Видеоурок как решать систему уравнений: Урок 14. алгебраические системы уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Решение систем линейных уравнений способом подстановки

Вопросы занятия:

·  показать еще один способ решения систем линейных уравнений – способ подстановки.

Материал урока

На прошлом уроке мы с вами говорили о системе линейных уравнений с двумя переменными.

 

Нам уже знаком графический способ решения систем линейных уравнений.

Мы также отмечали, что графический способ чаще всего позволяет находить решения лишь приближённо.

Сегодня на уроке мы познакомимся с ещё одним способом решения систем линейных уравнений с двумя переменными, который называют способом подстановки.

Итак, рассмотрим следующую систему

Заметим, что во втором уравнении системы коэффициент при у равен 1, поэтому мы легко можем выразить переменную у через переменную х.

Далее мы подставим вместо

у в первое уравнение системы это выражение и получим уравнение с одной переменной х.

Решим это уравнение.

Вот так мы с вами решили систему уравнений способом подстановки.

Таким образом, чтобы решить систему уравнений способом подстановки, надо:

1.  выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

2.  подставить вместо этой переменной полученное выражение в другое уравнение системы;

3.  решить получившееся уравнение с одной переменной;

4.  найти соответствующее значение второй переменной.

Ранее мы с вами говорили о равносильных уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют одни и те же корни.

То же самое можно сказать и о системах уравнений.

Определение.

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными

.

Системы, которые не имеют решений, также являются равносильными.

Ну а теперь давайте решим несколько систем рассмотренным выше способом.

Пример.

Пример.

Итоги урока

На этом уроке мы рассмотрели алгоритм решения систем линейных уравнений способом подстановки и научились решать системы этим способом.

Урок-повторение «Методы решения систем уравнений». 9-й класс

Тип урока: урок-повторение.

Класс: 9

Количество часов: 1 час.

Цели:

• Повторить методы решения систем уравнений, одно из которых является уравнение I-й степени, а другое II-й степени.
• Выяснить, сколько решений может иметь такая система.
• Отработка навыков решения систем уравнений.

ХОД УРОКА

I. Постановка цели урока

Учитель: Мы сегодня проведём «урок-повторение», цель которого вспомнить методы решения систем уравнений.
Выясним, сколько решений может иметь такая система.
Разберёмся, от чего зависит решение системы.
А начнем мы наш урок с теоретической разминки. Дома вы решали №1067, где вам предлагалось решить графически системы уравнений и повторить методы решения таких систем. Теперь проверим ваши знания.

II. Теоретическая разминка

Вопросы к учащимся:

1. Что значит: решить систему уравнений?
2. Что является решением системы уравнений?
3. Какие системы называются равносильными?
4. Перечислить методы решения систем линейных уравнений
5. В чём заключается сущность каждого метода?

Учитель:Посмотрите на рисунок. Какие задачи составили бы вы, глядя на этот рисунок?

Учащиеся:

1) Найти абсциссы точек пересечения графиков.
2) Найти координаты точек пересечения параболы с прямой.
3) Решить систему уравнений.
4)Указать, сколько решений имеет система.
5) Определить длину отрезка, отсекаемого параболой от прямой.

Учитель:Итак, среди сформулированных задач вы, наверное, обнаружили те, которые решали, причем не единственным образом. Нашли задачи, методы, решения которых на данный момент совершенно не ясны. Увидели и задачи, которые есть смысл решать, привлекая аналогию. (Это решить систему; найти координаты точек пересечения.) А подойдут ли «старые» методы для решения систем уравнений?

III. Исследовательская работа учащихся (каждый учащийся выполняет самостоятельно)

Учитель:
1. Что из себя представляет система

Учащиеся: 1 – уравнение 2-й степени, 2 – уравнение 1-й степени.

Учитель:Попробуйте решить ее разными способами: (Идет самостоятельная работа в группах – группы составлены по уровню знаний).

1 группа: методом сравнения

2 группа: методом сложения

3 группа: подстановкой

Решение систем проверяется с помощью мультимедиапроектора.

Решение:

Учитель:Сверьте  решение системы с решением системы, полученным графическим способом  (см. рисунок) и сделайте вывод.

2. Учитель:  А сколько же решений может иметь такая система? Решите данную систему своей группы любым способом.

1  группа:

2 группа:

3 группа:

(1-я система имеет бесконечно много решений; 2-я система имеет 1 решение; 3-я система вообще не имеет решений).

Делаем общий вывод: Система может иметь: 0 решений, 1 решение, 2 решения, много решений.

3. Учитель: А сейчас порешаем следующие номера из учебника: № 1056 (б), 1069 (в), 1070

4. Решить красиво систему уравнений:

IV. Домашнее задание № 1056 (в, г),  № 1068 (д, е)

V. Подведение итогов урока

Приложение

Урок «методы решения систем уравнений»

Тест

Групповая работа

Самостоятельное решение системы

Система уравнений с параметром

Самостоятельная работа

Домашнее задание

1. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения

А.

Б. (1;-1), В. (1;1), Г. нет решений.

2. Выберите пару чисел, являющейся решением системы уравнений:

А. (1;6), Б. (6;1), В. (-12;-0,5), Г. нет такой пары.

3. На рисунке изображены парабола и три прямые. Укажите систему уравнений, которая

имеет два решения.

Б.

А.

Г.

В. Все три указанные системы.

4. Пользуясь рисунком, найдите решение системы уравнений

5.

Сколько решений имеет система уравнений:

А. одно Б. два В. три Г. ни одного.

1. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения

А.

Б. (1;-1), В. (1;1), Г. нет решений.

2. Выберите пару чисел, являющейся решением системы уравнений:

А. (1;6), Б. (6;1), В. (-12;-0,5), Г. нет такой пары.

3. На рисунке изображены парабола и три прямые. Укажите систему уравнений, которая

имеет два решения.

Б.

А.

Г.

В. Все три указанные системы.

4. Пользуясь рисунком, найдите решение системы уравнений

Ответ: (-3;0), (-1;2).

5. Сколько решений имеет система уравнений:

А. одно Б. два В. три Г. ни одного.

Решите систему уравнений

1 группа – графическим методом

2 группа – методом алгебраического сложения

3 группа – методом подстановки

Графический метод.

— окружность с центром в начале координат и радиусом 5.

— обратная пропорциональность, графиком является гипербола,

ветви которой расположены в 1 и 3 координатной четверти.

Ответ: (-4;-3), (-3;-4), (3;4), (4;3).

Метод алгебраического сложения

или

Ответ: (-4;-3), (-3;-4), (3;4), (4;3).

Метод подстановки

Вернемся к y :

Ответ: (-4;-3), (-3;-4), (3;4), (4;3).

Решите систему уравнений:

При каких значениях m имеет решение

система уравнений

При каком значении параметра а система

уравнений имеет единственное решение.

Найдите это решение.

Самостоятельная работа

На «3»

I ВАРИАНТ

II ВАРИАНТ

Решите систему уравнений

Решите систему уравнений

1)

1)

2)

2)

На «4» и «5». Выберите 2 понравившиеся вам системы .

II ВАРИАНТ

I ВАРИАНТ

1) Решите систему уравнений

1) Решите систему уравнений

а)

б)

б)

а)

2) При каких значениях b система имеет

одно решение?

2) При каких значениях b система имеет

одно решение?

Домашнее задание

Уровень А

Уровень Б

Решите системы уравнений

Задача – шутка:

В теплом хлеве у бабуси

Жили кролики и гуси.

Бабка странною была

Счет животным так вела:

Выйдет утром за порог

Сосчитает – 300 ног

А потом без лишних слов

Насчитает 100 голов.

И со спокойною душой

Идет снова на покой

Кто ответит поскорей

Сколько было там гусей?

Кто узнает из ребят

Сколько было там крольчат?

а)

а)

б)

б)

в)

в)

Урок по теме: «Методы решения систем уравнений с двумя переменными» | План-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему:

МБОУ «Будницкая ОШ» Велижского района Смоленской области

                             

Конспект урока в 9 классе по теме:

 

«Методы решения систем уравнений с двумя переменными»

 

Учитель математики

 Двоянова Т. В.

Будница, 2016

Цели урока:

Общие:

1. Образовательная: формирование теоретических знаний, специальных умений и навыков.
2. Воспитательная: формирование мировоззрения, убеждений, нравственных привычек, определенных качеств личности (внимание, аккуратность, настойчивость).
3. Развивающая: развитие интеллектуальных умений и способностей (формирование приемов умственной деятельности, сравнение, обобщение, анализ, синтез, умение самостоятельно решать проблемы).

Цели урока по данной теме:

1.  обобщить и закрепить изученный материал по теме «Методы решения систем уравнений с двумя переменными», подготовиться к контрольной работе. Познакомиться с заданиями второй части, предлагаемыми на выпускных экзаменах в 9 классе.
2. Воспитание интереса к предмету путем использования разных форм работы.

ПЛАН УРОКА

1. Постановка цели урока.
2. Актуализация опорных знаний: опрос и устный тест.
3. Групповая работа (решение системы уравнений тремя способами).
4. Самостоятельное решение системы уравнений с последующей проверкой.
5. Фронтальная работа (система уравнений с параметром).
6. Самостоятельная работа.
7. Итог урока и домашнее задание.

---

ХОД УРОКА

Французский писатель Анатоль Франс заметил: «Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Последуем совету писателя, будем на уроке активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они вам скоро пригодятся. Умение решать системы уравнений позволяет существенно расширить класс текстовых задач и перед нами стоит следующая задача: повторить способы решения систем уравнений, проверить свое умение самостоятельно применять полученные знания.

Цель нашего сегодняшнего урока обобщить и закрепить изученный материал. Познакомиться с заданиями, предлагаемыми на выпускных экзаменах в 9 классе. Наша задача не только проверить себя, но и ответить на те вопросы, которые, может, у вас есть по этой теме.

Сегодня у нас повторительно – обобщающий урок по теме «Методы решения систем уравнений». На первом этапе нашего урока мы поработаем устно.

1. Устная работа.

Опрос:

1. Что называется системой уравнений с двумя переменными? (Если поставлена задача найти такие пары значений (x; y), которые одновременно удовлетворяют уравнению  и , то говорят, что указанные уравнения образуют систему уравнений: ).
2. Что называется решением системы уравнений? (Пару значений (x; y), которая одновременно является решением и первого и второго уравнений системы, называют решением системы уравнений).
3. Что значит решить систему? (Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что решений нет).
4. Какие методы решения систему двух уравнений с двумя переменными вам известны? (графический метод, метод сложения, метод подстановки, метод введения новой переменной).

ТЕСТ

1. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

А. ,        Б. (1;-1),               В. (1;1),          Г. нет решений.

2. Выберите пару чисел, являющейся решением системы уравнений:

А. (1;6),         Б. (6;1),             В. (-12;-0,5),          Г. нет такой пары.

3. На рисунке изображены парабола и три прямые. Укажите систему уравнений, которая имеет два решения.

А.                            Б.

Г.                               В. Все три указанные системы.

4. Пользуясь рисунком, найдите решение системы уравнений      

 Ответ: (-3;0), (-1;2).

5. Сколько решений имеет система уравнений:

А. одно          Б. два            В. три            Г. ни одного.

II. Групповая работа.

Решить систему уравнений

1 группа – графически.

 — окружность с центром в начале координат и радиусом 5.

 — обратная пропорциональность, графиком является гипербола, ветви которой расположены в 1 и 3 координатной четверти.

           

Ответ: (-4;-3), (-3;-4), (3;4), (4;3).

2 группа – метод сложения.

       или            

Ответ: (-4;-3), (-3;-4), (3;4), (4;3).

3 группа – метод подстановки.

Вернемся к y:

                                                               

                                               

Ответ: (-4;-3), (-3;-4), (3;4), (4;3).

III. Самостоятельное решение системы уравнений с последующей проверкой.

Данная система уравнений была предложена во второй части экзаменационной работы в прошлом году.

               или            

Ответ:

IV. Фронтальная работа.

1) При каких значениях m имеет решение система уравнений

Все три уравнения системы – это уравнения прямых. Чтобы система имела решение, нужно, чтобы все три прямые пересекались в одной точке. Сначала найдем координаты точки пересечения первых двух прямых, то есть решим систему уравнений:

                       

Ответ: при m = 4.

2) При каком значении параметра а система уравнений имеет единственное решение. Найдите это решение.

Если корни этого уравнения различны, то существует два решения системы уравнений. То есть необходимо, чтобы данное уравнение имело один корень, то есть дискриминант должен равняться нулю. Тогда

                         

Ответ: при .

V. Самостоятельная работа.

На «3»

I ВАРИАНТ	II ВАРИАНТ
Решите систему уравнений 1) 2)	Решите систему уравнений 1) 2)

На «4» и «5». Выберите 2 понравившиеся вам системы.

I ВАРИАНТ	II ВАРИАНТ
1) Решите систему уравнений а) б)   2) При каких значениях b система имеет одно решение?	1) Решите систему уравнений а) б)   2) При каких значениях b система имеет одно решение?

VI. Итог урока и домашнее задание.

Ребята, скажите, чем сегодня мы занимались на уроке, выполнили ли мы с вами его цель?

Каким из методов решения систем уравнений вы будите пользоваться?

Как по 5 бальной системе вы оцените свои знания по данной теме?

Уровень А		Уровень Б
I вариант	II вариант	I вариант	II вариант
а)	а)	а)	а)
б)	б)	б)	б)
в)	в)	в)	в)

Дополнительное задание:

Задача – шутка:

В теплом хлеве у бабуси

Жили кролики и гуси.

