Прямой изображенной на рисунке соответствует уравнение: Помогите с алгеброй Ответить просто ответ цифрв - Управленческое образование

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Линейная функция

Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

где k и b – произвольные (вещественные) числа.

При любых значениях k и b графиком линейной функции является прямая линия.

Число k называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число b – свободным членом.

График линейной функции

При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график (прямая линия) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.

k > 0

Рис.1

Рис.2

Рис.3

При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.

k = 0

Рис.4

Рис.5

Рис.6

При k < 0 линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график (прямая линия) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.

k < 0

Рис.7

Рис.8

Рис.9

Прямые линии

y = kx + b₁ и y = kx + b₂,

имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены , параллельны.

Прямые линии

y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ ,

имеющие разные угловые коэффициенты , пересекаются при любых значениях свободных членов.

Прямые линии

y = kx + b₁ и

перпендикулярны при любых значениях свободных членов.

Угловой коэффициент прямой линии

равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).

Рис.10

Рис.11

Рис.12

Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b .

При прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле

Прямые, параллельные оси ординат

Прямые, параллельные оси Oy, задаются формулой

где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.

Рис.13

Рис.14

Рис.15

Замечание 1. Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .;

Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

Рассмотрим уравнение

где p, q, r – произвольные числа.

В случае, когда уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию.

Действительно,

что и требовалось.

В случае, когда получаем:

откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).

В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид

и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости:

В случае, когда уравнение (5) решений вообще не имеет.

Замечание 2. При любом значении r₁, не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением

параллельна прямой, заданной уравнением (4).

Замечание 3. При любом значении r₂ прямая линия, заданная уравнением

перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4).

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и

параллельной к прямой
перпендикулярной к прямой (8).

Решение.

В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде
где r₁ – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство
Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой
4x + 5y = 7,
задаётся уравнением
4x + 5y = – 7 .
В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде
где r₂ – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство
Итак, прямая, перпендикулярная к прямой
4x + 5y = 7 ,
задаётся уравнением
– 5x + 4y = – 22 .

Примеры для самостоятельного решения к теме 6

Запишите уравнение прямой, проходящей через точки A (-8; -30) и B (4; 6). В какой точке эта прямая пересекает ось x?

Два спортсмена соревновались на дистанции 100 м в 50-метровом бассейне. Графики их заплывов показаны на рисунке. Определите, кто быстрее проплыл первую половину дистанции, и на сколько секунд.

Какой из графиков, изображенных на рисунке, соответствует функции y = x² – 6x + 5?

Запишите уравнение прямой, проходящей через точки A (30; -3) и B (10; 5). В какой точке эта прямая пересекает ось x?

Два автомобиля A и B совершили поездку по одному и тому же маршруту. На рисунке изображены графики, показывающие зависимость расстояния S, которое проехал каждый из них, от времени t. Кто развил наибольшую мгновенную скорость на маршруте? Укажите также величину этой скорости в км/ч.

Запишите уравнение прямой, проходящей через точки A (16; 3) и B (-20; 12). В какой точке эта прямая пересекает ось x?

Окружность, изображенная на рисунке, задана уравнением x² + y² = 16. Используя этот рисунок, определите, какая из систем уравнений решений не имеет.

Окружность, изображенная на рисунке, задается уравнением (x — 1)² + (y — 1)² = 1.

Используя этот рисунок, для каждой системы уравнений укажите соответствующее ей утверждение.

А)	1) система имеет одно решение
Б)	2) система имеет два решения
В)	3) система не имеет решений

Запишите уравнение прямой, проходящей через точки A (5; -1) и B (-10; 5). В какой точке эта прямая пересекает ось x?

Запишите уравнение прямой, проходящей через точки A (3; -2) и B (-5; 6). В какой точке эта прямая пересекает ось y?

Запишите уравнение прямой, проходящей через точки A (-5; 7) и B (6; -11). В какой точке эта прямая пересекает ось абсцисс?

Запишите уравнение прямой, проходящей через точки A (-4; 9) и B (5; -13). В какой точке эта прямая пересекает ось абсцисс?

Запишите уравнение прямой, проходящей через точки A (8; 57) и B (-4; -18). В какой точке эта прямая пересекает ось y?

Диагностическая работа по алгебре «Входной мониторинг»

2020 – 2021 учебный год

Диагностическая работа по алгебре.

Вариант -1.

1. Найти значение выражения

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу Какая это точка?

Ответ: 1)А 2) В 3) С 4) D

₃_{. Найдите корень уравнения – 2х – 7 = – 4х}

₄_{. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.}

5. На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств

1) 2)

3) 4)

₆_{. Запишите уравнение прямой, изображенной на рисунке}

₇_{. Упростите выражение и найдите его значение при В ответ запишите полученное число.}

₈_{. Решите уравнение}

2020 – 2021 учебный год

Диагностическая работа по алгебре.

Вариант -2.

1. Найти значение выражения

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу Какая это точка?

Ответ: 1)А 2) В 3) С 4) D

₃_{. Найдите корень уравнения – 4х – 9 = – 6х}

_4._{Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.}

₅_.На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств

1) 2) 3) 4)

₆_{. Запишите уравнение прямой, изображенной на рисунке}

₇_{. Упростите выражение и найдите его значение при В ответ запишите полученное число.}

₈_{.Решите уравнение}

2020 – 2021 учебный год

Диагностическая работа по алгебре.

Вариант -3.

1.Найти значение выражения

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу Какая это точка?

Ответ: 1)А 2) В 3) С 4) D

₃_{. Найдите корень уравнения – 6х – 13 = – 8х}

₄_{. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.}

5. На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств

1) 2) 3) 4)

₆_{. Запишите уравнение прямой, изображенной на рисунке}

₇_{. Упростите выражение и найдите его значение при В ответ запишите полученное число.}

₈_._{₈_{.Решите уравнение}}

2020 – 2021 учебный год

Диагностическая работа по алгебре.

Вариант -4.

1. Найдите значение выражения

₂_. Одно из чисел отмечено на координатной прямой точкой А.

Укажите это число.

Ответ: 1) 2) 3) 4)

3. Решите уравнение

₄_.Упростите выражение и найдите его значение при

₅_.Постройте график функции и найдите все значения, при

которых прямая имеет с графиком данной функции ровно одну общую

точку.

линалгебра_2011_студентам_в2003 — Стр 3

Какие из следующих прямых параллельны? A) 2х-у+5=0, B) х+2у-3=0, C) 2х+4у-3=0, D) х-4у+7=0.

Уравнение прямой, проходящей через точку А(1;2) параллельно прямой х+3у+1=0 имеет вид.

Угловой коэффициент «к» и величина отрезка «в», отсекаемого прямой х+2у + 6=0 на оси ординат равны:

Какие из следующих прямых пересекают ось OY в точке А(0,2)? A) 2х+у-2=0, B) х+2у-2=0, C) х+2у=4, D) х+2у+4=0.

+ 1) A, C

2) A, D

3) B, C

4) A

5) C

5. Уравнение прямой, проходящей через точку А(1;2) параллельно вектору , имеет вид…

Угловой коэффициент «к» и величина отрезка «в», отсекаемого прямой 4у –2х-8=0 на оси ординат равны:

Какие из следующих прямых A) -3х+2у-7=0, B) 4х-6у+1=0, C) 3х+2у+1=0, D) х-у+1=0 перпендикулярны прямой 2х-3у+8=0?

Уравнение прямой, проходящей через точку А(1;2) параллельно вектору , имеет вид.

Из перечисленных ниже уравнений выбрать уравнение прямой: 1) 2) 3) 4) 5) другой вариант ответа

Даны прямые и и точка А (7; 4). Определить принадлежность точки данным прямым.

Угловой коэффициент «к» и величина отрезка «в», отсекаемого прямой –2х+4у-8=0 на оси ординат равны:

Какие из следующих прямых перпендикулярны? A) 2х-3у+4=0, B) 2х+3у+4=0, C) х-3у+8=0, D) 3х+2у-4=0.

Уравнение прямой, проходящей через точку А(1;2) и В(-2;3), имеет вид.

Угловой коэффициент «к» и величина отрезка «в», отсекаемого прямой 3х+2у-6=0 на оси ординат равны:

Какие из следующих прямых A) 2х-3у+3=0, B) -4х+6у-3=0, C) 3х+2у-7=0, D) х+у+1=0 параллельны прямой 2х-3у+8=0?

Уравнение прямой, проходящей через точку А(1;2) перпендикулярно прямой –3х+у+3=0, имеет вид.

Укажите параллельные прямые .

Написать уравнение прямой, проходящей через точки и .

Угловой коэффициент «k» и величина отрезка «b», отсекаемого прямой х – 2у + 6 = 0 на оси ОУ равны:

Даны уравнения прямых: А) 3х-у+1=0, Б) –х+2у+3=0, В) 2х-у=0, Г) у=4х. Выберите те, которые проходят через начало координат.

Какие из прямых , , , перпендикулярны прямой ?

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (- 4; 1) параллельно оси Ох.

Дано: А (4; 2) и В (8; – 1). В какой точке прямая АВ пересекает ось Оу?

Какие из следующих прямых A) х+у+1=0, B) 2х-3у+3=0, C) 3х+2у-7=0, D) -4х+6у-3=0 параллельны прямой 2х-3у+8=0?

Угловой коэффициент «k» и величина отрезка «b», отсекаемого прямой х – 2у + 6 =0 на оси ОУ равны:

Написать уравнение кратчайшей траектории движения тела из точки С (2; 7) к прямой х – 4у – 8 = 0.

Прямая проходит через точки О(0;0) и В(–3; 2). Тогда ее угловой коэффициент равен…

Прямая проходит через точки А(1;1) и В(3;3). Тогда её угловой коэффициент равен…

Прямая проходит через точки и . Тогда ее угловой коэффициент равен…

Угловой коэффициент прямой изображённой на рисунке равен…

Уравнение прямой, заданной на рисунке, имеет вид…

Сумма значений углового коэффициента и начальной ординаты прямой, заданной уравнением 3х — 4у + 10 = 0, равна …

Какие из данных точек и лежат на прямой, заданной уравнением 12х – 5у +41 = 0 ?

Прямые, заданные уравнениями 6х-4у+7=0 и 8х-12у-1=0, …(как расположены?)

Если 3х + Ву + С = 0 – уравнение прямой, проходящей через точку

Р ( 1; 4 ) перпендикулярно отрезку [ MN ], где M (– 2; –1 ), N ( 4; 1 ), то В + С равно …

Если уравнение прямой с угловым коэффициентом k = – 0,2, проходящей через точку M (– 3; — 5 ), записано в виде х + Ву + С = 0, то 2В — С равно …

Если прямая у = 2х + 6 параллельна прямой 2х + Ву + С = 0, проходящей через точку (– 2; – 1 ), то В + С равно …

Если прямая х + Ву + С = 0 перпендикулярна прямой х – у + 2 = 0 и проходит через точку M (– 1; 3 ), то В — С равно …

Если вектор направляющий вектор прямой у = kx + b, проходящей через точку M ( 2; 1 ), то разность k – b равна …

Если х + Ву + С = 0 – уравнение прямой, проходящей через точки M (– 4; 0 ) и N ( 0; 2 ), то В + С равно …

Если – нормальный вектор прямой с угловым коэффициентом k = , то сумма координат этого вектора равна …

Если у = kх + b – уравнение прямой, параллельной прямой 3х – 4у + 2 = 0 и проходящей через точку M (– 3; 2 ), то сумма k + b равна …

Если у = kх + b – уравнение медианы, проведённой к стороне АС в треугольнике с вершинами А ( 0; – 3 ), В ( 1; 2 ), С ( 4; – 1 ), то сумма k + b равна …

Уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через точку имеет вид …

Уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку имеет вид …

Соответствие между прямыми и их угловыми коэффициентами: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . а) б) не существует с) д) е)

Длина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат, равна …

Точка является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Тогда площадь квадрата равна …

Дан треугольник с вершинами . Тогда уравнение стороны имеет вид …

Даны вершины треугольника АВС . Тогда уравнение высоты СН имеет вид …

Длина высоты треугольника , , равна …

Дано уравнение прямой . Тогда уравнение прямой «в отрезках» имеет вид …

Прямая изображена на рисунке . Тогда уравнение прямой может иметь вид…

Уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид …

Угловой коэффициент прямой, изображенной на рисунке , равен …

Угол между прямыми и равен … (указать в градусной мере)

Прямая перпендикулярна прямой …1) 2) 3) 4) 5)

Прямая, параллельная прямой , имеет вид …

Прямые и пересекаются при условии …

Прямые и параллельны при условии …

Расстояние от точки до прямой равно …

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, если , , равен …

Угол между прямыми и равен …

Расстояние между параллельными прямыми и равно …

Установить соответствие между прямыми и их угловыми коэффициентами: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . а) 0,35; б) не существует; в) ; г) .

Угловой коэффициент прямой равен …

Угловой коэффициент прямой, изображенной на рисунке , равен …

Уравнение прямой, параллельной оси ординат и отсекающей на отрицательном направлении оси абсцисс отрезок, равный , имеет вид …

Длина отрезка, отсекаемого прямой на оси , равна …

Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс и отсекающей на отрицательном направлении оси ординат отрезок, равный , имеет вид …

Прямая изображена на рисунке . Тогда уравнение прямой может иметь вид…

Для прямой угловой коэффициент равен …

Установить соответствие между прямыми и их угловыми коэффициентами: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . а) ; б) не существует; в) ; г) .

Угловой коэффициент прямой равен …

Даны точки и . Тогда угловой коэффициент прямой равен …

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки и , равен …

Определить угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, если , .

Угловой коэффициент прямой равен …

Угловой коэффициент прямой, изображенной на рисунке , равен …

Определить угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, если , .

Угловой коэффициент прямой равен …

Уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной вектору , имеет вид …

Уравнение медианы треугольника , где имеет вид …

Дан треугольник с вершинами . Тогда уравнение стороны имеет вид …

Уравнение медианы треугольника с вершинами имеет вид …

Даны вершины треугольника АВС . Тогда уравнение высоты СН имеет вид …

Дан треугольник с вершинами . Тогда уравнение высоты имеет вид …

Дано уравнение прямой . Тогда уравнение прямой «в отрезках» имеет вид …

Даны вершины треугольника АВС . Тогда уравнение медианы ВМ имеет вид …

Уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид …

Прямые и пересекаются в точке, с координатами …

Расстояние между прямыми и равно …

Точка является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Тогда площадь квадрата равна …

Длина высоты треугольника , , равна …

Расстояние от точки до прямой равно …

Для прямой угловой коэффициент равен …

Угловой коэффициент равен нулю для прямой … 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Угловой коэффициент не существует для прямой …1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Угловой коэффициент прямой равен …

Для прямой параллельной является … 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Для прямой перпендикулярной является … 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Угловой коэффициент прямой равен …

Прямая, параллельная прямой , имеет вид …1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Угловой коэффициент прямой равен …

Прямая перпендикулярна прямой … 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Угловой коэффициент прямой равен …

Для прямой угловой коэффициент равен …

Угловой коэффициент прямой равен …

Для прямой угловой коэффициент равен …

Дан треугольник с вершинами . Тогда уравнение стороны имеет вид …

Уравнение медианы треугольника , , имеет вид …

Дан треугольник с вершинами . Тогда уравнение стороны имеет вид …

Уравнение медианы треугольника с вершинами имеет вид …

Даны вершины треугольника АВС . Тогда уравнение высоты СН имеет вид …

Дан треугольник с вершинами . Тогда уравнение стороны имеет вид …

Дан треугольник с вершинами . Тогда уравнение стороны ВС имеет вид …

Дан треугольник с вершинами . Тогда длина высоты СК равна …

Дан треугольник с вершинами . Тогда уравнение медианы АЕ имеет вид …

Дан треугольник с вершинами . Тогда угол В равен …

Дан треугольник с вершинами . Тогда уравнение стороны АВ имеет вид …

Дан треугольник с вершинами . Тогда уравнение высоты СН имеет вид …

Дан треугольник с вершинами . Тогда уравнение медианы АЕ имеет вид …

Дан треугольник с вершинами . Тогда длина высоты СК равна …

Какие из плоскостей: A) 2х+у-4z=0, B) 2x-y-3z=0, C) x+2y-z-4=0, D) x+2y+z-4=0 проходят через точку А(1,2,1).

Какие из плоскостей: A) 4х+у+9z-1=0, B) x-y+z-4=0, C)4x+2y-2z+2=0, D) x+2y-4z+2=0 перпендикулярны плоскости 2x+y-z-3=0.

Какие из плоскостей: A) 2х+у+z-2=0, B) 2x+y-z-1=0, C)4x+2y-2z+3=0, D) x+3y-4z=0 параллельны?

Какие из плоскостей: A) х-у+4z+2=0, B) -x+y+2z+3=0, C)x-y-z+2=0, D) 2x-2y-2z-5=0 параллельны вектору .

Какие из плоскостей: A)2х+2у-3=0, B)x+y+z-1=0, C)x-y+2z-2=0, D)3x+3y-8=0 перпендикулярны вектору (1,1,0)?

