Одз что это алгебра – Область допустимых значений логарифма — Алгебра 11 класс — Osvita.name

ОДЗ | Алгебра

Найти ОДЗ — область допустимых значений — задание, которое в алгебре встречается как в виде самостоятельных примеров, так и при решении уравнений, неравенств и их систем.

   

   

ОДЗ многочлена — любое значение переменной.

   

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля.

Следовательно, ОДЗ дроби — все значения переменной, за исключением тех, в которых знаменатель обращается в нуль.

   

Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (в том числе, под знаком квадратного корня), должно быть неотрицательным.

Следовательно, ОДЗ выражения, содержащего переменную под знаком корня чётной степени — все значения переменной, при которых это выражение больше либо равно нуля.

   

Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (в том числе, под знаком квадратного корня) в знаменателе дроби, должно быть положительным.

То есть ОДЗ выражения с корнем чётной степени в знаменателе — множество значений переменной, при котором это выражение строго больше нуля.

   

Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным.

Выражение, стоящее в основании логарифма, должно быть положительным и не равным единице.

   

Выражение, стоящее под знаком синуса, может принимать любые значения (ОДЗ синуса — любые значения переменной).

   

Выражение, стоящее под знаком косинуса, может принимать любые значения (ОДЗ косинуса — любые значения переменной).

   

ОДЗ тангенса можно рассматривать как ОДЗ дроби

   

   

ОДЗ котангенса находим как ОДЗ дроби

   

   

Выражение, стоящее под знаком арксинуса, должно быть не меньшим -1 и не большим 1 (то есть ОДЗ арксинуса — промежуток [-1;1]).

   

Выражение, стоящее под знаком арккосинуса, должно быть не меньшим -1 и не большим 1 (ОДЗ арккосинуса — промежуток [-1;1]).

   

Выражение, стоящее под знаком арктангенса, может принимать любые значения (ОДЗ арктангенса — любые значения f(x)).

   

Выражение, стоящее под знаком арккотангенса, может принимать любые значения (ОДЗ арккотангенса — любые значения f(x)).

   

   

Выражение, стоящее в показателе степени, основание которой — положительное число, может принимать любые значения.

В ходе изучения темы «Степенная функция» обобщается информация по области допустимых значений степени и корня.

   

  • Если α — натуральное число, то f(x)∈R.
  • Если α — целое отрицательное число или нуль, то f(x)≠0.
  • Если α — нецелое положительное число, то то f(x)≥0.
  • Если α — нецелое отрицательное число, то то f(x)>0.

www.algebraclass.ru

Область допустимых значений

Область допустимых значений алгебраического выражения (сокращенно ОДЗ) - это множество значений переменной, при которых это выражение  определено.

В школьном курсе алгебры есть всего пять элементарных функций, которые имеют ограниченную область определения. Вот они:

1.    ОДЗ:

Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нулю.

2.          ОДЗ:

 

Выражение, стоящее в знаменателе дроби, не может быть равно нулю.

3.          ОДЗ:  

 

Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма  должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.

4.  , ОДЗ:

5. Есть две функции, которые содержат "скрытую" дробь:

и

6.   ОДЗ:

Степень корня - натуральное число, отличное от 1.

Таким образом, функции  и имеют разную область определения.

 

Если выражение содержит одну или несколько функций, которые определены на ограниченном множестве значений аргумента, то для того, чтобы найти ОДЗ выражения, нужно учесть все ограничения, которые накладываются этими функциями.

Чтобы найти область допустимых значений выражения, нужно исследовать, присутствуют ли в выражении функции, которые я перечислила выше. И по мере обнаружения этих функций, записывать задаваемые ими ограничения, двигаясь "снаружи" "внутрь".

Поясню на примере:

Найти область определения функции:

 

Чтобы найти область определения функции

, нужно найти область допустимых значений выражения, которое стоит в правой части уравнения функции

Я специально выбрала "страшную", на первый взгляд,  функцию, чтобы показать вам, на какие простые операции разбивается процесс нахождения области допустимых значений.

"Просканируем" выражение, стоящее в правой части равенства:

 

1. Мы видим дробь:

Знаменатель дроби не равен нулю. Записываем:

2. Мы видим в знаменателе логарифм:


Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма  должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.

Записываем:

 

3.Мы видим квадратный корень:

Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нулю.

Записываем:

Теперь запишем все ограничения в систему неравенств:

   

 

Решение этой системы неравенств посмотрите в ВИДЕУРОКЕ:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике

ege-ok.ru

ОДЗ. Зачем, когда и как?

ОДЗ. Зачем, когда и как?

Шамшурин  А.В. 1

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»

Гагарина  Н.А. 1

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся – 28. Справились – 14 %, опасность ОДЗ (учли) – 68 %, необязательность (учли) – 36 %.

Цель: выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ.

Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.

Задачи:

  1. Показать значимость ОДЗ при решении уравнений и неравенств.
  2. Провести практическую работу по данной теме и подвести её итоги.

Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо?  Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ[4].

Глава 1

Что такое ОДЗ?

 ОДЗ - это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Важно. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест.

Некоторые запреты в математике. Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят…

  • Выражения, состоящие под знаком чётной кратности или должно быть>0 или равно нулю , ОДЗ:f(x)
  • Выражение, стоящее в знаменателе дроби не может быть равно нулю , ОДЗ:f(x)
  • |f(x)|=g(x), ОДЗ: g(x) 0

 Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ.

 Алгоритм нахождения ОДЗ:

  1. Определите вид запрета.
  2. Найти значения, при которых выражение не имеет смысла.
  3. Исключить эти значения из множества действительных чисел R[6].

Решить уравнение: =

Без ОДЗ

С ОДЗ

 =

=

х-9=1-х

х+х=9+1

2х=10

х=5

Ответ: х=5

Оценка  2

 =

ОДЗ: => =>

 

Ответ: корней нет

Оценка 5

Область допустимых значений оберегает нас от таких серьёзных ошибок. Честно говоря, именно из-за ОДЗ многие «ударники» превращаются в «троечников». Считая, что поиск и учёт ОДЗ малозначимым шагом в решении, они пропускают его, а потом удивляются: «почему учитель поставил 2?». Да потому и поставил, что ответ неверен! Это не «придирки» учителя, а вполне конкретная ошибка, такая же как неверное вычисление или потерянный знак[7].

Дополнительные уравнения:

а) = ;      б) -42=14х+ ;      в) =0;       г) |x-5|=2x-2 [5]

Глава 2

 ОДЗ. Зачем? Когда? Как?

 Область допустимых значений – есть решение

  1. ОДЗ представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений

Ответ: корней нет.

Ответ: корней нет.

ОДЗ:   х 0

0, уравнение не имеет корней

Ответ: корней нет.

Дополнительные примеры:

а) + =5;   б) + =23х-18;   в) =0[6].

  1. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

ОДЗ: х=2, х=3

Проверка: х=2, + ,  0<1,   верно

Проверка: х=3, + , 0<1, верно.

Ответ: х=2, х=3[8].

Проверка: х=0, > , 0>0, неверно

Проверка: х=1, > , 1>0, верно

Ответ: х=1.

Проверка:  + =3, 0=3, неверно.

Ответ: корней нет.

Дополнительные примеры:

а) = ;   б) + =0;   в) + =х -1[5]

 Опасность ОДЗ

Заметим, тождественные преобразования могут:

  • не влиять на ОДЗ;
  • приводить к расширенному ОДЗ;
  • приводить к сужению ОДЗ.

Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, может привести к неверным решениям.

Давайте поясним каждый случай примером.

1)   Рассмотрим выражение х +4х+7х, ОДЗ переменной х для этого есть множество R. Приведём подобные слагаемые. В результате оно примет вид x2+11x. Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.

2)   Возьмем уравнение x+ - =0. В этом случае ОДЗ: x≠0.  Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых, приходим к выражению x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль).

3)   Возьмем выражение .    ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−5)·(x−2)≥0, ОДЗ: (−∞, 2]∪[5, +∞).   А теперь преобразуем исходное выражение к виду .    ОДЗ переменной x для этого выражения определяет система линейных неравенств , решение которой дает множество [5, +∞). Таким образом, в результате проведенного преобразования произошло сужение ОДЗ с множества (−∞, 2]∪[5, +∞) до множества [5, +∞)[9].

Решим уравнение:

а)   3х+ = +15.  Перенесём дробь

ОДЗ: х-5 0,  х 5

3х+ - =15

х=5,    5 ОДЗ.       Ответ: корней нет.

б)   =0        х-х=0        =0.      Снова ловушка!

ОДЗ: х-3 0, х 3.     Ответ: х-любое число, кроме х=3.

в)   ,   ОДЗ: х .

Сокращение дробей даёт =0,  х=0. Ловушка!   Ответ: корней нет[6].

Дополнительные примеры: а) =0,   б) =0;

в) 214х+ = +642,   г) + =92[5].

Вывод. Итак, на каждом шаге преобразования выражения постоянно спрашивайте себя: «Не изменяет ли это преобразование ОДЗ»? Если не изменяет, то выполняйте его. Если сужает, то откажитесь от него. А если расширяет, то выполняйте его, но оставайтесь в рамках ОДЗ переменных для исходного выражения. Самый верный шаг – найдите сразу ОДЗ[2].

 Необязательность ОДЗ

Решим уравнение:

а) - =2

=2+ ,   f(x)=  - убывает, g(x)=2+ - возрастает

Значит, уравнение имеет не более одного корня. Решаем методом подбора: х=-1.  Ответ: х=-1.

б) =13-х,   f(x)=  -  возрастает,    g(x)= 13-х – убывает, значит, уравнение имеет не более одного корня. Решаем методом подбора: х=11.

ОДЗ:  х-7≥0 х≥7   

Квадратный корень всегда неотрицателен, значит 13-х>0.

Ответ: х=11.

в) + =0

Так как система, достаточно решить одно из уравнений и проверить, подставив во второе.

х +3х-4=0       а+в+с=0 х =1,  х = , значит х =-4

х=1:    1 +12 1 -11 1-2=0

х=-4:  (-4)  +12 (-4) -11 (-4)-2 0.    Ответ: х=1.

Вывод: нахождение ОДЗ не всегда является обязательным, часто не нужно, а иногда и невозможно - и всё это без какого бы то ни было ущерба для решения примера. Но я согласен с тем, что на уроках математики от нас требуют нахождения ОДЗ в каждом примере[3].

 Нестандартные уравнения

1)|х+4|=2х-10   ОДЗ: 2х-10 0, х 5

х+4=2х-10

-х-4=2х-10

х-2х=-10-4

-х=-14

х=14

-х-2х=4-10

-3х=-6

х=2, 2 ОДЗ

Ответ: х=14.

2) - =23х-18    ОДЗ:  

Так как полученная система решений не имеет, то область решений не имеет, таким образом, область определения уравнения не содержит ни одного корня, значит, данное уравнение не имеет корней[8].

3) + = -           ОДЗ: х

- = =

+ =

f(x)= +  - возрастает ,    g(x)=  - убывает

(так как если h(x) возрастает, то - убывает).

Уравнение имеет не более одного корня. Метод подбора. Ответ: х=2[4].

4) + + + =2

ОДЗ: х=2,х=0. Подставляем числа 2 и 0 в уравнение.

+ + + =2,  2=2

+ + + .

Ответ: х=2[4].

Глава 3

Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»

 Было дано 10 уравнений, 2 неравенства. Количество учащихся – 28. Справились - 14 %, опасность ОДЗ(учли) – 68 %, необязательность (учли)-36%.

                      

ОДЗ -решение

Опасность ОДЗ

Необязательность

ОДЗ

Нестандартные

уравнения и неравенства

Иррациональные

уравнения

61%

68%

82%

43%

Дробные уравнения

69%

89%

86%

50%

Неравенства

50%

89%

82%

64%

Уравнения, содержащие модуль

86%

96%

43%

61%

Заключение

 Тема работы раскрыта. Цель: выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ – раскрыта. В исследовательской работе рассмотрены уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для выпускников хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ.

Задачи, поставленные в работе, решены. Разобраны стандартные и нестандартные уравнения и неравенства. Проведена практическая работа по теме «ОДЗ. Когда? Зачем и как?» И подведены итоги. Полученные читателями, знания и навыки помогут им решить вопрос- искать ОДЗ или не надо?[10]

Каждому выражению с переменными соответствует область допустимых значений (ОДЗ) переменных, которую ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно учитывать при работе с этим выражением. Акцент на слове «обязательно» сделан не случайно: при решении примеров и задач халатное отношение к ОДЗ может привести к получению неверных результатов.

Овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ[4].

Литература

 М.Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике». М.: «Наука», 1966.

  1. Газета «Математика» №17. 2002.
  2. Г.И. Глейзер «История математики в школе VII-VIII классы». М.: «Просвещение», 1982.
  3. Л.О. Денищева и др. «ЕГЭ. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ» - М.: «Интеллект-центр», 2009.
  4. [Электронный ресурс]/Режим доступа: Материалы сайтов www.fipi.ru, www.eg
  5. Область допустимых значений – есть решение [Электронный ресурс]/Режим доступа: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html
  6. ОДЗ – область допустимых значений, как найти ОДЗ [Электронный ресурс]/Режим доступа: cleverstudents.ru›expressions/odz.html
  7. Область допустимых значений: теория и практика [Электронный ресурс]/Режим доступа: pandia.ru›text/78/083/13650.php
  8. Что такое ОДЗ [Электронный ресурс]/ Режим доступа: www.cleverstudents.ru›odz.html
  9. Что такое ОДЗ и как его искать - объяснение и пример. Электронный ресурс]/ Режим доступа: cos-cos.ru›math/82/

Приложение 1

Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»

Вариант 1

Вариант 2

 

 = 0

9х+  =  + 27

 

 ≤ +

 +  = –1

 

 

│х+14│= 2 – 2х

 

 =

 

8х +  =  – 32

 ≥  +

 

 +  = 1

 = 0

 

│3-х│=1 – 3х

Приложение 2

Ответы к заданиям практической работы «ОДЗ: когда, зачем и как?»

Вариант 1

Вариант 2

Ответ: корней нет

        ОДЗ: х 5

Ответ: х-любое число, кроме х=5

9х+ = +27  ОДЗ: х≠3

Ответ: корней нет

≤+

ОДЗ:→

ОДЗ: х=-3, х=5. Ответ:-3;5.

+=-1

у=  –убывает,

у=  –возрастает

Значит, уравнение имеет не более одного корня.    Ответ: х=6.

ОДЗ: → →х≥5

Ответ:х≥5, х≤-6.

│х+14│=2-2х  ОДЗ:2-2х≥0, х≤1

х=-4, х=16, 16 не принадлежит ОДЗ

Ответ:-4

=

 – убывает,  –возрастает

Уравнение имеет не более одного корня.  Ответ: корней нет.

0,  ОДЗ: х≥3,х≤2

Ответ: х≥3,х≤2

8х+ = -32, ОДЗ: х≠-4.

Ответ:  корней нет.

≥+

ОДЗ:→

х=7, х=1. Ответ: решений нет

+=1

- возрастает, - убывает

Ответ: х=2.

  =0     ОДЗ: х≠15

Ответ: х- любое число, кроме х=15.

│3-х│=1-3х, ОДЗ: 1-3х≥0, х≤

х=-1, х=1 не принадлежит ОДЗ.

 Ответ:  х=-1.

Просмотров работы: 300

school-science.ru

Ответы@Mail.Ru: О.Д.З область допустимых значений

Безобразие! Всё написанное - полный бред! ОДЗ - это МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ переменной (в данном случае х) , при котором выражение становится БЕССМЫСЛЕННЫМ. Бессмысленными считаются выражения, у которых 0 в знаменателе, отрицательное число под корнем, неположительное число под логарифмом и т. д. Найти ОДЗ надо, чтобы исключить его из ответа. Например, есть корень из (х-5) Решаем x-5&lt;=0 получаем х&lt;=5, это и есть ОДЗ.

О! Как все запущено! Долго объяснять...

Чтобы ответ-квадрат случайно со всеми вычетами отрицательным не стал ну или больше положительного если ветви параболлы вверх или вниз...

это те значения неизвестного, при которых неравенство неверно, т е чему х не может быть равен. например если в знаменателе дроби стоит х-2 то х не может быть равен двум. тк знаменатель не может быть равен нулю

Ну правильно, это область допустимых значений! Чтобы его найти, нужно неравенство приравнять к нулю и решить. И потом ответ окончательный не должен совпадать с ОДЗ.

т.е. примерно так : х (в квадрате) + bx + c больше или меньше 0 ? Тогда надо решить это уравнение, и вместо уже решенного уравнения поставить в неравенство корни ( в левую его часть), потом на оси найти это как раз допустимое значение. Примерно так. Но лучше показывать (посмотри пример в книге).

Какой конкретно пример?

с ОДЗ надо осторожней (не пропускать где надо)

ОДЗ это область допустимого значения! Нам дана дробь 6-5 x-3 Чтобы найти ОДЗ надо к х-3 дописать =0! Получится х-3=0 и решать как обычное уравнение. Находишь х и пишешь ОДЗ- любое число кроме того числа получившегося вместо х в уравнении! ВСЕ

touch.otvet.mail.ru

ОДЗ уравнения - конечное число значений

Если ОДЗ уравнения состоит из конечного числа значений, достаточно подставить каждое значение в уравнение, чтобы проверить, является ли это значение корнем.

Примеры применения конечной ОДЗ к решению уравнений.  

   

Под знаком корня чётной степени должно стоять неотрицательное число, поэтому

   

Первое неравенство — квадратичное, решаем его методом интервалов. Второе — линейное.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

ОДЗ состоит из единственного значения: {3}.

Остаётся выполнить проверку, является ли 3 корнем уравнения:

   

   

Получили верное равенство, следовательно, x=3 — корень данного уравнения.

Ответ: 3.

   

Под знаком квадратного корня должно стоять неотрицательное число. Отсюда ОДЗ

   

Первые два неравенства — квадратичные. Решаем их методом интервалов. Третье — линейное. Отмечаем решение каждого неравенства на числовой прямой и находим пересечение решений:

ОДЗ состоит из двух значений: {2; 3}.

Выполним проверку.

При x=2

   

   

При x=3

   

   

Таким образом, данное уравнение имеет единственный корень x=3.

Ответ:3.

   

Область допустимых значений арксинуса — закрытый промежуток от -1 до  1. В основании степени с нецелым положительным показателем должно стоять неотрицательное число. ОДЗ:

   

Таким образом, область допустимых значений уравнения состоит из одного значения:{1}. Остаётся проверить, является ли x=1 корнем данного уравнения.

   

   

   

Ответ: 1.
Если ОДЗ уравнения состоит из одного или нескольких чисел, этот способ может помочь легко и быстро справиться с заданием.

Как и другие способы решения уравнений, основанные на свойствах функций, применение конечного числа значений часто ОДЗ позволяет решить достаточно сложные нестандартные задания. И хотя в школьном курсе алгебры он проявляется не часто, полезно его помнить и уметь применять.

www.algebraclass.ru

Вопросы, связанные с ОДЗ : Школьная алгебра

Спасибо за ответ.

Цитата:

Находить ОДЗ иногда весьма хлопотно и достаточно лишь указать его в виде неравенства.


То есть действительно достаточно лишь подставить после решения для проверки?

Цитата:

При решении уравнений необходимо также показать, что получаемое уравнение является следствием предыдущего, то есть нет потерянных корней.


А вот этого я не понял. Что в моем случае не было показано?


С этим всё таки что-то сделать можно? Даже если не нужно, то возможно ли?

И почему ответ не подходит?

-- 11.03.2012, 19:08 --

Цитата:

Квадратный корень из положительного числа по определению число положительное.


Почему? Насколько я знаю, корень из, к примеру, - это и . Нет?

-- 11.03.2012, 19:10 --

И ещё... В каких случаях нужно рассматривать правую часть ?

-- 11.03.2012, 19:12 --

Цитата:

В простых случаях лучше находить ОДЗ и выполнять только равносильные преобразования даже для уравнений. Это надёжнее и математически культурнее.


Я, возможно, глуповат, но не понимаю, что вы имеете в виду. Я привык наглядный пример видеть, поэтому не сразу понимаю. Извините.

dxdy.ru

Author: alexxlab

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о