Логарифмические уравнения калькулятор: Решение логарифмических уравнений онлайн

Читать дальше: логарифмические неравенства.

Калькулятор логарифмов. Решение логарифмов онлайн

Данная страница рассматривает калькулятор логарифмов — ещё одну функцию в богатом арсенале, которым располагает бесплатный калькулятор на нашем сайте. Калькулятор, считающий логарифмы онлайн, станет незаменимым помощником для тех, кому нужно простое решение математических выражений. В нашем калькуляторе любой может легко и быстро посчитать логарифм, не зная логарифмических формул, и даже не представляя суть логарифма.

Буквально 20-30 лет назад решение логарифмов требовало серьезных знаний в математике и как минимум умения пользоваться таблицей логарифмов или логарифмической линейкой. Чтобы привести к табличному виду исходное выражение, часто приходилось осуществлять сложные преобразования, учитывая свойства логарифмов и их функций.

Сегодня же достаточно иметь доступ в интернет, чтобы без труда вычислять всевозможные логарифмические уравнения и неравенства любой сложности. Размещенный на нашем сайте калькулятор онлайн может любой логарифм вычислить за одно мгновение! Используйте этот простой способ решения — вычисление логарифмов онлайн! Лучше добавить калькулятор в закладки и в социальные сети, наверняка найдётся причина открыть его ещё раз.

Решение логарифма log_yx сводится к нахождению ответа на вопрос, в какую степень требуется возвести основание логарифма y, чтобы получилось значение равное x. Онлайн калькулятор логарифмов поможет рассчитать все виды логарифмов: двоичные, десятичные и натуральные логарифмы, а также логарифм комплексного числа и логарифм отрицательного числа и др.

Вычисление логарифмов в online калькуляторе записывается как log и выполняется с помощью четырёх кнопок: нахождение двоичного логарифма, решение десятичных логарифмов, с произвольным основанием и вычисление натурального логарифма.

Кнопки, позволяющие вычислить логарифм онлайн

И десятичный логарифм калькулятор посчитает, и натуральный логарифм калькулятор найдёт!

Некоторые кнопки могут использоваться для записи одного и того же действия. Возьмём, к примеру, расчёт логарифмов с произвольным основанием. Понятно что, если указать основание 10, то рассчитается десятичный логарифм, а если 2, то двоичный. Учитывая, что математическое выражение можно и вручную набрать, тогда тот же самый десятичный логарифм посчитать можно тремя способами (точнее записать эту операцию в калькуляторе):

• 1. используя кнопку log, тогда нужно указать только число
• 2. с помощью кнопки log_yx, через запятую указываются число и основание логарифма
• 3. внести обозначение логарифма вручную

Подробная информация о том, как работать с клавиатурой калькулятора, а также обзор всех его возможностей, можно найти на странице Функции калькулятора.

Логарифмы примеры решения в калькуляторе

Логарифм по основанию 2

Используйте эту кнопку, чтобы рассчитать логарифм, основание которого равно двум (его также называют двоичный логарифм).

В строке ввода отобразится запись log2(x) , соответственно, вам остаётся внести число, без указания основания, и произвести расчёт. В примере найден ответ, чему равен логарифм 8 по основанию 2.

Логарифм по основанию 2

Десятичный логарифм 10

Эта кнопка поможет найти логарифм числа по основанию 10.

Логарифм десятичный онлайн калькулятор обозначает записью log(x x,y). На рисунке рассчитано, чему равен десятичный логарифм числа 10000.

Логарифм по основанию 10

Натуральный логарифм

Клавишей ln выполняется решение натуральных логарифмов, основанием которых является число е. Основание натурального логарифма е — число Эйлера — равно 2.71828182845905.

Онлайн калькулятор можно определить, чему равен натуральный логарифм любого числа. На рисунках в качестве примера найдены значения натурального логарифма: слева — ln логарифм числа 8, справа — натуральный логарифм от числа 50.

Натуральные логарифмы примеры решения

Как решать логарифмы с произвольным основанием

Конечно, калькулятор, позволяет решить логарифм онлайн не только по определенному, но по любому основанию. Чтобы найти значение логарифмов с произвольным основанием для любого числа, используйте предназначенную для этого кнопочку log_yx, она подставляет в строке ввода запись log(x x,y).

Определение логарифма числа

Калькулятор Инструкция — обзор основых и дополнительных функций калькулятора и общая информация о том, как пользоваться калькулятором.

manatel решение логарифмических уравнений калькулятор

Ссылка: http://iminime.sabemo.ru/1/63/reshenie-logarifmicheskih-uravneniy-kalkulyator решение логарифмических уравнений калькулятор Решение логарифмических уравнений. 2(x)-4log_3(x)+3=0 Пример 2. Решения . Калькулятор для пошагового решения логарифмических уравнений онлайн (бесплатно). Данный калькулятор полностью заменит вам репетитора по математике. 15 ноя 2012 . Решение рациональных, дробно-рациональных уравнений любой степени, показательных, логарифмических, тригонометрических . уравнений. Онлайн калькулятор логарифмов . Web 2.0 scientific calculator . Наверняка в повседневной жизни вы сталкивались с такой ситуацией, что вам требовалось вычислить логарифм или выполнить несколько иных математических действий, чтобы произвести. На нашем сайте собраны примеры решения дифференциальных уравнений разных функций. Каждое уравнение содержит подробное решение и . калькулятор последнего поколения для пошагового решения логарифмических уравнений. Пользоваться калькулятором совсем не сложно. Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое уравнение. Вы можете посмотреть теорию о логарифмической функции и логарифмах и общие методы решения логарифмических уравнений. Решение квадратных, кубических, тригонометрических, логарифмических уравнений онлайн. . (если данное уравнение калькулятор способен решить ) . 12 мар 2017 . Online решение уравнений, домашки, задачей, Решебник и калькулятор с решениями примеров и уравнений онлайн. Онлайн калькулятор вычисляет логарифмы. На нашем сайте вы также найдёте соответствующие формулы и графики. Мы поможем сделать . Решение тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений. Выберите задачу для решения. Решение тригонометрических уравнений. Калькулятор , считающий логарифмы онлайн, станет незаменимым помощником для тех, кому нужно простое решение математических выражений. Сегодня же достаточно иметь доступ в интернет, чтобы без труда вычислять всевозможные логарифмические уравнения и. Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. Онлайн калькулятор калькулятор последнего поколения для пошагового решения логарифмических уравнений. Пользоваться калькулятором совсем не сложно. Решение рациональных, дробно-рациональных уравнений любой степени, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений. Пример . Дополнительные материалы по теме: Логарифм . Основные способы решения логарифмических уравнений. Решения , подсказки и учебник линейной алгебры онлайн (все калькуляторы по алгебре).

Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с понятием и видами логарифмов и основными формулами.
Как решать логарифмические уравнения?

Самое простое уравнение имеет вид log_ax = b, где a и b -некоторые числа,x — неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения является x = a ^b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log₂х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log₂2. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Решение простейших логарифмических уравнений

К таковым относятся уравнения типа log₂х = log₂16. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения log_ax = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

• одинаковые числовые основания у логарифмов
• логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т.е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log₂х = 2log₂ (1- х) потенцирование неприменимо — коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log₂х+log₂ (1 — х) = log₂ (1+х) также не выполняется одно из ограничений — слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!

Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

log_a (. ..) = log_a (…)

В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.

Возьмем другой пример:

log₃ (2х-5) = log₃х

Применяем потенцирование, получаем:

2х-5 = х

х=5

Пойдем дальше. Решим следующий пример:

log₃ (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм — это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т.е. (4х-1), получаем:

3 ² = 2х-1

Дальше уже дело техники:

2х-1 = 9

х =5

Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.

Решим наше логарифмическое уравнение log₃ (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:

Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log₃9, ведь 3 ²=9.

Тогда log₃ (2х-1) = log₃9 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.

Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений, даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.

Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая — работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.

А вот возьмем другой пример:

log₃ (х ²-3) = log₃ (2х)

Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.

Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

log₃ (х ²-3) = log₃ (2х)

Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.

х ²-3 = 2х

х ²-2х-3 = 0

Находим корни уравнения:

х₁= 3

х₂= -1

Получилось два корня.

Ответ: 3 и -1

С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.

Начнем с х₁= 3:

log₃6 = log₃6

Проверка прошла успешно, теперь очередь х₂= -1:

log₃ (-2) = log₃ (-2)

Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент — логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.

Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.

Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.

Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею — 50/50.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?

Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.

Воспользуемся опять тем же уравнением:

log₃ (х ²-3) = log₃ (2х)

log₃ (х ²-3) = log₃ (2х)

Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:

Т.е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.

ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.

Получив ответы х₁= 3 и х₂= -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.

На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый — решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.

Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:

На видео другие примеры решения лог. уравнений и отработка метода интервалов на практике.

На это по вопросу, как решать логарифмические уравнения, пока всё. Если что то по решению лог. уравнений осталось не ясным или непонятным, пишите свои вопросы в комментариях.

Заметка: Академия социального образования (КСЮИ) — готова принять новых учащихся.

Логарифмические ряды, Логарифмы, log, ln, lg

Ряды Маклорена не могут быть использованы для нахождения ряда для logx, поэтому должен быть найден еще один метод. Первый шаг — изменения переменной, шаг, который очень полезен, так как вы приступаете к процессам, больше использующим математику. Вместо того, чтобы использовать log х в качестве переменной, используйте log (l + х), которая находит конечные значения для последовательных производных при х = 0. 5}{5}….$

Когда упрощаются коэффициенты путем деления на множители факториала, они являются своего рода гармоническим рядом, который не сходится очень быстро. Числители — это последовательные степени х, а знаменатели простые числа, не факториалы.

Вы захотите логарифмы чисел больших, чем 2. Здесь скорость сходимости показана в нахождении логарифма 2 этим методом. На сходимость влияет: единственный уменьшающийся фактор гармонического ряда интегральных обратных чисел. Он колеблется между наивысшим значением, а значит, должен сходиться гораздо дальше, чтобы достичь своего наивысшего значения.

Логарифмические ряды: изменение

Вот трюк, для чего введены логарифмы. Если вы изменяете переменную снова, используя (1 + x)/(1 — x), по принципу логарифмов, логарифм этой переменной будет логарифмом (1 + x) минус логарифм (1 — x).

Во-первых, ряд логарифмов (l — x) был последовательностью степеней x разделенных на гармоническую последовательность интегральных чисел, меняющих свой знак. Ряды для log(l — x) используют те же численные члены, но все их знаки — отрицательные. Помните, что вы собираетесь вычесть их из log(l + x), вследствие чего все отрицательные знаки в конце станут позитивными.

Этот метод делает две вещи: удаляет четные степени x и и объединяет их. Эти ряды заключены в большие скобки, умноженные на 2.

Чтобы показать, насколько быстрее эти ряды сходятся, используйте это для вычисления log 2, что при применении первого метода заняло бы вечность. Решите (x + 1)/(x — 1) = 2. Здесь еще одна переменная изменится. Решая этого уравнения, переменная в ряде не 1, а 1/3. Так как каждый другой член выпал, последовательные члены уменьшаются на х (или 1/9). Это соотношение приводит к гораздо быстрому схождению. Он сходится так быстро, что только 4 члена необходимы для получения log2 c четырьмя цифрами после запятой.

Расчет логарифмов

Здесь вы рассчитываете два логарифма, чтобы найти сравнения в скорости сходимости. Для расчета log1,1 сделайте х = 1 / 21. Последовательные члены сейчас сходятся более чем 400:1. Три члена ряда теперь производят логарифм с шестью знаками после запятой.

Как вы уже видели, для вычисления log2, х = 1/3, где сходимость около одной десятой за каждый дополнительный член. Для точности до шести цифр, требуется семь членов.

В примере выше вы пробовали найти значение логарифмов до 10. Обратите внимание, что есть способы для упрощения вычислений. Log 4 есть удвоенный log 2. Вы можете получить его либо из 4 = 2.2 или из 4 = 2². Log 5 есть log 4 + log 1.25. Log 6 есть log 2 + log 3. Log 7 есть log 4 + log 1.75. Log 8 есть log 2 взятый 3 раза, потому что 8 есть 2³. Log 9 есть удвоенной log 3 потому что 9 = 3². Наконец, log 10 есть log 2+ log 5.

Общие логарифмы

Хотя все алгоритмы должны быть вычислены в их основной форме с основанием e, иногда называемыми гиперболическими или логарифмами Непера (от имени изобретателя логарифмов). Но более распространенное названия натуральные логарифмы или логарифмы с основанием e.
Log₁₀x = y       x = 10^y       Log_ε10 = t       ε^t = 10
      So x = (ε^t)^y = ε^ty       Log_εx = ty

Если у логарифма основание 10, тогда логарифм 10 по основанию 10 равен 1. Вы можете изменить основание, разделив натуральный логарифм на логарифм 10.

Использование логарифмов: умножение и деление

Конечно, нахождение логарифмов с помощью карманных калькуляторов намного проще, чем использование таблиц. Калькулятор вычисляет логарифмы обоих видов, натуральные и общие. Общие логарифмы обозначаются log, а натуральные логарифмы обозначаются ln.

Примеры, которые мы здесь приводим, взяты из таблиц с логарифмами с четырьмя цифрами. Ваш калькулятор, возможно, показывает больше цифр, чем таблица. На своем калькуляторе я ввел логарифм 32 и получил 1.505149978; значение логарифма 256 равно 2.408239965. Суммируя их, получим 3.9133889944. Используя сдвиг, ответ равен точно 8192!

Последний пример показывает еще одну разницу с таблицами. Таблица дала только мантиссу — дробную часть. Вам необходимо вставить характеристику — целое число слева от запятой. 0.0969 есть мантиссой (в четырехзначных таблицах) для чисел 125. Риска над 1 указывает, что характеристика отрицательная. Поэтому, log есть -1 + 0.0969. Мой калькулятор пишет -0.903089987. Однако, если я ввожу 1.25 вместо 0.125, калькулятор пишет 0.096910013. Если число больше 1, мантисса не меняется, только характеристика изменяется и смещается десятичная точка.

Использование логарифмов: индексы

Здесь снова примеры, которые были приготовлены с помощью четырехзначных логарифмических таблиц. Карманный калькулятор может найти ответы намного быстрее. Действительно, большинство калькуляторов имеют одну клавишу, x^y. Однако, давайте посмотрим как обработать эти примеры с помощью калькулятора.

Логарифм 12 считается калькулятором как 1.079181246. Умножая на 3, получаем 3.23764 3738. Используя смещение и логарифм дает точно 1728. Вводим 12 снова. Нажимаем x^y, затем 3, и =. Калькулятор снова высвечивает 1728.

В следующем примере log 2 равен 0.301029995, правильный ответ снова. Однако, если ввести log 1024, высвечивается предыдущее значение 3.010299957 с одной дополнительной цифрой.

Выше использованы логарифмы или x^y клавиши, где индексы были очевидны. Иногда ответ не такой простой. Возьмем следующее: 35^4/5. С использованием калькулятора: Log 35 = 1.544068044. Используя клавиши x^y, получаем тот же ответ.

Кроме того, можно вычислить это значение используя биномиальное разложение, если калькулятор оснащен достаточной памятью. Вам не нужно повторно вычислять каждый член. После второго члена, вы можете умножить/разделить на дополнительные множители. Например, чтобы получить третий член на второй, умножте на 3 и разделите на 320 и так далее. Этот ряд сходится очень быстро.

Биноминальным разложением

Биноминальным разложением

В этот раз, 4-х значные логарифмы довольно ограниченны. Используя тот же калькулятор с клавишами логарифмов или с x^y, результат равен 353.5533906. Биноминальное разложение дает тот же результат за исключением последних двух цифр.

Конечно, ваш калькулятор не сделает биномиальный ряд для вас. Для того-то и упражнения, чтобы показать, что биномиальный ряд работает. Как калькулятор это делает? Он имеет встроенные программы, которые вычисляют логарифмические ряды очень быстро — за доли секунды. Помните, что калькулятор работает в двоичной системе, даже если он высвечивает десятичные цифры.

Использование логарифмов с формулами

Формула здесь связывает давление и объем в физическом расширение и сжатии газа. Это характерно для многих формул. Величины р и v являются переменными, k и индекс n являются константами. В этой таблице к = 1000 и n = 1,4.

В таблице приведены значения v от 10 до 30 (предполагается, что этот диапазон охватывает необходимые значения в нашей конкретной задаче) и используются логарифмы для расчета соответствующего значения р (в последнем столбце). В 3-й колонке приведены значения 0,4logv в качестве помощи нахождения log1,4v. Табулирование с помощью этого метода облегчало процесс до появления калькуляторов.

Четвертая колонка есть вычитание из 3, что есть log1000. Чтобы сделать это на калькуляторе, у вас есть выбор: использовать клавишу logs или x^y. В любом случае, вы должны вставить k в это. Если k было другим, чем степень 10, это немного усложнит вычисление. Метод: использовать клавишу 1/x (обратное значение) а потом умножить на 1000 (или на соответсвующее значение к).

Поиск закона логарифмов

Вы знаете, что v и p относится друг к другу по закону типа: pvⁿ = k. Это показывает, как это делались вычисления с помощью логарифмов до появления калькуляторов. Вы можете использовать ваш калькулятор, но использование клавиши x^y является не таким легким; использование клавиши log есть более легким.

Возьмем логарифмы значения p: 1.361727836 и 1.176091259. После вычитания получим 0.185636579. Возьмем логарифмы значения v: 1.176091259 и 1.301029996. После вычитания получим: 0.124938736. Разделим первое значение на второе: 0.185636579/0.124938736= 1.485820827 — значение n. Такое вычисление требовало использование ячейки памяти вашего калькулятора. И все эти цифры после запятой точные, но необязательные. Числа, с которыми вам необходимо работать, скорее всего, имеют две значащие цифры.

Вопросы и задачи

1. Рассмотрим следующий рисунок. Эти функции нарисованы на логарифмической шкале. Перерисуйте приближения этих функций в полулогарифмическом масштабе (ось х — линейные, ось у — логарифмическая). Выберите масштаб, который является обоснованными для угла значения в каждом конкретном случае.

2. Нарисуйте приблизительные значения функции в прямоугольных координатах поверх приведенного графика. Выберите масштаб, который является наиболее подходящим для диапазона значений в каждом случае. Масштабы могут быть неодинаковыми на каждой оси, но обе оси должны быть линейными.

3. Рассмотрите следующий рисунок. Эти функции нарисованы в прямоугольных координатах. Нарисуйте приблизительные значения функции в полулогарифмическом масштабе (ось х — линейная и ось у — логарифмическая). Выберите подходящий масштаб для диапазона значений в каждом случае.

4. Нарисуйте приблизительные значения функции в логарифмическом масштабе . Выберите подходящий масштаб для диапазона значений в каждом случае. Масштабы могут быть неодинаковыми на каждой оси, но обе оси должны быть линейными.

5. Используя формулу log₁₀xy = log₁₀x + log₁₀y, найдите значения следующих множителей путем сложений чисел. Вы можете использовать калькулятор. Запишите ответы с тремя цифрами после запятой.
(a) 5.44 • 3.67       (b) 10.5 • 0.567
(c) 36.7 • 2.56       (d) 0.987 • 0.822

6. Используя формулу log₁₀x^y = ylog₁₀x, найдите значения (стремя цифрами после запятой). Вы можете использовать калькулятор.
(a) 5.44^3,67       (b) 10.5^3,67
(c) 36.7^2,56       (d) 0.987^0,822

7. Если бы в решении задачи №6 натуральные логарифмы (с основанием e) были бы использованы вместо логарифмов с основанием 10 был бы результат верным?

8. Если бы в решении задачи №6 логарифмы по основанию 7 были бы использованы вместо десятичных логарифмов, был бы результат верным?

Что такое модуль примеры. Калькулятор онлайн.Решение уравнений и неравенств с модулями

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа , и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля , то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля , перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.

Число -5 имеет знак «-» и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= — f(x), если f(x)

Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3

Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля .

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3

2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х 1 =0, х 2 =3

Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 2 =3.

Б) При x

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

х 1 =2, х 2 =3

Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго — корень х=2.

МБОУ СОШ №17 г. Иванова

«Уравнения с модулем»
Методическая разработка

Составлена

учителем математики

20010 г.

Пояснительная записка

Глава 1. Введение

Глава 2. Решение уравнений, содержащих модуль

Раздел 3. Уравнения вида |F(х)| = G(х)

Глава 3. Примеры решения различных уравнений с модулем.

-ой степени».

│ а, если а > 0

│а│ = │ 0, если а = 0 (1)

Раздел 3.

Раздел 4. График функции у = │х│

Раздел 5. Условные обозначения.

Раздел 1. Уравнения вида │F (х)│= m

Раздел 2. Уравнения вида F(│х│) = m

.

Раздел 3.

Раздел 4. Уравнения вида │F(x)│= F(x) и │F(x)│= — F(x)

Ответ: х = 3.

Упражнения: №12. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень: │х 2 + 6х + 8│= х 2 + 6х + 8№13. Решите уравнение, в ответе укажите число целых решений: │13х – х 2 — 36│+ х 2 – 13х + 36 = 0№14. Решите уравнение, в ответе укажите целое число, не являющееся корнем уравнения:

Раздел 5.

Корниуравнения 4х 2 + 2х – 1 = 0 х 1,2 = — 1±√5 / 4 Ответ: произведение корней равно – 0,25. Упражнения: №15 . Решите уравнение, в ответе укажите целое решение:│х 2 – 3х + 2│= │х 2 + 6х — 1│ №16. Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень:│5х — 3│=│7 — х│ №17 . Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:

Раздел 6. Примеры решения нестандартных уравнений

№1. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: х · │х│- 5х – 6 = 0
Ответ: сумма корней равна 1 №2. . Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень: х 2 — 4х ·
— 5 = 0
Ответ: меньший корень х = — 5. №3. Решите уравнение:

Ответ: х = -1. Упражнения: №18. Решите уравнение и укажите сумму корней: х · │3х + 5│= 3х 2 + 4х + 3
№19. Решите уравнение: х 2 – 3х =

№20. Решите уравнение:

Раздел 7. Уравнения вида │F(x)│+│G(x)│=0

Раздел 8. Уравнения вида │а 1 х + в 1 │±│а 2 х + в 2 │± … │а n х +в n │= m

Раздел 9. Уравнения, содержащие несколько модулей

Примеры: №1. Решите уравнение:
Ответ: х = 1; — 11. №2. Решите уравнение:
Ответ: х = 0; 4; — 4. №3. Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:
Ответ: произведение корней равно – 8. №4. Решите уравнение:
Обозначим уравнения совокупности (1) и (2) и рассмотрим решение каждого из них отдельно для удобства оформления. Так как оба уравнения содержат более одного модуля, то удобнее осуществить равносильный переход к совокупностям систем.(1)

(2)


Ответ:
Упражнения: №36. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: 5 │3х-5│ = 25 х №37. Решите уравнение, если корней более одного, в ответе укажите сумму корней: │х + 2│ х – 3х – 10 = 1 №38. Решите уравнение: 3 │2х -4│ = 9 │х│ №39. Решите уравнение, в ответе укажите количество корней на : 2 │ sin х│ = √2 №40 . Решите уравнение, в ответе укажите количество корней:

Раздел 3. Логарифмические уравнения.

№1.

1 случай: если х ≥ — 1, то log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – удовлетворяет условию х ≥ — 1 2 случай: если х log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = — 5 – удовлетворяет условию х — 1
Ответ: произведение корней равно – 15.
№2. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: lg
О.Д.З.

Ответ: сумма корней равна 0,5.
№3. Решите уравнение: log 5
О.Д.З.

Ответ: х = 9. №4. Решите уравнение: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ О.Д.З. х > 0 Воспользуемся формулой перехода к другому основанию. │2 — log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 — log 5 x│- │1 + log 5 x│= — 3 Найдём нули подмодульных выражений: х = 25; х = Эти числа делят область допустимых значений на три интервала, поэтому уравнение равносильно совокупности трёх систем. {2} \)

Решение относительно b путем извлечения корня 2-й степени из обеих частей уравнения

\ (b = \ sqrt [2] {16} = 4 \)

Следовательно, возвращая b в исходное уравнение

\ (\ log_ {4} 16 = 2 \)

Экспоненциальная и логарифмическая функция Пошаговое решение математических задач

5.Икс. График был найден путем получения ряда упорядоченных пар, принадлежащих функции, и последующего проведения через них плавной кривой. По мере того, как мы выбираем все меньшие и меньшие отрицательные значения x, значения yy становятся все ближе и ближе к 0, как показано в таблице ниже.

РИСУНОК 5. 2) найти упорядоченные пары, принадлежащие функции. Некоторые упорядоченные пары показаны в chm ниже.

Как следует из пения, 0

Рисунок 5.5

Важная нормальная кривая в теории вероятностей имеет график, очень похожий на график моего
на рис. 5.5.

СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ Формула сложных процентов (процентов, выплачиваемых как на основную сумму долга, так и на проценты), является важным приложением экспоненциальных функций.Вы можете вспомнить формулу для простых процентов, {Iota} = Prt, где P — сумма, оставшаяся под процентами, r — процентная ставка, выраженная в виде десятичной дроби, а t — время в годах, в течение которого основная сумма процентов получает проценты. 3.40 = 1000 (2,20804) = 2208,04,

или 2208,04 $

В формуле сложных процентов. Иногда A называют будущей стоимостью, а P — текущей стоимостью.

Пример 7

НАЙДИТЕ НАСТОЯЩУЮ ЗНАЧЕНИЕ

Бухгалтер хочет купить через три года новый компьютер, который будет стоить 20 000 долларов.

(a) Какую сумму нужно внести сейчас под 6% годовых, чтобы получить требуемые 20 000 долларов через три года?

Поскольку сумма депонированных денег должна составить 20 000 долларов через три года, 20 000 долларов — это будущая стоимость денег.x, где e — иррациональное число, часто встречающееся в практических приложениях. Число e возникает естественным образом при использовании формулы для Сложного процента.

Предположим, что удачная инвестиция приносит 100% годовых, так что r = 1,00 или r = 1. Предположим также, что по этой ставке можно внести только 11 долларов и только на один год. Тогда P = 1 и t = 1. Подставьте в формулу для сложных процентов:

м	(1 + 1 / м) ^ м
1	2
2	2. 2).5 = х 32 = х Набор решений: {32}. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Логарифмическая функция с основанием a определяется следующим образом. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Если a> 0, a! = 1 и x> 0, то f (x) = log_a (x) определяет логарифмическую функцию с основанием a. Экспоненциальная и логарифмическая функции являются обратными друг другу. Поскольку область определения экспоненциальной функции — это набор всех действительных чисел.x относительно линии y = x. Как показано на рисунке 5.8, график y = log_ (1/2) x также имеет ось y для вертикальной асимптоты. Графики y = log_2x на рисунке 5.7 и y = log_ (1/2) x на рисунке 5.8 предлагают следующие обобщения относительно графиков логарифмических функций вида f (x) = log_a (x). ГРАФИК f (x) = log_a (x) 1. Точка (1, 0) находится на графике. 2. Если a> 1, f — возрастающая функция; если 0 3. По оси ординат отложена вертикальная асимптота. 4. Область значений — (0, ∞), а диапазон — (-∞, ∞). Сравните эти обобщения с обобщениями для экспоненциальных функций, обсуждаемыми в разделе 5.1. Более общие логарифмические функции могут быть получены путем формирования композиции h (x) = log_a (x) с функцией g (x), чтобы получить f (x) = h [g (x)] = log_a [g (x)] Следующие примеры иллюстрируют некоторые составные функции этого типа. Пример 3 ИЗОБРАЖЕНИЕ СОСТАВНОЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ График f (x) = log_2 (x-1). График этой функции будет таким же, как график f (x) = log_2 (x), но со сдвигом на 1 единицу вправо, поскольку вместо x дан x-1. Это делает область (1, ∞) вместо (0, ∞). Прямая x = 1 — вертикальная асимптота. Диапазон составляет (-∞, ∞). Раздел Рисунок 5.9. Рисунок 5.9 Пример 4 ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЕРЕВОДНОЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ График f (x) = (log_3x) -1. Эта функция будет иметь тот же график, что и график g (x) = log_3x, переведенный на 1 единицу вниз.Таблица значений приведена ниже как для g (x) = log_3x, так и для f (x) = (log_3x) -1. х 1/3 1 3 9 г (x) -1 0 1 2 f (x) -2 -1 0 1 График показан на рисунке 5.y = | x | чтобы помочь определить некоторые упорядоченные пары, удовлетворяющие уравнению. (Обычно это хорошая идея при построении графика логарифмической функции.) Вот. легче выбрать значения y и найти соответствующие значения x. Это дает следующие упорядоченные пары. х -3 -1 -1/3 1/3 1 3 y 1 0 -1 -1 0 1 Построение этих точек и соединение их гладкой кривой дает график на рисунке 5. 11. Ось ординат — вертикальная асимптота. Обратите внимание, что, поскольку y = log_3 | -x | = log_3 | x |, график симметричен относительно оси y. Рисунок 5.11 ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ Если вы пишете логарифмическую функцию в экспоненциальной форме, выбирая значения y для вычисления значений x, как мы это делали в примере 5, будьте осторожны, чтобы упорядочить пары в правильном порядке. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ Логарифмы изначально были важны в качестве вспомогательного средства для численных расчетов, но доступность недорогих калькуляторов сделало это применение логарифмов устаревшим «Тем не менее, принципы, лежащие в основе использования логарифмов для вычислений, важны; эти принципы основаны на свойствах, перечисленных ниже.0 = 1. Свойства логарифмов полезны для переписывания выражений с логарифмами в различных формах, как показано в следующих примерах. Пример 6 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ЛОГАРИФМОВ Предполагая, что все переменные представляют положительные действительные числа, используйте свойства логарифмов, чтобы переписать каждое из следующих выражений. 2) = 2log_10 (2) = 2 (0.(к + 1)) = к + 1. Второе утверждение теоремы будет полезно в разделах 5.4 и 5.5 при решении логарифмических или экспоненциальных уравнений. 5.3 ЛОГАРИФМЫ ОЦЕНКИ; ИЗМЕНЕНИЕ БАЗЫ ОБЩИЕ ЛОГАРИФМЫ Логарифмы с основанием 10 называются десятичными логарифмами. Десятичный логарифм числа x или log_10 (x). часто сокращенно обозначается как log x, и с этого момента мы будем использовать это соглашение. Калькулятор с ключом журнала может использоваться для нахождения десятичных логарифмов любого положительного числа. Пример 1. ОЦЕНКА ОБЩИХ ЛОГАРИФМОВ Воспользуйтесь калькулятором для вычисления следующих логарифмов`. (а) лог 142 Введите 142 и нажмите клавишу журнала. На некоторых калькуляторах это может быть вторая функциональная клавиша. В других калькуляторах эти шаги можно выполнить в обратном порядке. Если у вас возникли проблемы с использованием этого ключа, обратитесь к руководству пользователя. Результат должен быть 2.152 с точностью до тысячных. (б) лог 0.-8. Пример 3. РЕШЕНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ BASE 10 Громкость звуков измеряется в юнитах! называется децибелом. Для измерения с помощью этого устройства мы сначала присваиваем интенсивность {Iota} _0 очень слабому звуку, называемому пороговым звуком. Если конкретный звук имеет интенсивность {йота}, то рейтинг этого более громкого звука в децибелах составляет . d = 10log {Iota} / {Iota} _0. Найдите значение в децибелах звука с интенсивностью 10 000 {Йота} _0 d = 10log (10,000 {Iota} _0) / ({Iota} _0) = 10log10000 = 10 (4) лог10000 = 4 = 40 Звук имеет рейтинг децибел 40. ЕСТЕСТВЕННЫЕ ЛОГАРИФМЫ In В большинстве практических приложений логарифмов в качестве основы используется число e≈2,718281828. Число е иррационально, как и ПИ. Логарифмы с основанием e называются натуральными логарифмами, поскольку они встречаются в науках о жизни и экономике в естественных ситуациях, связанных с ростом и упадком. Логарифм x по основанию e записывается как ln x (читается как «el-en x»). График функции натурального логарифма, определяемой как f (x) = ln x, приведен на рисунке 5.12. Натуральные логарифмы можно найти с помощью калькулятора. с ключом In.x — функция, обратная y = lnx (или y = log_e (x). (б) ln 127,8 = 4,850 (в) ln0,049 = -3,02 Как и в случае с десятичным логарифмом, натуральный логарифм чисел от 0 до 1 отрицательный. Пример 5 ПРИМЕНЕНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ЛОГАРИФМОВ Геологи иногда измеряют возраст горных пород с помощью «атомных часов». Измеряя количество калия 40 и аргона 40 в породе, возраст t образца в годах определяется по формуле т = (1.9 Возраст гранита составляет около 1,85 миллиарда лет. ЛОГАРИФМЫ К ДРУГИМ ОСНОВАМ Калькулятор можно использовать для поиска значений либо натуральных логарифмов (основание e), либо десятичных логарифмов (основание 10). Однако иногда бывает удобно использовать логарифмы для других оснований. Следующая теорема может быть использована для преобразования логарифмов из одного основания в другое. ИЗМЕНЕНИЕ БАЗОВОЙ ТЕОРЕМЫ Для любых положительных действительных чисел x, a и b.y) = log_b (x) Возьмите логарифм с обеих сторон ylog_b (a) = log_b (x) Свойство (c) логарифмов y = (log_b (x)) / (log_b (a)) Разделите обе стороны на log_b (a). log_a (x) = (log_b (x)) / (log_b (Замещающий журнал, x вместо y. Любое положительное число, кроме 1, может использоваться в качестве основания b при изменении основного правила, но обычно единственными практическими основаниями являются e и 10, поскольку калькуляторы дают логарифмы только для этих двух оснований. ПРИМЕЧАНИЕ Некоторые калькуляторы имеют только клавишу журнала или клавишу ln.В этом случае изменение основного правила может быть использовано для нахождения логарифмов до недостающего основания. В следующем примере показано, как изменение основного правила используется для нахождения логарифмов с основанием, отличным от 10 или e, с помощью калькулятора. Пример 6 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ БАЗОВОГО ПРАВИЛА Используйте натуральный логарифм, чтобы найти каждое из следующих значений. Округлить до ближайшей сотой. (а) лог_5 (17) Используйте натуральные логарифмы и теорему о замене основания.(1,76) ≈ 17, (б) log_2 * 1 log_2 * 1 = (ln * 1) / (ln * 2) ≈ (-2,3026) / (0,6931) = — 3,32 ПРИМЕЧАНИЕ В примере 6 логарифмы, вычисленные на промежуточных этапах, такие как ln 17 и ln 5, были показаны с точностью до четырех десятичных знаков. Однако окончательные ответы были получены без округления этих промежуточных значений с использованием всех цифр, полученных с помощью калькулятора. В общем, чтобы завершить ответ, лучше дождаться последнего шага; в противном случае накопление ошибки округления может привести к тому, что в окончательном ответе будет неправильная конечная десятичная цифра. Пример 7 РЕШЕНИЕ ПРОГРАММЫ С ЛОГАРИФМАМИ BASE 2 Одна мера разнообразия видов в экологическом сообществе дается формулой H = — [P_1log_2O_1 + P_2log_2P_2 + . .. + P_ (n) log_2P_n], , где P_1, P_2, …, P_n — пропорции образца, принадлежащие каждому из n видов, обнаруженных в образце. Например, в сообществе с двумя видами, где 90 одного вида и 10 другого, P_1 = 90/100 = 0.9 и P_2 = 10/100 = 0,1. Таким образом, H = — [0,9log_2 (0,9) + 0,1log_2 (0,1)]. Пример 6 (b), log_2 (0,1) оказался равным -3,32. Теперь найдите log_2 (0.9) . Следовательно, H ≈ — [(0,9) (0,152) + (0,1) (- 3,32)] ≈ 0,469 Если количество у каждого вида одинаково, мера разнообразия равна 1., что соответствует «идеальному» разнообразию. В сообществе с небольшим разнообразием H близко к 0. В этом примере, поскольку H = 0,5. нет ни большого, ни малого разнообразия. 5.4 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО-ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ИНФОРМАЦИЯ УРАВНЕНИЯ Как упоминалось в начале этой главы, экспоненциальные и логарифмические функции важны во многих полезных приложениях математики. Использование этих функций в приложениях часто требует решения экспоненциальных и логарифмических уравнений. (- 2lnx) = 1/16 Используйте свойство логарифмов, чтобы переписать показатель степени в левой части уравнения.-2 x = 4 Свойство 1 дано выше Проверьте этот ответ, подставив в исходное уравнение, чтобы увидеть, что набор решений равен (4). ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Следующие примеры показывают некоторые способы решения логарифмических уравнений. Здесь полезны свойства логарифмов, приведенные в разделе 5.2, а также свойство 2. Пример 3 РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Решите log_a (x + 6) -log_a (x + 2) = log_a (x). Используя свойство логарифмов, перепишите уравнение как log_a (x + 6) / (x + 2) = log_a (x) Свойство (b) логарифмов Теперь уравнение в правильной форме для использования свойства 2.2 + x-6 = 0 Получить 0 с одной стороны. (x + 3) (x-2) = 0 Используйте свойство нулевого фактора. х = -3 или х = 2. Отрицательное решение (x = -3) нельзя использовать, поскольку оно не входит в область log_a (x) в исходном уравнении. По этой причине единственное допустимое решение — положительное число 2, дающее набор решений {2}. ВНИМАНИЕ Напомним, что область определения y = log_b (x) равна (0, ∞). По этой причине всегда необходимо проверять, что решение логарифмического уравнения приводит к логарифмам положительных чисел в исходном уравнении. ПРОСТОЙ Когда врачи прописывают лекарства, они должны учитывать, как их эффективность со временем снижается. Если каждый час лекарство на эффективнее всего на 90% по сравнению с предыдущим часом, в какой-то момент пациент не будет получать достаточно лекарства и должен получить новую дозу. Эту ситуацию можно смоделировать с помощью геометрической последовательности (см. Раздел 9.2). Если начальная доза составляла 200 мг и препарат был введен 3 часа назад, выражение 200 (0.х = журнал (0,25) xlog (0,90) = журнал (0,25) x = (журнал (0,25)) / (журнал (0,90)) ≈ 13,16 Так как x представляет собой n — 1, лекарство достигнет уровня 50 мг примерно за 14 часов. 2-x-12 = 0 Теперь используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы получить . х = (1 + -корень (1 + 144)) / (6) Если x = ((1-корень (145)) / (6), то x-1 <0; следовательно.(lnx) можно записать как lnx, используя теорему об обратных в конце раздела 5.2. Уравнение принимает вид lnx-ln (x-3) = ln2 ln (x / (x-3)) = ln2 Свойство (b) x / (x-3) = 2 Свойство 2 x = 2x-6 Умножить на x-3. 6 = х. Убедитесь, что набор решений равен {6}. Ниже приводится краткое изложение методов, используемых для решения уравнений в этом разделе. РЕШЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Экспоненциальное или логарифмическое уравнение может быть решено путем преобразования уравнения в одну из следующих форм, где a и b — действительные числа, a> 0 и a! = 1.х = х k = -1 / (N) ln (1- (H) / (1000)) Умножить на -1 / (N). В последнем уравнении, если известна одна пара значений для H и N, можно найти k, и затем уравнение можно использовать для нахождения H или N для заданных значений другой переменной. Пример 7 РЕШЕНИЕ КОМПОЗИЦИОННОГО ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В упражнениях к Разделу 5.3 мы увидели, что количество видов в выборке определяется как S, где S = aln (1 + н / д), n — количество особей в выборке, a — постоянная величина.(тм) обсуждался в Разделе 5.1. Таблица, представленная там, показывает, что увеличение частоты начисления сложных процентов приводит к все меньшей и меньшей разнице в сумме начисленных процентов. Фактически, можно показать, что даже если проценты начисляются через интервалы времени, столь малые, как каждый выбирает (например, каждый час, каждую минуту или каждую секунду), общая сумма начисленных процентов будет лишь немного больше, чем для ежедневных компаундирование. Это верно даже для процесса, называемого непрерывным компаундированием.(0,08т) = 0,08т. ln2 = 0,08 т (ln2) / (0,08) = t Заменитель. 8,664 = t Разделить на 0,08. Чтобы сумма удвоилась, потребуется около 8 2/3 лет. РОСТ И РАСПАД Следующие примеры иллюстрируют применение экспоненциального роста и распада. Пример 3 РЕШЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ПРОБЛЕМЫ РАСПАДА Ядерная энергия, полученная из радиоактивных изотопов, может использоваться для питания космических аппаратов.х = х t = (ln (1/2)) / (- 0,004) t≈ 173 Воспользуйтесь калькулятором. Примерно через 173 дня доступная мощность будет вдвое меньше первоначальной. В примерах 2 и 3 (b) мы обнаружили, сколько времени потребуется, чтобы сумма удвоилась и стала половиной от ее первоначальной суммы. Это примеры удвоения времени и периода полураспада. Время удвоения количества, которое растет экспоненциально, — это количество времени, которое требуется для того, чтобы любое начальное количество увеличилось в два раза по сравнению с его значением.Точно так же период полураспада количества, которое убывает экспоненциально, — это количество времени, которое требуется для того, чтобы любое начальное количество уменьшилось до половины своего значения. Пример 4 РЕШЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ПРОБЛЕМЫ Углерод 14 — это радиоактивная форма углерода, которая содержится во всех живых растениях и животных. После смерти растения или животного радиоуглерод распадается. Ученые определяют возраст останков, сравнивая количество углерода 14, присутствующего в живых растениях и животных.(- (ln2) (1/5700) т) ln (1/4) = (ln2) / (5700) т -5700 / (ln2) ln (1/4) = t т = 11400 Древнему углю около 11400 лет. Страница не найдена | Футхилл Колледж Мы поможем вам найти то, что вам нужно Вы перешли на эту страницу после поиска в Google? Попробуйте нашу поисковую систему NEW на базе Также попробуйте выполнить следующие действия. Рекомендации по поисковой навигации Важное примечание о результатах поиска Если неработающая ссылка включает .php: Наш старый веб-сайт использовал расширение файла .php . Наш новый сайт использует .html Если в результате поиска по ключевым словам вы увидите вторичный вариант для .html , сначала попробуйте .html. Некоторые из наших страниц все еще используют старый .php, пока они не будут перенесены на новый. сайт. Благодарим вас за терпение! Сообщить о неработающей ссылке Помогите нам исправить неработающую ссылку и получить необходимую информацию! Электронная почта ceballosjulie @ fhda. edu и [email protected]. Пожалуйста, включите : URL (веб-адрес) отсутствующей веб-страницы. Электронное сообщение, в котором находится неработающая ссылка, и от кого она была (если применимо). URL-адрес (веб-адрес) поврежденной страницы был связан с и (если применимо). Большое спасибо за терпение и помощь. Поделитесь своим мнением Если у вас есть минутка, мы хотели бы услышать, что вы думаете о нашем сайте! Электронная почта [email protected] и [email protected]. Решение логарифмических уравнений: рекомендации и примеры калькулятора Purplemath Для следующего уровня логарифмического уравнения этого типа может потребоваться калькулятор. Вы по-прежнему найдете решение, используя алгебру, но они будут нуждаться в десятичном приближении для не «хороших» значений, что потребует «технологии». Например: Решите ln ( x ) = 3, получив ответ с точностью до трех десятичных знаков. Основание натурального логарифма — это число e (которое имеет значение около 2.7). Это уравнение имеет строго числовой член (3 в правой части). Итак, чтобы решить эту проблему, я воспользуюсь функцией The Relationship для преобразования логарифмического уравнения в соответствующую экспоненциальную форму, имея в виду, что основание этого журнала — « e »: MathHelp. com Последнее значение выше, куб e , является правильным решением, и часто это все, что я должен дать в качестве ответа. Однако в этом случае (возможно, это приводит к проблемам с графикой или текстом) они хотят, чтобы я предоставил десятичное приближение.Я вставляю выражение в свой калькулятор и округляю результат на экране. Мой ответ: Обратите внимание, что эта десятичная форма не «лучше», чем e 3 ; на самом деле, e 3 — это точный и, следовательно, более правильный ответ. Но в то время как что-то вроде 2 3 можно упростить до 8, иррациональное значение e 3 можно только приблизительно вычислить в калькуляторе. Перед следующим тестом убедитесь, что вы знаете, как пользоваться калькулятором для поиска решения этого типа. Журнал решений 2 ( x ) = 4,5 с точностью до двух десятичных знаков. Это уравнение имеет строго числовой член. Итак, я буду использовать The Relationship для преобразования логарифмического уравнения в соответствующую экспоненциальную форму.Затем решу получившееся уравнение. Требуется калькулятор для нахождения приблизительного десятичного значения. После нажатия нескольких кнопок и округления я обнаружил, что мой ответ: . Решение такого рода уравнения обычно работает следующим образом: Если уравнение имеет строго числовой член, вы сначала используете правила журнала, чтобы объединить все члены журнала в один, с любыми числовыми значениями по другую сторону от знака «равно». Затем вы используете The Relationship, чтобы преобразовать логарифмическое уравнение в соответствующее экспоненциальное уравнение, а затем вы можете или не можете использовать свой калькулятор, чтобы найти приближение точной формы ответа. Если уравнение имеет только логарифмические элементы, то вы используете правила журнала, чтобы объединить логарифмические элементы, чтобы получить уравнение в форме «журнал (чего-то) равен журналу (чего-то еще)», а затем вы устанавливаете (что-то) равным (что-то еще) и решите. Между прочим, при нахождении приближений с помощью калькулятора не округляйте по мере продвижения.Вместо этого делайте все решения и упрощения алгебраически; затем, в конце, выполните десятичное приближение как один (возможно, длинный) набор команд в калькуляторе. Ошибка округления может стать очень большой очень быстро с журналами, и вы не хотите терять очки, потому что округлили слишком рано и, следовательно, слишком много. Решите журнал 2 (3 x ) = 4,5, округлив ответ до двух десятичных знаков. Это уравнение имеет строго числовой член, поэтому я буду использовать Отношение для преобразования логарифмического уравнения в соответствующую экспоненциальную форму, за которой следует некоторая алгебра: журнал 2 (3 x ) = 4.5 2 4,5 = 3 x (2 4,5 ) ÷ 3 = x x = 7,54247233266 … Мой окончательный ответ: Если вы попытаетесь проверить мое решение выше, вставив «7,54» в свой калькулятор для « x » в исходном уравнении, вы получите результат, близкий к 4.5, но не совсем равно. Это связано с ошибкой округления. Это не значит, что вы не можете проверить свои ответы на логарифмическое уравнение — вы, безусловно, можете и, вероятно, должны, — но вам нужно помнить об этой трудности округления ошибок при проверке ваших решений. Другими словами, когда вы вставляете десятичное приближение в исходное уравнение, вы просто убеждаетесь, что результат достаточно близок, чтобы быть разумным. Например, чтобы проверить решение уравнения log 2 (3 x ) = 4.5, я подключу 7,54 для x и посмотрю, насколько близок результат к 4,5: На этом этапе мне нужно будет использовать формулу замены базы, чтобы преобразовать это во что-то, с чем мой калькулятор знает, что делать. Я буду использовать натуральный логарифм: журнал 2 (22,62) = ln (22,62) ÷ ln (2) Нет, эти два значения не равны, но они чертовски близки.С учетом ошибки округления эти значения подтверждают, что я получил правильный ответ. Если бы, с другой стороны, мое решение вернуло значение, скажем, 12,083, то я бы знал, что нет, мой ответ был неправильным. Ожидайте, что вам понадобится использовать калькулятор для задач на основе журнала. Рабочие примеры Приведем еще пару примеров. Я выбрал их, потому что они могут помочь развеять некоторые ошибочные предположения, которые часто делают люди — потому что слишком много упражнений работают одинаково, поэтому люди предполагают, что они будут всегда работать таким образом. Журнал решения 4 (7 x + 2) + журнал 4 (9) = журнал 4 (2 x ) В этом уравнении нет строго числовых членов; все термины — это логи. Поэтому я буду использовать правила журнала, чтобы преобразовать каждую сторону в один термин журнала. Затем я уравняю аргументы. Потом решу (и проверю!). журнал 4 (7 x + 2) + журнал 4 (9) = журнал 4 (2 x ) журнал 4 ((7 x + 2) (9)) = журнал 4 (2 x ) 9 (7 x + 2) = 2 x 63 x + 18 = 2 x 61 x = –18 x = — (18/61) Прежде чем я скажу, что — (18/61) — это ответ, мне сначала нужно проверить (особенно потому, что этот ответ отрицательный), будет ли он работать в исходном уравнении. Но, просто взглянув на логарифмический член в правой части исходного уравнения, я вижу, что отрицательное значение не работает. Мне не нужно проверять аргумент терминов журнала в левой части. Я задолбался. Мой ответ: Приведенный выше пример объясняет, почему важно проверять свои решения. Иногда конкретное решение не работает. Иногда решения и не работают. Не думайте слепо, что любое отрицательное решение должно быть отклонено. Иногда верны отрицательные решения. Журнал решения 3 ( x 2 — 6 x ) = 3 Это логарифмическое уравнение имеет строго числовой член, равный 3 в правой части. С левой стороны у меня только один термин журнала.Поэтому я буду использовать Отношение, чтобы преобразовать уравнение в соответствующую экспоненциальную форму. Потом решу (и проверю!). журнал 3 ( x 2 — 6 x ) = 3 3 3 = x 2 — 6 x 27 = x 2 — 6 x 0 = x 2 — 6 x — 27 0 = ( x — 9) ( x + 3) x = –3, 9 Прежде чем я скажу, что x = –3, 9 — мое решение, мне нужно проверить значения (особенно это отрицательное).Итак: журнал 3 ((–3) 2 — 6 (–3)) = журнал 3 (9 + 18) = журнал 3 (27) = журнал 3 (3 3 ) = 3 Ага. Так что с негативом все в порядке. Иди разберись. Хорошо; сейчас проверю другое значение решения: журнал 3 ((9) 2 — 6 (9)) = журнал 3 (81 — 54) = журнал 3 (27) = журнал 3 (3 3 ) = 3 В этом случае работают оба решения. URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelog3.htm логарифмических выражений и pH — модули математики Ohlone Biotechnology Логарифмы и показатели степени Давайте начнем знакомство с логарифмами с нескольких вопросов об экспонентах. Найдите минутку, чтобы заполнить поля ниже: 2 5 = 32 3 3 = 27 10 4 = 100 Правильные ответы: 5, 3 и 2. Вы можете спросить — если эта единица измерения относится к логарифмам, почему мы задаем вопросы об экспонентах? Показатели степени и логарифмы очень тесно связаны. Фактически, показатели степени и логарифмы на самом деле являются обратными функциями друг друга. Что такое обратное? Обратная функция — это «обратная» другой функции.Поскольку логарифмы и экспоненты являются обратными, мы можем переключаться между логарифмическим выражением и экспоненциальным выражением, как показано здесь: ax = y ⟷ logay = x Чтобы понять логарифмы, давайте рассмотрим различные части логарифма и то, что мы называем «десятичным логарифмом» (общим логарифмом). Это очень важное соотношение — обратное соотношение между логарифмами и показателями: Другими словами, основание a в степени x дает нам аргумент y. Чем раньше вы запомните и вспомните это соотношение, тем легче вам будет вычислять логарифмы. Давайте быстро вернемся к вопросам в начале этого раздела и применим наши новые отношения: 2 5 = 32 ⟷ лог 2 ⁡ 32 = 5 3 3 = 27 ⟷ журнал 3 ⁡ 27 = 3 10 2 = 100 ⟷log 10 ⁡100 = 2 Вы видите взаимосвязь между двумя обозначениями? Может потребоваться некоторая практика, чтобы привыкнуть к преобразованию между экспоненциальным представлением ( x = y) и логарифмическим представлением (log a y = x). Попрактикуемся в вычислении нескольких логарифмов, приведенных ниже. Используйте вышеупомянутые отношения и свои знания об экспонентах. Примечание: при работе с функциями мы используем термин , оценка вместо , решение . Проверьте правильность понимания №1: логарифмические выражения Вычислите следующие логарифмические выражения. Используйте отношение, указанное выше. Решения находятся в конце этого руководства. Журнал расчетов 4 ⁡64 Журнал вычислений 10 ⁡0.001 Журнал расчетов 3 ⁡9 Журнал расчетов 10 ⁡80 Давайте перейдем к логарифмам в терминах «общего журнала». Хотя можно использовать любое число в качестве основы логарифмического выражения, есть одно основание, которое вы будете встречать гораздо чаще, чем другие. Наиболее распространенное основание логарифмического выражения — 10. Когда основание равно 10, логарифм называется «десятичным логарифмом» или просто «общим логарифмом».»Общий журнал записывается просто как» журнал «и имеет подразумеваемую, но не показанную базу 10. Давайте рассмотрим несколько примеров общих журналов, чтобы лучше понять эту концепцию: log⁡ 100000 = 5 , потому что 10 5 = 100000 — , подразумевается основание 10 — также может быть записано в журнал 10 100000 = 5, но это не записывается в формате общего журнала log ⁡0,001 = -3 , потому что 10 -3 = 0,001 лог ⁡87 ≈ 1. 94 потому что 10 1.94 ≈ 87 Опять же, логарифмы могут сбивать с толку. Чтобы к ним привыкнуть, потребуется время и практика. Рассмотрим наш последний пример. В нашем последнем примере нет точного ответа, и его на самом деле легче найти с помощью калькулятора, хотя вы можете приблизиться к ответу без калькулятора, если вы очень хорошо знаете свои квадраты. (В данном случае мы этого делать не будем.) Вместо того, чтобы работать над «близким» числом, давайте посмотрим, как использовать калькулятор, чтобы найти общий логарифм числа.Мы будем использовать общий журнал для расчета pH позже в этом руководстве, поэтому важно понимать, как найти журналы с помощью вашего калькулятора. Поиск общего журнала с помощью калькулятора На фотографии ниже показан базовый научный калькулятор TI-30XIIS (слева) и более продвинутый графический калькулятор TI-84 Plus (справа). Скорее всего, у вас будет калькулятор, похожий на один из них. Найдите для этого упражнения научный калькулятор или графический калькулятор. Найдите функцию журнала на своем калькуляторе.Фотография может помочь вам найти ключ журнала. Чтобы использовать функцию журнала: Найдите и нажмите клавишу «журнал». После круглых скобок введите число, которое вы хотите взять в общий журнал. Скобки закрывать не нужно. Нажмите Enter, и вы получите свой ответ. В некоторых калькуляторах вам нужно будет сначала ввести число, , затем , нажмите кнопку журнала. Попробуйте оценить некоторые общие журналы с помощью калькулятора, указанного ниже. Проверка понимания №2: поиск общего журнала с помощью калькулятора Оцените следующие общие журналы с помощью калькулятора.Округлите ответы до 4 знаков после запятой. Решения находятся в конце этого руководства. журнал⁡24,435 журнал⁡0,4327 журнал⁡8.4288 журнал⁡0,0035 Все, что мы рассмотрели до сих пор в этом руководстве, привело к применению логарифмов для определения pH и концентрации ионов водорода [H +], что является обычной практикой в ​​области биотехнологии. Давайте быстро обсудим концентрацию ионов водорода и pH: Концентрация ионов водорода (написано [H +] — скобки обозначают «концентрацию») обычно колеблется в пределах 1.0 M и 1 × 10 -14 M. (Подсказка: «M — молярный или« моль / литр ».) Эта шкала pH может показаться знакомой: В биотехнологии мы можем применять логарифмы для определения pH и концентрации ионов водорода [H +]. Мы можем сделать это, используя любую из этих двух формул: pH = -log [H + ] и [H + ] = 10 -pH Помните, когда мы рассматривали взаимосвязь между показателями степени и логарифмами, где x = y можно перевыразить как log a y = x? Здесь используется то же соотношение, и именно так мы можем определить pH по концентрации ионов водорода, и наоборот. Если у вас возникли проблемы с пониманием этой взаимосвязи, попробуйте снова записать экспоненциальную и логарифмическую взаимосвязь и заменить a, y и x частями этих формул. Давайте рассмотрим несколько примеров. Когда мы используем здесь «журнал», мы имеем в виду общий журнал. Примеры 1 и 2 — Определение pH 1) Каков pH раствора с концентрацией ионов водорода 2,75 × 10 -4 M ? Дано [H +] = 2.75 x 10 -4 моль / литр Формула: pH = -log ⁡ [H + ] pH = -log [2,75 x 10 -4 ] ≈ 3,56 2) Раствор имеет [H + ] 6,72 x 10 -2 M. Каков его pH? pH = -log6,72 x 10 -2 M ≈ 1,17 Пример 3 и 4 — Определение pH 3) Какова концентрация ионов водорода в растворе с pH 5,43? При pH = 5,43 [H + ] = 10 -pH [H + ] = 10 -5.43 = 3,7 x 10 -6 M 4) Что такое [H + ] раствора с pH = 9,8? pH = 9,8 [H + ] = 10 -pH [H + ] = 10 -9,8 = 1,6 x 10 -10 M Проверка понимания №3: Определение pH и концентрации ионов водорода Найдите концентрацию ионов водорода или pH, задав следующие вопросы: Что такое [H +] кислого раствора с pH 3? Каков pH раствора с [H +], равным 8. 34 × 10 -5 моль / литр? Этот раствор кислый или щелочной? Какова концентрация ионов водорода в кислотном растворе с pH 6,5? Каков pH раствора с концентрацией ионов водорода 0,5 М? Этот раствор кислый или щелочной? Проверьте правильность понимания №1: логарифмические выражения Журнал оценки 4 ⁡64 журнал 4 ⁡64 = 3; 4 3 = 64 Журнал вычислений 10 ⁡0.001 лог 10 ⁡0,001 = -3; 10 -3 = 0,001 Журнал вычислений 3 ⁡9 log 3 ⁡9 = 2; 3 2 = 9 Журнал вычислений 10⁡ 80 журнал 10 ⁡80 ≈ 1,9; 10 1,9 ≈ 80 Проверка понимания №2: поиск общего журнала с помощью калькулятора log⁡ 24,435 ≈ 1,3880 лог ⁡0,4327 ≈ -0,3638 log⁡ 8,4288 ≈ 0,9258 log⁡ 0. 0035 ≈ -2,4559 Проверка понимания № 3: pH и концентрация ионов водорода Что такое [H +] кислого раствора с pH 3? 10 -3 = 0,001 M Каков pH раствора с [H +] 8,34 x 10 -5 моль / литр ? Этот раствор кислый или щелочной? pH = -log⁡ (8,34 x 10 -5 ) = 4,08; кислая Какова концентрация ионов водорода в кислотном растворе с pH 6.5? [H + ] = 10 -6,5 = 3,16 x 10 -7 M Каков pH раствора с концентрацией ионов водорода 0,5 М? Этот раствор кислый или щелочной? pH = -log⁡ (0,5) = 0,30; кислая Логарифмические функции — бесплатная справка по математике Экспоненциальные функции: (урок 3 из 3) Логарифмические функции Свойства натуральной логарифмической функции 1.{3} = 8 \) , но представим это уравнение по-другому. {y} = x \) , то \ (\ ln {x} = y \) , где \ (e \) — трансцендентное число. очень похоже на \ (\ pi \) , и это 2.{x} = 10 \) , решите относительно \ (x \) . Во-первых, мы используем правило десятичного логарифма, чтобы получить \ (x = \ log_ {2} {10} \) . Затем мы можем использовать так называемое «изменение базового правила», которое гласит, что \ (\ log_ {b} {x} = \ frac {\ log_ {a} {x}} {\ log_ {a} { б}} \) . Это дает \ (x = \ frac {\ log {10}} {\ log {2}} \) . Правило \ (10 ​​\) затем позволяет нам преобразовать \ (\ log_ {10} {} \) в \ (1 \) , чтобы получить окончательный ответ \ (x = \ frac { 1} {\ log {2}} \) .Чтобы освоиться с экспоненциальными и логарифмическими функциями, потребуется терпение и практика. Начните с наших практических задач экспоненциального и логарифмического уравнения в верхней части этой страницы — посмотрите, сколько времени у вас уйдет на их решение. Нужна дополнительная помощь? Подпишитесь на Cymath Plus сегодня. Author: alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт 2019 © Все права защищены. Карта сайта