Уравнение прямой, проходящей через точку А(4; -2; 7), перпендикулярно плоскости 3х –8у +5z – 21 =0 имеет вид…

Из уравнений: A) 2х-3у+z+1=0, B) x+2y-6=0, C) x+3y=0 выберете те, которые определяют плоскость, параллельную оси OZ.

Одним из векторов, перпендикулярных к плоскости 2х — 3z – 5 = 0 является вектор…

Какое из данных уравнений: а) 2х – у – 4 = 0, б) у² = 4х – 10, в)х+3у+z=0 определяет плоскость?

При каких значениях и С прямая перпендикулярна к плоскости ?

Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Оz и точку М₀(3; -4;7).

Какие из плоскостей: A)2х+2у-3=0, B)x+y+z-1=0, C)x-y+2z-2=0, D)3x+3y-8=0 параллельны вектору (1,1,0)?

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -3; 1), перпендикулярно вектору .

Как расположены прямая и плоскость 2х + у – z = 0?

Установить взаимное расположение прямой и плоскости 3х – у + 2z – 5 = 0. В случае их пересечения найти координаты точки пересечения.

Прямая перпендикулярна плоскости при равных…

Уравнение прямой, проходящей через точку М(3; -1; 0) перпендикулярно плоскости , имеет вид…

Если — плоскость в трёхмерном пространстве, содержащая точки (0;0;0), (0;-4;0), (0;0;3), то является…

Если — плоскость в трёхмерном пространстве, содержащая точки (0;0;0), (2;0;0), (0;-5;0), то является…

Установите взаимное положение прямой и плоскости .

Как расположены прямая и плоскость 2х + у – z = 0?

Составьте канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2; 3; -5) параллельно прямой

Сумма координат вектора перпендикулярного плоскости, заданной уравнением 2х + 3у – 4z + 1 = 0, равна …

Если векторы = ( 2; – 1; 5 ) и = ( 4; 3; – 1 ) параллельны плоскости, заданной уравнением Ах + Ву + 5z + 1 = 0, то сумма 3А + 2В равна …

Если плоскость 3х + Ву + Сz + D = 0 параллельна плоскости 3х – 8у – z + 4 = 0 и проходит через точку М (– 4; 1; 3 ), то сумма 2В +13 С + 2D равна …

Если плоскость 2х – у + 6z + D = 0 перпендикулярна вектору = ( а; 1 ; b ) и параллельна вектору = ( 1; 2; с ), то сумма а + b +2с равна …

Если плоскость Ах + 2у + 3z + D = 0 проходит через точки М ( 4; – 6; 3 ) и Р ( 5; – 2; 1 ), то сумма А + D равна …

Если плоскость 2( х – 2 ) + В( у + т ) + С( z – 3 ) = 0 проходит через точку М ( 2; – 8; 1 ) и перпендикулярна вектору = ( 1; – 2 ; 3 ), то сумма В + С + т равна …

Если точки М( 2; 8; – 1 ), К(– 2; 8; 3 ) и Р( 1; 6; 5 ) лежат в плоскости с нормальным вектором = ( 4; В; С ), то сумма В + С равна …

Если вектор = ( 1; – 2; 1 ) – нормальный вектор плоскости 2х + Ву + Сz + D = 0, проходящей через точку М( 2; – 1; – 3 ), то сумма В + С + D равна …

Если векторы = ( 1; 2; а ) и = ( 1; b; 1 ) параллельны плоскости 8х – 2у + 2z + 1 = 0, то сумма 2а + b равна …

Если вектор = ( 2; 1; 4 ) – вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через точки М(– 1; 2; 1 ), К( 3; 2; а ) и Р( 2; b; 3 ), то разность 2а- b равна …

Если прямая перпендикулярна плоскости – х + Ву + Сz + 6 = 0 и проходит через точку ( 1; т; п ), то сумма В + С + т + п равна …

Расстояние между точками пересечения плоскости, заданной уравнением 4х – 3у + 6 z – 24 = 0, с осями координат Ох и Оу равно …

Если А( 2; т; п ) – точка, лежащая на прямой , то сумма её координат равна …

Если точка В( т; п; – 3 ) лежит на прямой , то сумма т + п равна …

Если прямая с направляющим вектором = (– 7; – 4; 2 ) параллельна плоскости 2( х + 3 ) + В( у – 2 ) – ( z – 4 ) = 0, проходящей через точку М( т; 2; 12 ), то сумма В + т равна …

Если сумма координат всех точек пересечения плоскости, заданной уравнением х – 4у + 2z – 8 = 0, с осями координат равна 4, то т равно …

Угол между прямой и плоскостью 3х + 4 z – 5 = 0 равен …

Угол между прямой и плоскостью 2х + у + z – 4 = 0 равен …

Угол между двумя плоскостями х – 2у – z + 7 = 0 и 6х – 3у + 3 z – 18 = 0 равен …

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку М( 1; 5; 7 ) и точку пересечения прямой с плоскостью 2х – 3у + z – 14 = 0, имеют вид …

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М( 3; – 2; 5 ) параллельно оси ординат, имеют вид …

Угол между прямыми и равен …

Точки М₁ и М₂ заданы своими радиус-векторами = ( 3; 2; – 4 ) и = ( 1; 4; 2 ). Уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка [М₁М₂] перпендикулярно к нему, имеет вид …

Уравнение плоскости, проходящей через точку М( 3; 2; 5 ) параллельно прямым и имеет вид …

Уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой , имеет вид …

Сумма координат точки пересечения прямой с плоскостью zОу равна …

Если – уравнение медианы, проведённой к стороне АВ в треугольнике с вершинами А( 2; – 8; 3 ), В( 6; 4; – 5 ), С( 1; 0; 5 ), то сумма значений b + c + n + p равна …

Если – уравнение прямой, проходящей через точку А( 3; 3; 2 ), перпендикулярно отрезку [BC], где В( 0; – 2; 1 ), С( 6; 1; 10 ), то сумма значений b + c + p равна …

Сумма координат точки пересечения прямой с плоскостью 3х + 5у – z – 20 = 0 равна …

Прямая параллельна плоскости х+Ау+2z+1=0 при А равном …

Прямая x = mt + 1, y = 3t – 1, z = 4 – 2t параллельна плоскости 2х – 3у — z – 8 = 0 при m равном …

Прямая перпендикулярна плоскости Ах – 2у + z – 1 = 0, если …

Прямая …(как расположена?)

Уравнение «в отрезках» плоскости имеет вид …

Дана плоскость . Тогда ей параллельны вектора … 2)

Уравнение «в отрезках» плоскости имеет вид …

В плоскости не лежат точки … 1) 2) 3) 4) 5) (1;1;7)

Даны точки , . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору , имеет вид …

Дана плоскость, заданная уравнением . Тогда ей параллельны вектора …

Дана плоскость . Тогда ей перпендикулярны вектора …

Если плоскость перпендикулярна вектору , то сумма равна …

Плоскости и … (как расположены?)

Сумма координат вектора, перпендикулярного плоскости , равна …

Угол между двумя плоскостями и равен … (указать в градусной мере)

Сумма координат всех точек пересечения плоскости, заданной уравнением , с осями координат равна …

Произведение координат нормального вектора плоскости , равно …

Если вектор параллелен плоскости , то значение равно …

Если плоскость параллельна плоскости и проходит через точку , то сумма равна …

Если плоскость Ах + 2у + 3z + D = 0 проходит через точки М ( 2; – 6; 3 ) и Р ( 3; – 2; 1 ), то сумма А + D равна …

Расстояние между точками пересечения плоскости, заданной уравнением 4х – 3у + 6 z – 12 = 0, с осями координат Ох и Оу равно …

Если сумма координат всех точек пересечения плоскости, заданной уравнением х – 4у + 2z – 8 = 0, с осями координат равна 5, то т равно …

На прямой лежат точки …

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ординат, имеет вид …

Направляющий вектор прямой равен …

Направляющий вектор прямой, заданной параметрическими уравнениями , имеет координаты …

Уравнение прямой, проходящей через точки , , имеет вид …

Начальная точка прямой, заданной параметрическими уравнениями , имеет координаты …

Направляющий вектор прямой, заданной общими уравнениями , имеет координаты …

Если — точка, лежащая на прямой , то сумма ее координат равна …

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором , имеет вид …

Начальная точка прямой имеет координаты …

Прямая и плоскость … (как расположены?)

Косинус угла между прямыми и находится в промежутке …

1) 2) 3) 4) 5) (0,1;0,4)

Даны прямая и плоскость . Тогда прямая …(как расположена?)

Сумма координат направляющего вектора прямой, заданной уравнением равна …

Угол между прямой и плоскостью 3х + 4 z – 5 = 0 равен …

Сумма координат точки пересечения прямой с плоскостью хОу равна …

Прямая x = mt + 1, y = 3t – 1, z = 4 – 2t параллельна плоскости 2х – 3у + z – 8 = 0 при m равном …

Прямая перпендикулярна плоскости Ах – 2у + z – 1 = 0, если …

Прямая …(как расположена?)

Сумма координат нормального вектора плоскости равна …

Для плоскости произведение координат нормального вектора равно …

Для плоскости сумма координат нормального вектора равна …

Точка лежит в плоскости … 1) 2) 3) 4)

Сумма координат нормального вектора плоскости равна …

Произведение координат нормального вектора плоскости равно …

Начальная точка прямой имеет координаты …

Сумма координат нормального вектора плоскости равна …

Сумма координат начальной точки прямой равна …

Направляющий вектор прямой имеет координаты …

На прямой лежат точки … ;

Направляющий вектор прямой имеет координаты …

Направляющий вектор прямой, заданной параметрическими уравнениями , имеет координаты …

Сумма координат направляющего вектора прямой равна …

Начальная точка прямой, заданной параметрическими уравнениями , имеет координаты …

Сумма координат направляющего вектора прямой равна …

Плоскость и прямая параллельны при значении С, равном…

Направляющий вектор прямой, заданной общими уравнениями , имеет координаты …

Если плоскость параллельна плоскости и проходит через точку , то сумма равна …

Расстояние от точки до плоскости равно …

Сумма координат всех точек пересечения плоскости с осями координат равна …

Даны точки , . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору , имеет вид …

Дана плоскость, заданная уравнением . Тогда ей параллельны вектора … ; ; ; .

Если плоскость перпендикулярна вектору , то сумма равна …

Расстояние от точки до плоскости равно …

Даны точки , . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору , имеет вид …

Если вектор параллелен плоскости , то значение равно …

Угол между двумя плоскостями и равен … (указать в градусной мере)

Если плоскость параллельна плоскости и проходит через точку , то сумма равна …

Указать соответствие между плоскостями и точками, лежащими в этих плоскостях: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; ; ; .

Произведение координат нормального вектора плоскости равно …

Если точка лежит на прямой , то сумма ее координат равна …

Уравнение прямой, проходящей через точку и направляющим вектором , имеет вид …

Координаты направляющего вектора прямой равны …

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси абсцисс, имеет вид …

Прямая задана общими уравнениями . Тогда направляющим вектором является …

На прямой лежат точки … 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Прямая, проходящая через точки и , имеет вид …

Прямая задана общими уравнениями . Тогда на прямой лежат точки … 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Даны прямая и плоскость . Тогда прямая … (как расположена?)

Уравнение определяет на плоскости:

Найти координаты центра и радиус окружности: .

Уравнение определяет на плоскости:

Уравнение х² + у² – 2х – 5 = 0 определяет на плоскости:

Уравнение определяет на плоскости:

Уравнение х² + 4у² – 6х +8у= 3 определяет на плоскости:

Уравнение определяет на плоскости:

Радиус окружности, заданной уравнением , равен…

Найдите центр и радиус окружности .

Из указанных уравнений А: 2x²+x+y²=0, B: x²-2y-2x=1, C: x²-2y-y²=1, D: x²+2x-y=0, E: 2y²-y+x²=1 параболу определяют…

Найти центр и радиус окружности

Центр кривой находится в точке …

Центр эллипса совпадает с началом координат. Если его фокус лежит в точке ( – 1; 0 ), а вершина в точке ( 0; 1 ), то уравнение эллипса имеет вид:

Центр гиперболы совпадает с началом координат. Если её фокус лежит в точке ( 2; 0 ), а вершина в точке (–1; 0 ), то уравнение гиперболы имеет вид:

Вершина параболы совпадает с началом координат. Если её фокус лежит в точке с координатами ( 1; 0 ), то уравнение параболы имеет вид …

Уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу, проходящей через точки пересечения прямой х — у = 0 и окружности х²+ у²– 4х = 0, имеет вид …

Уравнение х²+ у²+ 2х – 6у + 4 = 0 определяет …

Уравнение х²+ 2у²+ 2х – 6у = 0 определяет …

Уравнение 4х²– у²+ 8х – 6у + 1 = 0 определяет …

Уравнение х²+ 2х – 6у + 4 = 0 определяет …

Найти уравнение директрисы и координаты фокуса параболы у²= -8х .

Уравнение параболы с фокусом в точке (2; 0) и директрисой х = -2 имеет вид:

Какие из приведенных прямых являются асимптотами гиперболы 4х²–36у²=144 . 1) 2) у = — 3х и у = 3х 3) у = 6х и у = — 6х 4) у = 2х и у = — 2х

Каноническое уравнение эллипса, эксцентриситет которого , а большая полуось равна 4, имеет вид:

Составить уравнение параболы, если дан фокус F (-7; 0) и уравнение директрисы х – 7 = 0.

Составить уравнение параболы, которая имеет фокус F(0; -3) и проходит через начало координат, зная, что её осью служит ось Оу.

Если уравнение эллипса имеет вид , то расстояние между фокусами равно…

Уравнение директрисы и координаты фокуса параболы :…

Какая линия второго порядка задается уравнением

Записать каноническое уравнение кривой изображённой на рисунке.

Директриса параболы у²= 12х имеет уравнение …

Эксцентриситет эллипса равен …

Эксцентриситет гиперболы равен …

Окружность задана уравнением . Тогда площадь соответствующего круга равна …

Координаты центра окружности равны …

Радиус окружности, заданной уравнением равен…

Известно, что большая полуось эллипса равна 4, а фокус находится в точке с координатами . Тогда уравнение эллипса имеет вид …

Уравнения асимптот для гиперболы имеют вид …

Уравнение директрисы для параболы имеет вид …

Расстояние между фокусами эллипса равно …

Известно, что действительная полуось равна 5, эксцентриситет равен . Тогда уравнение гиперболы имеет вид …

Уравнение директрисы . Тогда уравнение параболы имеет вид …

Уравнения параболы – это … 1) 2) 3) 4) 5)

Известно, что малая полуось эллипса равна 4, а один из фокусов находится в точке . Тогда уравнение эллипса имеет вид …

Известно, что и эллипс проходит через точку . Тогда уравнение эллипса имеет вид …

Известно, что уравнение директрисы параболы . Тогда уравнение параболы имеет вид …

Уравнение директрисы параболы имеет вид …

Уравнения асимптот для гиперболы имеют вид …

Для эллипса эксцентриситет равен …

Известно, что парабола симметрична относительно оси ординат и проходит через точку . Тогда уравнение параболы имеет вид …

Окружность задана уравнением . Тогда ее радиус равен …

Дана окружность . Тогда ее центр …

Фокус параболы х² = 4у расположен в точке …

Окружность задана уравнением . Тогда площадь соответствующего круга равна …

Дана окружность . Тогда координаты ее центра равны …

Координаты центра окружности равны …

Радиус окружности, заданной уравнением равен…

Дана окружность . Тогда координаты ее центра равны …

Окружность задана уравнением . Тогда площадь соответствующего круга равна …

Радиус окружности, заданной уравнением , равен …

Координаты центра окружности равны …

Радиус окружности, заданной уравнением , равен …

Записать уравнение директрисы для параболы .

Уравнения асимптот для гиперболы имеют вид …

Для эллипса эксцентриситет равен …

Укажите уравнения асимптот для гиперболы .

Уравнение директрисы для параболы имеет вид …

Известно, что большая полуось равна 4, а фокус находится в точке с координатами . Тогда уравнение эллипса имеет вид …

Расстояние между фокусами эллипса равно …

Известно, что действительная полуось равна 5, эксцентриситет равен . Тогда уравнение гиперболы имеет вид …

Уравнение директрисы . Тогда уравнение параболы имеет вид …

Указать линию, заданную уравнением .

Уравнением задается …

Указать уравнения эллипса: 1) ; 2) ; 3) ; 4)

Указать уравнения гиперболы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Известно, что и эллипс проходит через точку . Тогда уравнение эллипса имеет вид …

Указать уравнения окружности: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Указать уравнения гиперболы: 1) ; 2) ; 3) ; 4)

Известно, что уравнение директрисы параболы . Тогда уравнение параболы имеет вид … 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Указать уравнения параболы: 1) ; 2) ; 3) ; 4)

Диаметр окружности, заданной уравнением равен…

Радиус окружности, заданной уравнением равен…

Координаты центра окружности равны …

Дана окружность . Тогда координаты ее центра равны …

Уравнения окружности – это … 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Окружность задана уравнением . Тогда площадь соответствующего круга равна …

Диаметр окружности, заданной уравнением , равен …

Радиус окружности, заданной уравнением , равен …

Дана окружность . Тогда ее центр …

Дана окружность . Тогда координаты ее центра равны …

Радиус окружности, заданной уравнением , равен …

Центр окружности имеет координаты …

Окружность задана уравнением . Тогда площадь соответствующего круга равна …

Радиус окружности равен …

Диаметр окружности равен …

Для гиперболы мнимая полуось равна …

Для гиперболы действительная полуось равна …

Парабола проходит через точки …

Для эллипса малая полуось равна …

Для эллипса большая полуось равна …

Для эллипса один из фокусов находится в точке …

Для гиперболы действительная полуось равна …

Для гиперболы мнимая полуось равна …

Для гиперболы один из фокусов находится в точке …

Уравнения асимптот для гиперболы имеют вид …

Уравнением задается на плоскости …

Расстояние между фокусами эллипса равно …

Уравнением задается …

Для параболы уравнение директрисы имеет вид …

Уравнения параболы – это … 1) ; 2) ; 3) ; 4)

Уравнением задается …

Уравнение директрисы для параболы имеет вид …

Уравнениями эллипса являются … 1) ; 2) ; 3) ; 4)

Уравнения гиперболы – это … 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Даны точки и . Тогда координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении , равны …

Даны точки . Тогда середина отрезка АВ имеет координаты …

Даны точки и . Тогда координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении , равны …

Даны точки и . Тогда аппликата середины отрезка равна …

Даны точки и . Тогда координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении , равны …

Даны точки . Тогда координаты середины отрезка АВ равны …

Даны точки и . Тогда координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении , равны …

Даны точки и . Тогда аппликата середины отрезка равна …

Даны точки и . Тогда ордината середины отрезка равна …

Даны точки и . Тогда координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении , равны …

Даны точки и . Тогда абсцисса середины отрезка равна …

Определитель матрицы – это … 1) таблица 2) число 3) решение уравнения 4) матрица 5) другой вариант ответа

Два вектора и будут перпендикулярны, если … 1) 2) 3) 4) 5) другой вариант ответа

Складывать можно только матрицы 1) квадратные 2) одного размера 3) матрицы, у которых одинаковое число строк 4) единичные

К линейным операциям над векторами не относятся 1) сложение векторов 2) умножение вектора на число 3) векторное произведение векторов 4) вычитание векторов

Вырожденной называется матрица, у которой: 1) все элементы нули 2) определитель отличен от нуля 3) определитель равен нулю 4) определитель есть число отрицательное

Уравнению Ах + Ву +Сz + D = 0 соответствует: 1) плоскость в пространстве 2) прямая в пространстве 3) точка в пространстве 4) вектор на плоскости 5) другой вариант ответа

Уравнению соответствует: 1) прямая в пространстве 2) прямая на плоскости 3) две прямые 4) плоскость 5) другой вариант ответа.

Угловым коэффициентом прямой называется: 1) тангенс угла наклона прямой с положительным направлением оси «ОХ» 2) число, стоящее перед «Х» 3) угол наклона прямой к оси «ОХ» 4) имеет одно решение х = у =z = 1 5) другой вариант ответа

Компланарными называются векторы: 1) лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях 2) лежащие на одной прямой или на параллельных прямых 3) векторы, у которых длина равна 1 4) векторы, у которых длина равна 0 5) другой вариант ответа

Если в общем уравнении плоскости В=0 и D=0, то плоскость…1) параллельна ОУ 2) параллельна ХОУ 3) проходит через ОУ 4) перпендикулярна ОУ 5) другой вариант ответа

Условие перпендикулярности прямой и плоскости записывается в виде…

Складывать можно только (?) матрицы.

Работа производимая силой , приложенной к точке А по перемещению точки в положение В равна…

Какое из свойств алгебраических операций над матрицами не выполняется: 1) А × В = В × А 2) А + В = В + А 3) А (ВС ) = ( АВ ) С 4) А ( В + С ) = АВ + АС 5) ( А + В ) С = АС + ВС ?

. Произведением матрицы А на число a называется матрица В, получающаяся из матрицы А …1) умножением элементов её первой строки (столбца) на число a 2) умножением элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) на число a 3) умножением её элементов, стоящих на главной диагонали, на число a 4) умножением всех её элементов на число a 5) умножением её элементов, стоящих на побочной диагонали, на число a

Если размерность матрицы А – m ´ n, а размерность матрицы В – n ´ m, то размерность матрицы С = А + В …

Если размерность матрицы А – m ´ n, а размерность матрицы В – n ´ m, то размерность матрицы С = А · В …

Матрицы А и В – квадратные матрицы второго порядка, А – невырожденная. Решение матричного уравнения А × Х = В находится по формуле …

Чтобы получить элемент i — той строки и j — того столбца матрицы произведения А × В, необходимо …

Укажите неверное равенство ( где Е — единичная матрица, a и b — некоторые числа ) 1) (А + В) + С = А + (В + С) 2) (А + В) × С = А × С + В × С +3) А + Е = А 4) (a + b ) А = aА + bА 5) Е × А = А

Умножение двух матриц определено только в том случае, если … 1) число столбцов первой матрицы равно числу строк второй 2) число строк первой матрицы равно числу столбцов второй 3) матрицы имеют одинаковое число строк 4) матрицы имеют одинаковое число столбцов 5) матрицы имеют одну и ту же размерность

Укажите преобразование, не являющееся элементарным преобразованием матрицы: 1) умножение элементов строки (столбца) на некоторое число, отличное от нуля 2) перестановка строк 3) перестановка столбцов 4) прибавление к элементам строки (столбца) некоторого числа, отличного от нуля 5) вычитание из элементов строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца)

Рангом матрицы называется … 1) число ненулевых столбцов 2) число ненулевых строк 3) минимальный порядок миноров матрицы отличных от нуля 4) число элементов, входящих в матрицу 5) максимальный порядок миноров матрицы отличных от нуля

Сумма (разность) двух матриц определена, если … 1) число столбцов первой матрицы равно числу строк второй 2) число строк первой матрицы равно числу столбцов второй 3) матрицы имеют одинаковое число строк +4) матрицы имеют одну и ту же размерность 5) матрицы имеют одинаковое число столбцов

Матрица В является обратной для невырожденной матрицы А, если … 1) А – В = О (О – нулевая матрица ) 2) А × В = В × А 3) А + В = Е ( Е – единичная матрица ) 4) А × В = Е ( Е – единичная матрица ) 5) А = — В

Система линейных уравнений является совместной, если … 1) она имеет хотя бы одно решение 2) она имеет бесконечное множество решений 3) ранг матрицы системы не превышает числа неизвестных 4) она не имеет ни одного решения 5) ранг матрицы системы равен числу неизвестных

Система линейных уравнений является несовместной, если: 1) она имеет хотя бы одно решение 2) она имеет бесконечно много решений 3) ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы системы 4) она имеет единственное решение 5) ранг матрицы системы не превышает числа неизвестных

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда … 1) она имеет единственное решение она имеет бесконечное множество решений 3) ранг матрицы системы больше ранга расширенной матрицы системы 4) ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы системы 5) ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы

В различных базисах один и тот же вектор имеет… 1) одинаковые координаты 2) пропорциональные координаты 3) различные координаты 4) противоположные координаты 5) другой вариант ответа

Если , , то равно…

Если , тогда значение производной этой функции в точке равно…

Дано: ; , тогда равно …

Аргумент комплексного числа 2-2i равен…

Модуль комплексного числа равен…

Дано: ; , тогда равно …

Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид …

Мнимая часть комплексного числа равна…

Если , , то равно…

Если , тогда значение производной этой функции в точке равно…

Дано: , тогда равно …

Аргумент комплексного числа 2i-2 равен…

Если , , то равно…

Если , тогда значение производной этой функции в точке равно…

Дано: , тогда равно …

Аргумент комплексного числа 1+i равен…

Если , , то равно…

Если , тогда значение производной этой функции в точке равно…

Дано: , тогда равно …

Аргумент комплексного числа 3i равен…

Модуль комплексного числа равен…

Если , , то равно…

На рисунке представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа . Тогда тригонометрическая форма записи этого числа имеет вид…

Действительная часть комплексного числа равна…

Если , , то равно…

Если , тогда значение производной этой функции в точке равно…

Дано: , тогда равно …

Аргумент комплексного числа 5 – 5i равен…

Если , , то равно…

Возведите в степень комплексное число .

Даны комплексные числа z₁=2+3i, z₂=3 – 4i, z₃=1+i . Найти: .

Представить в тригонометрической форме комплексное число

Даны комплексные числа Z₁=3+5i, Z₂=3 –4i, Z₃=1 –2i. Найти число

Представить в тригонометрической форме комплексное число z= — 2 + 2i .

теория, примеры, решение задач, угол наклона прямой к оси х

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси Ох с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат Ох на плоскости.

Определение 1

Угол наклона прямой к оси Ох, расположенный в декартовой системе координат Оху на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления Ох к прямой против часовой стрелки.

Когда прямая параллельна Ох или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0. Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [0, π).

Определение 2

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.

Стандартное обозначение буквой k. Из определения получим, что k=tg α. Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Пример 1

Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120°.

Решение

Из условия имеем, что α=120°. По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k=tg α=120=-3.

Ответ: k=-3.

Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k>0, тогда угол прямой острый и находится по формуле α=arctg k. Если k<0, тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α=π-arctgk.

Пример 2

Определить угол наклона заданной прямой к Ох при угловом коэффициенте равном 3.

Решение

Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к Ох меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α=arctg k=arctg 3.

Ответ: α=arctg 3.

Пример 3

Найти угол наклона прямой к оси Ох, если угловой коэффициент = -13.

Решение

Если принять за обозначение углового коэффициента букву k, тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению Ох. Отсюда k=-13<0, тогда необходимо применить формулу α=π-arctgkПри подстановке получим выражение:

α=π-arctg-13=π-arctg 13=π-π6=5π6.

Ответ: 5π6.

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение вида y=k·x+b, где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси Оу.

Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y=k·x+b. В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М, M1(x1, y1), в уравнениеy=k·x+b, тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

Пример 4

Задана прямая с угловым коэффициентом y=13x-1. Вычислить, принадлежат ли точки M1(3, 0) и M2(2, -2) заданной прямой.

Решение

Необходимо подставить координаты точки M1(3, 0) в заданное уравнение, тогда получим 0=13·3-1⇔0=0. Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.

Если подставим координаты точки M2(2, -2), тогда получим неверное равенство вида -2=13·2-1⇔-2=-13. Можно сделать вывод, что точка М2 не принадлежит прямой.

Ответ: М1 принадлежит прямой, а М2 нет.

Известно, что прямая определена уравнением y=k·x+b, проходящим через M1(0, b), при подстановке получили равенство вида b=k·0+b⇔b=b. Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0, b. Она образует угол αс положительным направлением оси Ох, где k=tg α.

Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y=3·x-1. Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0, -1 с наклоном в α=arctg3=π3 радиан по положительному направлению оси Ох. Отсюда видно, что коэффициент равен 3.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M1(x1, y1).

Равенство y1=k·x+b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M1(x1, y1). Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y-y1=k·(x-x1). Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M1(x1, y1).

Пример 5

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М1 с координатами (4,-1), с угловым коэффициентом равным -2.

Решение

По условию имеем, что x1=4, y1=-1, k=-2. Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y-y1=k·(x-x1)⇔y-(-1)=-2·(x-4)⇔y=-2x+7.

Ответ: y=-2x+7.

Пример 6

Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М1 с координатами (3,5), параллельную прямой y=2x-2.

Решение

По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y=2x-2, отсюда следует, что k=2. Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:

y-y1=k·(x-x1)⇔y-5=2·(x-3)⇔y=2x-1

Ответ: y=2x-1.

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y=k·x+b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x-x1ax=y-y1ay. Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y=k·x+b⇔y-b=k·x⇔k·xk=y-bk⇔x1=y-bk.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Пример 7

Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y=-3x+12к каноническому виду.

Решение

Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:

y=-3x+12⇔-3x=y-12⇔-3x-3=y-12-3⇔x1=y-12-3

Ответ: x1=y-12-3.

Общее уравнение прямой проще всего получить из y=k·x+b, но для этого необходимо произвести преобразования: y=k·x+b⇔k·x-y+b=0. Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

Пример 8

Дано уравнение прямой видаy=17x-2. Выяснить, является ли вектор с координатами a→=(-1, 7) нормальным вектором прямой?

Решение

Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:

y=17x-2⇔17x-y-2=0

Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n→=17, -1, отсюда 17x-y-2=0. Понятно, что вектор a→=(-1, 7) коллинеарен вектору n→=17, -1, так как имеем справедливое соотношение a→=-7·n→. Отсюда следует, что исходный вектор a→=-1, 7 — нормальный вектор прямой 17x-y-2=0, значит, считается нормальным вектором для прямой y=17x-2.

Ответ: Является

Решим задачу обратную данной.

Необходимо перейти от общего вида уравнения Ax+By+C=0, где B≠0, к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим Ax+By+C=0⇔-AB·x-CB.

Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется -AB.

Пример 9

Задано уравнение прямой вида 23x-4y+1=0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.

Решение

Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:

23x-4y+1=0⇔4y=23x+1⇔y=14·23x+1⇔y=16x+14.

Ответ: y=16x+14.

Аналогичным образом решается уравнение вида xa+yb=1, которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x-x1ax=y-y1ay. Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

xa+yb=1⇔yb=1-xa⇔y=-ba·x+b.

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax·(y-y1)⇔⇔ax·y=ay·x-ay·x1+ax·y1⇔y=ayax·x-ayax·x1+y1

Пример 10

Имеется прямая, заданная уравнением x2+y-3=1. Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.

Решение.

Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на -3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:

y-3=1-x2⇔-3·y-3=-3·1-x2⇔y=32x-3.

Ответ: y=32x-3.

Пример 11

Уравнение прямой вида x-22=y+15 привести к виду с угловым коэффициентом.

Решение

Необходимо выражение x-22=y+15 вычислить как пропорцию. Получим, что 5·(x-2)=2·(y+1). Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:

5·(x-2)=2·(y+1)⇔5x-10=2y+2⇔2y=5x-12⇔y=52x

Ответ: y=52x-6.

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Пример 12

Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x=λy=-1+2·λ.

Решение

Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:

x=λy=-1+2·λ⇔λ=xλ=y+12⇔x1=y+12.

Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y, чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:

x1=y+12⇔2·x=1·(y+1)⇔y=2x-1

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2. Это записывается как k=2.

Ответ: k=2.

Mathway | Популярные задачи

1	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень 50
2	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень 45
3	Вычислить	5+5
4	Вычислить	7*7
5	Разложить на простые множители	24
6	Преобразовать в смешанную дробь	52/6
7	Преобразовать в смешанную дробь	93/8
8	Преобразовать в смешанную дробь	34/5
9	График	y=x+1
10	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень 128
11	Найти площадь поверхности	сфера (3)	
12	Вычислить	54-6÷2+6
13	График	y=-2x
14	Вычислить	8*8
15	Преобразовать в десятичную форму	5/9
16	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень 180
17	График	y=2
18	Преобразовать в смешанную дробь	7/8
19	Вычислить	9*9
20	Risolvere per C	C=5/9*(F-32)
21	Упростить	1/3+1 1/12
22	График	y=x+4
23	График	y=-3
24	График	x+y=3
25	График	x=5
26	Вычислить	6*6
27	Вычислить	2*2
28	Вычислить	4*4
29	Вычислить	1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30	Вычислить	1/3+13/12
31	Вычислить	5*5
32	Risolvere per d	2d=5v(o)-vr
33	Преобразовать в смешанную дробь	3/7
34	График	y=-2
35	Определить наклон	y=6
36	Перевести в процентное соотношение	9
37	График	y=2x+2
38	График	y=2x-4
39	График	x=-3
40	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2+5x+6=0
41	Преобразовать в смешанную дробь	1/6
42	Преобразовать в десятичную форму	9%
43	Risolvere per n	12n-24=14n+28
44	Вычислить	16*4
45	Упростить	кубический корень 125
46	Преобразовать в упрощенную дробь	43%
47	График	x=1
48	График	y=6
49	График	y=-7
50	График	y=4x+2
51	Определить наклон	y=7
52	График	y=3x+4
53	График	y=x+5
54	График	3x+2y=6
55	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-5x+6=0
56	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-6x+5=0
57	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-9=0
58	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень 192
59	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень 25/36
60	Разложить на простые множители	14
61	Преобразовать в смешанную дробь	7/10
62	Risolvere per a	(-5a)/2=75
63	Упростить	x
64	Вычислить	6*4
65	Вычислить	6+6
66	Вычислить	-3-5
67	Вычислить	-2-2
68	Упростить	квадратный корень 1
69	Упростить	квадратный корень 4
70	Найти обратную величину	1/3
71	Преобразовать в смешанную дробь	11/20
72	Преобразовать в смешанную дробь	7/9
73	Найти НОК	11 , 13 , 5 , 15 , 14	, , , ,
74	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-3x-10=0
75	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2+2x-8=0
76	График	3x+4y=12
77	График	3x-2y=6
78	График	y=-x-2
79	График	y=3x+7
80	Определить, является ли полиномом	2x+2
81	График	y=2x-6
82	График	y=2x-7
83	График	y=2x-2
84	График	y=-2x+1
85	График	y=-3x+4
86	График	y=-3x+2
87	График	y=x-4
88	Вычислить	(4/3)÷(7/2)
89	График	2x-3y=6
90	График	x+2y=4
91	График	x=7
92	График	x-y=5
93	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2+3x-10=0
94	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-2x-3=0
95	Найти площадь поверхности	конус (12)(9)	
96	Преобразовать в смешанную дробь	3/10
97	Преобразовать в смешанную дробь	7/20
98	Преобразовать в смешанную дробь	2/8
99	Risolvere per w	V=lwh
100	Упростить	6/(5m)+3/(7m^2)

Каноническое уравнение параболы

Содержание:

Определение параболы. Ее каноническое уравнение
Исследование формы параболы
Примеры с решением

Определение параболы. Ее каноническое уравнение

Определение. Параболой называется линия, представляющая геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой. Если директриса параболы (рис. 60) есть а фокус парабола состоит из таких точек для которых

Чтобы найти уравнение параболы, надо выбрать прежде всего какую-либо систему координат. Мы проведем ось через фокус перпендикулярно директрисе (направив ее от директрисы к фокусу).

Начало координат поместим на равных расстояниях от директрисы и фокуса. Этим определится и положение оси (рис- 51). Пусть —точка пересечения оси и директрисы и пусть

Тогда фокус будет иметь координаты . [Возьмем произвольную точку Ясно, что

С другой стороны, из рисунка видно, что

Точка лежит на параболе тогда и только тогда, когда т. е. когда

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Это равенство и представляет собой уравнение параболы. Оно несколько громоздко. Для упрощения возведем это уравнение в квадрат. Раскрывая скобки, получим

или

Это простейшее (или каноническое) уравнение параболы. Ясно, что в нем

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Исследование формы параболы

Исследуем форму параболы, используя только ее уравнение

в котором

Уравнение (1) содержит только в квадрате. Значит, наша парабола симметрична относительно оси и чтобы установить вид всей параболы, достаточно установить вид той ее части, которая расположена выше оси Для точек этой части будет и потому, находя из (1), [надо перед радикалом брать знак + Стало быть,

Отсюда видно, что

1) не может быть отрицательным, ибо иначе оказался бы мнимым, что нелепо. Значит, на параболе нет точек, лежащих слева от оси

2) Если то и

3) Если же увеличивается, то увеличивается и причем безграничное увеличение вызывает безграничное же увеличение однако не столь быстрое (например, при увеличении в 4 раза увеличится только вдвое).

Таким образом, часть параболы, расположенная выше оси имеет вид, изображенный на рис. 52, а вся парабола выглядит так, как показано на рис. 53.

Парабола оказалась бесконечной незамкнутой кривой, у которой ось служит осью симметрии, начало координат вершиной а ось — касательной (в вершине).

Замечание. Нетрудно понять, что каждому из уравнений

соответствует парабола, по форме тождественная с параболой (1), но только иначе расположенная. На рис. 54, 55, 56 изображены эти параболы.

Примеры с решением

Пример 1:

Найти директрису и фокус параболы Здесь Стало быть, и фокусом служит

а директрисой прямая

Пример 2:

Аналогично у параболы директриса есть а фокус

Пример 3:

Парабола

Теорема. Уравнению

где соответствует парабола. Она имеет вершину в на-чале координат и симметрична относительно оси При парабола (2) лежит выше оси абсцисс, а при ниже ее.

Доказательство. Уравнение (2) можно записать в виде

а это уравнение вида или (причем смотря по тому, будет ли или

Последним же уравнениям соответствуют параболы, изо-браженные в первом случае на рис 54, а во втором на рис. 56, что и требовалось доказать.

Чтобы отдать себе отчет в том, как влияет на форму параболы (2) модуль коэффициента а, изобразим на одном чертеже (рис. 57) параболы

построив для той и другой точки с абсциссами

Этот чертеж показывает, что чем больше абсолютная величина тем ближе к оси лежат стороны параболы. Можно сказать что нем больше тем круче подымается парабола.

Парабола имеет много применений в механике. Например, камень, брошенный под углом к горизонту, будет описывать параболу)

Графические линейные уравнения с двумя переменными — Элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Определите взаимосвязь между решениями уравнения и его графика.
Постройте линейное уравнение путем нанесения точек.
График вертикальных и горизонтальных линий.

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Оценить, когда.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Решить в общем.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Распознавать взаимосвязь между решениями уравнения и его графика

В предыдущем разделе мы нашли несколько решений уравнения. Они перечислены на (Рисунок). Итак, упорядоченные пары, и являются некоторыми решениями уравнения. Мы можем построить эти решения в прямоугольной системе координат, как показано на (Рисунок).

Обратите внимание, как точки идеально совпадают? Соединяем точки линией, чтобы получился график уравнения.См. (Рисунок). Обратите внимание на стрелки на концах каждой стороны линии. Эти стрелки указывают на продолжение линии.

Каждая точка на линии является решением уравнения. Кроме того, каждое решение этого уравнения представляет собой точку на этой прямой. Пункты , а не на линии, не являются решением.

Обратите внимание, что точка с координатами находится на линии, показанной на (Рисунок). Если вы подставите и в уравнение, вы обнаружите, что это решение уравнения.

Итак, дело в решении уравнения.(Фраза «точка с координатами» часто сокращается до «точка».)

Значит, это не решение уравнения. Следовательно, дело не в контуре. См. (Рисунок). Это пример поговорки: «Картинка стоит тысячи слов». Линия показывает вам все решения уравнения. Каждая точка на линии — это решение уравнения. И каждое решение этого уравнения находится на этой линии. Эта линия называется графиком уравнения.

График линейного уравнения

График линейного уравнения представляет собой линию.

Каждая точка на линии является решением уравнения.
Каждое решение этого уравнения — точка на этой прямой.

Используйте график, чтобы решить, будет ли каждая упорядоченная пара:

решение уравнения.
на линии.

ⓐ

ⓐ да, да ⓑ да, да

Используйте график, чтобы определить, составляет ли каждая заказанная пара:

решение уравнения
по линии

ⓐ

ⓐ нет, нет ⓑ да, да

Построение линейного уравнения по точкам

Есть несколько методов, которые можно использовать для построения графика линейного уравнения.Метод, который мы использовали для построения графиков, называется построением точек или методом построения точек.

Как построить уравнение по точкам

Постройте уравнение, нанеся точки.

Постройте уравнение, нанеся точки:.

Действия, которые необходимо предпринять при построении графика линейного уравнения путем нанесения точек, приведены ниже.

Постройте линейное уравнение путем нанесения точек.

Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения.Разложите их в виде таблицы.
Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают. Если нет, внимательно проверьте свою работу.
Проведите линию через три точки. Вытяните линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.

Это правда, что для определения линии нужны только две точки, но использование трех точек — хорошая привычка. Если вы нанесете только две точки, и одна из них неверна, вы все равно можете нарисовать линию, но она не будет представлять решения уравнения.Это будет неправильная линия.

Если вы используете три точки, а одна неверна, точки не выровняются. Это говорит о том, что что-то не так, и вам нужно проверить свою работу. Посмотрите на разницу между частью (a) и частью (b) на (Рисунок).

Приведем еще один пример. На этот раз мы покажем последние два шага в одной сетке.

Изобразите уравнение.

Решение

Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Здесь, опять же, легче выбрать значения для.Вы понимаете почему?

Перечислим точки на (Рисунок).

Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

Постройте уравнение, нанеся точки:.

Когда уравнение включает дробь в качестве коэффициента, мы все равно можем подставлять любые числа вместо. Но математика будет проще, если мы сделаем «правильный» выбор значений.Таким образом, мы избежим дробных ответов, которые сложно изобразить точно.

Изобразите уравнение.

Решение

Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Поскольку в этом уравнении дробь является коэффициентом, мы будем тщательно выбирать значения. Мы будем использовать ноль в качестве одного варианта и кратное 2 для других вариантов. Почему значения, кратные 2, являются хорошим выбором?

Точки показаны на (Рисунок).

Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

Изобразите уравнение.

До сих пор все уравнения, которые мы построили на графике, были выражены в терминах. Теперь изобразим уравнение с одной и той же стороной и на одной стороне. Посмотрим, что получится в уравнении. Если в чем ценность?

Эта точка имеет дробную часть для координаты x , и, хотя мы можем построить график этой точки, трудно быть точным, указав дроби. Помните, что в этом примере мы тщательно выбирали значения для, чтобы вообще не отображать дроби.Если мы решим уравнение для, будет легче найти три решения уравнения.

Решения для, и показаны на (Рисунок). График представлен на (Рисунок).

Можете ли вы определить точку, которую мы нашли, пропустив на линии?

Изобразите уравнение.

Если вы можете выбрать любые три точки для построения линии, как вы узнаете, совпадает ли ваш график с тем, который показан в ответах в книге? Если точки пересечения графиков осей x и y совпадают, графики совпадают!

Уравнение на (Рисунок) было записано в стандартной форме, с обеими и на одной и той же стороне.Мы решили это уравнение всего за один шаг. Но для других уравнений в стандартной форме это не так просто решить, поэтому мы оставим их в стандартной форме. Мы все еще можем найти первую точку для построения, позволяя и решая для. Мы можем построить вторую точку, позволив, а затем решив для. Затем мы построим третью точку, используя другое значение для или.

Изобразите уравнение.

Решение

Мы перечисляем упорядоченные пары на (Рисунок). Нанесите точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.См. (Рисунок).

Изобразите уравнение.

График вертикальные и горизонтальные линии

Можно ли построить уравнение только с одной переменной? Просто и нет, или просто без? Как мы составим таблицу значений, чтобы получить точки для построения?

Рассмотрим уравнение. Это уравнение имеет только одну переменную,. Уравнение говорит, что всегда равно , поэтому его значение не зависит от. Независимо от того, что есть, ценность всегда есть.

Итак, чтобы составить таблицу значений, впишите все значения. Затем выберите любые значения для. Поскольку не зависит от, вы можете выбрать любые номера, которые вам нравятся. Но чтобы соответствовать точкам на нашем координатном графике, мы будем использовать 1, 2 и 3 для координат y . См. (Рисунок).

Постройте точки из (Рисунок) и соедините их прямой линией. Обратите внимание на (Рисунок), что мы построили вертикальную линию .

Вертикальная линия

Вертикальная линия — это график уравнения вида.

Линия проходит по оси x в точке.

Изобразите уравнение.

Что делать, если в уравнении есть, но нет? Давайте изобразим уравнение в виде графика. На этот раз значение y — является константой, поэтому в этом уравнении не зависит от. Заполните 4 для всех (рисунок), а затем выберите любые значения для. Мы будем использовать 0, 2 и 4 для координат x .

График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось y в точке 4. См. (Рисунок).

Горизонтальная линия

Горизонтальная линия — это график уравнения вида.

Линия проходит по оси y в точке.

Постройте уравнение

Изобразите уравнение.

Уравнения для вертикальных и горизонтальных линий очень похожи на уравнения типа В чем разница между уравнениями и?

Уравнение включает и.Значение зависит от значения. Координата y изменяется в зависимости от значения. Уравнение имеет только одну переменную. Значение постоянно. Координата y всегда равна 4. Она не зависит от значения. См. (Рисунок).

Обратите внимание, что на (Рисунок) уравнение дает наклонную линию, а дает горизонтальную линию.

График и в той же прямоугольной системе координат.

Решение

Обратите внимание, что в первом уравнении есть переменная, а во втором — нет.См. (Рисунок). Два графика показаны на (Рисунок).

График и в той же прямоугольной системе координат.

Ключевые концепции

Построение линейного уравнения по точкам
1. Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения. Разложите их в виде таблицы.
2. Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают.Если нет, внимательно проверьте свою работу!
3. Проведите линию через три точки. Вытяните линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.

Повседневная математика

Стоимость дома на колесах. Робинсоны арендовали дом на колесах на неделю, чтобы поехать в отпуск. Аренда дома на колесах обходится им в 594 фунта плюс 0,32 фунта за милю, поэтому линейное уравнение дает стоимость проезда на несколько миль. Рассчитайте стоимость аренды за проезд 400, 800 и 1200 миль, а затем нарисуйте линию.

? 722,? 850,? 978

Еженедельный заработок. В художественной галерее, где он работает, Сальвадору платят 200 фунтов в неделю плюс 15% от продаж, которые он совершает, поэтому уравнение дает сумму, которую он зарабатывает на продаже произведений искусства в долларах. Подсчитайте сумму, которую Сальвадор зарабатывает от продажи 900, 1600 и 2000 фунтов стерлингов, а затем изобразите эту линию.

Письменные упражнения

Объясните, как выбрать три значения x , чтобы составить таблицу для построения графика линии.

В чем разница между уравнениями вертикальной и горизонтальной линии?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Использование наклонно-отрезной формы уравнения прямой — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Распознать связь между графиком и формой углового пересечения уравнения прямой
Определить наклон и форму пересечения оси Y уравнения прямой
Постройте линию, используя ее наклон и точку пересечения
Выберите наиболее удобный способ построения линии
Построение графика и интерпретация значений угла наклона
Используйте уклоны для определения параллельных линий
Используйте уклоны для обозначения перпендикулярных линий

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Добавить:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Найдите обратное значение
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Решить.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Распознайте связь между графиком и формой наклона-пересечения в уравнении прямой

Мы изобразили линейные уравнения, нанеся точки, используя точки пересечения, распознавая горизонтальные и вертикальные линии и используя метод точки-наклона.Как только мы увидим, как связаны уравнение в форме углового пересечения и его график, у нас будет еще один метод, который мы можем использовать для построения линий.

В разделе «График линейных уравнений с двумя переменными» мы построили линию уравнения путем нанесения точек. См. (Рисунок). Найдем наклон этой прямой.

Красные линии показывают, что подъем равен 1, а разбег равен 2. Подставляем в формулу наклона:

Что такое перехват линии y ? Пересечение y — это место, где линия пересекает ось y , поэтому перехват y находится.Уравнение этой строки:

Обратите внимание, в строке есть:

Когда решается линейное уравнение, коэффициент члена представляет собой наклон, а постоянный член представляет собой координату y точки пересечения y . Мы говорим, что уравнение имеет форму углового пересечения.

Форма угла наклона-пересечения прямой

Угловая и угловая форма уравнения прямой с наклоном и пересечением y :

Иногда форма наклона-пересечения называется формой « y ».”

Используйте график, чтобы найти наклон и точку пересечения y линии,.

Сравните эти значения с уравнением.

Решение

Чтобы найти наклон линии, нам нужно выбрать две точки на линии. Мы будем использовать точки и.

Наклон такой же, как коэффициент, а координата y интерцепта y такая же, как у постоянного члена.

Определите наклон и

y — пересечение с уравнением прямой

В разделе «Понять наклон линии» мы построили линию, используя наклон и точку.Когда нам дается уравнение в форме пересечения угла наклона и точки пересечения, мы можем использовать точку пересечения y в качестве точки, а затем отсчитывать оттуда наклон. Попрактикуемся в нахождении значений наклона и отрезка y из уравнения прямой.

Определите наклон и пересечение линии y .

Если уравнение линии не дано в форме углового пересечения, нашим первым шагом будет решение уравнения для.

Определите наклон и точку пересечения y линии с помощью уравнения.

Решение

Это уравнение не в форме углового пересечения. Чтобы сравнить его с формой угла наклона и пересечения, мы должны сначала решить уравнение для.

Определите наклон и пересечение линии y .

Выберите наиболее удобный метод построения графика линии

Теперь, когда мы увидели несколько методов, которые можно использовать для построения линий графика, как мы узнаем, какой метод использовать для данного уравнения?

Хотя мы могли бы построить точки, использовать форму наклона – пересечения или найти точки пересечения для любого уравнения , если мы найдем наиболее удобный способ построения графика определенного типа уравнения, наша работа будет проще.Как правило, нанесение точек на график — не самый эффективный способ построения линии. Мы видели лучшие методы в разделах 4.3, 4.4 и ранее в этом разделе. Давайте поищем несколько шаблонов, которые помогут определить наиболее удобный метод построения линии.

Вот шесть уравнений, которые мы построили на графиках в этой главе, и метод, который мы использовали для построения графика каждого из них.

Уравнения №1 и №2 имеют только одну переменную. Помните, что в уравнениях этой формы значение одной переменной является постоянным; он не зависит от значения другой переменной.Уравнения этой формы имеют графики, которые представляют собой вертикальные или горизонтальные линии.

В уравнениях № 3 и № 4 оба и находятся на одной стороне уравнения. Эти два уравнения имеют вид. Мы заменили, чтобы найти перехват x и найти перехват y , а затем нашли третью точку, выбрав другое значение для или.

Уравнения № 5 и № 6 записываются в форме углового пересечения. После определения наклона и отрезка y из уравнения мы использовали их для построения графика линии.

Это приводит к следующей стратегии.

Стратегия выбора наиболее удобного метода построения графика линии

Рассмотрим вид уравнения.

Определите наиболее удобный метод построения графика каждой линии.

ⓐ ⓑ ⓒ ⓓ.

Определите наиболее удобный метод построения графика каждой линии: ⓐ ⓑ ⓒ ⓓ.

ⓐ точки пересечения ⓑ горизонтальная линия ⓒ наклон – точка пересечения ⓓ вертикальная линия

Определите наиболее удобный метод построения графика каждой линии: ⓐ ⓑ ⓒ ⓓ.

ⓐ вертикальная линия ⓑ наклон – точка пересечения ⓒ горизонтальная линия точки пересечения

График и интерпретация углов наклона и пересечения

Многие реальные приложения моделируются линейными уравнениями. Здесь мы рассмотрим несколько приложений, чтобы вы могли увидеть, как уравнения, записанные в форме углового пересечения, соотносятся с реальными ситуациями.

Обычно, когда линейное уравнение моделирует реальную ситуацию, для переменных используются разные буквы, а не x и y .Имена переменных напоминают нам о том, какие количества измеряются.

Уравнение используется для оценки роста женщины в дюймах, h , на основе размера ее обуви, s .

ⓐ Оцените рост ребенка, который носит размер женской обуви 0.
ⓑ Оцените рост женщины с размером обуви 8.
ⓒ Интерпретируйте наклон и h — перехват уравнения.
ⓓ Изобразите уравнение.

ⓐ 50 дюймов
ⓑ 66 дюймов
ⓒ Наклон 2 означает, что высота h увеличивается на 2 дюйма, когда размер обуви s увеличивается на 1.Перехват h означает, что когда размер обуви равен 0, высота составляет 50 дюймов.
ⓓ

Уравнение используется для оценки температуры в градусах Фаренгейта, T , на основе количества щебетаний сверчка, n , за одну минуту.

ⓐ Оценить температуру при отсутствии чириканья.
ⓑ Оцените температуру, когда количество звуковых сигналов за одну минуту равно 100.
ⓒ Интерпретируйте наклон и T -перехват уравнения.
ⓓ Изобразите уравнение.

ⓐ 40 градусов
ⓑ 65 градусов
ⓒ Наклон, означает, что температура по Фаренгейту ( F ) увеличивается на 1 градус, когда количество щебетаний, n , увеличивается на 4. Перехват T означает, что когда количество щебетаний равно 0, температура есть.
ⓓ

Стоимость ведения бизнеса некоторых типов состоит из двух компонентов: фиксированных затрат и переменных затрат .Фиксированная стоимость всегда одинакова, независимо от количества произведенных единиц. Это стоимость аренды, страховки, оборудования, рекламы и других предметов, которые необходимо регулярно оплачивать. Переменная стоимость зависит от количества произведенных единиц. Это для материалов и рабочей силы, необходимых для производства каждого предмета.

У Стеллы есть домашний бизнес по продаже изысканной пиццы. Уравнение моделирует соотношение между ее недельной стоимостью C в долларах и количеством продаваемых ею пицц p .

ⓐ Узнайте, сколько стоит неделя для Стеллы, если она не продает пиццу.
ⓑ Узнайте стоимость за неделю, когда она продаст 15 пицц.
ⓒ Интерпретировать наклон и C -перехват уравнения.
ⓓ Изобразите уравнение.

Сэм водит фургон. Уравнение моделирует соотношение между его недельной стоимостью C в долларах и количеством миль, м , которые он проезжает.

ⓐ Узнайте стоимость недели для Сэма, когда он проезжает 0 миль.
ⓑ Узнайте стоимость недели, когда он проезжает 250 миль.
ⓒ Интерпретировать наклон и C -перехват уравнения.
ⓓ Изобразите уравнение.

ⓐ? 60
ⓑ? 185
ⓒ Наклон 0,5 означает, что еженедельная стоимость C увеличивается на 0,50 фунтов стерлингов, когда количество пройденных миль, n, увеличивается на 1. Перехват C означает, что когда количество пройденных миль 0, еженедельная стоимость? 60
ⓓ

Лорин занимается каллиграфией.Уравнение моделирует связь между ее недельной стоимостью C в долларах и количеством приглашений на свадьбу n , которые она пишет.

ⓐ Найдите стоимость недели для Лорин, когда она не пишет приглашения.
ⓑ Узнайте стоимость за неделю, когда она напишет 75 приглашений.
ⓒ Интерпретировать наклон и C -перехват уравнения.
ⓓ Изобразите уравнение.

ⓐ 35
ⓑ? 170
ⓒ Наклон 1,8 означает, что недельная стоимость C увеличивается на 1 фунт.80, когда количество приглашений n увеличивается на 1,80.
Перехват C означает, что при количестве приглашений 0 еженедельная стоимость составляет 35 фунтов стерлингов;
ⓓ

Использование уклонов для определения перпендикулярных линий

Давайте посмотрим на линии, уравнения которых есть и, показанные на (Рисунок).

Эти прямые лежат в одной плоскости и пересекаются под прямым углом. Мы называем эти линии перпендикулярными.

Что вы замечаете в наклонах этих двух линий? При чтении слева направо линия поднимается вверх, поэтому ее наклон положительный.Линия опускается слева направо, поэтому угол наклона отрицательный. Имеет ли для вас смысл, что наклоны двух перпендикулярных линий будут иметь противоположные знаки?

Если мы посмотрим на наклон первой линии, и наклон второй линии, мы увидим, что они являются отрицательными обратными значениями друг друга. Если мы их умножим, их произведение будет

Это всегда верно для перпендикулярных линий и приводит нас к этому определению.

Перпендикулярные линии

Перпендикулярные линии — это прямые в одной плоскости, образующие прямой угол.

Если — это наклоны двух перпендикулярных прямых, то:

Вертикальные и горизонтальные линии всегда перпендикулярны друг другу.

Мы смогли взглянуть на форму линейного уравнения «наклон – пересечение» и определить, параллельны ли линии. То же самое можно сделать и с перпендикулярными линиями.

Мы находим уравнение в форме углового пересечения и затем смотрим, являются ли наклоны обратными отрицательными величинами. Если произведение уклонов равно, линии перпендикулярны.Перпендикулярные линии могут иметь одинаковые точки пересечения y .

Используйте уклоны, чтобы определить, перпендикулярны ли линии и.

Решение

Наклоны противоположны друг другу, поэтому линии перпендикулярны. Проверяем умножением уклонов,

Используйте уклоны, чтобы определить, перпендикулярны ли линии и.

Решение

Наклоны равны друг другу, но имеют одинаковый знак. Поскольку они не являются отрицательными обратными, линии не перпендикулярны.

Используйте уклоны, чтобы определить, перпендикулярны ли линии и.

Практика ведет к совершенству

Распознать связь между графиком и формой наклона-пересечения уравнения прямой

В следующих упражнениях используйте график, чтобы найти наклон и точку пересечения по оси Y каждой линии.Сравните значения с уравнением.

Определить наклон и точку пересечения по оси Y по уравнению прямой

В следующих упражнениях определите наклон и точку пересечения оси Y каждой линии.

Построение линии с использованием ее наклона и точки пересечения

В следующих упражнениях нарисуйте линию каждого уравнения, используя ее наклон и точку пересечения по оси Y.

Выберите наиболее удобный способ построения графика линии

В следующих упражнениях определите наиболее удобный метод построения графика каждой линии.

График и интерпретация значений наклона и пересечения

Уравнение моделирует связь между суммой ежемесячного платежа Тайета за воду, P , в долларах, и количеством использованных единиц воды, w .

ⓐ Найдите оплату Тайет за месяц при использовании 0 единиц воды.
ⓑ Найдите оплату Тайет за месяц при использовании 12 единиц воды.
ⓓ Изобразите уравнение.

Уравнение моделирует связь между суммой ежемесячного платежа Рэнди за воду, P , в долларах, и количеством использованных единиц воды, w .

ⓐ Найдите оплату за месяц, когда Рэнди использовал 0 единиц воды.
ⓑ Найдите оплату за месяц, когда Рэнди использовал 15 единиц воды.
ⓓ Изобразите уравнение.

ⓐ 28
ⓑ 66,10
ⓒ Наклон 2,54 означает, что платеж Рэнди, P , увеличивается на 2,54 фунта стерлингов, когда количество единиц воды, которые он использовал, w, увеличивается на 1. Перехват P означает, что если число единиц воды, которую использовал Рэнди, было 0, оплата составила бы 28 евро.
ⓓ

Брюс ведет свою машину по работе. Уравнение моделирует соотношение между суммой в долларах, R , которую ему возмещают, и количеством миль, м , которое он проезжает за один день.

ⓐ Найдите сумму возмещения Брюсу в день, когда он проезжает 0 миль.
ⓑ Узнайте сумму возмещения Брюсу в день, когда он проезжает 220 миль.
ⓓ Изобразите уравнение.

Жанель планирует арендовать машину на время отпуска. Уравнение моделирует соотношение между стоимостью в долларах, C , в день и количеством миль, m , которое она проезжает за один день.

ⓐ Узнайте стоимость, если Джанель однажды проехала на машине 0 миль.
ⓑ Узнайте стоимость в день, когда Джанель проезжает на машине 400 миль.
ⓓ Изобразите уравнение.

ⓐ? 15
ⓑ? 143
ⓒ Наклон 0,32 означает, что стоимость C увеличивается на 0,32 фунта стерлингов, когда количество пройденных миль, м, увеличивается на 1. Перехват C означает, что если Джанель проезжает 0 миль за один день , стоимость будет 15 евро.
ⓓ

Чери работает в розничной торговле, и ее недельная зарплата включает комиссию за проданную сумму. Уравнение моделирует соотношение между ее недельной зарплатой S в долларах и объемом ее продаж c в долларах.

ⓐ Найдите зарплату Чери за неделю, когда ее продажи были равны 0.
ⓑ Найдите зарплату Чери за неделю, когда ее продажи составляли 3600.
ⓓ Изобразите уравнение.

Еженедельная зарплата Патела включает базовую заработную плату плюс комиссионные с его продаж. Уравнение моделирует соотношение между его недельной зарплатой S в долларах и объемом его продаж c в долларах.

ⓐ Найдите зарплату Пателя за неделю, когда его продажи составляли 0.
ⓑ Найдите зарплату Пателя за неделю, когда его продажи составляли 18 540.
ⓓ Изобразите уравнение.

ⓐ 750
ⓑ? 2418,60
ⓒ Наклон 0,09 означает, что зарплата Пателя, S , увеличивается на 0,09 фунта стерлингов на каждый фунт увеличения его продаж. Перехват S означает, что когда его продажи составляют 0 евро, его зарплата составляет 750 фунтов стерлингов.
ⓓ

Коста планирует обед-банкет. Уравнение моделирует соотношение между стоимостью банкета C в долларах и количеством гостей г .

ⓐ Найдите стоимость, если количество гостей 40.
ⓑ Узнайте стоимость, если количество гостей 80.
ⓓ Изобразите уравнение.

Марджи планирует банкетный обед.Уравнение моделирует соотношение между стоимостью банкета C в долларах и количеством гостей г .

ⓐ Найдите стоимость, если количество гостей 50.
ⓑ Узнайте стоимость, если количество гостей 100.
ⓓ Изобразите уравнение.

ⓐ 2850
ⓑ? 4950
ⓒ Наклон 42 означает, что стоимость C увеличивается на 42 фунта стерлингов при увеличении количества гостей на 1. C -перехват означает, что при количестве гостей 0 стоимость будет 750 фунтов стерлингов.
ⓓ

Использование уклонов для определения параллельных линий

В следующих упражнениях используйте наклоны и точки пересечения по оси Y, чтобы определить, параллельны ли линии.

Использование уклонов для определения перпендикулярных линий

В следующих упражнениях используйте наклоны и точки пересечения по оси Y, чтобы определить, перпендикулярны ли линии.

Повседневная математика

Уравнение можно использовать для преобразования температур F по шкале Фаренгейта в температуры C и по шкале Цельсия.

ⓐ Объясните, что означает наклон уравнения.
ⓑ Объясните, что означает C — перехват уравнения.

Уравнение используется для оценки количества щебетаний сверчка, n , за одну минуту на основе температуры в градусах Фаренгейта, T .

ⓐ Объясните, что означает наклон уравнения.
ⓑ Объясните, что означает n — перехват уравнения. Это реалистичная ситуация?

ⓐ При увеличении на один градус по Фаренгейту количество звуковых сигналов увеличивается на четыре.
ⓑ При температуре по Фаренгейту будет слышен щебетание.(Обратите внимание, что это не имеет смысла; эту модель нельзя использовать для всех возможных температур.)

Письменные упражнения

Объясните своими словами, как решить, какой метод использовать для построения линии.

Почему все горизонтальные линии параллельны?

Самопроверка

ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

Глоссарий

параллельные линии: Непересекающиеся линии в одной плоскости.

перпендикулярные линии: Линии в одной плоскости, образующие прямой угол.

наклонно-отрезная форма уравнения прямой: Угловая и угловая форма уравнения прямой с наклоном и пересечением y ,.

Прямые уравнения: параллельные и перпендикулярные прямые

Purplemath

Есть еще одно соображение для уравнений прямой линии: нахождение параллельных и перпендикулярных линий.Вот общий формат упражнений по этой теме:

Учитывая прямую 2
x — 3 y = 9 и точку (4, –1), найдите прямые в форме пересечения с наклоном, проходящие через данную точку так, чтобы две прямые были соответственно:

(а) параллельно данной линии, а

(б) перпендикулярно ему.

Мне дали опорную линию, а именно: 2 x — 3 y = 9; это линия, на наклон которой я буду ссылаться позже в своей работе.

MathHelp.com

У этой линии есть некоторое значение наклона (хотя, конечно, не значение «2», потому что это уравнение линии не решается для « y =»).

Сначала мне нужно найти наклон опорной линии. Я мог бы использовать метод, дважды вставляя значения x в опорную линию, находя соответствующие значения y , а затем вставляя две найденные точки в формулу наклона, но я бы предпочел просто решить для « y =». (Это только мои личные предпочтения. Если ваши предпочтения отличаются, то используйте тот метод, который вам больше нравится.) Итак:

Первое, что я сделаю, это решу «2 x — 3 y = 9» для « y =», так что я найду свой опорный наклон:

2 x -3 y = 9 –3 y = –2 x + 9 y = (²/₃) x — 3

Таким образом, опорный наклон от опорной линии составляет

м = ²/₃.

Теперь мне нужно найти два новых склона и использовать их с той точкой, которую они мне дали; а именно с точкой (4, –1). Они хотят, чтобы я нашел прямую через (4, –1), параллельную 2 x — 3 y = 9; то есть через заданную точку они хотят, чтобы я нашел линию, имеющую такой же наклон, как и опорная линия. Затем они хотят, чтобы я нашел прямую через (4, –1), которая перпендикулярна 2 x — 3 y = 9; то есть через данную точку они хотят, чтобы я нашел линию с наклоном, обратным отрицательному наклону опорной линии.

Поскольку параллельная прямая имеет одинаковый наклон, то параллельная прямая, проходящая через (4, –1), будет иметь наклон

м = ²/₃. Эй, теперь у меня есть точка зрения и наклон! Итак, я воспользуюсь формой точечного уклона, чтобы найти линию:

y — (–1) = (²/₃) ( x — 4)

y + 1 = (²/₃) x — ⁸/₃

y = (²/₃) x — ⁸/₃ — ³/₃

y = (²/₃) x — ¹¹/₃

Это параллельная линия, которую они просили, и это в форме пересечения наклона, которую они указали.

Для перпендикулярной линии я должен найти перпендикулярный уклон. Базовый уклон

м = ²/₃. Для перпендикулярного уклона я переворачиваю опорный уклон и меняю знак. Тогда перпендикулярный уклон м = — ³/₂.

Опять же, у меня есть точка и наклон, поэтому я могу использовать форму точки-наклона, чтобы найти свое уравнение. Обратите внимание, что единственное изменение, в дальнейшем, из вычислений, которые я только что сделал выше (для параллельной линии), состоит в том, что наклон другой, теперь это наклон перпендикулярной линии.

y — (–1) = (- ³/₂) ( x — 4)

y + 1 = (- ³/₂) x + 6

y = (- ³/₂) x + 5

Тогда полное решение этого упражнения:

параллельно:

y = (²/₃) x — ¹¹/₃

перпендикуляр:

y = (- ³/₂) x + 5

Предупреждение: Если вас спросят, являются ли две данные линии «параллельными, перпендикулярными или ни одной», вы должны ответить на этот вопрос, найдя их наклоны, а не нарисовав картинку! Изображения могут дать вам лишь приблизительное представление о том, что происходит.

