Задачи на производные: Задачи с производными

Таблица производных, правила нахождения производных

Таблица производных основных функций

---

Основные правила нахождения производной

---

Если  – постоянная и ,  – функции, имеющие производные, то

 

1) Производная от постоянного числа равна нулю. 

 

2) Производная от переменной равна единице

 

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

3) Производная суммы равна сумме производных

Пример 1

Найдем производную функции

4) Производная произведения постоянной на некоторую функцию равна произведению этой постоянной на производную от заданной функции.

Пример 2

Найдем производную функции

5) Производная произведения функций

Пример 3

Найдем производную функции

6) Производная частного:

Пример 4

Найдем производную функции

Правило дифференцирования сложной функции

---

или в других обозначениях:

Пример 5

Найдем производную функции 

Пример 6

Найдем производную функции

Логарифмическая производная

---

Логарифмической производной функции  называется производная от логарифма этой функции, то есть:

Применение предварительного логарифмирования функции иногда упрощает нахождение ее производной.

Пример 7

Найдем производную функции 

Прологарифмируем заданную функцию:

Искомая производная:

Производная обратной функции

---

Если для функции  производная , то производная обратной функции  есть

или в других обозначениях:

Пример 8

Найдем производную , если

Имеем:

Следовательно:

Производная функции, заданной параметрически

---

Если зависимость функции  и аргумента  задана посредством параметра

то

или в других обозначениях:

Пример 9

Найдем производную функции 

 

Воспользуемся формулой:

Производная неявной функции

Если зависимость между  и  задана в неявной форме

    (*)

то для нахождения производной  в простейших случаях достаточно:

1) вычислить производную по  от левой части равенства (*), считая  функцией от ;

2) приравнять эту производную к нулю, то есть положить:

3) решить полученное уравнение относительно .

 

Пример 10

Найдем производную  функции   

Вычисляем производную от левой части равенства:

Решаем уравнение относительно :

Искомая производная:

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

25 лет я занимаюсь решением задач и потратил на это кучу времени. Вы можете освободить свое, стоит только обратиться за помощью.

Задание 6. Физический смысл производной

15 мая 2014

Иногда в задаче 6 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» заданий 6.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=x\left( t \right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:

\[v={S}’={x}’\left( t \right)\]

Точно так же мы можем посчитать и ускорение:

\[a={v}’={{S}’}’={{x}’}’\left( t \right)\]

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной.

{2}}=0\]

\[t-4=0\]

\[t=4\]

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

Смотрите также:

1. Не допускайте таких ошибок, когда видите график производной в задаче 6 из ЕГЭ по математике!
2. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и квадратичная функция с параметром
3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
4. Комбинаторика в задаче B6: средний тест
5. Как решать задачи про летающие камни?
6. B4: счетчики на электричество

Бесплатный вебинар «Производные»

Главная > О Центре > События

Что такое производная функции? Как вычислять производную функции? Узнайте на нашем открытом занятии!

3 сентября 2017 года центр компьютерного обучения «Специалист» при МГТУ имени Н.Э. Баумана проведет бесплатный вебинар «Производные». Занятие будет интересно школьникам и абитуриентам, которые хотят повысить уровень своих знаний по математике и потренироваться в решении типовых задач ЕГЭ.

Производная – одно из центральных понятий математики. Задания на вычисление производных обязательно встретятся на государственном экзамене по математике как базового, так и профильного уровня. В ходе вебинара вы обобщите и систематизируете знания по теме, научитесь решать типовые задачи из ЕГЭ и узнаете о распространенных ошибках учеников прошлых лет.

Многие школьники испытывают трудности при взятии производных сложных функций. На вебинаре будет показаны примеры, как это легче сделать. Особое внимание будет уделено задачам типа «картинка». Эти задачи совсем не сложные, но сколько досадных ошибок в них делают! Речь пойдет также и о решении 12-й задачи («макс/минимум»), а именно — о методах подгона и здравого смысла. Школьникам, которые собираются идти на технические, математические, экономические специальности, без отличного знания производной будет очень грустно в вузе, ибо весь курс высшей математики завязан на этой теме.

