Геометрия все теоремы и свойства 7 9 класс: Свойства равнобедренного треугольника / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

Содержание

Свойства равнобедренного треугольника / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Треугольники
  5. Свойства равнобедренного треугольника

1. Теорема

Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание.

Доказать: В = С.

Доказательство:

Проведем биссектрису АD из вершины А к стороне ВС.

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как

АD — биссектриса по построению, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников В = С, потому что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (В лежит против стороны АС, С. — против стороны АВ).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный.

 

2. Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой

Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание, АD — биссектриса.

Доказать: АD — медиана и высота.

Доказательство:

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как АD — биссектриса по условию, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников ВD = DC и ADВ = ADС. 

Мы доказали, что ВD = DC точка D — середина стороны

ВС, тогда АD является медианой АВС (по определению медианы).

Мы доказали, что ADВ = ADС, причем ADВ и ADС смежные углы, поэтому ADВ + ADС = 1800,  тогда ADВ = ADС = 900, т.е. АDBC, а это означает, что AD является высотой АВС (по определению высоты).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный
, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

3. Теорема

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

4. Теорема

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию
, является высотой и биссектрисой.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике высота и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

Важно помнить, что данные теоремы справедливы только в том случае, если высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника проведены к его ОСНОВАНИЮ.

 

Если треугольник равносторонний, то данные теоремы справедливы для медиан, биссектрис и высот, проведенных к каждой из сторон треугольника.

EFG — равносторонний:

  • ЕС — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне
    FG
    ,
  • FK — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕG,
  • GM — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕF.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 229, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 263, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 401, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 490, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 515, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 523, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 643, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 650, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 690, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Точки, прямые, отрезки / Начальные геометрические сведения / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Начальные геометрические сведения
  5. Точки, прямые, отрезки

Чтобы изобразить прямую на листе бумаги необходимы карандаш и линейка (Рис.1). Причем, прямая не имеет начала и конца, то есть мы изображаем лишь часть прямой, но при этом можно дочертить прямую в одну из сторон, либо сразу в обе стороны.

Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами ( и т.д.) (Рис.2, ), но бывают случаи, когда прямые обозначены большими латинскими буквами (АВ, CD, MN и т.д.) (Рис.2, б),  точки же всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С и т.д) (Рис.2. ).

Возможны два варианта расположения точек относительно прямой:

  1. Точки лежат на данной прямой или говорят, что прямая проходит через эти точки, на Рис.2 такими точками являются А и
    В
    . Для краткости, при решении задач используют запись (читается — точка А принадлежит прямой или точка А лежит на прямой ), аналогично будет и для точки В ().
  2. Точки не лежат на данной прямой или говорят, что прямая не проходит через эти точки, на Рис.2 такими точками являются С и D. Для краткости, при решении задач используют запись (читается — точка С не принадлежит прямой  или точка С не лежит на прямой ), аналогично будет и для точки D ().

Важно знать, что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Если мы рассмотрим две прямые, то возможны два варианта расположения этих двух прямых друг относительно друга:

  • Прямые пересекаются, то есть имеют одну общую точку (Рис.3). Для записи пересекающихся прямых используют специальный символ — , т.е. (читают: прямая пересекает прямую b).

         

  • Прямые не пересекаются, то есть не имеют общих точек (Рис.4). Для записи не пересекающихся прямых используют специальный символ — , т.е. (читают: прямая m не пересекает прямую n).

         

На Рис.5,  под пунктом ) красным цветом выделена часть прямой, ограниченная двумя точками. Такая часть прямой называется отрезком. Точки ограничивающие отрезок, называются его концами. На Рис. 5, под пунктом б) изображен отрезок с концами А и В. Такой отрезок можно обозначить АВ или ВА. Отрезок АВ содержит все точки прямой, лежащие между точками А и В, а так же и сами точки А и В.

Смежные отрезки — это отрезки, не лежащие на одной прямой и имеющие один общий конец. На рисунке 6 отрезки АВ и АС смежные, точка А — общий конец.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Провешивание прямой на местности

Луч

Угол

Равенство геометрических фигур

Сравнение отрезков

Сравнение углов

Длина отрезка

Единицы измерения длины, расстояний

Градусная мера угла

Измерение углов на местности

Смежные углы

Вертикальные углы

Перпендикулярные прямые

Построение прямых углов на местности

Начальные геометрические сведения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 78, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 150, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 197, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 198, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 604, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 632, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 815, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 819, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 863, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 877, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Определения и теоремы геометрия 7 класс

Определения

Отрезок-часть прямой, ограниченная двумя точками.

Концы отрезка-точки, ограничивающие прямую.

Луч-прямая, имеющая начало в точке, но не имеющая конца.

Угол-геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Стороны угла-лучи, составляющие угол.

Вершина угла-точка, из которой берут начало стороны угла.

Развернутый угол, если обе его стороны лежат на одной прямой.

Середина отрезка-точка, делящая отрезок пополам.

Прямой угол=900. Острый угол<900. 1800>Тупой угол>900.

Смежные-два угла, у которых одна сторона общая, а две другие-это продолжения друг друга.

Вертикальные-два угла, если стороны одного угла-это продолжение сторон другого.

Перпендикулярные-две пересекающиеся прямые, образующие четыре прямых угла.

Периметр-сумма длин всех сторон фигуры.

Перпендикуляр АН-отрезок, соединяющий точку А с точкой Н, лежащей на прямой. Этот отрезок с прямой образует прямой угол.

Биссектриса-луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Медиана-отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Высота-перпендикуляр, проведенный из вершины угла к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Равнобедренный треугольник, если две его стороны равны.

Окружность-геометрическая фигура, состоящая из множества точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной единственной точки-центр окружности.

Радиус r — отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на этой окружности.

Хорда-отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Диаметр-хорда, проходящая через центр окружности.

Дуга-часть окружности, полученная делением этой окружности двумя точками.

Параллельные прямые-две не пересекающиеся на плоскости прямые.

Параллельные отрезки, если они лежат на параллельных прямых.

Секущая к двум прямым-прямая, пересекающая данные прямые в двух точках.

Гипотенуза-сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Две другие стороны прямоугольного треугольника-катеты.

Неравенства треугольника: АВ<АС+СВ, АС<АВ+ВС, ВС<ВА+АС.
Расстояние от точки до прямой
-длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.

Расстояние между прямыми-расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Правила и теоремы

1.1.Через любые две точки можно провести только одну прямую.

1.2.Две прямые имеют либо одну общую точку, либо ни одной.

1.3.Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

1.4.Равные отрезки имеют равные длины.

1.5.Сумма смежных углов равна 1800.

1.6.Вертикальные углы равны.

1.7.Развернутый угол равен 1800. Неразвернутый меньше 1800.

1.8.Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

2.1.Признаки равенства треугольников:

Теорема 1 (по двум сторонам и углу). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Теорема 2 (по стороне и двум углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Теорема 3 (по трём сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

2.2.Теорема (о перпендикуляре к прямой). Из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой.

2.3. Медиана делит сторону на два равных отрезка.

2.4. Свойства равнобедренного треугольника:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3.1. Признаки параллельности двух прямых (обратные теоремы тоже справедливы):

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то данные прямые параллельны.

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны.

3.2. Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы:

10. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

20. Если две прямые параллельны третьей, то все три прямые параллельны.

4.1. Теорема (о сумме углов треугольника). Сумма углов треугольника равно 1800.

4.2. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

4.5. Теорема (о соотношении между сторонами и углами треугольника). В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и против большего угла лежит большая сторона.

Следствия из теоремы:

10. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

20. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

4.6. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

4.7. Свойства прямоугольного треугольника:

10. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900.

20. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 300, равен половине гипотенузы.

30. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 300.

4.8. Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого треугольника, то эти треугольники равны.

Теорема 1. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузы и острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

Теорема 2. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

4.9. Угол падения равен углу отражения.

4.10.  Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

 

Основные правила математики. Геометрия. Теоремы, определения. 7 класс — Сайт учителя математики Косыхиной Н.В.

Основные правила математики. Геометрия. Теоремы, определения. 7 класс

Определения

1. Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).
2.В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.
3. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
4. Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла.
5. Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. ( Развёрнутый угол равен 180°).
6. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
7. Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.
8. Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
9.Угол называется прямым, если он равен 90°.
10. Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).
11. Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).
12. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.
13. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
14. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
15 Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.
16. Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
17. Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы.
18.Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
19.Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
20.Аксиомы – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия.
21.(Аксиома) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
22. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
23. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
24. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.

Теоремы

Теорема 1: Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Доказательство от противного. Есть две прямые АА1 и ВВ1 перпендикулярны к прямой PQ одновременно. Предположим, что, продолжая прямые, можно достичь некоторой точки M, в которой они пересекаются. Перегнем плоскость вдоль прямой PQ. В этом случае углы при данных прямых накладываются друг на друга, а наложенные лучи совпадают. При этом точка М, получит проекцию некоторой точки M1 (при пересечения АА1 и ВВ1 в нижней полуплоскости) . Это будет означать, что две прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в двух точках М и М1. Но через любые две точки на плоскости можно провести только одну прямую! Таким образом, предположение о том, что данные прямые пересекаются неверно. Следовательно, две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Что и требовалось доказать.

Теорема 2
Первый признак равенства треугольников ( по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Так как ∠A=∠A1, то можно треугольник A1B1C1 наложить на треугольник ABC так, чтобы
точка A1 совместилась с точкой A,
луч A1C1 наложился на луч AC,
луч A1B1 — на луч AB.
Так как AB=A1B1, то при таком наложении сторона A1B1 совместится со стороной AB, а значит, точка B1 совместится с точкой B.
Аналогично, сторона A1C1 совместится со стороной AC, а точка C1 — с точкой C.
Следовательно, сторона B1C1 совместится со стороной BC.
Значит, при наложении треугольники полностью совместятся, поэтому ΔABC= ΔA1B1C1 (по определению).
Что и требовалось доказать.

Теорема 3
Теорема единственности перпендикуляра, проведенного из произвольной точки к заданной прямой
Из любой точки А, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к прямой. К тому же этот перпендикуляр единственный.

Дано: точка А не принадлежит прямой a.

Доказать: существует единственный отрезок АН, где АН- перпендикуляр к a из точки A.

Доказательство:

1. Построим 2 равных угла. ∠АВС =∠МВС или ∠1 = ∠2.

2. Равные углы можно совместить наложением. При этом точка А перейдет в точку A1. ВА = ВA1(перегибание по прямой ВС).

3. Соединим точки А и A1. Получим точку Н. Углы ∠ВНА = ∠3, ∠ВНA1 = ∠4.

4. Так как ∠1 = ∠2,ВА = ВA1, BC- общая,то треугольники ВНА = ВНA1 по первому признаку равенства треугольников, то есть по углу и двум прилежащим сторонам. Из равенства треугольников следует равенство всех элементов. А значит, ∠3 = ∠4. Эти углы лежат против равных сторон. Два смежных равны только в случае, если каждый из них равен по 90°. А значит, АН ⊥ ВС. Мы доказали, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой a.

Единственность перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой, докажем методом «от противного».

5. Предположим, что из точки А можно провести к прямой a два разных перпендикуляра.

АН ⊥ a, Аh2 ⊥ a.

Это невозможно, поскольку из разных точек прямой a проведены 2 перпендикуляра, которые имеют общую точку А. Мы получили противоречие, значит, наше предположение неверно. Из точки А можно провести лишь один перпендикуляр к прямой a. Теорема доказана.

 

Урок 25. прямоугольные треугольники — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 25

Прямоугольные треугольники

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Виды треугольников.
  • Прямоугольный треугольник.
  • Свойства прямоугольного треугольника.
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Тезаурус:

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте рассмотрим виды треугольников. Существуют следующие виды:

  1. Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.
  2. Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.
  3. Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а один – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Обратите внимание, на рисунке изображён треугольник АВС с прямым углом С, в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой большой стороной.

Рассмотрим свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Сумма всех углов треугольника равна 180°, прямой угол равен 900, следовательно, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

  1. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла 300, равен половине гипотенузы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором ∠А – прямой, ∠В = 30° и, значит, ∠С = 60°.

Докажем, что FC = ½ BC

Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим треугольник ВСD, в котором ∠В = ∠D = 60°, поэтому DC = BC (по признаку равнобедренного треугольника). Но АС = ½ DC. Следовательно, АС = ½BC, что и требовалось доказать.

  1. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС. Докажем, что ∠АВС = 30°.

Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу (т.к. сумма углов треугольника равна 180°, а в равностороннем треугольнике все углы равны, следовательно, 180° : 3= 60° – каждый угол равностороннего треугольника). В частности, ∠DВС = 60°. Но ∠DВС= 2∠АВС. Следовательно, ∠АВС = 30°, что и требовалось доказать.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Далее из второго признака равенства треугольников следует:

если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему другого, то такие треугольники равны.

Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

Теорема. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Дано: ∆АВС и ∆НМХ, ∠С = ∠Х = 90°, АВ = НМ, ∠А = ∠Н.

Доказать: ∆АВС и ∆НМХ

Доказательство. Из первого свойства прямоугольных треугольников мы можем сделать вывод, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Теорема доказана.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1.Найдите острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника.

Объяснение. Мы знаем, что сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, можно вычислить градусную меру острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника: 90° : 2= 45°.

Ответ: острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен 45°.

№ 2.Опираясь на рисунок, укажите, по какому признаку равны треугольники.

Варианты ответов:

  1. по катету и прилежащему к нему острому углу;
  2. по гипотенузе и прилежащему к ней острому углу;
  3. по катету и прямому углу;
  4. двум катетам.

Объяснение. На рисунке указано равенство катетов МС и ВС, углы МСН и ВСА вертикальны, значит, они равны. Следовательно, треугольники АВС и НСМ равны по катету и прилежащему к нему острому углу, подходит ответ 1.

Ответ: 1. по катету и прилежащему к нему острому углу.

Основные определения и теоремы по геометрии. 7 класс — Студопедия

Основные определения и теоремы по геометрии. 7 класс — Студопедия
  1. Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).
  2. В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.
  3. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
  4. Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла.
  5. Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. ( Развёрнутый угол равен 180°).
  6. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
  7. Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.
  8. Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
  9. Угол называется прямым, если он равен 90°.
  10. Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).
  11. Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).
  12. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.
  13. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
  14. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
  15. Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.
  16. Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
  17. Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы.
  18. (Т. Первый признак равенства треугольников) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  19. . о перпендикуляре к прямой) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
  20. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
  21. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
  22. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
  23. (Свойства медианы, биссектрисы и высоты треугольника) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.
  24. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
  25. Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
  26. (Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  27. (Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
  28. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
  29. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
  30. (Т. Второй признак равенства треугольников) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  31. (Т. Третий признак равенства треугольников) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  32. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности.
  33. Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой.
  34. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
  35. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
  36. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.
  37. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
  38. При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов: накрест лежащие, односторонние и соответственные.
  39. (Т. Признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  40. (Т. Признак параллельности двух прямых по соответственным углам) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  41. (Т. Признак параллельности двух прямых по односторонним углам) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  42. Аксиомы – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия.
  43. (Аксиома) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
  44. (Аксиома параллельных прямых) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  45. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
  46. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  47. Во всякой теореме две части: условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать).
  48. Теоремой, обратной данной,называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.
  49. (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
  50. (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
  51. (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
  52. (Т. о сумме углов треугольника) Сумма углов треугольника равна 180°.
  53. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
  54. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  55. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
  56. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
  57. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.
  58. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол — катетами.
  59. (Т. о соотношениях между сторонами и углами треугольника) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.
  60. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
  61. (Признак равнобедр. треугольника) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
  62. (Т. Неравенство треугольника) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
  63. (Свойство прямоугольного треугольника) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
  64. (Свойство прямоугольного треугольника) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
  65. (Свойство прямоугольного треугольника) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
  66. (Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам) Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  67. (Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.
  68. (Т. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
  69. . Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
  70. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой.
  71. (Т. Свойство параллельных прямых) Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
  72. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.









Основные формулы по геометрии — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Знание формул по геометрии является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по математике. Формулы по геометрии, которые надежно хранятся в памяти ученика — это основной инструмент, которым он должен оперировать при решении геометрических задач. На этой странице сайта представлены основные формулы по школьной геометрии.

 

Изучать основные формулы по школьной геометрии онлайн:

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

теорем о геометрии | Круговые теоремы

Связь между углами, образованными двумя линиями, иллюстрируется геометрическими теоремами, называемыми «Угловыми теоремами». Некоторые из важных угловых теорем, связанных с углами, следующие:

Когда две параллельные прямые пересекаются поперечной, тогда получающиеся чередующиеся внешние углы конгруэнтны.

Альтернативные внешние углы имеют одинаковые градусы, поскольку линии параллельны друг другу.

Когда две параллельные линии пересекаются поперечным сечением, тогда получающиеся чередующиеся внутренние углы совпадают.

Альтернативные внутренние углы имеют одинаковые градусы, поскольку линии параллельны друг другу.

Один из способов найти альтернативные внутренние углы — провести зигзагообразную линию на диаграмме.

Если два угла являются дополнительными к одному и тому же углу или совпадают с углами, то эти два угла конгруэнтны.

Если два угла являются дополнительными к одному и тому же углу или совпадают с углами, то эти два угла совпадают.

Если два угла являются дополнительными и совпадающими, то они являются прямыми углами.

Если две параллельные линии пересекаются трансверсалью, то внутренние углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными.

Противоположные друг другу углы, образованные двумя пересекающимися линиями, совпадают.

Теперь перейдем к геометрическим теоремам, применимым к треугольникам.

Теоремы о треугольнике

Мы знаем, что существуют разные типы треугольников, основанные на длине сторон, такие как равнобедренный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, а также у нас есть треугольники, основанные на степени углов, такие как треугольник с острым углом, прямоугольный треугольник, тупоугольный треугольник.

Хотя есть много геометрических теорем о треугольниках, но давайте посмотрим на некоторые основные геометрические теоремы.

Теорема 1

В любом треугольнике сумма трех внутренних углов равна 180 °.

Предположим, что XYZ — три стороны треугольника, тогда согласно этой теореме; ∠X + ∠Y + ∠Z = 180 °

Теорема 2

Если сторона треугольника образована, внешний угол, образованный таким образом, равен сумме соответствующих внутренних противоположных углов.

Для треугольника XYZ, ∠1, ∠2 и ∠3 — внутренние углы. А ∠4, ∠5 и ∠6 — три внешних угла.

Теорема 3

Углы основания равнобедренного треугольника равны.

Предположим, что треугольник XYZ — равнобедренный треугольник, такой что;

XY = XZ [Две стороны треугольника равны]

Следовательно,

∠Y = ∠Z

Где ∠Y и ∠Z — базовые углы.

А теперь давайте изучим некоторые теоремы о треугольнике продвинутого уровня.

Теорема 3: Если линия проводится параллельно одной стороне треугольника и пересекает середины двух других сторон, то две стороны делятся в одинаковом соотношении.

XYZ — треугольник, а L M — прямая, параллельная Y Z и пересекающая XY в точке l и XZ в точке M.

Отсюда по теореме:

XL / LY = X M / M Z

Теорема 4

Если прямая делит любые две стороны треугольника в одинаковом соотношении, то она параллельна третьей стороне.

Предположим, что XYZ — треугольник, и прямая L M делит две стороны треугольника XY и XZ в одинаковом соотношении, так что;

XL / LY = X M / M Z

Теорема 5

Если в двух треугольниках соответствующие углы равны, то их соответствующие стороны находятся в одинаковом соотношении и, следовательно, два треугольника подобны.

Пусть ∆ABC и ∆PQR — два треугольника.


Тогда по теореме

AB / PQ = BC / QR = AC / PR (Если ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q и ∠C = ∠R)

А ∆ABC ~ ∆PQR

Теорема 6

Если в двух треугольниках стороны одного треугольника пропорциональны другим сторонам треугольника, то их соответствующие углы равны и, следовательно, два треугольника подобны.

Давайте теперь перейдем к обсуждению геометрических теорем, касающихся окружностей или теорем о кругах.


Теоремы о круге

Теоремы окружности помогают доказать взаимосвязь различных элементов окружности, таких как касательные, углы, хорда, радиус и секторы. Или мы можем сказать, что окружности обладают рядом различных угловых свойств, которые описаны как теоремы о кругах.

Теперь давайте изучим различные геометрические теоремы окружности.

Теоремы о круге 1

Углы в одном сегменте и на одном и том же хорде всегда равны.

Теоремы о круге 2

Линия, проведенная от центра окружности до середины хорды, перпендикулярна хорде под углом 90 °.

Теоремы о круге 3

Угол в центре круга в два раза больше угла на окружности.

Теоремы о круге 4

Угол между касательной и стороной треугольника равен внутреннему противоположному углу.

Теоремы о круге 5

Угол в полукруге всегда равен 90 °.

Теоремы о круге 6

Касательные от общей точки (A) к окружности всегда равны по длине. AB = BC

Теоремы о круге 7

Угол между касательной и радиусом всегда составляет 90 °

Теоремы о круге 8

В круговом четырехугольнике все вершины лежат на окружности круга.Сумма противоположных углов составляет 180 °.

Перейдите к обсуждению геометрических теорем, касающихся паралелограммов или теорем о параллелограммах.


Теоремы о параллелограммах

Параллелограмм — это четырехугольник, в котором обе пары противоположных сторон параллельны.

Давайте теперь разберемся с некоторыми теоремами о параллелограммах.

Теоремы о параллелограммах 1

Если обе пары противоположных сторон четырехугольника совпадают, то четырехугольник является параллелограммом.

Теоремы о параллелограммах 2

Если обе пары противоположных углов четырехугольника совпадают, то четырехугольник является параллелограммом.

Теоремы о параллелограммах 3

Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник является параллелограммом.

Теоремы о параллелограммах 4

Если одна пара противоположных сторон четырехугольника параллельна и конгруэнтна, то четырехугольник является параллелограммом.


Сводка

В геометрии вы узнаете множество теорем, касающихся точек, прямых, треугольников, окружностей, параллелограммов и других фигур. Теоремы о геометрии важны, потому что они вводят новые методы доказательства.

Вы, должно быть, слышали, как ваш учитель говорил, что теоремы о геометрии очень важны, но вы когда-нибудь задумывались, почему? Мы оставляем вас с этой мыслью здесь, чтобы узнать больше, пока вы не прочитаете больше о доказательствах, объясняющих эти теоремы.2, который используется для вычисления значения (в основном) гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Буквы a и b — две стороны треугольника, не являющиеся гипотенузами (противоположные и смежные).

Что такое теорема о вертикальных углах?

Противоположные друг другу углы, образованные двумя пересекающимися линиями, совпадают.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА, ТЕОРЕМЫ, ПОСТУЛАТЫ И Т.Д.

Недвижимость равенства:

Свойство добавления Если a = b и c = d, тогда a + c = b + d

Свойство вычитания Если a = b и c = d, тогда a — c = b — d

Свойство умножения Если a = b, тогда ca = cb

Подразделение собственности Если a = b и c 0, тогда a / c = b / c

Замещающая собственность Если a = b, то либо a, либо b могут быть заменены другим в любом уравнение (или неравенство)

Рефлексивное свойство a =

Симметричное свойство Если a = b, тогда b = a

Переходное свойство Если a = b и b = c, тогда a = c

(Обратите внимание, что три вышеуказанных свойства также работают для сравнения.)

Другое Недвижимость:

Распределительная собственность a (b + c) = ab + ac

Постулат 1 (Линейка Постулат)

      1. В точки на линии могут быть объединены с действительными числами таким образом что любые две точки могут иметь координаты 0 и 1.

      2. Один раз система координат выбрана таким образом, расстояние между любыми двумя точками равно абсолютному значению разницы их координат.

Постулат 2 (Сегмент Постулат сложения) Если B находится между A и C, то AB + BC = AC

Постулат 3 (Транспортир Постулат) На AB в данной плоскости выберите любую точку O между A и Б. Рассмотрим OA и OB и все лучи, которые можно провести из O по одну сторону от AB. Эти лучи можно сочетать с настоящими числа от 0 до 180 таким образом, чтобы:

              1. OA соединяется с 0, а OB — с 180.

              2. Если OP соединяется с x, а OQ с y, тогда m х — у

Постулат 4 (Угол Дополнительный постулат) Если D находится внутри < ABC , тогда m < ABC = m < ABD + m < DBC .Если

Постулат 5 А строка содержит не менее двух точек; самолет содержит не менее трех указывает не все в одну линию; пространство определяется как минимум четырьмя не все точки в одной плоскости.

Постулат 6 Для любые две точки, есть ровно одна строка, содержащая их.

Постулат 7 Через в любых трех точках есть хотя бы одна плоскость, а через любые три в неколлинеарных точках есть ровно одна плоскость.

Постулат 8 Если две точки находятся на плоскости, тогда линия, содержащая точки, будет в этом самолете.

Постулат 9 Если две плоскости пересекаются, затем они пересекаются ровно по одной линии.

Постулат 10 Если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то соответствующие углы совпадают.

Постулат 11 Если две линии пересекаются трансверсалью, и соответствующие углы равны конгруэнтны, то линии параллельны.

Постулат 12 SSS: Если три стороны одного треугольника конгруэнтны соответствующему три стороны другого треугольника, тогда треугольники конгруэнтный.

Постулат 13 SAS: Если две стороны и включенный угол одного треугольника совпадают с соответствующие стороны и угол в другом треугольнике, затем треугольники конгруэнтны.

Постулат 14 ASA: Если два угла и включенная сторона одного треугольника совпадают с соответствующие углы и стороны в другом треугольнике, то треугольники конгруэнтны.

Постулат 15 AA: Если два угла в треугольнике совпадают с двумя соответствующими углы в другом треугольнике, то треугольники аналогичны.

Постулат 16 (Дуга Дополнение) Размер дуг, образованных двумя соседними дугами, равен сумма мер этих двух дуг.

Постулат 17 площадь квадрата — это квадрат длины стороны (A = s 2 )

Постулат 18 (Площадь Конгруэнтность) Если две фигуры совпадают, то у них одинаковые площадь.

Постулат 19 (Площадь Дополнение) Площадь региона — это сумма площадей его неперекрывающиеся части.

ТОЧКИ, ЛИНИИ, ПЛОСКОСТИ И УГЛЫ

Теорема 1-1 Два линии пересекаются не более чем в одной точке.

Теорема 1-2 A линия и точка не на линии содержатся ровно в одной плоскости.

Теорема 1-3 Два пересекающиеся прямые содержатся ровно в одной плоскости.

дедуктивное рассуждение

Теорема 2-1 (Средняя точка Теорема) Если M — середина AB, то AM = ½AB и MB = ½AB

Теорема 2-2 (Угол Теорема о биссектрисе) Если BX — биссектриса

Теорема 2-3 Вертикальный углы совпадают.

Теорема 2-4 Если две строки перпендикулярны, то образуют равные смежные углы.

Теорема 2-5 Если две строки образуют конгруэнтные смежные углы, тогда линии перпендикулярны.

Теорема 2-6 Если внешние стороны двух смежных острых углов перпендикулярны, то углы дополняют друг друга.

Теорема 2-7 Если два угла являются дополнениями конгруэнтных углов (или одного и того же угла), то два угла совпадают.

Теорема 2-8 Если два угла являются дополнениями конгруэнтных углов (или одного и того же угла), то два угла совпадают.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

Теорема 3-1 Если два параллельные плоскости отсекаются третьей плоскостью, затем линии пересечения параллельны.

Теорема 3-2 Если два параллельные линии прорезаются поперечной, затем чередуются внутренние углы совпадают.

Теорема 3-3 Если два параллельные линии прорезаются поперечным, затем то же боковым внутренним углы дополнительные.

Теорема 3-4 Если трансверсаль перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, тогда она также перпендикулярно другому.

Теорема 3-5 Если две строки разрезаны поперечно, а чередующиеся внутренние углы совпадают, тогда линии параллельны.

Теорема 3-6 Если две строки разрезаются поперечно, а внутренние углы одностороннего дополнительные, то линии параллельны.

Теорема 3-7 В плоскости два прямые, перпендикулярные одной и той же, параллельны.

Теорема 3-8 Через точка вне линии, есть ровно одна линия, параллельная заданной линия.

Теорема 3-9 Через точки вне линии, есть ровно одна линия, перпендикулярная к данная строка.

Теорема 3-10 Две линии, параллельные третьи линии параллельны друг другу.

Теорема 3-11 Сумма мер углов треугольника 180.

Следствие 1 Если два угла одного треугольник конгруэнтны двум углам другого треугольника, тогда третьи углы совпадают.

Следствие 2 Каждый угол равноугольной Треугольник имеет меру 60.

Следствие 3 В треугольнике может быть максимум один прямой или тупой угол.

Следствие 4 Острые углы правого треугольник дополняют друг друга.

Теорема 3-12 Мера внешний угол треугольника равен сумме мер два удаленных внутренних угла.

Теорема 3-13 Сумма мер углов выпуклого многоугольника с n сторонами равно (n — 2) 180.

Теорема 3-14 Сумма мер внешних углов любого выпуклого многоугольника, по одному углу в каждом вершина, равна 360.

СОГЛАСОВАННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

Теорема 4-1 (Равнобедренный Теорема о треугольнике) Если две стороны треугольника совпадают, то углы, противоположные этим сторонам, совпадают.

Следствие 1 Равносторонний треугольник также равносторонний.

Следствие 2 Равносторонний треугольник имеет три угла по 60 градусов.

Следствие 3 Биссектриса угол при вершине равнобедренного треугольника перпендикулярен база в его средней точке.

Теорема 4-2 Если два угла треугольника равны, тогда стороны, противоположные этим углам конгруэнтны.

Следствие An равносторонний треугольник тоже равносторонний.

Теорема 4-3 (Теорема AAS) Если два угла и сторона одного треугольника, не входящая в состав, равны совпадающие с соответствующими частями другого треугольника, то треугольники равны.

Теорема 4-4 (теорема HL) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующие части другого прямоугольного треугольника, то треугольники конгруэнтны.

Теорема 4-5 Если точка лежит на серединном перпендикуляре отрезка, то точка равноудалены от конечных точек сегмента.

Теорема 4-6 Если точка равноудалена от концов отрезка, то точка лежит на серединный перпендикуляр к отрезку.

Теорема 4-7 Если точка лежит на биссектрисе угла, то точка равноудалена от стороны угла.

Теорема 4-8 Если точка равноудалены от сторон угла, то точка лежит на биссектриса угла.

ЧЕТВЕРТАЯ

Теорема 5-1 напротив стороны параллелограмма равны.

Теорема 5-2 напротив углы параллелограмма равны.

Теорема 5-3 Диагонали a параллелограммы рассекают друг друга пополам.

Теорема 5-4 Если обе пары противоположных сторон четырехугольника равны, то четырехугольник — параллелограмм.

Теорема 5-5 Если одна пара противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, тогда четырехугольник — параллелограмм.

Теорема 5-6 Если обе пары противоположных углов четырехугольника равны, то четырехугольник — параллелограмм.

Теорема 5-7 Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, затем четырехугольник — параллелограмм.

Теорема 5-8 Если две строки параллельны, то все точки на одной прямой равноудалены от другая линия.

Теорема 5-9 Если три параллельные линии отсекают конгруэнтные отрезки на одной поперечной, затем они отрезают конгруэнтные сегменты на каждой поперечине.

Теорема 5-10 Строка, содержащая середина одной стороны треугольника и параллельна другой стороне проходит через середину третьей стороны.

Теорема 5-11 Сегмент, соединяющий середины двух сторон треугольника

            1. это параллельно третьей стороне

            2. это вдвое короче третьей стороны

Теорема 5-12 Диагонали прямоугольник конгруэнтен.

Теорема 5-13 Диагонали ромбы перпендикулярны.

Теорема 5-14 Каждая диагональ ромб делит пополам два угла ромба.

Теорема 5-15 Середина гипотенуза прямоугольного треугольника равноудалена от трех вершины.

Теорема 5-16 Если угол параллелограмм — прямой угол, то параллелограмм — это прямоугольник.

Теорема 5-17 Если две последовательные стороны параллелограмма конгруэнтны, то параллелограмм является ромб.

Теорема 5-18 Базовые углы равнобедренные трапеции конгруэнтны.

Теорема 5-19 Медиана трапеции

            1. это параллельно базам

            2. имеет длина равна средней длине баз

Геометрия

Геометрия — это все о формах и их свойствах.

Если вам нравится играть с объектами или рисовать, то геометрия для вас!

Геометрию можно разделить на:


Плоская геометрия — это плоские формы, такие как линии, круги и треугольники … фигуры, которые можно нарисовать на листе бумаги


Solid Geometry — это трехмерные объекты, такие как кубы, призмы, цилиндры и сферы.

Совет: по мере обучения попробуйте нарисовать некоторые формы и углы… это помогает.

Точка, линия, плоскость и твердое тело

Точка не имеет размеров, только позиция
Линия одномерная
Самолет двумерный (2D)
Твердое тело трехмерное (3D)

Почему?

Почему мы делаем геометрию? Чтобы открывать закономерности, находить площади, объемы, длины и углы, а также лучше понимать мир вокруг нас.

Плоская геометрия

Плоская геометрия — это все о формах на плоской поверхности (например, на бесконечном листе бумаги).




Полигоны

Многоугольник — это двумерная фигура, состоящая из прямых линий. Треугольники и прямоугольники — это многоугольники.

Вот еще несколько:

Круг

Теоремы о круге (расширенная тема)

Символы

В геометрии используется много специальных символов.Вот вам краткая справка:

Геометрические символы

Конгруэнтные и похожие

Уголки

Типы углов

Преобразования и симметрия

Преобразований:

Симметрия:


Координаты

Более сложные темы по геометрии плоскости

Пифагор

Конические секции

Теоремы о круге

Центры треугольника

Тригонометрия

Тригонометрия — отдельная тема, поэтому вы можете посетить:

Твердая геометрия

Solid Geometry — это геометрия трехмерного пространства, в котором мы живем…

… давайте начнем с самых простых форм:


Общие 3D-фигуры

Многогранники и неполиэдры

Есть два основных типа твердых тел: «Многогранники» и «Неполиэдры»:

Многогранники (у них должны быть плоские грани) :

Non-Polyhedra (когда любая поверхность не плоский) :

Угловые свойства, постулаты и теоремы

Для логического изучения геометрии
важно понимать ключевые математические свойства
и знать, как применять полезные постулаты и теоремы.Постулат — это утверждение
, которое не было доказано, но считается истинным на основании
для математических рассуждений. Теоремы , с другой стороны, являются утверждениями, истинность которых
была доказана с использованием других теорем или утверждений. В то время как
некоторые постулаты и теоремы были введены в предыдущих разделах, другие
являются новыми для нашего изучения геометрии. Мы будем применять эти свойства, постулаты и теоремы
, чтобы помочь нашим математическим доказательствам очень логичным и разумным образом.

Прежде чем мы начнем, мы должны ввести понятие конгруэнтности. Углы равны конгруэнтным
, если их размеры в градусах равны. Примечание : «конгруэнтный» не
означает «равный». Хотя они кажутся очень похожими, совпадающие углы не обязательно должны указывать на 90-115 в одном направлении. Единственный способ получить равные углы — это сложить два угла
одинаковой меры друг на друга.

Недвижимость

Мы будем использовать следующие свойства, чтобы помочь нам рассуждать с помощью нескольких геометрических доказательств
.

Рефлексивное свойство

Количество равно самому себе.

Симметричное свойство

Если A = B , то B = A .

Переходное свойство

Если A = B и B = C , то A = C .

Дополнительное свойство равенства

Если A = B , то A + C = B + C .

Угловые постулаты

Постулат сложения углов

Если точка лежит внутри угла, этот угол представляет собой сумму двух меньших углов
с участками, которые проходят через данную точку.

Рассмотрим рисунок ниже, на котором точка T находится внутри
? QRS . Согласно этому постулату, мы имеем ? QRS =? QRT +? TRS .
Мы фактически применили этот постулат, когда практиковались в нахождении дополнительных углов
и углов в предыдущем разделе.

Постулат о соответствующих углах

Если трансверсаль пересекает две параллельные линии , пары соответствующих углов
совпадают.

Обратное тоже верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и соответствующие углы
совпадают, то прямые параллельны.

На рисунке выше показаны четыре пары соответствующих углов.

Параллельный постулат

Для данной линии и точки не на этой линии существует уникальная линия, проходящая через точку
, параллельную данной прямой.

Постулат параллельности — это то, что отличает евклидову геометрию от неевклидовой геометрии.

Есть бесконечное количество линий, которые проходят через точку E , но только
красная линия проходит параллельно линии CD .Любая другая линия, проходящая через E , в конечном итоге
пересечет линию CD .

Угловые теоремы

Теорема

об альтернативных внешних углах

Если трансверсаль пересекает две параллельные линии , то альтернативные внешние углы
совпадают.

Обратное также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и альтернативные внешние углы
совпадают, то прямые параллельны.

Альтернативные внешние углы имеют одинаковые градусы, потому что линии расположены на
параллельно друг другу.

Теорема

об альтернативных внутренних углах

Если трансверсаль пересекает две параллельные линии , то альтернативные внутренние углы
совпадают.

Обратное также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и чередующиеся внутренние углы
совпадают, то прямые параллельны.

Альтернативные внутренние углы имеют одинаковые градусы, потому что линии расположены на
параллельно друг другу.

Теорема о конгруэнтных дополнениях

Если два угла являются дополнениями одного и того же угла (или конгруэнтных углов), то два угла
конгруэнтны.

Теорема о конгруэнтных дополнениях

Если два угла являются дополнениями одного и того же угла (или равных углов), то два угла
совпадают.

Теорема о прямых углах

Все прямые углы совпадают.

Теорема

об односторонних внутренних углах

Если трансверсаль пересекает две параллельные линии , то внутренние углы
на той же стороне трансверсали являются дополнительными.

Обратное также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и внутренние углы
на той же стороне трансверсали являются дополнительными, то прямые
параллельны.

Сумма градусов внутренних углов той же стороны составляет 180 °.

Теорема о вертикальных углах

Если два угла — это вертикальные углы, то они имеют равные меры.

Вертикальные углы имеют одинаковые градусы. Есть две пары вертикальных углов.

Упражнения

(1) Дано: m? DGH = 131

Найти: m? GHK

Во-первых, мы должны полагаться на информацию, которую нам дают, чтобы начать наше доказательство.В этом упражнении
мы отмечаем, что величина ? DGH равна 131 ° .

Из представленной иллюстрации мы также видим, что линии DJ и EK
параллельны друг другу. Следовательно, мы можем использовать некоторые из угловых теорем
выше, чтобы найти меру ? GHK .

Мы понимаем, что существует взаимосвязь между ? DGH и ? EHI :
, это соответствующие углы.Таким образом, мы можем использовать постулат соответствующих углов
, чтобы определить, что ? DGH ?? EHI .

Прямо напротив ? EHI стоит ? GHK . Поскольку это
вертикальных углов, мы можем использовать теорему о вертикальных углах , чтобы увидеть, что ? EHI ?? GHK .

Теперь, по транзитивности , мы имеем ? DGH ?? GHK .

Конгруэнтные углы имеют равные градусы, поэтому размер ? DGH
равен размеру ? GHK .

Наконец, мы используем замену , чтобы сделать вывод, что мера для ? GHK
равна 131 ° . Этот аргумент организован в виде доказательства в две колонки ниже.

(2) Дано: m? 1 = m? 3

Prove: m? PTR = m? STQ

Доказательство начнем с того, что меры ? 1 и ? 3
равны.

На втором этапе мы используем рефлексивное свойство , чтобы показать, что ? 2
равно самому себе.

Хотя предыдущий шаг был тривиальным, предыдущий шаг был необходим, потому что он настраивал нас на использование
Свойство сложения равенства , показывая, что добавление меры ? 2
к двум равным углам сохраняет равенство.

Затем с помощью постулата сложения угла мы видим, что ? PTR — это сумма
из ? 1 и ? 2 , тогда как ? STQ — это
сумма ? 3 и ? 2 .

В конечном итоге, с помощью замены становится ясно, что меры ? PTR
и ? STQ равны. Доказательство из двух столбцов для этого упражнения показано ниже,
.

(3) Дано: m? DCJ = 71 , m? GFJ = 46

Доказательство: м? AJH = 117

Нам дается размер ? DCJ и ? GFJ , чтобы начать упражнение
.Также обратите внимание, что три линии, которые проходят горизонтально на иллюстрации
, параллельны друг другу. Диаграмма также показывает нам, что на заключительных этапах нашего доказательства
может потребоваться сложить два угла, которые составляют ? AJH .

Мы обнаружили, что существует связь между ? DCJ и ? AJI :
, они являются альтернативными внутренними углами. Таким образом, мы можем использовать теорему об альтернативных внутренних углах
, чтобы утверждать, что они конгруэнтны друг другу.

По определению сравнения , их углы имеют одинаковые размеры, поэтому
они равны.

Теперь мы заменяем мерой ? DCJ на 71
, поскольку нам дано это количество. Это говорит нам, что ? AJI также является
71 ° .

Поскольку ? GFJ и ? HJI также являются альтернативными внутренними углами,
мы требуем совпадения между ними по теореме об альтернативных внутренних углах .

Определение конгруэнтных углов еще раз доказывает, что углы равны
мерам. Поскольку мы знали величину ? GFJ , мы просто подставляем
, чтобы показать, что 46 является градусной мерой ? HJI .

Как предсказывалось выше, мы можем использовать постулат сложения угла , чтобы получить сумму
из ? AJI и ? HJI , поскольку они составляют ? AJH .
В конечном итоге мы видим, что сумма этих двух углов дает нам 117 ° .
Доказательство из двух столбцов для этого упражнения показано ниже.

(4) Дано: m? 1 = 4x + 9 , m? 2 = 7 (x + 4)

Найти: m? 3

В этом упражнении нам не даются конкретные градусные меры для показанных углов.
Скорее, мы должны использовать некоторую алгебру
, чтобы помочь нам определить меру ? 3 . Как всегда, мы начинаем с информации
, приведенной в задаче. В этом случае нам даны уравнения для мер
из ? 1 и ? 2 . Также отметим, что на диаграмме существует две пары
параллельных прямых.

По теореме о равных внутренних углах мы знаем, что эта сумма ? 1
и ? 2 составляет 180 , потому что они являются дополнительными.

После , заменяющего этих углов заданными нам мерами и упрощением,
мы получаем 11x + 37 = 180 . Чтобы найти x , мы сначала вычтем
обе части уравнения на 37 , а затем разделим обе стороны на 11 .

После того, как мы определили, что значение x равно 13 , мы снова подключаем его к уравнению для меры
из ? 2 с намерением в конечном итоге использовать соответствующих углов
Постулат
.Подключение 13 для x дает нам меру
119 для ? 2 .

Наконец, мы заключаем, что ? 3
также должны иметь эту степень степени, поскольку ? 2 и ? 3
являются конгруэнтными . Доказательство из двух столбцов, показывающее этот аргумент, показано ниже.

ромб и его теоремы

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

В этом разделе мы обсудим ромб и его теоремы.
Ромб — параллелограмм, все стороны которого равны и параллельны.

Ромб и его теоремы:

Теорема 1: Диагонали ромба перпендикулярны друг другу.


Дано: Ромб ABCD, диагонали которого равны AC и BD, пересекаются в точке O.

Докажите, что: ∠BOC = ∠DOC = ∠AOD = ∠AOB = 90 0

11076
Заявления Причины
1) Дано
2) AB = BC = CD = DA 2) Свойства ромба.
3) OB = OD и OA = OC 3) Поскольку параллелограмм представляет собой ромб, диагонали разделяют друг друга пополам.
4) BO = OD 4) From (3)
5) BC = DC 5) Свойства ромба.
6) OC = OC 6) Рефлексивная (общая сторона)
7) ΔBOC ≅ ΔDOC 7) Постулат SSS.
8) ∠BOC = ≅ ∠DOC 8) CPCTC
9) ∠BOC + ∠DOC = 180 9) Линейные парные углы являются дополнительными.
10) 2∠BOC = 180 10) Свойство сложения
11) ∠BOC = 90 11) Свойство разделения
12) ∠BOC = ∠DOC = 90 12) Поскольку эти два угла совпадают.

Следовательно, AOB = ∠BOC = COD = ∠DOA = 90 0

Справедливо и обратное приведенной выше теореме ⇒ Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб.

Пример:

1) ABCD представляет собой ромб с ∠ABC = 56. Определите ∠ACD.


Решение: ABCD — ромб.

∠ ABC = ∠ADC (Противоположные углы равны)

∠ADC = 56 0

∴ ∠ ODC = ½ ∠ADC (Диагонали ромба делят угол пополам)

⇒ 0003 0003 ½ x 56

⇒ ODC = 28 0

∠OCD + ∠ODC + ∠COD = 180 (В ΔOCD сумма всех углов в треугольнике равна 180)

∠OCD + 28 + 90 = 180

⇒ OCD + 118 = 180

⇒ ∠OCD = 180 -118

∠OCD = 62 0


Четырехугольник

• Введение в четырехугольник
• Типы четырехугольника
• Свойства четырехугольника
• Параллелограмм и его теоремы
Прямоугольник и его теоремы
• Квадрат и его теоремы
• Ромб и его теоремы
• Трапеция (Трапеция) и его теоремы
• Воздушный змей и его теоремы
• Теорема средней точки

Домашняя страница

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми .

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Что такое треугольник и его свойства? Определение, виды, формулы треугольников

В этой статье мы узнаем о простейшей форме многоугольника: треугольник . Все многоугольники можно разделить на треугольники, или, другими словами, они образованы путем объединения двух или более треугольников. Таким образом, важно понимать основные свойства треугольника и их типы.

Вот краткое описание тем, которые мы рассмотрим в этой статье:

Вы также можете просмотреть это видео о свойствах треугольника:

Что такое треугольник?

Как следует из названия, треугольник представляет собой многоугольник с тремя углами.Итак, когда у замкнутой фигуры три угла?

Когда он состоит из трех отрезков, соединенных встык.

