Геометрический и физический смысл производной – 3. Производная функции в точке. Правила, дифференцирования.

3. Производная функции в точке. Правила, дифференцирования.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

4.Производная сложной и обратной функции.

Пусть теперь задана сложная функция , т.е. переменная  есть функция переменной , а переменная  есть, в свою очередь, функция от независимой переменной .

Теорема. Если  и   дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция  является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной:

.

Утверждение легко получается из очевидного равенства  (справедливого при  и ) предельным переходом при  (что в силу непрерывности дифференцируемой функции влечет 

).

Перейдем к рассмотрению производной обратной функции.

Пусть на множестве  дифференцируемая функция   имеет множество значений  и на множестве  существует обратная функция .

Теорема. Если в точке  производная , то производная обратной функции  в точке  существует и равна обратной величине производной данной функции: , или

.

Эта формула легко получается из геометрических соображений.

Так как  есть тангенс угла наклона касательной линии  к оси , то  есть тангенс угла наклона той же касательной (той же линии 

) в той же точке  к оси . 

Если  и  острые, то , а если тупые, то .

В обоих случаях . Этому равенству и равносильно равенство

.

 

5.Геометрический и физический смысл производной.

1) Физический смысл производной. 

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная– скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке.  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная– скорость в момент времени.  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то– скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени.

2) Геометрический смысл производной.

Пусть – некоторая кривая,– точка на кривой.

Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой в точкеназывается предельное положение секущей,  если точкастремится к,  двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная

Рассмотрим кривую y = f(x)  (т.е. график функции  y = f(x)).  Пусть в точке он имеет невертикальную касательную.  Ее уравнение:(уравнение прямой, проходящей через точкуи имеющую угловой коэффициент  k).

По определению углового коэффициента , где– угол наклона прямойк оси.

Пусть– угол наклона секущейк оси,  где. Так как– касательная, то при

⇒⇒.

Следовательно,

.

Таким образом, получили, что– угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке(геометрический смысл производной функции в точке).  Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точкеможно записать в виде

studfiles.net

Производная функции. Геометрический и физический смысл

Категория: Справочные материалы

Елена Репина 2013-08-06 2014-01-11

Определение производной

 

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует.

 

 

 

 

Пример: 

Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…

Работу нам упростит таблица производных и правила дифференцирования.

 

Геометрический смысл производной

Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник , то заметим, что есть .

А при стремлении к нулю, точка будет приближаться к точке и секущая «превратится» в касательную к графику функции в точке .

 

Поэтому геометрический смысл производной таков:

Производная  в точке  () равна тангенсу угла   наклона   касательной к графику функции в этой точке:

,

где – угол наклона касательной (проведенной  к в т. )

 

Физический смысл производной

 

Если точка движется вдоль оси и ее координаты изменяются по закону , то мгновенная скорость точки:

,

а ускорение:

Пример:

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени .

Решение:

м/с

Ответ: 60.

Уравнение касательной

 

Уравнение касательной к графику в точке :

Пример:

Составить уравнение касательной к графику функции  в точке .

Решение:

1.

2.

3.

Ответ:

Смотрите также  «Производная функции в точке. Знак производной и монотонность функции»

Автор: egeMax | Нет комментариев

egemaximum.ru

Геометрический и физический смысл производной

Геометрически производная функциипредставляет угловой коэффициенткасательной к графику этой функции в точке

.

Если на плоскости задана точка и кривая как график явной функциито:

— уравнение касательной в точке с абсциссой ,

, — уравнение нормали в точке с абсциссой. Если, то уравнения касательной и нормали имеют вид соответственно:,

.

При параметрическом задании кривой уравнения касательной и нормали записываются соответственно:

, ,

, .

Угол между кривыми ив точке их пересечения – это угол между касательными к этим кривым в точке. Этот угол находится по формуле:.

Если в точке производная не определена, но функция имеет различные односторонние пределыи, то в этой точке графика функции существуют две различные с соответствующими угловыми коэффициентами,односторонние касательные, составляющие угол, а точка называетсяугловой.

Если , т.е. функция имеет бесконечную производную, то она не дифференцируема в этой точке. В этом случае график функции имеет вертикальную касательную (точка перегиба).

Если в точке функция имеет бесконечные односторонние производные разных знаков, то график функции имеет две слившиеся вертикальные касательные (асимптоты).

Если при прямолинейном движении точки задан закон движения , то скорость движения в моментесть производная пути по времени:, ускорение в моментесть.

