Все правила по геометрии: Первый признак равенства треугольников / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

Такой страницы нет !!!

• Популярные запросы
  • Обстоятельство
  • Дополнение
  • Определение
  • Деление дробей
  • Математика 5 класс
  • Русский язык 7 класс
  • Русский язык 5 класс
  • Математика 6 класс
  • Русский язык 6 класс
  • Наименьшее общее кратное
  • Алгебра 7 класс
  • Алгебра 8 класс
  • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
  • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
  • Квадратный корень из неотрицательного числа
  • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
  • Деление и дроби
  • Окружность и круг
  • Доли. Обыкновенные дроби
  • Антонимы. Синонимы
  • Десятичная запись дробных чисел
  • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

Словарь геометрических понятий 7-8 класс

Геометрия,7-9 Основные определения, теоремы, формулы

7 класс Глава I Начальные геометрические сведения

Первичные понятия: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок, луч, угол, равные фигуры, середина отрезка, биссектриса угла, измерение отрезков, измерение углов

Отрезок-часть прямой, ограниченная двумя точками.

Луч-часть прямой,ограниченная точкой с одной стороны и неограниченная с другой стороны.

Угол-часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Равные фигуры-фигуры, которые совпадают при наложении друг на друга.

Середина отрезка-точка на отрезке, делящая его пополам.

Биссектриса угла-луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Единицы измерения длины отрезка: миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.

Единицы измерения углов: градус, минуты, секунды.

Длина отрезка-количество единиц измерения длины, вмещающихся между двумя концами отрезка.

Градусная мера угла-количество единиц измерения углов, вмещающихся между сторонами угла.

Прямой угол-угол,градусная мера которого равна 90⁰.

Острый угол-угол,градусная мера которого меньше 90⁰.

Тупой угол-угол,градусная мера которого больше 90⁰,но меньше 180⁰.

Развёрнутый угол-угол,градусная мера которого равна 180⁰.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая,а две других образуют прямую линию.

Свойство: сумма смежных углов равна 180⁰.

Вертикальные углы-два угла, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Свойство: вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые-прямые, которые при пересечении образуют прямой угол.

Параллельные прямые-прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Глава II Треугольники

Треугольник-фигура, состоящая из трёх точек, соединённых между собой отрезками.Точки-вершины треугольника, отрезки-стороны треугольника.

Периметр – сумма длин всех сторон.

Теорема(первый признак равенства треугольников): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: из точки,не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Медиана треугольника— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника— отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника— перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равнобедренный треугольник-треугольник, у которого две стороны равные. Равные стороны – боковые, третья сторона – основание.

Равносторонний треугольник— треугольник, у которого все стороны равны.

Свойство:в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Свойство:в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Теорема(второй признак равенства треугольников): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(третий признак равенства треугольников): если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружность-геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки-центра.

Радиус окружности-отрезок,соединяющий любую точку окружности с её центром.

Хорда-отрезок, соединяющий две любые точки окружности.

Диаметр-хорда, проходящая через центр.

Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками.

Основные задачи на построение циркулем и линейкой:

• построение отрезка, равного данному

• построение угла, равного данному

• построение биссектрисы угла

• построение середины отрезка

• построение перпендикулярных прямых

Глава III Параллельные прямые

При пересечении двух прямых третьей прямо-секущей образуются следующие виды углов:

• накрест лежащие углы

• односторонние углы

• соответственные углы

Теорема(первый признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема(второй признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема(третий признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна углы равна 180⁰, то прямые параллельны.

Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема:если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Теорема:если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180⁰.

Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: сумма внутренних углов треугольника равна 180⁰.

Внешний угол треугольника-угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника.

Остроугольный треугольник-это треугольник, все внутренние углы которого острые.

Тупоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов тупой.

Прямоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов прямой.

Гипотенуза-это сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Катеты-это стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.

Теорема:в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Теорема:в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Следствие:в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета.

Теорема(признак равнобедренного треугольника):если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Теорема(неравенство треугольника):каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Свойство:сумма двух острых углов треугольника равна 90⁰.

Свойство:катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы.

Свойство:если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то он лежит напротив угла в 30⁰.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Теорема:все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

8 класс. Глава V Четырёхугольники

Многоугольник-фигура, состоящая из нескольких точек плоскости, поочередно соединённых между собой непересекающимися отрезками.

Диагональ-это отрезок, соединяющий две несоседних вершины многоугольника.

Выпуклый многоугольник— это многоугольник, который весь лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Теорема:Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n-2)*180⁰.

Параллелограмм— это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство:в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство:диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Трапеция-это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.Параллельные стороны-основания, непараллельные стороны-боковые.

Равнобедренная трапеция-это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция-это трапеция, у которой один из углов прямой.

Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пресекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Прямоугольник-это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство: диагонали прямоугольника равны.

Теорема(признак прямоугольника):если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Глава VI Площадь

Площадь плоской фигуры-это количество единичных квадратов, вмещающихся в данную фигуру.

Единицы измерения площади: мм²,см², дм², м², ар=100м², км² , га=100км².

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Площадь трапеции равна полусумме её оснований на высоту.

Теорема Пифагора:в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема(обр.):если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.

Глава VII Подобные треугольники

Отрезки m и n пропорциональны отрезкам m₁и n₁,если отношения их длин равны m:m₁= n: n_1.

Подобные треугольники— это треугольники,_{у которых соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.}

Коэффициент подобия- это число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Свойство биссектрисы тр-ка: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Теорема(первый признак подобия треугольников):если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема(второй признак подобия треугольников):если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Теорема(первый признак подобия треугольников):если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема:Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Среднее пропорциональное(среднее геометрическое)двух величин – это квадратный корень из произведения этих величин.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

С. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы,заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Синус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к прилежащему .

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к противолежащему .

Глава VIII Окружность

Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Т. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Т.(обр.) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности.

Дуга окружности измеряется центральным углом, который на неё опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Т.Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

С. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

С. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Т. Если две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

9 класс

Средняя линия трапеции— это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Теорема:средняя линия трапеции равна полусумме её оснований и параллельна им.

Окружность: радиус, хорда, диаметр и дуга

Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.

Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой  O:

Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:

Построение окружности циркулем

Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:

Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:

Радиус, хорда и диаметр

Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой  R  или  r.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Диаметр обозначается буквой  D.  Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:

D = 2r.

Дуга

Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:

Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:

Для обозначения дуг используется символ  :

• AFB  — дуга с концами в точках  A  и  B,  содержащая точку  F;
• AJB  — дуга с концами в точках  A  и  B,  содержащая точку  J.

О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.

Хорда  AB  стягивает дуги  AFB  и  AJB.

Основные геометрические понятия | Математика

Тела отличаются друг от друга весом, цветом, плотностью, твердостью, занимаемым ими местом и т. д.

Эти признаки называются свойствами тел.

Тела, обладающие этими свойствами, называются физическими телами.

Между этими свойствами особенного внимания заслуживает свойство тела, называемое протяженностью.

Протяженность есть свойство тела занимать в пространстве определенное место.

Его называют геометрическим свойством тела. Этим свойством определяется форма и величина тела.

Тело, обладающее только одним свойством протяженности, называется геометрическим телом. Рассматривая геометрическое тело, обращают внимание только на его форму и величину.

Остальные свойства тела называются физическими.

Геометрическое тело есть место, занимаемое физическим телом.

Геометрическое тело ограничено со всех сторон. Оно отделяется от остального пространства поверхностью тела. Чтобы выразить это, говорят, что

Поверхность есть предел тела.

Одна поверхность отделяется от другой линией. Линия ограничивает поверхность, поэтому линию называют границей поверхности.

Линия есть предел поверхности.

Конец линии называется точкой. Точка ограничивает и отделяет одну линию от другой, поэтому точку называют границей линии.

Точка есть предел линии.

На чертеже 1 изображено тело, имеющее форму закрытого со всех сторон ящика. Оно ограничено шестью сторонами, образующими поверхность ящика. На каждую из сторон ящика можно смотреть как на отдельную поверхность. Эти стороны отделяются друг от друга 12 линиями, образующими ребра ящика. Линии же отделяются друг от друга 8 точками, составляющими углы ящика.

Тела, поверхности и линии бывают неодинаковой величины. Это значит, что они занимают неодинаковое пространство, или неодинаковое протяжение.

Объем тела. Величина геометрического тела называется объемом или вместимостью тела.

Площадь поверхности. Величина поверхности называется площадью.

Длина линии. Величина линии называется длиною.

Длина, площадь и объем являются разнородными величинами. Они измеряются различными единицами и употребляются для различных целей. Чтобы найти расстояние двух предметов, ширину руки, глубину колодца, высоту башни, определяют длину линии. Для этого делают только одно измерение, то есть производят измерение в одном направлении. При измерении прибегают к единицам длины. Эти единицы длины называются верстами, саженями, аршинами, футами, метрами и т. д. Единица длины имеет одно измерение, поэтому и говорят, что

Линии имеют одно измерение. Линии не имеют ни ширины, ни толщины. Они имеют одну длину.

Чтобы иметь понятие о размерах картины, нужно знать ее длину и ширину. Длина и ширина дают понятие о площади картины. Для определения площади нужно стало быть сделать два измерения, или измерить картину в двух направлениях. Для определения величины площади прибегают к единицам площадей. За единицу площадей принимают квадрат, стороны которого имеют определенную единицу длины. Единицы площадей называются квадратными милями, квадратными верстами, квадратными футами и т. д. Квадратная верста есть площадь квадрата, у которого каждая сторона равна версте, и т. д. Единица площадей имеет два измерения: длину и ширину. Так как поверхности измеряются единицами площадей, то в этом смысле и говорят, что

Поверхности имеют два измерения. Поверхности не имеют толщины. Они могут иметь только длину и ширину.

Чтобы иметь понятие о вместимости комнаты или ящика, нужно знать их объемы. Для этого нужно знать длину, ширину и высоту комнаты, то есть сделать три измерения или измерить ее в трех направлениях. Объемы измеряются единицами объема. За единицу объема принимают куб, каждая сторона которого равна единице. Единицы объема имеют три измерения: длину, ширину и высоту. Так как объемы измеряются единицами объемов, то и говорят, что

Тела имеют три измерения.

Единицы объемов называются кубическими верстами, кубическими футами и т. д. Смотря по длине стороны куба.

Точка не имеет ни длины, ни ширины, ни вышины, или точка не имеет измерения.

Геометрические протяжения. Линии, поверхности и тела называются геометрических протяжениями.

Геометрия есть наука о свойствах и измерении геометрических протяжений.

Геометрия есть наука о пространстве. В ней излагается совокупность необходимых отношений, связанных с природой пространства.

Образование геометрических протяжений движением

На линию можно смотреть так же, как на след, оставляемый движением точки, на поверхность как на след, оставляемый движением лини и на тело как на след, оставляемый движением поверхности. На этих соображениях основаны другие определения линии, поверхности и тела.

Линия есть геометрическое место движущейся точки.

Поверхность есть геометрическое место движущейся линии.

Тело есть геометрическое место движущейся поверхности.

Все предметы, рассматриваемые в природе, имеют три измерения. В ней нет ни точек, ни линий, ни поверхностей, а существуют только тела. Однако в геометрии рассматривают точки, линии и поверхности отдельно от тел. При этом некоторое приближенное наглядное представление о поверхности дает нам очень тонкая оболочка тела, наглядное представление о линии дает очень тонкая нить или волосок и о точке конец нити.

Линии

Линии разделяются на прямые, ломаные и кривые.

Прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками.

Сильно натянутая тонкая нить дает некоторое наглядное представление о прямой линии.

Всякую линию обозначают буквами, поставленными при ее точках. Чертеж 2 изображает прямую линию AB. Во всякой прямой линии обращают внимание на ее направление и величину.

Направление прямой линии определяется ее положением.

Ломаная линия есть последовательное и непрерывное соединение нескольких прямых, имеющих неодинаковое направление.

Ломаная линия ABCD (черт. 3) составлена из прямых AB, BC, CD, имеющих неодинаковое направление.

Кривая линия есть такая, которая не может быть составлена из прямых.

Линия, изображенная на черт. 4, будет кривой линией.

Линия, составленная из прямых и кривых, называется иногда составной линией.

Чертеж (4, а) представляет такую составную линию.

Поверхности

Поверхности разделяются на прямые или плоские и кривые. Плоская поверхность называется плоскостью.

Плоскость. Поверхность называется плоскостью в том случае, когда всякая прямая линия, проведенная через каждые две точки поверхности, лежит на ней всеми своими точками.

Кривая поверхность есть такая, которая не может быть составлен из плоскостей.

Прямая линия, проведенная между всякими двумя точками кривой поверхности, не помещается на ней всеми своими промежуточными точками.

Некоторое наглядное представление о плоскости дает поверхность хорошо полированного зеркала или поверхность стоячей воды. Примером кривых поверхностей может послужить поверхность бильярдного шара.

Разделы геометрии

Геометрия делится на планиметрию и стереометрию.

Планиметрия изучает свойство геометрических протяжений, рассматриваемых на плоскости.

Стереометрия изучает свойства таких геометрических протяжений, которые не могут быть представлены в одной плоскости.

Планиметрия называется геометрией на плоскости, стереометрия — геометрией в пространстве.

Геометрия разделяется еще на начальную и высшую. В настоящем сочинении предлагается изложение только начальной геометрии.

Различные формы выражения геометрических истин

Геометрические истины выражаются в форме аксиом, теорем, лемм и проблем или задач.

Аксиома есть истина, но своей очевидности не требующая доказательства.

Примерами истин, не требующих доказательства, могут послужить следующие аксиомы:

1. Целое равно сумме своих частей.

2. Целое больше своей части. Части меньше целого.

3. Две величины, равные одной и той же третьей, равны между собой.

4. Прибавив или вычтя из равных величин поровну, получим величины равные.

5. Прибавив или вычтя из равных величин не поровну, получим величины неравные.

6. Прибавив или вычтя из неравных величин поровну, получим величины неравные.

7. Сумма больших больше суммы меньших величин.

8. Однородная величина, которая не больше и не меньше другой, равна ей и т. д.

Теорема. Теоремой или предположением называется истина, требующая доказательства.

Доказательство есть совокупность рассуждений, делающих теорему очевидной.

Теорема доказывается при помощи аксиом.

Состав теоремы. Всякая теорема состоит из условия и заключения.

Условие называется иногда предположением, допущением, а заключение называют иногда следствием. Условие дано и потому получает иногда название данного.

Теорема называется обратной, если заключение делается условием, а условие или предположение заключением. В таком случае данная теорема называется прямою. Не всякая теорема имеет свою обратную.

Проблема или задача есть вопрос, разрешаемый при помощи теорем.

Лемма есть вспомогательная истина, облегчающая доказательство теоремы.

Первый признак равенства треугольников. Геометрия. 7-й класс

Цели:

1. Повторить понятие треугольника и его элементов, равенство соответственных сторон и углов в равных треугольниках, понятие “теоремы” и ввести понятие “доказательства теоремы”; доказать первый признак равенства треугольников.
2. Развитие умения анализировать и делать выводы.
3. Воспитание познавательного интереса к предмету посредством применения новейших информационных технологий обучения.

Задача урока:

Добиться сознательного усвоения материала, формируя умственные действия поэтапно и реализуя каждый этап в видимой схеме действия на слайде. Приведенная система заданий на слайдах отличается от имеющихся в учебнике простотой и наличием готовых чертежей, и возможностью акцентирования внимания учащихся на важных моментах изучаемого материала посредством анимированного выделения, подчеркивания и т.д., и облегчает выполнение поставленной задачи при первичном закреплении такой важной темы как первый признак равенства треугольников.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, доска, файл презентации.

Формы и методы:

• фронтальная, парная, индивидуальная;
• вербальный, наглядный, репродуктивный, проблемно-поисковый.

Учебник: Атанасян Л.С. и др., «Геометрия 7–9»: Учеб. для общеобразоват. учреждений, 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002, -384 с.: ил.

ХОД УРОКА

1. Проверка домашнего задания. Устная проверка № 92. Решение № 90 записано на доске учеником во время перемены.

Повторяется понятие периметра треугольника.

2. Актуализация:

а) Опрос: Какую фигуру называют треугольником?

— Что называют элементами треугольника?

— Какие треугольники называются равными?

— Что называют “аксиомой”?

— Что называют “теоремой”?

б) Работа по слайдам: (слайд № 1.  Презентация).

3. Данное задание сопровождается проверкой на слайде одновременным выделением красным цветом названных элементов и углов. Акцентируется внимание учащихся на том, что в равных треугольниках шесть пар соответственно равных элементов, о чем появляется запись и шесть равенств.

<Рисунок 1>

2. Слайд № 2.

Данное задание имеет исследовательский характер и обращает внимание учащихся на то, что по тройке известных элементов (двум сторонам и углу между ними) можно восстановить треугольник и, следовательно, появляется возможность сравнения треугольников без наложения и предположить их равенство, т.е. является одним из моментов доказательства первого признака равенства треугольников.

Ответы по устной работе оцениваются.

<Рисунок 2>

3. Постановка проблемы (слайд № 3).

Поставленный вопрос подразумевает сравнение треугольников. Ясно, что наложение треугольников невозможно, появляется потребность сравнения отдельных элементов. Ставится вопрос: “Все шесть элементов треугольников надо сравнить?”

В случае затруднения можно вспомнить задание на слайде № 2, где уже было сделано предположение о равенстве треугольников, имеющих по три соответственно равных элемента: две пары равных сторон и одно равенство углов, заключенных между ними. Формулируется учащимися вывод о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними. Вводится понятие “признака”. Записывается в тетрадях новая тема.

<Рисунок 3>

4. Новая тема (слайд № 4).

На данном слайде появляется формулировка теоремы: “Первый признак равенства треугольников”.

Формулировка теоремы разбивается на составные части. Каждая часть теоремы сопровождается последующим анимированным выделением на рисунке называемых элементов треугольников и произносится учащимися вслух. Таким образом, происходит поэлементная отработка каждого слова формулировки теоремы (компактный метод Я.И. Груденова). Учитель объясняет, что в формулировке теоремы необходимо выделять условие и заключение (данные и требование) и объясняет оформление теоремы.

<Рисунок 4>

5. Физкультминутка.

6. Слайд № 5.

На слайде появляется условие, заключение теоремы и чертеж. Доказательство теоремы также появляется по частям с последующей наглядной анимацией на чертеже. Доказательство теоремы записывается учащимися в тетрадях. Для закрепления доказательства ставится вопрос: “На какие знания мы опирались в доказательстве теоремы?”, “Облегчит ли полученный признак решение задач на равенство треугольников?”, “Из равенства треугольников будет ли следовать равенство соответственных сторон и соответственных углов?”.

Ответы активных учащихся оцениваются.

<Рисунок 5>

7. Закрепление: Решение задачи № 94. Учитель после совместного обсуждения с учащимися показывает на доске оформление условия и доказательства задачи.

8. Дальнейшее закрепление новой темы (слайд № 6): Данное задание направлено на отработку навыка распознавания первого признака равенства треугольников и предлагается аналогичная самостоятельная работа (на слайде № 7) с взаимопроверкой в парах и последующей проверкой на слайде. Ответы выборочно оцениваются.

<Рисунок 6>

<Рисунок 7>

9. Домашнее задание: № 89(а), № 9 5(а), §1 пункт 15 вопросы № 3, 4 стр.49.

10. Итоги урока.

— Какой момент был самый интересный на уроке?

— Что нового узнали на уроке?

— Сформулируйте первый признак равенства треугольников?

Список литературы

1. Арутюнян Е.Б., Математические диктанты для 5–9-х классов: Кн. для учителя, -М.: Просвещение, 1991. -80 с.
2. Атанасян Л.С., Геометрия 7–9: Учеб. для общеобразоват. учреждений, -М.: Просвещение, 2002. -384 с.
3. Атанасян Л.С., Изучение геометрии в 7–9-х классах: Кн. для учителя, -М.: Просвещение, 1997. -255 с.
4. Виноградова Л.В., Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие, -Ростов н/Д.: Феникс, 2005. -252 с.: ил.
5. Савин А.П. Энциклопедический словарь математика, -М.: Педагогика, 1989. -352 с.

Четырехугольники. Основные теоремы, формулы и свойства. Виртуальный справочник репетитра по математике

Здесь ученики и репетиторы по математике и могут найти основные свойства и формулы площадей четырехугольников, изучаемых в школе по основной программе. Регулярно пользуюсь этими теоретическими сведениями на тематических и обзорных занятиях по геометрии (планиметрии), а также при подготовке к ЕГЭ по математкие. Все математические понятия и факты иллюстрированы с цветовыми выделениями главных особенностей изучаемого.

1) Площади четырехугольников

Площадь параллелограмма

произведение основания на высоту

пороизведение сторон на синус угла между ними

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними

Площадь трапеции

произведение полусуммы оснований на высоту

произведение средней линии на высоту

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними

Площадь произвольного четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей на синус угла между ними

2) Свойства параллелограмма

В параллелограмме:
противолежащие стороны и углы равны

диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

3) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, то есть

3) Cредняя линия в трапеции

Теорема о средней линии: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
То есть и

4) Средняя линия в равнобедренной трапеции

Средняя линия в равнобедренной трапеции равна отрезку нижнего основания, соединяющему вершину основания с снованием проведенной к ней высоты.

То есть

5) Теорема с сдвиге диагонали в трапеции

Теорема: Если в трапеции через вершину В, как показано на рисунке слева , провести отрезок параллельный одной из диагоналей, то окажутся верными следующие факты:

трапеция  — равнобедренная равнобедренный

6) Четыре замечательные точки в трапеции

Теорема: В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пеерсечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

То есть точки M, N, K и P лежат на одной прямой

Комментарий репетитора по математкие: Знаний этих свойств по четырехугольникам вполне достаточно для решения задачи С4 на ЕГЭ, то есть ничего сверх этих фактов по четырехугольникам абитуриент знать не обязан. Однако сильным ученикам для решения сложных задач части С или олимпиадных геометрических задач, а также для качественной подготовки к экзамену по математике в МГУ необходимо расширить список. Я бы не советовал репетиторам ограничиваться только задачами на применение этих свойств, так как составителями ЕГЭ по математике закладывается проверка сразу нескольких навыков работы с теорией. В течении всего времени подготовки к ЕГЭ репетитору по математкие необходимо отбирать тренировочные задачи на одновременное использование этих свойств с другими планиметрическими фактами внутри одной задачи, ибо на экзамене может встретиться многоходовая комбинация.

Колпаков Александр Николаевич. Репетитор по математике.

Метки: Геометрия, Справочник репетитора

линий и углов — определения и свойства | Учебник по геометрии

Вот некоторые основные определения и свойства линий и углов в геометрии. Эти концепции проверяются на многих конкурсных вступительных экзаменах, таких как GMAT, GRE, CAT.

Эти важные геометрические концепции образуют основу, на которой можно строить более сложные идеи. Не волнуйтесь, если вы раньше не сталкивались с этим.

Мы начнем с самых простых идей, а затем построим на их основе другую связанную теорию.

Добавьте эту страницу в закладки для удобного использования, чтобы вы могли вернуться к ней в любое время, когда почувствуете, что вам нужен повторный курс по линиям и углам.

Сегмент линии : сегмент линии имеет две конечные точки определенной длины.

Луч : Луч имеет одну конечную точку и бесконечно проходит в одном направлении.

Прямая : Прямая линия не имеет ни начальной, ни конечной точки и имеет бесконечную длину.

Острый угол : Угол между 0 ° и 90 ° является острым углом, ∠A на рисунке ниже.

Тупой угол : Угол между 90 ° и 180 ° является тупым углом, ∠B, как показано ниже.

Прямой угол : Угол 90 ° является прямым углом ∠C, как показано ниже.

Прямой угол : Угол, равный 180 °, является прямым углом, ∠AOB на рисунке ниже.

Дополнительные уголки :

На рисунке выше AOC + ∠COB = ∠AOB = 180 °

Если сумма двух углов составляет 180 °, эти углы называются дополнительными углами.

Два прямых угла всегда дополняют друг друга.

Пара смежных углов, сумма которых равна прямому углу, называется линейной парой.

Дополнительные уголки :

∠COA + ∠AOB = 90 °

Если сумма двух углов составляет 90 °, то эти два угла называются дополнительными углами.

Смежные углы :

Углы, которые имеют общее плечо и общую вершину, называются смежными углами.

На рисунке выше ∠BOA и ∠AOC являются смежными углами.Их общая рука — OA, а общая вершина — «O».

Вертикально противоположные углы :

Когда две прямые пересекаются, углы, образованные противоположно друг другу в точке пересечения (вершине), называются вертикально противоположными углами.

На рисунке выше

x и y — две пересекающиеся линии.

∠A и ∠C составляют одну пару вертикально противоположных углов, а

∠B и ∠D образуют еще одну пару вертикально противоположных углов.

Перпендикулярные линии: Когда есть прямой угол между двумя линиями, считается, что линии перпендикулярны друг другу.

Здесь прямые OA и OB перпендикулярны друг другу.

Параллельные линии :

Здесь A и B — две параллельные прямые, пересекаемые линией p.

Прямая p называется трансверсалью, которая пересекает две или более прямых (не обязательно параллельных прямых) в разных точках.

Как видно на рисунке выше, когда трансверсаль пересекает две прямые, образуется 8 углов.

Давайте рассмотрим детали в табличной форме для удобства пользования.

Когда трансверсаль пересекает две параллельные прямые,

1. Соответствующие углы равны.
2. Вертикально противоположные углы равны.
3. Альтернативные внутренние углы равны.
4. Альтернативные внешние углы равны.
5. Пара внутренних углов на одной стороне поперечины является дополнительной.

Можно сказать, что линии параллельны, если мы сможем проверить хотя бы одно из вышеупомянутых условий.

Давайте посмотрим на несколько примеров.

Решенные примеры

Пример 1. Если прямые m и n параллельны друг другу, определить углы ∠5 и ∠7.

Решение :

Определение одной пары может позволить найти все остальные углы. Ниже приводится один из многих способов решить этот вопрос.

∠2 = 125 °

∠2 = ∠4, так как их углы противоположны по вертикали.

Следовательно, ∠4 = 125 °

∠4 — один из внутренних углов на одной стороне трансверсали.

Следовательно, 4 + ∠5 = 180 °

125 + 5 = 180 → ∠5 = 180 — 125 = 55 °

∠5 = ∠7, т.к. углы противоположные по вертикали.

Следовательно, 5 = ∠7 = 55 °

Примечание : Иногда свойство параллельности линий может не упоминаться в формулировке проблемы, и линии могут казаться параллельными друг другу; но они могут быть не такими. Важно определить, параллельны ли две линии, проверяя углы, а не взглядом.

Пример 2. Если ∠A = 120 ° и ∠H = 60 °. Определите, параллельны ли линии.

Решение :

Дано ∠A = 120 ° и ∠H = 60 °.

Поскольку соседние углы являются дополнительными, A + ∠B = 180 °

120 + B = 180 → ∠B = 60 °.

Принято, что ∠H = 60 °. Мы видим, что ∠B и ∠H — внешние альтернативные углы.

Когда внешние альтернативные углы равны, линии параллельны.

Следовательно, прямые p и q параллельны.

Мы можем проверить это, используя другие ракурсы.

Если ∠H = 60 °, ∠E = 120 °, поскольку эти два находятся на прямой линии, они являются дополнительными.

Теперь ∠A = ∠E = 120 °.A и ∠E — соответствующие углы.

Когда соответствующие углы равны, линии параллельны.

Точно так же мы можем доказать, используя и другие углы.

Пример 3. Если p и q — две прямые, параллельные друг другу и ∠E = 50 °, найдите все углы на рисунке ниже.

Решение :

Дано ∠E = 50 °.

Две линии параллельны

→ Соответствующие углы равны.

Поскольку ∠E и ∠A — соответствующие углы, A = 50 °.

→ Вертикально противоположные углы равны.

Поскольку A и ∠C вертикально противоположны друг другу, C = 50 °.

Поскольку E и ∠G вертикально противоположны друг другу, ∠G = 50 °.

→ Внутренние углы на одной стороне поперечины являются дополнительными.

∠E + ∠D = 180 ° → 50 + ∠D = 180 ° → ∠D = 130 °

→ ∠D и ∠B — вертикально противоположные углы. Итак, ∠B = 130 °.

→ ∠B и ∠F — соответствующие углы. Итак, ∠F = 130 °.

→ ∠F и ∠H — вертикально противоположные углы. Итак, ∠H = 130 °.

∠D = ∠O + 90 ° → 130 = ∠O + 90 → ∠O = 40 °

Продолжить изучение:
— Свойства и формулы кругов
— Типы треугольников и свойства
— Свойства четырехугольников (параллелограммы, трапеции, ромб)

SAT Geometry: что нужно знать

Дополнительный материал: Руководство по геометрии PrepMaven SAT

SAT состоит из двух математических разделов: раздела без калькулятора (20 вопросов) и раздела калькулятора (38 вопросов).

Тестируемые, вероятно, столкнутся с вопросами о геометрии по обоим из них.

Это может напугать многих студентов!

Для многих участников теста SAT геометрия может показаться несколько «запыленной» концепцией, особенно для юниоров и пожилых людей, которые годами не изучали треугольники и круги. Для других геометрия могла быть просто той областью математики, которая просто не имела смысла!

К счастью, геометрия SAT сильно отличается от геометрии, которую студенты изучают в традиционных классах.Во-первых, на SAT нет никаких доказательств.

Плюс, геометрия SAT составляет лишь очень маленькую часть теста. Хотя эти вопросы действительно охватывают довольно широкий круг вопросов, темы ограничены и должны быть вам знакомы после рассмотрения.

Вы можете применить все, что вы узнали в этом посте, к практическим задачам, доступным в нашем Руководстве по геометрии SAT. Возьмите его ниже.

Загрузить Руководство по геометрии SAT от PrepMaven

Вот что мы расскажем в этом посте:

SAT состоит из двух математических разделов:

• Без калькулятора: 20 вопросов, 25 минут
• Калькулятор: 38 вопросов, 55 минут

Геометрия SAT скорее всего появится в обоих этих разделах.Тем не менее, есть хорошие новости: , эти вопросы, скорее всего, составляют лишь около 10% вопросов SAT по математике.

Вот что мы обычно видим:

• 2-4 вопроса о геометрии в разделе без калькулятора
• 3-6 Вопросы по геометрии в разделе «Калькулятор»

Кроме того, эти вопросы проверяют конечных объемов геометрического содержимого. Вопросы по геометрии SAT часто касаются следующих тем:

• Углы и многоугольники
• Объем и площадь
• Треугольники
• Круги

Что это означает для участников теста SAT?

Две вещи: знать содержание и знать, как оно проверяется .Мы обсудим это подробнее в следующем разделе этого поста!

Есть несколько основных стратегий, которые студенты должны помнить, когда дело касается SAT Geometry.

1) Поймите, чего от вас ждут

Если у вас есть четкое представление о том, какие концепции будут проверяться, вы будете знать, какие инструменты использовать из своего арсенала. Вы также сможете более эффективно решать сами проблемы.

2) Знать формулы

Во-вторых, вы должны найти время, чтобы убедиться, что вы знаете все необходимые формулы от и до. Сюда входят формулы, которые приведены в справочном поле в начале каждого математического раздела:

Вы сэкономите драгоценное время и умственную энергию, если не будете изо всех сил пытаться найти правильное уравнение для решения проблемы!

3) По возможности рисуйте картинки

Если вопрос о геометрии не включает изображение, обязательно нарисуйте изображения .Иногда что-то, что кажется трудным в словах, становится очевидным, когда вы видите это перед собой.

Если вам дано изображение, на котором отмечены определенные длины сторон и углы, а другие оставлены как переменные, убедитесь, что вы физически записываете новые измерения по мере их решения. Вы же не хотите держать все прямо в голове!

Имейте в виду, что фигуры не часто рисуются в масштабе. Не принимайте размер угла или длину стороны на основе того, как выглядит изображение.Вы должны доказать ценность, основываясь на том, что, как вы знаете, является правдой.

4) Отключите эти вопросы

Проблемы с геометрией, как правило, являются одними из самых трудоемких задач теста, поэтому, возможно, имеет смысл оставить их напоследок.

Помните, что за все вопросы SAT начисляется одинаковое количество баллов, поэтому нет смысла тратить минуты на решение сложных задач. Если у вас мало времени и / или возникли проблемы с предыдущими разделами, прежде чем переходить к этому разделу, сосредоточьтесь на них.

Основные темы геометрии, которые студенты могут ожидать, включают:

• Углы и многоугольники
• Объем и площадь поверхности
• Треугольники
• Круги

Ниже мы подробно рассмотрим каждую из этих областей содержания. Вы также можете скачать все эти советы и , чтобы применить их к практическим задачам прямо сейчас, с нашим бесплатным руководством по геометрии SAT .

Скачать SAT Geometry Guide

Тема 1. Углы и многоугольники

Это может показаться большой темой. Потому что это так! Однако, как мы уже несколько раз говорили в этом посте, SAT проверяет эту тему предсказуемо.

В целом, эти вопросы по геометрии SAT охватывают:

• Точки в плоскости координат XY
• Параллельные линии
• Полигоны

Некоторые вопросы по геометрии SAT могут попросить вас найти расстояние между двумя точками или промежуточную точку между двумя наборами координат.

Чтобы решить эти вопросы, учащиеся должны знать следующие уравнения:

Другие вопросы могут показывать набор параллельных линий, пересекаемых другой линией, называемой поперечной линией .

Эти вопросы часто просят учащихся решить для одного или нескольких углов, образованных пересечением. Чтобы решить эти вопросы, учащиеся должны знать следующие угловые отношения:

• Вертикальные углы равны
• Соответствующие углы равны
• Альтернативные внутренние углы равны
• Внутренние углы с той же стороны являются дополнительными (в сумме 180 °)
• Углы, составляющие прямую, являются дополнительными (в сумме 180 °)

Сокращение: помните, что когда набор параллельных линий разрезается третьей линией, все малые углы равны друг другу, а все большие углы равны друг другу.Любой большой угол + малый угол будет равен 180 °.

На этом рисунке углы 1, 4, 5 и 8 равны, а углы 2, 3, 6 и 7 равны. Сумма любого из этих первых углов (т. Е. 1, 4, 5 и 8) плюс любой из этих вторых углов (т. Е. 2, 3, 6 и 7) составит 180 °.

Теперь давайте рассмотрим пример вопроса о геометрии SAT с параллельными линиями:

Как решить:

Это простой! Вы знаете, что любой большой угол будет дополнительным к любому малому углу.Поскольку угол 1 равен 35 °, угол 2 будет просто 180 ° — 35 °, что равно 145 °, или выбор D.

Учащиеся также могут видеть вопросы, связанные с полигонами. Правильный многоугольник — это любая форма, в которой все стороны и углы равны друг другу.

Учащиеся должны знать следующие правила о многоугольниках:

• Сумма всех внутренних углов в многоугольнике со сторонами n = 180 ° ( n- 2).
  • Соответственно, каждый внутренний угол в правильном многоугольнике со сторонами n = 180 ° ( n- 2) / n.
• Теорема о внешнем угле
  • Внешний угол образуется при удлинении любой стороны многоугольника. Внешний угол всегда будет равен дополнению к прилегающему углу (т.е. внешний угол + прилегающий угол будет равен 180 °).
  • Если многоугольник является треугольником, внешний угол равен сумме несмежных углов в треугольнике.

Давайте посмотрим на пример задачи с многоугольниками:

Как решить:

Этот многоугольник имеет 4 стороны, поэтому сумма внутренних углов будет равна 180 ° x ([4] -2), что составляет 360 °. Это означает, что 45 ° + x ° + x ° + x ° = 360 °. Решая относительно x, получаем 105 ° или выбор D.

Эти вопросы по геометрии SAT могут проверять любое (или все) из следующего:

• Объем твердых тел
• Площадь поверхности правильных твердых тел

В общем, для SAT не так уж и много нужно запоминать с объемом и площадью поверхности.

Справочная информация в начале каждого раздела математики SAT предоставит большинство необходимых формул, и любые необычные формулы, скорее всего, будут указаны в задаче.

Но помните: вы можете сэкономить драгоценное время, запоминая формулы, приведенные в справочной информации!

Полезно помнить, что объем всех обычных твердых частиц можно найти по следующей формуле:

• Объем = Площадь основания x Высота

Большинство вопросов по SAT касается правого цилиндра.Поскольку основание цилиндра представляет собой круг, в эти вопросы также будут включены концепции, связанные с кругами (более подробную информацию см. В последнем разделе этого сообщения).

Ниже приведены формулы объема, которые вы должны знать для теста:

• Объем прямоугольной призмы

Давайте рассмотрим пример вопроса с объемом:

Как решить:

Если объем цилиндра равен 72 π, а высота равна 8 ярдам, то подставляя формулу для объема правого цилиндра, мы получаем 72π = 8πr ^ 2.Решая для r, мы получаем 3 ярда.

Однако вопрос касается диаметра, а не радиуса. Поскольку диаметр = 2r, ответ — 6 ярдов.

Некоторые проблемы с объемом могут быть более сложными, если объединить несколько форм в один вопрос. Давайте посмотрим на один из них:

Как решить:

Хотя на первый взгляд этот вопрос может показаться сложным, на самом деле он не сложнее предыдущей.2 (з). Здесь радиус цилиндра 5 футов, а высота 10 футов. Это означает, что объем цилиндра равен 250π, или ~ 785,40 кубических футов. Таким образом, общий объем силоса составляет 130,90 кубических футов + 130,90 кубических футов + 785,40 кубических футов или 1047,2 кубических футов, выбор D.

Площадь

Площадь поверхности — это сумма площадей каждой из граней многоугольника.

Для большинства призм это довольно просто.

Для цилиндра это немного менее интуитивно понятно: цилиндр — это, по сути, прямоугольник, обернутый вокруг круглого основания (при этом прямоугольник имеет длину, равную длине окружности этого круга).

Это означает, что уравнение площади поверхности цилиндра выглядит следующим образом:

• Площадь поверхности цилиндра

SAT любит проверять треугольники и включать их в другие вопросы по геометрии.Основные типы треугольников, которые проходят тесты SAT:

• Равнобедренные треугольники
  • Две стороны равны, и соответствующие углы между этими сторонами также совпадают.
• Равносторонние треугольники
  • Все стороны и все внутренние углы равны. Каждый внутренний угол составляет 60 °.
• Правые треугольники

Студенты также должны быть знакомы с некоторыми другими правилами треугольников:

• Все внутренние углы складываются в 180 °
• Сумма любых двух сторон любого треугольника должна быть больше третьей стороны.Это называется теоремой о неравенстве треугольника
.
• Площадь треугольника = (1/2) основание (высота)
• Длины сторон пропорциональны углам, от которых они пересекаются. Таким образом, чем длиннее сторона, тем больше угол от нее

Давайте посмотрим на простую задачу треугольника:

Как решить:

Мы знаем, что все внутренние углы в треугольнике в сумме составляют 180 °.Если a = 34, то 34 ° + b ° + c ° = 180 °. Это означает, что b + c = 180 ° — 34 °, или b + c = 146 °.

Прямоугольники

Прямой треугольник состоит из двух катетов и гипотенузы (сторона, противоположная прямому углу). Каждый прямоугольный треугольник подчиняется теореме Пифагора , , которая гласит:

Здесь a и b — катеты треугольника, а c — гипотенуза.

Вы увидите, что определенные прямоугольные треугольники появляются неоднократно на SAT.

Это троек Пифагора или наборы трех целых чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора и поэтому часто используются для представления длин сторон прямоугольных треугольников на SAT.

Распознавание троек Пифагора может сэкономить вам много времени, потому что, если вы знаете две стороны, вы можете легко определить третью, не прибегая к теореме Пифагора.

Общие пифагорейские тройки включают:

• 3, 4, 5 (это самая распространенная тройка)
  • Любое кратное — i.е. [6, 8, 10], [9, 12, 15], [12, 16, 20]
• 5, 12, 13
  • Любое кратное — 10, 24, 25
• 7, 24, 25

Специальные прямоугольные треугольники

Вам необходимо запомнить две особые отношения прямоугольного треугольника.

1) 30 ° — 60 ° — 90 ° Треугольники

• Соотношение сторон: x, x√3, 2x
• Это самый распространенный тип специального прямоугольного треугольника в SAT
.
• Самая короткая сторона, x, противоположна наименьшему углу, а наибольшая сторона, 2x, противоположна наибольшему углу
• Если вы разрежете равносторонний треугольник посередине его вершины, вы получите два треугольника 30 ° -60 ° -90 °

2) 45 ° — 45 ° — 90 ° Треугольники

• Соотношение сторон: x, x, x√2
• Треугольник 45 ° -45 ° -90 ° также является равнобедренным треугольником, что может помочь вам помнить, что обе катеты должны быть равны

Каждый раз, когда вы видите угол, обозначенный как 45 °, 30 ° или 60 °, вы должны использовать правила специальных прямоугольных треугольников, даже если это не сразу очевидно!

Давайте рассмотрим пример вопроса, связанного со специальными прямоугольными треугольниками:

Как решить:

Поскольку угол ABD равен 30 °, а угол ADB равен 90 °, угол BAD должен быть равен 60 °.Это означает, что треугольник ABC является равносторонним треугольником, а треугольники ABD и DBC равны треугольникам 30 ° — 60 ° — 90 °.

Гипотенуза треугольника DBC равна 12. Из правил специальных прямоугольных треугольников мы знаем, что гипотенуза треугольника 30 ° — 60 ° — 90 ° равна 2x, где x — длина стороны, противоположной 30 °. угол (в данном случае линия DC). Это означает, что DC равен 6.

Поскольку треугольники ABD и DBC равны, как показано выше, DC = AD.Следовательно, строка AD также равна 6, и ответ — вариант B.

Подобные треугольники
Если два треугольника имеют одинаковые размеры углов, их стороны пропорциональны.

• Если вы можете доказать, что 2 угла в 2 отдельных треугольниках идентичны, тогда и 3-й угол будет одинаковым
• Чтобы решить аналогичные задачи треугольника, сопоставьте соответствующие стороны треугольника и создайте пропорцию, которую нужно решить для отсутствующей стороны

Давайте посмотрим на пример геометрической задачи SAT, которая проверяет знания учащихся о похожих треугольниках:

Как решить:

Поскольку три полки параллельны, три треугольника на рисунке похожи.Поскольку полки разбивают самый большой треугольник в соотношении 2: 3: 1, отношение средней полки к самому большому треугольнику составляет 3: 6 (наибольшее значение находится путем сложения всех частичных значений вместе, т. Е. 2 ​​+ 3. + 1).

Поскольку высота самого большого треугольника равна 18, высоту средней полки можно найти, создав пропорцию, которая связывает длины сторон среднего и самого большого треугольников с их высотой. Другими словами, (длина стороны средней полки) / (длина стороны самого большого треугольника) = (высота средней полки) / (высота самого большого треугольника).Подстановка в приведенные выше значения дает нам 3/6 = x / 18. Решая для x, мы получаем 9 в качестве нашего ответа .

Свойства круга появляются не так часто, как свойства треугольника в разделах SAT Math. Тем не менее, учащиеся могут столкнуться с 1–3 из этих вопросов, поэтому рекомендуется знать это содержание при подготовке к задачам SAT Geometry.

В целом, эти вопросы по геометрии охватывают:

• Основные свойства круга, включая площадь и длину окружности
• Расширенный словарь окружностей, включая сектор , хорду , дугу и касательную
• Измерение дуги / длина
• Площадь сектора
• Центральные уголки

Основные свойства кругов

Студенты должны быть знакомы со следующими ключевыми формулами и свойствами кругов:

• Диаметр круга =
• Площадь круга:
• Окружность круга =

• Хорда — это отрезок прямой, соединяющий две точки на окружности
• Касательная — это линия, которая касается окружности ровно в одной точке.Касательная всегда перпендикулярна радиусу, с которым она пересекает.

Длина дуги и площадь сектора

Иногда, вместо того, чтобы рассчитать всю окружность или площадь круга, учеников просят вычислить длину только части окружности, известной как длина дуги , или площадь одного среза круга. пирог — известный как сектор .

Секторы и дуги всегда будут ограничены двумя радиусами.Угол, образованный двумя радиусами, известен как центральный угол .

На рисунке слева длина по краю от A до B будет равняться длине дуги , клиновидная область, ограниченная углом AOB, будет сектором , а угол AOB будет центральным углом (т.е. 45 °).

Соотношение между центральным углом и общим числом градусов в круге (т. Е. 360 °) всегда будет таким же, как соотношение между площадью сектора и общей площадью круга.

Точно так же соотношение между центральным углом и общим числом градусов в круге (т. Е. 360 °) всегда будет таким же, как соотношение между длиной дуги и общей длиной окружности.

По этой причине формулы для длины дуги и площади сектора на самом деле довольно просто запомнить.

Вы просто берете формулу для длины окружности и площади, соответственно, и умножаете их на пропорцию, занимаемую центральным углом. 2) (центральный угол / 360 °)

Давайте рассмотрим пример вопроса о длине дуги:

Как решить:

Поскольку угол AOB отмечен как прямой угол, мы знаем, что центральный угол равен 90 °.Этот вопрос также говорит нам, что общая окружность равна 36. Подставляя в уравнение для длины дуги, мы получаем Длина дуги = (36) (90 ° / 360 °), что упрощается до 9 или выбора A.

Измерение дуги

Многие студенты путают длину дуги и меру дуги.

Длина дуги — это фактическое расстояние между точками A и B на окружности. Измерение дуги — это количество градусов, на которое нужно повернуться, чтобы перейти от A к B.

Вы можете думать об этом как о частичном вращении по окружности круга — полный поворот составляет 360 °.

Центральные углы имеют ту же меру, что и дуги, которые они «высекают». Вписанные углы — это половина длины дуг, которые они «вырезают».

На рисунке слева угол AOB будет центральным углом, угол ACB будет вписанным углом, а мера дуги малой дуги AB будет 70 ° (что эквивалентно центральному углу и вдвое больше вписанного угла). угол).

Давайте рассмотрим примерный вопрос, связанный с мерой дуги:

Как решить:

Угол, вписанный в круг, равен половине центрального угла, пересекающего ту же дугу. Это означает, что угол A равен (x ° / 2). Мы также знаем, что угол P равен (360 ° — x °).

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна 360 °.Это означает, что внутренние углы ABPC должны в сумме составлять 360 ° или (x ° / 2) + (360 ° — x °) + 20 ° + 20 ° = 360 °. Решая для x, мы получаем 80 ° в качестве нашего ответа .

Уравнение окружности

Студенты также должны быть знакомы со стандартной формой уравнения круга в плоскости координат XY:

• Где (h, k) — координаты центра окружности
• Где r — радиус окружности

Как обычно проверяется это уравнение? Учитывая уравнение, вы должны уметь определять центр и радиус круга.

Давайте рассмотрим пример вопроса, связанного со стандартным уравнением круга:

Как решить:

Используя то, что мы знаем из стандартной формы уравнения круга, мы можем заключить, что этот круг имеет центр в (6, -5) и радиус 4. Если P находится в (10, -5) ), то конец диаметра лежит на 4 единицы прямо правее центра. Это означает, что другой конец диаметра будет лежать на 4 единицы непосредственно слева от центра, что поставит Q на (2, -5) или на выбор A.

Загрузить Руководство по геометрии SAT от PrepMaven

Вот и все — все геометрические принципы, необходимые для успешной сдачи разделов SAT Math! В нашем бесплатном Руководстве по геометрии SAT вы получите все эти принципы в одном месте.

На этом листе вы получите:

• Краткое изложение областей содержания, навыков и стратегий, обсуждаемых в этой публикации
• БЕСПЛАТНЫЕ практические вопросы
• Подробные пояснения к вопросам геометрии SAT
• Информация о том, где найти дополнительные практические вопросы

Загрузить SAT Geometry Guide

Энни — выпускница Гарвардского университета (B.А. на английском языке). Энни родом из Коннектикута, сейчас она живет в Лос-Анджелесе и продолжает наставлять детей по всей стране через онлайн-обучение и консультации в колледже. За последние восемь лет Энни работала с сотнями студентов, чтобы подготовить их к поступлению в колледж по всем направлениям, включая подготовку к SAT, подготовку к ACT, прикладные эссе, репетиторство по предметам и общие консультации. Она является мастером-наставником в Princeton Tutoring.

Проблемы и практика • PrepScholar GRE

Геометрия может и не быть вашей сильной стороной, но вы гарантированно столкнетесь с ней на GRE Quant.Так как же вы можете получить в нем высокие баллы? Какие формулы, правила и термины вам необходимо знать, чтобы быстро и точно решать геометрические задачи GRE?

В этом обширном обзоре геометрии GRE мы рассмотрим основы геометрии, в том числе основные правила и формулы, и предложим подробные объяснения по официальным практическим вопросам. Мы также расскажем о методах изучения геометрии и о том, как эффективно ответить на эти вопросы в день экзамена.

Обзор геометрии GRE

Геометрия — один из четырех основных предметов математики, тестируемых на GRE , в дополнение к арифметике, алгебре и анализу данных.ETS (компания, которая занимается проверкой GRE) не указывает, сколько геометрических задач находится в тесте, но по нашим оценкам, примерно 15 процентов Quant сосредоточены на геометрии , причем треугольники являются одной из наиболее часто проверяемых форм. Ясно, что геометрия играет довольно большую роль в GRE!

Но что такое геометрия? Если вы представляете себе формы, вы в основном правы. Основная часть геометрии GRE вращается вокруг кругов и многоугольников (замкнутые двумерные фигуры, созданные с использованием прямых линий), таких как треугольники, прямоугольники и квадраты.Вы также очень вероятно столкнетесь с углами, линиями и вписанными формами (формами внутри форм).

На GRE проблемы с геометрией бывают разных форм . Вы можете встретить их как вопросы с несколькими вариантами ответов, вопросы с числовым вводом или количественные сравнения. Некоторые могут предоставить вам диаграммы (нарисованные не в масштабе!) Или комбинацию цифр и букв.

Как с помощью всех этих различных форм научиться распознавать геометрическую проблему на GRE? И как вы узнаете, как это решить? Сначала давайте взглянем на некоторые основные правила и формулы.

61 Геометрические формулы и правила GRE, которые вы должны знать

Вы не можете изучать геометрию GRE, не зная, что изучать . Вот список основных правил и формул, которые вам следует усвоить к экзамену.

# 1: Правила углов

• Прямая равна 180 градусам.
• Острый угол — это любой угол меньше 90 градусов.
• Тупой угол — это любой угол от 90 до 180 градусов.
• Прямой угол равен 90 градусам и обычно обозначается маленьким квадратом:

• Символ ∠ часто используется для обозначения угла. Например: угол A = ∠ A .
• Две линии, которые пересекаются, образуя углы в 90 градусов, расположены на перпендикулярно друг к другу:

• Две прямые, которые никогда не пересекаются и имеют одинаковый наклон, расположены на параллельно друг к другу:

• При пересечении двух линий создаются четыре угла:
  • Противоположные углы равны по мере ($ ∠A = ∠B $, $ ∠C = ∠D $).
  • смежных углов в сумме дают 180 градусов ($ A + ∠D = 180 $, $ ∠A + ∠C = 180 $, $ ∠B + ∠D = 180 $, $ B + ∠C = 180 $).

• Когда прямая пересекает две параллельные прямые, создается восемь углов:
  • соответствующие углы равны по мере. 2 $

    # 3: Прямоугольники

    Правила

    • Противоположные стороны равны по длине и параллельны друг другу.
    • Все внутренние углы — прямые углы .
    • Периметр — это общая длина всех сторон.

    Формулы

    Периметр

    $ P = 2l + 2w $

    или

    $ P = 2b + 2h $

    • l = длина, w = ширина
    • b = основание (то же, что и длина), h = высота (то же, что и ширина)

    Площадь

    $ A = lw $

    или

    $ A = bh $

    Для этого вопроса о числовом вводе мы должны определить периметры прямоугольника R и квадрата S .Все, что нам нужно сделать, это использовать формулу периметра (как описано выше) для прямоугольников и квадратов.

    R имеет длину 30 и ширину 10, поэтому давайте подключим эти числа к нашей формуле периметра для прямоугольников:

    $ 2 (30) +2 (10) = 80 $

    Это дает нам периметр 80 для R . Теперь давайте решим периметр S . Поскольку S — квадрат, все, что нам нужно сделать, это умножить длину одной из его сторон на 4, чтобы получить его периметр.Используя уравнение периметра для квадратов, получаем:

    $ 4 (5) = 20 $

    Теперь у нас осталось , периметр 80 для R и периметр 20 для S . Но что нам делать с этими числами? Возникает вопрос, какая часть периметра S имеет периметр R . Другими словами, нам нужно настроить соотношение, сравнивающее периметр S с периметром R .

    Если периметр S равен 20, а периметр R равен 80, наша доля составляет 20 долларов / 80 долларов США .Вы можете написать 20/80 долларов в поле (с 20 в числителе и 80 в знаменателе) или уменьшить дробь до 1/4 доллара. GRE не требует уменьшения дробей, поэтому любая эквивалентная дробь (например, 2/8 долл. США, 5/20 долл. США и т. Д.) Является правильной.

    # 4: Круги

    Правила

    • Окружность равна 360 градусам.
    • Окружность — это длина по окружности (т. Е. Периметр круга).
    • Радиус (множественное число: радиусы) — это длина от середины круга до любой точки на краю круга.
    • Диаметр — это длина любой прямой, разрезающей круг пополам (и проходящей через центральную точку).
    • Радиус составляет половину длины диаметра (и диаметр в два раза больше длины радиуса). Итак, $ 2r = d $.
    • π (пи) можно округлить до 3,14.
    • Дуга — это все точки между двумя точками на краю окружности (AB).
    • Сектор — это (заштрихованная) область, ограниченная дугой и двумя радиусами (AOB).2 {\ central \ angle \ of \ sector} / 360 $$

      Здесь нас просят сравнить длину окружности большого круга (назовем его кругом A ) с суммой окружностей двух меньших кругов (назовем их кругами B и ). С ). Для решения этой задачи нам понадобится формула окружности, или $ C = 2πr $ .

      Однако мы не имеем понятия, каков радиус или диаметр окружности A , не говоря уже о диаметрах или радиусах окружностей B и C .В результате у вас может возникнуть соблазн угадать D. Но давайте сначала проверим пару чисел, чтобы увидеть, могут ли они рассказать нам что-нибудь о взаимосвязях между кругами A, , B и C .

      Согласно диаграмме, окружность A имеет диаметр PQ (мы не знаем, что такое центральная точка, поэтому нет точки, использующей радиус для этой задачи). Следовательно, для мы должны использовать форму диаметра формулы окружности ($ C = πd $) .

      А теперь время подключения. Допустим, круг A имеет диаметр 10. Тогда его длина будет:

      .

      $ C = 10π $

      Поскольку окружности B и C составляют всю длину окружности A , диаметр , мы знаем, что сумма их диаметров должна равняться диаметру окружности A (который в нашем случае равен 10 ).

      Если круг B имеет диаметр 6, его длина будет равна 6π. Таким образом, окружность C должна иметь диаметр 4 и длину окружности 4π.Если мы сложим эти две окружности вместе, мы получим 10π, что совпадает с длиной окружности A .

      Независимо от того, какую пару чисел мы выберем для диаметров окружностей B и C , будь то 5 и 5, 2 и 8 или 3 и 7, две окружности в сочетании всегда будут равны 10π.

      Следовательно, правильный ответ: C: две величины равны .

      # 5: Треугольники

      Правила

      • Все внутренние углы в сумме составляют 180 градусов. 2 $
        • a = отрезок, b = отрезок, c = гипотенуза
        • Эта теорема применима только для прямоугольных треугольников .
        • Некоторые комбинации сторон треугольника (a: b: c) можно запомнить. Это пифагоровых троек . Общие включают:
        • Есть еще специальных прямоугольных треугольников :
          • 45-45-90 треугольник (равнобедренный прямоугольный треугольник): треугольник с одним прямым углом и двумя углами по 45 градусов. Обе ноги равны по длине, а соотношение сторон составляет x: x: √2x .
          • 30-60-90 прямоугольный треугольник: внутренние углы составляют 30, 60 и 90 градусов.Этот тип треугольника равен половине равностороннего треугольника, а отношение его сторон составляет x: √3x: 2x .

        Площадь

        $$ A = {1/2} bh $$

        Вы можете попытаться решить проблему, просто взглянув на нее, но лучше потратить несколько секунд, чтобы нарисовать треугольник . Прямоугольный треугольник с размерами A , B и C и сторонами длиной 4 и x выглядит примерно так:

        Этот треугольник должен сразу вам броситься в глаза, потому что это прямоугольный треугольник с четырьмя сторонами.2 $

        $ h = √ {17} = 4,12 $

        Вариант ответа A дает гипотенузу немного длиннее 4, так что этот ответ тоже правильный. Поскольку 3 (вариант ответа C) дает гипотенузу 5, значит, 2 должна давать гипотенузу между 4,12 и 5 и также может быть отмечена как правильная.

        На данный момент мы знаем, что варианты ответов A, B и C верны. Теперь давайте решим вариант ответа F или 6. Если гипотенуза окажется меньше 8, мы знаем, что варианты ответов D и E также будут между 4 и 8.2 $

        $ h = √ {52} = 7,21 $

        Поскольку вариант ответа F дает гипотенузу меньше 8, а вариант ответа A дает гипотенузу больше 4, правильными вариантами ответа являются все: A, B, C, D, E и F .

        Все, что нас здесь просят, — это взять любую информацию, которую нам дает вопрос, вставить ее в формулу площади для треугольника и упростить. Вот и все!

        В этом вопросе мы имеем треугольник с основанием b и высотой h .2 $.

        # 6: Трапеции

        Правила

        • Противоположные основания параллельны друг другу.

        Формулы

        Площадь

        $$ A = {1/2} (a + b) h $$

        • a = $ \ base_1 $, b = $ \ base_2 $, h = высота

        # 7: параллелограммы

        Правила

        • Противоположные стороны равны по длине и параллельны друг другу.
        • Противоположные углы равны.

        Формулы

        Площадь

        $ A = bh $

        # 8: прямоугольные тела

        Правила

        • Прямоугольные тела — это трехмерные объекты с шестью гранями.
        • Кубики — это тип твердого тела прямоугольной формы с шестью равными гранями (т. Е. Шестью квадратами), которые равны по длине со всех сторон и равны по площади.
        • Том — это объем пространства, который занимает трехмерный объект.
        • Площадь поверхности — это общая площадь всех сторон трехмерного объекта.

        Формулы

        Объем

        $ V =

        л / ч
        • l = длина, w = ширина, h = высота

        Площадь поверхности

        $ SA = 2 (lw + lh + wh)

        $

        # 9: Правые круглые цилиндры

        Правила

        • Круглые цилиндры содержат два конгруэнтных (одинаковых) круглых оснований.2} + 2πrh $

          Если вы не знаете, с чего начать, сначала рассмотрите информацию, которую дает нам этот вопрос: радиус и объем правого кругового цилиндра. Величина A запрашивает высоту цилиндра. Итак, какую формулу мы могли бы использовать для решения этой проблемы? Более конкретно, , какая формула содержит радиус, высоту и объем правого кругового цилиндра ?

          Правильно — формула объема для правых круговых цилиндров .2 {h}

          долл. США

          15 долларов = 4π {h}

          долларов

          Теперь нам просто нужно найти h , разделив обе части на 4π. Помните, что π можно округлить до 3,14, поэтому 4π приблизительно эквивалентно 12,56. Разделите 15 на 12,56, чтобы получить 1,19, что явно меньше 2 дюймов. Правильный ответ B: количество B больше.

          К сожалению, вы не встретите ни одной из этих очаровательных фигур на GRE.

          Ресурсы и советы для вашего обзора геометрии GRE

          Иногда бывает сложно получить правильную геометрию.Вот несколько советов, которые помогут сделать вашу практику геометрии GRE максимально полезной.

          # 1: Запоминание ключевых понятий

          Изучение любой математической концепции поначалу может быть утомительным, особенно если вы давно не посещали математический курс. Но знакомство с некоторыми из основных концепций геометрии должно повысить вашу уверенность и, в конечном итоге, помочь вам хорошо справиться. с любым вопросом геометрии GRE, который встречается у вас на пути.

          Что это за ключевые концепции? Вот в чем вы должны стремиться стать экспертом, прежде чем сдавать экзамен GRE:

          • Взаимосвязи между углами: Точно знайте, что такое угол, как он образован и как он соотносится с другими углами в форме или созданными пересечениями линий.Распознавайте любые особые свойства, связанные с прямыми углами. Кроме того, помните, что внутренние углы треугольников всегда составляют в сумме 180 градусов, прямая — 180 градусов, а круг — 360 градусов.
          • Периметр, площадь и окружность: Четко поймите определения этих терминов и запомните их формулы для квадратов, прямоугольников, кругов и треугольников. Хотя трехмерные объекты, трапеции и параллелограммы реже тестируются на GRE, постарайтесь также ознакомиться с их правилами и формулами.
          • Теорема Пифагора: Запомните эту теорему, так как вы, скорее всего, будете использовать ее хотя бы раз в GRE.
          • Специальные прямоугольные треугольники: Уметь вспомнить характеристики специальных прямоугольных треугольников (45:45:90 и 30:60:90).
          • π (pi): Не запутайтесь, если увидите этот символ! Число Пи можно округлить до 3,14, чтобы упростить вычисления.
          • Определения: Запомните определения всех основных геометрических терминов, таких как радиус, площадь, сектор и т. Д.Вы можете просмотреть глоссарий терминов в конце этой статьи.

          # 2: Создание карточек

          Один из наиболее эффективных способов сохранить ключевые понятия геометрии (и других предметов) — это создавать карточки . Если вы поклонник бумажных карточек, напишите формулу, форму или термин на лицевой стороне, а их определение или объяснение — на обратной. Всегда включайте диаграммы или примеры, если возможно. , чтобы у вас был контекст для понятий, которые вы изучаете.

          Вы также можете попробовать создавать цифровые карточки с помощью бесплатного загружаемого программного обеспечения под названием Anki, которое использует программное обеспечение с интервалом повторения (SRS), чтобы чаще проверять вас на сложных карточках.

          # 3: Проверьте себя с помощью реалистичных практических вопросов

          Чтобы преуспеть в Quant, и особенно в задачах геометрии GRE, вы должны точно знать, с какими вопросами вы столкнетесь в день экзамена. Реалистичные практические вопросы познакомят вас с типами вопросов по геометрии, с которыми вы, вероятно, будете решать на GRE. И чем больше вы будете практиковаться в геометрии GRE с вопросами, подобными GRE, тем быстрее и точнее вы сможете ответить на такие вопросы в день экзамена.

          Практические вопросы также знакомят вас с различными способами представления геометрических задач в тесте . Например, не во всех геометрических задачах есть диаграммы, и лишь изредка они сообщают вам точную формулу, которая понадобится для решения проблемы. До сих пор в этой статье вы встретили несколько примеров практических вопросов. Все вопросы, включенные здесь, были взяты непосредственно из официальных практических тестов ETS и поэтому очень похожи на типы вопросов по геометрии в реальном GRE.

          Чтобы получить дополнительные практические вопросы, ознакомьтесь с нашими статьями о лучших ресурсах для практики по математике и о том, где найти высококачественные образцы вопросов. Вы также можете проверить свои знания геометрии с помощью бесплатных (и официальных) практических тестов GRE, перечисленных в нашем руководстве.

          Как приблизиться к геометрии GRE в тестовый день

          Если вы новичок в GRE, вы, вероятно, задаетесь вопросом, как подойти к задачам по геометрии в день тестирования, чтобы не пропустить ни одного вопроса или не тратить слишком много времени на один вопрос.Давайте взглянем на наши лучшие стратегии для эффективного решения вопросов геометрии GRE.

          # 1: Знайте, что можно и чего нельзя предположить

          Один из способов, о котором вы, возможно, слышали, — это оценка значений с помощью заданной диаграммы. Но этот метод контрпродуктивен, потому что геометрические диаграммы на GRE — это , а не , нарисованные в масштабе .

          Например, вернитесь к образцу вопроса, который мы рассмотрели в разделе о кругах. На первый взгляд, вы можете предположить, что точка R является центральной точкой наибольшего круга; однако нигде в проблеме не говорится, что это случай .Это отсутствие ясности в отношении центральной точки круга — это то, как мы в конечном итоге узнаем, что нужно сосредоточиться на диаметре (который явно дан нам как линия PQ ), а не на радиусе.

          Вот еще несколько концепций и ценностей, от которых следует воздерживаться от предположений или визуальной оценки:

          • Углы: Если у вас нет достаточной информации для вычисления определенного угла, не делайте никаких предположений о его значении (или даже о том, острый он или тупой).
          • Прямые углы: Не предполагайте, что форма содержит прямой угол, если он не обозначен четко — либо маленьким квадратом в углу, либо в самой формулировке задачи. Вы, , можете предположить, что форма имеет прямой угол, если это естественное качество формы. Например, если задача описывает прямоугольную комнату (как в следующем практическом вопросе), вы можете предположить, что комната содержит четыре прямых угла.
          • Параллельные линии: Никогда не предполагайте, что две линии параллельны, если это специально не указано в задаче.

          Так о каком вы можете делать предположения? Вот области геометрии, которые можно принять в том виде, в каком они появляются на GRE:

          • Любая прямая линия считается прямой без каких-либо скрытых изгибов или кривых.
          • Любая фигура в виде круга называется кругом. Не ожидайте встретить овалы или другие эллиптические формы.
          • Любая фигура, представленная как многоугольник, является многоугольником. Все двумерные фигуры являются замкнутыми, без промежутков или перекрывающихся линий (однако две фигуры могут перекрывать друг друга).

          Наконец, все формы и углы соответствуют основным правилам геометрии . Вам не придется иметь дело с причудливыми формами или особыми геометрическими проблемами, которые не подчиняются фундаментальным законам и формулам, описанным выше. Уф!

          На GRE это круг. В реальной жизни это обед.

          # 2: Нарисуйте картинку

          Удивительно, но многие геометрические задачи GRE не содержат диаграмм даже при обсуждении ключевых характеристик форм. Итак, лучший способ решить эти проблемы — нарисовать фигуры самостоятельно.

          Так вы получите более четкое представление о том, что вас просят сделать в вопросе, и сможете лучше понять, как данные значения соотносятся друг с другом. Рисование изображения также может помочь вам определить, какую формулу нужно использовать для решения конкретной проблемы.

          Ранее я нарисовал свой собственный треугольник для примера вопроса выше, используя теорему Пифагора.Вот еще один пример вопроса, для которого вы можете нарисовать диаграмму:

          В этом вопросе фразы «квадратные футы» и «прямоугольная площадь пола» должны дать вам четкий намек на то, что эта проблема имеет огромное геометрическое значение (в частности, площадь). Таким образом, будет полезно нарисовать какие-нибудь диаграммы.

          Жилая площадь составляет 15 долларов за 30 квадратных футов в день. Если бы Алиса арендовала помещение размером 8 на 15 футов, а Бетти арендовала пространство размером 15 на 20 футов, вот как бы выглядели их комнаты (не в масштабе):

          Эта диаграмма с ее длиной и шириной поясняет нам, что проблема связана с площадью.Затем мы можем использовать формулу площади для прямоугольника ($ A = lw $), чтобы вычислить площади каждой из комнат:

          Алиса: $ A = 8 (15) = 120 $

          Бетти: $ A = 15 (20) = 300 $

          Площадь комнаты Алисы — 120 квадратных футов, а комнаты Бетти — 300 квадратных футов. Если стоимость комнаты на один день составляет 15 долларов за 30 квадратных футов, все, что нам нужно сделать сейчас, это использовать перекрестное умножение, чтобы получить цену каждой из комнат.

          Алиса: 15/30 = x / 120

          1 800 = 30 x 9 000 3 долл. США

          $ x = 60 $

          Бетти: 15/30 долларов = x / 300

          долларов США

          4500 долларов = 30x

          долларов

          $ x = 150 $

          Хотя нам не нужна диаграмма для решения вопроса, рисование прямоугольников для этой задачи помогает нам отслеживать наши значения для Алисы и Бетти и ясно показывает, какую формулу мы будем использовать с нашими заданными числами (в данном случае , площадь).

          По нашим расчетам, Бетти заплатила 150 долларов, а Алиса 60 долларов. Если мы вычтем 60 из 150, мы получим разницу в 90. Итак, Бетти заплатила на 90 долларов больше, чем Алиса. Правильный ответ: D: 90 долларов .

          Не беспокойтесь о точности ваших диаграмм. Это не арт-класс!

          # 3: Вставить номера

          Некоторые вопросы, часто количественные сравнения, могут вызвать проблемы с геометрией, не предлагая никаких реальных чисел или достаточной информации, чтобы можно было что-либо добавить к формуле и решить ее.Вместо того чтобы предполагать, что ответ будет «D: связь не может быть определена на основе предоставленной информации», пытается сначала подставить выдуманные числа, чтобы увидеть, что происходит . Это также можно сделать, чтобы проверить решение, если вы уже решили проблему другим способом.

          Если вы посмотрите на наш предыдущий пример вопроса о кругах, то увидите, что мы решили это уравнение, подставив числа и проверив их с помощью формулы окружности. Вот еще один пример того, как добавление чисел может помочь вам в решении геометрической задачи:

          Для этого вопроса мы собираемся нарисовать диаграмму и подставить некоторые значения.Два описываемых треугольника — это равносторонних треугольников , что означает, что оба треугольника содержат три стороны одинаковой длины. Это очень важно, и через секунду мы объясним, почему.

          Треугольник T в 6 раз больше треугольника X , потому что каждая из его сторон в 6 раз длиннее, чем каждая из сторон X . Смущенный? Предположим, каждая сторона X равна 1, а каждая сторона T равна 6. Вот как будут выглядеть два треугольника (не в масштабе):

          Теперь все, что нам нужно сделать, это взять отношения любых двух сторон T и любых двух сторон X и сравнить полученные отношения.Вы спросите, почему мы можем делать любые две стороны? Поскольку оба треугольника равносторонние, не имеет значения, какие две стороны мы сравниваем; : все стороны равностороннего треугольника равны по длине, поэтому отношение одинаково для любых двух сторон.

          Для T соотношение любых двух сторон составляет 6: 6 или, в уменьшенном виде, 1: 1. Для X соотношение любых двух сторон также 1: 1. Поскольку эти два соотношения одинаковы, правильный ответ — C: две величины равны .

          # 4: Подходите к вписанным формам как к двум отдельным формам

          Некоторые проблемы в вашей практике геометрии GRE или в день тестирования могут дать вам диаграммы с одной формой, вписанной в другую (как вы можете видеть в образце вопроса в кружках выше). Многоугольник, вписанный в круг, или круг, вписанный в многоугольник, — это две распространенные комбинации, которые вы увидите на GRE. Когда фигура вписана в круг, это означает, что вершины вписанной фигуры касаются окружности.

          Самый простой способ решить эти проблемы — сначала проанализировать каждую форму независимо. Всегда используйте соответствующую формулу формы для решения любого вопроса , такого как площадь, окружность и т. Д.

          Если проблема просит вас решить для области части большей формы, где вписанная форма отсутствует (например, заштрихованная область на изображении ниже), то на самом деле она просит вас настроить Задача на вычитание .Чтобы решить эту проблему, просто вычислите площади по отдельности как основной формы, так и вписанной формы, используя соответствующие формулы площади, а затем вычтите площадь вписанной формы из площади основной формы.

          Геометрия GRE: Словарь общих терминов

          GRE ожидает, что вы знакомы с определениями нескольких терминов, связанных с формами, углами и формулами. Чтобы завершить наш обзор геометрии GRE, я предлагаю вам глоссарий общих геометрических терминов.Запомните их все, и вы обязательно поймете большинство вопросов по геометрии, с которыми вы сталкиваетесь! Все термины перечислены в алфавитном порядке.

          • острый угол: любой угол меньше 90 градусов
          • дуга: все точки между двумя точками на краю окружности
          • площадь: объем пространства, заключенный в двухмерной форме
          • ось: отрезок прямой кругового цилиндра, который соединяет центральные точки круговых оснований; также относится к горизонтальной ( x -ось) и вертикальной ( y -ось) опорным линиям в системе координат
          • центральный угол: вершина в центре круга, образованная пересечением двух радиусов
          • окружность: длина по окружности (т.е.е., периметр круга)
          • конгруэнтный: такой же или такой же по форме и размеру
          • куб: тип твердого тела прямоугольной формы с шестью квадратными гранями, которые имеют одинаковую длину и ширину (и имеют равные площади)
          • диаметр : длина прямой, разрезающей окружность пополам и проходящей через центр; равен удвоенному радиусу
          • равносторонний треугольник: треугольник с тремя сторонами одинаковой длины и тремя углами в 60 градусов
          • равнобедренный треугольник: треугольник с двумя сторонами одинаковой длины и двумя равными углами
          • тупой угол: любой угол больше 90 градусов и меньше 180 градусов
          • параллельных прямых: прямых, которые никогда не пересекаются и имеют одинаковый наклон
          • периметр: общая длина вокруг формы (т.е.е., сумма всех сторон)
          • перпендикулярных линий: линий, которые пересекаются, образуя прямые углы
          • многоугольник: любая двумерная форма, созданная прямыми линиями, включая треугольники, квадраты, прямоугольники, параллелограммы и трапеции.
          • четырехугольник: любой четырехсторонний многоугольник, например квадраты, прямоугольники, параллелограммы и трапеции
          • радиус (радиусы): длина прямой линии, соединяющей центр круга с любой точкой на краю круга; равняется половине диаметра
          • прямоугольное тело: трехмерный объект с шестью гранями
          • прямой угол: угол 90 градусов, обычно обозначается небольшим квадратом
          • правый круговой цилиндр: трехмерный объект с двумя конгруэнтными круговыми основаниями и осью, перпендикулярной центрам его оснований
          • прямоугольный треугольник: треугольник с углом 90 градусов, двумя катетами (более короткими сторонами) и гипотенузой (самой длинной стороной)
          • сектор: любая (заштрихованная) область круга, заключенная дугой и двумя радиусами
          • аналог: две формы с точно такой же формой (и, следовательно, с одинаковыми углами), но разных размеров; одинаковые формы имеют одинаковое соотношение сторон и углов
          • площадь поверхности: общая внешняя площадь трехмерного объекта
          • касательная: линия или фигура, пересекающая фигуру ровно в одной точке
          • вершина (вершины): точка, в которой две прямые встречаются, образуя угол
          • объем: пространство, занимаемое трехмерным объектом

          Что дальше?

          Хотите рассказать о других концепциях Quant помимо геометрии? Ознакомьтесь с нашим исчерпывающим обзором по математике, чтобы узнать больше о том, что сдается на экзамен.

          Геометрия — это еще не все. Не забудьте прочитать наш список наиболее важных формул, которые вам понадобятся для Quant.

          Хотите больше математических занятий? Получите советы и идеи о том, как учиться на Quant, используя практические вопросы и тесты. А чтобы узнать о стратегиях тестового дня, прочтите наши руководства о том, как использовать бумагу для заметок и как работать с экранным калькулятором.

          Связанные
          
          

          Готовы улучшить свой GRE на 7 баллов?

          Мы написали электронную книгу о 5 лучших стратегиях, которые вы должны использовать, чтобы попытаться улучшить свой результат GRE. Скачать бесплатно сейчас:

          
          
          

          Автор: Ханна Мунис

          Ханна с отличием окончила Университет Южной Калифорнии со степенью бакалавра в области английского и восточноазиатских языков и культур. После окончания учебы она два года преподавала английский язык в Японии по программе JET. Она увлечена образованием, писательством и путешествиями. Просмотреть все сообщения Hannah Muniz

          аксиом геометрии | wild.maths.org

          Евклид Александрийский был греческим математиком, жившим более 2000 лет назад, и его часто называют отцом геометрии.Книга Евклида Элементы — самый успешный учебник по истории математики и самое раннее известное систематическое обсуждение геометрии. В нем он изложил правила геометрии.

          Его интересовало все, что можно делать с линейкой (линейкой без отметок) и циркулем. Он придумал свой собственный свод правил, в котором описывалось все, что с ними можно было делать.

          1. Зная любые две точки, вы можете провести между ними прямую линию (так называемый отрезок линии).

          2. Любой отрезок линии можно делать сколько угодно (то есть растягивать на неопределенный срок).

          3. Имея точку и отрезок линии, начинающийся в этой точке, вы можете нарисовать круг с центром в данной точке, используя данный отрезок в качестве радиуса.

          4. Все прямые углы равны друг другу. (Это звучит немного странно, но, по сути, это было правило Евклида о том, как измерять углы и сравнивать их.)

          5. Углы треугольника всегда складываются в 180 градусов. (Евклид на самом деле заявил об этом, сказав, что если вы проведете отрезок линии через две прямые, и он создаст два угла, которые в сумме составляют менее двух прямых углов — 180 градусов, — тогда эти две прямые линии пересекаются. Это правило можно записать множеством разных способов .)

          Эти правила описывают все возможные вещи, которые вы можете нарисовать линейкой и циркулем на плоском листе бумаги.Разбив эти линейки и конструкции компаса на эти фундаментальные части, названные аксиомами , Евклид позволил нам исследовать возможности этой геометрии. (О том, что происходит, когда мы нарушаем правила Евклида, вы можете прочитать здесь.)

          С аксиомами Евклида мы можем делать много полезных вещей. Можете ли вы придумать, как нарисовать шестиугольник, используя только линейку и циркуль? Можете ли вы разделить любой угол пополам? (Подробнее об этих конструкциях можно узнать здесь.)

          Действительно, это инструменты и методы, которые каменщики использовали для создания своих красивых украшений и окон в церквях и соборах. (Вы можете прочитать больше здесь.)

          Углы и параллельные прямые (Предварительная алгебра, Введение в геометрию) — Mathplanet

          Когда две прямые пересекаются, они образуют две пары противоположных углов, A + C и B + D. Другое слово для обозначения противоположных углов — вертикальные углы.

          Вертикальные углы всегда совпадают, что означает, что они равны.

          Соседние углы — это углы, выходящие из одной вершины. Соседние углы имеют общий луч и не перекрываются.

          Размер угла xzy на рисунке выше является суммой углов A и B.

          Два угла считаются дополнительными, если сумма двух углов составляет 90 °.

          Два угла считаются дополнительными, если сумма двух углов составляет 180 °.

          Если у нас есть две параллельные линии и есть третья линия, которая их пересекает, как на картинке ниже — линия пересечения называется поперечной

          Когда трансверсаль пересекается с двумя параллельными линиями, получается восемь углов.

          Восемь углов вместе образуют четыре пары соответствующих углов. Углы 1 и 5 составляют одну из пар. Соответствующие углы равны. Все углы, которые имеют одинаковое положение относительно параллельных линий и поперечины, представляют собой соответствующие пары, например 3 + 7, 4 + 8 и 2 + 6.

          Углы, которые находятся в области между параллельными линиями, такими как угол 2 и 8 выше, называются внутренними углами, тогда как углы, которые находятся снаружи двух параллельных линий, таких как 1 и 6, называются внешними углами.

          Углы, находящиеся на противоположных сторонах поперечной оси, называются альтернативными углами, например 1 + 8.

          Все углы, которые являются внешними углами, внутренними углами, альтернативными углами или соответствующими углами, являются конгруэнтными.

          ---

          Пример

          На рисунке выше показаны две параллельные линии с трансверсалью. Угол 6 равен 65 °. Есть ли другой угол, который также составляет 65 °?

          6 и 8 являются вертикальными углами и, следовательно, совпадают, что означает, что угол 8 также равен 65 °.

          6 и 2 являются соответствующими углами и, таким образом, совпадают, что означает, что угол 2 составляет 65 °.

          6 и 4 являются альтернативными внешними углами и, следовательно, совпадают, что означает, что угол 4 составляет 65 °.

          ---

          Видеоурок

          Найдите размеры всех углов на рисунке

          советов по вопросам геометрии SAT — подготовка к тесту Kaplan

          SAT проверит вас по нескольким концепциям геометрии (хотя, к счастью, вы не увидите доказательств в день теста).Чтобы максимально эффективно решать все типы вопросов о геометрии, вы сначала должны убедиться, что хорошо знакомы с правилами и формулами для всех форм, таких как площадь и периметр. Также важно уметь использовать подсказки в основах вопросов и цифрах, которые помогут вам найти ответ.
          В вопросах геометрии на SAT часто отсутствует информация, которую вам нужно найти. Когда вы подходите к вопросу о геометрии, ищите информацию в одной части фигуры, которая может разблокировать информацию в другой части фигуры.
          Вот процесс, который подойдет для большинства вопросов о геометрии:
          Шаг 1: Если вам не дана фигура, нарисуйте ее сами! Обозначьте любую информацию из вопроса и определите, о чем идет речь.
          
          Шаг 2: Используйте геометрические правила, чтобы заполнить недостающую информацию.
          Давайте рассмотрим вопрос, похожий на тестовую практику, не так ли?
          

          
          Перво-наперво: в этом вопросе мы должны найти r — p , а это значит, что нам нужно будет найти как r , так и p , чтобы прийти к правильному ответу.Мы будем использовать наши знания о линиях, углах и треугольниках, чтобы получить необходимую информацию.
          В вопросе указано, что q = 140. Обратите внимание на соотношение, которое имеет угол q и угол p . Эти два угла являются дополнительными, что означает, что они в сумме составляют 180 градусов:
          140 + p = 180
          p = 180 — 140
          p = 40
          Угол p вертикален нижнему левому углу треугольник. Мы знаем из наших правил, что вертикальные углы равны.
          Время для наших правил треугольника! Сумма всех углов в треугольнике равна 180, поэтому недостающий угол равен:
          180-40-90 = 50
          Этот вновь открытый угол перпендикулярен углу r , что означает, что r = 50.
          Дон Не надо сразу переходить к ответу! Помните, вопрос просит нас найти r — p .
          50-40 = 10
          Это соответствует (B) . (Обратите внимание, что (C) — это то, что мы получим, если сложим r и p вместо вычитания.)
          
          Вот несколько вопросов, которые могут помочь вам найти недостающую информацию о геометрии SAT:
          1. Какие формы я узнаю? Какие правила я знаю об этих формах?
          2. Что мне нужно найти, чтобы добраться туда, куда я хочу?
          3. Если застрял, могу ли я найти другие формы? Я использовал всю свою информацию?

          Стратегия изучения правил геометрии SAT

          
          Поиск знакомых форм и применение правил геометрии поможет вам преуспеть в вопросах геометрии SAT… если вы знаете, каковы правила! Карточки — отличный способ выучить правила геометрии.Как сделать так, чтобы карточки работали на вас?
          1. Посмотрите на них! Это может показаться очевидным, но легко сделать карточки, положить их в рюкзак и забыть о них. Выделяйте десять или пятнадцать минут каждый день (по дороге в школу, между уроками или сразу после ужина) и возьмите за привычку повторять их.
          2. Сделай сам. Время, потраченное на создание карточек, — это ценное учебное время. Если вы сделаете информацию своей собственной, с забавными картинками, шутками, ассоциациями и т. Д., Она с большей вероятностью останется с вами.

          Чаще всего на тесте SAT вы можете встретить треугольники и круги. По мере изучения обязательно изучите правила этих двух форм. Вы должны быть уверены, что имеете твердое представление о следующем:

          • Теорема Пифагора
          • Специальные прямоугольные треугольники
          • Теоремы сравнения треугольников
          • Формулы круга: площадь и диаметр
          • Соотношение окружностей: дуги, центральные углы и секторы
          • Теорема о вписанном угле
          1. Ищите скрытые треугольники! Они полны информации.
          2. Делайте шаг за шагом. Поиск одного фрагмента информации часто приведет вас к следующему шагу.

          Греческая геометрия — Евклид, Пифагор, Архимед и Фалес

          Евклид, иллюстрирующий геометрию в «Афинской школе» Рафаэлло Санцио (общественное достояние)

          Конечно, для измерения границ Для возведения зданий людям необходимо иметь встроенный механизм и инстинкт для оценки расстояний, углов и высоты.По мере развития цивилизации эти инстинкты дополнялись наблюдениями и процедурами, полученными на основе опыта, экспериментов и интуиции. Вавилоняне, безусловно, были искусными геометрами, а египтяне разработали богатую и сложную математику, основанную на геодезии. Обе эти культуры передали свою информацию грекам.

          Начало греческой геометрии

          Египтяне и вавилоняне на самом деле не были заинтересованы в обнаружении аксиом и основных принципов, управляющих геометрией.Их подход был очень прагматичным и нацелен на практическое использование. Вавилоняне, например, полагали, что Пи ровно 3, и не видели причин менять это. У египетских математиков не было структуры своей геометрии, только набор правил и решений, нацеленных на конкретные обстоятельства, такие как вычисление объема усеченной пирамиды. В тот момент они также использовали тригонометрию при разработке подмножества геометрии для съемки и измерения размеров пирамид.

          Эти культуры, похоже, не использовали дедуктивное мышление, чтобы раскрыть геометрические методы из первых принципов. Вместо этого они использовали метод проб и ошибок и, если решение не было готово, использовали метод проб и ошибок, чтобы прийти к приближению. Однако эти культуры заложили основы греческой геометрии и повлияли на греков, которые привнесли в геометрию дедуктивную методологию, пытаясь найти элегантные правила, лежащие в основе этой области.

          Раннегреческая геометрия

          Фалес Милетский (общественное достояние)

          Ранняя история греческой геометрии неясна, потому что нет никаких оригинальных источников информации, и все наши знания являются из вторичных источников, написанных много лет спустя после раннего периода.Тем не менее, мы все еще можем увидеть достойный обзор, а также начать смотреть на некоторых великих имен, греческих математиков, которые сформировали курс греческой геометрии.

          Первое и одно из величайших имен — Фалес Милетский, математик, живший в VI веке до нашей эры. Он считается отцом геометрии и начал процесс использования дедукции из первых принципов. Считается, что он побывал в Египте и Вавилоне, переняв геометрические техники этих культур, и, безусловно, имел бы доступ к их работам.

          Фалес твердо верил, что рассуждение должно вытеснить экспериментирование и интуицию, и начал искать твердые принципы, на которых он мог бы строить теоремы. Это ввело идею доказательства в геометрию, и он предложил некоторые аксиомы, которые он считал математическими истинами.

          • Окружность делится пополам на любой из ее диаметров
          • Базовые углы равнобедренного треугольника равны
          • Когда две прямые пересекаются, противоположные углы равны
          • Угол, нарисованный в полукруге, является прямым углом
          • Два треугольника с одной равной стороной и двумя равными углами конгруэнтны

          Фалесу приписывают изобретение метода определения высоты корабля в море, техники, которую он использовал для измерения высоты пирамиды. восторг египтян.Для этого он должен был понять пропорции и, возможно, правила, управляющие подобными треугольниками, одним из основных элементов тригонометрии и геометрии.

          Неясно, как именно Фалес решил, что приведенные выше аксиомы являются неопровержимым доказательством, но они были включены в основу греческой математики, и влияние Фалеса повлияло на бесчисленные поколения математиков.

          Пифагор

          Пифагор (общественное достояние)

          Вероятно, самое известное имя во время развития греческой геометрии — Пифагор, даже если только из-за известного закона о прямоугольных треугольниках.Этот математик жил в тайном обществе, выполнявшем полурелигиозную миссию. Исходя из этого, пифагорейцы развили ряд идей и начали развивать тригонометрию. Пифагорейцы добавили несколько новых аксиом в копилку геометрических знаний.

          • Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам * (180o).
          • Сумма внешних углов треугольника равна четырем прямым углам (360o).
          • Сумма внутренних углов любого многоугольника равна 2n-4 прямым углам, где n — количество сторон.
          • Сумма внешних углов многоугольника равна четырем прямым углам, независимо от количества сторон.
          • Три многоугольника, треугольник, шестиугольник и квадрат полностью заполняют пространство вокруг точки на плоскости — шести треугольников, четырех квадратов и трех шестиугольников. Другими словами, вы можете замостить область этими тремя фигурами, не оставляя зазоров или перекрытий.
          • Для прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

          Большинство из этих правил сразу же знакомы большинству студентов, как основные принципы геометрии и тригонометрии. Один из его учеников, Гиппократ, пошел дальше в развитии геометрии. Он был первым, кто начал использовать геометрические методы в других областях математики, таких как решение квадратных уравнений, и даже начал изучать процесс интегрирования. Он изучал проблему квадрата круга (которая, как мы теперь знаем, невозможна просто потому, что Пи — иррациональное число).Он решил задачу квадрата луны и показал, что отношение площадей двух кругов равно отношению квадратов радиусов кругов.

          Евклид

          Наряду с Пифагором, Евклид — очень известное имя в истории греческой геометрии. Он собрал работы всех более ранних математиков и создал свою знаменательную работу «Элементы», несомненно, одну из самых опубликованных книг всех времен. В этой работе Евклид изложил подход к геометрии и чистой математике в целом, предложив, чтобы все математические утверждения подтверждались рассуждениями и не требовалось никаких эмпирических измерений.Идея доказательства до сих пор доминирует в чистой математике в современном мире.

          Архимед

          Архимед был великим математиком и мастером визуализации и управления пространством. Он усовершенствовал методы интегрирования и разработал формулы для вычисления площадей многих форм и объемов многих твердых тел. Он часто использовал метод истощения, чтобы найти формулы. Например, он нашел способ математически вычислить площадь под параболической кривой; вычислил значение Pi более точно, чем любой предыдущий математик; и доказал, что площадь круга равна Pi, умноженному на квадрат его радиуса.Он также показал, что объем сферы составляет две трети объема цилиндра той же высоты и радиуса. Это последнее открытие было выгравировано на его надгробии.

          Аполлоний Пергский (262–190 до н.э.)

          Аполлоний Пергийский (общественное достояние)

          Аполлоний был математиком и астрономом, и он написал трактат «Конические сечения». Аполлонию приписывают изобретение слов эллипс, парабола и гипербола, и его часто называют Великим Геометром.Он также много писал об идеях касательных к кривым, и его работа по коникам и параболам повлияла на более поздних исламских ученых и их работы по оптике.

          Греческая геометрия и ее влияние

          Греческая геометрия со временем перешла в руки великих исламских ученых, которые перевели ее и дополнили.