Например, вы просто не сможете сказать, просто «посмотрев» на картинку, что нарисованные линии с наклоном, скажем, м ₁ = 1,00 и м ₂ = 0,99 НЕ ЯВЛЯЮТСЯ параллельно — и они будут уверены, что будет выглядеть на картинке параллельно . Но поскольку 1,00 не равно 0,99, линии не могут быть параллельны.

Другими словами, чтобы ответить на этот вид упражнения, всегда находите числовые наклоны; не пытайтесь уйти с рук, просто нарисовав красивые картинки.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в поиске параллельной прямой, проходящей через заданную точку. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Следующий виджет предназначен для поиска перпендикулярных линий.) Или перейдите к двум следующим комплексным примерам.

(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в нахождении перпендикулярной линии через заданную точку. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

Практически все упражнения по нахождению уравнений параллельных и перпендикулярных прямых будут похожи на приведенные выше.Вот два примера более сложных типов упражнений:

Для какого значения
a линия y = ax перпендикулярна линии (²/₃) y — 6 x = 3?

Поскольку наклон — это значение, умноженное на « x » при решении уравнения для « y =», тогда значение « a » будет значением наклона для перпендикулярной линии.Другими словами, меня спрашивают перпендикулярный уклон, но они немного скрывают свое предназначение. Мне нужно заметить связь.

Первое, что мне нужно сделать, это найти наклон опорной линии. Я решу для « y =»:

(2/3) y — 6 x = 3

2 y -18 x = 9

y — 9 x = 9/2

y = 9 x + 9/2

Тогда опорный уклон м = 9.Перпендикулярный наклон (являющийся значением « a », о котором они спрашивали меня) будет отрицательной величиной, обратной опорному наклону.

Я начинаю с преобразования цифры «9» в дробную форму, помещая ее над «1». Потом переворачиваю и меняю знак. Результат:

Каково расстояние между линиями, заданными уравнениями 3
x + 2 y = 15 и 4 y + 6 x = 3?

Расстояние между этими двумя линиями может быть только в том случае, если они параллельны.(В противном случае они должны встретиться в некоторой точке, в которой расстояние между линиями, очевидно, будет равно нулю.) Параллельны ли эти линии? Я решу каждую для « y =», чтобы быть уверенным:

3 x + 2 y = 15

2 y = –3 x + 15

y ₁ = (–3/2) x + 15/2

…и:

4 y + 6 x = 3

4 y = –6 x + 3

y = (–6/4) x + 3/4

y ₂ = (–3/2) x + 3/4

Линии имеют одинаковый наклон, поэтому они действительно параллельны. И у них разные перехватчики y , так что это не одна и та же линия.Следовательно, между этими двумя линиями действительно есть некоторое расстояние. Но как мне найти это расстояние? Это будет перпендикулярное расстояние между двумя линиями, но как его найти?

Я знаю, что могу найти расстояние между двумя точками; Я вставляю две точки в формулу расстояния. Но у меня нет двух очков. Ах; но я могу выбрать любую точку на одной из линий, а затем найти перпендикулярную линию через эту точку.Поскольку исходные линии параллельны, эта перпендикулярная линия также перпендикулярна второй из исходных линий. Затем я могу найти, где пересекаются перпендикулярная линия и вторая линия . Эта точка пересечения будет второй точкой, которая мне понадобится для формулы расстояния.

Я знаю, что исходный уклон

м = –3/2. Тогда мой перпендикулярный уклон будет м = 2/3. Теперь мне нужна точка, через которую я проведу перпендикулярную линию.Я выберу x = 1 и вставлю это в уравнение первой строки, чтобы найти соответствующее значение y :

y = (–3/2) (1) + 15/2

= –3/2 + 15/2

= 12/2 = 6

Итак, моя точка (в первой строке, которую они мне дали): (1, 6). С помощью этой точки и моего перпендикулярного наклона я могу найти уравнение перпендикулярной линии, которое даст мне расстояние между двумя исходными линиями:

y — 6 = (2/3) ( x — 1)

y — 6 = (2/3) x — 2/3

y = (2/3) x — 2/3 + 18/3

y = (2/3) x + 16/3

Хорошо; теперь у меня есть уравнение перпендикуляра.Расстояние будет длиной отрезка вдоль этой линии, который пересекает каждую из исходных линий.

Где эта линия пересекает вторую из данных линий? Он будет пересекаться там, где уравнения двух линий равны, поэтому я устанавливаю стороны уравнения второй исходной линии и уравнения перпендикулярной линии, отличные от y , равными друг другу, и решаю:

(–3/2) x + 3/4 = (2/3) x + 16/3

–9 x + 9/2 = 4 x + 32

9/2 — 32 = 13 x

(–55/2) / 13 = x

x = –55/26

Вышеупомянутое более чем завершает часть упражнения с линейным уравнением.Я оставлю вам остальную часть упражнения, если вам интересно.

(Чтобы закончить, вам нужно вставить это последнее значение x в уравнение перпендикулярной линии, чтобы найти соответствующее значение y . Это даст вам вторую точку. [Оказывается,

(–55/26, 51/13) , если вы сделаете математику.] Затем вам нужно будет вставить эту точку вместе с первой (1, 6) в формулу расстояния, чтобы найти расстояние между линиями.[Расстояние оказывается (27/26) * sqrt [13] , или около 3,7442, если потратиться на вычисления.])

Обратите внимание, что расстояние между линиями , а не , такое же, как расстояние между линиями по вертикали или горизонтали, поэтому вы можете , а не использовать перехват x или y в качестве прокси для расстояния.

Что еще более важно, обратите внимание на то, что в этом упражнении ничего не говорилось о параллельных или перпендикулярных линиях и не указывалось на то, чтобы найти какое-либо уравнение линии.Студенту оставалось выяснить, какие инструменты могут пригодиться. Не бойтесь подобных упражнений. Да, они могут быть длинными и беспорядочными. Но даже если попробует их , вместо того, чтобы сразу вскинуть руки в поражении, вы укрепите свои навыки, а также принесете вам несколько основных «шоколадных очков» с вашим инструктором.

URL: https://www.purplemath.com/modules/strtlneq3.htm

Обучение линейным уравнениям в математике

Для многих учеников 8-х классов и выше числа и формы, которые они узнали, действительно начинают сходиться воедино, когда они составляют и решают линейные уравнения.Эта тема объединяет идеи об алгебре, геометрии и функциях, и многим детям — и взрослым может быть трудно осмыслить. В этой статье объясняется, что такое линейное уравнение, и рассматриваются различные примеры. Затем он предлагает учащимся идеи уроков по введению и развитию концепции линейных уравнений с одной переменной.

Что такое линейное уравнение?

Как и любое другое уравнение, линейное уравнение состоит из двух равных друг другу выражений.Есть некоторые ключевые особенности, общие для всех линейных уравнений:

Линейное уравнение имеет только одну или две переменные.
Никакая переменная в линейном уравнении не возводится в степень больше 1 или не используется в качестве знаменателя дроби.
Когда вы находите пары значений, которые делают линейное уравнение истинным, и наносите эти пары на координатную сетку, все точки лежат на одной линии. График линейного уравнения представляет собой прямую линию.

Линейное уравнение с двумя переменными можно описать как линейное соотношение между x и y , то есть двумя переменными, в которых значение одной из них (обычно y ) зависит от значение другого (обычно x ).В этом случае x является независимой переменной, а y зависит от нее, поэтому y называется зависимой переменной.

Независимая переменная, независимо от того, помечена она как x или нет, обычно отображается по горизонтальной оси. Большинство линейных уравнений — это функции. Другими словами, для каждого значения x существует только одно соответствующее значение y . Когда вы присваиваете значение независимой переменной x , вы можете вычислить значение зависимой переменной y .Затем вы можете нанести точки, названные каждой парой ( x , y ), на координатной сетке.

Описание линейных отношений

Студенты уже должны знать, что любые две точки определяют линию. Таким образом, для построения графика линейного уравнения на самом деле требуется всего лишь найти две пары значений и провести линию через точки, которые они описывают. Все остальные точки на линии предоставят значения x и y , которые удовлетворяют уравнению.

Графики линейных уравнений всегда представляют собой линии.Однако важно помнить, что не каждая точка на линии, которую описывает уравнение, обязательно будет решением проблемы, которую описывает уравнение. Например, проблема может не иметь смысла для отрицательных чисел (скажем, если независимая переменная — время) или очень больших чисел (скажем, чисел больше 100, если зависимая переменная — это оценка в классе).

Как выглядит линейное уравнение?

Пример 1: расстояние = скорость × время

В этом уравнении для любой заданной постоянной скорости соотношение между расстоянием и временем будет линейным.Однако расстояние обычно выражается положительным числом, поэтому на большинстве графиков этой взаимосвязи будут отображаться только точки в первом квадранте. Обратите внимание, что направление линии на графике ниже — снизу слева направо. Линии, идущие в этом направлении, имеют положительный наклон и . Положительный наклон указывает, что значения на обеих осях увеличиваются слева направо.

2.3 Графики положения и времени — Физика

Раздел Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

Объясните значение наклона позиции vs.графики времени
Решение задач с использованием графиков положения и времени

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:

(4) Научные концепции. Учащийся знает и применяет законы движения в самых разных ситуациях. Ожидается, что студент:
- (A) генерирует и интерпретирует графики и диаграммы, описывающие различные типы движения, включая использование технологий реального времени, таких как датчики движения или фотостаты.

Раздел Ключевые термины

зависимая переменная

независимая переменная

касательная

Поддержка учителя

[BL] [OL] Опишите сценарий, например, в котором вы запускаете водную ракету в воздух. Он поднимается на 150 футов, останавливается и падает обратно на землю. Попросите учащихся оценить ситуацию.Куда бы они поставили свой ноль? Что такое положительное направление, а что отрицательное? Попросите одного из учащихся нарисовать на доске изображение сценария. Затем нарисуйте график зависимости положения от времени, описывающий движение. Попросите учащихся помочь вам заполнить график. Линия прямая? Он изогнутый? Он меняет направление? Что они могут сказать, посмотрев на график?

[AL] После того, как ученики посмотрят и проанализируют график, посмотрите, смогут ли они описать различные сценарии, в которых линии будут прямыми, а не изогнутыми? Где линии будут прерывистыми?

Графическое положение как функция времени

График, как и картинка, стоит тысячи слов.Графики содержат не только числовую информацию, но и показывают взаимосвязь между физическими величинами. В этом разделе мы исследуем кинематику, анализируя графики положения во времени.

Графики в этом тексте имеют перпендикулярные оси, одна горизонтальная, а другая вертикальная. Когда две физические величины наносятся друг на друга, горизонтальная ось обычно считается независимой переменной, а вертикальная ось — зависимой переменной. В алгебре вы бы назвали горизонтальную ось осью x , а вертикальную ось — осью y .Как показано на рис. 2.10, прямолинейный граф имеет общий вид y = mx + by = mx + b.

Здесь м — уклон, определяемый как подъем, деленный на длину спуска (как показано на рисунке) по прямой. Буква b представляет собой точку пересечения y , которая является точкой, в которой линия пересекает вертикальную ось y . С точки зрения физической ситуации в реальном мире эти величины будут иметь особое значение, как мы увидим ниже. (Рисунок 2.10.)

Рисунок 2.10 На диаграмме изображен прямолинейный график. Уравнение прямой: y равно mx + b .

В физике время обычно является независимой переменной. Говорят, что от него зависят другие величины, такие как смещение. График положения в зависимости от времени, следовательно, будет иметь положение на вертикальной оси (зависимая переменная) и время на горизонтальной оси (независимая переменная). В этом случае, к чему бы относились наклон и перехват y ? Давайте вернемся к нашему первоначальному примеру при изучении расстояния и смещения.

Дорога в школу находилась в 5 км от дома. Предположим, поездка заняла 10 минут, и ваш родитель все это время вел машину с постоянной скоростью. График зависимости положения от времени для этого участка пути будет выглядеть так, как показано на рисунке 2.11.

Рис. 2.11. Показан график зависимости положения от времени на дорогу в школу. Как бы выглядел график, если бы мы добавили обратный путь?

Как мы уже говорили, d ₀ = 0, потому что мы называем домой наш O и начинаем вычисление оттуда.На рисунке 2.11 линия также начинается с d = 0. Это b в нашем уравнении для прямой. Нашей исходной позицией на графике зависимости положения от времени всегда является место, где график пересекает ось x при t = 0. Каков наклон? Подъем — это изменение положения (т. Е. Смещение), а пробег — это изменение во времени. Это отношение также можно записать

Это соотношение было тем, как мы определили среднюю скорость.Следовательно, наклон на графике d против t — это средняя скорость.

Советы для успеха

Иногда, как в случае, когда мы строим график как поездки в школу, так и обратного пути, поведение графика выглядит по-разному в разные промежутки времени. Если график выглядит как серия прямых линий, то вы можете рассчитать среднюю скорость для каждого временного интервала, посмотрев на наклон. Если вы затем захотите рассчитать среднюю скорость для всей поездки, вы можете сделать средневзвешенное значение.

Давайте посмотрим на другой пример. На рис. 2.12 показан график положения в зависимости от времени для реактивного автомобиля на очень плоском высохшем дне озера в Неваде.

Рис. 2.12 На диаграмме показан график положения в зависимости от времени для автомобиля с реактивным двигателем на солончаках Бонневиль.

Используя соотношение между зависимыми и независимыми переменными, мы видим, что наклон на графике на рисунке 2.12 — это средняя скорость, v _avg, а точка пересечения — смещение в нулевой момент времени, то есть d ₀.Подставляя эти символы в y = mx + b , получаем

или

Таким образом, график положения в зависимости от времени дает общую взаимосвязь между перемещением, скоростью и временем, а также дает подробную числовую информацию о конкретной ситуации. Из рисунка видно, что автомобиль занимает позицию 400 м при t = 0 с, 650 м при t = 1,0 с и так далее. И мы также можем узнать о скорости объекта.

Поддержка учителей

Демонстрация учителей

Помогите учащимся узнать, какие графики смещения отличаются от других.время похоже.

[Визуальный] Установите дозатор.

Если вы можете найти машину с дистанционным управлением, попросите одного ученика записать время, когда вы отправляете машину вперед вдоль ручки, затем назад, затем снова вперед с постоянной скоростью.
Возьмите записанное время и изменение положения и сложите их вместе.
Попросите студентов научить вас рисовать график зависимости положения от времени.

Каждый отрезок пути должен представлять собой прямую линию с разным уклоном.Участки, по которым машина двигалась вперед, должны иметь положительный наклон. Та часть, где он движется назад, будет иметь отрицательный наклон.

[OL] Спросите, влияет ли на график место, которое они принимают за ноль .

[AL] Реально ли нарисовать любой график положения, который начинается в состоянии покоя, без какой-либо кривой? Почему в некоторых сценариях можно пренебречь кривой?

[Все] Обсудите, что можно обнаружить на этом графике. Учащиеся должны уметь считывать чистое смещение, но они также могут использовать график для определения общего пройденного расстояния.Затем спросите, как скорость или скорость отражаются на этом графике. Посоветуйте учащимся увидеть, что крутизна линии (уклона) является мерой скорости, а направление уклона — направлением движения.

[AL] Некоторые студенты могут понять, что кривая на линии представляет собой своего рода наклон наклона, предварительный просмотр ускорения, о котором они узнают в следующей главе.

Snap Lab

Построение графика движения

В этом упражнении вы отпустите шар вниз по пандусу и построите график зависимости его перемещения от смещения.время.

Выберите открытое место с большим пространством, чтобы было меньше шансов споткнуться или упасть из-за катящихся шаров.

1 мяч
1 доска
2 или 3 книги
1 секундомер
1 рулетка
6 штук малярной ленты
1 миллиметровая бумага
1 карандаш

Процедура

Постройте пандус, поместив один конец доски поверх стопки книг.При необходимости отрегулируйте местоположение так, чтобы не было препятствий на прямой линии от нижней части пандуса до следующих 3 м.
Отметьте расстояния 0,5 м, 1,0 м, 1,5 м, 2,0 м, 2,5 м и 3,0 м от нижней части пандуса. Напишите расстояния на ленте.
Пусть один человек возьмет на себя роль экспериментатора. Этот человек выпустит мяч с вершины рампы. Если мяч не достигает отметки 3,0 м, увеличьте наклон пандуса, добавив еще одну книгу.При необходимости повторите этот шаг.
Попросите экспериментатора выпустить мяч. Попросите второго человека, таймера, начать отсчет времени испытания, как только мяч достигнет нижней части рампы, и остановить отсчет, когда мяч достигнет 0,5 м. Попросите третьего человека, записывающего устройства, записать время в таблицу данных.
Повторите шаг 4, останавливая раз на расстоянии 1,0 м, 1,5 м, 2,0 м, 2,5 м и 3,0 м от нижней части пандуса.
Используйте свои измерения времени и смещения, чтобы составить позицию vs.временной график движения мяча.
Повторите шаги с 4 по 6 с разными людьми, которые берут на себя роли экспериментатора, таймера и записывающего устройства. Получаете ли вы одинаковые значения измерений независимо от того, кто выпускает мяч, измеряет время или записывает результат? Обсудите возможные причины расхождений, если таковые имеются.

Проверка захвата

Верно или неверно: средняя скорость мяча будет меньше средней скорости мяча.

Истинно
Ложь

Поддержка учителя

[BL] [OL] Подчеркните, что движение в этой лабораторной работе — это движение мяча, катящегося по полу.Спросите студентов, где должен быть ноль.

[AL] Спросите студентов, как бы выглядел график, если бы они начали отсчет времени вверху по сравнению с основанием пандуса. Почему график должен выглядеть иначе? Чем объясняется разница?

[BL] [OL] Попросите учащихся сравнить графики, построенные с разными людьми, выполняющими разные роли. Попросите их определить и сравнить среднюю скорость для каждого интервала. Каковы были абсолютные различия в скоростях и каковы были различия в процентах? Оказываются ли различия случайными или существуют систематические различия? Почему могут существовать систематические различия между двумя наборами измерений с разными людьми в каждой роли?

[BL] [OL] Попросите учащихся сравнить графики, построенные с разными людьми, выполняющими разные роли.Попросите их определить и сравнить среднюю скорость для каждого интервала. Каковы были абсолютные различия в скоростях и каковы были различия в процентах? Оказываются ли различия случайными или существуют систематические различия? Почему могут существовать систематические различия между двумя наборами измерений с разными людьми в каждой роли?

Решение задач с использованием графиков положения и времени

Итак, как мы можем использовать графики для решения таких задач, как скорость?

Рабочий пример

Использование графика положения и времени для расчета средней скорости: Jet Car

Найдите среднюю скорость автомобиля, положение которого показано на рисунке 1.13.

Стратегия

Наклон графика d против t — это средняя скорость, поскольку наклон равен подъему за пробег.

наклон = ΔdΔt = vsсклон = ΔdΔt = v

2,7

Поскольку наклон здесь постоянный, любые две точки на графике можно использовать для определения наклона.

Решение

Выберите две точки на линии. В этом случае мы выбираем точки, помеченные на графике: (6,4 с, 2000 м) и (0,50 с, 525 м). (Обратите внимание, однако, что вы можете выбрать любые две точки.)
Подставьте значения d и t выбранных точек в уравнение. Помните, что при вычислении изменения (Δ) мы всегда используем конечное значение минус начальное значение. v = ΔdΔt = 2000 м − 525 м6,4 с − 0,50 с = 250 м / с, v = ΔdΔt = 2000 м − 525 м6,4 с − 0,50 с = 250 м / с,
2,8

Обсуждение

Это впечатляюще высокая сухопутная скорость (900 км / ч, или около 560 миль / ч): намного больше, чем типичное ограничение скорости на шоссе, равное 27 м / с или 96 км / ч, но значительно ниже рекордных 343 м. / с или 1234 км / ч, установленный в 1997 году.

Teacher Support

Если график положения представляет собой прямую линию, то единственное, что ученики должны знать для расчета средней скорости, — это наклон линии, подъем / бег. Они могут использовать любые наиболее удобные точки на линии.

А что, если график позиции сложнее прямой? Что, если объект ускоряется или поворачивается и движется назад? Можем ли мы выяснить что-нибудь о его скорости из графика такого движения? Давайте еще раз посмотрим на реактивный автомобиль.График на рис. 2.13 показывает его движение по мере набора скорости после запуска из состояния покоя. Время для этого движения начинается с нуля (как если бы оно измерялось секундомером), а смещение и скорость изначально составляют 200 м и 15 м / с соответственно.

Рис. 2.13 На диаграмме показан график положения автомобиля с реактивным двигателем в течение периода времени, когда он набирает скорость. Наклон графика зависимости расстояния от времени — это скорость. Это показано в двух точках. Мгновенная скорость в любой точке — это наклон касательной в этой точке.

Рис. 2.14 Реактивный автомобиль ВВС США едет по рельсовому пути. (Мэтт Тростле, Flickr)

График положения в зависимости от времени на рис. 2.13 представляет собой кривую, а не прямую линию. Наклон кривой становится более крутым с течением времени, показывая, что скорость увеличивается с течением времени. Наклон в любой точке графика зависимости положения от времени — это мгновенная скорость в этой точке. Его можно найти, проведя прямую касательную к кривой в интересующей точке и взяв наклон этой прямой.Касательные линии показаны для двух точек на рисунке 2.13. Средняя скорость — это чистое смещение, деленное на пройденное время.

Рабочий пример

Использование графика положения и времени для расчета средней скорости: реактивный автомобиль, дубль

Рассчитайте мгновенную скорость реактивного автомобиля за время 25 с, определив наклон касательной в точке Q на рисунке 2.13.

Стратегия

Наклон кривой в точке равен наклону прямой, касательной к кривой в этой точке.

Решение

Найдите касательную к кривой при t = 25 st = 25 s.
Определите конечные точки касательной. Это соответствует положению 1300 м за 19 с и положению 3120 м за 32 с.
Подставьте эти конечные точки в уравнение, чтобы найти наклон, v . уклон = vQ = ΔdQΔtQ = (3120−1300) м (32−19) s = 1820 м13 s = 140 м / с уклон = vQ = ΔdQΔtQ = (3120−1300) м (32−19) s = 1820 м13 s = 140 м / с
2.9

Обсуждение

Таким образом можно получить весь график v и t .

Поддержка учителя

Изогнутая линия — более сложный пример. Определите касательную как линию, которая касается кривой только в одной точке. Покажите, что, когда прямая линия меняет свой угол рядом с кривой, она на самом деле несколько раз ударяет по кривой в основании, но только одна линия никогда не соприкасается. Эта линия образует прямой угол с радиусом кривизны, но на этом уровне они могут просто взглянуть на нее.Наклон этой линии дает мгновенную скорость. Самая полезная часть этой строки состоит в том, что учащиеся могут определить, когда скорость увеличивается, уменьшается, положительная, отрицательная и нулевая.

[AL] Вы можете найти мгновенную скорость в каждой точке графика, и если вы изобразите каждую из этих точек, вы получите график скорости.

Практические задачи

15.

Рассчитайте среднюю скорость объекта, показанного на графике ниже, за весь временной интервал.

0,25 м / с
0,31 м / с
3,2 м / с
4,00 м / с

16.

Верно или неверно: Взяв наклон кривой на графике, вы можете проверить, что скорость реактивного автомобиля составляет 125 \, \ text {м / с} при t = 20 \, \ text {s}.

Истинно
Ложь

Проверьте свое понимание

17.

Какую из следующих сведений о движении можно определить, посмотрев на позицию vs.график времени, который представляет собой прямую линию?

система отсчета
среднее ускорение
скорость
Направление приложенной силы

18.

Верно или неверно: график положения и времени ускоряющегося объекта представляет собой прямую линию.

Истинно
Ложь

Teacher Support

Используйте вопросы Check Your Understanding , чтобы оценить, насколько учащиеся достигают учебных целей раздела.Если учащиеся не справляются с какой-либо конкретной целью, Check Your Understanding поможет определить, направляет учащихся к соответствующему содержанию.

Линейные уравнения в координатной плоскости (Алгебра 1, Визуализация линейных функций) — Mathplanet

Линейное уравнение — это уравнение с двумя переменными, график которого представляет собой линию. График линейного уравнения — это набор точек на координатной плоскости, которые все являются решениями уравнения. Если все переменные представляют собой действительные числа, можно изобразить уравнение, нанеся на график достаточно точек, чтобы распознать шаблон, а затем соединить точки, чтобы включить все точки.

Если вы хотите построить график линейного уравнения, у вас должно быть как минимум две точки, но обычно рекомендуется использовать более двух точек. При выборе очков старайтесь включать как положительные, так и отрицательные значения, а также ноль.

Пример

Постройте функцию y = x + 2

Начните с выбора пары значений для x, например -2, -1, 0, 1 и 2 и вычислите соответствующие значения y.

X	Y = x + 2	Заказанная пара
-2	-2 + 2 = 0	(-2, 0)
-1	-1 + 2 = 1	(-1, 1)
0	0 + 2 = 2	(0, 2)
1	1 + 2 = 3	(1, 3)
2	2 + 2 = 4	(2, 4)

Теперь вы можете просто нанести пять упорядоченных пар на координатную плоскость

На данный момент это пример дискретной функции.Дискретная функция состоит из изолированных точек.

Проведя линию через все точки и продолжая линию в обоих направлениях, мы получаем противоположность дискретной функции, непрерывную функцию, которая имеет непрерывный график.

Если вы хотите использовать только две точки для определения вашей линии, вы можете использовать две точки, где график пересекает оси. Точка, в которой график пересекает ось x, называется точкой пересечения по оси x, а точка, в которой график пересекает ось y, называется точкой пересечения по оси y.Пересечение по оси x находится путем нахождения значения x, когда y = 0, (x, 0), а точка пересечения по оси y находится путем нахождения значения y, когда x = 0, (0, y).

Стандартная форма линейного уравнения —

$$ Ax + By = C, \: \: A, B \ neq 0 $$

Прежде чем вы сможете построить линейное уравнение в его стандартной форме, вы сначала должны решить уравнение относительно y.

$$ 2y-4x = 8 $$

$$ 2y-4x \, {\ color {green} {+ \, 4x}} = 8 \, {\ color {green} {+ \, 4x}} $$

$$ 2y = 4x + 8 $$

$$ \ frac {2y} {{\ color {green} 2}} = \ frac {4x} {{\ color {green} 2}} + \ frac {8} {{\ color {green} 2}}

$$ y = 2x + 4 $$

Отсюда вы можете построить уравнение, как в примере выше.

График y = a представляет собой горизонтальную линию, где прямая проходит через точку (0, a)

В то время как график x = a представляет собой вертикальную линию, проходящую через точку (a, 0)

Видеоурок

Постройте график линейного уравнения y = 3x — 2

Система линейных уравнений — Линейная алгебра с приложениями

Практические задачи во многих областях науки, таких как биология, бизнес, химия, информатика, экономика, электроника, инженерия, физика и социальные науки, часто можно свести к решению системы линейных уравнений.Линейная алгебра возникла в результате попыток найти систематические методы решения этих систем, поэтому естественно начать эту книгу с изучения линейных уравнений.

Если, и — действительные числа, график уравнения вида

— прямая линия (если и не равны нулю), поэтому такое уравнение называется линейным уравнением в переменных и. Однако часто удобно записывать переменные как, особенно когда задействовано более двух переменных.Уравнение вида

называется линейным уравнением в переменных. Здесь обозначают действительные числа (называемые коэффициентами соответственно), а также число (называемое постоянным членом уравнения). Конечный набор линейных уравнений с переменными называется системой линейных уравнений с этими переменными. Следовательно,

— линейное уравнение; коэффициенты при, и равны, и, а постоянный член равен.Обратите внимание, что каждая переменная в линейном уравнении встречается только в первой степени.

Для линейного уравнения последовательность чисел называется решением уравнения, если

, то есть, если уравнение удовлетворяется при выполнении замен. Последовательность чисел называется решением системы уравнений, если она является решением каждого уравнения в системе.

Система может вообще не иметь решения, может иметь уникальное решение или может иметь бесконечное семейство решений.Например, система не имеет решения, потому что сумма двух чисел не может быть одновременно 2 и 3. Система, у которой нет решения, называется несогласованной ; система с хотя бы одним решением называется согласованная .

Покажите, что для произвольных значений и

— это решение системы

Просто подставьте эти значения,, и в каждое уравнение.

Поскольку оба уравнения удовлетворяются, это решение для любого выбора и.

Величины и в этом примере называются параметрами , а набор решений, описанный таким образом, считается заданным в параметрической форме и называется общим решением для системы. Оказывается, что решения каждой системы уравнений (если есть решения ) могут быть даны в параметрической форме (то есть переменные,, даны в терминах новых независимых переменных и т. Д. .).

Когда задействованы только две переменные, решения систем линейных уравнений могут быть описаны геометрически, потому что график линейного уравнения представляет собой прямую линию, если и не оба равны нулю. Более того, точка с координатами и лежит на прямой тогда и только тогда, когда — то есть когда, является решением уравнения. Следовательно, решения системы линейных уравнений соответствуют точкам, которые лежат на всех рассматриваемых линиях.

В частности, если система состоит только из одного уравнения, должно быть бесконечно много решений, потому что на прямой бесконечно много точек. Если система имеет два уравнения, есть три возможности для соответствующих прямых:

Линии пересекаются в одной точке. Тогда в системе есть уникальное решение , соответствующее этой точке.
Линии параллельны (и четкие) и не пересекаются. Тогда в системе нет решения .
Строки идентичны. Тогда в системе будет бесконечно много решений — по одному для каждой точки на (общей) прямой.

С тремя переменными график уравнения может быть показан как плоскость и, таким образом, снова дает «картину» множества решений. Однако у этого графического метода есть свои ограничения: когда задействовано более трех переменных, физическое изображение графов (называемых гиперплоскостями) невозможно. Необходимо обратиться к более «алгебраическому» методу решения.

Перед описанием метода мы вводим понятие, упрощающее вычисления. Рассмотрим следующую систему

трех уравнений с четырьмя переменными. Массив чисел

, встречающееся в системе, называется расширенной матрицей системы. Каждая строка матрицы состоит из коэффициентов переменных (по порядку) из соответствующего уравнения вместе с постоянным членом. Для наглядности константы разделены вертикальной линией.Расширенная матрица — это просто другой способ описания системы уравнений. Массив коэффициентов при переменных

называется матрицей коэффициентов системы, а
называется постоянной матрицей системы.

Элементарные операции

Алгебраический метод решения систем линейных уравнений описывается следующим образом. Две такие системы называются эквивалентом , если они имеют одинаковый набор решений.Система решается путем написания серии систем, одна за другой, каждая из которых эквивалентна предыдущей системе. Каждая из этих систем имеет тот же набор решений, что и исходная; цель состоит в том, чтобы получить систему, которую легко решить. Каждая система в серии получается из предыдущей системы простой манипуляцией, выбранной так, чтобы она не меняла набор решений.

В качестве иллюстрации мы решаем систему таким образом. На каждом этапе отображается соответствующая расширенная матрица.Исходная система —

Сначала вычтите дважды первое уравнение из второго. В результате получается система

, что эквивалентно оригиналу. На этом этапе мы получаем, умножив второе уравнение на. В результате получается эквивалентная система

Наконец, мы дважды вычитаем второе уравнение из первого, чтобы получить другую эквивалентную систему.

Теперь эту систему легко решить! И поскольку он эквивалентен исходной системе, он обеспечивает решение этой системы.

Обратите внимание, что на каждом этапе в системе (и, следовательно, в расширенной матрице) выполняется определенная операция для создания эквивалентной системы.

Следующие операции, называемые элементарными операциями , могут в обычном порядке выполняться над системами линейных уравнений для получения эквивалентных систем.

Поменяйте местами два уравнения.
Умножьте одно уравнение на ненулевое число.
Добавьте одно уравнение, кратное одному, к другому уравнению.

Предположим, что последовательность элементарных операций выполняется над системой линейных уравнений. Тогда результирующая система имеет тот же набор решений, что и исходная, поэтому две системы эквивалентны.

Элементарные операции, выполняемые над системой уравнений, производят соответствующие манипуляции с строками расширенной матрицы. Таким образом, умножение строки матрицы на число означает умножение каждой записи строки на.Добавление одной строки к другой означает добавление каждой записи этой строки к соответствующей записи другой строки. Аналогично производится вычитание двух строк. Обратите внимание, что мы считаем две строки равными, если соответствующие записи совпадают.

В ручных вычислениях (и в компьютерных программах) мы манипулируем строками расширенной матрицы, а не уравнениями. По этой причине мы переформулируем эти элементарные операции для матриц.

Следующие операции называются операциями с элементарной строкой матрицы.

Поменять местами два ряда.
Умножить одну строку на ненулевое число.
Добавьте одну строку, кратную одной, в другую строку.

На иллюстрации выше серия таких операций привела к матрице вида

, где звездочки обозначают произвольные числа. В случае трех уравнений с тремя переменными цель состоит в том, чтобы получить матрицу вида

Это не всегда происходит, как мы увидим в следующем разделе.Вот пример, в котором это действительно происходит.

Решение:
Расширенная матрица исходной системы —

Чтобы создать в верхнем левом углу, мы можем умножить строку с 1 на. Однако можно получить без введения дробей, вычтя строку 2 из строки 1. Результат:

Верхний левый угол теперь используется для «очистки» первого столбца, то есть для создания нулей в других позициях в этом столбце.Сначала отнимите строку 1 от строки 2, чтобы получить

Следующее вычитание умножить на строку 1 из строки 3. Результат:

Это завершает работу над столбцом 1. Теперь мы используем во второй позиции второй строки, чтобы очистить второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и затем добавляя строку 2 к строке 3. Для удобства обе операции со строками сделано за один шаг. Результат

Обратите внимание, что две последние манипуляции не повлияли на первый столбец (во второй строке там стоит ноль), поэтому наши предыдущие усилия там не были подорваны.Наконец, мы очищаем третий столбец. Начните с умножения строки 3 на, чтобы получить

Теперь вычтите временную строку 3 из строки 1, а затем добавьте умноженную строку 3 к строке 2, чтобы получить

Соответствующие уравнения:, и, которые дают (единственное) решение.

Алгебраический метод, представленный в предыдущем разделе, можно резюмировать следующим образом: Для данной системы линейных уравнений используйте последовательность элементарных операций со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в «красивую» матрицу (что означает, что соответствующие уравнения легко решить. ).В примере 1.1.3 эта красивая матрица приняла вид

Следующие определения определяют хорошие матрицы, возникающие в этом процессе.

Считается, что матрица находится в виде эшелона строки (и будет называться матрицей строка-эшелон , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

Все нулевых строк (полностью состоящие из нулей) находятся внизу.
Первая ненулевая запись слева в каждой ненулевой строке — это a, называемая ведущей для этой строки.
Каждый ведущий элемент находится справа от всех ведущих строк в строках над ним.

Матрица-эшелон называется сокращенной формой (и будет называться сокращенной матрицей-эшелоном , если, кроме того, она удовлетворяет следующему условию:

)

4. Каждый ведущий элемент — это единственная ненулевая запись в своем столбце.

Матрицы «строка-эшелон» имеют форму «ступеньки», как показано в следующем примере (звездочки указывают произвольные числа).

Ведущие элементы проходят через матрицу «вниз и вправо». Записи выше и справа от ведущих s произвольны, но все записи ниже и слева от них равны нулю. Следовательно, матрица в виде эшелона строк находится в сокращенной форме, если, кроме того, все элементы непосредственно над каждым ведущим равны нулю. Обратите внимание, что матрица в форме эшелона строк может с помощью нескольких дополнительных операций со строками быть приведена к сокращенной форме (используйте операции со строками, чтобы последовательно создавать нули над каждой ведущей единицей, начиная справа).

Важность матриц строка-эшелон вытекает из следующей теоремы.

Каждая матрица может быть приведена к (сокращенной) форме строки-эшелона последовательностью элементарных операций со строками.

Фактически, мы можем дать пошаговую процедуру для фактического нахождения матрицы ряда строк. Обратите внимание: несмотря на то, что существует множество последовательностей операций со строками, которые приведут матрицу к форме ряда строк, та, которую мы используем, является систематической и ее легко программировать на компьютере. Обратите внимание, что алгоритм имеет дело с матрицами в целом, возможно, со столбцами нулей.

Шаг 1. Если матрица полностью состоит из нулей, остановитесь — она уже в виде эшелона строк.

Шаг 2. В противном случае найдите первый столбец слева, содержащий ненулевую запись (назовите его), и переместите строку, содержащую эту запись, в верхнюю позицию.

Шаг 3. Теперь умножьте новую верхнюю строку на, чтобы создать интерлиньяж.

Шаг 4. Вычитая числа, кратные этой строке, из строк под ней, сделайте каждую запись ниже начального нуля. Это завершает первую строку, и все дальнейшие операции со строками выполняются с оставшимися строками.

Шаг 5. Повторите шаги 1–4 для матрицы, состоящей из оставшихся строк.

Процесс останавливается, когда либо на шаге 5 не остается строк, либо оставшиеся строки состоят полностью из нулей.

Обратите внимание на то, что алгоритм Гаусса является рекурсивным: после получения первого интервала процедура повторяется для оставшихся строк матрицы. Это упрощает использование алгоритма на компьютере. Обратите внимание, что в решении примера 1.1.3 не использовался гауссовский алгоритм в том виде, в каком он был написан, потому что первый ведущий не был создан путем деления строки 1 на.Причина этого в том, что он избегает дробей. Однако общий шаблон ясен: создайте ведущие слева направо, используя каждый из них по очереди, чтобы создать нули под ним. Вот один пример.

Решение:

Соответствующая расширенная матрица —

Создайте первую ведущую, поменяв местами строки 1 и 2

Теперь вычтите умноженную строку 1 из строки 2 и вычтите умноженную строку 1 из строки 3.Результат

Теперь вычтите строку 2 из строки 3, чтобы получить

Это означает, что следующая сокращенная система уравнений

эквивалентен исходной системе. Другими словами, у них одинаковые решения. Но эта последняя система явно не имеет решения (последнее уравнение требует этого и удовлетворяет, а таких чисел не существует). Следовательно, исходная система не имеет решения.

Для решения линейной системы расширенная матрица преобразуется в сокращенную форму строки-эшелон, а переменные, соответствующие ведущим, называются ведущими переменными .Поскольку матрица представлена в сокращенной форме, каждая ведущая переменная встречается ровно в одном уравнении, поэтому это уравнение может быть решено для получения формулы для ведущей переменной в терминах не ведущих переменных. Принято называть нелидирующие переменные «свободными» переменными и маркировать их новыми переменными, называемыми параметрами . Каждый выбор этих параметров приводит к решению системы, и каждое решение возникает таким образом. Эта процедура в целом работает и получила название

Для решения системы линейных уравнений выполните следующие действия:

Перенести расширенную матрицу \ index {расширенная матрица} \ index {матрица! Расширенная матрица} в сокращенную матрицу-эшелон строк, используя элементарные операции со строками.
Если возникает строка, система несовместима.
В противном случае присвойте не ведущие переменные (если они есть) в качестве параметров и используйте уравнения, соответствующие сокращенной матрице строки-эшелон, чтобы найти ведущие переменные в терминах параметров.

Существует вариант этой процедуры, в котором расширенная матрица переносится только в строчно-эшелонированную форму. Не ведущие переменные, как и раньше, назначаются как параметры. Затем последнее уравнение (соответствующее форме строки-эшелона) используется для решения последней ведущей переменной в терминах параметров.Эта последняя ведущая переменная затем подставляется во все предыдущие уравнения. Затем второе последнее уравнение дает вторую последнюю ведущую переменную, которая также подставляется обратно. Процесс продолжает давать общее решение. Эта процедура называется обратной заменой . Можно показать, что эта процедура численно более эффективна и поэтому важна при решении очень больших систем.

Рейтинг

Можно доказать, что уменьшенная строка-эшелонированная форма матрицы однозначно определяется.То есть, независимо от того, какая серия операций со строками используется для переноса в сокращенную матрицу с эшелонированием строк, результатом всегда будет одна и та же матрица. Напротив, это неверно для матриц ряда строк: разные серии операций со строками могут переносить одну и ту же матрицу в разные матрицы эшелонов строк. В самом деле, матрица может быть перенесена (с помощью одной строковой операции) в матрицу-эшелон строк, а затем с помощью другой строковой операции в (сокращенную) матрицу-эшелон. Однако — это верно, что количество ведущих единиц должно быть одинаковым в каждой из этих матриц строки-эшелон (это будет доказано позже).Следовательно, количество зависит только от того, каким образом приведено в строй.

Ранг матрицы — это количество ведущих s в любой матрице-эшелоне строки, в которую можно переносить операции со строками.

Вычислить ранг.

Решение:

Приведение к строительной форме

Так как эта матрица эшелонов строк имеет два ведущих s, rank.

Предположим, что ранг, где — матрица со строками и столбцами.Тогда потому что ведущие s лежат в разных строках, и потому что ведущие s лежат в разных столбцах. Более того, у ранга есть полезное приложение к уравнениям. Напомним, что система линейных уравнений называется непротиворечивой, если она имеет хотя бы одно решение.

Проба:

Тот факт, что ранг расширенной матрицы равен, означает, что есть ровно ведущие переменные и, следовательно, точно не ведущие переменные. Все эти нелидирующие переменные назначаются как параметры в гауссовском алгоритме, поэтому набор решений включает в себя именно параметры.Следовательно, если существует хотя бы один параметр, а значит, бесконечно много решений. Если, нет параметров и поэтому единственное решение.

Теорема 1.2.2 показывает, что для любой системы линейных уравнений существуют ровно три возможности:

Нет решения . Это происходит, когда ряд встречается в форме эшелона строк. Это тот случай, когда система несовместима.
Уникальное решение . Это происходит, когда каждая переменная является ведущей переменной.
Бесконечно много решений . Это происходит, когда система согласована и есть хотя бы одна не ведущая переменная, поэтому задействован хотя бы один параметр.

https://www.geogebra.org/m/cwQ9uYCZ
Пожалуйста, ответьте на эти вопросы после открытия веб-страницы:
1. Для данной линейной системы, что представляет каждая из них?

2. Что можно сказать о решениях, исходя из графика? Есть ли у системы одно решение, нет решения или бесконечно много решений? Почему

3.Измените постоянный член в каждом уравнении на 0, что изменилось на графике?

4. Для следующей линейной системы:

Можете ли вы решить это методом исключения Гаусса? Что вы наблюдаете, глядя на график?

Многие важные проблемы включают линейных неравенств , а не линейных уравнений Например, условие для переменных может принимать форму неравенства, а не равенства.Существует метод (называемый симплексным алгоритмом ) для поиска решений системы таких неравенств, который максимизирует функцию вида где и — фиксированные константы.

Система уравнений с переменными называется однородной , если все постоянные члены равны нулю, то есть если каждое уравнение системы имеет вид

Очевидно, решение такой системы; это называется тривиальным решением .Любое решение, в котором хотя бы одна переменная имеет ненулевое значение, называется нетривиальным решением .
Наша главная цель в этом разделе — дать полезное условие, при котором однородная система имеет нетривиальные решения. Следующий пример поучителен.

Покажите, что следующая однородная система имеет нетривиальные решения.

Решение:

Приведение расширенной матрицы к сокращенной форме эшелона строк описано ниже.

Ведущими переменными являются,, и, например, назначается в качестве параметра.Тогда общее решение:,,,. Следовательно, взяв (скажем), мы получим нетривиальное решение:,,,.

Существование нетривиального решения в примере 1.3.1 обеспечивается наличием параметра в решении. Это связано с тем, что существует непервичная переменная () (в данном случае). Но здесь должно быть не ведущей переменной, потому что здесь четыре переменные и только три уравнения (и, следовательно, не более три ведущие переменные).Это обсуждение обобщает доказательство следующей основной теоремы.

Если однородная система линейных уравнений имеет больше переменных, чем уравнений, то она имеет нетривиальное решение (фактически бесконечно много).

Проба:

Предположим, что есть уравнения в переменных, где, и пусть обозначают сокращенную строчно-эшелонированную форму расширенной матрицы. Если есть ведущие переменные, есть не ведущие переменные и, следовательно, параметры. Следовательно, достаточно показать это.Но потому что имеет ведущие единицы и строки, и по гипотезе. Итак, что дает.

Обратите внимание, что обратное утверждение теоремы 1.3.1 неверно: если однородная система имеет нетривиальные решения, она не должна иметь больше переменных, чем уравнения (система имеет нетривиальные решения, но.)

Теорема 1.3.1 очень полезна в приложениях. В следующем примере представлена иллюстрация из геометрии.

Мы называем график уравнения конической , если не все числа, и равны нулю.Покажите, что есть хотя бы одна коника, проходящая через любые пять точек на плоскости, которые не все лежат на одной прямой.
Решение:
Пусть координаты пяти точек будут,,, и. График проходов if
Это дает пять уравнений, по одному для каждого, линейных по шести переменным,,,,, и. Следовательно, по теореме 1.1.3 существует нетривиальное решение. Если все пять точек лежат на линии с уравнением, вопреки предположению. Следовательно, один из « отличен от нуля.
Линейные комбинации и базовые решения
Что касается строк, два столбца считаются равными , если они имеют одинаковое количество записей и соответствующие записи одинаковы. Позвольте и быть столбцами с одинаковым количеством записей. Что касается операций с элементарными строками, их сумма получается путем сложения соответствующих записей, и, если это число, скалярное произведение определяется путем умножения каждой записи на. Точнее:
Сумма скалярных кратных нескольких столбцов называется линейной комбинацией этих столбцов.Например, это линейная комбинация и для любого выбора чисел и.
Решение:
Для, мы должны определить, существуют ли числа, и такие, что, то есть
Приравнивание соответствующих элементов дает систему линейных уравнений,, и для,, и. Путем исключения Гаусса решение есть, и где — параметр. Взяв, мы видим, что это линейная комбинация, и.
Обращаясь к, снова ищем, и такие, что; то есть
, что приводит к уравнениям,, и для действительных чисел, и.Но на этот раз существует нет решения , как может проверить читатель, а также , а не , линейная комбинация, и.
Наш интерес к линейным комбинациям проистекает из того факта, что они предоставляют один из лучших способов описания общего решения однородной системы линейных уравнений. Когда
решает такую систему с переменными, запишите переменные в виде матрицы столбцов:. Обозначается тривиальное решение. В качестве иллюстрации, общее решение в
Пример 1.3.1 — это,, и, где — параметр, и теперь мы могли бы выразить это как
, говоря, что общее решение -, где произвольно.
Теперь пусть и — два решения однородной системы с переменными. Тогда любая линейная комбинация этих решений снова оказывается решением системы. В более общем плане:
Фактически, предположим, что типичное уравнение в системе имеет вид, и предположим, что
, являются решениями. Потом и
.
Следовательно, это тоже решение, потому что
Аналогичный аргумент показывает, что Утверждение 1.1 верно для линейных комбинаций более двух решений.
Примечательно то, что каждое решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию определенных частных решений, и, по сути, эти решения легко вычисляются с использованием гауссовского алгоритма. Вот пример.
Решить однородную систему с матрицей коэффициентов
Решение:
Приведение дополненной матрицы к уменьшенной форме —
, поэтому решения являются,,, и методом исключения Гаусса.Следовательно, мы можем записать общее решение в матричной форме
Вот и частные решения, определяемые гауссовским алгоритмом.
Решения и в примере 1.3.5 обозначены следующим образом:
Алгоритм Гаусса систематически выдает решения для любой однородной линейной системы, называемые базовыми решениями , по одному для каждого параметра.
Кроме того, алгоритм дает стандартный способ выразить каждое решение как линейную комбинацию базовых решений, как в Примере 1.3.5, где общее решение принимает вид
Следовательно, вводя новый параметр, мы можем умножить исходное базовое решение на 5 и, таким образом, исключить дроби.
По этой причине:
Любое ненулевое скалярное кратное базового решения будет по-прежнему называться базовым решением.
Таким же образом алгоритм Гаусса выдает базовые решения для каждой однородной системы, по одному для каждого параметра (есть нет базовых решений, если система имеет только тривиальное решение).Более того, каждое решение задается алгоритмом как линейная комбинация
этих базовых решений (как в Примере 1.3.5). Если имеет ранг, теорема 1.2.2 показывает, что есть ровно параметры, а значит, и базовые решения. Это доказывает:
Найдите основные решения однородной системы с матрицей коэффициентов и выразите каждое решение как линейную комбинацию основных решений, где
Решение:
Приведение расширенной матрицы к сокращенной строчно-эшелонированной форме —
, поэтому общее решение — это,,,, и где, и — параметры.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Линейная функция

График линейной функции

Прямые, параллельные оси ординат

Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

Примеры для самостоятельного решения к теме 6

Диагностическая работа по алгебре «Входной мониторинг»

линалгебра_2011_студентам_в2003 — Стр 3

теория, примеры, решение задач, угол наклона прямой к оси х

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Mathway | Популярные задачи

Каноническое уравнение параболы

Исследование формы параболы

Примеры с решением

Графические линейные уравнения с двумя переменными — Элементарная алгебра

Цели обучения

Распознавать взаимосвязь между решениями уравнения и его графика

Построение линейного уравнения по точкам

График вертикальные и горизонтальные линии

Ключевые концепции

Повседневная математика

Письменные упражнения

Самопроверка

Использование наклонно-отрезной формы уравнения прямой — элементарная алгебра

Цели обучения

Распознайте связь между графиком и формой наклона-пересечения в уравнении прямой

Определите наклон и

Выберите наиболее удобный метод построения графика линии

График и интерпретация углов наклона и пересечения

Использование уклонов для определения перпендикулярных линий

Практика ведет к совершенству

Повседневная математика

Письменные упражнения

Самопроверка

Глоссарий

Прямые уравнения: параллельные и перпендикулярные прямые

Purplemath

Учитывая прямую 2

(а) параллельно данной линии, а

(б) перпендикулярно ему.

MathHelp.com

Для какого значения

Каково расстояние между линиями, заданными уравнениями 3

Обучение линейным уравнениям в математике

Что такое линейное уравнение?

Описание линейных отношений

Как выглядит линейное уравнение?

2.3 Графики положения и времени — Физика

Раздел Цели обучения

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Раздел Ключевые термины

Поддержка учителя

Поддержка учителя

Графическое положение как функция времени

Советы для успеха

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Демонстрация учителей

Snap Lab

Построение графика движения

Проверка захвата

Поддержка учителя

Поддержка учителя

Решение задач с использованием графиков положения и времени

Рабочий пример

Использование графика положения и времени для расчета средней скорости: Jet Car

Стратегия

Teacher Support

Teacher Support

Рабочий пример

Использование графика положения и времени для расчета средней скорости: реактивный автомобиль, дубль

Стратегия

Поддержка учителя

Поддержка учителя

Практические задачи

Проверьте свое понимание