Решение логарифмических неравенств с подробным решением: Калькулятор онлайн — Решение логарифмических неравенств

Содержание

калькулятор логарифмических неравенств

Вы искали калькулятор логарифмических неравенств? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и логарифмические неравенства онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «калькулятор логарифмических неравенств».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как калькулятор логарифмических неравенств,логарифмические неравенства онлайн,онлайн логарифмическое неравенство,решение логарифмических неравенств онлайн,решение логарифмических неравенств с подробным решением онлайн,решение неравенств онлайн с логарифмами,решение неравенств с логарифмами онлайн,решить логарифмическое неравенство онлайн,решить неравенство логарифмическое онлайн,решить неравенство онлайн с решением с логарифмами,решить неравенство с логарифмами онлайн с решением. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и калькулятор логарифмических неравенств. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, онлайн логарифмическое неравенство).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же калькулятор логарифмических неравенств Онлайн?

Решить задачу калькулятор логарифмических неравенств вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Логарифмические неравенства, формулы и онлайн калькуляторы

Определение

Логарифмическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма.{-1}$   или   $x-1<2 \Rightarrow x<3$

В пересечении с ОДЗ получаем, что $x \in(1 ; 3)$

Ответ. $x \in(1 ; 3)$

Больше примеров решений

2. Решение логарифмического неравенства вида $$\log _{a} f(x) \lt \log _{a} g(x)$$ равносильно решению следующих систем:

а)      б)

Неравенство $\log _{a} f(x)>\log _{a} g(x)$ в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

$$00 \end{array}\right.$$ $$a>1:\left\{\begin{array}{l} f(x)>g(x) \\ g(x)>0 \end{array}\right.$$

Слишком сложно?

Логарифмические неравенства не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Решить неравенство $\log _{5} 5>\log _{5} x$

Решение. Данное неравенство равносильно системе:

$$\left\{\begin{array}{l} 5>x, \\ x>0 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x0 \end{array} \Rightarrow x \in(0 ; 5)\right.\right.$$

Ответ. $x \in(0 ; 5)$

Больше примеров решений

Читать дальше: примеры решения задач с логарифмами.

Решение неравенств любого вида. Онлайн калькулятор с примерами

Решение неравенств онлайн

Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения.

Не важно каким является неравенство – строгим () или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).

Поясним что означает решить неравенство?

После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!

Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?

Как решать неравенства?

Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.

Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.

Можно сказать на этом полдела сделано. Далее, взяв любую точку на каждом интервале, осталось определить выполняется ли само неравенство? Если выполняется, то он входит в решение неравенства. Ели нет, то пропускаем его.

Как правильно записывать решение неравенства?

Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?

Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.

Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.

Важный момент

Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.

Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.

А у неравенства |x|

Для чего нужен калькулятор неравенств?

Калькулятор неравенств выдает правильный итоговый ответ. При этом в большинстве случаев приводится иллюстрация числовой оси или плоскости. Видно, входят ли границы интервалов в решение или нет – точки отображаются закрашенными или проколотыми.

Благодаря онлайн калькулятору неравенств можно проверить правильно ли вы нашли корни уравнения, отметили их на числовой оси и проверили на интервалах (и границах) выполнение условия неравенства?

Если ваш ответ расходится с ответом калькулятора, то однозначно нужно перепроверить свое решение и выявить допущенную ошибку.

Решение особых логарифмических неравенств

Отдельной темой при изучении показательных и логарифмических неравенств стоят неравенства, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

В этой статье мы изучим пошаговый алгоритм решения неравенств, которые назовем "особые логарифмические неравенства", хотя их, с тем же успехом, можно отнести к "особым показательным неравенствам".

Рассмотрим решение неравенств вида:

Как мы знаем, переход в показательном неравенстве от степеней к показателям степеней зависит от основания степени:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Поскольку наше неравенство не совсем показательное: основание нашей степени зависит от х, рассмотрим отдельно случаи, когда  и . В этих случаях нам надо найти, при каких значениях х выполняются эти условия, а затем проверить, верно ли наше неравенство при этих значениях неизвестного.

Нужно обратить внимание на то, что если в основании степени стоит ноль, то показатель степени должен быть положительным.

В общем виде мы получим совокупность четырех систем неравенств:

              

На практике неравенства c неизвестным в основании и в показателе степени удобно решать по такому алгоритму:

1. Рассматриваем отдельно два случая, когда основания степеней равны 0 или 1. Найдем, при каких значении х  выполняются эти условия и проверим, верно ли наше неравенство при этих значениях х. Следим за тем, чтобы у степени, в основании  которой стоит ноль,  показатель был положительным.

2. Записываем правую часть неравенства в виде степени с тем же основанием, что и в левой части.

3. Рассматриваем  еще два случая, когда основания степеней принимают значения больше ноля или от ноля до единицы.

Давайте рассмотрим пример решения неравенства такого типа.

Решим неравенство:

Запишем системы, которые у нас получатся:

1.

2.

3.

4.

Запишем решения каждой системы:

1) 

2)

3) 

4) (

Объединим все решения: 

Ответ: 

Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с подробным решением неравенства уровня С3:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Сложные логарифмические неравенства егэ. Решение логарифмических неравенств. Преобразование логарифмических неравенств

Это равносильно данной системе:


Посмотрим еще примеры решения простейших логарифмических неравенств, приведенных на картинке ниже:



Решение примеров

Задание. Давайте попробуем решить такое вот неравенство:


Решение области допустимых значений.


Теперь попробуем умножить его правую часть на:

Смотрим, что у нас получится:



Теперь, давайте с вами перейдем к преобразованию подлогарифмических выражений. В связи с тем, что основание логарифма 0

3x - 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А из этого следует, что интервал, который мы получили, целиком и полностью принадлежит ОДЗ и является решением такого неравенства.

Вот какой ответ у нас получился:


Что необходимо для решения логарифмических неравенств?

А теперь давайте попробуем проанализировать, что нам необходимо для успешного решения логарифмических неравенств?

Во-первых, сосредоточить все свое внимание и постараться не допускать ошибок при выполнении преобразований, которые даны в этом неравенстве. Также, следует запомнить, что при решении таких неравенств нужно не допускать расширений и сужений ОДЗ неравенства, которые могут привести к потере или приобретению посторонних решений.

Во-вторых, при решении логарифмических неравенств необходимо научиться мыслить логически и понимать разницу между такими понятиями, как система неравенств и совокупность неравенств, чтобы вы без проблем смогли осуществлять отбор решений неравенства, при этом руководствуясь его ОДЗ.

В-третьих, для успешного решения таких неравенств каждый из вас должен отлично знать все свойства элементарных функций и четко понимать их смысл. К таким функциям относятся не только логарифмические, но и рациональные, степенные, тригонометрические и т.д., одним словом, все те, которые вы изучали на протяжении школьного обучения алгебры.

Как видите, изучив тему о логарифмических неравенствах, в решении этих неравенств нет ничего сложного при условии, если вы будете внимательны и настойчивы в достижении поставленных целей. Чтобы в решении неравенств не возникало никаких проблем, нужно как можно больше тренироваться, решая различные задания и при этом запоминать основные способы решения таких неравенств и их систем. При неудачных решениях логарифмических неравенств, следует внимательно проанализировать свои ошибки, чтобы в будущем не возвращаться к ним снова.

Домашнее задание

Для лучшего усвоения темы и закрепления пройденного материала, решите следующие неравенства:


Вам кажется, что до ЕГЭ еще есть время, и вы успеете подготовиться? Быть может, это и так. Но в любом случае, чем раньше школьник начинает подготовку, тем успешнее он сдает экзамены. Сегодня мы решили посвятить статью логарифмическим неравенствам. Это одно из заданий, а значит, возможность получить дополнительный балл.

