Логарифмы метод рационализации: Страница не найдена — СУНЦ МГУ

Содержание

Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств

1. Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств  

Презентация по алгебре учителя высшей
категории ГБОУ СОШ №127 Лысенко Н.Н.
Прежде чем говорить о методе
рационализации в логарифмических и
показательных неравенствах
непосредственно, несколько слов о том,
почему эта тема актуальна при
подготовке к ЕГЭ.
Рассмотрим логарифмическое
неравенство вида log h f log h g , где
h,f,g- некоторые функции от х.
Стандартный
метод
решения
такого
неравенства
предполагает разбор двух случаев на области допустимых
значений неравенства.
В первом случае, когда основания логарифмов
удовлетворяют условию 0 h 1
, знак неравенства обращается: f g .
Во втором случае, когда основания удовлетворяет условию
h 1 знак неравенства сохраняется: f g .
На первый взгляд – все логично, рассмотрим два случая и
потом объединим ответы. Правда, при рассмотрении
второго случая приходится на 90 процентов повторять
выкладки из первого случая (преобразовывать, находить
корни
вспомогательных
уравнений,
определять
промежутки
монотонности
знака).
Возникает
естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь
объединить, тем самым сократив время на решение
задачи, что актуально для экзамена, и
при этом
существенно упростить вычисления? Ответ на этот вопрос
и даёт метод рационализации.
Метод рационализации позволяет перейти от
неравенства содержащего сложные
логарифмические и показательные выражения к
равносильному ему рациональному неравенству.
Метод используется при решении неравенств с
переменным основанием логарифма и позволяет
решать неравенства такого вида без перехода к
равносильной совокупности систем, решение которой
является достаточно трудоёмким и требующим
большого количества времени.
Рассмотрим таблицы, позволяющие
рационализировать логарифмические
неравенства(заметим, что рационализация
производится на ОДЗ)
Метод рационализации в
логарифмических неравенствах
Таблица работает при условии :f›0,g›0,h›0,h≠1
где f и g— функции от х,
h— функция или число,
V— один из знаков ≤,›,≥,‹
Заметим также, вторая и третья строчки таблицы —
следствия первой.
И еще несколько полезных следствий :
где f и g — функции от x,
h— функция или число,
V— один из знаков ‹,≥,≤,›
Пример 1:
Пример 2:

11. Задание для решения с доской:

Ответ:(0;0,5) U [2;3]
Рассмотрим таблицы, позволяющие рационализировать
показательный неравенства .
Таблица для рационализации в показательных неравенствах:
f и g— функции от x, h— функция или число, V— один из знаков
›,≤,≥,‹.Таблица работает при условии h›0,h≠1.
Опять же, по сути, нужно запомнить первую и третью строчки
таблицы. Вторая строка -частный случай первой, а четвертая
строка — частный случай третьей.
,
Пример:
(x2-x-2)2x-6
≥ (x2-x-2)3-4x
X2-x-2›0
х2-x-2 ≠1
((X2-x-2)-1)((2x-6)-(3-4x))≥ 0
x›2
x‹-1
(x2-x-3)(6x-9)≥0
,
,
,x2=
,
x3=1,5
Упорядочим корни:
Так как 3‹ √13 ‹4,то
x2‹x3‹x1
С учётом ОДЗ получаем: (
; -1)U(
; +∞)

15. Устное упражнение: назвать чему равносильно данное неравенство без учёта ОДЗ

1.logx-3(x2+3x-4)≤ logx-3(5-x)
2.(x-3)x-4 ≤
Далее рассмотрим пример решения системы
неравенств:
Решение.
1.Решим первое неравенство:
2. Решим второе неравенство
при всех х
При условиях
и
получаем неравенство
При указанных условиях получаем:
3. Решением системы является общая часть решений двух
неравенств.
Так как
имеем
получаем решение системы.
Ответ:
откуда

18. Использованная литература:

http://reshuege.ru
2. Корянов А.Г,Прокофьев А.А-Методы решения
неравенств с одной переменной-2011 г.
1.

МЕТОДЫ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ: ЗАЧЕМ НУЖНЫ И КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ? | Ульяна Вяльцева

МЕТОДЫ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ: ЗАЧЕМ НУЖНЫ И КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ

Методы рационализации применяются, когда Вы решаете неравенство и в основании логарифма стоит выражение с «х». Они сильно упрощают и сокращают решение.

Существует 2 метода рационализации:

1️⃣ Логарифм больше или меньше другого логарифма. ВАЖНО: перед логарифмами не должно стоять чисел и не должно быть других слагаемых в левой или правой части неравенства, а основания логарифмов должны быть одинаковыми. В таких неравенствах просто опустить логарифмы Вы не можете, поскольку не знаете будет основание > или < 1, а значит не знаете будет ли меняться знак неравенства. Если не использовать метод рационализации, нужно рассматривать 2 случая: 1) основание >1, знак неравенства не меняется, 2) основание <1, знак меняется на противополодный (см. фото 2 в конце статьи👇). Если же его использовать, то 2х случаев не нужно, сразу пишем произведение 2х скобок: основание минус 1, подлогарифмическое выражение слева минус подлогарифмическое выражение справа, знак неравенства при этом сохраняется (фото 1, 3👇).

2️⃣ Произведение логарифмов. В этом случае основания логарифмов могут быть разные, логарифмы должны перемножаться или делиться, а справа в неравенстве стоять 0 (с любым другим числом метод не работает). В этом случае делаем произведение 4х скобочек: каждое основание логарифма минус 1, каждое подлогарифмическое выражение минус 1 (фото 1👇). Без метода рационализации такие примеры решаются ооочень длинным способом с расписыванием всех возможных случаев (фото 4, 5👇), с использованием же метода — это 1 строчка (фото 6👇).

ВАЖНО: 1) Если Вы используете 2ой метод рационализации и у логарифмов одинаковые основания или одинаковые подлогарифмические выражения — не нужно писать две одинаковые скобки, пишите ее 1 раз☝️ (фото 7👇). 2) 2ой метод рационализации можно применять, если логарифм умножается или делится на какую-то скобку (фото 8👇).

P.s.: во всех примерах в карусели нет одз и итогового объединения с условиями, поскольку места не хватало, в фото я рассмотрела только методы решения самих неравенств.⠀

А если Вы хотите узнать свой уровень подготовки к 13 заданию — пройдите тест, скопировав ссылку https://mrqz.me/5eb2daf18a950e00443ae8f5. Вы не только узнаете свои баллы, но и получите на почту файл с разбором всех задач из теста☝️

Решение логарифмических неравенств методом рационализации Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

Библиографический список

1. Психологический словарь. Под редакцией А.В. Петровского и М.Г. Ярошевского. Москва, 1990.

2. Лешли К.С. Мозг и интеллект. Москва — Ленинград, 2003.

3. Обучение и развитие. Под редакцией Л.В. Занкова. Москва, 1975.

4. Божович Л.И. Личность и ее формирование в детском возрасте. Москва, 1968.

5. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. Москва, 1968.

6. Костюк Г.С. Развитие и воспитание. Общие основы педагогики. Москва, 2002.

7. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. Москва: Педагогика, 1986.

References

1. Psihologicheskijslovar’. Pod redakciej A.V. Petrovskogo i M.G. Yaroshevskogo. Moskva, 1990.

2. Leshli K.S. Mozg iintellekt. Moskva — Leningrad, 2003.

3. Obuchenie i razvitie. Pod redakciej L.V. Zankova. Moskva, 1975.

4. Bozhovich L.I. Lichnost’ i ee formirovanie v detskom vozraste. Moskva, 1968.

5. Kruteckij V.A. Psihologiya matematicheskih sposobnostejshkol’nikov. Moskva, 1968.

6. Kostyuk G.S. Razvitie i vospitanie. Obschie osnovypedagogiki. Moskva, 2002.

7. Davydov V.V. Problemy razvivayuschego obucheniya. Moskva: Pedagogika, 1986.

Статья поступила в редакцию 24.06.16

УДК-51(07)

Lahikova Z.G., senior teacher, Department of Methods of Teaching Mathematics and Computer Science, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), Е-mail: [email protected]

Magomedgadjieva A.M., Cand. of Sciences (Pedagogy), Senior Lecturer, Department of Methods of Teaching Mathematics and

Computer Science, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), Е-mail: [email protected]

Vakilov Sh.M., Cand. of Sciences (Pedagogy), Senior Lecturer, Head of Department of Methods of Teaching Mathematics and

Computer Science, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: [email protected]

Alieva L.M., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), Senior Lecturer, senior lecturer, Department of Methods of Teaching

Mathematics and Computer Science, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia),

E-mail: alieva_lm @mail.ru

THE SOLUTION OF LOGARITHMIC INEQUALITIES WITH THE HELP OF THE METHOD OF RATIONALIZATION. At the present time a very topical problem is the one of students taking a math exam at a profile level. Large difficulties are found by students in tasks of the second part, namely task No. 15. It is clear that having an active and entire arsenal of elementary mathematics, and creative mastery of school mathematics is a key to successful results in tasks of the exam. In this work the authors target at giving methodical recommendations of how to solve logarithmic inequalities from sets of testing materials at an exam of mathematics, for students face great difficulties in solving logarithmic inequalities. Particular difficulties are found when solving logarithmic inequalities with a variable basis.

Key words: logarithm, logarithmic inequality, method of rationalization, alternating basis.

З.Г. Лахикова, ст. преп. каф. методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, Е-mail: [email protected]

А.М. Магомедгаджиева, канд. пед. наук, доц., доц. каф. методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, Е-mail: [email protected] Ш.М. Вакилов, канд. пед. наук, доц., зав. каф. методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, Е-mail: waksham @mail.ru

Л.М. Алиева, канд. ф.-м. наук, доц., доц. каф. методики преподавания математики и информатики, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, Е-mail: alieva_lm @mail.ru

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ

В настоящее время очень актуальной становится проблема сдачи учащимися ЕГЭ по математике профильного уровня. Большие трудности у учащихся вызывают задания второй части, а именно задание № 15. Ясно, что активное владение всем арсеналом элементарной математики, творческим владением материалом школьной математики это ключ к успешному выполнению заданий ЕГЭ.

В этой статье нам хочется дать методические рекомендации к решению логарифмических неравенств из Кимов ЕГЭ по математике, поскольку при решении логарифмических неравенств учащиеся испытывают большие трудности. Особенно трудности возникают при решении логарифмических неравенств с переменным основанием.

Ключевые слова: логарифм, логарифмические неравенства, метод рационализации, переменное основание.

От учащихся, сдающих ЕГЭ, часто слышим, что в материалах контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике содержатся задачи — «головоломки».

Всё это не так. В заданиях ЕГЭ имеются задачи обычного школьного курса в полном соответствии с программой по математике общеобразовательной школы. Поводом для этих «головоломок» служат обычно слабые и формальные знания учащихся по математике. Ясно, что уверенно справиться с задачами может

лишь тот, кто глубоко владеет материалом и имеет достаточные навыки, практику в решении задач.

Эти задачи требуют определённой сообразительности и свободного владения различными разделами математики, особенно решением смешанных систем неравенств. loga g(x).

Крк изнелтом, решение простейших логарифмических оеБРнеолтн брномлильом решению лилтем неравенств л учетом области определения и ммомтмоомлти логарифмической функции.

a > 1

log a f (x) > log a g (x) О

f(x) > о, О

g (x) > 0, f (x) > g(x).

g (x) > о

f (x) > g(x).

Если 0 < а < 1, то неравенство равносильно системе неравенств

/ (х) > 0, 10 < а < 1

g (х) > 0, g (х) > 0,

/ (х) < g (х) {/(х) < g (х)

Суть решения сложных логарифмических неравенств заключается в том, чтобы путем равносильных преобразований, решением промежуточных рациональных неравенств, свести к решению простейших логарифмических неравенств. Методы решения сложных логарифмических неравенств следующие: введение новой переменной, метод оценки, обобщенный метод интервалов, метод рационализации неравенств.

В нашей статье мы более подробно остановимся на последнем методе, ибо этот метод не входит в программу математики общеобразовательной школы, но, тем не менее, с ним надо ознакомить учащихся, поскольку решение многих логарифмических неравенств с применением этого метода решаются проще. Особенно удобно применять метод рационализации в решении логарифмических неравенств с переменным основанием, так как можно избавиться от явного перебора случаев, когда а>1, 0<а<1.

Метод рационализации в решении логарифмических неравенств опирается на следующие утверждения:

1) Знак выражения х) /(х) — х) g(х) совпадает со знаком выражения

х) > 0,

((( *) -1)( f (x) — g (x)) при

p(x) Ф 1,

f (x) > 0, g(x) > 0. 1, /(x) > 0.

4) Знак выражения log f(x) /р(x) — log (x) (p(x) совпадает со знаком выражения

(р(x) -1)(/(x) -1)(g(x) -1)(g(x) — /(x)) при

/(x) > 0, g (x) > 0,

/ (x) Ф1, g (x) Ф1,

$>( х) > 0.

Эти утверждения доказываются, пользуясь монотонностью логарифмической функции и формулой перехода к новому основанию. Достаточно доказать первое утверждение, а остальные вытекают из него [2, стр.39].

Ниже продемонстрируем решение задания №15 из Кимов ЕГЭ. Задания взяты из типовых текстовых заданий 2016 г.

24 + 2 х — х 2

Пример 1 (вар.

24 + 2х — х2 > 0

14

> 0.

(5 — х)(5 + х) > 0,

х2 * 9,

х2 — 2 х — 24 < 0, (х — 6)(х + 4) < 0.

— 5 < х < 5, х * ±3,

— 4 < х < 6.

Откуда, получаем, что х е (-4;-3) и (-3;3) и (3;5.)

Теперь переходим к решению самого неравенства log 2

24 + 2 х — х2 14

> 1

Поскольку основание рассматривать 2 случая:

25-х’ 16

2

выражение с переменным, то следует

16

25 — х2

16

> 1,

»

24 + 2х — х2 25 — х2 ->-

14

[- 3 < х < 3, -1 < х < 17.

16

•112

х2 — 9 < 0,

2 16 17 0 ГСх — 3)(х + 3) < 0, х2 — 16х -17 < 0. »

х1 = 17, х2 = -1.

(х -17)(х + 1) < 0.

»-1 < х < 3

0<

25 — х2 16

< 1,

10 < 25 — х2 < 16, 19 < х2 < 25,

.

24 + 2х — х2 25 — х2 I х2 — 16х-17> 0 [х> 17,х <-1

4

<

16

I — 5 < х <-3, 3 < х < 5

» -5 < х < -3

[х > 17,х <-1.

Полученные решения систем неравенств пересечем с областью определения

неравенства

\х е (-1;3),

[х е (-4;-3) и (-3;3) и (3,5). Гх е (-5;-3),

»

»

х е (—1;3). х е (-4;-3).

х е (-4;-3) и (-3;3) и (3,5). Итак, ответ: х е (-4;-3) и (—1;3). Решим этот же пример методом рационализации.

-5 -4

-3 3 5

1. Область определения уже найдена: х е (-4;-3) и (-3;3) и (3;5.)

2. Решим само неравенство методом рационализации, применяя утверждение 2.

24 + 2х — х2

О

25 — х 16

14

2

> 1 о log

24 + 2х — х2

-1

24 + 2х — х2 25 — х

25-х2 16

2 Л

14

-1 > 0 О

14

16

> 0 О

у

О (9 — х2)(х216х -17) < 0, (3 — х)(3 + х)(х +1)(х -17) < 0

-3

Итак: х е (-да;-3) и (-1;3) и (17; да)

3. Пересечем решение неравенства с областью определения:

\х е (-4;-3) и (-3;3) и (3;5), [х е (-да;-3) и (-1;3) и (17; да)

О х е(-4;-3)и(-1;3)

Ответ: х е (-4: -3) и (-1;3).

16

Вот и можно сравнить каким способом проще решается неравенство. Пример 2 (вар. 32) [4, с. 96]. Решить неравенство:

log

х3-9х2+27x-27

(9 — х) > 0

Решение:

Так как х3 — 9х2 + 27х — 27 = (х — 3)3, то log( 3 (9 — х) > 0

Найдем область определения неравенства:

(х — 3)3 > 0, (х — 3)3 * 1,0 9 — х > 0.

х > 3,

(х — 4)(х2 — 5х + 7) * 0, О х < 9

( х-3)3

х > 3,

х * 4, О верно 3 < х < 4, 4 < х < 9 х < 9.

Решим неравенство методом рационализации: из утверждения 3. Имеем ((х — 3)3 -1)(9 — х -1) > 0 О (х — 4)(х2 — 5х + 7)(8 — x) > 0. Так как в уравнении х2 -5х + 7 = 0, Д<0, то х2 -5х + 7 > 0 при хеR, тогда (х-4)(8-х) > 0 О 4 < х < 8. Пересечём область определения с решением неравенства:

Г3 < х < 4, 4 < x < 9 О 4 < x < 8. [4 < х < 8.

Ответ: х е (4;8)

Пример 3. (вар. 17, № 15) [3, с. 52].

Решить неравенство logх+1 (х -1) log(х+1) (х + 2) < 0

Решение:

1. Найдём область определения неравенства.

х +1 > 0 х +1 Ф1, х -1 > 0, х + 2 > 0.

о

х > -1,

х Ф 0. х>1

о х > 1, х е (1; да)

х >-2

2. Решим неравенство. Оно равносильно объединению систем неравенств с учетом знаков произведения.

О

flog х+1 (х -1) > 0, [logх+1 (х + 2) < 0. x е (1;2]

0 < х < 2.

Ответ: х е (1;2]

v ‘ J 0 12

Иногда, в случае переменного основания логарифма можно избавиться от явного перебора случая, перейдя к новому основанию, то есть

log*(x) f(x) =

log a f (x) log a* (x) при

f (x) > 0, *(x) > 0, * (x) * 1,

a > 0, a * 1

При

0 < a < 1

тогда множитель

loga f (x) — loga g(x)

противоположным множителем &(х) ^(х) того же знака при

можно заменить /(х) > 0, &(х) > 0 ^

стр.68].

1 г,

Пример 4. Решить неравенство х2_7х+6 3 >

Решение.

log-

3

3

> 0 , перейдем к основанию 10.

л/2×2 — 7x + 6

Igx — lg3 __

1 2 1 2

331g(2×2 — 7x + 6) 33 lg (2×2 — 7x + 6) — lg1

1gx — lg 3

> 0, тогда имеем, что при

x > 2,

x > 2,x < 1,5, x 1 2,5, x 11 1 < x < 2,5, x > 3

Ответ: x e 1; 1,5) u ( 2; 2,5) u (3; да).

x >2 0

2

2×2 -7x + 6 > 0, V2x2 — 7x + 6 11, О

-x-3 V 0

(2×2 — 7x + 6 -1

x > 0,

x > 2,x < 1151 x 1 2,5, x 11, О

*-3 0 > 0

2( x -1)( x — 2,5)

Библиографический список

1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала анализа 10 кл. Москва: Просвещение, 2010.

2. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: решение задач: учебное пособие для 11 класса средней школы. Москва: Просвещение, 1991.

3. Ященко И.В. ЕГЭ Математика (профильный уровень). Типовые экзаменационные варианты. (50 вариантов). Москва: Издательство «Аст», 2016.

4. Семенова А.Л., Ященко И.В. Типовые тестовые задания. Москва: Издательство «Экзамен», 2013.

5. Литвиненко В.Н., Мордкович Д.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра и тригонометрия: учебное пособие для студентов физ.-мат. специальности. Москва: Просвещение, 1991.

References

1. Nikol’skij S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N. Algebra inachala analiza 10 kl. Moskva: Prosveschenie, 2010.

2. Sharygin I.F., Golubev V.I. Fakul’tativnyj kurs po matematike: reshenie zadach: uchebnoe posobie dlya 11 klassa srednej shkoly. Moskva: Prosveschenie, 1991.

3. Yaschenko I.V. EG’E Matematika (profil’nyj uroven’). Tipovye ‘ekzamenacionnye varianty. (50 variantov). Moskva: Izdatel’stvo «Ast», 2016.

4. Semenova A.L., Yaschenko I.V. Tipovye testovye zadaniya. Moskva: Izdatel’stvo «’Ekzamen», 2013.

5. Litvinenko V.N., Mordkovich D.G. Praktikum po ‘elementarnoj matematike. Algebra i trigonometriya: uchebnoe posobie dlya studentov fiz.-mat. special’nosti. Moskva: Prosveschenie, 1991.

Статья поступила в редакцию 22.06.16

УДК 378.147

Kulichenko Yu.N., Cand. of Sciences (Philology), senior lecturer, Volgograd State University (Volgograd, Russia),

E-mail: [email protected]

Popova O.Yu., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Volgograd State University (Volgograd, Russia),

E-mail: [email protected]

Linkova Yu.I., Cand. of Sciences (Philology), senior teacher, Volgograd State University (Volgograd, Russia),

E-mail: [email protected]

THE USE OF MULTIMEDIA PRESENTATIONS IN TEACHING A FOREIGN LANGUGE TO STUDENTS OF NON-LANGUAGE SPECIALIZATIONS. The article analyzes a methodological approach in the use of multimedia presentations with students who don’t major in foreign languages. It shows the stages of work on presentations and developing students’ skills and abilities. Productive use of presentations at foreign language lessons is possible at different stages of teaching: explanation of new material, students’ independent work, summarizing the studied material, the use when working on projects and dissertations. The research work also presents various stages of a presentation, associated with forming special skills in students: development of logical and creative mentality, development of technical and creative skills. The work presents an analysis of errors of students made during years of preparing presentations in Volgograd State University. The material presented in the paper leads to the conclusion that the use of presentations is topical in the electronic shells for distant education that is becoming increasingly important at the present moment.

Key words: multimedia presentation, interactive teaching methods, distance learning courses.

Ю.Н. Куличенко, канд. филол. наук, доц. Волгоградского государственного университета, г. Волгоград,

E-mail: [email protected]

О.Ю. Попова, канд. пед. наук, доц. Волгоградского государственного университета, г. Волгоград,

E-mail: [email protected]

Ю.И. Линькова, канд. филол. наук, ст. преп. Волгоградского государственного университета, г. Волгоград,

E-mail: [email protected]

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИМЕДИЙНЫХ ПРЕЗЕНТАЦИЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ ИНОСТРАННОМУ ЯЗЫКУ СТУДЕНТОВ НЕЯЗЫКОВЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

В статье рассматривается методологический подход при анализе использования мультимедийных презентаций со студентами неязыковых специальностей. Продуктивное использование презентаций на занятиях по иностранному языку возможно на разных этапах обучения: объяснение нового материала, самостоятельная работа студентов, обобщение пройденного материала, использование при работе над курсовой и дипломной работами. В работе также представлены различные этапы работы с презентацией и соответствующие формирующиеся навыки и умения у студентов: развитие логического и творческого мышления, развитие технических и творческих навыков. В работе произведён анализ ошибок, допускаемых студентами, за годы практики использования презентаций при работе на неязыковых специальностях Волгоградского государственного университета. Представленный материал позволяет сделать вывод, что использование презентаций актуально в электронных оболочках для приобретающего все большее значение в настоящее время дистанционного обучения.

Ключевые слова: мультимедийная презентация, интерактивные методы обучения, дистанционный курс.

«На современном этапе развития общества важнейшей задачей для выпускников высших учебных заведений становится не только практическое овладение иностранным языком, но и приобретение тех коммуникативных навыков и умений, которые в дальнейшем помогут эффективно использовать иностранный язык в сфере профессионального общения. К таким профессионально значимым коммуникативным навыкам и умениям относятся навыки и умения проведения презентации, которые входят в состав компетенций и профессиональной культуры будущих специалистов» [1, с. 127].

Преимущества использования презентаций отмечают многие исследователи. Теоретической базой нашего исследования послужили работы учёных в области лингводидактики,

педагогики, психологии, теории межкультурной коммуникации (И.А. Зимняя [2], А.А. Леонтьев [3], Е.И. Пассов [4], Е.С. По-лат [5], О.Б. Тарнопольский [6], И.И. Халеева [7]). По мнению О.В. Попковой «включение показа презентаций в практические занятия по английскому языку вносит разнообразие, оживляет процесс обучения, увеличивает эмоциональное воздействие на студентов, создает комфортную среду обучения, помогает сформировать модель реального общения» [8, с. 255].

Научная новизна нашей работы состоит в комплексном методологическом подходе при анализе работы с презентациями со студентами неязыковых специальностей на различных этапах обучения иностранному языку.

Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств

В данной презентации демонстрируется решение неравенств задания 15 методом рационализации. Метод рационализации или метод замены множителей, позволяющий свести сложные логарифмические, показательные, комбинированные неравенства к системе более простых рациональных неравенств. Приведены примеры решений неравенств.

  Вам также может понравиться:

Конкурсы 139 работ

Всероссийский творческий конкурс для педагогов «ПАЛИТРА ОСЕНИ »

01 Сентября – 30 Ноября

Конкурсы 78 работ

Международный конкурс детско-юношеского творчества для детей с ОВЗ «Я РИСУЮ МИР »

01 Сентября – 10 Ноября

Конкурсы

Международный конкурс декоративно-прикладного искусства «ВОЛШЕБНАЯ ИГОЛКА »

01 Ноября – 31 Января

Свидетельство участника экспертной комиссии Оставляйте комментарии к работам коллег
и получите документ БЕСПЛАТНО! Подробнее

Если вам понравилась статья, лучший способ сказать cпасибо — это поделиться ссылкой со своими друзьями в социальных сетях 🙂

Также вас может заинтересовать

Как решить логарифмическое неравенство

Логарифмическое неравенство может встретиться вам в 13 задании ЕГЭ по математике. При решении логарифмического неравенства важно правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Как же решить логарифмическое неравенство? Давайте разберем основные правила.

  1. Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства
  2. Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1
  3. Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1
  4. Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: классический подход и метод рационализации

Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства

 

Простейшее логарифмическое неравенство можно записать в виде:знак можно заменить на <, ≤ или ≥.

В логарифмическом неравенстве вначале решения нам важно определить область допустимых значений (ОДЗ).Далее мы смотрим на основание логарифма – a. Напомним, что основание логарифма должно быть положительным, и не должно равняться единице.

Если у логарифма в неравенстве  а > 1, то знак неравенства не меняется.

Если у логарифма в неравенстве 0 < а < 1, то знак неравенства меняется на противоположный.

Рассмотрим, как это работает на практике.

Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1

Вначале определяем ОДЗ:  2х + 4 > 0

Решаем это простейшее неравенство и получаем х > -2.

Таким образом область допустимых значений данного неравенства х > -2.

Далее решаем непосредственно логарифмическое неравенство. Так как основание логарифмов (основание = 2) в неравенстве больше единицы, знак неравенства сохраняется:Так как логарифмы в неравенстве имеют одинаковое основание, то мы их можем просто отбросить и решить неравенство вида

Теперь вспоминаем про нашу ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные значения на числовой оси:

Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1

Теперь разберем то же самое неравенство, только основание логарифма будет равно ½. Таким образом, получим:

Определяем ОДЗ, как и в прошлом примере, х > -2.

Далее смотрим на основание логарифма. В данном случае основание равно ½, т.е. находится в области от 0 < а < 1. В этом случае знак исходного неравенства меняется на противоположный. Получим:

Решаем полученное неравенство. Так как основания у логарифмов в обеих частях равны, то их можно отбросить, в результате чего получим:Вспоминаем про ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные точки на числовой оси:Таким образом, решением нашего неравенства является:

Такие неравенства являются простыми, так как основания логарифмов, которые присутствовали в наших неравенствах, были четко определены.

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием

А что делать, если основание логарифма, который присутствует в неравенстве, содержит Х? То есть нельзя четко сказать а > 1 или 0 < а < 1. Такое логарифмическое неравенство называется логарифмическим неравенством с переменным основанием. Решить его можно двумя способами – с помощью определения логарифма с переменным основанием и методом рационализации.

Давайте рассмотрим оба способа. И для наглядности решим одно логарифмическое неравенство двумя этими способами.

Итак, мы имеем неравенство

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: классический подход

Как правило, в школе учат решать логарифмические неравенства с переменным основанием только с помощью определения логарифма, поэтому-то его и назвали классическим подходом.

Выше мы говорили о том, что при решении неравенств, содержащих логарифмы, необходимо обращать внимание на основание логарифма, которое может быть либо больше единицы, либо меньше единицы, но при этом больше ноля. И в зависимости от этого определяем знак неравенства.

С помощью такого подхода можно решить и логарифмическое неравенство с переменным основанием, то есть с основанием, которое содержит Х, и о котором невозможно сказать больше оно единицы или меньше. В этом случае нам просто нужно рассмотреть два случая: когда исходное неравенство больше единицы, и когда исходное неравенство меньше единицы, но больше ноля.

Вернемся к нашему примеру.Для начала нам нужно преобразовать данное неравенство в такой вид, где слева и справа будут логарифмы с одинаковым основанием. Для этого вспомним такое свойство логарифмов, как логарифмическая единица:То есть в нашем примере правую часть можно преобразовать следующим образом:Таким образом наше неравенство примет вид:

Теперь нам нужно рассмотреть два случая, когда основание логарифма больше единицы и, когда основание логарифма меньше единицы, но больше нуля. При этом не забываем про область допустимых значений.
Отметим полученные точки на числовой оси:Таким образом, решением исходного неравенства является (-2/3;6) .

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: метод рационализации

 Метод рационализации заключается в том, что исходное неравенство видаВместо V может стоять знак: >, <, ≤ или ≥.

Далее неравенство можно переписать в виде:

В этом случае необходимо поставить тот же знак, что и в изначальном неравенстве.

Далее нам необходимо учесть область допустимых значений:

Применим метод рационализации для решения нашего неравенства:Первое, что нам нужно сделать, это привести его к виду

Для этого снова воспользуемся свойством логарифмов – логарифмическая единица:Теперь перепишем неравенство, используя метод рационализации:

Нам необходимо учесть ОДЗ, тогда получим следующую систему:Первое неравенство системы решим методом интервалов:Таким образом, решение первого неравенства -2 < х < 6

Решение второго неравенства: х > -4½

Решение третьего неравенства: х < 7

Решение четвертого неравенства: х ≠ 6

Совместим решения всех неравенств на числовой оси:

На приведенном примере мы разобрали, как решить логарифмическое неравенство двумя способами. Часто решение методом рационализации бывает более коротким, соответственно, на него вы потратите гораздо меньше драгоценного времени, отведенного на ЕГЭ. Потому рекомендуем потренироваться в решении логарифмических неравенств этим методом, чтобы без затруднения воспользоваться им на ЕГЭ.

 

Метод рационализации при решении логарифмических и показательных неравенств.

Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств

Из опыта работы учителя математики, физики МОУ «Сольвычегодская СОШ» Ноговицыной Валентины Валериевны

Решение неравенств методом интервалов достаточно часто приводит к затруднению при вычислении значения функции в промежуточных точках. Чтобы расширить возможности применения метода интервалов, рассмотрим метод рационализации.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения на более простое выражение , при которой неравенство равносильно неравенству в области определения выражения.

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где — выражения от переменной х , а – фиксированное число .

Некоторые следствия (с учетом ОДЗ неравенства)

Рассмотрим примеры сведения логарифмических и показательных неравенств, у которых основание, выражение под знаком логарифма, степень – многочлены. Оказывается, такие неравенства эффективно сводятся к дробно-рациональным или рациональным, причём, полученные решения будут более компактными по сравнению с традиционными.

Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

, (1)

где — некоторые функции (об их природе будем говорить ниже).

Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства:

  1. если , то ; 2. если , то .

Рассмотрев два случая, необходимо объединить ответы. Правда, при рассмотрении второго случая возникает определенный дискомфорт – приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь рационализировать объединить?

Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Логарифмическое неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

(2)

Доказательство. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если же , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Воспользуемся теоремой 1. Получим следующую систему неравенств:

Решая первые четыре неравенства, находим ОДЗ исходного неравенства:

Откуда: .

Решим теперь пятое неравенство системы:.

.

.

С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ: .

Сведение показательного неравенства к системе рациональных неравенств

Рассмотрим показательное неравенство вида

(3)

где — некоторые функции.

Традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям:

1. если , то ; 2.если , то .

Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема 2. Показательное неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

(4)

Нетрудно заметить, что система (4) аналогична системе (2) из теоремы 1 (правда, в ней нет требования положительности степеней).

Пример 2. Решить неравенство

.

Решение. Составим систему неравенств, аналогичную системе (4) из теоремы 2:

Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного показательного неравенства:

Откуда ОДЗ: .

Далее рассмотрим основное неравенство , которое приводится к виду: .

Корни первого множителя этого неравенства мы нашли ранее: . Корни второго множителя равны: , , .

Так как , то . Применив метод интервалов, получим следующее решение основного неравенства: .

Учитывая найденную ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ:

.

Пимер 3. Решить систему неравенств

Решение: Рассмотрим решение каждого неравенства отдельно:

(2): введем замену

— система несовместна, т.к. по первому неравенству

Выберем решение системы , т.к. .

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Используемая литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 кл. общеобразовательных учреждений /[С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин ] – 5-ое изд. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники»,2006.

2. А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012.

3. Колесникова, С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. Айриспресс 2014г.

Методы решения логарифмических неравенств (задания с3 егэ)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А.

Основой для написания данной статьи явился анализ заданий материалов МИОО, предлагавшихся в течение двух лет в качестве подготовки к итоговому экзамену, и результаты проверки авторами в качестве экспертов работ ЕГЭ 2010 и 2011 гг.

Надо отдать должное составителям заданий, поскольку при решении логарифмических неравенств в заданиях С3 в диагностических, тренировочных, репетиционных работах и в итоговых вариантах ЕГЭ 2010 и 2011 в основном было достаточно использования стандартных методов. К таковым методам можно отнести:

  • метод равносильных переходов;

  • решение неравенства на промежутках;

  • метод замены;

  • обобщенный метод интервалов;

Кроме того, в ряде репетиционных работ для решения неравенств использовались нестандартные методы:

  • метод рационализации;

  • метод оценки, в частности, использование классических неравенств.

Остановимся на перечисленных выше методах решения.

Метод равносильных переходов

При решении неравенств используют преобразования, при которых множество решений неравенства либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения). Поэтому важно знать, какие преобразования неравенства являются равносильными и при каких условиях.

Начнем с примеров, в которых используются логарифмы с постоянными основаниями.

Неравенства вида

Пусть логарифмическое неравенство удалось свести к виду

,

тогда для дальнейшего решения применяется одна из схем.

Если число , то

(1)

Если число , то

(2)

При выводе этих схем решения неравенства используется свойство монотонности функции на множестве . При функция возрастающая, при – убывающая.

Замечание. При решении строгого неравенства в схемах (1) и (2) нестрогие неравенства заменяются строгими.

Пример 1. Решить неравенство

.

Решение. Так как функция строго возрастает на множестве , то данное неравенство можно заменить равносильной системой

Ответ: .

Рассмотрим неравенства, в которых присутствуют логарифмы с переменным основанием.

Неравенства вида

Из предыдущего пункта следует, что неравенство указанного вида равносильно совокупности систем неравенств.

(3)

Замечание. При решении строгого неравенства в схеме (3) нестрогие неравенства заменяются строгими.

Пример 2. Решить неравенство

.

Решение. Запишем неравенство в виде

и заменим его равносильной совокупностью двух систем

Р

Рис. 2

ешим систему (I): Имеем

Рис. 1

Отсюда получаем (см. рис. 1) решение (I):

.

Решим систему (II):

Имеем

.

Получаем, что система (II) решений не имеет.

Ответ: .

Пример 3. (МИОО, 2009). Решить неравенство

.

Решение. Выполняя равносильные переходы, получим, что данное неравенство равносильно следующей системе неравенств

Необходимо рассмотреть только случай, когда основание больше единицы, поэтому полученная система равносильна следующей

На рис. 2 представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

Ответ: .

Рационализировать числитель

поиск корней с ТИ 83

алгебра 1 издание для учителя Glencoe

преобразовать уравнение в стандартную форму

рабочий лист экспонентов переменных выражений

Алгебра 2 Бесплатная помощь с домашним заданием

рабочие листы по алгебре KS3

блок-схема простое число

Задачи предварительной алгебры в 8 классе

Platoweb математические листы

калькулятор алгебраических уравнений

квадратный корень факторного дерева

вычисление + алгебра

Анекдоты Квадратичные

Показатели и квадратные корни

использование блок-схемы при решении математических задач + лекция

работы по математике онлайн

вычитание факториалов

строковая дробь java / в десятичную дробь

5 класс по алгебре

рабочие листы с умножением, делением, сложением и вычитанием дробей

рабочие листы алгебра первичный

корень квадратный из десятичных дробей

Учебник по алгебре Меррилла онлайн

алгебра для детей

Онлайн-эмулятор калькулятора ТИ-83

Вопросы по математике для 5-го класса

уравнение для системы пружинных масс emcode matlab

математические формы для 8-го стандарта

видео по поиску наименьшего общего знаменателя для 5-6 классов

Линейная алгебра и ее приложения, 3-е издание, Дэвид К.Электронная книга Lay Solutions

«квадратный корень» разница

Маршрут + математика + склоны + БЕСПЛАТНО

алгебра 2 полиномиальный анализ графа объяснение

использование Excel для оценки схемы RLC

aptitude test скачать

powerpoints по составным функциям в математике

Как составить список от наименьшей к наибольшей

Геометрия Макдугал Литтел Хаутон Миффлин Answers

самый сложный вопрос по математике

если у вас есть дробь и десятичная дробь, как получить число

рабочие листы со смешанными дробными процентами

калькулятор написания программ + поиск уклона

интегральный решатель онлайн

Положительный отрицательный лист вычитания сложения

ti89 вводит лог терминов трюки

«Практика экспоненциальных уравнений»

решение дискретно-разностного уравнения с использованием Matlab

онлайн-учебники по алгебре для старших классов

программа для решения одновременных линейных и квадратных уравнений

оценивать функции примеры математическая алгебра 1

бесплатная и легкая алгебра для 6 класса

бесплатно загружаемая книга для теста способностей

экзамен по химии KS3 для печати

преобразовать вершину в стандарт

умножение деление на 10 рабочий лист

бесплатный калькулятор алгебраических уравнений

химическая стехиометрия, практика балансировки, интерпретация

калькулятор балансировочных уравнений

упражнения по алгебре для начинающих

вычислитель построения графика направлений решения систем уравнений

как ввести sin sq в калькулятор

радикальный калькулятор

Шестые рабочие листы по алгебре.com

Чикаго математика продвинутый ключ алгебры

калькулятор возведения в квадрат

печатные таблицы номерных серий KS2

научная работа сатс бумаги 5-7 уровень

бесплатные рабочие листы по математике в средней школе

комбинации математических листов

решать уравнения путем умножения или деления рабочего листа

основы алгебры колледжа clep

сложнейшая триггерная функция

решать системы с ti83

бесплатная легкая алгебра колледжа

Балансирующие уравнения онлайн

факторинг какулятор квадратного корня

гиперболы диапазона доменов

Метод уменьшения дроби в Java

кубики алгебры

научись алгебре

Рабочий лист дробей продвинутая алгебра

Алгебрический форум

вопросы практики сокращения дробей с использованием наибольшего общего множителя

использовать решатель для решения одновременного уравнения

математические игры + алегра столы и выкройки

ПРОБЛЕМА МАТЕМАТИКИ ХОЛТА SILVING

справка по алгебре

вероятностные заметки о перестановках

mcdougal littell чтение рабочих листов

гаусс джордан на ti 84

рабочий лист полиномиальных неравенств

сложнейший математический вопрос с легкими ответами

примеры квадратной формулы в повседневной жизни

«4 класс» + «задачи по математике» + «решение для x»

6 лекция 7 раздел 7 функция уравнения в 7 классе

Тригономические таблицы

Решение квадратичных расчетов по факторингу

10-летние распечатанные листы по математике

нелинейный второй порядок ode45

как решить радикалы

десятичные дроби powerpoints правила умножения

Банк практики, алгебра 2: исследования и приложения отвечают на ключ

6 год 6 рабочий лист по математике

квадратные корни радикальные выражения

Упрощение уравнений урок

калькулятор экспоненциального роста бактерий

калькулятор хаки

решение уравнений для детей и рабочие листы

как решать логарифмы с помощью ti84

Бесплатная загрузка математических концепций + gmat

рабочие листы по алгебраическим неравенствам

база журнала изменений на ti-84 plus

Свертка ТИ-89

первоклассные рабочие задачи распечатки

помощь по алгебре, логарифмы, научные калькуляторы

графическая гипербола на Ti-86

бесплатные рабочие листы по сложению и вычитанию десятичных знаков

«тест на решение задач» по «начальной математике»

логарифмы для чайников

определение квадратной формулы

тест на наименьшее общее кратное (pdf)

решатель Excel

ти-83 программы экономика

онлайн-факторинговый агент

примеры тригонометрии по мелочи

преобразовать дробь в десятичную

решение дробей

столбчатые и круговые диаграммы до алгебры

программа для решения математических задач

количество фракций смеси

загружаемые рабочие листы по симметрии для первого класса

бесплатный рабочий лист сложения и вычитания целых чисел

Преобразователь Base 8 в Base 2 Исходный код

квадратный корень читы

Уокер физика 3-е издание решения глава 13 вопрос 30

Эддисон-Уэсли «Алгебра I» Ферстер

саксонская алгебра одна книга онлайн

квадратичные и линейные функции, сравнивающие

уравнения алгебры в степени дроби

преобразовать десятичную дробь в дробную по ti 83

рабочая тетрадь по математике в калифорнийской средней школе, ответы на вопросы

математическая экспонента бесплатный онлайн калькулятор для детей

корень третий

дисперсия суммы «квадратный корень»

общие многократные практические страницы

matlab ode45 система второго порядка

пошаговое решение матриц алгебры II

операции над буквенными выражениями на листах

неопределенные выражения

приведение квадратного уравнения в стандартную форму

решение уравнений в множественной переменной Maple

калькулятор абстрактной алгебры

лестничный метод

онлайн-вычислитель соотношений

ti-83 плюс квадратное уравнение

калькулятор факторного уравнения

Научите составлять круговые диаграммы

бесплатно загружаемые экзамены за 9 класс

проблемы смеси glencoe

математика — это просто Area

функции предалгебры

бесплатный математический калькулятор для рациональных выражений

листы решения уравнений с использованием квадратных корней

решение дифференциальных уравнений 2-го порядка

бесплатные рабочие листы для печати для пятого класса

как найти собственные значения ti-83

уравнения

в жестких таблицах lcm и gcf

Клавиша ответов

из учебного пособия по алгебре 2

какой наименьший общий знаменатель 2,7 и 5

8-й год пересмотра по математике

онлайн графический калькулятор ti-83

предалгебра + биттингер + пятое издание + ответы по математике

положительные и отрицательные практические тесты по математике

бесплатные онлайн-тесты для 11-летних по английскому языку и математике

бесплатно скачать программу Алгебратора

общие знаменатели рабочий лист

калькулятор сложения радикалов

эмулятор калькулятора ti 84

тест геометрии электронных доменов

найти обратную функцию на калькуляторе TI 84-plus

распечатать задачи по математике для старших классов

решить дифференциальное уравнение смешанного порядка Maple

что такое выражения умножения

решение для x на листе алгебры

как мне решить мое рациональное выражение

мономический калькулятор

математические задачи неравенства

рабочий лист с использованием дискриминанта

средство решения полиномиальных задач

как используется квадратный корень

как вычислить наибольший общий делитель

радикалы для решения квадратных уравнений

3D-координаты для GCSE

факторинг с помощью калькулятора замещения

калькулятор на радикалы

математическая викторина для начинающих с алгеброй

рабочая тетрадь glencoe alg 1

решение многоступенчатых уравнений со скобками

вычитание и сложение целых листов с картинками

характеристическое уравнение однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка

лист добавления 3 или более целых чисел

бесплатный математический рабочий лист наименьшее наибольшее

8 километров. Какое наименьшее целое число миль можно преобразовать в эквивалентное целое число километров, просто изменив порядок цифр числа

.

биология ks3 test sats практическая работа делать онлайн сейчас бесплатно

калькулятор алгебры бесплатно упрощающие уравнения

как делать двухэтапную алгебру ответы по ускоренной математике

gcse вопросы по математике и алгебре

прентис холл математика флорида

расширяющийся куб

Рабочий лист сложения и вычитания к 10

бесплатная онлайн-программа для решения алгебраических уравнений

тригономический

калькулятор, который упрощает выражения переменных онлайн

решатель дробей

NC.предалгебра ответы

решать первообразные онлайн

бесплатные примеры 7 класс положительный показатель

крестики-нолики метод разложения квадратичных чисел

работа по математике для семиклассника

листы вопросов по алгебре

полином третьего порядка

целые числа стихи

вычислитель полиномиального деления

Как бы вы объяснили квадратные корни, кубические корни, корни n-й степени и радикалы студенту, который испытывает трудности с пониманием этих понятий?

Упрощение математических задач

ПРЕДАЛГЕБРА 6-ГО УРОВНЯ

ti 89 программа для решения полиномиальных уравнений

уловки для быстрого решения вопроса о способностях

графический калькулятор

ответы по алгебре 1

направления решения задач свободной алгебры

умножение 1 шага мономов практика

задачи по безубыточности по алгебре 1 рабочие листы

нахождение минимального значения с помощью TI-83 плюс

соотношение фокуса и директрисы по параболе

решение двухшаговых алгебраических уравнений

корень квадратный четвертой степени

построение графика формулы гиперболы

ti 89 программа теории ламинирования

Бесплатная онлайн-практика экспонентов 10 класса

калькулятор ти-83 скачать

РАЗБИВАНИЕ десятичных знаков на фракции

стандартная форма в вершинную форму

линейное программирование + matlab

алгебра процентов

Бесплатная помощь по алгебре для девятых классов

парабола недвижимость склон

Сложение и вычитание полиномиальных операций

ti-89 найти кубический корень алгебра

ti 89 rom скачать

преобразование из кубического метра в квадратный фут

Калькулятор кубического корня

формы allgebra

gmat ​​algebar

системы счисления квадратичные функции

рудин ч 6 решения

год 10 углов рабочий лист

листы для ответов учителей для Glencoe

бесплатные распечатанные рабочие листы вычесть целые числа

alegbra обзор

какое общее кратное 22 и 32

онлайн-решатель триггерных тождеств

упрощенная радикальная форма.

бесплатный математический лист отрицательный

факторизация ответы онлайн

алгебра маклан-биркгоф

Гленко Алгебра 2 практика

ответы на решение квадратных уравнений путем факторинга домашних заданий

алгебра символьных методов

скачать бесплатно aptitude test

prentice hall + метод подстановки + ответы

феникс ти 84 +

как написать уравнение параболы по рассказу

Калифорния 3 класс бесплатные листы по математике

преобразовать в базу 8 Java

Структура алгебры и методическое пособие 1 Викторина по Макдугласу Литтеллу

Математические / масштабные коэффициенты для 7-го класса

ступенчатая функция Heavyiside ti89

одновременное уравнение powerpoints

бесплатные рабочие листы для печати по математике в средней школе, ассоциативные и распределительные свойства

квадратные корни с использованием показателей

9 класс вопросы и ответы по алгебре

модуль абстрактной алгебры решение

бесплатные решатели по математике домашнее задание

Excel решатель нелинейного уравнения

код ROM для ti 83

как разложить кубическую функцию на множители

онлайн квадратичный калькулятор полная площадь

решение y с отрицательным наклоном

рабочие листы на одношаговое сложение линейных уравнений

Книга по математике Harcourt, издание для Вирджинии, 3-й класс,

рабочий лист понимания ks2

АЛГЕБРА КОЛЛЕДЖА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ

смешанные числа в десятичную

Пол А.foerster

упрощающие радикальные выражения

решать линейное уравнение mathematica

рабочий лист по алгебре

свертка + TI-89

калькулятор полиномов на наибольший общий делитель

Алгебра с pizzazz рабочий лист ответы

обратный многочлену 3-го порядка

сложение и вычитание отрицательных и положительных десятичных знаков

математические пазлы для 6-го класса бесплатно

Рабочий лист термометра + интерактивный

homwschool mcdougall littell учителя издание алгебра

6 баллов за вычетом целых чисел

научный онлайн-калькулятор (комбинации)

Рабочие листы по алгебре Сложение и вычитание целых чисел

ode23 3-го порядка

выполнение пересечения уклона с помощью TI 84 plus calc

бесплатные рабочие листы с задачами по алгебре

тест по алгебре среднего уровня

переводить дроби в десятичные для машинистов

ставить числа от наименьшего до наибольшего дроби

математические листы сложение и вычитание чисел со знаком

арифметические таблицы kumon загрузить

электронная книга mcdougal littell algebra 2

бесплатные грамммеры для 3-го класса

мероприятия, чтобы показать второклассникам, почему мы принимаем законы

уроки реального анализа / электронные книги

Алгебра 2 домашнее задание ответы

калькулятор формы вершин

TI 89 Решатель дифференциальных уравнений

лаплас ти-84

тригонометрическая диаграмма

таблица сложения и вычитания матриц

рабочие листы с квадратными корнями

Учет затрат MCQ

матричная алгебра.pdf

Проблема корня алгебры

Рабочие тетради онлайн для 6 класса

Учебник по алгебре 1 ответы

алгебра для начинающих

cube Roads рабочий лист

algrebra изображения

развернутая форма и словоформа числового листа

бесплатные печатные образцы седьмого класса по математике

бесплатные экзамены по промежуточному учету плюс решения

запишите наименьший общий знаменатель (ЖКД) каждого набора дробей

решение алгебраических задач написание формул

ПРОГРАММА ДЛЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ ПО АЛГЕБРЕ

визуальные эффекты неравенства

седьмой класс практика алгебры

Научная книга Прентис-Холла Рабочие листы и ответы по современной биологии

Как решить домашнее задание по алгебре 1

«учебник онлайн» + «алгебра 2»

квадратный корень свойство

концептуальная физика ответы

Упростить решатель дробей

факторизация бесплатных ответов

kumon скачать

графическое равенство Excel

алгебра дроби мощность

рабочие листы по решению неравенств по математике

«Ответы на саксонскую математику в шестом классе»

упростить два уравнения в Matlab в одно

рабочие листы седьмого класса

как преобразовать смешанные числа в десятичные

Программа для ЖК-дисплея (наименьший общий знаменатель)

Многочлены алгебры 1

рабочие листы порядка операций

Линейная алгебра для экономики Вопросы и ответы.бесплатная загрузка

калькулятор алгебры с дробью

экзамен по алгебре для мастеров

метод линейной комбинации

бесплатные репетиторы по алгебре 2 онлайн

масштабный коэффициент

алгебраический нефункциональный графер калькулятор

бесплатные рабочие листы для печати для шестиклассников

легкая фракция листов

как решить бином

6 класс «Рабочие листы по английскому»

скачать книгу по всемирной истории Макдугала

планы уроков математики и алгоритм балансировки для вычитания

Я хочу набирать математические задачи, а вы мне ответите прямо сейчас

решение биномиальных выражений

бесплатные ответы по алгебре онлайн

как решать вероятностные математические задачи на графическом калькуляторе

множитель бинома третьего порядка

метод частичных дробей с использованием кубов

Алгебра в девятых классах помогает

сложение отрицательных дробей

как превратить десятичную дробь в дробь на научном калькуляторе texas instrument

сложение отрицательной и положительной дробей

нахождение соотношения кс2 рабочие листы

как решать сложные уравнения

сложение / вычитание двух- и трехзначных целых чисел

glencoe бесплатный образец онлайн-теста

бесплатные книги vb6

Рабочие листы GCF и LCM

коэффициент масштабирования онлайн-игры

алгебра Холта 1

Калькулятор квадратного корня из мнимых чисел

метод подстановки пример

Ключи ответов Mcdougal Littell

ti84 как найти нули

решение одновременных нелинейных уравнений

репетитор по алгебре

n-й член показателей факторинга

логика перестановки и комбинирования в C #

хозрасчет + ответы на вопросы + претензия

пропорциональный рабочий лист алгебра

алгебра мелочи

свойства логарифмов + yoshiwara

порядок корней алгебры

Gr.8 Фракционный тест

калькулятор степени квадратный корень

бесплатные распечатки для поиска слов

График дифференциального уравнения второго порядка Mathematica

сложение / вычитание 2 уравнений

решение для дискриминанта

Precalculus 5-е издание Калифорнийские стандарты для учителей, издание

решение рациональных уравнений учебник

заказ и сравнение целых игр

учить векторы для чайников

метод квадратного корня

«линейное программирование» перевозки

квадратичные неравенства с двумя переменными

рассчитать 5% уклон

ЭКЗАМЕНА ПО БИОЛОГИИ, ДЛЯ ПЕЧАТИ, КОЛЛЕДЖ

решатель радикалов

Математический калькулятор для рациональных выражений

решение определителя матриц 3 x 3

График ТИ-85 парабола гипербола коники

конические секции ti-83

как пользоваться функцией учета на tI-83

простые уравнения алгебры

гиперболы реальной жизни

ответы на системы решения уравнений рабочий лист

Распечатки по математике за 3 класс

бесплатная онлайн-справка с масштабным коэффициентом

тригономические графы

бесплатные решатели многочленов

Учебное пособие по предварительной алгебре Prentice Hall

ти-84 + физика

алгебраическое уравнение

Нажатие клавиш калькулятора построение графика линейных неравенств ti83

онлайн калькулятор квадратного корня дроби

математическая формула

как преобразовать десятичные дроби в дроби на ti86

абсолютный ноль рабочий лист печатная математика

рабочий лист с разделением десятичных знаков

рабочие листы четвертого класса

как найти наибольший общий делитель трех больших чисел

стихи по истории математики

\ Бесплатная программа для решения алгебр

как разложить на множители многочлен формы ax2 + bx + c, когда a не равно 1, с помощью зарезервированного метода FOIL

примеры математических задач соотношения (рабочие листы)

как решить квадратное уравнение в виде отрезка

машина для фольгирования онлайн

милые рабочие листы дроби

Алгебра 1 книга ответы

решение полиномов корни КАЛЬКУЛЯТОР

Алгебра 2 Задачи Макдугала Литтелла

Холт Райнхарт и Уинстон предалгебра

калькулятор gcd

middleschoolmath

вычисление логарифмических выражений-алгебра

Макдугал Литтел Биология ответы

Casio FX-92 Collège New + инструкция по эксплуатации

себестоимость бухгалтерской книги

Постороннее решение онлайн-калькулятор

как разложить трехчлены на двучлены с помощью Excel 2007

Растворы Precalculus Bittinger

компьютерная программа факторинговая алгебра

решать уравнения путем факторизации, извлечения квадратного корня или построения графика

Рабочий лист по математике «Задачи с пропорциями»

вычитание и сложение алгебраических уравнений

Построение системы линейных уравнений с калькулятором ti tutorial

Лексический тест по главе 6 по математике в 7 классе / форма повторения glencoe / mcgraw-hill

edhelper разделить десятичный рабочий лист

алгебра балдор

разрывная бумага

рабочие листы бесплатного порядка операций по математике

калькулятор сложения полиномов

бесплатно pdf элементарная алгебра

определение алгебры

рабочие листы по математике, уклон

Список уравнений алгебры для GMAT

объединение подобных терминов манипуляторов

свободные алгебраические уравнения

алгебра разложение биномов на множители ac метод

преобразовать base 10 + java

бесплатные печатные версии обзора четвертого класса

математические приложения для жизни на склоне

решение системы нелинейных уравнений matlab

Решатель ODE второго порядка в matlab

делаю домашнее задание по алгебре

полиномиальная факторизация третья

онлайн-калькулятор кнопки квадратного корня

как изменить ответ на пирог с помощью TI 89

предалгебра онлайн — калькулятор

Рабочие листы по математике для 7-го класса

дроби + рабочие листы + 4 класс

квадратная формула с использованием TI 83 плюс

Макдуглал Литтел Answers

Простая вероятность для 7-х классов

Ответы на книгу Прентис Холла по математике до алгебры

бесплатные распечатки по математике для второго класса

рабочие листы для печати по алгебре с инструкцией

Тест на сложение и вычитание целых чисел

TI-84 Инструкции полиномиальные уравнения

поиск решения алгебры

общее решение уравнения третьего порядка

задания по математике для пятого класса

решение нелинейного уравнения 3 неизвестных

Гленко Алгебра 2 PDF

Алгебра 1.com

Программа факторинга Ti-83

метод замещения

ПРИМЕРЫ 11 класс по математике

MATLAB решает два квадратичных

Поиск полиномиального корня и программа для одновременного решения уравнений

продвинутый уровень алгебры и математики

sqaure root игры

решатель задач по алгебре

уравновешивающие уравнения — 8 класс

Может калькулятор ти-83 десятичный в шестнадцатеричный

найти линейный счетчик

вопросы и ответы по алгебре

Прентис Холл: математика, ответы на вопросы

рабочий лист с пиктограммами пятый класс

скачать электронные книги aptitude

Ответы на алгебру Гленко 1

листы математики окружности gr8

решение с помощью радикалов

решатель десятичной дроби

Lenear программирование

искатель наибольшего общего множителя

умножение одиночных чисел на радикалы

как преобразовать десятичную дробь в дробь

саксонский тестовый генератор продвинутой математики

тип файла: ppt урок

Программа для решения полиномиальных уравнений ti 89 how to

рабочие листы и викторины по геометрии

Алгебраические уравнения для 6-го класса

Уравновешивание химических уравнений с помощью систем

Тесты способностей скачать

кубический корень на ти-83 плюс

Holt Biology 2004 и учебное пособие ответы

фракция ТАКС вопросы практики 4 класс

онлайн калькулятор вычитания целых чисел

Бесплатный рабочий лист по факторным триноминам

ti-89 редукция радикалов алгебра

код MATLAB для одновременных линейных дифференциальных уравнений

ввод гиперболы, ти-89

бесплатный калькулятор выражения

задачи по свободной алгебре II

математика викторины

Переменная калькулятора lcm

рабочие листы комбинаций и перестановок

lcm word задачи

деление целых чисел на ti 86

ti-89 функции уравнения

решить уравнение для переменной

Любой простой способ найти логарифм вручную

как решать рациональные выражения с ТИ 89

предварительная алгебра для детей шестого класса

складывать и вычитать отрицательные и положительные целые числа рабочие листы

справка с рациональными показателями

алгебраическое программирование

Математика Прентис Холл предалгебра ответы

радикальный упрощитель онлайн

рабочие листы предварительной алгебры

ti 84 завершение квадратной программы

Бесплатное домашнее задание по алгебре

Powerpoints на решетке elementary

квадратный корень свойство

«9 класс» упражнения по алгебре

комбинации перестановок средняя школа

тест по математике 7 уровень БЕСПЛАТНО

упростить экспоненциальные выражения

Бесплатная программа для решения двух задач по алгебре

экспоненты 5 класс рабочий лист

комбинация математических перестановок

как получить сложные проценты с помощью калькулятора TI83 plus?

бесплатные электронные книги.п.п.

делящие полиномы

как упорядочить дроби от наименьшей к наибольшей

Учебники алгебры glencoe для 8-х классов

программа квадратичных формул для калькулятора ТИ-83

тесты по алгебре и математике для печати

алгебра для студентов третье издание

Математические викторины

справка algerba

загружаемые онлайн прошлые работы по математике

калькулятор алгебры для деления многочленов

факторинг онлайн

masteringphysics бесплатные ответы

что такое математическая шкала

бесплатная линия для печати рабочего листа симметрии

алгебра, корень квадратный

«Домашняя школа 2 класса»

квадратные уравнения на множители + ИНТЕРАКТИВ

дробные уравнения

преобразовать смешанное число в десятичное

математические часы задачи формулы

Калькулятор радикального упрощения

как получить квадратный корень

решение трехчленов

математика Алжирба игры

план урока по поиску максимального значения квадратичной функции

Бесплатная рабочая тетрадь по элементарной алгебре

matlab как решать нелинейные системы уравнений

скачать тестовую бумагу для определения способностей

рабочий лист решения дробных уравнений

шкала для вычисления дробей

Примеры вопросов по алгебре

пошаговое руководство по решению проблем преобразования химии

решение алгебраических задач с умножением

печатное сложение и вычитание целых чисел

упростить экспоненциальную переменную выражения в экспоненте

«алгебра 2 в жизни»

Алгебра Сложный факторинг

онлайн-решение задач по алгебре 2

онлайн калькулятор радикальных выражений

преобразование смешанного числа в десятичное

десятичная дробь в дробь ti-84

Калькулятор алгебры gcf

6-й ст.математика cd бесплатно

калькулятор алгебры рациональных выражений

мелочи по математике

решение радикальных неравенств

счетная линия ти-84 калькулятор

решение уравнений в десятичной степени

онлайн-факторинг

математические уравнения

скачать тест на способности с ответами

как хранить банкноты ti 83

метод процентов «без калькулятора»

Рабочий лист алгебраических уравнений ONE STEP

алгебра уравнения ks3 test

вычислить квадрат в Excel

калькулятор algerba

«Структура и метод алгебры 1»

11 лет справка по математике

Правила триггера Excel

алгебра, энный член, лист

JavaScript упрощает sqrt

Алгебра Работа

VB Calculater, пример

вопросы теста на способности с ответом

решатель Surds

наибольший общий знаменатель

Рабочий лист симметрии ks3

решение делением квадратного корня

решатель дробей алгебры

eds model apptitude question papper

бесплатные рабочие листы для 7 класса по математике пропорции

коэффициент на ти-83

рабочие листы для 8-го класса для печати

как вы знаете, какой знак использовать в квадратичных неравенствах

переменные рабочие листы

физика меррилла ответы

Рабочий лист Glencoe ответы

онлайн-калькулятор переменных

бесплатные рабочие листы 2-го года SAT

уравнения с рациональными показателями

рабочие листы начальная дробь

практический урок # 10 чит-коды

Holt + Mathmatics

Книги по математике и алгебре Glencoe

учебник решения периметров прямоугольников

ти-86 лог2

уравнения с неизвестными — листы — элементарный

решение нескольких уравнений в Maple

Полярное уравнение excel

калькулятор факторинговых многочленов

математика, рабочий лист, перевод переменных, выражения

математические задачи nc eog

калькулятор буквенных уравнений / дробей

«уравнение линии» «пошаговое руководство»

балансировка химических уравнений, powerpoint

программное обеспечение алгебры 2

рабочие листы для поиска откосов

сложение и вычитание нескольких отрицательных и положительных чисел 6 класс

помочь с домашним заданием по алгебре

+ «программы для ТИ-83» + «квадратная программа»

ti 84 биномиальная формула

Справочник по алгебре 2 Глава 4

Найдите точки пересечения линий с помощью ti-84 плюс

печатные задачи по математике для третьего класса

как ввести решатель одновременных уравнений ti 84

«Упростить уравнения с квадратным корнем»

веселый рабочий лист по математике для 8-го класса

Бесплатное использование калькулятора TI-83

онлайн калькулятор квадратный корень

сложнейшее уравнение

Рабочий лист «математические свойства»

Решения для упражнений с тензором стопы и манекена

простые геометрические вероятности

завершение математики квадратного КАЛКУЛЯТОРА

Ответы на тест Glencoe / McGraw-Hill Precalculus

Алгебра Холта 1

мелочи про десятичные дроби

математика вопрос уравнение

устранение с помощью ti 84 plus

сложение дробей с использованием ti 83

решение варибала в кубе

Рабочий лист Glencoe Algebra 1

Оценка пределов — A Plus Topper

Оценка пределов

Методы оценки пределов

Задачи оценки лимитов разделим на пять категорий.

(1) Алгебраические пределы:

Пусть f (x) — алгебраическая функция, а ‘a’ — действительное число. Тогда это называется алгебраическим пределом.

  1. Метод прямой подстановки: Если прямой подстановкой точки в данном выражении мы получаем конечное число, то полученное число является пределом данного выражения.
  2. Метод факторизации: В этом методе числитель и знаменатель факторизуются. Общие факторы отменяются, а остальные выводят результаты.
  3. Метод рационализации: Рационализация выполняется, когда у нас есть дробные степени (например, \ (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {3} \) и т. Д.) Для выражений в числителе или знаменателе или в обоих. После рационализации сроки факторизуются, что при отмене дает результат.
  4. На основе формы при x → ∞: В этом случае выражение должно быть выражено как функция 1 / x, а затем после удаления неопределенной формы (если она есть) заменить 1 / x на 0.

(2) Тригонометрические пределы:

Для оценки тригонометрического предела очень важны следующие результаты.

(3) Логарифмические пределы:

Для оценки логарифмических пределов мы используем следующие формулы:

(4) Экспоненциальные пределы:

(i) На основе расширения в ряд:

Для оценки экспоненциальных пределов мы используем следующие результаты:

(ii) На основе формы 1 : Для оценки экспоненциальной формы 1 мы используем следующие результаты.

(5) Правило L-Hospital:

Если f (x) и g (x) — две функции от x, так что

Иногда может потребоваться повторить этот процесс несколько раз, пока наша цель оценки предела не будет достигнута.

Оценка пределов Проблемы с решениями

1.

Решение:

2.

Решение:

3.

Решение:

4.

Решение:

5.

Решение:

6.

Решение:

7.













Решение:

Рационализация знаменателей в радикальных выражениях — видео и стенограмма урока

Когда заканчивается радикальное выражение?

Есть два основных требования, чтобы радикальное выражение считалось максимально упрощенным.2 — это х.

2. В знаменателе дроби не может быть радикала. Если в знаменателе есть радикал, необходимо выполнить процесс, называемый рационализацией знаменателя.

Как рационализировать знаменатель с одним членом

Когда знаменатель представляет собой моном , который является выражением с одним членом, вы можете рационализировать знаменатель, умножив числитель и знаменатель на член, который приведет к получению знаменателя. быть выражением, так что когда оно упрощается, оно больше не содержит радикала.

Например, упростить:

Следующий шаг — определить, какое выражение умножить на радикал в знаменателе. Это должно быть что-то, что заставит знаменатель потерять свой радикал. Чаще всего член будет равен члену в знаменателе. В этом примере вы умножите числитель и знаменатель на квадратный корень из 7.

Когда вы это сделаете, произойдет следующее:

Затем, когда вы упростите и извлечете квадратный корень из 49, вы получите:

И это будет окончательный ответ без радикала в знаменателе.

Вот еще один пример:

Этот пример немного отличается от предыдущего тем, что вам не нужно умножать его на квадратный корень из 8, чтобы рационализировать знаменатель, поскольку 8 * 2 равно 16, а 16 — это идеальный квадрат . Полный квадрат — это число, квадратный корень которого представляет собой целое число. Мы можем использовать 2, чтобы создать идеальный квадрат вместо 8.

При умножении выражение становится:

Что можно упростить до:

в качестве окончательного ответа.

Как рационализировать знаменатель с более чем одним членом

Когда под радикальным знаком в знаменателе находится более одного члена, это становится немного сложнее. Для упрощения вам нужно будет умножить числитель и знаменатель на , сопряженное знаменателю . Сопряжение — это то же выражение, но с противоположным знаком посередине.

Сопряжение:

это:

Когда вы умножаете выражение, содержащее радикал, на его сопряжение, происходит следующее:

Помните, что при умножении двух биномов (выражения с двумя членами) вы должны использовать метод FOIL.FOIL означает:

F = первый член в каждой скобке

O = внешний член в каждой скобке

I = внутренний член в каждой скобке

L = последний член в каждой скобке

Итак, для этой задачи умножения мы получаем:

Если вы произведете умножение правильно, радикалы будут удалены. В данном случае:

Чтобы рационализировать знаменатель, умножьте числитель и знаменатель дроби на сопряжение знаменателя.

Вот пример. Упростить:

Сначала мы умножаем числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя и получаем:

Что дает нам:

Затем мы упрощаем, комбинируя похожие термины, чтобы получить:

Однако мы еще не закончили.Эта дробь может быть уменьшена еще больше, потому что каждый член делится на 2. Когда мы вычеркиваем 2 из каждого члена, окончательный ответ будет:

Давайте попробуем другой пример. Упростить:

Первый шаг — умножить на значение, сопряженное со знаменателем.

Что дает нам:

При упрощении получаем:

Резюме урока

Как и в случае со строительством или приготовлением пищи, математические задачи никогда не решаются полностью, пока не будут выполнены определенные задачи.С дробями, содержащими радикалы в знаменателе, заключительный этап рационализации знаменателя удалит этот радикал.

При обосновании знаменателя дроби первым делом нужно умножить числитель и знаменатель дроби на член, который приведет к удалению радикала в знаменателе. В выражениях, где в знаменателе есть один член, это любой член, который делает знаменатель точным квадратом. В выражениях с двумя членами это сопряжение знаменателя, которое является тем же выражением, что и знаменатель, но с противоположным знаком посередине.После того, как вы умножите числитель и знаменатель на этот член и упростите, дробь больше не должна содержать радикал в знаменателе.

Результаты обучения

Изучите этот урок, чтобы укрепить свои способности:

  • Поймите, почему вам нужно рационализировать знаменатель
  • Укажите два требования, чтобы радикальное выражение считалось полностью упрощенным.
  • Выполните шаги по рационализации знаменателей с помощью одного члена и более чем одного члена

Деление радикальных выражений

Деление радикальных выражений

При делении радикальных выражений используйте правило частного.

Для всех реальных значений a и b , b ≠ 0

  1. Если n четное и a ≥ 0, b > 0, то

  2. Если n нечетное, а b ≠ 0, то

Это способ математических символов сказать, что когда индекс четный, в подкоренном выражении не может быть отрицательного числа, но когда индекс нечетный, может быть.

Радикальные выражения записываются простейшими терминами, когда

  • Индекс как можно меньше.

  • Подкоренное выражение не содержит множителя (кроме 1), который представляет собой n -ю или большую степень целого числа или многочлена.

  • Подкоренное выражение не содержит дробей.

  • В знаменателе радикалов нет.

Пример 1

Упростите каждое из следующих действий.

  1. Используя правило частного для радикалов,

  2. Используя правило частного для радикалов,

Рационализация знаменателя

Выражение с радикалом в знаменателе следует упростить до выражения без радикала в знаменателе.Этот процесс называется рационализирующим знаменатель. Это достигается путем умножения выражения на дробь, имеющую значение 1, в соответствующей форме.

Пример 2

Упростите каждое из следующих действий.

  1. Чтобы рационализировать этот знаменатель, подходящей дробью со значением 1 является, поскольку это устранит радикал в знаменателе, когда используется следующим образом:

    Обратите внимание, что мы решили найти главный корень.

  2. На что можно умножить, чтобы в результате не было радикала? Ответ — или. Этот выбор сделан таким образом, что после их умножения все, что находится под радикальным знаком, будет идеальными кубиками.

Конъюгаты

Если a и b — разные термины, то конъюгат из a + b равен a b , а конъюгат a b равен a + b .Сопряжение есть. Сопряжения используются для рационализации знаменателя, когда знаменатель представляет собой двучленное выражение, включающее квадратный корень.

Пример 3

Упростить.

Чтобы объяснить знаменатель этого выражения, умножьте его на дробь, полученную в знаменателе, произведенную над самим собой.

Логарифмические функции — Уроки Wyzant

Когда вы познакомитесь с логарифмами
и экспоненциальными функциями
, вы сможете взглянуть на логарифмические функции.Логарифмы
— это, по сути, еще один способ записать
экспонент, а логарифмические функции являются обратными экспоненциальным функциям.

Важное определение, которое мы должны иметь в виду, — это определение журналов, потому что
оно очень поможет при работе с логарифмическими функциями и различными типами
проблем журналов.

Повторюсь, логарифм — это еще один способ записать показатель степени. Это определение
работает в обоих направлениях (преобразование из экспоненциальной формы в логарифмическую и обратно).
Доменом для логарифмических функций будут все положительные действительные числа для x
, а диапазоном будут все действительные числа для y .

Когда мы записываем log (x) без основания, подразумевается, что база равна 10.
В калькуляторе есть два типа журналов: журнал с десятичной системой координат и натуральный журнал
ln (x) . Натуральный логарифм имеет основание e , которое, как мы обнаружили, является уникальной экспоненциальной функцией
. Многие проблемы будут иметь дело с e , и нам придется использовать естественный журнал
ln для оценки и построения графика функции.

Изобразив экспоненциальную функцию и функцию натурального логарифма, мы видим, что
они инвертируют друг друга.

Изобразим график функции f (x) = log (x + 2) от основания 4 .

Мы можем использовать определение журналов, чтобы переписать это в экспоненциальной форме. Мы видим
, что основание равно 4 , показатель степени равен y , а журнал будет равен
(x + 2) .

Затем мы можем подставить значения для y и получить наши значения x. Хотя мы обычно подставляем
в значения x, чтобы найти значения y, в этой форме гораздо проще подставить различные значения
для y.

Обратите внимание, что теперь у нас есть вертикальная асимптота x = -2 и точка (-1,0) .
Это полная противоположность экспоненциальным функциям, которые имеют горизонтальные асимптоты
и точку в точке (0,1).Все логарифмические функции будут иметь вертикальную асимптоту, и
пройдет через точку на расстоянии 1 от вертикальной асимптоты в направлении
, которое она открывает. Эта точка всегда будет точкой пересечения по оси x. Чтобы найти его, мы можем установить y
равным 0 и решить относительно x.

Давайте посмотрим на график f (x) = ln (5-x) .

Обратите внимание, что наш домен x <5 . Если наш ввод больше 5, наш вывод
не будет определен.Перехват по оси x задается как

.

На первом этапе мы можем использовать определение журналов, чтобы переписать уравнение и решить
относительно x. Тогда наша точка пересечения по оси x будет (4,0) .

Обратные свойства логарифмов

Обратное свойство I

Это означает, что всякий раз, когда основание журнала совпадает с основанием внутреннего журнала,
журнал будет равен показателю внутренней базы.Это только если базы совпадают.

Обратное свойство II

Это означает, что всякий раз, когда основание, возведенное в журнал, имеет ту же базу, оно упрощает
до всего, что находится внутри журнала. Это подтверждает, что журналы — это еще один способ записи показателей степени
, точно так же, как вычитание — это еще один способ записи сложения, а деление
— еще один способ записи умножения. Опять же, это свойство работает только в том случае, если
базовый b совпадает с базовым b журнала.

Давайте оценим некоторые логарифмические уравнения и выражения, чтобы попрактиковаться в наших знаниях
свойств бревен.

Решить относительно x

Решить относительно x

Запишем одним логарифмом

Решить относительно x

Открытое программное обеспечение CEMC — Исчисление и векторы

Функции, графики и ограничения

В этом разделе учащиеся будут изучать значения средней скорости изменения за интервал, чтобы приблизительно определить мгновенную скорость изменения в точке.Понятие предела будет формально определено, и учащиеся будут использовать график функции и свойства пределов для оценки пределов множества функций.

Понятие предела как приближенного значения будет подкреплено исследованием того, как греческие математики разработали формулу для площади круга. Будут определены две фундаментальные проблемы исчисления.Студенты будут использовать понятие предела вместе со средней скоростью изменения, чтобы приблизительно оценить мгновенную скорость изменения функции в точке.

Студенты узнают формальное определение лимита и три условия, необходимые для существования лимита. Учащиеся будут оценивать предел различных функций при определенном значении \ (x \), наблюдая за \ (y \) — значением (ями) на графике, к которому приближаются с левой и правой стороны.

Студенты изучат 7 свойств пределов и будут применять эти свойства для алгебраической оценки пределов различных функций.

В прошлых исследованиях функций и их графиков студенты заметили, что от начала до конца графики некоторых функций состоят из одной непрерывной кривой, тогда как другие включают разрывы в пределах своей области.Этот модуль будет использовать ограничения для определения трех условий, которые должны быть выполнены для того, чтобы функция была непрерывной во всем ее домене. Кроме того, студенты изучат различные типы разрывов и алгебраический метод определения местоположения разрывов.

Особое внимание будет уделено оценке пределов полиномиальных и рациональных функций.Учащиеся определят устранимый разрыв рациональной функции перед упрощением выражения, а затем применит свойства предела для оценки предела.

Особое внимание будет уделено оценке пределов функций, содержащих радикалы. Студенты вспомнят методы рационализации числителей и знаменателей, а также область и диапазон радикальных функций.Учащиеся будут использовать область определения функции, чтобы определить, существует ли предел, прежде чем применять рационализацию для оценки пределов функций, содержащих радикалы.

Будут определены сходящиеся и расходящиеся последовательности, и студенты будут наблюдать большие значения этих последовательностей, чтобы определить, существует ли предел на бесконечности.Этот модуль соединит пределы на бесконечности с алгебраическим методом определения местоположения горизонтальных асимптот.

Производная

Этот блок вводит формальное определение производной. Учащиеся будут изучать графики и использовать определение производной для проверки правил определения производных: правило постоянной функции, правило мощности, правило множественных постоянных, правила суммы и разности, правило произведения, правило цепочки и правило частного.Они будут применять эти правила для различения полиномиальных, рациональных, радикальных и составных функций. Учащиеся свяжут значение производной при конкретном значении x с наклоном касательной в точке кривой, и они будут использовать этот наклон и точку для определения уравнения касательной линии.

Учащиеся будут использовать определение производной для различения полиномиальных и рациональных функций, а также функций, содержащих радикалы.Изучая различные функции, учащиеся идентифицируют значение (значения) / интервал (значения) \ (x \), для которых функция не дифференцируема.

Изучая графики, студенты будут предсказывать возможные правила дифференцирования, а затем проверять эти правила, применяя определение производной к общим утверждениям.В этом модуле изучаются следующие правила дифференцирования: правило постоянной функции, правило степени, правило постоянного множественного числа, а также правила суммы и разности.

Учащиеся свяжут значение производной при определенном значении \ (x \) с наклоном касательной к кривой в определенной точке.Учащиеся будут использовать значение производной с уравнением точки наклона линии, чтобы определить уравнение касательной.

Учащиеся будут использовать определение производной для разработки правила дифференциации произведения двух функций. Затем студенты будут различать продукт двух или более функций, применяя правило продукта.

Учащиеся идентифицируют внутренние и внешние функции, составляющие составную функцию, а затем применяют цепное правило для различения. Студенты будут использовать определение производной для разработки цепного правила

.

Учащиеся разработают правило частного, применяя правило произведения и правило цепочки к частному двух общих функций.Затем студенты будут применять правило частного, чтобы различать рациональные функции и частное двух функций.

Применения производных инструментов

В этом разделе исследуются применения определения производного инструмента. Мы определяем производные функции более высокого порядка, узнаем, как изобразить производную функции на графике функции, и увидим, как вычисления мгновенной скорости изменения могут быть использованы для решения реальных проблем в науках о жизни и социальных науках.{th} \) производная функции для любого натурального числа \ (n \).

В этом модуле мы научимся рисовать графики первой и второй производных полиномиальной функции \ (f \) по графику функции \ (f \).

Применение производной как мгновенной скорости изменения исследуется в области геометрии, наук о жизни и социальных наук.

Исследуются приложения первой и второй производных к задачам, связанным с движением.

Эскиз кривой

В этом модуле мы разрабатываем алгоритм построения эскиза кривой с учетом алгебраического уравнения кривой.Мы обсуждаем теоремы об экстремальном значении и среднем значении, а также исследуем понятие точки поворота, абсолютного экстремума, интервала увеличения или уменьшения, вогнутости и точки перегиба.

Определены понятия точки поворота и абсолютного экстремума функции. Мы узнаем, как использовать первую производную для определения точек поворота и экстремальных значений функции на отрезке.

Теорема о среднем значении, которая связывает среднюю скорость изменения и мгновенную скорость изменения, формулируется и исследуется на примерах.

В этом модуле мы исследуем поворотные точки функций и вводим тест первой производной.Точнее, мы научимся использовать первую производную, чтобы найти интервалы увеличения и уменьшения заданной функции.

Знак второй производной функции может дать информацию о форме графика. Определены термины вогнутый вверх, вогнутый вниз и точка перегиба, и введен тест второй производной.

Используя инструменты, полученные в ходе нашего изучения функций, мы разрабатываем алгоритм построения эскиза кривой с учетом уравнения кривой. Изучаемые функции включают многочлены, рациональные функции и функции, содержащие радикалы.

Оптимизация и соответствующие ставки

Теперь, когда мы знакомы с тем, как рассчитывать производные, мы будем использовать их в этом модуле для решения реальных задач по оптимизации, а также как способ определения связанных ставок.Мы также представим метод Ньютона как способ аппроксимации корней уравнений.

Мы выразим данную проблему на математическом языке, определив функцию, которая должна быть максимизирована или минимизирована. Нахождение экстремальных значений этой функции позволяет нам решать такие задачи, как максимизация площади или минимизация времени.

Проблемы в этом модуле будут аналогичны задачам в предыдущем модуле, с изменением фокуса на максимизацию доходов и прибыли или на минимизацию затрат.2 = 9 \), где \ (y \) явно не указывается в терминах \ (x \). В этих случаях метод неявного дифференцирования может использоваться для определения производной одной переменной по отношению к другой.

Во многих реальных ситуациях изменение одного количества вызывает изменение другого количества или происходит вместе с изменением другого количества.То есть две скорости изменения связаны с .

Линеаризация — это метод использования касательной для аппроксимации функции, к которой она касается, вблизи точки касания. В этом модуле также будет представлен алгоритм, называемый методом Ньютона, для поиска приближенных корней уравнений.

Производные от экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций

Этот раздел начинается с введения в число Эйлера, e. Помимо разработки производных от экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций, мы также расширим наши алгебраические навыки и навыки решения уравнений с помощью этих трех типов функций.Икс \).

Мы будем использовать исследование Maple, чтобы помочь установить производную от \ (f (x) = \ ln (x) \), а затем использовать наши правила для производных, чтобы дифференцировать более сложные функции, включающие натуральный логарифм.

В этом модуле мы разработаем производную любой экспоненциальной функции, имеющей положительное постоянное основание.

В этом модуле мы разработаем производную любой логарифмической функции, имеющей положительное постоянное основание.

Путем исследования мы выводим производные как синуса, так и косинуса, а затем, используя два основных тригонометрических предела и тождество, мы доказываем наши предположения.

В этом модуле мы разрабатываем и используем производные каждой из функций: \ (f (x) = \ tan (x) \), \ (f (x) = \ csc (x) \), \ (f (x) = \ sec (x) \) и \ (f (x) = \ cot (x) \).

Приложения экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций

В этом модуле исследуются различные применения производных экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций.К знакомым темам, включая скорость изменения, построение кривых, оптимизацию и связанные скорости, мы вернемся.

Мы видели, как исчисление, а точнее производная, можно использовать для изучения скорости изменения физических величин. В этом модуле мы рассмотрим такие приложения, в которых уравнения моделирования включают экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции.

Правило L’Hospital — это инструмент для оценки пределов неопределенных частных, которые не могут быть оценены с использованием предельных законов. Это правило особенно полезно для оценки пределов частных экспоненциальных и логарифмических функций.

В этом модуле мы вернемся к алгоритму построения эскиза кривой и применим его к кривым, уравнения которых включают экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции.

Экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции естественным образом возникают во многих реальных приложениях исчисления. Мы снова возвращаемся к теме оптимизации, уделяя особое внимание проблемам, связанным с функциями такого рода.

В этом модуле мы расширяем исследование связанных ставок.В частности, мы изучаем скорость изменения величин, связанных с помощью формул, включающих экспоненциальные, логарифмические или тригонометрические функции.

Интегральное исчисление

Этот модуль представляет вторую ветвь исчисления, называемую интегральным исчислением, которая используется для поиска областей. Понятия первообразной из дифференциального исчисления и определенного интеграла определены и связаны с помощью фундаментальной теоремы исчисления.Вводится неопределенный интеграл и исследуются методы упрощения процесса интегрирования, в том числе: правила интегрирования, вытекающие из известных правил дифференцирования, полезные свойства интегралов, метод подстановки и интегрирование по частям.

Этот модуль определяет понятие первообразной функции и исследует первообразные целых степеней \ (x \).

В этом модуле вводится задача расчета общего расстояния, пройденного за период времени, когда скорость изменяется. Это приводит к вопросу об оценке площадей областей на плоскости с помощью прямоугольных приближений.

Сигма-нотация — это компактный способ записи больших сумм одинаковых терминов.Суммы Римана будут определены с использованием этих обозначений как метод оценки чистых площадей областей на плоскости.

Определенный интеграл заданной функции на заданном интервале определяется как предел сумм Римана. Этот модуль познакомит вас с процессом и терминологией интеграции.

В этом модуле мы исследуем примеры, в которых определенные интегралы могут быть вычислены с использованием интерпретации чистой площади без учета сумм Римана.

В этом модуле представлены некоторые основные свойства определенных интегралов, которые помогут упростить процесс интегрирования. К свойствам относятся порядок интегрирования, правило нуля, аддитивность, правило постоянного множественного числа, а также правила суммы и разности. Модуль заканчивается исследованием фундаментальной теоремы исчисления.

Основная теорема исчисления соединяет две ветви исчисления: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление. В результате этой теоремы мы получим мощный инструмент для вычисления определенных интегралов с использованием первообразных без учета сумм Римана или чистых площадей.

Этот модуль исследует первообразные многих знакомых функций и определяет неопределенный интеграл функции.Мы увидим, что каждое правило дифференцирования порождает соответствующее правило неопределенного интегрирования.

В этом модуле мы вычисляем определенные интегралы, используя таблицу известных неопределенных интегралов в сочетании с основной теоремой.

Этот модуль знакомит с одним из двух основных методов интеграции: методом подстановки.Этот метод возникает из цепного правила дифференцирования и позволяет упростить подынтегральные выражения, используя замену переменных.

Этот модуль представляет второй основной метод интеграции: интеграцию по частям. Этот метод является производным от правила произведения для дифференцирования и позволяет нам перейти от рассматриваемого подынтегрального выражения к новому, надеюсь, более простому подынтегральному выражению.

Приложения интегрального исчисления

В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения интегрального исчисления. Мы будем использовать определенные интегралы для вычисления чистого изменения количества, объемов трехмерных тел, средних значений функций и длин кривых. Конец этого раздела посвящен теме дифференциальных уравнений, включая обсуждение полей направлений, схематическое изображение решений, разделимые уравнения и экспоненциальный рост и убыль.

В этом модуле основная теорема исчисления переформулирована в терминах чистого изменения. Мы будем использовать этот результат для решения задач, связанных с расстоянием и смещением.

В этом модуле мы используем определенные интегралы для вычисления площади областей, ограниченных непрерывными кривыми.

Объемы трехмерных тел часто можно вычислить с помощью определенного интеграла. Мы исследуем знакомые формулы, такие как формула для объема сферы, и вычисляем объемы более экзотических твердых тел.

В этом модуле мы определяем среднее значение функции и длину кривой на отрезке.Мы увидим, что определенные интегралы являются центральными при вычислении каждой из этих величин.

Очень часто математическое моделирование приводит к изучению уравнения, включающего скорость изменения величины. Это называется дифференциальным уравнением. Мы исследуем некоторые хорошо известные проблемы такого рода и вводим необходимую терминологию для этой темы.

Часто невозможно найти явную формулу для решения конкретного дифференциального уравнения. В этом модуле мы узнаем, как рисовать решения дифференциального уравнения без фактического решения данного уравнения, и мы используем эти эскизы для получения количественной информации о решениях.

Для решения большинства дифференциальных уравнений требуется графический или численный подход. В этом модуле мы исследуем определенное семейство дифференциальных уравнений, называемых разделяемыми уравнениями, которые часто можно решить явно, используя неопределенное интегрирование.

Многие физические величины увеличиваются или уменьшаются со скоростью, пропорциональной количеству присутствующего количества.Это свойство известно как закон естественного роста. В этом модуле мы исследуем семейство дифференциальных уравнений и их решения, возникающие в этом контексте.

Введение в векторы

Этот модуль вводит понятие вектора как математического объекта, имеющего как величину, так и направление.Разработанные математические операции с геометрическими векторами приведут к моделированию и решению задач, связанных с физическими величинами силы и скорости.

Этот модуль вводит представление вектора в виде направленного линейного сегмента. Будут преподаны концепции равных векторов, противоположных векторов, угла между векторами, скалярного умножения и единичных векторов.

Этот модуль исследует свойства сложения векторов, вычитания и скалярного умножения. Будут обучаться закону треугольника и закону параллелограмма.

Сколько силы требуется, чтобы тянуть вагон? Что такое равновесие и когда силы действуют на объект, вызывая его?

Как ветер влияет на скорость и направление самолета? Какие еще проблемы скорости можно решить с помощью векторов?

Алгебраические векторы и приложения

Этот модуль вводит векторы в декартовой системе координат.Новая модель позволяет нам выполнять операции с векторами и исследовать интересные геометрические и физические приложения.

Этот модуль связывает геометрическую модель вектора с алгебраической моделью. Будут изучены компоненты, векторы положения, трехмерная модель и углы направления (или направляющие косинусы).

Этот модуль исследует свойства сложения векторов, вычитания и скаляров. умножение алгебраических векторов.

Мы расширим наши операции с векторами, включив в них скалярное произведение (или скалярное произведение). Свойства скалярного произведения будут изучены и использованы для определения угла между двумя векторами.

Мы расширим наши операции с векторами, включив в них кросс-произведение (или векторное произведение).Будут исследованы свойства перекрестного произведения, тройного скалярного произведения, тройного векторного произведения, правила правой руки и величины перекрестного произведения.

Векторные проекции будут обучаться и использоваться для решения геометрических и физических задач. Мы обсудим концепции работы и тройного скалярного произведения, и мы применим их определения.

Уравнения и пересечения линий в R

2 и R 3

Этот модуль расширяет наши знания об уравнениях прямых до новых форм, включающих векторы. Мы рассмотрим эти линии как в двух, так и в трех измерениях, а также определим пересечения и расстояния между линиями.

Мы рассмотрим две новые формы уравнения прямой на плоскости и рассмотрим роль, которую играют векторы в этих новых описаниях.

Хотя скалярное уравнение или декартово уравнение линии в R2 должно выглядеть знакомо, мы рассмотрим роль векторов, в частности вектора нормали, в описании линии в этой форме.

Мы расширяем параметрические и векторные уравнения линий с двух до трех измерений. Также будут введены симметричные уравнения прямой в R3.

Всегда ли пересекаются две линии на плоскости? Как насчет двух линий в трех измерениях? Мы рассмотрим возможные случаи пересечения прямых в \ (\ mathbb {R} ^ 2 \) и \ (\ mathbb {R} ^ 3 \) и определим точку пересечения, где она существует.3 \)?

Уравнения и пересечения плоскостей

Этот модуль знакомит с различными формами уравнений плоскостей и расширяет наши методы решения систем линейных уравнений (таких как уравнения плоскостей). Для нахождения таких алгебраических решений будут введены операции со строками матриц, которые затем будут интерпретироваться геометрически.3 \) может пересекаться? Мы решим типичные «два уравнения с тремя неизвестными», чтобы определить, действительно ли две плоскости пересекаются друг с другом.

Можете ли вы нарисовать разные способы пересечения трех плоскостей? С алгебраической точки зрения мы представим матрицу, метод исключения Гаусса и форму эшелона строк как инструменты, используемые для определения того, пересекаются ли плоскости и где.Исследование поможет связать алгебраическое решение системы уравнений с геометрией плоскостей.

Этот модуль расширяет нашу работу с матрицами до исключения Гаусса-Жордана и сокращенной формы эшелона строк. Мы продолжаем исследовать алгебру и геометрию, определяемую различными способами пересечения трех плоскостей.

Как отличить масштабирование, нормализацию и преобразования журнала | by Bex T.

Масштабирование или стандартизация с помощью StandardScaler

Один из стандартных методов решения ситуаций, когда одна функция имеет гораздо большую дисперсию, чем другие, — это использование масштабирования (также называемого стандартизацией):

Согласно официальному руководству Sklearn по масштабированию :

Многие элементы, используемые в целевой функции алгоритма обучения, предполагают, что все функции сосредоточены вокруг нуля и имеют дисперсию в одном и том же порядке.Если характеристика имеет дисперсию, которая на несколько порядков больше, чем у других, она может доминировать над целевой функцией и сделать оценщик неспособным правильно учиться на других функциях, как ожидалось.

Таким образом, для достижения высоких характеристик многих моделей часто требуется масштабирование. Sklearn реализует это в преобразователе StandardScaler () . Он преобразует числовых признаков в наборе данных, чтобы иметь среднее значение 0 и дисперсию 1.

SS выполняет это с помощью двух операций:

  1. Центрирование : вычитание среднего из каждого значения в распределении.
  2. Масштабирование : разделите каждый результат на стандартное отклонение.

Операции оставляют исходную функцию после нормального распределения. Вот как мы можем сделать это вручную:

Мы не учитываем характеристики цены и каратов, потому что они следуют асимметричному распределению. Подробнее об этом позже.

Давайте сделаем то же самое с StandardScaler () :

Те же результаты.

Проверка среднего и отклонений:

Теперь давайте обратим внимание на эффективность масштабирования.Глубина и x теперь действительно выглядят как распределение Гаусса.

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.