Основные формулы тригонометрии таблица – .

Содержание

Тригонометрические формулы

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

(1) Основное тригонометрическое тождествоsin2(α) + cos2(α) = 1
(2) Основное тождество через тангенс и косинус 1 + tg2(α) = 1/cos2(α)
(3) Основное тождество через котангенс и синус 1 + ctg2(α) = 1/sin2(α)
(4) Соотношение между тангенсом и котангенсомtg(α)ctg(α) = 1
(5) Синус двойного углаsin(2α) = 2sin(α)cos(α)
(6) Косинус двойного углаcos(2α) = cos2(α) – sin2(α) = 2cos2(α) – 1 = 1 – 2sin2(α)
(7) Тангенс двойного угла
tg(2α) =   2tg(α)
1 – tg2(α)
(8) Котангенс двойного угла
ctg(2α) =ctg2(α) – 1
  2ctg(α)
(9) Синус тройного углаsin(3α) = 3sin(α)cos2(α) – sin3(α)
(10) Косинус тройного углаcos(3α) = cos3(α) – 3cos(α)sin2(α)
(11) Косинус суммы/разностиcos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
(12) Синус суммы/разностиsin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
(13) Тангенс суммы/разности tg(α±β) = (tg(α) ± tg(β))/(1 ∓ tg(α)tg(β))
(14) Котангенс суммы/разности ctg(α±β) = (-1 ± ctg(α)ctg(β))/(ctg(&alpha) ± ctg(β))
(15) Произведение синусовsin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β))
(16)
 Произведение косинусовcos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β))
(17) Произведение синуса на косинусsin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β))
(18) Сумма/разность синусовsin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β))
(19) Сумма косинусовcos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β))
(20) Разность косинусовcos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))
(21) Сумма/разность тангенсов tg(α) ± tg(β) = sin(α±β)/cos(α)cos(β)
(22) Формула понижения степени синусаsin2(α) = ½(1 – cos(2α))
(23) Формула понижения степени косинусаcos2(α) = ½(1 + cos(2α))
(24) Сумма/разность синуса и косинуса sin(α) ± cos(α) = &sqrt;2sin(α±π/4)
(25) Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами Asin(α) ± Bcos(α) = Корень(A²+B²)(sin(α ± arccos(A/Корень(A²+B²)))
(26) Основное соотношение арксинуса и арккосинусаarcsin(x) + arccos(x) = π/2
(27) Основное соотношение арктангенса и арккотангенсаarctg(x) + arcctg(x) = π/2

scolaire.ru

Тригонометрические формулы - шпаргалка

Здесь можно найти тригонометрические формулы в удобном виде. А тригонометрические формулы приведения можно посмотреть на другой странице.

Основные тригонометрические тождества

- математические выражения для тригонометрических функций, выполняемые при каждом значении аргумента.

 
  • sin² α + cos² α = 1
  • tg α · ctg α = 1
  • tg α = sin α ÷ cos α
  • ctg α = cos α ÷ sin α
  • 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
  • 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α
 

Формулы сложения

 
  • sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
  • sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
  • cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
  • cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
  • tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)
  • tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
  • ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
  • ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

 

Формулы двойного угла

 
  • cos 2α = cos² α - sin² α
  • cos 2α = 2cos² α - 1
  • cos 2α = 1 - 2sin² α
  • sin 2α = 2sin α · cos α
  • tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
  • ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)
 

Формулы тройного угла

 
  • sin 3α = 3sin α - 4sin³ α
  • cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
  • tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
  • ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)
 

Формулы понижения степени

 
  • sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
  • sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
  • cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
  • cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
  • sin² α · cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
  • sin³ α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32
 

Переход от произведения к сумме

 
  • sin α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
  • sin α · sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
  • cos α · cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Мы перечислили довольно много тригонометрических формул, но если чего-то не хватает, пишите.

Всё для учебы » Математика в школе » Тригонометрические формулы - шпаргалка

Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.

Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:


Ссылка: https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly

Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):

uchim.org

Тригонометрические формулы / Блог :: Бингоскул

  • Блог
  • Тригонометрические формулы

Формулы тригонометрии, необходимые для ЕГЭ 2019

Представлены таблицы основных тригонометрических формул, которых достаточно для решения задач тригонометрии.

 

Формулы приведения в  тригонометрии

 

Значения тригонометрических функций

 αрадианы0\frac{\pi}{6}\frac{\pi}{4}\frac{\pi}{3}\frac{\pi}{2}\pi\frac{3\pi}{2}2\pi
 градусы 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°360°
sin α0 \frac{1}{2}  \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1 0 -1 0
 cos α \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}-1  1
 tg α \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} 0
сtg α- \sqrt{3}1 \frac{\sqrt{3}}{3}0-0-

     

    Основное тригонометрическое тождество:

    • \sin^2 x+ \cos^2 x = 1
    • \tg x= \frac{\sin x}{\cos x}
    • \ctg x= \frac{\cos x}{\sin x}
    • \tg x \ctg x = 1
    • \tg^{2} x + 1 = \frac{1}{\cos^{2} x}
    • \ctg^{2} x + 1 = \frac{1}{\sin^{2} x}

