Корни с чередованием о и а: Корни с чередованием о — а [wiki.eduVdom.com]

Чередование гласных О—А в корне слова

Корни с чередованием о—а можно разделить на три группы: 1) корни, в которых следует запомнить, какая гласная буква пишется в безударном положении; 2) корни, в которых выбор о или а зависит от следующей согласной буквы; 3) корни, в которых выбор о или а зависит от значения слова.

1. К первой группе (следует запомнить, какая гласная буква пишется в безударном положении) относятся корни гар-/гор-, клон-/клан-, твор-/твар-, зар-/зор-, плав-/плов-.

Корни	Правило	Исключение
гор-/гар-	Без ударения пишется буква о (под ударением — а): гореть, загорелый, горящий, несгораемый, погорелец; за­гар, угар	Изгарь, пригарь, выгарки
клон-/клан-	Без ударения пишется буква о (под ударением — та гласная, которая слышится): наклонение, склониться, склонение; поклон, кланяться
твар-/твор-	Без ударения пишется буква о (под ударением та гласная, которая слышится): сотворить, творец, творе­ние, претворять; творчество, тварь	Утварь
зар-/зор-	В безударном положении пишется а (под ударением — та гласная, которая слышится): заря, зарница, озарять; зарево, зорька	Зоревать
ппав-/плов	В безударном положении пишется о: плавучий, поплавок, плавник	Пловец, пловчиха, плывун (спец.)

2. Ко второй группе (выбор о или а зависит от согласной буквы, перед которой находится корневая гласная) отно­сятся корни лаг-/лож-, скак-/скоч-, раст-(ращ-) /рос , кас-/кос(н)-.

Корни	Правило
-лаг-/-лож-	Перед г пишется а, перед ж — о: излагать, предлагать, слагаемое, прилагательное; изложить, предложить, изложение, положить	Полог
скак-/скоч-	Перед к пишется а, перед ч — о: прискакать, обскакать, на скаку; заскочить, выскочка, подскочить	Скачок, скачу
-раст-(ращ-) 1 -рос-	Перед cm и щ пишется а, перед с — о: вырасти, выращенный, возраст, растение; выросла, водоросли, поросль, выросший	Росток, ростовщик, Ростов, Ростислав, отрасль (а также производные от данных слов): росточек, ростовщица, от­раслевой и др.
кас-/кос(н)-	Пишется о, если дальше следует согласная к, в остальных случаях — а: касаться, касательная, прикасаться; коснуться, прикосновение

3. К третьей группе относятся корни -мак-, -мок-, -равн-, -ровн-, т.е., в которых выбор о или а зависит от значения слова.

Корни	Значения корней	Исключения
-мак-, -мок-	Корень -мак- пишется в словах, имеющих значение «погружать, опускать в жидкость»: обмакнуть кисточку в краску. Слова с корнем -мок- имеют значение «пропускать, впитывать жидкость, становиться мокрым, влажным»: непромокае­мая ткань, вымокнуть под дождём.
равн-, -ровн-	Корень -равн- имеет значения «одинаковый, равный, такой же, наравне»: уравнять величины, равные условия, поравняться с идущими впереди. Корень -роен- пишется в словах со значением «ровный, прямой, гладкий»: выровнять дорогу, подровнять газон, разровнять землю	Равнина, поровну, ровесник, уровень

4. При подборе однокоренных слов с чередованиями следует отличать от них слова с другими значениями,  имеющие в корнях близкие сочетания звуков: гореть — загар, но: гора, горный; наложить — налагать, но: ложка, лагерь; косить — касательная, но: костёр, каскад и пр.

Чередование О-А в корне слова — Уроки Русского

В ряде корней их правописание зависит от ударения.

Правописание зависит от ударения
Корень	Правило	Исключения
-клан-/-клон-	Без ударения – О; Под ударением – та гласная, что слышится
-гар-/-гор-		изгарь, пригарь, выгарки
-твар-/-твор-		утварь
-зар-/-зор-	Без ударения — А	зоревать
-плав-/-плов-		пловец, пловчиха

 

В корнях –клан-/-клон-, -гар-/-гор-, -твар-/-твор— без ударения пишется буква О, под ударением та гласная, что слышится. Например:

накл..ниться – наклониться; кланяться

Наклониться, поставим ударение: наклонИться. Ударение падает не на корень. Значит, без ударения пишется корень –клон-.

Кланяться. Корень стоит под ударением, пишем букву А.

Загоратьть, поставим ударение: загорАть. Ударение падает не на корень. Значит, без ударения пишется корень –

гор-.
заг..рать – загорать; загар

Загар. Корень стоит под ударением, пишем букву А.

творение,  поставим ударение: творЕние. Ударение падает не на корень. Значит, без ударения пишется корень –твор-.
тв..рение – творение; творчество

Творчество. Корень стоит под ударением, пишем букву О.

Исключения из этого правила — слова: изгарь, пригарь, выгарки; утварь.

 

В корнях –зар/-зор-, -плав-/плов— без ударения пишется буква А, под ударением та гласная, что слышится. Например:

З..ря – заря; зорька

Заря,  поставим ударение: зарЯ. Ударение падает не на корень. Значит, без ударения пишется корень –зар-.

Зорька. Корень стоит под ударением, пишем букву О.

 

Попл..вок – поплавок; плавание

Поплавок,  поставим ударение: поплавОк. Ударение падает не на корень. Значит, без ударения пишется корень –плав-.

Плавание. Корень стоит под ударением, пишем букву А.

 

Исключение из этого правила — слова: зоревать; пловец, пловчиха.

 

Правописание зависит от конечной согласной корня:

Правописание зависит от конечной согласной корня
Корень	Правило	Исключения
-лож-/-лаг-
-раст-/-ращ-/-рос-		отрасль, росток, ростовщик, Ростов, Ростислав, на вырост, выросток
-скак-/-скоч-		скачок,  скачу

 

В корнях -лож-/-лаг-, -раст-/-ращ-/-рос-, -скак-/-скоч- правописание гласных зависит от конечной согласной корня. Эти корни надо запомнить. Например:

сл..гаемое – слагаемое

Слагаемое. Корень заканчивается на «г», значит, пишется корень –лаг-.

р..стение – растение

Растение. Корень заканчивается на «ст», значит, пишется корень –раст-.

Подскочить. Корень заканчивается на «ч», значит, пишется корень –скоч-.
подск..чить – подскочить

 

Исключения из этого правила — слова: отрасль, росток, ростовщик, Ростов, Ростислав, на вырост, выросток; скачок,  скачу.

 

Правописание зависит от суффикса

–а-:

Правописание зависит от суффикса –а-
Корень	Правило
-кос-/-кас-	-кас- + -а- -кос-

 

В корне –кос-/-кас- пишется А, если после корня следует суффикс –а-. Пишется О, если после корня нет суффикса –а-. Например:

к..сание – касание

Касание. После корня есть суффикса –а-. Значит пишется корень –кас—

 

Правописание зависит от значения:

Правописание зависит от ударения
Корень	Правило	Исключения
-мок-/-мак-	-мак-: ‘погружать, опускать во что-то’ -мок-: ‘пропускать, впитывать жидкость, становиться мокрым, влажным’
-ровн-/-равн-	-равн-: ‘одинаковый, равный, такой же, наравне’ -ровн-: ‘прямой, без изгибов; гладкий, без возвышенностей’	равнина, поровну

 

В корнях -мок-/-мак-, -ровн-/-равн- правописание гласных зависит от значения.

 

Пишется -мак— в значении ‘погружать, опускать во что-то’. Пишется -мок- в значении ‘пропускать, впитывать жидкость, становиться мокрым, влажным’. Например:

обм..кнуть блин в варенье – обмакнуть.

Обмакнуть блин в варенье. Значение ‘погружать, опускать во что-то’. Значит, пишется корень –мак-.

 

нам..кать под дождем — намокать

Намокать под дождём. Значение ‘становиться мокрым, влажным’. Значит, пишется корень –мок.

 

Пишется -равн— в значении ‘одинаковый, равный, такой же, наравне’. Пишется -ровн- в значении ‘прямой, без изгибов; гладкий, без возвышенностей’. Например:

ср..внять условия — сравнять

Сравнять условия. Значение ‘одинаковый, равный, такой же’. Значит, пишется корень –равн-.

пор..внять грядку — поровнять

Поровнять грядку. Значение ‘гладкий, без возвышенностей’. Пишется корень –ровн-.

Исключения из этого правила — слова: равнина, поровну.

 

Повторим

Правописание зависит от ударения
Корень	Правило	Исключения
-клан-/-клон-	Без ударения – О; Под ударением – та гласная, что слышится
-гар-/-гор-		изгарь, пригарь, выгарки
-твар-/-твор-		утварь
-зар-/-зор-	Без ударения — А	зоревать
-плав-/-плов-		пловец, пловчиха

Правописание зависит от конечной согласной корня
-лож-/-лаг-
-раст-/-ращ-/-рос-		отрасль, росток, ростовщик, Ростов, Ростислав, на вырост, выросток
-скак-/-скоч-		скачок,  скачу

Правописание зависит от суффикса –а-
-кос-/-кас-	-кас- + -а- -кос-

 

 

Правописание зависит от ударения
-мок-/-мак-	-мак-: ‘погружать, опускать во что-то’ -мок-: ‘пропускать, впитывать жидкость, становиться мокрым, влажным’
-ровн-/-равн-	-равн-: ‘одинаковый, равный, такой же, наравне’ -ровн-: ‘прямой, без изгибов; гладкий, без возвышенностей’	равнина, поровну

 

В корнях –клан-/-клон-, -гар-/-гор-, -твар-/-твор— без ударения пишется буква О, под ударением та гласная, что слышится.

Исключения: изгарь, пригарь, выгарки; утварь.

 

В корнях –зар/-зор-, -плав-/плов— без ударения пишется буква А, под ударением та гласная, что слышится.

Исключениея: зоревать; пловец, пловчиха.

 

В корнях -лож-/-лаг-, -раст-/-ращ-/-рос-, -скак-/-скоч- правописание гласных зависит от конечной согласной корня.

Исключения: отрасль, росток, ростовщик, Ростов, Ростислав, на вырост, выросток; скачок,  скачу.

 

В корне –кос-/-кас- пишется А, если после корня следует суффикс –а-. Пишется О, если после корня нет суффикса –а-.

 

В корнях -мок-/-мак-, -ровн-/-равн- правописание гласных зависит от значения.

Пишется -мак— в значении ‘погружать, опускать во что-то’. Пишется -мок- в значении ‘пропускать, впитывать жидкость, становиться мокрым, влажным’.

Пишется -равн— в значении ‘одинаковый, равный, такой же, наравне’. Пишется -ровн- в значении ‘прямой, без изгибов; гладкий, без возвышенностей’.

Исключения: равнина, поровну.

Корни с чередованием гласных — Правило

Упражнения к правилу

Слова с безударной гласной в корне можно разделить на три группы по способу проверки:

Слова с чередующейся гласной в корне. Необходимо запомнить эти корни, а также условия выбора в них гласных.

Слова с безударной гласной в корне, проверяемой ударением, например: морской — мо́ре, мясной — мя́со, грибы — гри́б.

Слова с непроверяемыми написаниями, которые нужно сверять по словарю и запоминать, например: соба́ка, ветера́н, неде́ля.

Перечень корней с чередованием и условий выбора гласной в них

Выбор гласной в корне в зависимости от согласной

лаг — лож

излагать — изложение, возлагать — возложение

раст (ращ) — рос

подрастать — подросли, приращение — приросли

Слова-исключения: Ростов, Ростислав, росток, ростовщик, но отрасль.

скак — скоч

прискакать — подскочил, обскакал — проскочил

Слова-исключения: скачок, скачу.

Выбор гласной зависит от ударения

га́р — гор (без ударение о, под ударением а)

зага́р — загорать, га́рь — горелка

зар — зо́р (без ударения а, под ударением о или а)

заря — зо́ри, зарница — зо́рька

Слово-исключение: зоревать.

клан — клон (без ударения о, под ударением о или а)

приклони́ть — кла́няться, склоне́ние — покло́н

Выбор гласной зависит от наличия суффикса -а-

бира — бер

убирать — уберу, собирать — соберу

дира — дер

выдирать — выдернуть, раздирать — раздеру

пира — пер

запирать — запереть, упираться — упереться

тира — тер

вытирать — вытерли, затирать — затереть

мира — мер

умирать — умереть, замирать — замереть

блиста — блест

блистать — блестеть, заблистать — заблестеть

стила — стел

подстилать — подстелить, перестилать — перестелить

жига — жег (жечь)

выжигать — выжегший, прижигать — прижечь

чита — чет

вычитать — вычесть, подсчитать — подсчёт

каса — косн

прикасаться — прикоснуться, касательная — коснётся

Выбор гласной зависит от значения слова

равн — ровн

равн → в словах со значением «равный», «одинаковый»
уравнение, поравняться, наравне

ровн → в словах со значением «ровный», «прямой», «гладкий»
выровнять, заровнять, разровнять

мак — мок

мак → в словах со значением «погружать в жидкость»
макать хлеб в мёд, обмакнуть кисть в краску

мок → в словах со значением «пропускать жидкость»
вымокнуть под дождём, замочить бельё

Примечание.
К корням с чередованием также относятся корни ча — чин, мя — мин, жа — жим, ня — ним, кля — клин.
Буква и в них пишется, если после корня находится суффикс -а-.

начать — начинать, примять — обминать, нажать — отжимать, принять — занимать, заклятие — проклинать

Примечание.
В корнях плав — плов всегда пишется плав: плавить, плавать, поплавок, выплавка.

Корень плов пишется в словах-исключениях: пловец, пловчиха, пловцы.

Примечание.
В корнях твар — твор всегда пишется твор: творить, творец, творение.

Корень твар пишется в словах-исключениях: тварь и утварь.

Корни с чередованием О-А и Е-И

1. Корни с чередованием

О-А
Е-И
Правописание зависит от
ударения
значения(смысла)
последующих
согласных и
гласных

3. Ударение

что слышим
ЗАР-/-ЗОР-зори —зарево — заря
А
Исключение: зоревать
-плав-/-плов-без ударения О пишется только в словах: пловец, пловчиха.

4. Ударение

А
-ГАР-/-ГОР-гарь – гореть
о
-КЛАН-/-КЛОН-кланяться — поклон
-ТВАР-/-ТВОР-тварь — творить
Исключение: выгарки
Исключение: утварь

5. Согласные и гласные

-ЛАГ-/-ЛОЖ-
-РАСТ- (-РАЩ-)/-РОС-
-СКАК-/-СКОЧ-
Г
А
ст\щ
А
К
А
Ж
О
…
О
Ч
О
расти, сращение, росла
предлагать — предложение
Исключение: полог леса
Исключения: росток,
ростовщик,
Ростислав из
Ростова работает
в отрасли.
скакать ― вскочить.
Исключения: скачок,
скачу

6. Согласные и гласные

А
и
…
Е
-БЕР-/-БИР-изберу — избирать
-ДЕР-/-ДИР-раздеру—раздирать
-МЕР-/-МИР-замереть — замирать
-ПЕР-/-ПИР-запереть — запирать
-ТЕР-/-ТИР-стереть — стирать
-БЛЕСТ-/-БЛИСТ-блестеть — блистать
-ЖЕГ-/-ЖИГ-выжегший — сжигать
-СТЕЛ-/-СТИЛ-стелить — расстилать
-ЧЕТ-/-ЧИТ-прочитать — прочесть
Исключения: сочетать, сочетание
Повнимательней гляди: если в слове имя Ира, значит, в корне буква И!

7. Согласные и гласные

А
А
-КАС-/-КОС-касаться — коснуться
Исторические чередования:
А
им\ин
…
а\я
замИнАть, зажИмАть
Обнимать – обнять
Вычитать – вычесть
Начинать — начать
замять, зажать

8. смысл

-МАК-/-МОКМАК
«погружать в жидкость»,
«опускать в жидкость, макать»
МОК
«пропускать жидкость»,
«мокнуть»
макать (хлеб в молоко) ― вымокнуть (под дождем)

9. смысл

-РАВН-/-РОВНРАВН
«равный, одинаковый,
подобный, тождественный»
РОВН
«ровный, гладкий, прямой»
Исключение: равнина
выровнять (поверхность) ― сравнивать.

10. смысл

-плав- — -плов- — -плыв-
О
ТОЛЬКО
плОвец и плОвчиха
пловчата
Ы
А
ТОЛЬКО
плЫвуны
плАвучесть, поплАвок
…

11. тестики…

Определите слово, в котором пропущена безударная чередующаяся гласная корня.
Выпишите это слово, вставив пропущенную букву.
1) д..скуссия
2) п..лисадник
3) сп..собность
4) приподн..маться
5) адр…сат
1) выпл..влять
2) прив..легия
3) приор..тет
4) перет…рать
5) уг..релый
1) ск..льзит
2) м..локо
3) пар…докс
4) ф..лология
5) несг..раемый
1) возг..раемость
2) пл…вун
3) апл..дисменты
4) забл..стать
5) удес..терить
1) соч..тание
2) т..готение
3) прокл..мация
4) эл..мент
5) вспом..навший
1) прибл..жение
2) зап..рать
3) патр..от
4) ум…рает
5) раст..рание

Чередование гласных в корне слов. Исключения

Правило проверки безударных гласных ударением не работает для корней с чередующимися гласными. Правописание чередующихся гласных в корне слов регулируется особыми правилами.

В корнях под ударением всегда пишется та гласная, которая слышится.

В корнях  плав-  и  плов-  пишется буква  а, например:

плавать,  поплавок,  плавить,  плавильня.

Исключения составляют только слова:  пловец,  пловчиха,  пловцы.

Гласная зависит от суффикса -а-

В корнях с чередованием букв  и  и  е  гласная в корне слова зависит от присутствия в нём суффикса  -а-. Суффикс  -а-  также влияет и на правописание корней  -кас-  и  -кос- .

Корни	Правило	Пример
кас – кос	Если за корнем следует суффикс  -а- , то и в корне слова будет буква  а.	касаться коснуться
бир – бер	Если за корнем следует суффикс  -а- , то в корне пишется буква  и.	собирать соберу
мир – мер		замирать замереть
пир – пер		запирать запереть
тир – тер		подтирать подтереть
стил – стел		застилать застелю
жиг – жег		сжигать выжег
чит – чет		вычитать недочёт
блист – блест		блистать блестеть
дир – дер		выдирать выдеру

Исключения:  сочетание,  сочетать,  чета.

Гласная зависит от ударения

В корнях  -гар-  и  -гор-,  -зар-  и  -зор-,  -клан-  и  -клон-,  -твар-  и  -твор-  правописание гласной в корне зависит от ударения.

В корнях  -гар-  и  -гор-  под ударением пишется буква  а, без ударения —  о, например:

зага́р – загоре́ть.

В корнях  -зар-  и  -зор-  под ударением пишется буква, которая слышится, без ударения —  а, например:

заря́ – зо́ри.

Исключения:  зоря́нка,  зорева́ть.

В корнях  -твар-  и  -твор-,  -клан-  и  -клон-  под ударением пишется буква, которая слышится, без ударения —  о, например:

творе́ц – тва́рь – твори́ть,

клони́рование – кла́няться – покло́н.

Гласная зависит от согласной

В корнях  -лаг-  и  -лож-,  -раст- (-ращ-)  и  -рос-,  -скак-  и  -скоч-  правописание гласной в корне зависит от следующей за ней согласной буквы.

В корнях  -лаг-  и  -лож-  перед  г  пишется  а, перед  ж  —  о, например:

слагать – сложить,

прилагать – приложить.

В корнях  -раст- (-ращ-)  и  -рос-  перед  ст  и  щ  пишется  а, во всех остальных случаях —  о, например:

выращивать,  вырастить,  выросли.

Исключения:  отрасль,  росток,  Ростов,  Ростислав,  ростовщик.

В корнях  -скак-  и  -скоч-  перед  к  пишется  а, перед  ч  —  о, например:

скакал – вскочил.

Исключения:  скачок,  скачу.

Корни с чередованием ИМ, ИН

В корнях  -ча-  и  -чин-,  -мя-  и  -мин-,  -жа-  и  -жин-,  -ня-  и  -ним-,  -кля-  и  -клин-  буква  и  пишется, если после корня следует суффикс  -а-, например:

начал – начинаем,

мять – сминать,

сжать – сжимать,

принять – принимать,

проклятие – заклинание.

Таблица «Корни с чередующимися гласными» | Учебно-методический материал по русскому языку на тему:

Корни с чередующимися гласными А/О

1. Зависимость от ударения

Корни	Правило	Примеры	Исключения
Гар-/гор-	Независимо от того, какой гласный пишется под ударением (а или о), в безударном положении пишется о.	Зага́р – загорелый, угореть, погорелец.	Пригарь, изгарь, выгарки.
Клан-/клон-		Кла́няться, покло́н – поклониться, склонять, наклонение, склонение.
Твар-/твор-		Тва́рь, тво́рчество – творить, сотворить, претворить, притвориться.	Утварь.
Зар-/зор-	Независимо от того, какой гласный пишется под ударением (а или о), в безударном положении пишется а.	За́рево, зо́рька – заря, зарница, озарять.	Зоревать, зорянка.
Плав-/плов-	Независимо от того, какой гласный пишется под ударением (а, о, илиы), в безударном положении пишется а.	Пла́вать, плы́ть – плавучесть, поплавок, жук-плавунец.	Пловец, пловчиха; плывуны

2. Зависимость от конечных согласных корня

Корни	Правило	Примеры	Исключения
Раст- Ращ-/рос-	Перед ст и щ пишется а, перед с пишется о.	Расти, растение, выращивать, наращение – выросший, заросли, поросль.	а) Ростов, Ростислав, росток, ростовщик, выросток (и производные от них, например:ростовщический). б) отрасль (и производные от них, например:отраслевой).
Скак-/скоч-	Независимо от того, какой гласный пишется под ударением (а или о), в безударном положении перед кпишется а, перед ч пишется о.	Скакать, проскакать, на скаку – выскочка, заскочить, выскочить.	Скачу, скачок, скачи, вскачь.
Лаг-/лож-	Перед г пишется а, перед ж пишется о.	Слагаемое, полагать, разлагать – сложить, положить, разложить.	Полог.

3. Зависимость от наличия суффикса -а-

Корни	Правило	Примеры
Кас-/кос-	Если за корнем следует суффикс -а-, то в корне пишется а, если суффикса нет, то в корне пишется о.	Касаться, касательная – коснуться, прикоснуться.

4. Зависимость от значения

Корни	Правило	Примеры	Исключения
Мак-/мок-	Корень мак- (мач-) пишется в словах, имеющих значение «погружать в жидкость». Корень мок- (моч-) пишется в словах, имеющих значение «пропускать жидкость, становиться мокрым».	Обмакнуть перо в чернила («погрузить»), макать хлеб в сметану («погружать») –промокнуть пятно («пропустить жидкость»), промокательная бумага(«пропускающая жидкость»), смочить («сделать мокрым»).
Равн-/ровн-	Корень равн- пишется в словах, имеющих значение «одинаковый, наравне, равный». Корень ровн- пишется в словах, имеющих значение «гладкий, прямой».	Поравняться («оказаться на одной линии, в одинаковом положении»), уравнение(«математическое равенство») – подровнять кусты («сделать ровными»),разровнять песок («сделать ровным, гладким»).	Равнина, поровну, уровень, ровесник.

Корни с чередующимися гласными И/Е

Корни	Правило	Примеры
Бир-/бер-	Если за корнем следует суффикс -а-, то в корне пишется и, если суффикса нет, то в корне пишется е. .	Забирать – заберу.
Жиг-/жег-		Выжигать – выжегший.
Стил-/стел-		Застилать – постелить.
Блист-/блест-		Блистать – блестеть.
Мир-/мер-		Умирать – умереть.
Тир-/тер-		Стирать – стереть.
Дир-/дер-		Раздирать – раздерёт.
Пир-/пер-		Запирать – запереть.
Чит-/чет-		Вычитать – вычеты. Исключения: сочетание, сочетать, чета.

Обратите внимание!

1) Чередование и/е в корнях мир-/мер- характерно только для слов со значениями «мёртвый», «умирать», «замереть, стать неподвижным» и т.п.

Вымирать – вымереть, замирать – замереть.

В словах с корнем мир- со значением «отсутствие войны, вражды» всегда пишется и.

Мир, мирный, усмирять.

В словах с корнем мер- со значением «мерить, измерять» всегда пишется е.

Мерить, измерять, примерять платье, мерило.

2) Чередование и/е в корнях пир-/пер- характерно только для слов со значениями «закрыть», «открыть», «двигать», «выдаться вперёд, выдавиться» и т.п.

Запирать – запереть, отпирать – отпереть, выпирать – выпереть.

В словах с корнем пир- со значением «обильное угощение, пиршество» всегда пишется и.

Пир, пировать.

Чередование A(Я)/им(ин)

Корни	Правило	Примеры
Корни с чередованиема(я)/им(ин)	Если за корнем следует суффикс -а-, то в корне пишетсяим(ин), если суффикса нет, то в корне пишется а/я.	Пожимать – пожать, нажимать – нажать, разминать – размять, понимать – понять, начинать – начать, поминать – память.

МХК, русский язык и литература

Чередование звуков в корне слова. При образовании и изменении слов, в корне слова может происходить чередование отдельных звуков (гласных и согласных) и сочетаний звуков, например: друг — дружок; сухой — сушить; бегу — бежишь, берег — прибрежный, сторона — страна, оболочка — облако — облачный.

Читать далее →

Рубрика: Готовимся к экзаменам, Русский язык | Метки: ЕГЭ и ГИА, корень, орфограмма |

На сайте ФГБНУ «ФИПИ» (Федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Федеральный институт педагогических измерений») в открытом банке заданий ЕГЭ (единый государственный экзамен) Читать далее →

Рубрика: Готовимся к экзаменам, Русский язык | Метки: ЕГЭ и ГИА, морфемика, приставки, ученикам |

Особую группу образуют две приставки: при- и пре-
Почему эти приставки в одной группе? Потому что у них свое основание для правописания — смысл. Почему приставки при- и пре- самые трудные? По двум причинам. Читать далее →

Рубрика: Готовимся к экзаменам, Русский язык | Метки: ЕГЭ и ГИА, морфемика, приставки, ученикам |

Гласными в корне командует смысл слова 

Есть две пары корней, в которых чередованием о – а командует смысл слов. Это -ровн- — —равн- и -мок- (-моч-) — —мак-.
Рассмотрим первую пару. Предметы вокруг нас могут быть ровными, а могут быть равными. Как по-вашему. это одно и то же или нет? Читать далее →

Рубрика: Готовимся к экзаменам, Русский язык | Метки: ЕГЭ и ГИА, корень, орфограмма |

Орфограмма с девчачьим именем -ира- – -ер-.

В некоторые слова «забралось» сочетание букв, похожее на девчачье имя Ира. Сочетание складывается из части корня -ир- и идущего за ней суффикса -а-. Этот суффикс любит командовать гласным звуком в некоторых корнях. Если -а- стоит за корнем, то в корне пишется и. Читать далее →

Рубрика: Готовимся к экзаменам, Русский язык | Метки: ЕГЭ и ГИА, корень, орфограмма |

Корни с чередующимися гласными делятся на несколько групп.

Первая группа – это корни с чередованием полногласных и неполногласных сочетаний. Найдите похожие слова в предложении «Вратарь замер в воротах, готовясь отбить мяч». Вы, конечно, догадались: похожие слова – вратарь и ворота. Читать далее →

Рубрика: Готовимся к экзаменам, Русский язык | Метки: ЕГЭ и ГИА, корень, орфограмма |

В спецификации КИМ для проведения в 2019 году ЕГЭ по русскому языку, подготовленной ФГБНУ «ФИПИ», в обобщённый план варианта КИМ ЕГЭ 2019 года по русскому языку включены такие виды работы с языковым материалом речи и норм орфографии, как следующие проверяемые элементы содержания: Читать далее →

Рубрика: Готовимся к экзаменам, Русский язык | Метки: ЕГЭ и ГИА, орфограмма |

Надо признать, что предмет «русский язык» по сложности можно сравнить разве что с математикой. Трудности иногда вызывают у детей нежелание работать. Поэтому непременно нужно добавлять к урокам занимательный материал. Например, при изучении темы «Наречие» в качестве эмоционального приёма воздействия на восприятие можно использовать: Читать далее →

Рубрика: Готовимся к экзаменам, Русский язык | Метки: ЕГЭ и ГИА, методика, учителям |

Многие коллеги создают странички – сайты в портале «Инфоурок». Конечно, полноценными сайтами их назвать сложно. Но, в этом проекте ценно то, что он фактически перерос в международную учительскую социальную сеть, где огромное количество педагогов может обмениваться опытом, делиться мнениями, общаться и, наконец, публиковаться в СМИ. Ведь авторы проекта смогли заинтересовать посетителей своей работой так, что высокая посещаемость портала позволила им иметь такой высокий статус. Читать далее →

Рубрика: Литература, Русский язык | Метки: методика, ЭОР |

Михаил Глинка — выдающийся русский композитор, основоположник русской классической музыки (1 июня 1804 — 15 февраля 1857). Михаил Иванович Глинка родился 1 июня 1804 года в Смоленской губернии, в имении своего отца. Десяти лет он начал учиться игре на фортепьяно и скрипке. В 1817 году родители привозят Глинку в Петербург и помещают в Благородный пансион при Педагогическом институте. В Петербурге Глинка берет уроки у крупнейших музыкантов.

Читать далее →

Рубрика: Музыка | Метки: композитор, родителям, Россия, ученикам, учителям |

Всемирная картинная галерея с тётушкой Совой — это большой цикл мультипликационных программ, каждая из которых посвящена творчеству одного из мастеров кисти мирового уровня, а рассказ о нем — в виде увлекательной и познавательной сказки или истории,  Читать далее →

Рубрика: Музеи | Метки: родителям, ученикам, учителям, художник |

Йозеф Гайдн — австрийский композитор, представитель венской классической школы (31 марта 1732 — 31 мая 1809). Йозеф Гайдн родился 31 марта 1732 года в селе Рорау, недалеко от границы с Венгрией. Родители Гайдна увлекались музыкой и пением и рано обнаружили в сыне музыкальные способности. В 1737 году его отправили к родственникам в город Хайнбург-на-Дунае, где Йозеф стал учиться хоровому пению и музыке. В 1740 году Йозефа заметил директор капеллы венского собора св. Стефана.

Читать далее →

Рубрика: Музыка | Метки: композитор, родителям, ученикам, учителям |

Урок 39: Нули полиномиальных функций, часть II: Верхняя и нижняя границы, теорема о промежуточном значении, основная теорема алгебры и теорема о линейной факторизации Цели обучения После изучения этого руководства вы сможете: Определите, является ли данное число верхней или нижней границей корней многочлен функция. Используйте теорему о промежуточном значении, чтобы аппроксимировать действительные нули многочлен функции. Знайте, что если не действительное комплексное число является корнем многочлена функция что его сопряжение также является корнем. Знать, что такое основная теорема алгебры. Используйте теорему о линейной факторизации, чтобы найти многочлен n-й степени функция учитывая его нули. Введение В этом уроке мы рассмотрим несколько аспектов иметь дело с нули полиномиальных функций. Если вам нужен обзор того, как найти нули, теорема рационального нуля или правило знаков Декарта, бесплатно перейти к Урок 38: Нули Полиномиальный Функции, часть I. На этой странице мы немного углубимся в понятие нулей.Одна вещь, которую мы рассмотрим, — это найти в оценки сверху и снизу корней полиномиальной функции. Этот может помогите нам сузить возможности рациональных нулей. Другой Концепция на этой странице — это теорема о промежуточном значении. Это может помочь сузить возможности реальных нулей, особенно тех, которые земля между целыми значениями. Так же будем работать с ненастоящими сложный числа. Знаете ли вы, что если не действительное комплексное число равно нулю полиномиальной функции, что и ее сопряженная? Мы буду следовать за этим, используя фундаментальную теорему алгебры и Линейный Теорема факторизации, чтобы найти полиномиальные функции с учетом нулей. Вот это да, Похоже, у нас уже есть работа. Я думаю тебе лучше начать. Учебник Верхняя и нижняя границы Теорема . Верхняя граница Если разделить полиномиальную функцию f ( x ) по ( x — c ), где c > 0, используя синтетическое деление, и это дает все положительные числа, тогда c — это верхняя граница действительных корней уравнения f ( x ) = 0. Обратите внимание, что две вещи должны произойти для c до быть верхней границей. Один — c > 0 или положительный. Во-вторых, все коэффициенты частного, а также остаток положительные. Нижняя граница Если разделить полиномиальную функцию f ( x ) по ( x — c ), где c <0, используя синтетическое деление, и это дает чередующиеся знаки, тогда c является нижней границей действительных корней уравнения f ( x ) = 0.Особое внимание следует обратить на то, что нули могут быть либо положительными, либо отрицательный. Обратите внимание, что две вещи должны произойти для c до быть нижней границей. Один — c <0 или отрицательный. Другой заключается в том, что последовательные коэффициенты частное а остальные имеют чередующиеся знаки. Пример 1 : Показать, что все действительные корни уравнения лежат между — 4 и 4. Другими словами, нам нужно показать, что — 4 — это меньшее связаны и 4 оценка сверху действительных корней данного уравнения. Проверка Нижняя граница: Давайте применим синтетическое разделение с — 4 и посмотрим, получим ли мы чередующиеся знаки: Обратите внимание, как c = -4 <0 И последующие знаки в нижнем ряду нашего синтетического дивизиона заместителя . Вы знаете, что это значит? — 4 — нижняя граница действительных корней этого уравнение. Проверка Верхняя граница: Давайте применим синтетическое деление с 4 и посмотрим, получим ли все положительные результаты: Обратите внимание, как c = 4> 0 И все знаков в нижнем ряду нашего синтетического подразделения положительный. Вы знаете, что это значит? 4 — верхняя граница действительных корней этого уравнение. Поскольку — 4 — нижняя граница, а 4 — верхняя граница для настоящие корни уравнения, то это означает, что все действительные корни уравнения лежат от — 4 до 4. Промежуточная ценность Теорема . Если f ( x ) — это полиномиальная функция и f ( a ) и f ( b ) имеют разные знаки, то есть не менее один значение, c , между a и b таким образом, что f ( c ) = 0. Другими словами, когда у вас есть полиномиальная функция и одно входное значение заставляет функцию быть положительной, а другую отрицательной, тогда там имеет между ними должно быть хотя бы одно значение, вызывающее полином функция быть 0. Это работает, потому что 0 отделяет плюсы от негативы. Итак, чтобы перейти от положительного к отрицательному или наоборот, вам придется ударить промежуточная точка, которая проходит через 0. Пример 2 : Показать, в котором реальный ноль находится в диапазоне от 2 до 3. Используйте промежуточное значение. теорема чтобы найти приближение этого нуля с точностью до десятых. При поиске функциональных значений вы можете использовать синтетическое подразделение или напрямую вставьте номер в функцию.Поскольку мы будем только интересно узнать функциональную ценность этой проблемы, я идущий чтобы напрямую подключить мое значение x к функция. Если бы мне нужно было больше, например, знаки частного, например выше, тогда я бы использовал синтетическое деление. Находка ф (2): Находка ф (3): Поскольку есть изменение знака между f (2) = -2 и f (3) = 5, то согласно Intermediate Теорема о значении , существует по крайней мере одно значение от 2 до 3, которое является нулем этой полиномиальной функции. Проверка функциональных значений с интервалом в одну десятую для смены знака: Находка ф (2.1): Находка f (2.2): Находка f (2.3): Находка ф (2.4): Находка f (2,5): Привет, у нас поменяна вывеска !!!!! Теперь мы хотим найти ноль с точностью до десятых. Так оно и есть должно быть x = 2,4 или x = 2,5. Мы не всегда можем ориентироваться на функциональную ценность ближе до нуля. Нам нужно будет копнуть немного глубже и пройти мимо интервалы сотых: Уф !!!! Наконец мы подошли к смене знака между последовательный сотые.Это означает, что мы немного сузили его лучше. Между 2,44 и 2,45 находится ноль. Поскольку он приземлится чуть ниже 2,45, ближайший десятый будет быть 2,4. Работа здесь несложная, просто утомительная. Основная теорема Алгебра Каждое уравнение полиномиальной функции f ( x ) = 0 степени один или выше имеет по крайней мере один комплексный корень. Имейте в виду, что комплексные числа включают действительные числа. Настоящий числа — это комплексные числа, мнимая часть которых равна 0. В уравнениях полиномиальных функций невещественные комплексные корни всегда происходит в сопряженных парах. Другими словами, если комплексное число с мнимой часть является корнем уравнения полиномиальной функции, то сопряженная к нему также является корнем та же функция. Помните, что конъюгат a + bi — это a — bi . Итак, если 2 + 3 i — известный корень многочлен уравнение функции, то 2 — 3 i тоже. Если вам нужен обзор комплексных чисел, не стесняйтесь to Учебное пособие 12: Комплексные числа. Линейная факторизация Теорема . Если где n > 1 и , затем где являются комплексными числами (возможно, действительными и не обязательно отчетливый) Другими словами, полиномиальная функция степени n , где n > 0, можно разложить на множители на n (не обязательно разные) линейные множители над комплексным числом поле. Имейте в виду, что некоторые факторы могут иметь место более чем в одном время. Для каждый раз, когда появляется линейный коэффициент, он считается линейным фактор. Например, если, линейный коэффициент ( x + 2) имеет множественность 3, что означает, что множитель встречается трижды. Так технически есть 4 линейных фактора, один ( x — 3) и три ( x + 2).Это соответствует степень полиномиальной функции. Пример 3 : Используйте данный корень, чтобы найти все корни многочлен уравнение; 1 + и . Поскольку комплексное число 1 + i является корнем, это означает, что конъюгат 1 — i также является корнем.Это поможет нам разбить функцию, чтобы найти любые другие корни. Это делается так же, как когда вам дают настоящий ноль. Если вам нужен обзор по поиску корней многочлена уравнение f ( x ) = 0 при наличии рута, не стесняйтесь переходить к Tutorial 37: Синтетическое деление и теоремы об остатке и множителях. Используя синтетическое деление, найдите частное, которое мы получить: Фу !!! Посмотрите на все эти комплексные числа в частном. Не бойтесь, когда мы добавляем в наш конъюгат, используя это частное, те сложный числа исчезнут, и у нас останется хорошее частное с настоящий числовые коэффициенты. Проверьте это: Теперь мы куда-то идем.Отсюда мы можем переписать оригинал проблема с использованием корней, которые у нас есть выше, и частного, который мы закончился в этом последнем синтетическом дивизионе. * Первые два множителя: x минус комплексные нули * Третий множитель — это частное найдено напрямую выше * Данный комплекс нулевой * Сопряженный ноль * Установка 3-го фактора = 0 Итак, корни полиномиального уравнения равны 1 + i , 1 — и и -3/5. Пример 4 : Фактор а) как произведение факторов, неприводимых над рациональными числа б) как произведение множителей, которые не сводятся к действительным числам, и в) в полностью факторизованной форме, включающей комплексные не действительные числа. Фактор как произведение факторов, которые неприводимый над рациональным номера: Так как 11 не является идеальным квадратом, это насколько мы может это учитывать используя только рациональные числа. Фактор как произведение несводимых факторов над вещественными числами: Знаете ли вы, что сумму квадратов можно разложить на множители? над комплексом нереальные числа как? Полностью факторизованная форма, включающая сложные нереальные номера: Обратите внимание, как однажды мы разложили на множители комплексные числа что мы закончили с четырьмя линейными множителями и что наш многочлен был четвертой степени. Создание полинома Функция при наличии Нули Теперь обратимся. В следующий два примера, нам будут даны нули и степень полиномиальной функции, и мы нужно будет узнать, что это за многочлен. Шаг 1. Используйте данный нулей и теоремы о линейной факторизации, чтобы выписать все факторы полиномиальной функции. Имейте в виду, что если вам дадут ненастоящий комплексный ноль, что его сопряженный также является нулем. Также имейте в виду, что степень говорит вам, как много линейных факторов над комплексными числами (возможно, действительными и не обязательно различными) тот у вас будет. Коэффициенты записываются следующим образом: если c равно нулю, то ( x — c ) является фактором полиномиальной функции. Шаг 2: Умножьте все факторы, найденные на шаге 1. Пример 5 : Найдите степень n многочлен функция, где n = 3; 2 + 3 i и 4 — нули; f (3) = -20. Так как наша степень 3, это означает, что есть три линейные коэффициенты над комплексные числа (возможно, действительные и не обязательно различные). Обратите внимание, что нам даны только два нуля. Нам нужно придумать третий. У тебя есть идеи? Ах да, если не действительное комплексное число равно нулю, то его конъюгат тоже ноль.Поскольку 2 + 3 i является нуль, это означает, что 2 — 3 i также являются нулем. Используя теорему о линейной факторизации , мы получить: Шаг 2: Умножить все факторов, найденных на шаге 1. * Расст.- через комп. числа * Умножить комп. коэффициенты * Упростить ( i в квадрате = -1) * Умножение оставшихся множителей Эта проблема привела к другому условию: f (3) = -20. Это поможет нам найти в этой проблеме. * f (3) = -20 * Решить для a sub n Собирая все вместе, получаем: Практические задачи Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшим спортсменам и музыкантам помогали на протяжении всего пути. практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики. Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны решить проблему на свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа. Практика Задача 1а: Показать, что все настоящие корни данное уравнение лежат между -3 и 4. Практика Задача 2a: Покажите, что данный многочлен имеет настоящий ноль между заданные целые числа.Используйте теорему о промежуточном значении, чтобы найти приближение для этого нуля с точностью до десятых. Практика Проблема 3a: Используйте данный корень, чтобы найти все корни заданное полиномиальное уравнение. Практика Задача 4a: Разложите данный многочлен на множители функция а) как произведение множителей, неприводимых по рациональным числам, б) при в произведение множителей, которые не сводятся к действительным числам, и c) в полностью факторизованная форма, включающая комплексные не действительные числа. Практика Задача 5a: Найти многочлен n -й степени функционировать с в данных условиях Нужна дополнительная помощь по этим темам? Последний раз редактировал Ким Сьюард 15 марта 2012 г. Авторские права на все содержание (C) 2002 — 2012, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Правило знаков Декарта — ChiliMath

Цель правила знаков Декарта — дать представление о том, сколько действительных корней может иметь многочлен P \ left (x \ right). Нас интересуют два вида действительных корней, а именно положительных и отрицательных действительных корней. Правило на самом деле простое.

Вот вкратце Правило знаков Декарта.

---

Расшифровка или объяснение правила знаков Декарта

Предположим, что P \ left (x \ right) является многочленом, в котором показатели расположены от наибольшего к наименьшему, с действительными коэффициентами, исключая ноль, и содержит ненулевой постоянный член.

Количество положительных действительных корней равно

• равно количеству смен знака в P \ left (x \ right)

• или , меньшему, чем количество смен знака в P \ left (x \ right) на некоторое кратное 2.

Число отрицательных действительных корней равно

• равно количеству смен знака в P \ left ({- x} \ right)

• или , что меньше количества смен знака в P \ left ({- x} \ right) на некоторые кратно 2.

Таким образом, если n — количество изменений знака в P \ left (x \ right) или P \ left ({- x} \ right), то количество положительных или отрицательных корней может быть равно n, n- 2, н-4, н-6 и др.

Обратите внимание, что мы начинаем с количества смен знака «n», затем мы продолжаем вычитать его на некоторое кратное 2 (положительные четные целые числа), например 2, 4, 6 и т. Д.

Прекращаем вычитание до тех пор, пока разница не станет 0 или 1. Вот и все!

---

Примеры для обоих случаев:

• Пусть P \ left (x \ right) имеет n = 7 количество смен знака, возможное количество положительных вещественных корней будет

7, 5, 3 или 1

• Пусть P \ left (x \ right) имеет n = 6 количество смен знака, возможное количество отрицательных действительных корней будет

6, 4, 2 или 0

---

Примеры правила знаков Декарта

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть это правило в действии!

Пример 1 : Найдите количество действительных корней многочлена, приведенного ниже, с помощью правила знаков Декарта.

Начните с четкой маркировки каждого члена многочлена. Я буду использовать красный цвет для положительного символа (+) и черный для отрицательного символа ( — ). Это позволит нам легко отслеживать смену знака.

Считается изменением знака , если два знака соседних коэффициентов переключаются (или чередуются). Например, он может изменяться от положительного к отрицательному или от отрицательного к положительному.

Для положительных вещественных корней :

Используйте саму данную функцию, потому что «x» в скобках P \ left (x \ right) положительный.

Есть два изменения знака, как показано стрелками. Поскольку n = 2, значит, имеется 2 или 0 положительных вещественных корней.

Для отрицательных действительных корней :

Используйте измененную версию функции P \ left ({- x} \ right), где «x» в скобках отрицательный.

Прежде чем подсчитать смену знака, нам потребуется некоторый побочный расчет. Подставьте «-x» в P \ left (x \ right), чтобы получить P \ left ({- x} \ right). Поехали…

А теперь посчитаем…

Есть три смены знака, указанные стрелками.Поскольку n = 3, значит, имеется 3 или 1 отрицательный действительный корень.

В качестве окончательного ответа мы говорим, что существует 2 или 0 действительных положительных корней и 3 или 1 действительных отрицательных корня.

Вот график полинома, показывающий, что наша «догадка» действительно верна! Фактически, он имеет два (2) положительных корня и три (3) отрицательных корня.

---

Пример 2 : Найдите количество действительных корней многочлена, приведенного ниже, с помощью правила знаков Декарта.

Прежде чем мы начнем с этой проблемы, я должен предупредить вас , а не , чтобы рассматривать это как задачу синтетического деления, где мы помещаем нули в недостающие степени x ‘.Пока многочлен упорядочен с убывающим числом показателей, этого достаточно.

Для положительных вещественных корней :

Используйте заданный многочлен и подсчитайте количество смен знака.

Есть три изменения знака для P \ left (x \ right), это означает, что может быть 3 или 1 положительных вещественных корней.

Для отрицательных действительных корней :

Вычислите -x в P \ left (x \ right), чтобы получить P \ left ({- x} \ right), затем подсчитайте изменение знака.

Существует только одно изменение знака для P \ left ({- x} \ right), это означает, что существует , ровно 1 отрицательный действительный корень.

Для нашего окончательного ответа есть 3 или 1 действительный положительный корень и ровно 1 отрицательный действительный корень.

---

Пример 3 : Найдите количество действительных корней (положительных и / или отрицательных) указанного ниже полинома.

Чтобы найти положительные корни :

Обратите внимание, что все члены многочлена положительны.

Поскольку знак P \ left (x \ right) не меняется, это означает, что многочлен имеет NO положительных вещественных корней.

Чтобы найти отрицательные корни :

Решите относительно P \ left ({- x} \ right), затем посчитайте изменение знаков.

Поскольку у нас есть семь (7) смен знака в P \ left ({- x} \ right), имеется 7, 5, 3 или 1 отрицательный действительный корень.

Для нашего окончательного ответа нет положительных действительных корней, а есть 7, 5, 3 или 1 отрицательный действительный корень.

---

Пример 4 : Найдите количество действительных корней многочлена (положительного и / или отрицательного) ниже.

Чтобы найти положительные корни :

Подсчитайте количество чередующихся знаков в P \ left (x \ right).

У нас есть шесть изменений знака, которые означают, что существует 6, 4, 2 или 0 положительных действительных корней.

Чтобы найти отрицательные корни :

Сначала решите относительно P \ left ({- x} \ right), затем подсчитайте вариации знаков.

Нет изменения знака в P \ left ({- x} \ right), что означает отсутствие отрицательных вещественных решений.

Есть 6, 4, 2 или 0 положительных действительных корней, и нет отрицательных действительных корней.

Синтетический дивизион — Некоторые хитрости

Вычислительные Уловки: Пример 1 (стр. 1 из 2)

---

Когда у вас есть графики калькулятор, вы можете быстро построить график заданного многочлена, и Получите хорошее представление о том, где находятся точки перехвата x (нули).Это полезно, потому что позволяет сэкономить время зря. попытки обнуления, которые не являются разумными. Итак, что вы будете делать, если у вас нет графический калькулятор? Неужели нужно пробовать все возможные корни что Рациональный Корни Тест мог выплюнуть?

Не обязательно. Там парочка приемов, которые можно использовать при работе с синтетическими деление и рациональные корни Контрольная работа.Вот пример:

• Найдите все корни 2 x ³ + 7 x ² — 16 x + 6.

Рациональное Тест корней дает следующий список возможных нулей:

Для Для сравнения, вот как выглядит график:

Как видите, есть нет x -перехватывания перед x = –6 и без x -перехватов после x = 2.Я бы предположил что нули немного раньше x = –5, прямо на x = ¹ / ₂ , и немного после x = 1. Я бы предположил что рациональный ноль будет равен x = ¹ / ₂ , а два других нуля будут иррациональными, порожденными квадратом корень в квадратичном Формула.

Но если у вас нет Графический калькулятор под рукой, у вас нет этой информации. Итак, давайте представим, что не знаем, как выглядит график, и попробуем x = –6 в качестве нашего теста. ноль:

Как видите, остаток не равно нулю, поэтому x = –6 не является решением из 2 x ³ + 7 x ² — 16 x + 6 = 0.Но я бы хотел, чтобы вы заметили еще кое-что: посмотрите на знаки на числа в нижнем ряду. Я разделил на негатив, а знаки на нижний ряд чередуется (плюс, минус, плюс, минус).

Отношения таковы: Если при использовании синтетического деления вы делите на минус и в итоге получаете с чередованием знаков в нижнем ряду, значит тестовый корень был слишком низким. (Это , а не , работает в обратном порядке! Иногда можно разделить на слишком низкую тестовый корень, но не получают чередующиеся знаки в нижнем ряду!)

А теперь попробуем завышенную тестовый корень.Я попробую x = 2 в качестве тестового нуля:

Как видите, остаток не равно нулю, поэтому x = 2 не является решением из 2 x ³ + 7 x ² — 16 x + 6 = 0. Но я бы хотел, чтобы вы снова обратили внимание на нижний ряд. Я разделил положительным, и все знаки в нижнем ряду положительные.

Отношения таковы: Если при использовании синтетического деления вы делите на положительный результат и получаете со всеми положительными числами в нижнем ряду, то тестовый корень тоже высокая.(Это , а не , работает наоборот! Иногда можно разделить слишком большим тестовым корнем, но не получают все положительные числа на нижний ряд!)

В любом случае «0» может считаться положительным или отрицательным (хотя технически это не так), в соответствии с каким шаблоном вы пытаетесь сопоставить. Например, если вы разделили на минус, и ваша нижняя строка была «1 –3 2 0 4 –5 «, тогда вы могли бы посчитать «0» как отрицательный, и знаки чередовались бы, говоря вам что ваш тестовый корень был слишком низким.Аналогичным образом, если бы вы разделили на положительный, и ваша нижняя строка была «1 3 2 0 4 5 «, тогда вы могли бы посчитать «0» как положительный, и все признаки были бы положительными, вы, что ваш тестовый корень был слишком высок. Copyright © Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены.

Предупреждение: это всего два шаблона.Если разделить на отрицательное и получить все положительные, все негативы или любой узор, кроме чередующихся знаков, затем внизу строка ничего вам не говорит. Вы не можете сделать вывод о том, действительно ли тестовый корень был слишком низким (или слишком высоким). Если разделить на положительное и получить все отрицательные, альтернативные знаки или любой образец, кроме всех положительных, тогда нижний ряд ничего вам не говорит. Вы не можете сделать вывод о был ли тестовый корень слишком высоким (или слишком низким).На практике это означает, что, как правило, нижний ряд мало что вам скажет!

Возвращаясь к проблеме в наличии:

Теперь я знаю, что x = –6 слишком мало. Где бы ни были мои нули, они выше x = –6. Так что теперь я попробуйте x = –2:

Нижний ряд не имеют чередующиеся знаки, поэтому я не могу сказать из этого, является ли x = –2 слишком низким (или слишком высоко).(Из рисунка мы знаем, что это ни то, ни другое — на самом деле это между двумя нулями — но мы не можем сказать это по синтетическому деление.)

Однако я могу сделать вывод что-то полезное из этого результата. Поскольку остаток для первого деление было –78, это означало, что f (–6) = –78, по остатку Теорема. Этот последнее деление говорит, что f (–2) = 50.Поскольку f (–6) отрицательно (то есть график находится ниже оси x ) при x = –6) и f (–2) положительно (то есть график находится выше оси x при x = –2), то график должен пересекать ось x где-то между x = –6 и x = –2. То есть там должно быть нулем f ( x ) = 2 x ³ + 7 x ² — 16 x + 6 между x = –6 и x = –2.Единственный кандидат (из моего списка) x = –3, поэтому попробую что:

Нет; независимо от нуля находится между x = –6 и x = –2, это не рационально. Однако, начиная с f (–3) = 63, что положительно, затем я сузил местоположение иррационального нуля: он будет быть в пределах от x = –6 до x = –3.

Мне еще нужно найти ноль, так что теперь я попробую x = 1, так как я знаю что x = 2 слишком велико:

Пока нижний ряд не все положительно (поэтому я не могу сделать вывод, что x = 1 слишком много), Я могу сделать вывод, что ноль должен находиться между x = 1 и x = 2, потому что f (1) = –1 отрицательно и f (2) = 18 положительно.Единственный рациональный кандидат — x = ³ / ₂ , так что я попробую это:

Нет; x = ³ / ₂ не ноль тоже. Таким образом, ноль между x = 1 и x = 2 должен быть другим. иррациональный корень из квадратичной формулы, пара к иррациональному корень между x = –6 и x = –3.Рациональный корень должен лежать в другом месте.

Начиная с f (–2) = 48 положительно и f (1) = –6 отрицательно (поэтому должен быть ноль между x = –2 и x = 1), один из x = ^–3 / ₂ , x = –1, x = ^{— 1} / ₂ и x = ¹ / ₂ должно быть рациональным нулем.

Примечание: Декарт Правило знаков говорит что есть один отрицательный корень и либо два, либо ноль положительных корней. Поскольку мы уже определили, что существует иррациональный корень между x = –6 и x = –3 (поэтому отрицательный корень уже был частично расположен), то любой рациональный корень должен будь позитивным. Следовательно, я могу пересечь x = ^–3 / ₂ , x = –1, и x = ^–1 / ₂ из моего списка возможных корней.

Хорошо, сейчас попробую x = ¹ / ₂ :

Ага! Я наконец нашел мой рациональный корень! И делим x = ¹ / ₂ (то есть делим множитель x — ¹ / ₂ ) оставляет мне квадратичную, которую я могу решить:

2 x ² + 8 x — 12 = 0

x ² + 4 x — 6 = 0

Тогда нули будут:

Эти полиномиальные решения проблемы обычно длинные и раздражающие.Вы, наверное, можете увидеть как просмотр графика может быть очень полезным! Но если у вас нет доступа к графическому калькулятору, вы можете (в конечном итоге) получить правильный отвечать. Я бы порекомендовал вам попрактиковаться, чтобы вы могли «почувствовать» как они работают. Так вы сможете быстро ответить на эти вопросы, и не тратьте слишком много времени на свои тесты.

Теперь давайте сделаем пример без графика….

Вверх | 1 | 2 | Возвращение к указателю Вперед >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Элизабет. «Синтетический дивизион — некоторые хитрости». Purplemath . Доступна с https://www.purplemath.com/modules/synthtrk.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

Что такое корни? | Альтернативные КОРНИ

Групповое фото на ROOTS Week 2019.Фото Мелисы Кардона.

Alternate ROOTS поддерживает создание и презентацию оригинального искусства, основанного на сообществе, месте, традициях или духе. Мы — группа художников и организаторов культуры, базирующаяся на Юге, вместе создающая лучший мир. Как Альтернативные КОРНИ, мы призываем к социальной и экономической справедливости и работаем над устранением всех форм угнетения повсюду.

Искусство • Сообщество • Активность

Alternate ROOTS — региональная * художественная организация с 44-летней историей.
Как национальный ресурс для художников и организаторов культуры, управляемый участниками, мы стремимся отстаивать социальную и экономическую справедливость и работу людей в нашей области.

Alternate ROOTS обеспечивает соединительную ткань для особого сегмента искусства и культуры — художников, которые стремятся работать в своих сообществах, вместе с ними, для них и для них, а также тех, чья культурная деятельность направлена ​​на социальную справедливость. Природа этой работы разносит нас далеко друг от друга, поэтому сотрудничество, совместное использование и совместное воздействие могут стать проблемой.Alternate ROOTS помогает нам поддерживать наше художественное развитие, повышать узнаваемость и стабильность как активистов-художников и организаторов культуры.

* Регион ROOTS охватывает южную часть Соединенных Штатов: Алабаму, Арканзас, Флориду, Джорджию, Кентукки, Луизиану, Мэриленд, Миссисипи, Северную Каролину, Южную Каролину, Теннесси, Техас, Вирджинию, Западную Вирджинию и Вашингтон, DC

Наша миссия

Alternate ROOTS — это организация, базирующаяся на юге США *, миссия которой заключается в поддержке создания и презентации оригинального искусства во всех его формах, основанного на определенном месте, традициях или духе.Как коалиция деятелей культуры мы стремимся быть союзниками в искоренении всех форм угнетения. ROOTS стремится к социальной и экономической справедливости и защите мира природы и решает эти проблемы с помощью своих программ и услуг.

Наша история

Alternate ROOTS была основана в 1976 году в центре Highlander Center в Нью-Маркет, штат Теннесси, чтобы удовлетворить особые потребности художников, которые работают во имя социальной справедливости, и художников, которые создают работы, для, вокруг и внутри сообществ места, традиции, принадлежности. , и дух.Первоначально аббревиатура от «Региональной организации театров Юга», ROOTS быстро зарекомендовала себя как идейный лидер в области общинного искусства и единственный региональный коллектив художников, приверженных социальной и экономической справедливости. В ответ на потребности растущей области искусства, основанного на сообществе, ROOTS превратилась в многопрофильную организацию, основанную на членстве и управляемую художниками. Художники-участники разрабатывают программы, а ROOTS предоставляет ресурсы для нужд этих социально сознательных художников.

Как организация прогрессивного искусства, ROOTS находится в авангарде создания типовых программ для региональных культурных организаций в США. ROOTS — это инкубатор для совместной демократии, и, применяя наши руководящие принципы, разработанные Ресурсами для социальных изменений — равноправное партнерство, совместная власть, открытый диалог, индивидуальные и общественные преобразования и эстетика прозрачных процессов — мы моделируем региональную организацию, которая реагирует на потребности этого уникального художественного сообщества и отражает их.

Посетите ЧЛЕНСКАЯ ЗОНА, чтобы узнать больше или присоединиться.

Кен Монкс | Профессор математики

• Завершить работу над итоговым экзаменом по курсовой работе. Следуйте инструкциям в папке Dropbox. Поместите последнюю копию в папку Dropbox до 17:15 в четверг, 20 мая. Мы встретимся в нашем классе Zoom в 17:15 в четверг, 20 мая, чтобы обсудить итоги курса. Присылайте любые вопросы на горячую линию по домашним заданиям, как обычно.Игра началась!

• 1. Продолжайте работу над заключительным экзаменом Take Home. Если у вас возникли проблемы с LaTeX с текущим черновиком, отправьте мне электронное письмо и поделитесь со мной своим проектом Overleaf, и я могу помочь вам вернуться в нужное русло. Попробуйте добавить еще одно доказательство к четырем, которые вы отправили по Заданию № 23 (если вы уже представили пять или шесть по этому заданию, вы можете передать это в качестве третьего черновика). Поместите новый проект в папку окончательного экзамена в Dropbox с надписью «Final — Draft 3.pdf »
• 2. Напишите и передайте комбинаторное доказательство для каждого из следующих утверждений. Напишите корректуру в LaTeX, используя стиль «Домашняя статья», и поместите свой PDF-файл в Dropbox, как обычно. Вы не можете использовать алгебру, арифметику, замену или предыдущие формулы, полученные в классе или вне его. Только 100% чистый счет!
  • 1. Thm 12.9 ( наша любимая редукция теоремы ) $$ 1 + 1 = 2 $$
  • 2. Thm 12.10 ( подсчет по вычислению ) $$ \ binom {6} {2} \ cdot \ binom {4} {3} = \ binom {6} {3} \ cdot \ binom {3} {2} $$
  • 3. Thm 12,13 ( биномиальное дополнение ) $$ \ binom {m + n} {m} = \ binom {m + n} {n} $$
  • 4. Thm 12,15 ( выбрать против перестановки ) $$ (n) _k = \ binom {n} {k} \ cdot k! $$
  • 5. Thm 12,17 ( хорошие вещи попадают парами ) $$ \ binom {2n + 2} {k} = \ binom {2n} {k} + 2 \ cdot \ binom {2n} {k-1} + \ binom {2n} {k-2} $$
  • 6. Thm 12.25 ( комбинированная рекурсия ) $$ \ binom {n + 1} {k + 1} = \ binom {n} {k} + \ binom {n} {k + 1} $$

• 1.Продолжайте работать над частью Курсовой работы Заключительного экзамена. Чтобы не сбиться с пути, поместите второй черновик pdf-файла Take Home Final Exam pdf в Dropbox до вторника. Он должен содержать черновик не менее четырех из шести доказательств. Я не буду ставить им оценку за правильность до вашего окончательного варианта, но я поставлю вам оценку за домашнее задание за успехи. Поместите его в папку с заключительным экзаменом и пометьте файл «Final-Draft 2.pdf»
.
• 2. Напишите и передайте пояснительное доказательство в традиционном стиле для одного полуформального доказательства, которое вы ранее сделали для домашнего задания. Вы можете выбрать любую задачу после главы 6 примечаний, которая была назначена, при условии, что ее доказательство состоит не менее чем из десяти строк. Вам не нужно включать исходное полуформальное доказательство, вам следует «англичить» его, чтобы преобразовать в традиционное доказательство, как я сделал в классе и как показано в документе Lurch, которым я поделился с вами в Dropbox. Напишите доказательство в стиле «Раздаточное задание для домашнего задания» и поместите свой PDF-файл в Dropbox, как обычно, в папку «Задание 23».

• 1.Начните работу над финальным экзаменом Take Home. Чтобы не сбиться с пути, поместите черновик pdf-файла Take Home Final Exam pdf в Dropbox перед уроком в четверг. Следует использовать шаблон домашнего задания — стиль статьи, ссылка на который приведена ниже, а не обычный шаблон домашнего задания — стиль раздаточного материала. Создайте все необходимые разделы и части (Заголовок, Аннотация, Раздел Введение, Раздел доказательства, Раздел Резюме, библиография), и вы можете приступить к заполнению комментария. Вы можете клонировать Образец документа, ссылка на который приведена ниже, чтобы начать работу.Поместите свой PDF-файл в подпапку Final Exam вашей папки Dropbox и назовите ее «Final Exam Draft 1.pdf».

  Вы можете начать выбирать, какую из шести теорем вы хотите доказать в соответствии с инструкциями в папке Dropbox, и вы можете включить утверждения теорем и даже доказательства, если найдете те, которые вам нравятся. Вы всегда можете изменить свое мнение о том, на какие проблемы вы хотите ответить, в любое время до сдачи экзамена. Итак, одна из хороших стратегий — сначала попытаться доказать шесть простых доказательств с одним баллом, а затем попытаться увеличить свой счет оттуда, повысив некоторые баллы до двух или трех баллов, или собрать некоторые бонусные баллы для индукции или доказательства по делам. , стиль письма или диаграммы.Подробности смотрите в инструкции.

• 2. Напишите и передайте полуформальное доказательство следующего. Используйте отдельный файл LaTeX pdf из черновика заключительного экзамена, приведенного выше, и поместите его в подпапку папки Dropbox под названием «Задание 22».
  • а. Thm 10.71 ( частичный порядок ) Пусть $ A $ — множество, а $ \ sim $ — отношение на $ \ mathcal {P} (A) $ такое, что для каждого $ S, T \ in \ mathcal { P} (A) $, $$ S \ sim T \ Leftrightarrow S \ substeq T $$ Тогда $ \ sim $ — частичный заказ.

Докажите каждую из следующих теорем и напишите свое полуформальное доказательство в одном файловом проекте LaTeX. Когда вы закончите, загрузите PDF-файл с Overleaf и поместите его в папку Dropbox во вложенную папку с именем «Задание № 21». В этих задачах $ A, B, S $ и $ T $ — множества.

• а. Thm 10.3 (порядок имеет значение ) $ (a, b) = (b, a) $ тогда и только тогда, когда $ a = b $.
• г. Thm 10.21 ( DeMorgan ) $ (A \ cap B) ’= A’ \ cup B ’$.
• г. Thm 10.38 ( реальная биекция ) Предположим, что $ f \ col \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ и $ f (x) = 3x + 1 $ для всех $ x \ in \ mathbb {R } $. Тогда $ f $ биективен.
  Здесь вы можете использовать ярлыки правил «по арифметике» и «по алгебре».
• г. Thm 10.53 ( не является отношением эквивалентности ) Предположим, что $ \ sim $ — это множество $$ \ sim = \ Set {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1)} $$ Тогда $ \ sim $ не является отношением эквивалентности на множестве $ \ Set {1,2,3} $.
• e. Thm 10.41 ( изображение подмножеств ) Если $ f \ двоеточие A \ to B $ и $ S \ substeq T $ и $ T \ substeq A $, то $ f (S) \ substeq f (T) $.

• Докажите каждую из следующих теорем и напишите свое полуформальное доказательство в одном проекте файла LaTeX. Когда вы закончите, загрузите PDF-файл с Overleaf и поместите его в папку Dropbox во вложенную папку с именем «Задание № 20». В этих задачах $ A $, $ B $, $ C $ и $ D $ являются подмножествами одного универсального множества $ \ mathcal {U} $.
  • 0. Контравариантность дополнения $ A \ substeq B \ Leftrightarrow B ’\ substeq A’ $
  • 1. Композиция является ассоциативной Если $ h \ двоеточие A \ to B $, $ g \ двоеточие B \ to C $ и $ f \ двоеточие C \ to D $, то $$ f \ circ (g \ circ h) = (f \ circ g) \ circ h $$ Подсказка: используйте рецепт Function Equality + и рецепты композиции.

Смешанный мешок. Докажите каждую из следующих теорем и напишите свое полуформальное доказательство в одном файловом проекте LaTeX.Когда вы закончите, загрузите PDF-файл с Overleaf и поместите его в папку Dropbox во вложенную папку с именем «Задание № 19». В этих задачах $ A, B, C $ и $ D $ — множества.

• а. Thm 10.6 ( Подмножество рефлексивно ) $ A \ substeq A $.
• г. Thm 10.2 ( Порядок не имеет значения ) $ \ {\, a, b \, \} = \ {\, b, a \, \} $
• г. Thm 10.14 ( Коммутативность $ \ cap $ ) $ A \ cap B = B \ cap A $
• г. Thm 10.9 ( двойной отрицательный ) $ A- (B-A) = A $
• e. Thm 10.35 ( Powerset и Union ) $ \ mathcal {P} (A) \ cup \ mathcal {P} (B) \ substeq \ mathcal {P} (A \ cup B) $
• ф. Thm 10.32 ( подмножества заразны ) Если $ A \ substeq C $ и $ B \ substeq D $, то $ A \ times B \ substeq C \ times D $.
• г. Thm 8.6 ( Симметрия биномиальных коэффициентов ) Для любых натуральных чисел $ m $ и $ n $, $$ \ binom {m + n} {m} = \ binom {m + n} {n} $$

• Давайте начнем. Докажите каждую из следующих теорем и напишите свое полуформальное доказательство в одном файловом проекте LaTeX. Когда вы закончите, загрузите PDF-файл с Overleaf и поместите его в папку Dropbox во вложенную папку с именем «Задание № 18». Вы можете использовать ярлык «по арифметике» только для тех вещей, которые я объяснил в классе.
  • 0. Нечетный результат Целое число $ 4 $ четное.
  • 1. Easy Warm Up ( Thm 10.1 ) Если $ x \ in \ {\, a \, \} $ и $ y \ in \ {\, a \, \} $, то $ x = y $
  • 2.Набор наборов ( Thm 10.4 ) $ \ {\, 1,2 \, \} \ in \ {\, A: \ {\, 1 \, \} \ substeq A \, \} $

Смешанный мешок. Докажите каждую из следующих теорем и напишите свое полуформальное доказательство в одном файловом проекте LaTeX. Когда вы закончите, загрузите PDF-файл с Overleaf и поместите его в папку Dropbox во вложенную папку с именем «Задание № 17». Доказательство каждой теоремы может использовать только результаты из предыдущих глав, а также аксиомы, определения и ранее доказанные результаты из той же главы, из которой основана теорема.п $$

ф. Thm 9.29 (часть) ( Завершение сложения рациональных чисел ) Для любых рациональных чисел $ r, s $ их сумма $ r + s $ также является рациональным числом.
(При необходимости можно использовать теорему 9.28.)

• Давайте начнем. Докажите каждую из следующих теорем и напишите свое полуформальное доказательство в одном файловом проекте LaTeX. Когда вы закончите, загрузите PDF-файл с Overleaf и поместите его в папку Dropbox во вложенную папку с именем «Задание № 16».Вы можете использовать только Аксиомы действительных чисел, теоремы, которые мы доказали в Задании № 15, и любые теоремы из Логики (или любые теоремы, которые вы доказываете, используя их), но не теоремы из наборов задач в главе 9 или что-либо из раздела 9.4. . Вам не нужно и не следует использовать ничего из главы 7 конспектов лекции. Все константы и переменные в следующих вопросах являются действительными числами. Вы не можете использовать определение «2» из раздела 9.4 (или из главы 7), но вы всегда можете использовать $ 1 + 1 $ (т.- = х $.

1. Неестественное Существует действительное число от нуля до единицы.

Гипотеза Хоста и корни многочленов зацеплений

1.

Адамс, C.C .: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag, Берлин (1995)

Google Scholar

2.

Burde, G .: Das Alexanderpolynom der Knoten mit zwei Brücken. Arch. Математика. (Базель) 44 (2), 180–189 (1985)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

3.

Burde, G., Zieschang, H .: Knots. Исследования Де Грюйтера по математике, 5.Walter de Gruyter & Co., Берлин (1985),

,

,

, 4.

, Кромвель, П.Р .: Узлы и ссылки. Издательство Кембриджского университета, Кембридж (2004)

Книга МАТЕМАТИКА Google Scholar

5.

Crowell, R .: Род чередующихся типов звеньев. Аня. математики. 2 (69), 258–275 (1959)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

6.

Гаруфалидис, С .: Многочлен Джонса определяет сигнатуру узла? Препринт. math.GT/0310203

7.

Гате, Э., Хиронака, Э .: Арифметика и геометрия чисел Салема. Бык. Амер. Математика. Soc. (N.S.) 38 (3), 293–314 (2001)

8.

Хартли Р.И .: О двухмостовых многочленах узлов. J. Austral. Математика. Soc. Сер. А 28 (2), 241–249 (1979)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

9.

Хиронака, Э .: Многочлен Лемера и звенья кренделя. Канад. Математика. Бык. 44 (4), 440–451 (2001) ошибка. Канад. Математика. Бык. 45 (2), 231 (2002)

MathSciNet Статья Google Scholar

10.

Хост, Дж., Тистлтуэйт, М .: KnotScape, программа для вычисления полиномов узлов и доступа к таблицам. http://www.math.utk.edu/~morwen

11.

Цзинь, X., Чжан, Ф., Донг, Ф., Тэй, Э.Г .: Нули многочлена Джонса плотны в комплексной плоскости. Электрон. J. Combin. 17 (1), # R94 (2010)

12.

Jong, I.D .: Многочлены Александера чередующихся узлов второго рода. Осака Дж. Математика. 46 (2), 353–371 (2009)

MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

13.

Йонг, И.Д .: Многочлены Александера знакопеременных узлов второго рода II. J. Разветвления теории узлов 19 (8), 1075–1092 (2010)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

14.

Каваути, А .: Обзор теории узлов. Birkhäuser Verlag, Basel (1996)

15.

Кирби, Р .: Проблемы низкоразмерной топологии. Книга доступна на сайте http://math.berkeley.edu/~kirby Berkeley (1996)

16.

Коселефф П.-В., Пекер Д .: О многочленах Александера-Конвея двумостовой системы. ссылки. J. Symbolic Comput. 68 (2), 215–229 (2015)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

17.

Lickorish, W.B.R., Millett, K.C .: Полиномиальный инвариант для ориентированных ссылок. Топология 26 (1), 107–141 (1987)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

18.

Ликориш, В. Б. Р., Тислтуэйт, М. Б.: Некоторые связи с нетривиальными многочленами и их числами пересечения. Комментарий. Математика. Helv. 63 (1), 527–539 (1988)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

19.

Лимасон Паскаля. Веб-документ http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Limacon.html

20.

Лин, X.-S., Ван, З .: представление Бурау и случайное блуждание по строковым связям. Препринт. q-alg / 9605023

21.

Любич Л., Мурасуги К .: О нулях многочлена Александера знакопеременного узла. Топология Прил. 159 (1), 290–303 (2012)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

22.

Мортон, Х.Р .: Окружности Зейферта и полиномы узлов. Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc. 99 (1), 107–109 (1986)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

23.

Мурасуги, К .: О роде знакопеременного узла I. II. J. Math. Soc. Япония 10 (94–105), 235–248 (1958)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

24.

Мурасуги, К .: О делимости групп узлов. Pacific J. Math. 52 , 491–503 (1974)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

25.

Перрон, Б., Рольфсен, Д .: О возможности заказа групп узловых волокон. Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc. 135 (1), 147–153 (2003)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

26.

Рольфсен, Д .: Узлы и ссылки. Publish or Perish Inc, Беркли, Калифорния (1976)

MATH Google Scholar

27.

Schubert, H .: Knoten mit zwei Brücken. Математика. Z. 65 , 133–170 (1956)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

28.

Сильвер, Д.С., Уильямс, С.Г .: Мера Малера полиномов Александера. J. London Math. Soc. (2) 69 (3), 767–782 (2004)

29.

Сильвер, Д.С., Уильямс, С.Г .: Вопрос Лемера, связи и динамика поверхности. Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc. 143 (3), 649–661 (2007)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

30.

Stoimenow, A .: Род диаграмм, генераторы и приложения. Монографии и исследования по математике. CRC Press, Бока-Ратон, Флорида (2016)

MATH Google Scholar

31.

Стойменов, А .: Ньютоноподобные многочлены звеньев. Enseign. Математика. (2) 51 (3-4), 211–230 (2005)

32.

Stoimenow, A .: Реализация полиномов Александера гиперболическими связями. Экспо. Математика. 28 (2), 133–178 (2010)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

33.

Stoimenow, A .: Многочлен мотка замкнутых 3-кос. J. Reine Angew. Математика. 564 , 167–180 (2003)

MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

34.

Stoimenow, A .: Свойства замкнутых 3-кос и представления ссылок косами. Springer-Briefs по математике. Спрингер, Чам (2017)

Книга МАТЕМАТИКА Google Scholar

35.

Стойменов, А .: 5 ходов и звенья Монтесиноса. J. Math. Soc. Япония 59 (3), 729–749 (2007)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

36.

Стойменов, А.: Коэффициенты и нетривиальность полинома Джонса. J. Reine Angew. Математика. 657 , 1–55 (2011)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

37.

Stoimenow, A .: Применение последовательностей плетения III: согласование положительных узлов. Междунар. J. Math. 26 (7), 1550050 (2015)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

38.

Стойменов, А .: Узлы (канонического) рода два. Фонд. Математика. 200 (1), 1–67 (2008)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

39.

Stoimenow, A .: Логовогнутость и нули полинома Александера. Бык. Корейская математика. Soc. 51 (2), 539–545 (2014)

MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google Scholar

40.

Вольфрам, С.: Mathematica –– Система для выполнения математических задач на компьютере. Аддисон-Уэсли, Бостон, Массачусетс (1988)

MATH Google Scholar

Альтернативные корни DNS и мерзкий снеговик суверенитета

Источник: http://www.runjackson.org

С момента создания ICANN (и до этого) простое упоминание «альтернативных корней DNS» вызывало апоплексическую реакцию в определенных кругах. Идея использования корня DNS, конкурирующего с корнем, управляемым IANA, в лучшем случае рассматривалась как еретическая, а в худшем — как злой деструктивный заговор.IAB издал фетву по этому поводу в 2000 году, и паническое правление ICANN в одностороннем порядке заявило, что фетва IAB была политикой, несмотря на то, что никогда не проходила через процесс разработки политики. Тем не менее, спор об альтернативных корнях, как давно показал этот документ Милтона Мюллера, был полностью результатом нежелания ICANN добавлять новые TLD. По мере развития программы новых TLD споры вокруг конкурирующих корней утихали.

По крайней мере, мы так думали. Недавний документ, поддержанный Всемирным экономическим форумом, похоже, возрождает эту старую поляризацию.В документе WEF критикуют проект Yeti-DNS за угрозу разделить DNS:

… текущий проект под названием YETI планирует импортировать корневую зону DNS, управляемую ICANN, удалить цифровую подпись из зоны и повторно подписать с помощью ключа YETI. Хотя его сторонники утверждают, что он не предназначен для предоставления альтернативного корня, на самом деле он делает именно это. После этого локальные преобразователи можно настроить для обращения к серверу имен YETI, а не к серверам ICANN, и все записи в корневой зоне YETI будут считаться действительными, если будет принят ключ подписи YETI.Хотя его якобы цель состоит в том, чтобы исследовать ограничения производительности и функциональности корневого сервера, у него есть потенциал для введения альтернативного корневого сервера.

Здесь есть восхитительная ирония. Инициатором проекта YETI является Пол Викси, создатель программного обеспечения BIND для серверов имен и основатель Internet Systems Consortium, оператора F-root, одного из 13 корневых серверов. Пятнадцать лет назад Викси была одним из самых категоричных критиков конкурирующих корней. Викси сошла с ума?

Проект Yeti-DNS поддерживается японским проектом WIDE, собственным проектом Vixie по совместному проектированию и безопасности TISF и Пекинским институтом Интернета, самопровозглашенной частной исследовательской организацией, связанной с китайской BII Group, которая работает с органами управления Интернетом и многими другими крупнейших мировых технологических компаний в области сетевых технологий.В программе исследования Yeti Project будут рассмотрены вопросы, касающиеся работы только с IPv6, смены ключей DNSSEC, проблем с изменением нумерации и масштабирования, а также с несколькими зонами, подписывающими файлы.

Викси недавно ответила на статью ВЭФ. Для внимательных читателей ответ подлил бензин в огонь, а не потушил его. Викси заявила, что сам проект не поддерживает создание несовместимой корневой зоны. Но он признал, что «Yeti-DNS предоставляет точный план того, как кто-то, кроме IANA, будет строить альтернативный корневой каталог.«Как будто этого было недостаточно, он затем связал возможность альтернативного корня с геополитическими противоречиями вокруг ICANN. По словам Викси, после обращения к операторам в странах БРИКС по поводу участия в YETI-DNS, проект отражает его точку зрения.

… что если какая-то страна однажды решит, что ICANN нельзя доверять, и они захотят создать свою собственную систему DNS в Интернете, я хочу, чтобы они обладали необходимым опытом, компетенцией и пониманием компромиссов внутри страны, чтобы добиваться своих собственных суверенный курс.

Подождите. Что значит «следовать своему суверенному курсу»? Поощряет ли Викси согласование DNS с национальными территориями?

Утверждение Викси о том, что он «консультировался» с БРИК, оказывается несколько преуменьшением. В 2014 году Vixie тесно сотрудничала с государственным реестром Китая (CNNIC) над продвижением нового стандарта IETF, который позволил бы увеличить количество авторитетных корневых серверов сверх текущего лимита в 13. Что касается технической масштабируемости, это может быть хорошей идеей.Проблема заключается в его связи со страной, которая уже давно проявляет более чем мимолетный интерес к суверенному Интернету и к модификации DNS, чтобы помочь установить суверенный контроль над Интернетом. В течение многих лет Китай хотел иметь «собственный» корневой сервер. Предложение не было принято IETF, и его неудача, похоже, подтолкнула к созданию и продолжению работы над проектом YETI-DNS. Нам интересно, сколько из этого финансируется Китаем. Возможно, письма Викси следует отправлять сенатору Теду Крузу, а не Фади Шехаде.

Vixie сыграла важную роль в развитии использования anycast для зеркалирования корневых серверов по всему миру, временно ослабив политику размещения корневых серверов. Однако теперь он, кажется, угождает самым допотопным импульсам в политике управления Интернетом, ища способ предоставить каждой стране свой «собственный» корневой сервер.

IGP последовательно поддерживает принципы инноваций и конкуренции в основной инфраструктуре Интернета, поэтому мы поддерживаем право Vixie создать альтернативный корневой каталог для экспериментальных целей.Но работа Yeti-DNS происходит не на пустом месте. Мы вступаем в критический период изучения предложения о передаче функций IANA по устранению надзора США за DNS. Суть заключалась в том, чтобы полностью отделить управление DNS от забот правительства и суверенитета. В случае успеха это станет переломным моментом в управлении основной инфраструктурой Интернета. В этой среде поощрять и активно содействовать инициативам, ориентированным на суверенитет, является ужасной ошибкой.

Риски разделенного корня DNS часто переоцениваются.С корневой зоной IANA связаны сильные сетевые эффекты, которые, в свою очередь, создают невероятно мощные препятствия для нарушения глобальной уникальности имен. Помимо сильных стимулов для поддержания технической совместимости в сильно распределенной системе, экономика и безопасность стран тесно связаны с коммуникациями, обеспечиваемыми корневой зоной DNS. Например, только в Соединенных Штатах объем электронной торговли в настоящее время превышает 340 миллиардов долларов в год. Кроме того, количество и виды (например,, IDN) ДВУ продолжает расширяться. Во всяком случае, это требует дополнительных эмпирических исследований, сфокусированных на транснациональном использовании TLD и связанной с ним экономической и социальной деятельности, а не на отказе от идей ex ante . Хотя правительства, безусловно, проводят такие действия, как веб-цензура или блокировка, например, вмешательство в запросы корневой зоны DNS и разрешение для достижения этого, как было показано, очень уязвимо для обхода, очень сложно реализовать без экстерриториального побочного ущерба, и в самых последних усилиях для измерения фальсификации, не очень часто.