Колебания и волны формулы по физике: Основные формулы по физике — КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Содержание

Основные формулы по физике - КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

При изучении этого раздела следует иметь в виду, что колебания различной физической природы описываются с единых математических позиций. Здесь надо четко уяснить такие понятия, как гармоническое колебание, фаза, разность фаз, амплитуда, частота, период колебани.

Надо иметь в виду, что во всякой реальной колебательной системе есть сопротивления среды, т.е. колебания будут затухающими. Для характеристики затухания колебаний вводится коэффициент затухания и логарифмический декремент затухани.

Если колебания совершаются под действием внешней, периодически изменяющейся силы, то такие колебания называют вынужденными. Они будут незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Переходя к изучению электромагнитных волн нужно четко представлять, что электромагнитная волна - это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электрический диполь. Если диполь совершает гармонические колебания, то он излучает монохроматическую волну.

Смотрите также основные формулы квантовой физики

Таблица формул: колебания и волны

Физические законы, формулы, переменные

Формулы колебания и волны

Уравнение гармонических  колебаний:

  где х - смещение (отклонение) колеблющейся величины от положения равновесия;

  А - амплитуда;

  ω - круговая (циклическая) частота;

  t - время;

  α - начальная фаза;

  (ωt+α ) - фаза.

Связь между периодом и круговой частотой:

Частота:

Связь круговой частоты с частотой:

Периоды собственных колебаний

1) пружинного маятника:

    где k - жесткость пружины;

2) математического маятника:

    где l - длина маятника,

    g - ускорение свободного падения;

3) колебательного контура:

    где L - индуктивность контура,

    С - емкость конденсатора.

 

 

Частота собственных колебаний:

Сложение колебаний одинаковой частоты и направления:

1) амплитуда результирующего колебания

    где А1 и А2 - амплитуды составляющих колебаний,

    α1 и α2 - начальные фазы составляющих колебаний;

2) начальная фаза результирующего колебания

 

1)

 

2)

 

 

Уравнение затухающих колебаний:

е = 2,71... - основание натуральных логарифмов.

Амплитуда затухающих колебаний:

где А0 - амплитуда в начальный момент времени;

β - коэффициент затухания;

t - время.

Коэффициент затухания:

колеблющегося тела

где r - коэффициент сопротивления среды,

m - масса тела;

колебательного контура

где R - активное сопротивление,

L - индуктивность контура.

Частота затухающих колебаний ω:

Период затухающих колебаний Т:

Логарифмический декремент затухания:

Связь логарифмического декремента χ и коэффициента затухания β:

Амплитуда вынужденных колебаний

где ω - частота вынужденных колебаний,

fо - приведенная амплитуда вынуждающей силы,

при механических колебаниях:

при электромагнитных колебаниях:

Резонансная частота

Резонансная амплитуда

Полная энергия колебаний:

Уравнение плоской волны:

где ξ - смещение точек среды с координатой х в момент времени t;

k - волновое число:

Длина волны:

где v скорость распространения колебаний в среде,

Т - период колебаний.

Связь разности фаз Δφ колебаний двух точек среды с расстоянием Δх между точками среды:



Колебания - Физика - Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Гармонические колебания

К оглавлению...

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебаниями называют изменения физической величины, происходящие по определенному закону во времени. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник. Для существования в системе гармонических колебаний необходимо, чтобы у нее было положение устойчивого равновесия, то есть такое положение, при выведении из которого на систему начала бы действовать возвращающая сила.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

Простейшим видом колебательного процесса являются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называемые гармоническими колебаниями. Уравнение описывающее физические системы способные совершать гармонические колебания с циклической частотой

ω0 задаётся следующим образом:

Решение предыдущего уравнения является уравнением движения для гармонических колебаний, которое имеет вид:

где: x – смещение тела от положение равновесия, A – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний (ω = 2Π/T), t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса: φ = ωt + φ0, называется фазой гармонического процесса. Смысл фазы колебаний: стадия, в которой колебание находится в данный момент времени. При t = 0 получаем, что φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой (то есть той стадией, из которой начиналось колебание).

Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Если же количество колебаний N, а их время t, то период находится как:

Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется

частотой колебаний:

Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – Герц (Гц). Частота колебаний связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Зависимость скорости от времени при гармонических механических колебаниях выражается следующей формулой:

Максимальное значение скорости при гармонических механических колебаниях:

Максимальные по модулю значения скорости υm = ωA достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = ax тела при гармонических колебаниях. Зависимость ускорения от времени при гармонических механических колебаниях:

Максимальное значение ускорения при механических гармонических колебаниях:

Знак минус в предыдущем выражении означает, что ускорение a(t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x(t), и, следовательно, возвращает тело в начальное положение (

x = 0), т.е. заставляет тело совершать гармонические колебания.

Следует обратить внимание на то, что:

  • физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω0 или период T.
  • Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда A = xm и начальная фаза φ0, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени, т.е. начальными условиями.
  • При колебательном движении тело за время, равное периоду, проходит путь, равный 4 амплитудам. При этом тело возвращается в исходную точку, то есть перемещение тела будет равно нулю. Следовательно, путь равный амплитуде тело пройдет за время равное четверти периода.

Чтобы определить, когда в уравнение колебаний подставлять синус, а когда косинус, нужно обратить внимание на следующие факторы:

  • Проще всего, если в условии задачи колебания названы синусоидальными или косинусоидальными.
  • Если сказано, что тело толкнули из положения равновесия – берем синус с начальной фазой, равной нулю.
  • Если сказано, что тело отклонили и отпустили – косинус с начальной фазой, равной нулю.
  • Если тело толкнули из отклоненного от положения равновесия состояния, то начальная фаза не равна нолю, а брать можно и синус и косинус.

 

Математический маятник

К оглавлению...

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой, длинной и нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. Только в случае малых колебаний математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические (по закону sin или cos) колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 5–10°. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Циклическая частота колебаний математического маятника рассчитывается по формуле:

Период колебаний математического маятника:

Полученная формула называется формулой Гюйгенса и выполняется, когда точка подвеса маятника неподвижна. Важно запомнить, что период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Такое свойство маятника называется

изохронностью. Как и для любой другой системы, совершающей механические гармонические колебания, для математического маятника выполняются следующие соотношения:

  1. Путь от положения равновесия до крайней точки (или обратно) проходится за четверть периода.
  2. Путь от крайней точки до половины амплитуды (или обратно) проходится за одну шестую периода.
  3. Путь от положения равновесия до половины амплитуды (или обратно) проходится за одну двенадцатую долю периода.

 

Пружинный маятник

К оглавлению...

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Таким свойством обладает сила упругости.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно, составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют пружинным маятником.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника рассчитывается по формуле:

Период колебаний пружинного маятника:

При малых амплитудах период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды (как и у математического маятника). При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную:

А колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае. Таким образом, полученная формула для периода колебаний груза на пружине остается справедливой во всех случаях, независимо от направления колебаний, движения опоры, действия внешних постоянных сил.

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а, следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругой деформации пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией (как правило, потенциальную энергию в положении равновесия полагают равной нулю). Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и так далее.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной. При этом, максимальное значение кинетической энергии при механических гармонических колебаниях задаётся формулой:

Максимальное значение потенциальной энергии при механических гармонических колебаниях пружинного маятника:

Взаимосвязь энергетических характеристик механического колебательного процесса (полная механическая энергия равна максимальным значениям кинетической и потенциальной энергий, а также сумме кинетической и потенциальной энергий в произвольный момент времени):

 

Механические волны

К оглавлению...

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Механические волны бывают разных видов. Если при распространении волны частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, такая волна называется поперечной. Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, такая волна называется продольной.

Как в поперечных, так и в продольных волнах не происходит переноса вещества в направлении распространения волны. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют немеханические волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые, т.е. электромагнитные волны могут распространяться в вакууме).

  • Продольные механические волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных.
  • Поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах.

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой ν и длиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.

Длиной волны λ называют расстояние между двумя соседними точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны λ, волна пробегает за время равное периоду T, следовательно, длина волны может быть рассчитана по формуле:

где: υ – скорость распространения волны. При переходе волны из одной среды в другую длина волны и скорость ее распространения меняются. Неизменными остаются только частота и период волны.

Разность фаз колебаний двух точек волны, расстояние между которыми l рассчитывается по формуле:

 

Электрический контур

К оглавлению...

В электрических цепях, так же, как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный LC-контур. В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими. Энергетические характеристики и их взаимосвязь при колебаниях в электрическом контуре:

Период гармонических колебаний в электрическом колебательном контуре определяется по формуле:

Циклическая частота колебаний в электрическом колебательном контуре:

Зависимость заряда на конденсаторе от времени при колебаниях в электрическом контуре описывается законом:

Зависимость электрического тока протекающего через катушку индуктивности от времени при колебаниях в электрическом контуре:

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени при колебаниях в электрическом контуре:

Максимальное значение силы тока при гармонических колебаниях в электрическом контуре может быть рассчитано по формуле:

Максимальное значение напряжения на конденсаторе при гармонических колебаниях в электрическом контуре:

Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в теплоту, выделяющуюся на резисторе, и колебания становятся затухающими.

 

Переменный ток. Трансформатор

К оглавлению...

Основная часть электроэнергии в мире в настоящее время вырабатывается генераторами переменного тока, создающими синусоидальное напряжение. Они позволяют наиболее просто и экономно осуществлять передачу, распределение и использование электрической энергии.

Устройство, предназначенное для превращения механической энергии в энергию переменного тока, называется генератором переменного тока. Он характеризуется переменным напряжением U(t) (индуцированной ЭДС) на его клеммах. В основу работы генератора переменного тока положено явление электромагнитной индукции.

Переменным током называется электрический ток, который изменяется с течением времени по гармоническому закону. Величины U0, I0 = U0/R называются амплитудными значениями напряжения и силы тока. Значения напряжения U(t) и силы тока I(t), зависящие от времени, называют мгновенными.

Переменный ток характеризуется действующими значениями силы тока и напряжения. Действующим (эффективным) значением переменного тока называется сила такого постоянного тока, который, проходя по цепи, выделил бы в единицу времени такое же количество теплоты, что и данный переменный ток. Для переменного тока действующее значение силы тока может быть рассчитано по формуле:

Аналогично можно ввести действующее (эффективное) значение и для напряжения, рассчитываемое по формуле:

Таким образом, выражения для мощности постоянного тока остаются справедливыми и для переменного тока, если использовать в них действующие значения силы тока и напряжения:

Обратите внимание, что если идет речь о напряжении или силе переменного тока, то (если не сказано иного) имеется в виду именно действующее значение. Так, 220В – это действующее напряжение в домашней электросети.

Конденсатор в цепи переменного тока

Строго говоря, конденсатор ток не проводит (в том смысле, что носители заряда через него не протекают). Поэтому, если конденсатор подключен в цепь постоянного тока, то сила тока в любой момент времени в любой точке цепи равна нулю. При подключении в цепь переменного тока из-за постоянного изменения ЭДС конденсатор перезаряжается. Ток через него по-прежнему не течет, но ток в цепи существует. Поэтому условно говорят, что конденсатор проводит переменный ток. В этом случае вводится понятие сопротивления конденсатора в цепи переменного тока (или емкостного сопротивления). Это сопротивление определяется выражением:

Обратите внимание, что емкостное сопротивление зависит от частоты переменного тока. Оно в корне отличается от привычного нам сопротивления R. Так, на сопротивлении R выделяется теплота (поэтому его часто называют активным), а на емкостном сопротивлении теплота не выделяется. Активное сопротивление связано со взаимодействием носителей заряда при протекании тока, а емкостное – с процессами перезарядки конденсатора.

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

При протекании переменного тока в катушке возникает явление самоиндукции, и, следовательно, ЭДС. Из-за этого напряжение и сила тока в катушке не совпадают по фазе (когда сила тока равна нулю, напряжение имеет максимальное значение и наоборот). Из-за такого несовпадения средняя тепловая мощность, выделяющаяся в катушке, равна нулю. В этом случае вводится понятие сопротивления катушки в цепи переменного тока (или индуктивного сопротивления). Это сопротивление определяется выражением:

Обратите внимание, что индуктивное сопротивление зависит от частоты переменного тока. Как и емкостное сопротивление, оно отличается от сопротивления R. Как и на емкостном сопротивлении, на индуктивном сопротивлении теплота не выделяется. Индуктивное сопротивление связано с явлением самоиндукции в катушке.

Трансформаторы

Среди приборов переменного тока, нашедших широкое применение в технике, значительное место занимают трансформаторы. Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении электромагнитной индукции. Простейший трансформатор состоит из сердечника замкнутой формы, на который намотаны две обмотки: первичная и вторичная. Первичная обмотка подсоединяется к источнику переменного тока с некоторым напряжением U1, а вторичная обмотка подключается к нагрузке, на которой появляется напряжение U2. При этом, если число витков в первичной обмотке равно n1, а во вторичной n2, то выполняется следующее соотношение:

Коэффициент трансформации вычисляется по формуле:

Если трансформатор идеальный, то выполняется следующее соотношение (мощности на входе и выходе равны):

В неидеальном трансформаторе вводится понятие КПД:

 

Электромагнитные волны

К оглавлению...

Электромагнитные волны – это распространяющееся в пространстве и во времени электромагнитное поле. Электромагнитные волны поперечны – векторы электрической напряженности и магнитной индукции перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью, которая может быть рассчитана по формуле:

где: ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, ε0 и μ0 – электрическая и магнитная постоянные: ε0 = 8,85419·10–12 Ф/м, μ0 = 1,25664·10–6 Гн/м. Скорость электромагнитных волн в вакууме (где ε = μ = 1) постоянна и равна с = 3∙108 м/с, она также может быть вычислена по формуле:

Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме является одной из фундаментальных физических постоянных. Если электромагнитная волна распространяется в какой-либо среде, то скорость ее распространения также выражается следующим соотношением:

где: n – показатель преломления вещества – физическая величина, показывающая во сколько раз скорость света в среде меньше чем в вакууме. Показатель преломления, как видно из предыдущих формул, может быть рассчитан следующим образом:

  • Электромагнитные волны переносят энергию. При распространении волн возникает поток электромагнитной энергии.
  • Электромагнитные волны могут возбуждаться только ускоренно движущимися зарядами. Цепи постоянного тока, в которых носители заряда движутся с неизменной скоростью, не являются источником электромагнитных волн. А вот цепи, в которых протекает переменный ток, т.е. такие цепи в которых носители заряда постоянно меняют направление своего движения, т.е. двигаются с ускорением – являются источником электромагнитных волн. В современной радиотехнике излучение электромагнитных волн производится с помощью антенн различных конструкций, в которых возбуждаются быстропеременные токи.

Основные формулы для решения задач по теме "Механические колебания и волны".

Механические колебания

Основные формулы для решения задач.

Всякое колебательное движение, в том числе и гармоническое, характеризуется амплитудой , периодом колебаний , частотой , циклической (круговой) частотой  и фазой колебаний .

Амплитудой  называют наибольшее значение колеблющейся величины.
Число полных колебаний в единицу времени называют частотой: 
.
Циклическая (круговая) частота - это число полных колебаний в течении  с: 
.
Периодом называю время, в течении которого совершается одно полное колебание:
.

Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании определяются уравнениями

,
,
.

Здесь  - фаза колебаний, а  - начальная фаза.

Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению:

где  - коэффициент квазиупругой силы, измеряемый силой, вызывающей смещение , равное единице.

При отсутствии сопротивления среды циклическая частота  свободных гармонических колебаний, называемых собственной циклической частотой и период  равны:

Период колебания математического маятника длиной  равен

.

Период колебаний физического маятника

,

где  - момент инерции маятника относительно оси качаний,  - расстояние от оси его до центра тяжести.

Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, постоянна и равна

.

Уравнение смещения в затухающих колебаниях при наличии силы сопротивления  пропорциональной скорости (, где  - коэффициент сопротивления) имеет вид:

.

Здесь  - убывающая по времени амплитуда смещения;  - коэффициент затухания;  - циклическая частота;  - начальные амплитуда и фаза, определяются из начальных условий.

Величины  и  выражаются через параметры системы  формулами:

,

.

Логарифмический декремент затухания

,

где  - амплитуды двух последовательных колебаний.

Амплитуда вынужденных колебаний

,

где  - есть отношение амплитуды вынуждающей силы к массе тела;  - собственная циклическая частота;  - циклическая частота вынуждающей силы.

Резонансная циклическая частота равна

.

Глава 24. Электромагнитные колебания и волны

Электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора (см. рисунок), называется колебательным контуром. В этой цепи могут происходить своеобразные электрические колебания. Пусть, например, в начальный момент времени мы заряжаем пластины конденсатора положительным и отрицательным зарядами, а затем разрешим зарядам двигаться. Если бы катушка отсутствовала, конденсатор начал бы разряжаться, в цепи на короткое время возник электрический ток, и заряды пропали бы. Здесь же происходит следующее. Сначала благодаря самоиндукции катушка препятствует увеличению тока, а затем, когда ток начинает убывать, препятствует его уменьшению, т.е. поддерживает ток. В результате ЭДС самоиндукции заряжает конденсатор с обратной полярностью: та пластина, которая изначально была заряжена положительно, приобретает отрицательный заряд, вторая — положительный. Если при этом не происходит потерь электрической энергии (в случае малого сопротивления элементов контура), то величина этих зарядов будет такая же, как величина первоначальных зарядов пластин конденсатора. В дальнейшем движение процесс перемещения зарядов будет повторяться. Таким образом, движение зарядов в контуре представляет собой колебательный процесс.

Для решения задач ЕГЭ, посвященных электромагнитным колебаниям, нужно запомнить ряд фактов и формул, касающихся колебательного контура. Во-первых, нужно знать формулу для периода колебаний в контуре. Во-вторых, уметь применять к колебательному контуру закон сохранения энергии. И, наконец (хотя такие задачи встречаются редко), уметь использовать зависимости силы тока через катушку и напряжения на конденсаторе от времени

Период электромагнитных колебаний в колебательном контуре определяется соотношением:

(24.1)

где — емкость конденсатора, — индуктивность катушки.

При электромагнитных колебаниях энергия колебательного контура складывается из энергии конденсатора и энергии тока в катушке:

(24.2)

где и — заряд на конденсаторе и сила тока в катушке в этот момент времени, и — емкость конденсатора и индуктивность катушки. Если электрическое сопротивление элементов контура мало, то электрическая энергия контура (24.2) остается практически неизменной, несмотря на то, что заряд конденсатора и ток в катушке изменяются с течением времени. Из формулы (24.4) следует, что при электрических колебаниях в контуре происходят превращения энергии: в те моменты времени, когда ток в катушке равен нулю, вся энергия контура сводится к энергии конденсатора. В те моменты времени, когда равен нулю заряд конденсатора, энергия контура сводится к энергии магнитного поля в катушке. Очевидно, в эти моменты времени заряд конденсатора или ток в катушке достигают своих максимальных (амплитудных) значений.

При электромагнитных колебаниях в контуре заряд конденсатора изменяется с течением времени по гармоническому закону:

(24.3)

где — амплитуда колебаний заряда на конденсаторе, — циклическая (или круговая) частота колебаний, — начальная фаза. Циклическая частота колебаний связана с периодом по формуле

(24.4)

стандартной для любых гармонических колебаний. Поскольку сила тока в катушке представляет собой производную заряда конденсатора по времени, из формулы (24.4) можно найти зависимость силы тока в катушке от времени

(24.5)

В ЕГЭ по физике часто предлагаются задачи на электромагнитные волны. Необходимый для решения этих задач минимум знаний включает в себя понимание основных свойств электромагнитной волны и знание шкалы электромагнитных волн. Сформулируем кратко эти факты и принципы.

Согласно законам электромагнитного поля переменное магнитное поле порождает поле электрическое, переменное электрическое поле порождает поле магнитное. Поэтому если одно из полей (например, электрическое) начнет меняться, возникнет второе поле (магнитное), которое затем снова порождает первое (электрическое), затем снова второе (магнитное) и т.д. Процесс взаимного превращения друг в друга электрического и магнитного полей, который может распространяться в пространстве, называется электромагнитной волной. Опыт показывает, что направления, в которых колеблются векторы напряженности электрического и индукции магнитного поля в электромагнитной волне перпендикулярны направлению ее распространения. Это означает, что электромагнитные волны являются поперечными. В теории электромагнитного поля Максвелла доказывается, что электромагнитная волна создается (излучается) электрическими зарядами при их движении с ускорением. В частности, источником электромагнитной волны является колебательный контур.

Длина электромагнитной волны , ее частота (или период ) и скорость распространения связаны соотношением, которое справедливо для любой волны (см. также формулу (11.6)):

(24.6)

Электромагнитные волны в вакууме распространяются со скоростью = 3 • 108 м/с, в среде скорость электромагнитных волн меньше, чем в вакууме, причем эта скорость зависит от частоты волны. Такое явление называется дисперсией волн. Электромагнитной волне присущи все свойства волн, распространяющихся в упругих средах: интерференция, дифракция, для нее справедлив принцип Гюйгенса. Единственное, что отличает электромагнитную волну, это то, что для ее распространения не нужна среда — электромагнитная волна может распространяться и в вакууме.

В природе наблюдаются электромагнитные волны с сильно отличающимися друг от друга частотами, и обладающие благодаря этому существенно различными свойствами (несмотря на одинаковую физическую природу). Классификация свойств электромагнитных волн в зависимости от их частоты (или длины волны) называется шкалой электромагнитных волн. Дадим краткий обзор этой шкалы.

Электромагнитные волны с частотой меньшей 105 Гц (т.е. с длиной волны, большей нескольких километров) называются низкочастотными электромагнитными волнами. Излучают волны такого диапазона большинство бытовых электрических приборов.

Волны с частотой от 105 до 1012 Гц называются радиоволнами. Этим волнам отвечают длины волн в вакууме от нескольких километров до нескольких миллиметров. Эти волны применяются для радиосвязи, телевидения, радиолокации, сотовых телефонов. Источниками излучения таких волн являются заряженные частицы, движущиеся в электромагнитных полях. Радиоволны излучаются также свободными электронами металла, которые совершают колебания в колебательном контуре.

Область шкалы электромагнитных волн с частотами, лежащими в интервале 1012 — 4,3 • 1014 Гц (и длинами волн от нескольких миллиметров до 760 нм) называется инфракрасным излучением (или инфракрасными лучами). Источником такого излучения служат молекулы нагретого вещества. Человек излучает инфракрасные волны с длиной волны 5 — 10 мкм.

Электромагнитное излучение в интервале частот 4,3 • 1014 — 7,7 • 1014 Гц (или длин волн 760 — 390 нм) воспринимается человеческим глазом как свет и называется видимым светом. Волны различных частот внутри этого диапазона воспринимаются глазом, как имеющие различный цвет. Волна с самой маленькой частотой из видимого диапазона 4,3 • 1014 воспринимается как красная, с самой большой частотой внутри видимого диапазона 7,7 • 1014 Гц — как фиолетовая. Видимый свет излучается при переходе электронов в атомах, молекулами твердых тел, нагретых до 1000 °С и более.

Волны с частотой 7,7 • 1014 — 1017 Гц (длина волны от 390 до 1 нм) принято называть ультрафиолетовым излучением. Ультрафиолетовое излучение имеет выраженное биологическое действие: оно способно убивать ряд микроорганизмов, способно вызвать усиление пигментации человеческой кожи (загар), при избыточном облучении в отдельных случаях может способствовать развитию онкологических заболеваний (рак кожи). Ультрафиолетовые лучи содержатся в излучении Солнца, в лабораториях создаются специальными газоразрядными (кварцевыми) лампами.

За областью ультрафиолетового излучения лежит область рентгеновских лучей (частота 1017 — 1019 Гц, длина волны от 1 до 0,01 нм). Эти волны излучаются при торможении в веществе заряженных частиц, разогнанных напряжением 1000 В и более. Обладают способностью проходить сквозь толстые слои вещества, непрозрачного для видимого света или ультрафиолетового излучения. Благодаря этому свойству рентгеновские лучи широко используются в медицине для диагностики переломов костей и ряда заболеваний. Рентгеновские лучи оказывают губительное действие на биологические ткани. Благодаря этому свойству их можно использовать для лечения онкологических заболеваний, хотя при избыточном облучении они смертельно опасны для человека, вызывая целый ряд нарушений в организме. Из-за очень малой длины волны волновые свойства рентгеновского излучения (интерференцию и дифракцию) можно обнаружить только на структурах, сравнимых с размерами атомов.

Гамма-излучением (-излучением) называют электромагнитные волны с частотой, большей, чем 1020 Гц (или длиной волны, меньшей 0,01 нм). Возникают такие волны в ядерных процессах. Особенностью -излучения является его ярко выраженные корпускулярные свойства (т.е. это излучение ведет себя как поток частиц). Поэтому о -излучении часто говорят как о потоке -частиц.

В задаче 24.1.1 для установления соответствия между единицами измерений используем формулу (24.1), из которой следует, что период колебаний в контуре с конденсатором емкостью 1 Ф и индуктивностью 1 Гн равен секунд (ответ 1).

Из графика, данного в задаче 24.1.2, заключаем, что период электромагнитных колебаний в контуре составляет 4 мс (ответ 3).

По формуле (24.1) находим период колебаний в контуре, данном в задаче 24.1.3: (ответ 4). Отметим, что согласно шкале электромагнитных волн такой контур излучает волны длинноволнового радиодиапазона.

Периодом колебания называется время одного полного колебания. Это значит, что если в начальный момент времени конденсатор заряжен максимальным зарядом (задача 24.1.4), то через половину периода конденсатор будет также заряжен максимальным зарядом, но с обратной полярностью (та пластина, которая изначально была заряжена положительно, будет заряжена отрицательно). А максимальный в контуре ток будет достигаться между этими двумя моментами, т.е. через четверть периода (ответ 2).

Если увеличить индуктивность катушки в четыре раза (задача 24.1.5), то согласно формуле (24.1) период колебаний в контуре возрастет в два раза, а частота уменьшится в два раза (ответ 2).

Согласно формуле (24.1) при увеличении емкости конденсатора в четыре раза (задача 24.1.6) период колебаний в контуре увеличивается в два раза (ответ 1).

При замыкании ключа (задача 24.1.7) в контуре вместо одного конденсатора будут работать два таких же конденсатора, соединенных параллельно (см. рисунок). А поскольку при параллельном соединении конденсаторов их емкости складываются, то замыкание ключа приводит к двукратному увеличению емкости контура. Поэтому из формулы (24.1) заключаем, что период колебаний увеличивается в раз (ответ 3).

Пусть заряд на конденсаторе совершает колебания с циклической частотой (задача 24.1.8). Тогда согласно формулам (24.3)-(24.5) с той же частотой будет совершать колебаний ток в катушке. Это значит, что зависимость тока от времени может быть представлена в виде . Отсюда находим зависимость энергии магнитного поля катушки от времени

Из этой формулы следует, что энергия магнитного поля в катушке совершает колебания с удвоенной частотой, и, значит, с периодом, вдвое меньшим периода колебания заряда и тока (ответ 1).

В задаче 24.1.9 используем закон сохранения энергии для колебательного контура. Из формулы (24.2) следует, что для амплитудных значений напряжения на конденсаторе и тока в катушке справедливо соотношение

(здесь в отличие от (24.2) использовано другое выражение для энергии конденсатора). Или А (ответ 2).

В задаче 24.1.10 удобно использовать закон сохранения энергии в виде (24.2). Имеем

где и — амплитудные значения заряда конденсатора и тока в катушке. Из этой формулы с использованием соотношения (24.1) для периода колебаний в контуре находим амплитудное значение тока

ответ 3.

Радиоволны — электромагнитные волны с определенными частотами. Поэтому скорость их распространения в вакууме равна скорости распространения любых электромагнитных волн, и в частности, рентгеновских. Эта скорость — скорость света (задача 24.2.1 — ответ 1).

Как указывалось ранее, заряженные частицы излучают электромагнитные волны при движении с ускорением. Поэтому волна не излучается только при равномерном и прямолинейном движении (задача 24.2.2 — ответ 1).

Электромагнитная волна — это особым образом изменяющиеся в пространстве и времени и поддерживающие друг друга электрическое и магнитное поля. Поэтому правильный ответ в задаче 24.2.32.

Из данного в условии задачи 24.2.4 графика следует, что период данной волны — = 4 мкс. Поэтому из формулы (24.6) получаем м (ответ 1).

В задаче 24.2.5 по формуле (24.6) находим

(ответ 4).

С антенной приемника электромагнитных волн связан колебательный контур. Электрическое поле волны действует на свободные электроны в контуре и заставляет их совершать колебания. Если частота волны совпадает с собственной частотой электромагнитных колебаний, амплитуда колебаний в контуре возрастает (резонанс) и может быть зарегистрирована. Поэтому для приема электромагнитной волны частота собственных колебаний в контуре должна быть близка к частоте этой волны (контур должен быть настроен на частоту волны). Поэтому если контур нужно перенастроить с волны длиной 100 м на волну длиной 25 м (задача 24.2.6), собственная частота электромагнитных колебаний в контуре должна быть увеличена в 4 раза. Для этого согласно формулам (24.1), (24.4) емкость конденсатора следует уменьшить в 16 раз (ответ 4).

Согласно шкале электромагнитных волн (см. введение к настоящей главе), максимальной длиной из перечисленных в условии задачи 24.2.7 электромагнитных волн обладает излучение антенны радиопередатчика (ответ 4).

Среди перечисленных в задаче 24.2.8 электромагнитных волн максимальной частотой обладает рентгеновское излучение (ответ 2).

Электромагнитная волна является поперечной. Это значит, что векторы напряженности электрического поля и индукции магнитного поля в волне в любой момент времени направлены перпендикулярно направлению распространения волны. Поэтому при распространении волны в направлении оси (задача 24.2.9), вектор напряженности электрического поля направлен перпендикулярно этой оси. Следовательно, обязательно равна нулю его проекция на ось = 0 (ответ 3).

Скорость распространения электромагнитной волны — есть индивидуальная характеристика каждой среды. Поэтому при переходе электромагнитной волны из одной среду в другую (или из вакуума в среду) скорость электромагнитной волны изменяется. А что можно сказать о двух других параметрах волны, входящих в формулу (24.6), — длине волны и частоте . Будут ли они изменяться при переходе волны из одной среды в другую (задача 24.2.10)? Очевидно, что частота волны не изменяется при переходе из одной среды в другую. Действительно, волна это колебательный процесс, в котором переменное электромагнитное поле в одной среде создает и поддерживает поле в другой среде благодаря именно этим изменениям. Поэтому периоды этих периодических процессов (а значит и частоты) в одной и другой среде должны совпадать (ответ 3). А поскольку скорость волны в разных средах разная, то из проведенных рассуждений и формулы (24.6) следует, что длина волны при ее переходе из одной среды в другую — изменяется.

Формула длины волны в физике

Содержание:

Определение и формула длины волны

Определение

Длиной волны называют кратчайшее пространственное расстояние между ее точками, совершающими колебания в одной фазе. Обозначают длину волны, чаще всего буквой $\lambda$ .

Для синусоидальных волн $\lambda$ – это расстояние, на которое волна распространяется за один период (T). Длину волны в этом случае еще называют пространственным периодом. Тогда формулой длины волны можно считать выражение:

$$\lambda=v T=\frac{v}{\nu}=\frac{2 \pi}{k}$$

где v – скорость распространения волны, $\nu=\frac{1}{T}$ – частота колебаний, $k=\frac{\omega}{v}$ – волновое число, $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ – период волны, $\omega$ – циклическая частота волны.

Длина стоячей волны

Длиной стоячей волны($\lambda_{st}$) называют расстояние в пространстве между двумя пучностями (или узлами):

$$\lambda_{s t}=\frac{\pi}{k}=\frac{\lambda}{2}(2)$$

где $\lambda$ – длина бегущей волны. Надо заметить, что расстояние между соседними пучностью и узлом связывает равенство:

$$\frac{\lambda_{s t}}{2}=\frac{\lambda}{4}(3)$$

Длина бегущей волны

В бегущей волне длина волны связана с фазовой скоростью (vph) формулой:

$$\lambda=\frac{v_{p h}}{\nu}(4)$$

Длина бегущей волны

Разность фаз и длина волны

Две точки волны находящиеся на расстоянии $\Delta x$ имеют при колебании разность фаз ($\Delta \varphi$), которая равна:

$$\Delta \varphi=\frac{2 \pi \Delta x}{\lambda}(5)$$

Длина электромагнитной волны

Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме равна скорости света в вакууме ($c \approx 3 \cdot 10^{8}$ м/с), следовательно, длина электромагнитной волны в вакууме, может быть рассчитана при помощи формулы:

$$\lambda=c T=\frac{c}{\nu}(6)$$

Длина электромагнитной волны в веществе равна:

$$\lambda=\frac{c}{n \nu}(7)$$

где $n=\sqrt{\varepsilon \mu}$ – показатель преломления вещества, $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость вещества, $\mu$ – магнитная проницаемость вещества.

Отметим, что все рассматриваемые формулы относят к случаю T=const.

Единицы измерения длины волны

Основной единицей измерения длины волны в системе СИ является: [$\lambda$]=м

В СГС: [$\lambda$]=см

Примеры решения задач

Пример

Задание. Каково приращение длины электромагнитной волны, имеющей частоту v=1 МГц при ее переходе в немагнитную среду, которая имеет диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$=2?

Решение. Так как речь в условии задачи идет о немагнитной среде, в которую переходит волна, то считаем магнитную проницаемость вещества равной единице ($\mu$=1).

Длина рассматриваемой нами волны в вакууме равна:

$$\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}(1.1)$$

Длина волны в веществе:

$$\lambda_{2}=\frac{c}{n \nu}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu} \cdot \nu}(1.2)$$

Используя выражения (1.1) и (1.2) найдем изменение длины волны:

$$\Delta \lambda=\lambda_{2}-\lambda_{1}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu} \cdot \nu}-\frac{c}{\nu}=\frac{c}{\nu}\left(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}-1\right)$$

Проведем вычисления, если нам известно помимо данных приведенных в условии задачи, что $c \approx 3 \cdot 10^{8}$ м/с- скорость света в вакууме, и v=1 МГц=106 Гц:

$$\Delta \lambda=\frac{3 \cdot 10^{8}}{10^{6}}\left(\frac{1}{\sqrt{4 \cdot 1}}-1\right)=-1,5 \cdot 10^{2}(\mathrm{~m})$$

Ответ. Длина волны уменьшится на 150 м

Слишком сложно?

Формула длины волны не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Какова длина плоской синусоидальной волны, которая распространяется по оси X. Две точки, которые находятся на оси X расположенные на расстояниях 2 м и 3 м от источника совершают колебания с разностью фаз равной $\Delta \varphi=\frac{3 \pi}{5}$ . Каким будет период колебаний в волне, если ее скорость в данной среде равна v=2м/с?

Решение. Сделаем рисунок.

Основой для решения задачи будет формула:

$$\Delta \varphi=\frac{2 \pi \Delta x}{\lambda}=\frac{2 \pi\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\lambda}(2.1)$$

Выразим из (2.1) искомую длину волны, получим:

$$\lambda=\frac{2 \pi\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\Delta \varphi}(2.2)$$

Период колебаний связан с длиной волны формулой:

$$T=\frac{\lambda}{v}(2.3)$$

C учетом (2.2), имеем:

$$T=\frac{2 \pi\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\Delta \varphi v}$$

Проведем вычисления:

$$ \begin{array}{c} \lambda=\frac{2 \pi(3-2)}{3 \pi} \cdot 5=\frac{10}{3}(m) \\ T=\frac{10}{3 \cdot 2}=1,67(c) \end{array} $$

Ответ. $\lambda \approx 3,3 \mathrm{~m} ; T \approx 1,67 \mathrm{c}$

Читать дальше: Формула количества теплоты.

Определения по колебаниям и волнам

АВТОКОЛЕБАНИЯ - незатухающие колебания физической системы, которые поддерживаются источником энергии, находящимся в самой системе. Амплитуда и период А.К. определяются свойствами системы.

АМПЛИТУДА КОЛЕБАНИЙ - наибольшее значение xm, которого достигает физическая величина х (смещение, сила тока, напряженность электрического поля и т.д.), совершающая гармонические колебания, т. е. изменяющаяся по закону xxmсоs(ω.tφ), где t - время, xmωφ - постоянные (при гармонических колебаниях) величины. Другими словами А. определяет "размах" колебаний. В этом смысле термин А. может применяться к негармоническим колебаниям.

БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ - волны, переносящие энергию вдоль направления их распространения. (Ср.стоячие волны).

ВОЛНОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ - совокупность точек среды, в которых в данный момент времени фаза волны имеет одно и то же значение.

ВОЛНЫ - возмущения (изменения состояния среды или поля), распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью. Распространение волн связано с переносом энергии без переноса вещества, при этом возможны явления отражения, преломления, дисперсии, интерференции. дифракции, поляризации, поглощения и рассеяния волн. (См. упругие волны, электромагнитные волны).

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ -колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия. Характер их определяется как свойствами внешнего воздействия, так и свойствами самой системы. Если частота внешнего воздействия приближается к частоте собственных колебаний системы, то амплитуда В.К. резко возрастает - наступает  резонанс. Ср.собственные колебания.

ВЫСОТА ЗВУКА -  качество (характеристика) звука, определяемое человеком по восприятию (субъективно) и связанное с частотой звука. С ростом частоты В.з. увеличивается.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - процесс периодических изменений во времени физической величины, для математического описания которого используются гармонические функции синус или косинус:  или  . По гармоническому закону могут изменяться смещение тела от положения равновесия, величина электрического заряда, напряженность поля, сила тока и т.д. Любое сложное колебание можно представить как сумму гармонических колебаний.

ГИПЕРЗВУК - упругие волны с частотой, превышающей 109 Гц. Верхний предел частоты Г. в кристаллах и жидкостях (1012-1013 Гц.), в газах (109 Гц.) соответствует частотам, при которых длина волны Г. соизмерима с межмолекулярными расстояниями, а в газах - со средней длиной свободного пробега молекул. См. такжезвук, инфразвук, ультразвук

ГРОМКОСТЬ ЗВУКА – качество (характеристика) звука, определяемая человеком по восприятию (субъективно) и связанное с амплитудой звуковых колебаний и частотой звука.

ДАВЛЕНИЕ ЗВУКА - среднее по времени избыточное давление, которое испытывает препятствие, помещенное в поле звуковой волны. Скалярная величина, равная отношению импульса, передаваемого звуковой волной поверхности препятствия, к площади этой поверхности и времени, в течение которого происходила передача импульса. Ср. звуковое давление.

ДИСПЕРСИЯ ВОЛН - зависимость фазовой скорости гармонических (синусоидальных) волн в веществе от их частоты.

ДИФРАКЦИЯ ВОЛН – явление огибания волнами встречных препятствий. Под Д.в. понимают как нарушение прямолинейности распространения волн, так и сопутствующие ему интерференционные явления (см. интерференция волн).

ДЛИНА ВОЛНЫ – физическая величина, характеризующая синусоидальную (гармоническую) волну, равная расстоянию между двумя ближайшими точками среды, разность фаз волны в которых равна 2π.  Д.в. l связана с частотой колебаний ν и фазовой скоростью  ω  соотношением λ=TV.

ЗАТУХАНИЕ КОЛЕБАНИЙ - постепенное ослабевание собственных колебаний, обусловленное потерями энергии колебательной системой. З.к. приводит к уменьшению амплитуды колебаний.

ЗВУК (звуковые волны) - упругие волны, распространяющиеся в твердых, жидких и газообразных средах. В зависимости от частоты колебаний З. условно подразделяется на инфразвук (частотой до 16 Гц), слышимый звук (16 Гц - 20 кГц), ультразвук (20 кГц - 1 ГГц) и гиперзвук (более 1 ГГц).

ЗВУКОВОЕ ДАВЛЕНИЕ - переменное давление, избыточное над равновесным, возникающее при прохождении звуковой волны в жидкой или газообразной среде.

ИЗЛУЧЕНИЕ - 1) И. волн и частиц - процесс испускания звуковых волн источниками звука, радиоволн - антеннами, света и рентгеновских лучей - атомами и молекулами, α-, β-частиц  и γ-лучей атомными ядрами. 2) Сами эти волны и частицы как движущиеся объекты. (См. Альфа-лучи, Бета-лучи и т.д.)

ИНТЕНСИВНОСТЬ ВОЛНЫ, плотность потока излучения - физическая величина, равная при равномерном распределении энергии излучения отношению мощности волны, к площади волнового фронта. Единица в СИ - .

ИНТЕНСИВНОСТЬ ЗВУКА, сила звука – физическая величина, равная отношению энергии, переносимой звуковой волной через поверхность, расположенную перпендикулярно к направлению распространения волны, к площади поверхности и промежутку времени, в течение которого происходил процесс. Единица И.з. в СИ - .

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН - явление наложения двух или нескольких волн, при котором в пространстве происходит перераспределение энергии результирующей волны. Если волны когерентны, то в пространстве получается устойчивое во времени распределение амплитуд с чередующимися максимумами и минимумами (интерференционная картина). Имеет место для всех волн независимо от их природы. Ср.дифракция волн.

ИНФРАЗВУК- упругие волны с частотой менее 16 Гц, которые не воспринимаются ухом человека. Источники И.: газовые разряды в атмосфере, ветер, колебания земной коры и поверхности моря. См. звук, ультразвук, гиперзвук.

КОГЕРЕНТНОСТЬ - согласованное протекание во времени нескольких колебательных или волновых процессов. Когерентными наз. колебания с одинаковой частотой (длиной волны) и постоянной разностью фаз. К.- необходимое условие возникновения интерференции (см.интерференция волн, интерференция света).

КОЛЕБАНИЯ - движения (изменения состояния), характеризующиеся той или иной степенью повторяемости во времени. Различают К.: механические (К. маятников, струн, пластин, замкнутых объемов воздуха и т.д.), электромагнитные (К. электрического тока и напряжения в колебательном контуре или волноводе, переменный ток и т.д.) и электромеханические (К. пьезоэлектрических и магнитострикционных излучателей и т.д.). Простейшие периодические колебания - гармонические колебания.

КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА – система тел, способная совершать свободные колебания. Признаки К.с. – наличие положения устойчивого равновесия, малое трение (электрическое сопротивление).

МАЯТНИК - твердое тело (или система тел), способное совершать колебания около неподвижной точки или оси. См. математический маятник, физический маятник.

МАЯТНИК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ – идеализированный объект: колебательная система, состоящая изматериальной точки, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) и центра тяготения (напр., Земли). М.м. совершает колебания в вертикальной плоскости. При малых колебаниях период колебаний М.м. не зависит от амплитуды и выражается формулой , где  - длина нити, а g - ускорение свободного падения. Ср.маятник пружинный.

МАЯТНИК ПРУЖИННЫЙ – идеализированный объект: колебательная система, состоящая изматериальной точки, прикрепленной к концу невесомой пружины. При малых колебаниях период колебаний М.п. не зависит от амплитуды и выражается формулой , где m– масса материальной точки, kжесткость пружины. Ср. маятник математический.

МИКРОФОН – устройство для преобразования звуковых колебаний в электрические.

ОТРАЖЕНИЕ ЗВУКА – процесс возвращения звуковой волны при ее встрече с границей раздела двух сред, имеющих различную плотность и сжимаемость, обратно в первоначальную среду. Одно из проявлений о.з. - эхо.

ОТРАЖЕНИЯ ВОЛН ЗАКОН - луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр, восставленный в точку падения луча, лежат в одной плоскости, причем угол падения равен углу преломления. Закон справедлив для зеркального отражения.

ПЕРИОД - наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих данный периодический процесс (напр., период колебаний).

ПОПЕРЕЧНАЯ ВОЛНА - волна, распространяющаяся в направлении, перпендикулярном к плоскости, в которой колеблются частицы среды (для упругой волны) или в которой расположены векторы электрической напряженности и магнитной индукции (для электромагнитной волны). Ср. продольная волна.

РЕЗОНАНС – явление более или менее резкого возрастания амплитуды установившихся вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия приближается к частоте собственных колебаний системы.

РЕЗОНАТОР - система (тело или специальное устройство), в которой может происходить резонанс. Примеры Р.: камертон, воздушная полость (акустический Р.), колебательный контур (электрический резонатор).

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (собственные колебания)

СДВИГ ФАЗ - разность фаз переменных физических величин, изменяющихся по синусоидальному закону с одинаковой частотой. Измеряется в радианах.

СКОРОСТЬ ЗВУКА - скорость распространения звуковых волн в среде. В газах с.з. меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях меньше, чем в твердых телах. В воздухе при нормальных условиях с.з. 330 м/с, в воде - 1500 м/с, в тв. телах 2000 - 6000 м/с.

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, свободные колебания - колебания, возникающие в колебательной системе, которая не подвергается переменным внешним воздействиям, вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия. В реальных макроскопических системах из-за потери энергии с.к. всегда затухают.

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ - колебания в резонаторе (струне, мембране, камертоне и т.п.), характеризующиеся чередованием максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Возникают в результате интерференции двух бегущих волн, амплитуда которых одинакова, а направления распространения взаимно противоположны.

ТЕМБР звука - качественная субъективная оценка звука, издаваемого музыкальным инструментом, звуковоспроизводящим устройством или голосовым аппаратом людей и животных. Характеризует оттенок звучания и зависит от того, какие обертоны сопутствуют основному тону и каковы их интенсивность.

УПРУГИЕ ВОЛНЫ - механические возмущения (деформации), распространяющиеся в среде, обладающей упругостью. В жидкостях и газах могут образовываться только продольные у.в., при которых среда  испытывает только деформацию сжатия (растяжения) и частицы среды колеблются вдоль направления распространения волены. В твердых телах возникают как продольные, так и поперечные у.в. При поперечных у.в. среда испытывает деформацию сдвига, и частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны.

ФАЗА КОЛЕБАНИЙ - физическая величина, применяемая для описания состояния периодического колебательного процесса в каждый момент времени: , где ω - угловая частотаφ0- значение фазы в начальный момент времени (начальная фаза). Выражается в угловых единицах (напр., радианах) или долях периода колебаний.

ФРОНТ ВОЛНЫ - см. волновая поверхность.

ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ - физическая величина, равная отношению числа полных колебаний, совершаемых телом, к промежутку времени, за которое они совершены. Применяется для описания колебательного процесса. Обратно пропорциональна периоду колебаний. Единица в СИ - Герц.

ЭХО - волна, отраженная от какого-либо препятствия и принятая наблюдателем (приемником). Радиоэхо используют в радиолокации, звуковое эхо - в гидролокации.

Механические колебания и волны [wiki.eduVdom.com]

Механические колебания - движения тела, которые полностью или почти полностью повторяются через равные промежутки времени.{2}}{2} $$ Подставив a и F во второй закон Ньютона ma=F ,получаем уравнения колебаний $$ m{x}''=-kx $$

Его решением является формулой (1),где $$ \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} $$

Период колебания груза: $$ T =2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$

Математический маятник- материальная точка массы M на нерастяжимой нити длины l. Период колебаний математического маятника не зависит от его массы: $$ T =2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} $$

$$ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} $$ При отсутствии трения полная энергия $$ E=E_{кин}+E_{пот} $$ системы . которая совершает гармонические колебания, сохраняется А кинетическая энергия переходит в потенциальную, и наоборот.

Трение приводит к постепенному уменьшению амплитуды колебаний.

Резонанс - явление резкого увеличения амплитуды колебаний, когда частота внешней вынуждающей силы приближается к частоте свободных колебаний системы.

Волной называется процесс распространениея колебаний Длиной волны $ \lambda $ называется растояние между ближайшими точками колеблющимися в одинаковых фазах.

Скорость волны V называется скорость распространения колебаний $$ V=\frac{\lambda}{T} $$ T - период колебаний.

Скорость звука в воздухе 330 м/сек, в воде 1500 м/сек.

★ Падение Такомского моста (1940-й год) ★

7 ноября 1940 года в 11:00 по местному времени при ветре скоростью около 65 км/ч произошла авария, которая привела к разрушению центрального пролёта моста. Движение в этот момент было весьма слабым, и единственный водитель машины, оказавшейся на мосту, успел покинуть её и спастись.

Во многих учебниках причиной аварии называется явление вынужденного механического резонанса, когда внешняя частота изменения ветрового потока совпадает с собственной (внутренней) частотой колебаний конструкций моста. Однако истинной причиной стал аэроупругий флаттер (динамические крутильные колебания) из-за недоучета ветровых нагрузок при проектировании сооружения. Такомский_мост

Дополнение: флаттер – это колебания системы (моста, самолета), а резонанс – это резкое увеличение амплитуды колебаний, то есть резонанс – результат флаттера, который приводит к разрушениям различных технических систем. Резонанс и флаттер.

✘ Посмотрите как важно знать эту тему. Проектировщики этого моста - её не знали! ✘

Веб-сайт класса физики

Основы Wave: обзор набора задач

Этот набор из 29 задач нацелен на вашу способность определять такие величины волн, как частота, период, длина волны, амплитуда и скорость, на основе словесных описаний и диаграмм физических ситуаций, относящихся к волнам. Проблемы варьируются по сложности от очень простых и простых до очень сложных и сложных.Более сложные задачи обозначены цветом , синие задачи .

Частота и период

Волна - это пример периодического движения. Частицы среды колеблются взад и вперед относительно фиксированного положения. Время, которое требуется такой частице для завершения одного полного цикла, известно как период . Единицы периода - это просто секунды (или минуты, или часы, или некоторая единица времени).Частота волны описывает количество полных циклов, которые завершаются в течение заданного периода времени. Таким образом, частота - это величина скорости, которая описывает скорость колебаний или вибраций, циклов или волн в секунду. Распространенной единицей измерения частоты является Герц, сокращенно Гц. Герцы обозначают количество полных циклов в секунду.

Существует математическая зависимость между частотой ( f ) волны и периодом ( T ) волны, которая обозначается следующим соотношением:

f = 1 / T

Знание частоты позволяет автоматически рассчитать период, и наоборот.

Скорость волны

Волны распространяются в среде. Знакомая картина синусоидальной волны состоит из гребня и впадины (или, в случае продольных волн, сжатия и разрежения). Можно увидеть, как гребень движется по среде из одного места в другое. Скорость (или скорость) волны определяется как расстояние, которое гребень волны проходит за единицу времени. Как и скорость бегуна или автомобиля, скорость волны ( v ) - это просто отношение расстояния ( d ), пройденного за время движения ( t ), как показано в следующем уравнении.

v = д / т


Анатомия волны

Представьте себе волну, движущуюся через среду, такую ​​как веревка или змея. А затем представьте, что моментальный снимок может быть сделан в определенный момент времени, таким образом, замораживая движение волны и обеспечивая изображение формы среды. Результатом будет диаграмма, подобная приведенной ниже (конечно, без всех меток).

Метки были добавлены для обозначения нескольких стратегических точек. Пунктирная линия, которая проходит горизонтально через середину рисунка, известна как положение покоя . Точки, обозначенные , гребни , находятся в точках максимального смещения над положением покоя; лотки находятся в точках максимального смещения ниже положения покоя. Вертикальное расстояние от гребня до положения покоя известно как амплитуда .А горизонтальное расстояние, простирающееся между любыми двумя соседними гребнями (или между соседними впадинами), известно как длина волны . Более подробное и исчерпывающее обсуждение анатомии волны можно найти в The Physics Classroom Tutorial.

Волновое уравнение

Существует математическая зависимость между скоростью или скоростью (v) волны и частотой (f) и длиной волны (λ) волны.Эта связь выражается волновым уравнением

v = f • λ

Знание двух из трех величин позволяет вычислить третью величину.

Анализ модели стоячей волны

Когда волна вводится в среду, такую ​​как веревка или змея, она проходит всю длину среды, а затем отражается обратно, достигнув конца среды.На определенных частотах отраженная часть волны встречается с исходной волной, создавая узор, известный как узор стоячей волны . В модели стоячей волны вдоль среды есть точки, которые кажутся неподвижными. Эти точки известны как узлов и легко запоминаются как точки размещения no dis . Между двумя соседними узлами всегда есть пучность. Antinodes - точки максимального положительного и отрицательного смещения.В таких образцах стоячих волн существует уникальное соотношение половинного числа между длиной среды и длиной волны, которые определяют структуру, присутствующую в среде. Эти отношения показаны ниже для диаграмм стоячей волны, имеющих один узел (первая гармоника), два узла (вторая гармоника) и три узла (третья гармоника).

Другие шаблоны для четырех и более узлов можно было бы нарисовать, просто расширив принципы, которые использовались для первых трех шаблонов.Исходя из структуры и длины среды, длину волны можно определить с помощью приведенных выше уравнений. Точно так же длину среды можно определить по длине волны. Более подробное и исчерпывающее обсуждение математики моделей стоячих волн можно найти в Учебном пособии по физике.

Волновые помехи

Встреча двух волн, движущихся в противоположных направлениях по одной и той же среде, называется интерференцией.Когда две волны интерферируют, среда принимает новую результирующую форму, которая отражает одновременное влияние обеих волн на частицы среды. Величину смещения отдельных частиц можно определить, используя принцип суперпозиции . Согласно этому принципу, смещение отдельной частицы в момент времени - это просто алгебраическая сумма смещений, которые частица будет иметь в результате отдельных волн. Таким образом, если волна A имеет гребень, который встречается с впадиной волны B в данном месте и в определенный момент времени, то смещение среды в этом месте представляет собой просто сумму амплитуды волны A и амплитуды волны B.В этом случае волна B будет иметь отрицательную амплитуду, так как это впадина; и поэтому положительная амплитуда и отрицательная амплитуда будут добавлены вместе, чтобы определить смещение среды в этом месте и в данный момент времени. Более подробное и исчерпывающее обсуждение интерференции волн и принципа суперпозиции можно найти в Учебном пособии по физике.

Граничное поведение

Механические волны проходят через среду (воду, струну, веревку, змею).Среда не распространяется в пространстве вечно; в конечном итоге средний конец. Например, веревка может оканчиваться у стены, к которой она привязана, образуя таким образом границу с другой средой (стеной). Или конец одной змеи может быть привязан к концу другой змеи, образуя таким образом границу между двумя змеями. Когда волна достигает такой границы, часть ее энергии передается в новую среду, а часть ее энергии отражается от границы обратно в исходную среду. Это известно как граничное поведение.В результате отражения и передачи часто можно наблюдать изменения амплитуды, длины волны и скорости. Чаще всего наблюдается, что переданная волна (или импульс) имеет другую длину волны и скорость, чем падающая волна (или импульс) . Хотя длина волны и скорость могут изменяться, когда волна проходит через границу, частота остается прежней. Знание этого позволяет провести граничный анализ прохождения волны через границу. Более подробное и исчерпывающее обсуждение поведения границ можно найти в Учебном пособии по физике.

Использование концептуального подхода

Физические задачи - это больше, чем просто упражнения в математических манипуляциях с формулами алгебры. Не заблуждайтесь, решение многих физических задач требует умения математически манипулировать уравнением, чтобы найти неизвестную переменную. Однако для решения многих физических задач требуется нечто большее, чем математика. Фактически, во многих случаях ученик, обладающий хорошими математическими навыками, пропускает задачу из-за концептуального непонимания.Во многих задачах из этого набора вам нужно будет использовать свое понимание длины волны, частоты, периода и скорости волны, чтобы правильно интерпретировать словесную информацию в формулировке задачи. Например, вам нужно будет прочитать такую ​​фразу, как «раскачивать его вверх и вниз 32 вибрациями за 10 секунд» и использовать концептуальные представления, чтобы соответствующим образом извлечь числовую информацию из проблемы и связать ее с переменными уравнений. Более того, во многих случаях в описании проблемы указываются посторонние числовые значения; такие значения не нужно использовать в решении.Эта посторонняя информация будет только отвлекать студентов, которые рассматривают физические задачи как простые математические упражнения, мало связанные с физическими концепциями.

Физика - это концептуальные идеи и отношения; а наборы задач проверяют ваше концептуальное понимание этих отношений. Если вы относитесь к этой задаче как к простому упражнению в алгебраической манипуляции с уравнениями физики, то вы, скорее всего, быстро разочаруетесь. Продолжая решать этот набор задач, будьте внимательны к концепциям.Никогда не лишайте физику ее концептуального значения.

Привычки эффективно решать проблемы

Эффективный решатель проблем по привычке подходит к физическим проблемам таким образом, чтобы отражать набор дисциплинированных привычек. Хотя не все эффективные специалисты по решению проблем используют один и тот же подход, все они имеют общие привычки. Эти привычки кратко описаны здесь. Эффективное решение проблем...

  • ... внимательно читает задачу и создает мысленную картину физической ситуации. При необходимости они набрасывают простую схему физической ситуации, чтобы помочь визуализировать ее.
  • ... определяет известные и неизвестные величины в организованном порядке, часто записывая их на диаграмме. Они приравнивают заданные значения к символам, используемым для представления соответствующей величины (например, v = 12,8 м / с, λ = 4,52 м, f = ???).
  • ...построит стратегию решения неизвестной величины; стратегия, как правило, сосредоточена вокруг использования физических уравнений и во многом зависит от понимания принципов физики.
  • ... определяет подходящую (ые) формулу (ы) для использования, часто записывая их. При необходимости они выполняют необходимое преобразование количеств в правильные единицы.
  • ... выполняет подстановки и алгебраические манипуляции, чтобы найти неизвестную величину.

Подробнее ...

Дополнительная литература / Учебные пособия:

Следующие страницы из учебного пособия по физике могут быть полезны для понимания концепций и математики, связанных с этими проблемами.

Набор задач Wave Basics

Просмотреть набор задач

Решения Wave Basics с аудиогидом

Ознакомьтесь с аудиогидом решения проблемы:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29

Учебное пособие по физике: Волновое уравнение

Как обсуждалось в Уроке 1, волна возникает, когда вибрирующий источник периодически мешает первой частице среды.Это создает волновой узор, который начинает перемещаться по среде от частицы к частице. Частота, с которой вибрирует каждая отдельная частица, равна частоте вибрации источника. Точно так же период колебаний каждой отдельной частицы в среде равен периоду колебаний источника. За один период источник способен переместить первую частицу вверх из состояния покоя, обратно в состояние покоя, вниз из состояния покоя и, наконец, обратно в состояние покоя. Это полное возвратно-поступательное движение составляет один полный волновой цикл.


На диаграммах справа показаны несколько «снимков» образования волны внутри веревки. Изображается движение возмущения по среде через каждую четверть периода. Обратите внимание, что за время, которое проходит от первого до последнего снимка, рука совершила одно полное движение вперед-назад. Срок истек. Обратите внимание, что за это же время передний фронт возмущения переместился на расстояние, равное одной полной длине волны.Таким образом, за время одного периода волна переместилась на расстояние в одну длину волны. Комбинируя эту информацию с уравнением для скорости (скорость = расстояние / время), можно сказать, что скорость волны также является длиной волны / периодом.

Поскольку период является обратной величиной частоты, выражение 1 / f может быть подставлено в приведенное выше уравнение для периода. Преобразование уравнения дает новое уравнение вида:

Скорость = Длина волны • Частота

Приведенное выше уравнение известно как волновое уравнение.Он устанавливает математическое соотношение между скоростью ( v ) волны и ее длиной (λ) и частотой ( f ). Используя символы v , λ и f , уравнение можно переписать как

v = f • λ

В качестве проверки вашего понимания волнового уравнения и его математического использования при анализе волнового движения рассмотрите следующий вопрос из трех частей:

Стэн и Анна проводят хитрый эксперимент.Они изучают возможное влияние нескольких переменных на скорость волны в обтяжке. Их таблица данных приведена ниже. Заполните пропуски в таблице, проанализируйте данные и ответьте на следующие вопросы.

Средний Длина волны Частота Скорость
Цинк,

1 дюйм.диам. катушки

1,75 м 2,0 Гц ______
Цинк,

1 дюйм. диам. катушки

0,90 м 3,9 Гц ______
Медь,

1 дюйм. диам.катушки

1,19 м 2,1 Гц ______
Медь,

1 дюйм. диам. катушки

0,60 м 4,2 Гц ______
Цинк,

3 дюйма диам. катушки

0.95 кв.м. 2,2 Гц ______
Цинк,

3 дюйма диам. катушки

1,82 м 1,2 Гц ______

1. По мере увеличения длины волны в однородной среде ее скорость будет _____.

а. уменьшение

г. увеличить

г. остаются прежними

2. По мере увеличения длины волны в однородной среде ее частота будет _____.

а. уменьшение

г.увеличить

г. остаются прежними

3. Скорость волны зависит от (т. Е. Причинно зависит от) ...

а. свойства среды, в которой распространяется волна

г. длина волны.

г. частота волны.

г.как длина волны, так и частота волны.

В приведенном выше примере показано, как использовать волновое уравнение для решения математических задач. Это также иллюстрирует принцип, согласно которому скорость волны зависит от свойств среды и не зависит от свойств волны. Несмотря на то, что скорость волны вычисляется путем умножения длины волны на частоту, изменение длины волны не влияет на скорость волны.Скорее, изменение длины волны влияет на частоту обратным образом. Удвоение длины волны приводит к уменьшению частоты вдвое; но скорость волны не изменилась.

Проверьте свое понимание

1. Две волны на одинаковых струнах имеют частоты в соотношении 2: 1. Если их волновые скорости одинаковы, то как соотносятся их длины волн?

а.2: 1

г. 1: 2

г. 4: 1

г. 1: 4

2. Мак и Тош стоят на расстоянии 8 метров друг от друга и демонстрируют движение поперечной волны на змейке. Волна e может быть описана как имеющая вертикальное расстояние 32 см от впадины до гребня, частота 2.4 Гц и горизонтальное расстояние 48 см от гребня до ближайшего желоба. Определите амплитуду, период, длину и скорость такой волны.


3. Дон и Арам протянули между собой пояс и начали экспериментировать с волнами. Поскольку частота волн удваивается,

а. длина волны уменьшается вдвое, а скорость остается постоянной

г.длина волны остается постоянной, а скорость удваивается

г. длина волны и скорость уменьшаются вдвое.

г. длина волны и скорость остаются постоянными.

4. Колибри с рубиновым горлом взмахивает крыльями со скоростью около 70 взмахов крыльев в секунду.

а. Какая частота звуковой волны в Герцах?

г.Если предположить, что звуковая волна движется со скоростью 350 м / с, какова длина волны?

5. Во время шторма наблюдается движение океанских волн по поверхности воды. Метеостанция береговой охраны отмечает, что расстояние по вертикали от верхней точки до нижней точки составляет 4,6 метра, а по горизонтали - 8,6 метра между соседними гребнями. Волны падают на станцию ​​раз в 6.2 секунды. Определите частоту и скорость этих волн.


6. Две лодки стоят на якоре на расстоянии 4 метров друг от друга. Они подпрыгивают вверх и вниз, возвращаясь в одно и то же верхнее положение каждые 3 секунды. Когда один наверху, другой не работает. Между лодками никогда не бывает гребней волн. Рассчитайте скорость волн.

волн | Безграничная физика

Волны

Волновое движение передает энергию из одной точки в другую, обычно без постоянного смещения частиц среды.

Цели обучения

Описать процесс переноса энергии и массы при волновом движении

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Волну можно рассматривать как возмущение или колебание, которое распространяется в пространстве-времени и сопровождается передачей энергии.
  • Волна распространяется перпендикулярно направлению ее колебаний для поперечных волн.
  • Волна не перемещает массу в направлении распространения; он передает энергию.
Ключевые термины
  • среда : Материал или пустое пространство, через которое проходят сигналы, волны или силы.
  • направление распространения : ось, вдоль которой распространяется волна.
  • волна : движущееся возмущение энергетического уровня поля.

Колебания и волны - чрезвычайно важные явления в физике. В природе колебания встречаются повсюду. Мы находим примеры вибраций почти в каждой физической системе - от покачивания атомов до сильных колебаний морских волн.В физике волну можно рассматривать как возмущение или колебание, которое распространяется в пространстве-времени, сопровождаемое передачей энергии. Волновое движение переносит энергию из одной точки в другую, часто без постоянного смещения частиц среды, то есть с незначительным переносом массы или без него. Вместо этого они состоят из колебаний или вибраций вокруг почти фиксированных мест.

Акцент на последнем пункте подчеркивает важное неправильное представление о волнах. Волны передают энергию, а не массу.Легкий способ убедиться в этом - представить парящий мяч в нескольких ярдах от моря. По мере того как волны распространяются (т. Е. Движутся) к берегу, мяч не приближается к берегу. В конце концов, он может дойти до берега из-за приливов, течения или ветра, но сами волны не унесут мяч с собой. Волна перемещает массу только перпендикулярно направлению распространения - в данном случае вверх и вниз, как показано на рисунке ниже:

Волновое движение : Точка на оси аналогична плавающему мячу в море.Мы замечаем, что пока он движется вверх и вниз, он не движется в направлении распространения волны.

Волна может быть поперечной или продольной в зависимости от направления ее колебаний. Поперечные волны возникают, когда возмущение вызывает колебания, перпендикулярные (под прямым углом) к распространению (направлению передачи энергии). Продольные волны возникают, когда колебания параллельны направлению распространения. Хотя механические волны могут быть как поперечными, так и продольными, все электромагнитные волны являются поперечными.Например, звук - это продольная волна.

Описание волн тесно связано с их физическим происхождением для каждого конкретного случая волнового процесса. Например, акустика отличается от оптики тем, что звуковые волны связаны с механической, а не с передачей электромагнитной (световой) волны, вызванной вибрацией. Поэтому такие понятия, как масса, импульс, инерция или упругость, становятся решающими при описании акустических (в отличие от оптических) волновых процессов. Это различие в происхождении вносит определенные волновые характеристики, зависящие от свойств рассматриваемой среды.В этой главе мы внимательно рассмотрим разницу между продольными и поперечными волнами, а также некоторые свойства, которыми они обладают. Мы также узнаем, как волны имеют фундаментальное значение для описания движения многих применимых физических систем.

Волновое уравнение : Краткое введение в волновое уравнение, обсуждая скорость волны, частоту, длину волны и период.

Поперечные волны

Поперечные волны распространяются через среду со скоростью [латекс] \ vec {\ text {v}} _ \ text {w} [/ latex] перпендикулярно направлению передачи энергии.

Цели обучения

Описание свойств поперечной волны

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Поперечные волны колеблются в плоскости z-y, но распространяются вдоль оси x.
  • Поперечная волна имеет скорость распространения, определяемую уравнением v = fλ.
  • Направление передачи энергии перпендикулярно движению волны.
Ключевые термины
  • длина волны : длина одного цикла волны, измеряемая расстоянием между одним пиком или впадиной волны и следующим; в физике он часто обозначается как λ и соответствует скорости волны, деленной на ее частоту.
  • корыто : длинное узкое углубление между волнами или гребнями.
  • скорость распространения : скорость, с которой волна движется через среду.
  • гребень : гребень или вершина волны.
  • поперечная волна : Любая волна, в которой направление возмущения перпендикулярно направлению движения.
  • направление распространения : ось, вдоль которой распространяется волна.

Поперечная волна - это движущаяся волна, состоящая из колебаний, возникающих перпендикулярно (или под прямым углом) к направлению передачи энергии.Если поперечная волна движется в положительном направлении x , ее колебания происходят в направлениях вверх и вниз, которые лежат в плоскости y – z . Свет - это пример поперечной волны. Для поперечных волн в веществе смещение среды перпендикулярно направлению распространения волны. Рябь на пруду и волна на струне - легко визуализируемые поперечные волны.

Поперечные волны - это волны, колеблющиеся перпендикулярно направлению распространения.Если вы закрепите один конец ленты или веревки и держите другой конец в руке, вы можете создать поперечные волны, перемещая руку вверх и вниз. Обратите внимание, что вы также можете запускать волны, двигая рукой из стороны в сторону. Это важный момент. Есть два независимых направления, в которых может происходить волновое движение. В данном случае это упомянутые выше направления y и z . изображает движение поперечной волны. Здесь мы видим, что волна движется в t и колеблется в плоскости x-y .Волну можно представить как состоящую из множества частиц (как показано на рисунке), которые колеблются вверх и вниз. На рисунке мы наблюдаем это движение в плоскости x-y (обозначено красной линией на рисунке). По прошествии времени колебания разделяются на единицы времени. Результатом этого разделения является синусоида, которую мы ожидаем при построении графика зависимости положения от времени.

Синусоидальная волна : Направление распространения этой волны - вдоль оси t.

Когда волна проходит через среду – i.например, воздух, вода и т. д. или стандартная эталонная среда (вакуум) - это происходит с заданной скоростью: это называется скоростью распространения. Обозначается скорость, с которой распространяется волна, и ее можно найти по следующей формуле:

[латекс] \ text {v} = \ text {f} \ lambda [/ latex]

, где v - скорость волны, f - частота , и длина волны. Длина волны простирается от гребня до гребня, а амплитуда составляет 1/2 общего расстояния от гребня до впадины.Поперечные волны находят применение во многих областях физики. Примеры поперечных волн включают сейсмические S (вторичные) волны и движение электрического (E) и магнитного (M) полей в электромагнитных плоских волнах, которые колеблются перпендикулярно друг другу, а также направлению передачи энергии. Следовательно, электромагнитная волна состоит из двух поперечных волн, причем видимый свет является примером электромагнитной волны.

Длина волны и амплитуда : длина волны - это расстояние между соседними гребнями.Амплитуда равна 1/2 расстояния от гребня до впадины.

Два типа волн: продольные и поперечные : Даже океанские волны!

Продольные волны

Продольные волны, иногда называемые волнами сжатия, колеблются в направлении распространения.

Цели обучения

Приведите свойства и приведите примеры продольной волны

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Хотя продольные волны колеблются в направлении распространения, они не смещают массу, поскольку колебания малы и предполагают положение равновесия.
  • Продольные «волны» можно представить как импульсы, передающие энергию вдоль оси распространения.
  • Продольные волны можно представить как волны давления, характеризующиеся сжатием и разрежением.
Ключевые термины
  • разрежение : уменьшение плотности материала, особенно жидкости
  • Продольный : Идет в направлении длинной оси тела.
  • сжатие : для увеличения плотности; акт сжатия или состояние сжатия; уплотнение

Продольные волны

Продольные волны имеют то же направление вибрации, что и направление их движения.Это означает, что движение среды происходит в том же направлении, что и движение волны. Некоторые продольные волны также называют волнами сжатия или волнами сжатия. Простой эксперимент по наблюдению продольных волн состоит в том, чтобы взять слинки и удерживать его за оба конца. После сжатия и отпускания одного конца Slinky (при этом все еще удерживая его за конец) импульс более концентрированных катушек переместится к концу Slinky.

Продольные волны : сжатый Slinky является примером продольной волны.Волна распространяется в том же направлении колебаний.

Подобно поперечным волнам, продольные волны не перемещают массу. Разница в том, что каждая частица, составляющая среду, в которой распространяется продольная волна, колеблется вдоль оси распространения. В примере Slinky каждая катушка будет колебаться в одной точке, но не будет проходить по длине Slinky. Важно помнить, что в данном случае передается энергия в форме импульса, а не перемещенная масса.

Продольные волны иногда также можно представить себе как волны давления. Самая распространенная волна давления - это звуковая волна. Звуковые волны создаются сжатием среды, обычно воздуха. Продольные звуковые волны - это волны чередующихся отклонений давления от равновесного давления, вызывающие локальные области сжатия и разрежения. Материя в среде периодически вытесняется звуковой волной и, таким образом, колеблется. Когда люди издают звук, будь то при разговоре или при ударе, они сжимают частицы воздуха до некоторого значительного количества.Тем самым они создают поперечные волны. Когда люди слышат звуки, их уши чувствительны к разнице давления и интерпретируют волны как разные тона.

Два типа волн: продольные и поперечные : Даже океанские волны!

Волны на воде

Волны на воде обычно наблюдаются в повседневной жизни и включают движение как поперечных, так и продольных волн.

Цели обучения

Описать движение частиц в водных волнах

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Частицы, составляющие водную волну, движутся по круговым траекториям.
  • Если волны движутся медленнее, чем ветер над ними, энергия передается от ветра к волнам.
  • Колебания максимальны на поверхности волны и ослабевают глубже в жидкости.
Ключевые термины
  • фазовая скорость : Скорость распространения чистой синусоидальной волны бесконечной протяженности и бесконечно малой амплитуды.
  • групповая скорость : Скорость распространения огибающей модулированной бегущей волны, которая рассматривается как скорость распространения информации или энергии, содержащейся в ней.
  • плоская волна : волна постоянной частоты, волновые фронты которой (поверхности постоянной фазы) представляют собой бесконечные параллельные плоскости с постоянной размахом амплитуды, перпендикулярной вектору фазовой скорости.

Волны на воде, которые обычно можно наблюдать в повседневной жизни, представляют особый интерес для физиков. Подробное описание гидродинамики в водных волнах выходит за рамки вводных курсов физики. Хотя мы часто наблюдаем распространение волны воды в 2D, в этом атоме мы ограничимся рассмотрением одномерного распространения.

Волны на воде : Поверхностные волны в воде

Уникальность водных волн заключается в том, что они включают в себя как поперечные, так и продольные волновые движения. В результате частицы, составляющие волну, движутся по кругу по часовой стрелке, как показано на рисунке. Колебательное движение является максимальным на поверхности и экспоненциально уменьшается с глубиной. Волны генерируются ветром, проходящим над поверхностью моря. Пока волны распространяются медленнее скорости ветра над волнами, происходит передача энергии от ветра к волнам.Разница в атмосферном давлении между подветренной и подветренной сторонами гребня волны, а также трение о поверхность воды ветром (заставляющее воду переходить в напряжение сдвига) способствуют росту волн.

В случае монохроматических линейных плоских волн на глубокой воде частицы у поверхности движутся по круговым траекториям, создавая комбинацию продольных (назад и вперед) и поперечных (вверх и вниз) волновых движений. Когда волны распространяются на мелководье (где глубина меньше половины длины волны), траектории частиц сжимаются в эллипсы.По мере увеличения амплитуды (высоты) волны траектории частиц больше не образуют замкнутых орбит; скорее, после прохождения каждого гребня частицы немного смещаются от своих прежних положений, явление, известное как стоксов дрейф.

Плоская волна : Мы видим волну, распространяющуюся в направлении фазовой скорости. Можно думать, что волна состоит из плоскостей, ортогональных направлению фазовой скорости.

Поскольку волны на воде переносят энергию, были предприняты попытки получить из них энергию, используя физическое движение таких волн.Хотя большие волны более мощные, мощность волны также определяется скоростью волны, длиной волны и плотностью воды. Глубокая вода соответствует глубине воды, превышающей половину длины волны, как это часто бывает в море и океане. В глубокой воде более длиннопериодические волны распространяются быстрее и быстрее переносят свою энергию. Глубоководная групповая скорость составляет половину фазовой скорости. На мелководье для длин волн, которые примерно в двадцать раз больше глубины воды (как это часто бывает у берега), групповая скорость равна фазовой скорости.В некоторых случаях эти методы оказались жизнеспособными, но на сегодняшний день не обеспечивают полностью устойчивой формы возобновляемой энергии.

Волны на воде : Волны на воде заставляют частицы двигаться по часовой стрелке по кругу. Это результат того, что волна имеет как поперечные, так и продольные свойства.

Длина волны, частота относительно скорости

Волны определяются, среди прочего, своей частотой, длиной волны и амплитудой. У них также есть два типа скорости: фазовая и групповая.

Цели обучения

Определить основные характерные свойства волн

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Длина волны - это пространственный период волны.
  • Частота волны относится к числу циклов в единицу времени, и ее не следует путать с угловой частотой.
  • Фазовая скорость может быть выражена как произведение длины волны и частоты.
Ключевые термины
  • скорость волны : Абсолютное значение скорости, с которой распространяется фаза любой одной частотной составляющей волны.
  • длина волны : длина одного цикла волны, измеряемая расстоянием между одним пиком или впадиной волны и следующим; в физике он часто обозначается как λ и соответствует скорости волны, деленной на ее частоту.
  • частота : Частное от числа n периодических явлений, происходящих за время t, в которое они происходят: f = n / t.

Характеристики волн

Волны имеют определенные характерные свойства, которые можно заметить с первого взгляда.Первое, на что следует обратить внимание, - это амплитуда. Амплитуда составляет половину расстояния, измеренного от гребня до впадины. Мы также наблюдаем длину волны, которая представляет собой пространственный период волны (например, от гребня до гребня или от впадины до впадины). Обозначим длину волны греческой буквой [латекс] \ лямбда [/ латекс].

Частота волны - это количество циклов в единицу времени - ее можно представить как количество гребней, которые проходят фиксированную точку за единицу времени. Математически мы делаем наблюдение, что

Частоты разных синусоид.: Красная волна имеет низкочастотный синус, циклы повторяются очень редко. И наоборот, мы говорим, что фиолетовая волна имеет высокую частоту. Обратите внимание, что время увеличивается по горизонтали.

[латекс] \ begin {уравнение} \ text {f} = \ frac {1} {\ text {T}} \ end {уравнение} [/ latex]

где T - период колебаний. Частота и длина волны также могут быть связаны - * со «скоростью» волны. Фактически

[латекс] \ begin {уравнение} \ text {v} = \ text {f} \ lambda \ end {уравнение} [/ latex]

, где v называется скоростью волны или, чаще, фазовой скоростью, скоростью, с которой фаза волны распространяется в пространстве.Это скорость, с которой распространяется фаза любого частотного компонента волны. Для такого компонента будет казаться, что любая данная фаза волны (например, гребень) движется с фазовой скоростью.

Наконец, групповая скорость волны - это скорость, с которой общая форма амплитуд волн, известная как модуляция или огибающая волны, распространяется в пространстве. В можно увидеть, что общая форма (или «огибающая») распространяется вправо, в то время как фазовая скорость отрицательна.

Рис. 2 : Здесь показана волна с групповой скоростью и фазовой скоростью, идущая в разных направлениях. (Групповая скорость положительна, а фазовая скорость отрицательна.)

Транспорт энергии

Волны передают энергию, которую можно использовать для работы.

Цели обучения

Связать направление переноса энергии и волн

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Более массивные волны передают больше энергии.
  • Волны с большей скоростью переносят больше энергии.
  • Энергия волны переносится в направлении переноса волн.
Ключевые термины
  • энергия : Величина, которая обозначает способность выполнять работу и измеряется в единицах измерения масса × расстояние² / время² (ML² / T²) или эквивалент.
  • мощность : показатель скорости выполнения работы или передачи энергии.
  • работа : Мера энергии, затрачиваемой на перемещение объекта; чаще всего, сила, умноженная на смещение.Если объект не двигается, работа не выполняется.

Волнам необходима передача энергии. Распространенное заблуждение, что волны перемещают массу. Волны переносят энергию вдоль оси, определяемой как направление распространения. Один простой пример - представить, что вы стоите в прибое, и вас ударила довольно большая волна, и как только вы попали в нее, вы смещаетесь (если только вы не держитесь твердо за землю!). В этом смысле волна совершила работу (приложила силу на расстоянии).Поскольку работа выполняется с течением времени, энергия, переносимая волной, может использоваться для выработки энергии.

Water Wave : Более массивные волны или волны с большей скоростью переносят больше энергии.

Аналогичным образом мы обнаруживаем, что электромагнитные волны несут энергию. Электромагнитное излучение (ЭМИ) переносит энергию - иногда называемую лучистой энергией - через пространство непрерывно вдали от источника (это не относится к ближнепольной части электромагнитного поля). Электромагнитные волны можно представить как самораспространяющуюся поперечную колебательную волну электрического и магнитного полей.ЭМИ также несет как импульс, так и угловой момент. Все эти свойства могут быть переданы материи, с которой он взаимодействует (посредством работы). При создании ЭМИ производится из других видов энергии, а при разрушении преобразуется в другие виды энергии. Фотон - это квант электромагнитного взаимодействия и основная «единица» или составная часть всех форм ЭМИ. Квантовая природа света становится более очевидной на высоких частотах (или высокой энергии фотонов). Такие фотоны больше похожи на частицы, чем на низкочастотные фотоны.

Электромагнитная волна : Электромагнитные волны можно представить как самораспространяющуюся поперечную колебательную волну электрического и магнитного полей. На этой трехмерной диаграмме показана плоская линейно поляризованная волна, распространяющаяся слева направо.

В общем, существует соотношение волн, которое гласит, что скорость ([latex] \ text {v} [/ latex]) волны пропорциональна частоте ([latex] \ text {f} [/ latex] ), умноженное на длину волны ([латекс] \ лямбда [/ латекс]):

[латекс] \ text {v} = \ text {f} \ lambda [/ latex]

Мы также знаем, что классический импульс [latex] \ text {p} [/ latex] задается [latex] \ text {p} = \ text {mv} [/ latex], который относится к силе через второй закон Ньютона: [ латекс] \ text {F} = \ frac {\ text {dp}} {\ text {dt}} [/ latex]

ЭМ-волны с более высокими частотами несут больше энергии.Это прямой результат приведенных выше уравнений. Поскольку [latex] \ text {v} \ propto \ text {f} [/ latex], мы обнаруживаем, что более высокие частоты подразумевают большую скорость. Если скорость увеличивается, то у нас есть больший импульс, что подразумевает большую силу (это становится немного сложнее, когда мы говорим о частицах, движущихся со скоростью, близкой к скорости света, но это наблюдение сохраняется в классическом смысле). Поскольку энергия - это способность объекта выполнять работу, мы обнаружили, что для [латекса] \ text {W} = \ text {Fd} [/ latex] большая сила коррелирует с большей передачей энергии.Опять же, это явление легко испытать эмпирически; просто встаньте перед более быстрой волной и почувствуйте разницу!

16.3: Математика волн - Physics LibreTexts

Цели обучения

  • Смоделируйте волну, движущуюся с постоянной скоростью волны, с помощью математического выражения
  • Расчет скорости и ускорения среды
  • Покажите, чем скорость среды отличается от скорости волны (скорости распространения)

В предыдущем разделе мы описали периодические волны с помощью их характеристик длины волны, периода, амплитуды и скорости волны.Волны также можно описать движением частиц среды, в которой движутся волны. Положение частиц среды можно математически смоделировать как волновую функцию s , которую можно использовать для определения положения, скорости и ускорения частиц среды волны в любое время.

импульсов

Импульс можно описать как волну, состоящую из одиночного возмущения, которое движется через среду с постоянной амплитудой.Импульс движется в виде шаблона, который сохраняет свою форму, поскольку распространяется с постоянной скоростью волны. Поскольку скорость волны постоянна, расстояние, которое проходит импульс за время Δt, равно Δx = vΔt (рисунок \ (\ PageIndex {1} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Импульс в момент времени t = 0 центрируется на x = 0 с амплитудой A . Импульс движется в виде шаблона постоянной формы с постоянным максимальным значением A . Скорость постоянна, и импульс перемещается на расстояние Δx = vΔt за время Δt.Пройденное расстояние измеряется любой удобной точкой на пульсе. На этом рисунке использован герб.

Моделирование одномерной синусоидальной волны с использованием волновой функции

Рассмотрим струну, имеющую постоянное натяжение \ (F_T \), где один конец закреплен, а свободный конец колеблется между \ (y = + A \) и \ (y = -A \) с помощью механического устройства при постоянной частота. На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) показаны снимки волны с интервалом в одну восьмую периода, начиная с одного периода (\ (t = T \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Снимки поперечной волны, движущейся по струне под натяжением, начиная с момента времени \ (t = T \) и с интервалами \ (\ frac {1} {8} T \ ). Цветные точки используются для выделения точек на строке. Точки, которые разнесены на длину волны в направлении x , выделяются одинаковыми цветными точками.

Обратите внимание, что каждая точка выбора на струне (отмеченная цветными точками) колеблется вверх и вниз в простом гармоническом движении между \ (y = + A \) и \ (y = −A \) с периодом \ (T \ ).Волна на струне имеет синусоидальную форму и с течением времени перемещается в положительном направлении оси x.

Здесь полезно вспомнить из вашего изучения алгебры, что если \ (f (x) \) - некоторая функция, то \ (f (x − d) \) - это та же функция, переведенная в положительное значение x- направление на расстояние \ (d \). Функция \ (f (x + d) \) - это та же функция, переведенная в отрицательном направлении x на расстояние \ (d \). Мы хотим определить волновую функцию, которая будет давать \ (y \) - положение каждого сегмента строки для каждой позиции x вдоль строки для каждого момента \ (t \).

Глядя на первый снимок на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), можно смоделировать y-позицию строки между \ (x = 0 \) и \ (x = λ \) как синусоидальную функцию. Как видно на последнем снимке, эта волна распространяется вниз по струне на одну длину волны за один период. Следовательно, волна движется с постоянной волновой скоростью \ (v = λ / T \).

Напомним, что функция синуса - это функция угла \ (θ \), колеблющаяся между +1 и -1 и повторяющаяся каждые \ (2π \) радиан (рисунок \ (\ PageIndex {3} \)).Однако положение среды y , или волновая функция, колеблется между \ (+ A \) и \ (- A \) и повторяет каждую длину волны \ (λ \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): функция синуса колеблется между +1 и -1 каждые 2π радиан.

Чтобы построить нашу модель волны с использованием периодической функции, рассмотрим соотношение угла и положения,

\ [\ begin {align *} \ dfrac {\ theta} {x} & = \ frac {2 \ pi} {\ lambda}, \\ [4pt] \ theta & = \ frac {2 \ pi} {\ лямбда} x. \ end {align *} \]

Используя \ (\ theta = \ frac {2 \ pi} {\ lambda} x \) и умножив синусоидальную функцию на амплитуду A , мы можем теперь смоделировать положение строки y как функцию позиция x :

\ [y (x) = A \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} x \ right).\ nonumber \]

Волна на струне распространяется в положительном направлении x с постоянной скоростью v и перемещается на расстояние vt за время t . Волновая функция теперь может быть определена с помощью

.

\ [y (x, t) = A \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} (x-v t) \ right). \ nonumber \]

Часто бывает удобно переписать эту волновую функцию в более компактном виде. Умножение на коэффициент \ (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} \) приводит к уравнению

\ [y (x, t) = A \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} x- \ frac {2 \ pi} {\ lambda} v t \ right).\ nonumber \]

Значение \ (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} \) определяется как волновое число . Обозначение волнового числа - k и имеет обратные метры, м −1 :

.

\ [k \ Equiv \ frac {2 \ pi} {\ lambda} \ label {16.2} \]

Напомним из "Колебаний", что угловая частота определяется как \ (\ omega \ Equiv \ frac {2 \ pi} {T} \). Второй член волновой функции принимает вид

.

\ [\ frac {2 \ pi} {\ lambda} vt = \ frac {2 \ pi} {\ lambda} \ left (\ frac {\ lambda} {T} \ right) t = \ frac {2 \ pi } {T} t = \ omega t.\ nonumber \]

Волновая функция простой гармонической волны на струне уменьшается до

.

\ [y (x, t) = A \ sin (k x \ mp \ omega t) \ nonumber \]

, где A - амплитуда, \ (k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda} \) - волновое число, \ (\ omega = \ frac {2 \ pi} {T} \) - При угловой частоте знак минус соответствует волнам, движущимся в положительном направлении x , а знак плюс - волнам, движущимся в отрицательном направлении x . Скорость волны равна

.

\ [v = \ frac {\ lambda} {T} = \ frac {\ lambda} {T} \ left (\ frac {2 \ pi} {2 \ pi} \ right) = \ frac {\ omega} { k} \ label {16.3}. \]

Вспомните наше обсуждение массы на пружине, когда положение массы моделировалось как

.

\ [x (t) = A \ cos (ωt + ϕ). \ nonumber \]

Угол \ (ϕ \) - это фазовый сдвиг, добавленный, чтобы учесть тот факт, что масса может иметь начальные условия, отличные от \ (x = + A \) и \ (v = 0 \). По тем же причинам к волновой функции добавляется начальная фаза. Волновая функция, моделирующая синусоидальную волну с учетом начального фазового сдвига \ (ϕ \), равна

\ [y (x, t) = A \ sin (k x \ mp \ omega t + \ phi) \ label {16.4} \]

Значение

\ [(k x \ mp \ omega t + \ phi) \ label {16.5} \]

известен как фаза волны, где \ (\ phi \) - начальная фаза волновой функции. Является ли временной член \ (\ omega t \) отрицательным или положительным, зависит от направления волны. Сначала рассмотрим знак минус для волны с начальной фазой, равной нулю (\ (\ phi \) = 0). Фаза волны будет (\ (kx = \ omega t \)). Рассмотрите возможность отслеживания точки на волне, например гребня.Пик возникает, когда \ (\ sin (kx - \ omega t = 1.00 \), то есть когда \ (k x- \ omega t = n \ pi + \ frac {\ pi} {2} \), для любого интегральное значение n . Например, один конкретный гребень встречается в \ (k x- \ omega t = \ frac {\ pi} {2} \). По мере движения волны время увеличивается, и x также должны увеличиваться чтобы сохранить фазу равной \ (\ frac {\ pi} {2} \). Следовательно, знак минус означает, что волна движется в положительном направлении x . Используя знак плюс, \ (k x + \ omega t = \ frac {\ pi} {2} \). По мере увеличения времени x должны уменьшаться, чтобы фаза оставалась равной \ (\ frac {\ pi} {2} \).Знак плюс используется для волн, движущихся в отрицательном направлении x . Таким образом, \ (y (x, t) = A \ sin (k x- \ omega t + \ phi) \) моделирует волну, движущуюся в положительном направлении x и \ (y (x, t) = A \ sin (k x + \ omega t + \ phi) \) моделирует волну, движущуюся в отрицательном направлении x .

Уравнение \ ref {16.4} известно как простая гармоническая волновая функция. Волновая функция - это любая функция, такая что \ (f (x, t) = f (x-v t) \). Позже в этой главе мы увидим, что это решение линейного волнового уравнения.{\ prime} = \ phi- \ frac {\ pi} {2} \).

Определение характеристик синусоидальной волны

  1. Чтобы найти амплитуду, длину волны, период и частоту синусоидальной волны, запишите волновую функцию в виде \ (y (x, t) = A \ sin (k x- \ omega t + \ phi) \) .
  2. Амплитуда может быть определена прямо из уравнения и равна \ (A \).
  3. Период волны может быть получен из угловой частоты \ (\ left (T = \ frac {2 \ pi} {\ omega} \ right) \).
  4. Частота может быть найдена с помощью \ (f = \ frac {1} {T} \)
  5. Длину волны можно найти с помощью волнового числа \ (\ left (\ lambda = \ frac {2 \ pi} {k} \ right) \).{-1} t \ right) \ end {align *} \]

    Найдите амплитуду, длину волны, период и скорость волны.

    Стратегия

    Все эти характеристики волны можно найти из констант, включенных в уравнение, или из простых комбинаций этих констант.

    Решение

    1. Амплитуду, волновое число и угловую частоту можно определить непосредственно из волнового уравнения:

    \ begin {align *}
    y (x, t) = & A \ sin (k x-w t) = 0.{-1}} = 0,25 \: \ mathrm {m} / \ mathrm {s} \ nonumber \]

    Значение

    Все характеристики волны содержатся в волновой функции. Обратите внимание, что скорость волны - это скорость волны в направлении, параллельном движению волны. График высоты среды y в сравнении с положением x для двух значений времени t = 0,00 с и t = 0,80 с может обеспечить графическую визуализацию волны (рисунок \ (\ PageIndex {4} \)).

    Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): график высоты волны y как функция положения x для снимков волны в два раза.Пунктирная линия представляет волну в момент времени t = 0,00 с, а сплошная линия представляет волну в момент времени t = 0,80 с. Поскольку скорость волны постоянна, расстояние, которое проходит волна, равно скорости волны, умноженной на временной интервал. Черные точки указывают точки, используемые для измерения смещения волны. Среда движется вверх и вниз, а волна движется вправо.

    У движения есть вторая скорость. В этом примере волна является поперечной, движущейся горизонтально, когда среда колеблется вверх и вниз перпендикулярно направлению движения.График на рисунке \ (\ PageIndex {5} \) показывает движение среды в точке x = 0,60 м как функцию времени. Обратите внимание, что среда волны колеблется вверх и вниз между y = +0,20 м и y = -0,20 м каждый период 4,0 секунды.

    Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): График высоты волны y как функция времени t для позиции x = 0,6 м. Среда колеблется между y = +0,20 м и y = -0,20 м каждый период. Представленный период выбирает две удобные точки колебаний для измерения периода.Период может быть измерен между любыми двумя соседними точками с одинаковой амплитудой и одинаковой скоростью, \ ((\ partial y / \ partial t) \). Скорость можно определить, посмотрев на касательную наклон к точке на графике y -versus- t . Обратите внимание, что в моменты времени t = 3,00 с и t = 7,00 с, высота и скорости одинаковы, а период колебаний равен 4,00 с.

    Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

    Волновая функция, приведенная выше, получена с помощью синусоидальной функции.Можно ли вместо этого использовать функцию косинуса?

    Скорость и ускорение среды

    Как видно в Примере \ (\ PageIndex {2} \), скорость волны постоянна и представляет собой скорость волны, когда она распространяется через среду, а не скорость частиц, составляющих среду. Частицы среды колеблются вокруг положения равновесия, когда волна распространяется через среду. В случае поперечной волны, распространяющейся в направлении x, частицы колеблются вверх и вниз в направлении y, перпендикулярном движению волны.Скорость частиц среды непостоянна, что означает ускорение. Скорость среды, которая перпендикулярна скорости волны в поперечной волне, может быть найдена путем взятия частной производной уравнения положения по времени. Для нахождения частной производной берется производная функции и все переменные рассматриваются как константы, за исключением переменной, о которой идет речь. В случае частной производной по времени \ (t \) положение \ (x \) рассматривается как константа.Хотя это может показаться странным, если вы не видели этого раньше, цель этого упражнения - найти поперечную скорость в точке, поэтому в этом смысле положение \ (x \) не меняется. У нас

    \ [\ begin {split} y (x, t) & = A \ sin (kx - \ omega t + \ phi) \\ v_ {y} (x, t) & = \ frac {\ partial y (x , t)} {\ partial t} = \ frac {\ partial} {\ partial t} [A \ sin (kx - \ omega t + \ phi)] \\ & = -A \ omega \ cos (kx - \ омега t ​​+ \ phi) \\ & = -v_ {y \; max} \ cos (kx - \ omega t + \ phi) \ ldotp \ end {split} \]

    Величина максимальной скорости среды равна \ (| v_ {y \, max} | = A \ omega \). {2} \ sin (kx - \ omega t + \ phi) \ ldotp \]

    Теперь рассмотрим частные производные по другой переменной, позиции x, сохраняющей постоянную времени.{2}} \ ldotp \ label {16.6} \]

    Уравнение \ ref {16.6} - это линейное волновое уравнение, которое является одним из самых важных уравнений в физике и технике. Мы вывели его здесь для поперечной волны, но он не менее важен при исследовании продольных волн. Это соотношение также было получено с использованием синусоидальной волны, но оно успешно описывает любую волну или импульс, имеющий форму y (x, t) = f (x ∓ vt). Эти волны возникают из-за линейной возвращающей силы среды - отсюда и название линейного волнового уравнения.Любая волновая функция, удовлетворяющая этому уравнению, является линейной волновой функцией.

    Интересный аспект линейного волнового уравнения заключается в том, что если две волновые функции являются индивидуальными решениями линейного волнового уравнения, то сумма двух линейных волновых функций также является решением волнового уравнения. Рассмотрим две поперечные волны, распространяющиеся вдоль оси x в одной и той же среде. Предположим, что отдельные волны можно моделировать с помощью волновых функций y 1 (x, t) = f (x ∓ vt) и y 2 (x, t) = g (x ∓ vt), которые являются решениями линейные волновые уравнения и, следовательно, являются линейными волновыми функциями.{2}} \ right) \ ldotp \ end {split} \]

    Это показало, что если две линейные волновые функции сложить алгебраически, результирующая волновая функция также будет линейной. Эта волновая функция моделирует смещение среды результирующей волны в каждом положении по оси x. Если две линейные волны занимают одну и ту же среду, говорят, что они интерферируют. Если эти волны можно моделировать с помощью линейной волновой функции, эти волновые функции складываются, чтобы сформировать волновое уравнение волны, возникающей в результате интерференции отдельных волн.Смещение среды в каждой точке результирующей волны представляет собой алгебраическую сумму смещений, вызванных отдельными волнами.

    Если продолжить этот анализ, если волновые функции y1 (x, t) = f (x ∓ vt) и y2 (x, t) = g (x ∓ vt) являются решениями линейного волнового уравнения, то Ay 1 (x, t) + By 2 (x, y), где A и B - константы, также является решением линейного волнового уравнения. Это свойство известно как принцип суперпозиции. Интерференция и суперпозиция более подробно описаны в Интерференции волн.

    Пример \ (\ PageIndex {2} \): интерференция волн на строке

    Рассмотрим очень длинную веревку, натянутую двумя учениками, по одной с каждого конца. Студент A колеблется на конце струны, создавая волну, смоделированную с помощью волновой функции y 1 (x, t) = A sin (kx - \ (\ omega \) t), а студент B колеблет струну с удвоенной частотой , двигаясь в обратном направлении. Обе волны движутся с одинаковой скоростью v = \ (\ frac {\ omega} {k} \). Две волны интерферируют, образуя результирующую волну с волновой функцией y R (x, t) = y 1 (x, t) + y 2 (x, t).{2}} \).

    Стратегия

    Сначала напишите волновую функцию для волны, созданной вторым учеником. Обратите внимание, что угловая частота второй волны в два раза больше частоты первой волны (2 \ (\ omega \)), а поскольку скорости двух волн одинаковы, волновое число второй волны вдвое больше, чем у первая волна (2к). Затем напишите волновое уравнение для полученной волновой функции, которая представляет собой сумму двух отдельных волновых функций. Затем найдите вторую частную производную по положению и вторую частную производную по времени.Используйте линейное волновое уравнение, чтобы найти скорость получившейся волны.

    Решение

    1. Запишите волновую функцию второй волны: y 2 (x, t) = A sin (2kx + 2 \ (\ omega \) t).
    2. Запишите получившуюся волновую функцию: $$ y_ {R} (x, t) = y_ {1} (x, t) + y (x, t) = A \ sin (kx - \ omega t) + A \ sin (2kx + 2 \ omega t) \ ldotp $$
    3. Найдите частные производные: $$ \ begin {split} \ frac {\ partial y_ {R} (x, t)} {\ partial x} & = -Ak \ cos (kx - \ omega t) + 2Ak \ cos (2kx + 2 \ omega t), \\ \ frac {\ partial ^ {2} y_ {R} (x, t)} {\ partial x ^ {2}} & = -Ak ^ {2} \ sin ( kx - \ omega t) - 4Ak ^ {2} \ sin (2kx + 2 \ omega t), \\ \ frac {\ partial y_ {R} (x, t)} {\ partial t} & = -A \ omega \ cos (kx - \ omega t) + 2A \ omega \ cos (2kx + 2 \ omega t), \\ \ frac {\ partial ^ {2} y_ {R} (x, t)} {\ partial t ^ {2}} & = -A \ omega ^ {2} \ sin (kx - \ omega t) - 4A \ omega ^ {2} \ sin (2kx + 2 \ omega t) \ ldotp \ end {split} $ $
    4. Используйте волновое уравнение, чтобы найти скорость получившейся волны: $$ \ begin {split} \ frac {\ partial ^ {2} y (x, t)} {\ partial x ^ {2}} & = \ frac {1} {v ^ {2}} \ frac {\ partial ^ {2} y (x, t)} {\ partial t ^ {2}}, \\ -Ak ^ {2} \ sin (kx - \ omega t) + 4Ak ^ {2} \ sin (2kx + 2 \ omega t) & = \ frac {1} {v ^ {2}} \ left (-A \ omega ^ {2} \ sin (kx - \ omega t) - 4A \ omega ^ {2} \ sin (2kx + 2 \ omega t) \ right), \\ k ^ {2} \ left (-A \ sin (kx - \ omega t) + 4A \ sin (2kx + 2 \ omega t) \ right) & = \ frac {\ omega ^ {2}} {v ^ {2}} \ left (-A \ sin (kx - \ omega t) - 4A \ sin (2kx + 2 \ omega t) \ right), \\ k ^ {2} & = \ frac {\ omega ^ {2}} {v ^ {2}}, \\ | v | & = \ frac {\ omega} {k} \ ldotp \ end {split} $$

    Значение

    Скорость образовавшейся волны равна скорости исходных волн \ (\ left (v = \ frac {\ omega} {k} \ right) \).{-1} t + \ frac {\ pi} {10}) \]

    - это решение волнового уравнения.

    Любое возмущение, которое соответствует волновому уравнению, может распространяться как волна, движущаяся вдоль оси x со скоростью волны v. Это одинаково хорошо работает для волн на струне, звуковых волн и электромагнитных волн. Это уравнение чрезвычайно полезно. Например, с его помощью можно показать, что электромагнитные волны движутся со скоростью света.

    Авторы и авторство

    • Сэмюэл Дж.Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами. Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

    17.2: Звуковые волны - Физика LibreTexts

    Цели обучения

    • Объясните разницу между звуком и слухом
    • Опишите звук как волну
    • Перечислите уравнения, используемые для моделирования звуковых волн
    • Опишите компрессию и разрежение в их отношении к звуку

    Физическое явление звука - это возмущение материи, которое распространяется от своего источника вовне. Слух - это восприятие звука, так же как зрение - это восприятие видимого света. В атомном масштабе звук - это возмущение атомов, которое гораздо более упорядочено, чем их тепловые движения. Во многих случаях звук представляет собой периодическую волну, а атомы совершают простое гармоническое движение. Таким образом, звуковые волны могут вызывать колебания и резонансные эффекты (Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)).

    Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Это стекло было разбито мощной звуковой волной той же частоты, что и резонансная частота стекла.(кредит: «|| читать ||» / Flickr)

    Сила звука

    В этом видео показаны волны на поверхности бокала, возбуждаемые звуковыми волнами из динамика. Когда частота звуковой волны приближается к резонансной частоте бокала, амплитуда и частота волн на бокале увеличиваются. Когда достигается резонансная частота, стекло разбивается.

    Видео \ (\ PageIndex {1} \): Разбивание бокала с использованием резонанса путем воспроизведения звука на его резонансной частоте.https://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E

    Громкоговоритель создает звуковую волну путем колебания конуса, вызывающего колебания молекул воздуха. На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) динамик вибрирует с постоянной частотой и амплитудой, вызывая колебания в молекулах окружающего воздуха. Когда динамик колеблется вперед и назад, он передает энергию воздуху, в основном в виде тепловой энергии. Но небольшая часть энергии динамика уходит на сжатие и расширение окружающего воздуха, создавая немного более высокие и более низкие локальные давления.Эти сжатия (области высокого давления) и разрежения (области низкого давления) выходят в виде продольных волн давления, имеющих ту же частоту, что и динамик, - это возмущение, которое представляет собой звуковую волну. (Звуковые волны в воздухе и большинстве жидкостей являются продольными, поскольку жидкости почти не имеют прочности на сдвиг. В твердых телах звуковые волны могут быть как поперечными, так и продольными.)

    На рисунке \ (\ PageIndex {2a} \) показаны сжатия и разрежения, а также показан график зависимости избыточного давления от расстояния до динамика.Когда динамик движется в положительном направлении оси x, он толкает молекулы воздуха, смещая их из положения равновесия. Когда динамик движется в отрицательном направлении оси x, молекулы воздуха возвращаются к своему положению равновесия из-за возвращающей силы. Молекулы воздуха колеблются в простом гармоническом движении относительно своих положений равновесия, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {2b} \). Обратите внимание, что звуковые волны в воздухе являются продольными, и на рисунке волна распространяется в положительном направлении оси x, а молекулы колеблются параллельно направлению, в котором распространяется волна.

    Рис. \ (\ PageIndex {2} \): (a) Вибрирующий конус динамика, движущийся в положительном направлении оси x, сжимает воздух перед собой и расширяет воздух позади него. Когда динамик колеблется, он создает еще одно сжатие и разрежение, поскольку те, кто справа, удаляются от динамика. После многих вибраций серия сжатий и разрежений выходит из динамика в виде звуковой волны. Красный график показывает избыточное давление воздуха в зависимости от расстояния до динамика. Давление незначительно отличается от атмосферного давления для обычных звуков.Обратите внимание, что манометрическое давление моделируется синусоидальной функцией, где вершины функции совпадают с компрессиями, а впадины - с разрежениями. (б) Звуковые волны также можно моделировать с помощью смещения молекул воздуха. Синий график показывает смещение молекул воздуха в зависимости от положения от динамика и моделируется функцией косинуса. Обратите внимание, что смещение равно нулю для молекул в их положении равновесия и сосредоточено в местах сжатия и разрежения.Сжатие образуется, когда молекулы по обе стороны от равновесных молекул смещаются к положению равновесия. Редкие реакции образуются, когда молекулы смещаются от положения равновесия.

    Модели с описанием звука

    Звук можно смоделировать как волну давления, учитывая изменение давления от среднего давления,

    \ [\ Delta P = \ Delta P_ {max} \ sin (kx \ mp \ omega t + \ phi) \ ldotp \ label {17.1} \]

    Это уравнение аналогично уравнениям периодических волн в Waves, где \ (\ Delta \) P - изменение давления, \ (\ Delta P_ {max} \) - максимальное изменение давления, \ (k = \ frac {2 \ pi} {\ lambda} \) - волновое число, \ (\ omega = \ frac {2 \ pi} {T} = 2 \ pi f \) - угловая частота, а \ (\ phi \ ) - начальная фаза.Скорость волны можно определить из

    \ [v = \ frac {\ omega} {k} = \ frac {\ lambda} {T}. \]

    Звуковые волны можно также смоделировать с точки зрения смещения молекул воздуха. Смещение молекул воздуха можно смоделировать с помощью функции косинуса:

    \ [s (x, t) = s_ {max} \ cos (kx \ mp \ omega t + \ phi) \ ldotp \ label {17.2} \]

    В этом уравнении \ (s \) - это смещение, а \ (s_ {max} \) - это максимальное смещение.

    На рисунке не показана амплитуда звуковой волны, поскольку она уменьшается по мере удаления от источника, поскольку энергия волны распространяется на все большую и большую площадь.Интенсивность уменьшается по мере удаления от говорящего, как описано в разделе «Волны». Энергия также поглощается объектами и преобразуется в тепловую энергию за счет вязкости воздуха. Кроме того, при каждом сжатии воздуху передается немного тепла; во время каждого разрежения от воздуха отводится еще меньше тепла, и эти теплопередачи сводят организованные возмущения к случайным тепловым движениям. Будет ли значительна передача тепла от сжатия к разрежению, зависит от того, насколько они удалены друг от друга, то есть от длины волны.Длина волны, частота, амплитуда и скорость распространения являются важными характеристиками звука, как и всех волн.

    Авторы и авторство

    • Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами. Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

    Вибрации и волны: энергия и движение - стенограмма видео и урока

    Масса на пружине создает волну, когда она колеблется

    Волны

    Волна - это возмущение, которое распространяется через среду из одного места в другое.Волны образуются из-за вибрации объекта или вещества, несущего волну. Вы можете создавать собственные волны в скакалке, создавая вибрацию на одном конце. Начните со скакалки в исходном положении, затем быстро переместите один конец вверх и вниз. Вы создадите волну, которая будет проходить по веревке от одного конца до другого. Если вы сделаете это правильно, волна может даже отскочить от другого конца и вернуться в вашу руку.

    Все волны вызваны вибрацией определенного типа. Вибрации вызывают возмущение в среде, которая становится источником волны.Подумайте о волнах на воде, которые образуются, когда вы бросаете камень в пруд. Камень, ударяющийся о поверхность, заставляет воду вибрировать. Эта вибрация мешает окружающей воде, создавая волны, которые движутся наружу от точки удара камня.

    Если мы более внимательно посмотрим на типичную волну, мы увидим периодический характер формы самой волны. Построим график зависимости волны от времени. По горизонтальной оси отложим секунды, а по вертикальной оси будем измерять вертикальное смещение волны.Чтобы мы могли более четко говорить о волне, мы обозначим ее буквами в разных точках. Буквы A и E показывают низкие точки волны, которые мы называем впадинами. Буквы C и G показывают гребни волны. Полная длина волны определяется как часть волны между двумя последовательными гребнями или между двумя впадинами. Глядя на то, как гребни и впадины совпадают с нашей горизонтальной осью, мы видим, что полная длина волны всегда занимает одно и то же время. Вот почему мы говорим, что волны имеют периодическую природу.

    Волны вибрации состоят из гребней и впадин.

    Амплитуда и энергия

    Но как насчет того, насколько высоко и низко колеблется волна? Можем ли мы узнать что-нибудь по высоте гребня волны или по глубине ее впадины? Расстояние между средней линией волны и ее гребнем или впадиной называется амплитудой . Если бы это была волна, бегущая через воду, амплитуда измеряла бы максимальное смещение частиц от точки их покоя.Мы не всегда можем видеть амплитуду волны, особенно если это звуковая волна или световая волна. Но амплитуда говорит нам кое-что очень важное. Это мера того, сколько энергии несет волна. Когда частицы в среде движутся вверх и вниз вместе с волной, они передают энергию в том направлении, в котором движется волна. Вернемся к тому камню, который вы бросили в пруд. Волны, движущиеся наружу от точки удара скалы, в конечном итоге достигнут берега. Они передают энергию от места, где вы столкнулись с водой, и переносят энергию на берег.Итак, волны переносят энергию. Но имеют ли они еще значение для транспорта?

    Амплитуда - это мера того, сколько энергии содержится в волне.

    Представьте, что утка сидела на пруду в то время, когда вы бросили камень. Ваши водные волны потекут наружу к берегу. Но разве они еще и утку отнесут на берег? Конечно, нет! Утки подпрыгивают на волнах. То же самое происходит с молекулами воды в волнах.Сама вода просто качается вверх и вниз, передавая энергию между частицами по мере движения волны. Волны на самом деле не переносят никакой материи, даже если они переносят энергию. Волны на вашей скакалке переносят энергию, но частицы в самой скакалке остаются на месте. Звуковые волны переносят энергию по воздуху, но сам воздух никуда не уходит. Итак, волны переносят энергию, не транспортируя материю.

    Лучший способ испытать эту концепцию - через звук. Когда этот водитель включает свою музыку прямо рядом с вами на светофоре, энергия звука сотрясает вашу машину, не передавая никакого материала на ваш путь.То же самое и с музыкой на той вечеринке. Теперь мы знаем, что звуковые волны переносят энергию от источника музыки - вибрирующих динамиков - к людям и объектам вокруг них. Они передают эту энергию полу, стенам и ушам всех участников вечеринки. Как и все волны, звуковые волны несут энергию, не неся материи. Таким образом, даже несмотря на то, что они передают энергию другим объектам, они не передают никакого количества массы или частиц.

    Краткое содержание урока

    Вибрации в объектах и ​​веществах - это колебательные движения, повторяющиеся в фиксированном положении.Вибрации - это источник волн. Когда вибрации возмущают среду, возмущение распространяется через среду из одного места в другое в форме волны. Волны периодически перемещаются по гребням и впадинам. Часть волны между двумя гребнями или впадинами называется длиной волны . Амплитуда волны указывает, сколько энергии передается волной. Хотя волны действительно переносят энергию из одного места в другое, имейте в виду, что они делают это без переноса материи.

    Результаты обучения

    После просмотра этого урока вы должны быть готовы:

    • Определить вибрацию и волну
    • Определите и опишите части волны
    • Объясните, почему волна называется периодической
    • Понять, что переносит волна

    Волны и волновое движение | Физика

    17 июля 1998 года три огромных волны - «цунами» - высотой до 15 метров обрушились на северное побережье Папуа-Новой Гвинеи, в результате чего погибло не менее 2200 человек.Сильное землетрясение, состоящее из волн, распространяющихся по Земле, вызвало подводный оползень, вызвавший цунами. Радиостанции сообщили о катастрофе, передав электромагнитные радиоволны слушателям по всему миру. Слушатели могли слышать новости, передаваемые звуковыми волнами, создаваемыми их радиоприемниками.

    Волны той или иной формы можно найти в удивительно разнообразном диапазоне физических применений, от океанов до науки о звуке.Проще говоря, волна - это бегущее возмущение. Океанские волны распространяются по воде на тысячи километров. Волны землетрясений проходят через Землю, иногда отражаясь от ядра Земли и возвращаясь на поверхность. Звуковые волны проходят по воздуху к нашим ушам, где мы обрабатываем помехи и интерпретируем их.

    Древние волновые теории

    Большая часть нашего нынешнего понимания волнового движения пришла из изучения акустики.Древнегреческие философы, многие из которых интересовались музыкой, предполагали, что существует связь между волнами и звуком, и что за звуки должны отвечать вибрации или возмущения. Пифагор заметил в 550 г. до н.э., что вибрирующие струны производят звук, и работал над определением математических соотношений между длинами струн, которые давали гармоничные звуки.

    Научные теории распространения волн стали более заметными в 17 веке нашей эры, когда Галилео Галилей (1564–1642) опубликовал четкое заявление о связи между вибрирующими телами и звуками, которые они производят.Роберт Бойль в классическом эксперименте 1660 года доказал, что звук не может распространяться в вакууме. Исаак Ньютон опубликовал математическое описание того, как распространяется звук в своей работе Principia (1686). В 18 веке французский математик и ученый Жан Ле Ронд д'Аламбер вывел волновое уравнение, подробное и общее математическое описание волн, которое заложило основу для изучения и описания волновых явлений поколениями ученых.

    Контрольная точка понимания

    Наше понимание волнового движения началось с исследования

    Основы работы с волнами

    Волны могут принимать разные формы, но есть два основных типа волн: «продольные» и «поперечные» (см. Рисунки 1 и 2).Оба этих типа волн являются перемещающимися возмущениями, но они различаются по способу распространения. Когда волна проходит через среду, частицы, составляющие среду, выходят из своего покоя или «равновесного» положения. В продольной волне частицы возмущаются в направлении, параллельном направлению распространения волны. Продольная волна состоит из «сжатий» и «разрежений», где частицы собираются вместе и разлетаются соответственно (см. Рисунок 1).Чтобы увидеть другой вид волн этого типа, посмотрите видеоролик о продольных волнах ниже. В поперечной волне частицы возмущаются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Видеоклип с поперечной волной ниже обеспечивает динамическую визуализацию этого типа волны. После прохождения через среду волн любого типа частицы возвращаются в свое положение равновесия. Таким образом, волны проходят через среду без полного смещения частиц в среде.

    Рис. 1: Продольная волна, состоящая из сжатий - областей, где частицы находятся близко друг к другу, и разрежений - областей, где частицы распространяются. Частицы движутся в направлении, параллельном направлению распространения волны.

    Рисунок 2: Поперечная волна. Частицы движутся в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.

    Звуковые волны - это примеры продольных волн: отдельные частицы (молекулы воздуха) колеблются взад и вперед в направлении распространения звука.Примером поперечной волны является феномен классической спортивной арены, известный как «Волна». Когда волна распространяется по стадиону, каждый зритель встает и садится. Таким образом, смещение «частиц» перпендикулярно направлению распространения волны. Многие другие волны, такие как океанские волны или поверхностные волны Рэлея, представляют собой комбинации продольных и поперечных волновых движений.

    Контрольная точка понимания

    Частицы собираются вместе и распространяются _____ волнами.

    Описание волн

    Волны, которые мы описали выше, являются примерами «периодических волн» в том смысле, что они включают циклический образец движения. Волны перемещаются в пространстве и времени и могут быть описаны с точки зрения их характеристик в обоих этих измерениях. Представьте себе Slinky ® , игрушку, состоящую исключительно из длинного, свободно свернутого в спираль куска металла или пластика. Периодически встряхивая один конец Slinky ® вверх и вниз, можно создать поперечную волну, как показано на рисунках ниже.

    Амплитуда и длина волны

    На рисунке 3 представлен снимок Slinky ® , например, в видеоклипе с поперечной волной, когда он колеблется. Вертикальная ось представляет собой вертикальное положение Slinky ® , а горизонтальная ось представляет его горизонтальное положение. Как показано на рисунке, амплитуда ( A ) волны - это максимальное смещение частицы из положения равновесия или высота волны.Длина волны - это длина волны (λ), а это просто длина одного цикла волны. На рисунке длина волны показана как расстояние между двумя последовательными гребнями волн. Длину волны также можно измерить между последовательными впадинами или между любыми двумя эквивалентными точками на волне. И амплитуда, и длина волны обычно измеряются в метрах.

    Рис. 3: Вид на Slinky ® в определенный момент времени.

    Контрольная точка понимания

    Высота волны известна как ее

    Период волны

    На рисунке 4 показан график смещения одной точки на Slinky ® как функции времени. Амплитуда волны все та же величина, что и раньше - максимальное смещение точки от положения равновесия. Период волны ( T ) - это время (измеряемое в секундах), необходимое точке для завершения одного полного цикла своего движения, от самой высокой точки до самой низкой и обратно.

    Рис. 4: Движение одной точки на Slinky ® во времени.

    Частота волны

    Частота волны ( f ) (не указана на рисунке) является мерой того, как часто точка завершает один цикл своего движения. Другими словами, частота - это количество волновых циклов, завершенных одной точкой вдоль волны за данный период времени.Частота волны связана с периодом волны следующим уравнением:

    , где f - частота, а T - период волны. Частота измеряется в циклах в секунду или в герцах (Гц). Если период волны составляет 10 секунд (то есть, волна занимает 10 секунд, чтобы завершить один цикл), тогда частота составляет 0,1 Гц. Другими словами, волна завершает 0.1 цикл каждую секунду.

    Контрольная точка понимания

    Частота 0,1 Гц означает, что волна совершает _____ циклов каждую секунду.

    Скорость волны

    Помните, что волна - это бегущее возмущение. Скорость волны - это описание скорости распространения волны. Скорость волны ( v ) связана с частотой, периодом волны и длиной волны следующими простыми уравнениями:

    где v - скорость волны, λ - длина волны, T - период волны, и f - частота.Скорость волны обычно измеряется в метрах в секунду (м / с). Например, музыкальная нота «А» - это звуковая волна с частотой 440 Гц. Длина волны 78,4 см. Какая скорость звуковой волны?

    Чтобы определить скорость волны, мы можем использовать уравнение 3 и подставить указанные значения для длины волны и частоты, убедившись, что мы используем стандартные единицы.

    f = 440 Гц λ = 78.4 см = 0,784 мв = λf = (0,784 м) (440 Гц) = 345 м / с

    Это значение (345 м / с) является приблизительным значением скорости звука в воздухе. Интересно, что скорость звука в воздухе зависит от температуры и давления. Музыкант, играющий на духовом инструменте, таком как труба, может настроить свою трубу у подножия горы, подняться на гору туда, где давление воздуха ниже, и обнаружить, что ее труба больше не настроена. Точно так же изменение температуры воздуха также может изменить настройку прибора.

    Как показывает пример выше, в повседневной жизни волны окружают нас повсюду. Древние греки начали свое изучение волн с размышлений о музыке, но теперь почти каждая отрасль физики так или иначе связана с волнами.

    Резюме

    Волны интересовали философов и ученых на протяжении тысячелетий. Этот модуль знакомит с историей теории волн и предлагает основные объяснения продольных и поперечных волн.Периоды волн описываются с точки зрения амплитуды и длины. Также исследуются волновое движение и концепции скорости и частоты волн.

    Ключевые понятия

    • Изучение волн восходит к древним грекам, которые наблюдали, как вибрирующие струны музыкальных инструментов производят звук.

    • Хотя существует два основных типа волн - продольные и поперечные, - волны могут принимать разные формы (например, световые, звуковые и физические волны).

    • Волны можно описать по их проявленным свойствам: частоте, скорости, амплитуде и длине волны.

    Натаниэль Пейдж Стайтс, M.A./M.S. Visionlearning Vol. PHY-1 (1), 2003.

    . .

Author: alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *