Показательные неравенства с разными основаниями как решать – В. И. Тишин Показательные неравенства 2002 год Методика изложения решений показательных уравнений выдержана в таком же стиле, как и решение

Функция имеет единственный корень,

Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции на каждом интервале:

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства

Таким образом, получили ответ.

Ответ:

3. Решение типовых показательных неравенств

Пример 4:

Одно из свойств показательной функции – она при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения, значит, на показательную функцию можно разделить. Выполним деление заданного неравенства на правую его часть:

Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется.

Ответ:

Проиллюстрируем решение:

На рисунке 6.3 изображены графики функций и . Очевидно, что когда аргумент больше нуля, график функции расположен выше, эта функция больше. Когда же значения аргумента отрицательны, функция проходит ниже, она меньше. При значении аргумента функции равны, значит, данная точка также является решением заданного неравенства.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 4

Пример 5:

Преобразуем заданное неравенство согласно свойствам степени:

Приведем подобные члены:

Разделим обе части на :

Теперь продолжаем решать аналогично примеру 4, разделим обе части на :

Основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется:

Ответ:

4. Графическое решение показательных неравенств

Пример 6 – решить неравенство графически:

Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой части и построим график каждой из них.

Функция – экспонента, возрастает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.

Функция – линейная, убывает на всей своей области определения, т. е. при всех действительных значениях аргумента.

Если данные функции пересекаются, то есть система имеет решение, то такое решение единственное и его легко можно угадать. Для этого перебираем целые числа ()

Несложно заметить, что корнем данной системы является :

Таким образом, графики функций пересекаются в точке с аргументом, равным единице.

Теперь нужно получить ответ. Смысл заданного неравенства в том, что экспонента должна быть больше или равна линейной функции, то есть быть выше или совпадать с ней. Очевиден ответ: (рисунок 6.4)

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 6

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств. Далее перейдем к рассмотрению более сложных показательных неравенств.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интерне

Math. md . Mathematics-repetition. com . Diffur. kemsu. ru .

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 472, 473;

2. Решить неравенство:

3. Решить неравенство:

dp-adilet.kz

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Показательные уравнения и неравенства. — Показательные неравенства.

Комментарии преподавателя

На­пом­ним опре­де­ле­ние и ос­нов­ные свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции. Имен­но на свой­ствах ба­зи­ру­ет­ся ре­ше­ние всех по­ка­за­тель­ных урав­не­ний и нера­венств.

По­ка­за­тель­ная функ­ция – это функ­ция вида , где ос­но­ва­ние сте­пе­ни  и  Здесь х – неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, ар­гу­мент; у – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, функ­ция.

Рис. 1. Гра­фик по­ка­за­тель­ной функ­ции

На гра­фи­ке по­ка­за­ны воз­рас­та­ю­щая и убы­ва­ю­щая экс­по­нен­ты, ил­лю­стри­ру­ю­щие по­ка­за­тель­ную функ­цию при ос­но­ва­нии боль­шем еди­ни­цы и мень­шем еди­ни­цы, но боль­шим нуля со­от­вет­ствен­но.

Обе кри­вые про­хо­дят через точку (0;1)

Свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции:

Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

Об­ласть зна­че­ний: ;

Функ­ция мо­но­тон­на, при  воз­рас­та­ет, при  убы­ва­ет.

Мо­но­тон­ная функ­ция при­ни­ма­ет каж­дое свое зна­че­ние при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та.

При  , когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от минус до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция воз­рас­та­ет от нуля не вклю­чи­тель­но до плюс бес­ко­неч­но­сти, т. е. при дан­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та мы имеем мо­но­тон­но воз­рас­та­ю­щую функ­цию (). При  на­о­бо­рот, когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от минус до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция убы­ва­ет от бес­ко­неч­но­сти до нуля не вклю­чи­тель­но, т. е. при дан­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та мы имеем мо­но­тон­но убы­ва­ю­щую функ­цию ().

На ос­но­ва­нии вы­ше­ска­зан­но­го при­ве­дем ме­то­ди­ку ре­ше­ния про­стей­ших по­ка­за­тель­ных нера­венств:

Ме­то­ди­ка ре­ше­ния нера­венств:

Урав­нять ос­но­ва­ния сте­пе­ней;

Срав­нить по­ка­за­те­ли, со­хра­нив или из­ме­нив на про­ти­во­по­лож­ный знак нера­вен­ства.

Ре­ше­ние слож­ных по­ка­за­тель­ных нера­венств за­клю­ча­ет­ся, как пра­ви­ло, в их све­де­нии к про­стей­шим по­ка­за­тель­ным нера­вен­ствам.

При­мер 1:

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть со­глас­но свой­ствам сте­пе­ни:

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы, зна­чит, знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся:

При­мер 2:

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть со­глас­но свой­ствам сте­пе­ни:

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни мень­ше еди­ни­цы, знак нера­вен­ства необ­хо­ди­мо по­ме­нять на про­ти­во­по­лож­ный:

Для ре­ше­ния квад­рат­но­го нера­вен­ства решим со­от­вет­ству­ю­щее квад­рат­ное урав­не­ние:

По тео­ре­ме Виета на­хо­дим корни:

Ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх.

Таким об­ра­зом, имеем ре­ше­ние нера­вен­ства:

При­мер 3:

Неслож­но до­га­дать­ся, что пра­вую часть можно пред­ста­вить как сте­пень с ну­ле­вым по­ка­за­те­лем:

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы, знак нера­вен­ства не ме­ня­ет­ся, по­лу­ча­ем:

На­пом­ним ме­то­ди­ку ре­ше­ния таких нера­венств.

Рас­смат­ри­ва­ем дроб­но-ра­ци­о­наль­ную функ­цию:

На­хо­дим об­ласть опре­де­ле­ния:

На­хо­дим корни функ­ции:

Функ­ция имеет един­ствен­ный ко­рень, 

Вы­де­ля­ем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства и опре­де­ля­ем знаки функ­ции на каж­дом ин­тер­ва­ле:

Рис. 2. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли ответ.

Ответ: 

Рас­смот­рим нера­вен­ства с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми, но раз­лич­ны­ми ос­но­ва­ни­я­ми.

При­мер 4:

Одно из свойств по­ка­за­тель­ной функ­ции – она при любых зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та при­ни­ма­ет стро­го по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, зна­чит, на по­ка­за­тель­ную функ­цию можно раз­де­лить. Вы­пол­ним де­ле­ние за­дан­но­го нера­вен­ства на пра­вую его часть:

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы, знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся.

Ответ: 

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние:

На ри­сун­ке 6.3 изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций  и . Оче­вид­но, что когда ар­гу­мент боль­ше нуля, гра­фик функ­ции  рас­по­ло­жен выше, эта функ­ция боль­ше. Когда же зна­че­ния ар­гу­мен­та от­ри­ца­тель­ны, функ­ция  про­хо­дит ниже, она мень­ше. При зна­че­нии ар­гу­мен­та  функ­ции равны, зна­чит, дан­ная точка также яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем за­дан­но­го нера­вен­ства.

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 4

При­мер 5:

Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ное нера­вен­ство со­глас­но свой­ствам сте­пе­ни:

При­ве­дем по­доб­ные члены:

Раз­де­лим обе части на :

Те­перь про­дол­жа­ем ре­шать ана­ло­гич­но при­ме­ру 4, раз­де­лим обе части на :

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы, знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся:

Ответ: 

При­мер 6 – ре­шить нера­вен­ство гра­фи­че­ски:

Рас­смот­рим функ­ции, сто­я­щие в левой и пра­вой части и по­стро­им гра­фик каж­дой из них.

Функ­ция  – экс­по­нен­та, воз­рас­та­ет на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния, т. е. при всех дей­стви­тель­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та.

Функ­ция  – ли­ней­ная, убы­ва­ет на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния, т. е. при всех дей­стви­тель­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та.

Если дан­ные функ­ции пе­ре­се­ка­ют­ся, то есть си­сте­ма имеет ре­ше­ние, то такое ре­ше­ние един­ствен­ное и его легко можно уга­дать. Для этого пе­ре­би­ра­ем целые числа ()

Неслож­но за­ме­тить, что кор­нем дан­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся 

www.kursoteka.ru

Методы решения показательных и логарифмических неравенств

Методы решения показательных уравнений.

Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени (к тому же, переменная может быть и в основании степени).

Для успешного решения показательных уравнений необходимо:

— безошибочно решать простейшие показательные уравнения.

— не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать «посторонних» корней, а тем более, — не терять решений уравнения.

— чётко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования

уравнений.

