Логарифмы метод рационализации: Страница не найдена — СУНЦ МГУ

Если вам понравилась статья, лучший способ сказать cпасибо — это поделиться ссылкой со своими друзьями в социальных сетях 🙂

Также вас может заинтересовать

Как решить логарифмическое неравенство

Логарифмическое неравенство может встретиться вам в 13 задании ЕГЭ по математике. При решении логарифмического неравенства важно правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Как же решить логарифмическое неравенство? Давайте разберем основные правила.

1. Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства
2. Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1
3. Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1
4. Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: классический подход и метод рационализации

Простейшее логарифмическое неравенство можно записать в виде:знак можно заменить на <, ≤ или ≥.

В логарифмическом неравенстве вначале решения нам важно определить область допустимых значений (ОДЗ).Далее мы смотрим на основание логарифма – a. Напомним, что основание логарифма должно быть положительным, и не должно равняться единице.

Если у логарифма в неравенстве  а > 1, то знак неравенства не меняется.

Если у логарифма в неравенстве 0 < а < 1, то знак неравенства меняется на противоположный.

Рассмотрим, как это работает на практике.

Вначале определяем ОДЗ:  2х + 4 > 0

Решаем это простейшее неравенство и получаем х > -2.

Таким образом область допустимых значений данного неравенства х > -2.

Далее решаем непосредственно логарифмическое неравенство. Так как основание логарифмов (основание = 2) в неравенстве больше единицы, знак неравенства сохраняется:Так как логарифмы в неравенстве имеют одинаковое основание, то мы их можем просто отбросить и решить неравенство вида

Теперь вспоминаем про нашу ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные значения на числовой оси:

Теперь разберем то же самое неравенство, только основание логарифма будет равно ½. Таким образом, получим:

Определяем ОДЗ, как и в прошлом примере, х > -2.

Далее смотрим на основание логарифма. В данном случае основание равно ½, т.е. находится в области от 0 < а < 1. В этом случае знак исходного неравенства меняется на противоположный. Получим:

Решаем полученное неравенство. Так как основания у логарифмов в обеих частях равны, то их можно отбросить, в результате чего получим:Вспоминаем про ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные точки на числовой оси:Таким образом, решением нашего неравенства является:

Такие неравенства являются простыми, так как основания логарифмов, которые присутствовали в наших неравенствах, были четко определены.

А что делать, если основание логарифма, который присутствует в неравенстве, содержит Х? То есть нельзя четко сказать а > 1 или 0 < а < 1. Такое логарифмическое неравенство называется логарифмическим неравенством с переменным основанием. Решить его можно двумя способами – с помощью определения логарифма с переменным основанием и методом рационализации.

Давайте рассмотрим оба способа. И для наглядности решим одно логарифмическое неравенство двумя этими способами.

Итак, мы имеем неравенство

Как правило, в школе учат решать логарифмические неравенства с переменным основанием только с помощью определения логарифма, поэтому-то его и назвали классическим подходом.

Выше мы говорили о том, что при решении неравенств, содержащих логарифмы, необходимо обращать внимание на основание логарифма, которое может быть либо больше единицы, либо меньше единицы, но при этом больше ноля. И в зависимости от этого определяем знак неравенства.

С помощью такого подхода можно решить и логарифмическое неравенство с переменным основанием, то есть с основанием, которое содержит Х, и о котором невозможно сказать больше оно единицы или меньше. В этом случае нам просто нужно рассмотреть два случая: когда исходное неравенство больше единицы, и когда исходное неравенство меньше единицы, но больше ноля.

Вернемся к нашему примеру.Для начала нам нужно преобразовать данное неравенство в такой вид, где слева и справа будут логарифмы с одинаковым основанием. Для этого вспомним такое свойство логарифмов, как логарифмическая единица:То есть в нашем примере правую часть можно преобразовать следующим образом:Таким образом наше неравенство примет вид:

Теперь нам нужно рассмотреть два случая, когда основание логарифма больше единицы и, когда основание логарифма меньше единицы, но больше нуля. При этом не забываем про область допустимых значений.
Отметим полученные точки на числовой оси:Таким образом, решением исходного неравенства является (-2/3;6) .

 Метод рационализации заключается в том, что исходное неравенство видаВместо V может стоять знак: >, <, ≤ или ≥.

Далее неравенство можно переписать в виде:

В этом случае необходимо поставить тот же знак, что и в изначальном неравенстве.

Далее нам необходимо учесть область допустимых значений:

Применим метод рационализации для решения нашего неравенства:Первое, что нам нужно сделать, это привести его к виду

Для этого снова воспользуемся свойством логарифмов – логарифмическая единица:Теперь перепишем неравенство, используя метод рационализации:

Нам необходимо учесть ОДЗ, тогда получим следующую систему:Первое неравенство системы решим методом интервалов:Таким образом, решение первого неравенства -2 < х < 6

Решение второго неравенства: х > -4½

Решение третьего неравенства: х < 7

Решение четвертого неравенства: х ≠ 6

Совместим решения всех неравенств на числовой оси:

На приведенном примере мы разобрали, как решить логарифмическое неравенство двумя способами. Часто решение методом рационализации бывает более коротким, соответственно, на него вы потратите гораздо меньше драгоценного времени, отведенного на ЕГЭ. Потому рекомендуем потренироваться в решении логарифмических неравенств этим методом, чтобы без затруднения воспользоваться им на ЕГЭ.

