Тригонометрия алгебра формулы: Тригонометрические формулы. Основные тригонометрические тождества. Тригонометрические тождества

Содержание

Алгебра 9 класс Тригонометрия Формулы сложения План урока

Языковые цели

 

Учащиеся будут:

­  оперировать терминами данного раздела;

­  комментировать вывод формул тригонометрических функций суммы и разности аргументов

­  аргументировать выбор формул при преобразовании тригонометрических выражений.

Предметная лексика и терминология

­    синус/косинус/тангенс/котангенс суммы аргументов;

­    синус/косинус/тангенс/котангенс разности аргументов;

Серия полезных фраз для диалога/письма

­  применим к выражению формулу тригонометрических функций суммы/разности аргументов;

Начало урока

10 минут

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Актуализация знаний

1.

Устная работа (Слайды 2,3)

1).Упростить:

а)cos (3π/2 + α) =  ;       б) tg(3600 – α) = ;

в) sin (π – α) =  ;            г) sin( π/2 + α) =  ;

д) tg ( 2π + α) =  ;          е) cos ( π/2 – α) =  ;

ж) ctg ( π/2 + α ) = ;        з) tg ( π + α) = .    

2). Вычислите:

а) cos 30o =             б) – 2 tg2 450 =

в) а sin 1800 =                     г) 2sin 300 =

д) sin 1350=                        е) sin 750 =

ж) sin 150 =                         з) cos 1050 = .

Вызов. Определение проблемы

Чтобы вычислить sin 750,  надо применить формулу синус суммы, а 

sin 150 формулу синус разности.

 

Середина урока

10 минут

 

 

 

 

 

15 минут

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 минут

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 минут

 

 

 

 

 

 

 

 

15 минут

 

 

 

 

 

 

На данном этапе можно организовать просмотр ролика https://www. youtube.com/watch?v=z47QtuD5lS0с последующим обсуждением либо вывод формулы  косинуса суммы аргументов можно продемонстрировать учителю самостоятельно, используя поворот начального радиуса, около начала координат, на угол α и на угол β, и привлекая учащихся к обсуждению данного вывода.

 

Самостоятельное обучение. Вывод формулы  косинуса разности аргументов самостоятельно, представив разность аргументов α – β, как сумму α и (-β).

Объединение учащихся в группы, учитывая индивидуальные способности учащихся и уровень математической подготовки.  Используяформулы приведения и основные тригонометрические тождества, ученики самостоятельно должны вывести формулы синуса/ тангенса/ котангенса суммы и разности аргументов. Каждая группа демонстрирует классу результаты своей работы.

 

Для быстрого запоминания формул можно предложить учащимся устные упражнения. Или предложить каждому ученику записывать свой ответ на ламинированных листах формата А4.

Упростить:

Вычислить:

 

Парная  работа. Закрепление.

Вычислите:

1)         Ответ: -1

2)         Ответ: 1

Проверку можно провести по готовым ответам. Если необходимо, то разобрать решение у доски.

 

Разберите с учащимися следующие задания на применение формул суммы и разности аргументов.

Используя формулы сложения, вычислите:

; ; .

Дополнительно: можно предложить учащимся решить геометрические задачи. При решении данных задач нельзя использовать калькулятор.

1) Найдите х.

2)  На рисунке показаны три точки L (-2, 1), M (0, 2) и N (3, -2), соединенные в треугольник.

Углы α и β и точка P показаны на рисунке.

(i) Покажите, что . И запишите значение cosα.

(ii) Найти значения sin β и cos β.

(iii) Покажите, что .

(iv) Покажите, что .

 

Мордкович А. Г.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч.

Ч. 1. Учебник для учащихся общеобраз-х 

учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. 

Семенов. — 6-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 424 с. : ил.

 

Макарычев Ю. Н.  Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. 

учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков,

И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М. : Мнемозина,

2008. — 447 с. : ил.

