Производная функции. Геометрический смысл производной.
Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.
В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.
Запомним определение:
Производная — это скорость изменения функции.
На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?
Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.
Вот другой пример.
Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:
На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.
Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?
На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.
Производная функции обозначается .
Покажем, как найти с помощью графика.
Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .
Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.
Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :
Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .
Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением
.
Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .
.
Мы получаем, что
Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.
Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.
В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.
В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.
Вот что получается:
Если функция возрастает, ее производная положительна.
Если убывает, ее производная отрицательна.
А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».
В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».
Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.
Если производная положительна, то функция возрастает.
Если производная отрицательная, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Запишем эти выводы в виде таблицы:
| возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает | |
| + | 0 | — | 0 | + |
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.
Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:
В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.
Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.
А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
ege-study.ru
График производной функции
С помощью графика производной функции можно определить точки экстремума и промежутки монотонности функции Для этого достаточно помнить, что:
- функция возрастает на промежутках, где производная
- функция убывает на промежутках, где производная
- функция имеет критические точки, где производная или не существует.
Замечание. Это верно только для внутренних точек области определения, точки на концах области определения не рассматриваются.
- функция имеет точки экстремума там, где производная меняет свой знак. В частности, функция имеет точки максимума там, где производная меняет знак с плюса на минус; и точки минимума – там, где производная меняет знак с минуса на плюс.
Примеры работы с графиками производной
Замечание. Таким образом, точками экстремума на графике производной являются те точки, в которых график не касается, а пересекает ось абсцисс.
По графику производной можно не только исследовать поведение функции , но и попытаться схематически построить ее график. Поскольку для одной функции первообразных существует бесконечное множество, график функции по графику производной можно построить лишь схематично: точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции можно определить можно, а нули функции и экстремумы – нет.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Задачи В9. Применение производной к исследованию функции
Часть 3.
Здесь смотрите части 1, 2, 4
Продолжаем разбор Задач №8 ЕГЭ по математике.
Сегодня нам понадобится при решении задач следующая таблица, показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.
Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной
Если дан график производной, то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!
Задача 1.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Решение: + показать
Задача 2.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
Решение:+ показать
Задача 3.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
Решение: + показать
Задача 4.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
Решение: + показать
Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:
Ответ: 4.
Задача 5.
На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение: + показать
На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках. Таких точек 4.
Ответ: 4.
Задача 6.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .
Решение: + показать
Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).
Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.
Ответ: -2.
Задача 7.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение: + показать
Задача 8.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение: + показать
На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.
Длина наибольшего из них – 6.
Ответ: 6.
Задача 9.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.
Решение: + показать
Задача 10.
На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .
Решение: + показать
На рисунке изображен график производной, значит нас на этом рисунке будут интересовать только знаки и нули производной.
Мы видим на рисунке на указанном отрезке () три нуля у . Причем, производная мняет знак при переходе через них. Это точки экстремума функции (точки максимума и минимума).
При этом производная меняет знак с «+» на «-» в точке 8, помеченной красным цветом, и с «-» на «+» в двух точках (3 и 12), помеченных синим цветом.
Так вот при переходе через точку максимума функция меняет возрастание на убывание, а значит производная меняет знак с «+» на «-».
Итак, точка максимума одна (помечена красным цветом).
Ответ: 1.
Задача 11.
На рисунке изображен график функции и отмечены точки -3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: + показать
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. В свою очередь, угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси .
В точке -3 (точка минимума) производная равна нулю.
В точке 6 производная положительна, так как точки лежат на промежутке возрастания функции.
А вот в точках 1 и 8 производная отрицательна.
При этом в точке 8 угол наклона касательной явно меньше, чем в точке 1.
Поэтому в точке 8 тангенс угла наклона будет наименьшим, а значит и значение производной, будет наименьшее.
Ответ: 8.
🙂 Самое время немного отдохнуть. Неправда ли? –>+ показать
Вам было нелегко?..
Этим ребятам, наверное, тоже не сладко… Не сдавайтесь!
Вы можете пройти тест «Применение производной к исследованию функции»
egemaximum.ru
График функции по графику производной
По графику производной y= f ‘ (x) можно не только исследовать поведение функции y=f(x) , но и попытаться построить ее график.
Поскольку для одной функции первообразных существует бесконечное множество, график функции по графику производной можно построить лишь схематично: точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции определить можно, а нули функции и экстремумы — нет.
Дан график производной: y= f ‘ (x):
Построить график функции y=f(x).
Решение:
Точки x=x2, x=x3, x=x4, в которых производная y= f ‘ (x) обращается в нуль — это точки экстремума функции y=f(x).
В точках x=x2 и x=x4 производная меняет знак с «-«на «+», поэтому x2 и x=x4 — точки минимума функции y=f(x).
В точке x=x3 производная меняет знак с «+» на «-«, поэтому x=x3 — точка максимума функции.
На промежутках [x1;x2] и [x3;x4] f ‘ (x)<0, поэтому y=f(x) на этих промежутках убывает.
На промежутках [x2;x3] и [x4;x5] f ‘ (x)>0, поэтому для y=f(x) они являются промежутками возрастания.
Сказать что-то более определенное о нулях и других значениях функции y=f(x) не получится. Данный эскиз графика y=f(x) — один из множества графиков первообразных для функции y= f ‘ (x). Другие могут быть получены из него параллельным переносом вдоль оси oy.
Если график производной y= f ‘ (x) представляет собой прямую, параллельную оси ox (y=b, где b- число),, то функция y=f(x) — линейная. Она является возрастающей, если b>0, убывающей, если b<0, и постоянной, если b=0.
www.uznateshe.ru
Применение производной к построению графиков функций
Понятие производной можно применять для построения графиков функций, так как с помощью производных мы можем выяснить промежутки возрастания и убывания, промежутки выпуклости и вогнутости функции, найти точки экстремума функции (точки минимума и максимума), а также наибольшее и наименьшее значения функции данной функции. Однако, помимо этих данных, для более точного построения графиков функции нам необходимы еще некоторые сведения. Поэтому вначале приведем схему исследования функций, которой и будем пользоваться в дальнейшем.
Схема для исследования функций
Найти область определения функции;
Найти область значения функции;
Выяснить является ли функция четной, нечетной и периодической.
Найти точки пересечения с осями координат;
Выяснить промежутки знакопостоянства функции;
Найти производную функции;
Найти точки минимума и максимума функции;
Найти промежутки монотонности функции;
Найти наибольшее и наименьшее значение функции;
Найти вторую производную функции;
Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции;
Найти пределы функции на концах области определения;
Если необходимо, найти значение функции в дополнительных точках;
Построить график функции.
Задачи на исследование и построение графиков функций.
Пример 1
Исследовать и построить график функции:
\[y=2x+1\]Область определении — все действительные числа.
Область значения — все действительные числа.
функция ни четна, ни нечетна, непериодическая.
Точки пересечения с осями координат:
При $y=0$, $2x+1=0,\ x=-\frac{1}{2}$. Точка пересечения с осью $Ox:\left(-\frac{1}{2},0\right)$.
При $x=0$, $y=1$. Точка пересечения с осью $Ox:\left(0,1\right)$.
При $x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right)$ функция отрицательна, при $x\in \left(-\frac{1}{2},\infty \right)$ функция положительна.
Производная:
\[y’=2>0\]Точек минимума и максимума нет.
Функция возрастает на всей области определения.
Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений.
$y»=0$
Функция не имеет промежутков выпуклости и вогнутости.
${\mathop{lim}_{x\to -\infty } y\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty $
График:
Рисунок 1.
Пример 2
Исследовать и построить график функции:
\[y=\frac{5x^2+x+1}{x}\]Область определения: $\left(-\infty ,0\right)(0,\infty )$.
Область значения:$\left(-\infty ,1-2\sqrt{5}\right][1+2\sqrt{5},\infty )$
Функция ни четна, ни нечетна, непериодическая.
Точек пересечения с осями координат нет.При $x\in \left(-\infty ,0\right)$ функция отрицательна, при $x\in \left(0,\infty \right)$ функция положительна.
При $x\in \left(-\infty ,0\right)$ функция отрицательна, при $x\in \left(0,\infty \right)$ функция положительна.
Производная:
\[y’=\frac{10x^2+x-5x^2-x-1}{x^2}=\frac{5x^2-1}{x^2}\]Найдем точки минимума:
\[\frac{5x^2-1}{x^2}=0\] \[x\ne 0,\ x=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}\]Рисунок 2.
Максимум функции: $\left(-\frac{\sqrt{5}}{5},1-2\sqrt{5}\right)$
Минимум функции: $\left(\frac{\sqrt{6}}{6},1+2\sqrt{5}\right)$
Из рисунка выше видим, что функция возрастает при $x\in \left(-\infty ,-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\infty \right)$ и убывает при $x\in \left(-\frac{\sqrt{5}}{5},0\right)\left(0,\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$
Наибольшее и наименьшее значение:
$f\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=1-2\sqrt{5}$ — наименьшее значение,
$f\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=1-2\sqrt{5}$ — наибольшее значение.
$y»=\frac{{10x}^3-{10x}^3+2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}$
Найдем промежутки выпуклости и вогнутости:
\[\frac{2}{x^3}=0\] \[x\ne 0\]Методом интервалов получаем, что
Функция вогнута при $x\in \left(0,\infty \right)$ и выпукла при $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
${\mathop{lim}_{x\to 0-0} y\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to 0+0} y\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } y\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty $
График:
Рисунок 3.
spravochnick.ru
Применение производной. Построение графиков с применением производных
Математика берет свои истоки со времен Античности. Благодаря ней архитектура, строительство и военное дело дали новый виток развития, достижения, которые были получены с помощью математики, привели к движению прогресса. И по сей день математика остается главной наукой, которая встречается во всех остальных отраслях.
Чтобы быть образованными, дети с первого класса начинают постепенно вливаться в эту среду. Очень важно разбираться в математике, так как она, в той или иной степени, встречается каждому человеку на протяжении всей его жизни. В этой статье будет разобран один из ключевых элементов — нахождение и применение производных. Не всякий человек может представить, насколько широко используется это понятие. Рассмотрим более 10 применений производных в определенных областях или науках.
Применение производной к исследованию функции
Производная — это такой предел отношения приращения функции к увеличению ее аргумента, когда показатель аргумента стремится к нулю. Производная — незаменимая вещь при исследовании функции. Например, с помощью нее можно определить возрастание и убывание последней, экстремумы, выпуклости и вогнутости. Дифференциальные исчисления входят в обязательную программу обучения студентов 1 и 2 курса математических вузов.
Область определения и нули функции
Первый этап любого исследования графика начинается с выяснения области определения, в более редких случаях — значения. Область определения задается по оси абсциссы, если говорить другими словами, то это числовые значения на оси OX. Часто область определения уже задана, но если она не задана, то следует оценить значение аргумента х. Допустим, если при каком-то значениях аргумента функция не имеет смысла, то этот аргумент исключается из области определения.
Нули функции находятся простым способом: функцию f(x) следует приравнивнять к нулю и решить полученное уравнение относительно одной переменной x. Полученные корни уравнения являются нулями функции, то есть в этих x функция равна 0.
Возрастание и убывание
Применение производной для исследования функций на монотонность может рассматриваться с двух позиций. Монотонная функция — это категория, которая имеет только положительные значения производной, либо только отрицательные. Простыми словами — функция только возрастает или только убывает на всем исследуемом промежутке:
- Параметр возрастания. Функция f(x) будет возрастать, если производная f`(x) больше нуля.
- Параметр убывания. Функция f(x) будет убывать, если производная f`(x) меньше нуля.
Касательная и угловой коэффициент
Применение производной к исследованию функции определяется еще и касательной (прямой, направленной под углом) к графику функции в данной точке. Касательная в точке (x0) — прямая, которая проходит через точку и принадлежит функции, координаты которой (x0, f(x0)), и имеющая угловой коэффициент f`(x0).
y = f(x0) + f`(x0)(x — x0) — уравнение касательной к данной точке графика функции.
Геометрический смысл производной: производная функции f(x) равняется угловому коэффициенту образованной касательной к графику этой функции в данной точке x. Угловой коэффициент, в свою очередь, равняется тангенсу угла наклона касательной к оси ОХ (абсцисс) в положительном направлении. Это следствие является основополагающим к применению производной к графику функции.
Точки экстремума
Применение производной к исследованию включает в себя нахождение точек максимума и минимума.
Для того чтобы найти и определить точки минимума и максимума, необходимо:
- Отыскать производную функции f(x).
- Приравнять полученное уравнение к нулю.
- Найти корни уравнения.
- Определить точки максимума и минимума.
Чтобы найти экстремумы функции:
- Отыскать точки минимума и максимума по способу выше.
- Подставить эти точки в первоначальное уравнение и высчитать yнаиб. и yнаим.
Точка максимума функции — это наибольшее значение функции f(x) на промежутке, другими словами xнаиб.
Точка минимума функции — это наименьшее значение функции f(x) на промежутке, другими словами xнаим.
Точки экстремума — то же самое, что и точки максимума и минимума, а экстремум функции (yнаиб. и унаим) — значения функций, которые соответствуют точкам экстремума.
Выпуклости и вогнутости
Определить выпуклость и вогнутость можно, прибегая к применению производной для построения графиков:
- Функция f(x), исследуемая на промежутке (a, b), является вогнутой, если функция расположена ниже всех своих касательных, находящихся внутри этого интервала.
- Функция f(x), исследуемая на промежутке (a, b), является выпуклой, если функция расположена выше всех своих касательных, находящихся внутри этого интервала.
Точка, которая разделяет выпуклость и вогнутость, называется точкой перегиба функции.
Чтобы найти точки перегиба:
- Найти критические точки второго рода (вторую производную).
- Точками перегиба являются те критические точки, которые разделяют два противоположенных знака.
- Вычисление значений функций в точках перегиба функции.
Частные производные
Применение производных такого типа есть в задачах, где используется больше одной неизвестной переменной. Чаще всего такие производные встречаются при построении графика функции, если быть точнее, то поверхности в пространстве, где вместо двух осей — три, следовательно, три величины (две переменные и одна постоянная).
Основное правило при вычислении частных производных — выбираем одну переменную, а остальные рассматриваем как постоянные. Следовательно, при вычислении частной производной постоянная величина становится как-будто числовым значением (во многих таблицах производных они обозначаются как C = const). Смысл такой производной — это скорость изменения функции z = f(x, y) по оси OX и OY, то есть характеризует крутизну впадин и выпуклостей построенной поверхности.
Производная в физике
Применение производной в физике имеет широкое распространение и значение. Физический смысл: производная пути по времени — скорость, а ускорение — производная скорости по времени. Из физического смысла можно провести множество ответвлений в различные разделы физики, при этом полностью сохраняя смысл производной.
С помощью применения производной находятся такие величины:
- Скорость в кинематике, где вычисляется производная от пройденного пути. Если находится вторая производная от пути или первая производная от скорости, то находится ускорение тела. Помимо этого, возможно нахождение мгновенной скорости материальной точки, однако для этого необходимо знать приращение ∆t и ∆r.
- В электродинамике: вычисление мгновенной силы переменного тока, а также ЭДС электромагнитной индукции. Вычисляя производную, можно найти максимальную мощность. Производная от количества электрического заряда — сила тока в проводнике.
Производная в химии и биологии
Химия: производная используется для определения скорости протекания химической реакции. Химический смысл производной: функция p = p(t), в данном случае p — количество вещества, которое вступает в химическую реакцию во времени t. ∆t — приращение времени, ∆p — приращение количества вещества. Предел отношения ∆p к ∆t, при котором ∆t стремится к нулю, называется скоростью протекания химической реакции. Среднее значение химической реакции — отношение ∆p/∆t. При определении скорости необходимо точно знать все необходимые параметры, условия, знать агрегатное состояние вещества и среду протекания. Это довольно большой аспект в химии, который широко применяется в различных отраслях и деятельности человека.
Биология: понятие производной используют при вычислении средней скорости размножения. Биологический смысл: имеем функцию y = x(t). ∆t — приращение по времени. Тогда с помощью некоторых преобразований получаем функцию y`= P(t) = x`(t) — активность жизнедеятельности популяции времени t (средняя скорость размножения). Такое применение производной позволяет вести статистику, отслеживать темпы размножения и так далее.
Производная в географии и экономике
Производная позволяет географам решать такие задачи, как нахождение численности населения, вычислять значения в сейсмографии, рассчитать радиоактивность ядерно-геофизических показателей, вычислить интерполяцию.
В экономике важную часть расчетов занимает дифференциальное исчисление и вычисление производной. В первую очередь это позволяет определить пределы необходимых экономических величин. Например, наибольшую и наименьшую производительность труда, издержки, прибыль. В основном эти величины рассчитываются по графикам функций, где находят экстремумы, определяют монотонность функции на нужном участке.
Заключение
Роль данного дифференциального исчисления задействована, как было отмечено в статье, в различных научных структурах. Применение производных функций — важный элемент в практической части науки и производства. Не зря нас в старшей школе и университете учили строить сложные графики, исследовать и работать над функциями. Как видим, без производных и дифференциальных исчислений невозможно было бы рассчитать жизненно важные показатели и величины. Человечество научилось моделировать различные процессы и исследовать их, решать сложные математические задачи. Действительно, математика — царица всех наук, потому что эта наука лежит в основе всех других естественных и технических дисциплин.
fb.ru
График второй производной
Рассмотрим, что можно сказать о функции, анализируя график ее второй производной.
Что мы знаем связи второй производной
с исходной функцией y=f(x)?
1) Функция y=f(x) выпукла вниз на промежутках, где вторая производная положительна
2) Функция y=f(x) выпукла вверх на промежутках, где вторая производная отрицательна
3) Функция y=f(x) имеет критические точки второго рода в точках, в которых вторая производная равна нулю или не существует (речь идет только о внутренних точках области определения функции. Точки на концах области определения не рассматриваем).
4) Функция y=f(x) имеет точки перегиба в точках, в которых вторая производная меняет знак.
5) С учетом того, что x0 — точка максимума функции f(x), если
точки максимума, если они есть, на графике второй производной лежат ниже оси OX.
Соответственно, x* — точка минимума функции f(x), если
поэтому точки минимума, если они есть, на графике второй производной лежат выше оси OX.
Пример.
На промежутках (x1; x2) и (x3;x5) вторая производная неотрицательна (в точке x4 она равна нулю, но смены знака нет). Значит, на этих промежутках функция y=f(x) выпукла вниз.
На промежутках (x2; x3) и (x5; x7) вторая производная отрицательна. Поэтому на этих промежутках функция y=f(x) выпукла вверх.
В точках x2, x3, x4, x5 вторая производная равна нулю, в точке x6 — не существует. Это — критические точки второго рода.
Производная меняет знак в точках x2, x3, x5. Следовательно, это — точки перегиба.
www.uznateshe.ru