     

     

    Формулы тригонометрических функций суммы и разности углов

    • \sin(\alpha \pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta
    • \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta
    • tg(\alpha \pm \beta) = \frac{tg\alpha \pm tg\beta}{1 \mp tg\alpha * tg\beta}

     

    Тригонометрические функции двойного и тройного угла

    • \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha
    • \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha, \cos(2\alpha) =1 - 2\sin^2\alpha, \cos(2\alpha) =2\cos^2\alpha -1
    • \tg 2\alpha = \frac{2\cdot \tg \alpha}{1 - \tg^{2} \alpha}
    • \ctg 2\alpha = \frac{\ctg^{2} \alpha - 1}{2 \cdot \ctg \alpha}
    • \sin3\alpha = 3\sin\alpha \cos^{2}\alpha -\sin^{3}\alpha
    • \sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^{3}\alpha
    • \cos3\alpha = \cos^{3}\alpha - 3\sin^{2}\alpha\cos\alpha
    • \cos3\alpha = -3\cos\alpha + 4\cos^{3}\alpha
    • \tg 3\alpha = \frac{3\cdot \tg \alpha - \tg^3 \alpha}{1 - 3\tg^{2} \alpha}
    • \ctg 3\alpha = \frac{\ctg^{3} \alpha -3 \ctg \alpha}{3 \cdot^2 \ctg \alpha - 1}

     

    Преобразование суммы в произведение:

    • 2 \cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)
    • 2 \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)
    • 2 \sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)

     

    Формулы понижения степени

    • \sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}
    • \cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}
    • \sin^{3}\alpha=\frac{3\sin\alpha-\sin3\alpha}{4}
    • \cos^{3}\alpha=\frac{3\cos\alpha-\cos3\alpha}{4}

     


     

     

    Смотри также: Основные формулы по математике

     

    Решай с разбором:

    bingoschool.ru

    Основные тригонометрические формулы

    В самом начале этой статьи мы с Вами рассмотрели понятие тригонометрических функций. Основное назначение их назначение – это изучение основ тригонометрии и исследование периодических процессов. И тригонометрический круг мы не зря рисовали, потому что в большинстве случаев тригонометрические функции определяются, как отношение сторон треугольника или его определенных отрезков в единичной окружности. Так же я упоминал о неоспоримо огромном значении тригонометрии в современной жизни. Но наука не стоит на месте, в результате мы можем значительно расширить область применения тригонометрии и перенести ее положения на вещественные, а иногда и на комплексные числа.

    Формулы тригонометрии бывают нескольких видов. Рассмотрим их по порядку.

    1. Соотношения тригонометрических функций одного и того же угла

    2. Здесь мы подошли к рассмотрению такого понятия как основные тригонометрические тождества.

      Тригонометрическое тождество - это равенство, которое состоит из тригонометрических соотношений и которое выполняется для всех значений величин углов, которые входят в него.

      Рассмотрим наиболее важные тригонометрические тождества и их доказательства:

      Первое тождество вытекает из самого определения тангенс.

      Возьмем прямоугольный треугольник, в котором имеется острый угол х при вершине А.

      Для доказательства тождеств необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:

      (ВС) 2 + (АС) 2 = (АВ) 2

      Теперь разделим на (АВ) 2 обе части равенства и припомнив определения sin и cos угла, мы получаем второе тождество:

      (ВС) 2/(AB) 2 + (AC) 2/(AB) 2 = 1

      sin x = (BC)/(AB)

      cos x = (AC)/(AB)

      sin2 x + cos2 x = 1

      Для доказательства третьего и четвертого тождеств воспользуемся предыдущим доказательством.

      Для этого обе части второго тождества разделим на cos2 x:

      sin2 x/ cos2 x + cos2 x/ cos2 x = 1/ cos2 x

      sin2 x/ cos2 x + 1 = 1/ cos2 x

      Исходя из первого тождества tg x = sin х /cos x получаем третье:

      1 + tg2 x = 1/cos2 x

      Теперь разделим второе тождество на sin2 x:

      sin2 x/ sin2 x + cos2 x/ sin2 x = 1/ sin2 x

      1+ cos2 x/ sin2 x = 1/ sin2 x

      cos2 x/ sin2 x есть не что иное, как 1/tg2 x, поэтому получаем четвертое тождество:

      1 + 1/tg2 x = 1/sin2 x

      Пришла пора вспомнить теорему о сумме внутренних углов треугольника, которая гласит, что сумма углов треугольника = 1800. Получается, что при вершине В треугольника находится угол, величина которого 1800 – 900 – х = 900 – х.

      Опять вспомним определения для sin и cos и получаем пятое и шестое тождества:

      sin x = (BC)/(AB)

      cos(900– x ) = (BC)/(AB)

      cos(900– x ) = sin x

      Теперь выполним следующее:

      cos x = (AC)/(AB)

      sin(900– x ) = (AC)/(AB)

      sin(900– x ) = cos x

      Как видите – здесь все элементарно.