Дифференциация может быть выражена в подборе заданий, в ожидаемом результате от конкретного ученика

 

Используйте данный раздел для записи методов, которые Вы будете использовать для оценивания того, чему учащиеся научились во время урока. 2\alpha=\dfrac{1+\cos{2\alpha}}2\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы произведения функций: \[\begin{array}{|c|} \hline \\ \sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\bigg(\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}\bigg)\\\\ \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\alpha+\beta)}\bigg)\\\\ \sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\sin{(\alpha-\beta)}+\sin{(\alpha+\beta)}\bigg)\\\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы суммы/разности функций: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin{\dfrac{\alpha+\beta}2}\cos{\dfrac{\alpha-\beta}2} &&& \sin\alpha-\sin\beta=2\sin{\dfrac{\alpha-\beta}2}\cos{\dfrac{\alpha+\beta}2}\\&&&\\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos{\dfrac{\alpha+\beta}2}\cos{\dfrac{\alpha-\beta}2} &&& \cos\alpha -\cos\beta=-2\sin{\dfrac{\alpha-\beta}2}\sin{\dfrac{\alpha+\beta}2}\\&&&\\ \mathrm{tg}\, \alpha \pm \mathrm{tg}\, \beta=\dfrac{\sin{(\alpha\pm\beta)}}{\cos\alpha\cos\beta} &&& \mathrm{ctg}\, \alpha\pm \mathrm{ctg}\, \beta= — \dfrac{\sin{(\alpha\pm \beta)}}{\sin\alpha\sin\beta}\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: \[\begin{array}{|l|r|} \hline &\\ \sin{2\alpha}=\dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1+\mathrm{tg}^2\, \alpha} & \cos{2\alpha}=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\, \alpha}{1+\mathrm{tg}^2\, \alpha}\\&\\ \cos\alpha\ne 0 & \sin\alpha\ne 0\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формула вспомогательного аргумента: \[\begin{array}{|c|} \hline \text{Частный случай}\\ \hline \\ \sin\alpha\pm \cos\alpha=\sqrt2\cdot \sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}4\right)}\\\\ \sqrt3\sin\alpha\pm \cos\alpha=2\sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}6\right)}\\\\ \sin\alpha\pm \sqrt3\cos\alpha=2\sin{\left(x\pm \dfrac{\pi}3\right)}\\\\ \hline \text{Общий случай}\\ \hline\\ a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin{(\alpha\pm \phi)}, \ \ \cos\phi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin\phi=\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \hline \end{array}\]

Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. \circ-\alpha)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)

 

3) \(\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha+(-\beta))=\sin\alpha\cos(-\beta)+\sin(-\beta)\cos\alpha=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\)

 

4) \(\mathrm{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\sin (\alpha\pm\beta)}{\cos (\alpha\pm\beta)}=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}=\)

 

разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\)
(при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\mp \mathrm{ctg}\,\beta\), при \(\cos\beta=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\pm \mathrm{ctg}\,\alpha\)):

 

\(=\dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha\pm\mathrm{tg}\,\beta}{1\mp\mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{tg}\,\beta}\)

 

Таким образом, данная формула верна только при \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\).

 

5) Аналогично, только делением на \(\sin\alpha\sin\beta\ne 0\), выводится формула котангенса суммы/разности двух углов. 2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}2\)

 

Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна \(2\) в левой части, а в правой части степень косинуса равна \(1\).

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул произведения функций:

 

1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

 

\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

 

\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

 

Получим: \(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta \Rightarrow \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\Big)\)

 

2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:

 

\(\sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\Big)\)

 

3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

 

\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\)

 

\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\)

 

Получим: \(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\Big)\)

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул суммы/разности функций:

 

Обозначим \(\alpha+\beta=x, \alpha-\beta=y\). Тогда: \(\alpha=\dfrac{x+y}2, \ \beta=\dfrac{x-y}2\). Подставим эти значения в предыдущие три формулы:

 

1) \(2\cos{\dfrac{x+y}2}\cos{\dfrac{x-y}2}=\cos x+\cos y\)

 

Получили формулу суммы косинусов.

 

2) \(2\sin {\dfrac{x+y}2}\sin {\dfrac{x-y}2}=\cos y-\cos x\)

 

Получили формулу разности косинусов.

 

3) \(2\sin {\dfrac{x+y}2}\cos {\dfrac{x-y}2}=\sin y+\sin x\)

 

Получили формулу суммы синусов.

 

4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:

 

\(\sin x-\sin y=\sin x+\sin(-y)=2\sin {\dfrac{x-y}2}\cos {\dfrac{x+y}2}\)

 

5) \(\mathrm{tg}\,\alpha\pm\mathrm{tg}\,\beta=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\pm\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\)

 

Аналогично выводится формула суммы котангенсов.

 

\(\blacktriangleright\) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

 

1) \(\sin2\alpha=\dfrac{\sin2\alpha}1=\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\)

 

(разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0\) и \(\sin2\alpha=0\)):)

 

\(=\dfrac{2\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\,\alpha}\)

 

2) Так же, только делением на \(\sin^2\alpha\), выводится формула для косинуса. 2}\,\cos (x-\phi)\]

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:

 

\(a) \ \sin x\pm\cos x=\sqrt2\,\left(\dfrac1{\sqrt2}\sin x\pm\dfrac1{\sqrt2}\cos x\right)=\sqrt2\, \sin \left(x\pm\dfrac{\pi}4\right)\)

 

\(b) \ \sqrt3\sin x\pm\cos x=2\left(\dfrac{\sqrt3}2\sin x\pm \dfrac12\cos x\right)=2\, \sin \left(x\pm\dfrac{\pi}6\right)\)

 

\(c) \ \sin x\pm\sqrt3\cos x=2\left(\dfrac12\sin x\pm\dfrac{\sqrt3}2\cos x\right)=2\,\sin\left(x\pm\dfrac{\pi}3\right)\)

 

Урок алгебры в 9-м классе по теме «Тригонометрические формулы и приемы их запоминания»

Цель урока: познакомить учащихся с мнемоническими правилами для запоминания формул приведения и значений тригонометрических функций некоторых углов; способствовать развитию логического мышления и устной математической речи при поиске решения поставленной проблемы;
воспитывать внимательность, наблюдательность и самостоятельность

Замечание: при проведении этого урока использовалась интерактивная доска и пульты дистанционного тестирования Activote, но провести его можно без этого оборудования, при помощи прилагаемой презентации. Можно провести числовой анализ на каждом этапе тестирования – на начальном и итоговом, а можно сделать сравнительный анализ в конце урока, в качестве подведения итогов.

Ход урока

I. Организационный момент/

– Здравствуйте, ребята! Тригонометрия – один из интереснейших разделов математики, но почему-то большинство учащихся считают его самым трудным. Объяснить это, скорее всего можно тем, что в этом разделе формул больше, чем в любом другом – формулы приведения, формулы сложения, формулы двойного и половинного аргументов, формулы суммы и разности тригонометрических функций, формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. И самая первая группа формул, с которой вы познакомились в курсе геометрии 8 класса – основные тригонометрические тождества. Без знаний этих формул ни одно тригонометрическое выражение не преобразуешь. Сегодня на уроке, я хочу познакомить вас с некоторыми приемами запоминания тригонометрических формул. Может, некоторые из них вам уже знакомы.

II. Входное (интерактивное) тестирование/

– Перед вами на парте лежат пульты дистанционного тестирования. Я предлагаю вам выполнить тест на знание тригонометрических формул и значений тригонометрических функций некоторых углов. Чтобы ответить на вопрос вам необходимо нажать на пульте кнопку с выбранным вами вариантом ответа.

III. Изучение нового материала (знакомство с приемами запоминания тригонометрических формул).

1. Табличные значения тригонометрических функций.

Вы уже знаете, что тригонометрическую функцию любого угла можно выразить через тригонометрическую функцию угла, не превышающего 90º. Поэтому необходимо знать табличные значения углов первой четверти.

Для запоминания значений синуса и косинуса для углов в 30º, 45º и 60º я предлагаю своим ученикам притчу.

– Пошли три дамы гулять. Первая дама, вторая дама и третья дама. И неожиданно пошел дождь. Все дамы открыли зонтики, и одели по паре калош. Прогулка была закончена, и дамы вернулись домой. Первая дама, вторая дама и третья дама пошли домой. (Сначала, в таблице, во второй строке по порядку указываются номера дам. За тем изображают корни – “зонтики”, и “надевают калоши” – в знаменателях пишут 2).

Чтобы указать значения тангенса и котангенса тех же углов достаточно вспомнить ОТТ, т.е , а котангенс взаимно обратная функция для тангенса.

2. Формулы приведения

Тригонометрические функции углов видамогут быть выражены через функции угла α с помощью формул, которые называют формулами приведения. Но запоминать эти формулы не обязательно. Для преобразования таких выражений достаточно знать знаки тригонометрических функций по четвертям и еще одну притчу.

– Жил забывчивый математик, и каждый раз преобразовывая тригонометрические функции углов вида , он спрашивал у своей лошади, жующей за окном сено, надо менять функцию на конфункцию или нет. А лошадь кивала головой по той оси, на которой располагался угол являющиеся границами первой и третьей четвертей соответственно, лежат на оси Оу, то лошадь кивком головы подтверждала смену функции на конфункцию. А для углов наоборот отрицала. Математику оставалось лишь записывать ответ, указывая знак данной функции.