Метод рационализации при решении логарифмических и показательных неравенств.

Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств

Решение неравенств методом интервалов достаточно часто приводит к затруднению при вычислении значения функции в промежуточных точках. Чтобы расширить возможности применения метода интервалов, рассмотрим метод рационализации.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения на более простое выражение , при которой неравенство равносильно неравенству в области определения выражения.

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где — выражения от переменной х , а – фиксированное число .

Рассмотрим примеры сведения логарифмических и показательных неравенств, у которых основание, выражение под знаком логарифма, степень – многочлены. Оказывается, такие неравенства эффективно сводятся к дробно-рациональным или рациональным, причём, полученные решения будут более компактными по сравнению с традиционными.

Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

, (1)

где — некоторые функции (об их природе будем говорить ниже).

Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства:

1. если , то ; 2. если , то .

Рассмотрев два случая, необходимо объединить ответы. Правда, при рассмотрении второго случая возникает определенный дискомфорт – приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь рационализировать объединить?

Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Логарифмическое неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

(2)

Доказательство. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если же , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Воспользуемся теоремой 1. Получим следующую систему неравенств:

Решая первые четыре неравенства, находим ОДЗ исходного неравенства:

Откуда: .

Решим теперь пятое неравенство системы:.

.

.

С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ: .

Рассмотрим показательное неравенство вида

(3)

где — некоторые функции.

Традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям:

1. если , то ; 2.если , то .

Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема 2. Показательное неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

(4)

Нетрудно заметить, что система (4) аналогична системе (2) из теоремы 1 (правда, в ней нет требования положительности степеней).

Пример 2. Решить неравенство

.

Решение. Составим систему неравенств, аналогичную системе (4) из теоремы 2:

Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного показательного неравенства:

Откуда ОДЗ: .

Далее рассмотрим основное неравенство , которое приводится к виду: .

Корни первого множителя этого неравенства мы нашли ранее: . Корни второго множителя равны: , , .

Так как , то . Применив метод интервалов, получим следующее решение основного неравенства: .

Учитывая найденную ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ:

.

Пимер 3. Решить систему неравенств

Решение: Рассмотрим решение каждого неравенства отдельно:

(2): введем замену

— система несовместна, т.к. по первому неравенству

Выберем решение системы , т.к. .

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Используемая литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 кл. общеобразовательных учреждений /[С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин ] – 5-ое изд. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники»,2006.

2. А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012.

3. Колесникова, С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. Айриспресс 2014г.

Методы решения логарифмических неравенств (задания с3 егэ)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А.

Основой для написания данной статьи явился анализ заданий материалов МИОО, предлагавшихся в течение двух лет в качестве подготовки к итоговому экзамену, и результаты проверки авторами в качестве экспертов работ ЕГЭ 2010 и 2011 гг.

Надо отдать должное составителям заданий, поскольку при решении логарифмических неравенств в заданиях С3 в диагностических, тренировочных, репетиционных работах и в итоговых вариантах ЕГЭ 2010 и 2011 в основном было достаточно использования стандартных методов. К таковым методам можно отнести:

• метод равносильных переходов;

• решение неравенства на промежутках;

• метод замены;

• обобщенный метод интервалов;

Кроме того, в ряде репетиционных работ для решения неравенств использовались нестандартные методы:

• метод рационализации;

• метод оценки, в частности, использование классических неравенств.

Остановимся на перечисленных выше методах решения.

Метод равносильных переходов

При решении неравенств используют преобразования, при которых множество решений неравенства либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения). Поэтому важно знать, какие преобразования неравенства являются равносильными и при каких условиях.

Начнем с примеров, в которых используются логарифмы с постоянными основаниями.

Неравенства вида

Пусть логарифмическое неравенство удалось свести к виду

,

тогда для дальнейшего решения применяется одна из схем.

Если число , то

(1)

Если число , то

(2)

При выводе этих схем решения неравенства используется свойство монотонности функции на множестве . При функция возрастающая, при – убывающая.

Замечание. При решении строгого неравенства в схемах (1) и (2) нестрогие неравенства заменяются строгими.

Пример 1. Решить неравенство

.

Решение. Так как функция строго возрастает на множестве , то данное неравенство можно заменить равносильной системой

Ответ: .

Рассмотрим неравенства, в которых присутствуют логарифмы с переменным основанием.

Неравенства вида

Из предыдущего пункта следует, что неравенство указанного вида равносильно совокупности систем неравенств.

(3)

Замечание. При решении строгого неравенства в схеме (3) нестрогие неравенства заменяются строгими.

Пример 2. Решить неравенство

.

Решение. Запишем неравенство в виде

и заменим его равносильной совокупностью двух систем

Р

Рис. 2

Рис. 1

Отсюда получаем (см. рис. 1) решение (I):

.

Решим систему (II):

Имеем

.

Получаем, что система (II) решений не имеет.

Ответ: .

Пример 3. (МИОО, 2009). Решить неравенство

.

Решение. Выполняя равносильные переходы, получим, что данное неравенство равносильно следующей системе неравенств

Необходимо рассмотреть только случай, когда основание больше единицы, поэтому полученная система равносильна следующей

На рис. 2 представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

Ответ: .

Рационализировать числитель

Оценка пределов — A Plus Topper

Оценка пределов

Методы оценки пределов

Задачи оценки лимитов разделим на пять категорий.

(1) Алгебраические пределы:

Пусть f (x) — алгебраическая функция, а ‘a’ — действительное число. Тогда это называется алгебраическим пределом.

1. Метод прямой подстановки: Если прямой подстановкой точки в данном выражении мы получаем конечное число, то полученное число является пределом данного выражения.
2. Метод факторизации: В этом методе числитель и знаменатель факторизуются. Общие факторы отменяются, а остальные выводят результаты.
3. Метод рационализации: Рационализация выполняется, когда у нас есть дробные степени (например, \ (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {3} \) и т. Д.) Для выражений в числителе или знаменателе или в обоих. После рационализации сроки факторизуются, что при отмене дает результат.
4. На основе формы при x → ∞: В этом случае выражение должно быть выражено как функция 1 / x, а затем после удаления неопределенной формы (если она есть) заменить 1 / x на 0.

(2) Тригонометрические пределы:

Для оценки тригонометрического предела очень важны следующие результаты.

(3) Логарифмические пределы:

Для оценки логарифмических пределов мы используем следующие формулы:

(4) Экспоненциальные пределы:

(i) На основе расширения в ряд:

Для оценки экспоненциальных пределов мы используем следующие результаты:

(ii) На основе формы 1 ^∞ : Для оценки экспоненциальной формы 1 ^∞ мы используем следующие результаты.

(5) Правило L-Hospital:

Если f (x) и g (x) — две функции от x, так что

Иногда может потребоваться повторить этот процесс несколько раз, пока наша цель оценки предела не будет достигнута.

Оценка пределов Проблемы с решениями

1.

Решение:

2.

Решение:

3.

Решение:

4.

Решение:

5.

Решение:

6.

Решение:

7.













Решение:

Рационализация знаменателей в радикальных выражениях — видео и стенограмма урока

Когда заканчивается радикальное выражение?

Есть два основных требования, чтобы радикальное выражение считалось максимально упрощенным.2 — это х.

2. В знаменателе дроби не может быть радикала. Если в знаменателе есть радикал, необходимо выполнить процесс, называемый рационализацией знаменателя.

Как рационализировать знаменатель с одним членом

Когда знаменатель представляет собой моном , который является выражением с одним членом, вы можете рационализировать знаменатель, умножив числитель и знаменатель на член, который приведет к получению знаменателя. быть выражением, так что когда оно упрощается, оно больше не содержит радикала.

Например, упростить:

Следующий шаг — определить, какое выражение умножить на радикал в знаменателе. Это должно быть что-то, что заставит знаменатель потерять свой радикал. Чаще всего член будет равен члену в знаменателе. В этом примере вы умножите числитель и знаменатель на квадратный корень из 7.

Когда вы это сделаете, произойдет следующее:

Затем, когда вы упростите и извлечете квадратный корень из 49, вы получите:

И это будет окончательный ответ без радикала в знаменателе.

Вот еще один пример:

Этот пример немного отличается от предыдущего тем, что вам не нужно умножать его на квадратный корень из 8, чтобы рационализировать знаменатель, поскольку 8 * 2 равно 16, а 16 — это идеальный квадрат . Полный квадрат — это число, квадратный корень которого представляет собой целое число. Мы можем использовать 2, чтобы создать идеальный квадрат вместо 8.

При умножении выражение становится:

Что можно упростить до:

в качестве окончательного ответа.

Как рационализировать знаменатель с более чем одним членом

Когда под радикальным знаком в знаменателе находится более одного члена, это становится немного сложнее. Для упрощения вам нужно будет умножить числитель и знаменатель на , сопряженное знаменателю . Сопряжение — это то же выражение, но с противоположным знаком посередине.

Сопряжение:

это:

Когда вы умножаете выражение, содержащее радикал, на его сопряжение, происходит следующее:

Помните, что при умножении двух биномов (выражения с двумя членами) вы должны использовать метод FOIL.FOIL означает:

F = первый член в каждой скобке

O = внешний член в каждой скобке

I = внутренний член в каждой скобке

L = последний член в каждой скобке

Итак, для этой задачи умножения мы получаем:

Если вы произведете умножение правильно, радикалы будут удалены. В данном случае:

Чтобы рационализировать знаменатель, умножьте числитель и знаменатель дроби на сопряжение знаменателя.

Вот пример. Упростить:

Сначала мы умножаем числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя и получаем:

Что дает нам:

Затем мы упрощаем, комбинируя похожие термины, чтобы получить:

Однако мы еще не закончили.Эта дробь может быть уменьшена еще больше, потому что каждый член делится на 2. Когда мы вычеркиваем 2 из каждого члена, окончательный ответ будет:

Давайте попробуем другой пример. Упростить:

Первый шаг — умножить на значение, сопряженное со знаменателем.

