Как делить в восьмеричной системе: Восьмеричный калькулятор онлайн

Содержание

Восьмеричный калькулятор онлайн

Если вам необходимо произвести математические операции в восьмеричной системе счисления воспользуйтесь нашим восьмеричным онлайн калькулятором:

Просто введите восьмеричные числа, выберите операцию и получите результат.

Калькулятор может производить следующие действия:

  • сложение +
  • вычитание
  • умножение ×
  • деление ÷
  • логическое И (AND)
  • логическое ИЛИ (OR)
  • исключающее ИЛИ (XOR)

Сложение в восьмеричной системе счисления

Сложение двух восьмеричных чисел производится столбиком, как и в десятичной системе, но по следующим правилам:

class="krest">
+ 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5
6
7 10
2 2 3 4 5 6 7 10 11
3 3 4 5 6 7 10 11 12
4 4 5 6 7 10 11 12 13
5 5 6 7 10 11 12 13 14
6 6 7 10 11 12 13 14 15
7 7 10 11 12 13 14 15 16

Пример

Для примера сложим 777 и 15:

7778 + 158 = 10148

(51110 + 1310 = 52410

)

Вычитание в восьмеричной системе счисления

Вычитание восьмеричных чисел производится столбиком. Правила вычитания обратны правилам сложения (см. таблицу выше).

Пример

Для примера вычтем из числа 1014 число 777:

10148 − 7778 = 158

(52410 − 51110 = 1310)

Умножение чисел в восьмеричной системе счисления

Умножение восьмеричных чисел производится в столбик по следующим правилам:

× 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7
2 0 2 4 6 10 12 14 16
3 0 3
6
11 14 17 22 25
4 0 4 10 14 20 24 30 34
5 0 5 12 17 24 31 36 43
6 0 6 14 22 30 36 44 52
7 0 7 16 25 34 43 52 61

Пример

Для примера перемножим числа 777 и 15:

× 7 7 7
1 5
+ 4 7 7 3
7 7 7
1 4 7 6 3

7778 × 158 = 147638

(51110 × 1310 = 664310)

Деление чисел в восьмеричной системе счисления

Деление восьмеричных чисел выполняется по тому же принципу, что и деление десятичных, например:

Пример

Для примера разделим число 720 на 4:

7208 ÷ 48 = 1648

(46410 ÷ 410 = 11610)

См. также

Сложение, вычитание, умножение и деление в системах счисления

Сложение в системах счисления

Как мы складываем в десятичной системе счисления?

Давайте вспомним о том, как мы складываем числа уже привычным нам способом, в десятичной системе счисления.

Самое главное стоит понять разряды. Вспомните алфавит каждой СС и тогда вам станет легче.

Сложение в двоичной системе счисления

Сложение в двоичной системе ничем не отличается от сложения в десятичной системе. Главное помнить, алфавит содержит всего две цифры: 0 и 1. Поэтому когда мы складываем 1 + 1, то получаем 0, и увеличиваем число еще на 1 разряд. Посмотрите на пример выше:

  1. Начинаем складывать как и привыкли справа налево. 0 + 0 = 0, значит записываем 0. Переходим к следующему разряду.
  2. Складываем 1 + 1 и получаем 2, но 2 нет в двоичной системе счисления, а значит мы записываем 0, а 1 добавляем к следующему разряду.
  3. У нас получается в этом разряде три единицы складываем 1 + 1 + 1 = 3, этой цифры также быть не может. Значит 3 – 2 = 1. И 1 добавляем к следующему разряду.
  4. У нас вновь получается 1 + 1 = 2. Мы уже знаем, что 2 быть не может, значит записываем 0, а 1 добавляем к следующему разряду.
  5. Складывать больше нечего, значит в ответе получаем: 10100.

Один пример мы разобрали, второй решите самостоятельно:

Сложение в восьмеричной системе счисления

Так же как и в любых других системах счисления необходимо помнить Алфавит. Давайте попробуем сложить выражение.

  1. Все как обычно, начинаем складывать справа налево. 4 + 3 = 7.
  2. 5 + 4 = 9. Девяти быть не может, значит из 9 вычитаем 8, получаем 1. И еще 1 добавляем к следующему разряду.
  3. 3 + 7 + 1 = 11. Из 11 вычитаем 8, получаем 3. И единицу добавляем к следующему разряду.
  4. 6 + 1 = 7.
  5. Складывать далее нечего. Ответ: 7317.

А теперь проделайте сложение самостоятельно:

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

  1. Выполняем уже знакомые нам действия и не забываем про алфавит. 2 + 1 = 3.
  2. 5 + 9 = 14. Вспоминаем Алфавит: 14 = Е.
  3. С = 12. 12 + 8 = 20. Двадцати нет в шестнадцатеричной системе счисления. Значит из 20 вычитаем 16 и получаем 4. И единицу добавляем к следующему разряду.
  4. 1 + 1 = 2.
  5. Больше складывать нечего. Ответ: 24Е3.

Вычетание в системах счисления

Вычитание в десятичной системе счисления

Вспомним, как мы это делаем в десятичной системе счисления.

  1. Начинаем слева направо, от меньшего разряда к большему. 2 – 1 = 1.
  2. 1 – 0 = 1.
  3. 3 – 9 = ? Тройка меньше девяти, поэтому позаимствуем единицу из старшего разряда. 13 – 9 = 4.
  4. Из последнего разряда мы взяли единицу для предыдущего действия, поэтому 4 – 1 = 3.
  5. Ответ: 3411.

Вычитание в двоичной системе счисления

  1. Начинаем как обычно. 1 – 1 = 0.
  2. 1 – 0 = 1.
  3. От 0 отнять единицу нельзя. Поэтому заберем один разряд у старшего. 2 – 1 = 1.
  4. Ответ: 110.

А теперь решите самостоятельно:

Вычитание в восьмеричной системе счисления

  1. Ничего нового, главное помнить алфавит. 4 – 3 = 1.
  2. 5 – 0 = 5.
  3. От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 11 – 7 = 4.
  4. Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5.
  5. Ответ: 5451.

Пример для самостоятельного решения:

Вычитание в шестнадцатеричной системе счисления

Возьмем предыдущий пример, и посмотрим каков будет результат в шестнадцатеричной системе. Такой же или другой?

  1. 4 – 3 = 1.
  2. 5 – 0 = 5.
  3. От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 19 – 7 = 12. В шестнадцатеричной системе 12 = С.
  4. Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5
  5. Ответ: 5С51

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в системах счисления

Умножение в десятичной системе счисления

Давайте запомним раз и навсегда, что умножение в любой системе счисления на единицу, всегда даст тоже самое число.

  1. Каждый разряд умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 6748;
  2. 6748 умножаем на 8 и получаем число 53984;
  3. Проделываем операцию умножения 6748 на 3. Получаем число 20244;
  4. Складываем все 3 числа, по правилам. Получаем 2570988;
  5. Ответ: 2570988.

Умножение в двоичной системе счисления

В двоичной системе умножать очень легко. Мы всегда умножаем либо на 0, либо на единицу. Главное, это внимательно складывать. Давайте попробуем.

  1. 1101 умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 1101;
  2. Проделываем эту операцию еще 2 раза;
  3. Складываем все 3 числа внимательно, помним про алфавит, не забывая про лесенку;
  4. Ответ: 1011011.

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в восьмеричной системе счисления

Есть небольшой лайфхак, как считать в восьмеричной системе. Давайте рассмотрим на примере:

  1. 5 х 4 = 20. А 20 = 2 х 8 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 2 держим в уме. Проделываем эту процедуру справа налево и получаем число 40234;
  2. При умножении на 0, получаем четыре 0;
  3. При умножении на 7, у нас получается число 55164;
  4. Теперь складываем числа и получаем – 5556634;
  5. Ответ: 5556634.

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в шестнадцатеричной системе счисления

Все как обычно, главное вспомните алфавит. Буквенные цифры, для удобства переводите в привычную для себя систему счисления, как умножите, переводите обратно в буквенное значение.

Давайте для наглядности разберем умножение на 5 числа 20А4.

  1. 5 х 4 = 20. А 20 = 16 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 1 держим в уме.
  2. А х 5 + 1 = 10 х 5 + 1 = 51. 51 = 16 х 3 + 3. Остаток от деления записываем в число – это будет 3, а 3 держим в уме.
  3. При умножении на 0, получаем 0 + 3 = 3;
  4. 2 х 5 = 10 = А; В итоге у нас получается А334; Проделываем эту процедуру с двумя другими числами;
  5. Помним правило умножения на 1;
  6. При умножении на В, у нас получается число 1670С;
  7. Теперь складываем числа и получаем – 169В974;
  8. Ответ: 169В974.

Пример для самостоятельного решения:

Деление в системах счисления

С делением все так же, как и в привычной нам десятичной системе счисления.

Деление в двоичной системе счисления

В двоично системе счисления делить гораздо приятней, чем в десятичной системе. Потому что в десятичной надо угадывать числа и постоянно умножать, чтобы у нас получилось нужное значение. А в двоичной системе на какое еще число кроме единицы необходимо умножить, чтобы получить нужное значение? Правильно, ни на какое.

  1. Сколько в 101 получится 11? Правильно, 1. 101 – 11 = 10;
  2. 100 / 11? Так же 1 раз 11 поместится в 100. 100 – 11 = 1;
  3. 11 / 11 = 1, в остатке 0;
  4. Ответ: 111.

Деление в восьмеричной системе счисления

  1. 46 меньше 53, значит делить будем 462. Надо угадать сколько раз число 53 поместиться? Угадываем 7 и записываем;
  2. 53 / 53 = 1. Записываем к ответу, в остатке у нас 0;
  3. Последний 0 мы так же записываем к ответу, так как делить больше нечего;
  4. Ответ: 710.

Деление в шестнадцатеричной системе счисления

Осталось самое страшное – это научиться делить в шестнадцатеричной системе. Да прибудет с нами сила.

  1. 4С мы должны поделить на 2В. Методом подбора определяем что умножить можем только 1 раз. 4С – 2В = 21 и единицу записываем в ответ;
  2. Также методом подбора определяем, что 2В, мы можем умножить на С. 219 – 204 = 15;
  3. Опять, методом подбора определяем, что это 8. 158 – 158 = 0, решение закончено;
  4. Ответ: 1С8.

Восьмеричная система счисления

Содержание:
Что такое восьмеричная система счисления
Как перевести целое десятичное число в восьмеричную систему счисления
Как перевести десятичную дробь в восьмеричную систему счисления
Как перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную
Как перевести дробное восьмеричное число в десятичное
Таблица значений десятичных чисел от 0 до 100 в восьмеричной системе счисления

Что такое восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления, является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в восьмеричной системе счисления используется восемь цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Для определения в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, 72318 или 45568

Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн.

Как перевести целое десятичное число в восьмеричную систему счисления

Для того, чтобы перевести целое десятичное число в восьмеричную систему счисления нужно десятичное число делить на 8 до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.

Например, переведем число 36910 в восьмеричную систему счисления:

369 : 8 = 46 остаток: 1
46 : 8 = 5 остаток: 6
5 : 8 = 0 остаток: 5

36910 = 5618

Как перевести десятичную дробь в восьмеричную систему счисления
Для того чтобы перевести десятичную дробь в восьмеричную систему счисления необходимо сначала перевести целую часть десятичной дроби в восьмеричную систему счисления, а затем дробную часть, последовательно умножать на 8, до тех пор, пока в дробной части произведения не получиться ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой. Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль. В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.

Например, переведем десятичное число 0.210 в восьмеричную систему счисления:

Переведем целую часть

010 = 08

Переведем дробную часть

0.2 · 8 = 1.6
0.6 · 8 = 4.8
0.8 · 8 = 6.4
0.4 · 8 = 3.2
0.2 · 8 = 1.6
0.6 · 8 = 4.8
0.8 · 8 = 6.4
0.4 · 8 = 3.2
0.2 · 8 = 1.6
0.6 · 8 = 4.8

0.210 = 0.14631463148

Восьмеричные дроби, как и десятичные могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной восьмеричной. В данном примере получается бесконечная периодическая восьмеричная дробь, поэтому умножение на 8 можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь 0.2 не может быть точно представлена в восьмеричной системе счисления. К примеру, дробь 1.510 может быть представлена в восьмеричной системе счисления в виде конечной 2.510 = 1.48.

Как перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную
Для того, чтобы перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо записать позиции каждой цифры в числе с права на лево начиная с нуля. Каждая позиция цифры будет степенью числа 8, так как система счисления 8-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число на 8 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.

Например, переведем число 753108 в десятичную систему счисления:

Позиция в числе43210
Число75310

753108 = 7 ⋅ 84 + 5 ⋅ 83 + 3 ⋅ 82 + 1 ⋅ 81 + 0 ⋅ 80 = 3143210

Как перевести дробное восьмеричное число в десятичное
Для того, чтобы перевести дробное восьмеричное число в десятичное, необходимо записать дробное восьмеричное число, убрав точку и затем сверху расставить индексы. Индексы в дробной части числа начинаются от -1 и продолжаются на уменьшение вправо, индексы в целой части начинаются с 0 и ставятся с права на лево по возрастанию. Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа 8, так как система счисления 8-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число на 8 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.

Например, переведем дробное восьмеричное число 12.368 в десятичное:

Позиция в числе10-1-2
Число1236

12.368 = 1 ⋅ 81 + 2 ⋅ 80 + 3 ⋅ 8-1 + 6 ⋅ 8-2 = 10.4687510

Таблица значений десятичных чисел от 0 до 100 в восьмеричной системе счисления
Значение числа в десятичной системе счисленияЗначение числа в восьмеричной системе счисления
01008
11018
21028
31038
41048
51058
61068
71078
810108
910118
1010128
1110138
1210148
1310158
1410168
1510178
1610208
1710218
1810228
1910238
2010248
2110258
2210268
2310278
2410308
2510318
2610328
2710338
2810348
2910358
3010368
3110378
3210408
3310418
3410428
3510438
3610448
3710458
3810468
3910478
4010508
4110518
4210528
4310538
4410548
4510558
4610568
4710578
4810608
4910618
5010628
Значение числа в десятичной системе счисленияЗначение числа в восьмеричной системе счисления
5110638
5210648
5310658
5410668
5510678
5610708
5710718
5810728
5910738
6010748
6110758
6210768
6310778
64101008
65101018
66101028
67101038
68101048
69101058
70101068
71101078
72101108
73101118
74101128
75101138
76101148
77101158
78101168
79101178
80101208
81101218
82101228
83101238
84101248
85101258
86101268
87101278
88101308
89101318
90101328
91101338
92101348
93101358
94101368
95101378
96101408
97101418
98101428
99101438
100101448

Перевод чисел в различных системах счисления

Перевод чисел в различных системах счисления

Перевод чисел в различных системах счисления.

Для перевода числа из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием поступают следующим образом:

а) Для перевода целой части числа его делят нацело на основание системы, фиксируя остаток. Если неполное частное не равно нулю продолжают делить его нацело. Если равно нулю остатки записываются в обратном порядке.

б) Для перевода дробной части числа ее умножают на основание системы счисления, фиксируя при этом целые части полученных произведений. Целые части в дальнейшем умножении не участвуют. Умножение производиться до получения 0 в дробной части произведения или до заданной точности вычисления.

в) Ответ записывают в виде сложения переведенной целой и переведенной дробной части числа.

 

Пример: перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

Перевести число 75,375 в двоичную систему счисления.

а) переведем в двоичную систему целую часть - 75

    75  : 2 = 37 ( 1 )

     37 : 2 = 18 ( 1 )

     18 : 2 =   9 ( 0 )

       9 : 2 =   4 ( 1 )

       4 : 2 =   2 ( 0 )

       2 : 2 =   1 ( 0 )

       1 : 2 =   0 ( 1 )

Закончив деление, запишем остатки в  обратном  порядке, и получим искомый результат:

75=10010112

 

б) переведем в двоичную систему дробную часть - 0,375

0,375

       2

0,750

       2

1,500

       2

1,000

Выделенные числа запишем в естественном порядке и получим дробное число в двоичной системе счисления:

0,375 = 0,0112

в) получив целую и дробную части числа в двоичном виде (75=10010112    и   0,375 = 0,0112 ) можем сделать вывод:

75,375=75+0,375 = 10010112+0,0112=1001011,0112, значит 75,375=1001011,0112

 

Пример: перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

 Представить десятичное число 157,23 в шестнадцатеричной системе счисления. Целая часть числа равна 157, дробная - 0,23.

а) переведем в двоичную систему целую часть - 157

157 : 16 = 9 (13 или D)

    9 : 16  = 0            ( 9 )

 Закончив деление, запишем остатки в  обратном  порядке, и получим искомый результат:

157=9D 16

а) переведем в двоичную систему дробную часть - 0,23.

Результат умножения 0,23 на 16 равен 3,68. Целая часть этого числа равна 3, значит первый коэффициент дробной части равен 3. Дробная часть равна 0,68. Снова умножим ее на основание системы: 0,68*16=10,88. Целая часть равна 10 или в шестнадцатеричной системе А. Дробная часть равна 0,88, она опять умножается на 16 и так далее.

Выпишем весь процесс:

0,23 * 16 =   3,68  (  3 )

0,68 * 16 = 10,88  ( А )

0,88 * 16 = 14,08  ( Е )

0,08 * 16 =   1,28  ( 1 )

0,28 * 16 =   4,48  ( 4 )

0,48 * 16 =   7,68  ( 7 )

0,68 * 16 = 10,88  ( А )

0,88 * 16 = 14,08  ( Е )

0,08 * 16 =   1,28  ( 1 )

0,28 * 16 =   4,48  ( 4 )

0,48 * 16 =   7,68  ( 7 )

0,68 * 16 = 10,88  ( А )

0,88 * 16 = 14,08  ( Е )

Замечаем, что последовательность чисел 0,68; 0,88; 0,08; 0,28; 0,48 повторилась уже 2 раза и начинается в третий раз. Получается бесконечная шестнадцатеричная дробь в которой период          (бесконечно повторяемая последовательность цифр) заключен в скобки:

  157,23=9D,3(АЕ147)16

 

Для перевода числа в десятичную систему счисления из системы счисления с другим основанием каждый коэффициент переводимого числа умножается на основание системы в степени соответствующей этому коэффициенту и полученные результаты складываются.

 

Пример: перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления

Перевести число 1001011,0112  в десятичную систему счисления

1001011,0112 = 1*26+0*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2+1*2-3 =64+8+2+1+0,25+0,125=75,375

 

Двоичная система проста, так как использует две цифры, но громоздка. В десятичной хранить числа в памяти возможно, но сложен перевод из десятичной в двоичную и обратно и занимает много времени. Необходима система счисления компактнее двоичной, но с более простым переводом.

23 = 8                      0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

 

Для перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо разбить данное двоичное число вправо и влево от запятой на триада  ( три цифры ) и представить каждую триаду соответствующим восьмеричным кодом. При невозможности разбиения на триады допускается добавление нулей слева в целой записи числа и справа в дробной части числа. Для обратного перевода каждую цифру восьмеричного числа представляют соответствующей триадой двоичного кода.

Десятичная система счисления

Двоичная система счисления

Восьмеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления

Триады (0-7)

Тетрады (0-15)

0

000

0000

00

0

1

001

0001

01

1

2

010

0010

02

2

3

011

0011

03

3

4

100

0100

04

4

5

101

0101

05

5

6

110

0110

06

6

7

111

0111

07

7

8

 

1000

10

8

9

 

1001

11

9

10

 

1010

12

A

11

 

1011

13

B

12

 

1100

14

C

13

 

1101

15

D

14

 

1110

16

E

15

 

1111

17

F

16

10000

20

10

 

Пример: перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

Переведем число 1001011,0112 в восьмеричную систему счисления. Разобьем данное число на триады, приписав слева недостающие нули:

001 001 011 , 011

1     1     3   ,   3

и заменим каждую триаду соответствующим восьмеричным кодом (см. таблицу).  Можем сделать вывод:

1001011,0112 =  113,38

 

Пример: перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления.

Переведем число 347,258 в двоичную систему счисления. Каждую цифру восьмеричного числа заменим соответствующей триадой (см. таблицу).

3     4    7    ,   2     5

011 100 111 , 010 101

Запишем ответ, удалив нули слева в записи числа:

347,258 = 11100111,0101012

 

Восьмеричная система компактнее двоичной и с более простым переводом чисел, однако, современные требования к ЭВМ заставили создавать шестнадцатеричную систему счисления.

24 = 16          1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Правило перевода из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:  разбить двоичное число вправо и влево от запятой на тетрады ( по 4 цифры ) и представить каждую тетраду соответствующим шестнадцатеричным кодом. При невозможности разбиения на тетрады допускается добавление нулей  слева в целой записи числа и справа в дробной части числа. Для обратного перевода каждую цифру шестнадцатеричного числа представляют тетрадой двоичного кода.

 

Пример: перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

Переведем число 1001011,0112 в шестнадцатеричную систему счисления. Разобьем данное число на тетрады, приписав слева в целой части, и справа в дробной части недостающие нули:

0100  1011, 0110

4       В   ,    6

и заменим каждую тетраду соответствующим шестнадцатеричным кодом (см. таблицу).  Можем сделать вывод:

1001011,0112 =  4В,616

 

Пример: перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления.

Переведем число А4F,C516 в двоичную систему счисления. Каждую цифру шестнадцатеричного числа заменим соответствующей тетрадой (см. таблицу).

A      4       F      ,    C      5

1010  0100  1111 ,  1100  0101

Запишем ответ, удалив нули слева в записи числа:

A4F,C516 = 101001001111,110001012

В МЕНЮ

 

 

 

Используются технологии uCoz

Системы счисления

Основные понятия систем счисления

 

Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ; ;  и т. д.

Различают два типа систем счисления:

 позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

 непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

где S - основание системы счисления;

 - цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n - количество разрядов числа.

Пример. Число  запишется в форме многочлена следующим образом:

Виды систем счисления

Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.

 

Таблица 2. Запись чисел в римской системе счисления

1

2

3

4

5

I

II

III

IV

V

6

7

8

9

10

VI

VII

VIII

IX

X

11

13

18

19

22

XI

XIII

XVIII

XIX

XXII

34

39

40

60

99

XXXIV

XXXIX

XL

LX

XCIX

200

438

649

999

1207

CC

CDXXXVIII

DCXLIX

CMXCIX

MCCVII

2045

3555

3678

3900

3999

MMXLV

MMMDLV

MMMDCLXXVIII

MMMCM

MMMCMXCIX

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

 

 

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке - наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание - число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры - 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII - ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы - триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки - точки и тире, может передать практически любой текст.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.

 

Таблица 3. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

1

001

1

1

2

010

2

2

3

011

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

 

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

 

Таблица 4. Степени числа 2

 

n (степень)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

 

 

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

 

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

 

n (степень)

0

1

2

3

4

5

6

1

8

64

512

4096

32768

262144

 

 

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

 

n (степень)

0

1

2

3

4

5

6

1

16

256

4096

65536

1048576

16777216

 

 

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

 

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

 

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число  перевести в восьмеричную систему счисления.

Пример 2. Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Задача №1. Перевод из одной системы в другую, сравнение чисел в различных системах.

Автор материалов - Лада Борисовна Есакова.

Системы счисления и их разновидности.

Система счисления – это способ представления, записи чисел с помощью письменных знаков. Количество этих самых знаков (цифр), используемых для записи чисел, называется основанием системы счисления.

Различных систем счисления у разных народов существовало великое множество. Но все их можно поделить на непозиционные и позиционные. Позиционные системы в свою очередь подразделяются на однородные и смешанные.

1. Непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления число, обозначаемое цифрой, не зависит от положения цифры в записи числа.

Самым простым примером непозиционной системы счисления является единичная (унарная) система счисления. Это запись числа с помощью повторения зарубок на дощечке или узелков на веревке. Все зарубки, узелки или другие «цифры» абсолютно одинаковы, а потому их порядок не имеет значения, число получается простым суммированием количества символов.

Унарной системой счисления до сих пор пользуются маленькие дети, показывая количество на пальцах.

Еще одной используемой до сих пор почти непозиционной системой счисления является Римская:







Она названа почти непозиционной, потому что в Римской системе, кроме обычного сложения цифр в числе, действует правило: если младшая цифра стоит слева от старшей, она вычитается из суммы.
Т.е. число , а число

Непозиционных систем счисления известно очень много, но мы завершим на этом их рассмотрение. Использование непозиционных систем неудобно, а для очень больших чисел практически невозможно, и к тому же нет возможности записать дроби.

2. Позиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа.
Самой популярной позиционной системой является, конечно же, десятичная.

Мы видим, что числа 15 и 51 имеют совсем разные значения, хотя состоят из одних и тех же цифр. Разница обусловлена положением цифры в числе.

Но десятичная система ничем не лучше и не хуже другой позиционной системы, она просто привычная. Число 10 выбрано основанием по количеству пальцев на двух руках (для удобства счета). Однако, в Китае популярной была пятиречная система счисления (по количеству пальцев на одной руке), а двадцатиричная система использовалась у Ацтеков, Майя и некоторых народов Африки (по количеству пальцев на ногах и руках).

Еще одной известной позиционной системой счисления является двенадцатиричная (считали фаланги пальцев (кроме большого) на руке. Элементы двенадцатиричной системы сохранились в Англии: 1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов.

Ну и, наконец, незаменимая в наш компьютерный век двоичная система. Почему именно двоичная? Да потому что у компьютера только 2 «пальца», точнее два состояния: «есть ток», «нет тока».

2.1. Однородные системы счисления.

В однородной системе в каждой позиции числа может находиться любая цифра. Примером может быть запись числа в любой позиционной системе счисления (десятичной, двоичной и пр.). Т.е. когда мы пишем число в десятичной системе, в любой позиции мы можем написать цифру от 0 до 9.

2.2. Смешанные системы счисления.

В смешанной системе счисления набор используемых цифр может отличаться в зависимости от позиции. В качестве примера удобно рассмотреть запись времени в формате ЧЧ.ММ.СС (часы.минуты.секунды). В качестве часов может быть использовано число от 00 до 23, в качестве минут и секунд – число от 00 до 59.

Системы счисления. Перевод из одной системы в другую.

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 10 3
4 100 11 4
5 101 12 10
6 110 20 11
7 111 21 12
8 1000 22 13
9 1001 100 14
10 1010 101 20
11 1011 102 21
12 1100 110 22
13 1101 111 23
14 1110 112 24
15 1111 120 30

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10
11
12 10
13 11
14 12
15 13

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:



Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.


Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.


4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7

Т.е.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011 B
1100 C
1101 D
1110 E
1111 F

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:



Десятичные дроби и смешанные числа в разных системах счисления.


Автор - Лада Борисовна Есакова.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую обычно не вызывает проблем. А вот необходимость перевести десятичную дробь или смешанное число (число с целой и дробной частью) из системы в систему часто ставит в тупик даже сильных учеников.

1. Перевод смешанного числа в десятичную систему счисления из любой другой.

Для перевода смешанного числа в десятичную систему из любой другой следует пронумеровать разряды числа, начиная с нуля, справа налево от младшего целого разряда. Разряды дробной части нумеруются слева направо от -1 в убывающем порядке. Теперь представим число в виде суммы произведений его цифр на основание системы в степени разряда числа и ответ готов.

Пример 1.

Переведите число 105,4 из восьмеричной системы в десятичную.

Решение:

Пронумеруем целые разряды числа справа налево от 0, дробные – слева направо от -1 :

Посчитаем сумму произведений цифр числа на 8 (основание системы) в степени разряда числа:

Ответ:

2. Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в любую другую.

Для перевода десятичной дроби из десятичной системы в любую другую следует умножать дробь, а затем дробные части произведений, на основание новой системы пока дробная часть не станет равной 0 или до достижения указанной точности. Затем целые части выписать, начиная с первой.

Пример 2

Переведите десятичное число 0,816 в двоичную систему с точностью до сотых.

Решение:

Умножаем дробь 0,816, а затем дробную часть произведения (0,632) на 2 и выписываем целые части, начиная с первой:

Ответ:

Пример 3.

Переведите десятичное число 0,8125 в восьмеричную систему.

Решение:

Умножаем дробь 0,8125, а затем дробную часть произведения (0,5) на 8 и выписываем целые части, начиная с первой:

Ответ:

3. Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Если необходимо перевести смешанное число из десятичной системы в любую другую, следует перевести целую и дробную части, а затем записать, разделив десятичной запятой.

Пример 4.

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 14,125?

Решение:

Переведем целую часть числа в двоичную систему:

Переведем дробную часть числа в двоичную систему:

Соединим целую и дробную части:


14,12510 = 1110,0012

Количество единиц равно 4.

Ответ: 4

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Системы счисления - презентация онлайн

Тема
«Системы счисления»

2. Введение

Современный человек в повседневной жизни
постоянно сталкивается с числами и цифрами - они
с нами везде. Различные системы счисления
используются всегда, когда появляется потребность
в числовых расчётах, начиная с вычислений
учениками младших классов, выполняемых
карандашом на бумаге, заканчивая вычислениями,
выполняемыми на суперкомпьютерах.

3. История систем счисления

Система счисления – это определённый способ
представления чисел и соответствующие ему правила
действия над ними.
Системы счисления
Позиционные
Непозиционные
Цель создания системы счисления- выработка
наиболее удобного способа записи количественной
информации.

4. Древние системы счисления:

5. Позиционные и непозиционные системы счисления

Непозиционные
системы
Позиционные
системы
От положения цифры в
записи числа не зависит
величина, которую она
обозначает.
Величина, обозначаемая
цифрой в записи числа,
зависит от ее позиции.
Основание – количество
используемых цифр.
Позиция – место каждой
цифры.

6. Запись числа в позиционной системе счисления

Любое целое число в позиционной системе можно
записать в форме многочлена:
где - основание системы счисления, – цифры числа,
записанного в данной системе счисления, - количество
разрядов числа.
Так, например число 629310запишется в форме
многочлена следующим образом:
629310=6·103 + 2·102 + 9·101 + 3·100

7. Примеры позиционных систем счисления:

Двоичная
Система счисления с основанием 2,
используются два символа - 0 и 1.
Восьмеричная
Система счисления с основанием 8,
используются цифры от 0 до 7.
Десятичная
Система с основанием 10, наиболее
распространённая система счисления в мире.
Двенадцатеричная
Система с основанием 12. Используются цифры
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B.
Шестнадцатеричная С основанием 16, используются цифры от 0 до 9
и латинские буквы от A до F для обозначения
цифр от 10 до 15.
Шестидесятеричная
Система с основанием 60, используется в
измерении углов и, в частности, долготы и
широты.

8. История двоичной системы счисления

Двоичная система счисления была придумана
математиками и философами ещё до появления компьютеров
(XVII — XIX вв.).
Пропагандистом двоичной системы был знаменитый Г.В.
Лейбниц. Он отмечал особую простоту алгоритмов
арифметических действий в двоичной арифметике в
сравнении с другими системами и придавал ей
определенный философский смысл.
В 1936 — 1938 годах американский инженер и математик
Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной
системы при конструировании электронных схем.

9. Двоичная система счисления

(бинарная
система счисления, binary) — позиционная
система счисления с основанием 2.
Неудобством этой системы счисления является
необходимость перевода исходных данных из десятичной
системы в двоичную при вводе их в машину и обратного
перевода из двоичной в десятичную при выводе
результатов вычислений.
Главное достоинство двоичной системы — простота
алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления.

10. Сложение, вычитание, умножение и деление в двоичной системе счисления

Сложение Вычитание Умножение Деление
0 + 0 = 0;
0 + 1 = 1;
1 + 0 = 1;
1 + 1 = 10.
0 - 0 = 0;
1 - 0 = 1;
1 - 1 = 0;
10 - 1 = 1.
0 · 1 = 0;
1 · 1 = 1.
0 / 1 = 0;
1 / 1 = 1.

11. Двоичное кодирование в компьютере

В конце ХХ века, века компьютеризации,
человечество пользуется двоичной системой
ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в
двоичном виде.
В современные компьютеры мы можем вводить
текстовую информацию, числовые значения, а также
графическую и звуковую информацию. Количество
информации, хранящейся в ЭВМ, измеряется ее
«длиной» (или «объемом»), которая выражается в битах
(от английского binary digit – двоичная цифра).

12. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

13. Заключение

Высшим достижением древней арифметики
является открытие позиционного принципа
представления чисел.
Нужно признать важность не только самой
распространенной системы, которой мы пользуемся
ежедневно. Но и каждой по отдельности. Ведь в
разных областях используются разные системы
счисления, со своими особенностями и
характерными свойствами.
Десятичная
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
1
001
1
1
2
010
2
2
3
011
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10

15. Перевод двоичного числа в десятичное

Перевод чисел
Для перевода двоичного числа в десятичное
необходимо его записать в виде многочлена,
состоящего из произведений цифр числа и
соответствующей степени числа 2, и вычислить по
правилам десятичной арифметики:

16. Перевод восьмеричного числа в десятичное

Перевод чисел
Для перевода восьмеричного числа в
десятичное необходимо его записать в виде
многочлена, состоящего из произведений цифр
числа и соответствующей степени числа 8, и
вычислить по правилам десятичной
арифметики:

17. Перевод шестнадцатеричного числа в десятичное

Перевод чисел
Для перевода шестнадцатеричного числа в
десятичное необходимо его записать в виде
многочлена, состоящего из произведений цифр
числа и соответствующей степени числа 16, и
вычислить по правилам десятичной
арифметики:

18. Перевод десятичного числа в двоичную систему

Перевод чисел
Для перевода десятичного числа в двоичную
систему его необходимо последовательно делить на 2 до
тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный
1. Число в двоичной системе записывается как
последовательность последнего результата деления и
остатков от деления в обратном порядке.
Пример: Число
перевести в двоичную систему
счисления:

19. Перевод десятичного числа в восьмеричную систему

Перевод чисел
Для перевода десятичного числа в восьмеричную
систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех
пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7.
Число в восьмеричной системе записывается как
последовательность цифр последнего результата деления и
остатков от деления в обратном порядке.
Пример: Число
перевести в восьмеричную систему
счисления:

20. Перевод десятичного числа в шестнадцатеричную систему

Перевод чисел
Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную
систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех
пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число
в шестнадцатеричной системе записывается как
последовательность цифр последнего результата деления и
остатков от деления в обратном порядке.
Пример: Число
перевести в шестнадцатеричную
систему счисления:

21. Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную

Перевод чисел
Чтобы перевести число из двоичной системы в
восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр),
начиная с младшего разряда, в случае необходимости
дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить
соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе
необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей:
2-ная
000
001
010
011
100
101
110
111
8-ная
0
1
2
3
4
5
6
7
Пример: Число
систему счисления:
перевести в восьмеричную

22. Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Перевод чисел
Чтобы перевести число из двоичной системы в
шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады
(четверки цифр).
Двоично-шестнадцатеричная таблица:
2-ная
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
16-ная
0
1
2
3
4
5
6
7
2-ная
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
16-ная
8
9
A
B
C
D
E
F
Пример: Число
перевести в
шестнадцатеричную систему счисления:

23. Перевод восьмеричного числа в двоичное

Перевод чисел
Для перевода восьмеричного числа в двоичное
необходимо каждую цифру заменить эквивалентной
ей двоичной триадой.
2-ная
000
001
010
011
100
101
110
111
8-ная
0
1
2
3
4
5
6
7
Пример: Число
счисления:
перевести в двоичную систему

24. Перевод шестнадцатеричного числа в двоичное

Перевод чисел
Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное
необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей
двоичной тетрадой.
2-ная
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
16-ная 0
1
2
3
4
5
6
7
2-ная
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
9
A
B
C
D
E
F
1000
16-ная 8
Пример: Число
счисления:
перевести в двоичную систему

25. Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно

Перевод чисел
При переходе из восьмеричной системы счисления
в шестнадцатеричную и обратно, необходим
промежуточный перевод чисел в двоичную систему.
Пример 1: Число
перевести в восьмеричную
систему счисления:
Пример 2: Число
перевести в
шестнадцатеричную систему счисления:

26. Единичная система

Древние системы счисления
В древние времена, когда появилась потребность в записи
чисел, количество предметов, изображалось нанесением
черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности.
Археологами найдены такие «записи» при раскопках
культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10–11
тысяч лет до н.э.).
В такой системе применялся только один вид знаков –
палочка. Каждое число обозначалось с помощью строки,
составленной из палочек, количество которых равнялось
обозначаемому числу.

Решенные примеры с восьмеричным делением

Ключевые вопросы:


Примеры восьмеричного деления:

Чтобы решить примеры деления, вы должны знать, как выполнять умножение восьмеричных чисел. Решу примеры по каждому случаю. Первый случай, когда делимое и делитель являются целыми числами. Второй случай, когда делимое имеет восьмеричную точку, а делитель - целое число. Третий случай, когда и делимое, и делитель имеют числа с плавающей запятой. Вы можете проверить свои результаты с помощью этого онлайн-конвертера.

Пример # 01: 6573) 8 ÷ 16) 8

Сначала делаем таблицу на 16, и она кратна.



Десятичный

Восьмеричный

16 * 1

14

16

16 * 2

32

34

16 * 3

48

52

16 * 4

64

70

16 * 5

80

106

16 * 6

96

124

366.4

16 ⟌6573

52

137

124

133

124

70

70

XX

Ответ: 366,4) 8


Пример # 02: 457.43) 8 ÷ 7) 8

Сначала составьте таблицу на 7, и она кратна

.

Десятичный

Восьмеричный

7 * 1

7

7

7 * 2

14

16

7 * 3

21

25

7 * 4

28

34

7 * 5

35

43

7 * 6

42

52

7 * 7

49

61

53.27

7 457,43 фунтов стерлингов

43

27

25

24

16

63

61

2

Ответ: 53,27) 8


Пример # 03: 737.72) 8 ÷ 1.2) 8

Сдвиг восьмеричной точки упрощает задачу. Согласно математическому правилу, сдвигающему восьмеричную точку числителя на одну позицию вверх, вам также необходимо сдвинуть восьмеричную точку знаменателя на одну позицию.

7377.2) 8 ÷ 12) 8

После сдвига восьмеричной точки делитель / знаменатель освобождается от восьмеричной точки.

Составим таблицу на 12, и она кратна.


Десятичный

Восьмеричный

12 * 1

10

12

12 * 2

22

24

12 * 3

34

36

12 * 4

48

50

12 * 5

60

62

12 * 6

72

74

12 * 7

84

106

577.73

12 ⟌7377,2

62

117

106

117

106

112

106

40

36

2

Ответ: 577,73) 8

Рекомендованных книг:
Моя любимая книга моего любимого автора. вы можете получить все концепции цифровой электроники в этой книге.множество примеров, иллюстраций, упражнений, приложений. Эта книга очень проста для понимания от начального до среднего уровня.

Разделение восьмеричных чисел (основание 8) (A)

Добро пожаловать на страницу The Dividing Octal Numbers (Base 8) (A) Math Worksheet со страницы рабочих листов для деления на Math-Drills.com. Этот математический лист был создан 18.02.2016 и был просмотрен 7 раз на этой неделе и 7 раз в этом месяце.Его можно распечатать, загрузить или сохранить и использовать в вашем классе, домашней школе или другой образовательной среде, чтобы помочь кому-то выучить математику.

Учителя могут использовать рабочие листы по математике в качестве тестов, практических заданий или учебных пособий (например, при групповой работе, на строительных лесах или в учебном центре). Родители могут работать со своими детьми, чтобы дать им дополнительную практику, помочь им освоить новые математические навыки или сохранить свои навыки свежими во время школьных каникул. Учащиеся могут использовать рабочие листы по математике для овладения математическими навыками на практике, в учебной группе или для взаимного обучения.

Используйте кнопки ниже, чтобы распечатать, открыть или загрузить PDF-версию рабочего листа по разделению восьмеричных чисел (основание 8) (A) . Размер файла PDF составляет 42602 байта. Показаны изображения для предварительного просмотра первой и второй (если есть одна) страниц. Если существует больше версий этого рабочего листа, другие версии будут доступны под изображениями для предварительного просмотра. Для более того, используйте строку поиска для поиска некоторых или всех этих ключевых слов: математика, число, системы, восьмеричное, деление .

Кнопка Печать запускает диалоговое окно печати вашего браузера. Кнопка Открыть откроет весь PDF-файл в новой вкладке вашего браузера. Кнопка Teacher инициирует загрузку полного файла PDF, включая вопросы и ответы (если таковые имеются). Если присутствует кнопка Student , она инициирует загрузку только страниц с вопросами. Дополнительные параметры могут быть доступны, щелкнув кнопку правой кнопкой мыши (или удерживая нажатой кнопку на сенсорном экране).Не вижу кнопок!

Разделение восьмеричных чисел (база 8) (A) Рабочий лист по математике, страница 1 Разделение восьмеричных чисел (база 8) (A) Рабочий лист по математике, страница 2

Другие версии:

Другие рабочие листы отдела

Основания чисел: восьмеричные и шестнадцатеричные

Purplemath

восьмеричный

Старая компьютерная система счисления - восьмеричная или восьмеричная.Цифры в восьмеричной математике: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Значение «восемь» записывается как «1 восемь и 0 единиц», или 10 8 .

С технической точки зрения существует очень много различных компьютерных протоколов для восьмеричного числа, но мы будем использовать простую математическую систему.

MathHelp.com

Несколько племен Нового Света использовали систему нумерации по основанию 8; они считали, используя восемь промежутков между пальцами, а не сами десять пальцев. Синие туземцы в фильме «Аватар» использовали восьмеричное число, потому что на их руках было всего четыре пальца.

Давайте копаем прямо:

  • Преобразует 357
    10 в соответствующее восьмеричное число.

Я сделаю обычное последовательное деление, на этот раз делю на 8 на каждом шаге:

Как только я добрался до «5» сверху, мне пришлось остановиться, потому что 8 не делится на 5.

Тогда соответствующее восьмеричное число будет 545 8 .


  • Преобразует 545
    8 в соответствующее десятичное число.

Я буду следовать обычной процедуре, перечисляя цифры в одной строке, а затем отсчитывая цифры справа в следующей строке, начиная с нуля:

Затем сделаю обычное сложение и умножение:

5 × 8 2 + 4 × 8 1 + 5 × 8 0

= 5 × 64 + 4 × 8 + 5 × 1

= 320 + 32 + 5

= 357

Тогда соответствующее десятичное число будет 357 10 .


Шестнадцатеричный

Если вы работаете с компьютерным программированием или компьютерной инженерией (или компьютерной графикой, о которой мы поговорим позже), вы столкнетесь с основанием шестнадцати, или шестнадцатеричной, математикой.

Как упоминалось ранее, десятичная математика не имеет одной единственной цифры, представляющей значение «десять». Вместо этого мы используем две цифры, 1 и 0: «10».Но в шестнадцатеричной математике столбцы означают число, кратное шестнадцати! То есть в первом столбце указано, сколько у вас единиц, во втором столбце указано, сколько шестнадцати, в третьем столбце указано, сколько двести пятьдесят шесть (шестнадцать раз по шестнадцать) и так далее.

В базе десять у нас были цифры от 0 до 9. В базе восемь у нас были цифры от 0 до 7. В базе 4 у нас были цифры от 0 до 3. В любой базовой системе у вас будут цифры от 0 до единицы меньше чем -ваша-база.Это означает, что в шестнадцатеричном формате нам нужны «цифры» от 0 до 15. Для этого нам потребуются отдельные одиночные цифры, обозначающие значения «десять», «одиннадцать», «двенадцать», «тринадцать», «четырнадцать» и «пятнадцать». Но мы этого не делаем. Поэтому вместо этого мы используем буквы. То есть, считая в шестнадцатеричном формате, шестнадцать «цифр» равны:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Другими словами, A - это «десять» в «обычных» числах, B - «одиннадцать», C - «двенадцать», D - «тринадцать», E - «четырнадцать» и «F» - пятнадцать.Именно это использование букв для цифр делает шестнадцатеричные числа поначалу такими странными. Но преобразования работают обычным образом.

  • Преобразует 357
    10 в соответствующее шестнадцатеричное число.

Здесь я буду делить несколько раз на 16, отслеживая остатки по ходу дела. (Вы можете использовать для этого бумагу для заметок.) ​​

Считывая цифры, начиная сверху и заканчивая правой стороной, я вижу, что:


  • Преобразует 165
    16 в соответствующее десятичное число.

Перечислите цифры и отсчитайте их справа, начиная с нуля:

Помните, что каждая цифра в шестнадцатеричном числе представляет, сколько копий вам нужно от этой шестнадцатой степени, и преобразуйте это число в десятичное:

1 × 16 2 + 6 × 16 1 + 5 × 16 0

= 1 × 256 + 6 × 16 + 5 × 1

= 256 + 96 + 5

= 357

Тогда 165 16 = 357 10 .


  • Преобразует 63933
    10 в соответствующее шестнадцатеричное число.

Я буду делить несколько раз на 16, отслеживая остатки:

Из последовательного деления, приведенного выше, я вижу, что шестнадцатеричное число будет иметь «пятнадцать» в столбце с шестнадцатью квадратами, «девять» в столбце с шестнадцатью квадратами, «одиннадцать» в столбце с шестнадцатью квадратами и « тринадцать дюймов в колонке единиц.Но я не могу записать шестнадцатеричное число как «15», потому что это будет сбивать с толку и неточно. Поэтому я буду использовать буквы для «цифр», которые в противном случае были бы слишком большими, позволяя «F» заменить «пятнадцать», «B» заменить «одиннадцать», а «D» заменить «тринадцать».

Тогда 63933 10 = F9BD 16 .


  • Преобразовать F9BD в десятичную систему счисления.

Я перечислю цифры и отсчитаю их справа, начиная с нуля:

На самом деле, вероятно, будет полезно повторить это, преобразовав буквенные шестнадцатеричные «цифры» в соответствующие им «обычные» десятичные значения:

Теперь сделаю умножение и сложение:

15 × 16 3 + 9 × 16 2 + 11 × 16 1 + 13 × 16 0

= 15 × 4096 + 9 × 256 + 11 × 16 + 13 × 1

= 61440 + 2304 + 176 + 13

= 63933

Как и ожидалось, F9BD 16 = 63933 10 .


Компьютерная графика

Если вы работаете с веб-страницами и графическими программами, вам может быть полезно преобразовать значения RGB (для изображения в графической программе) в шестнадцатеричные значения (для соответствующего цвета фона на веб-странице).

Графические программы работают со значениями RGB (красный-зеленый-синий) для цветов. Каждый из этих компонентов данного цвета имеет значения от 0 до 255.Эти значения могут быть преобразованы в шестнадцатеричные значения от 00 до FF. Если вы перечислите компоненты RGB цвета в виде строки из трех чисел, вы можете получить, скажем, R: 204, G: 51, B: 255, что переводится в светло-пурпурный # CC33FF в кодировке HTML. Обратите внимание, что 204 10 = CC 16 , 51 10 = 33 16 и 255 10 = FF 16 .

Партнер

С другой стороны, если у вас есть код для # 9, это будет преобразовано в темно-красноватый R: 153, G: 0, B: 51 в вашей графической программе.То есть, чтобы преобразовать вашу графическую программу в кодировку веб-страницы, используйте шестнадцатеричное число не как одно шестизначное число, а как три двузначных числа, и преобразуйте эти пары цифр в соответствующие значения RGB.

Для обсуждения истории «безопасных для Интернета» цветов, в том числе того, почему они включают только шестнадцатеричные эквиваленты 0, 51, 102, 153, 204 и 255, смотрите здесь. Для демонстрации различных цветов текста и фона в HTML посмотрите здесь.


URL: https://www.purplemath.com/modules/numbbase3.htm

Преобразователь десятичной системы в восьмеричную

Как преобразовать десятичное число в восьмеричное?

Чтобы преобразовать десятичное число в восьмеричное (с основанием 10 в основание 8), разделите десятичное число на 8 несколько раз, пока частное не станет 0, и получите остаток для каждой итерации. Вот шаги для преобразования десятичного числа в восьмеричное:

1 - разделите десятичное число на 8.

2 - Оставшееся отложите в сторону.

3 - Получите целочисленное частное для следующей итерации и повторяйте, пока не получите значение частного, равное 0.

4 - В конце измените порядок остатков в обратном порядке, чтобы получить восьмеричное число.

Например, это шаги для преобразования десятичного числа « 127 » в восьмеричное:

1–127 / 8

2 - Частное (15), остаток (7)

3–15 / 8

4 - Частное (1), остаток (7)

5–1 / 8

6 - Частное (0), остаток (1)

7 - Обратить остатки 7, 7, 1

8–127 = 177

Пожалуйста, посетите конвертер оснований для преобразования между всеми основами чисел.

Как преобразовать восьмеричное число в десятичное?

Чтобы преобразовать восьмеричное число в десятичное, повторите шаги, описанные ниже, для всех цифр от последнего восьмеричного символа справа до первого восьмеричного символа слева.

1 - разделить восьмеричные цифры.

2 - Умножьте восьмеричную цифру на 8-ю степень расположения цифры. Степень начинается с 0 для последней восьмеричной цифры. Увеличивайте эту степень на 1 для каждой следующей цифры по мере продвижения влево.

3 - Суммируйте все множители, чтобы найти десятичный эквивалент целого восьмеричного числа.

Например, вот шаги для преобразования восьмеричного числа « 246 » в десятичное:

246 = (2 * 8 2 ) + (4 * 8 1 ) + (6 * 8 0 )

246 = 128 + 32 + 6

246 = 166

Что такое десятичная система счисления?

Десятичная система счисления - это десятичная система счисления, в которой используются 10 десятичных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) для представления значений от «0» до «9». .

Чтобы преобразовать десятичные числа в двоичные, посетите десятичный преобразователь двоичных чисел.

Что такое восьмеричная система счисления?

Восьмеричная система - это система счисления с основанием 8, которая использует 8 символов (0,1,2,3,4,5,6,7) для представления значений от 0 до 7.

Восьмеричная система счисления в основном используется в вычислениях для удобного представления двоичных чисел. Каждый из символов восьмеричных чисел представляет собой три двоичных разряда.

Чтобы преобразовать восьмеричные числа в двоичные, перейдите на страницу "Восьмеричный преобразователь двоичных чисел".

Восьмеричный калькулятор

| Сложить, вычесть, умножить, разделить восьмеричное число.с

Выполните следующие простые шаги, чтобы выполнить арифметические операции с любыми двумя восьмеричными числами. Вы можете получить представление о том, как складывать, вычитать, умножать и делить восьмеричные числа в следующих разделах.

  1. Дополнение:
  • Возьмем любые два восьмеричных числа.
  • Восьмеричные числа от 0 до 7.
  • Напишите числа по порядку.
  • Выполните операцию сложения между двумя числами от места юнитов к левому боксу.
  • Например, сложение 1 + 7 равно 10, что означает 1 как перенос и 0 в месте ответа.
  • Сложение остальных чисел, которое дает результат меньше 7, остается таким же.

Пример вопроса: Что такое 12 + 37?

Раствор:

& nbsp & nbsp1

& nbsp1 2 + 3 7 = 4 1 12 + 37 = 41
  • Вычитание:
    • Напишите два числа по очереди в разных строках.
    • Если число 1 меньше числа 2, то заимствовать из следующего числа.
    • Вычтите числа.
    • Добавить результат в следующую строку.

    Пример вопроса: Решить 321-46?

    Раствор:

    & nbsp3 2 1

    - 0 4 6

    = 2 5 3

    321 - 46 = 2 5 3

  • Умножение:
    • Возьмите любые два числа и запишите их одно за другим.
    • Умножьте первую цифру второго числа на все цифры первого числа.
    • Продолжайте умножение всех цифр второго числа, как в предыдущем шаге, пока не останется ни одной.
    • Добавьте ноль в первом месте второй строки.
    • Произведите сложение полученных чисел, чтобы получить результат.

    Пример вопроса: решить 32 x 25?

    Раствор:

    & nbsp & nbsp & nbsp 3 2

    & nbsp & nbsp x 2 5

    & nbsp 2 0 2

    + 6 4 0

    = 1 0 4 2

    32 х 25 = 1 0 4 2

  • Отдел:
    • Возьмите делитель и дивиденд.
    • Запишите таблицу делителей.
    • Проверьте, чтобы найти точный дивиденд в таблице делителей.
    • Если нет, проверьте, какое число в таблице делителей находится рядом с делимым.
    • Укажите число умножения при частном и полученное число при делении.
    • Вычтите эти числа.
    • Продолжайте процесс до тех пор, пока ничего не останется или число не станет меньше делителя.
    • В качестве ответа укажите частное.

    Пример вопроса: найти 3443/7?

    Раствор:

    7 таблица

    7 × 1 = 7

    7 × 2 = 16

    7 × 3 = 25

    7 × 4 = 34

    7 × 5 = 43

    7 × 6 = 52

    7 × 7 = 61

    7 × 10 = 70

    и nbsp7) 3 4 4 3 (405

    & nbsp -3 4 ↓ ↓

    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4 3

    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp - 4 3

    0

    3443/7 = 405

    Воспользуйтесь бесплатными онлайн-калькуляторами для поиска сложения, вычитания, деления, умножения восьмеричных чисел и многого другого на нашем веб-сайте Onlinecalculator.гуру наряду с другими математическими концепциями.

    Десятичное число в восьмеричное - значение, шаги преобразования десятичного числа в восьмеричное, десятичное число в восьмеричное с десятичным числом, примеры

    Преобразование десятичной системы в восьмеричную выполняется с учетом системы счисления. Система счисления - это форма представления чисел в виде цифр или символов. Существует 4 типа систем счисления - восьмеричная, двоичная, десятичная и шестнадцатеричная. Преобразование десятичного числа в восьмеричное можно выполнить путем деления десятичного числа на восьмеричное число с основанием.Давайте узнаем, как это сделать.

    Что такое преобразование дециамля в восьмеричное число?

    Преобразование десятичного числа в восьмеричное происходит, когда нам нужно найти эквивалент любого числа. В этом случае нам нужно преобразовать десятичное число в его эквивалентное восьмеричное число. В системе счисления каждый из типов имеет собственное базовое число, т.е. октальное число имеет базовое число 8, а десятичное число имеет базовое число 10. Чтобы преобразовать десятичное число в восьмеричное, нам нужно разделить десятичное число на восьмеричное. базовое число 8 и запишите полученный остаток в обратном порядке, чтобы получить эквивалентное восьмеричное число.Перед преобразованием давайте узнаем о восьмеричной системе счисления и десятичной системе счисления.

    Десятичная система счисления

    Числа с базовым числом 10 и десятью цифрами: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9 называются десятичной системой счисления. Десятичная система счисления используется для представления чисел в реальной жизни. Если какое-либо число представлено без основания, это означает, что его основание равно 10. Десятичные числа представлены как \ ((a) _ {10} \). Вот несколько примеров: \ (23_ {10}, 132_ {10}, 257_ {10} \)

    Восьмеричная система счисления

    В восьмеричной системе счисления используются восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6 и 7 с основанием 8.Преимущество этой системы состоит в том, что она имеет меньшее количество цифр по сравнению с несколькими другими системами, следовательно, будет меньше ошибок в вычислениях. Такие числа, как 8 и 9, не входят в восьмеричную систему счисления. Восьмеричные числа представлены как \ ((a) _ {8} \). Каждое место в восьмеричном числе представляет собой степень восьмерки. Например: \ ((151) _ {8} \) = 1 x 8 2 + 5 x 8 1 + 1 x 8 0 .

    Преобразование десятичной системы в восьмеричную

    Существует два метода преобразования десятичного числа в восьмеричное.Первый метод - преобразовать десятичное число в другую систему счисления, то есть в двоичную или шестнадцатеричную, и, наконец, преобразовать его в восьмеричную. Второй метод - это прямой метод, при котором мы напрямую преобразуем десятичное число в восьмеричное. Давайте посмотрим на оба метода:

    Метод 1. Преобразование десятичного числа в двоичное в восьмеричное

    В этом методе десятичное число может быть преобразовано в двоичное число путем деления данного числа на 2, пока мы не получим частное как 1. Числа записываются снизу вверх.Как только двоичное число получено, мы конвертируем его в восьмеричное число. Давайте разберемся в этом на примере. Преобразуйте десятичное число \ ((45) _ {10} \) в восьмеричное число.

    Шаг 1: Сначала мы преобразуем десятичное число \ ((45) _ {10} \) в двоичное число. Мы делим 45 на двоичное базовое число, т.е. 2, пока не получим частное 1.

    Следовательно, десятичное число \ ((45) _ {10} \) = \ ((101101) _ {2} \).

    Шаг 2: Как только мы получили двоичное число, мы можем преобразовать это число в восьмеричное число, используя двоичное число в таблице преобразования восьмеричного.

    С помощью приведенной выше таблицы мы сначала записываем число в его 3-битное двоичное число, так как перед цифрами необходимо добавить ноль, чтобы сформировать 3-битное двоичное число. Следовательно, 3-битное двоичное число - это 101 и 101. Глядя на ту же таблицу выше, мы можем преобразовать эти двоичные числа в их восьмеричные числа, чтобы получить окончательное число. Следовательно, числа 5 и 5. Следовательно, \ ((101101) _ {2} \) = \ ((55) _ {8} \).

    Шаг 3: После того, как мы получили восьмеричное число, преобразование из десятичного в восьмеричное можно записать как: \ ((45) _ {10} \) = \ ((55) _ {8} \).

    Метод 2: преобразование десятичного числа в восьмеричное

    В этом методе десятичное число делится на 8 каждый раз, когда получается напоминание из предыдущей цифры. Первый полученный остаток - это младшая значащая цифра (LSD), а последний остаток - самая старшая цифра (MSD). Когда частное меньше 8, мы получаем восьмеричное число, записывая остаток в обратном порядке. Разберемся с преобразованием на примере. Преобразуйте десятичное число \ ((350) _ {10} \) в восьмеричное число.

    Шаг 1: Проверьте, меньше ли десятичное число 8. Если да, восьмеричное число такое же. Если нет, продолжайте. В этом случае 350 больше 8, поэтому перейдем к шагу 2.

    Шаг 2: Разделите 350 на 8 (восьмеричное число). Запишите частное и остаток в форме частно-остатка. Повторите этот процесс (снова разделив частное на 8), пока мы не получим частное меньше 8.

    Шаг 3: Как только мы получаем частное меньше 8, мы прекращаем деление, чтобы получить восьмеричное число.Восьмеричное число считается путем чтения всех остатков и последнего частного снизу вверх.

    Следовательно, \ ((350) _ {10} \) = \ ((536) _ {8} \).

    Преобразование десятичного числа в восьмеричное с десятичной запятой

    Чтобы преобразовать десятичное число в восьмеричное с десятичной точкой, мы вычисляем десятичное число в двух частях. Сначала мы вычисляем целую часть десятичной запятой путем деления восьмеричного основного числа, то есть 8, до тех пор, пока частное не станет меньше 8.Вторая часть вычисляется на основе дробной части десятичного числа, где число умножается на базовое число 8, пока дробная часть не станет равна нулю. Здесь, после умножения, мы сохраняем целую часть отдельно, а дробную часть. Окончательное восьмеричное число вычисляется путем сложения целого и дробного числа. Давайте рассмотрим пример по шагам, чтобы лучше понять это. Преобразуйте десятичное число \ ((29,45) _ {10} \) в восьмеричное число.

    Шаг 1: Разделите десятичное число на две части - целую и дробную.Итак, 29,45 = 29 + 0,45.

    Шаг 2: Сначала преобразуйте целую часть числа. Итак, сначала мы начнем с 29, разделив его на базовое число 8, пока частное не станет меньше 8.

    Деление по 8 Частное Остаток
    29/8 3 5
    3/8 0 3

    Следовательно, 29 - это 35 в восьмеричном числе.

    Шаг 3: После получения целого восьмеричного числа мы переходим к дробной части. Итак, 0,45 умножается на 8 (восьмеричное базовое число), где результат снова делится на целую и дробную части. Число умножается на 8, пока дробная часть не станет равна нулю.

    Умножить на 8

    Результат

    Целая часть Дробная часть
    0.45 × 8 3,6 3 + 0,6
    0,6 × 8 4,8 4 + 0,8
    0,8 × 8 6,4 6 + 0,4
    0,4 × 8 3,2 3 + 0,20
    0,20 × 8 1.60 1 + 0.60
    0,60 × 8 4,80 4 + 0,80
    0,80 × 8 6,40 6 + 0,40

    Запишите всю целую часть сверху вниз, которая дает восьмеричное число дробного числа. Следовательно, 0,45 = 0,3463146.

    Шаг 4: Сложите целую и дробную части вместе, чтобы получить восьмеричное число.Следовательно, 35 + 0,3463146 = 35,3463146.

    Следовательно, \ ((29.45) _ {10} \) = \ ((35.3463146) _ {8} \).

    Связанные темы

    Вот несколько тем, связанных с преобразованием десятичных чисел в восьмеричные, обратите внимание!

    Часто задаваемые вопросы о десятичных и восьмеричных

    Как преобразовать десятичное число в восьмеричное?

    Существует два метода преобразования десятичных чисел в восьмеричные. Первый - прямым преобразованием, когда десятичное число делится на восьмеричное базовое число, равное 8, пока частное не станет меньше 8.Окончательное восьмеричное число получается расположением остатка и последнего частного снизу вверх. Второй метод преобразования десятичного числа в восьмеричный - это преобразование десятичного числа в другую систему счисления, то есть двоичную или шестнадцатеричную, а затем преобразование этого числа в восьмеричное число.

    Что такое преобразование десятичной системы в восьмеричную?

    Преобразование десятичного числа в восьмеричное помогает определить эквивалент другого числа в системе счисления. Система счисления имеет четыре типа: двоичная система счисления, восьмеричная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления.Каждый из этих числовых типов имеет свои собственные базовые числа. Преобразование десятичного числа в восьмеричное основано на их базовых числах.

    • Двоичная система счисления (База - 2)
    • Восьмеричная система счисления (База - 8)
    • Десятичная система счисления (основание - 10)
    • Шестнадцатеричная система счисления (База - 16)

    Что такое десятичный эквивалент 12 в восьмеричной системе счисления?

    Чтобы преобразовать десятичное число в восьмеричное, мы начинаем с деления 12 на восьмеричное число с основанием 8. Вот шаги,

    • 12/8 = 1 как частное и 4 как остаток
    • 1/8 = 0 как частное и 1 как остаток

    Следовательно, \ ((12) _ {10} \) = \ ((14) _ {8} \).

    Как преобразовать десятичное число в восьмеричное с десятичной точкой?

    Чтобы преобразовать десятичное число в восьмеричное с десятичной точкой, нам нужно разбить десятичное число на две части, то есть целую часть и дробную часть. Преобразование начинается с целой части сначала путем деления числа на 8, пока частное не станет меньше 8. Оставьте результат в стороне и переходите к дробной части. Дробная часть будет умножена на 8, пока результат не станет равен нулю. Здесь целая и дробная части снова будут храниться отдельно.Ответом будет целая часть, отсчитываемая сверху вниз. Окончательное число получается сложением целого числа и дробной части.

    Можем ли мы преобразовать \ ((21.4) _ {10} \) из десятичного числа в восьмеричное?

    Чтобы преобразовать десятичное число 21,4 в восьмеричное, выполните следующие действия:

    Шаг 1: Разбейте 21,4 на целую и дробную части, то есть 21 и 0,4.

    Шаг 2: Начните делить 21 на 8. Следовательно, 21 = 25 в восьмеричном числе.

    Деление по 8 Частное остаток
    21/8 2 5
    2/8 0 2

    Шаг 3: умножить 0.4 с 8. Следовательно, 0,4 = 0,3146

    Умножить на 8 Результат Целая часть Остальная часть
    0,4 × 8 3,2 3 + 0,2
    0,2 × 8 1,6 1 + 0,6
    0,6 × 8 4,80000000000001 4 + 0.80000000000001
    0.80000000000001 × 8 6.40000000000009 6 + 0,40000000000009

    Шаг 4: Следовательно, \ ((21.4) _ {10} \) = \ ((25.3146) _ {8} \) (25 + 0.3146 = 25.3146)

    Какова формула преобразования десятичного числа в восьмеричное?

    Формула для преобразования десятичного числа в восьмеричное приведена ниже:

    • Разделите число на 8 (восьмеричное число), пока частное не станет меньше 8.
    • После того, как число получится, запишите остаток каждого числа в обратном порядке.
    • Обратный остаток - это последнее восьмеричное число десятичного числа.

    Десятичный преобразователь в восьмеричный

    Восьмеричный преобразователь в десятичный ►

    Как преобразовать десятичное число в восьмеричное

    Шаг преобразования:
    1. Разделите число на 8.
    2. Получить целое частное для следующей итерации.
    3. Получите остаток от восьмеричной цифры.
    4. Повторяйте шаги, пока частное не станет равным 0.
    Пример № 1

    Преобразовать 7562 10 в восьмеричное:

    Отдел
    по 8
    Частное
    (целое)
    Остаток
    (десятичный)
    Остаток
    (восьмеричный)
    Цифра №
    7562/8 945 2 2 0
    945/8 118 1 1 1
    118/8 14 6 6 2
    14/8 1 6 6 3
    1/8 0 1 1 4

    Итак 7562 10 = 16612 8

    Пример # 2

    Преобразовать 35631 10 в восьмеричное:

    Отдел
    по 8
    Частное Остаток
    (десятичный)
    остаток
    (восьмеричный)
    Цифра №
    35631/8 4453 7 7 0
    4453/8 556 5 5 1
    556/8 69 4 4 2
    69/8 8 5 5 3
    8/8 1 0 0 4
    1/8 0 1 1 5

    Таким образом, 35631 10 = 105457 8

    Таблица преобразования десятичных чисел в восьмеричные

    Десятичное

    с основанием 10

    Восьмеричное

    основание 8

    0 0
    1 1
    2 2
    3 3
    4 4
    5 5
    6 6
    7 7
    8 10
    9 11
    10 12
    11 13
    12 14
    13 15
    14 16
    15 17
    16 20
    17 21
    18 22
    19 23
    20 24
    21 25
    22 26
    23 27
    24 30
    25 31
    26 32
    27 33
    28 34
    29 35
    30 36
    40 50
    50 62
    60 74
    70 106
    80 120
    90 132
    100 144
    200 310
    1000 1750
    2000 3720


    См.

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *