Высота равностороннего треугольника равна 9 найдите длину окружности: Высота равностороннего треугольника равна 9 см. Найдите длину окружности, вписанной в этот - Управленческое образование

Содержание

Тема 9. Планиметрия — Материалы для подготовки к вступительным экзаменам в СГГА

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис; центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Теорема косинусов: a²=b²+c²-2bccosA.

Свойство медиан: AO:OM=2:1.

Свойство биссектрис: CA:AD=CB:BD.

1) Углы треугольника пропорциональны числам 3, 5, 7. Найдите эти углы.

2) Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Чему равен наибольший угол, если величина наименьшего 20⁰?

3) Два внешних угла треугольника равны 120⁰ и 160⁰. Чему равен третий внешний угол?

4) Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 15, а один из острых углов равен 60⁰. Чему равна длина меньшего катета?

5) Один из углов прямоугольного треугольника равен 30⁰, а высота, проведенная к гипотенузе, равна 9. Найдите длину гипотенузы.

6) В треугольнике ABC проведена высота BH, причем AH=3. Найдите длину стороны BC, если .

7) Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, если его площадь равна 18.

8) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, а катеты относятся как 2 : 3. Чему равна площадь треугольника?

9) Один из катетов прямоугольного треугольника равен 9, а другой относится к гипотенузе, как 4 : 5. Чему равна площадь треугольника?

10) Катеты прямоугольного треугольника равны log₄9 и log₃16. Чему равна площадь треугольника?

11) Высота равнобедренного треугольника, равна 15, а боковая сторона больше основания на 1. Чему равно основание?

12) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно 18, а площадь 108.

13) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если основание равно 10 см, а медиана, проведённая к основанию, равна 3 см.

14) Величины углов треугольника относятся как 1 : 1 : 2, а большая из сторон равна 15. Чему равна высота, проведенная к этой стороне?

15) Площадь равнобедренного треугольника равна , а углы при основании 30⁰. Найдите высоту, опущенную на основание. 16) В треугольнике ABC проведена медиана AM. . Чему равна сторона AC?

17) Основание треугольника равно 22, боковые стороны 13 и 19. Чему равна медиана, опущенная на основание?

18) Две стороны треугольника равны 11 и 7, а медиана, опущенная на третью сторону 6. Найдите длину третьей стороны.

19) В треугольнике ABC медиана AM равна 6 и образует со стороной AC, равной 8, угол 30⁰. Найдите площадь треугольника.

20) В треугольнике ABC к стороне BC=12 проведена медиана AM=7 и образует с этой стороной угол 30⁰. Найдите площадь треугольника.

21) Площадь треугольника ABC равна 12. Из вершины B проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найдите сторону AC, если .

22) Площадь правильного треугольника равна 64. Найдите его периметр.

23) В треугольнике ABC на сторонах AB и AC взяты точки M и N такие, что . Найдите площадь треугольника AMN.

24) Площадь треугольника ABC равна 48. Точка D лежит на стороне AC, деля ее в отношении AD:DC=1:7. Найдите площадь треугольника ABD.

25) Сторона треугольника равна 2, а прилегающие к ней углы 30⁰ и 45⁰. Найдите его площадь.

26) Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6, а противолежащий ему угол . Найдите площадь круга, описанного около треугольника. 27) Площадь правильного треугольника равна . Чему равен радиус описанной около него окружности?

28) Высота правильного треугольника равна 18. Найдите диаметр вписанной в него окружности.

29) Точка касания с вписанной окружностью делит гипотенузу треугольника в отношении 2 : 3. Расстояние от прямого угла треугольника до центра окружности равно . Найдите периметр треугольника.

30) Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите радиус описанной около него окружности.

31) Один катет прямоугольного треугольника равен 15, проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Чему равен радиус вписанной в треугольник окружности?

32) Радиус вписанной в треугольник окружности равен , радиус описанной около него окружности . Чему равна площадь треугольника, если один из его углов равен . 33) На диаметре круга построен треугольник, вписанный в этот круг. Площадь круга равна , одна из сторон треугольника 30. Чему равна площадь круга, вписанного в треугольник?

34) Радиус окружности равен 6. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, делит его в отношении 1 : 3. Найдите длину перпендикуляра.

35) Найдите величину острого угла, который опирается на дугу, равную 2/5 окружности. Ответ дайте в градусах.

36) Найдите величину тупого угла, который опирается на дугу, равную 1/7 окружности. Ответ дайте в радианах.

37) Радиус окружности равен 5. Найдите длину дуги окружности, соответствующей центральному углу 108⁰.

38) Радиус окружности равен 20. Найдите Величину центрального угла, которому соответствует дуга окружности длины . 39) Хорда окружности, стягивающая дугу 90⁰, равна . Чему равна длина окружности?

40) Радиус окружности равен 13. На каком расстоянии от центра окружности находится хорда длины 24.

41) Из точки окружности радиуса R проведены две хорды длины . Чему равен косинус угла между этими хордами?

42) По разные стороны от центра окружности проведены две параллельные хорды длин 12 и 16. Чему равен радиус окружности, если расстояние между хордами равно 14?

43) Найти площадь прямоугольника, если его диагональ равна , а одна из сторон 18.

44) В прямоугольнике ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке M и делит ее на отрезки BM=6, MC=4. Чему равна площадь прямоугольника?

45) Площадь параллелограмма равна 120, а его высоты 8 и 12. Найдите периметр параллелограмма.

46) Высоты параллелограмма равны 4 и 8. Большая высота опущена на сторону, равную 6. Найти другую сторону параллелограмма.

47) Углы между стороной ромба и его диагоналями относятся как 5 : 4. Найдите тупой угол ромба.

48) Как изменится площадь ромба, если одну из его диагоналей уменьшить на 10%, а другую увеличить на 20%?

49) Сторона ромба равна 5, а одна из диагоналей 6. Чему равна его площадь?

50) Разница между радиусами окружностей, описанной около квадрата и вписанной в квадрат, составляет . Чему равна сторона квадрата? 51) Боковая сторона равнобокой трапеции равна , высота и большее из оснований, соответственно, 4 и 9. Найдите длину средней линии трапеции.

52) Средняя линия трапеции ABCD делит ее на две трапеции со средними линиями, равными 5 и 9. Найдите большее основание ABCD.

53) Трапеция, средняя линия которой равна , равновелика (т.е. равна по площади) равностороннему треугольнику со стороной 12. Найти высоту трапеции.

54) В равнобокой трапеции тупой угол равен 120⁰ и меньшее основание равно боковой стороне и равно 6. Найдите площадь трапеции.

55) В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 6, боковая сторона равна 5. Чему равна сумма длин диагоналей?

56) В равнобедренной трапеции разность длин оснований равна длине боковой стороны. Чему равен тупой угол трапеции?

57) Высота равнобокой трапеции равна 40, боковая сторона 41, средняя линия 45. Чему равно большее основания трапеции?

58) В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 4 и 5, меньшее из оснований 5. Чему равна площадь трапеции?

59) В прямоугольнике перпендикуляр, опущенный на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении 3 : 1. Чему равен угол между этим перпендикуляром и другой диагональю?

60) Периметр ромба равен 52, а сумма длин диагоналей 34. Чему равна его площадь?

61) Диагонали ромба равны 26 и . Чему равен синус острого угла ромба?

62) В равнобокой трапеции боковая сторона равна 7, диагональ 8, а средняя линия 4. Найдите меньшее основание.

63) В окружность радиуса 6 вписан прямоугольник. Найдите большую сторону прямоугольника, если угол между его диагоналями составляет 60⁰.

64) В круг вписан прямоугольник со сторонами 2 и 6. Найдите площадь круга.

65) Равнобедренная трапеция вписана в окружность радиуса 6. Ее диагональ составляет угол 30⁰ с большим основанием и перпендикулярна боковой стороне. Найдите периметр трапеции.

66) Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равен 60. Найдите длину средней линии трапеции.

67) Основания равнобокой трапеции равны 12 и 20. Центр описанной около окружности трапеции лежит на ее большем основании. Чему равна диагональ трапеции?

68) В трапецию вписана окружность. Расстояние от центра этой окружности до вершины верхнего основания равно 15; до вершины нижнего 20. Чему равна площадь трапеции?

69) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. BC=4, CD=5, . Чему равна диагональ BD?

70) Окружность, вписанная в ромб, разбивает его диагональ на отрезки длины 9, 16, 9. Найдите площадь ромба.

71) Сторона вписанного в окружность правильного треугольника равна 6. Чему равна площадь квадрата, вписанного в ту же окружность?

72) Во сколько раз площадь круга больше площади вписанного в него квадрата?

73) Какой правильный многоугольник имеет внутренний угол 144⁰?

74) Сколько диагоналей можно провести в многоугольнике, если сумма его внутренних углов равна ?

75) Чему равна площадь круга, описанного около правильного шестиугольника со стороной 2?

76) Дан правильный восьмиугольник ABCDEFKM. Найдите радиус описанной около него окружности, если площадь треугольника ABE равна . 77) Найдите радиус окружности, описанной около правильного девятиугольника A₁A₂…A₉, если периметр треугольника A₁OA₄ равен .

Равносторонний треугольник (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \({{60}^{o }}\)

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме \({{180}^{o }}\), значит, каждый по \({{60}^{o }}\)

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике оказалось не \(12\) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. \(R=2\cdot r\)

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка\( O\) – центр треугольника.

Значит, \(OB\) – радиус описанной окружности (обозначили его \(R\)), а \(OK\) – радиус вписанной окружности (обозначим \(r\)).

Но ведь точка \(O\) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Поэтому \(OB=2\cdot OK\), то есть \(R=2\cdot r\).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Длина окружности, формула как найти длину окружности

Если вы не знаете, как обозначается длина окружности, то знак окружности выглядит вот так — l

Как найти длину окружности через диаметр

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Формула длины окружности через диаметр:

l=πd, где

π— число пи — математическая константа, равная 3,14

d — диаметр окружности

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

l=2πr , где

π — число пи, равное 3,14

r — радиус окружности

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:

где:

π — число пи, равное 3,14

S — площадь круга

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:

l=πd, где

π — число пи, равное 3,14

d — диагональ прямоугольника

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:

l=πa, где

π — математическая константа, равная 3,14

a — сторона квадрата

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:

где:

π — математическая константа, она всегда равна 3,14

a — первая сторона треугольника

b — вторая сторона треугольника

c — третья сторона треугольника

S — площадь треугольника

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.

Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.

где:

— математическая константа, равная 3,14

S — площадь треугольника

p — полупериметр треугольника

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.

Формула вычисления длины окружности:

где:

π — математическая константа, равная 3,14

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Задачи для решения

Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:

Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.

Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:

l=πd

Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна

l=πd=3,14·5=15,7(см)

Ответ: 15,7 (см)

Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм

Решение. Радиус окружности равен Подставим туда наши переменные и получим

Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.

Так и сделаем:

l=2πr=2·π·4≈2·3,14·4=25,12(дм)

Ответ: l=25,12(дм)

Тема №5807 Ответы к тестам планиметрия

ТЕСТ 13.01.
Решить задачи:
1. В треугольнике ABC: BАС = 30°. Определить сторону ВС, если АВ =
3 , АС = 1.
2. Площадь треугольника ABC равна 16см2
. Найти длину стороны АВ, если АС = 5 см, ВС = 8
см и угол С тупой.
3. В треугольнике ABC величина угла С равна 60°, а длина стороны АВ =
31
. На стороне АС
отложен отрезок AD = 3. Найти длину ВС, если BD =

2 7 .
4. В треугольнике ABC высота AD на 4 см меньше стороны ВС. Сторона АС равна 5 см.
Найти периметр треугольника ABC если его площадь равна 16 см2
.
5. В треугольнике ABC даны длины трех сторон ВС, АС и АВ, равные соответственно числам
41, 51 и 58. Вычислить площадь этого треугольника и длину высоты, опущенной
из вершины В.

Дополнительные задачи по теме:
6. Найти основание равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна 23, а
периметр равен 71.
7. Найти сумму дли катетов прямоугольного треугольника, если расстояния от середины
гипотенузы до катетов равны 26 и 33.
8. Найти среднюю линию равнобедренного треугольника, параллельную основанию, если
боковая сторона равна 16, а периметр равен 57.
9. В равностороннем треугольнике со стороной 10 найти периметр треугольника, чьи стороны
соединяют основания высот.
10. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена высота ВМ. Найти ее длину, если

периметр треугольника АВС равен 70, а периметр треугольника АВМ равен 50.
11. Найти третью сторону прямоугольного треугольника, если две его другие стороны равны 12
и 13.
12. Найти площадь прямоугольного треугольника, острые углы которого относятся как 1:2, а
гипотенуза равна 10.
13. Высота равностороннего треугольника равна
4
7 3 
. Найти площадь треугольника.
14. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла
60
, равен
5 4
3
2
 . Найти
площадь треугольника.
15. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна
2 2 1   
. Найти его
периметр.
16. Катет прямоугольного треугольника больше другого катета на 10 и меньше гипотенузы на
10. Найти гипотенузу.
17. Периметр прямоугольного треугольника равен 40, а один из катетов равен 8. Найти
гипотенузу.
18. Сумма длин гипотенузы и катета прямоугольного треугольника равна 9, а их разность равна

4. Найти другой катет.
19. В треугольнике АВС величина угла при вершине С равна
30
. Определить синус угла при
вершине В треугольника, если АС = 12,3 и АВ = 61,5.
20. Определить синус угла при вершине А в треугольнике АВС, если
BC  3 3 , АС = 15, а угол
АВС равен
60 .
21. В треугольнике АВС угол А равен
30
, а угол В равен
45
. Найти длину ВС, если
AC 10 2 .
22. Найти величину угла при вершине С треугольника АВС, если
AB  20 , AC 10 6
и угол
АВС равен
120 .
23. Косинус угла при вершине равнобедренного треугольника равен:
1
15
 . Найти боковую
сторону треугольника, если его основание равно:
15
2
.
24. В треугольнике разность углов А и В равна
90
. Противолежащие им стороны равны 10 и 5.
Найти тангенс угла В.
25. В треугольнике АВС сторона ВС равна 6, а сторона АС равна 4. Найти косинус угла В, если
угол А вдвое больше угла В.

ТЕСТ 13.02.
1. Углы САВ и BAD – смежные. Определить величину угла между перпендикуляром АК,
проведенном из точки А к прямой CD, и биссектрисой угла САВ, если
   CAB BAD 20
, а
точки К и В лежат по одну сторону от CD.
2. Углы АВС и CBD – смежные, причем первый из них в 4 раза больше второго. Определить
величину угла между перпендикуляром, проведенным из точки В к прямой ВС, и
биссектрисой угла CBD.
3. Угол АВС на
16
больше угла CBD, смежного с ним. Найти угол между перпендикуляром,
проведенным из точки В к прямой AD, и биссектрисой угла CBD.
4. Углы САВ и BAD – смежные. Определить величину острого угла между перпендикулярами,
проведенными из точки А к прямым АВ и CD, если
   BAD CAB 24 .
5. Углы САВ и BAD – смежные. Найти величину угла BAD, если величина угла между
биссектрисой угла САВ и перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой CD,
равна
12 .
6. Найти величину угла, если он в 4 раза меньше суммы величин двух углов, смежных с ним.

7. Найти величину внутреннего угла треугольника, если сумма величин двух внешних углов, не
смежных с данным, равна
237 .
8. Найти величину угла, если она в сумме с величинами двух углов, смежных с ним,
равна
192 .
9. Через вершину угла АВС проведена прямая BD перпендикулярно биссектрисе этого угла.
Найти величину угла АВС, если прямая BD образует с одной из сторон угла АВС угол,
величина которого равна
156 .
10. Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника АВС при основании АС образует
с основанием угол, величина которого равна
126
. Найти величину угла АВС.
11. Сумма двух вертикальных углов, полученных при пересечении двух прямых, равна
192 .
Найти меньший из углов, образованных прямыми при пересечении.
12. В одной точке пересекаются 3 прямые. При этом сумма двух получившихся вертикальных
углов равна
126
, а суммы двух оставшихся пар вертикальных углов отличаются на
12 .
Найти больший из острых углов, образованных прямыми при пересечении.
13. В треугольнике один из внутренних углов равен
30
, а второй угол больше третьего в 2 раза.
Найти меньший из неизвестных углов.
14. В треугольнике сумма двух внутренних углов больше третьего на
10
. Найти больший угол.
15. В треугольнике сумма двух равных внутренних углов в 1,5 раза больше третьего. Найти
больший угол.
16. В равнобедренном треугольнике разность двух неравных углов равна
90
. Найти больший
угол.
17. Внутренние углы треугольника относятся как 1:2:3. Найти меньший угол.
18. В треугольнике внутренние углы треугольника относятся как 2:3:5. Найти внешний угол
треугольника, смежный с его меньшим внутренним углом.

ТЕСТ 13.03.
Решить задачи:
1. Основание треугольника равно 26 см. Медианы боковых сторон равны 30 см и 39 см. Найти
площадь треугольника.
2. Одна сторона треугольника равна а, другая — b. Найти третью сторону, если известно,
что она равна медиане, проведенной к ней.
3. В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна медиане BN. Найти площадь
треугольника ABC, если длина AM равна 3, а длина BN равна 4.
4. Две стороны треугольника равны соответственно 6 см и 8 см. Медианы, проведенные к
этим сторонам, перпендикулярны. Найти площадь треугольника.
5. В треугольнике ABC медианы AD и BE пересекаются под прямым углом, АС = 3, ВС = 4.
Найти сторону АВ этого треугольника.
6. Медианы треугольника равны 3 см, 4 см, 5 см. Найти площадь треугольника.
7. Основание треугольника равно 14 см, а медианы, проведенные к боковым сторонам — 3 7
и
6 7
. Найти боковые стороны треугольника.
8. Определить площадь треугольника, если две его стороны Равны 1 и
13
, а медиана
третьей стороны равна 2.
9. Площадь треугольника ABC равна 12. Из вершин тупого угла В проведена медиана BD,
длина которой равна 3. Найти сторону АС, если угол ABD — прямой.
10. Основание равнобедренного треугольника
32
, медиана боковой стороны 5. Найти длины
боковых сторон.
11. Длина основания равнобедренного треугольника равна 10, а его площадь 60. Найти длину
медианы, проведенной к боковой стороне.
12. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна
4 10
, а длина медианы,
проведенной к боковой стороне, равна
3 10
. Найти длину основания треугольника.
13. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см. а медиана боковой стороны
5см. Найти длину основания.
14. В равнобедренном треугольнике основание равно
84
, угол при основании равен 30°. Найти
длину медианы, проведенной к боковой стороне.
15. Медиана, проведенная к одной из боковых сторон равнобедренного треугольника, делит его
периметр на части длиной 15 и 6. Найти длину боковой стороны.
16. Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, относятся как
2 :1.
Найти углы треугольника.
17. В прямоугольном треугольнике медианы острых углов равны
89
и
156
. Найти длину
гипотенузы.
18. Длины двух сторон треугольника равны 27 и 29. Длина медианы, проведенной к третьей
стороне, равна 26. Найти высоту треугольника, проведенную к стороне длиной 27.
19. В остроугольном треугольнике ABC длины медиан ВМ и CN и высоты АН равны
соответственно 4, 5 и 6. Найти площадь треугольника.

ТЕСТ 13.04.
Решить задачи:
1. Дан треугольник ABC, в котором угол В равен 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В
пересекает сторону АС в точке D. Определить площадь треугольника ABD.
2. Дан треугольник ABC, в котором АС = 5, АВ = 6, ВС=7. Биссектриса угла С пересекает
сторону АВ в точке D. Определить площадь треугольника ADC.
3. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а
биссектриса угла между ними содержит 12 см.
4. В треугольнике ABC проведена биссектриса BE, которую центр О вписанной окружности
делит в отношении ВО : ОЕ = 2. Найти АВ, если АС = 7, ВС = 8.
5. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей
стороне.
6. В прямоугольном треугольнике катет равен 24см, а гипотенуза – 25 см. Найти биссектрису
треугольника, проведенную из вершины меньшего угла.
7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В биссектриса угла А пересекает
сторону ВС в точке D. Известно, что BD = 4, DC = 6. Определить площади треугольника
ADC

ТЕСТ 13.05.
Решить задачи:
1. В треугольнике основание равно 6 см, а высоты, опущенные на боковые стороны — 2 см и
2 3
см. Найти боковые стороны треугольника.
2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ, причем длина AD равна 5
см, длина СЕ равна 3 см, а угол между AD и СЕ равен 60°. Найти длину стороны АС.
3. В треугольнике ABC проведены высоты АЕ и CD. Найти АВ, если BD = 18, ВС = 30, АЕ =
20.
4. Высота AD, опущенная на боковую сторону ВС равнобедренного треугольника ABC, делит
его на треугольники ABD и ADC площадью 4см2
и 2см2
соответственно. Найти стороны
треугольника, если АС — его основание.
5. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 30 см, длина высоты, проведенной к
основанию, — 20 см. Определить длину высоты, проведенной к боковой стороне.
6. В равнобедренном треугольнике высота равна 8, а основание относится к боковой стороне
как 6 : 5 . Найти радиус вписанного круга.
7. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, равна 5, а высота,
опущенная на боковую сторону, равна 6. Найти площадь треугольника.
8. Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равна
10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.
9. В равнобедренном треугольнике ABC основание АС равно б см, а высота, опущенная на
основание, равна 4 см. Найти периметр треугольника CDB, где CD — высота, опущенная на
боковую сторону.
10. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна 5, а длина высоты,
опущенной на основание; равна 4. Найти длину основания.
11. В равнобедренном треугольнике ABC с вершиной в точке В основание высоты A D делит
сторону В С так, что B D:DC =
2 : 2 2   . Найти углы треугольника.

ТЕСТ 13.06.
Решить задачи:
1. Точка N лежит на стороне ВС треугольника ABC, точка М — на продолжении стороны
АС за точку А, при этом AM = AС, BN : NC = 3 : 4. В каком отношении прямая MN делит
сторону АВ?
2. На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты точки К и N так, что СК:КА = 2 : 3 ,
CN:NB = 4:3. В каком отношении точка пересечения отрезков AN и ВК делит отрезок KB?
3. Точка N делит сторону RQ треугольника RPQ в отношении RN:NQ = 2 : 7 ; точка F делит
сторону RP в отношении RF: FP = 3 : 1 . Прямые QF и PN пересекаются в точке М.
Найти длину MN, если РМ = 12.
4. Точки F и N делят стороны треугольника ABC в отношении FA:FC = 3:1 и CN:NB = 2 : 3 .
Прямые AN и BF пересекаются в точке М. Найти отношение площадей треугольников
AMВ и ANB.
5. Вершины В и С при основании равнобедренного треугольника ABC соединены с серединой М
его высоты, проведенной из аршины А. Эти прямые пересекают боковые стороны АС и АВ
треугольника в точках D и Е соответственно. Найти площадь четырехугольника AEMD,
если площадь треугольника ABC равна 93.
6. Найти углы равнобедренного треугольника, у которого точка пересечения высот делит
пополам высоту, проведенную к основанию.
7. Прямая делит пополам основание АВ равнобедренного треугольника A BC с боковой
стороной 3 и отсекает на лучах С А и С В отрезки С М и C N соответственно. Найти
длину С М , если длина CN равна 2.
8. Вершины В и С основания равнобедренного треугольника ABC соединены в точке М с
серединой высоты, опущенной из вершины А на основание ВС. Продолжение отрезка ВМ
пересекает сторону АС в точке D, а продолжение отрезка СМ пересекает сторону АВ в
точке Е. Найти площадь треугольника ВМА, если площадь четырехугольника
AEMD равна 16.
9. Вершины правильного треугольника лежат на трех параллельных прямых, причем
внутренняя прямая находится на расстояниях
21
и
84
от крайних прямых. Найти длину
стороны треугольника.

ТЕСТ 13.07.
Решить задачи:
1. Основание треугольника равно а. Найти длину отрезка прямой, параллельной основанию и
делящей площадь треугольника пополам.
2. В треугольнике с основанием 15 см проведен отрезок, параллельный основанию. Площадь
полученной трапеции составляет 75% площади треугольника. Найти длину этого отрезка.
3. В треугольник со сторонами 10см, 17см и 21 см вписан прямоугольник с периметром 24 см
так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найти стороны
прямоугольника.
4. Найти длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а
и боковой стороной b так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины
— на боковых сторонах.
5. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC,
касается катетов АС и ВС соответственно в точках Е и D. Найти величину угла ABC, если
известно, что АЕ = 1, BD = 3.
6. В прямоугольный треугольник вписан квадрат, вершина которого совпадает с вершиной
прямого угла треугольника. Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен
42см, а сторона квадрата – 24 см.
7. Точка на гипотенузе прямоугольного треугольника, равноудаленная от катетов, делит её на
отрезки 30 см и 40 см. Найти периметр треугольника.
8. К окружности, вписанной в треугольник с периметром 18см, проведена касательная
параллельно основанию треугольника. Отрезок касательной между боковыми сторонами 2
см. Найти основание треугольника.
9. Точки М и N, D и Е, К и L лежат соответственно на сторонах АВ, АС и ВС треугольника
ABC, при этом AМ = MN = NB, ВК = KL = LC, AD = DE = ЕС. Вычислить площадь
четырехугольника, образованного пересечениями прямых ML, NK, BD, BE, если площадь
треугольника ABC равна 5

ТЕСТ 13.08.
Решить задачи:
1. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 17 см, а длина гипотенузы – 13 см.
Найти катеты и площадь треугольника.
2. В прямоугольном треугольнике AВС даны: длина катета ВС, равная 36, и косинус угла ВАС,
равный 8/17. Найти длину другого катета АВ и площадь треугольника.
3. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 12. Расстояние от центра
описанной около треугольника окружности до этого катета равно 2,5. Найти длину
гипотенузы треугольника.
4. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного
треугольника, вдвое больше площади последнего. Определить углы прямоугольного
треугольника.
5. Определить острые углы прямоугольного треугольника, длины сторон которого образуют
геометрическую прогрессию.
6. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на
гипотенузу равны т = 9 см и п = 16 см.
7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен15см, а проекция другого катета на
гипотенузу равна 16см. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
8. В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3 : 2, а высота делит гипотенузу на
отрезки, из которых один на 2 см больше другого. Определить длину гипотенузы.
9. В прямоугольном треугольнике ABC, где С = 30°,из вершины прямого угла В проведена
медиана ВК. Найти площадь треугольника ВСК, если длина катета АВ равна 4 см.
10. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, проведенная к
гипотенузе, делит последнюю на отрезки длиной 25,6 и 14,4 см.
11. Прямоугольный треугольник, периметр которого равен 10, разбит высотой, опушенной на
гипотенузу, на два треугольника. Периметр одного из них равен 6. Найти периметр другого
треугольника.
12. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два
треугольника с периметрами p1 и р2. Найти стороны треугольника.
13. В прямоугольный треугольник с катетами а и b вписан квадрат, имеющий с треугольником
общий прямой угол. Найти периметр квадрата.
14. В треугольнике ABC проведена биссектриса CD прямого угла АСВ, DM и DN являются
соответственно высотами треугольников ADC и BDC. Найти АС, если известно,
что AM = 4, BN = 9.
15. В прямоугольном треугольнике ABC длины катетов АС и ВС соответственно равны 12 и 8.
Точка К – середина медианыBD. Найти длину отрезка СK.
16. Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника удалена от катетов на расстояния
соответственно 3 и 4. Найти расстояние от этой точки до гипотенузы.
17. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены высота и медиана.
Найти отношение большего катета к меньшему, если отношение высоты к
медиане равно 12/13.
18. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 3 см
и 4 см. Найти площадь треугольника.
19. Прямоугольные треугольники AВС и ABD имеют общую гипотенузу АВ = 5. Точки С и D
расположены по разные стороны от прямой, проходящей через точки А и В, ВС = BD =
3.Точка Е лежит на АС, ЕС = 1. Точка F лежит па AD, FD = 2. Найти площадь
пятиугольника ECBDF

ТЕСТ 13.09.
Решить задачи:
1. Найти площадь трапеции, у которой основания 15 см и 5 см, а боковые стороны 8 см
и 6 см.
2. Найти площадь трапеции, диагонали которой равны 7 см и 8 см, а основания – 3 см и 6 см.
3. В равнобочной трапеции ABCD длины боковой стороны АВ и меньшего основания ВС равны
а = 2 см и BD перпендикулярна АВ. Найти площадь трапеции.
4. Основания трапеции 4 см и 10 см, одна из боковых сторон составляете меньшим
основанием угол 150°. Найти эту боковую сторону, если площадь трапеции раина 21 см2
.
5. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, а периметр равен 48 см.
Найти длину боковой стороны.
6. Высота и диагональ равнобедренной трапеции равны соответственно 5 и 13. Найти
площадь трапеции.
7. Диагональ равнобедренной трапеции равна 5 см, а площадь равна 12 см2
. Найти высоту
трапеции.
8. Диагональ равнобочной трапеции, равная 8, перпендикулярна боковой стороне. Найти
меньшее основание трапеции, если ее большее основание равно 10.
9. Большее основание трапеции равно 24 см. Найти ее меньшее основание, зная, что
расстояние между серединами ее диагоналей равно 4 см.
10. Длины оснований трапеции равны 10 и 24. длины боковых сторон равны 13 и 15. Найти
площадь трапеции.
11. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины непараллельных сторон – 20 и
13. Найти высоту трапеции.
12. В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна 90°. Нижнее к верхнее основания
равны соответственно 7 и 3. Определить отрезок, соединяющий середины оснований.
13. Определить площадь трапеции, если ее основания равны 6 см и 11 см, одна из боковых
сторон – 4 см, а сумма углов при нижнем основании равна 90o
.
14. В трапеции, основания которой а и b, через точку пересечения диагоналей проведена
прямая, параллельная основаниям. Найти длину отрезка этой прямой, отсекаемого
боковыми сторонами трапеции.
15. В трапеции ABCD проведены диагонали АС и BD, пересекающиеся в точке F. Из вершины С
проведена прямая СК, параллельная боковой стороне AD, которая пересекает продолжение
BD в точке L так, что DF = BL. Найти отношение АВ:CD.
16. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию и
пересекающая боковые стороны в точках Е и F. Длина отрезка EF равна 2. Определить
длины оснований трапеции, если их отношение равно 4.
17. Через точку О пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная
основанию. Определить длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции,
если средняя линия трапеции равна 4/3, а точка О делит диагональ трапеции на части,
отношение которых равно 1/3.
18. В трапеции ABCD длина основания AD равна 4, длина основания ВС равна 3. Длины сторон
АВ и CD равны. Точки М и N лежат на диагонали BD, причем точка М расположена между
точками В и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD. Найти длину отрезка
CN, если ВМ:DN = 2:3.
19. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD: ACD = АВС, ВС = 12см, AD = 27 см. Найти
диагональ АС.
20. В прямоугольной трапеции большая диагональ, имеющая длину 24, является биссектрисой
острого угла. Найти площадь трапеции, если расстояние от вершины тупого угла до
диагонали равно 9.
21. В прямоугольной трапеции средняя линия равна 13,5. Меньшая диагональ является
биссектрисой тупого угла и имеет длину 12. Найти стороны трапеции.
22. В трапеции с основаниями 3 и 4 диагональ имеет длину 6 и является биссектрисой одного из
углов. Найдите площадь трапеции.
23. В равнобедренной трапеции ABCD точка О – середина меньшего основания ВС; OA –
биссектриса угла А. Найти площадь трапеции, если AD = 16, а се высота равна 6.
24. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найти
длины оснований этой трапеции.
25. В трапеции средняя линия, равная 20, делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найти
основания трапеции.
26. В трапеции ABCD длины оснований AD и ВС относятся как 5:1, а площадь равна 32 см2
.
Точки M и N – середины боковых сторон АВ и CD соответственно соединены с концами
противоположной боковой стороны, причем отрезки AN и DM пересекаются в точке К, а
отрезки BN и СМ – в точке Е. Определить площадь четырехугольника МENК.
27. В трапеции ABCD точка М лежит на боковой стороне АВ, О – пересечение диагонали BD и
отрезка СМ. Найти площадь треугольника COD, если AM = MB, СО = 4.ОМ, а площадь
треугольника ВОМ равна 1.
28. Высота трапеции ABCD равна 7, а длины оснований AD и ВС равны соответственно 8 и 6.
Через точку Е, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ
АС в точке О в отношении АО:ОС = 3:2. Найти площадь треугольника ОЕС.
29. Площадь трапеции ABCD равна 24. а длины оснований AD и ВС относятся как 3:1.
Вершины А и D соединены отрезками с точкой N – серединой стороны ВС, а точки В и С – с
точкой М серединой стороны AD. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке Е, а отрезки DN
и СМ – в точке К. Найти площадь четырехугольника ЕNКМ.
30. Найти площадь равнобочной трапеции, основания которой равны а и b, а диагонали взаимно
перпендикулярны.
31. В равнобедренной трапеции средняя линия равна d, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Найти площадь трапеции.
32. Найти площадь равнобочной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно
перпендикулярны.
33. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найти площадь
трапеции, если известно, что длина одной из ее диагоналей равна 5.