Проведет вебинар высококвалифицированный преподаватель математики, специалист по ЕГЭ и ОГЭ Буданова Ирина Сергеевна. Ирина Сергеевна более 25 лет занимается подготовкой студентов и школьников к экзаменам по математике. Все ее ученики уверенно сдают ЕГЭ и успешно поступают в вузы. Она умело сочетает доброжелательность с высокой требовательностью, умеет найти подход к каждому школьнику, доступно преподносит материал. О ее профессиональных качествах красноречиво говорят множество восторженных отзывов.

Хотите без труда решать задачи на вычисление производных? Регистрируйтесь на бесплатный вебинар! Количество мест в аудитории ограничено!

24.08.2017

Если Вас заинтересовала тема семинара, и хочется узнать больше — получите полноценное образование на следующих курсахСортировать:по датепо возрастанию ценыпо убыванию ценыпо популярностипо новинкампо скидке

Главная > О Центре > События

ПРОИЗВОДНАЯ – Репетитор по математике

Решим задачу: Первичная информация разделяется по серверам и №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объеме Гб входящей в него информации выходит , а с сервера №2 при объеме Гб входящей в него информации выходит Гб обработанной информации; . Каков наибольший объем выходящей информации при общем объеме входящей информации 3364 Гб?

Итак, мы имеем два преобразователя, в которых подаем на вход некоторый объем данных, и получаем на выходе некоторый объем данных. Другими словами, мы имеем дело с числовой функцией:

То, что мы подаем на вход преобразователя — аргумент функции, или независимая переменная, а то, что получается на выходе — значение функции. Выразим значение функции через значение аргумента. Пусть , тогда . Получаем:

По условию задачи информация разделяется по серверам и №1 и №2, причем общий объеме входящей информации 3364 Гб. Пусть на первый сервер попадает Гб  информации, тогда на второй попадает Гб:

Тогда весь объем информации, выходящей с обоих серверов равен

По условию задачи нужно найти наибольший объем выходящей информации. Введем функцию .

По условию задачи , следовательно . Отсюда

Найдем наибольшее значение  функции на отрезке [].

Будем следовать стандартному алгоритму.

1. Найдем производную функции

2. Найдем нули производной.

Дробь  равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен.

. Легко проверить, что это значение принадлежит отрезку [].

3. Определим знаки производной на отрезке []. Для этого найдем ее значение в правом конце отрезка:

Получаем, что справа от точки производная меньше нуля. Получили, что в точке производная функции меняет знак с «+» на «-«, следовательно это точка максимума функции, и функция принимает в этой точке наибольшее значение на отрезке [].

Найдем значение функции в точке .

Ответ: 1682

Физический смысл производной функции. Задачи на физический смысл производной: примеры решения

Математические задачи находят своё применение во многих науках. К таковым следует отнести не только физику, химию, технику и экономику, но также медицину, экологию и прочие дисциплины. Одним из важных понятий, которое следует освоить, чтобы находить решения важных дилемм, является производная функции. Физический смысл её объяснить совсем не так сложно, как может показаться непосвящённому в суть вопроса. Достаточно лишь найти подходящие примеры тому в реальной жизни и обычных бытовых ситуациях. На самом деле любой автомобилист справляется с подобной задачей каждый день, когда смотрит на спидометр, определяя скорость своей машины в конкретное мгновение фиксированного времени. Ведь именно в этом параметре заключена суть физического смысла производной.

Как найти скорость

Определить скорость движения человека по дороге, зная пройденное расстояние и время в пути, с лёгкостью может любой пятиклассник. Для этого следует первую из заданных величин разделить на вторую. Но не каждый из юных математиков знает о том, что в данный момент находит отношение приращений функции и аргумента. Действительно, если представить движение в виде графика, откладывая по оси ординат путь, а по абсциссе — время, это будет именно так.

Однако скорость пешехода или любого другого объекта, которую мы определяем на большом участке пути, считая движение равномерным, вполне может меняться. В физике известно множество форм движения. Оно может совершаться не только с постоянным ускорением, но замедляться и возрастать произвольным образом. Следует обратить внимание, что в данном случае линией, описывающей перемещение, будет уже не прямая. Графически она может принимать самые сложные конфигурации. Но для любой из точек графика мы всегда можем провести касательную, представленную линейной функцией.

Для уточнения параметра изменения перемещения в зависимости от времени приходится сокращать измеряемые отрезки. Когда же они станут бесконечно малыми, вычисляемая скорость окажется мгновенной. Данный опыт помогает нам дать определение производной. Физический смысл её также логически вытекает из подобных рассуждений.

С точки зрения геометрии

Известно, что чем больше скорость тела, тем круче график зависимости перемещения от времени, а значит, и угол наклона касательной к графику в какой-то определённой точке. Показателем подобных изменений может стать тангенс угла между осью абсцисс и линией касательной. Как раз он определяет значение производной и вычисляется отношением длин противолежащего к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике, образованном перпендикуляром, опущенным из некоторой точки на ось абсцисс.

В этом заключается геометрический смысл первой производной. Физический же раскрывается в том, что величина противолежащего катета в нашем случае представляет собой пройденный путь, а прилежащего – время. При этом отношением их является скорость. И снова мы приходим к выводу, что мгновенная скорость, определяемая при стремлении обоих промежутков к бесконечно малому, и является сутью понятия производной, указывая на её физический смысл. Второй производной в данном примере будет ускорение тела, демонстрирующее, в свою очередь, степень изменения скорости.

Примеры нахождения производных в физике

Производная – это показатель скорости изменения любой функции, даже когда речь не идёт о движении в прямом смысле слова. Чтобы наглядно продемонстрировать это, приведём несколько конкретных примеров. Допустим, сила тока, завися от времени, изменяется согласно следующему закону: I = 0,4t². Требуется найти значение скорости, с которой происходит изменение этого параметра в конце 8-й секунды процесса. Заметим, что сама искомая величина, как можно судить из уравнения, постоянно возрастает.

Для решения требуется найти первую производную, физический смысл которой был рассмотрен ранее. Здесь dI/dt = 0,8t. Далее найдём оную при t=8, получим, что скорость, с которой происходит изменение силы тока, равна 6,4 A/c. Здесь считается, что сила тока измеряется в амперах, а время, соответственно, в секундах.

Всё изменчиво

Видимый окружающий мир, состоящий из материи, постоянно претерпевает изменения, находясь в движении протекающих в нём разнообразных процессов. Для описания их можно использовать самые разные параметры. Если они объединены зависимостью, то математически записываются в виде функции, наглядно показывающей их изменения. А где есть движение (в каком бы виде оно ни выражалось), там существует и производная, физический смысл которой мы и рассматриваем в настоящий момент.

По этому поводу следующий пример. Допустим, температура тела изменяется по закону T=0,2t². Следует найти скорость его нагревания в конце 10-й секунды. Решение задачи производится способом, аналогичным описанному в предыдущем случае. То есть мы находим производную и подставляем в неё значение для t = 10, получаем T = 0,4t = 4. Значит, окончательным ответом считается 4 градуса за секунду, то есть процесс нагревания и изменение температуры, измеряемой в градусах, происходит именно с такой скоростью.

Решение практических задач

Конечно, в реальной жизни всё бывает гораздо сложнее, чем в теоретических задачах. На практике значение величин определяется обычно в ходе эксперимента. При этом используются приборы, которые выдают показания при измерениях с определённой погрешностью. Поэтому при вычислениях приходится иметь дело с приближёнными значениями параметров и прибегать к округлениям неудобных чисел, а также другим упрощениям. Приняв это ко вниманию, снова приступим к задачам на физический смысл производной, учитывая, что они являются лишь некоей математической моделью происходящих в природе сложнейших процессов.

Извержение вулкана

Представим, что происходит извержение вулкана. Насколько он может быть опасен? Для выяснения этого вопроса необходимо рассмотреть множество факторов. Мы постараемся учесть один из них.

Из жерла «огненного чудовища» выбрасываются вертикально вверх камни, имеющие начальную скорость с момента выхода наружу 120 м/с. Необходимо просчитать, какой они могут достигнуть максимальной высоты.

Для нахождения искомого значения составим уравнение зависимости высоты H, измеряемой в метрах, от прочих величин. К таковым относятся начальная скорость и время. Значение ускорения считаем известным и приблизительно равным 10 м/с².

Частная производная

Рассмотрим теперь физический смысл производной функции немного с другой стороны, ведь само уравнение может содержать не одну, а несколько переменных. К примеру, в предыдущей задаче зависимость высоты подъёма камней, выбрасываемых из жерла вулкана, определялась не только изменением временных характеристик, но и значением начальной скорости. Последняя считалась постоянной, фиксированной величиной. Но в других задачах с совершенно иными условиями всё могло быть иначе. Если величин, от которых зависит сложная функция, несколько, расчёты производятся согласно указанным ниже формулам.

Физический смысл частой производной следует определять, как и в обычном случае. Это скорость изменения функции в некоторой определённой точке при росте параметра переменной. Она вычисляется таким образом, что все остальные составляющие принимаются за постоянные, лишь только один рассматривается как переменная. Далее всё происходит по обычным правилам.

Незаменимый советник по многим вопросам

Понимая физический смысл производной, примеры решения запутанных и сложных проблем, ответ в которых позволяют найти подобные знания, привести несложно. Если у нас есть функция, описывающая расход горючего в зависимости от скорости автомобиля, можем рассчитать, при каких параметрах последней расход бензина будет наименьшим.

В медицине можно предвидеть, каким образом будет реагировать человеческий организм на прописанное врачом лекарство. Приём препарата сказывается на самых разных физиологических показателях. К ним относятся изменения артериального давления, пульса, температуры тела и многого другого. Все они зависят от дозы принимаемого лекарственного средства. Данные расчёты помогают предвидеть ход лечения, как в благоприятных проявлениях, так и в нежелательных случайностях, способных фатальным образом отразиться на изменениях в организме больного.

Несомненно, важным оказывается понимание физического смысла производной в технических вопросах, в частности в электротехнике, электронике, конструировании и строительстве.

Тормозной путь

Рассмотрим очередную задачу. Двигаясь с постоянной скоростью, автомобиль, приближаясь к мосту, за 10 секунд до въезда вынужден был затормозить, так как водитель заметил дорожный знак, запрещающий движение со скоростью более 36 км/час. Не нарушил ли правила шофёр, если тормозной путь его можно описать формулой S = 26t – t²?

Вычислив первую производную, найдём формулу для скорости, получим v = 28 – 2t. Далее подставим в указанное выражение значение t=10.

Так как эта величина была выражена в секундах, скорость оказывается равной 8 м/с, а значит, 28,8 км/час. Это даёт возможность понять, что шофёр начал тормозить вовремя и не нарушил правила движения, а значит, и предел указанной на знаке скорости.

Подобное доказывает важность физического смысла производной. Пример решения данной задачи демонстрирует широту использования этого понятия в самых разных сферах жизни. В том числе и в бытовых ситуациях.

Производная в экономике

До XIX столетия экономисты в основном оперировали средними величинами, будь то производительность труда или цена на выпускаемую продукцию. Но с некоторого момента для составления эффективных прогнозов в данной области больше стали необходимы предельные величины. К таковым можно отнести предельную полезность, доход или издержки. Понимание этого дало толчок к созданию совершенно нового инструмента в экономических исследованиях, который существует и развивается вот уже более ста лет.

Для составления подобных расчётов, где главенствуют такие понятия, как минимум и максимум, просто необходимо понимание геометрического и физического смысла производной. Среди создателей теоретической основы указанных дисциплин можно назвать таких видных английских и австрийских экономистов, как У. С. Джевонс, К. Менгер и других. Конечно, предельные величины в экономических выкладках не всегда использовать удобно. А, к примеру, квартальные отчёты не обязательно укладываются в существующую схему, но всё же применение подобной теории во многих случаях бывает полезно и эффективно.

Исчисление I — Производные (практические задачи)

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т. е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Глава 3: Деривативы

Вот набор практических задач для главы «Производные» заметок «Исчисление I».

1. Если вам нужен документ в формате pdf, содержащий решения, вкладка загрузки выше содержит ссылки на файлы PDF, содержащие решения для полной книги, главы и раздела.В настоящее время я не предлагаю PDF-файлы для решения отдельных проблем.
2. Если вы хотите просмотреть решения в Интернете, перейдите на веб-страницу набора задач, щелкните ссылку решения любой проблемы, и вы перейдете к решению этой проблемы.

Обратите внимание, что в некоторых разделах будет больше проблем, чем в других, а в некоторых будет более или менее разнообразных проблем. В большинстве разделов должны быть заданы разные уровни сложности, хотя от раздела к разделу он будет меняться.

Вот список всех разделов, для которых были написаны практические задачи, а также краткое описание материала, содержащегося в примечаниях к этому конкретному разделу.

Определение производной — В этом разделе мы определяем производную, даем различные обозначения для производной и решаем несколько задач, демонстрирующих, как использовать определение производной для фактического вычисления производной функции.

Интерпретация производной — В этом разделе мы даем несколько наиболее важных интерпретаций производной.Мы обсуждаем скорость изменения функции, скорость движущегося объекта и наклон касательной к графику функции.

Формулы дифференцирования — В этом разделе мы даем большинство общих формул производных и свойств, используемых при взятии производной функции. Примеры в этом разделе в основном посвящены многочленам, корням и более общим переменным в степенях.

Правило произведения и частного. В этом разделе мы дадим две наиболее важные формулы для дифференцирования функций.Мы обсудим «Правило продукта» и «Правило частного», которые позволят нам различать функции, которые до этого момента мы не могли различать.

Производные триггерных функций — в этом разделе мы обсудим дифференцирование триггерных функций. Даны производные всех шести триггерных функций, и мы показываем, как производные от \ (\ sin (x) \) и \ (\ tan (x) \).

Производные от экспоненциальных и логарифмических функций — В этом разделе мы выводим формулы для производных от экспоненциальных и логарифмических функций.

Производные обратных триггерных функций — В этом разделе мы даем производные всех шести обратных триггерных функций. Мы показываем вывод формул для обратного синуса, обратного косинуса и арктангенса.

Производные гиперболических функций — В этом разделе мы определяем гиперболические функции, приводим отношения между ними и некоторые основные факты, касающиеся гиперболических функций. Мы также даем производные каждой из шести гиперболических функций и показываем вывод формулы для гиперболического синуса.

Цепное правило — в этом разделе мы обсуждаем одну из наиболее полезных и важных формул дифференцирования — Цепное правило. Имея в руках цепное правило, мы сможем различать гораздо более широкий спектр функций. Как вы увидите на остальных курсах обучения математике, многие производные инструменты, которые вы изучаете, будут включать правило цепочки!

Неявная дифференциация — в этом разделе мы обсудим неявную дифференциацию. Не каждую функцию можно явно записать в терминах независимой переменной e.г. y = f (x), но нам все равно нужно знать, что такое f ‘(x). Неявное дифференцирование позволит нам найти производную в этих случаях. Знание неявной дифференциации позволит нам сделать одно из наиболее важных приложений производных финансовых инструментов, связанных курсов (следующий раздел).

Связанные ставки

— В этом разделе мы обсудим единственное применение деривативов в этом разделе, Связанные ставки. В задачах связанных скоростей нам задают скорость изменения одной величины в задаче и просят определить скорость одной (или нескольких) величин в задаче.Часто это один из самых сложных разделов для студентов. В этом разделе мы прорабатываем довольно много проблем, поэтому, надеюсь, к концу этого раздела вы получите хорошее представление о том, как эти проблемы работают.

Производные высшего порядка — в этом разделе мы определяем концепцию производных более высокого порядка и даем быстрое применение производной второго порядка и показываем, как неявное дифференцирование работает для производных более высокого порядка.

Логарифмическое дифференцирование — В этом разделе мы обсудим логарифмическое дифференцирование.Логарифмическое дифференцирование дает альтернативный метод дифференцирования продуктов и частных (иногда проще, чем использование правила продукта и частного). Однако более важным является тот факт, что логарифмическое дифференцирование позволяет нам различать функции, которые имеют форму одной функции, возведенной в другую функцию, , т. е. , есть переменные как в основании, так и в экспоненте функции.

Поиск производной в точке

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects. org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам Varsity найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему утверждению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

производная | Определение и факты

производная , в математике, скорость изменения функции по отношению к переменной. Производные имеют фундаментальное значение для решения задач в области исчисления и дифференциальных уравнений. В общем, ученые наблюдают за изменяющимися системами (динамическими системами), чтобы получить скорость изменения некоторой интересующей переменной, включить эту информацию в какое-либо дифференциальное уравнение и использовать методы интегрирования для получения функции, которая может использоваться для прогнозирования поведения исходной система в различных условиях.

Геометрически производную функции можно интерпретировать как наклон графика функции или, точнее, как наклон касательной в точке.Фактически, его расчет происходит из формулы наклона прямой линии, за исключением того, что для кривых необходимо использовать процесс ограничения. Наклон часто выражается как «подъем» по сравнению с «пробегом» или, в декартовых терминах, отношение изменения x к изменению x . Для прямой линии, показанной на рисунке, формула наклона имеет вид ( y ₁ — y ₀ ) / ( x ₁ — x ₀ ). Другой способ выразить эту формулу: [ f ( x ₀ + h ) — f ( x ₀ )] / h , если h используется для x ₁ — x ₀ и f ( x ) для y . Это изменение обозначений полезно для перехода от идеи наклона прямой к более общей концепции производной функции.

Британская викторина

Определить: математические термины

Вот ваша миссия, если вы решите принять ее: Определите следующие математические термины до того, как истечет время.

Для кривой это соотношение зависит от того, где выбраны точки, что отражает тот факт, что кривые не имеют постоянного наклона. Чтобы найти наклон в желаемой точке, выбор второй точки, необходимой для расчета отношения, представляет собой трудность, потому что, как правило, отношение будет представлять только средний наклон между точками, а не фактический наклон в любой точке ( см. рисунок ). Чтобы обойти эту трудность, используется процесс ограничения, при котором вторая точка не фиксируется, а задается переменной, например h в соотношении для прямой линии выше. Нахождение предела в этом случае — это процесс нахождения числа, к которому отношение приближается, поскольку h приближается к 0, так что предельное отношение будет представлять фактический наклон в данной точке. Некоторые манипуляции нужно проделать с частным [ f ( x ₀ + h ) — f ( x ₀ )] / h , чтобы его можно было переписать в виде в котором предел h приближается к 0, можно увидеть более прямо. Рассмотрим, например, параболу в виде x ² .При нахождении производной x ² , когда x равно 2, частное будет [(2 + h ) ² — 2 ² ] / h . При расширении числителя частное становится (4 + 4 h + h ² -4) / h = (4 h + h ² ) / h . И числитель, и знаменатель по-прежнему приближаются к 0, но если h на самом деле не равно нулю, а очень близко к нему, тогда h можно разделить, давая 4 + h , что легко увидеть, что приближается к 4 как h. приближается к 0.

наклон кривой

Наклон или мгновенная скорость изменения кривой в определенной точке ( x ₀ , f ( x ₀ )) можно определить, соблюдая предел средней скорости изменения, когда вторая точка ( x ₀ + h , f ( x ₀ + h )) приближается к исходной точке.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Подводя итог, производная f ( x ) при x ₀ , записанная как f ′ ( x ₀ ), ( d f / d x ) ( x ₀ ) или D f ( x ₀ ) определяется, как если бы этот предел существует.

Дифференциация, то есть вычисление производной, редко требует использования базового определения, но вместо этого может быть достигнута посредством знания трех основных производных, использования четырех правил работы и знания того, как манипулировать функциями. {\ prime \ prime} _ {xx}} = \ frac {{{\ left ({{y’_x}} \ right)} ‘_ t}} {{{x’_t}}}.2} — 2} \ right). \]

См. Другие проблемы на странице 2.

6. Производные продукты и коэффициенты

М. Борна

ПРАВИЛО ПРОДУКТА

Если u и v — две функции от x , то производная от произведения uv дается как …

`(d (uv)) / (dx) = u (dv) / (dx) + v (du) / dx`

На словах это можно запомнить как:

«Производная произведения двух функций — это первое, умноженное на производное второго, плюс второе, умноженное на производное первого.«

Откуда взялась эта формула? Как и все встречающиеся нам формулы дифференцирования, она основана на производных от первых принципов.

Пример 1

Если у нас есть такой товар, как

y = (2 x ² + 6 x ) (2 x ³ + 5 x ² )

мы можем найти производную, не умножая выражение справа. 2) `(в главе« Дифференциация трансцендентных функций ».) Это выражение нельзя умножить почленно, поэтому нам нужен метод, чтобы дифференцировать произведения таких функций.

Примечание

Мы можем написать правило продукта разными способами:

`(d (uv)) / (dx) = uv’ + vu’`

ИЛИ

`(d (fg)) / (dx)` `= f (x) d / (dx) g (x) + g (x) d / (dx) f (x)`… и т. Д.

ЧАСТНОЕ ПРАВИЛО

(частное — это всего лишь дробь.2) `

Нужна помощь в решении другой задачи с исчислением? Попробуйте решить проблемы.

Заявление об ограничении ответственности: IntMath.com не гарантирует точность результатов. Решение проблем, предоставленное Mathway.

Использование деривативов и стоимость фирмы: влияние издержек агентства и проблемы мониторинга

Влияние использования деривативов на стоимость фирмы вызвало значительный интерес среди академических исследователей, финансовой прессы, регулирующих органов и других участников финансового рынка. Хотя примерно 50% нефинансовых компаний США используют деривативы, и их использование продолжает расти, эмпирические данные о влиянии использования деривативов на стоимость компаний неоднозначны. Например, Аллайяннис и Уэстон, 2001 г., Адам и Фернандо, 2006 г., Картер и др., 2006 г., Берроспайд и др., 2008, среди прочих, обнаружили положительную связь между использованием производных финансовых инструментов и стоимостью фирмы. Однако Джин и Джорион, 2006, Наин, 2006, Лукман, 2004 не обнаружили никакой связи или только условную положительную или отрицательную связь между использованием производных финансовых инструментов и стоимостью фирмы.Хотя эти смешанные результаты оценки вызывают недоумение, их можно частично объяснить тем, что руководство использует деривативы для устранения недостатков рынка, в отличие от выборочного использования деривативов руководством для спекуляций и личных интересов.

Связь между использованием производных финансовых инструментов и стоимостью фирмы зависит от того, в какой степени их использование эффективно устраняет недостатки рынка, такие как издержки банкротства, финансовые ограничения, информационная асимметрия и налоги (например, Mello and Parsons, 2000, Froot et al. , 1993, Stulz, 1996, DeMarzo and Duffie, 1991, Bessembinder, 1991, Stulz, 1990, Smith and Stulz, 1985, Myers, 1977), что может иметь положительный эффект на стоимость фирмы. ² В то же время могут возникнуть издержки агентства и проблемы мониторинга, связанные с использованием деривативов, так что менеджеры фирм могут выборочно использовать деривативы для спекуляций и личных интересов (например, Geczy et al., 2007, Faulkender, 2005, Campbell and Kracaw, 1999, Bodnar et al., 1998, Tufano, 1998, Ljungqvist, 1994, Stulz, 1984), что приводит к потенциальной потере стоимости фирмы за счет акционеров.В том же духе The Economist сообщает, что «беспокойство по поводу деривативов проистекает не из какого-либо внутреннего зла, а из-за их способности скрывать намерения своих пользователей»… «Критики (Уоррен Баффет, Билл Гросс и другие критики) также утверждают, что деривативы позволяют корпоративным казначеям играть на деньги акционеров »( The Economist , 24 января 2004 г. , страницы 3 и 10, раздел« Обзор рисков »). Таким образом, чистое влияние использования производных финансовых инструментов на стоимость фирмы является эмпирическим вопросом.

Мы предоставляем доказательства по этому поводу, проверяя гипотезы о том, что расходы агентства и проблемы мониторинга влияют на использование производных финансовых инструментов и стоимость фирмы через использование производных финансовых инструментов. В то время как более ранние исследования изучали возможные каналы, в которых использование производных финансовых инструментов увеличивает стоимость, эмпирическим тестам спекуляций и каналов потери стоимости уделялось мало внимания. Одним из недавних заметных исключений является Geczy et al. (2007), которые документально подтверждают, что фирмы со слабой структурой внутреннего управления с большей вероятностью укажут в обзоре использования деривативов Wharton, что они придерживаются мнения о деривативах.Фолкендер (2005) также приводит некоторые свидетельства спекуляций в отношении практики управления процентным риском фирм. Туфано (1998) далее обсуждает теоретические последствия стратегий хеджирования и их связь с стоимостью фирмы. Его теоретическая модель дает как затраты, так и выгоды, связанные с использованием производных финансовых инструментов. По словам Туфано, наличие агентских издержек между менеджерами и акционерами при использовании деривативов может снизить стоимость компании. Кроме того, Туфано утверждает, что отсутствие надзора со стороны менеджера может увеличить расходы, связанные с использованием производных финансовых инструментов.В то же время модель Туфано демонстрирует, что использование производных финансовых инструментов может быть выгодным, когда асимметрия информации низкая, банкротство обходится дорого, а агентские проблемы невелики.