Вы уже знаете, что такое логарифм(log)? Мы очень надеемся, что да. Но даже если у вас нет ответа на этот вопрос, это не проблема. Понять, что такое логарифм очень просто.

Почему именно 4? В такую степень нужно возвести число 3, чтобы получилось 81. Когда вы поняли принцип, можно приступать и к более сложным вычислениям.

Неравенства вы проходили еще несколько лет назад. И с тех пор они постоянно встречаются вам в математике. Если у вас проблемы с решением неравенств, ознакомьтесь с соответствующим разделом.
Теперь, когда мы познакомились с понятиями по отдельности, перейдем к их рассмотрению в общем.

Самое простое логарифмическое неравенство.

Простейшие логарифмические неравенства не ограничиваются этим примером, есть еще три, только с другими знаками. Зачем это нужно? Чтобы полнее понять, как решать неравенство с логарифмами. Теперь приведем более применимый пример, все еще достаточно простой, сложные логарифмические неравенства оставим на потом.

Как это решить? Все начинается с ОДЗ. О нем стоит знать больше, если хочется всегда легко решать любое неравенство.

Что такое ОДЗ? ОДЗ для логарифмических неравенств

Аббревиатура расшифровывается как область допустимых значений. В заданиях для ЕГЭ нередко всплывает данная формулировка. ОДЗ пригодится вам не только в случае логарифмических неравенств.

Посмотрите еще раз на вышеприведенный пример. Мы будем рассматривать ОДЗ, исходя из него, чтобы вы поняли принцип, и решение логарифмических неравенств не вызывало вопросов. Из определения логарифма следует что, 2х+4 должно быть больше нуля. В нашем случае это означает следующее.

Это число по определению должно быть положительным. Решите неравенство, представленное выше. Это можно сделать даже устно, здесь явно, что X не может быть меньше 2. Решение неравенства и будет определением области допустимых значений.
Теперь перейдем к решению простейшего логарифмического неравенства.

Отбрасываем из обеих частей неравенства сами логарифмы. Что в результате у нас остается? Простое неравенство.

Решить его несложно. X должен быть больше -0,5. Теперь совмещаем два полученных значения в систему. Таким образом,

Это и будет область допустимых значений для рассматриваемого логарифмического неравенства.

Зачем вообще нужно ОДЗ? Это возможность отсеять неверные и невозможные ответы. Если ответ не входит в область допустимых значений, значит, ответ попросту не имеет смысла. Это стоит запомнить надолго, так как в ЕГЭ часто встречается необходимость поиска ОДЗ, и касается она не только логарифмических неравенств.

Алгоритм решения логарифмического неравенства

Решение состоит из нескольких этапов. Во-первых, необходимо найти область допустимых значений. В ОДЗ будет два значения, это мы рассмотрели выше. Далее нужно решить само неравенство. Методы решения бывают следующими:

  • метод замены множителей;
  • декомпозиции;
  • метод рационализации.

В зависимости от ситуации стоит применять один из вышеперечисленных методов. Перейдем непосредственно к решению. Раскроем наиболее популярный метод, который подходит для решения заданий ЕГЭ практически во всех случаях. Далее мы рассмотрим метод декомпозиции. Он может помочь, если попалось особенно «заковыристое» неравенство. Итак, алгоритм решения логарифмического неравенства.

Примеры решения :

Мы не зря взяли именно такое неравенство! Обратите внимание на основание. Запомните: если оно больше единицы, знак остается прежним при нахождении области допустимых значений; в противном случае нужно изменить знак неравенства.

В результате мы получаем неравенство:

Теперь приводим левую часть к виду уравнения, равному нулю. Вместо знака «меньше» ставим «равно», решаем уравнение. Таким образом, мы найдем ОДЗ. Надеемся, что с решением такого простого уравнения у вас не будет проблем. Ответы -4 и -2. Это еще не все. Нужно отобразить эти точки на графике, расставить «+» и «-». Что нужно для этого сделать? Подставить в выражение числа из интервалов. Где значения положительны, там ставим «+».

Ответ : х не может быть больше -4 и меньше -2.

Мы нашли область допустимых значений только для левой части, теперь нужно найти область допустимых значений правой части. Это не в пример легче. Ответ: -2. Пересекаем обе полученные области.

И только теперь начинаем решать само неравенство.

Упростим его, насколько возможно, чтобы решать было легче.

Снова применяем метод интервалов в решении. Опустим выкладки, с ним уже и так все понятно по предыдущему примеру. Ответ.

Но этот метод подходит, если логарифмическое неравенство имеет одинаковые основания.

Решение логарифмических уравнений и неравенств с разными основаниями предполагает изначальное приведение к одному основанию. Далее применяйте вышеописанный метод. Но есть и более сложный случай. Рассмотрим один из самых сложных видов логарифмических неравенств.

Логарифмические неравенства с переменным основанием

Как решать неравенства с такими характеристиками? Да, и такие могут встретиться в ЕГЭ. Решение неравенств нижеследующим способом тоже полезно скажется на вашем образовательном процессе. Разберемся в вопросе подробным образом. Отбросим теорию, перейдем сразу к практике. Чтобы решать логарифмические неравенства, достаточно однажды ознакомиться с примером.

Чтобы решить логарифмическое неравенство представленного вида, необходимо привести правую часть к логарифму с тем же основанием. Принцип напоминает равносильные переходы. В итоге неравенство будет выглядеть следующим образом.

Собственно, остается создать систему неравенств без логарифмов. Используя метод рационализации, переходим к равносильной системе неравенств. Вы поймете и само правило, когда подставите соответствующие значения и проследите их изменения. В системе будут следующие неравенства.

Воспользовавшись методом рационализации при решении неравенств нужно помнить следующее: из основания необходимо вычесть единицу, х по определению логарифма из обеих частей неравенства вычитается (правое из левого), два выражения перемножаются и выставляются под исходным знаком по отношению к нулю.

Дальнейшее решение осуществляется методом интервалов, здесь все просто. Вам важно понять отличия в методах решения, тогда все начнет легко получаться.

В логарифмических неравенствах много нюансов. Простейшие из них решать достаточно легко. Как сделать так, чтобы решать каждое из них без проблем? Все ответы вы уже получили в этой статье. Теперь впереди вас ждет длительная практика. Постоянно практикуйтесь в решении самых разных задач в рамках экзамена и сможете получить наивысший балл. Успехов вам в вашем непростом деле!

Решение неравенств онлайн

Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения .

Не важно каким является неравенство – строгим () или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).

Поясним что означает решить неравенство?

После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!

Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?

Как решать неравенства?

Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.

Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.

Как правильно записывать решение неравенства?

Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?

Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.

Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.

Важный момент

Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.

Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.

А у неравенства |x|

Для чего нужен калькулятор неравенств?

Калькулятор неравенств выдает правильный итоговый ответ. При этом в большинстве случаев приводится иллюстрация числовой оси или плоскости. Видно, входят ли границы интервалов в решение или нет – точки отображаются закрашенными или проколотыми.

Благодаря онлайн калькулятору неравенств можно проверить правильно ли вы нашли корни уравнения, отметили их на числовой оси и проверили на интервалах (и границах) выполнение условия неравенства?

Если ваш ответ расходится с ответом калькулятора, то однозначно нужно перепроверить свое решение и выявить допущенную ошибку.

