Санкт петербургская олимпиада: Олимпиада школьников СПбГУ — Олимпиада школьников СПбГУ

представителей 107 стран, 619 школьников разыграли призы, продемонстрировав знания в различных областях математики.Несмотря на то, что олимпиада подразумевала формат индивидуальных соревнований, можно выделить страны-лидеры, завоевавшие наибольшее количество медалей.

Лидером по количеству призов стала сборная Китая, второе место в неофициальном командном зачете заняла Россия, опередив сборные Кореи и США. С результатами индивидуальных тестов можно ознакомиться по ссылке: https://www.imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2021&column=total&order=desc&gender=hide&nameform=western&language=en

Церемония закрытия состоялась сегодня, 24 июля, в онлайн-формате на базе Герценовского университета.На церемонии выступил оркестр Игоря Пономаренко «IP orchestra», для участников была подготовлена ​​насыщенная программа, в рамках которой оргкомитет олимпиады официально подвел итоги и объявил имена победителей. Участников поздравили вице-губернатор Санкт-Петербурга Ирина Потехина, президент ИМО Джефф Смит, ректор РГПУ им. А.И. Герцен Сергей Богданов, председатель жюри IMO 21 Назар Агаханов, а также всемирно известный математик, лауреат Премии Филда, двукратный победитель IMO Станислав Смирнов.

«Мы все боремся с пандемией. Мы ожидаем, что пандемия будет побеждена, и я уверен, что вы тоже станете участниками этой борьбы, потому что сегодня математики играют одну из ключевых ролей в изобретении оружия против новой коронавирусной инфекции. А когда выиграем, друзья, ждем вас в нашем городе. Добро пожаловать! »- отметила в своем обращении вице-губернатор Санкт-Петербурга Ирина Потехина.

Напомним, что впервые в истории Олимпиады г.Санкт-Петербург, Россия, был городом-хозяином мероприятия два года подряд. В 2022 году олимпиада пройдет в столице Норвегии Осло и, надеюсь, пройдет в офлайн-формате.

Поздравляем победителей и желаем всем участникам 62 ^{-й Международной математической олимпиады} новых побед, достижений и невероятных математических открытий.

61-я Международная математическая олимпиада Санкт-Петербург Россия

61

Важная информация о лауреатах премии Мариам Мирзахани!

Церемония закрытия 61 ^st IMO 2020

Оценка и координация
Оборудование и политика экзаменационного центра
Набор компьютерных экспертов
Важная информация о командном параде
Ежегодный регламент IMO 2020 (виртуальный) (июнь 2020)

Виртуальный IMO2020 в г.Санкт-Петербург

IMO была нарушена пандемией COVID-19. Когда стало ясно, что нормальная IMO2020 в Санкт-Петербурге в июле будет невозможна, мероприятие было отложено до сентября в надежде, что пандемия отступит. К сожалению, этого не произошло, и со временем стало ясно, что нормальный IMO2020 будет невозможен.

Организаторы IMO2020 и Правление IMO решили, что жизненно важно провести в сентябре полностью официальный IMO2020 для всех молодых математиков, которые готовились к соревнованиям в течение многих лет.Чтобы делать это удаленно, был изобретен совершенно новый виртуальный формат IMO с протоколами безопасности, так что каждый может быть полностью уверен в целостности результатов.

Меры включают: экзаменационный центр в каждой участвующей стране или территории под контролем нейтрального комиссара ИМО. Экзамены с дистанционным управлением будут наблюдаться через веб-камеры, а видеотрансляции будут отправляться команде Invigilation в России. Будет 4-часовой 30-минутный интервал по всемирному координированному времени (GMT), в котором должен начинаться каждый экзамен IMO, чтобы не было перерывов после завершения экзамена в одной стране и начала экзамена в другой. Страна.Это означает, что в Новой Зеландии (которые пойдут первыми) сдадут экзамены в полночь, а последние (Мексика и многие страны Южной Америки) приступят к сдаче экзаменов в 07:00 по местному времени (полночь по новозеландскому времени). Страны Африки, Европы, Ближнего Востока и большей части Азии смогут подавать доклады в более обычное время. Конкурсные документы подготавливает Комитет по отбору задач, а не Жюри ИМО.

В эти нестабильные времена ИМО должна проявлять гибкость. Как и все остальные, мы задаемся вопросом о «новой норме», но какой бы она ни была, ИМО будет процветать.Будьте в безопасности!

Джефф Смит
Президент Совета ИМО

Программа — 61-я Международная математическая олимпиада Санкт-Петербург Россия

ул.Санкт-Петербург МО 2008-20 IX-XI (Россия) 66п

начат в 1934 году как Ленинград МО,

переименован в 1992 г. в г. Санкт-Петербург

2008 г. Санкт-Петербург МО сорт XI П5

2009 г. Санкт-Петербург МО сорт IX P5
$ ABC $ — остроугольный треугольник.$ AA_1, BB_1, CC_1 $ — высоты. $ X, Y $ — средние точки $ AC_1, A_1C $. $ XY = BB_1 $. Докажите, что одна сторона $ ABC $ в $ \ sqrt {2} $ больше другой.

2009 г. Санкт-Петербург МО сорт X P2
$ ABCD $ — выпуклый четырехугольник с $ AB = CD $. $ AC $ и $ BD $ пересекаются в $ O $. $ X, Y, Z, T $ — середины $ BC, AD, AC, BD $. Докажите, что центр описанной окружности $ OZT $ лежит на $ XY $.

2009 г. Санкт-Петербург МО оценка X P7
Точки $ Y, X $ лежат на $ AB, BC $ $ \ треугольника ABC $ и $ X, Y, A, C $ пересекаются. $ AX $ и $ CY $ пересекаются в $ O $. o- \ angle BAD $.о $.

$ ABCD $ — выпуклый четырехугольник. $ M $ -середина $ AC $ и $ \ angle MCB = \ angle CMD = \ angle MBA = \ angle MBC — \ angle MDC $. Докажите, что $ AD = DC + AB $.

$ ABCD $ вписан. Биссектриса угла между диагоналями пересекает $ AB $ anc $ CD $ в точках $ X $ и $ Y $. $ M, N $ — середины $ AD, BC $. $ XM = YM $ Докажите, что $ XN = YN $.

$ ABC $ — треугольник. Точка $ L $ находится внутри $ ABC $ и лежит на биссектрисе $ \ angle B $. $ K $ находится на $ BL $. $ \ angle KAB = \ angle LCB = \ alpha $. Точка $ P $ внутри треугольника такова, что $ AP = PC $ и $ \ angle APC = 2 \ angle AKL $.Докажите, что $ \ angle KPL = 2 \ alpha $

Точки $ C, D $ находятся на стороне $ BE $ треугольника $ ABE $, так что $ BC = CD = DE $. Точки $ X, Y, Z, T $ являются центрами окружности $ ABE, ABC, ADE, ACD $. Докажите, что $ T $ — центроид $ XYZ $.

$ ABCD $ — параллелограмм. Линия $ l $ перпендикулярна $ BC $ в точке $ B $. Через $ D, C $ проходят две окружности, причем $ l $ касается в точках $ P $ и $ Q $. $ M $ — середина $ AB $. Докажите, что $ \ angle DMP = \ angle DMQ $.

В основании пирамиды $ SABCD $ лежит выпуклый четырехугольник $ ABCD $ такой, что $ BC \ cdot AD = BD \ cdot AC $.Также $ \ angle ADS = \ angle BDS, \ angle ACS = \ angle BCS $. Докажите, что плоскость $ SAB $ перпендикулярна плоскости основания.

$ ABC $ — треугольник. $ l_1 $ — прямая проходит через $ A $ и параллельно $ BC $, $ l_2 $ — прямая проходит через $ C $ и параллельна $ AB $. Биссектриса $ \ angle B $ пересекает $ l_1 $ и $ l_2 $ в точках $ X, Y $. $ XY = AC $. Какое значение может принимать $ \ angle A- \ angle C $?

Дан четырехугольник $ ABCD $ такой, что $ AB = BC = CD $. Пусть $ AC \ cap BD = O $, $ X, Y $ — точки симметрии $ O $ относительно середин $ BC $, $ AD $, а $ Z $ — точка пересечения прямых, перпендикулярных пополам $ AC $, $ BD $.Докажите, что $ X, Y, Z $ лежат на одной прямой.

В выпуклом четырехугольнике $ ABCD $, $ M, N $ — середины $ BC, AD $ соответственно. Если $ AM = BN $ и $ DM = CN $, тогда докажите, что $ AC = BD $.

по С. Берлов

Пусть $ M $ и $ N $ — середины ребер $ AB $ и $ CD $ тетраэдра $ ABCD $, $ AN = DM $ и $ CM = BN $. Докажите, что $ AC = BD $.

по С. Берлов

Пусть $ (I_b) $, $ (I_c) $ — вневписанные окружности треугольника $ ABC $. Дана окружность $ \ omega $ проходит через $ A $ и касается окружностей $ (I_b) $ и $ (I_c) $, так что она пересекается с $ BC $ в точках $ M $, $ N $.Докажите, что $ \ angle BAM = \ angle CAN $.

А. Смирнов

Все углы $ ABC $ указаны в $ (30,90) $. Центр окружности $ ABC $ равен $ O $, а радиус окружности равен $ R $. Точка $ K $ — проекция $ O $ на биссектрису угла $ \ angle B $, точка $ M $ — середина $ AC $. Известно, что $ 2KM = R $. Найдите $ \ angle B $.

Точки $ A, B $ находятся на окружности $ \ omega $. Точки $ C $ и $ D $ перемещаются по дуге $ AB $, так что $ CD $ имеет постоянную длину. $ I_1, I_2 $ — инкорпорации $ ABC $ и $ ABD $. Докажите, что прямая $ I_1I_2 $ касается некоторой фиксированной окружности.о $. Докажите, что $ AB> AC $.

Окружите $ \ omega $ вокруг $ ABC $ и коснитесь $ AC $ в точке $ B_1 $. Точка $ E, F $ на $ \ omega $ такая, что $ \ angle AEB_1 = \ angle B_1FC = 90 $. Касательные к $ \ omega $ в точке $ E, F $ пересекаются в $ D $, а $ B $ и $ D $ лежат по разные стороны прямой $ AC $. $ M $ — середина $ AC $. Докажите, что $ AE, CF, DM $ пересекаются в одной точке.

Точки $ B_1, C_1 $ находятся на $ AC $ и $ AB $ и $ B_1C_1 \ parallel BC $. Окружность $ ABB_1 $ пересекает $ CC_1 $ в точке $ L $. Окружность $ CLB_1 $ касается $ AL $.о $.

$ AB = CD, AD \ parallel BC $ и $ AD> BC $. $ \ Omega $ — это описанная окружность $ ABCD $. Точка $ E $ находится на $ \ Omega $ такая, что $ BE \ perp AD $. Докажите, что $ AE + BC> DE $.

$ ABCD $ — выпуклый четырехугольник. Окружность $ ABC $ пересекает $ AD $ и $ DC $ в точках $ P $ и $ Q $. Окружность $ ADC $ пересекает $ AB $ и $ BC $ в точках $ S $ и $ R $. Докажите, что если $ PQRS $ — параллелограмм, то $ ABCD $ — параллелограмм.

$ ABCD $ — выпуклый четырехугольник. Биссектрисы углов $ A $ и $ D $ пересекаются в $ K $, биссектрисы углов $ B $ и $ C $ пересекаются в $ L $.Докажите, что $ 2KL \ geq | AB-BC + CD-DA | $.

$ ABCDE $ — выпуклый пятиугольник. $ \ angle BCA = \ angle BEA = \ frac {\ angle BDA} {2}, \ angle BDC = \ angle EDA $. Докажите, что $ \ angle DEB = \ angle DAC $.

Пусть $ BL $ — биссектриса острого треугольника $ ABC $. Точка $ K $, выбранная на $ BL $, такая, что $ \ измеренный угол AKC- \ измеренный угол ABC = 90º $. Точка $ S $ лежит на продолжении $ BL $ от $ L $ такое, что $ \ measureangle ASC = 90º $. Точка $ T $ диаметрально противоположна точке $ K $ на описанной окружности $ \ треугольника AKC $.о $. 2016 г. Санкт-Петербург МО сорт IX П6
Окружность, вписанная в $ \ треугольник ABC $, касается $ AC $ в точке $ D $. $ BD $ пересекают вписанную окружность в точке $ E $. Точки $ F, G $ на вписанной окружности — это такие точки, что $ FE \ parallel BC, GE \ parallel AB $. $ I_1, I_2 $ — инициаторы $ DEF, DEG $. Докажите, что биссектриса угла $ \ angle GDF $ проходит через середину $ I_1I_2 $. 2016 г. Санкт-Петербург МО марка Х П3
Окружность, вписанная в треугольник $ ABC $, касается стороны $ AC $ в точке $ B_1 $ и стороны $ BC $ в точке $ A_1 $. На стороне $ AB $ есть точка $ K $ такая, что $ AK = KB_1, BK = KA_1 $.Докажите, что $ \ angle ACB \ ge 60 $ 2016 г. Санкт-Петербург МО марка Х П5
Точки $ A $ и $ P $ отмечены на плоскости, не лежащей на прямой $ \ ell $. Для всех прямоугольных треугольников $ ABC $ с гипотенузой на $ \ ell $ покажите, что описанная окружность треугольника $ BPC $ проходит через фиксированную точку, отличную от $ P $. 2016 г. Санкт-Петербург МО сорт XI П5
Окружность, вписанная в $ \ треугольник ABC $, касается $ AC $ в точке $ D $. $ BD $ пересекают вписанную окружность в точке $ E $. Точки $ F, G $ на вписанной окружности — это такие точки, что $ FE \ parallel BC, GE \ parallel AB $.{\ circ} $. Пусть $ H $ будет подножием высоты от $ B $. $ D $ и $ E $ — это точки на сторонах $ AB $ и $ BC $ соответственно, такие что $ DH = EH $ и $ ADEC $ — вписанный четырехугольник. Найдите $ \ angle {DHE} $. 2017 г. Санкт-Петербург МО марка Х П3
Пусть $ ABC $ — острый треугольник с серединой $ AM $, высотой $ AH $ и биссектрисой внутреннего угла $ AL $. Предположим, что $ B, H, L, M, C $ коллинеарны в этом порядке и $ Lh3AL $. 2017 г. Санкт-Петербург МО марка Х П6
В остроугольном треугольнике $ ABC $ нарисованы высота $ AH $ и медиана $ BM $.Точка $ D $ лежит на описанной окружности треугольника $ BHM $ такая, что $ AD \ parallel BM $ и $ B, D $ находятся по разные стороны от прямой $ AC $. Докажите, что $ BC = BD $.

2017 г. Санкт-Петербург МО сорт XI P2
Окружность, проходящая через вершины $ A $ и $ B $ треугольника $ ABC $, снова пересекает стороны $ AC $ и $ BC $ в точках $ P $ и $ Q $ соответственно. Учитывая, что медиана из вершины $ C $ делит пополам дугу $ PQ $ окружности. Докажите, что $ ABC $ — равнобедренный треугольник.

2018 г. Санкт-Петербург МО сорт IX P5
Можно ли нарисовать $ \ треугольник ABC $ и точки $ X, Y $, такие что $ AX = BY = AB $, $ BX = CY = BC $,
$ CX = AY = CA $?

Четырехугольник $ ABCD $ вписан. Прямая, перпендикулярная к $ BD $, пересекает отрезки $ AB $ и $ BC $ и излучает $ DA, DC $ в точках $ P, Q, R, S $. $ PR = QS $. $ M $ — это середина $ PQ $. Докажите, что $ AM = CM $

Точка $ T $ лежит на биссектрисе $ \ angle B $ остроугольного $ \ треугольника ABC $.Окружность $ S $ диаметра $ BT $ пересекает $ AB $ и $ BC $ в точках $ P $ и $ Q $. Окружность, проходящая через точку $ A $ и касающаяся $ S $ в точке $ P $, пересекает прямую $ AC $ в точке $ X $. Круг, проходящий через точку $ C $ и касающийся $ S $ в точке $ Q $, пересекает прямую $ AC $ в точке $ Y $. Докажите, что $ TX = TY $

Точки $ A, B $ лежат на окружности $ S $. Касательные к $ S $ в $ A $ и $ B $ пересекаются в $ C $. $ M $ -середина точки $ AB $. Круг $ S_1 $ проходит через $ M, C $ и пересекает $ AB $ в точках $ D $ и $ S $ в точках $ K $ и $ L $. Докажите, что касательные к $ S $ в точках $ K $ и $ L $ пересекаются в точке на отрезке $ CD $.о $. Докажите, что $ \ angle AKD = \ angle MKC $.
Неравносторонний треугольник $ \ треугольник ABC $ периметра $ 12 $ вписан в круг $ \ omega $. Точки $ P $ и $ Q $ являются серединами дуг дуг $ ABC $ и $ ACB $ соответственно. Касательная к $ \ omega $ в точке $ A $ пересекает прямую $ PQ $ в точке $ R $. Оказывается, середина отрезка $ AR $ лежит на прямой $ BC $. Найдите длину отрезка $ BC $. Точка $ I_a $ — это центр $ A $ -окружности треугольника ABC $, который касается $ BC $ в точке $ X $. Пусть $ A ‘$ диаметрально противоположная точка $ A $ относительно описанной окружности $ \ треугольника ABC $.На отрезках $ I_aX, BA ‘$ и $ CA’ $ выбраны соответственно точки $ Y, Z $ и $ T $ такие, что $ I_aY = BZ = CT = r $, где $ r $ — внутренний радиус $ \ треугольника ABC. $. Докажите, что точки $ X, Y, Z $ и $ T $ совпадают.


На стороне $ AD $ выпуклого четырехугольника $ ABCD $ с острым углом в $ B $ отмечена точка $ E $. Известно, что $ \ angle CAD = \ angle ADC = \ angle ABE = \ angle DBE $.
[9] Докажите, что $ BE + CE
[10] Докажите, что $ \ треугольник BCE $ равнобедренный. (Здесь условие остроты $ \ angle B $ не обязательно.)


Лучи $ \ ell, \ ell_1, \ ell_2 $ имеют одну и ту же начальную точку $ O $, так что угол между $ \ ell $ и $ \ ell_2 $ острый и луч $ \ ell_1 $ лежит внутри этого угла. Луч $ \ ell $ содержит неподвижную точку $ F $ и произвольную точку $ L $. Окружности, проходящие через $ F $ и $ L $ и касающиеся $ \ ell_1 $ в точке $ L_1 $, проходящие через $ F $ и $ L $ и касающиеся $ \ ell_2 $ в точке $ L_2 $. Докажите, что описанная окружность $ \ треугольника FL_1L_2 $ проходит через фиксированную точку, отличную от $ F $, не зависящую от $ L $
. $ BB_1 $ — биссектриса $ \ треугольника ABC $, а $ I $ — его центр.Серединный перпендикуляр к отрезку $ AC $ пересекает описанную окружность треугольника AIC $ в точках $ D $ и $ E $. Точка $ F $ находится на отрезке $ B_1C $, таком что $ AB_1 = CF $. Докажите, что четыре точки $ B, D, E $ и $ F $ совпадают.

Высоты $ BB_1 $ и $ CC_1 $ остроугольного треугольника $ \ треугольник ABC $ пересекаются в точке $ H $. Круг с центром в $ O_b $ проходит через точки $ A, C_1 $ и середину $ BH $. Круг с центром в $ O_c $ проходит через $ A, B_1 $ и середину $ CH $. Докажите, что $ B_1 O_b + C_1O_c> \ frac {BC} {4} $

старые

2002
Пусть $ ABC $ — треугольник.Вписанная окружность треугольника $ ABC $ касается сторон $ BC $, $ CA $, $ AB $ в точках $ A_ {1} $, $ B_ {1} $, $ C_ {1} $ соответственно. Перпендикуляр к прямой $ AA_ {1} $, проходящей через точку $ A_ {1} $, пересекает прямую $ B_ {1} C_ {1} $ в точке $ X $. Докажите, что прямая $ BC $ делит отрезок $ AX $ пополам.

Год Неизвестен2
Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC. Пусть окружность, касающаяся как AB, так и AC, пересекает отрезок BC в точках M и N.Теперь рассмотрим $ \ omega $, вписанную окружность треугольника BCD. Пусть X и Y — точки пересечения (ближе к D) DM и DN с $ \ omega $. Докажите, что XY параллельно BC.

В Санкт-Петербурге завершилась 62-я Международная математическая олимпиада.Петербург. Китай возглавляет рейтинг | DefenceHub

представителей 107 стран, 619 школьников разыграли призы, продемонстрировав знания в различных областях математики. Несмотря на то, что олимпиада подразумевала формат индивидуальных соревнований, можно выделить страны-лидеры, завоевавшие наибольшее количество медалей.

Лидером по количеству призов стала сборная Китая, второе место в неофициальном командном зачете заняла Россия, опередив сборные Кореи и США. С результатами индивидуальных тестов можно ознакомиться по ссылке: https://www.imo-official.org/year_i…desc&gender=hide&nameform=western&language=ru

Церемония закрытия прошла сегодня, 24 июля, в онлайн-режиме. формат основан на Герценовском университете. На церемонии выступил оркестр Игоря Пономаренко «IP orchestra», для участников была подготовлена ​​насыщенная программа, в рамках которой оргкомитет олимпиады официально подвел итоги и объявил имена победителей.Участников поздравили вице-губернатор Санкт-Петербурга Ирина Потехина, президент ИМО Джефф Смит, ректор РГПУ им. А.И. Герцен Сергей Богданов, председатель жюри IMO 21 Назар Агаханов, а также всемирно известный математик, лауреат Премии Филда, двукратный победитель IMO Станислав Смирнов.

«Мы все боремся с пандемией. Мы ожидаем, что пандемия будет побеждена, и я уверен, что вы тоже станете участниками этой борьбы, потому что сегодня математики играют одну из ключевых ролей в изобретении оружия против новой коронавирусной инфекции.А когда выиграем, друзья, ждем вас в нашем городе. Добро пожаловать! »- отметила в своем обращении вице-губернатор Санкт-Петербурга Ирина Потехина.

Напомним, что впервые в истории Олимпиады Санкт-Петербург, Россия, два года подряд был городом-организатором мероприятия. В 2022 году олимпиада пройдет в столице Норвегии Осло и, надеюсь, пройдет в офлайн-формате.

Поздравляем победителей и желаем всем участникам 62-й Международной математической олимпиады новых побед, достижений и невероятных математических открытий.

https://imo2021.ru/news/the-62nd-international-mat Mathematical-olympiad-has-ended-in-st-petersburg/

Math Team Canada в IMO