3. Формулы сложения.

Формулы сложения – это та, группа формул которую нужно знать наизусть. Но для их запоминания можно тоже воспользоваться ассоциативным приемом. У косинуса функции одноименные, а у синуса разноименные. Не все в нашей жизни бывает “гладко” за белой полосой идет черная, и наоборот. Так и у наших функций, если функции идут одноименные, то знаки не совпадают, а если разноименные, то совпадают.

cos (α ­ β ) = cos α cos β + sin α sin β;
cos (α + β ) = cos α cos β – sin α sin β;
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β;
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β.

Для получения формулы тангенса суммы и тангенса разности достаточно применить ОТТ и разделить числитель и знаменатель полученной дроби на cos α cos β, где

cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0.

Например, сos 97º cos 67º + sin 97º sin 67º = ños (97º– 67º) = ños 30º = ;

sin 25º

сos 20º + cos 25º sin 20º = sin (25º + 20º) = sin 45º = .

4. Формулы двойного угла

Чтобы получить тригонометрические формулы двойного аргумента достаточно в формулах сложения β заменить на α.

Например, cos 2α = cos (α + α ) = cos α cos α – sin α sin α = cos²α – sin²α;

sin 2α = sin (α + α ) = sin α cos α + sin α cos α = 2sin α cos α

tg2α = tg (α + α ) = .

Поэтому, 2 sin 65º cos 65º = sin (2∙ 65º) = sin130º = sin (180º – 50º) = sin 50º

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Если сложить косинус разности с косинусом суммы двух углов,то мы получим формулу суммы косинусов:

cos (α – β ) = cos α cos β + sin α sin β;
cos (α + β ) = cos α cos β – sin α sin β;
cos (α – β ) + cos (α + β ) = 2 cos α cos β (*)

Обозначим α – β ηа х, а α + β ηа у, тогда α = (х + у) и β =(х – у). Следовательно,

cos х + cos у = 2 cos(х+у) cos(х-у). Если обе части равенства (*) разделить на два, то мы получим формулу, позволяющую представлять произведение косинусов двух углов в виде суммы: cos α cos β =(cos (α – β ) + cos (α + β )). ΐналогичным способом мы получим:

cos х – cos у = -2 sin(х + у) sin(х – у) и sin α sin β = (cos (α – β ) – cos (α + β )).

Если сложить синус разности с синусом суммы двух углов, то мы получим формулу суммы синусов:

sin (α – β ) = sin α cos β – cos α sin β;
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β;
sin (α – β ) + sin (α + β ) = 2 sin α cos β (**)

Из чего мы получаем: sin α cos β =(sin (α – β ) + sin (α + β )) θ

sin х + sin у = 2 sin(х + у) cos (х – у).

Например, cos 80º– cos 40º = -2 sin(80º + 40º) sin(80º – 40º) = -2 sin60º sin 20º = -√3sin 20º.

sin 35º + sin 55º = 2 sin

(35º + 55º) cos (35º – 55º) = 2 sin45º cos 10º = √2 cos 10º.

IV. Инструктаж домашнего задания.

В качестве домашнего задания ребятам можно предложить, используя рассмотренные на уроке приемы, записать тригонометрические формулы. И сделать это нужно несколько раз.

V. Итог урока (интерактивное тестирование).

На интерактивной доске демонстрируются результаты тестирования на входе и выходе.

Конспект по алгебре на тему «Формулы двойного угла» (10 класс)

Урок по теме: «Формулы двойного угла»

Цели урока: Учиться применять формулы для упрощения тригонометрических выражений.

Ход урока

  1. Организационный момент.

Актуализация знаний. Мы живём в реальном мире, и для его познания нам необходимы знания. Сегодня мы поднимемся на следующую ступеньку наших знаний по теме: «Тригонометрия». Перед тем как запишем тему нашего урока сначала мы должны убедиться , что все что мы изучаем, находит применение в жизни.

— Тригонометрия помогает рассчитывать влияние ветра на полет самолета. Треугольник скоростей – это треугольник, образованный вектором воздушной скорости (V), вектором ветра( W), вектором путевой скорости (Vп). ПУ – путевой угол, УВ – угол ветра, КУВ – курсовой угол ветра.

— При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

— Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (количество дней).

Даже некоторые участки головного мозга называются синусами.

Прием «Мозговой штурм»: Перечислите все известные понятия, связанные с тригонометрией.

Запишите в тетради некоторые из них.

