Сложение в столбик в любой системе
Сложение в столбик в любой системе счисления
Система счисления – это форма записи чисел по определенным правилам. Мы пользуемся в быту десятичной системой, но бывают и другие позиционные системы счисления (двоичная, пятеричная, восьмеричная, 16-ичная и т.д.).
Вы можете просмотреть цикл видеоуроков по системе счисления, чтобы понять, что к чему (автор видеоуроков – Максим Семенихин, администратор данного сайта):
- Введение в системы счисления.
- Перевод чисел из десятичной системы в недесятичную.
- Быстрый переход из двоичной системы в восьмеричную.
- Шестнадцатеричная система счисления.
Сложение в столбик в любой системе счисления производится по тому же принципу, что и в десятичной системе. Отличаются лишь сами по себе правила сложения цифр.
Если мы складываем две цифры в системе счисления с основанием, меньшим 10, и результат не превышает основания этой системы, тогда никаких отличий от десятичного сложения нет. Например, 15 + 2
Если же результат сложения двух цифр превышает основание системы, в которой их складывали, тогда появляются отличия, обусловленные тем, что в n-ичной системе счисления всего n цифр. Например, 310 + 410 = 710, но 35 + 45 ≠ 75, поскольку символ «7» отсутствует в пятеричной системе. 35 + 45 = 125.
Онлайн калькулятор
для сложения чисел в столбик
в любой системе счисления
Вы можете получить подробное объяснение того, как складывать два числа в столбик в любой системе счисления. Для этого введите сами числа и выберите систему счисления, в которой будете их складывать (от 2-ичной до 16-ичной). Решение будет предоставлено пошагово.
Арифметические действия в восьмеричной системе счисления
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 10 | 12 | 14 | 16 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 11 | 14 | 17 | 22 | 25 |
4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 4 | 0 | 4 | 10 | 14 | 20 | 24 | 30 | 34 |
5 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 5 | 0 | 5 | 12 | 17 | 24 | 31 | 36 | 43 |
6 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 6 | 0 | 6 | 14 | 22 | 30 | 36 | 44 | 52 |
7 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 7 | 0 | 7 | 16 | 25 | 34 | 43 | 52 | 61 |
Сложить числа:
223,28 + 427,548 = 652,748.
223,2
+ 427,54
652,74
Выполнить вычитание:
1510,28 - 1230,548 = 257,448.
1510,2
-1230,54
257,44
Выполнить умножение:
1170,648 × 46,38 = 57334,1348.
1170,64
× 46,3
355 234
+ 73247
47432 0
57334,134
parseInt() - JavaScript | MDN
Функция parseInt() принимает строку в качестве аргумента и возвращает целое число в соответствии с указанным основанием системы счисления.
The source for this interactive example is stored in a GitHub repository. If you'd like to contribute to the interactive examples project, please clone https://github.com/mdn/interactive-examples and send us a pull request.
Параметры
string- Значение, которое необходимо проинтерпретировать. Если значение параметра
stringне принадлежит строковому типу, оно преобразуется в него (с помощью абстрактной операцииToString). Пробелы в начале строки не учитываются.
radix- Целое число в диапазоне между 2 и 36, представляющее собой основание системы счисления числовой строки
string, описанной выше. В основном пользователи используют десятичную систему счисления и указывают 10. Всегда указывайте этот параметр, чтобы исключить ошибки считывания и гарантировать корректность исполнения и предсказуемость результата. Когда основание системы счисления не указано, разные реализации могут возвращать разные результаты.
Возвращаемое значение
Целое число, полученное парсингом (разбором и интерпретацией) переданной строки. Если первый символ не получилось сконвертировать в число, то возвращается NaN.
Функция parseInt преобразует первый переданный ей аргумент в строковый тип, интерпретирует его и возвращает целое число или значение NaN. Результат (если не NaN) является целым числом и представляет собой первый аргумент (string), рассматривающийся как число в указанной системе счисления (radix). Например, основание 10 указывает на преобразование из десятичного числа, 8 - восьмеричного, 16 - шестнадцатеричного и так далее. Если основание больше 10, то для обозначения цифр больше 9 используются буквы. Например, для шестнадцатеричных чисел (основание 16) используются буквы от A до F.
Если функция parseInt встречает символ, не являющийся числом в указанной системе счисления, она пропускает этот и все последующие символы (даже, если они подходящие) и возвращает целое число, преобразованное из части строки, предшествовавшей этому символу.
Так как некоторые числа включают символ e в своём строковом представлении (например, 6.022e23), то использование parseInt для усечения числовых значений может дать неожиданные результаты, когда используются очень малые или очень большие величины. parseInt не должна использоваться как замена для Math.floor().
Если основание системы счисления имеет значение undefined (не определено) или равно 0 (или не указано), то JavaScript по умолчанию предполагает следующее:
- Если значение входного параметра
stringначинается с "0x" или "0X", за основание системы счисления принимается 16, и интерпретации подвергается оставшаяся часть строки. - Если значение входного параметра
stringначинается с "0", за основание системы счисления принимается либо 8, либо 10, в зависимости от конкретной реализации. В спецификации ECMAScript 5 прописано использование 10 (десятичная система), но это поддерживается ещё не всеми браузерами, поэтому необходимо всегда указывать основание системы счисления при использовании функцииparseInt. - Если значение входного параметра
stringначинается с любого другого символа, система счисления считается десятичной (основание 10).
Если первый символ строки не может быть преобразован в число, parseInt возвращает значение NaN.
С точки зрения математики, значение NaN не является числом в какой-либо системе счисления. Чтобы определить, вернёт ли parseInt значение NaN в качестве результата, можно вызвать функцию isNaN. Если NaN участвует в арифметических операциях, результатом также будет NaN.
Для преобразования числа в строку в указанной системе счисления, используйте intValue.toString(radix).
Пример: Использование
parseIntВсе следующие примеры возвращают 15:
parseInt(" 0xF", 16);
parseInt(" F", 16);
parseInt("17", 8);
parseInt(021, 8);
parseInt("015", 10);
parseInt(15.99, 10);
parseInt("FXX123", 16);
parseInt("1111", 2);
parseInt("15*3", 10);
parseInt("15e2", 10);
parseInt("15px", 10);
parseInt("12", 13);
Все следующие примеры возвращают NaN:
parseInt("Hello", 8);
parseInt("546", 2);
Все следующие примеры возвращают -15:
parseInt("-F", 16);
parseInt("-0F", 16);
parseInt("-0XF", 16);
parseInt(-15.1, 10)
parseInt(" -17", 8);
parseInt(" -15", 10);
parseInt("-1111", 2);
parseInt("-15e1", 10);
parseInt("-12", 13);
Все следующие примеры возвращают 4:
parseInt(4.7, 10);
parseInt(4.7 * 1e22, 10);
parseInt(0.00000000000434, 10); Следующий пример возвращает 224:
Хотя это не поощряется в спецификацией ECMAScript 3 и запрещено в ECMAScript 5, многие реализации интерпретируют числовую строку, начинающуюся с 0, как восьмеричную. Следующий пример может иметь как восьмеричный, так и десятичный результат. Чтобы избежать непредвиденного результата, всегда указывайте основание системы счисления.
parseInt("0e0");
parseInt("08");
ECMAScript 5 устраняет восьмеричную интерпретацию
Спецификация ECMAScript 5 функции parseInt больше не разрешает трактовать в восьмеричной системе счисления строки, начинающиеся с 0. ECMAScript 5 провозглашает:
Функция parseInt производит целочисленное значение в результате интерпретации содержимого строкового аргумента в соответствии с указанным основанием системы счисления. Пробел в начале строки не учитывается.(\-|\+)?([0-9]+|Infinity)$/.test(value))
return Number(value);
return NaN;
}
console.log(filterInt('421'));
console.log(filterInt('-421'));
console.log(filterInt('+421'));
console.log(filterInt('Infinity'));
console.log(filterInt('421e+0'));
console.log(filterInt('421hop'));
console.log(filterInt('hop1.61803398875'));
console.log(filterInt('1.61803398875'));
BCD tables only load in the browser
N6. Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления
ПравилоДля того, чтобы восьмеричное (шестнадцатеричное) число перевести в двоичную систему счисления, необходимо каждую цифру этого числа заменить соответствующим числом, состоящим из 3 (4) цифр двоичной системы счисления.
Пример1. Перевести число 5288 перевести в двоичную систему счисления.
Решение:
5 2 3
101 010 011
Ответ: 5288 = 1010100112
Пример2. Перевести число 4ВА35,1С216 перевести в двоичную систему счисления.
Решение:
4 В А 3 5 , 1 С 2
100 1011 101000110101 0001 1100 0010
Ответ: 4ВА35,1С216 = 10010111010001101010001 110000102
Арифметические операции в системах счисления
N1. Сложение в двоичной системе счисления.
| Правило 0+0 =0 1+0=1 0+1=1 1+1=10 | Пример1. Сложить числа 1112 и 102. Решение: 111 + 10 Проверка: 1112 = 710, 102= 210, 10012 =910 7+2=9 Ответ: 10012 |
Пример1. Выполните сложение 1111,1012+101,112.
Решение:
| 111,101 + 101,11 1101,011 | (Пояснение: по правилам математики при сложение дробных чисел запятая записывается под запятой) |
Ответ: 1101,0112
N2. Вычитание в двоичной системе счисления.
Пример1. Из числа 10012 вычесть число 1112.
Решение: _ 1001
111
Проверка: 10012 =9, 1112 = 7, 102 = 2, 9-7=2
Ответ: 102
| Правило 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=1 (занимаем у старшего разряда) | Пример2. Выполнить действие 100101,012 – 111,1112 Решение: _ 100101,010 111,111 11101,101 Ответ: 11101,1012 |
N3. Умножение в двоичной системе счисления.
Умножение в двоичной системе счисления производится аналогично умножению в десятичной системе счисления.
Пример1. Умножить число 1012 на 1102
Решение: 101
*110
+ 101
101 .
11110 Ответ: 111102
Пример2. Выполнить действие 1011,012 ∙ 111,112
Решение: 1011,01
* 111,11
+ 101101
101101 ,
1010111,0011
Ответ: 1010111,00112
n4. Деление в двоичной системе счисления.
Операция деления выполняется также как и в десятичной системе счисления.
Пример1.Разделить число 1010001012 на число 11012.
Решение:
101000101 1101
1101 11001
0 Ответ: 110012
Пример2.Выполните деление с точностью до 3 знаков после
запятой 10012 :112
Решение:
1011 11
11 .11,010
11
11
10 Ответ: 11,0102
N5. Сложение и вычитание в восьмеричной системе счисления.
| Правило | Пример1. Вычислите 6348+2758 Решение: + 275 1131 Ответ: 11318 Пример2. Вычислите 305,48+24,758 Решение: 305,4 + 24,75 332,35 Ответ: 332,358 |
Пример3. Вычислите 6348-2758
| Решение: - 275 Ответ: 3378 | Пояснение: Т.к. от 4 не отнять 5, то занимаем у следующего разряда (т.к. система восьмеричная то 1 разряд составляет 8 единиц). От 8 -5+4=7 Аналогично, т.к. у тройки одну единицу заняли, то необходимо от 2 отнять 7, поэтому, заняв у следующего разряда, получаем 8-7+2=3 и т.д. |
Пример4. Вычислите 305,48-24,758
Решение:
305,40
- 24,75
260,43 Ответ: 260,438
N6. Умножение в восьмеричной системе счисления.
| Правило | Пример. Вычислите 638∙27,58 Решение: 27,5 63 2156 , 2264,7 Ответ: 2264,78 |
N7. Сложение и вычитание в шестнадцатеричной системе счисления.
Сложение и вычитание осуществляется аналогично таким же действиям в восьмеричной системе счисления
| Правило | Пример. Вычислите E5F616+A0716 Решение: E5F6 A07 EFFD Ответ: EFFD 16 |
N8. Умножение в шестнадцатеричной системе счисления.
| Правило | Пример FFA,3 * D,E DFAEA CFB47 / DDAF,5A |
Практическая часть
1. Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.
а) 24510→А2 д) 40410→А8
б) 198710→А2 е) 67310→А16
в) 16110→А3 ж) 4534810→А16
г) 33310→А5 з) 44410→А7
2. Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.
а) 0, 6562510→А16
б) 0,710→А2 с точностью до 4 знаков после запятой
в) 0,412510→А8 с точностью до 6 знаков
3. Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:
а) 173,562510→А2
б) 404,6562510→А16
в) 125,2510→А8
4. Перевести из различных систем счисления в десятичную:
а) 1111001112 г) 367,28
б) 1001110,112 в) АВ2Е,816
5. Перевести числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:
а) 11010001010112
б) 100000011,0001011102
в) 10010111011101,111010112
г) 111110000000111111111,0000011111000001111101012
6. Перевести числа в двоичную систему счисления
а) 6217,2518 в) 236548
б) А4ВС10А,5Е16 г) АСЕ560В16
7.Переведите число из римской системы счисления в десятичную:
MCMLXXXIV =____________10
8.Переведите число в римскую систему счисления:
1499 =_______________________
9. Представьте число в развернутой форме:
235428,210 =____________________________________________
122231014 =____________________________________________
10.Переведите числа из десятичной системы счисления в другие:
5610 =_____________2
5610 =_____________5
11.Переведите числа в десятичную систему счисления:
110110112 =__________________10
12223 = ____________________10
12. Выполните действия:
1) 111110011012+11111112 3) 111,11012+101,00112
2) 1010101112+1111102 4) 111,01010112+101011,11112
13. Выполните действия:
1) 111110011012-11111112
2) 1010101112-1111102
3) 111,11012-101,00112
4) 101011,11112 - 111,01010112
14. Выполните действия:
1) 111110011012-11111112
2) 111,11012-101,00112
15. Выполните действия:
1011110011012:1101012
16. Выполните деление с точностью до 4 знаков после запятой 10012:1012
17. Выполните действия:
1) 560378+555728
2) 536,2418+5673,668
3) 50238- 44448
4) 56,328-37,5678
18. Выполните умножение чисел:
1) 560378∙555728
2) 536,2418∙5673,668
Практическая работа № 2.
Иллюстрированный самоучитель по цифровой графике › Системы счисления › Восьмеричная система счисления [страница - 41] | Самоучители по графическим программам
Восьмеричная система счисления
Если мы обращаемся к восьмеричной системе счисления, то это означает, что можно использовать гораздо больше цифр, чем это принято в двоичной, но меньше, чем в десятичной, а именно можно оперировать восемью цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 – и не более.
Логика конвертирования десятичных чисел в восьмеричные (кодирование в восьмеричную систему счисления) совершенно идентична приведенной выше.
Более подробная информация – в разд. "Запись целых чисел в двоичной системе счисления" данной главы.
Действительно, в определенный момент цифры заканчиваются (наступает "кризис переходного периода").
Десятичное число "8" становится восьмеричным числом "10" ("восьмеричной десяткой"). Число "9" будет восьмеричным числом "11", число "10" – восьмеричным числом "12". И так далее до десятичного числа "15", которое в восьмеричном виде равно числу "17". А дальше?
Цифры снова кончились. Как будет представлено десятичное число "16" в восьмеричной системе счисления?
178 + 1 =…,
Но сумма "78 + 1" равняется "10" в восьмеричной системе счисления, а, следовательно, восьмеричный "десяток" необходимо складывать с "десятком", уже имеющимся, т. е. получается сумма, присутствующая в восьмеричной системе: "1 + 1 = 2". В результате получается, что:
178 + 1 = 208.
Дальше – восьмеричное число "21" и т. п., вплоть до восьмеричного числа "77". И только после этого будет восьмеричная "сотня".
Представим эту информацию в виде таблицы (табл. 4.4).
Таблица 4.4. Соответствие десятичных и восьмеричных чисел.
| Десятичные числа | Восьмеричные числа | Десятичные числа | Восьмеричные числа |
|---|---|---|---|
| 0-7 | 0-7 | 25-63 | 31-77 |
| 8 | 10 | 64 | 100 |
| 9-15 | 11-17 | 128 | 200 |
| 16 | 20 | 256 | 400 |
| 17-23 | 21-27 | 512 | 1000 |
| 24 | 30 | 1024 | 2000 |
Но даже такие числа все-таки мало экономны, по крайней мере, их разрядность не уступает десятичной системе, поэтому в компьютерных технологиях применяется еще одна система счисления, которая называется шестнадцатеричной.
Системы счисления
Перед математиками и
конструкторами в 50-х годах XX столетия встала
задача найти такие системы счисления, которые бы
отвечали требованиям разработчиков ЭВМ и
программного обеспечения. В результате были
созданы “машинные” системы счисления:
- двоичная;
- восьмеричная;
- шестнадцатеричная.
Каждая из этих систем использует определенный
набор символов языка, которыми записываются
данные - символы алфавита.
В двоичной системе счисления их всего два: 0 и
1.
В восьмеричной системе их восемь:
0,1,2,3,4,5,6,7.
В шестнадцатеричной - шестнадцать: арабские
цифры 0-9, и символы латинского алфавита от А до
F. Причем символ А соответствует 10, В =11 и т.д
, F=15.
Каждая система счисления из
машинной группы применяется в различных случаях,
а именно, двоичная – для организации
преобразования информации, восьмеричная и
шестнадцатеричная – для представления машинных
кодов в удобном виде.
Десятичная система применяется для ввода данных
и вывода на устройства печати и на экран
дисплея.
Двоичная система счисления
Обработка информации в ПК основа на обмене электрическими сигналами между различными устройствами компьютера. Эти сигналы возникают в определенной последовательности. ПК “различает” два уровня этих сигналов – высокий (1) и низкий (0). Таким образом, любая информация в вычислительной технике представляется как набор (код) двух символов 0 и 1. Каждый такой набор нулей и единиц называется двоичным кодом. Количество информации, кодируемое двоичной цифрой – 0 или 1 – называется битом. Бит является единицей измерения информации.
Двоичная система счисления обладает такими же свойствами, что и десятичная, только для представления чисел используется не 10 цифр, а всего 2. Эта система счисления тоже является позиционной.
Официальное рождение двоичной
арифметики связано с именем Г.В. Лейбница,
опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он
рассмотрел правила выполнения арифметических
действий над двоичными числами.
Из истории известен курьезный случай с
восьмеричной системой счисления. Шведский король
Карл XII в 1717 году увлекался восьмеричной
системой счисления, считал ее более удобной, чем
десятичная, и намеревался королевским приказом
ввести ее как общепринятую. Неожиданная смерть
короля помешала осуществить столь необычное
намерение.
Восьмеричная и шестнадцатиричная системы счисления
Двоичные числа – длинные последовательности 0 и 1 – очень неудобны для восприятия. В связи с этим двоичные числа стали разбивать на группы по три (триада) или четыре (тетрада) разряда. Из трех нулей и единиц можно составить восемь различных двоичных чисел, а из четырех – шестнадцать. Для кодирования 3 бит требуется 8 цифр, и поэтому взяли цифры от 0 до 7, т.е. в соответствии с определением получили алфавит 8-ной системы счисления.
|
Восьмеричный алфавит |
Двоичное число (триада) |
|
0 |
000 |
|
1 |
001 |
|
2 |
010 |
|
3 |
011 |
|
4 |
100 |
|
5 |
101 |
|
6 |
110 |
|
7 |
111 |
Для кодирования 4 бит необходимо 16 знаков, для чего используются 10 цифр десятичной системы и 6 первых букв латинского алфавита.
|
Шестнадцатеричный алфавит |
Двоичное число (тетрада) |
|
0 |
0000 |
|
1 |
0001 |
|
2 |
0010 |
|
3 |
0011 |
|
4 |
0100 |
|
5 |
0101 |
|
6 |
0110 |
|
7 |
0111 |
|
8 |
1000 |
|
9 |
1001 |
|
A |
1010 |
|
B |
1011 |
|
C |
1100 |
|
D |
1101 |
|
E |
1110 |
|
F |
1111 |
Представление чисел в различных системах счисления
|
10-ная |
2-ная |
8-ная |
16-ная |
|
0 |
00 |
0 |
0 |
|
1 |
01 |
1 |
1 |
|
2 |
10 |
2 |
2 |
|
3 |
11 |
3 |
3 |
|
4 |
100 |
4 |
4 |
|
5 |
101 |
5 |
5 |
|
6 |
110 |
6 |
6 |
|
7 |
111 |
7 |
7 |
|
8 |
1000 |
10 |
8 |
|
9 |
1001 |
11 |
9 |
|
10 |
1010 |
12 |
A |
|
11 |
1011 |
13 |
B |
|
12 |
1100 |
14 |
C |
|
13 |
1101 |
15 |
D |
|
14 |
1110 |
16 |
E |
|
15 |
1111 |
17 |
F |
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ N-РИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ
Перевод чисел из одной системы счисления в другую выполняет компьютер. Эти операции выполняются по определенным правилам.
Перевод числа из двоичной системы
счисления в десятеричную:
1) пронумеровать двоичный код начиная с младшего
разряда (его номер равен 0) к старшему;
2) записать двоичное число как сумму
произведений веса каждого разряда на основание
системы счисления исходного числа (2) в степени,
соответствующей номеру разряда;
3) выполнить вычисление произведений и суммы.
Например,
1010112 = 1*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20
= 32+0+8+0+2+1=4310
Перевод числа из любой n-ричной системы счисления в десятеричную выполняется с описанным выше правилом (следует учесть, что для каждой системы счисления основание системы свое).
Задание:
Выполните перевод следующих чисел в десятичную:
123708 - ?10
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В N-РИЧНУЮ
Перевод числа из десятеричной в двоичную систему счисления:
1) выполнить последовательное
деление десятичного числа, а затем получаемых
целых частных на основание системы счисления, в
которую переводится число (2). Деление
выполняется в записью целого частного и целого
остатка от деления до тех пор, пока целое
частное не будет равно 0.
2) записать код числа, записывая остатки от
деления, начиная с последнего из целых остатков
(в обратном порядке) символами алфавита
требуемой системы счисления.
|
Например,4210 - ?2 4210 = 1010102 |
Перевод числа из десятеричной в n-ричную систему счисления:
1) выполнить последовательное
деление десятичного числа, а затем получаемых
целых частных на основание системы счисления, в
которую переводится число (n). Деление
выполняется в записью целого частного и целого
остатка от деления до тех пор, пока целое
частное не будет равно 0.
2) записать код числа, записывая остатки от
деления, начиная с последнего из целых остатков
(в обратном порядке) символами алфавита
требуемой системы счисления.
Задание:
выполните перевод десятичных чисел 54 и 782
в 8-ричную и 16-ричную системы счисления каждое.
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ
Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную:
влево и вправо от запятой
двоичное число разбивается на двоичные триады,
при необходимости крайние группы дополняются
нулями; каждая триада заменяется соответствующей
цифрой восьмеричного алфавита (см. таблицу).
|
100010011,112 = ?8 |
100 |
010 |
011, |
1102 |
=423,68 |
|
|
4 |
2 |
3 |
6 |
Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:
влево и вправо от запятой
двоичное число разбивается на двоичные тетрады,
при необходимости крайние группы дополняются
нулями; каждая тетрада заменяется
соответствующей цифрой шестнадцатеричного
алфавита (см. таблицу).
|
11111100011,1010102 = ?16 |
0111 |
1110 |
0011, |
1010 |
1000 |
= 7Е3,А816 |
|
|
7 |
Е |
3 |
А |
8 |
При переводе чисел из
восьмеричной и шестнадцатеричной систем
счисления в двоичную достаточно заменить каждую
цифру соответственно двоичной триадой или
тетрадой. При этом незначащие нули
отбрасываются.
Примеры: 324,78 - ? 2
3 2 4, 78 = 11010100,1112
Е4А1, В516 - ?2
Е 4 А 1, В 516 =
1110010010100001,101101012
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ
При переводе чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную достаточно заменить каждую цифру соответственно двоичной триадой или тетрадой. При этом незначащие нули отбрасываются.
Примеры:
|
324,78 - ? 2 |
3 |
2 |
4, |
78 = |
11010100,1112 |
|
|
|
011 |
010 |
100 |
111 |
|
Е4А1, В516 - ?2 |
Е |
4 |
А |
1, |
В |
516 = |
1110010010100001,101101012 |
|
|
1110 |
0100 |
1010 |
0001 |
1011 |
0101 |
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ
С цифрами двоичного числа можно выполнять арифметические операции. При этом выполняются правила двоичной арифметики:
|
0+0=0 |
0*0=0 |
|
1+0=1 |
1*0=0 |
|
0+1=1 |
0*1=0 |
|
1+1= 0 (+ перенос единицы
|
1*1= 1 |
Все арифметические операции над двоичными числами можно свести к 2-м операциям: сложению и сдвигу кодов. Это позволяет технически реализовать четыре арифметических действия в одном арифметико-логическом устройстве, используя одни и те же электронные схемы. Впрочем, и в десятичной арифметике в конечном итоге выполняются те же действия – сложение и сдвиг.
Cложение двоичных чисел
Выполним сложение двух двоичных чисел 110012 и 100012
|
+ |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Задание:
Самостоятельно выполните сложение двоичных
чисел:
111002 и 100111112
Вычитание двоичных чисел
Вычитание – обратная операция
сложению так же может быть представлена в виде
сложения, но только с отрицательным числом.
Выполним вычитание двух двоичных чисел 110012
и 100012
|
- |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
Задание:
выполните вычитание двух чисел 1011102
и 10012
Умножение и деление двоичных чисел
Умножение и деление производится
поразрядно и сводятся к двум операциям: сложению
и сдвигу.
Выполним умножение двоичных чисел 110012 и 10012
|
|
* |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||
|
1 |
0 |
0 |
1 |
||||||
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||||
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Задание:
самостоятельно перемножьте числа 11102
и 100012
Деление так же можно представить как выполнение операций сложения и сдвига.
Задание:
выполните самостоятельно деление двоичного числа
1100110 на двоичное число 110
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ВОСЬМЕТИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЕ
Сложение и вычитание в 8-ной и 16-ной системах счисления
При выполнении действий сложения
и вычитания в 8-ной системе счисления необходимо
помнить:
в записи результатов сложения и вычитания могут
быть использованы только цифры восьмеричного
алфавита;
основание восьмеричной системы счисления равен
8, т.е. переполнение наступает, когда результат
сложения больше или равен 8. В этом случае для
записи результата надо вычесть 8, записать
остаток, а к старшему разряду прибавить единицу
переполнения;
если при вычитании приходится занимать единицу в
старшем разряде, эта единица переносится в
младший разряд в виде 8 единиц.
Примеры.
Сложить восьмеричные числа 7708 и 2368
.
|
|
1 |
1 |
|
|
|
+ |
7 |
7 |
0 |
|
|
2 |
3 |
6 |
||
|
1 |
2 |
2 |
6 |
Примеры на закрепление: выполнить
действия в восьмеричной системе счисления.
7158 + 3738
5248 + 578
Выполнить вычитание восьмеричных чисел 7508 и 2368.
|
|
|
4 |
8 |
|
|
_ |
7 |
5 |
0 |
|
|
2 |
3 |
6 |
||
|
|
5 |
1 |
2 |
Примеры на закрепление: выполнить
действия в восьмеричной системе счисления.
1378 - 72,38
4368 - 2578
При выполнении действий сложения
и вычитания в 16-ной системе счисления
необходимо помнить:
в записи результатов сложения и вычитания могут
быть использованы только цифры
шестнадцатеричного алфавита (0-9, A-F)
Основание шестнадцатеричной системы счисления
равно 16, т.е. переполнение наступает, когда
результат сложения больше или равен 16. В этом
случае для записи результата надо вычесть 16,
записать остаток, а к старшему разряду прибавить
единицу переполнения;
если при вычитании приходится занимать единицу в
старшем разряде, эта единица переносится в
младший разряд в виде 16 единиц.
Примеры.
Сложить шестнадцатеричные числа B0916
и EFA16
|
|
1 |
1 |
|
|
|
+ |
B |
0 |
9 |
|
|
E |
F |
A |
||
|
1 |
A |
0 |
3 |
Примеры на закрепление: выполнить
действия в шестнадцатеричной системе счисления.
A1316 + 1CF16
F0B,816 + 1DA,C116
Выполнить вычитание шестнадцатеричных чисел B0916 и 7FA16.
|
|
10 |
15 |
16 |
|
|
_ |
B |
0 |
9 |
|
|
7 |
F |
A |
||
|
|
3 |
0 |
F |
Примеры на закрепление: выполнить
действия в шестнадцатеричной системе счисления.
A1316 - 1CF16
DFA,B816 - 1AE,9416
Числа: целые, вещественные, комплексные | Python 3 для начинающих и чайников
Числа в Python 3: целые, вещественные, комплексные. Работа с числами и операции над ними.
Целые числа (int)
Числа в Python 3 ничем не отличаются от обычных чисел. Они поддерживают набор самых обычных математических операций:
| x + y | Сложение |
| x - y | Вычитание |
| x * y | Умножение |
| x / y | Деление |
| x // y | Получение целой части от деления |
| x % y | Остаток от деления |
| -x | Смена знака числа |
| abs(x) | Модуль числа |
| divmod(x, y) | Пара (x // y, x % y) |
| x ** y | Возведение в степень |
| pow(x, y[, z]) | xy по модулю (если модуль задан) |
Также нужно отметить, что целые числа в python 3, в отличие от многих других языков, поддерживают длинную арифметику (однако, это требует больше памяти). y
Дополнительные методы
int.bit_length() - количество бит, необходимых для представления числа в двоичном виде, без учёта знака и лидирующих нулей.
>>> n = -37 >>> bin(n) '-0b100101' >>> n.bit_length() 6
int.to_bytes(length, byteorder, *, signed=False) - возвращает строку байтов, представляющих это число.
>>> (1024).to_bytes(2, byteorder='big') b'\x04\x00' >>> (1024).to_bytes(10, byteorder='big') b'\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x04\x00' >>> (-1024).to_bytes(10, byteorder='big', signed=True) b'\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xfc\x00' >>> x = 1000 >>> x.to_bytes((x.bit_length() // 8) + 1, byteorder='little') b'\xe8\x03'
classmethod int.from_bytes(bytes, byteorder, *, signed=False) - возвращает число из данной строки байтов.
>>> int.from_bytes(b'\x00\x10', byteorder='big') 16 >>> int.from_bytes(b'\x00\x10', byteorder='little') 4096 >>> int.from_bytes(b'\xfc\x00', byteorder='big', signed=True) -1024 >>> int.from_bytes(b'\xfc\x00', byteorder='big', signed=False) 64512 >>> int.from_bytes([255, 0, 0], byteorder='big') 16711680
Системы счисления
Те, у кого в школе была информатика, знают, что числа могут быть представлены не только в десятичной системе счисления. К примеру, в компьютере используется двоичный код, и, к примеру, число 19 в двоичной системе счисления будет выглядеть как 10011. Также иногда нужно переводить числа из одной системы счисления в другую. Python для этого предоставляет несколько функций:
- int([object], [основание системы счисления]) - преобразование к целому числу в десятичной системе счисления. По умолчанию система счисления десятичная, но можно задать любое основание от 2 до 36 включительно.
- bin(x) - преобразование целого числа в двоичную строку.
- hex(х) - преобразование целого числа в шестнадцатеричную строку.
- oct(х) - преобразование целого числа в восьмеричную строку.
Примеры:
>>> a = int('19') # Переводим строку в число
>>> b = int('19.5') # Строка не является целым числом
Traceback (most recent call last):
File "", line 1, in
ValueError: invalid literal for int() with base 10: '19.5'
>>> c = int(19.5) # Применённая к числу с плавающей точкой, отсекает дробную часть
>>> print(a, c)
19 19
>>> bin(19)
'0b10011'
>>> oct(19)
'0o23'
>>> hex(19)
'0x13'
>>> 0b10011 # Так тоже можно записывать числовые константы
19
>>> int('10011', 2)
19
>>> int('0b10011', 2)
19Вещественные числа (float)
Вещественные числа поддерживают те же операции, что и целые. Однако (из-за представления чисел в компьютере) вещественные числа неточны, и это может привести к ошибкам:
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 0.9999999999999999
Для высокой точности используют другие объекты (например Decimal и Fraction)).
Также вещественные числа не поддерживают длинную арифметику:
>>> a = 3 ** 1000 >>> a + 0.1 Traceback (most recent call last): File "", line 1, in OverflowError: int too large to convert to float
Простенькие примеры работы с числами:
>>> c = 150 >>> d = 12.9 >>> c + d 162.9 >>> p = abs(d - c) # Модуль числа >>> print(p) 137.1 >>> round(p) # Округление 137
Дополнительные методы
float.as_integer_ratio() - пара целых чисел, чьё отношение равно этому числу.
float.is_integer() - является ли значение целым числом.
float.hex() - переводит float в hex (шестнадцатеричную систему счисления).
classmethod float.fromhex(s) - float из шестнадцатеричной строки.
>>> (10.5).hex()
'0x1.5000000000000p+3'
>>> float.fromhex('0x1.5000000000000p+3')
10.5Помимо стандартных выражений для работы с числами (а в Python их не так уж и много), в составе Python есть несколько полезных модулей.
Модуль math предоставляет более сложные математические функции.
>>> import math >>> math.pi 3.141592653589793 >>> math.sqrt(85) 9.219544457292887
Модуль random реализует генератор случайных чисел и функции случайного выбора.
>>> import random >>> random.random() 0.15651968855132303
Комплексные числа (complex)
В Python встроены также и комплексные числа:
>>> x = complex(1, 2) >>> print(x) (1+2j) >>> y = complex(3, 4) >>> print(y) (3+4j) >>> z = x + y >>> print(x) (1+2j) >>> print(z) (4+6j) >>> z = x * y >>> print(z) (-5+10j) >>> z = x / y >>> print(z) (0.44+0.08j) >>> print(x.conjugate()) # Сопряжённое число (1-2j) >>> print(x.imag) # Мнимая часть 2.0 >>> print(x.real) # Действительная часть 1.0 >>> print(x > y) # Комплексные числа нельзя сравнить Traceback (most recent call last): File "", line 1, in TypeError: unorderable types: complex() > complex() >>> print(x == y) # Но можно проверить на равенство False >>> abs(3 + 4j) # Модуль комплексного числа 5.0 >>> pow(3 + 4j, 2) # Возведение в степень (-7+24j)
Для работы с комплексными числами используется также модуль cmath.
Решенные примеры восьмеричного сложения
Это моя первая статья по восьмеричной арифметике. В этом посте я собираюсь объяснить два разных метода сложения восьмеричных чисел.
Ключевые вопросы:
-
Как выполнить восьмеричное сложение?
-
Как выполнить сложение дробных восьмеричных чисел?
-
Нарисуйте таблицу восьмеричного сложения
-
Обсудите два метода восьмеричного сложения
Метод сложения восьмеричных чисел:
Есть два метода сложения восьмеричных чисел.Я буду решать каждый пример, используя методы для лучшего понимания. Вы можете проверить свои результаты с помощью этого онлайн-калькулятора восьмеричного сложения.
Метод №1:
В этом методе вы должны запомнить следующие моменты:
-
Считайте каждое число десятичным числом и складывайте их как десятичные числа.
-
После добавления каждого столбца, если сумма столбца превышает 7, разделите результат на 8, чтобы оценить эквивалентное восьмеричное значение.
-
Остаток будет частью ответа (промежуточной суммы), в то время как частное станет переносом
.
Пример # 01: 167) 8 + 765) 8
1 1
1 6 7
+7 6 5
1 1 5 4
Помните первый шаг.Считайте каждое число десятичным числом и складывайте их как десятичные числа.
1-й столбец (столбец единиц) сложение 7 + 5 = 12
1 ← частное
8 ⟌12
8
4 ← остаток в виде промежуточной суммы
2-й столбец (столбец десятков) сложение 1 + 6 + 6 = 13
1 ← частное
8⟌13
8
5 ← остаток в виде промежуточной суммы
3-й столбец (столбец сотен) сложение 1 + 1 + 7 = 9
1 ← частное
8⟌9
8
1 ← остаток в виде промежуточной суммы
Ответ: 1154) 8
Пример # 02: 123) 8 + 7651) 8
1 2 3
+7 6 5 1
7 7 7 4
В этом примере после добавления каждого столбца никакая промежуточная сумма не превышает 7.Таким образом, нет необходимости преобразовывать эквивалентное восьмеричное значение.
Ответ: 7774) 8
Пример: 03: 246.57) 8 + 357.1) 8
1 1
2 4 6. 5 7
+3 5 7. 1
6 2 5. 6 7
Столбцы после восьмеричных точек в дополнительном вычислении не нуждаются.
1-й столбец (столбец единиц) сложение 6 + 7 = 13
1 ← частное
8⟌13
8
5 ← остаток в виде промежуточной суммы
2-й столбец (столбец десятков) сложение 4 + 5 + 1 = 9
1 ← частное
8⟌10
8
2 ← остаток в виде промежуточной суммы
Сумма 3-го столбца (столбца сотен) не превышает 7.Нет необходимости в дополнительных расчетах.
Ответ: 625,67) 8
Метод № 2:
В этом методе приводится таблица восьмеричного сложения. Чем полезна эта таблица в добавлении восьмеричных чисел. Давайте разберемся.
-
Посмотрите на первый ряд (красный ряд), вы можете назвать его X
-
Посмотрите на первый столбец (столбец синего цвета), вы можете назвать его Y
-
Остальная часть таблицы черная. Это сумма X и Y
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 6 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 7 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
Например 23) 8 + 45) 8
1
2 3
+4 5
7 0
Сначала вам нужно добавить номера 1-го столбца.Назначьте X = 3, Y = 5. Поиск в таблице даст результат. Ваш ответ - пересечение столбца 3 и строки 5.
Для 2-го столбца снова назначьте X = 2 + 1 Y = 4
Ваш ответ - пересечение столбца 3 и строки 4.
Пример # 01: 167) 8 + 765) 8
1 1
1 6 7
+7 6 5
1 1 5 4
Сложение 1-го столбца X = 7 Y = 5
Сложение 2-го столбца X = 6 + 1 Y = 6
Сложение 3-го столбца X = 1 + 1 Y = 7
Ответ: 1154) 8
Пример # 02: 123) 8 + 7651) 8
1 2 3
+7 6 5 1
7 7 7 4
Сложение 1-го столбца X = 3 Y = 1
Сложение 2-го столбца X = 2 Y = 5
Сложение 3-го столбца X = 1 Y = 6
Сложение 4-го столбца X = 0 Y = 7
Ответ 7774) 8
Пример: 03: 246.57) 8 + 357.1) 8
1 1
2 4 6. 5 7
+3 5 7. 1
6 2 5. 6 7
Считайте столбцы после восьмеричной точки.
Сложение сотого столбца X = 7 Y = 0
Сложение десятого столбца X = 5 Y = 1
Сложение столбца единиц X = 6 Y = 7
Сложение десятков столбцов X = 4 + 1 Y = 5
Сложение сотен столбцов X = 2 + 1 Y = 3
Ответ: 625,67) 8
Вывод:
Итак, все дело в восьмеричном сложении.Я использовал оба метода для расчета. Это простая и легкая задача. Я перепроверил и проверил все ответы в этом посте. Если вы все же обнаружите ошибку, сообщите мне. Если у вас есть предложения, буду вам благодарен.
Программа Python для сложения двух восьмеричных чисел
Для двух восьмеричных чисел задача состоит в том, чтобы написать программу Python для вычисления их суммы.
Примеры:
Ввод: a = "123", b = "456" Вывод: 601 Ввод: a = "654", b = "321" Вывод: 1175
Подход:
Чтобы добавить два восьмеричных значения в python, мы сначала преобразуем их в десятичные значения, затем сложим их, а затем, наконец, снова преобразуем их в восьмеричное значение.Чтобы преобразовать числа, мы воспользуемся функцией oct () . Функция oct () - один из встроенных методов в Python3. Метод oct () принимает целое число и возвращает его восьмеричное представление в строковом формате. Мы также будем использовать функцию int () для преобразования числа в десятичную форму. Функция int () в Python и Python3 преобразует число в заданном основании в десятичное.
Ниже представлены реализации, основанные на приведенном выше объяснении:
Пример 1:
Python3
| |
Пример 2:
Python3
| | :] Вывод:
