Сложение в столбик в любой системе
Сложение в столбик в любой системе счисления
Система счисления – это форма записи чисел по определенным правилам. Мы пользуемся в быту десятичной системой, но бывают и другие позиционные системы счисления (двоичная, пятеричная, восьмеричная, 16-ичная и т.д.).
Вы можете просмотреть цикл видеоуроков по системе счисления, чтобы понять, что к чему (автор видеоуроков – Максим Семенихин, администратор данного сайта):
- Введение в системы счисления.
- Перевод чисел из десятичной системы в недесятичную.
- Быстрый переход из двоичной системы в восьмеричную.
- Шестнадцатеричная система счисления.
Сложение в столбик в любой системе счисления производится по тому же принципу, что и в десятичной системе. Отличаются лишь сами по себе правила сложения цифр.
Если мы складываем две цифры в системе счисления с основанием, меньшим 10, и результат не превышает основания этой системы, тогда никаких отличий от десятичного сложения нет. Например, 1
Если же результат сложения двух цифр превышает основание системы, в которой их складывали, тогда появляются отличия, обусловленные тем, что в n-ичной системе счисления всего n цифр. Например, 310 + 410 = 710, но 35 + 45 ≠ 75, поскольку символ «7» отсутствует в пятеричной системе. 35 + 45 = 125.
Онлайн калькулятор
для сложения чисел в столбик
в любой системе счисления
Вы можете получить подробное объяснение того, как складывать два числа в столбик в любой системе счисления. Для этого введите сами числа и выберите систему счисления, в которой будете их складывать (от 2-ичной до 16-ичной). Решение будет предоставлено пошагово.
Арифметические действия в восьмеричной системе счисления
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 10 | 12 | 14 | 16 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 11 | 14 | 17 | 22 | 25 |
4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 4 | 0 | 4 | 10 | 14 | 20 | 24 | 30 | 34 |
5 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 5 | 0 | 5 | 12 | 17 | 24 | 31 | 36 | 43 |
6 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 6 | 0 | 6 | 14 | 22 | 30 | 36 | 44 | 52 |
7 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 7 | 0 | 7 | 16 | 25 | 34 | 43 | 52 | 61 |
Сложить числа:
223,28 + 427,548 = 652,748.
223,2
+ 427,54
652,74
Выполнить вычитание:
1510,28 — 1230,548 = 257,448.
1510,2
—1230,54
257,44
Выполнить умножение:
1170,648 × 46,38 = 57334,1348.
1170,64
× 46,3
355 234
+ 73247
47432 0
57334,134
parseInt() — JavaScript | MDN
Функция parseInt()
принимает строку в качестве аргумента и возвращает целое число в соответствии с указанным основанием системы счисления.
The source for this interactive example is stored in a GitHub repository. If you’d like to contribute to the interactive examples project, please clone https://github.com/mdn/interactive-examples and send us a pull request.
Параметры
string
- Значение, которое необходимо проинтерпретировать. Если значение параметра
string
не принадлежит строковому типу, оно преобразуется в него (с помощью абстрактной операцииToString
). Пробелы в начале строки не учитываются.
radix
- Целое число в диапазоне между 2 и 36, представляющее собой основание системы счисления числовой строки
, описанной выше. В основном пользователи используют десятичную систему счисления и указывают 10. Всегда указывайте этот параметр, чтобы исключить ошибки считывания и гарантировать корректность исполнения и предсказуемость результата. Когда основание системы счисления не указано, разные реализации могут возвращать разные результаты.
Возвращаемое значение
Целое число, полученное парсингом (разбором и интерпретацией) переданной строки. Если первый символ не получилось сконвертировать в число, то возвращается NaN
.
Функция parseInt
преобразует первый переданный ей аргумент в строковый тип, интерпретирует его и возвращает целое число или значение NaN
. Результат (если не NaN
) является целым числом и представляет собой первый аргумент (string
), рассматривающийся как число в указанной системе счисления (radix
). Например, основание 10 указывает на преобразование из десятичного числа, 8 — восьмеричного, 16 — шестнадцатеричного и так далее. Если основание больше
10
, то для обозначения цифр больше 9
используются буквы. Например, для шестнадцатеричных чисел (основание 16) используются буквы от A
до F
.
Если функция parseInt
встречает символ, не являющийся числом в указанной системе счисления, она пропускает этот и все последующие символы (даже, если они подходящие) и возвращает целое число, преобразованное из части строки, предшествовавшей этому символу. parseInt
отсекает дробную часть числа. Пробелы в начале и конце строки разрешены.
Так как некоторые числа включают символ e
в своём строковом представлении (например, 6.022e23
), то использование parseInt
для усечения числовых значений может дать неожиданные результаты, когда используются очень малые или очень большие величины. parseInt
Math.floor()
.
Если основание системы счисления имеет значение undefined
(не определено) или равно 0 (или не указано), то JavaScript по умолчанию предполагает следующее:
- Если значение входного параметра
string
начинается с «0x
» или «0X
«, за основание системы счисления принимается 16, и интерпретации подвергается оставшаяся часть строки. - Если значение входного параметра
string
начинается с «0», за основание системы счисления принимается либо 8, либо 10, в зависимости от конкретной реализации. В спецификации ECMAScript 5 прописано использование 10 (десятичная система), но это поддерживается ещё не всеми браузерами, поэтому необходимо всегда указывать основание системы счисления при использовании функцииparseInt
. - Если значение входного параметра
string
начинается с любого другого символа, система счисления считается десятичной (основание 10).
