Сложные математические формулы. Все формулы по математике
На этой странице собраны все формулы, необходимые для сдачи контрольных и самостоятельных работ, экзаменов по по алгебре, геометрии, тригонометрии, стереометрии и другим разделам математики.
Здесь вы можете скачать или посмотреть онлайн все основные тригонометрические формулы, формулу площади круга, формулы сокращенного умножения, формула длины окружности, формулы приведения и многие другие.
Можно так же распечатать необходимые сборники математических формул.
Успехов в учебе!
Формулы Арифметики:
Формулы Алгебры:
Геометрические Формулы:
Арифметические формулы:
Законы действий над числамиПереместительный закон сложения: a + b = b + a.
Сочетательный закон сложения: (a + b) + с = a + (b + c).
Переместительный закон умножения: ab = ba.
Сочетательный закон умножения: (ab)с = a(bc).
Распределительный закон умножения относительно сложения:
(a + b)с = aс + bс. Распределительный закон умножения относительно вычитания: (a — b)с = aс — bс.
Некоторые математические обозначения и сокращения:
Признаки делимостиПризнаки делимости на «2»
Число, делящееся на «2» без остатка называется чётным , не делящееся – нечётным . Число делится на «2» без остатка, если его последняя цифра чётная (2, 4, 6, 8) или нольПризнаки делимости на «4»
Число делится на «4» без остатка, если две последние его цифры нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «4»Признаки делимости на «8»
Число делится на «8» без остатка, если три последние его цифры нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «8» (пример: 1 000 — три последние цифры «00», а при делении 1 000 на 8 получается 125; 104 — две последние цифры «12» делятся на 4, а при делении 112 на 4 получается 28; и.т.д.)Признаки делимости на «3» и на «9»
Без остатка на «3» делятся только те числа, у которых сумма цифр делится без остатка на «3»; на «9» — только те, у которых сумма цифр делится без остатка на «9»Признаки делимости на «5»
Без остатка на «5» делятся числа, последняя цифра которых «0» или «5»Признаки делимости на «25»
Без остатка на «25» делятся числа, две последние цифры которых нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «25» (т.е. числа, оканчивающиеся на «00», «25», «50», «75»Признаки делимости на «10», «100» и на «1 000»
Без остатка на «10» делятся только те числа, последняя цифра которых ноль, на «100» — только те числа, у которых две последние цифры нули, на «1000» — только те числа, у которых три последние цифры нулиПризнаки делимости на «11»
Без остатка на «11» делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на «11»Абсолютная величина — формулы ( модуль)
|a| ? 0, причём |a| = 0 только если a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, причём b ? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|Формулы Действия с дробями
Формула обращения конечной десятичной дроби в рациональную дробь:
Пропорции
Два равных отношения образуют пропорцию :
Основное свойство пропорции Нахождение членов пропорции Пропорции , равносильные пропорции : Производная пропорция — следствие данной пропорции в видеСредние величины
Среднее арифметическое
Двух величин: n величин:Среднее геометрическое (среднее пропорциональное)
Двух величин: n величин:Среднее квадратичное
Двух величин: n величин:Среднее гармоническое
Двух величин: n величин:Некоторые конечные числовые ряды
Свойства числовых неравенств1) Если a , то при любом c : a + с .
2) Если a и c > 0 , то aс .
3) Если a и c , то aс > bс .
4) Если a , a и b одного знака, то 1/a > 1/b .
5) Если a и c , то a + с , a — d .6) Если a , c , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , то ac .
7) Если a , a > 0 , b > 0 , то
8) Если , то
Формулы Прогрессии:
- Производная
- Логарифмы:
- Координаты и векторы
1. Расстояние между точками A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формуле:
2. Координаты (x;y) середины отрезка с концами A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формулам:
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой имеет вид:
Угловой коэффициент k представляет собой значение тангенса угла, образуемого прямой с положительным направлением оси Ox, а начальная ордината q – значение ординаты точки пересечения прямой с осью Oy.
4. Общее уравнение прямой имеет вид: ax + by + c = 0.
5. Уравнения прямых, параллельных соответственно осям Oy и Ox, имеют вид:
Ax + by + c = 0.
6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых y1=kx1+q1 и y2=kx2+q2 соответственно имеют вид:
7. Уравнения окружностей с радиусом R и с центром соответственно в точках O(0;0) и C(xo;yo) имеют вид:
8. Уравнение:представляет собой уравнение параболы с вершиной в точке, абсцисса которой
- Прямоугольная декартова система координат в пространстве
1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:
2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:
3. Модуль вектора заданного своими координатами, находится по формуле:
4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:
5. Единичный вектор сонаправленный с вектором находится по формуле:
6. Скалярным произведением векторов называется число:
где — угол между векторами.
7. Скалярное произведение векторов
8. Косинус угла между векторами и находится по формуле:
9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид:10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору имеет вид:
Ax + by + cz + d = 0.
11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид:
A(x — xo) + b(y — yo) + c(z — zo) = 0.
12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Математик Анри Пуанкаре в книге «Наука и метод» писал: «Если бы природа не была прекрасна, она не стоила бы того, чтобы ее знать, жизнь не стоила бы того, чтобы ее переживать. Я здесь говорю, конечно, не о той красоте, которая бросается в глаза… Я имею в виду ту более глубокую красоту, которая открывается в гармонии частей, которая постигается только разумом. Это она создает почву, создает каркас для игры видимых красок, ласкающих наши чувства, и без этой поддержки красота мимолетных впечатлений была бы несовершенна как все неотчетливое и преходящее. Напротив красота интеллектуальная дает удовлетворение сама по себе».
П.А.М. Дирак писал: «У теоретической физики есть еще один верный путь развития. Природе присуща та фундаментальная особенность, что самые основные физические законы описываются математической теорией, аппарат которой обладает необыкновенной силой и красотой. Чтобы понять эту теорию, нужно обладать необычайно высокой математической квалификацией. Вы можете спросить: почему природа устроена именно так? На это можно ответить только одно: согласно нашим современным знаниям, природа устроена именно так, а не иначе».
Семь лет назад украинский физик (и художник) Наталия Кондратьева обратилась к ряду ведущих математиков мира с вопросом: «Какие три математические формулы, на ваш взгляд, самые красивые?»
В беседе о красоте математических формул приняли участие сэр Михаэль Атья и Дэвид Элварси из Британии, Яков Синай и Александр Кириллов из США, Фридрих Херцебрух и Юрий Манин из Германии, Давид Рюэль из Франции, Анатолий Вершик и Роберт Минлос из России и другие математики из разных стран. Из украинцев в дискуссии приняли участие академики НАНУ Владимир Королюк и Анатолий Скороход. Часть полученных таким образом материалов и легла в основу изданной Натальей Кондратьевой научной работы «Три самые красивые математические формулы».
— Какую цель вы ставили, обращаясь к математикам с вопросом о красивых формулах?
— Каждое новое столетие приносит обновление научной парадигмы. В самом начале века с ощущением, что мы стоим у порога новой науки, ее новой роли в жизни человеческого общества, я обратилась к математикам с вопросом о красоте идей, стоящих за математическими символами, т.е. о красоте математических формул.
Этот процесс начался уже в ХХ веке. Так, Колмогоров математически показал, что случайности нет, а есть очень большая сложность. Фрактальная геометрия подтвердила принцип единства в многообразии и т.д.
— Сразу скажу, что цели устроить конкурс формулам не было. В своем письме к математикам я писала: «Люди, которые хотят понять, какими законами управляется мир, становятся на путь отыскания гармонии мира. Путь этот уходит в бесконечность (ибо движение вечно), но люди всё равно идут им, т.к. есть особая радость встретить очередную идею или представление. Из ответов на вопрос о красивых формулах, возможно, удастся синтезировать новую грань красоты мира. Кроме того, эта работа может оказаться полезной для будущих ученых как мысль о великой гармонии мира и математики как способе отыскания этой красоты».
Тем не менее среди формул оказались явные фавориты: формула Пифагора и формула Эйлера.
Вслед за ними расположились скорее физические, чем математические формулы, которые в ХХ веке изменили наше преставление о мире, —Максвелла, Шредингера, Эйнштейна.
Также в число самых красивых попали формулы, которые еще находятся на стадии дискуссии, такие, например, как уравнения физического вакуума. Назывались и другие красивые математические формулы.
— Как вы думаете, почему на рубеже второго и третьего тысячелетий формула Пифагора названа одной из самых красивых?
— Во времена Пифагора эта формула воспринималась как выражение принципа космической эволюции: два противоположных начала (два квадрата, соприкасающихся ортогонально) порождают третье, равное их сумме. Можно дать геометрически очень красивые интерпретации.
Возможно, существует какая-то подсознательная, генетическая память о тех временах, когда понятие «математика» означало — «наука», и в синтезе изучались арифметика, живопись, музыка, философия.
Рафаил Хасминский в своем письме написал, что в школе он был поражен красотой формулы Пифагора, что это во многом определило его судьбу как математика.
— А что можно сказать о формуле Эйлера?
— Некоторые математики обращали внимание, что в ней «собрались все», т.е. все самые замечательные математические числа, и единица таит в себе бесконечности! — это имеет глубокий философский смысл.
Недаром эту формулу открыл Эйлер. Великий математик много сделал, чтобы ввести красоту в науку, он даже ввел в математику понятие «градус красоты». Вернее, он ввел это понятие в теорию музыки, которую считал частью математики.
Эйлер полагал, что эстетическое чувство можно развивать и что это чувство необходимо ученому.
Сошлюсь на авторитеты… Гротендик: «Понимание той или иной вещи в математике настолько совершенно, насколько возможно прочувствовать ее красоту».
Пуанкаре: «В математике налицо чувство». Он сравнивал эстетическое чувство в математике с фильтром, который из множества вариантов решения выбирает наиболее гармоничный, который, как правило, и есть верный. Красота и гармония — синонимы, а высшее проявление гармонии есть мировой закон Равновесия. Математика исследует этот закон на разных планах бытия и в разных аспектах. Недаром каждая математическая формула содержит знак равенства.
Думаю, что высшая человеческая гармония есть гармония мысли и чувства. Может быть, поэтому Эйнштейн сказал, что писатель Достоевский дал ему больше, чем математик Гаусс.
Формулу Достоевского «Красота спасет мир» я взяла в качестве эпиграфа к работе о красоте в математике. И он также обсуждался математиками.
— И они согласились с этим утверждением?
— Математики не утверждали и не опровергали этого утверждения. Они его уточнили: «Осознание красоты спасет мир». Здесь сразу вспомнилась работа Юджина Вигнера о роли сознания в квантовых измерениях, написанная им почти пятьдесят лет назад. В этой работе Вигнер показал, что человеческое сознание влияет на окружающую среду, т.е., что мы не только получаем информацию извне, но и посылаем наши мысли и чувства в ответ. Эта работа до сих пор актуальна и имеет как своих сторонников, так и противников. Я очень надеюсь, что в ХХI веке наука докажет: осознание красоты способствует гармонизации нашего мира.
1. Формула Эйлера. Многие видели в этой формуле символ единства всей математики, ибо в ней «-1 представляет арифметику, i — алгебру, π — геометрию и e — анализ».
2. Это простое равенство показывает, величина 0,999 (и так до бесконечности) эквивалентна единице. Многие люди не верят, что это может быть правдой, хотя существует несколько доказательств, основанных на теории пределов. Тем не менее, равенство показывает принцип бесконечности.
3. Это уравнение было сформулировано Эйнштейном в рамках новаторской общей теории относительности в 1915 году. Правая часть этого уравнения описывает энергию, содержащуюся в нашей Вселенной (в том числе» темную энергию»). Левая сторона описывает геометрию пространства-времени. Равенство отражает тот факт, что в общей теории относительности Эйнштейна, масса и энергия определяют геометрию, и одновременно кривизну, которая является проявлением гравитации. Эйнштейн говорил, что левая часть уравнений тяготения в общей теории относительности, содержащая гравитационное поле, красива и как будто вырезана из мрамора, в то время как правая часть уравнений, описывающая материю, всё ещё уродлива, будто сделана из обыкновенной деревяшки.
4. Еще одна доминирующая теория физики — Стандартная модель — описывает электромагнитное, слабое и сильное взаимодействие всех элементарных частиц. Некоторые физики считают, что она отображает все процессы, происходящие во Вселенной, кроме темной материи, темной энергии и не включает в себя гравитацию. В Стандартную модель вписывается и неуловимый до прошлого года бозон Хиггса, хотя не все специалисты уверены в его существовании.
5. Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Ее мы помним еще со школы и считаем, что автор теоремы — Пифагор. На самом деле этой формулой пользовались еще в Древнем Египте при строительстве пирамид.
6. Теорема Эйлера. Эта теорема заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Уравнение устанавливает связь между числом вершин, ребер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.
7. Специальная теория относительности описывает движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. Эйнштейн составил формулу, которая описывает, что время и пространство не являются абсолютными понятиями, а скорее являются относительными в зависимости от скорости наблюдателя. Уравнение показывает, как расширяется или замедляется время в зависимости от того, как и куда движется человек.
8. Уравнение было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжелая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки. В общих словах, если ваша система имеет симметрию, есть соответствующий закон сохранения симметрии.
9. Уравнение Каллана — Симанзика. Оно представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию н-корреляционной функции при изменении масштаба энергий, при которых теория определена и включает в себя бета-функции теории и аномальные размерности. Это уравнение помогло лучше понять квантовую физику.
10. Уравнение минимальной поверхности. Это равенство объясняет формирование мыльных пузырей.
11. Прямая Эйлера. Теорема Эйлера была доказана в 1765 году. Он обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности.
12. В 1928 году П.А.М. Дирак предложил свой вариант уравнения Шредингера — которое соответствовало теории А. Эйнштейна. Учёный мир был потрясён — Дирак открыл своё уравнение для электрона путём чисто математических манипуляций с высшими математическими объектами, известными как спиноры. И это было сенсацией — до сих пор все великие открытия в физике должны стоять на прочной базе экспериментальных данных. Но Дирак считал, что чистая математика, если она достаточно красива, является надёжным критерием правильности выводов. «Красота уравнений важнее, чем их соответствие экспериментальным данным. … Представляется, что если стремишься получить в уравнениях красоту и обладаешь здоровой интуицией, то ты на верном пути». Именно благодаря его выкладкам был открыт позитрон — антиэлектрон, и предсказал наличие у электрона «спина» — вращения элементарной частицы.
13. Дж. Максвелл получил удивительные уравнения, объединившие все явления электричества, магнетизма и оптики. Замечательный немецкий физик, один из создателей статистической физики, Людвиг Больцман, сказал об уравнениях Максвелла: «Не Бог ли начертал эти письмена?»
14. Уравнение Шредингера.Уравнение, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике.
На данной странице Вы можете посмотреть или бесплатно скачать самые востребованные математические формулы, таблицы ,а также справочные материалы по высшей математике. Все математические таблицы составлены лично мной и снабжены дополнительными комментариями. Сделано это в целях преодоления трудностей, с которыми часто сталкиваются студенты-заочники в ходе решения задач. Я не претендую на всеобъемлющую полноту материалов, но то, что ОЧЕНЬ ЧАСТО встречается, Вы найдете.
Рассмотрим, например, таблицу тригонометрических формул. Тригонометрических формул достаточно много, они давно известны, и нет никакого смысла переписывать справочники. А вот те формулы, которые очень часто используются для решения задач курса высшей математики, собраны воедино, и могут быть очень полезны при выполнении практических заданий. При этом в комментариях я указываю, в каком разделе высшей математики (пределы, производные, интегралы, и т.д.) практически всегда фигурирует та или иная формула.
Итак, прямо сейчас у Вас есть бесплатный доступ к ценным справочным материалам, возможен, как онлайн просмотр, так и скачивание. Удобнее всего сразу распечатать математические таблицы и справочные материалы, которые Вас заинтересуют. Как показывает практика, информация на экране монитора усваивается хуже, чем на бумаге, да и читать с монитора труднее.
Почти все файлы размещены прямо на сайте, а значит, могут быть получены в максимально короткий срок, ограниченный только скоростью Вашего Интернет-подключения.
! В случае некорректного отображения pdf используйте следующие рекомендации
Рекомендую просмотреть всем. Данные формулы встречаются в ходе решения задач по высшей математике буквально на каждом шагу. Без знания этих формул – никуда. С чего начать изучение высшей математики? С повторения этого. Независимо от уровня Вашей математической подготовки на данный момент, крайне желательно СРАЗУ ВИДЕТЬ возможность выполнения элементарных действий, применения простейших формул в ходе решения пределов, интегралов, дифференциальных уравнений и т.д.
В справочнике есть краткая информация о модуле, формулы сокращенного умножения, алгоритм решения квадратного уравнения, правила упрощения многоэтажных дробей, а также важнейшие свойства степеней и логарифмов.
Приведены самые «ходовые» тригонометрические формулы, которые применяются в ходе решения задач по высшей математике. На самом деле таких формул НЕМНОГО, и, собирать десятки других по различным математическим справочникам – пустая трата времени. Всё (или почти всё), что может потребоваться – здесь.
При выполнении заданий по математике нередко возникает необходимость заглянуть в тригонометрические таблицы. В данном справочном материале представлена таблица значений тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) при значениях аргумента от нуля до 360 градусов. Держать в памяти данную информацию нет никакого смысла, но некоторые значения тригонометрических функций хорошо бы знать . Также представлены формулы приведения для вышеуказанных тригонометрических функций, иногда (чаще всего при решении пределов) требуются. По просьбам посетителей сайта в pdf-файл добавлена таблица значений обратных тригонометрических функций и две формулы: формула перевода градусов в радианы, формула перевода радианов в градусы.
Методический материал представляет собой обзор графиков основных элементарных функций и их свойств. Будет полезен при изучении практически всех разделов высшей математики, более того, справочное пособие поможет вам намного лучше и качественнее разобраться в некоторых темах. Также вы сможете узнать, какие значения функций следует знать наизусть , чтобы не получить «два автоматом» при ответе на простейший вопрос экзаменатора. Справка выполнена в форме веб страницы и содержит много графиков функций, которые также желательно помнить. По мере развития проекта методичка стала играть роль вводного урока по теме «Функции и графики».
На практике у студентов-заочников практически всегда возникает необходимость использовать первый и второй замечательные пределы, о которых и идет речь в данной справке. Также рассмотрены еще три замечательных предела, которые встречаются значительно реже. Все замечательные пределы снабжены дополнительными важными комментариями. Кроме того, файл дополнен информацией о замечательных эквивалентностях.
В справке приведены правила дифференцирования и таблица производных от основных элементарных функций. Таблица снабжена очень важными примечаниями.
Ваш гид по разделу «Функции и графики». В pdf-ке систематизирована и законспектирована информация об основных этапах исследования функции одной переменной. Руководство сопровождается ссылками, а значит, экономит массу времени. Мануал полезен как чайнику, так и подготовленному читателю.
В общем-то, почти то же самое, что в дифференциальном исчислении. Правила интегрирования и таблица интегралов с моими комментариями.
Справочный материал незаменим при изучении степенных рядов. В таблице представлены разложения в степенной ряд следующих функций: экспоненты, синуса, косинуса, логарифма, арктангенса и арксинуса. Также приведено биномиальное разложение и наиболее распространенные частные случаи биномиального разложения. Разложение функции в ряд является самостоятельным заданием, используется для приближенных вычислений, приближенных вычислений определенного интеграла и в некоторых других задачах.
Основной трудностью при решении неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами является правильный подбор частного решения по виду правой части. Данная методичка, относится, прежде всего, к уроку Как решить неоднородное уравнение второго порядка? и поможет вам легко разобраться в подборе частного решения. Справка не претендует на основательную научную полноту, она написана простым и понятным языком, однако в 99,99% случаев в ней найдется именно тот случай, который вы ищете.
Справка незаменима в ходе решения прикладных задач комплексного анализа – нахождения частного решения ДУ операционным методом и нахождения частного решения системы ДУ этим же способом. Таблица отличается от аналогов тем, что «заточена» именно под вышеуказанные задания, данная особенность позволяет легко освоить алгоритмы решения. Приведено как прямое, так и обратное преобразование Лапласа для наиболее распространенных функций. В случае если информации окажется недостаточно, рекомендую обратиться к солидному математическому справочнику – полная версия содержит более сотни пунктов.
В справочном материале приведены формулы факториала, количества перестановок, сочетаний, размещений (с повторениями и без повторений), а также содержательные комментарии к каждой формуле, позволяющие понять их суть. + Правила сложения и умножения комбинаций. Кроме того, в pdf-ке есть краткая информация о биноме Ньютона и треугольнике Паскаля с примерами их практического использования.
Файл содержит перечень формул с краткими комментариями по обеим главам тервера – Случайные события и Случайные величины , в том числе приведены формулы и числовые характеристики распространённых дискретных и непрерывных распределений. Справка систематизирует материал и очень удобна для выполнения практических заданий, заглядываем и сразу находим то, что нужно!
Специальные расчётные программы:В данном разделе вы можете найти вспомогательные программы для решения широких и узколокальных математических задач. Они помогут вам быстро выполнить расчёты и оформить решение.
Универсальный калькулятор реализован в рабочей книге MS Excel, которая содержит три листа. Программа может заменить обычный калькулятор с множеством функций. Любые степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции, арки – без проблем! Кроме того, калькулятор в автоматическом режиме выполняет основные действия с матрицами , считает определители (до определителя 5 на 5 включительно), мгновенно находит миноры и алгебраические дополнения матриц. За считанные секунды можно решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера , посмотреть основные этапы решения. Всё это очень удобно для самопроверки. Просто введите свои числа и получите готовый результат!
Данная полуавтоматическая программа относится к уроку Формула трапеций, формула Симпсона и помогает рассчитать приближенное значение определенного интеграла на 2, 4, 8, 10 и 20 отрезках разбиения. Прилагается видеоурок по работе с калькулятором. Вычислите ваш определенный интеграл в считанные минуты, и даже секунды!
На данный момент пока всё.
Раздел постепенно пополняется дополнительными материалами и полезными программами. Каждое справочное пособие неоднократно редактировалось и улучшалось, в том числе, с учетом ваших пожеланий и замечаний! Если Вы считаете, что упущено что-то важное, нашли какие-либо неточности, а может быть что-то разъяснено недостаточно понятно, обязательно пишите !
С уважением, Емелин Александр
«Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы»
Математический анализ помогает совершать естественно-научные открытия. С математическими расчетами сопряжено создание любой сложной конструкции. Весь наш мир вполне успешно можно описать с помощью математических методов. Как перестать бояться формул и полюбить математику? Почему она так эффективна в естественных науках? На эти и другие вопросы в книге «Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы» (издательство Альпина нон-фикшн) пробует ответить астрофизик и популяризатор науки Сергей Попов. N + 1 предлагает своим читателям ознакомиться с отрывком, рассказывающим о том, что такое антропный принцип, в чем разница между его слабой и сильной разновидностями, а также почему для науки важно создавать модели, не имеющие отношения к наблюдаемой реальности.
Снежинки теорий
Снежинки являются символом уникальности. Любопытно, что это разнообразие форм существует, невзирая на строгие законы, связанные со свойствами молекул воды. Более 400 лет назад Иоганн Кеплер написал небольшой трактат «О шестиугольных снежинках». Наука того времени не располагала возможностью достаточно полно объяснить правила, определяющие вид этих объектов. Однако многие считают, что именно эта работа лежит в основе современной кристаллографии, поскольку в ней впервые на достаточно хорошем уровне была сделана попытка объяснить свойства кристаллов, используя не только качественные рассуждения, но и математику. Кеплер, разумеется, ничего не знал о молекулах воды, поэтому было бы удивительно, если бы он смог найти полностью правильный ответ на вопрос о форме снежинок. Тем не менее в его книге изложено много любопытных идей, причем не только о кристаллах. Это очень интересный (и доступный, практически научно-популярный) пример того, как логика и математика помогали работать с гипотезами о свойствах природных явлений на заре возникновения современной физики.
Представим цивилизацию, обитающую на планете, где в естественных условиях снежинки не образуются, к тому же пусть вообще жизнь на этой планете основана не на воде. Межпланетная станция исследовала холодный спутник близкой планеты и прислала фотографию снежинки. Теперь ученые в лаборатории пытаются воспроизвести ее форму. Поняв, что снежинка состоит из молекул воды, они довольно быстро научатся делать самые разнообразные снежинки, которые будут похожи на оригинал, но не будут в точности его воспроизводить. Ученые установят, что существуют различные типы снежинок, возникающие при разных комбинациях параметров (влажность, температура и т. д.), но воссоздать их точную форму можно будет только путем манипулирования с отдельными молекулами, а не воспроизводя естественные условия: слишком много вариантов. Важно, что исследователи поймут, почему снежинки шестиугольные (и не бывает пяти- или семиугольных). Может быть, им удастся установить, что снежинки из других видов льда (неводяного) будут иметь другую симметрию, но опять-таки не всё возможно. И вероятно, в течение долгого времени нерешенным останется вопрос о деталях происхождения воды на этом небесном теле.
Такая ситуация похожа на то, как физики-теоретики пытаются понять мир. Физическая реальность — некая уникальная реализация множества физических параметров, но она подчинена каким-то единым физическим законам, которые в полной мере нам пока неизвестны. Однако мы знаем уже довольно много. Это позволяет строить все более реалистичные модели. Некоторые из них ухватывают глобальные черты «снежинки», а некоторые пытаются точно воспроизвести отдельные «лучики».
Здесь хочется сделать один важный комментарий. Занимаясь конструированием «снежинок», не совпадающих с оригиналом, ученый не работает впустую. Хотя он и не изучает непосредственно исходную «снежинку» (реальный мир), но он исследует снег, воду, взаимодействие молекул. Иными словами, даже создавая модели, явно не имеющие отношения к наблюдаемой реальности, теоретик может заниматься важной, осмысленной деятельностью, связанной с изучением физики (и, возможно, математики). Таким образом, потенциальные возможности физики в некотором смысле превосходят конкретную реализацию в виде нашей наблюдаемой части вселенной.
В фильме «В ожидании волн и частиц» Сергей Троицкий, физик-теоретик из Института ядерных исследований в Москве, высказывает интересную мысль: «Теоретик должен заниматься тем, что не существует, но что могло бы существовать. То, что существует, экспериментаторы и так откроют». Разумеется, это высказывание отчасти шуточное. Но лишь отчасти! Изучение нереализованных в природе возможностей (проводимое в соответствии с довольно строгими правилами и ограничениями, о которых мы говорили выше) — важная составляющая исследовательской работы.
Почему же мы наблюдаем некоторую реализацию из ряда возможностей? Почему именно эту? С одной стороны, мы можем надеяться найти прямой и детальный ответ на этот вопрос. Правда, сделать это будет нелегко, так как почти наверняка для достоверности результата нам придется научиться исследовать другие варианты не только теоретически, но и экспериментально (или убедительно доказать, что наша наблюдаемая вселенная — единственная). Но часть вариантов мы можем отбросить, используя довольно оригинальный подход, наиболее четко впервые сформулированный Брендоном Картером вначале в препринте, опубликованном в 1967 г., а затем в докладе на симпозиуме Международного астрономического союза в 1973 г., проходившем в Польше и посвященном 500-летию со дня рождения Коперника. На основании этих идей Картером была написана классическая статья, опубликованная в 1974 г. в журнале Classical and Quantum Gravity. Именно на симпозиуме в Кракове им был предложен и прижившийся термин «антропный принцип»*.
*Наиболее детальное описание идеи антропного принципа можно найти в книге: Barrow, John D.; Tipler, Frank J. The Anthropic Cosmological Principle. — Oxford University Press, 1988. Также стоит отметить редакторский комментарий Джорджа Эллиса к классической статье Брендона Картера. Статья Картера 1967 г. также была впоследствии размещена в Архиве. Другие важные статьи по этой теме, наличествующие в открытом доступе на сайте arXiv.org, можно найти по ключевому слову «антропный» у меня на сайте.В самой простой формулировке принцип звучит так: мы наблюдаем такой мир, потому что в других (сильно отличающихся) мирах нет наблюдателей, подобных нам. Разумеется, в той или иной степени подобные мысли возникали задолго до рубежа 60-х и 70-х гг. XX века у разных людей. Но эти идеи не выстраивались в некую целостную концепцию, которую можно развивать и пытаться приложить к объяснению реальных данных. Развитие происходит на стыке физики и философии, что накладывает свой отпечаток. На сегодняшний день существует несколько вариантов формулировки антропного принципа.
В первую очередь важно разделение на так называемые слабый и сильный антропные принципы. Приведенная выше формулировка в большей степени относится к слабому. Его идея до некоторой степени даже банальна. В самом деле, мы знаем довольно много, для того чтобы утверждать, что не при всех комбинациях физических параметров может существовать жизнь в высокоразвитой форме (а для появления разумного наблюдателя это необходимо; исключим из рассмотрения так называемый больцмановский мозг). Жизнь вряд ли появится в мирах с двумя или четырьмя пространственными измерениями (здесь речь о макроскопических, т. е. некомпактифицированных*, измерениях. Таким образом, пространство может быть и 10-, и 11-мерным, но дополнительные измерения «свернуты» и в макромире не проявляются непосредственно: например, орбитальное движение планет или даже движение электронов в атоме происходят в трехмерии).
*Во многих современных теориях (в том числе в теории струн) существуют дополнительные пространственные измерения, однако их роль начинает проявляться лишь на очень малых масштабах, поскольку глобальная топология пространства такова, что дополнительные измерения оказываются «свернутыми» или, как говорят, «компактифицированными». Популярное изложение этих идей можно найти, например, в книге Лизы Рэндалл «Закрученные пассажи: проникая в тайны скрытых размерностей пространства» (М.: Либроком, 2011).
Если жизнь в гипотетическом мире основана на наборе частиц, похожем на наш (протоны, нейтроны, электроны), то возникает ряд ограничений на их свойства, например на соотношения масс. Есть и более тонкие «настройки». Известен пример с энергией одного из уровней возбуждения ядра атома углерода, предсказанный Фредом Хойлом. Если бы энергии частиц в так называемой тройной альфа-реакции (синтез ядра углерода из трех альфа-частиц, т. е. ядер гелия*) не были особым образом согласованы, то термоядерный синтез в звездах практически не приводил бы к образованию углерода. А без него не могла бы существовать наша форма жизни. Оттолкнувшись от факта ее существования, Хойл предсказал наличие такого согласования параметров. Таким образом, если мы представим себе мир, где массы протонов и нейтронов чуть-чуть отличаются от наших, то там такого совпадения не будет, а значит, там нет и большого количества углерода, т. е. отсутствует жизнь, подобная земной. Отметим, что в нашей вселенной углерод занимает четвертое место по распространенности, а в первую тройку, напомним, кроме гелия, входят водород и кислород, составляющие вместе воду. Иначе говоря, углерод и вода — основа нашей жизни — чрезвычайно распространены.
*Тройная альфа-реакция происходит в ядрах достаточно массивных звезд после исчерпания водорода в качестве термоядерного горючего в их недрах. Наше Солнце примерно через 5–6 млрд лет (после своего превращения в красный гигант) перейдет на стадию горения гелия в ядре. Столкновение сразу трех частиц крайне маловероятно, поэтому для эффективного протекания реакции нужно согласование параметров ядер гелия, бериллия и углерода. Бериллий образуется на промежуточной стадии в результате слияния двух альфа-частиц. За счет того что вступающие в реакцию ядра бериллия и гелия имеют энергию, крайне близкую к энергии возбужденного ядра углерода, вероятность всей реакции резко повышается.
История с возбужденным уровнем ядра углерода считается примером успешного применения антропного принципа: исходя из факта нашего существования удалось предсказать реальные свойства физических объектов. Правда, это не только наиболее яркий пример, но и практически единственный*. Тем не менее и этого достаточно, чтобы более серьезно отнестись к идее, на первый взгляд кажущейся слишком банальной или слишком философской.
*Другой интересный пример можно найти в статье Эндрю Гулда. Речь идет о свойствах ядра трития в сравнении с гелием-3.Итак, слабый антропный принцип говорит нам, что сам факт нашего существования требует отбросить такие варианты устройства вселенной, при реализации которых нас бы не было. Заметим, что это не дает никакого ответа на вопрос о том, «почему же все-таки так получилось». Поэтому многие ученые не считают антропный принцип частью науки. Иными словами, все равно важно искать ответы на вопросы, почему измерений именно три, почему массы частиц именно такие и т. д. Ведь в физике мы всегда стремимся добраться до сути, понять механизмы явлений.
Сильный антропный принцип выглядит несколько более странно и является куда как более спорным утверждением. Одна из формулировок гласит: «Свойства вселенной должны быть таковы, чтобы в ней могла появиться разумная жизнь». Звучит вполне как тезис какой-нибудь религии. Для многих так оно и есть. Существуют и более наукообразные формулировки, например связанные с некоторыми вариантами интерпретации квантовой механики: «Наблюдатели необходимы, чтобы вселенная реально существовала». В таком подходе в отсутствие наблюдателя «нет реальности» (дерево в лесу падает беззвучно, если этого никто не слышит). Наконец, еще один вариант связан с возможностью существования мультивселенных. В этой формулировке под словом «Вселенная» понимается вся совокупность миров: «Рано или поздно во Вселенной появляется разумный наблюдатель». Если верен сильный принцип, то автоматически верен и слабый.
Аргументы в пользу сильного антропного принципа очень косвенные и часто, скорее, «философские», даже если они связаны с интерпретацией квантовой механики. Зато такой подход потенциально претендует на объяснение исключительности набора физических параметров в нашей вселенной. И слабый, и сильный варианты призваны помочь понять, почему наша «снежинка» именно такая. Однако сами по себе эти подходы похожи не на снежинки, а, скорее, на капли воды.
Понимание того, что наш мир в принципе мог бы быть другим (пусть в нем не было бы нас самих), дает простор фантазии. Причем фантазировать можно, рассматривая все уровни: газообразный, жидкий и твердый. Иначе говоря, можно сделать конструирование миров предметом искусства, философских рассуждений или даже рассмотрений в рамках теоретической физики. Ведь если мы не могли бы появиться и/или жить в какой-то вселенной, это еще не значит, что мы не можем ее полностью описать с помощью формул.
Мы можем наслаждаться созданием «снежинки» — теории и ее конкретной формой как творением человеческого разума, вдохновленного реальными вопросами устройства мира. С определенной точки зрения это «игра в бисер», но важно помнить, что методы и задачи теоретической физики не являются отвлеченными от актуальных вопросов науки, включая и прикладные. Скорее уж, это похоже на проектирование фантастических городов, которые никогда не будут построены, но архитектура и инфраструктура которых просчитываются достаточно детально.
В последние десятилетия появились научные аргументы в пользу осмысленности такого подхода, а также возможность подвести основу под антропный принцип. В частности, некоторые из них связаны с теорией струн и так называемым струнным ландшафтом, о которых мы поговорим в следующей главе.
Подробнее читайте:
Попов, С. Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы / Сергей Попов. — М.: Альпина нон-фикшн, 2019. — 288 с
Все формулы по математике. Как запоминать формулы по математике, чтобы они не забывались
Голова идёт кругом от множества математических формул, которые необходимо знать. Зубрёжка и шпаргалки — удел слабых. А вот тем, кто хочет стать в математике сильнее, мы подскажем несколько советов, как запоминать формулы по математике так, чтобы они не выветрились из головы до контрольной, экзамена или ЦТ.
Понимай формулу
Если ты будешь заучивать только последовательность переменных, рискуешь «потерять» всю формулу, когда забудешь символ или знак.
Задействуй все виды памяти
Читай формулы вслух, прописывай на листке по нескольку раз, пока не запомнишь. Задействуй все виды памяти, делая упор на ведущую . Визуальная и двигательная память вместе дают больший эффект. Конечно, потенциал для запоминания у каждого разный. Есть специальные методики, которые помогают .
Вот ещё несколько советов, как запомнить формулыОбязательно делай формулы наглядными: обводи формулу в рамку, пиши её другим цветом. Так будет легче найти в конспекте и запомнить. А лучше выписывай формулы в отдельный блокнот, структурируя их по темам. Помечай, в какого рода задачах та или иная формула пригодится, в чём её особенность. Заведи привычку пополнять список формул. Подобный «дневник наблюдений за формулами» поможет освежить в памяти важную информацию перед контрольной, экзаменом или ЦТ по математике.
Многие школьники ещё вот что делают: когда раздают проштампованные черновики, ты берёшь и сразу же записываешь на них важные формулы, которые тебе тяжело даются. За полчаса до ЦТ ты эти формулы зрительно запомнил, а потом быстренько написал. Это экономит время. Особенно такой лайфхак хорош в тригонометрии. Чем больше знаешь формул, тем лучше.
Проверяй себя
Нужно постоянно возвращаться к выученному материалу, чтобы не забыть его. Попробуй метод «Две карточки», он подойдёт для запоминания формул приведения, сокращённого умножения, тригонометрических формул. Возьми две стопки карточек разного цвета, на одной напиши левую часть формулы, а на другой — правую. Раздели таким образом все формулы, что тебе нужно запомнить, затем перемешай обе стопки. Тяни по порядку карточку с левой частью формулы и подбирай её продолжение среди «правых» и наоборот.
Карточки хороши и в геометрии
Чтобы запомнить формулы по геометрии, заведи себе карточки по темам («Формулы площади», «Фомулы для треугольника», «Фомулы для квадрата» и т. д.) и записывай в них информацию следующим образом.
Можно фиксировать формулы в отдельном блокноте и всегда был под рукой — как тебе удобно
Будь на позитиве
Если ты учишь что-либо из-под палки, мозг сам желает избавиться от груза знаний. Воспринимай заучивание формул как хорошее упражнение для тренировки памяти. Да и настроение поднимается, когда вспоминаешь нужную формулу для решения. И конечно же, решай как можно больше тестов и задач для подготовки к контрольной, экзамену или ЦТ!
ЦТ по математике — это типовые задачи: чем больше тестов решаешь, тем выше шанс встретить что-то похожее на ЦТ. Невозможно подготовиться к ЦТ по одной задаче. Но когда ты прорешал 100 задач, то 101 задача не вызовет затруднений.
Дмитрий Судник, преподаватель математики в
Если материал был для тебя полезен, не забудь поставить «мне нравится» в наших соцсетях
Математик Анри Пуанкаре в книге «Наука и метод» писал: «Если бы природа не была прекрасна, она не стоила бы того, чтобы ее знать, жизнь не стоила бы того, чтобы ее переживать. Я здесь говорю, конечно, не о той красоте, которая бросается в глаза… Я имею в виду ту более глубокую красоту, которая открывается в гармонии частей, которая постигается только разумом. Это она создает почву, создает каркас для игры видимых красок, ласкающих наши чувства, и без этой поддержки красота мимолетных впечатлений была бы несовершенна как все неотчетливое и преходящее. Напротив красота интеллектуальная дает удовлетворение сама по себе».
П.А.М. Дирак писал: «У теоретической физики есть еще один верный путь развития. Природе присуща та фундаментальная особенность, что самые основные физические законы описываются математической теорией, аппарат которой обладает необыкновенной силой и красотой. Чтобы понять эту теорию, нужно обладать необычайно высокой математической квалификацией. Вы можете спросить: почему природа устроена именно так? На это можно ответить только одно: согласно нашим современным знаниям, природа устроена именно так, а не иначе».
Семь лет назад украинский физик (и художник) Наталия Кондратьева обратилась к ряду ведущих математиков мира с вопросом: «Какие три математические формулы, на ваш взгляд, самые красивые?»
В беседе о красоте математических формул приняли участие сэр Михаэль Атья и Дэвид Элварси из Британии, Яков Синай и Александр Кириллов из США, Фридрих Херцебрух и Юрий Манин из Германии, Давид Рюэль из Франции, Анатолий Вершик и Роберт Минлос из России и другие математики из разных стран. Из украинцев в дискуссии приняли участие академики НАНУ Владимир Королюк и Анатолий Скороход. Часть полученных таким образом материалов и легла в основу изданной Натальей Кондратьевой научной работы «Три самые красивые математические формулы».
— Какую цель вы ставили, обращаясь к математикам с вопросом о красивых формулах?
— Каждое новое столетие приносит обновление научной парадигмы. В самом начале века с ощущением, что мы стоим у порога новой науки, ее новой роли в жизни человеческого общества, я обратилась к математикам с вопросом о красоте идей, стоящих за математическими символами, т.е. о красоте математических формул.
Уже сейчас можно отметить некоторые особенности новой науки. Если в науке ХХ века очень важную роль играла «дружба» математики с физикой, то сейчас математика эффективно сотрудничает с биологией, генетикой, социологией, экономикой… Следовательно, наука будет исследовать соответствия. Математические структуры будут исследовать соответствия между взаимодействиями элементов различных областей и планов. И многое, что раньше мы воспринимали на веру как философские констатации, будет утверждено наукой как конкретное знание.
Этот процесс начался уже в ХХ веке. Так, Колмогоров математически показал, что случайности нет, а есть очень большая сложность. Фрактальная геометрия подтвердила принцип единства в многообразии и т.д.
— Какие же формулы были названы самыми красивыми?
— Сразу скажу, что цели устроить конкурс формулам не было. В своем письме к математикам я писала: «Люди, которые хотят понять, какими законами управляется мир, становятся на путь отыскания гармонии мира. Путь этот уходит в бесконечность (ибо движение вечно), но люди всё равно идут им, т.к. есть особая радость встретить очередную идею или представление. Из ответов на вопрос о красивых формулах, возможно, удастся синтезировать новую грань красоты мира. Кроме того, эта работа может оказаться полезной для будущих ученых как мысль о великой гармонии мира и математики как способе отыскания этой красоты».
Тем не менее среди формул оказались явные фавориты: формула Пифагора и формула Эйлера.
Вслед за ними расположились скорее физические, чем математические формулы, которые в ХХ веке изменили наше преставление о мире, —Максвелла, Шредингера, Эйнштейна.
Также в число самых красивых попали формулы, которые еще находятся на стадии дискуссии, такие, например, как уравнения физического вакуума. Назывались и другие красивые математические формулы.
— Как вы думаете, почему на рубеже второго и третьего тысячелетий формула Пифагора названа одной из самых красивых?
— Во времена Пифагора эта формула воспринималась как выражение принципа космической эволюции: два противоположных начала (два квадрата, соприкасающихся ортогонально) порождают третье, равное их сумме. Можно дать геометрически очень красивые интерпретации.
Возможно, существует какая-то подсознательная, генетическая память о тех временах, когда понятие «математика» означало — «наука», и в синтезе изучались арифметика, живопись, музыка, философия.
Рафаил Хасминский в своем письме написал, что в школе он был поражен красотой формулы Пифагора, что это во многом определило его судьбу как математика.
— А что можно сказать о формуле Эйлера?
— Некоторые математики обращали внимание, что в ней «собрались все», т.е. все самые замечательные математические числа, и единица таит в себе бесконечности! — это имеет глубокий философский смысл.
Недаром эту формулу открыл Эйлер. Великий математик много сделал, чтобы ввести красоту в науку, он даже ввел в математику понятие «градус красоты». Вернее, он ввел это понятие в теорию музыки, которую считал частью математики.
Эйлер полагал, что эстетическое чувство можно развивать и что это чувство необходимо ученому.
Сошлюсь на авторитеты… Гротендик: «Понимание той или иной вещи в математике настолько совершенно, насколько возможно прочувствовать ее красоту».
Пуанкаре: «В математике налицо чувство». Он сравнивал эстетическое чувство в математике с фильтром, который из множества вариантов решения выбирает наиболее гармоничный, который, как правило, и есть верный. Красота и гармония — синонимы, а высшее проявление гармонии есть мировой закон Равновесия. Математика исследует этот закон на разных планах бытия и в разных аспектах. Недаром каждая математическая формула содержит знак равенства.
Думаю, что высшая человеческая гармония есть гармония мысли и чувства. Может быть, поэтому Эйнштейн сказал, что писатель Достоевский дал ему больше, чем математик Гаусс.
Формулу Достоевского «Красота спасет мир» я взяла в качестве эпиграфа к работе о красоте в математике. И он также обсуждался математиками.
— И они согласились с этим утверждением?
— Математики не утверждали и не опровергали этого утверждения. Они его уточнили: «Осознание красоты спасет мир». Здесь сразу вспомнилась работа Юджина Вигнера о роли сознания в квантовых измерениях, написанная им почти пятьдесят лет назад. В этой работе Вигнер показал, что человеческое сознание влияет на окружающую среду, т.е., что мы не только получаем информацию извне, но и посылаем наши мысли и чувства в ответ. Эта работа до сих пор актуальна и имеет как своих сторонников, так и противников. Я очень надеюсь, что в ХХI веке наука докажет: осознание красоты способствует гармонизации нашего мира.
1. Формула Эйлера. Многие видели в этой формуле символ единства всей математики, ибо в ней «-1 представляет арифметику, i — алгебру, π — геометрию и e — анализ».
2. Это простое равенство показывает, величина 0,999 (и так до бесконечности) эквивалентна единице. Многие люди не верят, что это может быть правдой, хотя существует несколько доказательств, основанных на теории пределов. Тем не менее, равенство показывает принцип бесконечности.
3. Это уравнение было сформулировано Эйнштейном в рамках новаторской общей теории относительности в 1915 году. Правая часть этого уравнения описывает энергию, содержащуюся в нашей Вселенной (в том числе» темную энергию»). Левая сторона описывает геометрию пространства-времени. Равенство отражает тот факт, что в общей теории относительности Эйнштейна, масса и энергия определяют геометрию, и одновременно кривизну, которая является проявлением гравитации. Эйнштейн говорил, что левая часть уравнений тяготения в общей теории относительности, содержащая гравитационное поле, красива и как будто вырезана из мрамора, в то время как правая часть уравнений, описывающая материю, всё ещё уродлива, будто сделана из обыкновенной деревяшки.
4. Еще одна доминирующая теория физики — Стандартная модель — описывает электромагнитное, слабое и сильное взаимодействие всех элементарных частиц. Некоторые физики считают, что она отображает все процессы, происходящие во Вселенной, кроме темной материи, темной энергии и не включает в себя гравитацию. В Стандартную модель вписывается и неуловимый до прошлого года бозон Хиггса, хотя не все специалисты уверены в его существовании.
5. Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Ее мы помним еще со школы и считаем, что автор теоремы — Пифагор. На самом деле этой формулой пользовались еще в Древнем Египте при строительстве пирамид.
6. Теорема Эйлера. Эта теорема заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Уравнение устанавливает связь между числом вершин, ребер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.
7. Специальная теория относительности описывает движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. Эйнштейн составил формулу, которая описывает, что время и пространство не являются абсолютными понятиями, а скорее являются относительными в зависимости от скорости наблюдателя. Уравнение показывает, как расширяется или замедляется время в зависимости от того, как и куда движется человек.
8. Уравнение было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжелая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки. В общих словах, если ваша система имеет симметрию, есть соответствующий закон сохранения симметрии.
9. Уравнение Каллана — Симанзика. Оно представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию н-корреляционной функции при изменении масштаба энергий, при которых теория определена и включает в себя бета-функции теории и аномальные размерности. Это уравнение помогло лучше понять квантовую физику.
10. Уравнение минимальной поверхности. Это равенство объясняет формирование мыльных пузырей.
11. Прямая Эйлера. Теорема Эйлера была доказана в 1765 году. Он обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности.
12. В 1928 году П.А.М. Дирак предложил свой вариант уравнения Шредингера — которое соответствовало теории А. Эйнштейна. Учёный мир был потрясён — Дирак открыл своё уравнение для электрона путём чисто математических манипуляций с высшими математическими объектами, известными как спиноры. И это было сенсацией — до сих пор все великие открытия в физике должны стоять на прочной базе экспериментальных данных. Но Дирак считал, что чистая математика, если она достаточно красива, является надёжным критерием правильности выводов. «Красота уравнений важнее, чем их соответствие экспериментальным данным. … Представляется, что если стремишься получить в уравнениях красоту и обладаешь здоровой интуицией, то ты на верном пути». Именно благодаря его выкладкам был открыт позитрон — антиэлектрон, и предсказал наличие у электрона «спина» — вращения элементарной частицы.
13. Дж. Максвелл получил удивительные уравнения, объединившие все явления электричества, магнетизма и оптики. Замечательный немецкий физик, один из создателей статистической физики, Людвиг Больцман, сказал об уравнениях Максвелла: «Не Бог ли начертал эти письмена?»
14. Уравнение Шредингера.Уравнение, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике.
Образование — то, что остается после того, как забыто все, чему учили в школе.
Игорь Хмелинский, новосибирский учёный, ныне работающий в Португалии, доказывает, что без прямого запоминания текстов и формул развитие абстрактной памяти у детей затруднительно. Приведу выдержки из его статьи » Уроки образовательных реформ в Европе и странах бывшего СССР»
Заучивание наизусть и долговременная памятьНезнание таблицы умножения имеет и более серьезные последствия, чем неспособность обнаружить ошибки в расчетах на калькуляторе. Наша долговременная память работает по принципу ассоциативной базы данных, то есть, одни элементы информации при запоминании оказываются связанными с другими на основе ассоциаций, установленных в момент знакомства с ними. Поэтому, чтобы в голове образовалась база знаний в какой-либо предметной области, например, в арифметике, нужно для начала выучить хоть что-то наизусть. Далее, вновь поступающая информация попадет из кратковременной памяти в долговременную, если в течение короткого промежутка времени (несколько дней) мы столкнемся с нею многократно, и, желательно, в разных обстоятельствах (что способствует созданию полезных ассоциаций). Однако при отсутствии в постоянной памяти знаний из арифметики, вновь поступающие элементы информации связываются с элементами, которые к арифметике никакого отношения не имеют – например, личностью преподавателя, погодой на улице и т.п. Очевидно, такое запоминание никакой реальной пользы учащемуся не принесет – поскольку ассоциации уводят из данной предметной области, то никаких знаний, относящихся к арифметике, учащийся вспомнить не сможет, кроме смутных идей о том, что он вроде бы что-то когда-то об этом должен был слышать. Для таких учащихся роль недостающих ассоциаций обычно выполняют разного рода подсказки – списать у коллеги, воспользоваться наводящими вопросами в самой контрольной, формулами из списка формул, которым пользоваться разрешено, и т.п. В реальной жизни, без подсказок, такой человек оказывается совершенно беспомощным и неспособным применить имеющиеся у него в голове знания.
Формирование математического аппарата, при котором формулы не заучиваются, происходит медленнее, нежели в противном случае. Почему? Во-первых, новые свойства, теоремы, взаимосвязи между математическими объектами почти всегда используют какие-то особенности ранее изученных формул и понятий. Концентрировать внимание ученика на новом материале будет сложнее, если эти особенности не смогут извлекаться из памяти за короткий промежуток времени. Во-вторых, незнание формул наизусть препятствует поиску решения содержательных задач с большим количеством мелких операций, в которых требуется не только провести определенные преобразования, но и выявить последовательность этих ходов, анализируя применение нескольких формул на два-три шага вперед.
Практика показывает, что интеллектуальное и математическое развитие ребенка, формирование его базы знаний и навыков, происходит значительно быстрее, если большая часть используемой информации (свойства и формулы) находиться в голове. И чем прочнее и дольше она там удерживается, тем лучше.
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:
На данной странице Вы можете посмотреть или бесплатно скачать самые востребованные математические формулы, таблицы ,а также справочные материалы по высшей математике. Все математические таблицы составлены лично мной и снабжены дополнительными комментариями. Сделано это в целях преодоления трудностей, с которыми часто сталкиваются студенты-заочники в ходе решения задач. Я не претендую на всеобъемлющую полноту материалов, но то, что ОЧЕНЬ ЧАСТО встречается, Вы найдете.
Рассмотрим, например, таблицу тригонометрических формул. Тригонометрических формул достаточно много, они давно известны, и нет никакого смысла переписывать справочники. А вот те формулы, которые очень часто используются для решения задач курса высшей математики, собраны воедино, и могут быть очень полезны при выполнении практических заданий. При этом в комментариях я указываю, в каком разделе высшей математики (пределы, производные, интегралы, и т.д.) практически всегда фигурирует та или иная формула.
Итак, прямо сейчас у Вас есть бесплатный доступ к ценным справочным материалам, возможен, как онлайн просмотр, так и скачивание. Удобнее всего сразу распечатать математические таблицы и справочные материалы, которые Вас заинтересуют. Как показывает практика, информация на экране монитора усваивается хуже, чем на бумаге, да и читать с монитора труднее.
Почти все файлы размещены прямо на сайте, а значит, могут быть получены в максимально короткий срок, ограниченный только скоростью Вашего Интернет-подключения.
! В случае некорректного отображения pdf используйте следующие рекомендации
Рекомендую просмотреть всем. Данные формулы встречаются в ходе решения задач по высшей математике буквально на каждом шагу. Без знания этих формул – никуда. С чего начать изучение высшей математики? С повторения этого. Независимо от уровня Вашей математической подготовки на данный момент, крайне желательно СРАЗУ ВИДЕТЬ возможность выполнения элементарных действий, применения простейших формул в ходе решения пределов, интегралов, дифференциальных уравнений и т.д.
В справочнике есть краткая информация о модуле, формулы сокращенного умножения, алгоритм решения квадратного уравнения, правила упрощения многоэтажных дробей, а также важнейшие свойства степеней и логарифмов.
Приведены самые «ходовые» тригонометрические формулы, которые применяются в ходе решения задач по высшей математике. На самом деле таких формул НЕМНОГО, и, собирать десятки других по различным математическим справочникам – пустая трата времени. Всё (или почти всё), что может потребоваться – здесь.
При выполнении заданий по математике нередко возникает необходимость заглянуть в тригонометрические таблицы. В данном справочном материале представлена таблица значений тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) при значениях аргумента от нуля до 360 градусов. Держать в памяти данную информацию нет никакого смысла, но некоторые значения тригонометрических функций хорошо бы знать . Также представлены формулы приведения для вышеуказанных тригонометрических функций, иногда (чаще всего при решении пределов) требуются. По просьбам посетителей сайта в pdf-файл добавлена таблица значений обратных тригонометрических функций и две формулы: формула перевода градусов в радианы, формула перевода радианов в градусы.
Методический материал представляет собой обзор графиков основных элементарных функций и их свойств. Будет полезен при изучении практически всех разделов высшей математики, более того, справочное пособие поможет вам намного лучше и качественнее разобраться в некоторых темах. Также вы сможете узнать, какие значения функций следует знать наизусть , чтобы не получить «два автоматом» при ответе на простейший вопрос экзаменатора. Справка выполнена в форме веб страницы и содержит много графиков функций, которые также желательно помнить. По мере развития проекта методичка стала играть роль вводного урока по теме «Функции и графики».
На практике у студентов-заочников практически всегда возникает необходимость использовать первый и второй замечательные пределы, о которых и идет речь в данной справке. Также рассмотрены еще три замечательных предела, которые встречаются значительно реже. Все замечательные пределы снабжены дополнительными важными комментариями. Кроме того, файл дополнен информацией о замечательных эквивалентностях.
В справке приведены правила дифференцирования и таблица производных от основных элементарных функций. Таблица снабжена очень важными примечаниями.
Ваш гид по разделу «Функции и графики». В pdf-ке систематизирована и законспектирована информация об основных этапах исследования функции одной переменной. Руководство сопровождается ссылками, а значит, экономит массу времени. Мануал полезен как чайнику, так и подготовленному читателю.
В общем-то, почти то же самое, что в дифференциальном исчислении. Правила интегрирования и таблица интегралов с моими комментариями.
Справочный материал незаменим при изучении степенных рядов. В таблице представлены разложения в степенной ряд следующих функций: экспоненты, синуса, косинуса, логарифма, арктангенса и арксинуса. Также приведено биномиальное разложение и наиболее распространенные частные случаи биномиального разложения. Разложение функции в ряд является самостоятельным заданием, используется для приближенных вычислений, приближенных вычислений определенного интеграла и в некоторых других задачах.
Основной трудностью при решении неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами является правильный подбор частного решения по виду правой части. Данная методичка, относится, прежде всего, к уроку Как решить неоднородное уравнение второго порядка? и поможет вам легко разобраться в подборе частного решения. Справка не претендует на основательную научную полноту, она написана простым и понятным языком, однако в 99,99% случаев в ней найдется именно тот случай, который вы ищете.
Справка незаменима в ходе решения прикладных задач комплексного анализа – нахождения частного решения ДУ операционным методом и нахождения частного решения системы ДУ этим же способом. Таблица отличается от аналогов тем, что «заточена» именно под вышеуказанные задания, данная особенность позволяет легко освоить алгоритмы решения. Приведено как прямое, так и обратное преобразование Лапласа для наиболее распространенных функций. В случае если информации окажется недостаточно, рекомендую обратиться к солидному математическому справочнику – полная версия содержит более сотни пунктов.
В справочном материале приведены формулы факториала, количества перестановок, сочетаний, размещений (с повторениями и без повторений), а также содержательные комментарии к каждой формуле, позволяющие понять их суть. + Правила сложения и умножения комбинаций. Кроме того, в pdf-ке есть краткая информация о биноме Ньютона и треугольнике Паскаля с примерами их практического использования.
Файл содержит перечень формул с краткими комментариями по обеим главам тервера – Случайные события и Случайные величины , в том числе приведены формулы и числовые характеристики распространённых дискретных и непрерывных распределений. Справка систематизирует материал и очень удобна для выполнения практических заданий, заглядываем и сразу находим то, что нужно!
Специальные расчётные программы:В данном разделе вы можете найти вспомогательные программы для решения широких и узколокальных математических задач. Они помогут вам быстро выполнить расчёты и оформить решение.
Универсальный калькулятор реализован в рабочей книге MS Excel, которая содержит три листа. Программа может заменить обычный калькулятор с множеством функций. Любые степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции, арки – без проблем! Кроме того, калькулятор в автоматическом режиме выполняет основные действия с матрицами , считает определители (до определителя 5 на 5 включительно), мгновенно находит миноры и алгебраические дополнения матриц. За считанные секунды можно решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера , посмотреть основные этапы решения. Всё это очень удобно для самопроверки. Просто введите свои числа и получите готовый результат!
Данная полуавтоматическая программа относится к уроку Формула трапеций, формула Симпсона и помогает рассчитать приближенное значение определенного интеграла на 2, 4, 8, 10 и 20 отрезках разбиения. Прилагается видеоурок по работе с калькулятором. Вычислите ваш определенный интеграл в считанные минуты, и даже секунды!
На данный момент пока всё.
Раздел постепенно пополняется дополнительными материалами и полезными программами. Каждое справочное пособие неоднократно редактировалось и улучшалось, в том числе, с учетом ваших пожеланий и замечаний! Если Вы считаете, что упущено что-то важное, нашли какие-либо неточности, а может быть что-то разъяснено недостаточно понятно, обязательно пишите !
С уважением, Емелин Александр
Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы
Издательство «Альпина нон-фикшн» выпустило книгу астрофизика, доктора физико-математических наук Сергея Попова «Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы».
Галилео Галилею принадлежат слова: «Книга природы написана на языке математики». Спустя почти четыре столетия мы не устаем удивляться тому, что математические методы прекрасно подходят для описания нашего мира. Еще большее изумление вызывают естественно-научные открытия, сделанные на основе математического анализа уравнений. Создание любой сложной конструкции — от дорожной развязки до квантового компьютера — сопряжено с математическими расчетами. Для полноценного понимания действия гравитации или квантовых явлений нам также не обойтись без математики. Но это кажется таким сложным и запутанным! Как перестать бояться формул и полюбить математику? Почему она так эффективна в естественных науках? Есть ли этому предел, или, наоборот, для более глубокого понимания природы придется создавать математические конструкции, уже не укладывающиеся в голове человека? Все эти вопросы затрагиваются на страницах книги. На многие из них невозможно найти окончательные однозначные ответы. Но мы продолжаем обсуждать их и пытаемся понять, как устроен этот мир. Для этого понадобится преодолеть разделение на «две культуры» — «гуманитариев» и «естественников». Попробуем сделать еще один шаг в этом направлении.
Предлагаем прочитать отрывок из книги.
Можно взять научные статьи по одной тематике, например небесной механике, и посмотреть, как они менялись на протяжении веков. В «Математических началах» Ньютона формул на удивление мало, там больше слов и рисунков. Оттолкнувшись от его идей, несколько поколений европейских ученых активно развивали эту область. Поскольку в течение долгого времени не появлялось существенно новых подходов, ученые демонстрировали всё бóльшую и бóльшую изощренность в рамках одной и той же парадигмы. Это приводило к росту визуальной сложности используемого аппарата, особенно с точки зрения непрофессионала. Можно взять в качестве примера сложные небесно-механические расчеты середины XIX века, например, книгу Шарля-Эжена Делоне о движении Луны. Фактически вся книга — лишь пара формул. Вроде бы сложно и накручено, но по сути это только ньютоновская механика. Эдакий аналог стимпанка: паровоз, похожий на звездолет.
Развитие какой-нибудь области теоретической физики может приводить и к компактификации записи. Собственно, ученые специально тратят значительные усилия, чтобы упростить себе жизнь, придумав новые методы записи уравнений или расчетов. Введение лагранжианов и гамильтонианов позволило сделать многие рассуждения и операции в классической механике существенно проще, прозрачнее. Изобретение фейнмановских диаграмм облегчило жизнь физикам-теоретикам в области изучения элементарных частиц. Добившись более рационального способа манипуляций с уравнениями в одной области, можно позволить себе потратить освободившиеся интеллектуальные ресурсы на интеграцию разных физических процессов в едином подходе к описанию какого-нибудь феномена.
При развитии моделей возможно их усложнение путем добавления эффектов из других областей, т. е. происходит некий синтез разных частей физики в приложении к одному явлению. Скажем, на первом этапе, изучая поведение плазмы в астрофизическом источнике, пренебрегли магнитными полями, ограничившись гидродинамикой и ньютоновской механикой. А затем добавили магнитные поля, учли конечную проводимость плазмы. Потом стали учитывать и реакции в плазме. Модель становится всё детальнее, и число уравнений растет или же увеличивается их длина.
Хорошим примером возрастания сложности моделей могут служить расчеты вспышек сверхновых. Напомним, что выделяют два основных типа сверхновых: коллапс ядра массивной звезды (типы Ib, Ic и II) и термоядерный взрыв сверхкритического белого карлика (тип Ia). Чтобы не усложнять изложение, рассмотрим только сверхновые, связанные с коллапсом.
Он начинается, когда давление в ядре не может больше противостоять гравитации. Данная стадия наступает, если в звездных недрах исчерпаны возможности для дальнейших термоядерных реакций, так что обычно коллапсирует железное ядро, окруженное оболочками с преобладанием других элементов (кремния, кислорода и т. д.), — так называемая луковичная структура звезды. Если быстрое сжатие не остановится[1], то образуется черная дыра, и никакого мощного энерговыделения не будет.
Однако чаще всего масса ядра для этого недостаточна, а потому коллапс резко прекращается. Это происходит, когда плотность вещества в сжимающемся объеме достигает плотности атомного ядра. Образуется компактный плотный объект — протонейтронная звезда, а снаружи на него падают внешние слои звездного ядра. В результате за короткое время — менее секунды — выделяется колоссальная кинетическая энергия схлопывающегося ядра и падающих на него оболочек. Это и приводит в конечном счете к взрыву сверхновой, если образовавшаяся ударная волна сможет пробиться через окружающее вещество наружу.
Основная часть энергии уносится нейтрино. Заметная доля перейдет в кинетическую энергию сбрасываемого вещества. Наконец, какая-то небольшая часть будет испущена в виде электромагнитного излучения. И этой «какой-то небольшой части» хватит, чтобы вспышка превзошла по блеску все звезды не слишком крупной галактики.
Физика этого события сложна и многогранна. До сих пор мы не можем с уверенностью сказать, что хорошо понимаем процесс взрыва сверхновой. Несмотря на полвека исследований, до сих пор нет достаточно надежной и полной трехмерной компьютерной модели, в которой удалось бы получить разлет вещества без дополнительных предположений. Не хватает совсем чуть-чуть энергии ударной волны, и идет напряженная работа в попытках раскрыть эту загадку.
На протяжении десятилетий модели сверхновых постоянно совершенствовались. Постепенно в расчеты добавлялись всё новые и новые ингредиенты. Первые расчеты начали проводить Стирлинг Колгейт (Stirling Colgate) и его соавторы во второй половине 1960-х гг. Вспышки сверхновых наблюдались с давних времен, но лишь в 1930-е гг. начали вырисовываться основные черты этого явления с наблюдательной точки зрения. К началу 1960-х стало ясно, что коллапс (возможно, сопровождаемый выделением энергии в термоядерных реакциях) способен обеспечить нужную энергетику.
Модель Колгейта и Уайта (Richard White), опубликованная в 1966 г., включала в себя гидродинамику, базовые предположения, касающиеся ядерной физики, и простейшие оценки переноса нейтрино (замечу, что Колгейт, как и многие первые исследователи сверхновых, в том числе и в нашей стране, до того как пришел в астрофизику, занимался разработкой термоядерного оружия; причина проста: у этих задач много общего в смысле физики процессов). Несмотря на то, что статья была настоящим прорывом и оказала большое влияние на развитие сценариев взрывов сверхновых (это, в частности, выражается и в том, что сейчас на нее есть несколько сотен ссылок из других, более поздних, научных публикаций), модель была слишком простой (отмечу, что при этом в статье мы обнаруживаем более сотни только пронумерованных формул!), чтобы дать адекватное описание феномена.
В ходе дальнейших исследований многочисленные авторы, входящие в разные исследовательские группы по всему миру (изучение сверхновых — очень интернациональная область астрофизики), развивали и совершенствовали подходы к моделированию взрыва. Так, группа Геннадия Бисноватого-Когана в Москве сделала ставку на учет процессов, связанных с вращением и сильными магнитными полями, образующимися в результате сжатия ядра. Энергия вращения и магнитного поля растет при коллапсе за счет гравитационной потенциальной энергии. Важно, что значительную ее часть можно затем передать оболочке, а именно это нужно, чтобы получить взрыв. Однако физика резко усложняется, если к и без того непростой гидродинамике и переносу нейтрино добавлять магнитную гидродинамику, да еще с быстрым вращением, что требует в идеале трехмерных расчетов (первые модели сверхновых были, по сути, одномерными, т. е. рассматривался сферически-симметричный случай), а они не только технически сложнее с точки зрения алгоритмизации и программирования, но и требуют гораздо более мощных компьютеров для вычислений.
Важным этапом в развитии моделей сверхновых стал детальный учет эффектов общей теории относительности. Они, безусловно, становятся важны в задаче о коллапсе, так как в центре взрыва находится компактный массивный объект. Оказалось, что эффекты ОТО помогают взрыву. Это было хорошей новостью. Плохая заключалась в том, что их недостаточно, чтобы решить все проблемы.
Модели продолжали оттачиваться. Авторы начали детально рассчитывать эффекты, связанные с турбулентностью в коллапсирующем веществе. Всё более детально учитывалась физика нейтрино. Например, стали принимать во внимание нейтринные осцилляции, а также процессы с участием этих частиц в сильном магнитном поле (уточню, что такие эффекты сильных полей принципиально отличаются от учета магнитного поля в смысле динамики плазмы или передачи энергии оболочке). Всё более детально учитывались эффекты, связанные с ядерной физикой. А это не только многочисленные реакции, но и использование уравнений состояния, всё лучше описывающих поведение вещества. Уравнение состояния показывает, как давление зависит от плотности, т. е., в частности, определяет, как вещество сопротивляется сжатию. Мы относительно неплохо понимаем, как устроено уравнение состояния вплоть до ядерных плотностей. Но внутри протонейтронной звезды плотность уже начинает превосходить это значение — там «живут драконы». У нас нет экспериментальных данных или надежной теории для описания процессов в сверхплотном веществе, тем более при такой большой температуре, как при коллапсе ядра звезды. Поэтому тут открывается простор для усилий теоретиков. В 2015 г. группе Ханса-Томаса Янки (Hans-Thomas Janka) в Германии удалось путем учета вклада так называемых странных (s-) кварков получить взрыв сверхновой в трехмерном расчете. Однако и это не стало финальной точкой — физика кварков сама по себе достаточно сложна, а в расчетах пока были использованы лишь довольно простые варианты их описания.
Сейчас физика сверхновых — это в первую очередь сложные компьютерные модели. Теория в этой области исследований прошла большой путь от простых аналитических оценок энергии взрыва до трехмерных расчетов с использованием самых мощных суперкомпьютеров на Земле (и даже на них расчет каждого варианта занимает месяцы, а надо ведь еще варьировать параметры моделей!). Сможем ли мы с помощью дифференциальных уравнений и традиционных численных методов добиться полного понимания? Или понадобится какой-то эволюционный скачок в попытке воспроизвести сверхновую в компьютере?
[1] В самой центральной части ядра звезды коллапс на крайне короткое время останавливается при достижении ядерной плотности даже в случае формирования черной дыры. Но затем очень быстро натекающее из внешних слоев ядра вещество довольно скоро приводит к окончательному коллапсу.
Формулы, которые будут на ЗНО по математике. — Math
В 2021 году на ЗНО по математике будет много нововведений и отличий от ЗНО прошлых лет. Основные из них — это то, что ЗНО 2021 по математике станет обязательным для всех и его результаты будут внесены в аттестат как оценка за ГИА ( ДПА ). Следующее нововведение — то, что ЗНО теперь станет двухуровневым. Базовый уровень пишут те выпускники, кто не планирует поступать в ВУЗ. Все остальные, кто планирует продолжать учиться, пишут и базовый, и профильный уровни теста. И, самое радостное из из нововведений, — это то, что на ЗНО 2021 будут формулы!
Свершилось чудо!!!! Я думаю, что наконец-то были услышаны все молитвы всех выпускников прошлых лет и следующего года. В демонстрационных вариантах ЗНО 2021 по математике есть формулы! То есть теперь на ЗНО буду формулы!!! Ознакомиться со списком формул, разрешенных на ЗНО и скачать pdf файл с формулами вы сможете чуть ниже. А пока об отличиях между базовым и профильным уровнями теста ЗНО 2021 по математике.
Данная информация взята с официального сайта УЦЯО.
В 2021 году выпускники учебных заведений, которые будут получать полное среднее образование, обязательно должны сдавать государственную итоговую аттестацию в форме ВНО ( ЗНО ) по математике.
Содержание сертификационной работы по математике будет определяться Программой внешнего независимого оценивания результатов обучения по математике, утвержденной Министерством образования и науки Украины.
Для проведения ГИА по математике в 2021 году будет разработано два варианта сертификационных работ:
- Уровня стандарта. Тестовую тетрадь будет насчитывать 28 задач различных форм, на выполнение которых отведено 150 минут.
- Уровня стандарта и профильного уровня. Тестовую тетрадь с 34 заданиями, на выполнение которых отведено 210 минут.
Выпускники, которые изучали математику на уровне стандарта и не планируют использовать результаты по математике для поступления в учреждения высшего образования, получат только оценку по шкале 1-12 баллов за выполнение заданий сертификационной работы уровня стандарта.
Выпускники, которые изучали математику на уровне стандарта и планируют использовать результаты ВНО по математике при поступлении в учреждения высшего образования, выполнять все задачи сертификационной работы по математике уровня стандарта и профильного уровня, а как оценка ГИА (ДПА) будет зачислено результат за выполнение задач 1-26, 30, 31. Такие участники получат результаты по шкале 1-12 баллов (ГИА уровня стандарта) и 100-200 баллов по рейтинговой шкале внешнего независимого оценивания.
Выпускники, которые изучали математику на профильном уровне, за выполнение всех задач сертификационной работы по математике уровня стандарта и профильного уровня получат оценку по шкале 1-12 баллов и 100-200 баллов по рейтинговой шкале внешнего независимого оценивания.
В общем: если не планируете поступать в ВУЗ, то пишите ЗНО уровня стандарт и его результат идет в аттестат, как итоговая оценка по математике. Если планируете поступать в ВУЗ, то пишите в любом случае профильный уровень.
Формулы, которые будут на ЗНО 2021 по математике.
Теперь тоже самое, но только на украинском языке:-)
ДПА-2021: СЕРТИФІКАЦІЙНА РОБОТА З МАТЕМАТИКИ. ЗНО 2021. Дворівневі тести.Ось дослівно та інформація, яка була нещодавно опублікована на офіційному сайті УЦОЯ.
У 2021 році випускники закладів освіти, які здобуватимуть повну загальну середню освіту, обов’язково складатимуть державну підсумкову атестацію у формі ЗНО з математики.
Зміст сертифікаційної роботи з математики визначатиметься Програмою зовнішнього незалежного оцінювання результатів навчання з математики, затвердженою Міністерством освіти і науки України.
Для проведення ДПА з математики у 2021 році буде розроблено два варіанти сертифікаційних робіт:
- рівня стандарту. Тестовий зошит налічуватиме 28 завдань різних форм, на виконання яких відведено 150 хвилин;
- рівня стандарту та профільного рівня. Тестовий зошит з 34 завданнями, на виконання яких відведено 210 хвилин.
Випускники, які вивчали математику на рівні стандарту і не планують використовувати результати з математики для вступу до закладів вищої освіти, отримають тільки оцінку за шкалою 1–12 балів за виконання завдань сертифікаційної роботи рівня стандарту. Випускники, які вивчали математику на рівні стандарту і планують використовувати результати ЗНО з математики під час вступу до закладів вищої освіти, виконуватимуть усі завдання сертифікаційної роботи з математики рівня стандарту та профільного рівня, а як оцінка ДПА буде зараховано результат за виконання завдань 1-26, 30, 31. Такі учасники отримають результати за шкалою 1–12 балів (ДПА рівня стандарту) і 100-200 балів за рейтинговою шкалою зовнішнього незалежного оцінювання.
Випускники, які вивчали математику на профільному рівні, за виконання усіх завдань сертифікаційної роботи з математики рівня стандарту та профільного рівня отримають оцінку за шкалою 1–12 балів і 100-200 балів за рейтинговою шкалою зовнішнього незалежного оцінювання.
ЗНО 2021 математика; скачать формулы.
Полезные материалы:
Математика. Демонстрационный вариант ЗНО 2021. Профильный уровень.
Математика. Демонстрационный вариант ЗНО 2021. Уровень стандарт.
Математика. Основная сессия ЗНО 2020 задания теста.
Все формулы по математике. Самые красивые физические и математические формулы
Математик Анри Пуанкаре в книге «Наука и метод» писал: «Если бы природа не была прекрасна, она не стоила бы того, чтобы ее знать, жизнь не стоила бы того, чтобы ее переживать. Я здесь говорю, конечно, не о той красоте, которая бросается в глаза… Я имею в виду ту более глубокую красоту, которая открывается в гармонии частей, которая постигается только разумом. Это она создает почву, создает каркас для игры видимых красок, ласкающих наши чувства, и без этой поддержки красота мимолетных впечатлений была бы несовершенна как все неотчетливое и преходящее. Напротив красота интеллектуальная дает удовлетворение сама по себе».
П.А.М. Дирак писал: «У теоретической физики есть еще один верный путь развития. Природе присуща та фундаментальная особенность, что самые основные физические законы описываются математической теорией, аппарат которой обладает необыкновенной силой и красотой. Чтобы понять эту теорию, нужно обладать необычайно высокой математической квалификацией. Вы можете спросить: почему природа устроена именно так? На это можно ответить только одно: согласно нашим современным знаниям, природа устроена именно так, а не иначе».
Семь лет назад украинский физик (и художник) Наталия Кондратьева обратилась к ряду ведущих математиков мира с вопросом: «Какие три математические формулы, на ваш взгляд, самые красивые?»
В беседе о красоте математических формул приняли участие сэр Михаэль Атья и Дэвид Элварси из Британии, Яков Синай и Александр Кириллов из США, Фридрих Херцебрух и Юрий Манин из Германии, Давид Рюэль из Франции, Анатолий Вершик и Роберт Минлос из России и другие математики из разных стран. Из украинцев в дискуссии приняли участие академики НАНУ Владимир Королюк и Анатолий Скороход. Часть полученных таким образом материалов и легла в основу изданной Натальей Кондратьевой научной работы «Три самые красивые математические формулы».
— Какую цель вы ставили, обращаясь к математикам с вопросом о красивых формулах?
— Каждое новое столетие приносит обновление научной парадигмы. В самом начале века с ощущением, что мы стоим у порога новой науки, ее новой роли в жизни человеческого общества, я обратилась к математикам с вопросом о красоте идей, стоящих за математическими символами, т.е. о красоте математических формул.
Уже сейчас можно отметить некоторые особенности новой науки. Если в науке ХХ века очень важную роль играла «дружба» математики с физикой, то сейчас математика эффективно сотрудничает с биологией, генетикой, социологией, экономикой… Следовательно, наука будет исследовать соответствия. Математические структуры будут исследовать соответствия между взаимодействиями элементов различных областей и планов. И многое, что раньше мы воспринимали на веру как философские констатации, будет утверждено наукой как конкретное знание.
Этот процесс начался уже в ХХ веке. Так, Колмогоров математически показал, что случайности нет, а есть очень большая сложность. Фрактальная геометрия подтвердила принцип единства в многообразии и т.д.
— Какие же формулы были названы самыми красивыми?
— Сразу скажу, что цели устроить конкурс формулам не было. В своем письме к математикам я писала: «Люди, которые хотят понять, какими законами управляется мир, становятся на путь отыскания гармонии мира. Путь этот уходит в бесконечность (ибо движение вечно), но люди всё равно идут им, т.к. есть особая радость встретить очередную идею или представление. Из ответов на вопрос о красивых формулах, возможно, удастся синтезировать новую грань красоты мира. Кроме того, эта работа может оказаться полезной для будущих ученых как мысль о великой гармонии мира и математики как способе отыскания этой красоты».
Тем не менее среди формул оказались явные фавориты: формула Пифагора и формула Эйлера.
Вслед за ними расположились скорее физические, чем математические формулы, которые в ХХ веке изменили наше преставление о мире, —Максвелла, Шредингера, Эйнштейна.
Также в число самых красивых попали формулы, которые еще находятся на стадии дискуссии, такие, например, как уравнения физического вакуума. Назывались и другие красивые математические формулы.
— Как вы думаете, почему на рубеже второго и третьего тысячелетий формула Пифагора названа одной из самых красивых?
— Во времена Пифагора эта формула воспринималась как выражение принципа космической эволюции: два противоположных начала (два квадрата, соприкасающихся ортогонально) порождают третье, равное их сумме. Можно дать геометрически очень красивые интерпретации.
Возможно, существует какая-то подсознательная, генетическая память о тех временах, когда понятие «математика» означало — «наука», и в синтезе изучались арифметика, живопись, музыка, философия.
Рафаил Хасминский в своем письме написал, что в школе он был поражен красотой формулы Пифагора, что это во многом определило его судьбу как математика.
— А что можно сказать о формуле Эйлера?
— Некоторые математики обращали внимание, что в ней «собрались все», т.е. все самые замечательные математические числа, и единица таит в себе бесконечности! — это имеет глубокий философский смысл.
Недаром эту формулу открыл Эйлер. Великий математик много сделал, чтобы ввести красоту в науку, он даже ввел в математику понятие «градус красоты». Вернее, он ввел это понятие в теорию музыки, которую считал частью математики.
Эйлер полагал, что эстетическое чувство можно развивать и что это чувство необходимо ученому.
Сошлюсь на авторитеты… Гротендик: «Понимание той или иной вещи в математике настолько совершенно, насколько возможно прочувствовать ее красоту».
Пуанкаре: «В математике налицо чувство». Он сравнивал эстетическое чувство в математике с фильтром, который из множества вариантов решения выбирает наиболее гармоничный, который, как правило, и есть верный. Красота и гармония — синонимы, а высшее проявление гармонии есть мировой закон Равновесия. Математика исследует этот закон на разных планах бытия и в разных аспектах. Недаром каждая математическая формула содержит знак равенства.
Думаю, что высшая человеческая гармония есть гармония мысли и чувства. Может быть, поэтому Эйнштейн сказал, что писатель Достоевский дал ему больше, чем математик Гаусс.
Формулу Достоевского «Красота спасет мир» я взяла в качестве эпиграфа к работе о красоте в математике. И он также обсуждался математиками.
— И они согласились с этим утверждением?
— Математики не утверждали и не опровергали этого утверждения. Они его уточнили: «Осознание красоты спасет мир». Здесь сразу вспомнилась работа Юджина Вигнера о роли сознания в квантовых измерениях, написанная им почти пятьдесят лет назад. В этой работе Вигнер показал, что человеческое сознание влияет на окружающую среду, т.е., что мы не только получаем информацию извне, но и посылаем наши мысли и чувства в ответ. Эта работа до сих пор актуальна и имеет как своих сторонников, так и противников. Я очень надеюсь, что в ХХI веке наука докажет: осознание красоты способствует гармонизации нашего мира.
1. Формула Эйлера. Многие видели в этой формуле символ единства всей математики, ибо в ней «-1 представляет арифметику, i — алгебру, π — геометрию и e — анализ».
2. Это простое равенство показывает, величина 0,999 (и так до бесконечности) эквивалентна единице. Многие люди не верят, что это может быть правдой, хотя существует несколько доказательств, основанных на теории пределов. Тем не менее, равенство показывает принцип бесконечности.
3. Это уравнение было сформулировано Эйнштейном в рамках новаторской общей теории относительности в 1915 году. Правая часть этого уравнения описывает энергию, содержащуюся в нашей Вселенной (в том числе» темную энергию»). Левая сторона описывает геометрию пространства-времени. Равенство отражает тот факт, что в общей теории относительности Эйнштейна, масса и энергия определяют геометрию, и одновременно кривизну, которая является проявлением гравитации. Эйнштейн говорил, что левая часть уравнений тяготения в общей теории относительности, содержащая гравитационное поле, красива и как будто вырезана из мрамора, в то время как правая часть уравнений, описывающая материю, всё ещё уродлива, будто сделана из обыкновенной деревяшки.
4. Еще одна доминирующая теория физики — Стандартная модель — описывает электромагнитное, слабое и сильное взаимодействие всех элементарных частиц. Некоторые физики считают, что она отображает все процессы, происходящие во Вселенной, кроме темной материи, темной энергии и не включает в себя гравитацию. В Стандартную модель вписывается и неуловимый до прошлого года бозон Хиггса, хотя не все специалисты уверены в его существовании.
5. Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Ее мы помним еще со школы и считаем, что автор теоремы — Пифагор. На самом деле этой формулой пользовались еще в Древнем Египте при строительстве пирамид.
6. Теорема Эйлера. Эта теорема заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Уравнение устанавливает связь между числом вершин, ребер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.
7. Специальная теория относительности описывает движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. Эйнштейн составил формулу, которая описывает, что время и пространство не являются абсолютными понятиями, а скорее являются относительными в зависимости от скорости наблюдателя. Уравнение показывает, как расширяется или замедляется время в зависимости от того, как и куда движется человек.
8. Уравнение было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжелая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки. В общих словах, если ваша система имеет симметрию, есть соответствующий закон сохранения симметрии.
9. Уравнение Каллана — Симанзика. Оно представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию н-корреляционной функции при изменении масштаба энергий, при которых теория определена и включает в себя бета-функции теории и аномальные размерности. Это уравнение помогло лучше понять квантовую физику.
10. Уравнение минимальной поверхности. Это равенство объясняет формирование мыльных пузырей.
11. Прямая Эйлера. Теорема Эйлера была доказана в 1765 году. Он обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности.
12. В 1928 году П.А.М. Дирак предложил свой вариант уравнения Шредингера — которое соответствовало теории А. Эйнштейна. Учёный мир был потрясён — Дирак открыл своё уравнение для электрона путём чисто математических манипуляций с высшими математическими объектами, известными как спиноры. И это было сенсацией — до сих пор все великие открытия в физике должны стоять на прочной базе экспериментальных данных. Но Дирак считал, что чистая математика, если она достаточно красива, является надёжным критерием правильности выводов. «Красота уравнений важнее, чем их соответствие экспериментальным данным. … Представляется, что если стремишься получить в уравнениях красоту и обладаешь здоровой интуицией, то ты на верном пути». Именно благодаря его выкладкам был открыт позитрон — антиэлектрон, и предсказал наличие у электрона «спина» — вращения элементарной частицы.
13. Дж. Максвелл получил удивительные уравнения, объединившие все явления электричества, магнетизма и оптики. Замечательный немецкий физик, один из создателей статистической физики, Людвиг Больцман, сказал об уравнениях Максвелла: «Не Бог ли начертал эти письмена?»
14. Уравнение Шредингера.Уравнение, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике.
На этой странице собраны все формулы, необходимые для сдачи контрольных и самостоятельных работ, экзаменов по по алгебре, геометрии, тригонометрии, стереометрии и другим разделам математики.
Здесь вы можете скачать или посмотреть онлайн все основные тригонометрические формулы, формулу площади круга, формулы сокращенного умножения, формула длины окружности, формулы приведения и многие другие.
Можно так же распечатать необходимые сборники математических формул.
Успехов в учебе!
Формулы Арифметики:
Формулы Алгебры:
Геометрические Формулы:
Арифметические формулы:
Законы действий над числамиПереместительный закон сложения: a + b = b + a.
Сочетательный закон сложения: (a + b) + с = a + (b + c).
Переместительный закон умножения: ab = ba.
Сочетательный закон умножения: (ab)с = a(bc).
Распределительный закон умножения относительно сложения: (a + b)с = aс + bс.
Распределительный закон умножения относительно вычитания: (a — b)с = aс — bс.
Некоторые математические обозначения и сокращения:
Признаки делимостиПризнаки делимости на «2»
Число, делящееся на «2» без остатка называется чётным , не делящееся – нечётным . Число делится на «2» без остатка, если его последняя цифра чётная (2, 4, 6, 8) или нольПризнаки делимости на «4»
Число делится на «4» без остатка, если две последние его цифры нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «4»Признаки делимости на «8»
Число делится на «8» без остатка, если три последние его цифры нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «8» (пример: 1 000 — три последние цифры «00», а при делении 1 000 на 8 получается 125; 104 — две последние цифры «12» делятся на 4, а при делении 112 на 4 получается 28; и.т.д.)Признаки делимости на «3» и на «9»
Без остатка на «3» делятся только те числа, у которых сумма цифр делится без остатка на «3»; на «9» — только те, у которых сумма цифр делится без остатка на «9»Признаки делимости на «5»
Без остатка на «5» делятся числа, последняя цифра которых «0» или «5»Признаки делимости на «25»
Без остатка на «25» делятся числа, две последние цифры которых нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «25» (т.е. числа, оканчивающиеся на «00», «25», «50», «75»Признаки делимости на «10», «100» и на «1 000»
Без остатка на «10» делятся только те числа, последняя цифра которых ноль, на «100» — только те числа, у которых две последние цифры нули, на «1000» — только те числа, у которых три последние цифры нулиПризнаки делимости на «11»
Без остатка на «11» делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на «11»Абсолютная величина — формулы ( модуль)
|a| ? 0, причём |a| = 0 только если a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, причём b ? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|
Формулы Действия с дробями
Формула обращения конечной десятичной дроби в рациональную дробь:
Пропорции
Два равных отношения образуют пропорцию :
Основное свойство пропорции Нахождение членов пропорции Пропорции , равносильные пропорции : Производная пропорция — следствие данной пропорции в видеСредние величины
Среднее арифметическое
Двух величин: n величин:Среднее геометрическое (среднее пропорциональное)
Двух величин: n величин:Среднее квадратичное
Двух величин: n величин:Среднее гармоническое
Двух величин: n величин:Некоторые конечные числовые ряды
Свойства числовых неравенств1) Если a , то при любом c : a + с .
2) Если a и c > 0 , то aс .
3) Если a и c , то aс > bс .
4) Если a , a и b одного знака, то 1/a > 1/b .
5) Если a и c , то a + с , a — d .
6) Если a , c , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , то ac .
7) Если a , a > 0 , b > 0 , то
8) Если , то
Формулы Прогрессии:
- Производная
- Логарифмы:
- Координаты и векторы
1. Расстояние между точками A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формуле:
2. Координаты (x;y) середины отрезка с концами A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формулам:
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой имеет вид:
Угловой коэффициент k представляет собой значение тангенса угла, образуемого прямой с положительным направлением оси Ox, а начальная ордината q – значение ординаты точки пересечения прямой с осью Oy.
4. Общее уравнение прямой имеет вид: ax + by + c = 0.
5. Уравнения прямых, параллельных соответственно осям Oy и Ox, имеют вид:
Ax + by + c = 0.
6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых y1=kx1+q1 и y2=kx2+q2 соответственно имеют вид:
7. Уравнения окружностей с радиусом R и с центром соответственно в точках O(0;0) и C(xo;yo) имеют вид:
8. Уравнение:представляет собой уравнение параболы с вершиной в точке, абсцисса которой
- Прямоугольная декартова система координат в пространстве
1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:
2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:
3. Модуль вектора заданного своими координатами, находится по формуле:
4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:
5. Единичный вектор сонаправленный с вектором находится по формуле:
6. Скалярным произведением векторов называется число:
где — угол между векторами.
7. Скалярное произведение векторов
8. Косинус угла между векторами и находится по формуле:
9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид:10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору имеет вид:
Ax + by + cz + d = 0.
11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид:
A(x — xo) + b(y — yo) + c(z — zo) = 0.
12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде.
«Случайности не случайны»… Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.
Что такое теория вероятности?
Теория вероятности — это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.
Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.
Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.
Со страниц истории
Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.
Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.
Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.
Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.
Базовые понятия теории вероятностей. События
Главным понятием этой дисциплины является «событие». События бывают трех видов:
- Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
- Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
- Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.
Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:
- А = «студенты пришли на лекцию».
- Ā = «студенты не пришли на лекцию».
В практических заданиях события принято записывать словами.
Одна из важнейших характеристик событий — их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.
Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:
- А = «студентка пришла на лекцию».
- В = «студент пришел на лекцию».
Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.
Действия над событиями
События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».
Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.
Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.
Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.
Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:
- А = «фирма получит первый контракт».
- А 1 = «фирма не получит первый контракт».
- В = «фирма получит второй контракт».
- В 1 = «фирма не получит второй контракт»
- С = «фирма получит третий контракт».
- С 1 = «фирма не получит третий контракт».
С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:
- К = «фирма получит все контракты».
В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.
- М = «фирма не получит ни одного контракта».
М = А 1 В 1 С 1 .
Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:
Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.
А 1 ВС 1 — это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.
Собственно, вероятность
Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события — это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:
- классическое;
- статистическое;
- геометрическое.
Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:
- Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.
Формула выглядит так: Р(А)=m/n.
А — собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .
m — количество возможных благоприятных случаев.
n — все события, которые могут произойти.
Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:
Р(А)=9/36=0,25.
В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.
К высшей математике
Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.
Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого — со статистического (или частотного) определения вероятности.
Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:
Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая — согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.
Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?
А = «появление качественного товара».
W n (A)=97/100=0,97
Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.
Немного о комбинаторике
Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В — n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.
Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?
Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.
Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт — это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.
То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.
В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.
Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n — это все элементы, m — элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:
A n m =n!/(n-m)!
Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!
Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:
A n m =n!/m!(n-m)!
Формула Бернулли
В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов — формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.
Уравнение Бернулли:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .
Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.
Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица — это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q — число, которое обозначает возможность ненаступления события.
Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.
Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?
Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.
А = «посетитель совершит покупку».
В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:
P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.
Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.
Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.
После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:
C n m = n! / m!(n-m)!
Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.
Формула Пуассона
Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.
Основная формула:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .
При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.
Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?
Как видим, брак — это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:
А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».
р = 0,0001 (согласно условию задания).
n = 100000 (количество деталей).
m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:
Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.
Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:
е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.
Теорема Муавра-Лапласа
Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:
Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
X m = m-np/√npq.
Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.
Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:
Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.
Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.
Формула Байеса
Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:
Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).
А и В являются определенными событиями.
Р(А|B) — условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.
Р (В|А) — условная вероятность события В.
Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» — формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.
Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором — 60%, на третьем — 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй — 4%, и у третьей — 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.
А = «случайно взятый телефон».
В 1 — телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).
В итоге получим:
Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 — таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.
Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:
Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;
Р(А/В 2) = 0,04;
Р (А/В 3) = 0,01.
Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:
Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.
В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.
Образование — то, что остается после того, как забыто все, чему учили в школе.
Игорь Хмелинский, новосибирский учёный, ныне работающий в Португалии, доказывает, что без прямого запоминания текстов и формул развитие абстрактной памяти у детей затруднительно. Приведу выдержки из его статьи » Уроки образовательных реформ в Европе и странах бывшего СССР»
Заучивание наизусть и долговременная памятьНезнание таблицы умножения имеет и более серьезные последствия, чем неспособность обнаружить ошибки в расчетах на калькуляторе. Наша долговременная память работает по принципу ассоциативной базы данных, то есть, одни элементы информации при запоминании оказываются связанными с другими на основе ассоциаций, установленных в момент знакомства с ними. Поэтому, чтобы в голове образовалась база знаний в какой-либо предметной области, например, в арифметике, нужно для начала выучить хоть что-то наизусть. Далее, вновь поступающая информация попадет из кратковременной памяти в долговременную, если в течение короткого промежутка времени (несколько дней) мы столкнемся с нею многократно, и, желательно, в разных обстоятельствах (что способствует созданию полезных ассоциаций). Однако при отсутствии в постоянной памяти знаний из арифметики, вновь поступающие элементы информации связываются с элементами, которые к арифметике никакого отношения не имеют – например, личностью преподавателя, погодой на улице и т.п. Очевидно, такое запоминание никакой реальной пользы учащемуся не принесет – поскольку ассоциации уводят из данной предметной области, то никаких знаний, относящихся к арифметике, учащийся вспомнить не сможет, кроме смутных идей о том, что он вроде бы что-то когда-то об этом должен был слышать. Для таких учащихся роль недостающих ассоциаций обычно выполняют разного рода подсказки – списать у коллеги, воспользоваться наводящими вопросами в самой контрольной, формулами из списка формул, которым пользоваться разрешено, и т.п. В реальной жизни, без подсказок, такой человек оказывается совершенно беспомощным и неспособным применить имеющиеся у него в голове знания.
Формирование математического аппарата, при котором формулы не заучиваются, происходит медленнее, нежели в противном случае. Почему? Во-первых, новые свойства, теоремы, взаимосвязи между математическими объектами почти всегда используют какие-то особенности ранее изученных формул и понятий. Концентрировать внимание ученика на новом материале будет сложнее, если эти особенности не смогут извлекаться из памяти за короткий промежуток времени. Во-вторых, незнание формул наизусть препятствует поиску решения содержательных задач с большим количеством мелких операций, в которых требуется не только провести определенные преобразования, но и выявить последовательность этих ходов, анализируя применение нескольких формул на два-три шага вперед.
Практика показывает, что интеллектуальное и математическое развитие ребенка, формирование его базы знаний и навыков, происходит значительно быстрее, если большая часть используемой информации (свойства и формулы) находиться в голове. И чем прочнее и дольше она там удерживается, тем лучше.
Сессия приближается, и пора нам переходить от теории к практике. На выходных мы сели и подумали о том, что многим студентам было бы неплохо иметь под рукой подборку основных физических формул. Сухие формулы с объяснением: кратко, лаконично, ничего лишнего. Очень полезная штука при решении задач, знаете ли. Да и на экзамене, когда из головы может «выскочить» именно то, что накануне было жесточайше вызубрено, такая подборка сослужит отличную службу.
Больше всего задач обычно задают по трем самым популярным разделам физики. Это механика , термодинамика и молекулярная физика , электричество . Их и возьмем!
Основные формулы по физике динамика, кинематика, статика
Начнем с самого простого. Старое-доброе любимое прямолинейное и равномерное движение.
Формулы кинематики:
Конечно, не будем забывать про движение по кругу, и затем перейдем к динамике и законам Ньютона.
После динамики самое время рассмотреть условия равновесия тел и жидкостей, т.е. статику и гидростатику
Теперь приведем основные формулы по теме «Работа и энергия». Куда же нам без них!
Основные формулы молекулярной физики и термодинамики
Закончим раздел механики формулами по колебаниям и волнам и перейдем к молекулярной физике и термодинамике.
Коэффициент полезного действия, закон Гей-Люссака, уравнение Клапейрона-Менделеева — все эти милые сердцу формулы собраны ниже.
Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на .
Основные формулы по физике: электричество
Пора переходить к электричеству, хоть его и любят меньше термодинамики. Начинаем с электростатики.
И, под барабанную дробь, заканчиваем формулами для закона Ома, электромагнитной индукции и электромагнитных колебаний.
На этом все. Конечно, можно было бы привести еще целую гору формул, но это ни к чему. Когда формул становится слишком много, можно легко запутаться, а там и вовсе расплавить мозг. Надеемся, наша шпаргалка основных формул по физике поможет решать любимые задачи быстрее и эффективнее. А если хотите уточнить что-то или не нашли нужной формулы: спросите у экспертов студенческого сервиса . Наши авторы держат в голове сотни формул и щелкают задачи, как орешки. Обращайтесь, и вскоре любая задача будет вам «по зубам».
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ | Образовательная социальная сеть
Образование — то, что остается после того, как забыто все, чему учили в школе.
Игорь Хмелинский, новосибирский учёный, ныне работающий в Португалии, доказывает, что без прямого запоминания текстов и формул развитие абстрактной памяти у детей затруднительно. Приведу выдержки из его статьи «Уроки образовательных реформ в Европе и странах бывшего СССР»
Заучивание наизусть и долговременная памятьНезнание таблицы умножения имеет и более серьезные последствия, чем неспособность обнаружить ошибки в расчетах на калькуляторе. Наша долговременная память работает по принципу ассоциативной базы данных, то есть, одни элементы информации при запоминании оказываются связанными с другими на основе ассоциаций, установленных в момент знакомства с ними. Поэтому, чтобы в голове образовалась база знаний в какой-либо предметной области, например, в арифметике, нужно для начала выучить хоть что-то наизусть. Далее, вновь поступающая информация попадет из кратковременной памяти в долговременную, если в течение короткого промежутка времени (несколько дней) мы столкнемся с нею многократно, и, желательно, в разных обстоятельствах (что способствует созданию полезных ассоциаций). Однако при отсутствии в постоянной памяти знаний из арифметики, вновь поступающие элементы информации связываются с элементами, которые к арифметике никакого отношения не имеют – например, личностью преподавателя, погодой на улице и т.п. Очевидно, такое запоминание никакой реальной пользы учащемуся не принесет – поскольку ассоциации уводят из данной предметной области, то никаких знаний, относящихся к арифметике, учащийся вспомнить не сможет, кроме смутных идей о том, что он вроде бы что-то когда-то об этом должен был слышать. Для таких учащихся роль недостающих ассоциаций обычно выполняют разного рода подсказки – списать у коллеги, воспользоваться наводящими вопросами в самой контрольной, формулами из списка формул, которым пользоваться разрешено, и т.п. В реальной жизни, без подсказок, такой человек оказывается совершенно беспомощным и неспособным применить имеющиеся у него в голове знания.
Формирование математического аппарата, при котором формулы не заучиваются, происходит медленнее, нежели в противном случае. Почему? Во-первых, новые свойства, теоремы, взаимосвязи между математическими объектами почти всегда используют какие-то особенности ранее изученных формул и понятий. Концентрировать внимание ученика на новом материале будет сложнее, если эти особенности не смогут извлекаться из памяти за короткий промежуток времени. Во-вторых, незнание формул наизусть препятствует поиску решения содержательных задач с большим количеством мелких операций, в которых требуется не только провести определенные преобразования, но и выявить последовательность этих ходов, анализируя применение нескольких формул на два-три шага вперед.
Практика показывает, что интеллектуальное и математическое развитие ребенка, формирование его базы знаний и навыков, происходит значительно быстрее, если большая часть используемой информации (свойства и формулы) находиться в голове. И чем прочнее и дольше она там удерживается, тем лучше.
НАДО ЛИ ВАС ДАЛЬШЕ УБЕЖДАТЬ В ТОМ, ЧТО ФОРМУЛЫ НАДО ЗНАТЬ НАИЗУСТЬ?
Математических формул — Примеры, вывод
Математические формулы — это выражения, созданные после нескольких десятилетий исследований, которые помогают быстро решать вопросы. Легко выполнять простые арифметические вычисления, такие как сложение, вычитание и т. Д. Однако когда дело доходит до алгебраических выражений, геометрии и других тем, вам нужны математические формулы, чтобы упростить процесс получения ответа и сэкономить время в процессе. В Cuemath вы не только найдете формулы для каждой темы, но также получите представление о том, как это уравнение было разработано.Таким образом, вам не придется запоминать формулы, поскольку вы понимаете их концепцию.
Используйте эти формулы для творческого решения задач, и вы автоматически заметите улучшение своих математических навыков. Ниже приведен список формул, расположенных в алфавитном порядке для вашего удобства. Следовательно, вы можете легко найти формулы, которые нужно изменить или на которые нужно ссылаться.
Ссылки на список математических формул, доступных по разным темам, для вашего удобства расположены в алфавитном порядке.Так что выбирайте тему и начинайте учиться!
Список всех математических формул
В зависимости от того, к какому классу вы принадлежите и какую тему изучаете, вы можете найти все возможные математические формулы. Все доступные варианты математических формул с их доказательствами и выводами приведены ниже. Так чего же ты ждешь? Начни свое познавательное путешествие уже сегодня!
Важность математических формул для студентов
Математические формулы были созданы одними из самых умных людей не просто так.Они помогают детям быстро и точно решать вопросы. Это также помогает значительно упростить процесс нахождения решения для суммы, в отличие от попыток его решения с нуля. Преимущества математических формул приведены ниже:
- Ребенок должен следовать учебной программе, установленной школой, с учетом времени. Периодически дети проверяются на предмет их знаний с помощью различных экзаменов, таких как отдельные, полугодовые и финальные. Таким образом, чтобы убедиться, что учащиеся подготовили предмет вовремя с буфером для проверки, им требуются математические формулы.
- Ребёнок, видимо, не собирается решать несколько вопросов ручкой и бумагой. Таким образом, чтобы быстро увидеть суммы и способы их решения, детям необходимо знать формулы, поскольку они являются ключом к получению правильных ответов.
- Во время экзаменов дети не могут позволить себе получить полную формулу для решения вопроса, подразумевающего, что они не могут начинать с шага 1. Они должны знать и запоминать формулы, чтобы заполнить свой вопросный лист за отведенное время, таким образом, помогая им в планировании и организации своего времени.
- Студентам, которые пытаются сдать конкурсные экзамены, необходимо знать не только формулы, но и различные советы и приемы, связанные с ними. Поскольку эти экзамены обычно проводятся в форме MCQ, дети должны хорошо разбираться в математических формулах.
Важные математические формулы
Прежде чем мы увидим список наиболее важных математических формул, очень важно помнить, что каждая тема в математике взаимосвязана. Если вас не устраивает несколько формул, независимо от того, чаще ли они появляются на экзаменах, вы должны поработать над своими навыками и выработать четкое их понимание.Таким образом, знание всех формул является обязательным; однако данный список дает вам представление о том, какие математические формулы обычно используются для решения экзаменационных вопросов.
1. Алгебра
- Среднее арифметическое или среднее = сумма всех значений / количество значений
- Квадратичная формула: x = [-b ± (√b 2 — 4ac)] / 2a
2. Координатная геометрия
3. Плоская геометрия
- Теорема Пифагора: a 2 + b 2 = c 2
- Площадь треугольника = (1/2) × основание × высота
- Площадь прямоугольника = длина × ширина
4.Тригонометрия
- Синус = перпендикуляр / гипотенуза
- Косинус = основание / гипотенуза
Советы по запоминанию математических формул
Есть сотни математических формул, которые дети должны выучить на протяжении всей своей школьной карьеры. Таким образом, для учащихся важно иметь несколько советов, которые помогут им точно запоминать математические формулы. Ниже приведены некоторые приемы:
- Понимание: Очень важно, чтобы ребенок понимал концепцию математической формулы.Если он знает вывод и имеет четкое представление о цели математической формулы, тогда, скорее всего, ребенку даже не придется ее запоминать. Он автоматически знает, как и когда применять правильную математическую формулу.
- Практика: Пока вы не решите вопрос, требующий использования определенной формулы, вам будет очень трудно оценить ее использование. Решая многочисленные вопросы, вы начинаете запоминать формулу через мышечную память.Следовательно, вам не нужно прилагать активные усилия для изучения формул, поскольку вы уже знаете, как их применять.
- Сделайте обзорные листы: После того, как вы познакомитесь с темой и начнете задавать вопросы по ней, составьте список всех математических формул, которые вы используете. Продолжайте обновлять его по мере продолжения цикла обучения. Когда придет время взглянуть на эти формулы или если вы захотите их запомнить, можно воспользоваться этим листом. Кроме того, вы также можете воспользоваться помощью Cuemath с математическими формулами, перечисленными выше
- Мнемоника и методы запоминания: Существует множество мнемонических устройств, которые могут помочь вам в изучении математических формул.Например, если вы хотите изучить основные тригонометрические формулы, используйте мнемонику « S ome P eople H ave, C urly B rown H air, T h through P. roper B прет ». Таким образом, выделенные буквы помогают запоминать формулы, синус = перпендикуляр / гипотенуза и так далее. Если вы воспользуетесь этими методами запоминания или придумаете свою собственную инновационную мнемонику, вам станет очень легко изучать математические формулы.
Применение математических формул в реальной жизни
При изучении темы учащимся полезно знать практическое применение связанных математических формул, поскольку это делает предмет более понятным. Некоторые области, в которых используются математические формулы, перечислены ниже:
Алгебра:
Алгебраические формулы широко используются в области информатики для выполнения различных аналитических функций. Они также используются в криптографии для защиты финансовой информации.Кроме того, вы используете алгебру ежедневно, сознательно и неосознанно, чтобы планировать свое расписание и выполнять свои задачи.
Расчет:
Формулы интегрирования и дифференцирования в математическом анализе широко используются в технике. Он также используется для анализа траектории ракеты, материаловедения, разработки кода физики ударных волн, моделирования воздушного потока над аэродинамическими телами, передачи тепла, распространения сейсмических волн для анализа землетрясений, обработки сигналов и т. Д.
Геометрия:
Формулы геометрии широко используются в строительстве и архитектуре для возведения различных типов конструкций.Они также используются при моделировании местности, проектировании механических частей, криптологии и схемах воздушных потоков.
Вероятность и статистика:
Формулы вероятности и статистики, а также методы, полученные в школе, могут быть применены к примерам из реальной жизни. Они используются в таких областях, как моделирование методом Монте-Карло, обработка сигналов, анализ надежности, анализ рисков, модели прогнозирования фондового рынка, проектирование компьютерных сетей, страхование цен, оценка океанских течений в геостатистике и т. Д.
Часто задаваемые вопросы по математическим формулам
Что такое математическая формула?
Математическую формулу можно рассматривать как выражение, которое используется как ключ к быстрому и эффективному решению проблем. Они также включают тождества, которые являются утверждениями, которые верны для всех значений конкретной переменной. Таким образом, математические формулы очень важны для изучения и понимания детьми.
Вам нужно запомнить все математические формулы?
Детям очень важно понимать концепцию математических формул.Когда ребенок приобретет глубокие знания, он может перейти к изучению и запоминанию формул, так как ему придется быстро вспоминать их во время экзаменов. Однако, если он знает, как была получена математическая формула и ее значение, ребенок автоматически запомнит формулу.
Какие математические формулы являются наиболее важными?
Важные математические формулы относятся к тем формулам, которые часто используются на большинстве школьных или конкурсных экзаменов. Однако вы должны придавать одинаковое значение всем формулам, чтобы получить целостное математическое развитие.Список важных математических формул приведен ниже.
Каковы основные математические формулы?
Основные математические формулы могут использоваться для решения простых вопросов или требуются для построения более сложных формул. Вот список некоторых основных математических формул.
Почему математические формулы так важны?
Математические формулы дают детям простой и быстрый способ решать сложные задачи. Все, что нужно сделать детям, — это придумать правильную формулу для решения вопросов, и они смогут без проблем действовать.Особенно, когда мы рассматриваем сценарий экзамена, который рассчитан по времени, становится необходимым использовать эти математические формулы, чтобы работа могла быть завершена в пределах заданного лимита.
Нужно ли знать, как работает математическая формула?
Для учащихся очень важно знать, как работают математические формулы. Детям нужно начать с понимания концепции формулы и создания четкой основы ее вывода. Если у детей есть эти знания, им не нужно будет запоминать формулы.Даже если они забудут, какую математическую формулу применить для того или иного вопроса во время контрольной работы, они будут знать метод и не застрять.
Как учить математическим формулам?
Первый шаг в обучении математическим формулам — объяснить учащимся значение формулы. Следующий шаг — познакомить детей с выводом формулы. Наконец, вам нужно показать детям, как применять математическую формулу к вопросам, как простым, так и сложным.
Как мы можем применять математические формулы в повседневной жизни?
Когда мы говорим о такой теме, как дроби или десятичные дроби, мы применяем формулы к таким действиям, как перекрестная проверка правильности квитанции, которую мы получаем от покупки, когда нам нужно разделить такой объект, как пицца, между людьми. , и так далее.Таким образом, сознательно или неосознанно мы используем математические формулы, чтобы эффективно вести повседневную жизнь.
Уравнения и формулы
Что такое уравнение?
Уравнение говорит, что две вещи равны. У него будет знак равенства «=», например:
.Это уравнение говорит: то, что слева (x + 2) равно тому, что справа (6)
Таким образом, уравнение похоже на оператор : «, это равно , что »
(Примечание: это уравнение имеет решение x = 4 , прочтите, как решать уравнения.
Что такое формула?
Формула — это факт или правило, в котором используются математические символы.
Обычно в нем:
- знак равенства (=)
- две или более переменных (x, y и т. Д.), Которые заменяют значения, которые мы еще не знаем
Это показывает нам, как вещи связаны друг с другом.
Пример: Формула для определения объема ящика:
В =
л / чV обозначает объем, l длину, w ширину и h высоту.
Если l = 10, w = 4 и h = 5, то:
V = 10 × 4 × 5 = 200
Это все уравнения, но лишь некоторые из них являются формулами:
| x = 2 y -7 | Формула(относящаяся к x и y ) |
| a 2 + b 2 = c 2 | Формула(относящаяся к a , b и c ) |
| х /2 + 7 = 0 | Не формула (просто уравнение) |
Без равных
Иногда формула пишется без знака «=»:
Пример. Формула объема ящика:
.л / ч
Но в некотором смысле «=» все еще присутствует, потому что мы можем записать V = lwh , если захотим.
Субъект формулы
«Субъект» формулы — это единственная переменная (обычно слева от «=»), которой равны все остальные.
Пример: в формуле
с = ut + ½ при 2
«s» является предметом формулы
Изменение темы
Очень мощная вещь, которую может сделать алгебра, — это «перестроить» формулу так, чтобы в качестве объекта использовалась другая переменная.
Пример: измените объем формулы прямоугольника (
V = lwh ) так, чтобы ширина была предметомНачать с: V = lwh
разделите обе стороны на h: В / ч = lw
разделите обе стороны на l: В / (hl) = w
сменные стороны: w = V / (hl)
Итак, если нам нужен ящик объемом 12, длиной 2 и высотой 2, мы можем вычислить его ширину:
Вт = В / (гл)
= 12 / (2 × 2)
= 12/4
= 3
31 критическая математическая формула ACT, которую вы ДОЛЖНЫ знать
Две самые большие проблемы ACT Math — это нехватка времени (тест по математике состоит из 60 вопросов за 60 минут!) И тот факт, что тест не дает вам никаких формул. Все формулы и математические знания для ACT основаны на том, что вы выучили и запомнили.
В этом полном списке критических формул, которые вам понадобятся для теста ACT, я изложу все формулы, которые вы должны запомнить до дня теста, а также объяснения, как их использовать и что они означают. Я также покажу вам, какие формулы вы должны отдавать приоритет запоминанию (те, которые нужны для нескольких вопросов), а какие вы должны запоминать только тогда, когда у вас есть все остальное.
Уже чувствуете себя подавленным?
Вызывает ли желание запомнить кучу формул желание бежать в горы? Мы все были там, но пока не бросайте полотенце! Хорошая новость об экзамене ACT заключается в том, что он предназначен для того, чтобы дать всем участникам теста шанс добиться успеха. Многие из вас уже знакомы с большинством этих формул на уроках математики.
Формулы, которые чаще всего встречаются в тесте, также будут вам наиболее знакомы.Формулы, которые нужны только для одного или двух вопросов теста, будут вам менее всего знакомы. Например, уравнение круга и формулы логарифма всегда отображается как один вопрос в большинстве математических тестов ACT. Если вы стремитесь к каждому пункту, запоминайте его. Но если вы чувствуете себя перегруженным списками формул, не беспокойтесь об этом — это только один вопрос.
Итак, давайте рассмотрим все формулы, которые вы обязательно должны знать перед экзаменом (а также одну или две, которые вы можете вычислить самостоятельно, вместо того, чтобы запоминать еще одну формулу).
Алгебра
Линейные уравнения и функции
В каждом тесте ACT будет как минимум пять-шесть вопросов по линейным уравнениям и функциям, так что это очень важный раздел, который нужно знать.
Наклон
Наклон — это мера изменения линии. Это выражается как: изменение по оси Y / изменение по оси X или $ \ rise / \ run $.
- Даны две точки, $ A (x_1, y_1) $, $ B (x_2, y_2) $, найдите наклон линии, которая их соединяет:
$$ (y_2 — y_1) / (x_2 — x_1) $$
Форма пересечения уклона
- Линейное уравнение записывается как $ y = mx + b $
- м — это наклон, а b — точка пересечения с y (точка линии, пересекающей ось y)
- Линия, проходящая через начало координат (ось Y в 0), записывается как $ y = mx $ .
- Если вы получите уравнение, которое НЕ написано таким образом (т.2} $$
- На самом деле вам не нужна эта формула, , так как вы можете просто построить график своих точек, а затем построить из них прямоугольный треугольник. Расстояние будет гипотенузой, которую вы можете найти с помощью теоремы Пифагора .
Логарифмы
Обычно в тесте с логарифмами задается только один вопрос. Если вы беспокоитесь о том, что вам придется запоминать слишком много формул, не беспокойтесь о журналах, если только вы не пытаетесь набрать наивысший балл.y = x $$
$$ log_bxy = log_bx + log_by $$
$$ log_b {x / y} = log_bx — log_by $$
Статистика и вероятность
Средние
Среднее значение — это то же самое, что и среднее значение
- Найдите среднее значение набора терминов (чисел)
$$ \ Mean = {\ sum \ of \ terms} / {\ the \ number (\ amount) \ of \ different \ terms} $$
$$ \ Speed = {\ total \ distance} / {\ total \ time} $$
Пусть шансы всегда будут в вашу пользу.
Вероятности
Вероятность — это вероятность того, что что-то произойдет. Вероятность 1 гарантирована. Вероятность 0 никогда не произойдет.
$$ {\ Вероятность \ of \ an \ исход \ событие} = {\ число \ of \ желаемое \ results} / {\ total \ number \ of \ possible \ results} $$
- Вероятность двух независимых исходов , оба наступят, равна
$$ \ Вероятность \ of \ event \ A * \ вероятность \ of \ event \ B $$
- e.g. Событие A имеет вероятность $ 1/4 $, а событие B имеет вероятность $ 1/8 $. Вероятность того, что оба события произойдут, равна: $ 1/4 * 1/8 = 1/32 $. Существует вероятность 1 из 32 из как событий A, так и события B.
Комбинации
Возможное количество различных комбинаций ряда различных элементов
- «Комбинация» означает, что порядок элементов не имеет значения (т. Е. Блюдо из рыбы и диетическая газировка — это то же самое, что и диетическая газировка и блюдо из рыбы).
- Возможные комбинации = количество элементов A * количество элементов B * количество элементов C….
- например В кафетерии есть 3 различных варианта десертов, 2 различных варианта закуски и 4 варианта напитков. Сколько различных комбинаций обеда возможно, используя один напиток, один десерт и одно блюдо?
- Всего возможных комбинаций = 3 * 2 * 4 = 24
в процентах
- Найти x процента заданного числа n
$$ n (x / 100) $$
- Узнать, на сколько процентов число n принадлежит другому числу m
$$ (100n) / м $$
- Узнайте, какое число n равно x процента от
$$ (100n) / x $$
ACT — это марафон.Не забывайте иногда делать перерыв и наслаждаться хорошими вещами в жизни. Щенки делают все лучше.Геометрия
Прямоугольники
Площадь
$$ \ Area = lw $$
- l — длина прямоугольника
- w ширина прямоугольника
Периметр
$$ \ Периметр = 2l + 2w $$
Прямоугольный цельныйОбъем
$$ \ Объем = lwh $$
- h — высота фигуры
Параллелограмм
Самый простой способ получить площадь параллелограмма — это опустить два прямых угла для высоты и преобразовать их в прямоугольник.
- Затем решите относительно h , используя теорему Пифагора
Площадь
$$ \ Area = lh $$
- (это то же самое, что прямоугольник lw . В этом случае высота равна ширине)
Треугольники
Площадь
$$ \ Area = {1/2} bh $$
- b — длина основания треугольника (край одной стороны)
- h — высота треугольника
- Высота такая же, как сторона угла 90 градусов в прямоугольном треугольнике.2 $$
- В прямоугольном треугольнике две меньшие стороны (a и b) возведены в квадрат. Их сумма равна квадрату гипотенузы (c, самая длинная сторона треугольника)
Свойства особого правого треугольника: равнобедренный треугольник
- Равнобедренный треугольник имеет две стороны равной длины и два равных угла, противоположных этим сторонам.
- Равнобедренный прямоугольный треугольник всегда имеет угол 90 градусов и два угла по 45 градусов.
- Длины сторон определяются по формуле: x, x, x √2, при этом длина гипотенузы (сторона, противоположная 90 градусам) равна одной из меньших сторон * √2.
- Например, равнобедренный прямоугольный треугольник может иметь длину стороны 12, 12 и 12√2.
Свойства специального прямоугольного треугольника: треугольник под углом 30, 60, 90 градусов
- Треугольник 30, 60, 90 описывает градусы трех его углов.
- Длины сторон определяются по формуле: x , x √3 и 2 x .
- Сторона, противоположная 30 градусам, является наименьшей, ее размер составляет x.
- Сторона, противоположная 60 градусам, представляет собой среднюю длину с размером x √3.
- Сторона, противоположная 90 градусам, представляет собой гипотенузу длиной 2 x.
- Например, треугольник 30-60-90 может иметь длину стороны 5, 5√3 и 10.
Трапеции
Площадь
- Возьмите среднее значение длины параллельных сторон и умножьте его на высоту.
$$ \ Area = [(\ parallel \ side \ a + \ parallel \ side \ b) / 2] h $$
- Часто вам дают достаточно информации, чтобы выпустить два угла 90, чтобы получился прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Это вам все равно понадобится для высоты, поэтому вы можете просто найти площади каждого треугольника и добавить их к площади прямоугольника, если вы не хотите запоминать формулу трапеции.
- Трапеции и необходимость в формуле трапеции будет не более чем одним вопросом на тесте .2 $$
- π — константа, которая для целей ACT может быть записана как 3,14 (или 3,14159)
- Особенно полезно знать, если у вас нет калькулятора с функцией $ π $ или вы не используете калькулятор во время теста.
- r — радиус круга (любая линия, проведенная от центральной точки прямо к краю круга).
Площадь сектора
- Дан радиус и градус дуги от центра, найдите площадь этого сектора круга.2) (\ градус \ мера \ центра \ центра \ дуги / 360) $$
Окружность
$$ \ Окружность = 2πr $$
или
$$ \ Окружность = πd $$
- d — диаметр круга. Это линия, которая делит круг пополам через середину и касается двух концов круга на противоположных сторонах. Это в два раза больше радиуса.
Длина дуги
- Зная радиус и градус дуги от центра, найдите длину дуги.
- Используйте формулу для длины окружности, умноженной на угол дуги, разделенный на общую величину угла окружности (360).
$$ \ Окружность \ дуги = (2πr) (\ градус \ мера \ центр \ дуги / 360) $$
- Пример: 60-градусная дуга имеет 1/6 доллара от общей длины окружности, потому что 60/360 = 1/6 долларов.
Альтернативой запоминанию «формул» для дуг является просто остановка и логическое размышление об окружностях дуги и областях дуги.
- Если вы знаете формулы для площади / длины окружности и знаете, сколько градусов в круге, сложите их вместе.
- Если дуга охватывает 90 градусов окружности, она должна составлять 1/4 $ общей площади / длины окружности, потому что 360/90 = 4 $.
- Если дуга расположена под углом 45 градусов, то это $ 1/8 $ окружности, потому что $ 360/45 = 8 $.
- Концепция в точности такая же, как и у формулы, но это может помочь вам думать о ней таким образом, а не как о «формуле» для запоминания.2 ч. $$
Тригонометрия
Почти всю тригонометрию на ACT можно свести к нескольким базовым концепциям
SOH, CAH, TOA
Синус, косинус и тангенс — функции графика
- Синус, косинус или тангенс угла (тета, обозначаемый как Θ) находится по сторонам треугольника согласно мнемоническому устройству SOH, CAH, TOA.
Синус — SOH
$$ \ Sine Θ = \ напротив / \ гипотенуза $$
- Противоположная = сторона треугольника, прямо противоположная углу Θ
- Гипотенуза = самая длинная сторона треугольника
Иногда ACT заставляет вас манипулировать этим уравнением, давая вам синус и гипотенузу, но не меру противоположной стороны.Управляйте им так же, как и любым алгебраическим уравнением:
$ Синус Θ = \ противоположный / \ гипотенуза $ => $ \ гипотенуза * \ синус Θ = \ противоположный $
Косинус — CAH
$$ \ Косинус Θ = \ смежный / \ гипотенуза $$
- Соседний = сторона треугольника, ближайшая к углу Θ (который создает угол), который не является гипотенузой
- Гипотенуза = самая длинная сторона треугольника
Касательная — TOA
$$ \ Tangent Θ = \ напротив / \ смежный $$
- Противоположная = сторона треугольника, прямо противоположная углу Θ
- Соседний = сторона треугольника, ближайшая к углу Θ (который образует угол), которая не является гипотенузой
Косеканс, Секанс, Котангенс
- Косеканс является величиной, обратной синусу
- $ \ Косеканс Θ = \ гипотенуза / \ напротив $
- Секанс — величина, обратная косинусу
- $ \ Секант Θ = \ гипотенуза / \ смежный $
- Котангенс — величина, обратная касательной
- $ \ Cotangent Θ = \ смежный / \ напротив $
Полезные формулы, которые нужно знать
$$ \ Sin ^ 2Θ + \ Cos ^ 2Θ = 1 $$$$ {\ Sin Θ} / {\ Cos Θ} = \ Tan Θ $$
Ура! Вы запомнили свои формулы.А теперь побалуй себя.
Но имейте в виду
Хотя это все формулы , которые вы должны запомнить, чтобы хорошо сдать математический раздел ACT, этот список никоим образом не охватывает все аспекты математических знаний, которые вам понадобятся на экзамене. Например, вам также необходимо знать свои правила экспоненты, как выполнять FOIL и как находить абсолютные значения. Чтобы узнать больше об общих математических вопросах, охватываемых тестом, см. Нашу статью о том, что на самом деле тестировалось в разделе математики ACT.
Что дальше?
Теперь, когда вы знаете основные формулы для ACT, возможно, пришло время ознакомиться с нашей статьей о том, как набрать высший балл по математике ACT с помощью 36 ACT-Scorer.
Не знаете с чего начать? Не ищите дальше нашей статьи о том, что считается хорошим, плохим или отличным результатом по ACT.
Хотите улучшить свой результат на 4+ балла? Наша полностью интерактивная и индивидуальная программа подготовки адаптируется к вашим сильным и слабым сторонам и потребностям. И мы гарантируем вам возврат денег , если вы не улучшите свой результат на 4 очка и более. Подпишитесь на бесплатную пробную версию сегодня.
Хотите улучшить свой результат ACT на 4 балла?
Посетите наши лучшие в своем классе онлайн-классы подготовки к ACT. Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой результат ACT на 4 или более балла.
Наши классы полностью онлайн, и их ведут эксперты ACT. Если вам понравилась эта статья, вам понравятся наши классы. Наряду с занятиями под руководством экспертов вы получите индивидуальное домашнее задание с тысячами практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы учились наиболее эффективно. Мы также дадим вам пошаговую индивидуальную программу, которой вы будете следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.
Попробуйте без риска сегодня:
Самые важные математические формулы, которые нужно знать в старшей школе
Все школьники-математики знакомы с изучением и запоминанием новых формул.Существуют сотни формул, постулатов и теорем, которые они должны понимать и применять в домашних заданиях, викторинах и тестах. Но должны ли студенты запоминать их все? Какие математические формулы нужно знать наиболее важные?
Алгебра
Наиболее важные алгебраические математические формулы, которые необходимо знать, — это формулы для наклона, формы пересечения наклона, средней точки и всем известная квадратичная формула. Эти четыре формулы необходимы на каждом курсе математики в средней школе.
[URL кнопки = ”https: // академия.agradeahead.com/our-programs/math/algebra-i-8th-9th-grade/ «target =» blank «style =» 3d «background =» # 81BE41 ″ color = «# ffffff» size = «8 ″ center = ”Yes” radius = ”0 ″ icon =” icon: check-circle ”icon_color =” # ffffff ”text_shadow =” 0px 0px 0px # 000000 ″] Узнайте больше о курсе A Grade Ahead’s Algebra 1! [/ Button]
Статистика и вероятность
Статистические и вероятностные темы включены почти в каждый курс математики. Студенты также могут пройти их как отдельные курсы в большинстве средних школ (что демонстрирует важность темы).Кроме того, стандартизированные тесты любят включать вопросы о них. Вот почему знание того, как найти среднее (среднее) значение и вероятность того, что событие произойдет, имеет решающее значение для успеха в этих тестах.
Геометрия
Геометрия — это тема, содержащая большинство математических формул. Это предмет, который заставляет некоторых студентов чувствовать себя подавленным благодаря всем формулам, теоремам и постулатам. Если вы один из таких учеников, не волнуйтесь! Вот самые важные формулы для геометрии.
[URL кнопки = ”https://academy.agradeahead.com/our-programs/math/geometry-9th-10th-grade/” target = ”blank” style = ”3d” background = ”# 81BE41 ″ color =” #ffffff «size =» 8 ″ center = «yes» radius = «0 ″ icon =» icon: check-circle «icon_color =» # ffffff «text_shadow =» 0px 0px 0px # 000000 ″] Подробнее о геометрии A Grade Ahead конечно! [/ button]
Для старшеклассников эти формулы являются наиболее важными математическими формулами, которые нужно знать. Студенты, которые понимают и могут применять эти формулы на практике, с большей вероятностью добьются успеха в классе и на стандартизированных тестах, особенно ACT / SAT.
Хотите узнать больше о приведенных выше формулах? Задайте нам вопрос в комментариях!
Автор: Нейт Бальцер, писатель и учитель на класс вперед
Получайте уведомления, когда появляются новые статьиПодпишитесь, чтобы получать одно электронное письмо в неделю от журнала A Grade Ahead с советами для родителей и полезными статьями. Введите свою информацию в правой части нашей страницы блога, и мы добавим вас в наш список подписчиков. Мы также приветствуем ваши отзывы и комментарии к нашим сообщениям!
математических формул для экзамена GED
При прохождении теста GED® Math вы должны быть знакомы с арифметическими и математическими концепциями, измерениями, уравнениями и применением математических концепций для решения реальных задач.
Однако тест по математике — это не тест на запоминание! У вас будет доступ к таблице формул, которая даст вам информацию, например, о том, как рассчитать площадь для различных форм.
Вам следует ознакомиться с приведенными ниже формулами, чтобы знать, чего ожидать.
Однако вам не нужно запоминать все, что указано в этом руководстве!
Вам будет вручен лист математических формул, а также вы сможете использовать научный калькулятор Texas Instrument TI-30 XS MultiView.Узнайте здесь, как использовать это эффективно.
ПЛОЩАДЬ а: квадрат Площадь = сторона 2 прямоугольник Площадь = длина × ширина параллелограмм Площадь = основание × высота треугольник Площадь = 1 / 2 × основание × высота трапеция Площадь = 1 / 2 × (основание 1 + основание 2 ) × высота круг Площадь = p × радиус 2 ; p примерно равно 3.14. ПЕРИМЕТР из а:
квадрат Периметр = 4 × сторона прямоугольник Периметр = 2 × длина + 2 × ширина треугольник Периметр = сторона 1 + сторона 2 + сторона 3 ОКРУЖНОСТЬ окружности Окружность = p × диаметр; p примерно равно 3.14. ОБЪЕМ из:
куб Объем = край 3 прямоугольный цельный Объем = длина × ширина × высота квадратная пирамида Объем = 1 / 3 × (нижний край) 2 × высота цилиндр Объем = p × радиус 2 × высота; p примерно равно 3.14. Конус Объем = 1 / 3 × p × радиус 2 × высота; p примерно равно 3,14. КООРДИНАТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ расстояние между точками = ; (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ) — две точки на плоскости; наклон линии = ; (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ) — две точки на линии. Пифагорейские отношения a 2 + b 2 = c 2 ; a и b — катеты, а c — гипотенуза прямоугольного треугольника. МЕРЫ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ среднее значение = , , где x — это значения, для которых требуется среднее значение, а n — общее количество значений для x . медиана = среднее значение нечетного числа упорядоченных баллов и посередине между двумя средними значениями четного числа упорядоченных баллов. ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ проценты = основная сумма × ставка × время РАССТОЯНИЕ расстояние = скорость × время ОБЩАЯ СТОИМОСТЬ общая стоимость = (количество единиц) × (цена за единицу) Математический тест GED охватывает такие поля содержимого, как числовые операции и числовое значение (примерно от 20 до 30 процентов), измерения и геометрия (от 20 до 30 процентов), анализ данных, статистика и вероятность (от 20 до 30 процентов) и Алгебра, функции и шаблоны (также от 20 до 30 процентов).
Субтест GED Math состоит из двух частей. Во второй части разрешено использование калькулятора. Вам дается 115 минут на ответы на все вопросы GED Math.
Последнее обновление 4 октября 2021 г.
математических формул для теста ASVAB (обновлено 2021 г.)
- Дом
- Блог
- Математические формулы для теста ASVAB (обновлено 2021 г.)
Перейти к практическому тесту
Если вам нужны формулы для конкретной математической задачи, эта статья обещает дать вам диаграмму математических формул для теста ASVAB .Математика ASVAB охватывает широкий спектр тем и знаний — от начальной школы до средней школы. Вы можете беспокоиться о том, как запомнить ВСЕ формулы, а также математические концепции и даже вспомнить их на тесте. Именно здесь большинству испытуемых сложно подготовиться к экзамену.
ASVAB — это тест, который сдают большинство новобранцев перед тем, как присоединиться к вооруженным силам. Он используется как часть процесса квалификации, чтобы оценить, будет ли человек успешным в определенной области карьеры и есть ли у него все необходимое, чтобы служить своей стране в качестве члена вооруженных сил США.
И, очевидно, ASVAB Math Test — один из разделов, которые нельзя пропустить.
математические формулы для ASVABТест CAT-ASVAB Mathematics Knowledge включает 16 вопросов с несколькими вариантами ответов, адаптированных к компьютеру. У вас есть 20 минут, чтобы закончить тест, прежде чем перейти к следующему испытуемому. Вы не можете изменить свои ответы после их отправки.
Тест на знание математики P & P-ASVAB включает 25 вопросов с несколькими вариантами ответов. У вас есть 24 минуты на завершение теста.Если у вас есть время, лучше просмотрите свою работу и убедитесь, что вы ответили на все вопросы, даже если вам нужно угадывать. Все участники тестирования переходят на следующий тест в составе группы.
Хотя вы, вероятно, выучили многие из этих формул, есть только некоторые из них, которые вы действительно использовали бы в тесте. Итак, какой из них наиболее применим? Ниже приводится краткий справочный лист по формулам, в котором перечислены все важные ASVAB Math формулы , которые вы ДОЛЖНЫ знать, прежде чем приступить к тесту.
Для получения более подробной информации прочтите наше Руководство по математике ASVAB прямо сейчас!
Фракции Математические формулы для теста ASVAB — дроби процентов Математические формулы для теста ASVAB — проценты Показатели Математические формулы для теста ASVAB — экспоненты ФакториалыВ математике факториал — это произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных n. Обозначается он n !
, где n — любое действительное число.
Например:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Логарифмы Математические формулы для теста ASVAB — логарифмы Статистика Статистика — математические формулы для теста ASVAB Алгебра Алгебра — математические формулы для теста ASVAB Геометрия — математические формулы для теста ASVAB Геометрия — математические формулы для теста ASVABИзучение всех формул из этой шпаргалки по математическим формулам ASVAB может сэкономить ваше драгоценное время на тесте и, возможно, правильно ответить на несколько дополнительных вопросов.
Если вам нужна более полная поддержка, посетите наш веб-сайт и не забудьте пройти бесплатный практический тест ASVAB 2021 для раздела математики!
Математические формулы ALEKS
Готовитесь к экзамену по математике ALEKS? Прежде всего, вы должны понимать, что математический тест ALEKS предоставляет математические формулы для некоторых вопросов, так что вы можете сосредоточиться на приложении , а не на запоминании формул. H , кроме того, тест не предоставляет список всех математических формул, которые необходимо знать для теста. Это означает, что вам нужно будет вспомнить многие математические формулы на ALEKS.
Ниже вы найдете список всех математических формул, которые вы ДОЛЖНЫ выучить перед экзаменом, а также некоторые объяснения того, как их использовать и что они означают. Сохраните этот список для быстрого напоминания, если вы забудете одну из формул.
Просмотрите их все, затем ознакомьтесь с математическими разделами, чтобы начать применять их!
Абсолютно лучшая книга
, сдавшая тест ALEKS MathЛист формул по математике
Значение местаЗначение разряда или позиции цифры в числе.
Фракции
Пример: В 456 цифра 5 находится в позиции «десятки».Число, выраженное в форме \ (\ frac {a} {b} \)
Знаки сравнения чисел
Сложение и вычитание с тем же знаменателем:
\ (\ frac {a} {b} + \ frac {c} {b} = \ frac {a + c} {b} \)
\ (\ frac {a} {b} — \ frac {c} {b} = \ frac {ac} {b} \)
Сложение и вычитание с другим знаменателем :
\ (\ frac {a} {b} + \ frac {c} {d} = \ frac {ad + cb} {bd} \)
\ (\ frac {a} {b} — \ frac {c } {d} = \ frac {ad-cb} {bd} \)
Умножение и деление дробей:
\ (\ frac {a} {b} × \ frac {c} {d} = \ frac {a × c } {b × d} \)
\ (\ frac {a} {b} ÷ \ frac {c} {d} = \ frac {\ frac {a} {b}} {\ frac {c} {d} } = \ frac {ad} {bc} \)Равно \ (= \)
Округление
Меньше \ (<\)
Больше \ (> \)
Больше или равно \ (≥ \)
Меньше или равно \ (≤ \)Добавление числа вверх или вниз до ближайшего целого числа или ближайшей сотни и т. Д.
Всего
Пример: 64, округленное до ближайшего десяти, равно 60, потому что 64 ближе к 60, чем к 70.Числа \ (\ {0,1,2,3,… \} \)
ОценкиНайдите число, близкое к точному ответу.
Десятичные числаДробь, записанная в специальной форме. Например, вместо \ (\ frac {1} {2} \) вы можете написать \ (0.5 \).
Смешанные числаЧисло, состоящее из целого числа и дроби. Пример: \ (2 \ frac {2} {3} \) Преобразование между неправильными дробями и смешанными числами: \ (a \ frac {c} {b} = a + \ frac {c} {b} = \ frac {ab + c } {b} \)
Факторинговые номераРазложить число на множители означает разбить его на числа, которые можно умножить, чтобы получить исходное число. Пример: \ (12 = 2 × 2 × 3 \)
Правила делимостиДелимость означает, что вы можете разделить число поровну.Пример: 24 делится на 6, потому что \ (24 ÷ 6 = 4 \)
Наибольший общий множительУмножение общих простых множителей
Наименьшее общее кратное
Пример: \ (200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 60 = 2 × 2 × 3 × 5 \)
GCF \ ((200,60) = 2 × 2 × 5 = 20 \ )Проверить кратность наибольшего числа
Целые числа
Пример: LCM (200, 60): 200 (нет), 400 (нет), 600 (да!)\ (\ {…, -3, -2, -1,0,1,2,3,… \} \)
Реальные числа
Включает: ноль, счетные числа и отрицательное из счетных чиселВсе числа в числовой строке.Целые числа плюс дроби, десятичные и иррациональные числа и т. Д.) (\ (\ Sqrt {2}, \ sqrt {3}, π \) и т. Д.)
Порядок работыPEMDAS
Абсолютное значение
(скобки / показатели / умножение / деление / сложение / вычитание)Относится к расстоянию числа от, расстояния положительны, поскольку абсолютное значение числа не может быть отрицательным. \ (| -22 | = 22 \)
Передаточные числа
или \ (| x | = \ begin {cases} x \ для \ x≥0 \\ x \ для \ x <0 \ end {ases} \)
\ (| x |Коэффициент — это сравнение двух чисел путем деления.
В процентах
Пример: \ (3: 5 \) или \ (\ frac {3} {5} \)Используйте следующую формулу, чтобы найти часть, целое или процентное соотношение
Пропорциональные отношения
часть \ (= \ frac {percent} {100} × целое \)Пропорция означает, что два соотношения равны. Его можно записать двумя способами:
Процент изменения
\ (\ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} \), \ (a: b = c: d \)\ (\ frac {Новое \ Значение \ — \ Старое \ Значение} {Старое значение} × 100 \% \)
НаценкаНаценка \ (= \) цена продажи \ (- \) стоимость
Скидка
Ставка наценки \ (= \) наценка, деленная на стоимостьУмножьте обычную цену на ставку скидки
Выражения и переменные
Продажная цена \ (= \) первоначальная цена \ (- \) скидкаПеременная — это буква, обозначающая неопределенные числа.Можно использовать переменную так же, как и все другие числа: Сложение : \ (2 + a \): \ (2 \) плюс
Налог
Вычитание : \ (y-3 \): \ (y \ ) минус \ (3 \)
Деление : \ (\ frac {4} {x} \): 4 разделить на x
Умножение : \ (5a \): \ (5 \) умножить наЧтобы найти налог, умножьте ставку налога на налогооблагаемую сумму (доход, стоимость имущества и т. 2 + a_ {n-1} х + ан \)
Системы уравненийДва или более уравнения работают вместе.
Уравнения
пример: \ (\ begin {cases} -2x + 2y = 4 \\ — 2x + y = 3 \ end {ases} \)Значения двух математических выражений равны.
Функции
\ (ах + Ь = с \)Функция — это правило перехода от одного числа (x) к другому числу (y), обычно записываемое как \ (y = f (x) \). Для любого заданного значения x может быть только одно соответствующее значение y. Если \ (y = kx \) для некоторого числа k (пример: \ (f (x) = 0.5 x \)), то говорят, что y прямо пропорционально x. Если y \ (= \ frac {k} {x} \) (пример: f (x \ (= \ frac {5} {x} \)), то говорят, что y обратно пропорционален x. График \ (y = f (x) + k \) — перенос графика \ (y = f (x) \) на \ ((h, k) \) единиц на плоскости. Например, \ (y = f (x + 3) \) сдвигает график \ (f (x) \) на 3 единицы влево.
НеравенстваГоворит, что два значения не равны
Решение систем уравнений методом исключения
\ (a ≠ b \) a не равно b
\ (a \ (a> b \) a больше b
\ (a≥ b \) a больше или равно b
\ (a≤b \) a меньше или равно bПример: \ (\ cfrac {\ begin {align} x + 2y = 6 \\ + \ \ -x + y = 3 \ end {align}} {} \)
Линии (линейные функции)
\ (\ cfrac {\ begin { align} 3y = 9 \\ y = 3 \ end {align}} {\ begin {align} x + 6 = 6 \\ ⇒ x = 0 \ end {align}} \)Рассмотрим прямую, проходящую через точки \ (A (x_ {1}, y_ {1}) \) и \ (B (x_ {2}, y_ {2}) \).° \) угол пересечения) имеют отрицательные обратные наклоны: \ (m_ {1} \). \ (M_ {2} = — 1 \).
Средняя точка отрезка AB:
Параллельные линии (l \ (\ parallel \) m)M (\ (\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}, \ frac {y_ {1} + y_ {2}} {2} \))
Уклон линии:\ (\ frac {y_ {2} — y_ {1}} {x_ {2} — x_ {1}} = \ frac {rise} {run} \)
Форма остроконечного откоса:Учитывая наклон m и точку \ ((x_ {1}, y_ {1}) \) на прямой, уравнение прямой будет
Правые треугольники:
\ ((y-y_ {1}) = m \ (x- х_ {1}) \). 2 + bx + c \).2 \)Хорошим примером прямоугольного треугольника является треугольник с a = 3, b = 4 и c = 5, также называемый прямоугольным треугольником \ (3-4-5 \). Обратите внимание, что числа, кратные этим числам, также являются прямоугольными треугольниками. Например, если вы умножите эти числа на 2, вы получите a = 6, b = 8 и
Все треугольники:
\ (c = 10 (6-8-10) \), который также является прямоугольным треугольником.Площадь \ (= \ frac {1} {2} \) б.\ circ \).
Площадь параллелограмма: Площадь трапеции:\ (A = \ frac {1} {2} h (b_ {1} + b_ {2}) \)
Площадь поверхности и объем прямоугольной / правой призмы: Площадь поверхности и объем цилиндра:\ (SA = 2πrh + 2πr ^ 2 \)
Площадь поверхности и объем пирамиды
\ (V = πr ^ 2 h \)\ (SA = \ frac {1} {2} \ ps + b \)
Площадь поверхности и объем конуса
\ (V = \ frac {1} {3} \ bh \)\ (SA = πrs + πr ^ 2 \)
Площадь поверхности и объем сферы
\ (V = \ frac {1} {3} \ πr ^ 2 \ h \)\ (SA = 4πr ^ 2 \)
Простые проценты :
\ (V = \ frac {4} {3} \ πr ^ 3 \)
(p \ (= \) периметр основания B; \ (π ~ 3.2-4ac}} {2a} \)\ (I = prt \)
среднее :
( I = проценты, p = основная сумма, r = ставка, t = время)означает: \ (\ frac {sum \ of \ the \ data} {of \ data \ entires} \)
режим:значение в списке, которое встречается чаще всего
диапазон:наибольшее значение \ (- \) наименьшее значение
МедианаСреднее значение в списке (которое необходимо отсортировать)
Сумма
Пример: медиана
\ (\ {3,10,9,27,50 \} = 10 \)
Пример: медиана
\ (\ {3,9 , 10,27 \} = \ frac {(9 + 10)} {2} = 9.5 \)среднее \ (× \) (количество терминов)
Среднее\ (\ frac {сумма \ of \ terms} {количество \ of \ terms} \)
Средняя скорость\ (\ frac {total \ distance} {total \ time} \)
Вероятность\ (\ frac {число \ желаемых \ исходов} {число \ из \ всего \ исходов} \)
Перестановка:
Вероятность того, что два разных события A и B произойдут, равна:
P (A и B) = p (A ). a.0 = 1 \)Когда разные порядки одних и тех же элементов учитываются отдельно, возникает проблема перестановки:
Комбинация:
\ (_ {n} p_ {r} = \ frac {n!} {(N-1)!} \)Фундаментальный принцип подсчета, как показано выше, используется каждый раз, когда важен порядок результатов. При выборе объектов из группы, где порядок НЕ важен , мы используем формулу для КОМБИНАЦИЙ:
Шесть триггерных соотношений
Фундаментальный принцип подсчета, как показано выше, используется каждый раз, когда важен порядок результатов.m} = m \ log_ {a} {N} \), где m рационально. (в частности, \ (\ log_ {a} {\ sqrt {N}} = \ frac {1} {2} \ log_ {a} {N} \) )
Связь функций триггера:
Значения общих углов
sin \ ((\ theta) = \ frac {opp.} {Hip.} \) Csc \ ((\ theta) = \ frac {hip.} {Opp} \)
cos \ ((\ theta) = \ frac {adj} {hip.} \) sec \ ((\ theta) = \ frac {hip} {adj} \)
tan (\ (\ theta) = \ frac {opp.} {прил.} \) детская кроватка (\ (\ theta) = \ frac {adj} {opp.} \)Tan \ ((x) = \ frac {sin (x)} {cos (x)} \)
Csc \ ((x) = \ frac {1} {sin (x)} \)
Sec \ (( x) = \ frac {1} {cos (x)} \)
Cot \ ((x) = \ frac {cos (x)} {sin (x)} = \ frac {1} {Tan (x)} \)Лучшие книги
, чтобы сдать экзамен ALEKS Math TestРеза — опытный инструктор по математике и специалист по подготовке к экзаменам, который занимается со студентами с 2008 года.Он помог многим студентам поднять результаты стандартизированных тестов и поступить в колледжи своей мечты. Он работает со студентами индивидуально и в группах, преподает как живые, так и онлайн-курсы математики и математическую часть стандартизированных тестов. Он предлагает индивидуальный индивидуальный план обучения и индивидуальное внимание, которое влияет на то, как ученики относятся к математике.
Относится к «Математическим формулам ALEKS»
.