При движении точки по окружности: угловая скорость вращения в данный момент равна производной от угла поворотапо времени:. Угловое ускорение точки есть первая производная от угловой скоростиили вторая производная от угла поворота по времени.

Сила тока в данный момент времени равна производной от количества протекшего электричества по времени: .

Химическое истолкование производной. Пусть — концентрация вещества, получаемого в ходе химической реакции в момент времени. Тогда- скорость реакции в момент.

Пример 1. В точках пересечения эллипсов ,найти угол между ними.

Решение: Эллипсы расположены симметрично относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим только первый квадрат координатной плоскости.

Решив систему найдем точку пересечения эллипсов. Из уравнения первого эллипса получаем, т.е.. Следовательно. Аналогично, для второго эллипса получим. По формуле,получим:.

Итак, эллипсы пересекаются в четырех точках под углом , т.е. под углом, равным приблизительно.

Пример 2. Высота снаряда, вылетевшего с начальной скоростьюпод угломк горизонту, изменяется по закону, где— время,— ускорение силы тяжести. В какой момент скорость изменения высоты снаряда над горизонтом равна нулю?

Решение: Вычислим производную функции .

Следовательно, скорость изменения высоты снаряда нал горизонтом равна нулю при .

Найти уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:

1. ,.

2. ,. Ответ:,.

3. ,.

4. .

5. к эллипсу ,.

6. ,. Ответ:.

7. ; . Ответ: .

8. , . Ответ: .

9. , . Ответ: .

10. , . Ответ: .

11. , . Ответ:.

12. , . Ответ: .

13. , . Ответ: .

14. Ответ: .

15. . Ответ: .

16. Найти углы, под которыми пересекаются линии, заданные уравнениями и. Ответ:,.

17. Найти угол между кривыми:

a) и. Ответ:.

b) и. Ответ:.

Найти углы, под которыми график функции пересекает ось абсцисс:

18. . Ответ:.

19. . Ответ: В точкахсинусоида

пересекает ось абсцисс под углом .

20. . Ответ: В точкахугол,

в точках угол.

21. . Ответ:.

22. .

Ответ: в точке угол, в точкеугол.

23. . Ответ:.

24. . Ответ:.

25. .

Ответ: в точках иугол,

в точке угол.

26. .

Ответ: в точке угол,

в точке угол.

27. Ответ:.

28. Ответ: 0.

29. .

Ответ: в точке угол,

в точке угол.

Найти точки, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс:

30. . Ответ: (-1;14), (2;-13).

31. . Ответ: (0;-1), (1;-6), (-2;-33).

32. . Ответ: (-1;-58), (1;54), (7;-2106).

33. . Ответ: .

34. . Ответ: .

35. . Ответ: .

36. . Ответ: .

37. Ответ: .

38. . Ответ: .

39. На кривой найти точку, в которой касательная параллельна прямой. Ответ:.

40. Найти точку линии , в которой касательная перпендикулярна прямой, составить уравнение этой касательной. Сделать чертеж. Ответ:.

41. Точка движется вдоль прямой по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент времени.

Ответ: .

42. Угол поворота шкива в зависимости от времени задан формулой . Найти угловую скорость и ускорение при.

Ответ: угловая скорость равна ,

а угловое ускорение не зависит от времени и равно .

Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые:

43. , . Ответ: .

44. , . Ответ: .

45. , . Ответ: .

46. , . Ответ: .

47. , . Ответ: .

48. , . Ответ: .

49. , . Ответ: .

50. , . Ответ: .

51. и . Ответ: .

52. и . Ответ: .

53. Найти уравнение нормали к эллипсу в точке.Ответ: .

54. Найти уравнение нормали к гиперболе в точке.

Ответ:.

Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания для следующих кривых:

55. Спирали Архимеда . Ответ:.

56. Гиперболической спирали . Ответ:.

57. Логарифмической спирали . Ответ:.

58. Кардиоиды . Ответ:.

59. Дуги лемнискаты Бернулли . Ответ:.

60. Точка движется по параболе так, что ее абсцисса изменяется по закону(измеряется в метрах,— в секундах). Какова скорость изменения ординаты точки через 9 с после начала движения? Ответ:.

61. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5. Какова скорость изменения объема шара в момент, когда его радиус становится равным 50? Ответ: 0,05.

62. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот сделан за 8 с. Найти угловую скорость через 64 с после начала движения. Ответ: .

63. По оси абсцисс движутся две точки, имеющие законы движения: и. С какой скоростью удаляются они друг от друга в момент встречи (измеряется в метрах,— в секундах)? Ответ:.

64. Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 3. Определить скорость движения парома в тот момент, когда он находится в 25 м от берега, если ворот расположен на берегу выше поверхности воды на 4м.

Ответ: .

65. Под каким углом пересекаются кривые ив точке (1;1)? Ответ:.

66. Определить среднюю скорость изменения функции на отрезке. Ответ:.

67. Найти расстояние от полюса до произвольной касательной кривой . Ответ:.

68. Записать в декартовых и в полярных координатах уравнение нормали к кардиоиде в точке с полярным углом.

Ответ: ,.

69. Точка движется по спирали Архимеда так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса постоянна и равнав секунду. Определить скорость удлинения полярного радиуса, если. Ответ:.

studfiles.net

Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной

На уроке изучается тема «Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной». На этом занятии вы узнаете, что представляет собой производная и какое место она занимает в геометрии и физике. На  примерах разбирается алгоритм нахождения производной.

Тема: Производная

Урок: Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной

Рис. 1. График функции .

Рассмотрим функцию , ее график и дадим физическую интерпретацию.

Построим систему координат и кривую  (см. рис.1), где

 независимая переменная или аргумент (время),

 – зависимая переменная или функция (расстояние),

 – закон или правило, по которому каждому значению  ставится в соответствие только одно значение .

Зафиксируем момент времени  (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по заданному закону  , т.е. имеем точку . Эта точка показывает, что в данный момент времени , расстояние —  . Дадим аргументу приращение , т.е. прошло некоторое время . Момент времени, который будет рассматриваться  — это  .

Рис. 2. Секущая к графику функции .

 – приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.

Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) — . Это расстояние можно вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась точка . В результате получилась секущая , которая наклонена к оси   под углом .

 – секущая,  – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси .

Рассмотрим треугольник  (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол —  угол  наклона секущей. Один из катетов — это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.

Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента.

Величина  называется  – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени

.

Рассмотрим отношение  , где  – приращение функции,  – приращение аргумента (см. рис.4).

Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость . В этом заключается физический смысл отношения  .

Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения   .

С другой стороны отношение катета  к катету  – это тангенс угла  – тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения   – это тангенс угла наклона секущей  .

Пусть . Понятно, что и . Точка  будет стремиться к точке , а положение секущей  будет стремиться занять положение касательной в точке  к кривой   (см. рис.4). Имеем

Зафиксируем эту касательную,  – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать точку , то отношение   зависит только от величины .

Если отношение    при  стремится к какому-то числу, то это число называется производной функции  в точке  и обозначается .

Определение. Производной функции  в точке  называется число, к которому стремится разностное соотношение    при .

Определение производной с помощью пределов.

Предел при  разностного отношения  , если он существует, называется производной функции в точке  и обозначается .

, где  – мгновенная скорость в момент . В этом заключается физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона касательной , где  — угол наклона касательной к кривой  в точке с абсциссой .

Для того чтобы найти  нужно:

1) Задать приращение

interneturok.ru

Производная, Геометрический смысл производной | univer-nn.ru

Перед прочтением информации на текущей странице советуем посмотреть видео о производной и её геометрическом смысле

Также смотрите пример вычисления производной в точке Касательной к линии l в точке М0 называется прямая М0Т — предельное положение секущей М0М, когда точка М стремится к М0 вдоль данной линии (т. е. угол устремится к нулю) произвольным образом. Производной функции у = f{x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производную функции у = f{x) в точке х0 в контрольных по математике и учебниках обозначают символом f'(x0). Следовательно, по определению Термин «производная» (а также «вторая производная») ввел Ж. Лагранж (1797), к тому же он дал обозначения y’, f’(x), f”(x) (1770,1779). Обозначение dy/dx впервые встречается у Лейбница (1675).

Геометрический смысл производной

Производная функции y = f(х) при х = xо равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке Мо(хо, f(xо)), т. е.

где а — угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат. Уравнение касательной к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо ) принимает вид Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f(x0) не равно 0, то уравнение нормали к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо) запишется так:

Физический смысл производной

Если x = f(t) — закон прямолинейного движения точки, то x’ = f’(t) — скорость этого движения в момент времени t. Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

Если отношение dy/dх при х->х0 имеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными.

Очевидно, функция f{x) определенная в некоторой окрестности точки х0, имеет производную f’{x) тогда и только тогда, когда односторонние производные существуют и равны между собой.

Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной к графику распространяется и на этот случай: касательная в данном случае параллельна оси Оу.

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке. Если промежуток является замкнутым, то на концах его имеются односторонние производные.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

univer-nn.ru

2.2. Геометрический и физический смысл производной

Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке x₀. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке М₀(x₀, у₀), уравнение которой имеет вид

.

При этом , где – угол наклона этой касательной к положительному направлению оси ОХ (рис. 2.1).

Геометрически, чтобы провести касательную, надо к графику кривой приставить линейку так, чтобы она коснулась графика в выбранной точке.

Геометрический смысл: угловой коэффициент касательной, приведенной к графику функции y=f(x) в точке x₀ равен значению производной функции в этой точке.

Физический смысл: скорость тела равна первой производной координаты по времени:

V(t)=x ^/ (t). (2.1)

Соответственно, вторая производная функции – скорость изменения скорости, т.е. ускорение:

a(t)= V ^/ (t)=x ^// (t). (2.2)

2.3. Таблица производных

1. С  = 0, где С–постоянная

2. (x^m) = mx^m–1

3. 

4. 

6. 

7. 

8. 

11. 

12. 

15. 

2.4. Основные правила дифференцирования

Пусть u и v – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда

1. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме их производных:

(u+v) ′=u′+v′

2. Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по следующему правилу: (uv) ′=u′v+uv′, в частности (Cu) ′=Cu′, С=const (постоянный множитель можно выносить за знак производной)

3. Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по следующему правилу:

, где v  0

4. Производная сложной функции равна производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной: y′_x=y′_{u ·} u′_x, где и – промежуточный аргумент.

2.5. Производные высших порядков

Производная f′ (x) от функции f(x) называется также производной первого порядка. В свою очередь производная от функции f′ (x) тоже является функцией от x , поэтому также может быть дифференцируема и называется производной второго порядка от функции f(x) (или просто второй производной).

Вторая производная обозначается символами: f′′(х) (читается: «эф два штриха от икс») или («дэ два эф по дэ икс дважды»).

Исходя из определения второй производной, можно записать: .

Аналогично определяется третья производная:

= и т.д.

Производная п-ного порядка обозначается .

2.6. Дифференциал функции

Если функция f(х) дифференцируема в точке х₀, то ее приращение можно представить в виде

Δf(х₀) = f ^/(x₀)Δх + α(Δх) Δх. (2.3)

В этом случае выражение f ^/(x₀)Δх, линейно зависящее от Δх, называется дифференциалом функции f(х) в точке х₀ и обозначается символом df(x):

df(x) = f ‘(x₀)·Δx.

Дифференциал функции равен произведению производной функции на приращение ее аргумента.

Термин «дифференциал» происходит от латинского слова differentia, означающего различие.

Дифференциал функции есть главная часть приращения функции. В этом состоит аналитический смысл дифференциала.

Дифференциал аргумента dx равен его приращению ∆x: dx=∆x. Поэтому можно записать df=f ^/(x)dx (дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента).

Если приращение аргумента ∆x близко к нулю (достаточно мало), то приращение функции Δf приближенно равно ее дифференциалу, т.е. Δf df, откуда f(х₀ +∆x) ≈ f ^/(x₀)+df или

f(х₀ +∆x) ≈ f ^/(x₀)+f ^/(x₀) ∆x (2.4)

Формула (2) используется для приближенного вычисления значения функции f(x) в точке x₀+∆x по известному значению этой функции и ее производной в точке x₀.

studfiles.net

41. Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференциирования. Таблица производных.

Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (1 семестр) » 41. Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференциирования. Таблица производных.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Определение

 

Пусть в некоторой окрестности точки 

определена функция 

Производной функции называется такое числоА , что функцию в окрестности U(x0) можно представить в виде f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h) если А существует.

Дифференцируемость

Основная статья: Дифференцируемая функция

 

Производная

функции f в точке x0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x0 функции f в окрестности U(x0) справедливо представление

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

 

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Основная статья: Касательная прямая

 

Если функция 

имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией

Функция fl называется касательной к f в точке x0. Число 

является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

 

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s»(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.

 

Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

Производные высших порядков

 

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем  Если функция f дифференцируема в x0, то производная первого порядка определяется соотношением  Пусть теперь производная n-го порядка f(n) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема. Тогда 

Если функция

имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от 

может иметь в некоторой точке

частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции 

эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

C’ = 0

x’ = 1

Если функция задана параметрически:

 

---

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

it-iatu.ru