Таблица однородных предложений: Таблица 15 — Однородные члены предложения

Напротив, на рисунке 2 ниже показана гистограмма относительной частоты распределения лечения гипотензивными препаратами.Это графическое представление соответствует табличному представлению в последнем столбце Таблицы 2 выше.

Рисунок 2 — Гистограмма относительной частоты

Частотная гистограмма семейного положения может выглядеть, как на Рисунке 3 ниже.

Рисунок 3

Рассмотрим графическое представление данных в таблице 3 выше, сравнивая относительную частоту приема гипотензивных препаратов между мужчинами и женщинами.Это уместно выглядело бы, как показано на рисунке ниже. Обратите внимание, что для вертикальной оси был выбран диапазон от 0 до 40.

Рисунок 4

Ловушка:

Для приведенного выше примера относительные частоты составляют 31,8% и 37,7%, поэтому масштабирование вертикальной оси от 0 до 40% подходит для размещения данных. Однако можно визуально ввести читателя в заблуждение относительно сравнения, используя вертикальную шкалу, которая либо слишком широка, либо слишком ограничительна.Рассмотрим две гистограммы ниже (рисунки 5 и 6).

Рисунок 5

Рисунок 6

На этих гистограммах отображаются одинаковые относительные частоты, т. Е. 31,8% и 37,7%. Однако гистограмма слева минимизирует разницу, потому что вертикальный масштаб слишком большой и находится в диапазоне от 0 до 100%. С другой стороны, линейчатая диаграмма справа визуально преувеличивает разницу, потому что вертикальный масштаб слишком ограничен, в пределах 30-40%.

Гистограммы порядковых переменных

Отличительной чертой столбчатых диаграмм для дихотомических и неупорядоченных категориальных переменных является то, что столбцы разделены пробелами, чтобы подчеркнуть, что они описывают неупорядоченные категории. Однако, когда мы имеем дело с порядковыми переменными, подходящим графическим форматом является гистограмма . Гистограмма похожа на гистограмму, за исключением того, что соседние столбцы примыкают друг к другу, чтобы усилить идею о том, что категории имеют внутренний порядок.Гистограмма частот ниже суммирует данные артериального давления, которые были представлены в табличном формате в таблице 4 на предыдущей странице. Обратите внимание, что на вертикальной оси отображается частота или количество участников, отнесенных к каждой категории.

Рисунок 7 Частотная гистограмма артериального давления

Эта гистограмма сразу передает сообщение о том, что большинство участников относятся к двум нижним категориям распределения.Небольшое количество участников относится к категории гипертонии II стадии. Гистограмма ниже представляет собой гистограмму относительной частоты для тех же данных. Обратите внимание, что рисунок такой же, за исключением вертикальной оси, которая масштабирована для размещения относительных частот вместо частот.

Рисунок 8 — Гистограмма относительной частоты для артериального давления

Чтобы предоставить подробное описание вычислений, используемых для числовых и графических сводок непрерывных переменных, мы выбрали небольшую подгруппу (n = 10) участников Фрамингемского исследования сердца. Значения данных для этих десяти участников показаны в таблице ниже. Крайний правый столбец содержит индекс массы тела (ИМТ), рассчитанный с использованием измерений роста и веса.

Таблица 8 — Значения данных для небольшой выборки

Первая сводная статистика, которую важно сообщить для непрерывной переменной (а также для любой дискретной переменной), — это размер выборки (в данном примере размер выборки равен n = 10).Большие размеры выборки дают более точные результаты и, следовательно, имеют больший вес. Однако есть момент, когда увеличение размера образца существенно не повысит точность анализа. Вычисления размера выборки будут подробно обсуждаться в следующем модуле.

Поскольку эта выборка мала (n = 10), ее легко обобщить, проверив наблюдаемые значения, например, перечислив диастолическое артериальное давление в порядке возрастания:

62 63 64 67 70 72 76 77 81 81

Диастолическое артериальное давление <80 мм рт. Ст. Считается нормальным, и мы видим, что последние два значения едва превышают верхний предел.Однако для большой выборки проверка отдельных значений данных не дает содержательной сводной информации, и необходимы сводные статистические данные. Два ключевых компонента полезной сводки для непрерывной переменной:

• описание центра или «среднего» данных (т.е. какое типичное значение?) И
• указывает на изменчивость данных.

Среднее значение

В биостатистике термин «средний» — это очень общий термин, который может рассматриваться с помощью нескольких статистических данных.Наиболее знакомым является выборочное среднее, которое вычисляется путем суммирования всех значений и деления на размер выборки. Для образца диастолического артериального давления в таблице выше среднее значение образца рассчитывается следующим образом:

Среднее значение = (62 + 63 + 64 + 67 + 70 + 72 + 76 + 77 + 81 + 81) / 10 = 71,3

Чтобы упростить формулы для статистики выборки (и для параметров генеральной совокупности), мы обычно обозначаем интересующую переменную как «X». X — это просто заполнитель для анализируемой переменной.Здесь X = диастолическое артериальное давление.

Общая формула для выборочного среднего:

Значок X с полосой над ним представляет выборочное среднее значение и читается как «столбик X». Знак Σ обозначает суммирование (то есть сумму X или сумму диастолического артериального давления в этом примере).

При составлении сводной статистики для непрерывной переменной принято указывать на один десятичный знак больше, чем количество измеренных десятичных знаков.Систолическое и диастолическое артериальное давление, общий холестерин в сыворотке и вес измерялись с точностью до ближайшего целого числа, поэтому итоговая статистика приводится с точностью до десятого. Высота измерялась с точностью до четверти дюйма (сотых долей), поэтому сводная статистика приводится с точностью до тысячных долей. Индекс массы тела рассчитан с точностью до десятых, сводная статистика приведена с точностью до сотых.

Медиана

Вторая мера «среднего» значения — это медиана выборки, которая является средним значением в упорядоченном наборе данных или значением, отделяющим верхние 50% значений от нижних 50%.Когда в выборке есть нечетное количество наблюдений, медиана — это значение, которое содержит столько значений над ним, сколько под ним в упорядоченном наборе данных. Когда в выборке четное количество наблюдений (например, n = 10), медиана определяется как среднее из двух средних значений в упорядоченном наборе данных. В выборке из n = 10 диастолического артериального давления два средних значения — 70 и 72, и, таким образом, медиана составляет (70 + 72) / 2 = 71. Половина диастолического артериального давления выше 71, а половина — ниже.В этом случае среднее значение выборки и медиана выборки очень похожи.

Среднее значение и медиана предоставляют различную информацию о среднем значении непрерывной переменной. Предположим, что выборка из 10 значений диастолического артериального давления выглядела следующим образом:

62 63 64 67 70 72 76 77 81 140

В этом случае выборочное среднее (x «полоса») = 772/10 = 77,2, но это не кажется нам «типичным» значением, поскольку большинство диастолических артериальных давлений в этом образце ниже 77.2. Экстремальное значение 140 влияет на вычисление среднего. Для этого же образца медиана составляет 71. На медиана не влияют экстремальные или выпадающие значения. По этой причине медиана предпочтительнее среднего, когда есть экстремальные значения (очень маленькие или очень большие значения по сравнению с другими). Когда нет экстремальных значений, среднее значение является предпочтительной мерой типичного значения, отчасти потому, что каждое наблюдение учитывается при вычислении среднего. Если в выборке нет экстремальных значений, среднее и медианное значение в выборке будут близкими по величине.Ниже мы предлагаем более формальный метод определения крайних значений и, следовательно, использования медианы.

В таблице 9 показаны выборочные средние и медианы для каждой из непрерывных мер для выборки n = 10 в таблице 8.

Таблица 9 — Средние и медианы переменных в подвыборке размера n = 10

Для каждой непрерывной переменной, измеренной в подвыборке из n = 10 участников, средние и медианы не идентичны, но относительно близки по значению, что позволяет предположить, что среднее является наиболее подходящим обобщением типичного значения для каждой из этих переменных.(Если среднее значение и медиана сильно различаются, это говорит о наличии выбросов, влияющих на среднее значение.)

Режим

Третьим показателем «типичного» значения для непрерывной переменной является режим, который определяется как наиболее частое значение. В таблице 8 выше режим диастолического артериального давления равен 81, режим общего уровня холестерина — 227, режим высот — 70,00, потому что каждое из этих значений появляется дважды, тогда как другие значения появляются только один раз. Для каждой из других непрерывных переменных существует 10 различных значений, поэтому режима нет, поскольку ни одно значение не появляется чаще, чем любое другое.

Предположим, что диастолическое артериальное давление было:

62 63 64 64 70 72 76 77 81 81

В этом примере есть два режима: 64 и 81. Этот режим представляет собой полезную сводную статистику для непрерывной переменной. Он не отображается вместо среднего или медианного значения, а скорее в дополнение к среднему значению или медиане.

Диапазон

Второй аспект непрерывной переменной, который необходимо резюмировать, — это изменчивость выборки.Относительно грубым, но важным показателем изменчивости в выборке является диапазон выборки. Диапазон выборки вычисляется следующим образом:

Диапазон выборки = Максимум — Минимальное значение

В таблице 10 показаны диапазоны выборки для каждой из непрерывных мер в подвыборке из n = 10 наблюдений.

Таблица 10 Диапазоны переменных в подвыборке размера n = 10

Диапазон переменной зависит от масштаба измерения. Артериальное давление измеряется в миллиметрах ртутного столба; общий холестерин измеряется в миллиграммах на децилитр, вес — в фунтах и ​​так далее.Диапазон общего холестерина в сыворотке велик с минимальным и максимальным значениями в выборке размером n = 10, различающихся на 125 единиц. Напротив, рост участников более однороден с диапазоном 11,25 дюйма. Диапазон — важная описательная статистика для непрерывной переменной, но он основан только на двух значениях в наборе данных. Как и на среднее значение, на диапазон выборки могут влиять экстремальные значения, поэтому к его интерпретации следует относиться с осторожностью. Наиболее широко используемая мера изменчивости для непрерывной переменной называется стандартным отклонением, которое проиллюстрировано ниже.

Если нет крайних или выпадающих значений переменной, среднее значение является наиболее подходящим обобщением типичного значения, и для обобщения изменчивости данных мы специально оцениваем изменчивость в выборке вокруг выборочного среднего. Если все наблюдаемые значения в выборке близки к выборочному среднему, стандартное отклонение будет небольшим (то есть близким к нулю), а если наблюдаемые значения сильно различаются вокруг выборочного среднего, стандартное отклонение будет большим.Если все значения в выборке идентичны, стандартное отклонение выборки будет равно нулю.

При обсуждении выборочного среднего мы обнаружили, что выборочное среднее для диастолического артериального давления составило 71,3. В таблице ниже показано каждое из наблюдаемых значений вместе с соответствующим отклонением от выборочного среднего.

Таблица 11 — Диастолическое артериальное давление и отклонение от среднего значения

Отклонения от среднего значения отражают, насколько далеко диастолическое артериальное давление каждого человека от среднего диастолического артериального давления.Диастолическое артериальное давление первого участника на 4,7 единицы выше среднего, а диастолическое артериальное давление второго участника на 7,3 единицы ниже среднего. Нам нужна сводка этих отклонений от среднего, в частности, мера того, насколько в среднем каждый участник находится от среднего диастолического артериального давления. Если мы вычислим среднее значение отклонений, суммируя отклонения и разделив их на размер выборки, мы столкнемся с проблемой. Сумма отклонений от среднего равна нулю.Так будет всегда, поскольку это свойство выборочного среднего, т.е. сумма отклонений ниже среднего всегда будет равна сумме отклонений выше среднего. Однако цель состоит в том, чтобы зафиксировать величину этих отклонений в виде сводной меры. Чтобы решить эту проблему суммирования отклонений до нуля, мы могли бы взять абсолютные значения или возвести в квадрат каждое отклонение от среднего. Оба метода решат проблему. Более популярный метод суммирования отклонений от среднего включает возведение отклонений в квадрат (абсолютные значения затруднены в математических доказательствах).Таблица 12 ниже отображает каждое из наблюдаемых значений, соответствующие отклонения от выборочного среднего и квадратичные отклонения от среднего.

Таблица 12

Квадрат отклонений интерпретируется следующим образом.Отклонение в квадрате первого участника составляет 22,09, что означает, что его / ее диастолическое артериальное давление составляет 22,09 единиц в квадрате от среднего диастолического артериального давления, а диастолическое артериальное давление второго участника составляет 53,29 единиц в квадрате от среднего диастолического артериального давления. Величина, которая часто используется для измерения изменчивости в выборке, называется дисперсией выборки, и по сути представляет собой среднее значение квадратов отклонений. Выборочная дисперсия обозначается s ² и рассчитывается следующим образом:

В этой выборке из n = 10 диастолического артериального давления дисперсия выборки составляет s ² = 472.10/9 = 52,46. Таким образом, в среднем диастолическое артериальное давление составляет 52,46 единиц в квадрате от среднего диастолического артериального давления. Из-за возведения в квадрат дисперсию нельзя особо интерпретировать. Более распространенной мерой изменчивости в выборке является стандартное отклонение выборки, определяемое как квадратный корень из дисперсии выборки:

Когда набор данных имеет выбросы или экстремальные значения, мы суммируем типичное значение, используя медианное значение вместо среднего.Когда в наборе данных есть выбросы, изменчивость часто суммируется статистикой, называемой межквартильным диапазоном , который представляет собой разницу между первым и третьим квартилями. Первый квартиль, обозначенный Q ₁ , представляет собой значение в наборе данных, которое содержит 25% значений ниже it. Третий квартиль, обозначенный Q ₃ , представляет собой значение в наборе данных, которое содержит 25% значений выше it. Квартили можно определить с помощью того же подхода, который мы использовали для определения медианы, но теперь мы рассмотрим каждую половину набора данных отдельно.Межквартильный размах определяется следующим образом:

Межквартильный размах = Q ₃ -Q ₁

с четным размером выборки:

Для выборки (n = 10) среднее диастолическое артериальное давление составляет 71 (50% значений выше 71, а 50% ниже). Квартили можно определить так же, как мы определили медианное значение, за исключением того, что мы рассматриваем каждую половину набора данных отдельно.

Рисунок 9 — Межквартильный размах при четном размере выборки

Есть 5 значений ниже медианы (нижняя половина), среднее значение — 64, что является первым квартилем.Есть 5 значений выше медианы (верхняя половина), среднее значение — 77, что является третьим квартилем. Межквартильный размах 77 — 64 = 13; Межквартильный диапазон — это диапазон средних 50% данных.

————————————————- ————————————————— ————————————————— ————

с нечетным размером выборки:

Если размер выборки нечетный, медиана и квартили определяются таким же образом.Предположим, что в предыдущем примере было исключено самое низкое значение (62), а размер выборки был n = 9. Медиана и квартили указаны ниже.

Рисунок 10 — Межквартильный размах при нечетном размере выборки

Когда размер выборки равен 9, медиана — это среднее число 72. Квартили определяются таким же образом, глядя на нижнюю и верхнюю половины, соответственно. В нижней половине есть 4 значения, первый квартиль является средним из двух средних значений в нижней половине ((64 + 64) / 2 = 64).Тот же подход используется в верхней половине для определения третьего квартиля ((77 + 81) / 2 = 79).

Выбросы и заборы Tukey:

Если в выборке нет выбросов, среднее и стандартное отклонение используются для суммирования типичного значения и изменчивости в выборке, соответственно. Если в выборке есть выбросы, медиана и межквартильный размах используются для обобщения типичного значения и вариабельности в выборке, соответственно.

В таблице 13 показаны средние значения, стандартные отклонения, медианы, квартили и межквартильные диапазоны для каждой из непрерывных переменных в подвыборке из n = 10 участников, принявших участие в седьмом экзамене Framingham Offspring Study.

Таблица 13 — Итоговая статистика по n = 10 участникам

В таблице 14 показаны наблюдаемые минимальные и максимальные значения, а также пределы для определения выбросов с использованием правила квартилей для каждой из переменных в подвыборке из n = 10 участников.Есть ли выбросы по какой-либо из переменных? Какие статистические данные наиболее подходят для суммирования среднего или типичного значения и дисперсии?

Таблица 14 — Пределы для оценки выбросов в характеристиках, измеренных в n = 10 участниках

¹ Определено Q ₁ -1,5 (Q ₃ -Q ₁ )

² Определено Q ₃ +1,5 (Q ₃ -Q ₁ )

Поскольку в подвыборке из n = 10 участников нет предполагаемых выбросов, среднее и стандартное отклонение являются наиболее подходящими статистическими данными для суммирования средних значений и дисперсии, соответственно, каждой из этих характеристик.

Полная фрамингемская когорта

Для ясности мы до сих пор использовали очень небольшое подмножество Framingham Offspring Cohort, чтобы проиллюстрировать вычисления сводной статистики и определение выбросов. Для вашего интереса в таблице 15 показаны средние значения, стандартные отклонения, медианы, квартили и межквартильные диапазоны для каждой непрерывной переменной, представленной в таблице 13 в полной выборке (n = 3539) участников, которые посетили седьмой экзамен Фрамингема. Исследование потомства.

Таблица 15 — Сводная статистика по выборке из (n = 3539) участников

В таблице 16 показаны наблюдаемые минимальные и максимальные значения, а также пределы для определения выбросов с использованием правила квартилей для каждой из переменных в полной выборке (n = 3 539).

Таблица 16 — Пределы для оценки выбросов в характеристиках, представленных в таблице 15

¹ Определено Q ₁ -1.5 (Q ₃ -Q ₁ )

² Определено Q ₃ +1,5 (Q ₃ -Q ₁ )

Популярным графическим дисплеем для непрерывной переменной является диаграмма «усы-коробочка» . Выбросы или экстремальные значения также могут быть оценены графически с помощью диаграмм типа «усы». Для подвыборки из n = 10 участников Фрамингема, которых мы рассматривали ранее, мы вычислили следующую сводную статистику диастолического артериального давления:

Иногда их называют квантилями или процентилями распределения.Конкретный квантиль или процентиль — это значение в наборе данных, которое содержит определенный процент значений на уровне или ниже. Первый квартиль , например, является 25 ^{-м процентилем} , что означает, что он содержит 25% значений, равных ему или ниже. Медиана — это процентиль 50 , третий квартиль — процентиль 75 , а максимум — процентиль 100 (т. Е. 100% значений находятся на его уровне или ниже).

График прямоугольного уса представляет собой графическое отображение этих процентилей.На рисунке 11 показан график диастолического артериального давления, измеренного в подвыборке из n = 10 участников, описанной выше в таблице 14. Горизонтальные линии представляют (сверху) максимум, третий квартиль, медианное значение (также обозначено точка), первый квартиль и минимум. Заштрихованный прямоугольник представляет средние 50% распределения (между первым и третьим квартилями). График коробчатого уса предназначен для быстрого отображения распределения переменной. Мы определили, что не было никаких выбросов в распределении диастолического артериального давления в подвыборке из n = 10 участников, которые присутствовали на седьмом экзамене Framingham Offspring Study.

Рисунок 11 — График диастолического артериального давления в подвыборке из n = 10.

Рис. 12 представляет собой график диастолического артериального давления, измеренного в полной выборке (n = 3 539) участников. Напомним, что в полной выборке мы определили, что были выбросами как на нижнем, так и на верхнем конце (см. Таблицу 16). На рисунке 12 выбросы отображаются в виде горизонтальных линий вверху и внизу распределения.В нижней части распределения есть 5 значений, которые считаются выбросами (т. Е. Значения ниже 47,5, которые были нижним пределом для определения выбросов). В верхней части распределения есть 12 значений, которые считаются выбросами (т. Е. Значения выше 99,5, которые были верхним пределом для определения выбросов). «Усы» графика (жирные горизонтальные скобки) — это пределы, которые мы определили для обнаружения выбросов (47,5 и 99,5).

Рисунок 12 — График диастолического артериального давления с усами-коробкой для полной выборки (n = 3539) участников

Диаграммы коробчатого уса очень полезны для сравнения распределений.На рисунке 13 ниже показаны бок-о-бок графики распределения веса в фунтах для мужчин и женщин в исследовании Framingham Offspring Study. На рисунке отчетливо виден сдвиг в распределении мужчин с гораздо большим весом. Фактически, 25 ^-й процентиль веса у мужчин составляет примерно 180 фунтов и равен 75 ^-му процентилю у женщин. В частности, 25% мужчин весят 180 или меньше по сравнению с 75% женщин. Как среди мужчин, так и среди женщин в верхней части распределения есть много выбросов.Среди мужчин есть две очень низкие ценности.

Рисунок 13 — Графики веса мужчин и женщин, расположенные бок о бок в исследовании Framingham Offspring

Поскольку мужчины обычно выше женщин (см. Рис. 14 ниже), неудивительно, что мужчины имеют больший вес, чем женщины.

Рис. 14 — График роста мужчин и женщин, построенный бок о бок с прямоугольными усами, в исследовании Framingham Offspring Study

Поскольку мужчины выше ростом, более уместным сравнением является индекс массы тела, см. Рис. 15 ниже.

Рисунок 15 — Графики индекса массы тела у мужчин и женщин, расположенные бок о бок в исследовании Framingham Offspring

Распределение индекса массы тела одинаково для мужчин и женщин. И снова наблюдается много выбросов как у мужчин, так и у женщин. Однако, принимая во внимание рост (сравнивая индекс массы тела вместо сравнения только веса), мы видим, что наиболее резко отклоняющиеся значения наблюдаются среди женщин.

На графиках «ящик-ус» выбросы — это значения, которые либо превышают Q ₃ + 1.5 IQR или падение ниже Q ₁ — 1,5 IQR. Некоторые пакеты статистических вычислений используют следующее для определения выбросов: значения, которые либо превышают Q ₃ + 3 IQR, либо падают ниже Q ₁ -3 IQR, что приведет к тому, что меньшее количество наблюдений будет классифицировано как выбросы. ^7,8 Правило, использующее 1,5 IQR, является наиболее часто применяемым правилом для определения выбросов.

Первым важным аспектом любого статистического анализа является соответствующая сводка ключевых аналитических переменных.Это включает в себя сначала определение типа анализируемой переменной. Этот шаг чрезвычайно важен, поскольку соответствующие числовые и графические сводки зависят от типа анализируемой переменной. Переменные бывают дихотомическими, порядковыми, категориальными или непрерывными. Лучшие числовые сводки для дихотомических, порядковых и категориальных переменных включают относительные частоты. Лучшие числовые сводки для непрерывных переменных включают среднее и стандартное отклонение или медианный и межквартильный размах, в зависимости от того, есть ли в распределении выбросы.Среднее и стандартное отклонение или медиана и межквартильный размах суммируют центральную тенденцию (также называемую местоположением) и дисперсию, соответственно. Лучшая графическая сводка для дихотомических и категориальных переменных — это гистограмма, а наилучшая графическая сводка для порядковой переменной — это гистограмма. Как гистограммы, так и гистограммы могут быть предназначены для отображения частот или относительных частот, причем последний является более популярным дисплеем. Графики прямоугольных усов представляют собой очень полезную и информативную сводку для непрерывных переменных.Графики прямоугольного уса также полезны для сравнения распределений непрерывной переменной среди взаимоисключающих (т. Е. Неперекрывающихся) групп сравнения.

В следующей таблице приведены основные статистические данные и графические изображения, организованные по типам переменных.

1. Национальный институт сердца, легких и крови. Доступно на: http://www.nhlbi.nih.gov.
2. Sullivan LM. Повторные мероприятия. Тираж (в печати).
3. Little RJ, Рубин ДБ.Статистический анализ с отсутствующими данными. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley and Sons, Inc .; 1987.
4. Американская кардиологическая ассоциация. Доступно на: http://www.americanheart.org.
5. Экспертная панель. Группа экспертов по обнаружению, оценке и лечению повышенного холестерина в крови у взрослых: резюме второго отчета экспертной группы NCEP (Группа лечения взрослых II). Журнал Американской медицинской ассоциации. 1993; 269: 3015-3023.
6. Хоаглин, округ Колумбия.Джон В. Тьюки и анализ данных. Статистические науки .