В рамках нашего исследования мы собираем данные об использовании производных финансовых инструментов по 1746 нефинансовым компаниям со штаб-квартирами в США в период 1991–2000 годов. Мы также собираем и создаем различные финансовые и контрольные переменные на уровне компании, которые мы используем в нашем регрессионном анализе, включая данные на уровне компаний о расходах агентств, корпоративном управлении и переменных асимметрии информации. Подобно Шмидту (2008), мы также создаем агрегированный индекс мониторинга на уровне фирмы, основанный на различных издержках агентства и проблемах мониторинга, с которыми сталкивается фирма. Затем мы проверяем влияние агентских и мониторинговых проблем на использование деривативов и влияние деривативов на стоимость фирмы посредством агентских затрат и проблем мониторинга.

Мы обнаружили, что фирмы с более серьезными проблемами агентств и мониторинга (т.е. фирмы, которые менее прозрачны, сталкиваются с более высокими агентскими издержками, имеют более слабое корпоративное управление, большие проблемы с асимметрией информации и в целом более слабый мониторинг) демонстрируют отрицательную связь между Q Тобина и производным инструментом. использование.Этот эффект также является экономически значимым, так как влияние на Q Тобина составляет -8,4% из-за изменения одного стандартного отклонения в индексе мониторинга фирм. Представленные нами результаты также устойчивы к альтернативным спецификациям, меняющимся во времени оценкам, эконометрическим процедурам, которые корректируют потенциальную кластеризацию ошибок, проблемы эндогенности и смещения выборки среди других проверок устойчивости, обсуждаемых в документе. Мы пришли к выводу, что использование производных финансовых инструментов отрицательно сказывается на стоимости фирмы в компаниях с более серьезными проблемами агентств и мониторинга.

Остаток бумаги следующий. В разделе 2 обсуждается соответствующая справочная литература по использованию производных финансовых инструментов и их влиянию на оценку. В разделе 3 описываются данные и сводная статистика, а в разделе 4 приводятся результаты по агентским и мониторинговым проблемам при использовании деривативов. В разделе 5 представлены результаты о влиянии агентских проблем и проблем мониторинга на эффекты дифференциальной оценки, связанные с использованием деривативов. Раздел 6 дает заключение.

Алгоритмы без производных для задач нелинейной оптимизации

Абстрактные

Минимизация нелинейной функции — повсеместная проблема в приложениях, и стандартные алгоритмы требуют точных вычислений функции и ее производных.Однако, если функция является черным ящиком, дорогостоящей для оценки или зашумленной, получение точных производных может оказаться непрактичным или даже невозможным, и нам потребуется оптимизация без производных (DFO). Методы DFO на основе моделей хорошо работают на практике, заимствуя многие функции из методов, основанных на производных, но могут иметь более низкую производительность для зашумленных задач и высокую стоимость линейной алгебры. В этой диссертации мы стремимся повысить гибкость, надежность и масштабируемость современных методов DFO на основе моделей путем разработки, анализа, реализации и всестороннего тестирования трех новых алгоритмов нелинейной оптимизации с особым упором на нелинейную оптимизацию. задачи наименьших квадратов (например, подгонка параметров).

Первый, DFO-LS, разработан для нелинейных задач наименьших квадратов и проще существующих методов и позволяет строить линейные модели остатков с гибким подходом. DFO-LS может выиграть от снижения затрат на инициализацию, а также имеет улучшенную масштабируемость и время выполнения по сравнению с существующими методами без потери производительности. DFO-LS также имеет функции для проблем с шумом, в том числе новый механизм многократного перезапуска, который не требует больших затрат на оценку и линейную алгебру, что обеспечивает лучшую производительность DFO-LS по сравнению с существующими методами обработки шума.

Затем мы представляем Py-BOBYQA, расширение BOBYQA (Powell, 2009) с механизмом многократного перезапуска, аналогичным DFO-LS, среди других новых усовершенствований. Он соответствует или превосходит BOBYQA и другие современные решатели как в гладких, так и в шумных задачах. Мы также предлагаем простое расширение Py-BOBYQA, которое может позволить ему избежать локальных минимумов и продвинуться к глобальным оптимумам.

Наконец, мы представляем для крупномасштабных нелинейных задач наименьших квадратов DFBGN, первый основанный на модели метод DFO для оптимизации в подпространствах малой размерности на каждой итерации.DFBGN имеет более низкие затраты на линейную алгебру, улучшенное время выполнения и, следовательно, более высокую производительность при решении крупномасштабных задач, чем DFO-LS, поскольку он может выполнять гораздо больше итераций в разумных пределах времени выполнения. Он также может добиться прогресса при очень небольших бюджетах на оценку и низких затратах времени выполнения.