      Существуют и другие тождества, которые используются при решении математических тождеств, я приведу их просто в виде справочной информации, потому как все они проистекают из вышерассмотренных.

    3. Выражения тригонометрических функций друг через друга

      (выбор знака перед корнем определяется тем, в какой из четвертей круга расположен угол ?)

    4. Далее следуют формулы сложения и вычитания углов:

    5. Формулы двойных, тройных и половинных углов.

      Замечу, что все они проистекают из предыдущих формул.

    6. sin 2х =2sin х*cos х

      cos 2х =cos2х -sin2х =1-2sin2х =2cos2х -1

      tg 2x = 2tgx/(1 - tg2 x)

      сtg 2x = (сtg2 x - 1) /2сtg x

      sin3х =3sin х - 4sin3х

      cos3х =4cos3х - 3cos х

      tg 3x = (3tgx – tg3 x) /(1 - 3tg2 x)

      сtg 3x = (сtg3x – 3сtg x) /(3сtg2 x - 1)

    7. Формулы преобразования тригонометрических выражений:

    Когда-то, будучи школьником, я с удовольствием применял эти формулы для решения различного рода задач, как то упростить выражение или решить уравнение. Главное разглядеть - куда и какую формулу необходимо применить, и тогда многоярусная конструкция превращается в обычное числовое выражение. Очень полезная штука для развития логического мышления!



    Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

    reshit.ru

    Основные формулы тригонометрии

    Тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Их всего четыре:

    • Синус \( \displaystyle sin\left( x \right) \)
    • Косинус \( \displaystyle cos\left( x \right) \)
    • Тангенс \( \displaystyle tg\left( x \right) \)
    • Котангенс \( \displaystyle ctg\left( x \right) \)

    Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

    Первый способ - с использованием формул.

    \( \displaystyle A \)\( \displaystyle a \)\( \displaystyle -1 \)\( \displaystyle 0 \)\( \displaystyle 1 \)
    \( \displaystyle \sin x=A \)\( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \alpha +\pi n \)\( \displaystyle -\dfrac{\pi }{2}+2\pi n \)\( \displaystyle \pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+2\pi n \)
    \( \displaystyle \cos x=A \)\( \displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n \)\( \displaystyle \pi +2\pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \)\( \displaystyle 2\pi n \)
    \( \displaystyle tgx=A \)\( \displaystyle arctg\alpha +\pi n \)\( \displaystyle -\dfrac{\pi }{4}+\pi n \)\( \displaystyle \pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \)
    \( \displaystyle ctgx=A \)\( \displaystyle arcctg\alpha +\pi n \)\( \displaystyle \dfrac{3\pi }{4}+\pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \)

    Второй способ - через тригонометрическую окружность.

    Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

    Основные формулы Тригонометрии:

    Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)

    \[ \displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1 \]


    Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)

    \[ \displaystyle tg\ \alpha =\dfrac{sin\ \alpha }{cos\ \alpha } \]


    Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)

    \[ \displaystyle ctg\ \alpha =\dfrac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }=\dfrac{1}{tg\ \alpha } \]


    Синус суммы и разности:

    \[ \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta \]


    Косинус суммы и разности:

    \[ \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \]


    Тангенс суммы и разности:

    \[ \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\dfrac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \cdot tg\beta } \]

    Формулы понижения степени:

    Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

    \[ \displaystyle si{{n}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{2} \]

    \[ \displaystyle co{{s}^{2}}\alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2} \]

    \[ \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} \]

    \[ \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} \]

    \[ \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{1+cos2\alpha },\alpha \ne \dfrac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \]

    \[ \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} \]

    \[ \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} \]

    Из данных формул можно в частности вывести формулы тройного угла:

    \[ \displaystyle sin3\alpha =3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha \]

    \[ \displaystyle cos3a=4co{{s}^{3}}a-3cosa \]

    \[ \displaystyle tg3\alpha =\dfrac{3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha }{1-3t{{g}^{2}}\alpha } \]

    \[ \displaystyle ctg3\alpha =\dfrac{3ctg\alpha -ct{{g}^{3}}\alpha }{1-3ct{{g}^{2}}\alpha } \]

    Формулы преобразования суммы функций

    Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.

    \[ \displaystyle sin\alpha \pm sin\beta =2sin\dfrac{\alpha \pm \beta }{2}cos\dfrac{\alpha \mp \beta }{2} \]

    \[ \displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}cos\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]

    \[ \displaystyle cos\alpha -cos\beta =-2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]

    \[ \displaystyle tg\alpha \pm tg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \alpha \pm \beta \right)}{cos\alpha cos\beta } \]

    \[ \displaystyle ctg\alpha \pm ctg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \beta \pm \alpha \right)}{sin\alpha sin\beta } \]

    Формулы преобразования произведений функций

    \[ \displaystyle sin\alpha sin\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)-\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]

    \[ \displaystyle sin\alpha cos\beta =\dfrac{\sin \left( \alpha +\beta \right)+\text{sin}\left( \alpha -\beta \right)}{2} \]

    \[ \displaystyle cos\alpha cos\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)+\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]

    В вашем браузере отключен Javascript.
    Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!