Метод рационализации формулы: Метод рационализации

{g(x)}}}\]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: \[{\large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\[1ex] &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

 

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: \[{\large{ \begin{cases} (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] h(x)>0 \end{cases}}}\]

 

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы равносильно \[(a)\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)\geqslant1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} h(x)\leqslant 1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Совокупность равносильна \[(b)\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ h(x)=1 \end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x)\\ h(x)=1 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)\geqslant 1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} 0<h(x)\leqslant1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Заметим, что решение совокупности \((a)\) плюс условие \(h(x)>0\) и решение совокупности \((b)\) полностью совпадают.

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим метод рационализации для решения логарифмических неравенств вида \[{\Large{\log_{h(x)}{f(x)}\geqslant \log_{h(x)}{g(x)}}}\]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: \[{\large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x)\\ f(x)>0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

 

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: \[{\large{\begin{cases} (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\ h(x)\ne 1 \end{cases}}}\]

 

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы плюс условие \(h(x)\ne 1\) равносильно \[(c)\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} h(x)< 1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Совокупность равносильна (если выписать часть ОДЗ отдельно) \[(d) \quad \begin{cases} f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\[1ex] \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

Заметим, что решение совокупности \((c)\) плюс условия \(f(x)>0, g(x)>0, h(x)>0\) и решение совокупности \((d)\) полностью совпадают.

 

\(\blacktriangleright\) Если \(f(x), h(x), g(x)\) — многочлены (что бывает очень часто в задачах), то метод рационализации позволяет перейти от показательного или логарифмического неравенства к рациональному, которое уже легко решается методом интервалов.3(2x+2)}{x-2}\leqslant0\\ &x=\pm 1 \end{aligned} \end{gathered} \right.\)

 

Решим неравенство из совокупности методом интервалов:

 

Таким образом, решением данной совокупности будут

 

\(x\in [-1; -\frac12\big]\cup\big[\frac12;2)\cup \{-1;1\} \Leftrightarrow x\in [-1; -\frac12\big]\cup\big[\frac12;2)\)

 

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим итоговый ответ: \(x\in \{-1\}\cup[1;2)\)

Метод рационализации с примерами

Суть метода в том, что в неравенстве можно перейти от сложного выражения \(F(x)\) к более простому \(G(x)\). Такой переход допустим, если выполнены два важных условия:

1. Обязательно нужно учесть ОДЗ изначальных функций

2. Делать замену можно только если с одной стороны неравенства стоит \(0\)

Также этот метод называют методом знакотождественных множителей.2-x-12)≤0\)

Умножим неравенство на \(-1\) и разложим третью скобку с помощью теоремы Виета.

\((x-2)(x+2)(x+3)(x-4)≥0\)

Применяем метод интервалов.

Теперь объединим это с ОДЗ.

Запишем ответ.

Ответ: \((-12;-3]∪(-2;0)∪(0;2)∪[4;+∞)\)

Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием

Практика проверки экзаменационных работ показывает, что наибольшую сложность для школьников представляет решение трансцендентных неравенств, особенно, логарифмических неравенств с переменным основанием. Поэтому предлагаемый вашему вниманию конспект урока представляет изложение метода рационализации (другие названия – метод декомпозиции (Моденов В.П.), метод замены множителей (Голубев В.И.)), позволяющего свести сложные логарифмические, показательные, комбинированные неравенства к системе более простых рациональных неравенств. Как правило, метод интервалов применительно к рациональным неравенствам к моменту изучения темы «Решение логарифмических неравенств» хорошо усвоен и отработан. Поэтому учащиеся с большим интересом и энтузиазмом воспринимают те методы, которые позволяют им  упростить решение, сделать его короче и, в конечном итоге, сэкономить время на ЕГЭ для решения других заданий.

Цели урока:

• Образовательная: актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств; введение нового способа решения неравенств; совершенствование навыков решения
• Развивающая: развитие математического кругозора, математической речи, аналитического мышления
• Воспитательная: воспитание аккуратности и самоконтроля.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент. Приветствие. Постановка целей урока.

2. Подготовительный этап:

Решить неравенства:

3. Проверка домашнего задания (№11.81*а[1])

При решении неравенства

Вам пришлось воспользоваться следующей схемой решения логарифмических неравенств с переменным основанием:

Т.е. надо рассмотреть 2 случая: основание больше 1 или основание меньше 1.

4. Объяснение нового материала

Если  посмотреть на эти формулы внимательно, то можно заметить, что знак разности g(x) – h(x) совпадает со знаком разности log_f(x)g(x) – log_f(x)h(x) в случае возрастающей функции (f(x) > 1, т.е. f(x) – 1 > 0) и противоположен знаку разности log_f(x)g(x) – log_f(x)h(x) в случае убывающей функции (0 < f(x) < 1, т.е. f(x) – 1 < 0)

Следовательно, данную совокупность можно свести к системе рациональных неравенств:

В этом и заключается суть метода рационализации – заменить более сложное выражение А на более простое выражение В, являющееся рациональным. При этом неравенство В V 0 будет равносильно неравенству А V 0 на области определения выражения А.

Пример 1. Перепишем неравенство  в виде  равносильной системы рациональных неравенств.

Замечу, что условия (1)–(4) являются условиями области определения неравенства, которую я рекомендую найти в начале решения.

Пример 2. Решить неравенство методом рационализации:

 

Область определения неравенства задается условиями:

Получим:

Осталось записать неравенство (5)

С учетом области определения

Ответ: (3; 5)

5. Закрепление изученного материала

I. Запишите неравенство в виде системы рациональных неравенств:

II. Представьте правую часть неравенства в виде логарифма по нужному основанию и перейдите к равносильной системе:

Учитель вызывает к доске учащихся, записавших системы из группы I и II, и предлагает одному из наиболее сильных учащихся решить домашнее неравенство (№11.81*а[1]) методом рационализации.

6. Проверочная работа

Вариант 1

1. Записать систему рациональных неравенств для решения неравенств:

2. Решить неравенство методом рационализации

Вариант 2

1. Записать систему рациональных неравенств для решения неравенств:

2. Решить неравенство методом рационализации

Критерии выставления оценок:

3-4 балла – «удовлетворительно»;
5-6 баллов – «хорошо»;
7 баллов – «отлично».

7. Рефлексия

Ответьте на вопрос: какой из известных вам методов решения логарифмических неравенств с переменным основанием позволит вам рациональнее использовать время на экзамене?

8. Домашнее задание: [1] №№11.80* (а,б), 11.81*(а,б), 11.84*(а,б) решить методом рационализации.

Список используемой литературы:

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 11 кл. общеобразоват. Учреждений /[С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин ] – 5-ое изд. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники»,2006.
2. А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012.

Метод рационализации при решении неравенств

При решении сложных неравенств часто применяют метод рационализации

, т.е. приведение неравенства к более простому виду, а именно, к рациональному неравенству. Это позволяет использовать для его решения метод интервалов. Этот метод применяют к решению логарифмических, показательных и иррациональных неравенств.

Метод рационализации заключается в том, что если некоторая функция монотонно возрастает, а точки и принадлежат области определения функции, то разность совпадает по знаку с разностью .

Например, неравенство можно заменить на равносильное ему . Решая упрощенное неравенство необходимо учитывать ОДЗ функций, входящих в исходное неравенство.

Примеры решения неравенств методом рационализации

ПРИМЕР 2

Задание	Решить логарифмическое неравенство методом рационализации
Решение	В заданном неравенстве перейдем к новому основанию логарифма, например к десятичному логарифму     Перенесем единицу в левую часть и приведем к общему знаменателю     Поскольку , то в знаменателе можно отнять не изменив неравенства:     Логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому можно применить метод рационализации и заменить полученное неравенство равносильным     С учетом ОДЗ исходного неравенства получим систему неравенств     Первое неравенство решим методом интервалов Итак, решением данного неравенства будет интервал
Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Метод рационализации | LAMPA — платформа для публикации учебных материалов

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x)F(x)F(x) на более простое выражение G(x)G(x)G(x), при которой неравенство G(x)∨0G(x) \vee 0G(x)∨0 равносильно неравенству F(x)∨0F(x) \vee 0F(x)∨0 в области определения выражения F(x)F(x)F(x).

Под знаком ∨\vee∨ подразумевается один из знаков >\gt>, <\lt<, ≥\ge≥, ≤\le≤.

Рассмотрим, например, выражение f(x)−g(x)\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}f(x)​−g(x)​. Заметим, что оно принимает значения таких же знаков, что и выражение f−gf-gf−g на своей области определения, действительно: f(x)<g(x)⇔f(x)<g(x),f(x)\lt g(x) \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}\lt \sqrt{g(x)},f(x)<g(x)⇔f(x)​<g(x)​,f(x)>g(x)⇔f(x)>g(x)f(x)\gt g(x) \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}\gt \sqrt{g(x)}f(x)>g(x)⇔f(x)​>g(x)​ в силу возрастания функции t(x)=xt(x)=\sqrt{x}t(x)=x​.

Любое неравенство приводимо к виду u1⋅u2⋅…⋅unv1⋅v2⋅…⋅vk∨0,\frac{u_1\cdot u_2\cdot …\cdot u_n}{v_1\cdot v_2\cdot …\cdot v_k} \vee 0,v1​⋅v2​⋅…⋅vk​u1​⋅u2​⋅…⋅un​​∨0, где u1,…,un,v1,…,vku_1,…,u_n,v_1,…,v_ku1​,…,un​,v1​,…,vk​ — некоторые функции. Довольно часто каждую из них можно заменить на другую знакосовпадающую функцию на области определения. Приведём основные типы выражений, для которых можно использовать метод рационализации.

В первом столбце таблицы — функция F(x)F(x)F(x), которую мы рационализируем. Во втором столбце — функция G(x)G(x)G(x) — знакосовпадающая с функцией F(x)F(x)F(x) на области её определения. При этом, используя метод рационализации, нельзя забывать про область определения функций. При решении задачи исходное неравенство преобразуется в систему: рационализированное неравенство и ОДЗ исходного неравенства.

Выражение FFF	Выражение GGG	ОДЗ
logh(x)f(x)−logh(x)g(x)\log_{h(x)} f(x) — \log_{h(x)}g(x)logh(x)​f(x)−logh(x)​g(x)	(h(x)−1)⋅(f(x)−g(x))(h(x)-1)\cdot (f(x)-g(x))(h(x)−1)⋅(f(x)−g(x))	f(x)>0f(x)\gt 0f(x)>0, g(x)>0g(x)\gt 0g(x)>0, h(x)>0h(x)\gt 0h(x)>0, h(x)≠1h(x)\neq 1h(x)≠1
logh(x)f(x)−1\log_{h(x)} f(x) — 1logh(x)​f(x)−1	(h(x)−1)⋅(f(x)−h(x))(h(x)-1)\cdot (f(x)-h(x))(h(x)−1)⋅(f(x)−h(x))	f(x)>0f(x)\gt 0f(x)>0, h(x)>0h(x)\gt 0h(x)>0, h(x)≠1h(x)\neq 1h(x)≠1
logh(x)f(x)\log_{h(x)}f(x)logh(x)​f(x)	(h(x)−1)⋅(f(x)−1)(h(x)-1)\cdot (f(x)-1)(h(x)−1)⋅(f(x)−1)	f(x)>0f(x)\gt 0f(x)>0, h(x)>0h(x)\gt 0h(x)>0, h(x)≠1h(x)\neq 1h(x)≠1
logf(x)h(x)−logg(x)h(x)\log_{f(x)}h(x)-\log_{g(x)}h(x)logf(x)​h(x)−logg(x)​h(x)	(f(x)−1)⋅(g(x)−1)⋅(h(x)−1)⋅(g(x)−f(x))(f(x)-1)\cdot (g(x)-1)\cdot (h(x)-1)\cdot (g(x)-f(x))(f(x)−1)⋅(g(x)−1)⋅(h(x)−1)⋅(g(x)−f(x))	h(x)>0h(x)\gt 0h(x)>0, f(x)>0f(x)\gt 0f(x)>0, f(x)≠1f(x)\neq 1f(x)≠1, g(x)>0g(x)\gt 0g(x)>0, g(x)≠1g(x)\neq 1g(x)≠1
h(x)f(x)−h(x)g(x)h(x)^{f(x)} — h(x)^{g(x)}h(x)f(x)−h(x)g(x)	(h(x)−1)⋅(f(x)−g(x))(h(x)-1)\cdot (f(x)-g(x))(h(x)−1)⋅(f(x)−g(x))	h(x)>0h(x)\gt 0h(x)>0
h(x)f(x)−1h(x)^{f(x)}-1h(x)f(x)−1	(h(x)−1)⋅f(x)(h(x)-1) \cdot f(x)(h(x)−1)⋅f(x)	h(x)>0h(x)\gt 0h(x)>0
f(x)h(x)−g(x)h(x)f(x)^{h(x)}-g(x)^{h(x)}f(x)h(x)−g(x)h(x)	(f(x)−g(x))⋅h(x)(f(x)-g(x))\cdot h(x)(f(x)−g(x))⋅h(x)	f(x)>0f(x)\gt 0f(x)>0, g(x)>0g(x)\gt 0g(x)>0
∣f(x)∣−∣g(x)∣|f(x)|-|g(x)|∣f(x)∣−∣g(x)∣	(f(x)−g(x))⋅(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))\cdot (f(x)+g(x))(f(x)−g(x))⋅(f(x)+g(x))	любые значения f(x)f(x)f(x) и g(x)g(x)g(x)

Выпишем некоторые наиболее часто применяющиеся следствия из этой таблицы, которые выполняются в ОДЗ рассматриваемых функций:

logh(x)f(x)⋅logp(x)q(x)∨0⇔(h(x)−1)⋅(f(x)−1)⋅(p(x)−1)⋅(q(x)−1)∨0;\log_{h(x)}f(x)\cdot \log_{p(x)}q(x) \vee 0 \Leftrightarrow (h(x)-1)\cdot (f(x)-1)\cdot (p(x)-1)\cdot (q(x)-1)\vee 0;logh(x)​f(x)⋅logp(x)​q(x)∨0⇔(h(x)−1)⋅(f(x)−1)⋅(p(x)−1)⋅(q(x)−1)∨0;

logh(x)f(x)+logh(x)g(x)∨0⇔(f(x)g(x)−1)⋅(h(x)−1)∨0;\log_{h(x)}f(x)+\log_{h(x)}g(x) \vee 0 \Leftrightarrow (f(x)g(x)-1)\cdot (h(x)-1)\vee 0;logh(x)​f(x)+logh(x)​g(x)∨0⇔(f(x)g(x)−1)⋅(h(x)−1)∨0;

f(x)−g(x)∨0⇔f(x)−g(x)∨0;\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)} \vee 0 \Leftrightarrow f(x)-g(x) \vee 0;f(x)​−g(x)​∨0⇔f(x)−g(x)∨0;

h(x)f(x)−h(x)g(x)h(x)p(x)−h(x)q(x)∨0⇔f(x)−g(x)p(x)−q(x)∨0.{q(x)}} \vee 0 \Leftrightarrow \frac{ f(x)-g(x)}{p(x)-q(x)} \vee 0.h(x)p(x)−h(x)q(x)h(x)f(x)−h(x)g(x)​∨0⇔p(x)−q(x)f(x)−g(x)​∨0.

Репетитор по математике консультирует по вопросам написания ЕГЭ

На этой странице Вам предоставляется возможность получить бесплатную консультацию репетитора по математике относительно требований на ЕГЭ. Я и мои репетиторы готовы помочь с разъяснением различных организационных и учебных вопросов, касающихся сдачи Единого Государственного Экзамена. Если Вам не понятен, например, регламент его проведения, правила оформления и критерии оценок решений экспертами, или хотите узнать о возможности применения на ЕГЭ дополнительных математических фактов и методов — вышлите мне свой вопрос через соответствующую форму. Для успешной подготовки к ЕГЭ хороший репетитор по математике обычно составляет четкий план изучения (или повторения) всего школьного материала. Советы репетиторам (и родителям) относительно его применимости в конкретной учебной ситуации можно также получить в формате данной страницы.

Вопрос от Александра о применимости формул и теорем на ЕГЭ . Здравствуйте! Подскажите пожалуйста, какие факты на ЕГЭ нуждаются в доказательствах? Например, метод рационализации или теоремы не изучаемые в школе (или поверхностно изучаемые) по геометрии (Чевы, Менелая и т.д). Какие формулы надо выводить при решении С4, а какие нет? Например, надо ли пояснять метод поиска медианы через стороны? Или же просто достаточно указать формулу и применить ее? Вопрос очень насущный. От него зависит метод подготовки к ЕГЭ по математике. Если у Вас есть возможность ответить самому или дать ссылку на ресурс, на котором можно прочитать о правилах ЕГЭ, был бы очень Вам признателен. С уважением, Александр.

Репетитор по математике о дополнительных фактах и методах.
На ЕГЭ Вы можете пользоваться чем угодно, хоть матрицами и определителями :). Если факт известный, его не нужно доказывать. Достаточно на него правильно и вовремя сослаться. Нужно постараться описать его так, чтобы проверяющий понял, о каком математическом свойстве или теореме идет речь. Знание дополнительных сведений в довесок к программным только приветствуется, поэтому за их использование эксперт не должен снизить балл.

Вопросы»Задания ЕГЭ С3. Решение логарифмических и показательных неравенств методом интервалов. Страница Админа.|Поступи в ВУЗ

Задания ЕГЭ С3. Решение логарифмических и показательных неравенств методом интервалов. Страница Админа.

создана: 25.06.2016 в 22:57
…………………………………………

liliana :

Задания С3 традиционно содержат показательные  или логарифмические неравенства или их системы.  Привожу решения нескольких логарифмических неравенств С3. Объяснения не страдают излишним объяснением, т.к. предполагается, что те, кто собирается решать задания С3, знают основные логарифмические и показательные формулы. Нет единого метода решения сложных логарифмических уравнений и неравенств. Необходимо помнить, что начинать решение надо с нахождения области определения (ОДЗ). Начну с более простых заданий С3.

Пример 1.  (Средний уровень сложности).

log_2-x(x+2) * log_x+3(3-x) ≤ 0

Классический способ решения (методом интервалов):

Примечание. Решая методом интервалов, в области определения отметим точки, в которых логарифмы обращаются в 0. Определяем знаки логарифмов на каждом получившемся промежутке. Т.к. логарифмы образуют произведение, то выбираем те промежутки, где логарифмы имеют разные знаки. Т.к. неравенство не строгое, то в решение включаем точку х=-1, в которой первый логарифм равен 0.

_____________________________________________________________

Решение неравенства методом рационализации.

ln(x+2)  * ln(3-x)                                          (x+2-1)*(3-x-1)

__________________   ≤ 0;                  _________________  ≤ 0;

ln(2-x) * ln(x+3)                                          (2-x-1)*(x+3-1)

 

(x+1)*(2-x)

____________ ≤ 0.      Дальше решаем методом интервалов и учитываем ОДЗ

(1-x)*(x+2)                          Получим тот же ответ.

Рационализация — определение, метод, решенные примеры

Рационализация — это процесс, который находит применение в элементарной алгебре, где он используется для исключения иррационального числа в знаменателе . Есть много рационализирующих приемов, которые используются для рационализации знаменателя. Слово рационализировать буквально означает сделать что-то более эффективным. Принятие в математике означает преобразование уравнения в более эффективную и простую форму.

Рационализация

Рационализацию можно рассматривать как процесс, используемый для исключения радикального или мнимого числа из знаменателя алгебраической дроби. То есть удалите радикалы в дроби, чтобы знаменатель содержал только рациональное число. Напомним некоторые важные термины, относящиеся к концепции рационализации в этом разделе.

Радикал

Радикал — это выражение, использующее корень, например квадратный корень, кубический корень.Например, выражение вида √ (a + b) радикально.

Радиканд

Radicand — это термин, от которого мы находим корень. Например, на следующем рисунке (a + b) — подкоренное выражение.

Радикальный символ

Символ √ означает «корень из». Длина турника важна. Длина полосы обозначает переменные или константы, которые являются частью корневой функции. Следовательно, переменные или константы, которые не находятся под символом корня, не являются частью корня.

Степень

Степень — это число, показанное на рисунке ниже. 2 означает квадратный корень, 3 означает кубический корень. Кроме того, они называются корнем 4-й, 5-й и т. Д. Если это не указано, по умолчанию мы используем квадратный корень.

Конъюгат

Математическое сопряжение любого бинома означает другой точный бином с противоположным знаком между двумя членами. Например, сопряжение (x + y) равно (x — y) или наоборот. Таким образом, оба этих бинома являются сопряженными друг другу.

Рационализация Surd

Surds — это иррациональные числа, которые не могут быть далее упрощены в их радикальной форме. Например, иррациональное число √8 можно дополнительно упростить до 2√2, тогда как √2 нельзя упростить дальше. Таким образом, √2 — сюрд.

Примеры мономиального радикала: √6, 3√2, \ (\ sqrt [3] {2} \)

Примеры биномиального радикала: √3 + √6, 1 — √2

Процедура рационализации выражения зависит от радикала, является ли он мономиальным или биномиальным.

Рационализация мономиального радикала

Чтобы рационализировать сурд или радикал в знаменателе, необходимо выполнить разные шаги в зависимости от степени полинома или того факта, является ли радикал одночленом или многочленом. Любой многочлен с одним членом называется одночленом. \ (\ sqrt {2} \), \ (\ sqrt {7} \ text x \), \ (\ sqrt [3] {7 \ text x} \) и т. д. могут быть в знаменателях.

Процедура:

1) Предположим, что знаменатель содержит радикал, как в этой дроби: a / √ b.\ text m} \), который может быть заменен на \ (\ text x \) и, следовательно, свободен от радикального члена.

Давайте рассмотрим эту технику шаг за шагом, используя следующие примеры.

Пример: Давайте рационализируем дробь: 2 / √7.

Шаг 1. Изучите дробь — Данная дробь имеет мономиальный радикал √7 в знаменателе, который следует рационализировать. Обратите внимание, что числитель может иметь радикал, поэтому вам не нужно беспокоиться о числителе при изучении дроби или ее упрощении.

Шаг 2. Умножьте дробь в числителе и знаменателе на √7.

\ (\ dfrac {2 \ times \ sqrt {7}} {\ sqrt {7} \ times \ sqrt {7}} \)

Шаг 3. При необходимости упростите выражение.

\ (\ dfrac {2 \ times \ sqrt {7}} {\ sqrt {7} \ times \ sqrt {7}} = \ dfrac {2 \ sqrt {7}} {7} \)

Рационализация биномиального радикала

Если знаменатель имеет радикальное выражение вида \ (\ text a + \ sqrt {\ text b} \) или \ (\ text a + \ text i \ sqrt {\ text b} \), дробь должна умножается на сопряжение выражения i.е., \ (\ text a — \ sqrt {\ text b} \) или \ (\ text a — \ text i \ sqrt {\ text b} \) как в числителе, так и в знаменателе.

Процедура: Предположим, что знаменатель содержит радикальное выражение (a + √b) или (a + \ (i \) √b). Здесь радикал нужно умножить на сопряженное с ним.

Пример: Давайте посмотрим на следующую дробь, \ (\ dfrac {5} {2- \ sqrt {3}} \). Знаменатель необходимо рационализировать. \ (\ dfrac {5} {2- \ sqrt {3}} \ times \ dfrac {2+ \ sqrt {3}} {2+ \ sqrt {3}} \).Это дополнительно упрощается и оценивается как 5 (2 + √3).

Знаменатель расширяется после подходящих алгебраических тождеств.

Пример: Давайте изучим технику рационализации следующей дроби: \ (\ frac {\ sqrt {7}} {2 + \ sqrt {7}} \)

Шаг1. Изучите дробь — Знаменатель приведенной выше дроби имеет биномиальный радикал, т. Е. Представляет собой сумму двух членов, одно из которых является иррациональным числом. 2} \)

= \ (\ dfrac {2 \ sqrt {7} — 7} {4 — 7} \)

= \ (\ dfrac {7–2 \ sqrt {7}} {3} \)

Рационализация кубического корня

Этот метод можно обобщить на корни любого порядка при рационализации.{2/3}} {5} \)

= \ (\ sqrt [3] {25} \) / 5

Как рационализировать знаменатель?

Когда вы посмотрите на определение «рационализировать», станет яснее, что именно означает рационализация знаменателя. Такие числа, как \ (\ frac {1} {2} \), 5 и 0,25, являются рациональными числами, т. Е. Их можно выразить как отношение двух целых чисел, например \ (\ frac {1} {2}, \ frac { 5} {1}, \ frac {1} {4} \) соответственно. Принимая во внимание, что некоторые радикалы являются иррациональными числами, потому что они не могут быть представлены как отношение двух целых чисел.Таким образом, знаменатель необходимо рационализировать, чтобы выражение стало рациональным числом. В следующей таблице приведены эквивалентные рациональные значения иррационального числа.

Нерациональное	Rational
\ (\ dfrac {1} {\ sqrt {7}} \)	\ (\ dfrac {\ sqrt {7}} {7} \)
\ (\ dfrac {4} {\ sqrt {3}} \)	\ (\ dfrac {4 \ sqrt {3}} {3} \)
\ (\ dfrac {4 + \ sqrt {7}} {\ sqrt {7}} \)	\ (\ dfrac {4 \ sqrt {7} + 7} {7} \)

Шаги, указанные ниже, можно выполнить, чтобы рационализировать знаменатель в дроби,

• Шаг 1: Умножьте знаменатель и числитель на подходящий радикал, который удалит радикалы в знаменателе.
• Шаг 2: Убедитесь, что все прибавки во фракции имеют упрощенную форму.
• Шаг 3: При необходимости можно дополнительно упростить дробь.

Статьи по теме рационализации

Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными рационализации

Важные примечания

Вот список из нескольких моментов, которые следует помнить при изучении рационализации:

• Рационализацию можно рассматривать как процесс, используемый для исключения радикального или мнимого числа из знаменателя алгебраической дроби.То есть удалите радикалы в дроби, чтобы знаменатель содержал только рациональное число.
• Радикал — это выражение, использующее корень, например квадратный корень, кубический корень. Например, выражение вида √ (a + b) радикально.
• Математическое сопряжение любого бинома означает другой точный бином с противоположным знаком между двумя членами

Часто задаваемые вопросы по рационализации

Что такое метод рационализации?

Рационализация — это процесс удаления радикала или сурда из знаменателя и его переноса в числитель.Рационализируя, мы превращаем дробь в знаменатель как рациональное число.

Что такое метод рационализации радикалов в знаменателях?

Радикал, присутствующий в знаменателе дроби, может быть объяснен следующим образом:

• Шаг 1: Умножьте числитель и знаменатель на подходящий радикал, чтобы удалить радикалы в знаменателе.
• Шаг 2: Убедитесь, что все радикалы имеют упрощенную форму.
• Шаг 3: При необходимости упростите дробь.

Как рационализировать сурды?

Если в знаменателе дроби содержится сурд, числитель и знаменатель умножаются на это значение. Произведение знаменателя решается, тем самым давая рационализированный знаменатель.

Почему мы рационализируем знаменатели?

Если знаменатель линейный по отношению к радикалу, числитель и знаменатель умножаются на значение, так что произведение знаменателя расширяется и становится рационализированным.Для знаменателя с радикальным выражением вида a + √b или a + \ (i \) √b дробь должна быть умножена на сопряженное выражение, т.е. a — √b или a — \ (i \) √b.

Каковы правила рационализации?

При обосновании знаменателя

можно следовать следующим правилам.

• Проверить, все ли радикалы или капельки в упрощенной форме.
• Найдите подходящий радикал и умножьте его в числителе и знаменателе, чтобы удалить радикалы в знаменателе.

Какой пример рационализации?

Любую дробь с иррациональным числом в знаменателе можно рационализировать, чтобы удалить радикал из знаменателя. Например, дробь √ (36/7) может быть упрощена путем рационализации как,

• Шаг 1: Упростим данную дробь как 6 / √7.
• Шаг 2: Умножьте числитель и знаменатель на √7, чтобы получить 6√7 / 7

Почему мы рационализируем сурды?

Мы рационализируем сурды или радикалы, присутствующие в знаменателе дроби, чтобы знаменатель стал рациональным числом.Для этого мы обычно умножаем числитель и знаменатель на подходящий радикал и упрощаем.

Рационализировать знаменатель — значение, методы, примеры

Мы рационализируем знаменатель, чтобы упростить вычисление рационального числа. Когда мы рационализируем знаменатель в дроби, мы исключаем из знаменателя любые радикальные выражения, такие как квадратные корни и кубические корни. В этой статье давайте узнаем о рационализации знаменателя, его значении и методах на некоторых примерах.

Что такое рационализация?

Рационализация — это процесс умножения одного сурда на другой аналогичный сурд, чтобы получить рациональное число. Сурд, который используется для умножения, называется рационализирующим фактором (RF).

• Чтобы рационализировать √x, нам понадобится еще один √x: √x × √x = x.
• Чтобы рационализировать a + √b, нам нужен рационализирующий коэффициент a -√b: (a + √b) × (a -√b) = (a) ² — (√b) ² = a ² — б.
• Рационализирующий коэффициент 2√3 равен √3: 2√3 × √3 = 2 × 3 = 6.

Рационализировать знаменатель, значение

Рационализация знаменателя означает процесс перемещения корня, например кубического корня или квадратного корня из нижней части дроби (знаменатель) в верхнюю часть дроби (числитель). Таким образом, мы приводим дробь к простейшему виду, тем самым знаменатель становится рациональным.

Иррациональный знаменатель	Рациональный знаменатель
1 / √5	√5 / 5
4 / √7	(4√7) / 7
(2 + √3) / √3	(2√3 + 3) / 3

В приведенной выше таблице перечислены иррациональные знаменатели и их эквивалентные рациональные значения.

Рационализировать знаменатель с помощью конъюгатов

Прежде чем мы научимся рационализировать знаменатель, нам нужно узнать о конъюгатах. Конъюгат — это похожий сурд, но с другим знаком. Сопряжение (7 + √5) есть (7 — √5). В процессе рационализации знаменателя сопряжение является рационализирующим фактором. Процесс рационализации знаменателя с его сопряженным выглядит следующим образом.

• Шаг 1: Умножьте знаменатель и числитель на подходящее сопряжение, которое удалит радикалы в знаменателе.
• Шаг 2: Нам нужно убедиться, что все сурды в данной фракции находятся в их упрощенной форме.
• Шаг 3: При необходимости мы можем еще больше упростить дробь.

Давайте рассмотрим пример рационализации знаменателя дроби 1 / (7 + √5), чтобы лучше понять эту концепцию.

\ (\ begin {align} \ frac {1} {7 + \ sqrt 5} & = \ frac {1} {7 + \ sqrt 5} \ times \ frac {7 — \ sqrt 5} {7 — \ sqrt 5} \\ & = \ frac {7 — \ sqrt 5} {(7) ^ 2 — (\ sqrt 5) ^ 2} \\ & = \ frac {7 — \ sqrt 5} {49 — 5} \\ & = \ frac {7 — \ sqrt 5} {44} \ end {align} \)

Рационализировать знаменатель с помощью алгебраических тождеств

Другой способ рационализировать знаменатель — использовать алгебраические тождества.Алгебраическая формула, используемая в процессе рационализации, следующая: (a ² — b ² ) = (a + b) (a — b).

• Для рационализации (√a -√b) рационализирующий коэффициент равен (√a + √b).
• Для рационализации (√a + √b) рационализирующий коэффициент равен (√a — √b).
• (√a — √b) × (√a + √b) = (√a) ² — (√b) ² = a — b.

Давайте разберемся в этом на примере. Рассмотрим дробь 4 / (√11 -√7).2} \\ & = \ dfrac {4 (\ sqrt11 + \ sqrt7)} {11–7} \\ & = \ dfrac {4 (\ sqrt11 + \ sqrt7)} {4} \\ & = \ sqrt11 + \ sqrt7 \ end {align} \)

Рационализируйте знаменатель с помощью трех членов

Та же процедура, которой мы следовали, чтобы рационализировать знаменатель с двумя членами, мы можем выполнить эти шаги, но с небольшими вариациями. Рассмотрим знаменатель, содержащий эти три члена: a + b + c. Мы рационализировали знаменатель с двумя членами: a + b, умножив его на сопряженное a — b. 2} \\ & = \ dfrac {1+ \ sqrt3 + \ sqrt5} {1 + 2 \ sqrt3 +3-5} \\ & = \ dfrac {1+ \ sqrt3 + \ sqrt5} {2 \ sqrt3-1} \ end {align} \)

Теперь мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряжение (2√3-1), которое равно (2√3 + 1).2} \ end {align} \)

= \ (\ begin {align} \ dfrac {3 \ sqrt 3 + 6 + 2 \ sqrt 15 + 1 + \ sqrt 5} {12-1} \ end {align} \)

= \ (\ begin {align} \ dfrac {3 \ sqrt 3 + 7 + 2 \ sqrt 15 + \ sqrt 5} {11} \ end {align} \)

Статьи по теме, посвященные рационализации знаменателя

Проверьте следующие страницы, чтобы уточнить знаменатель.

Важные примечания по рационализации знаменателя:

Вот список из нескольких моментов, которые следует помнить при изучении рационализации знаменателя.

• Сопряженный или рационализирующий множитель (√a + √b) равен (√a -√b).
• Алгебраическое тождество, используемое в процессе рационализации: (a + b) × (a — b) = a ² — b ² .

Часто задаваемые вопросы по рационализации знаменателя

Как рационализировать знаменатель и упростить?

Процесс рационализации знаменателя выглядит следующим образом:

• Шаг 1: Умножьте знаменатель и числитель на подходящее сопряжение, которое удалит радикалы из знаменателя.
• Шаг 2: Нам нужно убедиться, что все сурды в данной фракции находятся в их упрощенной форме.
• Шаг 3: При необходимости мы можем еще больше упростить дробь.

Как рационализировать знаменатель с помощью двух членов?

Вот шаги, которые необходимо предпринять, чтобы рационализировать знаменатель с помощью двух членов:

• Чтобы рационализировать знаменатель с двумя членами, мы умножаем числитель и знаменатель дроби на сопряжение знаменателя.
• Чтобы найти конъюгат двух членов, мы должны изменить знак между двумя терминами.
• Объедините все похожие термины и упростите радикалы.
• Попытайтесь уменьшить дробь до ее простейшего вида, если это возможно.

Как рационализировать знаменатель 1 / (2 + √3)?

Давайте рационализируем знаменатель данной дроби 1 / (2 + √3), умножив числитель и знаменатель на его сопряжение (2 — √3).2} \\ & = \ dfrac {2 — \ sqrt3} {4 — 3} \\ & = \ dfrac {2 — \ sqrt3} {1} \\ & = 2 — \ sqrt3 \ end {align} \)

Как рационализировать знаменатель с помощью трех членов?

Та же процедура, которой мы следовали, чтобы рационализировать знаменатель с двумя членами, мы можем выполнить эти шаги, но с небольшими вариациями. Рассмотрим знаменатель, содержащий эти три члена: a + b + c. Мы рационализировали знаменатель с двумя членами: a + b, умножив его на сопряженное a — b. Мы можем применить те же рассуждения, чтобы рационализировать знаменатель, содержащий три члена, сгруппировав термины как a + b + c = (a + b) + c.Согласно формуле разности квадратов, имеем: [(a + b) + c] × [(a + b) — c] = (a + b) ² — c ² .

Как рационализировать знаменатель 1 / √7?

Чтобы рационализировать √7 в знаменателе, нам потребуется еще √7.

\ (\ frac {1} {\ sqrt {7}} = \ frac {1} {\ sqrt {7}} \ times \ frac {\ sqrt {7}} {\ sqrt {7}} \)

= √7 / (√7 × √7) = √7 / 7.

Следовательно, ответ — √7 / 7.

Как рационализировать знаменатель с квадратным корнем?

Чтобы найти в знаменателе квадратный корень, мы умножаем числитель и знаменатель на один и тот же квадратный корень.Например, чтобы рационализировать знаменатель 1 / √5, мы умножим числитель и знаменатель на √5.

\ (\ frac {1} {\ sqrt {5}} = \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ times \ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {5}} \)

√5 / (√5 × √5) = √5 / 5.

Что означает «рационализация знаменателя»?

Рационализация знаменателя означает процесс перемещения корня, например кубического или квадратного корня, из нижней части дроби в верхнюю часть дроби. Таким образом, мы приводим дробь к простейшему виду, тем самым знаменатель становится рациональным.

Рационализировать знаменатель

«Рационализация знаменателя» — это когда мы перемещаем корень (например, квадратный корень или кубический корень) из нижней части дроби в верхнюю.

О нет! Иррациональный знаменатель!

Нижняя часть дроби называется знаменателем .
Такие числа, как 2 и 3, являются рациональными.
Но многие корни, такие как √2 и √3, иррациональны.

Пример: имеет иррациональный знаменатель

Чтобы быть в «простейшей форме», знаменатель должен быть , а не иррациональным!

Исправление (путем рационального использования знаменателя)
называется « Рационализация знаменателя »

Примечание: нет ничего неправильного с иррациональным знаменателем, все равно работает. Но это не самая простая форма, поэтому может стоить марки.

И их удаление может помочь вам решить уравнение, поэтому вам следует узнать, как это сделать.

Итак … как мы это делаем?

1. Умножьте верх и низ на корень

Иногда можно просто умножить верх и низ на корень:

Пример: имеет иррациональный знаменатель. Давай исправим.

Умножьте верхнюю и нижнюю на квадратный корень из 2, потому что: √2 × √2 = 2:

Теперь в знаменателе есть рациональное число (= 2).Выполнено!

Примечание. Допускается наличие иррационального числа в верхней части (числителе) дроби.

2. Умножьте верхнее и нижнее на конъюгат

Есть еще один специальный способ переместить квадратный корень из нижней части дроби в верхнюю часть … мы умножаем верхний и нижний на , сопряженное знаменателю .

Сопряжение — это где мы меняем знак в середине двух членов:

Пример выражения		Его конъюгат
x 2 — 3		х 2 + 3

Другой пример		Его конъюгат
a + b 3		а — б 3

Это работает, потому что, когда мы умножаем что-то на его сопряжение, мы получаем квадрата , как это:

(a + b) (a − b) = a ² — b ²

Вот как это сделать:

Пример: вот дробь с «иррациональным знаменателем»:

1 3 − √2

Как мы можем переместить квадратный корень из 2 вверх?

Мы можем умножить верхнюю и нижнюю части на 3 + √2 (сопряжение 3 − √2) , что не изменит значения дроби:

1 3 − √2 × 3 + √2 3 + √2 знак равно 3 + √2 3 ² — (√2) ² знак равно 3 + √2 7

(Вы видели, что мы использовали (a + b) (a − b) = a ² — b ² в знаменателе?)

Используйте свой калькулятор, чтобы вычислить значение до и после… это то же самое?

Есть еще один пример на странице Оценка пределов (расширенная тема), где я перемещаю квадратный корень сверху вниз.

Полезное

Так что постарайтесь запомнить эти маленькие уловки, они могут однажды помочь вам решить уравнение!

математических слов: рационализация знаменателя

Рационализация знаменателя Процесс, с помощью которого дробь переписывается так, чтобы знаменатель содержал только рациональные числа.Ниже показаны различные методы рационализации знаменателя. Квадратный корень ( a > 0, b > 0, c > 0) Примеры n-й корень ( a > 0, b > 0, c > 0) Примеры Пример См. Также Правила извлечения квадратного корня, правила корня n-й степени, иррациональные числа, правила факторинга

радикалов: рационализация знаменателя | Purplemath

Purplemath

На предыдущей странице все фракции, содержащие радикалы (или радикалы, содержащие фракции) имели сокращенные или упрощенные до целых чисел знаменатели.Что, если мы получим выражение, в котором знаменатель настаивает на том, чтобы оставаться беспорядочным?

• Упростить:

В числителе есть идеальный квадрат, поэтому я могу упростить это:

MathHelp.com

Это очень похоже на предыдущее упражнение, но это «неправильный» ответ. Почему? Потому что знаменатель содержит радикал. Знаменатель не должен содержать радикалов, иначе он «неправильный».

(Почему «неправильно», в кавычках? Потому что эта проблема может иметь значение для вашего инструктора прямо сейчас, но, вероятно, не будет иметь значения для других инструкторов на более поздних курсах.Это как если бы вы учились в начальной школе, и неправильные дроби были «неправильными», и вам приходилось вместо этого преобразовывать все в смешанные числа. Но теперь, когда вы изучаете алгебру, неправильные дроби — это нормально, даже предпочтительнее. Точно так же, как только вы дойдете до исчисления или за его пределами, они не будут так беспокоиться о том, где находятся радикалы.)

Чтобы получить «правильный» ответ, я должен «рационализировать» знаменатель. То есть я должен найти способ преобразовать дробь в форму, в которой знаменатель имеет только «рациональные» (дробные или целые числа) значения.Но что мне делать с этой тройкой-радикалом? Я не могу взять тройку, потому что у меня нет пары тройок внутри радикала.

Вспоминая дроби начальной школы, вы не можете сложить дроби, если у них нет одинаковых знаменателей. Чтобы создать эти «общие» знаменатели, вы должны умножить сверху и снизу на любой знаменатель. Все, что делится само по себе, равно 1, и умножение на 1 не меняет значения того, что вы умножаете на это 1.Но умножение этого «чего угодно» на стратегическую форму 1 может сделать необходимые вычисления возможными, например, при сложении пятых и седьмых:

Для дроби в две пятых знаменателю нужен коэффициент 7, поэтому я умножил на

7/7, что составляет всего 1. Для дроби в три седьмых знаменателю нужен коэффициент 5, поэтому я умножил на 5. / 5, что равно 1. Мы можем использовать ту же технику, чтобы рационализировать радикальные знаменатели.

Я мог бы вывести 3 из знаменателя моей радикальной дроби, если бы у меня было два делителя на 3 внутри радикала. Я могу создать эту пару троек, умножив свою дробь, верхнюю и нижнюю, на другую копию корня три. Если я умножу верхнюю и нижнюю на корень-три, тогда я умножу дробь на стратегическую форму 1. Я не буду менять значение, но теперь возможно упрощение:

Последняя форма, «пять, корень-три, разделенное на три», — это «правильный» ответ, который они ищут.

---

• Упростить:

Ничего не упрощает, дробь стоит, и из радикалов ничего не вытащить. Так что все, что мне действительно нужно сделать здесь, это «рационализировать» знаменатель.

Мне нужно избавиться от третьего корня в знаменателе; Я могу сделать это, умножив верхнюю и нижнюю части на тройной корень. Когда я закончу с этим, мне нужно будет проверить, не упрощается ли что-нибудь на этом этапе.

Не останавливайтесь, когда вы рационализируете знаменатель. Как показано выше, вы всегда должны проверять, есть ли после рационализации что-то, что можно упростить.

---

• Упростить:

Это выражение имеет «неправильную» форму из-за радикала в знаменателе.Но если я попробую умножить на корень-два, ничего полезного не получу:

Это не помогает:

Не избавился от нижнего радикала.

Умножение целого знаменателя на другую копию тоже не поможет:

Как я могу это исправить? Есть хитрость:

Посмотрите, что произойдет, когда я умножу знаменатель, который они мне дали, на те же числа, что и в этом знаменателе, но с противоположным знаком посередине; то есть, когда я умножаю знаменатель на его сопряжение:

Это умножение привело к сокращению радикальных членов, чего я и хочу.Это «те же числа, но с противоположным знаком посередине» — это «сопряжение» исходного выражения. Используя конъюгат, я могу сделать необходимое объяснение.

Кстати, не пытайтесь залезть внутрь числителя и выдернуть 6 для «отмены». Единственное, что выводится из числителя, — это 3, но это не отменяется с 2 в знаменателе.

Отменить можно только общие множители в дробях, но не в частях выражений.В этом случае нет общих факторов. Ничего не отменяет.

---

• Упростить:

Знаменатель здесь содержит радикал, но этот радикал является частью большего выражения. Чтобы избавиться от него, я умножу на сопряжение, чтобы «упростить» это выражение.

Умножение знаменателя на его сопряжение дает целое число (ладно, отрицательное, но дело в том, что радикалов нет):

Умножение числителя на сопряжение знаменателя выглядит так:

Затем, вставив мои результаты сверху и затем проверив любую возможную отмену, упрощенная (рационализированная) форма исходного выражения находится как:

---

Может быть полезно проделать умножение отдельно, как показано выше.Не пытайтесь сделать слишком много сразу и обязательно проверьте, нет ли каких-либо упрощений, когда закончите с рационализацией.

---

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в упрощении дробей, содержащих радикалы (или радикалов, содержащих дроби). Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Упростить», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

---

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/radicals5.htm

нахождение предела рационализирующим | исчислением, математика в 12 классе

В этом разделе мы обсудим нахождение предела рационализирующим методом. Этот метод включает рационализацию числителя или знаменателя. Рационализация числителя или знаменателя означает умножение числителя или знаменателя на сопряжение числителя или знаменателя.
Например, сопряжение $ \ sqrt {x} + 4 $ равно $ \ sqrt {x} — 4 $; сопряжение $ \ sqrt {x + 2} — 3 $ равно $ \ sqrt {x + 2} + 3 $

Примеры нахождения предела рационализирующим методом

1) Найдите предел: $ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {x + 1} -1} {x} $

Решение: $ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {x + 1} -1} {x} $, если мы подключаем прямую x = 0, чтобы получить $ \ frac {0} {0} $, поэтому прямая подстановка не удалась.

Здесь мы будем рационализировать технику. Поскольку в числителе есть радикальное выражение, мы рационализируем числитель.Умножим числитель и знаменатель на $ {\ sqrt {x + 1} +1} $

$ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {x + 1} -1} {x} $ = $ \ lim_ {x-> 0} \ left (\ frac {\ sqrt {x + 1} -1} {x} \ right) \ left (\ frac {\ sqrt {x + 1} +1} {\ sqrt { x + 1} +1} \ right) $

= $ \ lim_ {x-> 0} \ left (\ frac {{x + 1} -1} {x (\ sqrt {x + 1} +1) } \ right) $

= $ \ lim_ {x-> 0} \ left (\ frac {x} {x (\ sqrt {x + 1} +1)} \ right) $

$ \ lim_ {x -> 0} \ frac {\ sqrt {x + 1} -1} {x} $ = $ \ lim_ {x-> 0} \ left (\ frac {1} {\ sqrt {x + 1} +1} \ right) $

Теперь подключите x = 0
$ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {x + 1} -1} {x} $ = $ \ left (\ frac {1} { \ sqrt {0 + 1} +1} \ right) $

$ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {x + 1} -1} {x} $ = $ \ left (\ frac { 1} {1 + 1} \ right) $

$ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {x + 1} -1} {x} $ = $ \ left (\ frac {1} { 2} \ right) $

2) Найдите предел: $ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {2 + x} — \ sqrt2} {x} $

Решение: $ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {2 + x} — \ sqrt2} {x} $, если мы подключим прямой x = 0, мы получим $ \ frac {0} {0} $, так что прямо замена не удалась.

Здесь мы будем рационализировать технику. Поскольку в числителе есть радикальное выражение, мы рационализируем числитель. Умножим числитель и знаменатель на $ {\ sqrt {2 + x} + \ sqrt2} $

$ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {2 + x} — \ sqrt2} {x} $ = $ \ lim_ {x-> 0} \ left (\ frac {\ sqrt {2 + x} — \ sqrt2} {x} \ right) \ left (\ frac {\ sqrt {2 + x} + \ sqrt2} {\ sqrt {2 + x} + \ sqrt2} \ right) $

= $ \ lim_ {x-> 0} \ left (\ frac {2 + x-2} {x (\ sqrt {2 + x}) + \ sqrt2} \ right) $

$ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {2 + x} — \ sqrt2} {x} $ = $ \ lim_ {x-> 0} \ left ( \ frac {x} {x (\ sqrt {2 + x} + \ sqrt2} \ right) $

$ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {2 + x} — \ sqrt2} {x } $ = $ \ lim_ {x-> 0} \ left (\ frac {1} {(\ sqrt {2 + x} + \ sqrt2} \ right) $

Теперь подключите x = 0

$ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {2 + x} — \ sqrt2} {x} $ = $ \ left (\ frac {1} {(\ sqrt {2 + 0} + \ sqrt2} \ right) $

$ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {2 + x} — \ sqrt2} {x} $ = $ \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2} + \ sqrt2} \ right) $

$ \ lim_ {x-> 0} \ frac {\ sqrt {2 + x} — \ sqrt2} {x} $ = $ \ left (\ frac {1} {(2 \ sqrt {2 }} \ right) $

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

12-й класс по математике

От нахождения предела путем рационализации к дому

Рационализация знаменателя с помощью высших корней — концепция

Когда знаменатель имеет больший корень, умножение на подкоренное выражение не удаляет корень.Вместо этого, чтобы рационализировать знаменатель , мы умножаем на число, которое даст новый член, который может происходить из корня. Например, умножьте кубический корень на число, которое даст кубическое число, такое как 8, 27 или 64.

Рационализация знаменателя — это, по сути, способ получить квадратный корень снизу. Хорошо. Мы можем спросить, почему он внизу.Не совсем уверен, почему, но по какой-то причине мы не можем, и когда мы это делаем, нам нужно на что-то умножить, чтобы избавиться от квадратного корня.
Итак, мы собираемся сделать пример, будем надеяться, что вы помните, как это делать. И это будет 4 больше квадратного корня из 8, хорошо? Мы могли бы умножить его на квадратный корень из 8 на квадратный корень из 8, тогда квадратный корень из 8 будет отменен, оставив нам 8. Но я хочу, чтобы вы привыкли делать это, чтобы посмотреть, есть ли способ что мы можем сначала упростить знаменатель.Хорошо? Я имею в виду, что у нас квадратный корень меньше, чем мы имеем дело. Квадратный корень из 8 — это то же самое, что квадратный корень из 4, умноженного на квадратный корень из 2, который равен 2-кратному корню 2. Итак, это выражение то же самое, что 4, 2 корня 2. Хорошо? Так что упростите это, и теперь нас интересует только квадратный корень из 2, который находится в знаменателе. Люди часто хотят умножить на весь знаменатель. Не надо, вам не нужно этого делать. Корень 2 — единственное, что создает проблему, поэтому вы можете оставить 2 как есть.Хорошо?
Итак, чтобы рационализировать знаменатель, умножьте корень 2 на корень 2. Наш числитель становится 4, корень 2, наш 2 все еще там, а затем у нас есть корень 2, умноженный на корень 2, что составляет всего 2. Вы можете упростить это до 4 на 2. умножая на 2, они все отменяют, просто оставляя нас с квадратным корнем из 2, хорошо. Надеюсь, для вас в этом нет ничего нового.
Сейчас я в основном хочу поговорить о знаменателе, когда вы имеете дело с корнем, отличным от 2. Итак, в этом примере мы говорим о кубическом корне.И одна из распространенных ошибок состоит в том, что люди хотят умножить кубический корень из 2 на кубический корень из 2. Хорошо? Когда мы умножаем радикалы, мы [IB] основываем корни одинаковыми. Мы комбинируем это. Таким образом, мы фактически получаем кубический корень из 2 в квадрате или 4. Это нам совсем не помогает, потому что кубический корень из 4 мы не знаем. Итак, что вам действительно нужно подумать, так это о том, сколько этого термина вам нужно, чтобы получить его из кубического корня? Хорошо? Чтобы получить что-то из кубического корня, вам нужно их 3 штуки, понятно? Кубический корень из 2 в кубе равен 2, кубический корень из 8 равен 2.Итак, чтобы получить что-то из кубического корня, вам нужно 3 элемента], а чтобы получить что-то из корня четвертой степени, вам нужно 4. Подумав об этом, мне нужен кубический корень из 2 в квадрате. У меня есть один 2, затем мне нужно еще два, чтобы сделать три. Хорошо? Умножив верхнюю и нижнюю части на то же самое, получим кубический корень из 2 в квадрате. Теперь у нас есть 3-кратный кубический корень из 2, возведенный в квадрат над кубическим корнем из 2 в третьем. Кубический корень от 2 до третьего равен всего 2. Итак, мы получаем всего 3, кубический корень из 4 над 2. Это 3 выглядит не очень хорошо, давайте перепишем это.
Итак, всякий раз, когда мы имеем дело с корнем, отличным от квадратного корня, вам нужно серьезно подумать о своем индексе.