Тригонометрия формулы таблица: Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.

Содержание

Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.


Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Тригонометрические функции, формулы и графики. sin, cos, tg, ctg….Значения тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.  / / Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.

Основные тригонометрические формулы


Дополнительная информация от TehTab.ru:

  • Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.
  • Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты.
  • Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге.
  • Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.
  • Таблица синусов, она-же косинусов. Углы в угловых градусах и минутах.
  • Таблица синусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
  • Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
  • Таблица тангенсов, она-же котангенсов. Углы в угловых градусах.
  • Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
  • Таблица котангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
  • Чиcло пи. π, 2π, 1/π, π/2, π/3, π/4, π/180, (π/180)2, π2, π3, π4 и др.
  • Тригонометрические кривые.
  • Практические задачи с использованием тригонометрии.
  • Таблицы Брадиса.


  • TehTab.ru

    Реклама, сотрудничество: [email protected]

    Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

    Тригонометрические формулы. Таблица углов. Формулы приведения

    Факт 1.
    \(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов из первой четверти:


     

    Факт 2.
    \(\bullet\) Знаки синуса, косинуса:

    Так как \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) и \(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), то тангенс и котангенс положительны в \(I\) и \(III\) четвертях и отрицательны во \(II\) и \(IV\) четвертях.  

    Факт 3.
    Формулы приведения.
    \(\bullet\) Случай 1. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi\pm \alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\). \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi\pm \alpha\).
    Знак угла можно найти, определив, в какой четверти он находится. Пользуясь таким правилом, предполагаем, что угол \(\alpha\) находится в \(I\) четверти.   \(\bullet\) Случай 2. Если угол можно представить в виде \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm\alpha\), где \(n\in\mathbb{N}\), то \[\sin\left(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\right)=\bigodot \cos\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак синуса угла \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\). \[\cos\left(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\right)=\bigodot \sin\alpha\] где на месте \(\bigodot\) стоит знак косинуса угла \(n\cdot \pi+\dfrac{\pi}2\pm \alpha\).

    Знак определяется таким же образом, как и в случае \(1\).

     

    Заметим, что в первом случае функция остается неизменной, а во втором случае — меняется (говорят, что функция меняется на кофункцию).
    Алгоритм применения формул приведения для тангенса и котангенса полностью аналогичен.  

    Пример 1. Найти \(\cos \dfrac{13\pi}{3}\).  

    Преобразуем угол: \(\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{12\pi+\pi}{3}=4\pi+\dfrac{\pi}3\), следовательно, \(\cos \dfrac{13\pi}{3}=\cos \left(4\pi+\dfrac{\pi}3\right)=\cos\dfrac{\pi}3=\dfrac12\)

     

    Пример 2. Найти \(\sin \dfrac{17\pi}{6}\).  

    Преобразуем угол: \(\dfrac{17\pi}{6}=\dfrac{18\pi-\pi}{6}=3\pi-\dfrac{\pi}6\), следовательно, \(\sin \dfrac{17\pi}{6}=\sin \left(3\pi-\dfrac{\pi}6\right)=\sin\dfrac{\pi}6=\dfrac12\)

     

    Пример 3. Найти \(\mathrm{tg}\,\dfrac{15\pi}4\).  

    Преобразуем угол: \(\dfrac{15\pi}4=\dfrac{16\pi-\pi}4=4\pi-\dfrac{\pi}4\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\dfrac{15\pi}4=\mathrm{tg}\left(4\pi-\dfrac{\pi}4\right)= -\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}4=-1\)

     

    Пример 4. Найти \(\mathrm{ctg}\,\dfrac{19\pi}3\).  

    Преобразуем угол: \(\dfrac{19\pi}3=\dfrac{18\pi+\pi}3=6\pi+\dfrac{\pi}3\), следовательно, \(\mathrm{ctg}\,\dfrac{19\pi}3=\mathrm{ctg}\left(6\pi+\dfrac{\pi}3\right)= \mathrm{ctg}\,\dfrac{\pi}3=\dfrac{\sqrt3}3\)

    Формулы тригонометрии

    Формулы тригонометрии (тригонометрические формулы) или тригонометрические тождества описывают зависимости между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом и применяются при решении математических задач.

    Ниже указаны основные тригонометрические тождества (равенства), формулы понижения степени, формулы двойного угла, косинус двойного угла, синус двойного угла, а также другие формулы. Дополнительно приведены значения тригонометрических функций для наиболее распространённых углов.


    Основные тождества

    … Подготовка формул …

    Формулы двойного угла

    … Подготовка формул …

    Формулы тройного угла

    … Подготовка формул …

    Формулы понижения степени

    … Подготовка формул …

    Формулы понижения степени

    … Подготовка формул …

    Формулы понижения степени

    … Подготовка формул …

    Формулы половинного аргумента

    Формулы понижения степени


    половинного аргумента

    … Подготовка формул …

    Формулы сложения

    … Подготовка формул …

    Формулы вычитания

    … Подготовка формул …

    Формулы преобразования суммы


    в формулы произведения

    … Подготовка формул …

    Формулы преобразования разности


    в формулы произведения

    … Подготовка формул …

    Формулы преобразования суммы

    … Подготовка формул …

    Формулы преобразования произведения


    в формулы суммы и разности

    … Подготовка формул …

    Формулы преобразования произведения


    функций в степени

    … Подготовка формул …

    Формулы понижения степени

    … Подготовка формул …

    Универсальная


    тригонометрическая подстановка

    … Подготовка формул …

    Значения тригонометрических функций

    α 0
    α° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240°
    270°
    300° 315° 330° 360°
    sin α 0 1 0 −1 0
    cos α 1 0 −1 0 1
    tg α 0 1 −1 0
    1 −1 0
    ctg α 1 0 −1 1 0 −1

    Теория

    Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости углов и сторон треугольников, которые выражены функциями, называемыми тригонометрическими.

    Функция – это правило, описывающее зависимость одной величины от другой.

    Тождество – это равенство, справедливое при любых значениях, входящих в него переменных


    Скачать тригонометрические формулы

    Вы можете скачать тригонометрические формулы в виде картинки:

    Тригонометрическая таблица

    В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,…,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
    Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

    sin 00=0, cos 00 = 1. tg 00 = 0, котангенс от 00 будет неопределенным
    sin 900 = 1, cos 900 =0, ctg900 = 0,тангенс от 900 будет неопределенным

    Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

    sin 300 = 1/2, cos 300 = √3/2, tg 300 = √3/3, ctg 300 = √3
    sin 450 = √2/2, cos 450 = √2/2, tg 450= 1, ctg 450 = 1
    sin 600 = √3/2, cos 600 = 1/2, tg 600 =√3 , ctg 600 = √3/3

    Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:


    Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

    Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

    Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 00+3600*z …. 3300+3600*z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

    Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
    Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

    В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 10200 = 3000+3600*2. Найдем по таблице.

    Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.

    Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

    Синус и косинус

    tg угла начиная с 00 заканчивая 760, ctg угла начиная с 140 заканчивая 900.

    tg до 900 и ctg малых углов.

    Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

    Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.


    Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

    При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054

    При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 200 = 0.9397

    Значения tg угла до 900 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 780 37мин = 4,967

    а ctg 200 13мин = 25,83

    Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

    Заметка: Стеновые отбойники — отбойная доска для защиты стен (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)


    Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

    Полная таблица всех тригонометрических формул приведения

    01)

    Основные тригонометрические тождества

    01.1)
    Основное тригонометрическое тождество
    формула основного тригонометрического тождества
    01.2)
    Основное тождество через тангенс и косинус
    формула основного тождества через тангенс и косинус
    01.3)
    Основное тождество через котангенс и синус
    формула основного тождества через котангенс и синус
    01.4)
    Соотношение между тангенсом и котангенсом
    формула соотношения между тангенсом и котангенсом
    02)

    Формулы двойного аргумента (угла)

    02.1)
    Синус двойного угла
    формула синуса двойного угла
    02.2) формула синуса двойного угла
    02.3)
    Косинус двойного угла
    формула синуса двойного угла
    02.4) формула синуса двойного угла
    02.5)
    Тангенс двойного угла
    формула синуса двойного угла
    02.6)
    Котангенс двойного угла
    формула синуса двойного угла
    03)

    Формулы тройного аргумента (угла)

    03.1)
    Синус тройного угла
    формула синуса тройного угла
    03.2)
    Косинус тройного угла
    формула косинуса тройного угла
    03.3)
    Тангенс тройного угла
    формула тангенса тройного угла
    03.4)
    Котангенс тройного угла
    формула котангенса тройного угла
    04)

    Формулы половинного аргумента (угла)

    04.1)
    Синус половинного угла
    формула синуса половинного угла
    04.2)
    Косинус половинного угла
    формула косинуса половинного угла
    04.3)
    Тангенс половинного угла
    формула тангенса половинного угла
    04.4)
    Котангенс половинного угла
    формула котангенса половинного угла
    04.5)
    Тангенс половинного угла
    формула тангенса половинного угла
    04.6)
    Котангенс половинного угла
    формула котангенса половинного угла
    05)

    Формулы квадратов тригонометрических функций

    05.1)
    Квадрат синуса
    формула квадрата синуса
    05.2)
    Квадрат косинуса
    формула квадрата косинуса
    05.3)
    Квадрат тангенса
    формула квадрата тангенса
    05.4)
    Квадрат котангенса
    формула квадрата котангенса
    05.5)
    Квадрат синуса половинного угла
    формула квадрата синуса половинного угла
    05.6)
    Квадрат косинуса половинного угла
    формула квадрата косинуса половинного угла
    05.7)
    Квадрат тангенса половинного угла
    формула квадрата тангенса половинного угла
    05.8)
    Формулы кубов тригонометрических функций
    формула квадрата котангенса половинного угла
    06)

    Формулы кубов тригонометрических функций

    06.1)
    Куб синуса
    формула куба синуса
    06.2)
    Куб косинуса
    формула куба косинуса
    06.3)
    Куб тангенса
    формула куба тангенса
    06.4)
    Куб котангенса
    формула куба котангенса
    07)

    Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

    07.1)
    Четвертая степень синуса
    формула четвертой степени синуса
    07.2)
    Четвертая степень косинуса
    формула четвертой степени косинуса
    08)

    Формулы сложения и вычитания аргументов

    08.1)
    Сложение аргументов синуса
    формула сложения аргументов синуса
    08.2)
    Сложение аргументов косинуса
    формула сложения аргументов косинуса
    08.3)
    Сложение аргументов тангенса
    формула сложения аргументов тангенса
    08.4)
    Сложение аргументов котангенса
    формула сложения аргументов котангенса
    08.5)
    Вычитание аргументов синуса
    формула вычитания аргументов синуса
    08.6)
    Вычитание аргументов косинуса
    формула вычитания аргументов косинуса
    08.7)
    Вычитание аргументов тангенса
    формула вычитания аргументов тангенса
    08.8)
    Вычитание аргументов котангенса
    формула вычитания аргументов котангенса
    09)

    Формулы суммы тригонометрических функций

    09.1)
    Сумма синусов
    формула суммы синусов
    09.2)
    Сумма косинусов
    формула суммы косинусов
    09.3)
    Сумма тангенсов
    формула суммы тангенсов
    09.4)
    Сумма котангенсов
    формула суммы котангенсов
    09.5)
    Сумма синуса и косинуса
    формула суммы синуса и косинуса
    10)

    Формулы разности тригонометрических функций

    10.1)
    Разность синусов
    формула разности суммы синусов
    10.2)
    Разность косинусов
    формула разности суммы косинусов
    10.3)
    Разность тангенсов
    формула разности суммы тангенсов
    10.4)
    Разность котангенсов
    формула разности котангенсов
    10.5)
    Разность синуса и косинуса
    формула разности синуса и косинуса
    11)

    Формулы произведения тригонометрических функций

    11.1)
    Произведение синусов
    формула произведения синусов
    11.2)
    Произведение косинусов
    формула произведения косинусов
    11.3)
    Произведение синуса и косинуса
    формула произведения синуса и косинуса
    11.4)
    Произведение тангенсов
    формула произведения тангенсов
    11.5)
    Произведение котангенсов
    формула произведения котангенсов
    11.6)
    Произведение тангенса и котангенса
    формула произведения тангенса и котангенса
    12)

    Формулы понижения степени

    12.1)
    Понижение степени синуса
    формула понижения степени синуса
    12.2)
    Понижение степени косинуса
    формула понижение степени косинуса
    13)

    Формулы суммы и разности разных тригонометрических функций

    13.1)
    Сумма синуса и косинуса
    формула суммы синуса и косинуса
    13.2)
    Разность синуса и косинуса
    формула разности синуса и косинуса
    13.3)
    Сумма синуса и косинуса с коэффициентами
    формула суммы синуса и косинуса с коэффициентами
    13.4)
    Разность синуса и косинуса с коэффициентами
    формула разности синуса и косинуса с коэффициентами
    14)

    Формулы общего вида

    14.1)
    Формула понижения n
    й четной степени синуса
    формула формулы формулы понижения n четной степени синуса
    14.2)
    Формула понижения n
    й четной степени косинуса
    формула формулы понижения nй четной степени косинуса
    14.3)
    Формула понижения n
    й нечетной степени синуса
    формула формулы понижения nй нечетной степени синуса
    14.\circ }=-24\).

    Ответ: \( \displaystyle -24\).

    3. \( \displaystyle 36\sqrt{6}ctg\frac{\pi }{6}\sin\frac{\pi }{4}\)

    Здесь нет ничего сложного, абсолютно ничего! Но есть одно «но!».

    Это «но» заключается в том, что тебе нужно помнить таблицу значений тригонометрических функций для углов хотя бы первой четверти! (Как ее запомнить я рассказал ранее, а сейчас просто приведу ее еще раз).

    Или ее расширенный вариант для всех «основных углов»:

    И посмотрим в таблицу:

    \( \displaystyle ctg\frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\), \( \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим эти значения в нашу формулу:

    \( \displaystyle 36\sqrt{6} ctg\frac{\pi }{6}sin\frac{\pi }{4}=36\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{36\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{2}=\frac{36\cdot 6}{2}=36\cdot 3=108\).

    Ответ: \( \displaystyle 108\)

    Вот видишь, знание первой таблицы совершенно необходимо! Без нее – вообще нет никакой тригонометрии.{2}}-1 \right)=\)

    \( \displaystyle=-47\left( 2\cdot 0,16-1 \right)=-47\left( 0,32-1 \right)=-47\left( -0,68 \right)=31,96\)

    Ответ: \( \displaystyle 31,96\)

    5. \( \displaystyle \frac{10sin6a}{3cos3a}\) – это то, что надо вычислить, а \( \displaystyle sin3a=0,6\) – это то, что есть.

    Ну что же, надо отталкиваться от того, что есть. Вроде бы этого должно быть достаточно. Здесь все опять несложно!

    Нужно лишь заметить, что \( \displaystyle sin6\alpha =2sin3\alpha \cdot cos3\alpha \). Давай это и подставим в числитель исходной дроби. Что же мы имеем?

    О чудо: косинусы сократились, а чему равен \( \displaystyle sin3\alpha \) мы знаем из условия!

    \( \displaystyle \frac{10sin6\alpha }{3cos3\alpha }=\frac{10\cdot 2sin3\alpha cos3\alpha }{3cos3\alpha }=\frac{20sin3\alpha }{3}=\frac{20\cdot 0,6}{3}=\frac{12}{3}=4\)

    Ответ: \( \displaystyle 4\).{2}}a}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}}=7\)

    Ответ: \( \displaystyle 7\)

    8. Надо найти \( \displaystyle \frac{10cosa+4sina+15}{2sina+5cosa+3}\), зная, что \( \displaystyle tga=-2,5\).

    На какую мысль тебя это должно было натолкнуть?

    А на ту, что если нам дан тангенс, то и наше выражение нужно привести к такому виду, чтобы оно зависело от тангенсов, которые мы потом в него и подставим. Напомню тебе, что

    \( \displaystyle tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }\)

    У меня же в выражении есть просто косинусы и синусы. Что нам нужно сделать?

    Давай возьмем и «насильно» разделим числитель и знаменатель дроби на \( \displaystyle cos\alpha \). Это поможет мне «выделить» тангенс в чистом виде:

    \( \displaystyle \frac{10cos\alpha +4sin\alpha +15}{2sin\alpha +5cos\alpha +3}=\frac{\frac{10cos\alpha +4sin\alpha +15}{cos\alpha }}{\frac{2sin\alpha +5cos\alpha +3}{cos\alpha }}=\frac{10+4tg\alpha +\frac{15}{cos\alpha }}{2tg\alpha +5+\frac{3}{cos\alpha }}\).

    Конечно, есть одна неприятность: у нас появились дроби с косинусами. Но есть надежда, что мы с ними справимся! А пока что давай подставим вместо \( \displaystyle tga\) его числовое значение \( \displaystyle -2,5\). Тогда получим:

    \( \displaystyle \frac{10+4tg\alpha +\frac{15}{cos\alpha }}{2tg\alpha +5+\frac{3}{cos\alpha }}=\frac{10+4\left( -2,5 \right)+\frac{15}{cos\alpha }}{2\left( -2,5 \right)+5+\frac{3}{cos\alpha }}=\frac{\frac{15}{cos\alpha }}{\frac{3}{cos\alpha }}\)

    Ну вот! Косинусы сократятся и мы получим ответ: \( \displaystyle \frac{15}{3}=5\).

    Ответ: \( \displaystyle 5\).

    9. Нужно найти \( \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta \right)-2\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)\), если дано \( \displaystyle cos\beta =-\frac{1}{3}\).

    Давай опять проанализируем, что нам нужно вычислить: искомая формула состоит из разности косинуса от суммы двух углов и синуса от суммы двух углов.

    Давай упрощать: раскроем каждую из сумм (опять-таки повторюсь, что далее я опишу способ, который позволит обходиться без раскрытия такого рода сумм):

    \( \displaystyle \cos \left( \pi +\beta \right)=cos\pi \cdot cos\beta -sin\pi \cdot sin\beta \)

    Опять-таки, тебе должно быть известно, что \( \displaystyle cos\pi =-1,~~sin\pi =0\).

    Если тебе это неизвестно, то настоятельно рекомендую тебе повторить тему тригонометрическая окружность.

    Тогда моя формула примет вид:

    \( \displaystyle \cos \left( \pi +\beta \right)=-cos\beta =-\left( -\frac{1}{3} \right)=\frac{1}{3}\)

    Теперь с синусом:

    \( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)=sin\frac{\pi }{2}\cdot cos\beta +cos\frac{\pi }{2}\cdot sin\beta \).

    Снова, грамотные люди, такие как ты, вспоминают окружность (или, на худой конец, таблицу): \( \displaystyle sin\frac{\pi }{2}=1,~cos\frac{\pi }{2}=0\), тогда

    \( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)=cos\beta =-\frac{1}{3}\)

    Нам осталось подставить найденные значения в исходную формулу:

    \( \displaystyle 7\cos \left( \pi +\beta \right)-2\sin \left( \frac{\pi }{2}+\beta \right)=7\cdot \frac{1}{3}-2\left( -\frac{1}{3} \right)=\frac{7}{3}+\frac{2}{3}=\frac{9}{3}=3\)

    Ответ: \( \displaystyle 3\).

    Таблица формул приведения тригонометрических функций

    Ниже представлена таблица с основными формулами приведения тригонометрических функций: синусов (sin), косинусов (cos), тангенсов (tg) и котангенсов (ctg).

    Угол π/2-απ/2+απ-απ+α3π/2-α3π/2+α2π-α2π+α
    Функция α°90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+α
    sin α -sin α cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α
    cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α cos α
    tg α -tg α ctg α -ctg α -tg α tg α ctg α -ctg α -tg α tg α
    ctg α -ctg α tg α -tg α -ctg α ctg α tg α -tg α -ctg α ctg α

    microexcel.ru

    Таблица тригонометрических соотношений

    | Таблица тригонометрических функций

    Шаг 1. Нарисуйте табличный столбец с необходимыми углами, такими как 0, 30, 45, 60, 90, в верхней строке и всеми 6 тригонометрическими функциями, такими как синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс в первом столбце.

    Шаг 2: Найдите значение синуса для требуемого угла.

    Чтобы определить значение sin, мы последовательно делим все значения от 0, 1, 2, 3 и 4 на 4, а затем извлекаем квадратный корень. Например, чтобы найти значение 0 °, мы напишем √ (0/4), i.е., 0 или чтобы найти значение 30 °, мы будем писать √ (¼), т.е. ½. Итак, соответствующие значения от 0 до 360 °:

    Угол в градусах

    0

    30

    45

    60

    90

    180

    270

    360

    Значение

    0

    1/2

    1

    √3 / 2

    1

    0

    — 1

    0


    Шаг 3: Найдите значение косинуса требуемого угла.

    Значения cos в таблице противоположны значениям синусоидальных углов.

    Это означает, что любое значение степени sin (0 — x) совпадает со значением степени cos (90 — x). Чтобы найти значение cos, разделите на 4 в порядке, обратном sin, т. Е. Последовательно от 4, 3, 2, 1 и 0 на 4 и извлеките квадратный корень.

    Например, чтобы найти значение 0 °, мы напишем √ (4/4), т. Е. 1 или или, чтобы найти значение 30 °, мы напишем √ (¾), т. Е. √3 / 2 . Итак, соответствующие значения от 0 до 360 °:

    √2

    Угол в градусах

    0

    30

    45

    60

    90

    180

    270

    360

    Значение

    1

    √ (3/2)

    1/2

    0

    — 1

    0

    1


    Шаг 4: Найдите значение тангенса требуемого угла.

    Тангенс равен синусу, разделенному на косинус. tan x = sin x / cos x.

    Чтобы найти значение tan 30, мы разделим sin 30 на cos 30 и получим требуемое значение, то есть (½) / (√3 / 2) = 1 / √3, другие соответствующие значения:

    270

    Угол в градусах

    0

    30

    45

    60

    90

    90

    360

    Значение

    0

    1 / √3

    1

    √3

    ∞3

    52

    0

    0


    Шаг 5: Определите стоимость детской кроватки.

    Значение cot можно определить по всем обратным значениям tan.

    Итак, для каждого значения значение cot равно 1 / tan. Поскольку cot x = cos x / sin x. Таким образом, соответствующие значения просто обратны значениям загара.

    Угол в градусах

    0

    30

    45

    60

    02 60

    270

    360

    Значение

    √3

    1

    1 / √3

    0


    Шаг 6: Найдите значение косеканса требуемого угла.

    Значение cosec для любого угла является обратным sin для этого конкретного угла. Таким образом, соответствующие значения будут обратными значениям в sin x.

    Угол в градусах

    0

    30

    45

    60

    02 60

    270

    360

    Значение

    2

    √2

    2 / √3

    2 / √3

    — 1


    Шаг 7: Определите значение секунды.

    Значение sec для любого угла является обратной величиной cos этого конкретного угла. Итак, величина, обратная cos:

    Угол в градусах

    0

    30

    45

    45

    90

    180

    270

    360

    Значение

    1

    2 / √3

    9002 √2

    900

    — 1

    1


    Список формул тригонометрии

    1.Составные углы

    • cos A cos B — sin A cos B = cos (A + B)

    • cos A cos B + sin A cos B = cos (A — B)

    • sin A cos B + cos A sin B = sin (A + B)

    • sin A cos B — cos A sin B = sin (A — B)

    • sin2 A — sin2 B = sin (A + B) sin ( A — B) = cos2 B — cos2 A

    • cos2 A — sin2 A — sin2 B = cos (A + B) cos (A — B) = cos2 B — sin2 A

    • (tan A + tan B) / (1 — загар A загар B) = загар (A + B)

    • (загар A — загар B) / (1 + загар A загар B) = загар (A — B)

    • sin2A = грех (А + А) = грех А.cosA + cosA.sinA = 2sinA.cosA

    2. Сумма и разность синусов и косинусов

    • sin (A + B) + sin (AB) = 2 sin A cos B

    • sin (A + B) — sin (AB) = 2 cos A sin B

    • cos (A + B) + cos (AB) = 2 cos A cos B

    • cos (AB) — cos (A + B) = 2 sin A sin B

    3. Тригонометрические отношения кратных углов

    • sin 2A = 2sinA.cosA = \ [\ frac {2 sinA.{2} A} {2tanA} \]

    4. Кратные и подкратные углы

    Формулы тригонометрии — примеры | Список тригонометрических формул

    Формулы тригонометрии — это наборы различных формул, включающих тригонометрические тождества, используемые для решения задач, основанных на сторонах и углах прямоугольного треугольника. Эти тригонометрические формулы включают тригонометрические функции, такие как синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс, котангенс для заданных углов. Давайте изучим эти формулы, включающие тождества Пифагора, тождества продуктов, тождества со-функций (сдвиг углов), тождества суммы и разности, тождества двойных углов, тождества половинных углов и т. Д.подробно в следующих разделах.

    Список формул тригонометрии

    Формулы тригонометрии можно разделить на различные категории в зависимости от используемых тригонометрических тождеств. Давайте посмотрим на приведенные ниже наборы различных формул тригонометрии.

    • Базовые формулы тригонометрических соотношений: это формулы тригонометрии, относящиеся к основным тригонометрическим отношениям sin, cos, tan и т. Д.
    • Взаимные идентичности: сюда входят тригонометрические формулы, касающиеся взаимных отношений между тригонометрическими отношениями.
    • Таблица тригонометрических соотношений: Значения тригонометрии отображаются для стандартных углов в таблице тригонометрии.
    • Периодические тождества: они содержат формулы тригонометрии, которые помогают найти значения тригонометрических функций для сдвига углов на π / 2, π, 2π и т. Д.
    • Тождества кофункций: формулы тригонометрии для тождеств кофункций изображают взаимосвязи между функциями тригонометрии.
    • Тождества суммы и разности: Эти тригонометрические формулы используются для нахождения значения тригонометрической функции для суммы или разности углов.
    • Половинные, двойные и тройные тождества: эти тригонометрические формулы включают значения тригонометрических функций для половинных, двойных или тройных углов.
    • Сумма в идентичности продукта: Эти тригонометрические формулы используются для представления произведения тригонометрических функций в виде их суммы или наоборот.
    • Формулы обратной тригонометрии: Формулы обратной тригонометрии включают формулы, относящиеся к обратным тригонометрическим функциям, таким как обратный синус, обратный косинус и т. Д.
    • Закон синуса и закон косинуса

    Некоторые основные формулы тригонометрии можно увидеть на изображении ниже.Рассмотрим их подробно в следующих разделах.

    Основные формулы тригонометрии

    Базовые тригонометрические формулы используются для определения отношения тригонометрических соотношений и соотношения соответствующих сторон прямоугольного треугольника. В тригонометрии используются 6 основных тригонометрических соотношений, которые также называются тригонометрическими функциями — синус, косинус, секанс, косеканс, тангенс и ко-тангенс, которые записываются как sin, cos, sec, csc, tan, cot вкратце.Тригонометрические функции и тождества выводятся с использованием прямоугольного треугольника в качестве ориентира. Мы можем узнать значения синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса и котангенса, учитывая размеры прямоугольного треугольника, используя формулы тригонометрии как,

    Формулы тригонометрического отношения

    • sin θ = перпендикуляр / гипотенуза
    • cos θ = База / Гипотенуза
    • tan θ = перпендикуляр / основание
    • сек θ = Гипотенуза / База
    • косекунд θ = гипотенуза / перпендикуляр
    • детская кроватка θ = основание / перпендикуляр

    Формулы тригонометрии, включающие взаимные идентичности

    Косеканс, секанс и котангенс являются величинами, обратными основным тригонометрическим отношениям синуса, косинуса и тангенса.Все взаимные идентичности также выводятся с использованием прямоугольного треугольника в качестве ориентира. Эти взаимные тригонометрические тождества выводятся с использованием тригонометрических функций. Формулы тригонометрии взаимных тождеств, приведенные ниже, часто используются для упрощения тригонометрических задач.

    • cosec θ = 1 / sin θ
    • сек θ = 1 / cos θ
    • детская кроватка θ = 1 / tan θ
    • sin θ = 1 / мкс θ
    • cos θ = 1 / сек θ
    • tan θ = 1 / детская кроватка θ

    Таблица тригонометрических соотношений

    Вот таблица формул тригонометрии для углов, которые обычно используются для решения задач тригонометрии.Таблица тригонометрических соотношений помогает найти значения стандартных тригонометрических углов, таких как 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 °.

    Углы (в градусах) 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 ° 270 ° 360 °
    Углы (в радианах) 0 ° π / 6 π / 4 π / 3 π / 2 π 3π / 2
    грех 0 1/2 1 / √2 √3 / 2 1 0 -1 0
    cos 1 √3 / 2 1 / √2 1/2 0 -1 0 1
    желто-коричневый 0 1 / √3 1 √3 0 0
    детская кроватка √3 1 1 / √3 0 0
    код 2 √2 2 / √3 1 -1
    сек 1 2 / √3 √2 2 -1 1

    Формулы тригонометрии, включающие периодические тождества (в радианах)

    Формулы тригонометрии, включающие периодические тождества, используются для сдвига углов на π / 2, π, 2π и т. Д.Все тригонометрические тождества имеют циклический характер, что означает, что они повторяются через точку. Этот период отличается для разных тригонометрических формул периодических тождеств. Например, tan 30 ° = tan 210 °, но это не верно для cos 30 ° и cos 210 °. Вы можете обратиться к приведенным ниже формулам тригонометрии, чтобы проверить периодичность функций синуса и косинуса.

    Первый квадрант:

    • sin (π / 2 — θ) = cos θ
    • cos (π / 2 — θ) = sin θ
    • sin (π / 2 + θ) = cos θ
    • cos (π / 2 + θ) = — sin θ

    Второй квадрант:

    • sin (3π / 2 — θ) = — cos θ
    • cos (3π / 2 — θ) = — sin θ
    • sin (3π / 2 + θ) = — cos θ
    • cos (3π / 2 + θ) = sin θ

    Третий квадрант:

    • грех (π — θ) = грех θ
    • cos (π — θ) = — cos θ
    • грех (π + θ) = — грех θ
    • cos (π + θ) = — cos θ

    Четвертый квадрант:

    • sin (2π — θ) = — грех θ
    • cos (2π — θ) = cos θ
    • грех (2π + θ) = грех θ
    • cos (2π + θ) = cos θ

    Формулы тригонометрии, включающие ко-функции тождества (в градусах)

    Формулы тригонометрии для тождеств функций обеспечивают взаимосвязь между различными функциями тригонометрии.Формулы совместной тригонометрии представлены в градусах ниже:

    • sin (90 ° — x) = cos x
    • cos (90 ° — x) = sin x
    • желто-коричневый (90 ° — x) = детская кроватка x
    • детская кроватка (90 ° — x) = желто-коричневый x
    • сек (90 ° — x) = cosec x
    • сек (90 ° — x) = сек x

    Формулы тригонометрии, включающие тождества суммы и разности

    Тождества суммы и разности включают формулы тригонометрии sin (x + y), cos (x — y), cot (x + y) и т. Д.

    • sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y)
    • cos (x + y) = cos (x) cos (y) — sin (x) sin (y)
    • tan (x + y) = (tan x + tan y) / (1 — tan x • tan y)
    • sin (x — y) = sin (x) cos (y) — cos (x) sin (y)
    • cos (x — y) = cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)
    • tan (x — y) = (tan x — tan y) / (1 + tan x • tan y)

    Формулы тригонометрии для кратных и подкратных углов

    Формулы тригонометрии для кратных и подкратных углов можно использовать для вычисления значений тригонометрических функций для половинного, двойного, тройного угла и т. Д.

    Формулы тригонометрии, включающие идентичности половин углов

    Половина угла x представлена ​​несколькими нижеприведенными формулами тригонометрии.

    sin (x / 2) = ± √ [(1 — cos x) / 2]

    cos (x / 2) = ± √ [(1 + cos x) / 2]

    tan (x / 2) = ± √ [(1 — cos x) / (1 + cos x)]

    или, tan (x / 2) = ± √ [(1 — cos x) (1 — cos x) / (1 + cos x) (1 — cos x)]

    tan (x / 2) = ± √ [(1 — cos x) 2 / (1 — cos 2 x)]

    ⇒ tan (x / 2) = (1 — cos x) / sin x

    Формулы тригонометрии с использованием тождеств двойных углов

    Угол x, удваивающийся в два раза, представлен с помощью следующих формул тригонометрии.

    • sin (2x) = 2sin (x) • cos (x) = [2tan x / (1 + tan 2 x)]
    • cos (2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x) = [(1 — tan 2 x) / (1 + tan 2 x)]
    • cos (2x) = 2cos 2 (x) — 1 = 1 — 2sin 2 (x)
    • загар (2x) = [2tan (x)] / [1 — загар 2 (x)]
    • сек (2x) = сек 2 x / (2 — сек 2 x)
    • cosec (2x) = (sec x • cosec x) / 2

    Формулы тригонометрии, включающие тождества тройных углов

    Тройка угла x представлена ​​несколькими формулами тригонометрии ниже.

    • sin 3x = 3sin x — 4sin 3 x
    • cos 3x = 4cos 3 x — 3cos x
    • tan 3x = [3tanx — tan 3 x] / [1 — 3tan 2 x]

    Формулы тригонометрии — идентичности сумм и произведений

    Тригонометрические формулы для тождеств суммы или произведения используются для представления суммы любых двух тригонометрических функций в форме их произведения или наоборот.

    Формулы тригонометрии, включающие идентификационные данные продукта

    • sinx⋅cosy = [sin (x + y) + sin (x — y)] / 2
    • cosx⋅cosy = [cos (x + y) + cos (x — y)] / 2
    • sinx⋅siny = [cos (x — y) — cos (x + y)] / 2

    Формулы тригонометрии, включающие сумму для идентификации продукта

    Комбинация двух острых углов A и B может быть представлена ​​через тригонометрические отношения в приведенных ниже формулах тригонометрии.

    • sinx + siny = 2 [sin ((x + y) / 2) cos ((x — y) / 2)]
    • sinx — siny = 2 [cos ((x + y) / 2) sin ((x — y) / 2)]
    • cosx + cosy = 2 [cos ((x + y) / 2) cos ((x — y) / 2)]
    • cosx — cosy = −2 [sin ((x + y) / 2) sin ((x — y) / 2)]

    Формулы обратной тригонометрии

    Используя формулы обратной тригонометрии, тригонометрические отношения инвертируются для создания обратных тригонометрических функций, например sin θ = x и θ = sin −1 x.Здесь x может иметь значения в виде целых, десятичных, дробных и экспонент.

    • sin -1 (-x) = -sin -1 x
    • cos -1 (-x) = π — cos -1 x
    • tan -1 (-x) = -tan -1 x
    • кодов -1 (-x) = -cosec -1 x
    • сек -1 (-x) = π — сек -1 x
    • детская кроватка -1 (-x) = π — детская кроватка -1 x

    Формулы тригонометрии, включающие законы синуса и косинуса

    Закон синуса: Закон синуса и закон косинуса определяют соотношение между сторонами и углами треугольника.Закон синусов дает соотношение сторон и угла, противоположного стороне. Например, отношение берется для стороны «а» и противоположного ей угла «А».

    (грех A) / a = (sin B) / b = (sin C) / c

    Закон косинуса: Закон косинуса помогает найти длину стороны для заданных длин двух других сторон и включенного угла. Например, длина «a» может быть найдена с помощью двух других сторон «b» и «c» и их прилегающего угла «A».

    • a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cosA
    • b 2 = a 2 + c 2 — 2ac cosB
    • c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cosC

    где, a, b, c — длины сторон треугольника, а A, B, C — углы треугольника.

    Связанные темы

    Часто задаваемые вопросы по тригонометрическим формулам

    Что такое формулы тригонометрии?

    Формулы тригонометрии используются для решения задач на основе сторон и углов прямоугольного треугольника с использованием различных тригонометрических тождеств. Эти формулы можно использовать для оценки тригонометрических соотношений (также называемых тригонометрическими функциями), sin, cos, tan, csc, sec и cot.

    Что такое основная формула тригонометрии?

    Основные тригонометрические формулы включают представление основных тригонометрических соотношений в терминах соотношения соответствующих сторон прямоугольного треугольника.Они задаются как, sin θ = Противоположная сторона / Гипотенуза, cos θ = Соседняя сторона / Гипотенуза, tan θ = Противоположная сторона / Соседняя сторона.

    Что такое формулы тригонометрических соотношений?

    Три основных функции в тригонометрии — это синус, косинус и тангенс. Формулы тригонометрических соотношений представлены как,

    • Функция синуса: sin (θ) = Противоположность / Гипотенуза
    • Функция косинуса: cos (θ) = Соседний / Гипотенуза
    • Функция касания: tan (θ) = напротив / по соседству

    Какие формулы тригонометрии для четных и нечетных тождеств?

    Формулы тригонометрии, включающие четные и нечетные тождества, имеют вид,

    • sin (–x) = –sin x
    • cos (–x) = cos x
    • tan (–x) = –tan x
    • csc (–x) = –csc x
    • сек (–x) = сек x
    • детская кроватка (–x) = – детская кроватка x

    Какие формулы тригонометрии учитывают пифагорейские тождества?

    Три фундаментальные тригонометрические формулы, включающие тождества Пифагора, даются как,

    • sin 2 A + cos 2 A = 1
    • 1 + загар 2 A = сек 2 A
    • 1 + детская кроватка 2 A = cosec 2 A

    К какому треугольнику применимы тригонометрические формулы?

    Формулы тригонометрии применимы к прямоугольным треугольникам.Эти тригонометрические формулы представляют собой тригонометрические отношения в терминах отношения соответствующих сторон прямоугольного треугольника.

    Что такое формулы сложения тригонометрии?

    Формулы тригонометрии для тригонометрических соотношений, когда углы складываются, задаются как,

    • sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y)
    • cos (x + y) = cos (x) cos (y) — sin (x) sin (y)
    • tan (x + y) = (tan x + tan y) / (1 — tan x • tan y)

    Как легко запоминать формулы тригонометрии?

    Уловка для изучения основных формул тригонометрии заключается в использовании мнемоники «SOHCAHTOA», которая может использоваться для запоминания тригонометрических соотношений, например,
    SOH: синус = противоположный / гипотенуза
    CAH: косинус = смежный / гипотенуза
    TOA: касательная = противоположная / смежная

    Что такое формула sin 3x тригонометрии?

    Формула тригонометрии, sin 3x — это синус тройного угла в прямоугольном треугольнике, это выражается как: sin 3x = 3sin x — 4sin 3 x.

    Сводка тригонометрических отождествлений

    На последних страницах вы видели довольно много тригонометрических отождествлений. Для справки удобно иметь их краткое изложение. Эти тождества в основном относятся к одному углу, обозначенному θ , но есть некоторые, которые включают два угла, и для них два угла обозначены α и β .
    Более важные идентичности.
    Необязательно знать все личности с головы до ног.Но это вам следует.
    Определение соотношений для тангенса, котангенса, секанса и косеканса в терминах синуса и косинуса.
    Формула Пифагора для синусов и косинусов. Это, наверное, самая важная триггерная идентичность.
    Идентификаторы, выражающие триггерные функции в терминах их дополнений. В этом нет ничего особенного.Каждая из шести триггерных функций равна своей совместной функции, оцениваемой под дополнительным углом.
    Периодичность триггерных функций. Синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2 π , а тангенс и котангенс имеют период π .
    Обозначения для отрицательных углов. Синус, тангенс, котангенс и косеканс являются нечетными функциями, а косинус и секанс — четными функциями.
    Тождества Птолемея, формулы суммы и разности для синуса и косинуса.
    Формулы двойного угла для синуса и косинуса. Обратите внимание, что существует три формы формулы двойного угла для косинуса. Вам нужно знать только одно, но уметь вывести два других из формулы Пифагора.
    Менее важные идентичности.
    Вы должны знать, что эти личности есть, но они не так важны, как упомянутые выше. Все они могут быть получены из вышеперечисленных, но иногда для этого требуется немного поработать.
    Формула Пифагора для касательных и секущих. Есть еще один для котангенсов и косекансов, но поскольку котангенсы и косекансы нужны редко, в нем нет необходимости.
    Идентификаторы, выражающие триггерные функции в терминах их дополнений.
    Формулы суммы, разности и двойного угла для тангенса.
    Формулы половинных углов. Для синуса и косинуса берут положительный или отрицательный квадратный корень в зависимости от квадранта угла θ /2. Например, если θ /2 — острый угол, тогда будет использоваться положительный корень.
    Действительно неясные личности.
    Они здесь как раз для извращенности. Нет, не совсем. У них есть несколько приложений, но обычно это узкие приложения, и о них также можно забыть, пока они не понадобятся.
    Идентификаторы продукта-суммы. Эта группа идентичностей позволяет вам преобразовать сумму или разность синусов или косинусов в произведение синусов и косинусов.
    Идентификационные данные продукта. Кроме того: как ни странно, эти идентификаторы продуктов использовались до того, как были изобретены логарифмы для выполнения умножения. Вот как можно использовать второй. Если вы хотите умножить x на y, используйте таблицу, чтобы найти угол α , косинус которого равен x , и угол β , косинус которого равен y . Найдите косинусы суммы α + β . а разность α — β . Усредните эти два косинуса.Вы получаете товар xy ! Три просмотра таблиц и вычисление суммы, разницы и среднего, а не одно умножение. Тихо Браге (1546–1601), среди других, использовал этот алгоритм, известный как простафаэрез .
    Формулы тройного угла. Вы можете легко восстановить их по формулам сложения и двойного угла.
    Еще формулы полууглов. Они описывают основные триггерные функции в терминах тангенса половины угла. Они используются в исчислении для особого вида подстановки в интегралах, иногда называемой подстановкой Вейерштрасса t .

    Сводка тригонометрических формул

    Сводка тригонометрических формул

    Эти формулы связывают длины и площади определенных кругов или треугольников. На следующей странице вы найдете личности.Идентичности не относятся к конкретным геометрическим фигурам, но верны для всех углов.

    Формулы дуг и секторов окружностей

    Вы можете легко найти как длину дуги, так и площадь сектора для угла θ в окружности радиуса r .

    Длина дуги. Длина дуги равна радиусу r , умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах.Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте количество градусов на π /180.
    Площадь сектора. Площадь сектора равна половине квадрата радиуса, умноженного на угол, где, опять же, угол измеряется в радианах.
    Формулы для прямоугольных треугольников

    Наиболее важные формулы для тригонометрии — формулы для прямоугольного треугольника. Если θ — один из острых углов в треугольнике, то синус теты — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, косинус — это отношение соседней стороны к гипотенузе, а тангенс — это отношение сторона, противоположная соседней стороне.

    Эти три формулы известны мнемоническим языком SohCahToa. Помимо этого, существует очень важная формула Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

    Зная, что два острых угла дополняют друг друга, то есть они складываются в 90 °, вы можете решить любой прямоугольный треугольник:

    • Если вы знаете две из трех сторон, вы можете найти третью сторону и оба острых угла.
    • Если вы знаете один острый угол и одну из трех сторон, вы можете найти другой острый угол и две другие стороны.
    Формулы для наклонных треугольников

    Эти формулы работают для любого треугольника, будь то острый, тупой или прямой. Мы будем использовать стандартные обозначения, в которых три вершины треугольника обозначаются прописными буквами A , B и C , а три противоположные им стороны соответственно обозначаются строчными буквами a , b и c .

    Есть две важные формулы для наклонных треугольников. Их называют законом косинусов и законом синусов.

    Закон косинусов обобщает формулу Пифагора на все треугольники. В нем говорится, что c 2 , квадрат одной стороны треугольника, равен a 2 + b 2 , сумме квадратов двух других сторон минус 2. ab cos & nbsp C , удвоить их произведение, умноженное на косинус противоположного угла.Когда угол C правильный, он становится формулой Пифагора.

    Закон синусов гласит, что отношение синуса одного угла к противоположной стороне является одинаковым соотношением для всех трех углов.

    С помощью этих двух формул вы можете решить любой треугольник:

    • Если вы знаете два угла и сторону, вы можете найти третий угол и две другие стороны.
    • Если вы знаете две стороны и включенный угол, вы можете найти третью сторону и оба других угла.
    • Если вы знаете две стороны и угол, противоположный одной из них, есть две возможности для угла, противоположного другой (острый и тупой), и для обеих возможностей вы можете определить оставшийся угол и оставшуюся сторону.
    Формулы площади для треугольников

    Есть три различных полезных формулы для определения площади треугольника, и какая из них вы используете, зависит от того, какая информация у вас есть.

    Умножить половину основания на высоту. Это обычный вариант, так как он самый простой и обычно у вас есть такая информация. Выбирайте любую сторону, чтобы позвонить по базе b . Тогда, если h — это расстояние от противоположной вершины до b , то площадь равна половине bh .
    Формула Герона. Это полезно, если вы знаете три стороны треугольника: a , b и c , и все, что вам нужно знать, это площадь.Пусть s будет половиной их суммы, называемой полупериметром . Тогда площадь является квадратным корнем из произведения s , s a , s b и s c .
    Формула стороны-угла-стороны. Используйте это, если вам известны две стороны, a и b , и включенный угол C . Площадь равна половине произведения двух сторон, умноженного на синус включенного угла.

    Тригонометрических функций с их формулами

    В тригонометрии круговые функции также называются тригонометрическими функциями . Определение этих функций в простейшей форме состоит в том, что они демонстрируют тесную взаимосвязь между сторонами и углами треугольника. Также известные как тригонометрические отношения, они обозначаются косекансом, секансом, котангенсом, тангенсом, косинусом и синусом.

    Тригонометрические функции с углами

    Любой студент, изучающий эти функции, должен понимать, что существует ряд тригонометрических тождеств и формул.Формулы устанавливают связь между этими функциями.

    Таблица функций триггера

    Основная классификация тригонометрических функций включает углы тангенса, косинуса и синуса. Из этих первичных функций можно вывести три функции, которые обозначаются как косеканс, секанс и котангенс.

    Тригонометрические функции с графиками

    Приведенная выше диаграмма может объяснить три тригонометрические первичные функции.

    Список тригонометрических функций

    Список дополнительных тригонометрических функций включает секанс, косеканс и котангенс. Эти функции также устанавливаются из основных функций, таких как синус, косинус и загар. Следует отметить, что величины, обратные tan, cos и sin, называются котангенсом (cot), секансом (sec) и косекансом (csc) соответственно.

    Формула тригонометрических функций

    Формула для некоторых тригонометрических функций приведена ниже.Их:

    Отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы известно как синусоидальная функция угла. Значение sin должно быть Sin a = Противоположно / Гипотенуза = CB / CA.

    Формула функции cos может быть объяснена как отношение длины соседней стороны к длине гипотенузы. Функция cos может быть получена из приведенной выше справочной диаграммы как

    Cos a = Соседний / Гипотенуза = AB / CA.

    Формула функции загара определяется как отношение длины противоположной стороны прямоугольного треугольника к длине соседней стороны.Учащийся должен отметить, что функция загара может быть представлена ​​в виде синуса и косинуса как их отношения. Следовательно, функция tan будет получена как Tan a = Противоположный / Соседний = CB / BA. Кроме того, tan можно записать в терминах синуса и cos как Tan a = sina / cosa.

    Дополнительные функции представлены формулами; их:

    Детская кроватка a = 1 / (tan a) = Соседняя / Напротив = BA / CB

    Cosec a = 1 / (sin a) = Гипотенуза / Противоположность = CA / CB

    Сек. A = 1 / (cos a) = Гипотенуза / Соседний = CA / AB

    Есть несколько обратных тригонометрических функций.Здесь обратные косеканса, секанса, котангенса, тангенса, косинуса и синуса известны как косеканс дуги, секущая дуга, котангенс дуги, арктангенс, арккосинус и арксинус соответственно.

    Формула тригонометрии

    Формула тригонометрии — [Sin, Cos, Tan, Cot, Sec и Cosec]

    Формула тригонометрии : Тригонометрия — это хорошо известное имя в геометрической области математики, которое актуально в этой области с давних времен и также применяется практически во многих случаях.

    На простом языке тригонометрию можно определить как ту ветвь алгебры, которая связана с треугольником. В этом разделе мы в основном изучаем взаимосвязь между углами и длиной стороны данного треугольника. При таком подробном изучении треугольника формируются уравнения нескольких типов, которые впоследствии решаются для упрощения взаимосвязи между длинами сторон и углов такого треугольника.

    Тригонометрия считается одним из старейших компонентов алгебры, существующей примерно с 3 века.Существует практическое использование тригонометрии в нескольких контекстах, таких как астрономия, геодезия, оптика или периодические функции.

    Формулы тригонометрии

    Что ж, будь то алгебра или геометрия, обе эти области математики основаны на научных вычислениях уравнений, и мы должны выучить различные формулы, чтобы их было легко вычислить.

    Как мы знаем, в тригонометрии мы в основном измеряем разные стороны треугольника, из которых формируются несколько уравнений.Далее формулы тригонометрии составлены в соответствии с различными отношениями, используемыми в области, такими как синус, тангенс, косинус и т. Д. Таким образом, в основном есть номера формул, которые обычно используются в тригонометрии для измерения сторон треугольника. .

    Здесь мы упоминаем список различных типов формул тригонометрии.

    1. Основная формула тригонометрии

    2. Sin Cos Tan на 0, 30, 45, 60 градусов

    3.Пифагорейские тождества

    4. Знак греха, Cos, Tan в разных квадрантах

    A dd– S ugar – T o –C оферта

    5. Радианы

    1 градус = 60 минут
    Пример: 1 ° = 60 ′

    1 минута = 60 секунд
    Пример: 1 ′ = 60 дюймов

    6. Отрицательные углы [четно-нечетные отождествления]

    Sin (-x) = — Sin x
    Cos (-x) = Cos x
    Tan (-x) = — Tan x
    Cot (-x) = — Cot x
    Sec (-x) = Sec x
    Cosec (-x) = — Cosec x

    7.Значение Sin, Cos, Tan повторяется после 2𝛑

    Sin (2𝛑 + x) = Sin x
    Cos (2𝛑 + x) = Cos x
    Tan (2𝛑 + x) = Tan x

    8. Идентификация периодичности — Углы смещения на 𝛑 / 2, 𝛑, 3𝛑 / 2

    9. Идентификаторы суммы углов и разностей

    10. Формула двойного угла

    11. Формула тройного угла

    12. Половинные идентичности

    13. Сумма идентичностей

    14.Идентификационные данные продукта

    15. Закон греха

    Здесь,

    • ABC — вершины треугольника ABC.
    • Место, противоположное углу A, — это a. то есть BC
    • Место, противоположное углу B, — это b. т.е. AC
    • Место, противоположное углу C, равно c. т.е. AB

    16. Закон косинуса

    17. Обратная тригонометрическая функция

    Если Sin θ = x

    , затем поместите Sin на правую сторону

    Таким образом, вы можете видеть, что Sin — это угол. То же, что и функция, обратная всем функциям Trignomentry, — это угол.

    18. Область и диапазон функций обратной тригонометрии

    19. Формула обратной тригонометрии

    20. Замена обратной тригонометрии

    Как и любой другой раздел математики, формулы тригонометрии не менее важны, поскольку без этих формул вы не можете использовать значения треугольников для целей измерения. Эти формулы упрощают стороны треугольника, так что вы можете легко измерить все его стороны.

    Мы призываем всех ученых понять эти формулы, а затем легко применять их для решения различных типов задач тригонометрии.

    Тригонометрические формулы и идентичности — Полный список

    Последнее обновление: 6 февраля 2019 г., автор: Teachoo

    В формулах тригонометрии мы узнаем

    • Основные формулы

    • sin, cos tan при 0, 30, 45, 60 градусах

    • Пифагорейские тождества

    • Знак греха, cos, tan в разных квандрантах

    • Радианы

    • Отрицательные углы (четно-нечетные тождества)

    • Значение sin, cos, tan повторяется через 2π

    • Угол сдвига на π / 2, π, 3π / 2 (тождества ко-функции или тождества периодичности)

    • Сумма углов и тождества разностей

    • Формулы двойного угла

    • Формулы тройного угла

    • Половинные углы (формулы уменьшения мощности)

    • Сумма идентичностей (сумма идентичностей продуктов)

    • Идентичности продукта (продукт для суммирования идентичностей)

    • Закон синуса

    • Закон косинуса

    • Что такое функции обратной тригонометрии?

    • Область и диапазон функций обратной тригонометрии

    • Обратные тригонометрические формулы

    • Замены обратной тригонометрии

    Основные формулы

    sin, cos tan при 0, 30, 45, 60 градусах

    Пифагорейские тождества

    Признаки греха, соз, загар в разных квадрантах

    Чтобы узнать знак греха, cos, tan в разных квадрантах,

    мы помним

    А дд → S угар → Т o → C штраф

    Представляя в виде таблицы

    Квадрант я

    Квадрант II

    Квадрант III

    Квадрант IV

    грех

    +

    +

    потому что

    +

    загар

    +

    +

    Радианы

    Радианная мера = π / 180 × мера степени

    Также,

    1 градус = 60 минут

    я.е. 1 ° = 60 ’

    1 минута = 60 секунд

    т.е. 1 ’= 60’ ’

    Отрицательные углы (четно-нечетные тождества)

    sin (–x) = — sin x

    cos (–x) = cos x

    tan (–x) = — tan x

    сек (–x) = сек x

    cosec (–x) = — cosec x

    детская кроватка (–x) = — детская кроватка x

    Значение sin, cos, tan повторяется через 2π

    грех (2π + х) = грех х

    cos (2π + x) = cos x

    загар (2π + х) = загар х

    Угол сдвига на π / 2, π, 3π / 2 (тождества ко-функции или тождества периодичности)

    sin (π / 2 — x) = cos x

    cos (π / 2 — x) = sin x

    sin (π / 2 + x) = cos x

    cos (π / 2 + x) = — sin x

    sin (3π / 2 — x) = — cos x

    cos (3π / 2 — x) = — sin x

    sin (3π / 2 + x) = — cos x

    cos (3π / 2 + x) = sin x

    грех (π — х) = грех х

    cos (π — x) = — cos x

    sin (π + x) = — грех x

    cos (π + x) = — cos x

    sin (2π — x) = — грех x

    cos (2π — x) = cos x

    грех (2π + х) = грех х

    cos (2π + x) = cos x

    Сумма углов и тождества разностей

    Формулы двойного угла

    Формулы тройного угла

    Половинные углы (формулы уменьшения мощности)

    Сумма идентичностей (сумма идентичностей продуктов)

    Идентичности продукта (продукт для суммирования идентичностей)

    Продукт суммировать идентичности

    2 cos⁡x cos⁡y = cos⁡ (x + y) + cos⁡ (x — y)

    -2 sin⁡x sin⁡y = cos⁡ (x + y) — cos⁡ (x — y)

    2 sin⁡x cos⁡y = sin⁡ (x + y) + sin⁡ (x — y)

    2 cos⁡x sin⁡y = sin⁡ (x + y) — sin⁡ (x — y)

    Закон синуса

    Здесь

    • A, B, C — вершины ∆ ABC
    • a — сторона, противоположная A i.е. до н.э
    • b — сторона, противоположная B, т. е. AC
    • c — сторона, противоположная C, т.е. AB

    Закон косинуса

    Так же, как закон синуса, у нас есть закон косинуса

    Что такое обратные тригонометрические функции

    Если sin θ = x

    Затем положив грех на правильную сторону

    θ = грех -1 Икс

    грех -1 х = θ

    Итак, угол, обратный греху, — это угол.

    Точно так же все функции тригонометрии обратны углу.

    Примечание : Здесь угол измеряется в радианах, а не в градусах.

    Итак, у нас есть

    грех -1 Икс

    потому что -1 Икс

    загар -1 Икс

    Cosec -1 Икс

    сек -1 Икс

    загар -1 Икс

    Область и диапазон обратных тригонометрических функций

    Домен

    Диапазон

    грех -1

    [–1, 1]

    [-π / 2, π / 2]

    потому что -1

    [–1, 1]

    [0, π]

    загар -1

    р

    (-π / 2, π / 2)

    Cosec -1

    р — (–1, 1)

    [π / 2, π / 2] — {0}

    сек -1

    р — (–1, 1)

    [0, π] — {π / 2}

    детская кроватка -1

    р

    (0, π)

    Формулы обратной тригонометрии

    Некоторые формулы обратной тригонометрии:

    грех –1 (–X) = — грех -1 Икс

    потому что –1 (–X) = π — sin -1 Икс

    загар –1 (–X) = — загар -1 Икс

    Cosec –1 (–X) = — cosec -1 Икс

    сек –1 (–X) = — сек -1 Икс

    детская кроватка –1 (–X) = π — детская кроватка -1 Икс

    Подстановка обратной тригонометрии

    .

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.