— знать методы решения задач. Для этого:

определить тип уравнения;

вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Тип

Метод

Три разных основания степеней

Разложение оснований на множители и сведение к двум основаниям степени

Тип

Метод

Два разных основания степеней-

разные показатели

Основания степеней –

степени одного числа

Приведение к одинаковым показателям степеней

Приведение к одинаковым основаниям степеней

Тип

Метод

Два разных основания степеней-

одинаковые показатели

Одинаковые основания степеней — разные показатели

Деление на меньшее основание в степени уравнения

Приведение к одинаковым показателям степеней

Тип

Метод

Одинаковые основания степеней — одинаковые показатели степеней

Замена переменной

Тип

Метод

Произведение степеней

Приведение к одному основанию степени

Тип

Метод

Простейшие показательные уравнения

Логарифмирование

ОТВЕТ

Методы решения показательных неравенств.

Показательным неравенством называется неравенство, содержащее переменную в показателе степени (к тому же, переменная может быть и в основании степени).

Для успешного решения показательных неравенств необходимо:

— безошибочно решать простейшие показательные неравенства.

— не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать «посторонних» решений, а тем более, — не терять решений неравенств.

— чётко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования

неравенств.

— знать методы решения задач. Для этого:

определить тип неравенств;

вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Тип

Метод

Три разных основания степеней

Разложение оснований на множители и сведение к двум основаниям степени

Тип

Метод

Два разных основания степеней-

разные показатели

Основания степеней –

степени одного числа

Приведение к одинаковым показателям степеней

Приведение к одинаковым основаниям степеней

Тип

Метод

Два разных основания степеней-

одинаковые показатели

Одинаковые основания степеней — разные показатели

Деление на меньшее основание в степени уравнения

Приведение к одинаковым показателям степеней

Тип

Метод

Одинаковые основания степеней — одинаковые показатели степеней

Замена переменной

Тип

Метод

Произведение степеней

Приведение к одному основанию степени

Тип

Метод

Простейшие показательные неравенства

Логарифмирование и использование монотонности показательной функции

ОТВЕТ

Методы решения логарифмических уравнений.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма и/или в основании логарифма.

, a>0, a1, x>0.

Для успешного решения логарифмических уравнений необходимо:

— безошибочно решать простейшие логарифмические уравнения.

— не только активно знать все логарифмические тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать «посторонних» корней, а тем более, — не терять решений уравнения.

— чётко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования

уравнений.

— знать методы решения задач. Для этого:

определить тип уравнения;

вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Тип

Метод

Разные основания логарифмов

Приведение к одинаковым основаниям логарифмов

Тип

Метод

Одинаковые основания логарифмов — разные выражения под логарифмами

Приведение к одинаковым выражениям под логарифмами

Тип

Метод

Одинаковые основания логарифмов – одинаковые выражения под логарифмами

Замена переменной

Тип

Метод

Сумма логарифмов

Сворачивание в один логарифм

Тип

Метод

Простейшие логарифмические уравнения

Потенцирование

ОТВЕТ

Необходимо всегда помнить, что логарифм определён при выполнении трёх условий:

— выражение под логарифмом больше нуля;

— основание логарифма больше нуля

— основание логарифма не равно единице.

Методы решения логарифмических неравенств.

Логарифмическим неравенством называется неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма и/или в основании логарифма.

, a>0, a1, x>0.

Для успешного решения логарифмических неравенств необходимо:

— безошибочно решать простейшие логарифмические неравенства.

— не только активно знать все логарифмические тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать «посторонних» корней, а тем более, — не терять решений уравнения.

— чётко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования

уравнений.

— знать методы решения задач. Для этого:

определить тип неравенства;

вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Тип

Метод

Разные основания логарифмов

Приведение к одинаковым основаниям логарифмов

Тип

Метод

Одинаковые основания логарифмов — разные выражения под логарифмами

Приведение к одинаковым выражениям под логарифмами

Тип

Метод

Одинаковые основания логарифмов – одинаковые выражения под логарифмами

Замена переменной

Тип

Метод

Сумма логарифмов

Сворачивание в один логарифм

Тип

Метод

Простейшие логарифмические уравнения

Потенцирование и использование монотонности логарифмической функции

ОТВЕТ

Необходимо всегда помнить, что логарифм определён при выполнении трёх условий:

— выражение под логарифмом больше нуля;

— основание логарифма больше нуля

— основание логарифма не равно единице.

infourok.ru