Прием «Ключевые слова». Ниже записаны ключевые слова по теме тригонометрия. Учащимся необходимо записать, пользуясь учебником 1-2 формулы, связанные с каждым понятием.

1) Синус, косинус, тангенс, котангенс

2) Плюс, минус

3) Зависимость

4) Тождество

5)Абсцисса, ордината.

6) –α

7) 1

2.Изучение нового материала. Метод «Активной беседы.

А) Какие формулы мы изучали на прошлом уроке? (синус, косинус и тангенс суммы и разности углов) П 28 стр 144 — 146.

Б) Могут ли углы быть равными? (да)

В) Что получим, применив формулу.

Вывод формул двойного аргумента:

  1. Из формулы косинуса суммы двух аргументов, заменив β на α, получить формулу косинуса двойного аргумента.

  1. Из формулы синуса суммы двух аргументов, заменив β на α, получить формулу синуса двойного аргумента.

  1. Из формулы тангенса суммы двух аргументов, заменив β на α, получить формулу тангенса двойного аргумента.

Д) Как можно назвать данные формулы? (синус и косинус двойного угла). Это и есть тема нашего урока.

Ж) Какая цель нашей дальнейшей работы на уроке? (научиться применять данные формулы)

3.Закрепление изученного материала.

Рассмотрим применение формул двойного угла для нахождения значений тригонометрических функций и преобразования тригонометрических выражений.

Пример 1. Известно, что . Найти

Вопросы учащимся:

Какой четверти принадлежит угол ?

Какой знак имеет синус в этой четверти?

Мы знаем, что , так как нам известен остается найти .

Для этого какой формулой воспользуемся?:

значение синуса берем с плюсом так, как синус в первой четверти принимает положительное значение.

Пример 2. Упростите выражение:



самостоятельная домашняя работа

Упростите

1).

2).

3).

4).

5)

6). Известно, что

Найдите:

Основные формулы тригонометрии

  • Главная
  • Справочник
  • Тригонометрия
  • Основные формулы тригонометрии

Тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Их всего четыре:

  • Синус \( \displaystyle sin\left( x \right) \)
  • Косинус \( \displaystyle cos\left( x \right) \)
  • Тангенс \( \displaystyle tg\left( x \right) \)
  • Котангенс \( \displaystyle ctg\left( x \right) \)

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ — с использованием формул. {n}}\arcsin \alpha +\pi n \)

\( \displaystyle -\dfrac{\pi }{2}+2\pi n \) \( \displaystyle \pi n \) \( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+2\pi n \)
\( \displaystyle \cos x=A \) \( \displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n \) \( \displaystyle \pi +2\pi n \) \( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \) \( \displaystyle 2\pi n \)
\( \displaystyle tgx=A \) \( \displaystyle arctg\alpha +\pi n \) \( \displaystyle -\dfrac{\pi }{4}+\pi n \) \( \displaystyle \pi n \) \( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \)
\( \displaystyle ctgx=A \) \( \displaystyle arcctg\alpha +\pi n \) \( \displaystyle \dfrac{3\pi }{4}+\pi n \) \( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \) \( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \)

Второй способ — через тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее. {2}}a=1 \]


Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)

\[ \displaystyle tg\ \alpha =\dfrac{sin\ \alpha }{cos\ \alpha } \]


Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)

\[ \displaystyle ctg\ \alpha =\dfrac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }=\dfrac{1}{tg\ \alpha } \]


Синус суммы и разности:

\[ \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta \]


Косинус суммы и разности:

\[ \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \]


Тангенс суммы и разности:

\[ \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\dfrac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \cdot tg\beta } \]

Формулы понижения степени:

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному. {2}}\alpha } \]

Формулы преобразования суммы функций

Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.

\[ \displaystyle sin\alpha \pm sin\beta =2sin\dfrac{\alpha \pm \beta }{2}cos\dfrac{\alpha \mp \beta }{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}cos\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha -cos\beta =-2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]

\[ \displaystyle tg\alpha \pm tg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \alpha \pm \beta \right)}{cos\alpha cos\beta } \]

\[ \displaystyle ctg\alpha \pm ctg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \beta \pm \alpha \right)}{sin\alpha sin\beta } \]

Формулы преобразования произведений функций

\[ \displaystyle sin\alpha sin\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)-\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]

\[ \displaystyle sin\alpha cos\beta =\dfrac{\sin \left( \alpha +\beta \right)+\text{sin}\left( \alpha -\beta \right)}{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha cos\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)+\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!