На рисунке 28 представлены графики движения трех тел какое из этих тел: 84 балл! Помогите, срочно 1. На рисунке 28 представлены графики движения трех тел. Какое из этих тел движется с наименьшей скоростью в момент времени t = 2 с? 2. По графику движения (см. рис.28) опр... - Управленческое образование

Содержание

КИНЕМАТИКА. 4 ВАРИАНТ. 9 класс.

КИНЕМАТИКА. 4 ВАРИАНТ. 9 класс.
Предмет    Физика
Класс    9
Учебник    Физика
Тема    Глава 1. Законы взаимодействия и движения тел
________________________________________
Вопрос №1
При равномерном движении пешеход за 6 с проходит путь 9 м Какой путь он пройдет при движении с той же скоростью за 2 с?
A) 2 м.
B) 3 м.
C) 6 м.
D) 9 м.
Вопрос №2

На рисунке 1 представлен график зависимости пути, пройденного велосипедистом, от времени. Определите по этому графику путь, пройденный велосипедистом за интервал времени от t1 =3 с до t2 = 5 с.
A) 6 м.
B) 3 м.
C) 9 м.
D) 12 м.
Вопрос №3
По графику, представленному на рисунке 1, определите скорость движения ве-лосипедиста в момент времени t=5 с.
A) 1,5 м/с.
B) 3 м/с.
C) 6 м/с.
D) 12 м/с.
Вопрос №4
Пловец плывет против течения реки, скорость его относительно берега реки 1,5 м/с, скорость течения реки 0,5 м/с

Чему равна скорость пловца относительно воды?
A) 0,5 м/с.
B) 1 м/с.
C) 1,5 м/с.
D) 2 м/с.
Вопрос №5

На рисунке представле¬ны графики зависимости модулей скорости от времени для трех тел, движущихся прямо¬линейно. Какой из графиков соответствует равноускоренному движению, при котором вектор ускорения совпадает по направлению с вектором скорости?
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) Все три графика.
Вопрос №6

По графику зависимости модуля скорости от времени, представленному на рисунке 4, определите ускорение прямолинейно движущегося тела в момент времени t = 4 с?
A) 2 м/с2.
B) 4 м/с2.
C) 0,5 м/с2.
D) 1 м/с2.
Вопрос №7

На рисунке 5 представлены графики зависимости от времени модулей скорости движения пяти тел. Какое из этих тел движется с наименьшей скоростью в момент времени t = 2 с?
A) 1.
B) 2.
C) 3.

D) 4.
E) 5.
Вопрос №8
Какой путь будет пройден телом при свободном падении за 6 с? Начальная скорость равна нулю, ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.
A) 90 м.
B) 180 м.
C) 60 м.
D) 360 м.
Вопрос №9
Как изменится центростремительное ускорение тела, если оно будет двигаться равномерно по окружности вдвое меньшего радиуса с той же скоростью?
A) Увеличится в 2 раза.
B) Увеличится в 4 раза.
C) Уменьшится в 2 раза.
D) Уменьшится в 4 раза.
Вопрос №10
Чему равно отношение путей, пройденных телом за 4 с и за 5. с,после начала свободного падения?
A) 4 : 5.
B) 1 : 2.
C) 16 : 25.
D) 2 : 5.

Правильные ответы, решения к тесту:
Вопрос №1
Правильный ответ — B
Решение: 3 м.
Вопрос №2
Правильный ответ — A
Решение: 6 м.
Вопрос №3
Правильный ответ — B
Решение: 3 м/с.
Вопрос №4
Правильный ответ — D
Решение: 2 м/с.
Вопрос №5
Правильный ответ — A
Решение: 1.
Вопрос №6
Правильный ответ — C
Решение: 0,5 м/с2.
Вопрос №7
Правильный ответ — B
Решение: 2.
Вопрос №8
Правильный ответ — B
Решение: 180 м.
Вопрос №9
Правильный ответ — A
Решение: Увеличится в 2 раза.
Вопрос №10
Правильный ответ — C
Решение: 16 : 25.

А. 60 м Б. 100 м В

Вариант1

Велосипедист, двигаясь равномерно, проезжает 20м за 2с.
Определите, какой путь он проедет при движении с той же скоростью за 10с.
А. 60 м Б. 100 м В. 150 м
На рисунке 23 приведен график зависимости пути при движении
велосипедиста от времени. Определите по этому графику путь,
который проехал велосипедист в промежуток времени от 1 до 4с.
А. 9 м Б. 12 м В. 15 м

рис.23 рис.24 рис.25

По графику (см. рис.23) определите скорость движения велосипедиста
в момент времени t = 2c.
А. 3 м/с Б. 6 м/с В. 10 м/с
На рис.24 представлены графики движения трех тел.
Какое из этих тел движется с наибольшей по модулю скоростью
в момент времени t = 5c.
А. 1 Б. 2 В. 3
По графику (см. рис.24) определите скорость движения первого тела
в момент времени t = 5c.
А. 5 м/с Б. 0 м/с В. 4 м/с
По графику (см. рис.25) определите время и место встречи первого и второго тел.
А. 2с, 5м Б. 4с,10м В. 5с,15м
Запишите уравнение движения x = x(t) второго тела (см. рис.25).
А. x = 15 + 2t Б. x = 3t В. x = 15
Движение тела описывается уравнением x = 4 – t.
На каком из графиков (рис.26) представлена зависимость
координаты этого тела от времени?
Катер плывет против течения реки. Какова скорость катера относительно берега,
если скорость катера относительно воды 4 м/с, а скорость течения реки 3 м/с.
А. 7 м/с Б. 5 м/с В. 1 м/с
Поезд прошел первые 40 км со скоростью 80 км/ч,
а следующие 50 км – со скоростью 100км/ч.
Определите среднюю скорость поезда на всем пути.
А. 95 км/ч Б. 85 км/ч В. 90 км/ч

Вариант2

Автомобиль, двигаясь равномерно, проехал 50м за 2с.
Какой путь он проедет за 20с, двигаясь с той же скоростью?
А. 500 м Б. 1000 м В. 250 м
Определите по графику зависимости пути от времени (рис.27)
путь, пройденный телом за промежуток времени от 3 до 5 с.
А. 9 м Б. 12 м В. 15 м

По графику (см. рис.27) определите скорость движения тела
в момент времени t = 4c.
А. 5 м/с Б. 3 м/с В. 6 м/с
На рис.28 представлены графики движения трех тел.
Какое из этих тел движется с наименьшей скоростью
в момент времени t = 2c.
А. 1 Б. 2 В. 3
По графику движения (см. рис.28) определите скорость движения второго тела
в момент времени t = 6c.
А. 0 м/с Б. 3,3 м/с В. 6,6 м/с
По графику (см. рис.29) определите время и место встречи первого и второго тел.
А. 2с, 10м Б. 1с, 5м В. 3с, 6м
Запишите уравнение движения x = x(t) первого тела (см. рис.29).
А. x = 30 + 10t Б. x = 5t В. x = 30 — 10t
Движение тела описывается уравнением x = t.
На каком из графиков (рис.30) представлена зависимость
координаты этого тела от времени?

Равномерное прямолинейное движение — тест. Равномерное прямолинейное движение — тест Прямолинейное неравномерное движение тест 2 вариант 1

Вариант 1

а ) игла падает со стола _________ ;
б ) игла движется при работе машины ________?

2. Прямолинейным равномерным движением называется движение, при котором тело ________ совершает __________ .

а ) дерево:
x = ________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _______ .

s 1 и s 2 на оси координат:

s 1x = _____ , s 2x = ______ ,
s 2x = _____ , s 2y = ______.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 20 мин перемещается на 20 км, то:

– за 5 мин оно перемещается на ____________ ,
– за 2 ч оно перемещается на _______________ .

v 1x = __________,

v 2x = __________ ;

б ) расстояние l t = 4 с:
l = ____________ .

x 1 = ___ ,
x 2 = _____ font-size:10.0pt;font-family:» arial cyr>.

t = ____________ ,
x = _____________ .

10. С какой скоростью относительно Земли будет опускаться парашютист в восходящем потоке воздуха, если скорость парашютиста относительно воздуха 5 м/с, а скорость потока относительно Земли 4 м/с?

v = _____________ .

Вариант 2

Тест № 1. Равномерное прямолинейное движение

а ) космонавт перемещается в космическом корабле ____ ;
б ) космонавт в космическом корабле обращается вокруг Земли ___?

2. Скоростью равномерного прямолинейного движения называется_________________величина, равная _______________ __________________________ к промежутку времени _____________________________________________________ .

3. Определите координату пешехода, взяв за тело отсчета:

а ) дерево:
x = ____________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _____________ .

4. Определите проекции векторов s 1 и s 2 на оси координат:

s 1x = ___ ,

s 2x = ___ ,
s 1y = ___ , s 2y = ____.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 5 c перемещается на 25 м, то:

– за 2 с оно перемещается на _____________ ,
– за 1 мин оно перемещается на ___________________ .

6. В таблице даны координаты двух движущихся тел для определенных моментов времени.

7. По графикам движения определите:

а ) проекцию скорости каждого тела:
v 1x = ______________,
v 2x = ______________ ;
б ) расстояние l между телами в момент времени t = 4 с:
l = __________________

8. На рисунке показаны положения двух маленьких шариков в начальный момент времени и их скорости. Запишите уравнения движения этих тел.

x 1 = ___________ ,
x 2 = ___________ ;

9. Пользуясь условием предыдущего вопроса, постройте графики движения шариков и найдите время и место их столкновения.

t = ___________ ,
x = ___________ .

10. В неподвижной воде пловец плывет со скоростью 2 м/с. Когда он плывет по реке против течения, его скорость относительно берега равна 0,5 м/с вниз по течению. Чему равна скорость течения?

v = ____________

Вариант 3

Тест № 1. Равномерное прямолинейное движение

а ) поезд въезжает на станцию ________________;
б ) поезд движется между станциями ___________?

2. Поступательным называется движение, при котором ___________________ ________________________ .

3. Определите координату пешехода, взяв за тело отсчета:

а ) дерево:
x = ________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _______ .

4. Определите проекции векторов s 1 и s 2 на оси координат:

s 1x = _____ ,

s 2x = ______ ,
s 1y = _____ , s 2y = ______.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 2 ч перемещается на 100 км, то:

– за 0,5 ч оно перемещается на ______________ ,
– за 3 ч оно перемещается на ________________ .

6. В таблице даны координаты двух движущихся тел для определенных моментов времени.

7. По графикам движения определите:

а ) проекцию скорости каждого тела:

v 1x = __________,

v 2x = __________;

б ) расстояние l между телами в момент времени t = 4 с:

l = ____________ .

8. На рисунке показаны положение двух маленьких шариков в начальный момент времени и их скорости. Запишите уравнения движения этих тел:

x 1 = ______ ,
x 2 = ______ .

9. Пользуясь условием предыдущего вопроса, постройте графики движения шариков и найдите время и место их столкновения:

t = _____________ ,

x = _____________ .

10. По реке, скорость течения которой 2 км/ч, плывет бревно. По бревну в том же направлении бежит мышонок. С какой скоростью относительно бревна бежит мышонок, если его скорость относительно берега 2,5 км/ч?

v = _______________ .

Вариант 4

Тест № 1. Равномерное прямолинейное движение

а ) автомобиль движется по шоссе _____________;
б ) автомобиль въезжает в гараж ______________?

2. Скорость тела относительно ______________ системы координат равна _________ сумме скорости ________ относительно ________ и скорости ____________ относительно ___________.

3. Определите координату пешехода, взяв за тело отсчета:

а ) дерево:
x = ________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _______ .

4. Определите проекции векторов s 1 и s 2 на оси координат:

s 1x = ______ , s 2x = ______ ,
s 1y = ______ , s 2y = ______.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 1 мин перемещается на 120 м, то:

– за 10 с оно перемещается на _________________
– за 5 мин оно перемещается на ________________ .

6. В таблице даны координаты двух движущихся тел для определенных моментов времени.

Можно ли считать данные движения равно — мерными?

7. По графикам движения определите:

а ) проекцию скорости каждого тела:

v 1x = __________,

v 2x = __________ .

б ) расстояние l между телами в момент времени t = 4 с:

l = ____________ .

8. На рисунке показаны положения двух маленьких шариков в начальный момент времени и их скорости. Запишите уравнения движения этих тел:

x 1 = ______ ,
x 2 = ______ .

t = _____________ ,
x = _____________ .

10. Эскалатор движется вниз со скоростью 0,6 м/с относительно Земли. Вверх по эскалатору бежит человек со скоростью 1,4 м/с относительно эскалатора. Чему равна скорость человека относительно Земли?

v = _______________ .

с. 1
Вариант 1

а ) игла падает со стола _________ ;
б ) игла движется при работе машины ________?

2. Прямолинейным равномерным движением называется движение, при котором тело ________ совершает __________ .

а ) дерево:
x = ________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _______ .

s 1 и s 2 на оси координат:

s 1 x = _____ , s 2 x = ______ ,
s 2 x = _____ , s 2 y = ______.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 20 мин перемещается на 20 км, то:

– за 5 мин оно перемещается на ____________ ,
– за 2 ч оно перемещается на _______________ .

7. По графикам движения определите:

v 1 x = __________,

v 2 x = __________ ;

б ) расстояние l t = 4 с:
l = ____________ .

x 1 = ___ ,
x 2 = _____ .

t = ____________ ,
x = _____________ .

v = _____________ .

Вариант 2

Тест № 1. Равномерное прямолинейное движение

3. Определите координату пешехода, взяв за тело отсчета:

а ) дерево:
x = ____________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _____________ .

4. Определите проекции векторов s 1 и s 2 на оси координат:

s 1 x = ___ , s 2 x = ___ ,
s 1 y = ___ , s 2 y = ____.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 5 c перемещается на 25 м, то:

– за 2 с оно перемещается на _____________ ,
– за 1 мин оно перемещается на ___________________ .

6. В таблице даны координаты двух движущихся тел для определенных моментов времени.

а ) проекцию скорости каждого тела:
v 1 x = ______________,
v 2 x = ______________ ;
б ) расстояние l между телами в момент времени t = 4 с:
l = __________________

x 1 = ___________ ,
x 2 = ___________ ;

t = ___________ ,
x = ___________ .

v = ____________

Вариант 3

Тест № 1. Равномерное прямолинейное движение

а ) поезд въезжает на станцию ________________;
б ) поезд движется между станциями ___________?

2. Поступательным называется движение, при котором ___________________ ________________________ .

3. Определите координату пешехода, взяв за тело отсчета:

а ) дерево:
x = ________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _______ .

4. Определите проекции векторов s 1 и s 2 на оси координат:

s 1 x = _____ , s 2 x = ______ ,
s 1 y = _____ , s 2 y = ______.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 2 ч перемещается на 100 км, то:

– за 0,5 ч оно перемещается на ______________ ,
– за 3 ч оно перемещается на ________________ .

6. В таблице даны координаты двух движущихся тел для определенных моментов времени.

7. По графикам движения определите:

а ) проекцию скорости каждого тела:

v 1 x = __________,

v 2 x = __________;

б ) расстояние l между телами в момент времени t = 4 с:

l = ____________ .

x 1 = ______ ,
x 2 = ______ .

t = _____________ ,

x = _____________ .

v = _______________ .

Вариант 4

Тест № 1. Равномерное прямолинейное движение

а ) автомобиль движется по шоссе _____________;
б ) автомобиль въезжает в гараж ______________?

3. Определите координату пешехода, взяв за тело отсчета:

а ) дерево:
x = ________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _______ .

4. Определите проекции векторов s 1 и s 2 на оси координат:

s 1 x = ______ , s 2 x = ______ ,
s 1 y = ______ , s 2 y = ______.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 1 мин перемещается на 120 м, то:

– за 10 с оно перемещается на _________________
– за 5 мин оно перемещается на ________________ .

6. В таблице даны координаты двух движущихся тел для определенных моментов времени.

Можно ли считать данные движения равно- мерными?

7. По графикам движения определите:

а ) проекцию скорости каждого тела:

v 1 x = __________,

v 2 x = __________ .

б ) расстояние l между телами в момент времени t = 4 с:

l = ____________ .

x 1 = ______ ,
x 2 = ______ .

t = _____________ ,
x = _____________ .

v = _______________ .
с. 1

ВСЕРОССИЙСКИЙ ФЕСТИВАЛЬ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА
2016/2017 УЧЕБНОГО ГОДА
Автор: Петренко Надежда Федоровна,
учитель физики высшей квалификационной категории.
Образовательная организация: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Городского округа Балашиха
«Средняя общеобразовательная школа № 7 с углубленным изучением отдельных предметов»
Адрес: 143980, Московская обл., Г. о. Балашиха,
мкр. Железнодорожный, ул. Октябрьская, д. 7.

Дата 2013-2014 уч. год
МБОУ СОШ №7 с УИОП Г.о. Балашиха Московской обл.

Физика – 10 класс.
Урок №4. Тема: «Равномерное прямолинейное движение Решение задач»
Равномерное прямолинейное движение — ТЕСТ
Вариант I
Часть 1

А) троллейбус движется по прямой улице. К каждой следующей остановке он прибывает через равные интервалы времени и через равные интервалы отбывает от них
Б) автомобиль движется по дороге и проходит за любые равные промежутки времени одинаковые расстояния
В каком случае движение тела является равномерным?

Что такое скорость прямолинейного равномерного движения?
Физическая величина, равная отношению перемещения точки к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.
Физическая величина, равная произведению перемещения точки к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.
Физическая величина, равная отношению промежутка времени к перемещению, которое совершило тело за этот промежуток времени.
Отношение перемещения точки к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.
Тело движется прямолинейно равномерно так, что направление вектора скорости противоположно направлению оси координат. Что можно сказать о проекции вектора скорости на данную ось?
положительна 3) равна нулю

Выберите формулу координаты прямолинейного равномерного движения
2) 3) 4)

5; 2 2) 2; -5 3) -5; 2 4) 0; 2
3086100266065I
III
II
t, c
X, м
5

0
— 5
— 10
— 15
00I
III
II
t, c
X, м
5

0
— 5
— 10
— 15
На рисунке представлены графики зависимости координат от времени. Определите проекцию скорости второго тела на ось ОХ
–1,0 м/с
2) 1,0 м/с
3) — 0,5 м/с
4) 0,5 м/с
2971800188595Vx, м/с
4
2
0
— 2
— 4
t, c
2
4
6
8
00Vx, м/с
4
2
0
— 2
— 4
t, c
2
4
6
8
На рисунке приведен график зависимости скорости движения от времени. Определите путь, пройденный телом за первые 8 секунд движения.

Координата тела меняется с течением времени согласно формуле. Чему равна координата этого тела через 5 с после начала движения?
1) 28 м 2) 12 м 3) — 4 м 4) — 12 м Часть 2

Тело Вид движения
А) первое 1) покоится

Часть 3

Уравнения движения двух тел имеют вид:; . Найдите место и время встречи тел графически и аналитически.

Равномерное движение
Вариант II
Часть 1
К каждому из заданий 1 – 8 даны 4 варианта ответа, из которых только один правильный.
Рассмотрим два вида движения тел:
А) поезд метрополитена движется по прямолинейному пути. Он прибывает на каждую следующую станцию и отправляется от нее через одинаковые промежутки времени
Б) спутник движется по окружности вокруг Земли и за любые равные промежутки времени проходит одинаковые расстояния
В каком случае движение тела не является равномерным?
1) только в А 2) только в Б 3) в А и в Б 4) ни в А, ни в Б
Что характеризует скорость прямолинейного равномерного движения?
направление движения тела
отношение перемещения ко времени, за которое это перемещение совершено.
быстроту изменения координаты
произведение перемещения и времени, за которое это перемещение совершено.
Тело движется прямолинейно равномерно так, что направление вектора скорости совпадает с направлением оси координат. Что можно сказать о проекции вектора скорости на данную ось?
положительна 3) равна нулю
отрицательна 4) может быть, как положительной, так и отрицательной.
Выберите формулу скорости прямолинейного равномерного движения
2) 3) 4)
Уравнение движения имеет вид. Определите начальную координату и скорость
0; — 3 2) — 3; 0 3) 0; 3 4) 3; 0
2628900186055I
III
II
t, c
X, м
5

0
— 5
— 10
— 15
00I
III
II
t, c
X, м
5

0
— 5
— 10
— 15
На рисунке представлены графики зависимости координат от времени. Определите проекцию скорости третьего тела на ось ОХ
– 0,5 м/с
2) 2,5 м/с
3) — 2,5 м/с
4) 0,5 м/с
2514600227330Vx, м/с
4
2
0
— 2
— 4
t, c
2
4
6
8
00Vx, м/с
4
2
0
— 2
— 4
t, c
2
4
6
8
На рисунке приведен график зависимости скорости движения от времени. Определите перемещение тела за первые 8 секунд движения.
1) 4 м 2) 8 м 3) 16 м 4) 0 м

Координата тела меняется с течением времени согласно формуле. Через сколько секунд координата тела станет равной нулю?
1) 2 с 2) 5 с 3) 10 с 4) 4 с

Часть 2
В задании 9 требуется указать последовательность цифр, соответствующих правильному ответу.
Уравнения движения тел имеют вид:; ; . Как и в каком направлении движутся тела?
К каждой позиции первого столбика подберите соответствующую позицию второго столбика. Цифры могут повторяться.
Тело Вид движения
А) первое 1) покоится
Б) второе 2) равномерно по оси
В) третье 3) равномерно против оси

Часть 3
Задание 10 представляет собой задачу, полное решение которой необходимо записать.
Уравнения движения двух тел имеют вид: ; . Найдите место и время встречи тел графически и аналитически.

Ответы
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Вариант I 2 1 2 2 3 1 3 4 231 10 с; 30 мВариант II 1 2 1 3 1 4 4 1 321 10 с; 50 м

Тест 1 равномерное движение вариант 4. Равномерное прямолинейное движение — тест

Вариант 1

а ) игла падает со стола _________ ;
б ) игла движется при работе машины ________?

2. Прямолинейным равномерным движением называется движение, при котором тело ________ совершает __________ .

а ) дерево:
x = ________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _______ .

s 1 и s 2 на оси координат:

s 1x = _____ , s 2x = ______ ,
s 2x = _____ , s 2y = ______.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 20 мин перемещается на 20 км, то:

– за 5 мин оно перемещается на ____________ ,
– за 2 ч оно перемещается на _______________ .

v 1x = __________,

v 2x = __________ ;

б ) расстояние l t = 4 с:
l = ____________ .

x 1 = ___ ,
x 2 = _____ font-size:10.0pt;font-family:» arial cyr>.

t = ____________ ,
x = _____________ .

v = _____________ .

Вариант 2

Тест № 1. Равномерное прямолинейное движение

3. Определите координату пешехода, взяв за тело отсчета:

а ) дерево:
x = ____________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _____________ .

4. Определите проекции векторов s 1 и s 2 на оси координат:

s 1x = ___ , s 2x = ___ ,
s 1y = ___ , s 2y = ____.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 5 c перемещается на 25 м, то:

– за 2 с оно перемещается на _____________ ,
– за 1 мин оно перемещается на ___________________ .

6. В таблице даны координаты двух движущихся тел для определенных моментов времени.

7. По графикам движения определите:

x 1 = ___________ ,
x 2 = ___________ ;

t = ___________ ,
x = ___________ .

v = ____________

Вариант 3

Тест № 1. Равномерное прямолинейное движение

а ) поезд въезжает на станцию ________________;
б ) поезд движется между станциями ___________?

2. Поступательным называется движение, при котором ___________________ ________________________ .

3. Определите координату пешехода, взяв за тело отсчета:

а ) дерево:
x = ________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _______ .

4. Определите проекции векторов s 1 и s 2 на оси координат:

s 1x = _____ , s 2x = ______ ,
s 1y = _____ , s 2y = ______.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 2 ч перемещается на 100 км, то:

– за 0,5 ч оно перемещается на ______________ ,
– за 3 ч оно перемещается на ________________ .

6. В таблице даны координаты двух движущихся тел для определенных моментов времени.

7. По графикам движения определите:

а ) проекцию скорости каждого тела:

v 1x = __________,

v 2x = __________;

б ) расстояние l между телами в момент времени t = 4 с:

l = ____________ .

x 1 = ______ ,
x 2 = ______ .

t = _____________ ,

x = _____________ .

v = _______________ .

Вариант 4

Тест № 1. Равномерное прямолинейное движение

а ) автомобиль движется по шоссе _____________;
б ) автомобиль въезжает в гараж ______________?

3. Определите координату пешехода, взяв за тело отсчета:

а ) дерево:
x = ________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _______ .

4. Определите проекции векторов s 1 и s 2 на оси координат:

s 1x = ______ , s 2x = ______ ,
s 1y = ______ , s 2y = ______.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 1 мин перемещается на 120 м, то:

– за 10 с оно перемещается на _________________
– за 5 мин оно перемещается на ________________ .

6. В таблице даны координаты двух движущихся тел для определенных моментов времени.

Можно ли считать данные движения равно — мерными?

7. По графикам движения определите:

а ) проекцию скорости каждого тела:

v 1x = __________,

v 2x = __________ .

б ) расстояние l между телами в момент времени t = 4 с:

l = ____________ .

x 1 = ______ ,
x 2 = ______ .

t = _____________ ,
x = _____________ .

v = _______________ .

Дата 2013-2014 уч. год
МБОУ СОШ №7 с УИОП Г.о. Балашиха Московской обл.

Выберите формулу координаты прямолинейного равномерного движения
2) 3) 4)

5; 2 2) 2; -5 3) -5; 2 4) 0; 2
3086100266065I
III
II
t, c
X, м
5

0
— 5
— 10
— 15
00I
III
II
t, c
X, м
5

Тело Вид движения
А) первое 1) покоится

Часть 3

Уравнения движения двух тел имеют вид:; . Найдите место и время встречи тел графически и аналитически.

0
— 5
— 10
— 15
00I
III
II
t, c
X, м
5

Ответы
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Вариант I 2 1 2 2 3 1 3 4 231 10 с; 30 мВариант II 1 2 1 3 1 4 4 1 321 10 с; 50 м

с. 1
Вариант 1

а ) игла падает со стола _________ ;
б ) игла движется при работе машины ________?

2. Прямолинейным равномерным движением называется движение, при котором тело ________ совершает __________ .

а ) дерево:
x = ________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _______ .

s 1 и s 2 на оси координат:

s 1 x = _____ , s 2 x = ______ ,
s 2 x = _____ , s 2 y = ______.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 20 мин перемещается на 20 км, то:

– за 5 мин оно перемещается на ____________ ,
– за 2 ч оно перемещается на _______________ .

7. По графикам движения определите:

v 1 x = __________,

v 2 x = __________ ;

б ) расстояние l t = 4 с:
l = ____________ .

x 1 = ___ ,
x 2 = _____ .

t = ____________ ,
x = _____________ .

v = _____________ .

Вариант 2

Тест № 1. Равномерное прямолинейное движение

3. Определите координату пешехода, взяв за тело отсчета:

а ) дерево:
x = ____________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _____________ .

4. Определите проекции векторов s 1 и s 2 на оси координат:

s 1 x = ___ , s 2 x = ___ ,
s 1 y = ___ , s 2 y = ____.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 5 c перемещается на 25 м, то:

– за 2 с оно перемещается на _____________ ,
– за 1 мин оно перемещается на ___________________ .

6. В таблице даны координаты двух движущихся тел для определенных моментов времени.

а ) проекцию скорости каждого тела:
v 1 x = ______________,
v 2 x = ______________ ;
б ) расстояние l между телами в момент времени t = 4 с:
l = __________________

x 1 = ___________ ,
x 2 = ___________ ;

t = ___________ ,
x = ___________ .

v = ____________

Вариант 3

Тест № 1. Равномерное прямолинейное движение

а ) поезд въезжает на станцию ________________;
б ) поезд движется между станциями ___________?

2. Поступательным называется движение, при котором ___________________ ________________________ .

3. Определите координату пешехода, взяв за тело отсчета:

а ) дерево:
x = ________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _______ .

4. Определите проекции векторов s 1 и s 2 на оси координат:

s 1 x = _____ , s 2 x = ______ ,
s 1 y = _____ , s 2 y = ______.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 2 ч перемещается на 100 км, то:

– за 0,5 ч оно перемещается на ______________ ,
– за 3 ч оно перемещается на ________________ .

6. В таблице даны координаты двух движущихся тел для определенных моментов времени.

7. По графикам движения определите:

а ) проекцию скорости каждого тела:

v 1 x = __________,

v 2 x = __________;

б ) расстояние l между телами в момент времени t = 4 с:

l = ____________ .

x 1 = ______ ,
x 2 = ______ .

t = _____________ ,

x = _____________ .

v = _______________ .

Вариант 4

Тест № 1. Равномерное прямолинейное движение

а ) автомобиль движется по шоссе _____________;
б ) автомобиль въезжает в гараж ______________?

3. Определите координату пешехода, взяв за тело отсчета:

а ) дерево:
x = ________ ,
б ) дорожный указатель:
x = _______ .

4. Определите проекции векторов s 1 и s 2 на оси координат:

s 1 x = ______ , s 2 x = ______ ,
s 1 y = ______ , s 2 y = ______.

5. Если при равномерном прямолинейном движении тело за 1 мин перемещается на 120 м, то:

– за 10 с оно перемещается на _________________
– за 5 мин оно перемещается на ________________ .

6. В таблице даны координаты двух движущихся тел для определенных моментов времени.

Можно ли считать данные движения равно- мерными?

7. По графикам движения определите:

а ) проекцию скорости каждого тела:

v 1 x = __________,

v 2 x = __________ .

б ) расстояние l между телами в момент времени t = 4 с:

l = ____________ .

x 1 = ______ ,
x 2 = ______ .

t = _____________ ,
x = _____________ .

v = _______________ .
с. 1

Шпаргалки по физике с задачами в Семее

1.На рисунке 1 представлен график зависимости координат Y конца резинового шнура от времени, а на рисунке 2 — профиль волны, созданной в этом шнуре. Модуль скорости распространения волны равен (10м/с)

2.Один автомобиль приближается к перекрестку со скоростью √₁ а другой удаляется со скоростью √₂. Вектор скорости движения первого автомобиля относительно второго направлен по стрелке (8)

3.Если R₁=R₂=R₃=R₄=R₅=R, то сопротивление цепи между точками 1 и 2 равно (R_{1. 2}=5R/8)

4.На рисунке представлена диаграмма энергетических уровней атома. Переход с излучением фотона наибольшей частоты обозначен цифрой(2)

5.Если силы взаимодействия направлены так, как показано на рисунке, то токи идут по противоположным направлениям.

6.Амперметр показывает 2А. R₁=2 Ом; R₂=10 Ом; R₃=15 Ом; R₄=4 Ом. Сила тока в цепи равна (5А)

7.На рисунке показан график зависимости проекции скорости поезда, движущегося прямолинейно от времени t. Проекция равнодействующей всех сил, приложенных к поезду, равна (0)

8.Общее сопротивление электрической цепи равно (R=3 Ом)

9.Путь, пройденный телом за 2с, равен (S=5 м)

10.Идеальный газ перешел из состояния 1 в состояние 2. При этом его внутренняя энергия увеличилась.

11.Если сопротивление каждого из резистора R, то общее сопротивление цепи равно (13R/8)

12.Представлен график зависимости скорости от времени. Тело движется неравномерно на участках ОА и ВС.

13.В однородном электростатическом поле по трем траекториям 1, 2 и 3 перемещается положительный заряд из точки 1 в точку2. Работа сил электростатического поля одинакова в случаях 1, 2, 3.

14.Выражение для определения ускорения тела массой m в системе, изображенной на рисунке, при F>mg, имеет вид(F-mg/m)

15.Изобарному процессу соответствует линия (1)

16.Металлический стержень АВ будет двигаться влево.

17.На рисунке показано однородное постоянное во времени магнитное поле.Электрон, помещенный в это поле и не имеющий начальной скорости останется неподвижным.

18.График зависимости кинетической энергии тела от его скорости представлен на рисунке.

19.Общее сопротивление цепи равно (3,5 Ом)

20.Перемещение тела за 5с (s=60м)

21.По трубе переменного сечения без трения протекает жидкость. Скорость течения жидкости наибольшая в сечении 3.

22.Изотерма идеального газа представлена на графике

23.На тело массой 5кг действует две силы F₁=10 Н, F₂=5Н. Ускорение и направление движения тела 1м/с²,по направлению F₁.

24.По заданному на рисунке графику уравнение υ_х= υ_х(t) имеет вид (υ=0,8t)

25.Уравнение колебаний, соответствующее графику гармонических колебаний (х=0,3sin π/1,1t)

26.На графиках представлены процессы (1 и 2 изохорный)

27.Закону Кулона соответствует график

28.Путь и перемещение тела за 5с соответственно равны (12,5;12,5м)

29.На рисунке изображен график изменения скорости прямолинейного движения тела в зависимости от времени. Зависимость равнодействующей силы от времени показана на графике.

30.В координатах V, T изображены изобары. Максимальному давлению соответствует график (5)

31.Путь, пройденный телом за 4с, равен (16м)

32.На диаграмме V-T приведен график,описывающий 2 процесса в идеальном газе при переходе 1-2-3. Это процессы изобарического нагревания и изотермического расширения.

33.Если R₁=R₂=R₃=R₄=R₅=8 Ом, то сопротивление цепи между точками 1 и 2 равно (4 Ом)

34.На рисунке представлен график движения тела. Скорости движения тела υ₁и υ₂ на первом и втором участках (υ₁=5м/с; υ₂=2,5м/с)

35.Через неподвижный блок подвешены два груза m₁ и m₂ на невесомой, нерастяжимой нити, причем m₁> m₂. Массой блока и трением в нем пренебречь. Ускорения и натяжения нити в этом случае находятся в соотношении (a₁=a₂,F₁=F₂)

36.Сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R= 2 Ом. Общее сопротивление цепи равно (5,5 Ом)

37.На рисунке дана диаграмма растяжения хрупкого материала, предел прочности которого 50Мпа. Стержень длиной 1м, изготовленный из этого материала, разрушится при абсолютном удлинении (10^-3м)

38.Величина средней скорости тела за первые 5с движения равна (11м/с)

39.На рисунке представлены два тела, связанные невесомой нерастяжимой нитью, движущиеся с ускорением 2м/с². Стол гладкий. Масса первого тела 4кг, масса второго (16кг)

40.Работа силы на пути 2м равна (8Дж)

41.На диаграмме р-V приведены графики двух процессов идеального газа:при переходе из состояния 1 в состояние 2 и из состояния 2 в состояние 3.Это процессы соответственно изобарное нагревание и изотермическое расширение.

42.На рисунке изображен график x=x(t) движения тела. Начальная координата тела равна (-10м)

43.Перемещение тела за 4с. (12м)

44. Модуль скорости тела, движущегося прямолинейно, изменялся со временем по закону, представленному графически на рис.1. График зависимости равнодействующей всех сил, действующих на тело, от времени представлен на рисунке 2 под буквой

45.На рисунке дан график зависимости потенциальной энергии от высоты. Соотношение масс этих тел (m₁>m₂)

46.Рычаг длиной 60см находится в равновесии. В точке С приложена сила (0,7Н)

47.Ускорение прямолинейно движущегося тела равно (3м/с²)

48.Сила Ампера, действующая на прямой проводник с током, находящийся в однородном магнитном поле, направлена вертикально вверх.

49.ЭДС источника 4,5В, его внутренне сопротивление r=1.5 Ом, сопротивление резисторов R₁=4.5 Ом и R₂=3 Ом Напряжение на резисторе R₂ при этом равно (1,5В)

50.Вольтамперная характеристика p-n перехода представлена на графике.

51.Максимальную внутреннюю энергию идеальный газ имеет в состоянии. Соответствующем на диаграмме точке (3)

52.R₁=1 Ом, R₂=2 Ом, R₃=3 Ом, R₄=4 Ом.Если резисторы подключены к источнику тока в точках А и В, то общее сопротивление в цепи (R_общ=2,1 Ом)

53.Уравнения перемещения двух тел, заданные графиками 1 и 2.(s₁=15t-0.6t²,s₂=3t+0.6t²)

54.По графику работа силы упругости равна (0,06Дж)

55.Путь, пройденный телом за 4с, равен (8м)

56.Работа электростатических сил при перемещении заряда в однородном электрическом поле по замкнутой траектории KLMNK, равна (А=0)

57.Наибольшее перемещение за 2с соответствует графику (5)

58.Чтобы невесомый рычаг находился в равновесии, сила F должна иметь величину (20Н)

59.По графику колебаний можно утверждать, что второе колебание опережает по фазе первое на π/2.

60.Два разноименных точечных заряда q и -4q закреплены на расстоянии r друг от друга. Чтобы уравновесить систему, используют дополнительный заряд q₀. Он находится на расстоянии (r от заряда q, на расстоянии 2r от заряда -4q)

61.На рисунке дана светящаяся точка S и ее изображение S’ относительно главной оптической оси стеклянной линзы. Это линза-собирающая , изображение действительное.

3.4 Движение с постоянным ускорением — Университетская физика, том 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Определите, какие уравнения движения следует использовать для решения неизвестных.
Используйте соответствующие уравнения движения для решения задачи преследования двух тел.

Можно предположить, что чем больше ускорение, скажем, у автомобиля, удаляющегося от знака «Стоп», тем больше смещение автомобиля за данный момент времени.Но мы не разработали конкретное уравнение, которое связывает ускорение и смещение. В этом разделе мы рассмотрим некоторые удобные уравнения кинематических отношений, начиная с определений смещения, скорости и ускорения. Сначала мы исследуем движение одного объекта, называемого движением одного тела. Затем мы исследуем движение двух объектов, называемых задачами преследования двух тел .

Обозначение

Во-первых, сделаем несколько упрощений в обозначениях.Принятие начального времени равным нулю, как если бы время измерялось секундомером, является большим упрощением. Поскольку прошедшее время

, принимая

означает, что

, последнее время на секундомере. Когда начальное время принимается равным нулю, мы используем индекс 0 для обозначения начальных значений положения и скорости. То есть

— начальная позиция и

— начальная скорость .Мы не ставим индексы на окончательные значения. То есть t — это конечный момент времени , x — конечная позиция , а v — конечная скорость . Это дает более простое выражение для прошедшего времени:

. Это также упрощает выражение для смещения x , которое теперь составляет

. Кроме того, это упрощает выражение для изменения скорости, которое теперь составляет

. Подводя итог, используя упрощенные обозначения, с начальным временем, принятым равным нулю,

, где нижний индекс 0 обозначает начальное значение, а отсутствие нижнего индекса означает конечное значение в любом рассматриваемом движении.

Теперь мы делаем важное предположение, что ускорение постоянно . Это предположение позволяет нам избегать использования расчетов для определения мгновенного ускорения. Поскольку ускорение постоянно, среднее и мгновенное ускорения равны, то есть

Таким образом, мы можем использовать символ a для ускорения в любое время. Предположение, что ускорение является постоянным, не серьезно ограничивает ситуации, которые мы можем изучить, и не ухудшает точность нашего лечения.Во-первых, ускорение равно постоянно в большом количестве ситуаций. Кроме того, во многих других ситуациях мы можем точно описать движение, приняв постоянное ускорение, равное среднему ускорению для этого движения. Наконец, для движения, во время которого ускорение резко меняется, например, когда автомобиль разгоняется до максимальной скорости, а затем тормозит до остановки, движение можно рассматривать в отдельных частях, каждая из которых имеет собственное постоянное ускорение.

Смещение и положение от скорости

Чтобы получить наши первые два уравнения, мы начнем с определения средней скорости:

Замена

упрощенным обозначением

дает

Решение для x дает нам

, где средняя скорость

Уравнение

отражает тот факт, что при постоянном ускорении v — это просто среднее значение начальной и конечной скоростей.(Рисунок) графически иллюстрирует эту концепцию. В части (а) рисунка ускорение является постоянным, а скорость увеличивается с постоянной скоростью. Средняя скорость на 1-часовом интервале от 40 км / ч до 80 км / ч составляет 60 км / ч:

В части (b) ускорение не является постоянным. В течение 1-часового интервала скорость ближе к 80 км / ч, чем к 40 км / ч. Таким образом, средняя скорость больше, чем в части (а).

Рисунок 3.18 (a) График зависимости скорости от времени с постоянным ускорением, показывающий начальную и конечную скорости

.Средняя скорость

. (б) График зависимости скорости от времени с изменением ускорения со временем. Средняя скорость не указана в

, но больше 60 км / ч.

Решение окончательной скорости по ускорению и времени

Мы можем вывести еще одно полезное уравнение, манипулируя определением ускорения:

Замена

упрощенным обозначением

дает нам

Решение для v дает

Пример

Расчет конечной скорости

Самолет приземляется с начальной скоростью 70.0 м / с, а затем замедляется со скоростью 1,50 м / с ² на 40,0 с. Какова его конечная скорость?

Стратегия

Сначала мы идентифицируем известные:

Во-вторых, мы идентифицируем неизвестное; в данном случае это конечная скорость

Наконец, мы определяем, какое уравнение использовать. Для этого мы выясняем, какое кинематическое уравнение дает неизвестное в терминах известных. Мы рассчитываем окончательную скорость, используя (Рисунок),

Решение

[Показать-ответ q = ”287818 ″] Показать ответ [/ Показать-ответ]
[hidden-answer a =” 287818 ″] Подставить известные значения и решить:

(рисунок) — это эскиз, на котором показаны векторы ускорения и скорости. [/ Hidden-answer]

Рис. 3.19. Самолет приземляется с начальной скоростью 70,0 м / с и замедляется до конечной скорости 10,0 м / с, прежде чем направиться к терминалу. Обратите внимание, что ускорение отрицательное, потому что его направление противоположно его скорости, которая положительна.

Значение

Конечная скорость намного меньше начальной скорости, требуемой при замедлении, но все же положительная (см. Рисунок). В реактивных двигателях обратная тяга может поддерживаться достаточно долго, чтобы самолет остановился и начал движение назад, на что указывает отрицательная конечная скорость, но в данном случае это не так.

Уравнение

не только помогает при решении задач.

дает нам представление о взаимосвязи между скоростью, ускорением и временем.Мы видим, например, что

Конечная скорость зависит от того, насколько велико ускорение и как долго оно длится
Если ускорение равно нулю, то конечная скорость равна начальной скорости ( v = v ₀), как и ожидалось (другими словами, скорость постоянна)
Если a отрицательное, то конечная скорость меньше начальной скорости

Все эти наблюдения соответствуют нашей интуиции. Обратите внимание, что всегда полезно исследовать основные уравнения в свете нашей интуиции и опыта, чтобы убедиться, что они действительно точно описывают природу.

Решение для конечного положения с постоянным ускорением

Мы можем объединить предыдущие уравнения, чтобы найти третье уравнение, которое позволяет нам вычислить окончательное положение объекта, испытывающего постоянное ускорение. Начнем с

Добавление

в каждую сторону этого уравнения и деление на 2 дает

для постоянного разгона, имеем

Теперь подставим это выражение вместо

в уравнение для смещения,

, давая

Пример

Расчет смещения ускоряющегося объекта

Драгстеры могут развивать среднее ускорение 26.0 м / с ². Предположим, драгстер ускоряется из состояния покоя с этой скоростью в течение 5,56 с (рисунок). Как далеко он пролетит за это время?

Рисунок 3.20. Пилот Top Fuel американской армии Тони «Сержант» Шумахер начинает гонку с контролируемого выгорания. (Источник: подполковник Уильям Термонд. Фотография предоставлена армией США.)

Стратегия

Сначала нарисуем эскиз (рисунок). Нас просят найти смещение, которое составляет x , если мы возьмем

равняется нулю.(Подумайте о

как стартовая линия гонки. Он может быть где угодно, но мы называем его нулем и измеряем все остальные положения относительно него.) Мы можем использовать уравнение

, когда мы идентифицируем

, и т. из постановки задачи.

Рис. 3.21 Эскиз разгоняющегося драгстера.

Решение

[show-answer q = ”9 ″] Показать ответ [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 9 ″] Во-первых, нам нужно определить известные.Запуск из состояния покоя означает, что

, a равно 26,0 м / с2, а t равно 5,56 с.
Во-вторых, мы подставляем известные значения в уравнение, чтобы найти неизвестное:

Поскольку начальное положение и скорость равны нулю, это уравнение упрощается до

Подстановка идентифицированных значений a и t дает

[/ hidden-answer]

Значение

Если мы переведем 402 м в мили, мы обнаружим, что пройденное расстояние очень близко к четверти мили, стандартному расстоянию для дрэг-рейсинга.Итак, наш ответ разумный. Это впечатляющий водоизмещение всего за 5,56 с, но первоклассные драгстеры могут преодолеть четверть мили даже за меньшее время. Если бы драгстеру была присвоена начальная скорость, это добавило бы еще один член в уравнение расстояния. Если в уравнении использовать те же ускорение и время, пройденное расстояние будет намного больше.

Что еще мы можем узнать, исследуя уравнение

Мы видим следующие отношения:

Смещение зависит от квадрата прошедшего времени, когда ускорение не равно нулю.На (Рис.) Драгстер преодолевает только четверть общего расстояния за первую половину прошедшего времени.
Если ускорение равно нулю, то начальная скорость равна средней скорости.
и

Решение окончательной скорости с расстояния и ускорения

Четвертое полезное уравнение может быть получено путем другой алгебраической обработки предыдущих уравнений. Если мы решим

за т , получаем

Подставляя это и

, получаем

Пример

Расчет конечной скорости

Рассчитайте окончательную скорость драгстера (рисунок) без использования информации о времени.

Стратегия

Уравнение

идеально подходит для этой задачи, поскольку он связывает скорости, ускорение и смещение и не требует информации о времени.

Решение

[show-answer q = ”350935 ″] Показать ответ [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 350935 ″] Сначала мы идентифицируем известные значения. Мы знаем, что v0 = 0, поскольку драгстер стартует из состояния покоя. Мы также знаем, что x — x0 = 402 м (это был ответ на (Рисунок)).Среднее ускорение составило a = 26,0 м / с2.

ПЕРЕРЫВОВ Во-вторых, мы подставляем известные в уравнение

и решите относительно v:

ПЕРЕРЫВ

Таким образом, ПЕРЕРЫВ

[/ hidden-answer]

Значение

Скорость 145 м / с составляет около 522 км / ч или около 324 миль / ч, но даже эта головокружительная скорость не достигает рекорда для четверти мили. Также обратите внимание, что квадратный корень имеет два значения; мы взяли положительное значение, чтобы указать скорость в том же направлении, что и ускорение.

Исследование уравнения

может дать дополнительную информацию об общих отношениях между физическими величинами:

Конечная скорость зависит от величины ускорения и расстояния, на котором оно действует.
При фиксированном ускорении автомобиль, который едет вдвое быстрее, просто не останавливается на удвоенном расстоянии. Чтобы остановиться, нужно гораздо дальше. (Вот почему у нас есть зоны с пониженной скоростью возле школ.)

Объединение уравнений

В следующих примерах мы продолжаем исследовать одномерное движение, но в ситуациях, требующих немного большего количества алгебраических манипуляций.Примеры также дают представление о методах решения проблем. Следующее примечание предназначено для облегчения поиска необходимых уравнений. Имейте в виду, что эти уравнения не являются независимыми. Во многих ситуациях у нас есть два неизвестных, и нам нужно два уравнения из набора для решения для неизвестных. Для решения данной ситуации нам нужно столько уравнений, сколько неизвестных.

Сводка кинематических уравнений (постоянная a )

Прежде чем перейти к примерам, давайте более внимательно рассмотрим некоторые уравнения, чтобы увидеть поведение ускорения при экстремальных значениях.Переставляя (рисунок), получаем

Из этого мы видим, что в течение конечного времени, если разница между начальной и конечной скоростями мала, ускорение невелико и приближается к нулю в том пределе, когда начальная и конечная скорости равны. Напротив, в лимите

для конечной разницы между начальной и конечной скоростями ускорение становится бесконечным.

Аналогично, переставив (рисунок), мы можем выразить ускорение в терминах скоростей и смещения:

Таким образом, при конечной разнице между начальной и конечной скоростями ускорение становится бесконечным, в пределе смещение приближается к нулю.Ускорение приближается к нулю в пределе, разница в начальной и конечной скоростях приближается к нулю для конечного смещения.

Пример

Как далеко уезжает машина?

На сухом бетоне автомобиль может замедляться со скоростью 7,00 м / с ², тогда как на мокром бетоне он может замедляться только со скоростью 5,00 м / с ². Найдите расстояния, необходимые для остановки автомобиля, движущегося со скоростью 30,0 м / с (около 110 км / ч) по (а) сухому бетону и (б) мокрому бетону. (c) Повторите оба вычисления и найдите смещение от точки, где водитель видит, что светофор становится красным, принимая во внимание время его реакции, равное 0.500 с, чтобы нажать на педаль тормоза.

Стратегия

Для начала нам нужно нарисовать эскиз (рисунок). Чтобы определить, какие уравнения лучше всего использовать, нам нужно перечислить все известные значения и точно определить, что нам нужно решить.

Рис. 3.22 Образец эскиза для визуализации замедления и тормозного пути автомобиля.

Решение

Во-первых, нам нужно определить известные и то, что мы хотим решить. Мы знаем, что v ₀ = 30.0 м / с, v = 0 и a = -7,00 м / с ² ( a отрицательно, потому что оно находится в направлении, противоположном скорости). Возьмем x ₀ равным нулю. Ищем перемещение
или x — x ₀. Во-вторых, мы определяем уравнение, которое поможет нам решить проблему. Лучшее уравнение для использования —
Это уравнение лучше всего, потому что оно включает только одно неизвестное, x .Нам известны значения всех других переменных в этом уравнении. (Другие уравнения позволили бы нам решить для x , но они требуют, чтобы мы знали время остановки, t , которое мы не знаем. Мы могли бы их использовать, но это потребовало бы дополнительных вычислений.)
В-третьих, мы изменим уравнение, чтобы найти x :
и подставьте известные значения:
Таким образом,
Эта часть может быть решена точно так же, как (а).Единственное отличие состоит в том, что ускорение составляет −5,00 м / с ². Результат
[show-answer q = ”175639 ″] Показать ответ [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 175639 ″] Когда водитель реагирует, тормозной путь такой же, как в пунктах (a) и ( б) для сухого и влажного бетона. Итак, чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно вычислить, как далеко проехал автомобиль за время реакции, а затем добавить это время ко времени остановки. Разумно предположить, что скорость остается постоянной в течение времени реакции водителя.Для этого мы снова определяем известные и то, что мы хотим решить. Мы знаем это
,
и
. Берем
равняется нулю. Ищем
. Во-вторых, как и раньше, мы определяем лучшее уравнение для использования. В данном случае
работает хорошо, потому что единственное неизвестное значение — это x, которое мы и хотим найти.В-третьих, мы подставляем известные, чтобы решить уравнение:
Это означает, что автомобиль движется на 15,0 м, пока водитель реагирует, в результате чего общее смещение в двух случаях с сухим и мокрым бетоном на 15,0 м больше, чем при мгновенной реакции. Наконец, мы добавляем смещение во время реакции к смещению при торможении ((Рисунок)),
и находят (а) равным 64,3 м + 15,0 м = 79,3 м в сухом состоянии и (б) равным 90,0 м + 15,0 м = 105 м во влажном состоянии.[/ hidden-answer]

Рисунок 3.23 Расстояние, необходимое для остановки автомобиля, сильно варьируется в зависимости от дорожных условий и времени реакции водителя. Здесь показаны значения тормозного пути для сухого и мокрого покрытия, рассчитанные в этом примере для автомобиля, движущегося со скоростью 30,0 м / с. Также показано общее расстояние, пройденное от точки, когда водитель впервые видит, что свет загорается красным, при условии, что время реакции составляет 0,500 с.

Значение

Смещения, найденные в этом примере, кажутся разумными для остановки быстро движущегося автомобиля.Остановка автомобиля на мокром асфальте должна длиться дольше, чем на сухом. Интересно, что время реакции значительно увеличивает смещения, но более важен общий подход к решению проблем. Мы идентифицируем известные и определяемые величины, а затем находим соответствующее уравнение. Если существует более одного неизвестного, нам нужно столько независимых уравнений, сколько неизвестных необходимо решить. Часто есть несколько способов решить проблему. Фактически, различные части этого примера могут быть решены другими методами, но представленные здесь решения являются самыми короткими.

Пример

Время расчета

Предположим, автомобиль выезжает на шоссе на съезде длиной 200 м. Если его начальная скорость равна 10,0 м / с, а он ускоряется со скоростью 2,00 м / с ², сколько времени потребуется автомобилю, чтобы преодолеть 200 м по рампе? (Такая информация может быть полезна транспортному инженеру.)

Стратегия

Сначала рисуем эскиз (рисунок). Нам предлагается решить за время т . Как и раньше, мы идентифицируем известные величины, чтобы выбрать удобное физическое соотношение (то есть уравнение с одной неизвестной, t .)

Рис. 3.24 Эскиз автомобиля, ускоряющегося на съезде с автострады.

Решение

[show-answer q = ”712029 ″] Показать ответ [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 712029 ″] Опять же, мы определяем известные нам и то, что мы хотим решить. Мы знаем, что

, и x = 200 м.

Нам нужно решить для t. Уравнение

работает лучше всего, потому что единственная неизвестная в уравнении — это переменная t, которую нам нужно решить.Из этого понимания мы видим, что когда мы вводим известные значения в уравнение, мы получаем квадратное уравнение.

Нам нужно изменить уравнение, чтобы найти t, а затем подставить известные значения в уравнение:

Затем мы упрощаем уравнение. Единицы измерения отменяются, потому что они есть в каждом члене. Мы можем получить единицы секунд, которые нужно отменить, взяв t = t s, где t — величина времени, а s — единица измерения. Остается

Затем мы используем формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти t,

, что дает два решения: t = 10.0 и t = -20,0. Отрицательное значение времени неразумно, так как это будет означать, что событие произошло за 20 секунд до начала движения. Мы можем отказаться от этого решения. Таким образом,

[/ hidden-answer]

Значение

Всякий раз, когда уравнение содержит неизвестный квадрат, есть два решения. В некоторых проблемах имеют смысл оба решения; в других случаях разумно только одно решение. Ответ 10,0 с кажется разумным для типичной автострады на съезде.

Проверьте свое понимание

Пилотируемая ракета ускоряется со скоростью 20 м / с ² во время пуска.Сколько времени нужно, чтобы ракета достигла скорости 400 м / с?

[show-answer q = ”fs-id11683224 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id11683224 ″]

Чтобы ответить на этот вопрос, выберите уравнение, которое позволяет нам решить для времени t , учитывая только a , v ₀ и v :

Перегруппировать для решения для т :

[/ hidden-answer]

Пример

Ускорение космического корабля

Космический корабль покинул орбиту Земли и направляется к Луне.Разгоняется со скоростью 20 м / с ² за 2 мин и преодолевает расстояние в 1000 км. Каковы начальная и конечная скорости космического корабля?

Стратегия

Нас просят найти начальную и конечную скорости космического корабля. Глядя на кинематические уравнения, мы видим, что одно уравнение не дает ответа. Мы должны использовать одно кинематическое уравнение для решения одной из скоростей и подставить его в другое кинематическое уравнение, чтобы получить вторую скорость. Таким образом, мы решаем два кинематических уравнения одновременно.

Решение

[show-answer q = ”835228 ″] Показать ответ [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 835228 ″] Сначала мы решаем для

с использованием

Затем подставляем

, чтобы найти окончательную скорость:

[/ hidden-answer]

Значение

Есть шесть переменных: смещение, время, скорость и ускорение, которые описывают движение в одном измерении.Начальные условия данной задачи могут быть множеством комбинаций этих переменных. Из-за такого разнообразия решения могут быть нелегкими, например простой заменой в одно из уравнений. Этот пример показывает, что решения кинематики могут потребовать решения двух одновременных кинематических уравнений.

Освоив основы кинематики, мы можем перейти ко многим другим интересным примерам и приложениям. В процессе разработки кинематики мы также увидели общий подход к решению проблем, который дает как правильные ответы, так и понимание физических взаимоотношений.Следующий уровень сложности в наших задачах кинематики связан с движением двух взаимосвязанных тел, называемых задачами преследования двух тел .

Задачи преследования двух тел

До этого момента мы рассматривали примеры движения с участием одного тела. Даже для задачи с двумя автомобилями и тормозным путем на мокрой и сухой дороге мы разделили эту задачу на две отдельные задачи, чтобы найти ответы. В задаче преследования двух тел движения объектов связаны, то есть искомая неизвестная зависит от движения обоих объектов.Чтобы решить эти проблемы, мы пишем уравнения движения для каждого объекта, а затем решаем их одновременно, чтобы найти неизвестное. Это проиллюстрировано на (Рисунок).

Рис. 3.25 Сценарий преследования с двумя телами, в котором автомобиль 2 имеет постоянную скорость, а автомобиль 1 идет сзади с постоянным ускорением. Автомобиль 1 догонит автомобиль 2 позже.

Время и расстояние, необходимое для того, чтобы автомобиль 1 догнал автомобиль 2, зависят от начального расстояния, на которое автомобиль 1 находится от автомобиля 2, а также от скорости обоих автомобилей и ускорения автомобиля 1.Чтобы найти эти неизвестные, необходимо решить кинематические уравнения, описывающие движение обеих машин.

Рассмотрим следующий пример.

Пример

Гепард ловит газель

Гепард прячется за кустом. Гепард замечает пробегающую мимо газель со скоростью 10 м / с. В тот момент, когда газель проходит мимо гепарда, гепард из состояния покоя ускоряется со скоростью 4 м / с ², чтобы поймать газель. а) Сколько времени требуется гепарду, чтобы поймать газель? б) Что такое смещение газели и гепарда?

Стратегия

Мы используем систему уравнений для постоянного ускорения, чтобы решить эту проблему.Поскольку есть два движущихся объекта, у нас есть отдельные уравнения движения, описывающие каждое животное. Но то, что связывает уравнения, — это общий параметр, который имеет одинаковое значение для каждого животного. Если мы внимательно посмотрим на проблему, становится ясно, что общим параметром для каждого животного является их положение x , позднее t . Поскольку они оба начинаются с

, их водоизмещения такие же, в более позднее время т. , когда гепард догоняет газель.Если мы выберем уравнение движения, которое решает смещение для каждого животного, мы можем затем установить уравнения, равные друг другу, и решить для неизвестного, то есть времени.

Решение

[показать-ответ q = ”699945 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 699945 ″] Уравнение для газели: газель имеет постоянную скорость, которая является ее средней скоростью, поскольку это не ускоряется. Поэтому мы используем (рисунок) с
:
Уравнение для гепарда: гепард ускоряется из состояния покоя, поэтому мы используем (рисунок) с
.
и
:
Теперь у нас есть уравнение движения для каждого животного с общим параметром, который можно исключить, чтобы найти решение.В этом случае мы решаем для t:
Газель имеет постоянную скорость 10 м / с, что является ее средней скоростью. Ускорение гепарда составляет 4 м / с2. Оценивая t, время, за которое гепард достигает газели, получаем
[/ hidden-answer]
[show-answer q = ”316146 ″] Показать ответ [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 316146 ″] Чтобы получить смещение, мы используем уравнение движения гепарда или газели, поскольку они оба должны дать одинаковый ответ.Смещение гепарда:
Водоизмещение газели:
Мы видим, что оба смещения равны, как и ожидалось. [/ Hidden-answer]

Значение

Важно анализировать движение каждого объекта и использовать соответствующие кинематические уравнения для описания отдельного движения. Также важно иметь хорошую визуальную перспективу задачи преследования двух тел, чтобы увидеть общий параметр, который связывает движение обоих объектов.

Проверьте свое понимание

Велосипед имеет постоянную скорость 10 м / с. Человек стартует с отдыха и бежит догонять велосипед за 30 с. Какое ускорение у человека?

[show-answer q = ”fs-id1168326827870 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168326827870 ″]

.
[/ hidden-answer]

Сводка

При анализе одномерного движения с постоянным ускорением определите известные величины и выберите соответствующие уравнения для решения неизвестных.Для решения неизвестных требуются одно или два кинематических уравнения, в зависимости от известных и неизвестных величин.
Двухчастичные задачи преследования всегда требуют одновременного решения двух уравнений относительно неизвестных.

Концептуальные вопросы

При анализе движения отдельного объекта, какое количество известных физических переменных необходимо для решения неизвестных величин с использованием кинематических уравнений?

Укажите два сценария кинематики одного объекта, в которых три известные величины требуют решения двух кинематических уравнений относительно неизвестных.

[Показать-ответ q = ”fs-id1168326

5 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168326

5 ″]

Если ускорение, время и перемещение известны, а начальная и конечная скорости неизвестны, то два кинематических уравнения должны решаться одновременно. Также, если конечная скорость, время и смещение являются известными, тогда необходимо решить два кинематических уравнения для начальной скорости и ускорения.

[/ hidden-answer]

Проблемы

Частица движется по прямой с постоянной скоростью 30 м / с.Каково его смещение между t = 0 и t = 5,0 с?

[Показать-ответ q = ”fs-id1168326

4 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168326

4 ″]

150 кв.м

[/ hidden-answer]

Частица движется по прямой с начальной скоростью 30 м / с и постоянным ускорением 30 м / с ². Если на

, каково положение частицы при t = 5 с?

Частица движется по прямой с начальной скоростью 30 м / с и постоянным ускорением 30 м / с ².(а) Какое у него водоизмещение при т = 5 с? б) Какова его скорость в это же время?

[показывать-ответ q = ”fs-id1168326

2 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168326

2 ″]

а. 525 м;

г.

[/ hidden-answer]

(a) Нарисуйте график зависимости скорости от времени, соответствующий графику перемещения от времени, представленному на следующем рисунке. (b) Определите время или времена ( t _a, t _b, t _c и т. д.), при которой мгновенная скорость имеет наибольшее положительное значение. (c) В какое время он равен нулю? (г) В какое время он отрицательный?

[show-answer q = ”966010 ″] Показать ответ [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 966010 ″] [/ hidden-answer]

(a) Нарисуйте график зависимости ускорения от времени, соответствующий графику зависимости скорости от времени, представленному на следующем рисунке. (b) Определите время или времена ( t _a, t _b, t _c и т. д.), при котором ускорение имеет наибольшее положительное значение. (c) В какое время он равен нулю? (г) В какое время он отрицательный?

[показать-ответ q = ”

6 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ]

[hidden-answer a = ”

6 ″]

а.

г. Ускорение имеет наибольшее положительное значение на

г. Ускорение нулевое на

г. Ускорение отрицательное на

[/ hidden-answer]

Частица имеет постоянное ускорение 6.0 м / с ². (а) Если его начальная скорость составляет 2,0 м / с, в какое время его смещение составляет 5,0 м? б) Какова его скорость в то время?

При t = 10 с частица движется слева направо со скоростью 5,0 м / с. При t = 20 с частица движется справа налево со скоростью 8,0 м / с. Предполагая, что ускорение частицы постоянное, определите (а) ее ускорение, (б) ее начальную скорость и (в) момент, когда ее скорость равна нулю.

[показывать-ответ q = ”fs-id1168327148264 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168327148264 ″]

а.

;
г.

;

г.

[/ hidden-answer]

Хорошо брошенный мяч попадает в рукавицу с хорошей набивкой. Если ускорение мяча

и 1,85 мс

проходит с момента первого прикосновения мяча к рукавице до остановки. Какова начальная скорость мяча?

Пуля в ружье ускоряется от камеры выстрела до конца ствола со средней скоростью

для

.Какова его начальная скорость (то есть конечная скорость)?

[show-answer q = ”fs-id116832

17 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116832

17 ″]

[/ hidden-answer]

(a) Пригородный легкорельсовый поезд ускоряется со скоростью 1,35 м / с ². Сколько времени нужно, чтобы достичь максимальной скорости 80,0 км / ч, начиная с состояния покоя? (b) Этот же поезд обычно замедляется со скоростью 1,65 м / с ².Сколько времени нужно, чтобы остановиться с максимальной скорости? (c) В аварийных ситуациях поезд может замедляться быстрее, останавливаясь на скорости 80,0 км / ч за 8,30 с. Каково его аварийное ускорение в метрах на секунду в квадрате?

При выезде на автостраду автомобиль ускоряется из состояния покоя со скоростью 2,04 м / с ² за 12,0 с. (а) Нарисуйте набросок ситуации. (б) Перечислите известных в этой проблеме. (c) Как далеко проехал автомобиль за эти 12,0 с? Чтобы решить эту часть, сначала определите неизвестное, а затем укажите, как вы выбрали соответствующее уравнение для его решения.После выбора уравнения покажите свои шаги в поиске неизвестного, проверьте свои единицы и обсудите, является ли ответ разумным. (d) Какова конечная скорость автомобиля? Решите для этого неизвестного таким же образом, как в (c), явно показывая все шаги.

[show-answer q = ”fs-id1168327145386 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168327145386 ″]

а.

г. Знает:

;

г.

, ответ кажется разумным на высоте около 172,8 м; d.

[/ hidden-answer]

Необоснованные результаты В конце забега бегун замедляется со скорости 9,00 м / с со скоростью 2,00 м / с ². а) Как далеко она продвинется в следующие 5,00 с? б) Какова ее конечная скорость? (c) Оцените результат. Имеет ли это смысл?

Кровь ускоряется из состояния покоя до 30,0 см / с на расстоянии 1.80 см от левого желудочка сердца. (а) Сделайте набросок ситуации. (б) Перечислите известных в этой проблеме. (c) Сколько времени длится ускорение? Чтобы решить эту часть, сначала определите неизвестное, а затем обсудите, как вы выбрали соответствующее уравнение для его решения. После выбора уравнения покажите свои шаги в решении неизвестного, проверяя свои единицы. (г) Является ли ответ разумным по сравнению со временем биения сердца?

[show-answer q = ”fs-id116832

55 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116832

55 ″]

а.

г. Знает:

;

г.

;

г. да

[/ hidden-answer]

Во время удара по шлепку хоккеист разгоняет шайбу со скорости 8,00 м / с до 40,0 м / с в том же направлении. Если этот выстрел занимает

, на каком расстоянии разгоняется шайба?

Мощный мотоцикл может разогнаться с места до 26.8 м / с (100 км / ч) всего за 3,90 с. а) Каково его среднее ускорение? б) Как далеко он пролетит за это время?

[show-answer q = ”fs-id11683221 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id11683221 ″]

а. 6,87 с ²; б.

[/ hidden-answer]

Грузовые поезда могут развивать только относительно небольшие ускорения. (а) Какова конечная скорость грузового поезда, который ускоряется со скоростью

для 8.00 мин, начиная с начальной скорости 4,00 м / с? (б) Если поезд может замедлиться со скоростью

, сколько времени потребуется, чтобы остановиться на этой скорости? (c) Как далеко он будет перемещаться в каждом случае?

Снаряд фейерверка ускоряется из состояния покоя до скорости 65,0 м / с на расстоянии 0,250 м. (а) Рассчитайте ускорение. б) Как долго длилось ускорение?

[показывать-ответ q = ”fs-id1168326954581 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168326954581 ″]

а.

;
г.

[/ hidden-answer]

Лебедь на озере поднимается в воздух, взмахивая крыльями и бегая по воде. (a) Если лебедь должен достичь скорости 6,00 м / с, чтобы взлететь, и он ускоряется из состояния покоя со средней скоростью

, как далеко он пролетит, прежде чем взлетит? б) Сколько времени это займет?

Мозг дятла особенно защищен от сильных ускорений связками внутри черепа, похожими на сухожилия.При клевании дерева голова дятла останавливается с начальной скорости 0,600 м / с на расстоянии всего 2,00 мм. (a) Найдите ускорение в метрах в секунду в квадрате и кратно g , где g = 9,80 м / с ². (b) Рассчитайте время остановки. (c) Сухожилия, удерживающие мозг, растягиваются, делая его тормозной путь 4,50 мм (больше, чем голова, и, следовательно, меньше ускорение мозга). Каково ускорение мозга, кратное g ?

[показывать-ответ q = ”fs-id1168326955141 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168326955141 ″]

а.

г.

;

г.

[/ hidden-answer]

Неосторожный футболист сталкивается со стойкой ворот с мягкой подкладкой при беге со скоростью 7,50 м / с и полностью останавливается, сжав подушку и свое тело на 0,350 м. а) Каково его ускорение? б) Как долго длится столкновение?

Посылка выпадает из грузового самолета и приземляется в лесу. Если предположить, что скорость посылки при ударе составляет 54 м / с (123 мили в час), то каково ее ускорение? Предположим, деревья и снег останавливают его на расстоянии 3.0 мес.

[show-answer q = ”fs-id1168326

9 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168326

9 ″]

Знает:

. Нам нужны a , поэтому мы можем использовать это уравнение:

.
[/ hidden-answer]

Скоростной поезд проходит через станцию. Он входит с начальной скоростью 22,0 м / с и замедляется со скоростью

м / с.

как проходит.Длина станции 210,0 м. а) Как быстро он движется, когда нос покидает станцию? б) Какова длина носа поезда на станции? (c) Если длина поезда 130 м, какова скорость конца поезда, когда он уезжает? (d) Когда поезд отправляется со станции?

Неоправданные результаты Драгстеры могут развить максимальную скорость 145,0 м / с всего за 4,45 с. (а) Рассчитайте среднее ускорение для такого драгстера. (b) Найдите конечную скорость этого драгстера, начиная с состояния покоя и ускоряясь со скоростью, найденной в (a) для 402.0 м (четверть мили) без использования информации о времени. (c) Почему конечная скорость больше той, которая используется для определения среднего ускорения? ( Подсказка : подумайте, справедливо ли предположение о постоянном ускорении для драгстера. Если нет, обсудите, будет ли ускорение больше в начале или в конце пробега и как это повлияет на конечную скорость.)

[показывать-ответ q = ”fs-id11683232 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id11683232 ″]

а.

;
г.

;

г.

, потому что предположение о постоянном ускорении для драгстера неверно. Драгстер переключает передачи и будет иметь большее ускорение на первой передаче, чем на второй, чем на третьей, и так далее. Вначале ускорение будет максимальным, поэтому на

не будет.

за последние несколько метров, но существенно меньше, и конечная скорость будет меньше

[/ hidden-answer]

Глоссарий

задача преследования двух тел: задача кинематики, в которой неизвестные вычисляются путем одновременного решения кинематических уравнений для двух движущихся объектов.

Моделирование планетарной задачи трех тел с большим эксцентриситетом. Применение к планетарной системе GJ876 | Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества

Абстракция

Открытие внесолнечных планет, расположенных вблизи соизмеримостей среднего движения, открыло новую арену для изучения резонансного захвата и его возможной роли в динамической эволюции и долгосрочной стабильности планетных систем.В отличие от нашей Солнечной системы, многие из этих планет имеют сильно эксцентрические орбиты (∼0,1–0,6), что делает использование обычных аналитических пертурбативных моделей очень ограниченным. Тем не менее, было сделано несколько попыток применить классические разложения резонансного гамильтониана к этим случаям, что привело к результатам, которые в лучшем случае являются экстраполяцией резонансной структуры с низким эксцентриситетом и не обязательно точны.

В этой статье мы представляем новое аналитическое разложение для гамильтониана планетарной задачи трех тел, которое не страдает этими ограничениями и справедливо даже для пересекающихся орбит.Единственное ограничение — его применимость к плоским движениям. Полученная модель может быть применена как к резонансным, так и к нерезонансным конфигурациям. Мы показываем примеры этого разложения в различных резонансах и сравниваем результаты с численными определениями точного гамильтониана.

Наконец, мы применяем разработанную модель к случаю двух планет в соизмеримости среднего движения 2/1 (такой как система Gliese 876) и анализируем ее периодические орбиты и общую структуру резонансного фазового пространства при низких и низких частотах. высокие эксцентриситет.

1 Введение

Открытие внесолнечных планет в соизмеримости среднего движения открыло совершенно новую арену для изучения планетарной проблемы трех тел. Среди прочего можно упомянуть поиск равновесных решений, изучение механизмов резонансного захвата, а также существование устойчивых и хаотических областей фазового пространства для различных значений планетарных масс и начальных условий. Таким образом, многие методы и модели, полученные для изучения нашей собственной Солнечной системы, в настоящее время модифицируются и применяются к новым сценариям и новым объектам.Однако цель остается прежней: проанализировать, какую роль (если таковая имеется) резонансы могут играть в происхождении и стабильности наблюдаемой конфигурации планетных систем.

Marcy et al. (2001) обнаружили, что две планеты, вращающиеся вокруг Gliese 876, заблокированы в резонансе среднего движения 2/1, и они предположили, что эта соизмеримость может на самом деле отвечать за орбитальную стабильность системы. Численное моделирование, похоже, указывает на то, что эти тела фактически находятся в ловушке, которую небесные механики называют «точкой вращения».В отличие от термина «резонанс коротации», широко используемого в контексте взаимодействий планеты и диска, точка коротации представляет собой стационарное решение усредненной резонансной системы. Другими словами, тела демонстрируют одновременную либрацию резонансного угла и выравнивание их главных осей (Laughlin & Chambers 2001; Lee & Peale 2002). Другая внесолнечная планетная система, HD 82943, также, кажется, имеет две планеты в соотношении соизмеримости 2/1 (Батлер и др., 2002), хотя в этом случае неясно, является ли наблюдаемое движение также коротацией или простой либрацией резонансный угол.Наконец, есть свидетельства того, что второе тело, недавно обнаруженное в 47 Uma (Fischer et al. 2002), может быть близко к резонансу 5/2 с 47 Uma-b.

За последние пару лет было проведено несколько исследований происхождения и устойчивости этих резонансных систем. Среди них мы можем упомянуть Ford, Havlikova & Rasio (2001), Murray, Paskowitz & Holman (2002), Hadjidemetriou (2002), Lee & Peale (2002) и другие. Некоторые из них имеют целью найти начальные условия и массы, которые дают стабильные решения.Поскольку данные наблюдений обычно не дают явных значений масс, эти тесты очень важны для определения верхних границ этих параметров, а также индикации наклона плоскости орбиты планетной системы.

Hadjidemetriou (2002) исследовал устойчивость численно генерируемых семейств периодических орбит в планарно-эллиптическом резонансе 2/1 и применил результаты как к системе Gliese 876, так и к системе HD 82943. Он обнаружил, что при такой соизмеримости все решения нестабильны, если: (i) масса внешней планеты меньше, чем масса внутреннего тела, или (ii) эксцентриситет внешнего тела больше, чем у внешнего тела. внутренняя планета.В частности, его результаты показывают, что обе наблюдаемые планетные системы близки к стабильным периодическим решениям и, таким образом, кажутся динамически стабильными.

Хотя большинство работ носили числовой характер, в последнее время также была предпринята попытка разработать аналитические модели для этих систем. Среди первых Murray et al. (2002) проанализировали процесс резонансного захвата в сценарии, когда обе планеты теряют энергию и угловой момент из-за неопределенных внешних диссипативных сил.Они показали, что в некоторых случаях перемещение тел внутрь может привести к значительному увеличению их эксцентриситетов, давая значения того же порядка, что и наблюдаемые в реальных системах. Используемая аналитическая модель была основана на разложении резонансного гамильтониана лапласовского типа (см. Holman & Murray 1996), хотя многие из их результатов не должны зависеть от конкретного выражения, принятого для этой функции.

Более подробная модель была недавно разработана Ли и Пилом (2002), которые представили очень полное исследование захвата этих планет в резонанс за счет миграции внутрь из-за взаимодействия с газообразным или планетезимальным диском.Этот захват может не только объяснить текущую конфигурацию вращения, но и большой эксцентриситет, показанный обеими планетами. И снова модель была основана на лапласовском разложении возмущающей функции, усеченной в третьем порядке по эксцентриситетам. Полученные уравнения затем использовались для обсуждения существования и положения равновесных решений в усредненном (резонансном) фазовом пространстве системы.

В обеих этих работах аналитическая модель не была фундаментальной для их результатов и использовалась только для получения качественной информации.Однако важно иметь в виду, что для резонанса 2/1 разложение Лапласа не сходится при эксцентриситетах выше ∼0,17 (см. Ferraz-Mello, 1994), и усеченные выражения низкого порядка дают количественно неточные результаты намного раньше. Этот предел может быть несущественным в случае нашей собственной Солнечной системы, где планеты движутся по квазикруговым орбитам, но то же самое не относится к внесолнечным системам. В случае Gliese 876 эксцентриситет планет примерно равен 0.12 и 0,27. Для HD 82943 ситуация еще хуже, поскольку эти значения порядка 0,41 и 0,54. Таким образом, для обеих этих резонансных пар принятая аналитическая модель не рекомендуется, и необходимо использовать новое разложение. Фактически, во многих случаях даже усеченные классические модели могут привести к неверным качественным результатам. Хорошо известно (см. Beaugé 1994), что разложения низкого порядка могут предсказывать структуру фазового пространства (такую как равновесные решения или индекс устойчивости), которые не соответствуют реальной системе.

Целью настоящей работы является разработка расширения гамильтониана планетарной задачи трех тел, которое не имеет этих ограничений и может быть применено к случаю орбит с большим эксцентриситетом. Он основан на так называемом глобальном разложении возмущающей функции (Beaugé 1996), первоначально разработанном для ограниченной задачи трех тел с квазикруглыми возмущающими факторами. Здесь мы представляем вариант этой функции, который содержит несколько улучшений, включая гораздо более упрощенный метод вычисления коэффициентов.Полученное разложение можно применить к любой типичной соизмеримости среднего движения или даже к случаю нерезонансных орбит. В этой статье расширение будет ограничено плоскими движениями, хотя в ближайшем будущем будет представлено расширение на пространственный случай.

Этот документ состоит из следующих частей. В разделе 2 мы вводим динамические переменные системы и набрасываем общий вид гамильтоновой функции. В разделе 3 мы представляем разложение возмущающей функции для общей задачи трех тел.Случай общего резонанса среднего движения для обеих планет обсуждается в разделе 4 вместе с некоторыми сравнениями с численными расчетами. В разделе 5 мы применяем полученную модель к случаю резонанса 2/1 и анализируем результаты. Наконец, обсуждение и будущие приложения модели рассматриваются в разделе 6.

2 Гамильтониан в переменных Пуанкаре

Предположим, что три тела конечной массы M ₀, м ₁ и м ₂ вращаются вокруг своего общего центра масс с M ₀ ≫ м ₁, м ₂ и м ₁, м ₂ ã 0. M ₀ должна быть звездой нашей системы, а m _i планетами. Конечно, это всего лишь пример, и можно сказать, что одна и та же динамическая система представляет проблему двух массивных спутников, вращающихся вокруг планеты. Однако, поскольку мы в первую очередь применяем модель к внесолнечным планетным системам, в этой работе мы используем первый физический сценарий.

Определим следующий набор канонических переменных: (1) где a _i , e _i , I _i , λ _i, ϖ _i и Ω _i — элементы орбиты i -й планеты ( i = 1, 2), μ _i = κ ² ( M ₀ + m _i ), κ — гравитационная постоянная Гаусса, а m ′ _i — приведенная масса, определяемая по формуле (2) Это так называемые переменные Пуанкаре, соответствующие варианту модифицированного канонического набора Делоне ( см. Laskar 1991).Гамильтониан ƒ системы может быть выражен как сумма двух членов (3), где первый соответствует двухчастичному вкладу и определяется выражением (4) Второй член, ƒ ₁, равен тревожная функция проблемы. Согласно Ласкару (1991), это может быть выражено как (5) где Δ — мгновенное расстояние между обеими планетами, а T ₁ — косвенная часть потенциальной функции. В терминах гелиоцентрических декартовых координат ( x _i , y _i , z _i ) каждой массы вплоть до первого порядка масс эта последняя функция имеет вид: (6 ) Здесь обозначает временную производную x _i и, очевидно, те же обозначения сохраняются для остальных координат.Отсылаем читателя к Laskar (1991) и Laskar & Robutel (1995) для получения дополнительных сведений.

Гамильтониан планетарной версии задачи трех тел имеет два основных отличия от ограниченного случая: (i) фактор, пропорциональный массе в невозмущенном вкладе, и (ii) другой аспект для косвенной части возмущающая функция, которая теперь зависит от компонентов скорости, а не от координат. Эта вторая модификация очень важна и подразумевает, что расширения прямых и косвенных терминов не могут быть объединены в одном выражении.

3 Расширение тревожной функции

Как упоминалось во введении, мы хотим разработать выражение для гамильтониана ƒ , которое справедливо в случае, когда одна или обе планеты могут иметь высокие эксцентриситеты и, возможно, даже иметь перекрывающиеся орбиты. В таких конфигурациях классические расширения, такие как Лаплас (1799) или Каула (1962), не подходят; см. также более свежие вариации Duriez (1988) и Ellis & Murray (2001).Для эксцентриситетов ниже апоцентрической точки столкновения эти ряды либо расходятся, как в случае разложения Лапласа над кривой Судмана (см. Ferraz-Mello, 1994), либо сходятся очень медленно до точки, требующей буквально миллионов членов, чтобы воспроизвести точное работают даже с умеренной точностью. Для эксцентриситетов выше точки столкновения все эти классические разложения бесполезны.

Несколько лет назад Beaugé (1996) представил новое «глобальное» расширение возмущающей функции, которое не имело этих ограничений.В принципе, он сходится (хотя и условно) во всех точках фазового пространства, не считая сингулярностей, связанных со столкновениями между двумя телами. Скорость сходимости и, следовательно, количество членов, необходимых для данной точности модели, не зависит явно от эксцентриситетов тел или угловых переменных, выбранных в качестве начальных условий. Фактически, это в основном функция значения самой мешающей функции. Таким образом, начальные условия, для которых значение ƒ ₁ относительно мало (например, вблизи точки вращения или очень далеко от возмущающего фактора), требуют всего нескольких членов для адекватного воспроизведения.С другой стороны, начальные условия, близкие к точке столкновения (что дает очень высокие значения ƒ ₁), требуют большого количества членов.

Хотя это расширение оказалось формально очень простым, оно имело очень ограниченную применимость к конкретным задачам и на самом деле было более интересным с академической точки зрения, чем с точки зрения практиков. Это произошло по двум причинам. (i) Поскольку целью было получить расширение ряда, допустимое для любого эксцентриситета, многие из промежуточных расширений были предприняты с помощью сложных функций с небольшими рекуррентными отношениями или без них, что предполагало очень дорогостоящее определение с точки зрения времени ЦП.(ii) Разложение было построено вокруг ограниченной задачи трех тел, и, кроме того, возмущающий элемент должен был двигаться по квазикруговой орбите.

Если мы надеемся адаптировать это расширение к имеющейся проблеме, мы должны устранить эти ограничения. Это и будет целью данного раздела. С одной стороны, мы представляем более простые промежуточные разложения в терминах операторов Ньюкома, и разложение реконструируется для случая возмущающего элемента с большим эксцентриситетом. Наконец, важно также отметить, что исходное расширение было ограничено двумя измерениями.Другими словами, движение всех тел должно было происходить в плоскости. Хотя это ограничение важно для исследований динамики астероидов, оно не является очень строгим в случае внесолнечных планет. В большинстве случаев взаимный наклон этих тел совершенно неизвестен и поэтому обычно принимается равным нулю.

3.1 Прямая часть

ƒ ₁ и параметр δ Как обычно, мы начинаем обсуждение прямой части возмущающей функции, которая содержит основные проблемы сходимости.В терминах гелиоцентрических радиальных расстояний r _i обеих планет мы можем записать это как (7) где S = ƒ ₁ — ƒ ₂ + Δϖ — это угол между обеими планетами. Если смотреть из центральной массы, f _i — истинные аномалии, а Δϖ = ϖ ₁ −ϖ ₂ — разница в долготах перигелиев. Вводя отношение ρ = r ₁/ r ₂, мы можем переписать уравнение (7) в более понятной форме как (8) Вместо того, чтобы расширять эту функцию в ряд Фурье S или степенной ряд от ρ (как обычно используется в классических подходах), здесь мы выбираем другой путь.Определив x = ρ ² — 2ρ cos S , мы можем написать (9) Это ключ нашего метода. Выражение прямой части возмущающей функции стало проще, поскольку количество соответствующих переменных было уменьшено до одной. Переменная x является мерой близости начального условия к сингулярности в 1 / Δ. Он равен -1 на полюсе и принимает значения, превышающие это, для каждой точки (ρ, cos S ) вне точки столкновения.Обратите внимание, что величина ρ или значение S не имеют существенного значения для возмущающей функции, на самом деле важно только расстояние от сингулярности. Таким образом, проблема разложения 1 / Δ была сведена к тому, что функции (1 + x ) ^−1/2, и, таким образом, сходимость не зависит от ρ. В Beaugé (1996) эта функция была расширена с помощью ряда Тейлора в x вокруг точки x = 0. Это хорошее решение для начальных условий, близких к началу координат, но подразумевает огромное количество терминов, если мы хотим анализировать значения x вдали от нуля.Поскольку в данной работе нас интересуют практические приложения, важно сократить количество терминов до минимума. Тогда мы должны искать другой подход. Решение состоит в том, чтобы аппроксимировать (1 + x ) ^−1/2 линейной аппроксимацией в степенях x . Другими словами, мы выражаем (10) полиномом порядка N , где коэффициенты b _n определяются численно с помощью линейной регрессии. Поскольку исходная функция имеет сингулярность x = −1, эту точку необходимо исключить из наших данных.Таким образом, численная аппроксимация выполняется с использованием значений x ã −1 + δ, где δ — положительный параметр, близкий к нулю. Чем меньше его значение, тем лучше приближение к действительной функции вблизи особенности. Однако чем меньше значение δ, тем больше должно быть значение N , чтобы гарантировать адекватную точность для всех значений независимой переменной.

На практике необходимо найти компромисс. Принятое значение δ будет зависеть от двух факторов: во-первых, резонанса среднего движения и / или области интересующего фазового пространства; во-вторых, желаемая степень точности расширения.На рис. 1 показана относительная погрешность уравнения (10) для N = 30 и двух значений δ. Сплошная линия представляет случай δ = 0,1, а пунктирная линия — случай δ = 0,01. Мы можем видеть, что для большей части интервала x это большее значение δ дает гораздо более высокую точность, а ошибка составляет порядка 10 ⁻⁶. Это примерно на три порядка меньше, чем в другом случае. И наоборот, при x → −1 аппроксимация с δ = 0,01 намного точнее.Конечно, более высокие значения N уменьшат ошибку в обоих случаях, но за счет огромного увеличения количества членов.

Рисунок 1.

Относительная ошибка аппроксимации, заданной уравнением (10) и исходной функцией, как функция x , для двух значений δ. Сплошной линией показан случай δ = 0,1, а пунктирной линией показано δ = 0,01. В обоих примерах мы выбрали N = 30.

Рисунок 1.

Относительная погрешность аппроксимации, заданной уравнением (10) и исходной функцией, как функция x , для двух значений δ.Сплошной линией показан случай δ = 0,1, а пунктирной линией показано δ = 0,01. В обоих примерах мы выбрали N = 30.

Теперь вопрос в том, как связать данный интервал в x с конкретными начальными условиями для задачи трех тел. Другими словами, при определенной конфигурации для обеих планет, какой интервал значений x мы можем ожидать?

Представьте, что обе планеты m _i лежат в непосредственной близости от общей соизмеримости среднего движения ( p + q ) / p .Тогда мы можем определить q σ _i = ( p + q ) λ ₂ — p λ ₁ — q ϖ _i, с i = 1, 2, как два резонансных угла системы. Давайте рассмотрим простейший случай и предположим, что эксцентриситет внешнего тела установлен на ноль (т.е. e ₂ = 0), и установим большие полуоси так, чтобы их отношение было равно точному резонансу. В этом сценарии рассмотрим все возможные начальные угловые переменные задачи, которые дают определенное значение ( k , h ) = e ₁ (cos q σ ₁, sin q σ ₁).Для каждого из этих начальных условий мы вычисляем x и определяем его минимальное значение x _мин. Это дает нам в качестве конечного продукта набор ( k , h , x _мин) для каждого резонанса. Результат теперь может быть отображен в виде графика в градациях серого с равным значением x _мин. Это показано на рис. 2 для четырех различных соизмеримостей. Широкие белые линии, наблюдаемые во всех резонансах, кроме 3/1, отмечают положение кривой столкновения, которая определяется как те точки, где x _мин = -1.

Рисунок 2.

Кривые уровня x _мин в плоскости ( k , h ) = e ₁ (cos q σ ₁, sin q σ ₁) для четырех различных резонансов среднего движения.

Рисунок 2.

Легко показать, что геометрия кривых уровня очень точно соответствует топологии резонансной фазовой плоскости, усредненной по короткопериодическим элементам. Другими словами, кажется, существует прямая связь между значением x _мин и усредненной функцией резонансного возмущения 〈 R 〉. Максимальное значение x _мин лежит на апсидальной оси (т.е. h = 0) и соответствует минимуму 〈 ƒ ₁〉.Это значение связано с точкой коротации резонанса и, таким образом, с равновесным решением соизмеримости. Обратите внимание, что эта коротация может происходить для эксцентриситетов выше, чем то, для которого возможно перекрытие орбит. Минимальное значение x _min (равно −1) соответствует сингулярностям 〈 ƒ ₁〉.

Мы также можем отметить, что нет прямой зависимости между эксцентриситетом и x _мин.Либрирующая орбита с малой амплитудой и большим эксцентриситетом может иметь большое значение x _мин, в то время как квазикруглая орбита может иметь значение, очень близкое к -1. В принципе, это нехорошо, поскольку это означает, что расширение возмущающей функции может дать лучшую точность для больших эксцентриситетов, чем для круговых орбит. Однако у него есть то преимущество, что оно гарантирует, что то же самое расширение будет иметь минимальную ошибку именно в той области фазового пространства, где расположена большая часть резонансных орбит.Что еще более важно, поскольку мы приближаем функцию 1 / Δ усеченным многочленом от x , это разложение не будет иметь особенностей. Это означает, что наше разложение будет справедливо для всех значений эксцентриситетов или больших полуосей, хотя оно может недооценивать истинную функцию вблизи кривой столкновения.

Возможно, самое большое преимущество использования x в качестве параметра расширения заключается в том, что это переменная задачи трех тел, а не проблемы двух тел.В зависимости от углов, заданное значение e _i или α = a ₁/ a ₂ может дать любое значение ƒ ₁, от локального минимума функции до необычность. В нашем случае такой проблемы нет, поэтому x намного лучше.

Подводя итог, если мы заинтересованы в изучении систем, расположенных с низкими эксцентриситетами, расширение, разработанное в этой статье, возможно, не лучший вариант, и рекомендуются обычные методы.Однако, если проблема может заключаться в высоких эксцентриситетах с преобладанием движений в либрации в резонансах среднего движения, то этот метод может быть хорошим выбором. Важно напомнить, что многие пары внесолнечных планет, наблюдаемые в резонансной конфигурации, лежат именно в области точки коротации, где x _мин является максимальным, а ошибка текущего расширения минимальна.

Ввиду этих обсуждений и поскольку нас не интересуют решения, очень близкие к кривой столкновения, нам не нужно рассматривать очень малое значение δ для нашего разложения.Во всех следующих расчетах мы выбираем δ = 0,1 и N = 30. Это гарантирует точность примерно 10 ^-6 в полиномиальном разложении уравнения (2), хотя это действительно означает, что разложение недооценивает значение возмущения вблизи кривой столкновения.

Окончательно выбрав значения этих параметров, мы можем вернуться к нашему расширению. Вводя явное выражение для x в уравнение (10), мы можем записать усеченный ряд как (11) где c _k — постоянные коэффициенты, которые легко получить в терминах исходного b _k .Переходя от степеней косинусов к кратным аргументам, мы можем переписать это как (12) где m = 2 i + k . Расширяя S и переходя от тригонометрических функций к их экспоненциальным аналогам, мы получаем (13) Это составляет окончательное выражение прямой части возмущающей функции, пока еще в терминах истинных угловых переменных.

3,2 От истинных угловых переменных к средним

В настоящей работе мы ограничиваем применимость полученного разложения Â ₁ двумя способами: (i) мы не принимаем во внимание поведение системы за пределами кривой столкновения данного резонанса, и (ii) мы ограничиваем эксцентриситет планет e _i до ∼0.5. Оба эти условия, вместе с принятием разумно умеренного значения для N , позволяют нам избежать всех сложных преобразований, введенных в Beaugé (1996) для перехода от f _i к M _i . Затем мы можем значительно упростить нашу работу и использовать хорошо известные операторы Ньюкома и коэффициенты Хансена.

На мгновение отбросив субиндекс в элементах орбиты тела, мы можем написать (14) где индекс n может быть как положительным, так и отрицательным. X ^{n , k} _j называются коэффициентами Хансена и являются функцией эксцентриситета (например, Brouwer & Clemence 1961; Kaula 1962). Коэффициенты имеют следующие явные выражения (15) где u ₁ = max (0, j — k ) и u ₂ = max (0, k — j ) . Y ^{n , k} называются операторами Newcomb.У них есть большое преимущество в том, что они имеют простые рекуррентные отношения (см. Kaula 1962), и поэтому их очень легко (и быстро) вычислить для любого значения индекса. Вводя уравнение (14) в уравнение (13) и после некоторой простой алгебры, мы, наконец, получаем (16) где B _{n , k , i , m} и C _{n , k , i , m} — постоянные коэффициенты, полученные как функции операторов Ньюкома.Их преимущество в отношении коэффициентов Хансена заключается в том, что они не зависят от эксцентриситета и, следовательно, инвариантны для всех начальных условий. Таким образом, их нужно определить только один раз. В качестве заключительного шага, вводя преобразование (16) в разложение прямой части возмущающей функции и после громоздкой перестановки членов, получаем (17) где значение D _{2 i + l , j , k , m , n Коэффициенты} даются по формуле (18), где γ _m — простая двузначная функция определяется как (19) В случаях, когда мы изучаем окрестности резонансов среднего движения, нецелесообразно сохранять сумму по α.Гораздо лучше разложить этот вклад в ряд Тейлора вокруг точных резонансов, сохранив только два или три порядка разложения. Однако это будет подробно описано в следующем разделе.

3.3 Косвенная часть мешающей функции

Напомним из уравнения (6), что косвенная часть ƒ ₁ задается функцией T ₁, которая зависит от производных по времени от декартовых координат. Поскольку (20) где M _i — средняя аномалия, а n _i — среднее движение, косвенная часть может быть приблизительно переписана как (21) Мы явно показываем вычисления для ( x ₁/ a ₁).Аналогичные для остальных координат. Начнем с напоминания (22). Вводя преобразование (16), мы можем записать (23) где (24) Дифференцируя эти уравнения относительно средних аномалий и вводя результат в T ₁, получаем следующее выражение: (25) Обратите внимание, что, за исключением зависимости от α, этот ряд имеет тот же вид, что и прямая часть ƒ ₁. Чтобы завершить подобие, мы можем заменить множитель α ^−1/2 разложением в степенной ряд (26) где — постоянные коэффициенты.С этим изменением T ₁ теперь читает (27), которое является окончательным выражением для косвенного потенциала. Поскольку теперь он имеет ту же функциональную форму, что и разложение 1 / Δ, мы можем объединить оба выражения и получить единый ряд для полной возмущающей функции планетарной задачи трех тел в виде (28), где окончательные коэффициенты имеют вид ( 29) где δ _{l , 0} — дельта-функция Кронекера. Обратите внимание, что эти коэффициенты постоянны для всех начальных условий, поэтому их нужно определять только один раз.Уравнение (28) представляет собой окончательное выражение для общей возмущающей функции. В следующем разделе мы анализируем случай планет на соизмеримых орбитах, получаем резонансную версию для ƒ ₁ и обсуждаем усреднение системы по короткопериодическим возмущениям.

4 Резонансный гамильтониан

4,1 Усредненное расширение

Предположим, что обе планеты находятся в окрестности общего ( p + q ) / p резонанса среднего движения, с q ≠ 0.Определим следующий набор плоских канонических переменных (30) где s = p / q . Последние две угловые переменные обычно называют резонансными углами, а их сопряженные импульсы равны I _i ∼ e ² _i (в случае малых эксцентриситетов). Давайте посмотрим, как общий периодический аргумент θ ƒ ₁ появляется в этом новом наборе. Представляем проход ( M ₁, M ₂, ϖ ₁, ϖ ₂) → (λ ₁, λ ₂, σ ₁, σ ₂) , получаем (31) где qQ = λ ₁ −λ ₂ — синодический угол.Обратите внимание, что это означает, что все периодические члены возмущающей функции на самом деле являются функцией только трех независимых угловых переменных (σ ₁, σ ₂, λ ₁ −λ ₂). Таким образом, проблема заключается в системе с тремя степенями свободы, и канонический момент, связанный с λ ₁ + λ ₂, является постоянной движением. Другими словами (32) Затем мы можем переопределить резонансные переменные (30), чтобы включить эту симметрию, и выразить гамильтониан через набор ( I ₁, I ₂, q ( J ₁ — J ₂), σ ₁, σ ₂, Q ), где ( J ₁ — J ₂) — каноническое сопряжение синодический угол.Тогда наша задача имеет два первых интеграла: гамильтониан ƒ = ƒ ₀ + ƒ ₁ и J _до = J ₁ + J ₂. Эта последняя функция представляет собой просто полный угловой момент, выраженный в новых переменных (см. Michtchenko & Ferraz-Mello 2001). Хорошо известно, что для всех начальных условий в окрестности соизмеримости частота Q намного выше, чем частота σ _i.Таким образом, в этих случаях обычной практикой является усреднение системы по синодическому углу, сохраняя, таким образом, только те возмущения, которые имеют длительный период. Вводя обозначение (33), мы можем усреднить возмущающую функцию и, таким образом, исключить еще одну переменную, уменьшив систему до двух степеней свободы ( I _i , σ _i). После нескольких алгебраических манипуляций усредненное выражение для потенциала имеет вид (34), где мы заменили ряд по α разложением Тейлора третьего порядка вокруг значения при точном резонансе: α ₀ = (1 + 1/ с ) ^−2/3.Формы новых усредненных коэффициентов легко получить из их первоначального определения в уравнении (29), подставив условие резонанса m ( p + q ) — np = 0. Верхние пределы сумм, j _max, k _max, u _max, l _max, определяются пользователем и зависят от желаемой точности расширения и от планетарные эксцентриситеты. Для квазикруглых орбит эти значения могут быть такими маленькими, как 2 или 4, в то время как для сильно эксцентрических конфигураций может потребоваться принять пределы до 15.Из-за свойств возмущающей функции Даламбера не все индексы дают ненулевые коэффициенты. В частности, все условия с j Ã | uq — л | и тыс. Ã | л | равны нулю, и если l — четное (нечетное) число, то релевантны только четные (нечетные) значения k . То же самое для j относительно uq — l .

Наконец, из-за наличия параметра δ ã 0, который заставляет наше разложение занижать значение точной функции вблизи сингулярностей, вне кривой столкновений наша модель обычно требует меньшего числа членов (для данной точности), чем классические разложения Лапласа или Каулы.

4.2 Сравнение с численными расчетами

В следующем разделе мы применим это расширение к нескольким резонансным отношениям между планетами и обсудим информацию, которую может дать модель. Однако перед этим было бы интересно представить несколько сравнений окончательного разложения (34) с численным определением точной усредненной возмущающей функции.

Типичные результаты для резонанса 2/1 можно увидеть на рис. 3, где мы показываем изменение и его частные производные по σ ₁ и e ₁ в зависимости от эксцентриситета внутренняя планета.Точная функция, определенная численно, представлена сплошными линиями, а результат разложения показан крестиками. Во всех случаях мы выбрали α = α ₀, σ ₁ = 90 ° и σ ₂ = 125 °. Эти два значения для резонансных углов были выбраны как компромисс между наилучшим и наихудшим сценариями (т. Е. Самым дальним и ближайшим к кривой столкновения). На трех графиках слева мы взяли e ₂ = 0,1, а графики справа были получены с учетом e ₂ = 0.4.

Рисунок 3.

Вариация и частные производные как функция e ₁. Сплошными линиями показаны точные значения, определенные численно. Крестиками обозначены решения модели. Единицы таковы, что κ = 1.

Рисунок 3.

В первом случае мы видим, что согласие между обоими наборами данных очень хорошее, даже для больших значений эксцентриситета внутренней планеты. Как моделируемая возмущающая функция, так и ее производные воспроизводят тенденцию реальной функции качественно и количественно с небольшой ошибкой. В случае большого e ₂ точность аналитической модели все еще хорошая для значений e ₁, меньших, чем ∼0.3. После этого модель недооценивает величину реальной функции. Причиной тому является наличие сингулярности для e ₁ ∼ 0.52. Очевидно, что модель не может воспроизвести такое поведение, но важной характеристикой является то, что она по-прежнему актуальна и дает точные результаты за пределами непосредственной близости от точки столкновения.

Модель также может быть проверена на реальных планетах в других резонансных или почти резонансных конфигурациях. В качестве примера приведем систему Юпитер – Сатурн, близкую к резонансу 5: 2.Хотя между этими планетами не существует точного резонанса, средние движения Юпитера и Сатурна подчиняются соотношению 5 n _Sat — 2 n _Jup ≈ 0. Используя усредненную модель, описанную в этом разделе, мы рассчитали уровни постоянной полной энергии и углового момента, которые показаны на рис. 4. Уровни энергии (вертикальные кривые) и углового момента (наклонные кривые) нанесены в виде ( a ₂, e ₂ ) плоскость начальной большой полуоси и эксцентриситета Сатурна.Начальные значения большой полуоси и эксцентриситета Юпитера были зафиксированы на уровне a ₁ = 5,2025 а.е. и e ₁ = 0,046 (эти значения соответствуют усредненным по времени значениям орбитального элемента Юпитера). . Начальные значения критических углов были зафиксированы на их фактических значениях σ ₁ = 45,6 ° и σ ₂ = −30,5 °.

Рис. 4.

Уровни энергии (вертикальные кривые) и углового момента (горизонтальные кривые) системы Юпитер – Сатурн в плоскости ( a ₂, e ₂) начальной большой полуоси и эксцентриситета. Сатурна.Уровни энергии и углового момента, показанные жирными кривыми, соответствуют реальной конфигурации системы Юпитер – Сатурн. Расположение Сатурна показано крестиком.

Рис. 4.

Уровни энергии (вертикальные кривые) и углового момента (горизонтальные кривые) системы Юпитер – Сатурн в плоскости ( a ₂, e ₂) начальной большой полуоси и эксцентриситет Сатурна. Уровни энергии и углового момента, показанные жирными кривыми, соответствуют реальной конфигурации системы Юпитер – Сатурн.Расположение Сатурна показано крестиком.

Мы также численно интегрировали реальную систему Юпитер-Сатурн за 400 000 лет. Значения полной энергии и момента количества движения были получены равными ƒ = −0,0042143 и Дж, _tot = 0,019203, соответственно, в единицах массы Солнца, астрономической единице и году. Уровни, соответствующие этим значениям, показаны жирными кривыми на рис. 4. Положение Сатурна в плоскости ( a ₂, e ₂) показано крестиком.Координаты Сатурна, полученные путем численного интегрирования системы Юпитер – Сатурн, представляют собой усредненные по времени значения его орбитальных элементов. Сравнивая результаты численного и аналитического моделирования на рис. 4, мы отмечаем, что они очень хорошо согласуются, и даже вдали от точного резонанса модель дает точные поверхности с постоянной энергией и угловым моментом.

5 Применение к резонансу 2/1 в системе Gliese 876

В этом разделе мы в основном использовали орбитальную аппроксимацию Кека + Лика системы GJ 876, описанную в Laughlin & Chambers (2001, таблица 3).Массы задаются следующим образом: M ₀ = 0,32 M _Sun, M ₁ = 0,92 M _Jup и M ₂ = 3,08 M _Jup, для центральной звезды, внутренней и внешней планет соответственно. Использовались следующие большие полуоси и эксцентриситет: a ₁ = 0,1291 и a ₂ = 0,2067 а.е. e ₁ = 0,252 и e ₂ = 0.046. С помощью этих числовых значений мы можем получить постоянные движения, Дж, , _, = 0,005801 и Дж, , ₂ = 0,004637, в единицах массы Солнца, астрономической единице и году. Гамильтониан, соответствующий текущей системе, был оценен с использованием уравнения (35) как -0,133513, что хорошо согласуется с полной орбитальной энергией, вычисленной посредством прямого численного интегрирования как -0,133552.

5.1 Уровни энергии в репрезентативных плоскостях

Начнем анализ динамики гамильтоновой системы (35) с построения графика на рис.5 кривые уровней энергии в пространстве начальных условий. Представим пространство начальных условий в двух плоскостях. Первая, показанная на рис.5 вверху, соответствует плоскости начальных эксцентриситетов ( e ₁, e ₂), где начальные значения критических углов σ ₁ и σ ₂ фиксируются либо на нуле, либо на 180 °. Когда σ _i ( i = 1, 2) равно нулю, соответствующий эксцентриситет e _i обозначается как положительный.И наоборот, e _i записывается как отрицательное число, когда σ _i = 180 °. Вторая репрезентативная плоскость выбрана как плоскость (σ ₁, σ ₂), где планетарные эксцентриситеты теперь зафиксированы на своих начальных значениях (рис. 5 внизу).

Рис. 5.

Вверху: кривые уровней энергии гамильтониана, заданного уравнением (35) на плоскости начальных условий ( e ₁, e ₂).Знаки «+» и «-» перед эксцентриситетом указывают, что σ _i равно 0 или 180 ° соответственно. Код уровня серого используется для измерения значений энергии; более светлые области указывают на большие значения энергии, тогда как более темные области указывают на меньшие значения энергии. Указаны равновесные решения гамильтониана; точка P ⁺ — это устойчивый равновесный раствор, окруженный либрационной зоной, а P ^— — неустойчивое равновесное решение, указывающее на начало хаоса.Кривые, вдоль которых и, нанесены большими символами. Текущее местоположение системы GJ 876 показано звездочкой. Внизу: уровни энергии ƒ на плоскости (σ ₁, σ ₂). График соответствует планетарным эксцентриситетам, равным e ₁ = 0,252 и e ₂ = 0,046.

Рис. 5.

Вверху: кривые уровней энергии гамильтониана, заданного уравнением (35), на плоскости начальных условий ( e ₁, e ₂).Знаки «+» и «-» перед эксцентриситетом указывают, что σ _i равно 0 или 180 ° соответственно. Код уровня серого используется для измерения значений энергии; более светлые области указывают на большие значения энергии, тогда как более темные области указывают на меньшие значения энергии. Указаны равновесные решения гамильтониана; точка P ⁺ — это устойчивый равновесный раствор, окруженный либрационной зоной, а P ^— — неустойчивое равновесное решение, указывающее на начало хаоса.Кривые, вдоль которых и, нанесены большими символами. Текущее местоположение системы GJ 876 показано звездочкой. Внизу: уровни энергии ƒ на плоскости (σ ₁, σ ₂). График соответствует планетарным эксцентриситетам, равным e ₁ = 0,252 и e ₂ = 0,046.

При построении репрезентативной плоскости ( e ₁, e ₂) выбор начальных угловых переменных, σ ₁ и σ ₂, основан на предыдущих исследованиях первого -порядковый резонанс (Henrard & Lemaître, 1983).Действительно, вне резонанса циркулируют σ ₁ и σ ₂ и проходят через 0 или 180 ° для всех начальных условий. Внутри резонанса 2/1 все симметричные периодические решения гамильтониана находятся при σ _i = 0 (mod π), и движение описывается колебаниями вокруг центров, расположенных либо в σ _i = 0, либо σ _i = 180 ° (для i = 1, 2). Следовательно, критические угловые переменные могут быть изначально зафиксированы на уровне 0 ° или 180 ° без потери общности.

Характеристические кривые, вдоль которых и, показаны на рис. 5 вверху большими символами. Эти кривые могут быть легко получены из условий периодического движения, определяемого выражением ƒ в уравнении (35). Ожидается, что эти кривые будут очагами характерного резонансного движения (стабильного или нестабильного либрации), и их окрестность можно назвать резонансной зоной. Например, начало зон либрации углов σ _i отделено от областей векового движения истинными бесконечнопериодическими сепаратрисами.

Пересечения характеристических кривых дают нам положение равновесных решений гамильтониана на плоскости ( e ₁, e ₂), отмеченной значком P ⁺ и P ^{. —} на фиг. 5 вверху. Природу этих решений можно проанализировать на плоскости (σ ₁, σ ₂) на рис. 5 внизу. Угловая конфигурация динамической системы, характеризующейся максимумом энергии, устойчива и соответствует σ ₁ = 0 и σ ₂ = 0 (стабильная P ⁺ -точка).Противоположная конфигурация при σ ₁ = π и σ ₂ = 0 соответствует минимуму энергии и является нестабильной (нестабильная точка P ^—). Устойчивость точек равновесия определяется поведением матрицы Гессе ƒ , оцениваемой в точке. Стоит подчеркнуть, что, хотя построение репрезентативной плоскости (σ ₁, σ ₂) может показаться несущественным в этом случае, это важно при поиске асимметричных либраций (Beaugé 1994).

Текущее положение планет GJ 876 в этой плоскости показано символом звезды, подтверждающим, что эта система находится глубоко внутри резонанса среднего движения 2/1, что очень близко к стационарному решению в обоих резонансных углах σ ₁ и σ ₂.

Наконец, рис. 6 показывает временную эволюцию эксцентриситетов и угловых переменных, полученных с помощью численного интегрирования точных уравнений (точки). Жирными кривыми мы представляем результаты с использованием модели.Поскольку наша функция гамильтониана была усреднена по короткопериодическим параметрам, аналитические данные кажутся сглаженными по всем высокочастотным колебаниям. Однако общая тенденция в обоих случаях практически идентична.

Рисунок 6.

Временная эволюция эксцентриситетов и угловых переменных σ ₁ и σ ₂ для начальных условий, аналогичных реальной системе GJ 876. Точками показаны результаты численного интегрирования точных уравнений, а применение аналитической модели представлено жирными кривыми.

Рисунок 6.

5.2 Периодические орбиты в системах GJ 876 и HD 82943

На рис. 5 мы показали, что можно аналитически установить, что система GJ 876 находится близко к стационарному решению, где оба резонансных угла либрируют одновременно вокруг нуля.Эту конфигурацию иногда называют симметричной апсидальной коротацией , и когда короткопериодические члены повторно вводятся в гамильтониан, они образуют устойчивые периодические орбиты.

Недавно Hadjidemetriou (2002) численно определил семейства стабильных симметричных периодических орбит для планетных систем GJ 876 и HD 82943 и представил свои результаты в виде кривых в плоскости начальных эксцентриситетов ( e ₁, e ₂).Каждая точка в этой плоскости соответствует разным значениям интегралов полной энергии и углового момента. Он заметил два разных семейства: одно встречается для σ ₁ = 0 и σ ₂ = 180 градусов, а другое — для σ ₁ = 0 и σ ₂ = 0.

Теперь мы можем использовать нашу модель, чтобы получить эти стационарные решения и сравнить их с численными значениями в той статье. Результаты представлены на рис. 7, где верхний график соответствует массам системы HD 82943, а нижний график показывает семейства планет GJ 876.

Рис. 7.

Семейства периодических орбит планетных систем HD 82943 и GJ 876. На верхнем графике численные результаты показаны непрерывными линиями, а аналитические решения показаны крестиками. На нижнем графике положение планет GJ 876 показано полным кругом. На обоих графиках предел сходимости разложения Лапласа представлен пунктирными линиями.

Рис. 7.

Семейства периодических орбит планетных систем HD 82943 и GJ 876.На верхнем графике численные результаты показаны непрерывными линиями, а аналитические решения показаны крестиками. На нижнем графике положение планет GJ 876 показано полным кругом. На обоих графиках предел сходимости разложения Лапласа представлен пунктирными линиями.

На верхнем графике численно определенные периодические орбиты показаны непрерывными кривыми, а результаты нашей модели представлены крестиками. Решения для σ ₂ = 180 ограничены небольшим « горбом », видимым в области малых значений e ₁, в то время как стационарные точки с σ ₂ = 0 расположены на другой непрерывной кривой. .Пунктирными линиями обозначен предел сходимости разложения Лапласа возмущающей функции. Обратите внимание, что большая часть площади плоскости недоступна для классических аналитических выражений, в то время как модель, представленная в этой статье, показывает очень хорошее согласие даже для эксцентриситетов порядка 0,5.

На нижнем графике показаны только аналитические результаты (сплошные линии) вместе с динамической аппроксимацией Кека (Lee & Peale, 2002) элементов орбиты планет GJ 876 (полный круг).Обратите внимание, что положение этой системы лежит за пределом сходимости разложения Лапласа; таким образом, его применимость серьезно подорвана.

5.3 Поверхности профиля

В качестве последнего примера применения нашего разложения в этом подразделе мы представляем исследование некоторых областей фазового пространства системы GJ 876 с использованием техники поверхностей сечения. Для представления были выбраны две секции. Первое сечение, соответствующее внутренней планете, представляет собой сечение плоскостью sin σ ₂ = 0, когда, и его координаты e ₁ cos σ ₁ по сравнению с e ₁ sin σ ₁.Второй участок соответствует внешней планете и представляет собой сечение плоскостью sin σ ₁ = 0, когда, и его координаты e ₂ cos σ ₂ по сравнению с e ₂ sin σ ₂.

Первый набор поверхностей сечения был рассчитан по энергетическому уровню ƒ = −0,133513, что соответствует энергии динамической аппроксимации Кека + Лика планетарных орбит. На рис. 8 показаны сечения внутренней планеты на верхней панели и сечения внешней планеты на нижней панели.Непрерывные кривые, окружающие рисунок, представляют границы энергетического многообразия. Мы также нанесем жирными линиями два сечения на каждой плоскости, которые соответствуют текущей системе GJ 876.

Рисунок 8.

Вверху: поверхности сечения внутренней планеты. Внизу: поверхности сечения внешней плоскости. Секции были построены по энергетическому уровню, соответствующему текущей наиболее подходящей конфигурации системы GJ 876. Сплошными кривыми показаны границы энергетического многообразия.Сечения, соответствующие реальной системе GJ 876, показаны жирными кривыми.

Рисунок 8.

Вверху: поверхности сечения внутренней планеты. Внизу: поверхности сечения внешней плоскости. Секции были построены по энергетическому уровню, соответствующему текущей наиболее подходящей конфигурации системы GJ 876. Сплошными кривыми показаны границы энергетического многообразия. Сечения, соответствующие реальной системе GJ 876, показаны жирными кривыми.

Для энергий, близких к точке устойчивого равновесия, возможен только либрационный режим движения, на сечениях не видно областей хаотического движения.Мы можем видеть острова либрации на внутреннем сечении планеты и область либрации σ ₂ около 0 на внешнем сечении планеты. Оба критических угла находятся в либрации около 0, хотя траектория либрации внешней планеты может включать начало координат в фазовом пространстве и проявляться кинематически как прямая циркуляция. При увеличении энергии область резонансного режима уменьшается и сжимается до устойчивой точки равновесия при ƒ = −0,133508, обозначенной как P ⁺ на рис.5 верх.

Чтобы получить представление о поведении системы GJ 876 при более низких энергиях, мы представляем на рис. 9 набор поверхностей сечения, рассчитанных вдоль энергетического уровня ƒ = −0,133615, показанных пунктирной кривой на рис. Топ. В этом случае область резонанса 2/1 представляет собой сложную динамическую структуру. Есть три различных режима движения, и области перехода между ними хаотичны. Основной режим либрации можно рассматривать как островки регулярного движения около правой границы энергетического многообразия на сечении внутренней планеты и около начала координат на сечении внешней планеты.В этом режиме критический угол σ ₁ остается в либрации около 0, но угол σ ₂ теперь либрирует примерно на 180 °. Области основного режима либрации окружены морем хаотического движения. Два других режима движения характеризуются либрацией угла σ ₁ около 0 и обратной циркуляцией угла σ ₂ (и Δϖ).

Рис. 9.

То же, что на Рис. 8, за исключением нижнего уровня энергии.

Рис. 9.

То же, что на Рис. 8, за исключением нижнего уровня энергии.

Таким образом, кажется, что, хотя нынешнее состояние планет характеризуется очень регулярной структурой фазового пространства, то же самое не верно для разных значений интеграла энергии. Если эта система претерпела большую орбитальную миграцию (которая все еще может продолжаться), то вполне возможно, что планеты претерпели значительную хаотическую эволюцию.

6 Выводы

В этой статье мы представляем новое аналитическое разложение для гамильтониана плоской планетарной задачи трех тел, применимость которого не ограничивается почти круговыми орбитами, но полезна для очень высоких значений эксцентриситетов массивных тел.Окончательное выражение записывается в виде степенного ряда больших полуосей и эксцентриситетов, а также косинусов угловых переменных. Его можно применить к любой общей соизмеримости среднего движения между обеими планетами или, наоборот, к нерезонансному случаю. Благодаря использованию модифицированных операторов Ньюкома полученные коэффициенты имеют относительно простые рекуррентные соотношения, что упрощает их определение. В этом отношении нынешнее расширение гораздо более практично, чем то, что первоначально было представлено Beaugé (1996), что делает его легко применимым к нескольким физическим проблемам в нашей Солнечной системе и / или внесолнечных планетных системах.

Сравнение модельного гамильтониана и точной (численно усредненной) функции показывает очень хорошую точность до тех пор, пока начальные условия не помещают систему в окрестности точек столкновения. Применение этого разложения к случаю резонанса среднего движения 5/2 и внесолнечных планетных систем GJ 876 и HD 82943 также показывает очень хорошее согласие относительно интеграций точных уравнений для тела N . В частности, все топологические характеристики фазового пространства, включая равновесные решения, периодические орбиты и временную эволюцию орбитальных элементов, похоже, хорошо воспроизводятся нашей функцией.

Важно помнить, что большинство внесолнечных планет имеют эксцентриситет орбиты выше предела сходимости классической лапласианской возмущающей функции. Настоящее расширение, таким образом, представляет собой, вероятно, первый адекватный инструмент для построения аналитических моделей этих систем. Одно из основных преимуществ перед численными методами — процессорное время. В то время как численно определенные периодические орбиты, показанные на рис. 7, потребовали нескольких часов расчета (с помощью персонального компьютера), аналитические результаты потребовали всего несколько секунд.Построение поверхностей сечения на рис. 8 и 9 заняло пару часов с моделью; аналогичный подвиг с численно усредненным точным гамильтонианом займет несколько дней. Конечно, если необходимо проанализировать только одно начальное условие, то численное интегрирование точных уравнений — лучший подход. Однако внесолнечные планетные орбиты во много раз малоизвестны, а их массы оцениваются только с точностью до коэффициента sin I . Таким образом, если необходимо изучить весь набор начальных условий (и масс) или если цель состоит в том, чтобы идентифицировать периодические орбиты системы с множеством различных значений энергии и углового момента, то численные подходы, как правило, потребляют слишком много ресурсов и становиться неуязвимым.

Еще одним преимуществом аналитической модели является то, что она дает результаты, практически не зависящие от времени. Например, численное моделирование GJ 876 для 10 млн лет дает результаты, которые действительны только для этого промежутка времени. Если будет установлено, что интегрированные орбиты стабильны, нет никакой гарантии, что эта стабильность будет поддерживаться, если моделирование будет расширено до 100 или даже 20 млн лет. С другой стороны, с помощью гамильтоновой модели можно отобразить структуру и топологию фазового пространства в окрестности начальных условий, оценить периодические орбиты или области хаотического движения и, таким образом, иметь возможность предсказывать динамическое поведение системы и стабильности в гораздо более длительных временных масштабах.Поскольку модель намного быстрее, чем симуляция, также можно искать большую область фазового пространства и наносить на карту области орбитальной стабильности, где могут существовать другие (неоткрытые) планеты.

Конечно, модель не заменяет интегрирование точных уравнений. Однако можно использовать расширение в качестве исследовательского инструмента, воспользоваться его скоростью, чтобы найти интересные и / или новые функции системы, а затем подтвердить эти результаты численно.

Наконец, важно иметь в виду, что сравнения, представленные в этой статье, за исключением поверхностей сечения, в основном являются примерами ранее известных результатов.Их цель — просто проверить модель, а не предоставить новую информацию. Конкретные приложения к спутниковым системам и внесолнечным планетам, демонстрирующим высокоэллиптические движения, будут представлены в следующей статье.

Код Фортрана, разработанный для этой модели, предоставляется по запросу.

Благодарности

Эта работа была поддержана Бразильским национальным исследовательским советом, CNPq, через стипендии 300953 / 01-1 и 300946 / 96-1, а также Государственным научным фондом Сан-Паулу FAPESP.Авторы с благодарностью признают поддержку вычислительного центра Университета Сан-Паулу (LCCA-USP) за использование их средств.

Список литературы

1994

Cel. Мех. Dynam. Astron.

225

1996

Cel. Мех. Dynam. Astron.

313

1961

Методы небесной механики

Academic Press

Нью-Йорк

и другие. ,

2002

ApJ

578

565

1994

Cel. Мех. Dynam. Astron.

2002

Cel. Мех. Dynam. Astron.

141

1983

Селест. Мех.

197

1799

Mécanique Céleste (английский перевод Боудитч Н.

1966

Chelsea Pub. Co.

Нью-Йорк

)

1991

, in, ed.,

NATO ASI Ser.

Том.

B272

Предсказуемость, устойчивость и хаос в динамических системах с N-телом

Plenum Press

New York

, p.

1995

Cel. Мех. Dynam. Astron.

193

Заметки автора

графиков движения — гипертекст по физике

Обсуждение

введение

Современные математические обозначения — это очень компактный способ кодирования идей.Уравнения могут легко содержать информационный эквивалент нескольких предложений. Описание Галилеем объекта, движущегося с постоянной скоростью (возможно, первое применение математики к движению), потребовало одного определения, четырех аксиом и шести теорем. Все эти отношения теперь можно записать в одно уравнение.

Когда дело доходит до глубины, ничто не сравнится с уравнением.

Ну почти ничего. Вернитесь к предыдущему разделу об уравнениях движения. Вы должны помнить, что три (или четыре) уравнения, представленные в этом разделе, действительны только для движения с постоянным ускорением по прямой.Поскольку, как я правильно указал, «ни один объект никогда не двигался по прямой с постоянным ускорением в любом месте Вселенной в любое время», эти уравнения верны только приблизительно, только время от времени.

Уравнения отлично подходят для описания идеализированных ситуаций, но они не всегда помогают. Иногда вам нужна картинка, чтобы показать, что происходит, — математическая картинка, называемая графиком. Графики часто являются лучшим способом передать описания реальных событий в компактной форме.Графики движения бывают нескольких типов в зависимости от того, какие кинематические величины (время, положение, скорость, ускорение) присвоены какой оси.

время позиции

Давайте начнем с графического представления некоторых примеров движения с постоянной скоростью. На графике справа показаны три разные кривые, каждая с начальным положением нуля. Прежде всего обратите внимание, что графики все прямые. (Любая линия, нарисованная на графике, называется кривой. Даже прямая линия называется кривой в математике.) Этого следовало ожидать, учитывая линейный характер соответствующего уравнения. (Независимая переменная линейной функции возводится не выше первой степени.)

Сравните уравнение положения-времени для постоянной скорости с классическим уравнением пересечения наклона, которое преподается во вводной алгебре.

с =	с ₀	+	v ∆ t
y =	a	+	bx

Таким образом, скорость соответствует наклону, а начальное положение — точке пересечения на вертикальной оси (обычно называемой осью «y»).Поскольку каждый из этих графов имеет точку пересечения в начале координат, каждый из этих объектов имеет одинаковую начальную позицию. Этот график может представлять собой своего рода гонку, в которой все участники выстроились в линию на стартовой линии (хотя на этих скоростях это, должно быть, была гонка между черепахами). Если бы это была гонка, то участники уже двигались, когда гонка началась, поскольку каждая кривая имеет ненулевой уклон на старте. Обратите внимание, что начальное положение, равное нулю, не обязательно означает, что начальная скорость также равна нулю.Высота кривой ничего не говорит о ее наклоне.

На графике положение-время …
- наклон скорость
- точка пересечения y — это начальная позиция
- , когда две кривые совпадают, два объекта имеют одинаковое положение в это время

В отличие от предыдущих примеров, давайте изобразим положение объекта с постоянным ненулевым ускорением, начиная с момента покоя в начале координат.Основное отличие этой кривой от кривых на предыдущем графике состоит в том, что эта кривая фактически изгибается. Отношение между положением и временем является квадратичным, когда ускорение постоянно, и поэтому эта кривая представляет собой параболу . (Переменная квадратичной функции возводится не выше второй степени.)

с = с ₀ + v ₀ ∆ t +	1	a ∆ t ²
	2
y = a + bx + cx ²

В качестве упражнения давайте вычислим ускорение этого объекта по его графику.Он пересекает начало координат, поэтому его начальное положение равно нулю, в примере указано, что начальная скорость равна нулю, а график показывает, что объект прошел 9 м за 10 с. Затем эти числа можно ввести в уравнение.

с =

с ₀ + v ₀ ∆ t +	1	a ∆ t ²
	2

а =

2 (9 м)	= 0.18 м / с ²
(10 с) ²

Когда график положения-времени изогнут, невозможно вычислить скорость по его наклону. Наклон — это свойство только прямых линий. Такой объект не имеет скорости и , потому что у него нет наклона и . Слова «the» и «a» подчеркнуты здесь, чтобы подчеркнуть идею о том, что в этих обстоятельствах не существует единственной скорости .Скорость такого объекта должна изменяться. Это ускоряется.

На графике положение-время …
- прямых сегментов подразумевают постоянную скорость
- сегментов кривой подразумевают ускорение
- объект, испытывающий постоянное ускорение , отслеживает часть параболы

Хотя у нашего гипотетического объекта нет единой скорости, у него все же есть средняя скорость и непрерывный набор мгновенных скоростей.Среднюю скорость любого объекта можно найти, разделив общее изменение положения (также известное как смещение) на изменение во времени.

Это то же самое, что вычисление наклона прямой, соединяющей первую и последнюю точки кривой, как показано на диаграмме справа. В этом абстрактном примере средняя скорость объекта была…

v =	∆ с	=	9,5 м	= 0.95 м / с
	∆ т		10,0 с

Мгновенная скорость — это предел средней скорости при сокращении временного интервала до нуля.

v =		∆ с	=	DS
		∆ т		дт

По мере того, как концы линии средней скорости становятся ближе друг к другу, они становятся лучшим индикатором фактической скорости.Когда две точки совпадают, прямая касается кривой. Этот процесс ограничения представлен на анимации справа.

На графике положение-время …
- средняя скорость — наклон прямой, соединяющей конечные точки кривой
- мгновенная скорость — наклон касательной к кривой в любой точке

Семь касательных были добавлены к нашему общему графику положения и времени в анимации, показанной выше.Обратите внимание, что угол наклона равен нулю дважды — один раз в верхней части выступа за 3,0 с и снова в нижней части вмятины за 6,5 с. (Выступ — это локальный максимум , а вмятина — локальный минимум . В совокупности такие точки известны как локальные экстремумы .) Наклон горизонтальной линии равен нулю, что означает, что объект в то время был неподвижен . Поскольку график не плоский, объект находился в состоянии покоя лишь на мгновение, прежде чем снова начал двигаться. Хотя его положение в то время не менялось, его скорость была.Это представление, с которым многие люди сталкиваются с трудностями. Можно ускоряться и при этом не двигаться, но только на мгновение.

Отметим также, что наклон отрицательный в интервале между выступом в 3,0 с и вмятиной в 6,5 с. Некоторые интерпретируют это как движение в обратном направлении, но так ли это вообще? Что ж, это абстрактный пример. Это не сопровождается никаким текстом. Графики содержат много информации, но без заголовка или другой формы описания они не имеют смысла.Что представляет собой этот график? Персона? Машина? Лифт? Носорог? Астероид? Пылинка? Почти все, что мы можем сказать, это то, что этот объект сначала двигался, замедлился до остановки, изменил направление, снова остановился, а затем возобновил движение в том направлении, в котором он начал (в каком бы направлении он ни был). Отрицательный уклон не означает автоматически движение назад, ходьбу налево или падение. Выбор знаков всегда произвольный. В общем, все, что мы можем сказать, это то, что когда наклон отрицательный, объект движется в отрицательном направлении.

На графике положение-время …
- положительный наклон подразумевает движение в положительном направлении
- отрицательный наклон подразумевает движение в отрицательном направлении
- нулевой наклон подразумевает состояние покоя

скорость-время

Самое важное, что нужно помнить о графиках скорость-время, — это то, что это графики скорость-время, а не графики положения-времени. В линейном графике есть что-то такое, что заставляет людей думать, что они смотрят на путь объекта.Распространенная ошибка новичков — смотреть на график справа и думать, что линия против = 9,0 м / с соответствует объекту, который «выше» других объектов. Не думай так. Это не правильно.

Не смотрите на эти графики и думайте о них как о движущемся объекте. Вместо этого думайте о них как о записи скорости объекта. На этих графиках выше означает быстрее, не дальше. Линия v = 9,0 м / с выше, потому что этот объект движется быстрее других.

Все эти конкретные графики горизонтальные. Начальная скорость каждого объекта такая же, как конечная скорость такая же, как и каждая промежуточная скорость. Скорость каждого из этих объектов постоянна в течение этого десятисекундного интервала.

Для сравнения, когда кривая на графике скорость-время прямая, но не горизонтальная, скорость меняется. Каждая из трех кривых справа имеет разный наклон. График с самым крутым наклоном испытывает наибольшую скорость изменения скорости.Этот объект имеет наибольшее ускорение. Сравните уравнение скорости-времени для постоянного ускорения с классическим уравнением пересечения наклона, которое преподается во вводной алгебре.

против =	v ₀	+	a ∆ t
y =	a	+	bx

Вы должны увидеть, что ускорение соответствует наклону, а начальная скорость — точке пересечения на вертикальной оси.Поскольку каждый из этих графов имеет точку пересечения в начале координат, каждый из этих объектов изначально находился в состоянии покоя. Однако начальная скорость, равная нулю, не означает, что начальное положение также должно быть нулевым. Этот график ничего не говорит нам о начальном положении этих объектов. Насколько нам известно, они могут находиться на разных планетах.

На графике скорость-время …
- крутизна ускорение
- точка пересечения «y» — это начальная скорость
- , когда две кривые совпадают, два объекта имеют одинаковую скорость в это время

Все кривые на предыдущем графике были прямыми линиями.Прямая линия — это кривая с постоянным наклоном. Поскольку наклон — это ускорение на графике скорость-время, каждый из объектов, представленных на этом графике, движется с постоянным ускорением. Если бы графики были изогнутыми, ускорение не было бы постоянным.

На графике скорость-время …
- прямых подразумевают постоянное ускорение
- изогнутых линий подразумевают непостоянное ускорение
- объект, испытывающий постоянное ускорение , движется по прямой

Так как кривая линия не имеет единого наклона, мы должны решить, что мы имеем в виду, когда спрашиваем — это ускорение объекта .Эти описания вытекают непосредственно из определений среднего и мгновенного ускорения. Если требуется среднее ускорение, нарисуйте линию, соединяющую конечные точки кривой, и вычислите ее наклон. Если требуется мгновенное ускорение, возьмите предел этого наклона по мере сокращения временного интервала до нуля, то есть возьмите наклон касательной.

На графике скорость-время …
- среднее ускорение — наклон прямой, соединяющей конечные точки кривой

На графике скорость-время …
- мгновенное ускорение — наклон касательной к кривой в любой точке


а =	∆ v	=	дв
	∆ т		дт

Семь касательных были добавлены к нашему общему графику скорость-время в анимации, показанной выше.Обратите внимание, что угол наклона равен нулю дважды — один раз в верхней части выступа за 3,0 с и снова в нижней части вмятины за 6,5 с. Наклон горизонтальной линии равен нулю, что означает, что в это время объект мгновенно прекращает ускорение. В эти два момента ускорение могло быть нулевым, но это не означает, что объект остановился. Для этого кривая должна пересекать горизонтальную ось. Это произошло только один раз — в начале графика. В обоих случаях, когда ускорение было нулевым, объект все еще двигался в положительном направлении.

Вы также должны заметить, что наклон был отрицательным от 3,0 до 6,5 с. За это время скорость снижалась. Однако в целом это не так. Скорость уменьшается всякий раз, когда кривая возвращается в исходное положение. Выше горизонтальной оси это будет отрицательный наклон, а ниже — положительный. Об отрицательном наклоне графика скорость-время можно сказать только то, что в течение такого интервала скорость становится более отрицательной (или менее положительной, если хотите).

На графике скорость-время …
- положительный наклон подразумевает увеличение скорости в положительном направлении
- подразумевает увеличение скорости в отрицательном направлении
- нулевой наклон подразумевает движение с постоянной скоростью

В кинематике есть три величины: положение, скорость и ускорение. Имея график любой из этих величин, всегда можно в принципе определить две другие.Ускорение — это скорость изменения скорости во времени, поэтому ее можно найти по наклону касательной к кривой на графике скорость-время. Но как определить позицию? Давайте рассмотрим несколько простых примеров, а затем выведем взаимосвязь.

Начните с простого графика скорость-время, показанного справа. (Для простоты предположим, что начальная позиция равна нулю.) На этом графике есть три важных интервала. В течение каждого интервала ускорение остается постоянным, как показывают отрезки прямой линии.Когда ускорение постоянно, средняя скорость — это просто среднее значение начального и конечного значений в интервале.

0–4 с: этот сегмент треугольный. Площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту. По сути, мы только что вычислили площадь треугольного сегмента на этом графике.

∆ s = v ∆ t
∆ s = ½ ( v + v ₀) ∆ t
∆ s м / 82749 ) (4 с)
∆ с = 16 м

Суммарное пройденное расстояние в конце этого интервала составляет…

16 м

4–8 с: Этот сегмент имеет форму трапеции.Площадь трапеции (или трапеции ) — это среднее значение двух оснований, умноженное на высоту. По сути, мы только что рассчитали площадь трапециевидного сегмента на этом графике.

∆ s = v ∆ t
∆ s = ½ ( v + v ₀) ∆ t
∆ 927 ½ s s м = + 8 м / с) (4 с)
∆ с = 36 м

Суммарное пройденное расстояние в конце этого интервала составляет…

16 м + 36 м = 52 м

8–10 с: этот сегмент прямоугольный.Площадь прямоугольника равна его высоте, умноженной на ширину. По сути, мы только что вычислили площадь прямоугольного сегмента на этом графике.

∆ с = v ∆ t
∆ с = (10 м / с) (2 с)
∆ с = 20 м

Суммарное пройденное расстояние в конце этого интервала составляет…

16 м + 36 м + 20 м = 72 м

Я надеюсь, что вы уже заметили тенденцию. Площадь под каждым сегментом — это изменение положения объекта в течение этого интервала.Это верно даже тогда, когда ускорение непостоянно.

Любой, кто прошел курс математического анализа, должен был знать это, прежде чем читать здесь (или, по крайней мере, когда они читали это, они должны были сказать: «О да, я это помню»). Первая производная положения по времени — это скорость. Производная функции — это наклон прямой, касательной к ее кривой в данной точке. Операция, обратная производной, называется интегралом. Интеграл функции — это совокупная площадь между кривой и горизонтальной осью на некотором интервале.Эта обратная связь между действиями производной (наклон) и интеграла (площадь) настолько важна, что ее называют фундаментальной теоремой исчисления . Это означает, что это важные отношения. Узнать его! Это «фундаментально». Вы не видели его в последний раз.

На графике скорость-время …
- область под кривой — изменение позиции

время разгона

График ускорения-времени любого объекта, движущегося с постоянной скоростью, одинаков.Это верно независимо от скорости объекта. Самолет, летящий с постоянной скоростью 270 м / с (600 миль в час), ленивец, идущий с постоянной скоростью 0,4 м / с (1 миль в час), и лежащий на диване картофель, неподвижно лежащий перед телевизором часами, будут иметь одинаковое ускорение. -временные графики — горизонтальная линия, коллинеарная горизонтальной оси. Это потому, что скорость каждого из этих объектов постоянна. Они не ускоряются. Их ускорения равны нулю. Как и в случае графиков скорость-время, важно помнить, что высота над горизонтальной осью не соответствует положению или скорости, она соответствует ускорению .

Если вы споткнетесь и упадете по дороге в школу, ваше ускорение по отношению к земле будет больше, чем у всех, кроме нескольких высокопроизводительных автомобилей с «педалью до металла». Ускорение и скорость — разные величины. Быстрая езда не означает быстрого ускорения. Эти две величины не зависят друг от друга. Большое ускорение соответствует быстрому изменению скорости на , но это ничего не говорит вам о значениях самой скорости.

Когда ускорение постоянное, кривая ускорения-время представляет собой горизонтальную линию.Скорость изменения ускорения во времени обсуждается нечасто, поэтому наклон кривой на этом графике пока игнорируется. Если вам нравится знать названия вещей, это количество называется рывок . На первый взгляд, единственная информация, которую можно почерпнуть из графика ускорения-времени, — это ускорение в любой момент времени.

На графике время разгона …
- наклон рывок
- точка пересечения «y» равна начальному ускорению
- , когда две кривые совпадают, два объекта имеют одинаковое ускорение в это время
- объект, испытывающий постоянное ускорение , очерчивает горизонтальную линию
- нулевой наклон подразумевает движение с постоянным ускорением

Ускорение — это скорость изменения скорости во времени.Преобразование графика скорости-времени в график ускорения-времени означает вычисление наклона линии, касательной к кривой в любой точке. (В расчетах это называется поиском производной.) Обратный процесс влечет за собой расчет совокупной площади под кривой. (В расчетах это называется нахождением интеграла.) Это число является изменением значения на графике скорость-время.

Учитывая начальную скорость, равную нулю (и предполагая, что падение положительное), конечная скорость человека, падающего на графике справа, составляет…

∆ v =	a ∆t
∆ v =	(9.8 м / с ²) (1,0 с)
∆ v =	9,8 м / с = 22 миль / ч

а конечная скорость разгоняемого автомобиля составляет…

∆ v =	a ∆t
∆ v =	(5,0 м / с ²) (6,0 с)
∆ v =	30 м / с = 67 миль / ч

На графике время разгона …
- площадь под кривой равна изменению скорости

О графиках времени разгона можно сказать еще много чего, но по большей части они тривиальны.

фазовое пространство

Есть четвертый график движения, который связывает скорость с положением. Он так же важен, как и другие три типа, но редко привлекает внимание ниже продвинутого уровня бакалавриата. Когда-нибудь я напишу что-нибудь об этих графиках, называемых диаграммами фазового пространства , но не сегодня.

Рассчитайте скорость падения объекта. Ограничение скорости падения

Скорость падения тела в газе или жидкости стабилизируется, когда тело достигает скорости, при которой сила гравитационного притяжения уравновешивается силой сопротивления среды.

Однако, когда большие объекты движутся в вязкой среде, начинают преобладать другие эффекты и закономерности. Когда капли дождя вокруг них достигают в диаметре лишь десятых долей миллиметра, так называемые закручивают , в результате чего останавливают поток. Вы, наверное, заметили их очень четко: когда машина проезжает по дороге, покрытой опавшими листьями осенью, сухие листья не только разбрасываются по бокам машины, но и начинают кружиться в подобии вальса. Описываемые ими круги точно такие же, как и линии. вихрей фон Кармана , названный в честь физика венгерского происхождения Теодора фон Кармана (1881-1963), который эмигрировал в США и работал в Калифорнийском технологическом институте, стал одним из основоположников современной прикладной аэродинамики. Эти турбулентные водовороты обычно отвечают за торможение — они вносят основной вклад в то, что автомобиль или самолет, разогнавшись до определенной скорости, встречает резко повышенное сопротивление воздуха и не может разогнаться дальше.Если вам довелось выехать на большой скорости на легковой машине с тяжелым и быстрым встречным фургоном, и машина начала «кататься» из стороны в сторону, знайте: вы попали в вихрь фон Кармана и познакомились с ним из первых рук.

При свободном падении больших тел в атмосфере вихри начинаются почти сразу, и предельная скорость падения достигается очень быстро. Для парашютистов, например, максимальная скорость колеблется от 190 км / ч при максимальном сопротивлении воздуха, когда они падают плашмя с вытянутыми руками, до 240 км / ч при нырянии с «рыбой» или «солдатом».

Свободное падение тела — его равно переменное движение, которое происходит под действием силы тяжести. В этот момент другие силы, которые могут действовать на тело, либо отсутствуют, либо настолько малы, что их влияние не учитывается. Например, когда парашютист выпрыгивает из самолета, первые несколько секунд после прыжка он падает свободно. Этот короткий промежуток времени характеризуется ощущением невесомости, похожим на чувство невесомости, которое испытывают космонавты на борту космического корабля.

История открытия явления

Ученые узнали о свободном падении тела еще в средние века: Альберт Саксонский и Николай Орем изучали это явление, но некоторые их выводы были ошибочными.Например, они утверждали, что скорость падающего тяжелого объекта увеличивается прямо пропорционально пройденному расстоянию. В 1545 г. испанский ученый Д. Сото исправил эту ошибку, установив тот факт, что скорость падающего тела увеличивается пропорционально времени, которое проходит от начала падения этого объекта.

В 1590 году итальянский физик Галилео Галилей сформулировал закон, устанавливающий четкую зависимость пути, пройденного падающим объектом, от времени.Ученые также доказали, что при отсутствии сопротивления воздуха все объекты на Земле падают с одинаковым ускорением, хотя до его открытия было общепризнано, что тяжелые объекты падают быстрее.

Открыто новое измерение — ускорение свободного падения , которое состоит из двух составляющих: гравитационного и центробежного ускорения. Ускорение свободного падения обозначается буквой g и имеет разное значение для разных точек земного шара: от 9,78 м / с 2 (показатель для экватора) до 9.83 м / с 2 (значение ускорения на полюсах). На точность показателей влияют долгота, широта, время суток и некоторые другие факторы.

Стандартным значением g считается 9,80665 м / с 2. В физических расчетах, не требующих высокой точности, значение ускорения принимается равным 9,81 м / с 2. Для облегчения расчетов допускается принимать значение g равняется 10 м / с 2.

Чтобы продемонстрировать, как объект падает в соответствии с открытием Галилея, ученые ставят следующий эксперимент: объекты с разной массой помещаются в длинную стеклянную трубку, из которой откачивается воздух. После этого трубка переворачивается , все предметы под действием силы тяжести падают одновременно на дно трубки, независимо от их массы.

Когда эти же объекты помещаются в любую среду, одновременно с силой тяжести на них действует сила сопротивления, поэтому объекты, в зависимости от их массы, формы и плотности, будут падать в разное время.

Формулы расчета

Существуют формулы, которые можно использовать для расчета различных показателей, связанных со свободным падением.Они используют такую Обозначение:

u — конечная скорость движения исследуемого тела, м / с;
h — высота движения исследуемого тела, м;
t — время движения исследуемого тела, с;
г — ускорение (постоянное равное 9,8 м / с 2).

Формула для определения расстояния, пройденного падающим объектом при известной конечной скорости и времени падения: h = ut / 2.

Формула для расчета расстояния, пройденного падающим объектом, при постоянном значении g и времени: h = gt 2/2.

Формула для определения скорости падающего объекта в конце падения для известного времени падения: u = gt.

Формула для расчета скорости объекта в конце падения, если известна высота падения исследуемого объекта: u = √2 gh.

Если не углубляться в научные знания, повседневное определение свободного движения подразумевает движение любого тела в атмосфере Земли, когда на него не влияют никакие посторонние факторы, кроме сопротивления окружающего воздуха и силы тяжести.

В разное время волонтеры соревнуются друг с другом, пытаясь установить личный рекорд. В 1962 году парашютист-испытатель из СССР Евгений Андреев установил рекорд, занесенный в Книгу рекордов Гиннеса: при прыжке с парашютом в свободном падении преодолел дистанцию 24500 м, в прыжке — тормозной парашют. не использовался.

В 1960 году американец Д. Киттингер совершил прыжок с парашютом с высоты 31 тысячу метров, но с использованием парашютно-тормозной установки.

В 2005 году была зафиксирована рекордная скорость свободного падения — 553 км / ч, а спустя семь лет был установлен новый рекорд — эта скорость была увеличена до 1342 км / ч. Этот рекорд принадлежит австрийскому парашютисту Феликсу Баумгартнеру, который известен во всем мире своими опасными трюками.

Видео

Посмотрите интересное и познавательное видео, которое расскажет вам о скорости падающих тел.

В классической механике состояние объекта, который свободно движется в гравитационном поле, называется свободным падением … Если объект падает в атмосферу, на него действует дополнительная сила сопротивления, и его движение зависит не только от ускорения свободного падения, но и от его массы, поперечного сечения и других факторов. Однако на падающее в вакууме тело действует только одна сила, а именно сила тяжести.

Примеры свободного падения — космические корабли и спутники на низкой околоземной орбите, потому что на них действует одна сила — гравитация. Планеты, вращающиеся вокруг Солнца, также находятся в свободном падении. Падение предметов на землю с небольшой скоростью также можно считать свободным падением, поскольку в этом случае сопротивление воздуха незначительно и им можно пренебречь.Если единственная сила, действующая на объекты, — это сила тяжести и нет сопротивления воздуха, ускорение одинаково для всех объектов и равно ускорению свободного падения на поверхности Земли 9,8 метра в секунду в секунду (м / с²) или 32,2 футов в секунду в секунду (фут / с²). На поверхности других астрономических тел ускорение свободного падения будет другим.

Парашютисты, конечно, говорят, что до раскрытия парашюта они находятся в свободном падении, но на самом деле парашютист никогда не может находиться в свободном падении, даже если парашют еще не был раскрыт.Да, на парашютиста в «свободном падении» действует сила тяжести, но на него действует и противоположная сила — сопротивление воздуха, причем сила сопротивления воздуха лишь немногим меньше силы тяжести.

Если бы не было сопротивления воздуха, скорость тела в свободном падении увеличивалась бы на 9,8 м / с каждую секунду.

Скорость и расстояние свободно падающего тела рассчитываются следующим образом:

v ₀ — начальная скорость (м / с).

v — конечная вертикальная скорость (м / с).

h ₀ — начальная высота (м).

h — высота падения (м).

т — время падения (с).

г — ускорение свободного падения (9,81 м / с2 у поверхности Земли).

Если v ₀ = 0 и h ₀ = 0, имеем:

, если известно время свободного падения:

, если известно расстояние свободного падения:

, если окончательная скорость свободного падения известен:

Эти формулы используются в данном калькуляторе свободного падения.

В свободном падении, когда нет сил удерживать тело, возникает невесомость … Невесомость — это отсутствие внешних сил, действующих на тело со стороны пола, стула, стола и других окружающих предметов. Другими словами, силы реакции опоры. Обычно эти силы действуют в направлении, перпендикулярном поверхности контакта с опорой, и чаще всего вертикально вверх. Невесомость можно сравнить с плаванием в воде, но так, чтобы кожа не чувствовала воду.Всем знакомо это чувство собственного веса, когда вы выходите на берег после долгого купания в море. Поэтому бассейны с водой используются для имитации невесомости при тренировках космонавтов и космонавтов.

Само по себе гравитационное поле не может оказывать давление на ваше тело. Следовательно, если вы находитесь в состоянии свободного падения в большом объекте (например, в самолете), который также находится в этом состоянии, на ваше тело не действуют никакие внешние силы взаимодействия тела с опорой и возникает ощущение невесомости, почти такое же, как в воде….

Учебно-тренировочный самолет в невесомости предназначен для создания кратковременной невесомости при тренировке космонавтов и космонавтов, а также для проведения различных экспериментов. Такие самолеты использовались и в настоящее время эксплуатируются в нескольких странах. В течение коротких периодов времени, которые длятся около 25 секунд в течение каждой минуты полета, самолет находится в состоянии невесомости, то есть у находящихся в нем людей нет реакции поддержки.

Для моделирования невесомости использовались различные самолеты: в СССР и в России, для этого с 1961 года использовались модифицированные серийные самолеты Ту-104АК, Ту-134ЛК, Ту-154МЛК и Ил-76МДК.В США астронавты проходят обучение с 1959 года на модифицированных AJ-2, C-131, KC-135 и Boeing 727-200. В Европе Национальный центр космических исследований (CNES, Франция) использует самолет Airbus A310 для тренировок в условиях невесомости. Модификация заключается в доработке топливной, гидравлической и некоторых других систем для обеспечения их нормальной работы в условиях кратковременной невесомости, а также в усилении крыльев, чтобы самолет выдерживал повышенные ускорения (до 2G). .

Несмотря на то, что иногда при описании условий свободного падения во время космического полета на орбите вокруг Земли говорят, что гравитации нет, конечно, гравитация присутствует в любом космическом корабле. Чего не хватает, так это веса, то есть силы реакции опоры на объекты в космическом корабле, которые движутся в космосе с таким же ускорением свободного падения, которое лишь немного меньше, чем на Земле. Например, на низкой околоземной орбите с высотой 350 км, на которой Международная космическая станция (МКС) облетает Землю, ускорение свободного падения равно 8.8 м / с², что всего на 10% меньше, чем на поверхности Земли.

Для описания реального ускорения объекта (обычно самолета) относительно ускорения свободного падения на поверхности Земли обычно используется специальный термин — overload … Если вы лежите, сидите или стоите на земле ваше тело перегружено на 1 г (то есть это не так). Если вы летите в самолете, вы испытываете перегрузку около 1,5 г. Если один и тот же самолет выполняет скоординированный разворот с близким радиусом, пассажиры могут испытать перегрузку до 2 г, что означает, что их вес увеличился вдвое.

Люди привыкли жить в условиях отсутствия перегрузок (1 г), поэтому любые перегрузки сильно сказываются на организме человека. Как и в случае с невесомым лабораторным самолетом, в котором все системы обработки жидкостей должны быть модифицированы для правильного функционирования в условиях нулевой (невесомости) и даже отрицательных G-сил, людям также нужна помощь и подобные «модификации». выжить в таких условиях. Нетренированный человек может потерять сознание при перегрузке 3-5 г (в зависимости от направления перегрузки), так как такой перегрузки достаточно, чтобы лишить мозг кислорода, потому что сердце не может снабжать его достаточным количеством крови.В связи с этим военные летчики и космонавты тренируются на центрифугах в условиях высокой перегрузки , чтобы не допустить с ними потери сознания. Чтобы предотвратить кратковременную потерю зрения и сознания, которая, в зависимости от условий работы, может привести к летальному исходу, пилоты, космонавты и космонавты носят компенсирующие высоту костюмы, которые ограничивают отток крови из мозга при перегрузке, обеспечивая равномерное давление на вся поверхность человеческого тела.

Что такое свободное падение? Это падение тел на Землю при отсутствии сопротивления воздуха.Другими словами — падение в пустоту. Конечно, отсутствие сопротивления воздуха — это вакуум, который невозможно найти на Земле при нормальных условиях. Поэтому мы не будем учитывать силу сопротивления воздуха, считая ее настолько малой, что ею можно пренебречь.

Ускорение свободного падения

Галилео Галилей, проводя свои знаменитые эксперименты на Пизанской башне, обнаружил, что все тела, независимо от их массы, падают на Землю одинаково. То есть ускорение свободного падения одинаково для всех тел.По легенде, тогда ученый сбросил с башни шары разной массы.

Ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения — это ускорение, с которым все тела падают на Землю.

Ускорение свободного падения составляет примерно 9,81 м / с 2 и обозначается буквой g. Иногда, когда точность в принципе не важна, ускорение свободного падения округляют до 10 м с 2.

Земля — не идеальный шар, и в разных точках земной поверхности, в зависимости от координат и высоты, значение g меняется.Так, наибольшее ускорение свободного падения происходит на полюсах (≈ 9, 83 м с 2), а наименьшее — на экваторе (≈ 9, 78 м с 2).

Тело свободное падение

Рассмотрим простой пример свободного падения. Пусть какое-нибудь тело упадет с высоты h с нулевой начальной скоростью. Допустим, мы подняли пианино на высоту h и спокойно отпустили его.

Свободное падение — это движение по прямой с постоянным ускорением. Направим ось координат от точки исходного положения тела к Земле.Применяя кинематические формулы для прямолинейного равноускоренного движения, можно писать.

h = v 0 + g t 2 2.

Так как начальная скорость равна нулю, перепишем:

Отсюда находится выражение для времени падения тела с высоты h:

Учитывая, что v = g t, находим скорость тела в момент падения, то есть максимальную скорость:

v = 2 ч г г = 2 ч г.

Точно так же вы можете рассмотреть движение тела, брошенного вертикально вверх с определенной начальной скоростью.Например, мы подбрасываем мяч.

Пусть ось координат направлена вертикально вверх от точки бросания тела. На этот раз тело движется так же медленно, теряя скорость. В высшей точке скорость тела равна нулю. Используя кинематические формулы, можно написать:

Подставляя v = 0, находим время подъема тела на максимальную высоту:

Время падения совпадает с временем подъема, и тело вернется на Землю через t = 2 v 0 g.

Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально:

Взгляните на картинку ниже. На нем показаны графики скоростей тел для трех случаев движения с ускорением a = — g. Рассмотрим каждый из них, предварительно указав, что в этом примере все числа округлены, а ускорение свободного падения принято равным 10 м с 2.

Первый график — падение тела с определенной высоты без начальной скорости. Время падения t p = 1 с.Из формул и графика легко понять, что высота, с которой упало тело, равна h = 5 м.

Второй график — это движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 10 м с. Максимальная высота подъема h = 5 м. Время нарастания и спада t p = 1 с.

Третий график является продолжением первого. Падающее тело отскакивает от поверхности, и его скорость резко меняет знак. Дальнейшее движение тела можно увидеть по второму графику.

Проблема свободного падения тела тесно связана с проблемой движения тела, брошенного под определенным углом к горизонту. Таким образом, движение по параболической траектории можно представить как сумму двух независимых движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

Вдоль оси O Y тело движется равномерно с ускорением g, начальная скорость этого движения v 0 y. Движение по оси O X равномерное и прямолинейное, с начальной скоростью v 0 x.

Условия движения по оси O X:

х 0 = 0; v 0 x = v 0 cos α; а х = 0.

Условия движения по оси O Y:

у 0 = 0; v 0 y = v 0 sin α; а y = — g.

Приведем формулы движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Время полета корпуса:

t = 2 v 0 sin α g.

Дальность полета корпуса:

L = v 0 2 sin 2 α g.

Максимальная дальность полета достигается при угле α = 45 °.

L m a x = v 0 2 г.

Максимальная высота подъема:

h = v 0 2 sin 2 α 2 g.

Обратите внимание, что в реальных условиях движение тела, брошенного под углом к горизонту, может следовать по траектории, отличной от параболической, из-за сопротивления воздуха и ветра. Изучением движения тел, брошенных в космос, занимается специальная наука — баллистика.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Свободное падение — это движение тела под действием только силы тяжести.

На падающее в воздухе тело, помимо силы тяжести, действует сила сопротивления воздуха, поэтому такое движение не является свободным падением. Свободное падение — это падение тел в вакууме.

Ускорение, которое сообщает телу гравитация, называется ускорением свободного падения … Оно показывает, насколько изменяется скорость свободно падающего тела в единицу времени.

Ускорение свободного падения направлено вертикально вниз.

Галилео Галилей установил ( закон Галилея ): все тела падают на поверхность Земли под действием силы тяжести в отсутствие сил сопротивления с одинаковым ускорением, т.е.е. ускорение свободного падения не зависит от веса тела.

Вы можете проверить это с помощью трубки Ньютона или стробоскопического метода.

Трубка Ньютона представляет собой стеклянную трубку длиной около 1 м, один конец которой запломбирован, а другой снабжен краном (рис. 25).

Фиг.25

Поместите в трубку три разных предмета, например шарик, пробку и перо. Затем быстро переверните трубку. Все три тела упадут на дно трубки, но в разное время: сначала гранула, затем пробка и, наконец, перо.Но вот так падают тела, когда в трубе есть воздух (рис. 25, а). Стоит только откачать воздух насосом и снова перевернуть трубку, мы увидим, что все три тела упадут одновременно (рис. 25, б).

В земных условиях g зависит от географической широты местности.

Наибольшее значение имеет на полюсе g = 9,81 м / с 2, наименьшее — на экваторе g = 9,75 м / с 2. Причины этого:

1) суточное вращение Земли вокруг своей оси;

2) отклонение формы Земли от сферической;

3) неравномерное распределение плотности земных пород.

Ускорение свободного падения зависит от высоты h тела над поверхностью планеты. Если пренебречь вращением планеты, его можно рассчитать по формуле:

где G, — гравитационная постоянная, M, — масса планеты, R, — радиус планеты.

Как следует из последней формулы, с увеличением высоты подъёма тела над поверхностью планеты ускорение свободного падения уменьшается. Если пренебречь вращением планеты, то на поверхности планеты радиусом R

Для его описания можно использовать формулы для равноускоренного движения:

уравнение скорости:

кинематическое уравнение, описывающее свободное падение тел:,

или в проекции на ось.

Движение тела, брошенного вертикально

Свободно падающее тело может двигаться по прямой или по кривой. Это зависит от начальных условий. Давайте рассмотрим это подробнее.

Свободное падение без начальной скорости ( = 0) (рис. 26).

При выбранной системе координат движение тела описывается уравнениями:.

Из последней формулы можно найти время падения тела с высоты h:

Подставляя найденное время в формулу для скорости, получаем модуль скорости тела в момент падения :.

Движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью (рис.27)

Рис.26 Рис.27

Движение тела описывается уравнениями:

Из уравнения скорости видно, что тело движется вверх с равным ускорением, достигает максимальной высоты, а затем движется вниз с равным ускорением. Учитывая, что при y = hmax скорость и в момент достижения телом исходного положения y = 0, можно найти:

Время подъема корпуса на максимальную высоту;

Максимальная высота подъема кузова;

Время полета тела;

Проекция скорости в момент достижения телом исходного положения.

Движение тела, брошенного горизонтально

Если скорость не направлена вертикально, то движение тела будет криволинейным.

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально с высоты h со скоростью (рис. 28). Пренебрегаем сопротивлением воздуха. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат — Ox и Oy. Начало координат совместимо с начальным положением тела. Рисунок 28 показывает, что ,,,.

Фиг.28

Тогда движение тела будет описываться уравнениями:

Анализ этих формул показывает, что в горизонтальном направлении скорость тела остается неизменной, т.е. тело движется равномерно. В вертикальном направлении тело движется равномерно с ускорением g, т. Е. Подобно телу, свободно падающему без начальной скорости. Найдем уравнение траектории. Для этого из уравнения (3) находим время

3.3 Среднее и мгновенное ускорение

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Рассчитайте среднее ускорение между двумя точками времени.
Рассчитайте мгновенное ускорение с учетом функциональной формы скорости.
Объясните векторную природу мгновенного ускорения и скорости.
Объясните разницу между средним ускорением и мгновенным ускорением.
Найдите мгновенное ускорение в заданное время на графике зависимости скорости от времени.

Важность понимания ускорения охватывает наш повседневный опыт, а также обширные просторы космического пространства и крошечный мир субатомной физики. В повседневном разговоре до разогнаться, означает разогнаться; нажатие на педаль тормоза приводит к замедлению движения автомобиля. Мы, например, знакомы с ускорением нашей машины. Чем больше ускорение, тем больше изменение скорости за заданный промежуток времени.Ускорение широко наблюдается в экспериментальной физике. Например, в экспериментах с линейным ускорителем частиц субатомные частицы ускоряются до очень высоких скоростей в экспериментах по столкновению, которые сообщают нам информацию о структуре субатомного мира, а также о происхождении Вселенной. В космосе космические лучи — это субатомные частицы, которые были ускорены до очень высоких энергий в сверхновых (взрывающихся массивных звездах) и активных ядрах галактик. Важно понимать процессы, которые ускоряют космические лучи, потому что эти лучи содержат очень проникающее излучение, которое может, например, повредить электронику, установленную на космических кораблях.

Среднее ускорение

Формальное определение ускорения согласуется с этими только что описанными понятиями, но является более всеобъемлющим.

Среднее ускорение

Среднее ускорение — это скорость изменения скорости:

[латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} = \ frac {{v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0}} {{t} _ {\ text {f}} — {t} _ {0}}, [/ latex]

, где [latex] \ overset {\ text {-}} {a} [/ latex] — среднее ускорение, v — скорость, а t — время.(Полоса над a означает среднее ускорение .)

Поскольку ускорение — это скорость в метрах, деленная на время в секундах, единицы измерения ускорения в системе СИ часто обозначаются сокращенно: м / с ², то есть метры в секунду в квадрате или метры в секунду в секунду. Это буквально означает, на сколько метров в секунду изменяется скорость каждую секунду. Напомним, что скорость — это вектор, он имеет как величину, так и направление, что означает, что изменение скорости может быть изменением величины (или скорости), но это также может быть изменение направления.Например, если бегун, движущийся со скоростью 10 км / ч на восток, замедляется до остановки, меняет направление, продолжает свой бег со скоростью 10 км / ч на запад, его скорость изменилась в результате изменения направления, хотя величина скорости одинаковы в обоих направлениях. Таким образом, ускорение происходит, когда скорость изменяется по величине (увеличение или уменьшение скорости) или по направлению, или по обоим направлениям.

Ускорение как вектор

Ускорение — это вектор в том же направлении, что и , изменение скорости , [latex] \ text {Δ} v [/ latex].Поскольку скорость является вектором, она может изменяться по величине или по направлению, или по обоим направлениям. Следовательно, ускорение — это изменение скорости или направления, или и того, и другого.

Имейте в виду, что хотя ускорение происходит в направлении изменения скорости, оно не всегда в направлении движения. Когда объект замедляется, его ускорение противоположно направлению его движения. Хотя это обычно называется замедлением (рисунок), мы говорим, что поезд ускоряется в направлении, противоположном его направлению движения.

Рисунок 3.10 Поезд метро в Сан-Паулу, Бразилия, замедляется при входе на станцию. Он ускоряется в направлении, противоположном направлению его движения. (кредит: Юсуке Кавасаки)

Термин замедление может вызвать путаницу в нашем анализе, потому что он не является вектором и не указывает на конкретное направление относительно системы координат, поэтому мы не используем его. Ускорение — это вектор, поэтому мы должны выбрать для него соответствующий знак в выбранной нами системе координат.В случае поезда на (Рисунок) ускорение составляет в отрицательном направлении в выбранной системе координат , поэтому мы говорим, что поезд испытывает отрицательное ускорение.

Если движущийся объект имеет скорость в положительном направлении по отношению к выбранной исходной точке и приобретает постоянное отрицательное ускорение, объект в конечном итоге останавливается и меняет направление на противоположное. Если мы подождем достаточно долго, объект пройдет через начало координат в противоположном направлении. Это проиллюстрировано на (Рисунок).

Рисунок 3.11 Объект, движущийся с вектором скорости на восток при отрицательном ускорении, останавливается и меняет направление. Через достаточно долгое время он проходит исходную точку в обратном направлении.

Пример

Расчет среднего ускорения: скакун покидает ворота

Скаковая лошадь, выходящая из ворот, ускоряется из состояния покоя до скорости 15,0 м / с на запад за 1,80 с. Какое у него среднее ускорение?

Рисунок 3.12 Скаковые лошади ускоряются из-за ворот. (кредит: Джон Салливан)

Стратегия

Сначала мы рисуем эскиз и назначаем систему координат задаче (рисунок). Это простая проблема, но всегда помогает ее визуализировать. Обратите внимание, что мы назначаем восток как положительный, а запад как отрицательный. Таким образом, в этом случае мы имеем отрицательную скорость.

Рисунок 3.13 Определите систему координат, данную информацию и то, что вы хотите определить.

Мы можем решить эту проблему, определив [latex] \ text {Δ} v \, \ text {and} \, \ text {Δ} t [/ latex] из заданной информации, а затем вычислив среднее ускорение непосредственно из уравнение [латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} = \ frac {{v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0}} {{t} _ {\ text {f}} — {t} _ {0}} [/ latex].

Решение

Сначала определите известные: [latex] {v} _ {0} = 0, {v} _ {\ text {f}} = — 15.0 \, \ text {m / s} [/ latex] (отрицательный знак указывает направление на запад), Δ t = 1.80 с.

Во-вторых, найдите изменение скорости. Поскольку лошадь движется с нуля до –15,0 м / с, ее изменение скорости равно ее конечной скорости:

[латекс] \ text {Δ} v = {v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0} = {v} _ {\ text {f}} = — 15.0 \, \ text { РС}. [/ латекс]

Наконец, подставьте известные значения ([latex] \ text {Δ} v \, \ text {and} \, \ text {Δ} t [/ latex]) и решите для неизвестного [latex] \ overset {\ text {-}} {a} [/ latex]:

[латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} = \ frac {-15.{2}. [/ латекс]

Значение

Отрицательный знак ускорения указывает на то, что ускорение направлено на запад. Ускорение 8,33 м / с ² на западе означает, что лошадь увеличивает свою скорость на 8,33 м / с на западе каждую секунду; то есть 8,33 метра в секунду в секунду, что мы записываем как 8,33 м / с ². Это действительно среднее ускорение, потому что поездка не гладкая. Позже мы увидим, что ускорение такой величины потребовало бы от всадника держаться с силой, почти равной его весу.{2}. [/ латекс]

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение Ускорение или в определенный момент времени получается с использованием того же процесса, который описан для мгновенной скорости. То есть мы вычисляем среднюю скорость между двумя моментами времени, разделенными [латексом] \ text {Δ} t [/ latex], и позволяем [latex] \ text {Δ} t [/ latex] приближаться к нулю. Результатом является производная функции скорости v ( t ), которая составляет мгновенное ускорение и математически выражается как

[латекс] a (t) = \ frac {d} {dt} v (t).[/ латекс]

Таким образом, аналогично скорости, являющейся производной функции положения, мгновенное ускорение является производной функции скорости. Мы можем показать это графически так же, как мгновенную скорость. На (Рисунок) мгновенное ускорение в момент времени t ₀ представляет собой наклон касательной к графику зависимости скорости от времени в момент времени t ₀. Мы видим, что среднее ускорение [латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} [/ latex] приближается к мгновенному ускорению, как [латекс] \ text {Δ} t [/ latex] стремится к нулю.Также в части (а) рисунка мы видим, что скорость имеет максимум, когда ее наклон равен нулю. Это время соответствует нулю функции ускорения. В части (b) показано мгновенное ускорение при минимальной скорости, которая также равна нулю, поскольку наклон кривой там тоже равен нулю. Таким образом, для заданной функции скорости нули функции ускорения дают либо минимальную, либо максимальную скорость.

Рис. 3.14 На графике зависимости скорости от времени мгновенное ускорение представляет собой наклон касательной.(a) Показано среднее ускорение [латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} = \ frac {{v} _ { \ text {f}} — {v} _ {i}} {{t} _ {\ text {f}} — {t} _ {i}} [/ latex] между временами [латекс] \ text {Δ} t = {t} _ {6} — {t} _ {1}, \ text {Δ} t = {t} _ {5} — {t} _ {2} [/ латекс] и [латекс] \ текст {Δ} t = {t} _ {4} — {t} _ {3} [/ latex]. Когда [latex] \ text {Δ} t \ to 0 [/ latex], среднее ускорение приближается к мгновенному ускорению в момент времени t0. В виде (а) мгновенное ускорение показано для точки на кривой скорости при максимальной скорости.В этой точке мгновенное ускорение — это наклон касательной, равный нулю. В любое другое время наклон касательной — и, следовательно, мгновенное ускорение — не будет нулевым. (b) То же, что (a), но показано для мгновенного ускорения при минимальной скорости.

Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, давайте рассмотрим два примера. Во-первых, простой пример показан с использованием (Рисунок) (b), графика зависимости скорости от времени (Рисунок), для графического определения ускорения. Этот график изображен на (Рисунок) (а), который представляет собой прямую линию.Соответствующий график ускорения в зависимости от времени находится по наклону скорости и показан на (Рисунок) (b). В этом примере функция скорости представляет собой прямую линию с постоянным наклоном, поэтому ускорение является постоянным. В следующем примере функция скорости имеет более сложную функциональную зависимость от времени.

Рис. 3.15 (a, b) График зависимости скорости от времени является линейным и имеет постоянный отрицательный наклон (a), который равен ускорению, показанному на (b).

Если мы знаем функциональную форму скорости, v ( t ), мы можем вычислить мгновенное ускорение a ( t ) в любой момент времени в движении, используя (рисунок).{2} \, \ text {m / s} [/ латекс].

Найдите функциональную форму ускорения.
Найдите мгновенную скорость при t = 1, 2, 3 и 5 с.
Найдите мгновенное ускорение при t = 1, 2, 3 и 5 с.
Интерпретируйте результаты (c) в терминах направлений векторов ускорения и скорости.

Стратегия

Мы находим функциональную форму ускорения, взяв производную от функции скорости.{2} [/ латекс]

При t = 1 с, скорость [latex] v (1 \, \ text {s)} = 15 \, \ text {m / s} [/ latex] положительна, а ускорение положительно, поэтому и скорость, и ускорение в том же направлении. Частица движется быстрее.

При t = 2 с, скорость увеличилась до [latex] v (2 \, \ text {s)} = 20 \, \ text {m / s} [/ latex], где она максимальна, что соответствует моменту, когда ускорение равно нулю. Мы видим, что максимальная скорость возникает, когда наклон функции скорости равен нулю, что является просто нулем функции ускорения.

При t = 3 с, скорость равна [latex] v (3 \, \ text {s)} = 15 \, \ text {m / s} [/ latex], а ускорение отрицательное. Частица уменьшила свою скорость, и вектор ускорения отрицательный. Частица замедляется.

При t = 5 с, скорость равна [latex] v (5 \, \ text {s)} = — 25 \, \ text {m / s} [/ latex], а ускорение становится все более отрицательным. Между моментами времени t = 3 с и t = 5 с частица уменьшила свою скорость до нуля, а затем стала отрицательной, таким образом изменив свое направление.Теперь частица снова ускоряется, но в противоположном направлении.

Мы можем видеть эти результаты графически на (Рисунок).

Рис. 3.16 (а) Скорость в зависимости от времени. Касательные линии указаны в моменты времени 1, 2 и 3 с. Наклон касательных — это ускорение. При t = 3 с скорость положительная. При t = 5 с скорость отрицательна, что указывает на то, что частица изменила направление на противоположное. (б) Ускорение против времени. Сравнивая значения ускорений, представленные черными точками, с соответствующими наклонами касательных линий (наклон линий через черные точки) на (а), мы видим, что они идентичны.

Значение

Выполняя численный и графический анализ скорости и ускорения частицы, мы можем многое узнать о ее движении. Численный анализ дополняет графический анализ, давая полное представление о движении. Нуль функции ускорения соответствует максимуму скорости в этом примере. Также в этом примере, когда ускорение положительное и в том же направлении, что и скорость, скорость увеличивается. По мере того, как ускорение стремится к нулю и в конечном итоге становится отрицательным, скорость достигает максимума, после чего начинает уменьшаться.Если мы подождем достаточно долго, скорость также станет отрицательной, что указывает на изменение направления. Реальным примером такого движения является автомобиль, скорость которого увеличивается до максимума, после чего он начинает замедляться, останавливается, а затем меняет направление движения.

Проверьте свое понимание

Самолет приземляется на взлетно-посадочной полосе, летящей на восток. Опишите его ускорение.

Показать решение

Если принять за положительное значение восток, то самолет имеет отрицательное ускорение, потому что он ускоряется в сторону запада.Он также замедляется; его ускорение противоположно его скорости.

Ощущение ускорения

Вы, вероятно, привыкли испытывать ускорение, когда заходите в лифт или нажимаете на педаль газа в машине. Однако ускорение происходит со многими другими объектами в нашей Вселенной, с которыми мы не имеем прямого контакта. (Рисунок) представлено ускорение различных объектов. Мы можем видеть, что величины ускорений простираются на многие порядки.

Типичные значения ускорения (кредит: Википедия: порядки величин (ускорение))
Разгон	Значение (м / с ²)
Скоростной поезд	0,25
Лифт	2
Гепард	5
Объект в свободном падении без сопротивления воздуха у поверхности Земли	9,8
Максимум космического челнока во время запуска	29
Пик парашютиста при нормальном раскрытии парашюта	59
Самолет F16 выходит из пикирования	79
Взрывное выброс сиденья с самолета	147
Ракета Sprint	982
Максимальное максимальное ускорение ракетных салазок	1540
Прыгающая блоха	3200
Бейсбольный удар битой	30 000
Захват муравья-ловушки	1 000 000
Протон в большом адронном коллайдере	[латекс] 1.{9} [/ латекс]

В этой таблице мы видим, что типичные ускорения сильно различаются для разных объектов и не имеют ничего общего с размером объекта или его массивностью. Ускорение также может сильно меняться со временем во время движения объекта. У дрэг-рейсинга большое ускорение сразу после старта, но затем оно уменьшается, когда транспортное средство достигает постоянной скорости. Его среднее ускорение может сильно отличаться от его мгновенного ускорения в определенный момент времени во время его движения.(Рисунок) графически сравнивает среднее ускорение с мгновенным ускорением для двух очень разных движений.

Рис. 3.17 Графики мгновенного ускорения в зависимости от времени для двух различных одномерных движений. (а) Ускорение меняется незначительно и всегда в одном и том же направлении, поскольку оно положительное. Среднее значение за интервал почти такое же, как и ускорение в любой момент времени. (b) Ускорение сильно различается, возможно, представляя пакет на конвейерной ленте почтового отделения, который ускоряется вперед и назад, когда он натыкается.В такой ситуации необходимо учитывать небольшие интервалы времени (например, от 0 до 1,0 с) с постоянным или почти постоянным ускорением.

Сводка

Ускорение — это скорость изменения скорости. Ускорение — это вектор; он имеет как величину, так и направление. Единица измерения ускорения в системе СИ — метр на секунду в квадрате.
Ускорение может быть вызвано изменением величины или направления скорости, либо и тем, и другим.
Мгновенное ускорение a ( t ) является непрерывной функцией времени и дает ускорение в любой конкретный момент во время движения.Он рассчитывается по производной функции скорости. Мгновенное ускорение — это наклон графика зависимости скорости от времени.
Отрицательное ускорение (иногда называемое замедлением) — это ускорение в отрицательном направлении в выбранной системе координат.

Концептуальные вопросы

Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, когда ускорение не равно нулю?

Показать решение

Нет, в одном измерении постоянная скорость требует нулевого ускорения.

Может ли скорость быть постоянной, если ускорение не равно нулю? Объяснять.

Приведите пример, в котором скорость равна нулю, а ускорение — нет.

Показать решение

Мяч подбрасывается в воздух, и его скорость равна нулю на вершине броска, но ускорение не равно нулю.

Если поезд метро движется влево (имеет отрицательную скорость), а затем останавливается, в каком направлении он ускоряется? Ускорение положительное или отрицательное?

Знаки плюс и минус используются в одномерном движении для обозначения направления.{2} [/ латекс]

Доктор Джон Пол Стапп был офицером ВВС США, изучавшим влияние экстремального ускорения на человеческое тело. 10 декабря 1954 года Стапп проехал на ракетных санях, разогнавшись из состояния покоя до максимальной скорости 282 м / с (1015 км / ч) за 5,00 с и резко остановившись всего за 1,40 с. Вычислите его (а) ускорение в направлении его движения и (б) ускорение, противоположное его направлению движения. Выразите каждое значение кратным g (9,80 м / с ²), взяв его отношение к ускорению свободного падения.

Нарисуйте график зависимости ускорения от времени из следующего графика зависимости скорости от времени.

Показать ответ

Пассажир выезжает на машине из гаража с ускорением 1,40 м / с ². а) Сколько времени ей нужно, чтобы набрать скорость 2,00 м / с? (b) Если она затем тормозит до остановки за 0,800 с, каково ее ускорение?

Предположим, что межконтинентальная баллистическая ракета переходит из состояния покоя в суборбитальную скорость 6,50 км / с за 60,0 с (фактическая скорость и время засекречены).Каково его среднее ускорение в метрах в секунду и кратное g (9,80 м / с ²)?

Самолет, стартуя из состояния покоя, движется по взлетно-посадочной полосе с постоянным ускорением в течение 18 с, а затем взлетает со скоростью 60 м / с. Какое среднее ускорение самолета?

Глоссарий

среднее ускорение: скорость изменения скорости; изменение скорости с течением времени

мгновенное ускорение: ускорение в определенный момент времени

21.6 Описание движения | Движение в одном измерении

21.6 Описание движения (ESAHA)

Цель этой главы — описать движение, и теперь, когда мы понимаем определения смещения, расстояния, скорости, скорости и ускорения, мы готовы начать использовать эти идеи для описания того, как объект или человек движется. Мы рассмотрим три способа описания движения:

слов
схемы
графиков

Эти методы будут описаны в этом разделе.

Мы будем рассматривать три типа движения: когда объект не движется (неподвижный объект), когда объект неподвижен. движется с постоянной скоростью (равномерное движение) и когда объект движется с постоянным ускорением (движение с постоянное ускорение).

Стационарный объект (ЕСАХБ)

Самое простое движение, которое мы можем встретить, — это движение неподвижного объекта. Стационарный объект не движется и поэтому его положение не меняется.

Рассмотрим пример. Вивиан ждет такси.Она стоит в двух метрах от остановки на улице \ (t = \ text {0} \ text {s} \). Через минуту \ (t = \ text {60} \ text {s} \) она все еще находится в \ (\ text {2} \) метрах от остановка улицы и через две минуты в \ (t = \ text {120} \ text {s} \) она также находится в \ (\ text {2} \) метрах от остановки улица. Ее позиция не изменилась. Ее смещение равно нулю (потому что его положение такое же), ее скорость равно нулю (потому что его смещение равно нулю), и ее ускорение также равно нулю (потому что ее скорость не равна нулю). меняется).

Теперь мы можем нарисовать графики зависимости положения от времени (\ (\ vec {x} \) от \ (t \)), скорости от времени (\ (\ vec {v} \) от \ (t \ )) и ускорение в зависимости от времени (\ (\ vec {a} \) vs. \ (t \)) для стационарного объекта. Графики представлены ниже.

Рисунок 21.2: Вивиан стоит у знака остановки.

Рисунок 21.3: Графики для неподвижного объекта (а) положение в зависимости от времени (б) скорость в зависимости от времени (в) ускорение против времени.

Вивиан находится в \ (\ text {2} \) метрах в положительном направлении от остановки.{-2} $} \).

Градиент: (Вспомните из математики). Градиент \ (m \) линии cna может быть вычислен путем деления изменения \ (y \) — значение (зависимая переменная) по изменению \ (x \) — значения (независимая переменная). \ (m = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} \)

Поскольку мы знаем, что скорость — это скорость изменения положения, мы можем подтвердить значение скорости в зависимости от график времени, вычисляя градиент зависимости \ (\ vec {x} \) vs.\ (t \) график.

Градиент графика зависимости положения от времени дает среднюю скорость, а тангенс угла положения относительно времени. {- 2} $} \ end {выровнять *}

Кроме того, поскольку скорость vs.график времени связан с графиком положения и времени, мы можем использовать площадь под графиком зависимости скорости от времени для расчета смещения объекта.

Площадь под графиком зависимости скорости от времени показывает смещение.

Смещение объекта задается областью под графиком, которая равна \ (\ text {0} \) \ (\ text {m} \). Этот очевидно, потому что объект не движется.

Движение с постоянной скоростью (ESAHC)

Движение с постоянной скоростью или Равномерное движение означает, что положение объекта меняется на такая же ставка.

Предположим, что Вивиан берет \ (\ text {100} \) \ (\ text {s} \), чтобы пройти \ (\ text {100} \) \ (\ text {m} \) до остановки такси. каждое утро. Если мы предположим, что дом Вивиан является отправной точкой, а направление к такси положительное, тогда Скорость Вивиан:

\ begin {align *} v & = \ frac {\ Delta \ vec {x}} {\ Delta t} \\ & = \ frac {{x} _ {f} — {x} _ {i}} {{t} _ {f} — {t} _ {i}} \\ & = \ frac {\ text {100} \ text {m} — \ text {0} \ text {m}} {\ text {100} \ text {s} — \ text {0} \ text {s}} \\ & = \ текст {1} \ text {m · s $ ^ {- 1} $} \ end {выровнять *}

Скорость Вивиан равна \ (\ text {1} \) \ (\ text {m · s $ ^ {- 1} $} \).Это означает, что она гуляла \ (\ text {1} \) \ (\ text {m} \) в первую секунду, еще один метр во вторую секунду и еще один в третью секунду, и так на. Например, после \ (\ text {50} \) \ (\ text {s} \) она будет \ (\ text {50} \) \ (\ text {m} \) из дома. Ее положение увеличивается на \ (\ text {1} \) \ (\ text {m} \) каждые \ (\ text {1} \) \ (\ text {s} \). Показана диаграмма положения Вивиан. ниже:

Теперь мы можем нарисовать графики зависимости положения от времени (\ (\ vec {x} \) от \ (t \)), скорости от времени.время (\ (\ vec {v} \) vs. \ (t \)) и ускорение в зависимости от времени (\ (\ vec {a} \) в зависимости от \ (t \)) для Вивиан, движущегося с постоянной скоростью. Графики показаны здесь:

Рисунок 21.4: Графики движения с постоянной скоростью (а) положение в зависимости от времени (б) скорость в зависимости от времени (c) ускорение в зависимости от времени. Площадь заштрихованной части графика \ (v \) vs. \ (t \) соответствует перемещению объекта.

Вечером Вивиан идет \ (\ text {100} \) \ (\ text {m} \) от автобусной остановки до своего дома в \ (\ text {100} \) \ (\ текст {s} \).Предположим, что дом Вивиан является источником. Следующие графики могут быть нарисованы для описания движение.

Рисунок 21.5: Графики движения с постоянной отрицательной скоростью. Площадь заштрихованная часть на графике \ (v \) vs. \ (t \) соответствует смещению объекта.

Мы видим, что график \ (\ vec {v} \) vs. \ (t \) представляет собой горизонтальную линию. Если график зависимости скорости от времени горизонтальная линия, это означает, что скорость постоянная (не меняется).{-2} $} \). Во время движения нет ускорения, потому что она скорость не меняется.

Мы можем использовать график \ (\ vec {v} \) vs. \ (t \), чтобы вычислить смещение, найдя площадь под графиком.

\ begin {align *} \ Delta \ vec {x} & = \ text {Область под графиком} \\ & = l \ раз b \\ & = 100 (-1) \\ & = — \ текст {100} \ текст {м} \ end {выровнять *}

Это означает, что Вивиан сместилась на \ (\ text {100} \) \ (\ text {m} \) к своему дому.

Скорость и ускорение

Учебное упражнение 21.5

Используйте графики на Рисунке 21.6. рассчитать каждый из следующего:

Вычислить скорость Вивиан между \ (\ text {50} \) \ (\ text {s} \) и \ (\ text {100} \) \ (\ text {s} \) используя график \ (x \) vs. \ (t \). Подсказка: найдите градиент линии.
Рассчитайте ускорение Вивиан во время всего движения, используя \ (v \) vs.\ (t \) график.
Рассчитайте смещение Вивиан во время всего движения, используя график \ (v \) против \ (t \).

Решение пока недоступно

Танди берет \ (\ text {200} \) \ (\ text {s} \), чтобы дойти \ (\ text {100} \) \ (\ text {m} \) до автобусной остановки каждые утро. Вечером Танди берет \ (\ text {200} \) \ (\ text {s} \) на прогулку \ (\ text {100} \) \ (\ text {m} \) от автобусной остановки до ее дома.

Нарисуйте график положения Танди в зависимости от времени на утро (при условии, что положение Танди дом является ориентиром). Используйте градиент графика \ (x \) vs. \ (t \), чтобы нарисовать график скорость в зависимости от времени. Используйте градиент графика \ (v \) против \ (t \), чтобы нарисовать график ускорения. против времени.
Нарисуйте график положения Танди как функции времени в течение вечера (при условии, что положение Танди дом это происхождение).Используйте градиент графика \ (x \) vs. \ (t \), чтобы нарисовать график зависимости скорости от время. Используйте градиент графика \ (v \) против \ (t \), чтобы нарисовать график зависимости ускорения от времени.
Обсудите различия между двумя наборами графиков в вопросах 2 и 3.

Решение пока недоступно

Движение с постоянной скоростью

Цель

Для измерения положения и времени при движении с постоянной скоростью и определения средней скорости как градиент «Позиция vs.Время ».

Аппарат

Игрушечная машинка с батарейным питанием, секундомер, измерительная линейка или рулетка.

Метод

Работай с другом. Скопируйте приведенную ниже таблицу в свою рабочую тетрадь.
Заполните таблицу, отсчитывая автомобиль на каждом расстоянии.
Измерьте время автомобиля дважды на каждом расстоянии и возьмите среднее значение за ваше допустимое время.
Используйте значения расстояния и среднего времени, чтобы построить график «Расстояние от времени» на миллиметровая бумага . Вставьте миллиметровую бумагу в свою рабочую тетрадь. (Помните, что «А против Б» всегда означает «\ (y \) vs. \ (x \)»).
Вставьте все обозначения осей и единицы измерения на график.
Проведите лучшую прямую линию через точки данных.
Найдите уклон прямой линии. Это средняя скорость.

Результаты

Расстояние (м)	Время (с)
Расстояние (м)	1	2	пр.
\ (\ text {0} \)
\ (\ text {0,5} \)
\ (\ text {1,0} \)
\ (\ text {1,5} \)
\ (\ text {2,0} \)
\ (\ text {2,5} \)
\ (\ text {3,0} \)

Выводы

Ответьте на следующие вопросы в своей рабочей тетради:

Автомобиль двигался с постоянной скоростью?
Как узнать, посмотрев на «Расстояние vs.Время », если скорость постоянна?
Как будет выглядеть график «Расстояние против времени» для автомобиля с большей скоростью?
Как будет выглядеть график «Расстояние против времени» для автомобиля с меньшей скоростью?

Движение с постоянным ускорением (ESAHD)

Последняя ситуация, которую мы будем изучать, — это движение с постоянным ускорением .Мы знаем, что ускорение скорость изменения скорости. Итак, если у нас постоянное ускорение, это означает, что скорость изменяется с постоянной скоростью.

Давайте посмотрим на наш первый пример, когда Вивиан снова ждет на остановке такси. Приехало такси, и Вивиан села. такси остановилось на остановочной улице и затем ускорилось в положительном направлении следующим образом: После \ (\ text {1} \) \ (\ text {s} \) такси преодолело расстояние \ (\ text {2,5} \) \ (\ text {m} \) после \ (\ text {2} \) \ (\ text {сидеть покрыл \ (\ text {10} \) \ (\ text {m} \), после \ (\ text {3} \) \ (\ text {s} \) он покрыл \ (\ text {22,5} \) \ (\ text {m} \) и после \ (\ text {4} \) \ (\ text {s} \) он накрыл \ (\ text {40} \) \ (\ text {m} \). {- 1} $} \ end {выровнять *}

По этим скоростям мы можем построить график зависимости скорости от времени, который образует прямую линию.{-2} $} \ end {выровнять *}

Ускорение не меняется во время движения (градиент остается постоянным). Это движение при постоянном или равномерное ускорение.

Графики для этой ситуации показаны ниже:

Рисунок 21.6: Графики движения с постоянным ускорением из состояния покоя.

График зависимости скорости от ускорения в зависимости от времени

Так же, как мы использовали графики зависимости скорости от времени, чтобы найти смещение, мы можем использовать зависимость ускорения от времени.{-1} $} \).

Сводка графиков (ESAHE)

Связь между графиками положения, скорости и ускорения как функций времени представлена в следующая цифра.

Рисунок 21.7: Графики положения-времени, скорости-времени и ускорения-времени.

Вам также часто потребуется рисовать графики на основе описания движения словами или из диаграммы. Помните, что это просто разные методы представления одной и той же информации.Если иметь в виду общие формы графиков для различных типов движения, не должно возникнуть никаких трудностей с объясняя, что происходит.

Описание движения, представленного графиком, должно включать следующее (где возможно):

, движется ли объект в положительном или отрицательном направлении
, находится ли объект в состоянии покоя, движется с постоянной скоростью или движется с постоянным положительным ускорением. (ускорение) или постоянное отрицательное ускорение (замедление)

Положение в зависимости от времени с использованием тикерного таймера

Цель

Для измерения положения и времени во время движения и использования этих данных для построения графика зависимости положения отВремя ».

Аппарат

Тележка, тикерный ленточный аппарат, лента, миллиметровка, линейка, пандус

Рисунок 21.8: Движение с постоянной скоростью Рисунок 21.9: Движение с возрастающей скоростью

Метод

Работай с другом. Скопируйте приведенную ниже таблицу в свою рабочую тетрадь.
Прикрепите кусок ленты к тележке.
Пропустите другой конец ленты через тикер-таймер.
Запустите тикерный таймер и катите тележку по рампе.
Повторите шаги 1–3.
На каждой ленте измерьте расстояние между последовательными точками. Обратите внимание на эти расстояния в таблице. ниже.
Используйте частоту таймера тикера для определения временных интервалов между последовательными точками. Примечание эти времена в таблице ниже,
Определите средние значения расстояния и времени.
Используйте среднее расстояние и среднее время, чтобы построить график зависимости «Расстояние от времени». на миллиметровую бумагу .Вставьте миллиметровую бумагу в свою рабочую тетрадь. (Помните, что «A vs. B »всегда означает« \ (y \) vs. \ (x \) »).
Вставьте все обозначения осей и единицы измерения на график.
Проведите лучшую прямую линию через точки данных.

Результаты

Расстояние (м)			Время (с)
1	2	пр.	1	2	пр.

Обсуждение

Опишите движение тележки по рампе.

Рабочие примеры (ESAHF)

Рабочие примеры в этом разделе демонстрируют типы вопросов, которые можно задать о графиках.

Рабочий пример 3: Описание движения на основе графика положение-время

График движения автомобиля между положением и временем приведен ниже. Изобразите соответствующую скорость vs. графики зависимости времени и ускорения от времени, а затем описывают движение автомобиля.

Определите, какая информация предоставляется и что требуется для

Вопрос дает позицию vs.график времени и требуются следующие три вещи:

Нарисуйте график зависимости \ (v \) от \ (t \).
Нарисуйте график \ (a \) vs. \ (t \).
Опишите движение автомобиля.

Чтобы ответить на эти вопросы, разбейте движение на три части: 0 — \ (\ text {2} \) секунд, \ (\ text {2} \) — \ (\ text {4} \) секунды и \ (\ text {4} \) — \ (\ text {6} \) секунды.

График зависимости скорости от времени для \ (\ text {0} \) — \ (\ text {2} \) секунд

В течение первых \ (\ text {2} \) секунд мы видим, что положение (и, следовательно, смещение) остается постоянная — объект не движется и в это время имеет нулевую скорость. Мы можем достичь этого вывод и другим путем: помните, что градиент графика смещения в зависимости от времени — это скорость. В первые \ (\ text {2} \) секунды мы видим, что смещение vs.график времени — горизонтальная линия, т.е. имеет нулевой градиент. Таким образом, скорость в это время равна нулю, и объект неподвижен.

График зависимости скорости от времени для \ (\ text {2} \) — \ (\ text {4} \) секунд

В течение следующих \ (\ text {2} \) секунд смещение увеличивается со временем, поэтому объект движется. Смотря на По градиенту графика смещения мы видим, что он не постоянный. Фактически, наклон становится круче (градиент увеличивается) со временем.Таким образом, помня, что градиент смещения График зависимости скорости от времени — это скорость, скорость должна увеличиваться со временем во время этой фазы.

График зависимости скорости от времени для \ (\ text {4} \) — \ (\ text {6} \) секунд

В последние \ (\ text {2} \) секунды мы видим, что смещение все еще увеличивается со временем, но на этот раз градиент постоянный, поэтому мы знаем, что теперь объект движется с постоянной скоростью, поэтому скорость vs.График времени на этом этапе будет горизонтальной линией. Теперь мы можем нарисовать графики:

Итак, наш график зависимости скорости от времени выглядит так, как показано ниже. Потому что нам не были даны какие-либо значения вертикальная ось графика смещения от времени, мы не можем понять, каковы точные градиенты и следовательно, каковы значения скоростей. В этом типе вопросов просто важно показать являются ли скорости положительными или отрицательными, увеличивающимися, уменьшающимися или постоянными.

Когда у нас есть график зависимости скорости от времени, гораздо проще получить график зависимости ускорения от времени, как мы знаем. что градиент графика зависимости скорости от времени — это и есть ускорение.

График зависимости ускорения от времени для 0 — \ (\ text {2} \) секунд

Для первых \ (\ text {2} \) секунд график зависимости скорости от времени горизонтален и имеет нулевое значение, таким образом у него нулевой градиент, и в это время нет ускорения.(Это имеет смысл, потому что мы знаем из графика времени смещения, что объект неподвижен в течение этого времени, поэтому он не может быть ускоряется).

График зависимости ускорения от времени для \ (\ text {2} \) — \ (\ text {4} \) секунд

В течение следующих \ (\ text {2} \) секунд график зависимости скорости от времени имеет положительный градиент. Этот градиент не изменение (т.е. его константа) в течение этих \ (\ text {2} \) секунд, поэтому должна быть постоянная положительная ускорение.

График зависимости ускорения от времени для \ (\ text {4} \) — \ (\ text {6} \) секунд

Последние \ (\ text {2} \) секунды объект движется с постоянной скоростью. За это время Градиент графика зависимости скорости от времени снова равен нулю, и, следовательно, объект не ускоряется. В График зависимости ускорения от времени выглядит так:

Описание движения объекта

Краткое описание движения объекта может выглядеть примерно так: At \ (t = \ text {0} \ text { s} \) объект неподвижен в некоторой позиции и остается неподвижным до \ (t = \ text {2} \ text {s} \), когда он начинает ускоряться.Он ускоряется в положительном направлении для \ (\ text {2} \) \ (\ text {s} \) до \ (t = \ text {4} \ text {s} \), а затем движется с постоянной скоростью еще \ (\ text {2} \) \ (\ text {s} \).

Рабочий пример 4: Расчеты по графику зависимости скорости от времени

График зависимости скорости грузовика от времени представлен ниже. Рассчитайте расстояние и смещение грузовик через \ (\ text {15} \) секунд.

Решите, как решить проблему

Нас просят рассчитать расстояние и перемещение автомобиля.Все, что нам нужно здесь помнить, это то, что мы может использовать область между графиком зависимости скорости от времени и осью времени для определения расстояния и смещение.

Определите площадь под графиком зависимости скорости от времени

Разбейте движение вверх: \ (\ text {0} \) — \ (\ text {5} \) секунд, \ (\ text {5} \) — \ (\ text {12} \) секунд, \ (\ text {12} \) — \ (\ text {14} \) секунды и \ (\ text {14} \) — \ (\ text {15} \) секунды.

Для \ (\ text {0} \) — \ (\ text {5} \) секунд: смещение равно площади треугольника на осталось:

\ begin {align *} {\ text {Area}} _ {△} & = \ frac {1} {2} b \ times h \\ & = \ frac {1} {2} \ times \ text {5} \ text {s} \ times \ text {4} \ text {m · s $ ^ {- 1} $} \\ & = \ текст {10} \ текст {м} \ end {выровнять *}

Для \ (\ text {5} \) — \ (\ text {12} \) секунд: смещение равно площади прямоугольника:

\ begin {align *} {\ text {Area}} _ {\ square} & = l \ times b \\ & = \ text {7} \ text {s} \ times \ text {4} \ text {m · s $ ^ {- 1} $} \\ & = \ текст {28} \ текст {м} \ end {выровнять *}

Для \ (\ text {12} \) — \ (\ text {14} \) секунд смещение равно площади треугольника выше ось времени справа:

\ begin {align *} {\ text {Area}} _ {△} & = \ frac {1} {2} b \ times h \\ & = \ frac {1} {2} \ times \ text {2} \ text {s} \ times \ text {4} \ text {m · s $ ^ {- 1} $} \\ & = \ текст {4} \ текст {м} \ end {выровнять *}

Для \ (\ text {14} \) — \ (\ text {15} \) секунд смещение равно площади треугольника ниже ось времени:

\ begin {align *} {\ text {Area}} _ {△} & = \ frac {1} {2} b \ times h \\ & = \ frac {1} {2} \ times \ text {1} \ text {s} \ times \ text {2} \ text {m · s $ ^ {- 1} $} \\ & = \ текст {1} \ текст {м} \ end {выровнять *}

Определить общее расстояние автомобиля

Теперь общее расстояние автомобиля — это сумма всех этих областей:

\ begin {align *} D & = \ text {10} \ text {m} + \ text {28} \ text {m} + \ text {4} \ text {m} + \ text {1} \ text {m} \\ & = \ текст {43} \ текст {м} \ end {выровнять *}

Определить водоизмещение автомобиля

Теперь полное перемещение автомобиля — это просто сумма всех этих областей.ОДНАКО, потому что в последний во второй (от \ (t = \ text {14} \ text {s} \) до \ (t = \ text {15} \ text {s} \)) скорость автомобиля отрицательная, это означает, что машина ехала в обратном направлении, то есть туда, откуда она пришла! Итак, чтобы найти полное смещение, мы должны добавить первые \ (\ text {3} \) области (с положительными смещениями) и вычтите последний (потому что это смещение в противоположном направлении).

\ begin {align *} \ Delta \ vec {x} & = \ text {10} \ text {m} + \ text {28} \ text {m} + \ text {4} \ text {m} — \ text {1} \ text { m} \\ & = \ text {41} \ text {m} \ text {в положительном направлении} \ end {выровнять *}

Рабочий пример 5: Скорость с позиции vs.график времени

График зависимости положения от времени ниже описывает движения спортсмена.

Какова скорость спортсмена в течение первых \ (\ text {4} \) секунд?
Какова скорость спортсмена от \ (t = \ text {4} \ text {s} \) до \ (t = \ text {7} \ text {s} \)?

Скорость в течение первых \ (\ text {4} \) секунд

Скорость определяется градиентом положения относительно{-1} $} \).

Рабочий пример 6: построение графика \ (v \) vs. \ (t \) из графика \ (a \) vs. \ (t \)

График зависимости ускорения от времени для автомобиля, трогающегося из состояния покоя, приведен ниже. Рассчитайте скорость автомобиль и, следовательно, нарисуйте график зависимости скорости от времени.

Рассчитайте изменение значений скорости, используя площадь под каждой частью графика.

Движение автомобиля можно разделить на три временных отрезка: \ (\ text {0} \) — \ (\ text {2} \) секунды; \ (\ text {2} \) — \ (\ text {4} \) секунды и \ (\ text {4} \) — \ (\ text {6} \) секунды.{-1} $} \) в \ (t = 6 \ text {s} \).

Теперь используйте значения для построения графика зависимости скорости от времени.

График зависимости скорости от времени выглядит следующим образом:

Графики

Учебное упражнение 21.6

Автомобиль припаркован \ (\ text {10} \) \ (\ text {m} \) от дома на \ (\ text {10} \) минут. Нарисовать графики смещения-времени, скорости-времени и ускорения-времени для движения.{-2} $} \) для \ (\ text {4} \) \ (\ text {s} \). Нарисуйте графики ускорения-времени, скорости-времени и времени смещения для движение. Точные значения необходимы только для графиков ускорения-времени и скорости-времени.

Решение пока недоступно

Следующий график зависимости скорости от времени описывает движение автомобиля. Нарисуйте график смещения-времени и график ускорения-время и объясните движение автомобиля в соответствии с тремя графиками.

Решение пока недоступно

Следующий график зависимости скорости от времени описывает движение грузовика. Нарисуйте график смещения-времени и график ускорения-время и объясните движение грузовика в соответствии с тремя графиками.

Решение пока недоступно

Движение тела и построение графиков на JSTOR

Абстрактный

Мы анализируем, как 2 студента использовали компьютерный детектор движения в контексте индивидуальных интервью.Хотя работа 1 студента проиллюстрирована стенограммой и комментариями, темы и обсуждения развились из нашего исследования работы обоих студентов с детектором движения, когда они взаимодействовали с интервьюером. Наш анализ выявляет 3 темы: перспективы инструментов, слияние и графические пространства. Оба студента разработали инструментальные перспективы, которые позволили им спланировать свои движения, чтобы они могли создавать и интерпретировать графики с помощью кинестетических действий. Тема слияния исследует их возникающие способы разговора, действий и жестов, которые не делают различия между символами и референтами.Графические пространства отражают наш рассказ об эпизодах, в которых изменение того, как они использовали детектор движения, побудило их исследовать инструмент заново. Наши выводы способствуют переосмыслению природы символизации, обучению графическому изображению и связи между графическим отображением детей и ученых.

Информация о журнале

Редакция и редакционная коллегия «Познания и обучения» вспоминают увещевание историка науки де Соллы Прайса рассматривать научные рассуждения как «творческое мышление обо всем без каких-либо ограничений».»Мы приглашаем к работе, которая творчески рассматривает проблемы в познании и обучении, наряду с доказательствами, которые позволили бы другим участвовать в упражнении такого воображения. Учитывая, что методологии являются инструментами теории, мы предлагаем внимательно рассмотреть, как методы и теории образуются рефлексивно. в счетах преподавания и обучения. Помня о том, что образование долгое время считалось профессией дизайнера, мы больше всего заинтересованы в развитии прагматических теорий, которые предлагают эмпирически обоснованные объяснения познания в определенных контекстах, таких как школы, музеи и рабочие места .Мы приглашаем рукописи, которые: систематически исследуют дизайн, создание, функционирование и поддержку инновационных контекстов для обучения; исследовать рост и развитие интереса и идентичности в этих контекстах; изучить, как социальные практики, особенно в профессиях, влияют на познание; описать деятельность преподавания в поддержку обучения; продвигать наше понимание когнитивных процессов и их развития, поскольку они происходят в предметных областях и в разных контекстах, таких как лаборатории, школы, профессии и неформальные места обучения; проанализировать природу свободного и квалифицированного познания, включая профессиональный опыт, в важных областях знаний и работы; изучать взаимодействие учащихся с инновационными инструментами, разработанными для поддержки новых форм грамотности; и внести свой вклад в построение теории и образовательные инновации.Приветствуются исследования, изучающие познание и обучение с использованием разных размеров зерна и с использованием смешанных методов. Кроме того, рассматриваются предложения по тематическим специальным выпускам.

Информация об издателе

Основываясь на двухвековом опыте, Taylor & Francis быстро выросла за последние два десятилетия и стала ведущим международным академическим издателем. Группа издает более 800 журналов и более 1800 новых книг каждый год, охватывая широкий спектр предметных областей и включая журнал. отпечатки Routledge, Carfax, Spon Press, Psychology Press, Martin Dunitz и Taylor & Francis.Taylor & Francis полностью привержены публикации и распространению научной информации высочайшего качества, и сегодня это остается основной целью.