Похожие статьи

Метод рационализации при решении логарифмических неравенств | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (11 класс) по теме:

Метод рационализации

Составитель текста – Прокофьева Т.А. (МБОУ СШ №12)

Как известно,  ЕГЭ по Математике длится 235 минут, и чтобы распределить это время рационально на все задания, не помешало бы узнать короткие пути решения той или иной задачи. Так, на С3(задача №15), оцениваемое в 3 балла, рекомендовано 30 минут (при условии, что ученик намерен решать все задания). Если проводить решение согласно всем известному методу интервалов, то, возможно, вы потратите все отведенное на него время. Существует ли такой метод решения неравенств, при котором мы сможем упростить наши вычисления, тем самым сохранив время?

Это метод рационализации (оптимизации, декомпозиции, замены множителей, замены функций, обобщенный метод интервалов, правило знаков)

Теоретическое обоснование метода

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида

является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:

 Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности.0 в области определения F(x).

f, g, h – выражения с переменной х, a – фиксированное число или функция   ( а>0, a≠1).

Выражение F

Выражение G

1

2

3

4

5

6

Из данных выражений можно вывести некоторые следствия (с учетом области определения):

                                                              0 ⬄ 0

В указанных равносильных переходах символ ^  заменяет один из знаков             неравенств: >,

Комментарий.

     Стандартные ошибки, которые допускают учащиеся при использовании метода рационализации, заключаются в следующем:

а) проводят рационализацию без учета области определения данного неравенства;

б) применяют метод рационализации к неравенствам, не приведенным к             стандартному виду F(x) ˅ 0;

в) формально применяют метод рационализации к выражениям вида

 , заменяя на выражение ;

г) подменяют формулировку «о совпадении знаков выражений для каждого

допустимого значения х» на неверную формулировку «о совпадении значений

выражений для каждого допустимого значения х».

Для решения:

1) Рассмотрим пример решения логарифмического неравенства двумя методами


1. Метод интервалов

О.Д.З.                                                     

                                                                                                 

a)                                                    b)

                                                                   

         -1

 Ответ: (  ;

2. Метод декомпозиции (рационализации)

                                                      Ответ: (         ;

2)   №17 из варианта 22 сборника Ященко И.В. 2015г.

 

1)                   

2) ,

,

,

,   ,

             ,  

,

,   ;

  1.           U  U .

Ответ. , , .

3) №17 из варианта 23 сборника Ященко И.В. 2015г.

Решение.

  1.                    
  2. ,

,

,

,    

;

  1.     ,      

Ответ.  

4)№17 из варианта 18 сборника Ященко И.В. 2015г.

 

1)                      

2) ,

,

,

,   ,   ,   ,

,    .

3)          U  .

Ответ.   ,   .

5) №17 из варианта 13 сборника Ященко И.В. 2015г

,

1)      .

2) ,

,

,   ,  

.

3)      .

Ответ.   .

6)log12x2-41+35(3 – x) ≥ log2x2-5x+3(3- x).

Решение. Запишем неравенство в виде log12x2-41+35(3 – x) - log2x2-5x+3(3- x) ≥ 0  и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации

Для решения первых трёх неравенств системы используем метод интервалов.

Ответ: 

7)  ≥ 0.

Решение. Заменим данное неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

 

 

При решении неравенства (х – 1)(х – 2) x 0, x ≠ 1. Условие  1 позволяет исключить множитель  x – 1 > 0 в первом неравенстве системы.

Ответ:  .

Дополнительно

                                                               

                                                            [0; 4]                                                                                                            

   Ответ: [0; 4]

                                                                   -2

                                                                       

Ответ:  

Решение:

Ответ: (-1;1) U (3;5)

11) Решите неравенство log 2x+3 x2 

Решение.   Запишем неравенство в виде log2x+3x2 – 1

(2x + 2)(x2 – 2x – 3)

2x + 3 > 0

x ≠ 0

(x + 1)(x + 1)(x – 3)

x > 1,5

x ≠ 0

Ответ: (-1.5; -1) (-1; 0)  (0; 3).

12)  Решите неравенство log|x+2|(4 + 7x – 2x2) ≤ 2.

Решение. Запишем нераенство в виде  log|x + 2|(4 + 7x – 2x2) – log|x + 2|(x + 2)2 ≤ 0  и заменим равносильной системой, используя метод рационализации

(|x + 2| - 1)(4 + 7x – 2x2 – x2 – 4x – 4) ≤ 0

4 +7x - 2x2 > 0

x + 2 ≠ 0

((x + 2)2 – 1)(-3x2 + 3x) ≤ 0

(x + 0,5)(x – 4)

x ≠ 2

x(x + 1)(x + 3)(x – 1) ≥ 0

(x + 0,5)(x – 4)

x ≠ 2

Ответ: ( -0,5; 0]  [1; 4).

13) .

Решение. Получим следующую систему неравенств:

Решая первые четыре неравенства, практически находим ОДЗ исходного неравенства:

Откуда: .

Решим теперь пятое неравенство системы. После элементарных преобразований получим неравенство

.

Умножим второй сомножитель на -1 и поменяем знак неравенства:

.

Нетрудно заметить, что корнями второго множителя в этом неравенстве являются числа 1 и -2. Поэтому, раскладывая второй множитель на одночлены первого порядка, получаем:

.

Это неравенство легко решить методом интервалов: .

С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ:  .

14) ) №17 из варианта 26 сборника Ященко И.В. 2015г. 

 1 способ(метод рационализации)

Решение.

  1.        .
  2. ,

,

,

,   ,  

.

  1.                .

Ответ.   .

 

2 способ

,

1) Область определения  

2) Логарифмическая функция с основанием большем 2 является возрастающей, тогда

а)                 нет решений

б)            .

3)        

15)   №17 из варианта 4 сборника Ященко И.В. 2015г.

Решение.

  1.       
  2. ,

      ,

,

,

,

,

,

,

,   ,   ,  

,   ,   .

  1.       ,    .

Ответ.   ,    .

16)  №17 из варианта 27 сборника Ященко И.В. 2015г.

 

  1.                      
  2. ,

,

,

,

,

,

,

,    

.

  1.                   .

Ответ.   .

17) 

,  

,    

  1. ,

,

,

,

,

.

  1.         ,     .

Ответ.   .

18) .

1)           

2) ,         ,

,       ,    

      3)       .

Ответ.  .

Дополнительно для самостоятельного решения:

  1. .   Ответ.    .
  2. .     Ответ.    ,   .
  3. .    Ответ.  
  4. .   Ответ.   .
  5. .    Ответ.    .
  6. .     Ответ.    .
  7. .   Ответ.    .
  8. .      Ответ.    .
  9. .   Ответ.    .
  10. .

Ответ.    .

Для работы с учениками:

   Детям нужно рекомендовать использование метода рационализации в логарифмических неравенствах, когда неизвестное находится в основании степени.

   Для отработки навыка решения предлагать решение в 3действия:

  1. Найти область определения неравенства.
  2. Использование замены функций по формулам рационализации.
  3. Решить систему всех полученных условий.

Список литературы:

  1. Семенов А.Л., Ященко И.В. Математика 2015. 50 вариантов. М.: Экзамен, 2015
  2. Корянов А.Г., Прокофьев А.А.  Математике ЕГЭ 2014. Типовые задания С3. Методы решения неравенств с одной переменной. www.alexlarin.net
  3. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2014. Решаем задание С3 методом рационализации. Ростов-на-Дону: Легион, 2013
  4. Дмитрий Гущин. Математика. ЕГЭ – 2013: экспресс-курс для подготовки к экзамену. М.: Комсомольская правда, 2013

Решение логарифмических уравнений и систем уравнений. Подготовка к ЕГЭ

Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую человечество употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели не с завязанными глазами, а зрячим:
он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой экспедицией открытий, следовательно, также присутствовать
не только в качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать свои силы;
ему ничто не должно доставаться даром.
Даётся только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)

Форма урока: комбинированный урок

Тип урока:

Урок повторного контроля знаний.