Что дает нам:

При упрощении получаем:

Резюме урока

Как и в случае со строительством или приготовлением пищи, математические задачи никогда не решаются полностью, пока не будут выполнены определенные задачи.С дробями, содержащими радикалы в знаменателе, заключительный этап рационализации знаменателя удалит этот радикал.

При обосновании знаменателя дроби первым делом нужно умножить числитель и знаменатель дроби на член, который приведет к удалению радикала в знаменателе. В выражениях, где в знаменателе есть один член, это любой член, который делает знаменатель точным квадратом. В выражениях с двумя членами это сопряжение знаменателя, которое является тем же выражением, что и знаменатель, но с противоположным знаком посередине.После того, как вы умножите числитель и знаменатель на этот член и упростите, дробь больше не должна содержать радикал в знаменателе.

Результаты обучения

Изучите этот урок, чтобы укрепить свои способности:

• Поймите, почему вам нужно рационализировать знаменатель
• Укажите два требования, чтобы радикальное выражение считалось полностью упрощенным.
• Выполните шаги по рационализации знаменателей с помощью одного члена и более чем одного члена

Деление радикальных выражений

Деление радикальных выражений

При делении радикальных выражений используйте правило частного.

Для всех реальных значений a и b , b ≠ 0

1. Если n четное и a ≥ 0, b > 0, то

2. Если n нечетное, а b ≠ 0, то

Это способ математических символов сказать, что когда индекс четный, в подкоренном выражении не может быть отрицательного числа, но когда индекс нечетный, может быть.

Радикальные выражения записываются простейшими терминами, когда

• Индекс как можно меньше.

• Подкоренное выражение не содержит множителя (кроме 1), который представляет собой n -ю или большую степень целого числа или многочлена.

• Подкоренное выражение не содержит дробей.

• В знаменателе радикалов нет.

Пример 1

Упростите каждое из следующих действий.

1. Используя правило частного для радикалов,

2. Используя правило частного для радикалов,

Рационализация знаменателя

Выражение с радикалом в знаменателе следует упростить до выражения без радикала в знаменателе.Этот процесс называется рационализирующим знаменатель. Это достигается путем умножения выражения на дробь, имеющую значение 1, в соответствующей форме.

Пример 2

Упростите каждое из следующих действий.

1. Чтобы рационализировать этот знаменатель, подходящей дробью со значением 1 является, поскольку это устранит радикал в знаменателе, когда используется следующим образом:

   Обратите внимание, что мы решили найти главный корень.

2. На что можно умножить, чтобы в результате не было радикала? Ответ — или. Этот выбор сделан таким образом, что после их умножения все, что находится под радикальным знаком, будет идеальными кубиками.

Конъюгаты

Если a и b — разные термины, то конъюгат из a + b равен a — b , а конъюгат a — b равен a + b .Сопряжение есть. Сопряжения используются для рационализации знаменателя, когда знаменатель представляет собой двучленное выражение, включающее квадратный корень.

Пример 3

Упростить.

Чтобы объяснить знаменатель этого выражения, умножьте его на дробь, полученную в знаменателе, произведенную над самим собой.

Логарифмические функции — Уроки Wyzant

Когда вы познакомитесь с логарифмами
и экспоненциальными функциями
, вы сможете взглянуть на логарифмические функции.Логарифмы
— это, по сути, еще один способ записать
экспонент, а логарифмические функции являются обратными экспоненциальным функциям.

Важное определение, которое мы должны иметь в виду, — это определение журналов, потому что
оно очень поможет при работе с логарифмическими функциями и различными типами
проблем журналов.

Повторюсь, логарифм — это еще один способ записать показатель степени. Это определение
работает в обоих направлениях (преобразование из экспоненциальной формы в логарифмическую и обратно).
Доменом для логарифмических функций будут все положительные действительные числа для x
, а диапазоном будут все действительные числа для y .

Когда мы записываем log (x) без основания, подразумевается, что база равна 10.
В калькуляторе есть два типа журналов: журнал с десятичной системой координат и натуральный журнал
ln (x) . Натуральный логарифм имеет основание e , которое, как мы обнаружили, является уникальной экспоненциальной функцией
. Многие проблемы будут иметь дело с e , и нам придется использовать естественный журнал
ln для оценки и построения графика функции.

Изобразив экспоненциальную функцию и функцию натурального логарифма, мы видим, что
они инвертируют друг друга.

Изобразим график функции f (x) = log (x + 2) от основания 4 .

Мы можем использовать определение журналов, чтобы переписать это в экспоненциальной форме. Мы видим
, что основание равно 4 , показатель степени равен y , а журнал будет равен
(x + 2) .

Затем мы можем подставить значения для y и получить наши значения x. Хотя мы обычно подставляем
в значения x, чтобы найти значения y, в этой форме гораздо проще подставить различные значения
для y.

Обратите внимание, что теперь у нас есть вертикальная асимптота x = -2 и точка (-1,0) .
Это полная противоположность экспоненциальным функциям, которые имеют горизонтальные асимптоты
и точку в точке (0,1).Все логарифмические функции будут иметь вертикальную асимптоту, и
пройдет через точку на расстоянии 1 от вертикальной асимптоты в направлении
, которое она открывает. Эта точка всегда будет точкой пересечения по оси x. Чтобы найти его, мы можем установить y
равным 0 и решить относительно x.

Давайте посмотрим на график f (x) = ln (5-x) .

Обратите внимание, что наш домен x <5 . Если наш ввод больше 5, наш вывод
не будет определен.Перехват по оси x задается как

На первом этапе мы можем использовать определение журналов, чтобы переписать уравнение и решить
относительно x. Тогда наша точка пересечения по оси x будет (4,0) .

Обратные свойства логарифмов

Обратное свойство I

Это означает, что всякий раз, когда основание журнала совпадает с основанием внутреннего журнала,
журнал будет равен показателю внутренней базы.Это только если базы совпадают.

Обратное свойство II

Это означает, что всякий раз, когда основание, возведенное в журнал, имеет ту же базу, оно упрощает
до всего, что находится внутри журнала. Это подтверждает, что журналы — это еще один способ записи показателей степени
, точно так же, как вычитание — это еще один способ записи сложения, а деление
— еще один способ записи умножения. Опять же, это свойство работает только в том случае, если
базовый b совпадает с базовым b журнала.

Давайте оценим некоторые логарифмические уравнения и выражения, чтобы попрактиковаться в наших знаниях
свойств бревен.

Решить относительно x

Решить относительно x

Запишем одним логарифмом

Решить относительно x

Открытое программное обеспечение CEMC — Исчисление и векторы

Функции, графики и ограничения

В этом разделе учащиеся будут изучать значения средней скорости изменения за интервал, чтобы приблизительно определить мгновенную скорость изменения в точке.Понятие предела будет формально определено, и учащиеся будут использовать график функции и свойства пределов для оценки пределов множества функций.

Понятие предела как приближенного значения будет подкреплено исследованием того, как греческие математики разработали формулу для площади круга. Будут определены две фундаментальные проблемы исчисления.Студенты будут использовать понятие предела вместе со средней скоростью изменения, чтобы приблизительно оценить мгновенную скорость изменения функции в точке.

Студенты узнают формальное определение лимита и три условия, необходимые для существования лимита. Учащиеся будут оценивать предел различных функций при определенном значении \ (x \), наблюдая за \ (y \) — значением (ями) на графике, к которому приближаются с левой и правой стороны.

Студенты изучат 7 свойств пределов и будут применять эти свойства для алгебраической оценки пределов различных функций.

В прошлых исследованиях функций и их графиков студенты заметили, что от начала до конца графики некоторых функций состоят из одной непрерывной кривой, тогда как другие включают разрывы в пределах своей области.Этот модуль будет использовать ограничения для определения трех условий, которые должны быть выполнены для того, чтобы функция была непрерывной во всем ее домене. Кроме того, студенты изучат различные типы разрывов и алгебраический метод определения местоположения разрывов.

Особое внимание будет уделено оценке пределов полиномиальных и рациональных функций.Учащиеся определят устранимый разрыв рациональной функции перед упрощением выражения, а затем применит свойства предела для оценки предела.

Особое внимание будет уделено оценке пределов функций, содержащих радикалы. Студенты вспомнят методы рационализации числителей и знаменателей, а также область и диапазон радикальных функций.Учащиеся будут использовать область определения функции, чтобы определить, существует ли предел, прежде чем применять рационализацию для оценки пределов функций, содержащих радикалы.

Будут определены сходящиеся и расходящиеся последовательности, и студенты будут наблюдать большие значения этих последовательностей, чтобы определить, существует ли предел на бесконечности.Этот модуль соединит пределы на бесконечности с алгебраическим методом определения местоположения горизонтальных асимптот.

Производная

Этот блок вводит формальное определение производной. Учащиеся будут изучать графики и использовать определение производной для проверки правил определения производных: правило постоянной функции, правило мощности, правило множественных постоянных, правила суммы и разности, правило произведения, правило цепочки и правило частного.Они будут применять эти правила для различения полиномиальных, рациональных, радикальных и составных функций. Учащиеся свяжут значение производной при конкретном значении x с наклоном касательной в точке кривой, и они будут использовать этот наклон и точку для определения уравнения касательной линии.

Учащиеся будут использовать определение производной для различения полиномиальных и рациональных функций, а также функций, содержащих радикалы.Изучая различные функции, учащиеся идентифицируют значение (значения) / интервал (значения) \ (x \), для которых функция не дифференцируема.

Изучая графики, студенты будут предсказывать возможные правила дифференцирования, а затем проверять эти правила, применяя определение производной к общим утверждениям.В этом модуле изучаются следующие правила дифференцирования: правило постоянной функции, правило степени, правило постоянного множественного числа, а также правила суммы и разности.

Учащиеся свяжут значение производной при определенном значении \ (x \) с наклоном касательной к кривой в определенной точке.Учащиеся будут использовать значение производной с уравнением точки наклона линии, чтобы определить уравнение касательной.

Учащиеся будут использовать определение производной для разработки правила дифференциации произведения двух функций. Затем студенты будут различать продукт двух или более функций, применяя правило продукта.

Учащиеся идентифицируют внутренние и внешние функции, составляющие составную функцию, а затем применяют цепное правило для различения. Студенты будут использовать определение производной для разработки цепного правила

Учащиеся разработают правило частного, применяя правило произведения и правило цепочки к частному двух общих функций.Затем студенты будут применять правило частного, чтобы различать рациональные функции и частное двух функций.

Применения производных инструментов

В этом разделе исследуются применения определения производного инструмента. Мы определяем производные функции более высокого порядка, узнаем, как изобразить производную функции на графике функции, и увидим, как вычисления мгновенной скорости изменения могут быть использованы для решения реальных проблем в науках о жизни и социальных науках.{th} \) производная функции для любого натурального числа \ (n \).

В этом модуле мы научимся рисовать графики первой и второй производных полиномиальной функции \ (f \) по графику функции \ (f \).

Применение производной как мгновенной скорости изменения исследуется в области геометрии, наук о жизни и социальных наук.

Исследуются приложения первой и второй производных к задачам, связанным с движением.

Эскиз кривой

В этом модуле мы разрабатываем алгоритм построения эскиза кривой с учетом алгебраического уравнения кривой.Мы обсуждаем теоремы об экстремальном значении и среднем значении, а также исследуем понятие точки поворота, абсолютного экстремума, интервала увеличения или уменьшения, вогнутости и точки перегиба.

Определены понятия точки поворота и абсолютного экстремума функции. Мы узнаем, как использовать первую производную для определения точек поворота и экстремальных значений функции на отрезке.

Теорема о среднем значении, которая связывает среднюю скорость изменения и мгновенную скорость изменения, формулируется и исследуется на примерах.

В этом модуле мы исследуем поворотные точки функций и вводим тест первой производной.Точнее, мы научимся использовать первую производную, чтобы найти интервалы увеличения и уменьшения заданной функции.

Знак второй производной функции может дать информацию о форме графика. Определены термины вогнутый вверх, вогнутый вниз и точка перегиба, и введен тест второй производной.

Используя инструменты, полученные в ходе нашего изучения функций, мы разрабатываем алгоритм построения эскиза кривой с учетом уравнения кривой. Изучаемые функции включают многочлены, рациональные функции и функции, содержащие радикалы.

Оптимизация и соответствующие ставки

Теперь, когда мы знакомы с тем, как рассчитывать производные, мы будем использовать их в этом модуле для решения реальных задач по оптимизации, а также как способ определения связанных ставок.Мы также представим метод Ньютона как способ аппроксимации корней уравнений.

Мы выразим данную проблему на математическом языке, определив функцию, которая должна быть максимизирована или минимизирована. Нахождение экстремальных значений этой функции позволяет нам решать такие задачи, как максимизация площади или минимизация времени.

Проблемы в этом модуле будут аналогичны задачам в предыдущем модуле, с изменением фокуса на максимизацию доходов и прибыли или на минимизацию затрат.2 = 9 \), где \ (y \) явно не указывается в терминах \ (x \). В этих случаях метод неявного дифференцирования может использоваться для определения производной одной переменной по отношению к другой.

Во многих реальных ситуациях изменение одного количества вызывает изменение другого количества или происходит вместе с изменением другого количества.То есть две скорости изменения связаны с .

Линеаризация — это метод использования касательной для аппроксимации функции, к которой она касается, вблизи точки касания. В этом модуле также будет представлен алгоритм, называемый методом Ньютона, для поиска приближенных корней уравнений.

Производные от экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций

Этот раздел начинается с введения в число Эйлера, e. Помимо разработки производных от экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций, мы также расширим наши алгебраические навыки и навыки решения уравнений с помощью этих трех типов функций.Икс \).

Мы будем использовать исследование Maple, чтобы помочь установить производную от \ (f (x) = \ ln (x) \), а затем использовать наши правила для производных, чтобы дифференцировать более сложные функции, включающие натуральный логарифм.

В этом модуле мы разработаем производную любой экспоненциальной функции, имеющей положительное постоянное основание.

В этом модуле мы разработаем производную любой логарифмической функции, имеющей положительное постоянное основание.

Путем исследования мы выводим производные как синуса, так и косинуса, а затем, используя два основных тригонометрических предела и тождество, мы доказываем наши предположения.

В этом модуле мы разрабатываем и используем производные каждой из функций: \ (f (x) = \ tan (x) \), \ (f (x) = \ csc (x) \), \ (f (x) = \ sec (x) \) и \ (f (x) = \ cot (x) \).

Приложения экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций

В этом модуле исследуются различные применения производных экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций.К знакомым темам, включая скорость изменения, построение кривых, оптимизацию и связанные скорости, мы вернемся.

Мы видели, как исчисление, а точнее производная, можно использовать для изучения скорости изменения физических величин. В этом модуле мы рассмотрим такие приложения, в которых уравнения моделирования включают экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции.

Правило L’Hospital — это инструмент для оценки пределов неопределенных частных, которые не могут быть оценены с использованием предельных законов. Это правило особенно полезно для оценки пределов частных экспоненциальных и логарифмических функций.

В этом модуле мы вернемся к алгоритму построения эскиза кривой и применим его к кривым, уравнения которых включают экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции.

Экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции естественным образом возникают во многих реальных приложениях исчисления. Мы снова возвращаемся к теме оптимизации, уделяя особое внимание проблемам, связанным с функциями такого рода.

В этом модуле мы расширяем исследование связанных ставок.В частности, мы изучаем скорость изменения величин, связанных с помощью формул, включающих экспоненциальные, логарифмические или тригонометрические функции.

Интегральное исчисление

Этот модуль представляет вторую ветвь исчисления, называемую интегральным исчислением, которая используется для поиска областей. Понятия первообразной из дифференциального исчисления и определенного интеграла определены и связаны с помощью фундаментальной теоремы исчисления.Вводится неопределенный интеграл и исследуются методы упрощения процесса интегрирования, в том числе: правила интегрирования, вытекающие из известных правил дифференцирования, полезные свойства интегралов, метод подстановки и интегрирование по частям.

Этот модуль определяет понятие первообразной функции и исследует первообразные целых степеней \ (x \).

В этом модуле вводится задача расчета общего расстояния, пройденного за период времени, когда скорость изменяется. Это приводит к вопросу об оценке площадей областей на плоскости с помощью прямоугольных приближений.

Сигма-нотация — это компактный способ записи больших сумм одинаковых терминов.Суммы Римана будут определены с использованием этих обозначений как метод оценки чистых площадей областей на плоскости.

Определенный интеграл заданной функции на заданном интервале определяется как предел сумм Римана. Этот модуль познакомит вас с процессом и терминологией интеграции.

В этом модуле мы исследуем примеры, в которых определенные интегралы могут быть вычислены с использованием интерпретации чистой площади без учета сумм Римана.

В этом модуле представлены некоторые основные свойства определенных интегралов, которые помогут упростить процесс интегрирования. К свойствам относятся порядок интегрирования, правило нуля, аддитивность, правило постоянного множественного числа, а также правила суммы и разности. Модуль заканчивается исследованием фундаментальной теоремы исчисления.

Основная теорема исчисления соединяет две ветви исчисления: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление. В результате этой теоремы мы получим мощный инструмент для вычисления определенных интегралов с использованием первообразных без учета сумм Римана или чистых площадей.

Этот модуль исследует первообразные многих знакомых функций и определяет неопределенный интеграл функции.Мы увидим, что каждое правило дифференцирования порождает соответствующее правило неопределенного интегрирования.

В этом модуле мы вычисляем определенные интегралы, используя таблицу известных неопределенных интегралов в сочетании с основной теоремой.

Этот модуль знакомит с одним из двух основных методов интеграции: методом подстановки.Этот метод возникает из цепного правила дифференцирования и позволяет упростить подынтегральные выражения, используя замену переменных.

Этот модуль представляет второй основной метод интеграции: интеграцию по частям. Этот метод является производным от правила произведения для дифференцирования и позволяет нам перейти от рассматриваемого подынтегрального выражения к новому, надеюсь, более простому подынтегральному выражению.

Приложения интегрального исчисления

В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения интегрального исчисления. Мы будем использовать определенные интегралы для вычисления чистого изменения количества, объемов трехмерных тел, средних значений функций и длин кривых. Конец этого раздела посвящен теме дифференциальных уравнений, включая обсуждение полей направлений, схематическое изображение решений, разделимые уравнения и экспоненциальный рост и убыль.

В этом модуле основная теорема исчисления переформулирована в терминах чистого изменения. Мы будем использовать этот результат для решения задач, связанных с расстоянием и смещением.

В этом модуле мы используем определенные интегралы для вычисления площади областей, ограниченных непрерывными кривыми.

Объемы трехмерных тел часто можно вычислить с помощью определенного интеграла. Мы исследуем знакомые формулы, такие как формула для объема сферы, и вычисляем объемы более экзотических твердых тел.

В этом модуле мы определяем среднее значение функции и длину кривой на отрезке.Мы увидим, что определенные интегралы являются центральными при вычислении каждой из этих величин.

Очень часто математическое моделирование приводит к изучению уравнения, включающего скорость изменения величины. Это называется дифференциальным уравнением. Мы исследуем некоторые хорошо известные проблемы такого рода и вводим необходимую терминологию для этой темы.

Часто невозможно найти явную формулу для решения конкретного дифференциального уравнения. В этом модуле мы узнаем, как рисовать решения дифференциального уравнения без фактического решения данного уравнения, и мы используем эти эскизы для получения количественной информации о решениях.

Для решения большинства дифференциальных уравнений требуется графический или численный подход. В этом модуле мы исследуем определенное семейство дифференциальных уравнений, называемых разделяемыми уравнениями, которые часто можно решить явно, используя неопределенное интегрирование.

Многие физические величины увеличиваются или уменьшаются со скоростью, пропорциональной количеству присутствующего количества.Это свойство известно как закон естественного роста. В этом модуле мы исследуем семейство дифференциальных уравнений и их решения, возникающие в этом контексте.

Введение в векторы

Этот модуль вводит понятие вектора как математического объекта, имеющего как величину, так и направление.Разработанные математические операции с геометрическими векторами приведут к моделированию и решению задач, связанных с физическими величинами силы и скорости.

Этот модуль вводит представление вектора в виде направленного линейного сегмента. Будут преподаны концепции равных векторов, противоположных векторов, угла между векторами, скалярного умножения и единичных векторов.

Этот модуль исследует свойства сложения векторов, вычитания и скалярного умножения. Будут обучаться закону треугольника и закону параллелограмма.

Сколько силы требуется, чтобы тянуть вагон? Что такое равновесие и когда силы действуют на объект, вызывая его?

Как ветер влияет на скорость и направление самолета? Какие еще проблемы скорости можно решить с помощью векторов?

Алгебраические векторы и приложения

Этот модуль вводит векторы в декартовой системе координат.Новая модель позволяет нам выполнять операции с векторами и исследовать интересные геометрические и физические приложения.

Этот модуль связывает геометрическую модель вектора с алгебраической моделью. Будут изучены компоненты, векторы положения, трехмерная модель и углы направления (или направляющие косинусы).

Этот модуль исследует свойства сложения векторов, вычитания и скаляров. умножение алгебраических векторов.

Мы расширим наши операции с векторами, включив в них скалярное произведение (или скалярное произведение). Свойства скалярного произведения будут изучены и использованы для определения угла между двумя векторами.

Мы расширим наши операции с векторами, включив в них кросс-произведение (или векторное произведение).Будут исследованы свойства перекрестного произведения, тройного скалярного произведения, тройного векторного произведения, правила правой руки и величины перекрестного произведения.

Векторные проекции будут обучаться и использоваться для решения геометрических и физических задач. Мы обсудим концепции работы и тройного скалярного произведения, и мы применим их определения.

Уравнения и пересечения линий в R

Этот модуль расширяет наши знания об уравнениях прямых до новых форм, включающих векторы. Мы рассмотрим эти линии как в двух, так и в трех измерениях, а также определим пересечения и расстояния между линиями.

Мы рассмотрим две новые формы уравнения прямой на плоскости и рассмотрим роль, которую играют векторы в этих новых описаниях.

Хотя скалярное уравнение или декартово уравнение линии в R2 должно выглядеть знакомо, мы рассмотрим роль векторов, в частности вектора нормали, в описании линии в этой форме.

Мы расширяем параметрические и векторные уравнения линий с двух до трех измерений. Также будут введены симметричные уравнения прямой в R3.

Всегда ли пересекаются две линии на плоскости? Как насчет двух линий в трех измерениях? Мы рассмотрим возможные случаи пересечения прямых в \ (\ mathbb {R} ^ 2 \) и \ (\ mathbb {R} ^ 3 \) и определим точку пересечения, где она существует.3 \)?

Уравнения и пересечения плоскостей

Этот модуль знакомит с различными формами уравнений плоскостей и расширяет наши методы решения систем линейных уравнений (таких как уравнения плоскостей). Для нахождения таких алгебраических решений будут введены операции со строками матриц, которые затем будут интерпретироваться геометрически.3 \) может пересекаться? Мы решим типичные «два уравнения с тремя неизвестными», чтобы определить, действительно ли две плоскости пересекаются друг с другом.

Можете ли вы нарисовать разные способы пересечения трех плоскостей? С алгебраической точки зрения мы представим матрицу, метод исключения Гаусса и форму эшелона строк как инструменты, используемые для определения того, пересекаются ли плоскости и где.Исследование поможет связать алгебраическое решение системы уравнений с геометрией плоскостей.

Этот модуль расширяет нашу работу с матрицами до исключения Гаусса-Жордана и сокращенной формы эшелона строк. Мы продолжаем исследовать алгебру и геометрию, определяемую различными способами пересечения трех плоскостей.

Как отличить масштабирование, нормализацию и преобразования журнала | by Bex T.

Масштабирование или стандартизация с помощью StandardScaler

Один из стандартных методов решения ситуаций, когда одна функция имеет гораздо большую дисперсию, чем другие, — это использование масштабирования (также называемого стандартизацией):

Согласно официальному руководству Sklearn по масштабированию :

Многие элементы, используемые в целевой функции алгоритма обучения, предполагают, что все функции сосредоточены вокруг нуля и имеют дисперсию в одном и том же порядке.Если характеристика имеет дисперсию, которая на несколько порядков больше, чем у других, она может доминировать над целевой функцией и сделать оценщик неспособным правильно учиться на других функциях, как ожидалось.

Таким образом, для достижения высоких характеристик многих моделей часто требуется масштабирование. Sklearn реализует это в преобразователе StandardScaler () . Он преобразует числовых признаков в наборе данных, чтобы иметь среднее значение 0 и дисперсию 1.

SS выполняет это с помощью двух операций:

1. Центрирование : вычитание среднего из каждого значения в распределении.
2. Масштабирование : разделите каждый результат на стандартное отклонение.

Операции оставляют исходную функцию после нормального распределения. Вот как мы можем сделать это вручную:

Мы не учитываем характеристики цены и каратов, потому что они следуют асимметричному распределению. Подробнее об этом позже.

Давайте сделаем то же самое с StandardScaler () :

Те же результаты.

Проверка среднего и отклонений:

Теперь давайте обратим внимание на эффективность масштабирования.Глубина и x теперь действительно выглядят как распределение Гаусса.