Если первый символ строки не может быть преобразован в число, parseInt
возвращает значение NaN
.
С точки зрения математики, значение NaN
не является числом в какой-либо системе счисления. Чтобы определить, вернёт ли parseInt
значение
NaN
в качестве результата, можно вызвать функцию isNaN
. Если NaN
участвует в арифметических операциях, результатом также будет NaN
.
Для преобразования числа в строку в указанной системе счисления, используйте intValue.toString(radix)
.
Пример: Использование
parseInt
Все следующие примеры возвращают 15
:
parseInt(" 0xF", 16); parseInt(" F", 16); parseInt("17", 8); parseInt(021, 8); parseInt("015", 10); parseInt(15.99, 10); parseInt("FXX123", 16); parseInt("1111", 2); parseInt("15*3", 10); parseInt("15e2", 10); parseInt("15px", 10); parseInt("12", 13);
Все следующие примеры возвращают NaN
:
parseInt("Hello", 8);
parseInt("546", 2);
Все следующие примеры возвращают -15
:
parseInt("-F", 16);
parseInt("-0F", 16);
parseInt("-0XF", 16);
parseInt(-15.1, 10)
parseInt(" -17", 8);
parseInt(" -15", 10);
parseInt("-1111", 2);
parseInt("-15e1", 10);
parseInt("-12", 13);
Все следующие примеры возвращают 4
:
parseInt(4.7, 10);
parseInt(4.7 * 1e22, 10);
parseInt(0.00000000000434, 10);
Следующий пример возвращает 224
:
Хотя это не поощряется в спецификацией ECMAScript 3 и запрещено в ECMAScript 5, многие реализации интерпретируют числовую строку, начинающуюся с 0
, как восьмеричную. Следующий пример может иметь как восьмеричный, так и десятичный результат.
Чтобы избежать непредвиденного результата, всегда указывайте основание системы счисления.
parseInt("0e0");
parseInt("08");
ECMAScript 5 устраняет восьмеричную интерпретацию
Спецификация ECMAScript 5 функции parseInt
больше не разрешает трактовать в восьмеричной системе счисления строки, начинающиеся с 0
. ECMAScript 5 провозглашает:
Функция parseInt
производит целочисленное значение в результате интерпретации содержимого строкового аргумента в соответствии с указанным основанием системы счисления. Пробел в начале строки не учитывается.(\-|\+)?([0-9]+|Infinity)$/.test(value))
return Number(value);
return NaN;
}
console.log(filterInt(‘421’));
console.log(filterInt(‘-421’));
console.log(filterInt(‘+421’));
console.log(filterInt(‘Infinity’));
console.log(filterInt(‘421e+0’));
console.log(filterInt(‘421hop’));
console.log(filterInt(‘hop1.61803398875’));
console.log(filterInt(‘1.61803398875’));
BCD tables only load in the browser
N6. Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления
ПравилоДля того, чтобы восьмеричное (шестнадцатеричное) число перевести в двоичную систему счисления, необходимо каждую цифру этого числа заменить соответствующим числом, состоящим из 3 (4) цифр двоичной системы счисления.
Пример1. Перевести число 5288 перевести в двоичную систему счисления.
Решение:
5 2 3
101 010 011
Ответ: 5288 = 1010100112
Пример2. Перевести число 4ВА35,1С216 перевести в двоичную систему счисления.
Решение:
4 В А 3 5 , 1 С 2
100 1011 101000110101 0001 1100 0010
Ответ: 4ВА35,1С216 = 10010111010001101010001 110000102
Арифметические операции в системах счисления
N1. Сложение в двоичной системе счисления.
Правило 0+0 =0 1+0=1 0+1=1 1+1=10 | Пример1. Сложить числа 1112 и 102. Решение: 111 + 10 Проверка: 1112 = 710, 102= 210, 10012 =910 7+2=9 Ответ: 10012 |
Пример1. Выполните сложение 1111,1012+101,112.
Решение:
111,101 + 101,11 1101,011 | (Пояснение: по правилам математики при сложение дробных чисел запятая записывается под запятой) |
Ответ: 1101,0112
N2. Вычитание в двоичной системе счисления.
Пример1. Из числа 10012 вычесть число 1112.
Решение: _ 1001
111
Проверка: 10012 =9, 1112 = 7, 102 = 2, 9-7=2
Ответ: 102
Правило 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=1 (занимаем у старшего разряда) | Пример2. Выполнить действие 100101,012 – 111,1112 Решение: _ 100101,010 111,111 11101,101 Ответ: 11101,1012 |
N3. Умножение в двоичной системе счисления.
Умножение в двоичной системе счисления производится аналогично умножению в десятичной системе счисления.
Пример1. Умножить число 1012 на 1102
Решение: 101
*110
+ 101
101 .
11110 Ответ: 111102
Пример2. Выполнить действие 1011,012 ∙ 111,112
Решение: 1011,01
* 111,11
+ 101101
101101 ,
1010111,0011
Ответ: 1010111,00112
n4. Деление в двоичной системе счисления.
Операция деления выполняется также как и в десятичной системе счисления.
Пример1.Разделить число 1010001012 на число 11012.
Решение:
101000101 1101
1101 11001
0 Ответ: 110012
Пример2.Выполните деление с точностью до 3 знаков после
запятой 10012 :112
Решение:
1011 11
11 .11,010
11
11
10 Ответ: 11,0102
N5. Сложение и вычитание в восьмеричной системе счисления.
Правило | Пример1. Вычислите 6348+2758 Решение: + 275 1131 Ответ: 11318 Пример2. Вычислите 305,48+24,758 Решение: 305,4 + 24,75 332,35 Ответ: 332,358 |
Пример3. Вычислите 6348-2758
Решение: — 275 Ответ: 3378 | Пояснение: Т.к. от 4 не отнять 5, то занимаем у следующего разряда (т.к. система восьмеричная то 1 разряд составляет 8 единиц). От 8 -5+4=7 Аналогично, т.к. у тройки одну единицу заняли, то необходимо от 2 отнять 7, поэтому, заняв у следующего разряда, получаем 8-7+2=3 и т.д. |
Пример4. Вычислите 305,48-24,758
Решение:
305,40
— 24,75
260,43 Ответ: 260,438
N6. Умножение в восьмеричной системе счисления.
Правило | Пример. Вычислите 638∙27,58 Решение: 27,5 63 2156 , 2264,7 Ответ: 2264,78 |
N7. Сложение и вычитание в шестнадцатеричной системе счисления.
Сложение и вычитание осуществляется аналогично таким же действиям в восьмеричной системе счисления
Правило | Пример. Вычислите E5F616+A0716 Решение: E5F6 A07 EFFD Ответ: EFFD 16 |
N8. Умножение в шестнадцатеричной системе счисления.
Правило | Пример FFA,3 * D,E DFAEA CFB47 / DDAF,5A |
Практическая часть
1. Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.
а) 24510→А2 д) 40410→А8
б) 198710→А2 е) 67310→А16
в) 16110→А3 ж) 4534810→А16
г) 33310→А5 з) 44410→А7
2. Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.
а) 0, 6562510→А16
б) 0,710→А2 с точностью до 4 знаков после запятой
в) 0,412510→А8 с точностью до 6 знаков
3. Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:
а) 173,562510→А2
б) 404,6562510→А16
в) 125,2510→А8
4. Перевести из различных систем счисления в десятичную:
а) 1111001112 г) 367,28
б) 1001110,112 в) АВ2Е,816
5. Перевести числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:
а) 11010001010112
б) 100000011,0001011102
в) 10010111011101,111010112
г) 111110000000111111111,0000011111000001111101012
6. Перевести числа в двоичную систему счисления
а) 6217,2518 в) 236548
б) А4ВС10А,5Е16 г) АСЕ560В16
7.Переведите число из римской системы счисления в десятичную:
MCMLXXXIV =____________10
8.Переведите число в римскую систему счисления:
1499 =_______________________
9. Представьте число в развернутой форме:
235428,210 =____________________________________________
122231014 =____________________________________________
10.Переведите числа из десятичной системы счисления в другие:
5610 =_____________2
5610 =_____________5
11.Переведите числа в десятичную систему счисления:
110110112 =__________________10
12223 = ____________________10
12. Выполните действия:
1) 111110011012+11111112 3) 111,11012+101,00112
2) 1010101112+1111102 4) 111,01010112+101011,11112
13. Выполните действия:
1) 111110011012-11111112
2) 1010101112-1111102
3) 111,11012-101,00112
4) 101011,11112 — 111,01010112
14. Выполните действия:
1) 111110011012-11111112
2) 111,11012-101,00112
15. Выполните действия:
1011110011012:1101012
16. Выполните деление с точностью до 4 знаков после запятой 10012:1012
17. Выполните действия:
1) 560378+555728
2) 536,2418+5673,668
3) 50238— 44448
4) 56,328-37,5678
18. Выполните умножение чисел:
1) 560378∙555728
2) 536,2418∙5673,668
Практическая работа № 2.
Иллюстрированный самоучитель по цифровой графике › Системы счисления › Восьмеричная система счисления [страница — 41] | Самоучители по графическим программам
Восьмеричная система счисления
Если мы обращаемся к восьмеричной системе счисления, то это означает, что можно использовать гораздо больше цифр, чем это принято в двоичной, но меньше, чем в десятичной, а именно можно оперировать восемью цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 – и не более.
Логика конвертирования десятичных чисел в восьмеричные (кодирование в восьмеричную систему счисления) совершенно идентична приведенной выше.
Более подробная информация – в разд. «Запись целых чисел в двоичной системе счисления» данной главы.
Действительно, в определенный момент цифры заканчиваются (наступает «кризис переходного периода»).
Десятичное число «8» становится восьмеричным числом «10» («восьмеричной десяткой»). Число «9» будет восьмеричным числом «11», число «10» – восьмеричным числом «12». И так далее до десятичного числа «15», которое в восьмеричном виде равно числу «17». А дальше?
Цифры снова кончились. Как будет представлено десятичное число «16» в восьмеричной системе счисления?
178 + 1 =…,
Но сумма «78 + 1″ равняется «10» в восьмеричной системе счисления, а, следовательно, восьмеричный «десяток» необходимо складывать с «десятком», уже имеющимся, т. е. получается сумма, присутствующая в восьмеричной системе: «1 + 1 = 2». В результате получается, что:
178 + 1 = 208.
Дальше – восьмеричное число «21» и т. п., вплоть до восьмеричного числа «77». И только после этого будет восьмеричная «сотня».
Представим эту информацию в виде таблицы (табл. 4.4).
Таблица 4.4. Соответствие десятичных и восьмеричных чисел.
Десятичные числа | Восьмеричные числа | Десятичные числа | Восьмеричные числа |
---|---|---|---|
0-7 | 0-7 | 31-77 | |
8 | 10 | 64 | 100 |
9-15 | 11-17 | 128 | 200 |
16 | 20 | 256 | 400 |
17-23 | 21-27 | 512 | 1000 |
24 | 30 | 1024 | 2000 |
Но даже такие числа все-таки мало экономны, по крайней мере, их разрядность не уступает десятичной системе, поэтому в компьютерных технологиях применяется еще одна система счисления, которая называется шестнадцатеричной.
Системы счисления
Перед математиками и
конструкторами в 50-х годах XX столетия встала
задача найти такие системы счисления, которые бы
отвечали требованиям разработчиков ЭВМ и
программного обеспечения. В результате были
созданы “машинные” системы счисления:
— двоичная;
— восьмеричная;
— шестнадцатеричная.
Каждая из этих систем использует определенный
набор символов языка, которыми записываются
данные — символы алфавита.
В двоичной системе счисления их всего два: 0 и
1.
В восьмеричной системе их восемь:
0,1,2,3,4,5,6,7.
В шестнадцатеричной — шестнадцать: арабские
цифры 0-9, и символы латинского алфавита от А до
F. Причем символ А соответствует 10, В =11 и т.д
, F=15.
Каждая система счисления из
машинной группы применяется в различных случаях,
а именно, двоичная – для организации
преобразования информации, восьмеричная и
шестнадцатеричная – для представления машинных
кодов в удобном виде.
Десятичная система применяется для ввода данных
и вывода на устройства печати и на экран
дисплея.
Двоичная система счисления
Обработка информации в ПК основа на обмене электрическими сигналами между различными устройствами компьютера. Эти сигналы возникают в определенной последовательности. ПК “различает” два уровня этих сигналов – высокий (1) и низкий (0). Таким образом, любая информация в вычислительной технике представляется как набор (код) двух символов 0 и 1. Каждый такой набор нулей и единиц называется двоичным кодом. Количество информации, кодируемое двоичной цифрой – 0 или 1 – называется битом. Бит является единицей измерения информации.
Двоичная система счисления обладает такими же свойствами, что и десятичная, только для представления чисел используется не 10 цифр, а всего 2. Эта система счисления тоже является позиционной.
Официальное рождение двоичной
арифметики связано с именем Г.В. Лейбница,
опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он
рассмотрел правила выполнения арифметических
действий над двоичными числами.
Из истории известен курьезный случай с
восьмеричной системой счисления. Шведский король
Карл XII в 1717 году увлекался восьмеричной
системой счисления, считал ее более удобной, чем
десятичная, и намеревался королевским приказом
ввести ее как общепринятую. Неожиданная смерть
короля помешала осуществить столь необычное
намерение.
Восьмеричная и шестнадцатиричная системы счисления
Двоичные числа – длинные последовательности 0 и 1 – очень неудобны для восприятия. В связи с этим двоичные числа стали разбивать на группы по три (триада) или четыре (тетрада) разряда. Из трех нулей и единиц можно составить восемь различных двоичных чисел, а из четырех – шестнадцать. Для кодирования 3 бит требуется 8 цифр, и поэтому взяли цифры от 0 до 7, т.е. в соответствии с определением получили алфавит 8-ной системы счисления.
Восьмеричный алфавит |
Двоичное число (триада) |
0 |
000 |
1 |
001 |
2 |
010 |
3 |
011 |
4 |
100 |
5 |
101 |
6 |
110 |
7 |
111 |
Для кодирования 4 бит необходимо 16 знаков, для чего используются 10 цифр десятичной системы и 6 первых букв латинского алфавита.
Шестнадцатеричный алфавит |
Двоичное число (тетрада) |
0 |
0000 |
1 |
0001 |
2 |
0010 |
3 |
0011 |
4 |
0100 |
5 |
0101 |
6 |
0110 |
7 |
0111 |
8 |
1000 |
9 |
1001 |
A |
1010 |
B |
1011 |
C |
1100 |
D |
1101 |
E |
1110 |
F |
1111 |
Представление чисел в различных системах счисления
10-ная |
2-ная |
8-ная |
16-ная |
0 |
00 |
0 |
0 |
1 |
01 |
1 |
1 |
2 |
10 |
2 |
2 |
3 |
11 |
3 |
3 |
4 |
100 |
4 |
4 |
5 |
101 |
5 |
5 |
6 |
110 |
6 |
6 |
7 |
111 |
7 |
7 |
8 |
1000 |
10 |
8 |
9 |
1001 |
11 |
9 |
10 |
1010 |
12 |
A |
11 |
1011 |
13 |
B |
12 |
1100 |
14 |
C |
13 |
1101 |
15 |
D |
14 |
1110 |
16 |
E |
15 |
1111 |
17 |
F |
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ N-РИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ
Перевод чисел из одной системы счисления в другую выполняет компьютер. Эти операции выполняются по определенным правилам.
Перевод числа из двоичной системы
счисления в десятеричную:
1) пронумеровать двоичный код начиная с младшего
разряда (его номер равен 0) к старшему;
2) записать двоичное число как сумму
произведений веса каждого разряда на основание
системы счисления исходного числа (2) в степени,
соответствующей номеру разряда;
3) выполнить вычисление произведений и суммы.
Например,
1010112 = 1*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20
= 32+0+8+0+2+1=4310
Перевод числа из любой n-ричной системы счисления в десятеричную выполняется с описанным выше правилом (следует учесть, что для каждой системы счисления основание системы свое).
Задание:
Выполните перевод следующих чисел в десятичную:
123708 — ?10
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В N-РИЧНУЮ
Перевод числа из десятеричной в двоичную систему счисления:
1) выполнить последовательное
деление десятичного числа, а затем получаемых
целых частных на основание системы счисления, в
которую переводится число (2). Деление
выполняется в записью целого частного и целого
остатка от деления до тех пор, пока целое
частное не будет равно 0.
2) записать код числа, записывая остатки от
деления, начиная с последнего из целых остатков
(в обратном порядке) символами алфавита
требуемой системы счисления.
Например,4210 — ?2 4210 = 1010102 |
Перевод числа из десятеричной в n-ричную систему счисления:
1) выполнить последовательное
деление десятичного числа, а затем получаемых
целых частных на основание системы счисления, в
которую переводится число (n). Деление
выполняется в записью целого частного и целого
остатка от деления до тех пор, пока целое
частное не будет равно 0.
2) записать код числа, записывая остатки от
деления, начиная с последнего из целых остатков
(в обратном порядке) символами алфавита
требуемой системы счисления.
Задание:
выполните перевод десятичных чисел 54 и 782
в 8-ричную и 16-ричную системы счисления каждое.
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ
Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную:
влево и вправо от запятой
двоичное число разбивается на двоичные триады,
при необходимости крайние группы дополняются
нулями; каждая триада заменяется соответствующей
цифрой восьмеричного алфавита (см. таблицу).
100010011,112 = ?8 |
100 |
010 |
011, |
1102 |
=423,68 |
|
4 |
2 |
3 |
6 |
Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:
влево и вправо от запятой
двоичное число разбивается на двоичные тетрады,
при необходимости крайние группы дополняются
нулями; каждая тетрада заменяется
соответствующей цифрой шестнадцатеричного
алфавита (см. таблицу).
11111100011,1010102 = ?16 |
0111 |
1110 |
0011, |
1010 |
1000 |
= 7Е3,А816 |
|
7 |
Е |
3 |
А |
8 |
При переводе чисел из
восьмеричной и шестнадцатеричной систем
счисления в двоичную достаточно заменить каждую
цифру соответственно двоичной триадой или
тетрадой. При этом незначащие нули
отбрасываются.
Примеры: 324,78 — ? 2
3 2 4, 78 = 11010100,1112
Е4А1, В516 — ?2
Е 4 А 1, В 516 =
1110010010100001,101101012
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ
При переводе чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную достаточно заменить каждую цифру соответственно двоичной триадой или тетрадой. При этом незначащие нули отбрасываются.
Примеры:
324,78 — ? 2 |
3 |
2 |
4, |
78 = |
11010100,1112 |
|
|
011 |
010 |
100 |
111 |
Е4А1, В516 — ?2 |
Е |
4 |
А |
1, |
В |
516 = |
1110010010100001,101101012 |
|
1110 |
0100 |
1010 |
0001 |
1011 |
0101 |
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ
С цифрами двоичного числа можно выполнять арифметические операции. При этом выполняются правила двоичной арифметики:
0+0=0 |
0*0=0 |
1+0=1 |
1*0=0 |
0+1=1 |
0*1=0 |
1+1= 0 (+ перенос единицы
|
1*1= 1 |
Все арифметические операции над двоичными числами можно свести к 2-м операциям: сложению и сдвигу кодов. Это позволяет технически реализовать четыре арифметических действия в одном арифметико-логическом устройстве, используя одни и те же электронные схемы. Впрочем, и в десятичной арифметике в конечном итоге выполняются те же действия – сложение и сдвиг.
Cложение двоичных чисел
Выполним сложение двух двоичных чисел 110012 и 100012
+ |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Задание:
Самостоятельно выполните сложение двоичных
чисел:
111002 и 100111112
Вычитание двоичных чисел
Вычитание – обратная операция
сложению так же может быть представлена в виде
сложения, но только с отрицательным числом.
Выполним вычитание двух двоичных чисел 110012
и 100012
— |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
Задание:
выполните вычитание двух чисел 1011102
и 10012
Умножение и деление двоичных чисел
Умножение и деление производится
поразрядно и сводятся к двум операциям: сложению
и сдвигу.
Выполним умножение двоичных чисел 110012 и 10012
|
* |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||
1 |
0 |
0 |
1 |
||||||
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||||
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Задание:
самостоятельно перемножьте числа 11102
и 100012
Деление так же можно представить как выполнение операций сложения и сдвига.
Задание:
выполните самостоятельно деление двоичного числа
1100110 на двоичное число 110
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ВОСЬМЕТИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЕ
Сложение и вычитание в 8-ной и 16-ной системах счисления
При выполнении действий сложения
и вычитания в 8-ной системе счисления необходимо
помнить:
в записи результатов сложения и вычитания могут
быть использованы только цифры восьмеричного
алфавита;
основание восьмеричной системы счисления равен
8, т.е. переполнение наступает, когда результат
сложения больше или равен 8. В этом случае для
записи результата надо вычесть 8, записать
остаток, а к старшему разряду прибавить единицу
переполнения;
если при вычитании приходится занимать единицу в
старшем разряде, эта единица переносится в
младший разряд в виде 8 единиц.
Примеры.
Сложить восьмеричные числа 7708 и 2368
.
|
1 |
1 |
|
|
+ |
7 |
7 |
0 |
|
2 |
3 |
6 |
||
1 |
2 |
2 |
6 |
Примеры на закрепление: выполнить
действия в восьмеричной системе счисления.
7158 + 3738
5248 + 578
Выполнить вычитание восьмеричных чисел 7508 и 2368.
|
|
4 |
8 |
|
_ |
7 |
5 |
0 |
|
2 |
3 |
6 |
||
|
5 |
1 |
2 |
Примеры на закрепление: выполнить
действия в восьмеричной системе счисления.
1378 — 72,38
4368 — 2578
При выполнении действий сложения
и вычитания в 16-ной системе счисления
необходимо помнить:
в записи результатов сложения и вычитания могут
быть использованы только цифры
шестнадцатеричного алфавита (0-9, A-F)
Основание шестнадцатеричной системы счисления
равно 16, т.е. переполнение наступает, когда
результат сложения больше или равен 16. В этом
случае для записи результата надо вычесть 16,
записать остаток, а к старшему разряду прибавить
единицу переполнения;
если при вычитании приходится занимать единицу в
старшем разряде, эта единица переносится в
младший разряд в виде 16 единиц.
Примеры.
Сложить шестнадцатеричные числа B0916
и EFA16
|
1 |
1 |
|
|
+ |
B |
0 |
9 |
|
E |
F |
A |
||
1 |
A |
0 |
3 |
Примеры на закрепление: выполнить
действия в шестнадцатеричной системе счисления.
A1316 + 1CF16
F0B,816 + 1DA,C116
Выполнить вычитание шестнадцатеричных чисел B0916 и 7FA16.
|
10 |
15 |
16 |
|
_ |
B |
0 |
9 |
|
7 |
F |
A |
||
|
3 |
0 |
F |
Примеры на закрепление: выполнить
действия в шестнадцатеричной системе счисления.
A1316 — 1CF16
DFA,B816 — 1AE,9416
Числа: целые, вещественные, комплексные | Python 3 для начинающих и чайников
Числа в Python 3: целые, вещественные, комплексные. Работа с числами и операции над ними.
Целые числа (int)
Числа в Python 3 ничем не отличаются от обычных чисел. Они поддерживают набор самых обычных математических операций:
x + y | Сложение |
x — y | Вычитание |
x * y | Умножение |
x / y | Деление |
x // y | Получение целой части от деления |
x % y | Остаток от деления |
-x | Смена знака числа |
abs(x) | Модуль числа |
divmod(x, y) | Пара (x // y, x % y) |
x ** y | Возведение в степень |
pow(x, y[, z]) | xy по модулю (если модуль задан) |
Также нужно отметить, что целые числа в python 3, в отличие от многих других языков, поддерживают длинную арифметику (однако, это требует больше памяти). y
Дополнительные методы
int.bit_length() — количество бит, необходимых для представления числа в двоичном виде, без учёта знака и лидирующих нулей.
>>> n = -37 >>> bin(n) '-0b100101' >>> n.bit_length() 6
int.to_bytes(length, byteorder, *, signed=False) — возвращает строку байтов, представляющих это число.
>>> (1024).to_bytes(2, byteorder='big') b'\x04\x00' >>> (1024).to_bytes(10, byteorder='big') b'\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x04\x00' >>> (-1024).to_bytes(10, byteorder='big', signed=True) b'\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xfc\x00' >>> x = 1000 >>> x.to_bytes((x.bit_length() // 8) + 1, byteorder='little') b'\xe8\x03'
classmethod int.from_bytes(bytes, byteorder, *, signed=False) — возвращает число из данной строки байтов.
>>> int.from_bytes(b'\x00\x10', byteorder='big') 16 >>> int.from_bytes(b'\x00\x10', byteorder='little') 4096 >>> int.from_bytes(b'\xfc\x00', byteorder='big', signed=True) -1024 >>> int.from_bytes(b'\xfc\x00', byteorder='big', signed=False) 64512 >>> int.from_bytes([255, 0, 0], byteorder='big') 16711680
Системы счисления
Те, у кого в школе была информатика, знают, что числа могут быть представлены не только в десятичной системе счисления. К примеру, в компьютере используется двоичный код, и, к примеру, число 19 в двоичной системе счисления будет выглядеть как 10011. Также иногда нужно переводить числа из одной системы счисления в другую. Python для этого предоставляет несколько функций:
- int([object], [основание системы счисления]) — преобразование к целому числу в десятичной системе счисления. По умолчанию система счисления десятичная, но можно задать любое основание от 2 до 36 включительно.
- bin(x) — преобразование целого числа в двоичную строку.
- hex(х) — преобразование целого числа в шестнадцатеричную строку.
- oct(х) — преобразование целого числа в восьмеричную строку.
Примеры:
>>> a = int('19') # Переводим строку в число >>> b = int('19.5') # Строка не является целым числом Traceback (most recent call last): File "", line 1, in ValueError: invalid literal for int() with base 10: '19.5' >>> c = int(19.5) # Применённая к числу с плавающей точкой, отсекает дробную часть >>> print(a, c) 19 19 >>> bin(19) '0b10011' >>> oct(19) '0o23' >>> hex(19) '0x13' >>> 0b10011 # Так тоже можно записывать числовые константы 19 >>> int('10011', 2) 19 >>> int('0b10011', 2) 19
Вещественные числа (float)
Вещественные числа поддерживают те же операции, что и целые. Однако (из-за представления чисел в компьютере) вещественные числа неточны, и это может привести к ошибкам:
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 0.9999999999999999
Для высокой точности используют другие объекты (например Decimal и Fraction)).
Также вещественные числа не поддерживают длинную арифметику:
>>> a = 3 ** 1000 >>> a + 0.1 Traceback (most recent call last): File "", line 1, in OverflowError: int too large to convert to float
Простенькие примеры работы с числами:
>>> c = 150 >>> d = 12.9 >>> c + d 162.9 >>> p = abs(d - c) # Модуль числа >>> print(p) 137.1 >>> round(p) # Округление 137
Дополнительные методы
float.as_integer_ratio() — пара целых чисел, чьё отношение равно этому числу.
float.is_integer() — является ли значение целым числом.
float.hex() — переводит float в hex (шестнадцатеричную систему счисления).
classmethod float.fromhex(s) — float из шестнадцатеричной строки.
>>> (10.5).hex() '0x1.5000000000000p+3' >>> float.fromhex('0x1.5000000000000p+3') 10.5
Помимо стандартных выражений для работы с числами (а в Python их не так уж и много), в составе Python есть несколько полезных модулей.
Модуль math предоставляет более сложные математические функции.
>>> import math >>> math.pi 3.141592653589793 >>> math.sqrt(85) 9.219544457292887
Модуль random реализует генератор случайных чисел и функции случайного выбора.
>>> import random >>> random.random() 0.15651968855132303
Комплексные числа (complex)
В Python встроены также и комплексные числа:
>>> x = complex(1, 2) >>> print(x) (1+2j) >>> y = complex(3, 4) >>> print(y) (3+4j) >>> z = x + y >>> print(x) (1+2j) >>> print(z) (4+6j) >>> z = x * y >>> print(z) (-5+10j) >>> z = x / y >>> print(z) (0.44+0.08j) >>> print(x.conjugate()) # Сопряжённое число (1-2j) >>> print(x.imag) # Мнимая часть 2.0 >>> print(x.real) # Действительная часть 1.0 >>> print(x > y) # Комплексные числа нельзя сравнить Traceback (most recent call last): File "", line 1, in TypeError: unorderable types: complex() > complex() >>> print(x == y) # Но можно проверить на равенство False >>> abs(3 + 4j) # Модуль комплексного числа 5.0 >>> pow(3 + 4j, 2) # Возведение в степень (-7+24j)
Для работы с комплексными числами используется также модуль cmath.
Решенные примеры восьмеричного сложения
Это моя первая статья по восьмеричной арифметике. В этом посте я собираюсь объяснить два разных метода сложения восьмеричных чисел.
Ключевые вопросы:
-
Как выполнить восьмеричное сложение?
-
Как выполнить сложение дробных восьмеричных чисел?
-
Нарисуйте таблицу восьмеричного сложения
-
Обсудите два метода восьмеричного сложения
Метод сложения восьмеричных чисел:
Есть два метода сложения восьмеричных чисел.Я буду решать каждый пример, используя методы для лучшего понимания. Вы можете проверить свои результаты с помощью этого онлайн-калькулятора восьмеричного сложения.
Метод №1:
В этом методе вы должны запомнить следующие моменты:
-
Считайте каждое число десятичным числом и складывайте их как десятичные числа.
-
После добавления каждого столбца, если сумма столбца превышает 7, разделите результат на 8, чтобы оценить эквивалентное восьмеричное значение.
-
Остаток будет частью ответа (промежуточной суммы), в то время как частное станет переносом
.
Пример # 01: 167) 8 + 765) 8
1 1
1 6 7
+7 6 5
1 1 5 4
Помните первый шаг.Считайте каждое число десятичным числом и складывайте их как десятичные числа.
1-й столбец (столбец единиц) сложение 7 + 5 = 12
1 ← частное
8 ⟌12
8
4 ← остаток в виде промежуточной суммы
2-й столбец (столбец десятков) сложение 1 + 6 + 6 = 13
1 ← частное
8⟌13
8
5 ← остаток в виде промежуточной суммы
3-й столбец (столбец сотен) сложение 1 + 1 + 7 = 9
1 ← частное
8⟌9
8
1 ← остаток в виде промежуточной суммы
Ответ: 1154) 8
Пример # 02: 123) 8 + 7651) 8
1 2 3
+7 6 5 1
7 7 7 4
В этом примере после добавления каждого столбца никакая промежуточная сумма не превышает 7.Таким образом, нет необходимости преобразовывать эквивалентное восьмеричное значение.
Ответ: 7774) 8
Пример: 03: 246.57) 8 + 357.1) 8
1 1
2 4 6. 5 7
+3 5 7. 1
6 2 5. 6 7
Столбцы после восьмеричных точек в дополнительном вычислении не нуждаются.
1-й столбец (столбец единиц) сложение 6 + 7 = 13
1 ← частное
8⟌13
8
5 ← остаток в виде промежуточной суммы
2-й столбец (столбец десятков) сложение 4 + 5 + 1 = 9
1 ← частное
8⟌10
8
2 ← остаток в виде промежуточной суммы
Сумма 3-го столбца (столбца сотен) не превышает 7.Нет необходимости в дополнительных расчетах.
Ответ: 625,67) 8
Метод № 2:
В этом методе приводится таблица восьмеричного сложения. Чем полезна эта таблица в добавлении восьмеричных чисел. Давайте разберемся.
-
Посмотрите на первый ряд (красный ряд), вы можете назвать его X
-
Посмотрите на первый столбец (столбец синего цвета), вы можете назвать его Y
-
Остальная часть таблицы черная. Это сумма X и Y
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 |
4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 |
5 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
6 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
7 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
Например 23) 8 + 45) 8
1
2 3
+4 5
7 0
Сначала вам нужно добавить номера 1-го столбца.Назначьте X = 3, Y = 5. Поиск в таблице даст результат. Ваш ответ — пересечение столбца 3 и строки 5.
Для 2-го столбца снова назначьте X = 2 + 1 Y = 4
Ваш ответ — пересечение столбца 3 и строки 4.
Пример # 01: 167) 8 + 765) 8
1 1
1 6 7
+7 6 5
1 1 5 4
Сложение 1-го столбца X = 7 Y = 5
Сложение 2-го столбца X = 6 + 1 Y = 6
Сложение 3-го столбца X = 1 + 1 Y = 7
Ответ: 1154) 8
Пример # 02: 123) 8 + 7651) 8
1 2 3
+7 6 5 1
7 7 7 4
Сложение 1-го столбца X = 3 Y = 1
Сложение 2-го столбца X = 2 Y = 5
Сложение 3-го столбца X = 1 Y = 6
Сложение 4-го столбца X = 0 Y = 7
Ответ 7774) 8
Пример: 03: 246.57) 8 + 357.1) 8
1 1
2 4 6. 5 7
+3 5 7. 1
6 2 5. 6 7
Считайте столбцы после восьмеричной точки.
Сложение сотого столбца X = 7 Y = 0
Сложение десятого столбца X = 5 Y = 1
Сложение столбца единиц X = 6 Y = 7
Сложение десятков столбцов X = 4 + 1 Y = 5
Сложение сотен столбцов X = 2 + 1 Y = 3
Ответ: 625,67) 8
Вывод:
Итак, все дело в восьмеричном сложении.Я использовал оба метода для расчета. Это простая и легкая задача. Я перепроверил и проверил все ответы в этом посте. Если вы все же обнаружите ошибку, сообщите мне. Если у вас есть предложения, буду вам благодарен.
Программа Python для сложения двух восьмеричных чисел
Для двух восьмеричных чисел задача состоит в том, чтобы написать программу Python для вычисления их суммы.
Примеры:
Ввод: a = "123", b = "456" Вывод: 601 Ввод: a = "654", b = "321" Вывод: 1175
Подход:
Чтобы добавить два восьмеричных значения в python, мы сначала преобразуем их в десятичные значения, затем сложим их, а затем, наконец, снова преобразуем их в восьмеричное значение.Чтобы преобразовать числа, мы воспользуемся функцией oct () . Функция oct () — один из встроенных методов в Python3. Метод oct () принимает целое число и возвращает его восьмеричное представление в строковом формате. Мы также будем использовать функцию int () для преобразования числа в десятичную форму. Функция int () в Python и Python3 преобразует число в заданном основании в десятичное.
Ниже представлены реализации, основанные на приведенном выше объяснении:
Пример 1:
Python3
|
Пример 2:
Python3
| :] Вывод: