Сложение умножение деление: Порядок действий в Математике

Порядок действий в Математике

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• деление (:)

Операции отношения:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

• Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

• Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

• Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.

Возведение степень

— операция умножения числа на самого себя несколько раз.4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).

2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

 

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются по порядку слева направо
• сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо. Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

Как решаем:

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Ответ: 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Как рассуждаем:

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Ответ: 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

• Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 18.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Как решаем:

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

2 + 3 = 5.

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

 

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

Пример 1. Вычислить (4 + 1) * 3 + 62 : 3 — 7.

Как решаем:

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7.

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7 = 3 * 3 + 36 : 3 — 7 = 9 + 12 — 7 = 14.

Ответ: (3 + 1) * 2 + 62 : 3 — 7 = 14.

У нас есть статья «знаки больше, меньше или равно», она может быть полезной для тебя!

Урок 10. порядок выполнения действий в числовых выражениях — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок №10. Порядок выполнения действий в числовых выражениях

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— В какой последовательности выполняются действия в выражениях без скобок?

— В какой последовательности выполняются действия в выражениях со скобками?

Глоссарий по теме:

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или умножение и деление, то действия выполняются по порядку: слева направо.

Если в выражение без скобок входят не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то сначала выполняются по порядку умножение и деление, а затем сложение и вычитание также по порядку.

Если в выражение есть скобки, то сначала выполняются действия в скобках, а затем в установленном порядке сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 24.

2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь 3 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с. 15.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Выполним вычисления устно и расставим значения выражений в порядке возрастания.

Подсказка: Он должен быть в доме, в шкафу, на столе и даже в портфеле ученика.

В результате вычислений получилось:

Действительно во всём должен быть порядок и в математике тоже.

Выполняя задания, мы пользуемся законами и правилами математики. Эти правила и законы и поддерживают математический порядок.

Выполняя устные вычисления, мы выполняли действия по порядку. В выражениях использовали действия умножения и деления.

Рассмотрим выражения:

6 ∙ 3 + 4 : 2; 27 : 3 — 2 ∙ 2; 2 ∙ (5 + 4).

Это числовые выражения. Для их составления использовали числа и знаки действий.

Использовали не только умножение и деление, но и сложение, вычитание. В каком порядке будем выполнять действия?

В выражении 76 – 27 + 9 – 10 использовали знаки сложения и вычитания. Выполнять действия нужно по порядку: слева направо.

В выражении 80 : 8 ∙ 2 использовали знаки умножения и деления. Выполнять действия нужно также по порядку: слева направо.

Вывод: Если в выражениях только сложение и вычитание или умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

Выражения могут содержать сложение и вычитание, и умножение, и деление. В этом случае сначала выполняются деление и умножение по порядку. В математике эти действия считаются сильными. А затем сложение и вычитание тоже по порядку.

В математике есть способ, который позволяет выделить какое-то действие. Это постановка скобок. Скобки показывают, что действие внутри них, выполняется в первую очередь.

Действия в числовых выражениях выполняются в следующем порядке:

1. Действия записанные в скобках;
2. Умножение иделение по порядку: слева направо;
3. Сложение и вычитание по порядку: слева направо.

Знания этих математических правил позволит правильно находить значения выражений и не нарушать порядок.

Порядок действий в выражениях особый. 
И в каждом случае, помните, он свой. 
В порядке все действия выполняйте.

Сначала в скобках все посчитайте.

Потом чередом, умножайте или делите.

И, наконец, вычитайте или сложите.

Тренировочные задания.

1. Выберите действие, которое будет в выражение первым.

38 + 4 ∙ 7 + 19

Правильный ответ: умножение.

2. Выберите действие, которое в выражение будет последним.

40 : 5 + 12 – 8 : 2

Правильный ответ: вычитание.

Порядок выполнения математических действий | интернет проект BeginnerSchool.ru

Сегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий. Какие действия выполнять первыми? Сложение и вычитание, или умножение и деление. Странно, но у наших детей возникают проблемы с решением, казалось бы, элементарных выражений.

Читаем выражение слева направо и выбираем порядок действий по приоритету. Сначала выполняем действия в скобках. Затем умножение и/или деление. Далее складываем и вычитаем.

Если скобки имеют несколько вложений, то есть если внутри скобок есть ещё скобки, то сначала выполняем действия во внутренних скобках. Для простоты понимания, выражение в скобках можно воспринимать как самостоятельное выражение, то есть как отдельный пример, который надо решить. Внутри скобок действия выполняются согласно тому же порядку: Действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.

Умножение и деление не имеет между собой приоритета и выполняются слева направо, также как и сложение с вычитанием.

Рассмотрим пример:

38 – (10 + 6) = 22;

Итак, вспомним о том, что сначала вычисляются выражения в скобках

1) в скобках: 10 + 6 = 16;

2) вычитание: 38 – 16 = 22.

Если в выражение без скобок входит только сложение и вычитание, или только умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

10 ÷ 2 × 4 = 20;

Порядок выполнения действий:

1) слева направо, сначала деление: 10 ÷ 2 = 5;

2) умножение: 5 × 4 = 20;

10 + 4 – 3 = 11, т.е.:

1) 10 + 4 = 14;

2) 14 – 3 = 11.

Если в выражении без скобок есть не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то действия выполняются по порядку слева направо, но преимущество имеет умножение и деление, их выполняют в первую очередь, а за ними и сложение с вычитанием.

18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7

Порядок выполнения действий:

1) 18 ÷ 2 = 9;

2) 2 × 3 = 6;

3) 12 ÷ 3 = 4;

4) 9 – 6 = 3; т.е. слева направо – результат первого действия минус результат второго;

5) 3 + 4 = 7; т.е. результат четвертого действия плюс результат третьего;

Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются выражения в скобках, затем умножение и деление, а уж потом сложение с вычитанием.

30 + 6 × (13 – 9) = 54, т.е.:

1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4;

2) умножение: 6 × 4 = 24;

3) сложение: 30 + 24 = 54;

Итак, подведем итоги. Прежде чем приступить к вычислению, надо проанализировать выражение: есть ли в нем скобки и какие действия в нем имеются. После этого приступать к вычислениям в следующем порядке:

1)      действия, заключенные в скобках;

2)      умножение и деление;

3)      сложение и вычитание.

Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “Новости сайта“.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Порядок выполнения действий без скобок и со скобками

Для правильного вычисления значений числовых выражений, в которых нужно произвести более одного действия, необходимо знать установленный порядок выполнения арифметических действий.

Порядок действий без скобок

Установленный порядок арифметических действий без скобок:

1. Если выражение содержит только действия на сложение и вычитание, то они выполняются в порядке следования — слева направо:

2. Если выражение содержит только действия на умножение и деление, то действия выполняются в порядке следования — слева направо:

3. Если в выражении присутствуют и умножение с делением, и сложение с вычитанием, то сначала выполняются умножение и деление в порядке их следования (слева направо), а затем сложение и вычитание в порядке их следования (слева направо):

Порядок действий со скобками

Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем все действия, находящиеся за скобками.

В числовых выражениях со скобками порядок выполнения арифметических действий такой же, как и в выражениях без скобок.

Скобки применяются для обозначения действий, которые нужно произвести раньше остальных. Скобки не влияют на порядок остальных действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.

Дробная черта

Дробная черта в выражении может быть заменена на знак деления, в этом случае, всё что было над и под дробной чертой надо взять в скобки. Например:

13 + 2	= (13 + 2) : (10 — 7).
10 — 7

Знак деления в выражении можно заменить дробной чертой только в том случае, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение:

20 : 4(2 + 3)

нельзя заменить на

потому что такая замена нарушит порядок действий в данном выражении.

20 : 4(2 + 3) ≠	20	;
	4(2 + 3)

20	= 20 : (4(2 + 3)).
4(2 + 3)

Дробная черта в выражении заменяет скобки и означает, что надо вычислить отдельно выражение, стоящее в числителе, и отдельно выражение, стоящее в знаменателе, и первый результат разделить на второй.

Действия с дробями и смешанными числами

Содержание

Сложение и вычитание дробей

При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями получается дробь с тем же знаменателем, а её числитель равен сумме (разности) числителей рассматриваемых дробей.

Например,

При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями предварительно нужно привести их к общему знаменателю. Для упрощения вычислений желательно приводить дроби к наименьшему общему знаменателю, хотя это не является обязательным.

Например,

(в уголках сверху здесь обозначены дополнительные множители).

Умножение и деление дробей

При умножении дробей получается дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.

Например,

Деление дробей осуществляется в соответствии со следующим правилом:

Иногда это правило формулируют так: для того, чтобы разделить первую дробь на вторую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую.

В частности,

Действия со смешанными числами

Для того, чтобы избежать ошибок при выполнении арифметических действий со смешанными числами, рекомендуется сначала обратить смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить нужные арифметические действия, а потом, если это требуется, обратить результат в смешанное число.

ПРИМЕР. Найти сумму, разность, произведение и частное смешанных чисел

  и  

РЕШЕНИЕ. Преобразуем эти числа в неправильные дроби:

Далее получаем:

Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей и смешанных чисел. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Умножение дробей, правильная дробь Сложность: лёгкое
2.	Деление обыкновенных дробей (одинаковые знаменатели) Сложность: лёгкое
3.	Сумма дробей с равными знаменателями Сложность: лёгкое
4.	Разность дробей, равные знаменатели Сложность: лёгкое
5.	Число, обратное обыкновенной дроби Сложность: среднее
6.	Сумма целого числа и обыкновенной дроби Сложность: лёгкое
7.	Число, обратное смешанному Сложность: среднее
8.	Разность (смешанное число и единица) Сложность: лёгкое
9.	Число, обратное целому числу Сложность: среднее
10.	Вычитание из 1 правильной дроби Сложность: среднее
11.	Обыкновенная дробь в квадрате Сложность: среднее
12.	Вычитание из целого числа правильной дроби Сложность: среднее
13.	Обыкновенная дробь в кубе Сложность: среднее
14.	Вычитание дроби из смешанного числа Сложность: среднее
15.	Произведение смешанного числа и обыкновенной дроби Сложность: среднее
16.	Произведение двух смешанных чисел (разные знаменатели) Сложность: среднее
17.	Сумма смешанных чисел, одинаковые знаменатели Сложность: среднее
18.	Вычитание смешанных чисел Сложность: среднее
19.	Текстовая задача (два смешанных числа) Сложность: среднее
20.	Произведение десятичной дроби и обыкновенной Сложность: среднее
21.	Сумма смешанного числа и обыкновенной дроби (одинаковые знаменатели) Сложность: среднее
22.	Произведение двух отрицательных дробей Сложность: среднее
23.	Уравнение (неизвестная дробь) Сложность: среднее
24.	Деление целого числа на смешанное число Сложность: среднее
25.	Уравнение (неизвестный числитель дроби) Сложность: среднее
26.	Деление смешанного числа на обыкновенную дробь Сложность: среднее
27.	Сумма дробей, разные знаменатели Сложность: среднее
28.	Деление смешанного числа на обыкновенную дробь Сложность: среднее
29.	Разность дробей, знаменатели — взаимно простые числа Сложность: среднее
30.	Разность дробей, один знаменатель содержит второй как множитель Сложность: среднее
31.	Частное десятичной дроби и обыкновенной Сложность: среднее
32.	Вычитание дробей, знаменатели — большие разные числа Сложность: среднее
33.	Частное обыкновенных дробей с разными знаками Сложность: среднее
34.	Сумма смешанных чисел, разные знаменатели Сложность: среднее
35.	Частное двух отрицательных дробей Сложность: среднее
36.	Разность смешанного числа и дроби, разные знаменатели Сложность: среднее
37.	Текстовая задача Сложность: среднее
38.	Произведение трёх дробей Сложность: среднее
39.	Разность смешанных чисел, разные знаменатели Сложность: среднее
40.	Деление дроби на три другие дроби Сложность: среднее
41.	Уравнение Сложность: среднее
42.	Неизвестное слагаемое. Смешанные числа, разные знаменатели Сложность: среднее
43.	Неизвестное число Сложность: сложное
44.	Разность смешанных чисел (усложненный) Сложность: сложное
45.	Уравнение (произведение) Сложность: сложное
46.	Неизвестное вычитаемое. Смешанные числа, разные знаменатели Сложность: сложное
47.	Уравнение (сумма) Сложность: сложное
48.	Значение буквенного выражения Сложность: сложное

Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей

Сложение и вычитание десятичных дробей аналогично сложению и вычитанию натуральных чисел, но с определенными условиями.

Правило. Сложение и вычитание десятичных дробей производится по разрядам целой и дробной части как натуральных чисел.

При письменном сложении и вычитании десятичных дробей запятая, отделяющая целую часть от дробной, должна находиться у слагаемых и суммы или у уменьшаемого, вычитаемого и разности в одном столбце (запятая под запятой от записи условия до конца вычисления).

Примеры.

Сложение и вычитание десятичных дробей в строку:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 — 700,628 = (800 — 700) + 40 + 3 + (0,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Сложение и вычитание десятичных дробей в столбик:

Сложение десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для записи чисел, когда сумма разряда переходит через десяток. Вычитание десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для того, чтобы отметить разряд, в котором одалживается 1.

Если справа от слагаемого или уменьшаемого не хватает разрядов дробной части, то справа в дробной части можно дописывать столько нулей (увеличивать разрядность дробной части), сколько разрядов в другом слагаемом или уменьшаемом.

Умножение десятичных дробей производится так же, как и умножение натуральных чисел, по тем же правилам, но в произведении ставится запятая по сумме разрядов множителей в дробной части, считая справа налево (сумма разрядов множителей — это количество разрядов после запятой у множителей, вместе взятых).

Пример:

При умножении десятичных дробей в столбик первая справа значащая цифра подписывается под первой справа значащей цифрой, как и в натуральных числах:

Запись умножения десятичных дробей в столбик:

Запись деления десятичных дробей в столбик:

Подчеркнутые знаки — это знаки, за которые переносится запятая, потому что делитель должен быть целым числом.

Правило. При делении дробей делитель десятичной дроби увеличивается на столько разрядов, сколько разрядов в дробной его части. Чтобы дробь не изменилась, на столько же разрядов увеличивается и делимое (в делимом и делителе запятая переносится на одно и то же число знаков). Запятая ставится в частном на том этапе деления, когда целая часть дроби разделена.

Для десятичных дробей, как и для натуральных чисел, сохраняется правило: на ноль десятичную дробь делить нельзя!

Порядок операций — PEMDAS

Операции

«Операции» означают такие вещи, как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и т. Д. Если это не число, это, вероятно, операция.

Но, когда вы видите что-то вроде …

7 + (6 × 5 ² + 3)

… какую часть нужно рассчитать в первую очередь?

Начать слева и пойти направо?
Или идти справа налево?

Предупреждение: вычислите их в неправильном порядке, и вы можете получить неправильный ответ!

Итак, давным-давно люди согласились соблюдать правила при расчетах, а это:

Порядок действий

Действия, указанные в скобках, сначала

		4 × (5 + 3)	=	4 × 8	=	32
		4 × (5 + 3)	=	20 + 3	=	23	(неправильно)

Показатели (степени, корни) перед умножением, делением, сложением или вычитанием

		5 × 2 2	=	5 × 4	=	20
		5 × 2 2	=	10 2	=	100	(неправильно)

Умножьте или разделите перед сложением или вычитанием

		2 + 5 × 3	=	2 + 15	=	17
		2 + 5 × 3	=	7 × 3	=	21	(неправильно)

В противном случае просто идите слева направо

		30 ÷ 5 × 3	=	6 × 3	=	18
		30 ÷ 5 × 3	=	30 ÷ 15	=	2	(неправильно)

Как я все это помню…? ПЕМДАС!

пол	P первые скобки
E	E xponents (т.е. степени, квадратные корни и т. Д.)
MD	M ultiplication и D ivision (слева направо)
AS	A ddition и S ubtraction (слева направо)

Разделение и Умножение ранжируются одинаково (и идут слева направо).

Сложить и вычесть ранг одинаково (и идти слева направо)

Так сделай так:

После того, как вы сделали «P» и «E», просто идите слева направо, выполняя любые «M» или «D», как вы их найдете.

Затем идите слева направо, выполняя любые «A» или «S», когда найдете их.

	Вы можете вспомнить, сказав: « P lease E xcuse M y D ear A Unt S ally».
Или …	Пухлые эльфы могут потребовать перекус Попкорн Каждый понедельник Пончики Всегда воскресенье Ешьте, пожалуйста, вкусные яблочные штрудели мамы Везде приняли решения по суммам

Примечание: в Великобритании говорят BODMAS (скобки, заказы, деление, умножение, сложение, вычитание), а в Канаде говорят BEDMAS (скобки, экспоненты, разделить, умножить, сложить, вычесть). Все это означает одно и то же! Неважно, как вы это запомните, главное, чтобы вы все поняли правильно.

Примеры

Пример: как вычислить

3 + 6 × 2 ?

M Ультипликация до A ddition:

Сначала 6 × 2 = 12 , затем 3 + 12 = 15

Пример: как вычислить

(3 + 6) × 2 ?

P первая цифра:

Сначала (3 + 6) = 9 , затем 9 × 2 = 18

Пример: как вы работаете

12/6 × 3/2 ?

M ultiplication и D ivision ранжируются одинаково, поэтому просто идите слева направо:

Сначала 12/6 = 2 , затем 2 × 3 = 6 , затем 6/2 = 3

Практический пример:

Пример: Сэм бросил мяч прямо вверх со скоростью 20 метров в секунду, как далеко он улетел за 2 секунды?

Сэм использует эту особую формулу, которая учитывает эффекты гравитации:

высота = скорость × время — (1/2) × 9.8 × время ²

Сэм устанавливает скорость 20 метров в секунду и время 2 секунды:

высота = 20 × 2 — (1/2) × 9,8 × 2 ²

Теперь о расчетах!

Начать с: 20 × 2 — (1/2) × 9,8 × 2 ²

Сначала скобки: 20 × 2 — 0,5 × 9,8 × 2 ²

Тогда экспоненты (2 ² = 4): 20 × 2 — 0,5 × 9,8 × 4

Затем умножается: 40 — 19,6

Вычесть и СДЕЛАНО! 20.4

Мяч достигает 20,4 метра за 2 секунды

Показатели степени …

А как насчет этого примера?

4 ^{3 2}

Экспоненты особые: идут сверху вниз (сначала экспонента сверху). Итак, мы вычисляем так:

Начать с:		4 3 2
3 2 = 3 × 3:		4 9
4 9 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4:		262144

Так 4 ^{3 2} = 4 ^{(3 2 )} , а не (4 ³ ) ²

И, наконец, как насчет примера с самого начала?

Начать с: 7 + (6 × 5 ² + 3)

Скобки сначала , а затем Показатели : 7 + (6 × 25 + 3)

Затем Умножить : 7 + (150 + 3)

Затем Добавьте : 7 + (153)

Скобки завершены: 7 + 153

Последняя операция — Добавить : 160

Сначала умножить или сложить? Порядок обучения правилам действий

Когда учащиеся 3-х классов и выше учатся складывать, вычитать, умножать, делить и работать с основными числовыми выражениями, они начинают с выполнения операций над двумя числами.Но что происходит, когда выражение требует нескольких операций? Например, вы сначала складываете или умножаете? А как насчет умножения или деления? В этой статье объясняется, в каком порядке выполняются операции, и приводятся примеры, которые вы также можете использовать со студентами. Он также содержит два урока, которые помогут вам представить и развить концепцию.

Ключевой стандарт:

• Выполняйте арифметические операции, включающие сложение, вычитание, умножение и деление в обычном порядке, независимо от того, присутствуют ли скобки или нет.(3 класс)

Порядок операций — пример математики, которая очень процедурна. Легко ошибиться, потому что это не столько концепция, которую вы усвоили, сколько список правил, которые вам нужно запомнить. Но не обманывайтесь, думая, что процедурные навыки не могут быть глубокими! Он может представлять сложные проблемы, подходящие для старших школьников и созревший для обсуждения в классе:

• Меняется ли правило слева направо, когда умножение подразумевается, а не прописано? (Например, \ (3g \) или \ (8 (12) \) вместо \ (3 \ times g \) или \ (8 \ cdot 12 \).)
  
• Где факториал попадает в порядок операций?
• Что происходит, когда показатель степени возводится в другой показатель, но скобок нет? (Обратите внимание, что этот урок не включает экспоненты, хотя, если учащиеся готовы, вы можете расширить свой урок, включив их.)

Что является первым в порядке действий?

Со временем математики согласовали набор правил, называемый порядком операций , чтобы определить, какую операцию выполнить первой.Когда выражение включает только четыре основных операции, вот правила:

1. Умножайте и делите слева направо.
2. Сложить и вычесть слева направо.

При упрощении выражения, такого как \ (12 \ div 4 + 5 \ times 3-6 \), сначала вычислите \ (12 \ div 4 \), поскольку порядок операций требует сначала оценки любого умножения и деления (в зависимости от того, что произойдет первый) слева направо перед вычислением сложения или вычитания. В данном случае это означает сначала вычисление \ (12 \ div 4 \), а затем \ (5 \ times 3 \).После того, как все умножение и деление будут завершены, продолжайте, добавляя или вычитая (в зависимости от того, что наступит раньше) слева направо. Шаги показаны ниже.

\ (12 \ div 4 + 5 \ times 3-6 \)
\ (3 + 5 \ times 3-6 \)	Потому что \ (12 \ div 4 = 3 \)
\ (3 + 15-6 \)	Потому что \ (5 \ times 3 = 15 \)
\ (18-6 \)	Потому что \ (3 + 15 = 18 \)
\ (12 \)	Потому что \ (18-6 = 12 \)

Рассмотрим в качестве примера другое выражение:

\ (6 + 4 \ times 7-3 \)
\ (6 + 28-3 \)	Потому что \ (4 \ times 7 = 28 \), что выполняется первым, потому что умножение и деление оцениваются в первую очередь.
\ (34-3 \)	Потому что \ (6 + 28 = 34 \)
\ (31 \)	Потому что \ (34-3 = 1 \)

Иногда мы можем захотеть убедиться, что сначала выполняется сложение или вычитание. Группировка символов , таких как круглых скобок \ (() \), скобок \ ([] \) или фигурных скобок \ (\ {\} \), позволяет нам определить порядок, в котором выполняются определенные операции. выполнила.

Порядок операций требует, чтобы операции внутри символов группировки выполнялись перед операциями вне их.Например, предположим, что выражение 6 + 4 заключено в круглые скобки:

.

\ ((6 + 4) \ times 7-3 \)
\ (10 ​​\ times 7-3 \)	Потому что \ (6 + 4 = 10 \), что и делается во-первых, потому что он заключен в круглые скобки.
\ (70 — 3 \)	Потому что \ (10 ​​\ times 7 = 70 \), и скобок больше нет.
\ (67 \)	Потому что \ (70 — 3 = 67 \)

Обратите внимание, что выражение имеет совершенно другое значение! Что, если вместо этого мы заключим \ (7 — 3 \) в круглые скобки?

\ (6 + 4 \ times (7-3) \)
\ (6 + 4 \ times 4 \)	На этот раз \ (7-3 \) находится в скобках, так что мы делаем это в первую очередь.
\ (6 + 16 \)	Поскольку \ (4 \ times 4 = 16 \) и когда скобок не осталось, мы продолжаем умножение перед сложением.
\ (22 \)	Потому что \ (6 + 16 = 22 \)

Этот набор скобок дает еще один ответ. Итак, когда используются круглые скобки, правила порядка операций следующие:

1. Операции в скобках или групповые символы.
2. Умножайте и делите слева направо.
3. Сложить и вычесть слева направо.

Порядок действий: PEMDAS

Purplemath

Если вас просят упростить что-то вроде «4 + 2 × 3», естественно возникает вопрос: «Как мне это сделать? Потому что есть два варианта!» Я мог бы добавить первым:

4 + 2 × 3 = (4 + 2) × 3 = 6 × 3 = 18

…или можно сначала умножить:

4 + 2 × 3 = 4 + (2 × 3) = 4 + 6 = 10

Какой ответ правильный?

MathHelp.com

Кажется, ответ зависит от того, как вы смотрите на проблему.Но у нас не может быть такой гибкости в математике; математика не сработает, если вы не можете быть уверены в ответе или если можно вычислить одно и то же выражение, чтобы вы могли прийти к двум или более различным ответам.

Чтобы устранить эту путаницу, у нас есть некоторые правила приоритета, установленные, по крайней мере, еще в 1500-х годах, которые называются «порядком операций». «Операциями» являются сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и группирование; «порядок» этих операций указывает, какие операции имеют приоритет (о которых позаботятся) перед другими операциями.

Распространенным методом запоминания порядка действий является сокращение (или, точнее, «акроним») «PEMDAS», которое превращается в мнемоническую фразу «Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли». Эта фраза означает «круглые скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание» и помогает запомнить их порядок. В этом списке указаны ранги операций: скобки опережают показатели, которые превосходят умножение и деление (но умножение и деление находятся в одном ранге), а умножение и деление превосходят сложение и вычитание (которые вместе находятся в нижнем ранге).Другими словами, приоритет:

1. Круглые скобки (внутри них упростить)
2. Экспоненты
3. Умножение и деление (слева направо)
4. Сложение и вычитание (слева направо)

Когда у вас есть несколько операций одного ранга, вы просто действуете слева направо. Например, 15 ÷ 3 × 4 не 15 ÷ (3 × 4) = 15 ÷ 12, а скорее (15 ÷ 3) × 4 = 5 × 4, потому что, двигаясь слева направо, вы попадаете в разделение подпишитесь первым.

Если вы не уверены в этом, проверьте это на своем калькуляторе, который был запрограммирован с иерархией порядка операций. Например, набрав это выражение в графическом калькуляторе, вы получите:

Используя приведенную выше иерархию, мы видим, что в вопросе «4 + 2 × 3» в начале этой статьи ответ 2 был правильным, потому что мы должны выполнить умножение, прежде чем выполнять сложение.

---

(Примечание: носители британского английского часто вместо этого используют аббревиатуру «BODMAS», а не «PEMDAS». BODMAS означает «скобки, порядки, деление и умножение, а также сложение и вычитание». и «порядки» совпадают с показателями, два акронима означают одно и то же. Кроме того, вы можете видеть, что буквы «M» и «D» поменяны местами в британо-английской версии; это подтверждает, что умножение и деление равны того же «звания» или «уровня».Канадцы, говорящие по-английски, разделяют разницу, используя BEDMAS.)

Порядок операций был определен, чтобы предотвратить недопонимание, но PEMDAS может создать свою собственную путаницу; некоторые студенты иногда склонны применять иерархию, как будто все операции в задаче находятся на одном «уровне» (просто идут слева направо), но часто эти операции не «равны». Во многих случаях это помогает решать проблемы изнутри, а не слева направо, потому что часто некоторые части проблемы находятся «глубже», чем другие части.Лучший способ объяснить это — привести несколько примеров:

Мне нужно упростить термин с показателем, прежде чем пытаться добавить 4:

Я должен упростить в круглых скобках, прежде чем я смогу провести экспоненту. Только тогда я смогу добавить 4.

4 + (2 + 1) ² = 4 + (3) ² = 4 + 9 = 13

• Упростить 4 + [–1 (–2 — 1)]

  ² .

Я не должен пытаться делать эти вложенные круглые скобки слева направо; этот метод слишком подвержен ошибкам. Вместо этого я постараюсь работать изнутри. Сначала я упрощу внутри фигурных скобок, затем упрощу внутри квадратных скобок и только потом займусь квадратом. После этого я наконец могу добавить 4:

4 + [–1 (–2 — 1)] ²

= 4 + [–1 (–3)] ²

= 4 + [3] ²

= 4 + 9

= 13

---

Использование квадратных скобок («[» и «]» выше) вместо круглых не имеет особого значения.Скобки и фигурные скобки (символы «{» и «}») используются, когда есть вложенные круглые скобки, как помощь в отслеживании того, какие круглые скобки к которым идут. Различные символы группировки используются только для удобства. Это похоже на то, что происходит в электронной таблице Excel, когда вы вводите формулу с использованием круглых скобок: каждый набор скобок имеет цветовую кодировку, поэтому вы можете определить пары:

---

• Упростить 4 (

  ^–2 / ₃ + ⁴ / ₃ ).

Сначала я упрощу внутри скобок:

Итак, мой упрощенный ответ

⁸ / ₃

На следующей странице есть еще примеры отработанных примеров ….

---

URL: https: // www.purplemath.com/modules/orderops.htm

Упорядочивание математических операций, BODMAS | SkillsYouNeed

Для вычисления, которое включает только одну математическую операцию с двумя числами, это простой случай сложения, вычитания, умножения или деления, чтобы найти свой ответ.

А что делать, если есть несколько номеров и разные операции? Может быть, вам нужно делить и умножать или складывать и делить.Что вы делаете тогда?

К счастью, математика — дисциплина, основанная на логике. Как это часто бывает, есть несколько простых правил, которые помогут вам определить порядок выполнения расчетов. Они известны как «Порядок действий» .

---

Правила упорядочивания в математике — BODMAS

BODMAS — полезная аббревиатура, которая сообщает вам порядок, в котором вы решаете математические задачи. Важно, чтобы вы следовали правилам BODMAS, потому что без них ваши ответы могут быть неправильными.

Акроним BODMAS означает:

• B ракетки (части расчета внутри скобок всегда идут на первом месте).
• O rders (числа, содержащие степени или квадратные корни).
• D ivision.
• M повторение.
• A доп.
• S убирание.

BODMAS, BIDMAS или PEMDAS?

---

Вы часто можете увидеть BIDMAS вместо BODMAS.Они точно такие же. В BIDMAS буква «I» относится к индексам, которые аналогичны заявкам. Для получения дополнительной информации см. Нашу страницу «Специальные числа и понятия».

---

PEMDAS

PEMDAS обычно используется, в США он работает так же, как BODMAS. Акроним PEMDAS:

.

P арентес,

E xponents (степени и корни),

M ultiplication и D ivision,

A ddition и S ddition.

---

Дополнительная литература по навыкам, которые вам нужны

---

Руководство по навыкам, которые вам нужны

Это руководство из четырех частей познакомит вас с основами математики от арифметики до алгебры с остановками на дробях, десятичных дробях, геометрии и статистике.

Если вы хотите освежить в памяти основы или помочь детям в учебе, эта книга для вас.

---

Использование BODMAS

Кронштейны

Начните с чего-нибудь внутри скобок слева направо.

Пример:

4 × (3 + 2) =?

Вам нужно выполнить операцию, сначала в скобках 3 + 2, а затем умножить ответ на 4.

3 + 2 = 5.
4 × 5 = 20

Если вы проигнорируете скобки и произведете расчет слева направо 4 × 3 + 2, вы получите 14. Вы можете увидеть, как скобки влияют на ответ.

Заказы

Далее выполните все, что связано с степенью или квадратным корнем (они также известны как приказы ), снова работая слева направо, если их больше одного.

Пример:

3 ² + 5 =?

Прежде чем прибавить 5, необходимо вычислить мощность.

3 ² = 3 × 3 = 9
9 + 5 = 14

Деление и умножение

После того, как вы выполнили какие-либо части вычислений с использованием скобок или степеней, следующим шагом будет деление и умножение .

Умножение и деление ранжируются одинаково, поэтому вы работаете с суммой слева направо, выполняя каждую операцию в том порядке, в котором она появляется.

Пример:

6 ÷ 2 + 7 × 4 =?

Сначала вам нужно выполнить деление и умножение, но у вас есть по одному.

Начните слева и двигайтесь вправо, что означает, что вы начинаете с 6 ÷ 2 = 3. Затем выполните умножение, 7 × 4 = 28.

Теперь ваш расчет 3 + 28.

Завершите сложение, чтобы найти ответ: 31 .

Смотрите наши страницы: Умножение и Деление , чтобы узнать больше.

Сложение и вычитание

Последний шаг — вычислить любое прибавление или вычитание . Опять же, вычитание и сложение равны, и вы просто работаете слева направо.

Пример:

4 + 6-7 + 3 =?

Вы начинаете слева и продвигаетесь вперед.

4 + 6 = 10
10-7 = 3
3 + 3 = 6
Ответ: 6 .

Смотрите наши страницы: Сложение и Вычитание , чтобы узнать больше.

Собираем все вместе

Этот последний рабочий пример включает все элементы BODMAS.

Пример:

4 + 8 ² × (30 ÷ 5) =?

Начнем с расчета в скобках.

30 ÷ 5 = 6
Это дает вам 4 + 8 ² × 6 =?

Затем рассчитайте заказы — в данном случае квадрат 8.

8 ² = 64
Теперь ваш расчет 4 + 64 × 6

Затем переходим к умножению 64 × 6 = 384

Наконец, выполните сложение.4 + 384 = 388

Ответ: 388 .

---

---

Контрольные вопросы BODMAS

Правила BODMAS легче всего понять с помощью некоторой практики и примеров.

Попробуйте эти вычисления самостоятельно, а затем откройте окно (щелкните символ + слева), чтобы увидеть работу и ответы.

3 + 20 × 3

В этом расчете нет скобок или порядков.

1. Умножение предшествует сложению, поэтому начните с 20 × 3 = 60.
2. Расчет теперь показывает 3 + 60

Следовательно, ответ 63 .

25-5 ÷ (3 + 2)

1. Начните с скобок. (3 + 2) = 5.
2. Расчет теперь показывает 25-5 ÷ 5
3. Деление предшествует вычитанию.5 ÷ 5 = 1.
4. Расчет теперь показывает 25 — 1

Следовательно, ответ 24 .

10 + 6 × (1 + 10)

1. Начните с скобок. (1 + 10) = 11.
2. Расчет теперь показывает 10 + 6 × 11
3. Умножение предшествует сложению. 6 × 11 = 66.
4. Расчет теперь показывает 10 + 66.

Следовательно, ответ 76 .

5 (3 + 2) + 5 ²

Если в этом вычислении нет знака, подобного этому, оператор представляет собой умножение, то же самое, что и запись 5 × (3 + 2) + 5 ² .

1. Сначала завершите расчет в скобках: (3 + 2) = 5.
2. Это дает вам 5 × 5 + 5 ² .
3. Следующий шаг — заказы, в данном случае квадрат. 5 ² = 5 × 5 = 25.Теперь у вас 5 × 5 + 25.
4. Деление и умножение предшествуют сложению и вычитанию, поэтому следующий шаг — 5 × 5 = 25. Теперь расчет показывает 25 + 25 = 50.

Ответ: 50 .

(105 + 206) — 550 ÷ 5 ² + 10

В этом есть все! Но не паникуйте. BODMAS по-прежнему применяется, и все, что вам нужно сделать, это отменить расчет.

1. Начните с скобок.(105 + 206) = 311.
2. Расчет теперь показывает 311-550 ÷ 5 ² + 10
3. Далее, приказы или полномочия. В данном случае это 5 ² = 25.
4. Расчет теперь показывает 311-550 ÷ 25 + 10
5. Далее, деление и умножение. Умножения нет, но деление 550 ÷ 25 = 22.
6. Теперь расчет показывает 311 — 22 + 10.
7. Хотя у вас еще остались две операции, сложение и вычитание ранжируются одинаково, поэтому вы просто идете слева направо.311 — 22 = 289 и 289 + 10 = 299.

Ответ: 299 .

7 + 7 ÷ 7 + 7 × 7-7 =?

Подобные проблемы часто появляются на сайтах социальных сетей с такими заголовками, как «90% людей ошибаются». Просто следуйте правилам BODMAS, чтобы получить правильный ответ.

1. Здесь нет скобок или порядков, поэтому начните с деления и умножения.
2. 7 ÷ 7 = 1 и 7 × 7 = 49.
3. Расчет теперь показывает 7 + 1 + 49-7
4. Теперь выполните сложение и вычитание. 7 + 1 + 49 = 57-7 = 50

Следовательно, ответ будет 50 .

---

Как у вас дела?

Надеюсь, вам удалось правильно ответить на все вопросы. Если нет, вернитесь и проверьте, где вы ошиблись, и еще раз прочтите правила.

Чем больше вы практикуетесь, тем легче становится БОДМА, и в конечном итоге вам даже не придется об этом думать.

Введение в арифметические операции | Безграничная алгебра

Основные операции

Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.

Цели обучения

Вычислить сумму, разность, произведение и частное положительных целых чисел

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.
• Основными арифметическими свойствами являются коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства.

Ключевые термины

• ассоциативный : ссылка на математическую операцию, которая дает один и тот же результат независимо от группировки элементов.
• коммутативный : Ссылается на двоичную операцию, в которой изменение порядка операндов не меняет результат (например, сложение и умножение).
• произведение : результат умножения двух величин.
• частное : результат деления одного количества на другое.
• сумма : результат сложения двух величин.
• разница : результат вычитания одной величины из другой.

Четыре арифметических операции

Дополнение

Сложение — это самая основная операция арифметики. В простейшей форме сложение объединяет две величины в одну, или , сумма . Например, предположим, что у вас есть группа из 2 ящиков и еще одна группа из 3 ящиков.Если вы объедините обе группы вместе, у вас получится одна группа из 5 ящиков. Чтобы представить эту идею в математических терминах:

[латекс] 2 + 3 = 5 [/ латекс]

Вычитание

Вычитание противоположно сложению. Вместо того, чтобы складывать количества вместе, мы удаляем одно количество из другого, чтобы найти разницу между ними. Продолжая предыдущий пример, предположим, что вы начинаете с группы из 5 блоков. Если вы затем удалите 3 поля из этой группы, у вас останутся 2 поля.Математически:

[латекс] 5-3 = 2 [/ латекс]

Умножение

Умножение также объединяет несколько величин в одну величину, называемую продуктом . Фактически, умножение можно рассматривать как объединение множества сложений. В частности, произведение [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] является результатом сложения [latex] x [/ latex] вместе [latex] y [/ latex] раз. Например, один из способов подсчета четырех групп по две коробки — сложить группы вместе:

[латекс] 2 + 2 + 2 + 2 = 8 [/ латекс]

Однако есть еще один способ посчитать коробки — это умножить количество:

[латекс] 2 \ cdot 4 = 8 [/ латекс]

Обратите внимание, что оба метода дают один и тот же результат — 8, но во многих случаях, особенно когда у вас есть большие количества или много групп, умножение может быть намного быстрее.

Отдел

Деление — это величина, обратная умножению. Вместо того, чтобы умножать количества вместе, чтобы получить большее значение, вы разделяете количество на меньшее значение, называемое частным . Опять же, возвращаясь к примеру с блоком, разделение группы из 8 блоков на 4 равные группы приводит к получению 4 групп по 2 блока:

[латекс] 8 \ div 4 = 2 [/ латекс]

Основные арифметические свойства

Коммутационная собственность

Свойство коммутативности описывает уравнения, в которых порядок чисел не влияет на результат.Сложение и умножение — это коммутативные операции:

• [латекс] 2 + 3 = 3 + 2 = 5 [/ латекс]
• [латекс] 5 \ cdot 2 = 2 \ cdot 5 = 10 [/ латекс]

Однако вычитание и деление не коммутативны.

Ассоциативная собственность

Свойство ассоциативности описывает уравнения, в которых группировка чисел не влияет на результат. Как и в случае с коммутативностью, сложение и умножение являются ассоциативными операциями:

• [латекс] (2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6) = 11 [/ латекс]
• [латекс] (4 \ cdot 1) \ cdot 2 = 4 \ cdot (1 \ cdot 2) = 8 [/ латекс]

Еще раз, вычитание и деление не ассоциативны.

Распределительная собственность

Свойство распределения можно использовать, когда сумма двух величин затем умножается на третье количество.

• [латекс] (2 + 4) \ cdot 3 = 2 \ cdot 3 + 4 \ cdot 3 = 18 [/ латекс]

Отрицательные числа

Арифметические операции могут выполняться с отрицательными числами в соответствии с определенными правилами.

Цели обучения

Вычисление суммы, разницы, произведения и частного отрицательных целых чисел

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Сложение двух отрицательных чисел дает отрицательное значение; сложение положительного и отрицательного числа дает число, имеющее тот же знак, что и число большей величины.
• Вычитание положительного числа дает тот же результат, что и добавление отрицательного числа равной величины, а вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и добавление положительного числа.
• Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а произведение двух отрицательных чисел положительно.
• Частное одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а частное двух отрицательных чисел положительно.

Четыре операции

Дополнение

Сложение двух отрицательных чисел очень похоже на сложение двух положительных чисел.Например:

[латекс] (- 3) + (−5) = −8 [/ латекс]

Основополагающий принцип заключается в том, что два долга — отрицательные числа — могут быть объединены в один долг большей величины.

При сложении положительных и отрицательных чисел другой способ записать отрицательные числа — вычесть положительные величины. Например:

[латекс] 8 + (−3) = 8 — 3 = 5 [/ латекс]

Здесь кредит 8 сочетается с задолженностью 3, что дает общий кредит 5.Однако, если отрицательное число имеет большую величину, результат будет отрицательным:

.

[латекс] (- 8) + 3 = 3 — 8 = −5 [/ латекс]

Аналогично:

[латекс] (- 2) + 7 = 7 — 2 = 5 [/ латекс]

Здесь долг 2 сочетается с кредитом 7. Кредит имеет большую величину, чем долг, поэтому результат положительный. Но если кредит меньше долга, результат будет отрицательным:

.

[латекс] 2 + (−7) = 2 — 7 = −5 [/ латекс]

Вычитание

Вычитание положительных чисел друг из друга может дать отрицательный ответ.Например, вычитая 8 из 5:

[латекс] 5-8 = −3 [/ латекс]

Вычитание положительного числа обычно аналогично сложению отрицательного числа. То есть:

[латекс] 5 — 8 = 5 + (−8) = −3 [/ латекс]

и

[латекс] (- 3) — 5 = (−3) + (−5) = −8 [/ латекс]

Аналогично, при вычитании отрицательного числа дает тот же результат, что и при добавлении положительного числа из этого числа. Идея здесь в том, что , потеряв долга, — это то же самое, что получит кредит.Следовательно:

[латекс] 3 — (−5) = 3 + 5 = 8 [/ латекс]

и

[латекс] (- 5) — (−8) = (−5) + 8 = 3 [/ латекс]

Умножение

При умножении положительных и отрицательных чисел знак произведения определяется по следующим правилам:

• Произведение двух положительных чисел положительно. Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно.
• Произведение двух отрицательных чисел положительно.

Например:

[латекс] (- 2) × 3 = −6 [/ латекс]

Это просто потому, что сложение −2 три раза дает −6:

.

[латекс] (- 2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 [/ латекс]

Однако

[латекс] (- 2) × (−3) = 6 [/ латекс]

Здесь снова идея заключается в том, что потеря долга — это то же самое, что получение кредита. В этом случае потерять два долга по три штуки в каждом — это то же самое, что получить кредит в шесть:

[латекс] \ left (−2 \ text {долги} \ right) \ times \ left (−3 \ text {each} \ right) = +6 \ text {кредит} [/ latex]

Отдел

Знаковые правила деления такие же, как и для умножения.

• Разделение двух положительных чисел дает положительное число.
• Деление одного положительного числа и одного отрицательного числа дает отрицательное число.
• Разделение двух отрицательных чисел дает положительное число.

Если у делимого и делителя один и тот же знак, то есть результат всегда положительный. Например:

[латекс] 8 ÷ (−2) = −4 [/ латекс]

и

[латекс] (- 8) ÷ 2 = −4 [/ латекс]

но

[латекс] (- 8) ÷ (−2) = 4 [/ латекс].

Дополнительные соображения

Основные свойства сложения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) также применимы к отрицательным числам. Например, следующее уравнение демонстрирует свойство распределения:

[латекс] -3 (2 + 5) = (-3) \ cdot 2 + (-3) \ cdot 5 [/ латекс]

Фракции

Дробь представляет собой часть целого и состоит из целого числителя и ненулевого целого знаменателя.

Цели обучения

Вычислить результат операций с дробями

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Для сложения и вычитания дробей требуются «одинаковые количества» — общий знаменатель.Чтобы сложить или вычесть дроби, содержащие различающиеся количества (например, прибавление четвертей к третям), необходимо преобразовать все суммы в одинаковые количества.
• Умножение дробей требует умножения числителей друг на друга, а затем знаменателей друг на друга. Быстрый путь — использовать стратегию отмены, которая уменьшает числа до минимально возможных значений перед умножением.
• Деление на дроби предполагает умножение первого числа на обратную величину второго числа.

Ключевые термины

• числитель : Число, которое находится над чертой дроби и представляет собой часть целого числа.
• обратное : дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель поменялись местами.
• Знаменатель : Число под чертой дроби и представляет собой целое число.
• дробь : отношение двух чисел — числителя и знаменателя, которые обычно пишутся одно над другим и разделяются горизонтальной чертой.

Дробь представляет собой часть целого. Обычная дробь, например [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex], [latex] \ frac {8} {5} [/ latex] или [latex] \ frac {3} {4} [/ latex], состоит из целого числителя (верхнее число) и ненулевого целого знаменателя (нижнее число). Числитель представляет определенное количество равных частей целого, а знаменатель указывает, сколько из этих частей необходимо, чтобы составить одно целое. Пример можно увидеть на следующем рисунке, на котором торт разделен на четвертинки:

Четверти торта: Торт с удаленной четвертью.Показаны остальные три четверти. Пунктирными линиями обозначены места, где торт можно разрезать, чтобы разделить его на равные части. Каждая оставшаяся четверть торта обозначается дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].

Дополнение

Добавление одинаковых количеств

Первое правило сложения дробей — начать с добавления дробей, которые содержат одинаковые знаменатели, например, кратные четверти или четверти. Четверть представлена ​​дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], где числитель 1 представляет одну четверть, а знаменатель 4 представляет количество четвертей, необходимое для создания целого , или один доллар.

Представьте себе, что один карман содержит две четвертинки, а другой карман — три четверти. Всего пять кварталов. Поскольку четыре четверти эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {4} + \ frac {3} {4} = \ frac {5} {4} = 1 \ frac {1} {4} [/ latex]

Добавление отличных количеств

Чтобы добавить дроби, которые содержат в отличие от знаменателей (например, четверти и трети), необходимо сначала преобразовать все суммы в одинаковые величины, что означает, что все дроби должны иметь общий знаменатель.Один простой способ найти знаменатель, который даст вам одинаковые количества, — это просто перемножить два знаменателя дробей. (Важно помнить, что каждый числитель также должен быть умножен на то же значение, на которое умножается его знаменатель, чтобы дробь представляла то же отношение.)

Например, чтобы прибавить четверти к третям, оба типа дробей преобразуются в двенадцатые:

[латекс] \ displaystyle \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} = \ frac {1 \ cdot 4} {3 \ cdot4} + \ frac {1 \ cdot3} {4 \ cdot3} = \ frac {4} {12} + \ frac {3} {12} = \ frac {7} {12} [/ latex]

Этот метод можно алгебраически выразить следующим образом:

[латекс] \ displaystyle \ frac {a} {b} + \ frac {c} {d} = \ frac {ad + cb} {bd} [/ latex]

Этот метод работает всегда.Однако иногда есть более быстрый способ — использовать меньший знаменатель или наименьший общий знаменатель. Например, чтобы добавить [latex] \ frac {3} {4} [/ latex] к [latex] \ frac {5} {12} [/ latex], знаменатель 48 (произведение 4 и 12, два знаменатели), но можно использовать и меньший знаменатель 12 (наименьшее общее кратное 4 и 12).

Сложение дробей к целым числам

Что делать, если к целому числу прибавляется дробь? Просто начните с записи целого числа в виде дроби (напомним, что целое число имеет знаменатель [латекс] 1 [/ латекс]), а затем продолжайте описанный выше процесс сложения дробей.

Вычитание

Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и процесс их сложения. Найдите общий знаменатель и замените каждую дробь на эквивалентную дробь, используя этот общий знаменатель. Затем вычтите числители. Например:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} — \ frac {1} {2} = \ frac {2 \ cdot 2} {3 \ cdot2} — \ frac {1 \ cdot3} {2 \ cdot3} = \ frac {4} {6} — \ frac {3} {6} = \ frac {1} {6} [/ latex]

Чтобы вычесть дробь из целого числа или вычесть целое число из дроби, перепишите целое число как дробь, а затем выполните описанный выше процесс вычитания дробей.

Умножение

В отличие от сложения и вычитания, при умножении знаменатели не обязательно должны быть одинаковыми. Чтобы умножить дроби, просто умножьте числители друг на друга, а знаменатели друг на друга. Например:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {6} {12} [/ latex]

Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, дроби могут быть уменьшены до наименьшего значения до или после умножения. Например, полученная дробь может быть уменьшена до [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], потому что числитель и знаменатель делят множитель 6.В качестве альтернативы дроби в исходном уравнении можно было бы уменьшить, как показано ниже, потому что 2 и 4 имеют общий множитель 2, а 3 и 3 имеют общий множитель 3:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {1} {1} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} { 2} [/ латекс]

Чтобы умножить дробь на целое число, просто умножьте это число на числитель дроби:

[латекс] \ displaystyle \ frac {3} {4} \ cdot 5 = \ frac {15} {4} [/ latex]

Обычная ситуация, когда умножение дробей бывает полезным, — это во время приготовления.Что, если кто-то захочет «половину» рецепта печенья, для которого требуется [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] чашки шоколадной стружки? Чтобы найти необходимое количество шоколадной крошки, умножьте [латекс] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} [/ latex]. В результате получается [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], поэтому правильное количество шоколадной стружки составляет [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] чашки.

Отдел

Процесс деления числа на дробь влечет за собой умножение числа на обратную дробь.Обратная величина — это просто дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель меняются местами. Например:

[латекс] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ div \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {4} {3} = \ frac {4} { 6} = \ frac {2} {3} [/ latex]

Чтобы разделить дробь на целое число, либо разделите числитель дроби на целое число (если оно делится просто):

[латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ frac {10 \ div 2} {3} = \ frac {2} {3} [/ latex]

или умножьте знаменатель дроби на целое число:

[латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ displaystyle \ frac {10} {3 \ cdot5} = \ frac {10} {15} = \ frac {2} {3} [/ латекс]

Сложные фракции

Комплексная дробь — это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями, которые могут содержать переменные, константы или и то, и другое.

Цели обучения

Упростить сложные дроби

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Сложные дроби включают числа, такие как [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [латекс] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex], где числитель, знаменатель или оба включают дроби.
• Прежде чем решать сложные рациональные выражения, полезно их максимально упростить.
• «Метод комбинирования-деления» для упрощения сложных дробей влечет за собой (1) объединение членов в числителе, (2) объединение членов в знаменателе и, наконец, (3) деление числителя на знаменатель.

Ключевые термины

• комплексная дробь : отношение, в котором числитель, знаменатель или оба сами являются дробями.

Комплексная дробь, также называемая комплексным рациональным выражением, — это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями. Например, [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [latex] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex] — сложные дроби. При работе с уравнениями, которые включают сложные дроби, полезно упростить сложную дробь перед тем, как решать уравнение.

Процесс упрощения сложных дробей, известный как «метод комбинирования-деления», выглядит следующим образом:

1. Объедините термины в числителе.
2. Объедините члены в знаменателе.
3. Разделите числитель на знаменатель.

Пример 1

Давайте применим этот метод к первой сложной дроби, представленной выше:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)}} [/ латекс]

Поскольку нет терминов, которые можно объединить или упростить ни в числителе, ни в знаменателе, мы перейдем к шагу 3, разделив числитель на знаменатель:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} = \ frac {8} {15} \ div \ frac {2} {3}} [/ латекс]

Из предыдущих разделов мы знаем, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби.Поэтому мы используем метод сокращения, чтобы максимально упростить числа, а затем умножаем его на упрощенную обратную величину делителя или знаменателя дроби:

[латекс] \ displaystyle {{\ frac 8 {15}} \ cdot {\ frac 32} = {\ frac 4 {5}} \ cdot {\ frac 11} = {\ frac 4 {5}}} [/ латекс]

Следовательно, комплексная дробь [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] упрощается до [ латекс] \ frac {4} {5} [/ латекс].

Пример 2

Давайте попробуем другой пример:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)}} [/ латекс]

Начните с шага 1 описанного выше метода комбинирования-деления: объедините члены в числителе.Вы обнаружите, что общий знаменатель двух дробей в числителе равен 6, а затем вы можете сложить эти два члена вместе, чтобы получить один член дроби в числителе большей дроби:

[латекс] \ displaystyle \ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac { 3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {3} {6} + \ dfrac {4} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3 } {4} \ right)} [/ латекс]

Перейдем к шагу 2: объединим члены в знаменателе.Для этого мы умножаем дроби в знаменателе вместе и упрощаем результат, сокращая его до наименьших членов:

[латекс] \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {6} {12} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right )} {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right)} [/ latex]

Перейдем к шагу 3: разделим числитель на знаменатель. Напомним, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби:

[латекс] \ frac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right)} = {\ dfrac {7} {6}} \ cdot {\ dfrac {2} {1}} = \ dfrac {14} {6} [/ latex]

Наконец, упростим полученную дробь:

[латекс] \ displaystyle \ frac {14} {6} = 2 \ frac {2} {6} [/ latex]

Следовательно, в итоге:

[латекс] \ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = 2 \ dfrac {2} {6} [/ latex]

Введение в экспоненты

Экспоненциальная форма, записанная [latex] b ^ n [/ latex], представляет собой умножение базового [latex] b [/ latex] на сам [latex] n [/ latex] раз. 5 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 243 [/ латекс]

Показатели 0 и 1

Любое число, возведенное в степень [латекс] 1 [/ латекс], является самим числом.0 = 1 [/ латекс].

Порядок действий

Порядок операций — это подход к оценке выражений, включающих несколько арифметических операций.

Цели обучения

Различие между правильным и неправильным использованием порядка операций

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Порядок операций предотвращает двусмысленность математических выражений.
• Порядок операций следующий: 1) упростить члены в круглых или квадратных скобках, 2) упростить показатели и корни, 3) выполнить умножение и деление, 4) выполнить сложение и вычитание.
• Умножение и деление имеют равный приоритет, равно как и сложение и вычитание. Это означает, что операции умножения и деления (а также операции сложения и вычитания) могут выполняться в том порядке, в котором они появляются в выражении.
• Полезная мнемоника для запоминания порядка действий — PEMDAS, иногда расширяемая до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

Ключевые термины

• математическая операция : действие или процедура, которая создает новое значение из одного или нескольких входных значений.

Порядок операций — это способ вычисления выражений, которые включают более одной арифметической операции. Эти правила говорят вам, как вам следует упростить или решить выражение или уравнение таким образом, чтобы получить правильный результат.

Например, когда вы встретите выражение [латекс] 4 + 2 \ cdot 3 [/ latex], как вы поступите?

Один вариант:

[латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot3 & = (4 + 2) \ cdot 3 \\ & = 6 \ cdot 3 \\ & = 18 \ end {align} [/ latex]

Другой вариант:

[латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot 3 & = 4+ (2 \ cdot 3) \\ & = 4 + 6 \\ & = 10 \ end {align} [/ latex]

Какой порядок действий правильный?

Чтобы иметь возможность общаться с помощью математических выражений, у нас должен быть согласованный порядок операций, чтобы каждое выражение было однозначным.Например, для приведенного выше выражения все математики согласятся, что правильный ответ — 10.

Порядок операций, используемых в математике, науке, технике и во многих языках программирования, следующий:

1. Упростите термины в круглых или квадратных скобках
2. Упростить экспоненты и корни
3. Выполните умножение и деление
4. Выполнить сложение и вычитание

Эти правила означают, что в математическом выражении сначала должна выполняться операция, занимающая наивысшее место в списке.3 \\ & = 6-5 + 8 \\ & = 1 + 8 \\ & = 9 \ end {align} [/ latex]

Примечание о равной приоритетности

Поскольку умножение и деление имеют равный приоритет, может быть полезно думать о делении на число как о умножении на обратную величину этого числа. Таким образом, [латекс] 3 \ div 4 = 3 \ cdot \ frac {1} {4} [/ latex]. Другими словами, частное 3 и 4 равно произведению 3 и [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].

Точно так же, поскольку сложение и вычитание имеют равный приоритет, мы можем думать о вычитании числа как о сложении отрицательного числа этого числа.Таким образом [латекс] 3−4 = 3 + (- 4) [/ латекс]. Другими словами, разница 3 и 4 равна сумме положительных трех и отрицательных четырех.

При таком понимании представьте [латекс] 1−3 + 7 [/ latex] как сумму 1, минус 3 и 7, а затем сложите эти термины вместе. Теперь, когда вы изменили структуру операций, любой заказ будет работать:

• [латекс] (1-3) + 7 = -2 + 7 = 5 [/ латекс]
• [латекс] (7−3) + 1 = 4 + 1 = 5 [/ латекс]

Важно сохранять отрицательный знак с любым отрицательным числом (здесь 3).

Мнемоника

В США аббревиатура PEMDAS является распространенным мнемоническим символом для запоминания порядка операций. Это означает круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение и вычитание. PEMDAS часто расширяется до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

Однако этот мнемонический знак может вводить в заблуждение, поскольку «MD» подразумевает, что умножение должно выполняться перед делением, а «AS» — это сложение перед вычитанием, а не признание их равного приоритета.Чтобы проиллюстрировать, почему это проблема, рассмотрим следующее:

[латекс] 10-3 + 2 [/ латекс]

Это выражение правильно упрощается до 9. Однако, если вы сначала сложите вместе 2 и 3, чтобы получить 5, и , а затем выполнил вычитание, вы получили бы 5 в качестве окончательного ответа, что неверно. Чтобы избежать этой ошибки, лучше всего рассматривать эту проблему как сумму положительных десяти, отрицательных трех и положительных двух.

[латекс] 10 + (- 3) +2 [/ латекс]

Чтобы полностью избежать этой путаницы, альтернативный способ записи мнемоники:

-П

E

MD

AS

Или просто как PEMA, где учат, что умножение и деление по своей сути имеют один и тот же приоритет, а сложение и вычитание по своей сути имеют одинаковый приоритет.Эта мнемоника проясняет эквивалентность умножения и деления, а также сложения и вычитания.

Термины для уравнений сложения, вычитания, умножения и деления — математика для 3-го класса

Изучите термины для уравнений сложения, вычитания, умножения и деления

Итак, вы научились решать уравнения сложения, вычитания, умножения и деления. 000

Давайте рассмотрим терминов для каждого из них.

Совет: Термины — это имен различных частей уравнения.

Условия добавления

Слагаемые — это числа, которые складываются вместе.

Сумма — это ответ, который вы получите, сложив числа.

Мы пишем плюс ( +) между двумя слагаемыми и знак равенства перед суммой.

Совет: Знак равенства (=) означает, что элементы слева и справа от него равны.

Условия вычитания

Minuend — это число, из которого вычитается. Это большее число.

Вычитаемое — это число, которое убирается из убываемого. Это меньшее число.

Вычитаемое всегда предшествует вычитаемому.

Совет для запоминания:

Разница — это ответ, который мы получаем в уравнении вычитания.

Мы используем знак минус (-) между минусом и вычитаемым.

Запишем знак равенства перед разностью.

Условия умножения

Умножаемое — это число, которое нужно умножить.

Умножитель — это число, указывающее, сколько раз следует умножить множимое.

Множаемое и множитель также называются коэффициентами .

Множитель часто записывается первым, но положение этих чисел не имеет особого значения.Это называется коммутативным свойством умножения.

Ответ в уравнении умножения называется произведением .

Знак умножения ( ×) записывается между двумя множителями. Его также называют знаком раз.

Условия для Дивизиона

Дивиденды — это делимое число.

Делитель — это число, указывающее, сколько раз следует разделить дивиденд.Он отвечает на вопрос «На сколько равных групп делится число?».

Ответ, который мы получаем в уравнении деления, называется частным .

Знак деления (÷) помещается между делимым и делителем. Это короткая горизонтальная линия с точками над и под ней.

Совет: Вы также можете увидеть / в качестве знака деления. То же, что и ÷.

Смотри и учись

Отличная работа по изучению этих терминов.000

А теперь попробуйте практику, чтобы убедиться, что вы помните, что они означают.

Базовое сложение, вычитание, умножение и деление

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

.