Как научиться решать неравенства: § Как решать линейные неравенства - Управленческое образование

Содержание

Линейные неравенства, решение и примеры

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

ax + b < 0,
ax + b > 0,
ax + b ≥ 0,
ax + b ≤ 0,

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит сделать так, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице.

Типы неравенств

Строгие — используют только больше (>) или меньше (<):

a < b — это значит, что a меньше, чем b.
a > b — это значит, что a больше, чем b.
a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.

Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно):

a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.

Другие типы:

a ≠ b — означает, что a не равно b.
a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
знаки >> и << противоположны.

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.

Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.

Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.

Если а > b и c > d, то а + c > b + d.

Если а < b и c < d, то а + c < b + d.

Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять из-за возможных исключений. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а > b и c < d, то а – c > b – d.

Если а < b и c > d, то а – c < b – d.

Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.

Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.

Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.

Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.

Следствие данного правила или квадратный пример: если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.

Если а > b, где а, b > 0, то

Если а < b , то

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Важно знать

Два неравенства можно назвать равносильными, если у них одинаковые решения.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.

2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.

Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.

Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : –2 > 9 : -2 ⇒ x < 4,5.

Решение линейных неравенств

Со школьных уроков мы помним, что у неравенств нет ярко выраженных различий, поэтому рассмотрим несколько определений.

Определение 1. Линейное неравенство с неизвестной переменной x имеет вид ax + b > 0, когда вместо > используется любой знак < , ≤ , ≥ , а и b — действительные числа, a ≠ 0.

Определение 2. Неравенства называют линейными с одной переменной, когда ax < c или ax > c , где x — переменная, a, c — некоторые числа.

Мы не знаем может ли коэффициент равняться нулю, поэтому: 0 * x > c и 0 * x < c можно записать в форме нестрогого неравенства: ax ≤ c, ax ≥ c . Такое уравнение принято называть линейным. Его главные различия:

форма записи ax + b > 0 — в первом и ax > c — во втором;
допустимость равенства нулю: a ≠ 0 — в первом, a = 0 — во втором.

Неравенства ax + b > 0 и ax > c равносильные, так как получены переносом слагаемого из одной части в другую.

Определение 3. Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

ax + b < 0,
ax + b > 0,
ax + b ≤ 0,
ax + b ≥ 0,

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Для решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

Алгоритм решения ax + b < 0 при a ≠ 0

перенесем число b в правую часть с противоположным знаком,
получим равносильное: ax < −b;
произведем деление обеих частей на число не равное нулю.

Когда a положительное, то знак остается, если a — отрицательное, знак меняется на противоположный.

Рассмотрим пример: 4x + 16 ≤ 0.

Как решаем: В данном случае a = 4 и b = 16, то есть коэффициент при x не равен нулю. Применим вышеописанный алгоритм.

Перенесем слагаемое 16 в другую часть с измененным знаком: 4x ≤ −16.
Произведем деление обеих частей на 4. Меняем знак, так как 4 — положительное число: 4x : 4 ≤ −16 : 4 ⇒ x ≤ −4.
Неравенство x ≤ −4 является равносильным. То есть решением является любое действительное число, которое меньше или равно 4.

Ответ: x ≤ −4 или числовой промежуток (−∞, −4].

При решении ax + b < 0, когда а = 0, получается 0 * x + b < 0. На рассмотрение берется b < 0, после выясняется верное оно или нет.

Вернемся к определению решения неравенства. При любом значении x мы получаем числовое неравенство вида b < 0. При подстановке любого t вместо x, получаем 0 * t + b < 0 , где b < 0. Если оно верно, то для решения подойдет любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда данное уравнение не имеет решений, так как нет ни одного значения переменной, которое может привести к верному числовому равенству.

Числовое неравенство вида b < 0 (≤, > , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

Ответ: промежуток (− ∞ , + ∞).

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов это:

введение функции y = ax + b;
поиск нулей для разбиения области определения на промежутки;
отметить полученные корни на координатной прямой;
определение знаков и отмечание их на интервалах.

Алгоритм решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если < или ≤ н — над отрицательным промежутком.

Рассмотрим пример: −3x + 12 > 0.

Как решаем:

В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

−6x = −12,

x = 2.

Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

Определим знаки на промежутках.

Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным.

Выполним решение со знаком >. Штриховку сделаем над положительным промежутком.

По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 4) или x < 4.

Ответ: (−∞, 4) или x < 4.

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

во время решения ax + b < 0 определить промежуток, где график изображен ниже оси Ох;
во время решения ax + b ≤ 0 определить промежуток, где график изображается ниже Ох или совпадает с осью;
во время решения ax + b > 0 произвести определение промежутка, где график изображается выше Ох;
во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
Координаты точки пересечения с Ох равны −√3 : 5.
Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x < −√3 : 5.

Линейные неравенства в 8 классе — это маленький кирпич, который будет заложен в целый фундамент знаний. Мы верим, что у все получится!

Задание 15. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

^New

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Квадратичные неравенства

Метод интервалов

Уравнения и неравенства с модулем

Иррациональные неравенства

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

Дробно-рациональные неравенства

1. Решите неравенство:

Сделаем замену

Тогда , а

Получим:

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Получим:

Вернемся к переменной x:

Ответ:

Показательные неравенства

2. Решите неравенство

Сделаем замену Получим:

Умножим неравенство на

Дискриминант квадратного уравнения

Значит, корни этого уравнения:

Разложим квадратный трехчлен на множители.

. Вернемся к переменной x.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

Ответ:

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ,

3. Решите неравенство

Сделаем замену Получим:

Вернемся к переменной

Первое неравенство решим легко: С неравенством тоже все просто. Но что делать с неравенством ? Ведь Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим Для этого рассмотрим функцию

Сначала оценим показатель степени. Пусть Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом

Мы получили, что

Тогда , и это значит, что Значение не достигается ни при каких х.

Но если и , то

Мы получили:

Ответ:

Логарифмические неравенства

4. Решите неравенство

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

Ответ:

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство

ОДЗ:

Замена

Ответ:

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство:

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что . Используем также условия

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,

Поскольку

Согласно методу замены множителя, выражение заменим на

Получим систему:

Решить ее легко.

Ответ: .

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

ОДЗ:

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

Функции и — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции равно 4, при значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом , то есть x принадлежит ОДЗ.

Ответ:

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

> больше,

≥ больше или равно,

< меньше,

≤ меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

ax<bax≤bax>bax≥b

где a и b – любые числа, причем a≠0,x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3x<5x−2≥07−5x<1x≤0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x<cx≤cx>cx≥c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Если знак неравенства строгий >,<, точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Алгоритм решения линейного неравенства

Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

ax<bax≤bax>bax≥b

Пусть получилось неравенство вида ax≤b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

Если a>0 то неравенство приобретает вид x≤ba.

Если a<0, то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x≥ba.

Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство 3(2−x)>18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6−3x>18

−3x>18−6−3x>12|÷(−3)

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед x. Так как −3<0, знак неравенства поменяется на противоположный. x<12−3⇒x<−4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈(−∞;−4)

№2. Решить неравество 6x+4≥3(x+1)−14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x+4≥3x+3−14

6x−3x≥3−14−4

3x≥−15 | ÷3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед x. Так как 3>0, знак неравенства после деления меняться не будет.

x≥−153⇒x≥−5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈[−5; +∞)

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство 6x−1≤2(3x−0,5).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x−1≤6x−1

6x−6x≤−1+1

0≤0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

x – любое число
x∈(−∞;+∞)
x∈ℝ

№2. Решить неравенство x+3(2−3x)>−4(2x−12).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x+6−9x>−8x+48

−8x+8x>48−6

0>42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x∈∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: ax2+bx+c>0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c<0ax2+bx+c≤0 где a, b, c — некоторые числа, причем a≠0,x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Решить уравнение ax2+bx+c=0 и найти корни x1 и x2.

Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий >,<, точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точки будут жирные (заштрихованный).

Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение ax2+bx+c вместо x.

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

Записать ответ.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство x2≥x+12.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

x2≥x+12

x2−x−12≥0

x2−x−12=0

a=1,b=−1,c=−12

D=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅(−12)=1+48=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−1)±492⋅1=1±72=[1+72=82=41−72=−62=−3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−x−1=62−6−1=29>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪.

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x∈(−∞;−3]∪[4;+∞)

№2. Решить неравенство −3x−2≥x2.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

−3x−2≥x2

−x2−3x−2≥0

−x2−3x−2=0

a=−1,b=−3,c=−2

D=b2−4ac=(−3)2−4⋅(−1)⋅(−2)=9−8=1

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−3)±12⋅(−1)=3±1−2=[3+1−2=4−2=−23−1−2=2−2=−1

x1=−2,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x2−3x−2=−(0)2−3⋅0−2=−2<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет −.

Поскольку знак неравенства ≥, выбираем в ответ интервал со знаком +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x∈[−2;−1]

№3. Решить неравенство 4<x2+3x.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

4<x2+3x

−x2−3x+4<0

−x2−3x+4=0

a=−1,b=−3,c=4

D=b2−4ac= (−3)2−4⋅(−1)⋅4=9+16=25

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−3)±252⋅(−1)=3±5−2=[3+5−2=8−2=−43−5−2=−2−2=1

x1=−4,x2=1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x2−3x+4=−(2)2−3⋅2+4=−6<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет -.

Поскольку знак неравенства <, выбираем в ответ интервалы со знаком −.

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x∈(−∞;−4)∪(1;+∞)

№4. Решить неравенство x2−5x<6.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

x2−5x<6

x2−5x−6<0

x2−5x−6=0

a=1,b=−5,c=−6

D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅(−6)=25+25=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−5)±492⋅1=5±72=[5+72=122=65−72=−22=−1

x1=6,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−5x−6=102−5⋅10−6=100−50−6= 44>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.

Поскольку знак неравенства <, выбираем в ответ интервал со знаком -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ: x∈(−1;6)

№5. Решить неравенство x2<4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

x2<4

x2−4<0

x2−4=0

(x−2)(x+2)=0⇔[x−2=0x+2=0 [x=2x=−2

x1=2,x2=−2

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−4=32−4=9−4=5>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.

Поскольку знак неравенства <, выбираем в ответ интервал со знаком −.

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x∈(−2;2)

№6. Решить неравенство x2+x≥0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x2+x=0.

x2+x≥0

x2+x=0

x(x+1)=0⇔[x=0x+1=0[x=0x=−1

x1=0,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2+x=12+1=2>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.

Поскольку знак неравенства ≥, выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ: x∈(−∞;−1]∪[0;+∞)

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x−1x+3<03(x+8)≤5×2−1x>0x+20x≥x+3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

Приравнять числитель дроби к нулю f(x)=0. Найти нули числителя.

Приравнять знаменатель дроби к нулю g(x)=0. Найти нули знаменателя.

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось xнули знаменателя всегда выколотые.

Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые.

Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.

Расставить знаки на интервалах.

Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство x−1x+3>0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f(x)g(x)>0.

Приравниваем числитель к нулю f(x)=0.

x−1=0

x=1 — это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

Приравниваем знаменатель к нулю g(x)=0.

x+3=0

x=−3 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):x−1x+3 = 2−12+3=15>0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства >, выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ: x∈(−∞;−3)∪(1;+∞)

№2. Решить неравенство 3(x+8)≤5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Привести неравенство к виду f(x)g(x)≤0.

3(x+8)≤5

3(x+8)−5\x+8≤0

3x+8−5(x+8)x+8≤0

3−5(x+8)x+8≤0

3−5x−40x+8≤0

−5x−37x+8≤0

Приравнять числитель к нулю f(x)=0.

−5x−37=0

−5x=37

x=−375=−375=−7,4

x=−7,4 — ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

Приравнять знаменатель к нулю g(x)=0.

x+8=0

x=−8 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):

−5x−37x+8=−5⋅0−370+8=−378<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства ≤, выбираем в ответ интервалы со знаком -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Ответ: x∈(−∞;−8)∪[−7,4;+∞)

№3. Решить неравенство x2−1x>0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f(x)g(x)>0.

Приравнять числитель к нулю f(x)=0.

x2−1=0

(x−1)(x+1)=0⇒[x−1=0x+1=0[x=1x=−1

x1=1,x2=−1 — нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

Приравнять знаменатель к нулю g(x)=0.

x=0 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):

x2−1x=22−12=4−12=32>0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства >, выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x∈(−1;0)∪(1;+∞)

Системы неравенств

Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств — это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

{x+4>02x+3≤x2

Алгоритм решения системы неравенств

Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.

Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств {2x−3≤57−3x≤1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

2x−3≤5

2x≤8|÷2, поскольку 2>0, знак неравенства после деления сохраняется.

x≤4;

Графическая интерпретация:

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Решаем второе неравенство системы.

7−3x≤1

−3x≤1−7

−3x≤−6|÷(−3), поскольку −3<0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.

x≥2

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

Ответ: x∈[2;4]

№2. Решить систему неравенств {2x−1≤51<−3x−2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

2x−1≤5

2x≤6|÷2, поскольку 2>0, знак неравенства после деления сохраняется.

x≤3

Графическая интерпретация:

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

Решаем второе неравенство системы.

1<−3x−2

3x<−1−2

3x<−3|÷3, поскольку 3>0, знак неравенства после деления сохраняется.

x<−1

Графическая интерпретация решения:

Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

Ответ: x∈(−∞;−1)

№3. Решить систему неравенств {3x+1≤2xx−7>5−x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

3x+1≤2x

3x−2x≤−1

x≤−1

Графическая интерпретация решения:

Решаем второе неравенство системы

x−7>5−x

x+x>5+7

2x>12| ÷2, поскольку 2>0, знак неравенства после деления сохраняется.

x>6

Графическая интерпретация решения:

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

Ответ: x∈∅

№4. Решить систему неравенств {x+4>02x+3≤x2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Решаем первое неравенство системы.

x+4>0

x>−4

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

Решаем второе неравенство системы

2x+3≤x2

−x2+2x+3≤0

Решаем методом интервалов.

−x2+2x+3=0

a=−1,b=2,c=3

D=b2−4ac=22−4⋅(−1)⋅3=4+12=16

D>0 — два различных действительных корня.

x1,2=−b±D2a=−2±162⋅(−1)=−2±4−2=[−2−4−2=−6−2=3−2+4−2=2−2=−1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

Наносим оба решения на ось x.

Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪.

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Ответ: x∈(−4;−1]∪[3;+∞)

Скачать домашнее задание к уроку 8.

Метод интервалов. Как решать неравенства с помощью метода интервалов

Метод интервалов применяется при решении огромного количества самых разных неравенств – квадратных, дробно-рациональных, показательных, логарифмических…

Примеры неравенств, которые удобно решать методом интервалов:

\((2x-5)(x+3)≤0\)	\(\frac{-14}{x^2+2x-15}\)\(≤0\)
\(x^2<361\)	\(\frac{x^2-6x+8}{x-1}\)\(-\)\(\frac{x-4}{x^2-3x+2}\)\(≤0\)
\(\frac{x-2}{3-x}\)\(≤0\)	\(\frac{2}{5^x-1}\)\(+\)\(\frac{5^x-2}{5^x-3}\)\(≥2\)
\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)	\(\frac{5\log^2_{2}⁡x-100}{\log^2_{2}⁡x-25}\)\(≥4\)

Как решать неравенства методом интервалов (алгоритм с примерами)

Равносильными преобразованиями приведите неравенство к виду: \(\frac{(x-x_1 )^n (x-x_2 )^k…}{(x-x_3 )^l (x-x_4 )^m…}\)\(∨0\) или \((x-x_1 )^n (x-x_2 )^k…∨0\) (\(∨\) — любой знак сравнения; \(n,k,l,m\) – любые натуральные числа большие нуля, в том числе и \(1\))

Пример:

\((2x+5)(x-2)>5\)
\(2x^2-4x+5x-10-5>0\)
\(2x^2+x-15>0\)
\(D=1-4 \cdot 2 \cdot (-15)=121=11^2\)
\(x_1=\frac{-1-11}{2 \cdot 2}=-3;\) \(x_2=\frac{-1+11}{2 \cdot 2}=\frac{5}{2}\)
\(2(x-\frac{5}{2})(x+3)>0\) \(|:2\)
\((x-\frac{5}{2})(x+3)>0\)

Отметим, что здесь применено разложение на множители квадратного трехчлена.
Найдите корни числителя и знаменателя (т.е. такие значения икса, которые превратят их в ноль).

\(x=\frac{5}{2}; x=-3\)
Нанесите найденные значения на числовую ось.

Если неравенство строгое, то корни числителя обозначьте «выколотой» точкой, если нет — закрашенной. Корни знаменателя «выколоты» всегда, независимо от строгости знака сравнения.

Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:

— В крайнем правом интервале ставим знак плюс;

— Дальше двигаемся влево;

— Переходя через число:

— меняем знак, если скобка с этим числом была в нечетной степени (1, 3, 5…)

— не меняем знак, если скобка с этим числом была в четной степени (2, 4, 6…)

Выделите нужные промежутки.2+64\) – однозначно положительно при любом значении икса, то есть это выражение никак не влияет на знак левой части. Поэтому можно смело делить обе части неравенства на это выражение.
Поделим неравенство так же на \(-1\) , чтобы избавиться от минуса.

\((x-8)(x+8)≥0\)

Теперь можно применять метод интервалов

\(x=8;\) \(x=-8\)

Запишем ответ

Ответ: \((-∞;-8]∪[8;∞)\)

Смотрите также:
Квадратные неравенства
Дробно-рациональные неравенства

Скачать статью

Линейные неравенства, примеры, решения

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения. Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Определение 1

Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a·x+b>0, когда вместо > используется любой знак неравенства <, ≤, ≥, а и b являются действительными числами, где a≠0.

Определение 2

Неравенства a·x<c или a·x>c, с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0, тогда строгое неравенство вида 0·x>c и 0·x<c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a·x≤c, a·x≥c. Такое уравнение считается линейным.

Их различия заключаются в:

форме записи a·x+b>0 в первом, и a·x>c – во втором;
допустимости равенства нулю коэффициента a, a≠0 — в первом, и a=0 — во втором.

Считается, что неравенства a·x+b>0 и a·x>c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0·x+5>0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем случай а=0 не подойдет.

Определение 3

Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x считаются неравенства вида a·x+b<0, a·x+b>0, a·x+b≤0 и a·x+b≥0, где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

Исходя из правила, имеем, что 4·x−1>0, 0·z+2,3≤0, -23·x-2<0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5·x>7, −0,5·y≤−1,2 называют сводящимися к линейному.

Как решить линейное неравенство

Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x<p (≤, >, ≥), p являющееся некоторым числом, при a≠0, а вида a<p (≤, >, ≥) при а=0.

Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

Используя равносильные преобразования

Чтобы решить линейное неравенство вида a·x+b<0 (≤, >, ≥), необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

Определение 4

Алгоритм решение линейного неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0

число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a·x<−b (≤, >, ≥);
будет производиться деление обеих частей неравенства на число не равное 0. Причем , когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

Пример 1

Решить неравенство вида 3·x+12≤0.

Решение

Данное линейное неравенство имеет a=3 и b=12. Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3·x≤−12. Необходимо произвести деление обеих частей на 3. Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3·x):3≤(−12):3, что даст результат x≤−4.

Неравенство вида x≤−4 является равносильным. То есть решение для 3·x+12≤0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4. Ответ записывается в виде неравенства x≤−4, или числового промежутка вида (−∞, −4].

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

3·x+12≤0; 3·x≤−12; x≤−4.

Ответ: x≤−4 или (−∞, −4].

Пример 2

Указать все имеющиеся решения неравенства −2,7·z>0.

Решение

Из условия видим, что коэффициент a при z равняется -2,7, а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

Производим деление обеих частей уравнения на число -2,7. Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (−2,7·z):(−2,7)<0:(−2,7), и дальше z<0.

Весь алгоритм запишем в краткой форме:

−2,7·z>0; z<0.

Ответ: z<0 или (−∞, 0).

Пример 3

Решить неравенство -5·x-1522≤0.

Решение

По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x, которое равняется -5, с коэффициентом b, которому соответствует дробь -1522. Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести -1522 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на -5, изменить знак неравенства:

-5·x≤1522;-5·x:-5≥1522:-5x≥-322

При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 1522:-5=-1522:5, после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число -1522:5=-1522·15=-15·122·5=-322.

Ответ: x≥-322 и [-322+∞).

Рассмотрим случай, когда а=0. Линейное выражение вида a·x+b<0 является неравенством 0·x+b<0, где на рассмотрение берется неравенство вида b<0, после чего выясняется, оно верное или нет.

Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b<0, потому что при подстановке любого t вместо переменной x, тогда получаем 0·t+b<0, где b<0. В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b<0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0·x+b<0 (≤, >, ≥):

Определение 5

Числовое неравенство вида b<0 (≤, >, ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.

Пример 4

Решить неравенство 0·x+7>0.

Решение

Данное линейное неравенство 0·x+7>0 может принимать любое значение x. Тогда получим неравенство вида 7>0. Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.

Ответ: промежуток (−∞, +∞).

Пример 5

Найти решение неравенства 0·x−12,7≥0.

Решение

При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид −12,7≥0. Оно является неверным. То есть 0·x−12,7≥0 не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение линейных неравенств , где оба коэффициента равняется нулю.

Пример 6

Определить не имеющее решение неравенство из 0·x+0>0 и 0·x+0≥0.

Решение

При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0>0 и 0≥0. Первое является неверным. Значит, 0·x+0>0 не имеет решений, а 0·x+0≥0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.

Ответ: неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а 0·x+0≥0 имеет решения.

Методом интервалов

Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0. Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Определение 6

Метод интервалов – это:

введение функции y=a·x+b;
поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
определение знаков для понятия их на промежутках.

Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 с помощью метода интервалов:

нахождение нулей функции y=a·x+b, чтобы решить уравнение вида a·x+b=0. Если a≠0, тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х0;
построение координатной прямой с изображением точки с координатой х0, при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
определение знаков функции y=a·x+b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, < или ≤ над отрицательным промежутком.

Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

Пример 6

Решить неравенство −3·x+12>0.

Решение

Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения −3·x+12=0. Получаем, что −3·x=−12, x=4. Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4. Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (−∞, 4), необходимо произвести вычисление функции y=−3·x+12 при х=3. Отсюда получим, что −3·3+12=3>0. Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак из промежутка (4, +∞), тогда подставляем значение х=5. Имеем, что −3·5+12=−3<0. Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Мы выполняем решение неравенства со знаком >, причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (−∞, 4) или x<4.

Ответ: (−∞, 4) или x<4.

Графическим способом

Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть на примере 4 линейных неравенства: 0,5·x−1<0, 0,5·x−1≤0, 0,5·x−1>0 и 0,5·x−1≥0. Их решениями будут значения x<2, x≤2, x>2 и x≥2. Для этого изобразим график линейной функции y=0,5·x−1, приведенный ниже.

Видно, что

Определение 7

решением неравенства 0,5·x−1<0 считается промежуток, где график функции y=0,5·x−1 располагается ниже Ох;
решением 0,5·x−1≤0 считается промежуток, где функция y=0,5·x−1 ниже Ох или совпадает;
решением 0,5·x−1>0 считается промежуток, гре функция располагается выше Ох;
решением 0,5·x−1≥0 считается промежуток, где график выше Ох или совпадает.

Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y=a·x+b, а правая – y=0, причем совпадает с Ох.

Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.

Определение 8

Построение графика функции y=a·x+b производится:

во время решения неравенства a·x+b<0 определяется промежуток, где график изображен ниже Ох;
во время решения неравенства a·x+b≤0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси Ох или совпадает;
во время решения неравенства a·x+b>0 производится определение промежутка, где график изображается выше Ох;
во время решения неравенства a·x+b≥0 производится определение промежутка, где график находится выше Ох или совпадает.

Пример 7

Решить неравенство -5·x-3>0 при помощи графика.

Решение

Необходимо построить график линейной функции -5·x-3>0. Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения координат точки его пересечения с Ох-5·x-3>0 получим значение -35. Изобразим графически.

Решение неравенства со знаком >, тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше Ох. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

Необходимый промежуток является частью Ох красного цвета. Значит, открытый числовой луч -∞, -35 будет решением неравенства. Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки -35 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с Ох.

Ответ: -∞, -35 или x<-35.

Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y=0·x+b, то есть y=b. Тогда прямая будет параллельна Ох или совпадающей при b=0. Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

Пример 8

Определить из неравенств 0·x+7<=0, 0·x+0≥0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Решение

Представление y=0·x+7 является y=7, тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной Ох и находящейся выше Ох. Значит, 0·x+7<=0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

График функции y=0·x+0, считается y=0, то есть прямая совпадает с Ох. Значит, неравенство 0·x+0≥0 имеет множество решений.

Ответ: второе неравенство имеет решение при любом значении x.

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, x-35-2·x+1>27·x.

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

При сведении неравенства 5−2·x>0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид −2·x+5>0, а для приведения второго получаем, что 7·(x−1)+3≤4·x−2+x. Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

7·x−7+3≤4·x−2+x 7·x−4≤5·x−2 7·x−4−5·x+2≤0 2·x−2≤0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

Определение 9

раскрыть скобки;
слева собрать переменные, а справа числа;
привести подобные слагаемые;
разделить обе части на коэффициент при x.

Пример 9

Решить неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Решение

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5·x+15+x≤6·x−18+1. После приведения подобных слагаемых имеем, что 6·x+15≤6·x−17. После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6·x+15−6·x+17≤0. Отсюда имеет неравенство вида 32≤0 из полученного при вычислении 0·x+32≤0. Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 52·x−1≥1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2·x−1≥0. Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.

Решение неравенств с одной переменной

Ранее мы с вами изучили свойства числовых неравенств. На этом уроке нам понадобятся следующие теоремы:

Зная основные свойства числовых неравенств, и умея их правильно применять, можно научиться решать неравенства. Чем мы и будем заниматься на этом уроке.

Итак, рассмотрим неравенство:

Такие неравенства называют неравенством с одной переменной или неравенством с одним неизвестным.

Но это не все решения данного неравенства. Чтобы найти все его решения, нужно рассмотреть следующие равносильные переходы.

Определение:

Решением неравенства с одной неизвестной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства называются равносильными, если каждое решение одного неравенства является решением другого, и наоборот, т.е. они имеют одни и те же решения. Равносильными называются и неравенства, которые не имеют решений.

Например:

При решении неравенств используют следующие свойства:

Задание: решить неравенство:

В каждом из рассмотренных примеров мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида или , где а и b – некоторые числа.

Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

Обратите внимание, в примерах мы получали линейные неравенства, в которых коэффициент при переменной не равен нулю. Но может случиться так, что при решении неравенства мы придём к линейному неравенству вида или . Неравенство такого вида, а значит, и соответствующее исходное неравенство либо не имеют решений, либо их решением является любое число.

Например, решим неравенства:

Итоги:

Неравенства вида , , , называются линейными неравенствами с одной переменной.

Решением неравенства с одной неизвестной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства называются равносильными, если каждое решение одного неравенства является решением другого.

Равносильными называются и неравенства, которые не имеют решений.

Как решать неравенство

Неравенства отличаются от уравнений не только знаком «больше»/»меньше», стоящим между выражениями. Здесь есть свои методы и свои подводные камни.

Неравенства имеют как ряд уникальных особенностей, так и черты, сходные с уравнениями.
Одно из основных отличий накладывает как раз так знак «больше/меньше». Это означает, что при необходимости умножить обе части на какое-либо выражение (например, на знаменатель), мы должны четко знать его знак (и, конечно, тот факт, что оно не равно нулю). В частности, это нужно учитывать при возведении в квадрат — это ведь тоже умножение.
Посмотрим на просто примере. Очевидно, что 3<5. Умножим обе части на 2. 6<10. По-прежнему все верно. А теперь умножим на -2. Получим -12<-20. А вот это уже не верно. Просто так неравенства умножать на отрицательные числа или выражения нельзя. В этом случае знак неравенства нужно заменить на противоположный.

За исключением этого пункта, до определенного момента решаются неравенства так же, как и уравнения.

Приведение к общему знаменателю, поиск выколотых точек, перенос членов в левую часть, поиск корней и разложение на множители.
Вот. Дошли до этого самого «определенного момента»: разложение на множители. Далее пути решения уравнений и неравенств расходятся.

Будем применять для решения метод интервалов.
Рисуем числовую ось.
На ней отмечаем пустым кружочком и подписываем значения выколотых точек, а закрашенным — невыколотых, и начинаем узнавать знак неравенства в каждой из полученных областей. Для этого берем любую точку из этой области (лучше какую-нибудь удобную) и подставляем в неравенство на место x. В итоге получаем некоторое число. В зависимости от его знака пишем на числовой оси в данной области «+» или «-«. Далее можно продолжить аналогичные действия для остальных областей, а можно и схитрить, так как есть некоторые закономерности для проставления знаков в методе интервалов: знаки областей чередуются при переходе через следующую точку, если соответствующее выражение с отмеченной на числовой оси точкой встречается в неравенстве нечетное количество раз, и не меняются при переходе через эту точку, если четное.
Выбираем из всех областей те, чей знак соответствует нашему неравенству.

В итоге получаем совокупность, которая в ответе записывается как «икс принадлежит…» — на месте многоточия стоят все подходящие области или точки. Выколотые точки на конце области обозначаются круглыми скобками — они не включаются в ответ, невыколотые — квадратными, и они включаются в ответ. Одиночные точки обозначаются фигурными скобками, а между областями и точками в ответе, так как это совокупность, ставится знак объединения («U»).
В неравенстве для двух переменных все аналогично, просто выполняется анализ значений не на числовой оси, а на плоскости.

Устранение неравенств

Иногда нам нужно решить такие неравенства:

Символ	слов	Пример
>	больше	х + 3 > 2
<	менее	7x < 28
≥	больше или равно	5 ≥ x — 1
≤	меньше или равно	2 года + 1 ≤ 7

Решение

Наша цель — иметь x (или другую переменную) отдельно слева от знака неравенства:

Примерно так:		х <5
или:		г ≥ 11

Мы называем это «решенным».

Пример: x + 2> 12

Вычтем 2 с обеих сторон:

х + 2 — 2> 12 — 2

Упростить:

х> 10

Решено!

Как решить

Решение неравенств очень похоже на решение уравнений … мы делаем почти то же самое …

… но мы также должны обратить внимание на направление неравенства .

Направление: куда «указывает» стрелка

Некоторые вещи могут изменить направление !

<становится>

> становится <

≤ становится ≥

≥ становится ≤

Безопасные дела

Эти вещи не влияют на направление неравенства:

Сложить (или вычесть) число с обеих сторон
Умножьте (или разделите) обе стороны на положительное число
Упростить сторону

Пример: 3x

<7 + 3

Мы можем упростить 7 + 3, не влияя на неравенство:

3x <10

Но эти вещи действительно меняют направление неравенства (например, «<" становится ">«):

Пример: 2y + 7

<12

Когда мы меняем местами левую и правую части, мы также должны изменить направление неравенства :

12 > 2 года + 7

Вот подробности:

Сложение или вычитание значения

Часто мы можем решить неравенства, добавляя (или вычитая) число с обеих сторон (точно так же, как во Введении в алгебру), например:

Пример: x + 3

Если вычесть 3 с обеих сторон, мы получим:

х + 3 — 3 <7 — 3

х <4

И вот наше решение: x <4

Другими словами, x может быть любым значением меньше 4.

Что мы сделали?

Мы пошли от этого:

Кому:

х + 3 <7

х <4

И это хорошо работает для , прибавляя и , вычитая , потому что, если мы прибавим (или вычтем) одинаковую сумму с обеих сторон, это не повлияет на неравенство

Пример: У Алекса больше монет, чем у Билли.Если и Алекс, и Билли получат по три монеты больше, у Алекс все равно будет больше монет, чем у Билли.

Что, если я решу, но «x» справа?

Неважно, просто поменяйте местами стороны, но переверните знак , чтобы он все еще «указывал» на правильное значение!

Пример: 12

Если вычесть 5 с обеих сторон, получим:

12 — 5 — 5

7 <х

Вот и решение!

Но ставить «x» слева — это нормально…

… так давайте обратим внимание (и знак неравенства!):

x> 7

Вы видите, как знак неравенства все еще «указывает» на меньшее значение (7)?

И вот наше решение: x> 7

Примечание. «X» может находиться справа, но людям обычно нравится видеть его слева.

Умножение или деление на значение

Также мы умножаем или делим обе части на значение (как в алгебре — умножение).

Но нам нужно быть немного осторожнее (как вы увидите).

Положительные значения
Все нормально, если мы хотим умножить или разделить на положительное число :
Пример: 3y
<15
Если разделить обе части на 3, получим:
3 года /3 <15 /3
г <5
И вот наше решение: y <5

Отрицательные значения
Когда мы умножаем или делим на отрицательное число
, мы должны обратить неравенство.

Почему?
Ну, посмотрите на числовую строку!
Например, от 3 до 7 — это , увеличение ,
, но от -3 до -7 — , уменьшение.
−7 <−3 7> 3
Видите, как меняет знак неравенства (с <на>)?
Давайте попробуем пример:
Пример: −2y
<−8
Разделим обе части на −2… и отменяют неравенство !
−2y <−8
−2y / −2 > −8 / −2
г> 4
И это правильное решение: y> 4
(Обратите внимание, что я перевернул неравенство в той же строке , разделенное на отрицательное число.)
Итак, запомните:
При умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство
Умножение или деление на переменные
Вот еще один (хитрый!) Пример:
Пример: bx
<3b
Кажется легко просто разделить обе стороны на b , что дает нам:
х <3
… но подождите … если b равно отрицательное значение , нам нужно изменить неравенство следующим образом:
x> 3
Но мы не знаем, положительное или отрицательное значение b, поэтому мы не можем ответить на этот вопрос !
Чтобы помочь вам понять, представьте, что замените b на 1 или −1 в примере bx <3b :
если b равно 1 , то ответ будет x <3
, но если b равно −1 , то мы решаем −x <−3 , и ответим будет x> 3
Ответом может быть x <3 или x> 3 , и мы не можем выбрать, потому что не знаем b .
Так:
Не пытайтесь делить на переменную для решения неравенства (если вы не знаете, что переменная всегда положительна или всегда отрицательна).
Пример побольше
Пример:
x − 3 2 <−5
Во-первых, давайте очистим «/ 2», умножив обе стороны на 2.
Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не изменятся.
x − 3 2 × 2 <−5 × 2
х-3 <-10
Теперь прибавьте 3 к обеим сторонам:
х − 3 + 3 <−10 + 3
х <−7
И вот наше решение: x <−7
Два неравенства сразу!
Как решить задачу с двумя неравенствами сразу?
Пример:
−2 < 6−2x 3 <4
Во-первых, давайте очистим «/ 3», умножив каждую часть на 3.
Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не меняются:
−6 <6−2x <12
Теперь вычтите 6 из каждой части:
−12 <−2x <6
Теперь разделите каждую часть на 2 (положительное число, чтобы неравенства снова не изменились):
−6 <−x <3
Теперь умножьте каждую часть на -1. Поскольку мы умножаем на отрицательное число , неравенства изменяют направление .
6> х> −3
И это решение!
Но для наглядности лучше иметь меньшее число слева, большее — справа. Так что давайте поменяем их местами (и убедимся, что неравенства указывают правильно):
−3 <х <6
Сводка
Многие простые неравенства можно решить путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих частей, пока не останется переменная сама по себе.
Но эти вещи изменят направление неравенства:
Умножение или деление обеих сторон на отрицательное число
Замена левой и правой сторон
Не умножайте и не делите на переменную (если вы не знаете, что она всегда положительна или всегда отрицательна)
Решить неравенства | Начальная алгебра
Результаты обучения
Опишите решения проблемы неравенства
Изобразите неравенства на числовой прямой
Изобразите неравенства в обозначении интервалов
Решите пошаговые неравенства
Используйте свойства сложения и умножения, чтобы решать алгебраические неравенства и выражать их решения графически и с интервальной нотацией
Решите неравенства, содержащие абсолютное значение
Решите многоступенчатые неравенства
Объединение свойств неравенства для выделения переменных, решения алгебраических неравенств и графического выражения их решений
Упростите и решите алгебраические неравенства, используя свойство распределенности для удаления скобок и дробей
Изобразите неравенства на числовой прямой
Во-первых, давайте определимся с важной терминологией.Неравенство — это математическое утверждение, которое сравнивает два выражения, используя идеи больше или меньше чем. В этих утверждениях используются специальные символы. Когда вы читаете неравенство, читайте его слева направо — как если бы вы читали текст на странице. В алгебре неравенства используются для описания больших наборов решений. Иногда существует бесконечное количество чисел, которые удовлетворяют неравенству, поэтому вместо того, чтобы пытаться перечислить бесконечное количество чисел, мы разработали несколько способов краткого описания очень больших списков.
Первый способ, с которым вы, вероятно, знакомы — основное неравенство. Например:
[latex] {x} \ lt {9} [/ latex] указывает список чисел, которые меньше 9. Вы бы предпочли написать [latex] {x} \ lt {9} [/ latex] или попробовать перечислить все возможные числа меньше 9? (надеюсь, ваш ответ отрицательный)
[латекс] -5 \ le {t} [/ latex] указывает все числа, которые больше или равны [latex] -5 [/ latex].
Обратите внимание, как размещение переменной слева или справа от знака неравенства может изменить, ищете ли вы больше или меньше.
Например:
[латекс] x \ lt5 [/ latex] означает все действительные числа, которые меньше 5, тогда как;
[latex] 5 \ lt {x} [/ latex] означает, что 5 меньше x, или мы могли бы переписать это с x слева: [latex] x \ gt {5} [/ latex] обратите внимание, как неравенство по-прежнему указывает то же направление относительно x. Этот оператор представляет все действительные числа, которые больше 5, что легче интерпретировать, чем 5 меньше x.
Второй способ — график с использованием числовой прямой:
И третий способ — с интервалом.
В этом разделе мы подробно рассмотрим второй и третий способы. Опять же, эти три способа написать решения неравенства:
неравенство
интервал
график
Признаки неравенства
В поле ниже показан символ, значение и пример для каждого знака неравенства. Иногда легко запутаться в неравенствах, просто не забывайте читать их слева направо.
Символ слов Пример
[латекс] \ neq [/ латекс] не равно [латекс] {2} \ neq {8} [/ latex], 2 равно не равно до 8 .
[латекс] \ gt [/ латекс] больше [латекс] {5} \ gt {1} [/ latex], 5 больше, чем 1
[латекс] \ lt [/ латекс] менее [латекс] {2} \ lt {11} [/ латекс], 2 меньше 11
[латекс] \ geq [/ латекс] больше или равно [латекс] {4} \ geq {4} [/ latex], 4 больше или равно 4
[латекс] \ leq [/ латекс] меньше или равно [латекс] {7} \ leq {9} [/ latex], 7 меньше или равно 9
Неравенство [latex] x> y [/ latex] также можно записать как [latex] {y} <{x} [/ latex].Стороны любого неравенства можно поменять местами, если символ неравенства между ними также перевернут.
Графическое изображение неравенства
Неравенства также можно изобразить на числовой прямой. Ниже приведены три примера неравенств и их графики. Графики — очень полезный способ визуализировать информацию, особенно когда эта информация представляет собой бесконечный список чисел!
[латекс] х \ leq -4 [/ латекс]. Это переводится во все действительные числа в числовой строке, которые меньше или равны 4.
[латекс] {x} \ geq {-3} [/ латекс]. Это переводится во все действительные числа в числовой строке, которые больше или равны -3.
Каждый из этих графиков начинается с круга — открытого или замкнутого (заштрихованного) круга. Эту точку часто называют конечной точкой решения. Замкнутый или заштрихованный круг используется для обозначения неравенств , которые больше или равны [латекс] \ displaystyle \ left (\ geq \ right) [/ latex] или , меньшие или равные [latex] \ displaystyle. \ left (\ leq \ right) [/ латекс].Дело в том, что это часть решения. Открытый кружок используется для значений больше (>) или меньше (<). Дело в том, что , а не часть решения.
Затем график бесконечно продолжается в одном направлении. Это показано линией со стрелкой в конце. Например, обратите внимание, что для графа [latex] \ displaystyle x \ geq -3 [/ latex], показанного выше, конечной точкой является [latex] −3 [/ latex], представленная замкнутым кружком, поскольку неравенство равно . больше или равно [латекс] -3 [/ латекс].Синяя линия нарисована справа от числовой, потому что значения в этой области больше, чем [latex] −3 [/ latex]. Стрелка в конце указывает, что решения продолжаются бесконечно.
Пример
График неравенства [латекс] x \ ge 4 [/ латекс]
Показать решение
Мы можем использовать числовую линию, как показано. Поскольку значения x включают 4, мы помещаем сплошную точку на числовой прямой с номером 4.
Затем мы рисуем линию, которая начинается с [latex] x = 4 [/ latex] и, как указано стрелкой, продолжается до положительной бесконечности, что показывает, что набор решений включает все действительные числа, большие или равные 4.
В этом видео показан пример построения графика неравенства.

Пример
Напишите неравенство, описывающее все действительные числа на числовой прямой, которые меньше 2, а затем нарисуйте соответствующий график.
Показать решение
Нам нужно начинать слева и работать вправо, поэтому мы начинаем с отрицательной бесконечности и заканчиваем на [latex] -2 [/ latex]. Мы не будем включать ни то, ни другое, потому что бесконечность не является числом, и неравенство не включает [латекс] -2 [/ латекс].
Неравенство: [латекс] x <2 [/ латекс]
Чтобы нарисовать график, сначала поместите открытую точку на числовой прямой, а затем нарисуйте линию, идущую влево. Нарисуйте стрелку в самой левой точке линии, чтобы указать, что она продолжается до бесконечности.
В следующем видео показано, как математически написать неравенство, если оно задано словами. Затем мы построим его график.

Представьте неравенства, используя обозначение интервала
Другой широко используемый и, возможно, самый краткий метод описания неравенств и решений неравенств называется интервальной нотацией . Согласно этому соглашению, наборы строятся с использованием круглых или квадратных скобок, каждая из которых имеет свое значение. Решения для [latex] x \ geq 4 [/ latex] представлены как [latex] \ left [4, \ infty \ right) [/ latex]. Этот метод широко используется и будет присутствовать в других курсах математики, которые вы, возможно, пройдете.
Основная концепция, которую следует запомнить, заключается в том, что круглые скобки представляют решения, которые больше или меньше числа, а квадратные скобки представляют решения, которые больше или равны или меньше или равны числу.Используйте круглые скобки для обозначения бесконечности или отрицательной бесконечности, поскольку положительная и отрицательная бесконечность не являются числами в обычном смысле слова и, следовательно, не могут быть «равны». Несколько примеров интервала или набора чисел, в который попадает решение: [latex] \ left [-2,6 \ right) [/ latex] или все числа между [latex] -2 [/ латекс] и [латекс] 6 [/ латекс], включая [латекс] -2 [/ латекс], но не включая [латекс] 6 [/ латекс]; [latex] \ left (-1,0 \ right) [/ latex], все действительные числа между, но не включая [latex] -1 [/ latex] и [latex] 0 [/ latex]; и [latex] \ left (- \ infty, 1 \ right] [/ latex], все действительные числа меньше, включая [latex] 1 [/ latex].В таблице ниже представлены возможные варианты. Не забывайте читать неравенства слева направо, как текст.
В таблице ниже описаны все возможные неравенства, которые могут возникнуть, и способы их записи с использованием интервальной записи, где a и b — действительные числа.
Неравенство слов Интервальное обозначение
[латекс] {a} \ lt {x} \ lt {b} [/ латекс] все действительные числа от a до b , не включая a и b [латекс] \ левый (а, б \ правый) [/ латекс]
[латекс] {x} \ gt {a} [/ латекс] Все действительные числа больше a , но не включая a [латекс] \ влево (a, \ infty \ right) [/ латекс]
[латекс] {x} \ lt {b} [/ латекс] Все действительные числа меньше b , но не включая b [латекс] \ влево (- \ infty, b \ right) [/ латекс]
[латекс] {x} \ ge {a} [/ латекс] Все действительные числа больше a , включая a [латекс] \ left [a, \ infty \ right) [/ latex]
[латекс] {x} \ le {b} [/ латекс] Все действительные числа меньше b , включая b [латекс] \ влево (- \ infty, b \ right] [/ латекс]
[латекс] {a} \ le {x} \ lt {b} [/ латекс] Все действительные числа от a до b , включая a [латекс] \ слева [a, b \ справа) [/ латекс]
[латекс] {a} \ lt {x} \ le {b} [/ латекс] Все действительные числа от a до b , включая b [латекс] \ слева (a, b \ справа] [/ латекс]
[латекс] {a} \ le {x} \ le {b} [/ латекс] Все действительные числа от a до b , включая a и b [латекс] \ левый [а, б \ правый] [/ латекс]
[латекс] {x} \ lt {a} \ text {или} {x} \ gt {b} [/ latex] Все действительные числа меньше a или больше b [латекс] \ left (- \ infty, a \ right) \ чашка \ left (b, \ infty \ right) [/ latex]
Все вещественные числа Все вещественные числа [латекс] \ влево (- \ infty, \ infty \ right) [/ латекс]
Пример
Опишите неравенство [латекс] x \ ge 4 [/ latex], используя обозначение интервала
Показать решение
Решения для [latex] x \ ge 4 [/ latex] представлены как [latex] \ left [4, \ infty \ right) [/ latex].
Обратите внимание на использование скобки слева, потому что 4 включены в набор решений.
В следующем видео мы показываем еще один пример использования обозначения интервалов для описания неравенства.

Пример
Используйте обозначение интервала, чтобы указать все действительные числа, большие или равные [latex] -2 [/ latex].
Показать решение
Используйте скобку слева от [latex] -2 [/ latex] и скобки после бесконечности: [latex] \ left [-2, \ infty \ right) [/ latex].Скобка указывает, что [latex] -2 [/ latex] включен в набор со всеми действительными числами от [latex] -2 [/ latex] до бесконечности.
В следующем видео мы показываем еще один пример преобразования слов в неравенство и записи его в интервальной нотации, а также рисование графика.

Подумай об этом
В предыдущих примерах вам давали неравенство или описание одного со словами и просили нарисовать соответствующий график и записать интервал.В этом примере вам дается интервал и предлагается записать неравенство и нарисовать график.
Дано [латекс] \ left (- \ infty, 10 \ right) [/ latex], запишите соответствующее неравенство и нарисуйте график.
В поле ниже запишите, считаете ли вы, что сначала будет проще нарисовать график или сначала записать неравенство.
Показать решение
Сначала нарисуем график.
Интервал читается как «все действительные числа меньше 10», поэтому мы начнем с того, что поставим точку на 10 и проведем линию влево со стрелкой, указывающей, что решение продолжается до отрицательной бесконечности.
Чтобы записать неравенство, мы будем использовать <, поскольку круглые скобки указывают, что 10 не включено. [латекс] x <10 [/ латекс]
В следующем видео вы увидите примеры того, как нарисовать график с учетом неравенства в обозначении интервалов.

И, наконец, последнее видео, в котором показано, как записывать неравенства с помощью графика, с обозначением интервалов и в виде неравенства.

Решите пошаговые неравенства
Решите неравенства сложением и вычитанием
Вы можете решить большинство неравенств, используя обратные операции, как вы это делали для решения уравнений.Это потому, что, когда вы добавляете или вычитаете одно и то же значение из обеих сторон неравенства, вы сохраняете неравенство. Эти свойства указаны в поле ниже.
Сложение и вычитание свойств неравенства
Если [латекс] a> b [/ латекс], , то [латекс] a + c> b + c [/ латекс].
Если [латекс] a> b [/ latex] , , то [латекс] a-c> b-c [/ latex].
Поскольку неравенство имеет несколько возможных решений, графическое представление решений дает полезную визуализацию ситуации, как мы видели в последнем разделе.В приведенном ниже примере показаны шаги для решения и графического представления неравенства и выражения решения с использованием интервальной записи.
Пример
Решите относительно x.
[латекс] {x} +3 \ lt {5} [/ латекс]
Показать решение
Полезно думать об этом неравенстве как о том, что вам предлагается найти все значения для x , включая отрицательные числа, так что при сложении трех вы получите число меньше 5.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} x + 3 <\, \, \, \, 5 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, - 3 \, \, \, \, - 3} \\ x \, \, \, \, \, \, \, \, <\, \, \, \, 2 \, \, \ end {array} [/ latex]
Выделите переменную, вычтя 3 из обеих частей неравенства.
Ответ
Неравенство: [латекс] x <2 [/ латекс]
Интервал: [латекс] \ left (- \ infty, 2 \ right) [/ latex]
График:
Линия представляет всех чисел, к которым можно сложить 3 и получить число меньше 5. Есть много чисел, которые решают это неравенство!
Так же, как вы можете проверить решение уравнения, вы можете проверить решение неравенства. Сначала вы проверяете конечную точку, подставляя ее в соответствующее уравнение.Затем вы проверяете, правильно ли неравенство, подставляя любое другое решение, чтобы увидеть, является ли оно одним из решений. Поскольку существует несколько решений, рекомендуется проверить более одного из возможных решений. Это также может помочь вам проверить правильность вашего графика.
Пример ниже показывает, как вы можете проверить, что [latex] x <2 [/ latex] является решением для [latex] x + 3 <5 [/ latex] .
Пример
Убедитесь, что [latex] x <2 [/ latex] является решением для [latex] x + 3 <5 [/ latex].
Показать решение
Подставьте конечную точку 2 в соответствующее уравнение [латекс] x + 3 = 5 [/ latex].
[латекс] \ begin {array} {r} x + 3 = 5 \\ 2 + 3 = 5 \\ 5 = 5 \ end {array} [/ latex]
Выберите значение меньше 2, например 0, чтобы проверить неравенство. (Это значение будет на затененной части графика.)
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} x + 3 <5 \\ 0 + 3 <5 \\ 3 <5 \ end {array} [/ latex]
Проверяет!
[латекс] x <2 [/ латекс] - это решение [латекс] x + 3 <5 [/ латекс].
В следующих примерах показаны проблемы неравенства, которые включают операции с отрицательными числами. Также показан график решения неравенства. Не забудьте проверить решение. Это хорошая привычка!
Пример
Решить для x : [латекс] x-10 \ leq-12 [/ latex]
Показать решение
Изолируйте переменную, добавив 10 к обеим сторонам неравенства.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} x-10 \ le -12 \\\ подчеркивание {\, \, \, + 10 \, \, \, \, \, + 10} \\ x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ le \, \, \, — 2 \ end {array} [/ latex]
Ответ
Неравенство: [латекс] x \ leq-2 [/ latex]
Интервал: [латекс] \ left (- \ infty, -2 \ right] [/ latex]
График: Обратите внимание, что используется замкнутый круг, потому что неравенство «меньше или равно» [латекс] \ left (\ leq \ right) [/ latex].Синяя стрелка нарисована слева от точки [латекс] -2 [/ латекс], потому что это значения меньше, чем [латекс] -2 [/ латекс].
Проверьте раствор [латекс] x-10 \ leq -12 [/ latex]
Показать решение
Подставьте конечную точку [латекс] −2 [/ latex] в соответствующее уравнение [латекс] x-10 = −12 [/ latex]
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} x-10 = -12 \, \, \, \\\ text {Does} \, \, \, — 2-10 = -12? \\ — 12 = -12 \, \, \, \ end {array} [/ latex]
Выберите значение меньше [латекс] -2 [/ латекс], например [латекс] -5 [/ латекс], чтобы проверить неравенство.(Это значение будет на затененной части графика.)
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} x-10 \ le -12 \, \, \, \\\ text {} \, \ text {Is} \, \, — 5-10 \ le -12? \\ — 15 \ le -12 \, \, \, \\\ text {It} \, \ text {проверяет!} \ End {array} [/ latex]
[латекс] x \ leq -2 [/ latex] — это решение [латекса] x-10 \ leq -12 [/ latex]
Пример
Решите относительно a . [латекс] a-17> -17 [/ латекс]
Показать решение
Изолируйте переменную, добавив 17 к обеим сторонам неравенства.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} a-17> -17 \\\ подчеркивание {\, \, \, + 17 \, \, \, \, \, + 17} \\ a \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,> \, \, \, \, \, \, 0 \ end {array} [/ latex]
Ответ
Неравенство: [латекс] \ displaystyle a \, \,> \, 0 [/ latex]
Интервал: [latex] \ left (0, \ infty \ right) [/ latex] Обратите внимание, как мы используем скобки слева, чтобы показать, что решение не включает 0.
График: обратите внимание на пустой кружок, чтобы показать, что решение не включает 0.
Проверьте раствор [латекс] a-17> -17 [/ latex]
Показать решение
[latex] \ displaystyle a \, \,> \, 0 [/ latex] — правильное решение для [latex] a-17> -17 [/ latex]?
Подставьте конечную точку 0 в соответствующее уравнение.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} a-17 = -17 \, \, \, \\\ text {Does} \, \, \, 0-17 = -17? \\ — 17 = -17 \, \, \, \ end {array} [/ latex]
Выберите значение больше 0, например 20, чтобы проверить неравенство. (Это значение будет на затененной части графика.)
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} a-17> -17 \, \, \, \\\ text {Is} \, \, 20-17> -17? \\ 3> -17 \, \, \, \\\\\ text {Проверяет!} \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]
[latex] \ displaystyle a \,> \, 0 [/ latex] — это решение для [latex] a-17> -17 [/ latex]
Предыдущие примеры показали вам, как решить одношаговое неравенство с переменной в левой части.В следующем видео представлены примеры того, как разрешить однотипное неравенство.

Что бы вы сделали, если бы переменная находилась в правой части неравенства? В следующем примере вы увидите, как справиться с этим сценарием.
Пример
Решите относительно x : [латекс] 4 \ geq {x} +5 [/ latex]
Показать решение
Изолируйте переменную, добавив 10 к обеим сторонам неравенства.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 4 \ geq {x} +5 \\\ underline {\, \, \, — 5 \, \, \, \, \, — 5} \\ -1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ ge \, \, \, x \ end {array} [/ latex]
Перепишите неравенство с переменной слева — это упростит запись интервала и построение графика.
[латекс] x \ le {-1} [/ латекс]
Обратите внимание, как острая часть неравенства по-прежнему направлена на переменную, поэтому вместо того, чтобы читать как отрицательное значение больше или равно x, теперь оно читается как x меньше или равно отрицательному.
Ответ
Неравенство: [latex] x \ le {-1} [/ latex] Это также можно записать как
Interval: [latex] \ left (- \ infty, -1 \ right] [/ latex]
График: Обратите внимание, что замкнутый круг используется потому, что неравенство «меньше или равно».Синяя стрелка нарисована слева от точки [latex] -1 [/ latex], потому что это значения меньше, чем [latex] -1 [/ latex].
Проверьте решение для [latex] 4 \ geq {x} +5 [/ latex]
Показать решение
Подставьте конечную точку [латекс] -1 [/ latex] в соответствующее уравнение [латекс] 4 = x + 5 [/ latex]
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 4 = x + 5 \, \, \, \\\ text {Does} \, \, \, 4 = -1 + 5? \\ — 1 = -1 \, \, \, \ end {array} [/ latex]
Выберите значение меньше [латекс] -1 [/ латекс], например [латекс] -5 [/ латекс], чтобы проверить неравенство.(Это значение будет на затененной части графика.)
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 4 \ geq {-5} +5 \, \, \, \\\ text {} \, \ text {Is} \, \, 4 \ ge 0 ? \\\ text {It} \, \ text {проверяет!} \ end {array} [/ latex]
[латекс] x \ le {-1} [/ latex] — это решение [латекса] 4 \ geq {x} +5 [/ latex]
В следующем видео показаны примеры решения неравенств с переменной справа.

Решите неравенства умножением и делением
Решение неравенства с переменной, имеющей коэффициент, отличный от 1, обычно включает умножение или деление.Эти шаги подобны решению одношаговых уравнений, включающих умножение или деление, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ знака неравенства. Давайте посмотрим, что происходит с неравенством, когда вы умножаете или делите каждую сторону на одно и то же число.
Начнем с истинного утверждения:
[латекс] 10> 5 [/ латекс]
Давайте попробуем еще раз, начав с того же истинного утверждения:
[латекс] 10> 5 [/ латекс]
Затем умножьте обе стороны на одинаковое положительное число:
[латекс] 10 \ cdot 2> 5 \ cdot 2 [/ латекс]
На этот раз умножьте обе стороны на одно и то же отрицательное число:
[латекс] 10 \ cdot-2> 5 \\ \, \, \, \, \, \ cdot -2 \, \ cdot-2 [/ latex]
20 больше 10, поэтому истинное неравенство сохраняется:
[латекс] 20> 10 [/ латекс]
Погодите! [latex] −20 [/ latex] не на , а на больше, чем [latex] −10 [/ latex], поэтому ваше утверждение неверно.
[латекс] -20> -10 [/ латекс]
При умножении на положительное число оставьте знак неравенства как есть! Вы должны «перевернуть» знак неравенства, чтобы утверждение стало верным:
[латекс] -20 <-10 [/ латекс]
Осторожно! Когда вы умножаете или делите на отрицательное число, «переверните» знак неравенства. Всякий раз, когда вы умножаете или делите обе стороны неравенства на отрицательное число, знак неравенства должен быть перевернут, чтобы утверждение оставалось верным.Эти правила кратко изложены во вставке ниже.
Свойства неравенства умножения и деления
Начать с Умножить на Окончательное неравенство
[латекс] a> b [/ латекс] [латекс] c [/ латекс] [латекс] ac> bc [/ латекс]
[латекс] a> b [/ латекс] [латекс] -c [/ латекс] [латекс] ac
Начать с Разделить на Окончательное неравенство
[латекс] a> b [/ латекс] [латекс] c [/ латекс] [латекс] \ displaystyle \ frac {a} {c}> \ frac {b} {c} [/ latex]
[латекс] a> b [/ латекс] [латекс] -c [/ латекс] [латекс] \ displaystyle \ frac {a} {c} <\ frac {b} {c} [/ latex]
Имейте в виду, что вы меняете знак только при умножении и делении на отрицательное число .Если вы добавите или вычтете на отрицательное число, неравенство останется прежним.
Пример
Решите относительно x. [латекс] 3x> 12 [/ латекс]
Показать решение Разделите обе части на 3, чтобы изолировать переменную.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \ underline {3x}> \ underline {12} \\ 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 3 \\ x> 4 \, \, \, \ end {array} [/ latex]
Проверьте свое решение, сначала проверив конечную точку 4, а затем проверив другое решение на предмет неравенства.
[латекс] \ begin {array} {r} 3 \ cdot4 = 12 \\ 12 = 12 \\ 3 \ cdot10> 12 \\ 30> 12 \\\ text {Проверяет!} \ End {array} [/ латекс]
Ответ
Неравенство: [латекс] \ displaystyle x> 4 [/ latex]
Интервал: [латекс] \ left (4, \ infty \ right) [/ latex]
График:
Не было необходимости вносить какие-либо изменения в знак неравенства, потому что обе части неравенства были разделены на положительных 3. В следующем примере есть деление на отрицательное число, поэтому есть дополнительный шаг в решении!
Пример
Решите для x .[латекс] -2x> 6 [/ латекс]
Показать решение Разделите каждую сторону неравенства на [latex] −2 [/ latex], чтобы изолировать переменную, и измените направление знака неравенства из-за деления на отрицательное число.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \ underline {-2x} <\ underline {\, 6 \,} \\ - 2 \, \, \, \, - 2 \, \\ x < -3 \ end {array} [/ latex]
Проверьте свое решение, сначала проверив конечную точку [latex] −3 [/ latex], а затем проверив другое решение на предмет неравенства.
[латекс] \ begin {array} {r} -2 \ left (-3 \ right) = 6 \\ 6 = 6 \ -2 \ left (-6 \ right)> 6 \\ 12> 6 \ end {array} [/ latex]
Проверяет!
Ответ
Неравенство: [латекс] \ displaystyle x <-3 [/ latex]
Интервал: [латекс] \ left (- \ infty, -3 \ right) [/ latex]
График:
Поскольку обе стороны неравенства были разделены отрицательным числом [латекс] -2 [/ latex], символ неравенства был изменен с> на <.
В следующем видео показаны примеры решения одношаговых неравенств с использованием свойства равенства умножения, где переменная находится в левой части.

Подумай об этом
Прежде чем читать решение следующего примера, подумайте, какие свойства неравенств вам, возможно, потребуется использовать для решения неравенства. Чем отличается этот пример от предыдущего? Напишите свои идеи в поле ниже.
Решите для x .[латекс] — \ frac {1} {2}> — 12x [/ латекс]
Показать решение
Это неравенство имеет переменную в правой части, которая отличается от предыдущих примеров. Начните процесс решения, как и раньше, а в конце вы можете переместить переменную влево, чтобы записать окончательное решение.
Разделите обе стороны на [латекс] -12 [/ латекс], чтобы изолировать переменную. Поскольку вы делите на отрицательное число, вам нужно изменить направление знака неравенства.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} — \ frac {1} {2} \ gt {-12x} \\\\\ frac {- \ frac {1} {2}} {- 12} \ gt \ frac {-12x} {- 12} \\\ end {array} [/ latex]
Для деления дроби на целое число необходимо умножить на обратную величину, а обратная величина [latex] -12 [/ latex] будет [latex] \ frac {1} {- 12} [/ latex]
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \ left (- \ frac {1} {12} \ right) \ left (- \ frac {1} {2} \ right) \ lt \ frac {- 12x} {- 12} \, \, \\\\ \ frac {1} {24} \ lt \ frac {\ cancel {-12} x} {\ cancel {-12}} \\\\ \ frac { 1} {24} \ lt {x} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]
Ответ
Неравенство: [latex] \ frac {1} {24} \ lt {x} [/ latex] Это также можно записать с переменной слева как [latex] x \ gt \ frac {1} {24} [ /латекс].Чтобы записать неравенство с переменной слева, нужно немного подумать, но это поможет вам записать интервал и правильно нарисовать график.
Интервал: [латекс] \ left (\ frac {1} {24}, \ infty \ right) [/ latex]
График:
В следующем видео приводятся примеры того, как решить неравенство со свойством умножения равенства, где переменная находится справа.

Объединение свойств неравенства для решения алгебраических неравенств
Популярная стратегия решения уравнений с выделением переменной также применима к решению неравенств.Путем сложения, вычитания, умножения и / или деления вы можете переписать неравенство так, чтобы переменная находилась с одной стороны, а все остальное — с другой. Как и в случае одношаговых неравенств, решения многоступенчатых неравенств можно изобразить на числовой прямой.
Пример
Решите относительно p . [латекс] 4p + 5 <29 [/ латекс]
Показать решение
Начните изолировать переменную, вычтя 5 из обеих частей неравенства.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} 4p + 5 <\, \, \, 29 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, \, \, \, \, - 5 \, \, \, \, \, - 5} \\ 4p \, \, \, \, \, \, \, \, \, <\, \, 24 \, \, \ end {array} [ / латекс]
Разделите обе части неравенства на 4, чтобы выразить переменную с коэффициентом 1.
[латекс] \ begin {array} {l} \ underline {4p} \, <\, \, \ underline {24} \, \, \\\, 4 \, \, \, \, <\, \ , 4 \\\, \, \, \, \, p <6 \ end {array} [/ latex]
Ответ
Неравенство: [латекс] p <6 [/ латекс]
Интервал: [латекс] \ left (- \ infty, 6 \ right) [/ latex]
График
: обратите внимание на белый кружок в конечной точке 6, чтобы показать, что решения неравенства не включают 6. Значения, где p меньше 6, находятся вдоль числовой прямой слева от 6.
Проверьте решение.
Показать решение
Проверьте конечную точку 6 в соответствующем уравнении.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 4p + 5 = 29 \, \, \, \\\ text {Does} \, \, \, 4 (6) + 5 = 29? \\ 24 + 5 = 29 \, \, \, \\ 29 = 29 \, \, \, \\\ текст {Да!} \, \, \, \, \, \, \ End {array} [/ latex]
Попробуйте другое значение, чтобы проверить неравенство. Давайте использовать [latex] p = 0 [/ latex].
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 4p + 5 <29 \, \, \, \\\ text {Is} \, \, \, 4 (0) +5 <29? \\ 0 +5 <29 \, \, \, \\ 5 <29 \, \, \, \\\ text {Да!} \, \, \, \, \, \ End {array} [/ latex]
[латекс] p <6 [/ латекс] - это решение [латекс] 4p + 5 <29 [/ латекс]
Пример
Решить для x : [латекс] 3x – 7 \ ge 41 [/ латекс]
Показать решение
Начните изолировать переменную, прибавив 7 к обеим сторонам неравенства, затем разделите обе стороны неравенства на 3, чтобы выразить переменную с коэффициентом 1.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} 3x-7 \ ge 41 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, \, \, + 7 \, \, \, \, + 7} \\\ frac {3x} {3} \, \, \, \, \, \, \, \, \ ge \ frac {48} {3} \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x \ ge 16 \ end {array} [/ latex]
Ответ
Неравенство: [латекс] x \ ge 16 [/ латекс]
Интервал: [латекс] \ left [16, \ infty \ right) [/ latex]
График: Чтобы изобразить это неравенство, вы рисуете замкнутый круг в конечной точке 16 на числовой прямой, чтобы показать, что решения включают значение 16. Линия продолжается вправо от 16, потому что все числа больше 16 также будут составлять неравенство [латекс] 3x – 7 \ ge 41 [/ латекс] верно.
Проверьте решение.
Показать решение
Сначала проверьте конечную точку 16 в соответствующем уравнении.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 3x-7 = 41 \, \, \, \\\ text {Does} \, \, \, 3 (16) -7 = 41? \\ 48 -7 = 41 \, \, \, \\ 41 = 41 \, \, \, \\\ текст {Да!} \, \, \, \, \, \ End {array} [/ latex]
Затем попробуйте другое значение, чтобы проверить неравенство. Давайте использовать [latex] x = 20 [/ latex].
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \, \, \, \, 3x-7 \ ge 41 \, \, \, \\\ текст {Is} \, \, \, \, \ , 3 (20) -7 \ ge 41? \\ 60-7 \ ge 41 \, \, \, \\ 53 \ ge 41 \, \, \, \\\ текст {Да!} \, \, \ , \, \, \ end {array} [/ latex]
При решении многоступенчатых уравнений обращайте внимание на ситуации, в которых вы умножаете или делите на отрицательное число.В этих случаях необходимо перевернуть знак неравенства.
Пример
Решите относительно p . [латекс] −58> 14−6p [/ латекс]
Показать решение
Обратите внимание, как переменная находится в правой части неравенства, метод решения в этом случае не меняется.
Начните изолировать переменную, вычтя 14 из обеих частей неравенства.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} −58 \, \,> 14−6p \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, — 14 \, \, \, \, \, \, \, — 14} \\ — 72 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,> — 6p \ end {array} [/ latex]
Разделите обе части неравенства на [латекс] −6 [/ latex], чтобы выразить переменную с коэффициентом 1.При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
[латекс] \ begin {array} {l} \ underline {-72}> \ underline {-6p} \\ — 6 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, — 6 \\\, \, \, \, \, \, 12 \ lt {p} \ end {array} [/ latex]
Мы также можем записать это как [latex] p> 12 [/ latex]. Обратите внимание, как знак неравенства все еще открывается в сторону переменной p.
Ответ
Неравенство: [латекс] p> 12 [/ latex]
Интервал: [latex] \ left (12, \ infty \ right) [/ latex]
График: График неравенства p > 12 имеет открытый кружок на 12 со стрелкой, уходящей вправо.
Проверьте решение.
Показать решение
Сначала проверьте конечную точку 12 в соответствующем уравнении.
[латекс] \ begin {array} {r} -58 = 14-6p \\ — 58 = 14-6 \ left (12 \ right) \\ — 58 = 14-72 \\ — 58 = -58 \ end {array} [/ latex]
Затем попробуйте другое значение, чтобы проверить неравенство. Попробуйте 100.
[латекс] \ begin {array} {r} -58> 14-6p \\ — 58> 14-6 \ left (100 \ right) \\ — 58> 14-600 \\ — 58> -586 \ end {array} [/ latex]
В следующем видео вы увидите пример решения линейного неравенства с переменной в левой части неравенства и пример переключения направления неравенства после деления на отрицательное число.

В следующем видео вы увидите пример решения линейного неравенства с переменной в правой части неравенства и пример переключения направления неравенства после деления на отрицательное число.

Упростите и решите алгебраические неравенства, используя свойство распределенности
Как и в случае с уравнениями, свойство распределения может применяться для упрощения выражений, являющихся частью неравенства.Как только скобки будут убраны, устранение неравенства будет несложным.
Пример
Решите для x . [латекс] 2 \ влево (3x – 5 \ вправо) \ leq 4x + 6 [/ латекс]
Показать решение
Раздать, чтобы убрать скобки.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \, 2 (3x-5) \ leq 4x + 6 \\\, \, \, \, 6x-10 \ leq 4x + 6 \ end {array} [/ латекс]
Вычтите 4 x с обеих сторон, чтобы получить переменный член только с одной стороны.
[латекс] \ begin {array} {r} 6x-10 \ le 4x + 6 \\\ подчеркивание {-4x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, — 4x} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\, \, \, 2x-10 \, \, \ leq \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, 6 \ end {array} [/ latex]
Добавьте 10 к обеим сторонам, чтобы изолировать переменную.
[латекс] \ begin {array} {r} \\\, \, \, 2x-10 \, \, \ le \, \, \, \, \, \, \, \, 6 \, \, \, \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, \, + 10 \, \, \, \, \, \, \, \, \, + 10} \\\, \, \, 2x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ le \, \, \, \, \, 16 \, \, \, \ end {array} [/ latex ]
Разделите обе части на 2, чтобы выразить переменную с коэффициентом 1.
[латекс] \ begin {array} {r} \ underline {2x} \ le \, \, \, \ underline {16} \\\, \, \, 2 \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, 2 \, \, \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x \, \, \, \ le \, \, \, \, \, 8 \ end {array} [/ latex]
Ответ
Неравенство: [latex] x \ le8 [/ latex]
Интервал: [latex] \ left (- \ infty, 8 \ right] [/ latex]
График: График этого набора решений включает 8 и все, что слева от 8 в числовой строке.
Проверьте решение.
Показать решение
Сначала проверьте конечную точку 8 в соответствующем уравнении.
[латекс] \ Displaystyle \ begin {array} {r} 2 (3x-5) = 4x + 6 \, \, \, \, \, \, \\ 2 (3 \, \ cdot \, 8-5 ) = 4 \, \ cdot \, 8 + 6 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 (24-5) = 32 + 6 \, \, \, \, \, \, \\ 2 (19) = 38 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 38 = 38 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]
Затем выберите другое решение и оцените неравенство для этого значения, чтобы убедиться, что это истинное утверждение.Попробуйте 0.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} 2 (3 \, \ cdot \, 0-5) \ le 4 \, \ cdot \, 0 + 6? \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 (-5) \ le 6 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, — 10 \ le 6 \, \, \ end {array} [/ latex]
[латекс] x \ le8 [/ latex] — это решение для [latex] \ left (- \ infty, 8 \ right] [/ latex]
В следующем видео вам дается пример того, как решить многоступенчатое неравенство, которое требует использования свойства распределения.

Подумай об этом
В следующем примере вам дано неравенство с термином, который выглядит сложным.Если вы сделаете паузу и подумаете о том, как использовать порядок операций для устранения неравенства, мы надеемся, что это покажется простой проблемой. Используйте текстовое поле, чтобы записать, что вы считаете лучшим первым шагом.
Решите для a. [латекс] \ displaystyle \ frac {{2} {a} — {4}} {{6}} {<2} [/ latex]
Показать решение
Очистите дробь, умножив обе части уравнения на 6.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \ frac {{2} {a} — {4}} {{6}} {<2} \, \, \, \, \, \, \ , \, \\\\ 6 \, \ cdot \, \ frac {2a-4} {6} <2 \, \ cdot \, 6 \\\\ {2a-4} <12 \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]
Добавьте 4 к обеим сторонам, чтобы изолировать переменную.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 2a-4 <12 \\\ underline {\, \, \, + 4 \, \, \, \, + 4} \\ 2a <16 \ end {array} [/ latex]
Разделите обе части на 2, чтобы выразить переменную с коэффициентом 1.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {c} \ frac {2a} {2} <\, \ frac {16} {2} \\\\ a <8 \ end {array} [/ latex]
Ответ
Неравенство: [латекс] a <8 [/ латекс]
Интервал: [латекс] \ left (- \ infty, 8 \ right) [/ latex]
График: График этого решения содержит сплошную точку у 8, чтобы показать, что 8 входит в набор решений.Линия продолжается влево, чтобы показать, что значения меньше 8 также включены в набор решений.
Проверьте решение.
Показать решение Сначала проверьте конечную точку 8 в соответствующем уравнении.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \ frac {2a-4} {6} = 2 \, \, \, \, \\\\\ text {Does} \, \, \, \ frac {2 (8) -4} {6} = 2? \\\\\ frac {16-4} {6} = 2 \, \, \, \, \\\\\ frac {12} {6 } = 2 \, \, \, \, \\\\ 2 = 2 \, \, \, \, \\\\\ text {Да!} \, \, \, \, \, \ End {массив } [/ латекс]
Затем выберите другое решение и оцените неравенство для этого значения, чтобы убедиться, что это истинное утверждение.Попробуйте 5.
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \ text {Is} \, \, \, \ frac {2 (5) -4} {6} <2? \\\\\ frac {10- 4} {6} <2 \, \, \, \\\\\, \, \, \, \ frac {6} {6} <2 \, \, \, \\\\ 1 <2 \, \, \, \\\\\ text {Да!} \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]
Сводка
Решение неравенств очень похоже на решение уравнений, за исключением того, что вам нужно перевернуть символы неравенства, когда вы умножаете или делите обе стороны неравенства на отрицательное число. Решения неравенств можно представить тремя способами: интервал, график и неравенство.Поскольку обычно существует более одного решения неравенства, когда вы проверяете свой ответ, вы должны проверить конечную точку и еще одно значение, чтобы проверить направление неравенства.
На неравенства могут быть разные ответы. Решения часто отображаются в виде числовой линии, чтобы наглядно представить все решения. Многоступенчатые неравенства решаются с использованием тех же процессов, что и для решения уравнений, за одним исключением. Когда вы умножаете или делите обе стороны неравенства на отрицательное число, вы должны перевернуть символ неравенства.Символы неравенства остаются неизменными при добавлении или вычитании положительных или отрицательных чисел к обеим сторонам неравенства.
Устранение неравенств — объяснения и примеры
Что такое неравенство в математике?
Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу. По сути, неравенство сравнивает любые два значения и показывает, что одно значение меньше, больше или равно значению на другой стороне уравнения.
Как правило, для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.
Символы неравенства
Эти символы неравенства: меньше ( <), больше (> ), меньше или равно ( ≤ ), больше или равно ( ≥ ) и символ неравенства ( ≠ ) .
Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.
Операции с неравенствами
Операции с линейными неравенствами включают сложение, вычитание, умножение и деление.Общие правила этих операций показаны ниже.
Хотя мы использовали символ <для иллюстрации, следует отметить, что те же правила применяются к>, ≤ и ≥.
Символ неравенства не меняется при добавлении одного и того же числа к обеим сторонам неравенства. Например, если a
Вычитание обеих частей неравенства на одно и то же число не меняет знака неравенства. Например, если a
Умножение обеих частей неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Например, если a
Разделение обеих сторон неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Если a
Умножение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет направление символа неравенства. Например, если a b *
Аналогичным образом, разделение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства.Если a b / c
Как решить неравенства?
Подобно линейным уравнениям, неравенства можно решить, применяя аналогичные правила и шаги, за некоторыми исключениями. Единственная разница при решении линейных уравнений — это операция умножения или деления на отрицательное число. Умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства.
Линейные неравенства могут быть решены с помощью следующих операций:
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Распределение собственности
Решение линейных неравенств с добавлением
ниже Давайте разберемся с несколькими примерами. это понятие.
Пример 1
Решите 3x — 5 ≤ 3 — x.
Решение
Начнем с добавления обеих сторон неравенства на 5
3x — 5 + 5 ≤ 3 + 5 — x
3x ≤ 8 — x
Затем сложим обе стороны на x.
3x + x ≤ 8 — x + x
4x ≤ 8
Наконец, разделите обе части неравенства на 4, чтобы получить;
x ≤ 2

Пример 2
Вычислите диапазон значений y, который удовлетворяет неравенству: y — 4 <2y + 5.
Решение
Сложите обе части неравенства на 4.
y — 4 + 4 <2y + 5 + 4
y <2y + 9
Вычтите обе части на 2y.
y — 2y <2y - 2y + 9
Y <9 Умножьте обе части неравенства на -1 и измените направление символа неравенства. y> — 9

Решение линейных неравенств с вычитанием
Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 3
Решите x + 8> 5.
Решение
Изолируйте переменную x, вычтя 8 из обеих сторон неравенства.
x + 8-8> 5-8 => x> −3
Следовательно, x> −3.

Пример 4
Решите 5x + 10> 3x + 24.
Решение
Вычтите 10 из обеих сторон неравенства.
5x + 10-10> 3x + 24-10
5x> 3x + 14.
Теперь мы вычитаем обе части неравенства на 3x.
5x — 3x> 3x — 3x + 14
2x> 14
x> 7

Решение линейных неравенств с умножением
Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.
Пример 5
Решите x / 4> 5
Решение:
Умножьте обе стороны неравенства на знаменатель дроби
4 (x / 4)> 5 x 4
x> 20

Пример 6
Решите -x / 4 ≥ 10
Решение:
Умножьте обе стороны неравенства на 4.
4 (-x / 4) ≥ 10 x 4
-x ≥ 40
Умножьте обе стороны неравенства на -1 и измените направление символа неравенства на противоположное.
x ≤ — 40

Решение линейных неравенств с делением
Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 7
Решите неравенство: 8x — 2> 0.
Решение
Прежде всего, сложите обе стороны неравенства на 2
+ 2> 0 + 2
8x> 2
Теперь решите, разделив обе части неравенства на 8, чтобы получить;
x> 2/8
x> 1/4

Пример 8
Решите следующее неравенство:
−5x> 100
Разделите оба решения сторон неравенства на -5 и измените направление символа неравенства
= −5x / -5 <100 / -5
= x <- 20

Решение линейных неравенств с использованием свойства распределения
Давайте посмотрим на несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.
Пример 9
Решить: 2 (x — 4) ≥ 3x — 5
Решение
2 (x — 4) ≥ 3x — 5
Примените свойство распределения, чтобы удалить скобки.
⟹ 2x — 8 ≥ 3x — 5
Сложить обе стороны на 8.
⟹ 2x — 8 + 8 ≥ 3x — 5 + 8
⟹ 2x ≥ 3x + 3
Вычесть обе стороны на 3.
⟹ 2x — 3x ≥ 3x + 3 — 3x
⟹ -x ≥ 3
⟹ x ≤ — 3

Пример 10
Студент набрал 60 баллов за первый тест и 45 баллов во втором тесте заключительного экзамена.Сколько минимальных баллов должен набрать ученик в третьем тесте, получив в среднем не менее 62 баллов?
Решение
Пусть в третьем тесте выставлены оценки x.
(60 + 45 + x) / 3 ≥ 62
105 + x ≥ 196
x ≥ 93
Следовательно, учащийся должен набрать 93 балла, чтобы поддерживать среднее значение не менее 62 баллов.

Пример 11
Джастину требуется не менее 500 долларов для празднования своего дня рождения.Если он уже накопил 150 долларов, до этой даты осталось 7 месяцев. Какую минимальную сумму он должен откладывать ежемесячно?
Решение
Пусть минимальная ежемесячная экономия = x
150 + 7x ≥ 500
Решить для x
150-150 + 7x ≥ 500-150
x ≥ 50
Следовательно, Джастин должен экономить 50 долларов и более

Пример 12
Найдите два последовательных нечетных числа, которые больше 10 и имеют сумму меньше 40.
Решение
Пусть меньшее нечетное число = x
Следовательно, следующее число будет x + 2
x> 10 ………. больше 10
x + (x + 2) <40 …… сумма меньше 40
Решите уравнения.
2x + 2 <40
x + 1 <20
x <19
Объедините два выражения.
10
Следовательно, последовательные нечетные числа — 11 и 13, 13 и 15, 15 и 17, 17 и 19.

Неравенства и числовая линия
Лучшим инструментом для представления и визуализации чисел является числовая линия. Числовая линия определяется как прямая горизонтальная линия с числами, расположенными на равных отрезках или интервалах. У числовой прямой есть нейтральная точка в середине, известная как начало координат. Справа от начала координат на числовой прямой находятся положительные числа, а слева от начала координат — отрицательные числа.
Линейные уравнения также можно решить графическим методом с использованием числовой прямой.Например, чтобы построить x> 1 на числовой прямой, вы обведите цифру 1 на числовой прямой и проведете линию, идущую от круга в направлении чисел, которые удовлетворяют утверждению о неравенстве.

Пример 13

Если символ неравенства больше или равен или меньше или равен знаку (≥ или ≤), нарисуйте круг над числовым числом и заполните или заштрихуйте круг.Наконец, проведите линию, идущую от заштрихованного круга в направлении чисел, которая удовлетворяет уравнению неравенства.

Пример 14
x ≥ 1
Та же процедура используется для решения уравнений, включающих интервалы.

Пример 15
–2 < x <2
Пример 16
–
–
–

≤

Пример 17
–1 < x ≤ 2
Практические вопросы
Решите следующие неравенства и представьте свой ответ на числовой прямой.
2x> 9
x + 5> 13
−3x <4
7x + 11> 2x + 5
2 (x + 3)
— 5 ≤ 2x — 7 ≤ 1
4x — 8 ≤ 12
Ответы
x> 9/2
x> 8
x> −4/3
x> −6/5
x <−5.
1 ≤ x ≤ 4.
x ≤ 5
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
Как решать проблемы неравенства | Sciencing
Неравенства аналогичны уравнениям, вы должны решать переменную (X, Y, Z, A, B и т. Д.)…), основное отличие состоит в том, что с уравнением, которое вы решаете только для одного значения (X = 3, Z = 4, A = -9 и т. д.), с неравенством, которое вы решаете для диапазона чисел, это означает, что Ваша переменная может быть числом больше, меньше, больше или равно, меньше или равно …
Например: если X> 3 (X больше 3), X может быть любым значением от 3,1 , 3.2, 5, 7, 900, 1000 и так далее.
Если вы хотите просмотреть эту статью в виде видео, посетите нас на WWW.I-HATE-MATH.COM
Запомним символы неравенств
Больше>
Меньше <Больше или равно ≥ Меньше или равно ≤
У нас есть неравенство 3 (X-4) ≤ X — 6. Решим для «X» это означает оставить «X» в покое. Мы можем решить это как обычное уравнение.
Сначала нам нужно вспомнить PEMDAS (пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли). Мы должны найти скобки. Давайте умножим 3 раза X и 3 раза -4
После того, как мы сделаем круглую скобку, 3x — 12 ≤ X -6, давайте переместим «X» справа налево, мы сделаем это, добавив «X» к обе стороны.
Наше неравенство выглядит так: 2X — 12 ≤ X -6. Теперь нам нужно переместить -12 слева направо, добавим 12 к обеим сторонам.
Наша основная цель — оставить «X» в покое, 2 — это умножение X, давайте удалим его с левой стороны, разделив обе стороны на 2
Наш результат — X ≤ 3, это означает, что значение X должно быть число, меньшее или равное числу 3. Например, 3, 2, 1, 0 -1, -2, -3 и так далее. Мы также можем записать наш ответ следующим образом (-∞, 3], мы всегда используем круглые скобки для инфинитивного символа, и мы используем скобки, потому что наше неравенство меньше или равно.Если бы наше уравнение было 3 (X-4) ), тогда вы должны использовать круглую скобку ()
Решение неравенств — Математика средней школы
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Искусство решения проблем
Тема математических неравенств тесно связана с методами оптимизации. Хотя большая часть вопросов неравенства часто остается вне рамок обычного образовательного трека, они часто встречаются на олимпиадах по математике.
Обзор
Неравенства, вероятно, являются разделом элементарной алгебры и имеют небольшое отношение к теории чисел. Они имеют дело с отношениями переменных, обозначаемых четырьмя знаками:.
Для двух номеров и:
Обратите внимание, что тогда и только тогда, и наоборот. То же относится и к последним двум знакам: если и только если, и наоборот.
Некоторые свойства неравенств:
Устранение неравенств
Как правило, при решении неравенств одни и те же величины можно складывать или вычитать без изменения знака неравенства, как и в случае с уравнениями.Однако при умножении, делении или извлечении квадратного корня мы должны следить за знаком. В частности, обратите внимание на то, что, хотя, мы должны иметь. В частности, при умножении или делении на отрицательные величины мы должны менять знак. Сложности могут возникнуть, когда перемножаемое значение может иметь разные знаки в зависимости от переменной.
Мы также должны быть осторожны с границами решений. В примере значение не удовлетворяет неравенству, потому что неравенство строгое.Однако в примере значение удовлетворяет неравенству, потому что неравенство нестрогое.
Решения можно записывать в интервальной записи. Для закрытых границ используются квадратные скобки, а для открытых (и бесконечно удаленных) используются круглые скобки. Например, означает.
Линейные неравенства
Линейные неравенства можно решить так же, как линейные уравнения, чтобы получить неявные ограничения на переменную. Однако при умножении / делении обеих сторон на отрицательные числа нам приходится менять знак.
Полиномиальные неравенства
Первая часть решения полиномиальных неравенств очень похожа на решение полиномиальных уравнений — отведение всех членов в сторону и нахождение корней.
После этого мы должны рассмотреть границы. Мы сравниваем знак многочлена с разными входными данными, чтобы мы могли представить грубый график многочлена и то, как он проходит через нули (поскольку прохождение через нули может изменить знак). Тогда мы сможем найти соответствующие оценки неравенства.
Рациональное неравенство
Более сложный пример.

Вот частая ошибка:. Проблема в том, что мы умножили на как один из последних шагов. Мы также сохранили знак неравенства в том же направлении. Однако мы не знаем, что знает , отрицательное количество или нет; мы не можем предположить, что это действительно положительно. Таким образом, нам, возможно, придется изменить направление знака неравенства, если мы умножаем на отрицательное число. Но мы также не знаем, отрицательное ли количество.

Правильным решением было бы переместить все в левую часть неравенства и сформировать общий знаменатель. Тогда будет просто найти решения неравенства, рассматривая знак (отрицательность или положительность) дроби при изменении. Мы начнем с интуитивного решения, а затем можно будет построить правило для решения общих дробных неравенств. Чтобы упростить задачу, мы проверяем положительные целые числа. является хорошей отправной точкой, но не устраняет неравенство.И не делает. Следовательно, эти двое не являются решениями. Затем мы начинаем проверять такие числа, как, и так далее. Все это работает. На самом деле нетрудно увидеть, что дробь останется положительной по мере того, как становится все больше и больше. Но где именно, что вызывает отрицательную дробь при и, начинает вызывать положительную дробь? Мы не можем просто предположить, что это точка переключения; это решение не ограничивается целыми числами. Числитель и знаменатель — большие подсказки. В частности, мы проверяем, что когда (числитель), тогда дробь равна, и начинает быть положительной для всех более высоких значений.Решение уравнения показывает, что это поворотный момент. После большей части такой работы мы понимаем, что это приводит к разделению на, так что это определенно не решение. Однако это также говорит нам, что любое значение этого меньше, чем приводит к дроби, имеющей отрицательные числитель и знаменатель, что приводит к положительной дроби и, таким образом, удовлетворяет неравенству. Никакое значение между и (кроме самого себя) не кажется решением. Таким образом, мы заключаем, что решения — это интервалы.

Для лучшей записи определим «x-точку пересечения» дробного неравенства как те значения, которые вызывают числитель и / или знаменатель. Чтобы разработать метод более быстрого решения дробных неравенств, мы можно просто рассмотреть «x-точки пересечения» числителя и знаменателя. Нанесем их на числовую прямую. Затем в каждой области числовой прямой мы проверяем одну точку, чтобы увидеть, является ли весь регион частью решения. Например, в приведенном выше примере проблемы мы видим, что нам нужно было протестировать только одно значение, например, в регионе, а также одно значение в регионе и; затем мы видим, какие регионы входят в набор решений.Это действительно дает полный набор решений.

Нужно быть осторожным с границами решений. В примере задачи значение было решением только потому, что неравенство было нестрогим. Кроме того, значение не было решением, потому что оно привело бы к разделению на. Точно так же любое «пересечение с x» числителя является решением тогда и только тогда, когда неравенство является нестрогим, и каждый «отрезок x» знаменателя никогда не является решением, потому что мы не можем разделить на.
Полное неравенство
Неравенство, которое верно для всех действительных чисел или для всех положительных чисел (или даже для всех комплексных чисел), иногда называют полным неравенством. Примером действительных чисел является так называемое тривиальное неравенство, которое утверждает, что для любого действительного числа. Большинство неравенств этого типа предназначены только для положительных чисел, и у этого типа неравенства часто есть чрезвычайно умные проблемы и приложения.
Список теорем
Вот некоторые из наиболее полезных теорем о неравенстве, а также общие темы о неравенстве.
Вводный
Продвинутый
Проблемы
Вводный
Практические задачи на Alcumus
Неравенства (предалгебра)
Решение линейных неравенств (алгебра)
Квадратичные неравенства (алгебра)
Основные уравнения рациональных функций и неравенства (промежуточная алгебра)
Теннисистка вычисляет свой коэффициент побед, разделив количество выигранных ею матчей на общее количество сыгранных ею матчей.В начале уик-энда ее процент побед точно такой же. В выходные она сыграла четыре матча, выиграв три и проиграв один. В конце уик-энда ее коэффициент побед больше, чем. Какое наибольшее количество матчей она могла выиграть до начала уик-энда? (Проблемы AIME 1992 г. / Проблема 3)
Средний
Практические задачи на Alcumus
Квадратичные неравенства (алгебра)
Уравнения и неравенства с расширенными рациональными функциями (промежуточная алгебра)
Общие навыки неравенства (промежуточная алгебра)
Продвинутые неравенства (промежуточная алгебра)
Учитывая это, и покажите то.( weblog_entry.php? t = 172070 Источник )
Олимпиада
См. Также Категория: Проблемы неравенства на олимпиадах
Ресурсы
Книги
Средний
Олимпиада
Статьи
Олимпиада
Классы
Олимпиада
См. Также
Алгебра — линейные неравенства
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 2-11: Линейные неравенства
До этого момента в этой главе мы сосредоточились на решении уравнений.Пришло время немного переключиться и начать думать о решении проблемы неравенства. Прежде чем мы перейдем к решению неравенств, мы должны сначала рассмотреть пару основных моментов.
На данном этапе вашей математической карьеры предполагается, что вы знаете, что
\ [a
означает, что \ (a \) — некоторое число, которое строго меньше \ (b \). Также предполагается, что вы знаете, что
\ [а \ ге б \]
означает, что \ (a \) — это некоторое число, которое либо строго больше, чем \ (b \), либо точно равно \ (b \).Точно так же предполагается, что вы знаете, что делать с двумя оставшимися неравенствами. > (больше) и \ (\ le \) (меньше или равно).
Мы хотим обсудить некоторые проблемы с обозначениями и некоторые тонкости, которые иногда возникают у студентов, когда они действительно начинают работать с неравенством.
Во-первых, помните, что когда мы говорим, что \ (a \) меньше \ (b \), мы имеем в виду, что \ (a \) находится слева от \ (b \) на числовой строке. Итак,
\ [- 1000
— истинное неравенство.
Затем не забывайте, как правильно интерпретировать \ (\ le \) и \ (\ ge \). Оба следующих утверждения являются истинными неравенствами.
\ [4 \ le 4 \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} — 6 \ le 4 \]
В первом случае 4 равно 4 и, следовательно, «меньше или равно» 4. Во втором случае -6 строго меньше 4 и, таким образом, «меньше или равно» 4. Наиболее часто встречается ошибка состоит в том, чтобы решить, что первое неравенство не является истинным неравенством. Также будьте осторожны, чтобы не принять эту интерпретацию и не перевести ее на <и / или>.Например,
\ [4
не является истинным неравенством, поскольку 4 равно 4, а не строго меньше 4.
Наконец, в этом и последующих разделах мы увидим множество двойных неравенств , поэтому о них нельзя забывать. Следующее — двойное неравенство.
\ [- 9
В двойном неравенстве мы говорим, что оба неравенства должны выполняться одновременно. В этом случае 5 определенно больше -9 и в то же время меньше или равно 6.Следовательно, это двойное неравенство является истинным неравенством.
С другой стороны,
\ [10 \ le 5
не является истинным неравенством. Хотя верно, что 5 меньше 20 (поэтому верно второе неравенство), неверно, что 5 больше или равно 10 (поэтому первое неравенство неверно). Если хотя бы одно из неравенств в двойном неравенстве неверно, то все неравенство неверно. Этот момент более важен, чем вы можете себе представить.В следующем разделе мы встретимся с ситуациями, когда многие студенты пытаются объединить два неравенства в двойное неравенство, которое просто невозможно объединить, так что будьте осторожны.
Следующая тема, которую нам необходимо обсудить, — это идея обозначения интервала . Обозначение интервалов — это очень хорошее обозначение неравенств, которое будет широко использоваться в следующих нескольких разделах этой главы.
Наилучшим способом определения обозначения интервалов является следующая таблица.В таблице три столбца. Каждая строка содержит неравенство, график, представляющий неравенство, и, наконец, обозначение интервала для данного неравенства.
Помните, что квадратные скобки «[» или «]» означают, что мы включаем конечную точку, а круглые скобки «(» или «)» означают, что мы не включаем конечную точку.
Итак, с первыми четырьмя неравенствами в таблице обозначение интервалов на самом деле представляет собой не что иное, как график без числовой прямой.С последними четырьмя неравенствами обозначение интервала — это почти график, за исключением того, что нам нужно добавить соответствующую бесконечность, чтобы убедиться, что мы получаем правильную часть числовой прямой. Также обратите внимание, что бесконечности НИКОГДА не получают скобки. У них есть только круглые скобки.
Прежде чем переходить к решению неравенств, необходимо сделать последнее замечание об обозначении интервалов. Всегда помните, что когда мы записываем интервальное обозначение для неравенства, число слева должно быть меньшим из двух.
Пришло время подумать о решении линейных неравенств. При решении неравенств мы будем использовать следующий набор фактов. Обратите внимание, что факты приведены для <. Однако мы можем записать эквивалентный набор фактов для остальных трех неравенств.
Если \ (a
Если \ (a 0 \), то \ (ac
Если \ (a bc \) и \ (\ frac {a} {c}> \ frac {b} {c} \). В этом случае, в отличие от предыдущего факта, если \ (c \) отрицательно, нам нужно изменить направление неравенства, когда мы умножаем или делим обе части неравенства на \ (c \).
Это почти те же факты, которые мы использовали для решения линейных уравнений. Единственное реальное исключение — третий факт. Это важный факт, поскольку он часто используется неправильно и / или часто забывается при решении проблемы неравенства.
Если вы не уверены, что полагаете, что знак \ (c \) имеет значение для второго и третьего фактов, рассмотрите следующий пример числа.
\ [- 3
Я надеюсь, что мы все согласимся, что это истинное неравенство.Теперь умножьте обе стороны на 2 и -2.
\ [\ begin {align *} — 3 и 5 \ left ({- 2} \ right) \\ — 6 & — 10 \ end {align *} \]
Конечно, при умножении на положительное число направление неравенства остается неизменным, однако при умножении на отрицательное число направление неравенства меняется.
Хорошо, давайте устраним некоторые неравенства. Мы начнем с неравенств, в которых есть только одно неравенство.Другими словами, мы отложим решение двойных неравенств для следующего набора примеров.
Здесь мы должны помнить, что мы просим определить все значения переменной, которые мы можем подставить в неравенство и получить истинное неравенство. Это означает, что наши решения в большинстве случаев сами по себе будут неравенствами.
Пример 1 Решение следующих неравенств. Приведите как неравенство, так и интервальную форму записи решения.
\ (- 2 \ влево ({m — 3} \ right) <5 \ left ({m + 1} \ right) - 12 \)
\ (2 \ left ({1 — x} \ right) + 5 \ le 3 \ left ({2x — 1} \ right) \)
Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение
Решение отдельных линейных неравенств во многом повторяет процесс решения линейных уравнений. Мы упростим обе стороны, получим все члены с переменной с одной стороны и числа с другой стороны, а затем умножим / разделим обе стороны на коэффициент переменной, чтобы получить решение.Вы должны помнить одну вещь: если вы умножаете / делите на отрицательное число, то меняете направление неравенства.

a \ (- 2 \ left ({m — 3} \ right) Показать решение
Здесь действительно особо нечего делать, кроме как следовать описанному выше процессу.
\ [\ begin {align *} — 2 \ left ({m — 3} \ right) & \ frac {{13}} {7} \ end {align *} \]
Вы уловили тот факт, что направление неравенства здесь изменилось, не так ли? Мы разделились на «-7» и нам пришлось менять направление.Неравенство решения имеет вид \ (m> \ frac {{13}} {7} \). Обозначение интервала для этого решения: \ (\ left ({\ frac {{13}} {7}, \ infty} \ right) \).

b \ (2 \ left ({1 — x} \ right) + 5 \ le 3 \ left ({2x — 1} \ right) \) Показать решение
Опять же, здесь особо нечего делать.
\ [\ begin {align *} 2 \ left ({1 — x} \ right) + 5 & \ le 3 \ left ({2x — 1} \ right) \\ 2 — 2x + 5 & \ le 6x — 3 \\ 10 & \ le 8x \\ \ frac {{10}} {8} & \ le x \\ \ frac {5} {4} & \ le x \ end {align *} \]
Теперь, с этим неравенством, мы закончили с переменной с правой стороны, когда это более традиционно с левой стороны.Итак, давайте поменяем местами, чтобы переменная оказалась слева. Обратите внимание, однако, что нам нужно будет также изменить направление неравенства, чтобы убедиться, что мы не изменим ответ. Итак, вот обозначение неравенства для неравенства.
\ [x \ ge \ frac {5} {4} \]
Обозначение интервала для решения: \ (\ left [{\ frac {5} {4}, \ infty} \ right) \).
А теперь давайте решим несколько двойных неравенств.Этот процесс в некотором смысле похож на решение отдельных неравенств, но в остальном сильно отличается. Поскольку существует два неравенства, невозможно получить переменные с «одной стороны» неравенства и числа с другой. Легче увидеть, как это работает, если мы рассмотрим пару примеров, так что давайте сделаем это.
Пример 2 Решите каждое из следующих неравенств. Приведите для решения форму неравенства и интервальных обозначений.
\ (- 6 \ le 2 \ left ({x — 5} \ right) <7 \)
\ (- 3 <\ frac {3} {2} \ left ({2 - x} \ right) \ le 5 \)
\ (- 14 <- 7 \ влево ({3x + 2} \ вправо) <1 \)
Показать все решения Скрыть все решения a \ (- 6 \ le 2 \ left ({x — 5} \ right) Показать решение
Процесс здесь довольно похож на процесс для одиночных неравенств, но сначала нам нужно быть осторожными в нескольких местах.Нашим первым шагом в этом случае будет удаление скобок в среднем члене.
\ [- 6 \ le 2x — 10
Теперь мы хотим, чтобы \ (x \) был сам по себе в среднем члене и только числа в двух внешних членах. Для этого мы будем добавлять / вычитать / умножать / делить по мере необходимости. Единственное, что нам нужно здесь помнить, это то, что если мы делаем что-то для среднего срока, мы должны делать то же самое с ОБЕИМ из исходящих терминов. Одна из наиболее распространенных ошибок на этом этапе — добавить что-то, например, в середину, и добавить это только к одной из двух сторон.
Хорошо, мы прибавим 10 ко всем трем частям, а затем разделим все три части на две.
\ [\ begin {array} {c} 4 \ le 2x
Это неравенство формы ответа. Ответ в виде интервальной записи \ (\ left [{2, \ frac {{17}} {2}} \ right) \).

b \ (- 3 Показать решение
В этом случае первое, что нам нужно сделать, это очистить дроби, умножив все три части на 2. Затем мы продолжим, как и в первой части.
\ [\ begin {array} {c} — 6
На этом мы еще не закончили, но нам нужно быть очень осторожными на следующем шаге. На этом этапе нам нужно разделить все три части на -3. Однако напомним, что всякий раз, когда мы делим обе стороны неравенства на отрицательное число, нам нужно изменить направление неравенства. Для нас это означает, что оба неравенства должны изменить направление здесь.
\ [4> х \ ge — \ frac {4} {3} \]
Итак, существует форма неравенства решения.Нам нужно будет быть осторожным с обозначением интервалов для решения. Во-первых, обозначение интервала НЕ \ (\ left ({4, — \ frac {4} {3}} \ right] \). Помните, что в обозначении интервала меньшее число всегда должно идти слева! правильное обозначение интервала для решения: \ (\ left [{- \ frac {4} {3}, 4} \ right) \).
Также обратите внимание, что это также соответствует форме неравенства решения. Неравенство говорит нам, что \ (x \) — это любое число от 4 до \ (- \ frac {4} {3} \) или, возможно, само \ (- \ frac {4} {3} \), и это в точности что нам говорят обозначения интервалов.
Кроме того, неравенство можно перевернуть, чтобы получить меньшее число слева, если мы захотим. Вот та форма,
\ [- \ frac {4} {3} \ le x
При этом не забудьте также правильно обработать неравенства.

c \ (- 14 Показать решение
Ничего особенного для этого. Мы продолжим так же, как и в предыдущих двух.
\ [\ begin {array} {c} — 14
Не волнуйтесь, что одна из сторон теперь равна нулю.Это не проблема. Опять же, как и в предыдущей части, мы будем делить на отрицательное число, поэтому не забудьте изменить направление неравенств.
\ [\ begin {array} {c} \ displaystyle 0> x> — \ frac {{15}} {{21}} \\ \ displaystyle 0> x> — \ frac {5} {7} \ hspace {0,25 in} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25in} — \ frac {5} {7}
Для решения подойдет любое из неравенств во второй строке. Интервальное обозначение решения — \ (\ left ({- \ frac {5} {7}, 0} \ right) \).
При решении двойных неравенств обязательно обратите внимание на неравенства, которые есть в исходной задаче. Одна из наиболее распространенных ошибок здесь — начать с задачи, в которой одно из неравенств имеет вид <или>, а другое — \ (\ le \) или \ (\ ge \), как мы делали в первых двух частях в предыдущем примере, а затем в окончательном ответе они оба являются <или>, либо они оба являются \ (\ le \) или \ (\ ge \). Другими словами, легко сделать оба неравенства одинаковыми.Будьте осторожны с этим.
Есть еще один последний пример, над которым мы хотим работать.
Пример 3 Если \ (- 1 Показать решение
Это проще, чем может показаться на первый взгляд. Все, что мы действительно собираемся сделать, это начать с данного неравенства, а затем изменить средний член, чтобы он выглядел как второе неравенство. Опять же, нам нужно помнить, что все, что мы делаем со средним термином, нам также необходимо сделать с двумя внешними членами.

Символ	слов	Пример
[латекс] \ neq [/ латекс]	не равно	[латекс] {2} \ neq {8} [/ latex], 2 равно не равно до 8 .
[латекс] \ gt [/ латекс]	больше	[латекс] {5} \ gt {1} [/ latex], 5 больше, чем 1
[латекс] \ lt [/ латекс]	менее	[латекс] {2} \ lt {11} [/ латекс], 2 меньше 11
[латекс] \ geq [/ латекс]	больше или равно	[латекс] {4} \ geq {4} [/ latex], 4 больше или равно 4
[латекс] \ leq [/ латекс]	меньше или равно	[латекс] {7} \ leq {9} [/ latex], 7 меньше или равно 9

Неравенство	слов	Интервальное обозначение
[латекс] {a} \ lt {x} \ lt {b} [/ латекс]	все действительные числа от a до b , не включая a и b	[латекс] \ левый (а, б \ правый) [/ латекс]
[латекс] {x} \ gt {a} [/ латекс]	Все действительные числа больше a , но не включая a	[латекс] \ влево (a, \ infty \ right) [/ латекс]
[латекс] {x} \ lt {b} [/ латекс]	Все действительные числа меньше b , но не включая b	[латекс] \ влево (- \ infty, b \ right) [/ латекс]
[латекс] {x} \ ge {a} [/ латекс]	Все действительные числа больше a , включая a	[латекс] \ left [a, \ infty \ right) [/ latex]
[латекс] {x} \ le {b} [/ латекс]	Все действительные числа меньше b , включая b	[латекс] \ влево (- \ infty, b \ right] [/ латекс]
[латекс] {a} \ le {x} \ lt {b} [/ латекс]	Все действительные числа от a до b , включая a	[латекс] \ слева [a, b \ справа) [/ латекс]
[латекс] {a} \ lt {x} \ le {b} [/ латекс]	Все действительные числа от a до b , включая b	[латекс] \ слева (a, b \ справа] [/ латекс]
[латекс] {a} \ le {x} \ le {b} [/ латекс]	Все действительные числа от a до b , включая a и b	[латекс] \ левый [а, б \ правый] [/ латекс]
[латекс] {x} \ lt {a} \ text {или} {x} \ gt {b} [/ latex]	Все действительные числа меньше a или больше b	[латекс] \ left (- \ infty, a \ right) \ чашка \ left (b, \ infty \ right) [/ latex]
Все вещественные числа	Все вещественные числа	[латекс] \ влево (- \ infty, \ infty \ right) [/ латекс]

Начнем с истинного утверждения: [латекс] 10> 5 [/ латекс]	Давайте попробуем еще раз, начав с того же истинного утверждения: [латекс] 10> 5 [/ латекс]
Затем умножьте обе стороны на одинаковое положительное число: [латекс] 10 \ cdot 2> 5 \ cdot 2 [/ латекс]	На этот раз умножьте обе стороны на одно и то же отрицательное число: [латекс] 10 \ cdot-2> 5 \\ \, \, \, \, \, \ cdot -2 \, \ cdot-2 [/ latex]
20 больше 10, поэтому истинное неравенство сохраняется: [латекс] 20> 10 [/ латекс]	Погодите! [latex] −20 [/ latex] не на , а на больше, чем [latex] −10 [/ latex], поэтому ваше утверждение неверно. [латекс] -20> -10 [/ латекс]
При умножении на положительное число оставьте знак неравенства как есть!	Вы должны «перевернуть» знак неравенства, чтобы утверждение стало верным: [латекс] -20 <-10 [/ латекс]

Начать с	Умножить на	Окончательное неравенство
[латекс] a> b [/ латекс]	[латекс] c [/ латекс]	[латекс] ac> bc [/ латекс]
[латекс] a> b [/ латекс]	[латекс] -c [/ латекс]	[латекс] ac

Начать с	Разделить на	Окончательное неравенство
[латекс] a> b [/ латекс]	[латекс] c [/ латекс]	[латекс] \ displaystyle \ frac {a} {c}> \ frac {b} {c} [/ latex]
[латекс] a> b [/ латекс]	[латекс] -c [/ латекс]	[латекс] \ displaystyle \ frac {a} {c} <\ frac {b} {c} [/ latex]