Бабка странною была

Счет животным так вела:

Выйдет утром за порог

Сосчитает – 300 ног

А потом без лишних слов

Насчитает 100 голов.

И со спокойною душой

Идет снова на покой

Кто ответит поскорей

Сколько было там гусей?

Кто узнает из ребят

Сколько было там крольчат?

Системы уравнений, урок по алгебре в 11 классе, презентация

Дата публикации: 10 апреля 2017.

Темой сегодняшнего занятия будут системы уравнений. В курсе алгебры мы с вами научились решать многие системы уравнений с двумя переменными.

Мы знаем несколько методов решений систем уравнений:

• метод подстановки,
• метод сложения,
• метод введения новых переменных,
• графический метод.

Нам осталось ввести некоторые обобщения и уточнения.

Определение. Если поставлена задача: найти такую пару чисел $(х;y)$, причем эти числа удовлетворяют каждому уравнению $p(x;y)=0$ и $u(x;y)=0$, то эти уравнения образуют систему уравнений: $\begin {cases} p(x;y)=0, \\ u(x;y)=0. \end {cases}$.

Пара чисел $(x; y)$, удовлетворяющая каждому уравнению системы, называется решением системы уравнений. Решить систему уравнений – найти все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие данной системе.
При решении систем уравнений мы руководствуемся теми же принципами, что и при решении обычных уравнений. Постепенно переходим к более простым уравнениям, выполняя равносильные преобразования. К уравнениям следствиям мы также можем переходить, но не стоит забывать, что в этом случае мы должны проверить все полученные корни.

Определение. Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или если решений нет у каждой из систем.

Равносильными являются методы:
1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.
3. Метод введения новой переменой.
Используя эти методы, мы заменяем исходную систему уравнений равносильной системой, как правило, получившуюся систему решить гораздо проще.

Методы, приводящие к уравнениям следствиям:
1.2+bx+c$, проходящей через точки: $А(-1;6)$; $B(2;9)$; $C(1;2)$.
4. Сумма цифр задуманного трехзначного числа равна 10, а сумма квадратов его цифр равна 38. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.

Открытый урок «Графический способ решения систем уравнений»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Поповская средняя общеобразовательная школа

имени Героя Советского Союза Н.К. Горбанева

 

Открытый урок

учителя математики

Ворониной Веры Владимировны,

высшая квалификационная категория

по математике в 9 классе

по теме: «Графический способ решения систем уравнений»

Тип урока: урок изучения нового материала.

Це

2017/2018 учебный год

 

Графический способ решения систем уравнений. 9-й класс

Воронина Вера Владимировна, учитель математики.

 

ли урока:

дидактические:

открыть совместно с учащимися новый способ решения систем уравнений;

вывести алгоритм решения систем уравнений графическим способом;

уметь определять сколько решений имеет система уравнений;

учить находить решения системы уравнений графическим способом;

повторить построение графиков элементарных функций;

создать условия для контроля (самоконтроля) учащихся:

воспитательные:

воспитание ответственного отношения к труду,

аккуратности ведения записей.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Повторение. (Приложение 1)

Что такое функция? (слайд 3-11)

Что называется графиком функции?

Какие виды функций вы знаете?

Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?

Какой формулой задается прямая пропорциональность? Что является ее графиком?

Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является ее графиком?

Какой формулой задается квадратичная функция? Что является ее графиком?

Каким уравнением задается уравнение окружности?

Что называют графиком уравнения с двумя переменными; (слайд 12)

Организуется знакомство с уравнениями, используемыми в высшей математике и их графиками (строфоидой, Лемнискатой Бернулли, астроидой, кардиоидой). (слайд 13-16)

Рассказ учителя сопровождается показом слайдов с данными графиками.

Выразите переменную у через переменную х:
а) у – х² = 0
б) х + у + 2 = 0
в) 2х – у + 3 = 0
г) ху = -12

Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
а) х² +у = 1;
б) ху + 3 = х;
в) у(х +2) = 0.

Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Какая из пар чисел является решением системы уравнений  
а) (6; 3)
б) (- 3; — 6)
в) (2; — 1)
г) (3; 0)

Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (2; 1)
а) 2х – у = 3
б) 3х – 2у = 5
в) х² + у² = 4
г) ху = 2

III. Актуализация знаний учащихся по изученному материалу. (слайд 20, 21)

Сегодня мы повторим и закрепим один из способов решения систем уравнений. Закрепление изученного материала осуществляется с помощью наглядного восприятия (на слайде представлено графическое решение системы уравнений):

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя неизвестными весьма разнообразны.

Вопросы по данному слайду:

Что является графиком уравнения x² + y²=25?

Что является графиком уравнения y = — x² +2x +5?

Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x² + y²=25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = — x² +2x +5.

Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?

Сколько точек пересечения у данных графиков?

Сколько решений имеет данная система?

Назвать эти решения?

Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?

Предлагается слайд, на котором приведен алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.

IV. Применение изученного способа решения систем уравнений.

1. Решить графически систему уравнений (слайд 23)

Постановка наводящих вопросов:

Что является графиком уравнения ху = 3?

Что является графиком уравнения 3х – у =0?

Сколько точек пересечения имеют данные графики?

Сколько решений имеет данная система уравнений?

Назвать решения данной системы уравнений?

2. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение. (слайд 24)

Постановка наводящих вопросов:

Запишите систему, определяемую данными уравнениями?

Сколько точек пересечения имеют данные графики?

Сколько решений имеет данная система уравнений?

Назвать решения данной системы уравнений?

3. Выполнение задание из ГИА (слайд 25).

4. Решить графически систему уравнений (слайд 26)

а)  б) 

Задание выполняется учащимися в тетрадях. Решение проверяется.

5. Тест. (Приложение 2)

V. Итоги урока.

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

С каким способом решения систем уравнений с двумя переменными вы познакомились?

В чём его суть?

Дает ли данный способ точные результаты?

В каком случае система уравнений не будет иметь решений?

VI . Домашнее задание.

П. 18, №№ 420 (237), 425 (240)

Внеклассный урок — Система уравнений второй степени. Способы решения. Системы уравнений второй степени.

Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

 

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

1) в уравнении первой степени одну переменную выражают через другую; 2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, благодаря чему получается уравнение с одной переменной; 3) решают получившееся уравнение с одной переменной; 4) находят соответствующие значения второй переменной.

 

Пример: Решим систему уравнений

│x² – 3xy – 2y² = 2

│x + 2y = 1

 

Решение:

Следуем правилу:

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В  ней выражаем переменную x через y:

x = 1 – 2y

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

(1 – 2y)² – 3(1 – 2y)y – 2y² = 2.

Раскрываем скобки и упрощаем:

8y² – 7y + 1 = 2.

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

8y² – 7y + 1 – 2 = 0

8y² – 7y – 1 = 0.

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

y₁ = – 0,125

y₂ = 1.

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
    х – 0,25 = 1
    х = 1 + 0,25
    х₁ = 1,25.

2) х + 2 · 1 = 1
    х + 2 =1
    х = 1 – 2
    х₂ = –1.

Ответ:

x₁ = 1,25,   y₁ = – 0,125
x₂ = –1,      y₂ = 1.

 

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример: Решим систему уравнений

│x² – 9y² – x + 3y = 0
│x² – xy + y = 7

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

x² – 9y² – x + 3y = (x – 3y)(x + 3y) – (x – 3y) = (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y) = (x – 3y)(x + 3y – 1).

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

│(x – 3y)(x + 3y – 1) = 0
│x² – xy + y = 7

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

│x – 3y = 0
│x² – xy + y = 7

и

│x + 3y – 1 = 0
│x² – xy + y = 7

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

х = 3у.

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

(3у)² – 3у · у + у = 7,

9у² – 3у² + у = 7,

6у² + у = 7,

6у² + у – 7 = 0

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

                            7
у₁ = 1,    у₂ = – ——.
                           6

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

1) х – 3 · 1 = 0,

    х₁ = 3.

                      7
2) х – 3 · (– ——) = 0,
                      6

             7
    х + —— = 0,
             2

                 7
    х₂ = – ——
                 2

Итак, у нас есть первые ответы:

х₁ = 3,    у₁ = 1;

              7                     7
х₂ = – ——,   у₂ = – ——.
             2                     6

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

х₃ = –2,   у₃ = 1.

х₄ = –2,5,   у₄ = – 0,5.

Таким образом, исходная система уравнений решена.

Ответ:

       1          1
(–3 — ; –1 — ),  (3; 1),  (2,5; –0,5),  (–2; 1).
       2          6

 

2. Решение способом сложения.

Пример 2: Решим систему уравнений

│2x² + 3y = xy
│x² – y = 3xy

Решение.

Второе уравнение умножим на 3:

3x² – 3y = 9xy

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

2x² + 3y + 3x² – 3y = xy + 9xy

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

5x² = 10xy

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

x² = 2xy

Приравняем уравнение к нулю:

x² – 2xy = 0

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

│x = 0
│x² – y = 3xy

и

│x = 2y
│x² – y = 3xy

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Пример решен.

 

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример. Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у² + х = 29

Решение.

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

х = 9 – у.

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у² + 9 – у = 29
у² – у – 20 = 0

D = b² – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

√D = 9

         –b + √D          1 + 9
у₁ = ————  =  ——— = 5
             2a                  2

         –b – √D          1 – 9
у₂ = ————  =  ——— = –4
             2a                  2

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
    х = 9 – 5
    х₁ = 4

2) х – 4 = 9
    х = 9 + 4
    х₂ = 13

Ответ: (4; 5), (13; –4).

 

Решение систем уравнений методом исключения — концепция

Система уравнений — это два или более уравнений, содержащих одни и те же переменные. Решение систем уравнений методом исключения — это один из способов найти точку, которая является решением обоих (или всех) исходных уравнений. Помимо решения систем уравнений методом исключения, другие методы поиска решения систем уравнений включают построение графиков, замену и матрицы.

К этому моменту вашей математической карьеры вы, ребята, действительно хорошо умеете решать одно уравнение с одной переменной. Однако система уравнений состоит из двух уравнений и двух переменных. Итак, вы хотите как-то сжать их, чтобы вместо двух уравнений у вас было только одно уравнение. Один из способов сделать это — использовать так называемое устранение.
Если у меня есть два уравнения с двумя переменными, я буду искать коэффициенты, которые являются аддитивными обратными.Помните, что аддитивные инверсии означают, что два числа в сумме дают 0, например 2 и -2 или 1,5 и -1,5. Они должны иметь положительный знак и отрицательный знак, но все равно быть одним и тем же числом. Поэтому, если у меня есть два аддитивных обратных коэффициента, я могу добавить уравнения по вертикали, и одна из моих переменных будет удалена.
Я собираюсь показать вам одну проблему, с которой начнется, чтобы вы поняли, что я имею в виду. Я просто придумываю 3x + 4y = 10, я только что придумал и 2x-4y = 14, я не знаю. Скажем так, это была система уравнений, и меня попросили решить ее методом исключения.Если я посмотрю, коэффициенты для y +4 и -4 называются аддитивными, и они в сумме дают 0. Если я сложу эти уравнения по вертикали 5x, у меня будет 0y, 5x = 24. Это одно уравнение с одной переменной, которое я могу очень легко решить и пройти, чтобы найти решение моей системы уравнений.
Итак, вы, ребята, когда вам задают проблему и просят использовать исключение, вы хотите искать аддитивные инверсии. Иногда вам нужно проделать какое-нибудь умное умножение, позвольте мне показать, что я имею в виду. Скажем так, вместо +4 и -4 у меня было что-то другое.Давайте посмотрим 3x + 4y = 10. Скажем, у меня было 3x, нет, я просто выдумываю это, так что вы должны помочь мне вторым, ребята. Допустим, у меня было 2x-2y = 5 или что-то в этом роде, у меня нет аддитивных инверсий, ничего, что я мог бы сложить вместе, чтобы компенсировать переменную. Однако я мог бы умножить второе уравнение на 2, и вот почему это хорошая идея. Если я умножу все эти коэффициенты на 2, то получится 4, это станет -4, станет 10, и теперь мои коэффициенты при y являются аддитивными обратными.Это нормальный математический процесс. Мне разрешено умножать на 2, если я умножаю каждый член в уравнении на 2.
Итак, я собираюсь оставить вас, ребята, с идеей, что для использования исключения вы ищете коэффициенты, которые являются аддитивными инверсиями, а затем, используя их, вы можете складывать свои уравнения по вертикали, чтобы получить одну букву и одно уравнение.

Метод исключения для решения линейных систем (Алгебра 1, Системы линейных уравнений и неравенств) — Mathplanet

Другой способ решения линейной системы — использовать метод исключения.В методе исключения вы либо складываете, либо вычитаете уравнения, чтобы получить уравнение с одной переменной.

Когда коэффициенты одной переменной противоположны, вы добавляете уравнения, чтобы исключить переменную, а когда коэффициенты одной переменной равны, вы вычитаете уравнения, чтобы исключить переменную.

---

Пример

$$ \ begin {matrix} 3y + 2x = 6 \\ 5y-2x = 10 \ end {matrix} $$

Мы можем исключить переменную x, добавив два уравнения.

$$ 3y + 2x = 6 $$

$$ \ underline {+ \: 5y-2x = 10} $$

$$ = 8лет \: \: \: \: \; \; \; \; = 16 $$

$$ \ begin {matrix} \: \: \: y \: \: \: \: \: \; \; \; \; \; = 2 \ end {matrix} $$

Значение y теперь можно подставить в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение x

$$ 3y + 2x = 6 $$

$$ 3 \ cdot {\ color {зеленый} 2} + 2x = 6 $$

$$ 6 + 2x = 6 $$

$$ x = 0 $$

Решение линейной системы есть (0, 2).

Чтобы избежать ошибок, перед началом исключения убедитесь, что все одинаковые термины и знаки равенства находятся в одних и тех же столбцах.

Если у вас нет уравнений, в которых вы можете исключить переменную путем сложения или вычитания, вы можете напрямую начать с умножения одного или обоих уравнений на константу, чтобы получить эквивалентную линейную систему, в которой вы можете исключить одну из переменных путем сложения. или вычитание.

Пример

$$ \ begin {matrix} 3x + y = 9 \\ 5x + 4y = 22 \ end {matrix} $$

Начните с умножения первого уравнения на -4 так, чтобы коэффициенты y были противоположны

$$ \ color {зеленый} {-4 \} \ cdot \ left (3x + y \ right) = 9 \ cdot {\ color {green} {-4} $$

$$ 5x + 4y = 22 $$

$$ — 12x-4y = -36 $$

$$ \ underline {+ 5x + 4y = 22} $$

$$ = — 7x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = -14 $$

$$ \ begin {matrix} \: \: \; \: \: x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 2 \ end {matrix} $$

Подставьте x в любое из исходных уравнений, чтобы получить значение y

$$ 3x + y = 9 $$

$$ 3 \ cdot {\ color {зеленый} 2} + y = 9 $$

$$ 6 + y = 9 $$

$$ y = 3 $$

Решение линейной системы: (2, 3)

---

Видеоурок

Решите линейную систему методом исключения

$$ \ left \ {\ begin {matrix} 2y — 4x = 2 \\ y = -x + 4 \ end {matrix} \ right $$

MATH 1050 — Видеоуроки

Уроки	Учебное пособие	Видео	Печать (PDF)
1.1	Система вещественных чисел	Видео лекции	Конспект лекций
		Hawkes Видео 1
		Hawkes Видео 2
		Пример видео 1	Печать
		Пример видео 2	Печать
1.2	Показатели и радикалы	Видео лекции	Конспект лекций
		Hawkes Видео 1
		Hawkes Видео 2
		Hawkes Видео 3
		Hawkes Видео 4
		Пример видео 1	Печать
		Пример видео 2	Печать
		Пример видео 3	Печать
1.3, 1,4	Полиномы и факторинг	Видео лекции	Конспект лекций
		Hawkes Видео 1
		Пример видео 1	Печать
		Пример видео 2	Печать
1.5	Комплексная система счисления	Видео лекции	Конспект лекций
		Hawkes Видео 1
		Пример 1 Видео	Печать
		Пример 2 Видео	Печать
1.6	Линейные уравнения	Видео лекции	Конспект лекций
		Hawkes Видео 1
		Hawkes Видео 2
	Расстояние = Скорость x Время	Пример 1 Видео	Печать
	Walkathon	Пример 2 Видео	Печать
		Пример 3 Видео	Печать
1.7	Линейные неравенства	Видео лекции	Конспект лекций
		Hawkes Видео 1
	Устранение неравенств	Пример 1 Видео	Печать
		Пример 2 Видео	Печать
		Пример 3 Видео	Печать
1.8	Квадратичные уравнения	Видео лекции	Конспект лекций
		Hawkes Видео 1
		Hawkes Видео 2
	Квадратичная формула	Пример 1 Видео	Печать
	Проблемы с падающим телом	Пример 2 Видео	Печать
		Пример 3 Видео	Печать
		Пример 4 Видео	Печать
		Пример 5 Видео	Печать
1.9	Рациональные уравнения	Видео лекции	Конспект лекций
		Hawkes Видео 1
		Hawkes Видео 2
		Пример 1 Видео	Печать
		Пример 2 Видео	Печать
		Пример 3 Видео	Печать
		Пример 4 Видео	Печать
	Упростить радикал	Пример 1 Видео	Печать
2.1	Декартова система координат	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Видео 1
	Периметр и площадь треугольника	Пример 1 Видео	Печать
2.3	Линейные уравнения с двумя переменными	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video 1
2,4	Формы линейных уравнений	Видео лекции	Банкноты
	Наклон и уравнение прямой	Пример 1 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
2.5	Параллельные и перпендикулярные линии	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video 1
2,6	Линейные неравенства двух переменных	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video 1
2.2	Введение в круги	Видео лекции	Банкноты
	Центр и радиус окружности	Пример 1 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
3.1	Взаимосвязи и функции	Видео лекции	Банкноты
	Обозначение функций и домен	Пример 1 Видео	Печать
	Полиномиальная функция	Пример 2 Видео	Печать
		Hawkes Видео 1
3.2, 3,3	Линейные и квадратичные функции	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Видео 1
		Hawkes Видео 2
	Демонстрационная онлайн-версия Grapher	Видео
	График функции: перехватывает	Пример 1 Видео	Печать
	Проблема с коробкой: максимальный объем	Пример 2 Видео	Печать
	График 1	Пример 3 Видео	Печать
	График 2	Пример 4 Видео	Печать
	Квадратичная формула	Пример 5 Видео	Печать
3.4	Другие общие функции	Видео лекции	Банкноты
	Максимальные и минимальные значения функции	Пример 1 Видео	Печать
	Максимальный доход	Пример 2 Видео	Печать
		Hawkes Видео 1
4.1, 4,2	Преобразования функций	Видео лекции Видео лекции	Банкноты 1 Банкноты 2
	Функции увеличения и уменьшения	Видео	Печать
	Рациональные нули	Пример 1 Видео	Печать
		Hawkes Видео 1
4.3	Комбинирование функций	Видео лекции	Банкноты
	Состав функций	Пример 1 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
4.4	Обратные функции	Видео лекции	Банкноты
	Нахождение обратной функции	Пример 1 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
5.1	Полиномиальные уравнения и графики	Видео лекции	Банкноты
	Асимптоты и пересечения	Пример 1 Видео	Печать
		Пример 2 Видео	Печать
		Пример 3 Видео	Печать
		Hawkes Видео 1
5.2	Полиномиальное деление	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video 1
5,3	Поиск нулей многочленов	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video1
5.4	Основная теорема алгебры	Видео лекции	Банкноты
	Найди нули	Пример 1 Видео	Печать
	Приблизительно наибольшее значение нуля	Пример 2 Видео	Печать
	Факторная теорема и основная теорема	Пример 3 Видео	Печать
	Использование факторной теоремы	Пример 4 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
5.5	Рациональные функции Неравенства	Видео лекции Видео лекции	Банкноты 1 Банкноты 2
	Полиномиальное деление	Пример 1 Видео	Печать
	Подразделение синтетических материалов	Пример 2 Видео	Печать
	Соответствие графику	Пример 3 Видео	Печать
	Решить неравенство: факторизованный многочлен	Пример 4 Видео	Печать
	Устранение неравенства	Пример 5 Видео
		Пример 6 Видео	Печать
		Hawkes Видео 1
		Hawkes Видео 2
6.1	Экспоненциальные функции и графики	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video 1
6,2	Приложения экспоненциальных функций	Видео лекции	Банкноты
	Экспоненциальный рост, бактерии	Пример 1 Видео	Печать
	Экспоненциальный рост, деньги	Пример 2 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
6.3	Логарифмические функции и графики	Видео лекции	Банкноты
	Обратная экспоненциальная функция	Пример 1 Видео	Печать
	Обратная логарифмическая функция	Пример 2 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
6.4	Свойства и применение логарифмов	Видео лекции	Банкноты
	Свойства логарифмов	Пример 1 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
6.5	Экспоненциальные и логарифмические уравнения	Видео лекции	Банкноты
	Решение уравнений: экспоненты	Пример 1 Видео	Печать
	Решение уравнений: логарифмы	Пример 2 Видео	Печать
		Hawkes Video 1
11.1	Решение систем уравнений	Видео лекции	Банкноты
		Hawkes Video 1
11,2	Матричная запись и исключение Гаусса	Видео лекции	Банкноты
	Система уравнений 1	Пример 1 Видео	Печать
	Система уравнений 2	Пример 2 Видео	Печать
	Уравнение параболы	Пример 3 Видео	Печать
		Hawkes Видео 2
	Нелинейные системы уравнений	Видео лекции	Банкноты
	Система уравнений 3	Пример 1 Видео	Печать
	Размеры прямоугольника	Пример 2 Видео	Печать
	Площадь прямоугольника	Пример 3 Видео	Печать
		Hawkes Video 1

Ярлык для решения математических вопросов по системе уравнений в новом SAT

Инструктор SAT Дэн М.показывает вам быстрый метод решения системы математических уравнений qs на New SAT.

РАСШИФРОВКА:

Привет, ребята. Дэн здесь из Prepped and Polished. Спасибо, что присоединились к нам сегодня. Итак, в новом разделе SAT по математике вы увидите несколько систем вопросов с уравнениями, которые можно решить разными способами. Один из способов, которым вы, вероятно, учились в школе, очень длинный, но мы собираемся поработать над коротким путем, чтобы сэкономить ваше время на SAT.

Хорошо, ребята. Итак, вот вопрос из новой математики SAT. Он будет в одном из разделов без калькулятора. Итак, что у нас есть, это дает нам эти две системы уравнений и говорит, если (x, y) является решением системы уравнений выше, что такое x минус y, и дает нам четыре варианта выбора. Таким образом, многие студенты либо начнут с попытки найти одну из переменных в одной из них и вставить ее здесь, либо они могут даже начать с попытки вычесть это уравнение из верхнего уравнения, но они столкнутся с некоторыми проблемы там со знаками.Они никогда не поймут правильные знаки, потому что помните, мы не просто ищем x или y. Нам нужно x минус y. Так что мы действительно хотим получить это, отделенное от всего себя.

Хорошо. Итак, ребята, мы всегда можем решить эти проблемы, изолировав переменную, подключив ее обратно, но это займет много времени, хорошо? Так что помните, что на вашем SAT, вероятно, будет какой-то ярлык, особенно если это один из тех вопросов, которые вы задаете в начале раздела. Поэтому всегда ищите способ сделать что-то немного проще, немного быстрее, потому что он, вероятно, уже есть.

Итак, вместо того, чтобы изолировать переменные, мы могли бы их вычесть, но мы столкнулись с некоторыми проблемами со знаками. Итак, если бы я сделал все это, мы бы увидели, что существует проблема со знаком, и мы никогда не получим наш x минус y. Поэтому, даже если раньше вы их вычитали, иногда имеет смысл просто сложить их вместе. Теперь я собираюсь сложить эти два уравнения вместе и посмотреть, что мы получим. Итак, 2x плюс 3x — это 5x, а отрицательный 3y плюс отрицательный 2y — это отрицательный 5y.

И, конечно, с этой стороны отрицательное 14 плюс отрицательное 6 — отрицательное 20.Так что сразу вы должны увидеть, что мы на правильном пути. У нас есть минус с x и y, и сразу же должен загореться колокольчик, 5, 5, 20, все они делятся на 5. Так что давайте избавимся от этого. Итак, если мы разделим каждый из этих членов на 5, мы получим здесь только x, минус y здесь, а отрицательные 20 из 5, конечно, будут отрицательными 4, и все готово. Таким образом, вы можете видеть, что x минус y равно отрицательному 4. Мы закончили, потому что это именно то, что мы ищем. Всегда проверяйте, что вы ищете.Некоторые люди понимают это и начинают решать относительно x. Не обязательно.

У нас уже есть наш ответ, это C, и мы можем его обвести. Так что не забывайте всегда искать эти ярлыки. Так что помните, ребята, когда вы видите свои системы уравнений на тесте SAT, постарайтесь что-нибудь упростить. Вы всегда можете найти переменную и снова подключить ее. Не делайте этого. Это занимает слишком много времени. Попробуйте прибавить или вычесть каким-либо образом, чтобы упростить эти уравнения и получить то, что вы ищете.

Хорошо, ребята. Что ж, спасибо, что присоединились к нам сегодня. Надеюсь, здесь вам помогут маленькие инструкции. Если вам когда-нибудь понадобится репетиторство или вам нужны справочные вопросы, зайдите на preppedandpolished.com. А в остальном удачи в тесте.

Что стало для вас самым большим выводом из этого видеоурока о быстрых клавишах для решения математических вопросов по системе уравнений на новом SAT? У вас есть вопросы к Дэну и Алексис Авила?

Оставьте свои комментарии ниже:

Подпишитесь на наш блог
Станьте поклонником на Facebook
Следуйте за нами в Twitter

Промежуточная алгебра Урок 7: Линейные уравнения в одной переменной WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня Цели обучения После изучения этого руководства вы сможете: Знайте, что такое линейное уравнение. Знайте, является ли значение решением или нет. Используйте свойства сложения, вычитания, умножения и деления равенств для решения линейных уравнений. Знайте, когда уравнение не имеет решения. Знайте, когда уравнение имеет все действительные числа в качестве решения. Введение Здесь мы начинаем вникать в суть того, что алгебра о — решение уравнений.В этом уроке мы будем искать конкретно при линейных уравнениях и их решениях. Мы начнем медленно и решать уравнения, использующие только одно свойство, чтобы убедиться, что у вас есть физическое лицо понятий вниз. Тогда мы наберем темп и смешаем их там, где вам нужно использовать несколько свойств и шагов, чтобы выполнить работу. Уравнения могут быть использованы для решения различных проблемы. Позже учебные пособия, мы будем использовать их для решения текстовых задач.Затем ты может ответить на эти сложные математические вопросы. Учебник Уравнение Два выражения равны друг другу Линейное уравнение Уравнение, которое можно записать в виде ax + b = c где a, b и c — константы Ниже приведен пример линейного уравнения: 3 x — 4 = 5 Решение Значение, такое, что при замене переменной на it, это делает уравнение верно. (левая сторона выходит равной правой) Набор решений Набор всех решений Пример 1 : Определите, являются ли какие-либо из следующих значений для x решения к данному уравнению. 3 x — 4 знак равно 5; x = 3, 5. Проверка 3 3 x — 4 = 5 3 (3) — 4 = 5 9–4 = 5 5 = 5 Истинно 3 это решение Проверка 5 3 x — 4 = 5 3 (5) — 4 = 5 15–4 = 5 11 = 5 Ложь 5 не решение Решение линейного уравнения в целом Получите переменную, которую вы решаете, в одиночку с одной стороны и все else на другой стороне, используя ОБРАТНЫЕ операции. Следующее даст нам инструменты, которые нам нужны для решать линейные уравнения. Сложение и вычитание Свойства равенства Если a = b, то a + c = b + c Если a = b, то a — c = b — c Другими словами, если два выражения равны каждому другой и ты прибавлять или вычитать одно и то же к обеим сторонам, обе стороны будут оставаться равными. Обратите внимание, что сложение и вычитание являются обратными операции каждого Другой. Например, если у вас есть добавляемый номер, вам нужно перейти к другой стороне уравнения, тогда вы бы вычесть это с обеих сторон этого уравнения. Пример 2 : Найдите переменную. x — 5 = 2. x — 5 = 2 x — 5 + 5 = 2 + 5 x = 7 * Обратное от sub. 5 — доп. 5 Обратите внимание, что если вы вернете 7 для x дюймов исходной проблемы вы увидите, что 7 является решением нашей проблема. Пример 3 : Найдите переменную. y + 4 = -7. y + 4 = -7 y + 4-4 = -7-4 y = -11 * Инверсия доп.4 является суб. 4 Обратите внимание, что если вы вернете -11 для y в исходной задаче, вы увидите, что -11 — это решение, которое мы являются ищу . Умножение и деление Свойства равенства Если a = b, то a (c) = b (c) Если a = b, то a / c = b / c, где c — не равно 0. Другими словами, , если два выражения равны друг друга и ты умножить или разделить (кроме 0) одну и ту же константу на оба стороны, обе стороны останутся равными. Обратите внимание, что умножение и деление являются обратными операции каждого Другой.Например, если у вас есть число, которое умножается что вам нужно перейти к другой стороне уравнения, тогда вы бы разделите его с обеих сторон этого уравнения. Обратите внимание, что для умножения и деления это не гарантировал, что если вы умножаете на переменную, которую вы решаете, чтобы две стороны будет равным. Но гарантировано, что обе стороны пойдут быть равным, если вы умножаете или делите на константу или другое переменная, для которой вы не решаете.Мы поговорим подробнее о это в более позднем руководстве. Для этого урока просто обратите внимание, что вы можете использовать это свойство с константами и переменными, для которых вы не ищите. Пример 4 : Найдите переменную. x /2 = 5. * Обратно дел.на 2 это мульт. по 2 Если вы вернете 10 для x дюймов оригинал проблема, вы увидите, что 10 — это решение, которое мы ищем. Пример 5 : Найдите переменную.5 x = 7. * инверсия мульт. на 5 дел. по 5 Если вы вставите 7/5 обратно для x в оригинале проблема, вы увидите, что 7/5 — это решение, которое мы ищем. В приведенных выше примерах использовались только одно свойство за раз, чтобы помочь вам понять различные свойства, которые мы используем к решать уравнения.Однако в большинстве случаев нам приходится использовать несколько характеристики чтобы выполнить свою работу. Ниже приводится стратегия, которую вы можете использовать. чтобы помочь вам решить более сложные линейные уравнения. Стратегия решения линейного Уравнение Обратите внимание, что ваш учитель или книга ты использование, возможно, сформулировало эти шаги немного иначе, чем я, но Это все сводится к одной и той же концепции — включите свою переменную один сторона и все остальное с другой, используя обратные операции. Шаг 1. При необходимости упростите каждую сторону. Это может включать в себя такие вещи, как удаление (), удаление дробей, добавление как термины и т. д. Чтобы удалить (): Просто используйте дистрибутив свойство, найденное в Уроке 5: Свойства действительных чисел. Для удаления дробей : Поскольку дроби другой способ написать деление, а обратное деление — умножение, вы удаляете фракции умножив обе части на ЖК-дисплей всех ваших дробей. Шаг 2: Используйте Добавить./ Sub. Свойства для переместить переменную срок в одну сторону и все остальные условия в другую сторону. Шаг 3: Используйте Mult./Div. Свойства для удалить любые значения которые находятся перед переменной. Шаг 4. Проверьте свой ответ. Я считаю, что это самый быстрый и Самый простой способ приблизиться к линейным уравнениям. Пример 6 : Найдите переменную. 10 — 3 x = 7. * Инверсия доп. 10 является суб. 10 * инверсия мульт.на -3 — это div. по -3 Будьте осторожны, начиная со строки 4 к строке 5. Да, есть отрицательный знак. Но операция между -3 и x — это умножение, а не вычитание. Итак, если бы вы добавлять 3 в обе стороны, вы получите -3 x + 3 вместо желаемых x . Если вы вернете 1 вместо x в исходной задаче, вы увидим, что 1 это решение, которое мы ищем. Пример 7 : Найдите переменную. 2 ( x + 5) — 7 = 3 ( x — 2). * Удалить () с помощью dist.опора * Получить все условия x с одной стороны * Инверсия доп. 3 является суб. 3 * инверсия мульт. на -1 — это div. по -1 Если вы вернете 9 вместо x в исходной задаче, вы увидим, что 9 — это решение, которое мы ищем. Пример 8 : Найдите переменную:. * Чтобы избавиться от дроби, мультип. с обеих сторон ЖК-дисплеем 4 * Получить все термины x на одной стороне * Инверсия доп.2 является суб. 2 * инверсия мульт. на -3 — это div. по -3 Если вы вернете 4/3 вместо x в исходной задаче вы увидите, что 4/3 это решение, которое мы ищем. Противоречие Противоречие — это уравнение с одной переменной, которая не имеет решения. Пример 9 : Найдите переменную. 4 x — 1 = 4 ( x + 3). * Удалить () с помощью dist. опора * Получить все термины x на одной стороне Куда делась наша переменная x, ??? Он исчез на нас.Также обратите внимание, как мы получили ЛОЖЬ утверждение, -1 не равно 12. Это не означает, что x = 12 или x = -1. Когда ваша переменная падает из И вы закончите с ложным утверждением, то после всей вашей тяжелой работы есть НЕТ РЕШЕНИЕ. Итак, ответ — нет решения. Личность Тождество — это уравнение с одной переменной который имеет все действительные числа как решение. Пример 10 : Найдите переменную. 5 x + 10 = 5 ( x + 2). * Удалить () с помощью dist. опора * Получить все термины x на одной стороне На этот раз, когда наша переменная выпал, мы закончил с ИСТИННЫМ заявлением.Когда бы это ни случилось, твой ответ ВСЕ РЕАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. Итак, ответ — все действительные числа . Практические задачи Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Математика работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшим спортсменам и музыкантам помогали на протяжении всего пути. практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики. Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа. Практика Задачи 1a — 1e: Решите для переменной. Нужна дополнительная помощь по этим темам? Последний раз редактировал Ким Сьюард 1 июля 2011 г. Авторские права на все содержимое (C) 2002 — 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Как решить систему уравнений с помощью построения графиков — видео и стенограмма урока

Построение первой линии

Чтобы использовать метод построения графиков, ваши уравнения должны быть в форме пересечения наклона, чтобы их можно было легко построить. Напомним, что форма пересечения наклона: y = m x + b , где m — это ваш наклон, а b — это ваше y -пересечение.Пересечение и говорит вам, где линия пересекает ось и , а м говорит вам, каков ваш уклон. После построения графика пересечения y вы используете наклон для определения угла линии.

Глядя на свои уравнения, вы видите, что они уже представлены в форме пересечения наклона. В противном случае вам нужно было бы манипулировать уравнениями, чтобы преобразовать их в форму пересечения наклона. Поскольку уравнения готовы к использованию, вы можете построить график первой линии: y = 3 x — 1.Перехват y равен -1, поэтому вы строите точку в (0, -1). Теперь наклон равен 3, поэтому, чтобы найти следующую точку от точки пересечения и , вы поднимаетесь на три и правее. Это приведет вас к точке (1, 2). Теперь вы соедините эти две точки и проведете линию. Вы продлеваете линию через свой график. Вы закончили рисовать первую линию.

Поиск решения

Чтобы найти решение, вы переходите к графическому изображению остальных ваших уравнений.У вас есть еще одно уравнение, поэтому вы переходите к его графику. Перехват y равен 0, поэтому вы наносите точку в (0, 0). Наклон равен 2, так что ваша следующая точка находится на два деления выше и на одно правее пересечения и . Следующая точка — (1, 2). Вы соединяете эти две точки и проводите линию.

Ваше решение легко заметить по пересечению ваших линий. У вас есть только две линии, поэтому ваше решение — это точка, где эти две линии встречаются.Вы видите, где две ваши линии встречаются или пересекаются? Да, они пересекаются в точке (1, 2). Это ваше решение. Вы можете указать (1, 2) в качестве ответа или сказать, что ваш ответ: x = 1 и y = 2.

Все ваши уравнения должны пересекаться в одной и той же точке, чтобы ваша проблема имела решение. Если ваши линии не пересекаются, значит, у вас проблема, которая не решаема и не имеет решения.Параллельные линии, например, никогда не пересекаются и, следовательно, не имеют решения.

Пример

Давайте посмотрим на другой пример:

y = 3x — 1

y — 3x = -4

Глядя на ваши два уравнения, вы видите, что второе уравнение необходимо заменить на наклонно-перехватывающая форма. Вы можете изменить его на эту форму, добавив 3 x с обеих сторон. Вы получите это:

y — 3x + 3x = -4 + 3x

y = 3x — 4

Теперь ваши два уравнения: y = 3 x — 1 и y = 3. х — 4.Вы продолжаете и наносите эти две линии на свой график. Вы получите это:

Как интересно. Ваши две линии не пересекаются. Что это значит? Это означает, что ваши линии параллельны, и ваша проблема не имеет решения. Это не разрешимо. Ваш ответ — не решение.

Резюме урока

Давайте рассмотрим, что вы узнали.

Система уравнений — это задачи, которые включают более одного уравнения.В этом видеоуроке вы узнали о методе построения графиков решения. Этот метод включает построение графиков решаемых уравнений. Этот метод включает построение графика ваших уравнений и последующее нахождение пересечения ваших линий. Ваше решение — это пересечение всех ваших уравнений. Ваши уравнения должны быть в форме пересечения наклона, чтобы вы могли легко построить их график. Если ваши линии не пересекаются, значит, у вас проблема, которая не решаема и не имеет решения.

Результат обучения

Используйте этот урок, чтобы укрепить свои способности решать системы уравнений путем построения их графиков и определения их точек пересечения, если таковые имеются.

Систем уравнений | Алгебра Видео

• Посмотреть на портале администратора
• Редактировать контент в Интернете
• Редактировать на рабочем столе

Перейти к основному содержанию

Искать термин

Учебники по CPM для студентов Видео по CPM Видео по алгебре Продвинутая алгебраСистемы уравнений

Нажмите на ссылку ниже.

Системы уравнений: смысл
Решение систем уравнений: выбор метода
Решение систем уравнений: метод построения графиков
Решение систем уравнений: метод подстановки
Решение систем уравнений: метод равных значений

1.Решение систем уравнений — смысл

2. Решение систем уравнений — выбор наилучшего метода

3. Решение систем уравнений — графически.

4. Решение систем уравнений — подстановка.

5. Решение систем уравнений — равные значения

• Пред. : Решения линейных уравнений с использованием плиток алгебры
• Следующее : Ликвидация

Темы

• Начальная алгебра 9
  • Плитки алгебры — Введение и маты
  • Алмазные проблемы
  • Умножение биномов
  • Склон
  • Пропорциональные отношения
  • Решение уравнений с использованием плиток алгебры
  • Упрощение подобных терминов с помощью плиток алгебры
  • Вычисление выражений с помощью плиток алгебры
  • Решения линейных уравнений с использованием плиток алгебры
• Продвинутая алгебра 5
  • Системы уравнений
  • Ликвидация
  • Факторинговая квадратичная система
  • Деление полиномов без остатка
  • Деление полиномов с остатком
• Графики 1
  • Графические линии

Последнее обновление

10.10.2017

• Скачать статью PDF
• Создать руководство PDF

Другие ресурсы

• Поддержка электронных книг CPM

• Студент: электронные книги CPM (Студенческая версия)
• Студент: eWorkspace

• Проблемы CPM eTool

• Устранение неисправностей
• Создание Desmos eTools
• Создание CPM eTools

• Видео с контентом с ценой за тысячу показов

• Видео по алгебре
• Видео для решения проблем
• Статистика видео
• Графический калькулятор TI-84

• CPM Core Connections eTools & Videos

• CC Курс 1 eTools
• CC Курс 2 eTools
• CC Курс 3 eTools
• Электронные инструменты CC Algebra
• CC Geometry eTools
• CC Алгебра 2 eTools
• CC Интегрированный I eTools
• CC Интегрированный II eTools
• CC Интегрированный III eTools

• CPM College Transition eTools & Videos

• Pre-Calc.