Обобщение и закрепление пройденного материала.

Цели урока:

  • Образовательная - обобщение знаний учащихся по теме "Логарифмические уравнения и системы уравнений; закрепить основные приемы и методы решения логарифмических уравнений и систем уравнений; ознакомить учащихся с видами заданий повышенной сложности по данной теме в ЕГЭ.
  • Развивающая - развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.
  • Воспитывающая - воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу.

Задачи урока:

  • выработать у учащихся умение пользоваться алгоритмом решения логарифмических уравнений.
  • осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений и систем уравнений.
  • познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений и систем уравнений.

Методы и педагогические приемы:

  • Методы самообучения
  • Приемы устного опроса.
  • Приемы письменного контроля.
  • Коллективная учебная деятельность.
  • Организация работы в группах.
  • Повышение интереса к учебному материалу.

Оборудование:

  • компьютер, мультимедийный проектор и экран;
  • тетради;

Раздаточный материал: задания для самостоятельной работы.

План урока:

  1. Организационный момент (1 мин)
  2. Проверка домашнего задания (3 мин)
  3. Входной контроль (повторение теоретического материала) (15 мин)
  4. Этап обобщения знаний учащихся. Решение уравнений и систем уравнений (45 мин)
  5. Разноуровневая самостоятельная работа (проверка знаний учащихся) (20 мин)
  6. Итоги урока (4 мин)
  7. Домашнее задание (2 мин)

Ход урока

1. Организационный момент

Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.

2. Проверка домашнего задания

Установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях.

3. Входной контроль (повторение теоретического материала)

Организация устной фронтальной работы с классом по повторению логарифмических формул и способов решения логарифмических уравнений.

Решение простейших уравнений:

Сравните числа:

а) и

б) и

2) Найдите Х, если х>0:

[1/5]

[4]

Перечислите: основные способы решения логарифмических уравнений.

Способы решения логарифмических уравнений

  • По определению логарифма.
  • Метод потенцирования.
  • Метод введения новой переменной.
  • Решение уравнений логарифмированием его обеих частей.
  • Функционально-графический способ.

На экране уравнения:

  1. log2(3 - 6x) = 3
  2. lg(х2 - 2х) = lg (2х + 12)
  3. 5х + 1 - 5 х - 1 = 24
  4. хlg х = 10000
  5. 32х + 5 = 3х + 2 + 2
  6. log32x - log3 x = 3
  7. log2x - log4x = 3
  8. 2x = x2 - 2x

Среди данных уравнений выбрать логарифмические. Определить способ решения каждого уравнения. Решите уравнения.

По окончанию работы правильность решения уравнений осуществляется с помощью экрана.

Устно ответить на следующие вопросы (если имеется не один корень):

  • Найти наименьший корень уравнения.
  • Найти сумму корней уравнения.
  • Найти разность корней уравнения.
  • Найти произведение корней уравнения.
  • Найти частное корней уравнения

Самооценка и взаимооценка деятельности учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

4. Этап обобщения знаний учащихся

Решение логарифмических уравнений из заданий ЕГЭ части В и С.

№ 1 (В) Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения  log6(3x + 88) - log6 11 = log6 x. [1]

№ 2 (B) Найдите произведение всех корней уравнения

. [1]

№ 3 (B) Найдите сумму корней уравнения = log4 (x - 3) + 2. [2]

№ 4 (C) найти наибольший корень уравнения:  log2(2+5)+ log0,5(-х-0,5) = 1 [-4]

№ 5 (C) Решите уравнение - log6x + 34 = ()2 + x. [2]

Уравнения №1-3 решает по два ученика на обратных крыльях доски с последующей проверкой решения всем классом.

Уравнение №4,5 решает ученик с подробным комментарием.

По окончании самооценка и взаимооценка учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

log a x = b, a > 0, a 1.

log a f(x) = b, a > 0, a 1.

log f(x) b = c, b > 0.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма: если logb a = c, то a = b c.

Решить уравнение log2 x = 3.

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 23, x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Ответ: x = 8.

Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x).

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = ab проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример. Решить уравнение log3(5х - 1) = 2.

Решение:

ОДЗ: 5х - 1 > 0; х > 1/5.

log3(5х- 1) = 2,

log3(5х - 1) = log332,

5х - 1 =9,

х = 2.

Ответ: 2.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х2 - 2х - 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2х2 - 2х - 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = -1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х2 - 2х - 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Ответ. х1 = -1, х2 = 2.

Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))c = b или равносильного уравнения проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример. Решить уравнение

logx-19 = 2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Ответ. x = 4.

2.. Потенцирование.

Суть метода заключается в переходе от уравнения

log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно не равносильно исходному.

Уравнения вида

loga f(x) = loga g(x) , а > 0, а ?1.

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Переход от уравнения loga f(x) = loga g(x) к уравнению f(x) = g(x) называется потенцированием.

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Пример. Решить уравнение log3 (x2 - 3x - 5) = log3 (7 - 2x).

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств:

x2 - 3x - 5>0,  7 - 2x>0

х> -1,5+ , х<3,5

х2 <-1,5-

Потенцируя данное уравнение, получаем х2 - 3х - 5 = 7 - 2х,

х2 - х - 12 = 0, откуда х1 = -3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.

Ответ. х = -3.

Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log a f(x) = log a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

logb a + logb c = logb (a*c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

logb a - logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

m logb a = logb a m, где a > 0; b > 0, b 1; m R.

Пример 1. Решить уравнение log6 (x - 1) = 2 - log6 (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log6 (x - 1) + log6 (5x + 3) = 2,

log6 ((x - 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х - 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = -2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.

Ответ. х = 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x - 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма (х + 3) 2 = 1, х = -4, х = -2. Число х = -2 посторонний корень.

Ответ. х = -4.

Пример 3. Решить уравнение log2 (6 - x) = 2 log6 x.

Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 - x = x2, откуда х = -3, х = 2. Число х = -3 посторонний корень.

Ответ. х = 2.

Уравнения вида Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим

Так как 3 = log28, то на области определения получим равносильное уравнение (2-x)/(x-1) = 8, откуда x = 10/9.

Ответ. x = 10/9.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).

Ответ. х = 6.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x > -1, x 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1) ? 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log 3(x + 1)-1)2 = 0, откуда log 3(x + 1) = 1 и x = 2.

Ответ. x = 2.

3. Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

Уравнения вида

где a > 0, a 1, A, В, С - действительные числа.

Пусть t = loga f(x), t R. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x - lgx - 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения - интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, t R.

Уравнение примет вид t 2 - t - 6 = 0. Его корни t1 = -2, t2 = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = -2 или lg x = 3, х = 10 -2 или х = 10 3.

Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).

Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

Так как х < 0, то | x | = -x и следовательно

Введём новую переменную t = log3 (-x), t принадлежит R. Квадратное уравнение t 2 - 4t + 4 = 0

имеет два равных корня t1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log3 (-x) = 2, отсюда -х = 9, х = -9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения.

Ответ. х = -9.

 Уравнения вида

где a > 0, a 1, A, В, С - действительные числа, A 0, В 0.

Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на loga f(x) 0. Учитывая, что loga f(x) logf(x) a=1

(свойство logb a = 1/ loga b), получим уравнение

Замена loga f(x)=t, t R приводит его к квадратному At2 + Ct + B = 0.

Из уравнений loga f(x)= t1, logb f(x)= t2 найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения:

f(x) > 0, f(x) 1.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2 1, т.е. x >-2, x -1.

Умножим обе части уравнения на log5 (x+2) 0, получим

или, заменив log5(x+2) = t, придем к квадратному уравнению

t 2 - t - 2 = 0, t1 = -1, t2 =2.

Возвращаемся к первоначальной переменной:

log5 (x+2) = -1, x+2 = 1/5, x = -9/5,

log5 (x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23.

Оба корня принадлежат области определения уравнения.

Ответ: x = -9/5, x = 23.

в) log2х - 2 logх2 = -1

Решение:

ОДЗ: x > 0, х 1

Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Обозначим

Ответ:

4. Приведение некоторых уравнений к логарифмическим логарифмированием обеих частей.

Переход от уравнения вида f(x) = g(x) к уравнению loga f(x) = loga g(x), который возможен если f(x) >0, g(x) >0, a >0, a 1, называется логарифмированием.

Методом логарифмирования можно решать:

Уравнения вида

Область определения уравнения - интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и произведения

Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно loga x.

Пример. Решить уравнение 32log4x+2=16x2.

Решение. Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.

Используя свойства логарифмов, получим

Ответ: x = 1/4

Уравнения вида

Область определения уравнения - интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения

Введем новую переменную t=loga x , t R. Решив квадратное уравнение At2 + (B-а)t-loga C=0, найдем его корни t1 и t2. Значение x найдем из уравнений t1 = loga x и t2=loga x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х > 0. Так как при х > 0 обе части уравнения положительны, а функция y = log3 t монотонна, то

(1 + log3 x) log3 x = 2.

Введём новую переменную t, где t = log3 x, t R.

(1 + t) t = 2, t 2 + t - 2 = 0, t1 = -2, t2 = 1.

log3 x = -2 или log3 x = 1,

x = 1/9 или х = 3.

Ответ. х = 1/9; х = 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х >1. Обе части уравнения положительны, прологарифмируем их по основанию 2, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма частного:

Введем новую переменную t=log2x, получим квадратное уравнение t2 - 3t + 2 = 0,

t1 = 2, t2 = 1, тогда log2x = 2 или log2x =1.

Ответ. x = 4, x = 2.

1) Найти наибольший корень уравнения: lq(x+6) - 2 = 1/2lq(2x -3) - lq25

2) log0,5(log4(1/х)) + log4(log2(16х2)) =0

3) Пусть (х0;y0) - решение системы уравнений

Найти x0 +y0

Решение:

x0 +y0 =1,8+1,1=2,9

Ответ: 2,9.

4) Пример .Решите систему уравнений

у-1оg3х = 1,

хy=312.

Решение. Решим эту систему методом перехода к новым переменным:

u = у, v = -1оg3х.

Заметим, что x>0 и у R является областью определения данной системы.

Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 3, получим:

у 1оg3 х = 12 или у(- 1оg3х) = -12.

u + v = 1,

Итак,

u v = -12.

Тогда по обратной теореме Виета переменные и и v являются корнями квадратного уравнения

z2 -z-12 = 0

Следовательно, решения данной системы найдем как множество решений совокупности двух систем а) и б):

а) б)

Решениями указанных систем являются соответственно пары (27;4), (; -3).

Ответ: (27; 4), (; -3).

5) Пример. Решите систему уравнений

ху = 24

1оg22 х + 1оg22 y = 10.

Решение.

Перейдем к новым переменным:

1оg 2 х = и,

x = 2u>0, 1оg2 у = v, у = 2v >0.

В новых переменных данная система имеет вид:

Следовательно, и и v являются корнями квадратного уравнения :

z 2-42 + 3 = 0

Отсюда следует, что достаточно решить систему

 

Другое решение найдем из-за симметричности х и у, т. е. если (х; y) - решение, то (у; х) также является решением.

Ответ: (2; 8), (8; 2).

5. Самостоятельная работа.

1 вариант

1. Вычислите значение выражения: 11-3log3

2. Решите уравнения:

а) lg(x+3)=2lg2-lgx

б) log 736-log7(3x-12)=log7 4

3.Решите систему уравнений :

 2 вариант

1. Вычислите значение выражения: 13-3log2

2. Решите уравнения:

а) 9 log 3x-x2log 3x=0

б) log5 (8-24x)-log 58=log 57.

3. Решите систему уравнений:

6.Подведение итогов урока:

Учитывая контингент учащихся данного класса, можно сделать вывод о том, что в целом учащиеся усвоили материал по данной теме.

Выставление оценок.

7. Домашнее задание:

Решите уравнения:

Приложение

OpenAlgebra.com: решение логарифмических уравнений

Используйте однозначное свойство логарифмов для решения логарифмических уравнений. Плейлист по решению лог-уравнений
Если нам дано уравнение с логарифмом одного и того же основания с обеих сторон, мы можем просто приравнять аргументы.

Шаг 1 : Используйте правила экспонент, чтобы выделить логарифмическое выражение (с одинаковым основанием) на обеих сторонах уравнения.
Шаг 2 : Установите одинаковые аргументы.
Шаг 3 : Решите полученное уравнение.
Шаг 4 : Проверьте свои ответы.

Обязательно проверьте, решают ли полученные решения исходное логарифмическое уравнение. В этом учебном пособии мы поставим галочку рядом с решением после того, как определим, что оно действительно решает уравнение. Этот процесс иногда приводит к посторонним решениям, поэтому мы должны проверить свои ответы.
Решить .


Конечно, подобные уравнения очень особенные.Большинство проблем, с которыми мы столкнемся, не имеют логарифма с обеих сторон. Шаги по их решению приведены ниже.

Шаг 1 : Используйте свойства логарифма, чтобы изолировать журнал с одной стороны.
Шаг 2 : Примените определение логарифма и перепишите его в виде экспоненциального уравнения.
Шаг 3 : Решите полученное уравнение.
Шаг 4 : Проверьте свои ответы.

Если ответ на логарифмическое уравнение делает аргумент отрицательным, то он не имеет значения.Это не исключает отрицательных ответов. Мы должны обязательно проверить все наши решения.

Обучающее видео : Решение логарифмических уравнений


Решить .
Совет : Не все отрицательные решения являются посторонними! Посмотрите на предыдущий набор проблем и убедитесь, что на некоторые из них есть отрицательные ответы. Галочка означает, что мы действительно вставили ответы, чтобы убедиться, что они действительно решают исходный текст. Пожалуйста, не пропускайте этот шаг, часто встречаются посторонние решения.

Видео на YouTube :

Логарифмические неравенства - iitutor

Решая логарифмические неравенства, важно понимать направление изменений неравенства, если основание логарифмов меньше 1.
$$ \ log_ {2} {x} \ lt \ log_ {2 } {y}, \ text {then} x \ lt y \\
\ log_ {0.5} {x} \ lt \ log_ {0.5} {y}, \ text {then} x \ gt y \\
$$
Также область логарифма положительна.
$$ \ log_ {10} {(x-2)}, \ text {then} x-2 \ gt 0 $$

Вопрос 1

Решить \ (\ log_ {3} {(x-3)} \ gt \ log_ {3} {(x-1)}. \)

\ (\ begin {align} \ displaystyle \ require {color}
\ text {domain:} x-3 & \ gt 0 \ text { или} x-1 \ gt 0 \\
\ text {то есть} x & \ gt 3 \ color {green} \ cdots (1) \\
x-3 & \ gt x-1 \\
x & \ gt 2 \ color {green} \ cdots (2) \\
\ поэтому x & \ gt 3 & \ color {green} \ text {by (1) и (2)} \\
\ end {align} \\ \)

Вопрос 2

Решите \ (\ log_ {3} {(x-3)} \ gt \ log_ {9} {(x-1)} \). 3 - | 3x-2 |} $$

Прежде всего, $ x = 0 $ не является решением, поскольку $ f (0) = 1 $.

Сравнивая $ x $ с $ 0 $, $ f (x) $ с $ 1 $, $ g (x) $ с $ f (x) $, $ h (x) $ с $ 1 $, нам нужно рассмотреть восемь случаев:

Случай 1: $ x \ lt 0 $ и $ 0 \ lt f (x) \ lt 1 $ и $ f (x) \ lt g (x) \ lt 1 $ и $ h (x) \ ge 1 $

Случай 2: $ x \ lt 0 $ и $ f (x) \ gt 1 $ и $ 1 \ lt g (x) \ lt f (x) $ и $ h (x) \ ge 1 $

Случай 3: $ x \ lt 0 $ и $ 0 \ lt f (x) \ lt 1 $ и $ 0 \ lt g (x) \ lt f (x) $ и $ 0 \ lt h (x) \ le 1 $

Случай 4: $ x \ lt 0 $ и $ f (x) \ gt 1 $ и $ g (x) \ gt f (x) $ и $ 0 \ lt h (x) \ le 1 $

Случай 5: $ x \ gt 0 $ и $ 0 \ lt f (x) \ lt 1 $ и $ f (x) \ lt g (x) \ lt 1 $ и $ 0 \ lt h (x) \ le 1 $

Случай 6: $ x \ gt 0 $ и $ f (x) \ gt 1 $ и $ 1 \ lt g (x) \ lt f (x) $ и $ 0 \ lt h (x) \ le 1 $

Случай 7: $ x \ gt 0 $ и $ 0 \ lt f (x) \ lt 1 $ и $ 0 \ lt g (x) \ lt f (x) $ и $ h (x) \ ge 1 $

Случай 8: $ x \ gt 0 $ и $ f (x) \ gt 1 $ и $ g (x) \ gt f (x) $ и $ h (x) \ ge 1 $

Используя следующие леммы:

Лемма 1 : Если $ x \ lt 0 $, то $ h (x) \ lt 1 $. 2 + 3x + 2 $.2-3) -2 \ iff x \ in \ left (- \ infty, \ frac 73 \ right) $$

Утверждение следует из того, что $ \ frac 73 \ lt \ sqrt 6 $. $ \ quad \ blacksquare $

Экспоненциальные и логарифмические уравнения

Экспоненциальные и логарифмические уравнения

Показательное уравнение - это уравнение, в котором переменная представлена ​​в виде показателя степени. Логарифмическое уравнение - это уравнение, которое включает логарифм выражения, содержащего переменную.Чтобы решить экспоненциальные уравнения, сначала посмотрите, можете ли вы записать обе части уравнения в виде степеней одного и того же числа. Если вы не можете этого сделать, возьмите десятичный логарифм обеих частей уравнения и примените свойство 7.

Пример 1

Решите следующие уравнения.

  1. 3 x = 5

  2. 6 x - 3 = 2

  3. 2 3 x - 1 = 3 2 x - 2

  1. Деление с обеих сторон полено 3,

    Используя калькулятор для приближения,

  1. Деление с обеих сторон полено 6,

    Используя калькулятор для приближения,

Использование распределительной собственности,

3 x журнал 2 - журнал 2 = 2 x журнал 3-2 журнал 3

Сбор всех членов, включающих переменную на одной стороне уравнения,

3 x журнал 2 - 2 x журнал 3 = журнал 2 - 2 журнал 3

Разложение x ,

x (3 журнала 2 - 2 журнала 3) = журнал 2 - 2 журнала 3

Деление обеих сторон на 3 журнала 2 - 2 журнала 3,

Используя калькулятор для приближения,

x ≈ 12.770

Чтобы решить уравнение, включающее логарифмы, используйте свойства логарифмов, чтобы записать уравнение в форме log b M = N , а затем измените его на экспоненциальную форму, M = b N .

Пример 2

Решите следующие уравнения.

  1. журнал 4 (3 x - 2) = 2

  2. журнал 3 x + журнал 3 ( x - 6) = 3

  3. журнал 2 (5 + 2 x ) - журнал 2 (4- x ) = 3

  4. журнал 5 (7 x -9) = журнал 5 ( x 2 - x -29)

  1. журнал 4 (3 x - 2) = 2

Перейти к экспоненциальной форме.

Проверьте ответ.

Это верное заявление. Следовательно, решение x = 6.

Перейти к экспоненциальной форме.

Проверьте ответы.

Поскольку логарифм отрицательного числа не определен, единственное решение - x = 9.

  1. журнал 2 (5 + 2 x ) - журнал 2 (4- x ) = 3

Перейти к экспоненциальной форме.

Используя свойство перекрестных произведений,

Проверьте ответ.

Это верное заявление. Следовательно, решение x = 2,7.

Проверьте ответы.

Если x = 10,

Это верное заявление.

Если x = –2,

Кажется, это правда, но журнал 5 (–23) не определен.Следовательно, единственное решение: x = 10.

Пример 3

Найти журнал 3 8.

Примечание: журнал 8 = журнал 10 8 и журнал 3 = журнал 10 3.

Используя калькулятор для приближения,

Логарифмические неравенства - Бесплатные задания по математике

Логарифмические неравенства - это неравенства, в которых одна или обе части содержат логарифм. Решая логарифмические неравенства, мы должны помнить следующие факты:

1) Если $ a> 1 $ и $ x

Если $ a> 1 $ и $ log_ {a} x

Точно, логарифмическая функция $ f (x) = log_ {a} x $ равна монотонно возрастающим для $ a> 1 $ .

2) Если $ 0 log_ {a} y $.

Если $ 0 log_ {a} y $, то $ x

Точнее, логарифмическая функция $ f (x) = log_ {a} x $ представляет собой , монотонно убывающую для $ 0 .

3) Аргумент логарифма должен быть положительным числом !

Логарифмические неравенства - те же основания

Пример 1:

$$ log_ {2} (2x + 1)> log_ {2} (x + 3) $$

Решение:

База равна $ a = 2 $, что больше 1 $. Отсюда следует $ 2x + 1> x + 3 $.

$$ 2x + 1> x + 3 $$

$$ 2x-x> 3-1 $$

$$ x> 2 $$

Чек:

1) $ 2x + 1> 0 \ Rightarrow 2x> -1 \ Rightarrow x> - \ frac {1} {2} $

2) $ x + 3> 0 \ Rightarrow x> -3 $

У нас $ x> 2 $, поэтому оба условия выполнены.Решение - $ x> 2 $, т.е. $ x \ in \ left <2, + \ infty \ right> $.

Пример 2:

$$ журнал _ {\ frac {1} {2}} (x + 3)> журнал _ {\ frac {1} {2}} (2x + 1) $$

Решение:

База равна $ a = \ frac {1} {2} $, что меньше $ 0 $. Отсюда следует $ x + 3 <2x + 1 $. Обратите внимание, что мы получили то же неравенство, что и в предыдущем примере, что означает, что процедура и решение совпадают. Следовательно, решение $ x> 2 $, i.2> -2, $$

, которое выполняется для каждого $ x \ in \ mathbf {R} $. Следовательно, каждое $ x \ in \ mathbf {R} $ является решением.

Пример 4:

$$ log_ {7} (x + 6)> log_ {5} (x + 6) $$

Решение:

Здесь мы должны использовать правило изменения базы , то есть $ log_ {a} x = \ frac {log_ {b} x} {log_ {b} a} $

$$ \ frac {log (x + 6)} {log7}> \ frac {log (x + 6)} {log5} $$

$$ log5 \ cdot log (x + 6)> log7 \ cdot log (x + 6) $$

$$ (log5-log7) \ cdot log (x + 6)> 0 $$

Поскольку $ log5-log7 $ - отрицательное число, $ log (x + 6) $ также должно быть отрицательным.0 $$

$$ журнал (x + 6)

Поскольку база равна $ a = 10> 0 $,

$$ x + 6 <1 $$

$$ x <-5 $$

Чек:

$$ x + 6> 0 \ Rightarrow x> -6 $$

Поскольку у нас $ x <-5 $, решение будет $ -6 $.

Другие примеры

Пример 5:

$$ log_ {5} (x + 3)> 1 $$

Решение:

В этом неравенстве есть логарифм только с одной стороны.Мы хотели бы иметь логарифм с одинаковым основанием с обеих сторон. Для этого воспользуемся правилом (логарифм по основанию ) $$ log_ {a} a = 1 $$

Теперь у нас

$$ log_ {5} (x + 3)> log_ {5} 5 $$

База равна $ a = 5 $, что больше 0 $. Это означает, что $ x + 3> 5 $. Следовательно, $ x> 2 $.

Чек:

$ x + 3> 0 \ Rightarrow x> -3 $

У нас $ x> 2 $, значит, условие выполнено.

Мы заключаем, что $ x> 2 $, т.е.е. $ x \ in \ left <2, + \ infty \ right> $ - решение.

Пример 6:

$$ log _ {\ frac {1} {2}} (x-4) \ geq -2 $$

Решение:

Это неравенство аналогично неравенству из предыдущего примера; у нас также есть логарифм только с одной стороны. Мы можем записать правую часть как $ -2 \ cdot 1 $ и тогда получим:

$$ log _ {\ frac {1} {2}} (x-4) \ geq -2 $$

$$ log _ {\ frac {1} {2}} (x-4) \ geq -2 \ cdot 1 $$

Опять же, мы используем логарифм основного правила

. {- 2 } $$

Теперь у нас есть логарифмы с обеих сторон, которые мы хотели.2} {t-1} <0 $$

Эта дробь, очевидно, является отрицательным числом, а значение числителя - положительным числом. Это означает, что значение знаменателя - отрицательное число, т.е.

$$ t-1 <0 $$

$$ t <1, $$

, что означает

$$ logx <1 $$

$$ logx

Поскольку база равна $ a = 10> 1 $,

$$ x <10. $$

Чек:

$$ x> 0 $$

Поскольку у нас $ x <10 $, решение будет $ 0 $.

Алгебра - решение логарифмических уравнений

Решите каждое из следующих уравнений.

a \ ({\ log _5} \ left ({2x + 4} \ right) = 2 \) Показать решение

Чтобы решить их, нам нужно привести уравнение в точную форму, в которой находится это. Нам нужен единственный лог в уравнении с коэффициентом, равным единице, и константой по другую сторону от знака равенства. Получив уравнение в этой форме, мы просто преобразуем его в экспоненциальную форму.2} = 25 \]

Обратите внимание, что это уравнение легко решить.

\ [2x = 21 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = \ frac {{21}} {2} \]

Теперь, как и в первом наборе примеров, нам нужно снова вставить это в исходное уравнение и посмотреть, будет ли оно давать отрицательные числа или нули в логарифмах. Если да, то это не может быть решением, а если нет, то это решение.

\ [\ begin {align *} {\ log _5} \ left ({2 \ left ({\ frac {{21}} {2}} \ right) + 4} \ right) & = 2 \\ {\ log _5} \ left ({25} \ right) & = 2 \ end {align *} \]

Только положительные числа в логарифме, поэтому \ (x = \ frac {{21}} {2} \) на самом деле является решением.


b \ (\ log x = 1 - \ log \ left ({x - 3} \ right) \) Показать решение

В этом случае у нас есть два логарифма в задаче, поэтому нам придется объединить их в один логарифм, как мы это делали в первом наборе примеров. Выполнение этого для этого уравнения дает

\ [\ begin {align *} \ log x + \ log \ left ({x - 3} \ right) & = 1 \\ \ log \ left ({x \ left ({x - 3} \ right)} \ вправо) & = 1 \ end {выровнять *} \]

Теперь, когда мы получили уравнение в правильной форме, мы преобразуем его в экспоненциальную форму.2} - 3x - 10 & = 0 \\ \ left ({x - 5} \ right) \ left ({x + 2} \ right) & = 0 \ hspace {0,25in} \ Rightarrow \ hspace {0,25in} x = - 2, \, \, x = 5 \ end {align *} \]

Итак, у нас есть два возможных решения. Давайте проверим их обоих.

\ (* х = - 2: \)

\ [\ log \ left ({- 2} \ right) = 1 - \ log \ left ({- 2 - 3} \ right) \]

У нас есть отрицательные числа в логарифмах, поэтому это не может быть решением.

\ (х = 5: \)

\ [\ begin {align *} \ log 5 & = 1 - \ log \ left ({5 - 3} \ right) \\ \ log 5 & = 1 - \ log 2 \ end {align *} \]

Нет отрицательных чисел или нулей в логарифмах, поэтому это решение. 2} - 6 \ left (2 \ right)} \ right) & = 3 + {\ log _2} \ left ({1 - 2} \ right) \\ {\ log _2} \ left ({4 - 12} \ right) & = 3 + {\ log _2} \ left ({- 1} \ right) \ end {align *} \]

В этом случае, несмотря на то, что потенциальное решение положительно, мы получаем отрицательные числа в логарифмах, и поэтому оно не может быть решением.

Следовательно, мы получаем единственное решение этого уравнения, \ (x = - 4 \).

6.4 Логарифмические уравнения и неравенства

Домашнее задание # 3 Решения

Домашнее задание # 3 Решения Февраль 200 Решение (2.3.5). Отмечая, что и (+ 3 x) x 8 = + 3 x) по Уравнению (2.3.) X 8 x 8 = + 3 8 по Уравнениям (2.3.7) и (2.3.0) = 3 x 8 6x2 + x 3 ) = 2 + 6x 2 + x 3 x 8

Подробнее

Практика с доказательствами

Практика с доказательствами 6 октября 2014 г. Напомним следующее определение 0.1. Функция f возрастает, если для каждого x, y в области определения f x Подробнее

Обратные функции и логарифмы

Раздел 3.Обратные функции и логарифмы 1 Кирилл Цищанка Обратные функции и логарифмы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: функция f называется взаимно однозначной функцией, если она никогда не принимает одно и то же значение дважды; что

Подробнее

3.3 Действительные нули многочленов

3.3 Действительные нули многочленов 69 3.3 Действительные нули многочленов В разделе 3 мы обнаружили, что можем использовать синтетическое деление, чтобы определить, является ли данное действительное число нулем полиномиальной функции.Этот раздел

Подробнее

1.7 Графики функций

64 Отношения и функции 1.7 Графики функций В разделе 1.4 мы определили функцию как особый тип отношения; один, в котором каждой координате x соответствует только одна координата y. Мы потратили больше всего

Подробнее

4.3 Приближение Лагранжа

206 ГЛАВА.4 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Приближение полинома Лагранжа 4.3 Аппроксимация Лагранжа Интерполяция означает оценку недостающего значения функции путем взятия средневзвешенного значения

Подробнее

Дифференциация и интеграция

Этот материал является дополнением к Приложению G Стюарта. Перед этим материалом вы должны прочитать приложение, за исключением последнего раздела, посвященного комплексным показателям.Дифференциация и интеграция Предположим, у нас есть

Подробнее

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ 12 КЛАСС

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ 12 [C] Коммуникационная тригонометрия Общий результат: Развивайте тригонометрические рассуждения. А1. Продемонстрируйте понимание углов в стандартном положении, выраженных в градусах и радианах.

Подробнее

ТЕМА 4: ПРОИЗВОДНЫЕ

ТЕМА 4: ПРОИЗВОДНЫЕ 1.Производная функции. Правила дифференциации 1.1. Наклон кривой. Наклон кривой в точке P является мерой крутизны кривой. Если Q - точка на

Подробнее

Свойства действительных чисел

16 Глава P Предварительные требования P.2 Свойства действительных чисел Что вам следует изучить: Определить и использовать основные свойства действительных чисел Разработать и использовать дополнительные свойства действительных чисел Почему вам следует

Подробнее

1, если 1 x 0 1, если 0 x 1

Глава 3 Непрерывность В этой главе мы начинаем с определения фундаментального понятия непрерывности для вещественнозначных функций одной действительной переменной.При попытке определить, является ли данная функция или

Подробнее

Домен композиции

Область определения композиции. Учитывая функции f и g, композиция f с g является функцией, определенной как (f g) () f (g ()). Область f g - это набор всех действительных чисел в области g, таких как

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Линейные уравнения и наклон 1.Склон а. Рассчитайте наклон прямой по двум точкам b. Вычислите наклон прямой, параллельной заданной. c. Рассчитайте наклон линии

Подробнее

Решение квадратных уравнений

9.3 Решение квадратных уравнений с помощью квадратной формулы 9.3 ЦЕЛИ 1. Решить квадратное уравнение с помощью квадратной формулы 2. Определить характер решений квадратного уравнения

Подробнее

Интегралы рациональных функций

Интегралы рациональных функций Скотт Р.Обзор Фултона. Рациональная функция имеет вид, где p и q - многочлены. Например, r (x) = p (x) q (x) f (x) = x2 3 x 4 + 3, g (t) = t6 + 4t 2 3, 7t 5 + 3t

Подробнее

Нули полиномиальных функций

Нули полиномиальных функций Теорема о рациональном нуле. ноль, то p - коэффициент

Подробнее

Декартовы произведения и отношения

Определение декартовых произведений и отношений (декартово произведение) Если A и B - множества, декартово произведение A и B - это множество A B = {(a, b): (a A) и (b B)}.Следующие пункты имеют особую ценность

Подробнее

Пифагорейские тройки Кит Конрад

Пифагорейские тройки Кейт Конрад 1. Введение Пифагорейская тройка - это тройка положительных целых чисел (a, b, c), где a + b = c. Примеры включают (3, 4, 5), (5, 1, 13) и (8, 15, 17). Ниже древний

Подробнее

Раздел 4.1 Правила экспонентов

Раздел 4.1 Правила экспоненты ЗНАЧЕНИЕ ЭКСПОНЕНТЫ Экспонента - это сокращение от повторного умножения. Повторяющееся число называется коэффициентом. x n означает n факторов x. Показатель показывает

Подробнее

Разложение на частичные дроби

Разложение на частичные дроби Доктор Филипп Б. Лаваль Государственный университет Кеннесо 6 августа 2008 г. Резюме Этот раздаточный материал описывает частичное разложение на дроби и то, как его можно использовать при интегрировании рационального

Подробнее

9.2 Обозначение суммирования

9. Обозначение суммирования 66 9. Обозначение суммирования В предыдущем разделе мы ввели последовательности, а теперь мы представим обозначения и теоремы, касающиеся суммы членов последовательности. Начнем с

Подробнее

2-5 Рациональные функции

-5 Рациональные функции Найдите область определения каждой функции и уравнения вертикальных или горизонтальных асимптот, если таковые имеются 1 f () = Функция не определена при действительных нулях знаменателя b () = 4

Подробнее

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Полиномиальное деление.. 314 Тест рационального нуля ... 317 Правило знаков Декарта ... 319 Теорема об остатке ... 31 Нахождение всех нулей полиномиальной функции ....... 33 Написание

Подробнее

ПРОСМОТРЕТЬ УПРАЖНЕНИЯ ДЭВИДА ЛОУРИ

ОБЗОР УПРАЖНЕНИЙ ДЭВИД ДЖЛАУРИ Содержание 1. Введение 1 2. Основные функции 1 2.1. Факторинг и квадратичное решение 1 2.2. Полиномиальные неравенства 3 2.3. Рациональные функции 4 2.4. Экспоненты и

Подробнее

ГЛАВА 5 Ошибки округления

ГЛАВА 5 Ошибки округления В двух предыдущих главах мы видели, как числа могут быть представлены в двоичной системе счисления и как это является основой для представления чисел в компьютерах.Поскольку любой

Подробнее

Подготовка к GRE: предварительный расчет

Подготовка к GRE: Precalculus Franklin H.J. Kenter 1 Введение Это примечания для раздела Precalculus к сеансу подготовки к GRE, проведенному в UCSD в августе 2011 года. Эти примечания никоим образом не предназначены для обучения

Подробнее

Алгебра I Словарные карточки

Алгебра I Словарные карточки Содержание Выражения и операции Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Иррациональные числа Действительные числа Абсолютное значение Порядок операций Выражение

Подробнее

Полиномиальные и рациональные функции

Полиномиальные и рациональные функции. Квадратичные функции. Обзор целей, студенты должны уметь: 1.Узнай характеристики парабол. 2. Найдите точки перехвата a. x перехватывает, решая

Подробнее

График аттестации на 2013 год

NCEA Level Mathematics (9161) 013 страница 1 из 5 График оценивания 013 Математика со статистикой: Примените алгебраические методы при решении задач (9161) Доказательство ОДИН Ожидаемое покрытие Merit Excellence

Подробнее

Нули полиномиальных функций

Обзор: Synthetic Division Find (x 2-5x - 5x 3 + x 4) (5 + x).Теорема о множителях Решите 2x 3-5x 2 + x + 2 = 0 при условии, что 2 является нулем функции f (x) = 2x 3-5x 2 + x + 2. Нули полиномиальных функций Введение

Подробнее

2 Объединение обеих сторон

2 Интегрирование обеих сторон До сих пор единственный общий метод, который у нас есть для решения дифференциальных уравнений, включает уравнения вида y = f (x), где f (x) - любая функция от x. Решение такого уравнения

Подробнее

Решение рациональных уравнений

Урок M Урок: Результаты учащихся Учащиеся решают рациональные уравнения, отслеживая создание посторонних решений.Примечания к уроку На предыдущих уроках ученики научились складывать, вычитать, умножать

Подробнее

Отрицательные целые показатели

7.7 Отрицательные целые экспоненты 7.7 ЗАДАЧИ. Определите нулевую экспоненту 2. Используйте определение отрицательной экспоненты, чтобы упростить выражение 3. Используйте свойства экспоненты, чтобы упростить выражения

Подробнее

5.2 Обратные функции

78 Дополнительные темы в функциях. Обратные функции Думая о функции как о процессе, как мы делали в Разделе., В этом разделе мы ищем другую функцию, которая могла бы обратить этот процесс вспять.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *