильно отличаться, и не весь материал содержится в текстах

Экзамен по дифференциальным уравнениям

Обыкновенные дифференциальные уравнения (539):

1. Перко, Дифференциальные уравнения и динамические системы
2. Хофбауэр и Зигмунд, Эволюционные игры и динамика населения
3. Хирш и С.Смейл, Дифференциальные уравнения, динамические системы и линейная алгебра

Уравнения в частных производных (540):

1. Эванс, уравнения в частных производных
2. McOwen, Уравнения в частных производных

Экзамен по функциональному анализу

Функциональный анализ I и II (571 и 572):

1. Эйдельман, Мильман и Цоломитис, Функциональный анализ — Введение
2. Рудин Функциональный анализ

Диссертация

Диссертация должна содержать оригинальные исследования и являться значительным вкладом в знания в области обучения студента.Приемлемость диссертации определяет старший преподаватель, кандидат технических наук. комитет.

квалификационных экзаменов | Кафедра математики

Докторанты должны сдать экзамены по трем из шести доступных областей: (1) числовой анализ / линейная алгебра, (2) анализ, (3) алгебра, (4) PDE, (5) алгебраическая топология и (6) геометрия. Более подробную информацию об экзаменах см. В Справочнике для докторантов.

Даты экзаменов и регистрация: Нажмите ниже, чтобы увидеть даты предстоящих экзаменов и зарегистрироваться.Студенты должны зарегистрироваться как минимум за 2 недели до даты экзамена и могут отказаться от него до этого 2-недельного крайнего срока. Любой студент, который все еще записан до двухнедельной отметки и не явится на экзамен, получит пропуск.

Записаться на следующий тур квалификационных экзаменов

Основные темы экзамена: Это конкретные темы, которые могут быть рассмотрены на данном экзамене.

(1) Численный анализ / линейная алгебра

Системы уравнений

Линейные системы уравнений:

Исключение Гаусса, LU- и разложения Холецкого для полных и разреженных матриц, количество операций, устойчивость линейных систем (число обусловленности), устойчивость исключения Гаусса.Основные итерационные методы (Якоби, Гаусс-Зейдель, метод последовательного сверхрелексирования), метод сопряженных градиентов

Задачи на собственные значения

Теорема Гершгорина, степенной метод, метод обратной степени, устойчивость задач на собственные значения

Нелинейные системы уравнений, оптимизация:
Метод Ньютона, квазиньютоновские методы, итерация с фиксированной точкой. Методы Ньютона и Левенберга-Марквардта для безусловной оптимизации.

Численное приближение

Интерполяция:
Интерполирующие полиномы Лагранжа и Эрмита, явления Рунге.Сплайны, аппроксимация функций методом наименьших квадратов и ортогональные многочлены.

Интегрирование:
Методы Ньютона-Котеса, квадратура Гаусса, формула Эйлера-Маклаурина, адаптивная квадратура.

Дифференциальные уравнения:
Сходимость явных одношаговых методов, Жесткость, A-устойчивость, невозможность A-стабильных явных методов Рунге-Кутта

Ссылки

• Введение в численный анализ К.Э. Аткинсон (Wiley)
• Неограниченная оптимизация П. Э. Франдсена, К. Джонассона, Х. Б. Нильсена и О. Тинглеффа
• Анализ численных методов Э. Исааксон и Х. Б. Келлер (Wiley, Dover, перепечатка)
• Конечно-разностные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными Р. Левека (SIAM)
• Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений А. Изерлеса (издательство Кембриджского университета)

(2) Анализ

В дополнение к темам, затронутым ниже, ожидается, что студенты будут владеть темами, охватываемыми последовательностью программ бакалавриата по реальному и комплексному анализу.Этим темам посвящены наши курсы по математике 133, 135 и 136 в Tufts.

Метрические пространства: Теорема Стоуна-Вейерштрасса, теорема Арцела-Асколи, теорема Бэра о категориях.

Мера и интегрирование: Пространства с общей мерой (включая сигма-алгебры, меры, пополнения), теорема Каратеодори о продолжении, борелевские множества, мера Лебега. Множество Кантора и функция Кантора. Измеримые функции, абстрактное интегрирование, интеграл Лебега и предельные теоремы для интегралов.Комплексные меры, мера полной вариации, абсолютно непрерывные, особые меры и теорема Радона-Никодима. Меры продукта и теорема Фубини-Тонелли.

Функциональный анализ: Банаховы пространства, пространства Lp, неравенства Гельдера и Минковского, теоремы Банаха-Штейнхауза, открытого отображения и Хана-Банаха. Гильбертовы пространства, ортогональные разложения и проекции, ортонормированные базисы, ряды Фурье. Двойственные пространства, операторные нормы, сопряженные, двойственность Lp и Lq. Теорема Рисса о представлении.

Комплексный анализ : аналитичность, уравнения Коши-Римана, элементарные функции, теорема Коши, интегральная формула Коши, теорема Лиувилля, теорема Мореры, разложения Тейлора, классификация особенностей, разложения Лорана, теорема о вычетах, дробно-линейные преобразования.

Рекомендуемые ссылки:

• Реальный анализ Х. Л. Ройден (Macmillan)
• Реальный и комплексный анализ Вальтер Рудин (McGraw-Hill)
• Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства Э.М. Штейн и Р. Шакарчи (Издательство Принстонского университета)
• Комплексный анализ Э. М. Штейн и Р. Шакарчи (Princeton University Press)
• Функциональный анализ: Введение в дополнительные темы анализа Э. М. Штейн и Р. Шакарчи (Princeton University Press)
• Анализ Фурье: Введение Э. М. Штейн и Р. Шакарчи (Princeton University Press)

(3) Алгебра

Общие:

• Факториенты и теоремы об изоморфизме для групп, колец и модулей.

Группы:

• Действие группы на съемочной площадке; приложения к классам сопряженности и уравнению классов.
• Теоремы Силова; простые группы.
• Простота переменной группы для n≥5n≥5.

Кольца и модули:

• Кольца многочленов, евклидовы области, области главных идеалов.
• Уникальная факторизация; лемма Гаусса и критерии неприводимости Эйзенштейна.
• Бесплатные модули; тензорное произведение.
• Структура конечно генерируемых модулей над PID; приложения (конечно порожденные абелевы группы, канонические формы линейных преобразований).

Поля:

• Алгебраические, трансцендентные, сепарабельные расширения и расширения Галуа, поля расщепления.
• Конечные поля, алгебраические замыкания.
• Основная теорема теории Галуа для конечного расширения поля произвольной характеристики.

Ссылки

• Базовая алгебра I Натана Джейкобсона (В. Х. Фриман)
• Алгебра Томаса У. Хангерфорда (Спрингер)
• Алгебра (частично) Серж Ланг (Аддисон-Уэсли)
• Алгебра Майкл Артин (Прентис Холл)
• Абстрактная алгебра Дэвида С. Даммита и Ричарда М. Фута (Прентис Холл)

(4) Уравнения в частных производных

Линейные дифференциальные уравнения с частными производными

Эллиптические уравнения в частных производных:
Уравнения Лапласа, Пуассона и Гельмгольца, краевые задачи, существование и единственность, альтернатива Фредгольма, слабые и сильные эллиптические принципы максимума, граничная регулярность, пространства Соболева, слабые решения, Теорема Лакса-Милграма, метод Галеркина, вариационные принципы, производная Фреше.

Параболический PDE:
Уравнение теплопроводности, уравнение Шредингера, существование и единственность решений, слабые и сильные параболические принципы максимума, регулярность.

Гиперболический PDE:
Волновое уравнение, метод характеристик.

Спектральный анализ:
Ряды Фурье, преобразования Фурье, свойства сходимости и аппроксимации, обобщенные функции, распределения. Разложение по собственным функциям, теория Штурма-Лиувилля, фактор Рэлея, метод Рэлея-Ритца, функции Грина.

Квазилинейные и нелинейные уравнения в частных производных:
Теорема Коши-Ковалевской, гиперболические системы, уравнения мелкой воды, уравнения газовой динамики, методы Фурье, энергетические методы. Метод характеристик, слабые решения, условия скачка, энтропийные условия.

Список литературы

• Основные линейные дифференциальные уравнения с частными производными Ф. Тревес (Academic Press, Dover, перепечатка)
• Введение в нелинейные уравнения с частными производными Дж.Д. Логан (Wiley)
• Введение в уравнения с частными производными Пинчовера и Рубенштейна
• Анализ прикладных функций Griffel
• Уравнения в частных производных Л. К. Эванса (AMS, второе издание)

(5) Алгебраическая топология

Гомотопическая и фундаментальная группа:

• Гомотопия и гомотопическая эквивалентность.
• Основная группа — включая ключевые примеры.
• Теорема Ван Кампена — основные вычисления с использованием клеточных комплексов.

Покрытия:

• Основные грузоподъемные свойства.
• Универсальное покрытие.
• Связь покрытий и подгрупп фундаментальной группы.
• Групповые действия.
• Преобразования колоды.

Гомология:

• Определение и вычисления симплициальных гомологий.
• Определение сингулярных гомологий и основные свойства.
• Точные последовательности
• Степень
• Майер-Вьеторис

Ссылки

• Алгебраическая топология , А. Хэтчер, главы 1 и 2.1, 2.2 (через Майера-Вьеториса)
• Алгебраическая топология , Гринбург, части с I и II по 17

(6) Геометрия

Коллекторы:

• Ключевые примеры многообразий, таких как сферы, торы, проективные пространства.
• Факториенты, подмногообразия, регулярные множества уровня, группы Ли.
• Гладкие карты между коллекторами.

Касательные пространства:

• Дифференциал и ранг гладкого отображения.
• Теорема о множестве регулярного уровня (теорема о неявной функции).
• Векторные поля, интегральные кривые.
• Алгебра Ли группы Ли.

Дифференциальные формы и интеграция:

• Изделие клиновое, возврат форм, внешняя производная.
• Ориентация, интеграл n-формы, теорема Стокса.

Ссылки

• Введение в многообразия (разделы 1-23) Лоринг В. Ту (Springer Universitext, 2011).
• Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли (главы 1-3) Фрэнк Уорнер (Springer GTM)

Математика информации — Указатель курса

Добро пожаловать в математику информации

Этот курс фокусируется на математических основах, необходимых для понимания принципов, регулирующих хранение, обработку и передачу информации.Он охватывает такие темы, как теория вероятностей, линейная алгебра, теория чисел и их приложения в хранении данных, коммуникации, обработке сигналов и безопасности.

В таблице ниже показан график на весну 2021 года.

Глава	Тема / ссылка	Дата
0	Введение	2 февраля
1	Наборы и теория множеств	2 февраля
1	Натуральные числа, целые числа, рациональные числа	2 февраля
1	Поля	4 февраля
1	Реальные числа	4 февраля
1	Подсчет и мощность	8 февраля
1	Представление информации (до конца «Цифровых сигналов»)	8 февраля
1	Представление информации («Аналоговые сигналы»)	10 февраля
2	Определение информации	15 февраля
2	Основы вероятности (до E10 включительно)	15 февраля
2	Основы вероятности (после E10)	18 февраля
2	Дома на колесах, дистрибутивы, независимость (до E5 включительно)	18 февраля
2	Дома на колесах, распределения, независимость (от E5 до конца)	22 февраля
2	Ожидания и отклонения	24 февраля
2	Совместная условная вероятность (до E2 включительно)	24 февраля
2	Совместная условная вероятность (после E2)	мар 1
2	Случайные последовательности и цепи Маркова	10 марта
2	Количественная информация	15 марта
2	Сжатие данных (до оптимальных кодов)	18 марта
2	Сжатие данных (начиная с оптимальных кодов)	22 марта
2	Связь	25 марта
3	Коды, графики и алгебра	31 марта
3	Векторы и пробелы (до E12 включительно)	5 апреля
3	Векторы и пространства (от E12 до конца)	7 апреля
3	Фундаментальные пространства	12 апреля
3	Линейные коды (до E15 включительно)	14 апреля
3	Линейные коды (от E15 до конца)	19 апреля

График экзаменов

Вот наше расписание экзаменов:

Экзамен	Опубликовано	Срок погашения	Продолжительность
Первый среднесрочный	3 марта, среда, 17:00	Пятница 5 марта, 17:00	2 часа
Второй среднесрочный период	Среда, 7 апреля, 17:00	Пятница, 9 апреля, 17:00	2 часа
Выпускной экзамен	Четверг, 6 мая, 17:00	Суббота 8 мая, 17:00	3 часа

• В течение 48-часового периода, указанного выше, с момента вашего начала вам необходимо завершить экзамен в течение указанного выше срока.
• Время заключительного экзамена выбрано таким образом, чтобы оно включало график экзаменов UVa для этого курса: суббота, 8 мая, 9:00 — 12:00.
• Продолжительность является ориентировочной, я могу скорректировать ее в зависимости от продолжительности экзамена.
• В те недели, когда у нас будет экзамен, никаких HW не будет, но задания на упражнения будут выполняться в соответствии с обычным графиком.

---

© Фарзад Фарно, 2020

по математике в DP — International Baccalaureate®

Программа требует, чтобы студенты изучали по крайней мере один курс математики.

В настоящее время доступны четыре курса по математике, и последняя оценка по этим курсам состоится в ноябре 2020 года:

• математические занятия стандартный уровень
• математика стандартный уровень
• математика высший уровень
• Дальнейшая математика, высшая ступень (итоговая оценка май 2020 г.)

С августа 2019 года будут доступны следующие курсы, первая оценка которых состоится в мае 2021 года:

• Математика: анализ и подходы SL
• Математика: анализ и подходы HL
• Математика: приложения и интерпретация SL
• Математика: приложения и интерпретация HL

Студенты могут изучать только один курс математики.

Все курсы математики DP предназначены для удовлетворения разнообразных потребностей, интересов и способностей студентов, а также для удовлетворения требований различных университетов и карьерных устремлений.

Цели этих курсов — дать студентам возможность:

• развивать математические знания, концепции и принципы
• Развивать логическое, критическое и творческое мышление
• используют и совершенствуют свои способности абстракции и обобщения.

Студентам также предлагается оценить международные аспекты математики и разнообразие ее культурных и исторических перспектив.

Все курсы математики DP требуют от студентов ценить использование технологий в математике и хорошо владеть калькуляторами с графическим дисплеем. [792 КБ]

Следующие курсы доступны онлайн:

Как записаться

Посетите эту страницу, чтобы узнать больше о процессе регистрации.

Читайте о группе 6: искусство

Узнайте больше о математике на семинаре DP для учителей.

• Сюжетные записки DP

  Наше руководство по выбору курса содержит краткие сведения по предметам как для стандартного, так и для более высокого уровня, включая информацию об основных требованиях, целях и оценке.

  Изображение студента

ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНАМ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ SS1 ТРЕТИЙ КУРС —

ТРЕТИЙ СРОК SS1 ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ — EDUDELIGHT.COM

ТРЕТИЙ СРОК ЭКЗАМЕНА

Случаи злоупотребления служебным положением при экзамене могут привести к повторному обследованию объекта или к отстранению от занятий.

Тема: МАТЕМАТИКА Класс: SS 1

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ; 2 часа

ЧАСТЬ 1: ЦЕЛИ — 1 ЧАС

1. Simplify 2 –log ₂₅ 5 A. 1 ¹ / ₂ B. 2 ¹ / ₂ C. 5 ¹ / ₂ D. ½
2. Найти x if log ₉ x = 1,5 А.72 B. 27 C. 36 D. 3.5
3. Край куба, объем которого равен объему кубоида с размерами 63 см × 56 см × 21 см, равен (A) 21 см (B) 28 см (C ) 36 см (Г) 42 см
4. Если радиус сферы увеличить вдвое, то ее объем станет во сколько раз больше первоначального объема? (A) 2 раза (B) 3 раза (C) 4 раза (D) 8 раз
5. Объем цилиндра того же радиуса основания и такой же высоты, что и у конуса, (A) такой же, как у цилиндра конус (B) в 2 раза превышает объем конуса (C) 3.1-кратный объем конуса (D) 3-кратный объем конуса.

Используйте информацию ниже для вопросов с 6 по 8:

Игра в кости бросается 14 раз, и количество очков было: 1, 6, 6, 4, 3, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 2, 1, 6.

• Найдите диапазон (A) 4 (B) 3 (C) 5 (D) 6
• Найдите среднюю оценку (A) 4 (B) 3 (C) 5 (D) 6
• Найдите оценку режима. (A) 4 (B) 3 (C) 5 (D) 6
• Найдите режим, медианное значение и диапазон 50%, 55%, 60%, 70%, 65%.(A) 0,55 (B) 0,6 (C) 0,65 (D) 0,70

Используйте информацию ниже для вопросов с 10 по 12:

Учитывая, что U = {все положительные целые числа от 1 до 10}, A = {все нечетные числа 10}, B = {все четные числа <10} и C = {все простые числа}

1. Найдите n (A B) ^I . (А) 10 (Б) 1 (В) 0 (Г).
2. Найти (AC) ^I B. (A) {3–8} (B) {3, 5, 7} (C) {1, 2, 3, 8, 9} (D) {2, 5 , 7, 6, 10}.
3. Найдите n (A ^I B ^I C ^I ).(А) 2 (В) 0 (В) 1 (Г) {0}.
4. Оценить x. (А) 20 (Б) 5 (В) 1/20 (Г) -20.
5. Упростить; (216) ^-2/3 x (0,16) ^-3/2. (А) 2/125 (В) 125/288 (В) 4/225 (Г) -2/225.
6. Упростить; 2 ^n-1 x 4 ^{2n + 1} 8 ³ⁿ , где n = 1. (A) 1/8 (B) 1/16 (C) -8 (D) 16.
7. Что из следующего — решение уравнения; 2x ² + 3x — 5? (A) 5 и -2 (B) -2 и -5 (C) 2 и 5 (D) -5 и 2.
8. Упростить 8 ^2/3 x 4 ^-1/2 16 ^{3 / 4} .(A) 1/16 (B) 1/24 (C) 16 (D) 8.
9. Учитывая, что 2 ^x = 0,125, найдите значение x. (A) -2 (B) 8 (C) 14 (D) -3
10. Упростить журнал _1,5 2,25 = 2. (A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) -3.
11. Упростить 8 ^2/3 x 4 ^-1/2 16 ^3/4 . (A) 1/16 (B) 1/24 (C) 16 (D) 8.
12. Учитывая, что 2 ^x = 0,125, найдите значение x. (А) -2 (Б) 8 (В) 14 (Г) -3.
13. Площадь изогнутой поверхности цилиндра высотой 5 см составляет 110 см ² .Найдите радиус ее основания. (Возьмите =) (A) 2,6 см (B) 3,5 см (C) 3,6 см (D) 7 см
14. Объем пирамиды высотой 5 см равен 90 см ³ . Если его основание представляет собой прямоугольник с размерами x см на 6 см, найдите значение x. A. 3 B. 5 C. 6 D. 8
15. Сделайте «s» субъектом отношения: p = s +

(A) s = (B) s = (C) s = (D) s =

• Факторизация: (2x + 3y) ² — (x — 4y) ²

(A) (3x — y) (x + 7y) (B) (3x + y) (2x — 7y) (C) (3x + y) (x — 7y) (D) (3x — y) (2x + 7y)

P Q R

48 ⁰

С Т У В

60 ⁰

Ш x Г

На диаграмме PR // SV // WY, TX // QY, 0 и 0 .Найдите

(А) 120 ⁰ (В) 108 ⁰ (В) 72 ⁰ (Г) 60 ⁰

• Учитывая, что журнал _x 64 = 3, оцените x log ₂ 8 (A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 24
• Если 2 ⁿ = y, найдите 2 ^{(2 + n / 3)} (A) 4y ^1/3 (B) 4y ^-3 (C) 2y ^1/3 (D) 2y ^-3
• Если m = 4, r = 16 и n = 9, оценить ^m / _n — 1 ⁷ / ₉ + ⁿ / _r (A) 1 ⁵ / ₁₆ (B) 1 ¹ / ₁₆ (C) ⁵ / ₁₆ (D) — ³⁷ / ₄₈

p

м n

Какое из следующих утверждений верно на диаграмме? (A) m + n + p = 180 ⁰ (B) m + n = 180 ⁰ (C) m = p + n (D) n + p = m +180

• На схеме ниже показана хорда окружности KMN с центром O и радиусом 10см.если 0 , найти с точностью до ближайших сантиметров длину хорды MN. A. 19 см B. 18 см C. 17 см D. 12 см

K

O

140 ⁰

М N

Используйте рисунок ниже для вопросов 45-47

Ниже представлена ​​таблица любимых цветов избранных людей.

• Какой цвет самый популярный? A. синий B. желтый C. зеленый D. красный
• Какой цвет наименее популярный? A. синий B. желтый C. зеленый D. красный
• Сколько людей попросили назвать свои любимые цвета? A. 5 B. 10 C. 12 D. 15
• T

см

Вт см X 1 см U

На схеме TX перпендикулярна UW, / UX / 1 см и / TX / = / WX / = см.найти 0 B. 105 ⁰ C. 75 ⁰ D. 60 ⁰

ТРЕТИЙ СРОК SS1 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИКЕ — EDUDELIGHT.COM

ЧАСТЬ 1: ТЕОРИЯ

Ответить на 5 вопросов

1. Вычислите следующую таблицу логарифмов
2. Решите следующую пару одновременного уравнения
   1. x + 2y = 5 и x + 3y = 8
   1. x + y = 6 и 3x — y = -4
3. решите следующие уравнения
   1. — 4 = x + 1
   1. = —
   1. = (5x — 3)
   1. + — + 1 = 0
4. Если P прямо пропорционально квадрату Q и обратно пропорционально R, найдите взаимосвязь между P, Q и R
   1. Время T, необходимое для покупки топлива на заправочной станции, напрямую зависит от количества автомобилей CV в очереди и вместе изменяется обратно пропорционально количеству насосов P, имеющихся на станции.На станции с 5 насосами на заправку 20 автомобилей потребовалось 10 минут. Найдите
      1. Взаимосвязь между T, P и V
         1. Время заправки 50 автомобилей на станции с 2 насосами
         1. Количество насосов для заправки 40 автомобилей за 20 минут
5. Если U = {1,2,3,4,5}, A = {1,3} и B = {3,4}. Найдите (a) A ‘(b) B’ (c) (AnB) ‘(d) (AUB) ‘
   1. В группе из 120 студентов 60 изучали математику, 40 изучали физику, 55 изучали химию и 22 не изучали ни один из трех предметов, 12 изучали только физику и математику, 8 изучали только химию и физику, 7 изучали математику и только химия.
      1. Нарисуйте диаграмму Венна, иллюстрирующую информацию
      1. Найдите количество студентов, которые изучали всех трех студентов
      1. Найдите количество студентов, которые изучали только математику
6. Продавая несколько ящиков безалкогольных напитков за N600.00, дилер получает прибыль 50%. Сколько дилер заплатил за напитки?
   1. Аппайя и Беха инвестировали в бизнес N 25 500 и N 35 500 соответственно.По итогам года они получили прибыль в размере N 6200,00. 20% прибыли были разделены между ними поровну, а оставшаяся часть — пропорционально их инвестициям. Рассчитайте долю аппиа в прибыли.

ТРЕТИЙ СРОК

Случаи злоупотребления служебным положением при экзамене могут привести к повторному обследованию объекта или к отстранению от занятий.

ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКА

КЛАСС: S.S. S ONE

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ 2 ЧАСА

БУМАГА2

Ответьте только на четыре вопросов в этом разделе. (50 баллов)

• (a) Опрос, проведенный недавно для определения количества соискателей, подавших заявки на работу в трех газетных учреждениях, показал, что 70 подали заявки в Daily Times, 65 — в Daily Graphics и 85 — в Punch. 40 применяется только к Daily Times, 20 применяется только к Daily Graphic, а 45 применяется только к Punch.Если 5 применяется ко всем трем газетным учреждениям, найдите:
• Число, которое относится как к Daily Times, так и к Daily Graphics.
• Число, относящееся к Daily Times и Punch.
• Число, применяемое как к Daily Graphic, так и к Punch.
• Номер, который относился как минимум к одному газетному заведению.

(b) Операция * определяется на множестве R действительных чисел как x * y = x + y + 3xy. Если операция * коммутативная,

• Найдите тождественный элемент e R с помощью операции *
• Определите значение, обратное элементу x R, с помощью операции *
• Найдите значение x R, которое не имеет обратного.
• (a) Решите относительно x, если 2 ^{2x + 1} — 5 (2 ^x ) + 2 = 0.

(b) Найдите значения x, которые удовлетворяют уравнению; журнал ₁₀ (x ² + 4) = 2 + журнал ₁₀ x — журнал ₁₀ 20.

(3) (a) Найдите градиент линии, уравнение которой имеет вид: (a — b) x + (c — d) y = e + f

(b) Учитывая, что p = (4i — 3j) и q = (- 1 + 5j), найти (i) / p + q / (ii) / q /

(4) (a) найти острые углы между парами прямых: 4y + 3x = 2 и x — 2y = 3

(b) Найдите уравнение прямой, параллельной прямой 5x + 4y = 18 и пересекающей 2 единицы по оси x

(5) (a) Функция f над множеством действительных чисел определяется как f (x) =.Найдите ф ^-1 (5)

(b) Найти без использования таблиц логарифмов значение: log ₃ 27 — log _1/4 64

журнал ₃ ¹ / ₈₁

(6) (a) Двоичная операция * определяется над R (набором действительных чисел) формулой x * y = xy + x ² + y ² для всех x, y € R.я. определить, является ли * коммутативным

ii. Если x * (x + 2) = 49, найдите x

(b) Решите уравнение: log ₁₀ (4P ² + 1) — 2log ₁₀ P — log ₁₀ 2 = 1

(7) (a) Рассмотрим отображение ниже: X f G

п. 1

кв.

Найдите диапазон и определите тип сопоставления выше

(б) 5 ^{2x + 1} — 26 (5 ^x ) + 5 = 0

ВОПРОСЫ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ТРЕТЬЕГО ТЕРМИНАЛА SS1

ЭКСПЕРТИЗА ТРЕТЬЕГО СРОКА

КЛАСС: S.S.S.1 ТЕМА: МАТЕМАТИКА

Что есть аддитивная инверсия? (а) (б) (в)

1. Упростите (a) (b) 1 (c) 0
2. Выразите 72 как произведение его простых множителей в форме индекса. (а) 2 ³ x 3 ² (б) 2 ² x 3 ³

(в) 2 x 36

(б) 144.00 (в) 744.00

11. Школьник потратил ¼ своих карманных денег на книгу и 1/3 на одежду.Какая фракция осталась?

• 5/12 (b) 1/6 (c) 5/6 (d) 7/12

12. Найдите разницу между 4/11 из 2 1/5 и

¾

• 1/20 (б) 3/20 (в) 13/20 (г) ¾

13. Упростить (27 ^1/3 ) ²

• 9 (b) 4 ½ (c) 6 (d) 18

14. Упростить (16) ^1/4

81

• 2/3 (б) 8/27 (в) 1/3 (г) 4/9

15.Упростить журнал ₁₀ ¹⁰⁰

• 3 (б) 10 (в) 6 (г) 5

16. Экспресс 0,00562 в стандартной форме

• 5,62 x 10 ^-3 (b) 0,562 x 10 ^-2 (c) 5,62 x 10 ^-2 (d) 5,62 x 10 ²

17. Express 0,000834 в стандартной форме

• 8,34 x 10 ^-4 (б) 8,34 x 10 ^-3 (в) 8.34 x 10 ³ (d) 8,34 x 10 ⁴

18. Если 104 _x = 68, найдите значение x

• 8 (b) 5 (c) 7 (d) 9

19. Если среднее 4, 6, 9, y, 16 и 19 равно 13. Какое значение y?

• 24 (b) 20 (c) 15 (d) 8

20. Найдите медиану следующего набора баллов 65, 72, 55, 48 и 78

• 65 (b) 72 (C) 55 (D) 50

• X изменяется прямо как y, когда x = 4, y = 3.Найдите y, когда x = 5 (a) 3,75 (b) 8 (c) 4,82 (d) 10,01
• Коэффициент x в разложении (x-2) (x + 9) (a) 7 (b ) 15 (в) 16 (г) 2
• Запишите 0,000362 в стандартной форме (а) 3,62 X 10 ^-4 (б) 3,62 X 10 ^-3 (в) 3,62 X 10 ^-2 (г) 3,62 X 10 ^-1
• Решите (a) x = 15 (b) x = 10 (c) x = 1,5 (d) x = 12
• Выразите 228 как произведение его простого множителя в форме индекса (a ) 2 ⁵ X 3 ² (b) 2 ¹ X 5 ¹ (c) 3 ³ X 2 ³ (d) 10 ² X 2 ¹
• Найти корень квадратный из 3 ⁶ / ₂₅ (a) 9/5 (b) 5/9 (c) 3/31 (d) 6/25

112 0 X x

Найдите значение x на диаграмме ниже (a) 34 ⁰ (b) 64 ⁰ (c) 10 ⁰ (d) 32 9016 4 0

• На диаграмме ниже | AB | = | AD | (a) 54 ⁰ (b) 90 ⁰ (c) 62 ⁰ (d) 108 ⁰

• Оценить tan ^-1 (0.1763) (a) 10 ⁰ (b) 20 ⁰ (c) 30 ⁰ (d) 40 ⁰
• Найдите значение x, которое удовлетворяет уравнению (a) 4 (b) 10 ( c) 6 (d) 5½

Рост 10 учеников в метрах: 1.1, 1.8, 1.3, 1.1, 1.4, 1.2, 1.1, 1.3, 1.4, 1.2

Используйте информацию выше, чтобы ответить на вопрос 21-25

• Найдите среднюю высоту (a) 1,2 (b) 1,25 (c) 1,3 (d) 1,4
• Найдите среднюю высоту (a) 1,2 (b) 1,25 (c) 1.3 (d) 1,29
• Найдите диапазон набора высоты (a) 1,3 (b) 1,1 (c) 1,3 (d) 1,2
• Найдите модальную высоту распределения (a) 1,8 (b) 1,3 ( c) 1,2 (d) 1,1
• Если ученик выбран случайным образом, какова вероятность того, что он будет одним из самых низких учеников (a) 3/10 (b) 2/5 (c) ½ (d) 3/5
• Если D =, сделайте h объектом соотношения (a) h = (b) h = (c) h = (d) D =
• Округлите 0,008251 до 2 значащих цифр (a) 0-82 (b) ) 0,83 (в) 0,0083 (г) 0.0082
• Загар 315 ⁰ равен (a) 1 (b) (c) 0 (d) -1 (e)
• Если Cos = 5/13, каково значение tan для 0 <0 <90 ⁰ ? (a) 13 (b) 5 (c) 13/5 (d) 12/5 (e) 5/12
• Значение 210 ⁰ равно (a) — ½ (b) (c) ½ (d ) (E)
• Составьте уравнение на основе этой информации: если я добавлю 55 к определенному числу «n», а затем разделю сумму на 3, результат будет в четыре раза больше неизвестного числа (a) (b) (c) ( г)
• Express 85 в виде двоичного числа (а) 1110101 ₂ (б) 1010101 ₂ (в) 1110110 ₂ (г) 1011110 ₂
• Длина прямоугольника составляет 8 см, а его периметр равен 30см.найти ширину прямоугольника (a) 7 (b) 8 (c) 10 (d) 12
• Разложите на множители 35 — 2b — b ² (a) (35 — 2b) (b-1) (b) ( 7 + b) (5-b) (c) (3 + 7) (5-b) (d) (35 — b) (3b +7) (e) (7 + b) (5 + b)
• Если второй и четыре члена GP равны 8 и 32 соответственно, какова сумма первых четырех членов (a) 28 (b) 40 (c) 48 (d) 6 (e) 68
• Оценить 0,009 ÷ 0,012 , оставив свой ответ в стандартной форме (a) 7,5 X 10 ² (b) 7,5 X 10 ¹ (c) 7,5 X 10 ^-1 (d) 7.5 X 10 ^-2 (e) 7,5 X 10 ^-3
• Угол подъема X от Y равен 30 ⁰ . Если XY = 40 м, насколько высоко X выше уровня Y? (a) 10m (b) 20m (c) 203m (d) 40m (e) 50m
• Если 5 раз вычесть определенное целое число из удвоенного квадрата целого числа, получится 63. Найдите целое число (a) 21 (б) 9 (в) 7 (г) 4 (д) 3
• Упростить 125 ^1/3 X 49 ^-1/2 X 10 ⁰ (а) 350 (б) 35 (в) 1 / 35 (d) 1/350 (e) 0
• Если 3 ^2x = 27, то что такое X (a) 1 (b) 1.5 (c) 4.5 (d) 18

ВОПРОСЫ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ТРЕТЬЕГО СРОКА SS1

РАЗДЕЛ B

Ответить на 5 вопросов

1. Вычислите следующую таблицу логарифмов
2. Решите следующую пару одновременного уравнения
   1. x + 2y = 5 и x + 3y = 8
   1. x + y = 6 и 3x — y = -4
3. решите следующие уравнения
   1. — 4 = x + 1
   1. = —
   1. = (5x — 3)
   1. + — + 1 = 0
4. Если P прямо пропорционально квадрату Q и обратно пропорционально R, найдите соотношение между P, Q и R
   1. Время T, необходимое для покупки топлива на заправочной станции, напрямую зависит от количества автомобилей CV в очереди и вместе изменяется обратно пропорционально количеству насосов P, имеющихся на станции.На станции с 5 насосами на заправку 20 автомобилей потребовалось 10 минут. Найдите
      1. Взаимосвязь между T, P и V
         1. Время заправки 50 автомобилей на станции с 2 насосами
         1. Количество насосов для заправки 40 автомобилей за 20 минут
5. Если U = {1,2,3,4,5}, A = {1,3} и B = {3,4}. Найдите (a) A ‘(b) B’ (c) (AnB) ‘(d) (AUB) ‘
   1. В группе из 120 студентов 60 изучали математику, 40 изучали физику, 55 изучали химию и 22 не изучали ни один из трех предметов, 12 изучали только физику и математику, 8 изучали только химию и физику, 7 изучали математику и только химия.
      1. Нарисуйте диаграмму Венна, иллюстрирующую информацию
      1. Найдите количество студентов, которые изучали всех трех студентов
      1. Найдите количество студентов, которые изучали только математику
6. Продавая несколько ящиков безалкогольных напитков за N600.00, дилер получает прибыль 50%. Сколько дилер заплатил за напитки?
   1. Аппайя и Беха инвестировали в бизнес N 25 500 и N 35 500 соответственно.