ТЕСТ 13.10.
Решить задачи:
1. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между
периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найти длины сторон
параллелограмма.
2. Найти площадь параллелограмма, если его диагонали 3 см и 5 см, а острый угол
параллелограмма 60o
.
3. Через точки R и Е, принадлежащие сторонам АВ и AD параллелограмма ABCD, и такие,
что AR = (2/3)AB, АЕ = (l/3)AD проведена прямая. Найти отношение площади
параллелограмма к площади полученного треугольника.
4. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD, перпендикулярной стороне АВ, равна 6.
Длина диагонали АС равна
2 22
. Найти длину стороны AD.
5. Радиус окружности, в которую вписан квадрат, равен 6 см. Найти площадь квадрата.
6. Площадь равнобедренного треугольника равна 1/3 площади квадрата, построенного па
основании данного треугольника. Длины боковых сторон треугольника короче длины его
основания на 1 см. Найти длины сторон и высоты треугольника, проведенной к основанию.
7. В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на сторонах первого, а
стороны составляют со сторонами первого квадрата углы в 60°. Какую часть площади
данного квадрата составляет площадь вписанного?
8. Периметр параллелограмма 90 см. а острый угол — 60°. Диагональ параллелограмма делит
его тупой угол на части в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма.
9. В параллелограмме ABCD высота, проведенная из вершины В тупого угла на сторону DA,
делит ее в отношении 5:3, считая от вершины D. Найти отношение AC:BD, если
AD:АВ = 2.
10. Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к его диагонали, делит эту
диагональ на отрезки длиной 6 и 15 см. Разность длин сторон параллелограмма равна 7 см.
Найти длины сторон параллелограмма и его диагоналей.
11. Высота ромба равна 12 см, а одна из его диагоналей равна 15 см. Найти площадь ромба.
12. Сумма длин диагоналей ромба равна т, а его площадь равна m. Найти сторону ромба.
13. Определить сторону ромба, зная, что площадь его равна S, а длины диагоналей откосятся
как m:n.
14. Периметр ромба равен 2р, длины диагоналей относятся как m:n. Вычислить площадь
ромба.
15. Площадь прямоугольника равна 9 см2
, а величина одного из углов, образованного
диагоналями, равна 120°. Найти стороны прямоугольника.
16. В прямоугольнике ABCD на сторонах АВ = 6 и ВС = 8 взяты точки М я N так, что отрезок
MN параллелен отрезку АС. Известно, что периметр многоугольника AMNCD относится к
периметру треугольника MBN, как 7 : 3. Найти длину отрезка MN.
17. Вершины одного квадрата лежат на границе второго квадрата. Найти отношения длин
отрезков, на которые эти вершины разбивают стороны второго квадрата, сели известно,
что отношение площадей квадратов равно p.
18. В квадрате ABCD со стороной а точки Е и F являются серединами сторон АВ и CD
соответственно. Точка К лежит на CF,точка N – на AD, а отрезки EF и К N пересекаются
в точке М. Найти площадь треугольника KFM, если известно, что СК : KF = 1 : 5, а
площадь трапеции ЕМNА составляет 3/10 площади квадрата.
19. В параллелограмме ABCD величина угла BCD равна 600
, длина стороны АВ равна а.
Биссектриса угла BCD пересекает сторону AD в точке N. Найти площадь треугольника
NCD.
20. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка А, на стороне PQ – точка В так, что
NА:АР = РВ:BQ = 2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков МА и NB. В каком
отношении точка L делит отрезок MA?
21. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла В пересекает сторону AD в точке F.
Найти периметр параллелограмма, если АВ = 12 и AF:FD = 4:3.
22. Через вершины произвольного четырехугольника проведены прямые, параллельные его
диагоналям. Найти отношение площади параллелограмма, образованного этими прямыми, к
площади данного четырехугольника.
23. Точка М делит диагональ АС квадрата ABCD со стороной а в отношении AM:МС = 3:1;
точка N лежит на стороне АВ, причем угол NMD прямой. Найти длину отрезка AN.
24. В ромбе ABCD угол при вершине А равен /3. Точка N делит сторону АВ в отношении AN:BN
= 2:1. Определить тангенс угла DNC.
25. В квадрат площадью 18см2
вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата
лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 1:2.
Найти площадь прямоугольника.
26. В квадрат площадью 24 вписал прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата
лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 1:3.
Найти площадь прямоугольника.
27. В параллелограмме ABCD на диагонали АС взята точка Е, где расстояние АЕ составляет
треть длины АС, а на стороне AD взята точка F, где расстояние AF составляет четверть
длины AD. Найти площадь параллелограмма ABCD. если известно, что площадь
четырехугольника ABGE, где G — точка пересечения прямой FE со стороной ВС, равна 8.
28. В параллелограмме даны острый угол, равный 45°, и расстояния от точки пересечения
диагоналей до неравных сторон, равные соответственно 2 и 3. Найти площадь
параллелограмма.

ТЕСТ 13.11.
Решить задачи:
1. Внутренние углы выпуклого четырехугольника относятся как 2:2,5:9,5:10. Найти меньший
угол.
2. В выпуклом четырехугольнике два угла – прямые, разность двух других равна 10°. Найти
меньший угол.
3. Определить меньший внутренний угол выпуклого пятиугольника, зная, что величины их
относятся как 1:1,5:2:2,5:3.
4. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна
4320°?
5. В выпуклом пятиугольнике два внутренних угла – прямые, а остальные относятся между
собой как 3 : 4 : 5 . Найти больший угол.
6. В выпуклом четырехугольнике сумма двух внутренних углов равна 110°, а разность двух
других равна 20°. Найти больший угол.
7. В выпуклом пятиугольнике сумма двух внутренних углов равна 120°, остальные углы
относятся между собой как 6:7:8. Найти больший угол.
8. В выпуклом пятиугольнике сумма трех равных внутренних углов равна 300°, разность двух
других равна 10°. Найти больший угол.
9. Один из внутренних углов выпуклого четырехугольника равен 60°, а остальные относятся
между собой как 1:2:3. Найти больший угол.
10. В выпуклом пятиугольнике один внутренний угол – прямой, а остальные относятся между
собой как 1:2:2,5:4,5. Найти меньший угол.
11. В выпуклом правильном многоугольнике величина внутреннего угла больше внешнего на
1200
. Найти количество сторон многоугольника.
12. В выпуклом правильном многоугольнике величина внешнего угла меньше внутреннего на
1400
. Найти количество сторон многоугольника.
13. Из данных многоугольников выберите выпуклые:
A Б В Г Д
14. Найти количество диагоналей в выпуклом семиугольнике.
15. В выпуклом многоугольнике количество диагоналей равно 5. Найти количество сторон
многоугольника.
16. В выпуклом многоугольнике количество диагоналей равно 9. Найти количество сторон
многоугольника.
17. Найдите площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны 4 см. Ответ укажите с
точностью до целых.
18. Найдите площадь правильного девятиугольника с длиной стороны 5 см. Ответ укажите с
точностью до целых.
19. Найдите площадь правильного шестиугольника, если радиус описанной вокруг него
окружности равен 4.
20. Найдите площадь правильного шестиугольника, если радиус вписанной в него окружности
равен 4.
21. Найдите площадь правильного двадцатиугольника, если радиус описанной вокруг него
окружности равен 4. Ответ укажите с точностью до целых.
22. Найдите площадь четырёхугольника, если длины его диагоналей равны 3 см и 5 см, а угол
между диагоналями равен 300
.
23. Если в выпуклом четырехугольнике ABCD дано, что A=90 о и B=130о
, то чему равна
величина острого угла между биссектрисами двух других углов?
24. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 1620о
. Чему равно число его
сторон?
25. Если в пр

ТЕСТ 13.12.
1. Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить в три раза?
2. Тепловоз прошел 1413 м. Найдите диаметр колеса тепловоза, если известно, что оно сделало 300
оборотов.
3. За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космический корабль проделал путь в 84 152
км. На какой высоте над поверхностью Земли находится корабль, если радиус Земли равен 6370
км?
4. Как изменится площадь круга, если его диаметр уменьшить в три раза?
5. Диаметр основания царь-колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите
площадь основания колокола. Ответ округлите с точностью до десятых.
6. Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите площадь арены. Ответ округлите с
точностью до десятых.
7. Вычислите сумму углов: 120
25´ + 1
0
15´ + 20´
8. Вычислите разность углов: 750
25´ — 140
55´
9. Вычислите сумму углов: 20´´ + 1
0
14´40´´ + 15´ + 1,50
10. Переведите из радиан в градусы:
а)
3

; б)
6

; в)
10

; г)
4
3 
; д)
5
2  
; е)
12
7  
.
11. Переведите из градусов в радианы:
0
1 ,
0
2 ,
0
30 ,
0
16 ,
0
150 .
12. Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга составляет:
а) 1/3; б) 1/2; в) 1/5; г) 1/6; д) 2/3; е) 3/4 окружности?
13. Вычислить вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 1/12 длины окружности.
14. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна:
а) 30°; б) 45°; в) 120°. Воспользуйтесь значением π = 3,14.
15. Найдите длину маятника стенных часов, если угол его колебания составляет 60°, а длина дуги,
которую описывает конец маятника, равна 24 см.
16. Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления —
400 м. Какова градусная мера дуги закругления? Ответ округлите с точностью до десятых.
17. Какой угол в радианах образуют радиусы Земли, проведенные в две точки на ее поверхности,
расстояние между которыми равно 1000 км? Радиус Земли равен 6370 км. Ответ округлите с
точностью до сотых.
18. По данной хорде длиной 4 см найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна 60°. Ответ
округлите с точностью до десятых.
19. По данной дуге длиной 4 см найдите ее хорду, если дуга содержит 120°. Ответ округлите с
точностью до десятых.
20. Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся
части круга. Ответ округлите с точностью до целых.
21. Найти площадь сектора, если радиус круга равен 10, а центральный угол содержит 1,1 рад.
22. Определить площадь сектора, если его радиус равен 6, а центральный угол составляет 3 рад.
23. Площадь сектора радиуса 12 равна 216. Определить его центральный угол в радианах.
24. Найти длину дуги сектора, если его площадь равна 15, а радиус круга равен 6.
25. Найдите площадь заштрихованной фигуры, если радиус окружности равен 10
см, а угловая мера дуги АВ равна 1200
. Ответ округлите с точностью до целых.
26. Хорда длиной 10 см делит окружность радиусом 10 см на две части. Найдите
площадь большей из них. Ответ округлите с точностью до целых.
27. Вокруг клумбы, имеющей форму круга, проложена дорожка. Вычислите
площадь дорожки, если радиус клумбы равен 2,5 м, а ширина дорожки 0,5 м.
28. Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей
площадь сечения 314 мм2
, чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18.5 мм?
29. Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проложена дорожка шириной 1 м. Сколько
нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на 1 м2
дорожки требуется 0,8 дм3 песка?
30. Расстояние от центра окружности до хорды равно
5 3
2
и вдвое меньше радиуса. Найти длину
хорды.
31. Хорда, длина которой равна
7 12
, стягивает дугу, величина которой равна 120°. Найти длину
радиуса окружности.
32. Найти расстояние от центра окружности радиуса
7 3
2
до хорды, если ее длина равна длине
радиуса.
33. Найти расстояние от центра окружности радиуса
5 2
4
до хорды, если она стягивает дугу,
величина которой равна 90°.
34. Длина хорды равна
3 3 . Найти расстояние от центра окружности до хорды, если она стягивает
дугу в 120°.
35. Найти длину хорды, если она стягивает дугу окружности величиной в 90°, а радиус окружности
равен
3 2
16
.
36. Найти расстояние от центра окружности радиуса
3 27
до хорды, если она стягивает дугу,
величина которой равна 60°.
37. Расстояние от центра окружности до хорды равно
7 2
2
и вдвое меньше длины хорды. Найти
длину радиуса.

ТЕСТ 13.15.
Решить задачи:
1. В равнобедренном треугольнике основание 6см, а боковая сторона 5см. Найти радиус
окружности, вписанной в треугольник.
2. В равнобедренный треугольник с углом при вершине 120° и боковой стороной, равной а,
вписана окружность. Найти радиус окружности.
3. Дан равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой h. В него вписана окружность и
к ней проведена касательная, параллельная основанию. Найти радиус окружности и длину
отрезка касательной, заключенного между сторонами треугольника.
4. В равносторонний треугольник ABC вписана окружность и проведен отрезок M N ,
который касается ее и параллелен стороне АВ . Определить периметр трапеции A M N B,
если длина стороны АВ равна 18.
5. В равнобедренный треугольник с основанием а вписана окружность радиуса r. Определить
периметр треугольника.
6. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса r. Высота, проведенная к
основанию, делится окружностью в отношении 1:2, считая от вершины. Найти площадь
треугольника.
7. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12. Радиус вписанного в треугольник
круг равен 3. Найти площадь треугольника.
8. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12. Длина боковой стороны равна 10.
Найти расстояние между точками касания вписанной окружности с боковыми сторонами.
9. СЕ — высота равнобедренного треугольника АБС (АС = СВ). Центр О вписанной в
треугольник ABC окружности делит высоту треугольника СЕ на отрезки СО = 13 и
ОЕ = 5. Найти длины сторон треугольника ABC.
10. В треугольник со сторонами АВ = 4, ВС= 2, АС = 3 вписана окружность. Найти площадь
треугольника AMN, где М, N — точки касания этой окружности со сторонами AВ и АС
соответственно.
11. В треугольник со сторонами АВ = 8, ВС = 6, АС = 4 вписана окружность. Найти длину
отрезка DE, где D, Е – точки касания этой окружности со сторонами АВ и АС
соответственно.
12. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена
точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найти длины сторон треугольника.
13. В треугольнике ABC со сторонами АВ = 12см, ВС = 15 см, АС = 9 см проведена
биссектриса BB1. Пусть С1 — точка касания АВ с вписанной в треугольник окружностью,
отрезки ВВ1 и СС1 пересекаются в точке Р, продолжение АР пересекает ВС в точке А1.
Найти отношение AP/PA1.
14. Найти стороны прямоугольного треугольника, если точка касания вписанной в него
окружности делит один из катетов на отрезки длины т и п.
15. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36, вписана окружность.
Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2 : 3. Найти длину гипотенузы.
16. Вписанная окружность касается гипотенузы прямоугольного треугольника d точке,
делящей гипотенузу на отрезки, длины которых равны т = 2 см, п = 3 см. Найти радиус
этой окружности.
17. Найти сумму длин катетов прямоугольного треугольника, если длина его гипотенузы 20 см,
а радиус вписанной окружности 4 см.
18. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найти расстояние от высоты,
опушенной из вершины прямого угла до центра вписанной окружности.

ТЕСТ 13.16.
Решить задачи:
1. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 9 см и 17см. Найти радиус
окружности, если расстояние между серединами хорд равно 5 см.
2. Стороны треугольника относятся как 1 : 2 : 2 . Вычислить его площадь, если радиус
окружности, описанной вокруг треугольника равен R.
3. В равнобедренном треугольнике основание и опущенная на него высота равны 4. Найти
радиус описанной окружности.
4. В треугольник вписана окружность радиуса 2. Одна из сторон треугольника делится
точкой касания на отрезки 7 и 2. Найти радиус окружности, описанной около
треугольника.
5. Хорда окружности равна 10см. Через один конец хорды проведена касательная к
окружности, а через другой конец проведена секущая параллельно касательной. Определить
радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12см.
6. В окружность с радиусом R вписан равнобедренный треугольник ABC (АВ = ВС) с углом
ВАС, равным а. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
7. В окружности пересекающиеся хорды АВ и CD перпендикулярны, AD = т, ВС = п. Найти
диаметр окружности.
8. Круг радиуса
6
4 3 3
R



разделен на два сегмента хордой, равной стороне вписанного в
этот круг правильного треугольника. Определить площадь меньшего из этих сегментов.
9. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найти длину окружности,
описанной около данного треугольника.
10. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 14см, а радиус описанной
окружности равен 5см. Найти площадь круга, вписанною в данный треугольник.
11. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5, а высота, проведенная к ней, равна 2.
Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.
12. Периметр прямоугольного треугольника равен 21 см, а площадь его равна 24 см2
. Найти
площадь описанного круга.
13. Найти синус большего острого угла прямоугольного треугольника, если радиус окружности,
описанной около треугольника, в 2,5 раза больше радиуса вписанной окружности.
14. В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник, у которого су

ТЕСТ 13.17.
Решить задачи:
1. Диаметр окружности радиуса R является основанием правильного треугольника.
Вычислить площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга.
2. Окружность проходит через вершины А и С треугольника ABC, пересекает сторону АВ в
точке Е и сторону ВС в точке F. Угол АЕС в 5 раз больше угла BAF, а угол ABC равен 72°.
Найти радиус окружности, если АС = 6.
3. Дано круговое кольцо, площадь которого Q. Определить длину хорды большего круга,
касательной к меньшему.
4. На стороне АС треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая
сторону АВ в точке D так, что AD:DB = 12:5. Найти площадь треугольника ABC, если АС
= 26, ABC = 45°.
5. Окружность, построенная на стороне АС треугольника ABC как на диаметре, проходит
через середину стороны ВС и пересекает сторону АВ в точке D так, что AD = АВ/3.
Найти площадь треугольника ABC, если АС = 1.
6. Точка М, лежащая вне круга с диаметром АВ, соединена с точками А и В. Отрезки МА и
MB пересекают окружность в точках С и D соответственно. Площадь круга, вписанного в
треугольник AMВ, в 4 раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник CMD.
Найти меры углов треугольника AMВ, если известно, что один из них в 2 раза больше
другого.
7. Даны равнобедренный треугольник с основанием а и окружность с центром в одной из
вершин треугольника. Известно, что одна из боковых сторон треугольника делится
окружностью на три равные части. Найти радиус окружности.
8. Дан равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами А В = ВС = 10 и основанием
А С = 80
. Найти радиус окружности, проходящей через вершины В и С , центр которой
находится на высоте C D.
9. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС точка D делит сторону ВС в
отношении 2:1, считая от вершины В, а точка Е середина стороны АВ. Известно, что
медиана CQ треугольника CED равна
23 / 2
и DE =
23 / 2
. Найти радиус окружности,
описанной около треугольника ABC.
10. В треугольнике ABC угол ВАС ранен 30°, АВ = ВС. На стороне А В как на диаметре
построена окружность, пересекающая сторону АС в точке D. Найти расстояние от
вершины С до центра этой окружности, если CD=1.
11. На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника ABC как на диаметре построена
окружность, пересекающая основание этого треугольника в точке D. Найти расстояние
от вершины А до центра окружности, если AD =
3
, а угол ABC равен 120°.
12. На основании АС равнобедренного треугольника ABC как на диаметре построена
окружность, пересекающая боковую сторону ВС в точке D так, что BD:DC = 3:2. Найти
площадь треугольника ABC, если AD =
12/ 5 .
13. Площадь равнобедренного треугольника равна S, угол при вершине треугольника равен .
Найти длины высот треугольника.
14. Около равностороннего треугольника описана окружность радиуса 2
3
см, через центр
которой проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника. Найти длину
отрезка этой прямой, заключенного между двумя другими сторонами треугольника.
15. Острый угол прямоугольного треугольника равен α, радиус окружности, касающейся
гипотенузы и продолжений двух катетов, равен R. Найти длину гипотенузы этого
треугольника.
16. В прямоугольном треугольнике AВС с гипотенузой АВ проведена полуокружность радиусом
2, центр которой лежит на стороне АС и которая касается сторон АВ и ВС.
Полуокружность радиусом 1 касается этой полуокружности и стороны АВ, а центр её
также лежит на стороне АС. Найти длины сторон треугольника.
17. Катеты прямоугольного треугольника равны a и 2a. Середина катета 2а служит центром
окружности с радиусом, равным а. На какие отрезки делится этой окружностью
гипотенуза треугольника?
18. Окружность, радиус которой
8

касается гипотенузы равнобедренного прямоугольного
треугольника в вершине его острого угла и проходит через вершину прямого угла. Найти
длину дуги, заключенной внутри треугольника.
19. Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и
проходит через вершину противоположного острого угла. Центр окружности лежит на
гипотенузе треугольника, длина которой равна С. Найти радиус окружности.
20. Пусть BD — высота треугольника ABC, точка Е — середина стороны ВС. Вычислить
радиус круга, описанного около треугольника BDE, если длины сторон треугольника ABC:
АВ = 30 см, ВС = 26 см и АС = 28 см.
21. Из вершины тупого угла А треугольника ABC опущена высота AD. Из точки D радиусом
равным AD, описана окружность, пересекающая стороны треугольника А В и АС в точках
М и N соответственно. Вычислить длину стороны АС, если заданы длины отрезков АВ = с,
AM = п и AN = m.
22. Найти площадь треугольника, вписанного в окружность, если концы его стороны, равной
20 см, отстоят от касательной, проведенной через противолежащую вершину на 25 см и
16см.
23. В окружность вписан треугольник ABC. Расстояние от точек А и С до прямой, касающейся
окружности

ТЕСТ 13.18.
Решить задачи:
1. В равнобочную трапецию вписана окружность радиуса r. Верхнее основание трапеции в два
раза меньше ее высоты. Найти площадь трапеции.
2. Периметр равнобедренной трапеции вдвое больше дайны вписанной окружности. Найти угол
при основании трапеции.
3. Определить площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию с основаниями a и b.
4. Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит от концов боковой стороны на
1 см и 2 см. Найти площадь трапеции.
5. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 2. Найти площадь трапеции, если
длина боковой стороны равна 10.
6. Около круга радиуса 2 см описана равнобедренная трапеция с острым углом 30°. Найти длину
средней линии трапеции.
7. В равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса R, отношение длин боковой
стороны и большего основания есть заданное число k. Найти длину меньшего основания.
8. Вокруг окружности описана равнобочная трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус
острого угла при основании равен 0,8. Найти площадь трапеции.
9. Около круга радиуса r = 2см описана равнобочная трапеция с площадью S = 20 см2
. Найти
длины сторон трапеции.
10. Центр окружности, описанной в прямоугольную трапецию, удален от концов боковой стороны
на расстояния l1 = 4 см и l2 = 8 см. Найти длину средней линии трапеции.
11. Около круга радиуса r = 4см описана равнобочная трапеция, средняя линия которой l = 10см.
Определить длины сторон трапеции.
12. В равнобедренную трапецию, основания которой 8 см и 2 см, вписана окружность. Найти длину
окружности.
13. Найти радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, если периметр трапеции равен
2, а острый угол составляет 30o
.
14. Дана равнобедренная описанная около окружности трапеция ABCD, в которой обе диагонали
равны основанию AD. Найти углы при основании.
15. Длины, боковых сторон трапеции равны 6 см и 10 см. В трапецию можно вписать окружность.
Средняя линия делит трапецию на части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти
длины оснований трапеции.
16. Средняя лилия равнобедренной трапеции равна 5 cм и она делит трапецию на части, отношение
площадей которых равно 7/13. Найти длину высоты трапеции, если известно, что в нее можно
вписать окружность.
17. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна 32 см2
. Найти длину
боковой столпы, если угол при основании равен 30°.
18. В равнобедренную трапецию, верхнее основание которой равно 1, вписана окружность радиуса
1. Найти площадь трапеции.
19. Боковая сторона равнобедренной трапеции в 3 раза длиннее меньшего основания. Биссектрисы
тупых углов этой трапеции пересекаются в точке, лежащей на основании. Найти отношение
площади трапеции к плошали треугольника, образованного меньшим основанием и
биссектрисами.
20. В равнобедренную трапецию с основаниями ВС = 18 и AD = 32 вписан круг. Найти площадь
трапеции и площадь круга.
21. Около круга радиуса 3 описана равнобедренная трапеция с острым углом 60°. Найти длину
средней линии трапеции.
22. Разность длин оснований трапеции равна 14 см, длины боковых сторон равны 13 см и 15 см.
Вычислить площадь трапеции при условии, что в эту трапецию можно описать окружность.
23. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Найти среднюю линию
трапеции, если острый угол при основании равен α.
24. Около круга радиуса 6 см описана равнобочная трапеция, у которой основания относятся как
9:16. Определить боковую сторону трапеции.
25. Около окружности с диаметром в 15 см описана равнобочная трапеция с боковой стороной,
равной 17 см. Найти основания трапеции.
26. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов боковой стороны
на расстояния 8 см и 4 см. Найти среднюю линию трапеции.
27. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найти ее радиус, если основания
равны 2 и 3.
28. Боковая сторона описанной равнобедренной тралении равна 12см. Найти ее периметр.
29. В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиусом 4.
Найти площадь трапеции.
30. В равнобедренную трапецию площадью 28 см2 вписана окружность радиуса 2см. Найти
боковую сторону трапеции.
31. Около окружности с радиусом 2 описана равнобокая трапеция, площадь которой равна 20.
Найти боковую сторону трапеции.
32. В равнобочной трапеции, описанной окаю круга, отношение боковой стороны к меньшему
основанию равно K. Найти углы трапеции и допустимые значения K.
33. Окружность радиуса 24 см касается большего основания и обеих боковых сторон
равнобедренной трапеции. Найти большее основание трапеции, если центр окружности
находится на расстоянии 40 см от точки пересечения продолжений боковых сторон трапеции.
34. В ромб, сторона которого 20 см, вписан круг. Найти площадь круга, если одна диагональ ромба
больше другой в 4/3 раза.
35. Найти углы ромба, если известно, что площадь вписанного и нею круга вдвое меньше площади
ромба.
36. Дан ромб с острым углом α. Какую часть ромба составляет от его площади площадь
вписанного в него круга?
37. Тупой угол ромба в 5 раз больше его острого угла. Во сколько раз сторона ромба больше радиуса
вписанной в него окружности?
38. Определить угол ромба, зная его площадь Q и площадь вписанного в него круга S

ТЕСТ 13.19.
Решить задачи:
1. В равнобедренной трапеции даны длины оснований 21 и 9 и длина высоты 8. Найти радиус
описанной окружности.
2. Основания трапеции равны 4 см и 16 см. Найти ее площадь, если известно, что в трапецию
можно вписать и вокруг нее можно описать окружность.
3. Найти диагональ и боковую сторону равнобочной трапеции с основаниями 20 см и 12 см,
если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.
4. Около трапеции ABCD с основаниями AD и ВС описана окружность радиуса 6 см. Центр
описанной окружности лежит на основании AD. Основание ВС разно 4 см. Определить
площадь трапеции.
5. Трапеция KLMN с основаниями LM и KN вписана в окружность, центр которой лежит на
основании КN. Диагональ LN трапеции равна 4 см, а угол МNК равен 60°. Определить длину
основания LM трапеции.
6. В трапеции ABCD меньшее основание ВС = 7. Через вершины А, С и D проведена
окружность, которая пересекает продолжение основания ВС в точке Е. Длина ED = 7
3
, а
угол EDA равен 30°. Найти длину боковой стороны АВ.
7. Основания равнобедренной трапеции равны 12 см и 20 см, а центр описанной около нее
окружности лежит на большем основании. Вычислить площадь этой трапеции.
8. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, диагональ АС которого равна
2.
Найти площадь
круга, описанного около треугольника ABD, если известно, что ABC = 105°, ACD = 42°,
DAC = 63o
.
9. Найти сторону квадрата, вписанного в круг, площадь которого 64 см2
.
10. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R. Точка D лежит на дуге ВС, а хорды AD и
ВС пересекаются в точке М, Найти длину стороны ВС, если BMD = 120°, AB = R,
В М : М С = 2:3.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Формулы для площади треугольника

Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Произвольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – любая сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону
		Посмотреть вывод формулы	a и b – две любые стороны, С – угол между ними
		. Посмотреть вывод формулы Герона	a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона»
		Посмотреть вывод формулы	a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы
		Посмотреть вывод формулы	a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
		Посмотреть вывод формулы	a, b, c – стороны, R – радиус описанной окружности
		S = 2R² sin A sin B sin C Посмотреть вывод формулы	A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности
Равносторонний (правильный) треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – сторона
		Посмотреть вывод формулы	h – высота
		Посмотреть вывод формулы	r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	R – радиус описанной окружности
Прямоугольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a и b – катеты
		Посмотреть вывод формулы	a – катет, φ – прилежащий острый угол
		Посмотреть вывод формулы	a – катет, φ – противолежащий острый угол
		Посмотреть вывод формулы	c – гипотенуза, φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник
	где a – любая сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы
	где a и b – две любые стороны, С – угол между ними Посмотреть вывод формулы
	. где a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона» Посмотреть вывод формулы Герона
	где a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы Посмотреть вывод формулы
	где a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр Посмотреть вывод формулы
	где a, b, c – стороны, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
	S = 2R² sin A sin B sin C где A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
Равносторонний (правильный) треугольник
	где a – сторона Посмотреть вывод формулы
	где h – высота Посмотреть вывод формулы
	где r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
	где R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
Прямоугольный треугольник
	где a и b – катеты Посмотреть вывод формулы
	где a – катет, φ – прилежащий острый угол Посмотреть вывод формулы
	где a – катет, φ – противолежащий острый угол Посмотреть вывод формулы
	где c – гипотенуза, φ – любой из острых углов Посмотреть вывод формулы

Произвольный треугольник

где
a – любая сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

S = 2R² sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для площади произвольного треугольника

Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а h_a – высота, опущенная на эту сторону.

Доказательство.

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

Доказательство.

Рис. 2

Поскольку

h_a = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Доказательство.

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = h_actg C , y = h_actg B ,

то

a = x + y =
= h_actg C + h_actg B =
= h_a( ctg C + ctg B) .

Следовательно,

Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

Доказательство.

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

Доказательство.

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

Следовательно,

Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R² sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

Доказательство.

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

Поэтому

a = 2R sin A ,
b = 2R sin B ,
c = 2R sin C ,

В силу утверждения 5

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

Утверждение 7.

Если h – высота равностороннего треугольника, то его площадь

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 7.

Рис. 7

В силу утверждения 2

Рассмотрим рисунок 8.

Рис. 8

Поскольку

то

Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

Поскольку у равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство h = 3r. Следовательно,

Рассмотрим рисунок 10.

Рис. 10

Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Следовательно,

Доказательство утверждения 7 завершено.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

Утверждение 8.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 11.

Рис. 11

В силу утверждения 2

Рассмотрим рисунок 12.

Рис. 12

Поскольку

b = a tg φ ,

то

Рассмотрим рисунок 13.

Рис. 13

Поскольку

b = a ctg φ ,

то

Рассмотрим рисунок 14.

Рис. 14

Поскольку

a = c cos φ ,
b = c sin φ ,

то

Доказательство утверждения 8 завершено.

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Тест «Планиметрия»

Тест по математике.

Планиметрия

1 вариант.

Высота равностороннего треугольника равна 15 см. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

А) 5√3 см; в) 5 см; с) 6 см; д) 7 см; е) 8 см.

2. Чему равна площадь прямоугольника, если его диагональ 10 см, а одна из сторон 8 см?

А) 50 см²; в) 60 см²; с) 80 см²; д) 48 см²; е) 40 см²;

3. Окружность радиуса 4√3 см описана около правильного многоугольника со стороной 12 см. Найдите число сторон многоугольника.

А) 6; в) 5; с) 4; д) 8; е) 3.

4. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла 120°, если две другие стороны равны 6 см и 10 см.

А) 10см; в) 14 см ; с) 15 см ; д) 13 см ; е) 12 см.

5. Найдите площадь треугольника, если ВС=7 см, АС=14 см, С=30°.

А) 18,3 см²; в) 40,1 см²; с) 12,5 см²; д) 24,5 см²; е) 31 см²;

6. Четырехугольник АВСД является ромбом, у которого сторона АВ равна 17 см, диагональ ВД равна 30 см. Найдите длину диагонали АС.

А) 8 см; в) 14 см; с) 16 см; д) 17 см; е) 20 см.

7. Дан треугольник АВС. А=120°, АС=3, АВ=2. Найдите квадрат стороны ВС.

А) 7; в) 12; с) 15; д) 10; е) 19.

8. В треугольнике АВС стороны АВ=5 см, ВС=7 см. Найдите отношение синуса угла А к синусу угла С.

А) 1; в) 5/7; с) 7/5; д) 1/2; е) 2.

9. Сторона параллелограмма равна 10 см, а диагональ, равная 12 см образует с ней угол 30°. Найдите площадь параллелограмма.

А) 90 см²; в) 45 см²; с) 120 см²; д) 75 см²; е) 60 см²;

10. В прямоугольном треугольнике один катет равен 7 , а другой – 24. Найдите радиус описанной окружности.

А) 25; в) 12,5; с) 12; д) 24; е) 7.

11. Средняя линия трапеции с основанием 4 и 6 см разбивает трапецию на две фигуры. Найдите отношение площадей этих фигур.

А) 9:8; в) 11:9; с) 4:9; д) 7:8; е) 7:6.

12. Площадь прямоугольного треугольника равна 150, один из катетов равен 15. Найдите длину высоты, опущенной из вершины прямого угла.

А) 12; в) 24; с) 20√3; д) 10√3; е) 20.

13. Высота треугольника равна 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найти медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон.

А) 14; в) 12; с) 13; д) 11; е) 12,5

14. Стороны треугольника АВС равны 13 см, 14 см, 15 см. О- точка пересечения медиан. Найдите площадь треугольника АОВ.

А) 14 см²; в) 42 см²; с) 7 см²; д) 84 см²; е) 28 см²;

Тест по математике.

Планиметрия

2 вариант.

1. Точка К делит хорду АР на отрезки 12 см и 14 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от центра окружности до точки К равно 11 см.

А) 23 см; в) 17 см; с) 11 см; д) 13 см; е) 19 см.

2. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 30 см, а боковая сторона 25 см?

А) 200 см²; в) 300 см²; с) 750 см²; д) 400 см²; е) 150 см²;

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см². Найдите катеты этого треугольника.

А) 40 см; 9 см; в) 41 см; 9 см; с) 9 см; 90 см;

Д) 41 см; 90 см; е) 40 см; 41 см.

4. Полупериметр параллелограмма равен 32 см. Меньшая сторона его равна

15 см. Найдите большую сторону параллелограмма.

А) 17,5 см; в) 16 см; с) 18 см; д) 16,5 см; е) 17 см

5. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза

равна 15. Найдите периметр.

А) 28; в) 34; с) 36; д) 30; е) 25.

6. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 4 см и 3 см, а медиана третьей стороны равна 2,5 см.

А) 7,5 см²; в) 10 см²; с) 6 см²; д) 24 см²; е) 12 см²;

7. Диагональ квадрата 2√2 см. Найдите сторону квадрата.

А) 2,1 см; в) 4 см; с) 1,5 см; д) 3 см е) 2 см.

8. В прямоугольном треугольнике катет равен 7, а гипотенуза – 25. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

А) 4; в) 10; с) 3; д) 5; е) 2.

9. В равнобедренной трапеции основания равны 10 и 24, боковая сторона 25. Найдите высоту трапеции.

А) 22; в) 28; с) 20; д) 26; е) 24.

10. Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.

А) 150; в) 50; с) 75; д) 125; е) 120.

11. Боковые стороны трапеции 13 см и 15 см. Периметр равен 48 см. Найдите среднюю линию трапеции.

А) 30 см; в) 20 см; с) 15 см; д) 10 см; е) 24 см.

12. Диагонали ромба 24 и 70. Найдите сторону ромба.

А) 37; в) 44; с) 45; д) 35; е) 42.

13. Стороны параллелограмма 4см и 6 см, а угол между ними 30°. Найдите площадь параллелограмма.

А) 11 см²; в) 9 см²; с) 18 см²; д) 12 см²; е) 7 см²;

14. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 8 м и 18 м.

А) 12 см; в) 72 см; с) 36 см; д) 24 см; е) 18 см.

Ключ к тесту по теме «Планиметрия».

1 вариант. 2 вариант

1. В 1. В

2. Д 2. В

3. Е 3. А

4. В 4. Е

5. Д 5. С

6. С 6. С

7. Е 7. Е

8. С 8. С

9. Е 9. Е

10. В 10. С

11.В 11. Д

12. А 12. А

13. С 13. Д

14. Е 14. А

Самостоятельная работа по геометрии «Длина окружности» (4 варианта)

1. Найдите длину окружности, описанной около равностороннего треугольника с периметром 27 см

2. Найдите длину дуги окружности радиуса 8 см, если ее градусная мера равна 60⁰.

3. Найдите длину окружности, вписанной в ромб ABCD, если высота ромба АВ = 2 и угол В равен 30°

1. Найдите длину окружности, вписанной в квадрат с периметром 36 см

2.Найдите радиус окружности, если длина дуги данной окружности с градусной мерой 72° равна 471 см

3. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольника со стороной 4см и углом между этой стороной и диагональю, который равен 60°

1. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетом 6см и острым углом 45°

2. Найдите градусную меру дуги окружности радиуса 9 см, если длина дуги равна 15,7 см.

3. Найдите длину окружности, вписанной в равносторонний треугольник с периметром 24 см

1. Найдите длину окружности, вписанной в правильный шестиугольник с периметром 36 см

2.Радиус окружности равен 36см. Градусная мера дуги окружности равна 45°. Найдите длину этой дуги

3. Найдите длину окружности, описанной около равнобедренной трапеции, у которой диагональ перпендикулярна боковой стороне. Диагональ равна 8 см, а угол между диагональю и большим основанием равен 60°