Таким образом, мы можем сказать, что треугольник — это многоугольник, у которого есть три стороны, три угла, три вершины, а сумма всех трех углов любого треугольника равна 180 °.

Свойства треугольника

Свойства треугольника:

  1. Треугольник имеет три стороны, три угла и три вершины.
  2. Сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна 180 °. Это называется свойством суммы углов треугольника.
  3. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше, чем длина третьей стороны.
  4. Сторона, противоположная наибольшему углу треугольника, является наибольшей стороной.
  5. Любой внешний угол треугольника равен сумме его внутренних противоположных углов. Это называется свойством внешнего угла треугольника.

Виды треугольников

Треугольники можно классифицировать двумя основными способами:

  • Классификация по внутренним углам
  • Классификация по длине сторон

Классификация треугольника по внутренним углам

На основании измерения угла различают три типа треугольников:

  1. Острый угловой треугольник
  2. Прямоугольный треугольник
  3. Тупоугольный треугольник

Давайте подробно обсудим каждый тип.

Острый угловой треугольник

Треугольник, у которого все три угла меньше 90 °, является треугольником с острыми углами.

  • Итак, все углы треугольника с острыми углами называются острыми углами

Ниже приведен пример треугольника с острыми углами.

Прямоугольный треугольник

Треугольник с одним углом, равным точно 90 °, является прямоугольным треугольником.

  • Два других угла прямоугольного треугольника — острые.2

    Это известно как Теорема Пифагора

    Наоборот, мы можем сказать, что если треугольник удовлетворяет условию Пифагора, то это прямоугольный треугольник.

    Тупой / наклонный угловой треугольник

    Треугольник с одним углом, превышающим 90 ° °, является треугольником с тупым углом.

    Ниже приведен пример треугольника с тупым / наклонным углом.

    Вопросы о треугольниках очень часто задают на GMAT.Ace GMAT Quant, подписавшись на бесплатную пробную версию, вы получите доступ к более чем 400 вопросам. Мы являемся самой популярной онлайн-компанией по подготовке к GMAT с более чем 2060 отзывами на GMATClub.

    Учитесь у Гильермо, который поднялся с Q38 до Q50.

    Классификация треугольников по длине сторон

    В зависимости от длины сторон треугольники подразделяются на три типа:

    1. Масштабный треугольник
    2. Равнобедренный треугольник
    3. Равносторонний треугольник

    Давайте подробно обсудим каждый тип.

    Чешуйчатый треугольник

    Треугольник, у которого все три стороны разной длины , является разносторонним треугольником.

    • Поскольку все три стороны имеют разную длину, у три угла также будут разными.

    Ниже приведен пример разностороннего треугольника

    .
    Равнобедренный треугольник

    Треугольник, у которого две стороны одинаковой длины и третья сторона разной длины , является равнобедренным треугольником.

    • Углы напротив равных сторон имеют одинаковые размеры.

    Ниже приведен пример равнобедренного треугольника.

    Равносторонний треугольник

    Треугольник, у которого все три стороны одинаковой длины , является равносторонним треугольником.

    • Поскольку все три стороны имеют одинаковую длину, все три угла также будут равны.
    • Каждый внутренний угол равностороннего треугольника = 60 °

    Особые случаи прямоугольных треугольников

    Давайте также рассмотрим несколько частных случаев прямоугольного треугольника

    45-45-90 треугольник

    В этом треугольнике

    • Два угла составляют 45 °, а третий угол является прямым.
    • Стороны этого треугольника будут в соотношении — 1: 1: √2 соответственно.
    • Его также называют равнобедренным прямоугольным треугольником , поскольку два угла равны.

    30-60-90 треугольник

    В этом треугольнике

    • Это прямоугольный треугольник, так как один угол = 90 °
    • Углы этого треугольника находятся в соотношении — 1: 2: 3, а
    • Стороны , противоположные этим углам, будут в соотношении — 1: √3: 2 соответственно
    • Это разносторонний прямоугольный треугольник , поскольку все три угла разные.

    Формула площади треугольника

    • Площадь любого треугольника = ½ * основание * высота
    • Площадь прямоугольного треугольника = ½ * произведение двух перпендикулярных сторон

    Свойства треугольника: сводка и основные выводы

    Подведем итог некоторым важным свойствам треугольника.

    • Сумма всех внутренних углов любого треугольника равна 180 °
    • Сумма всех внешних углов любого треугольника равна 360 °
    • Внешний угол треугольник равен сумме двух его внутренних противоположных углов
    • Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше, чем длина третьей стороны
    • Аналогично, разница между длинами из любая две стороны треугольника всегда меньше длины третьей стороны
    • Сторона, противоположная наименьшему внутреннему углу, является самой короткой стороной и наоборот.
    • Точно так же сторона, противоположная наибольшему внутреннему углу, является самой длинной стороной, и наоборот.
      • В случае прямоугольного треугольника эта сторона называется гипотенузой
    • Высота треугольника равна длине перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону, и эта сторона равна считается базой

    Если вам понравилась эта статья, вы также можете прочитать следующие статьи продвинутого уровня о треугольниках

    Планируете ли вы поступить в бизнес-школу США? Позвольте нам помочь вам пройти первый этап процесса i.е., сдавая GMAT. Пройдите бесплатный тест GMAT, чтобы понять свой базовый результат, и начните подготовку к GMAT с нашей бесплатной пробной версии. Мы являемся самой популярной онлайн-компанией по подготовке к GMAT с более чем 2060 отзывами на GMATClub.

    Свойства треугольника: тест по применению

    Вопрос: 1

    В равнобедренном треугольнике DEF, если внутренний угол ∠D = 100 °, то каково значение ∠F?

    1. 20 °
    2. 40 °
    3. 60 °
    4. 80 °
    5. 100 °

    Раствор

    Шаг 1: Дано

    • ∆DEF — равнобедренный треугольник

    Шаг 2: найти

    Шаг 3: подход и разработка

    • Мы знаем, что сумма всех внутренних углов в треугольнике = 180 °
    • подразумевает, D + ∠E + ∠F = 180 °
    • ∠E + ∠F = 180 0 — 100 0 = 80 °
    • Поскольку ∆DEF — равнобедренный треугольник; два его угла должны быть равны.
    • И единственная возможность — ∠E = ∠F
    • Следовательно, 2∠F = 80 °
    • Подразумевается, F = 40 °

    Следовательно, правильный ответ — Вариант B.

    Вопрос 2

    В прямоугольном треугольнике ∆ABC, BC = 26 единиц и AB = 10 единиц. Если BC — самая длинная сторона треугольника, то какова площадь ∆ABC?

    1. 120
    2. 130
    3. 240
    4. 260
    5. 312

    Решение

    Шаг 1: Дано

    • ∆ABC — прямоугольный треугольник
      • BC = 26 шт.
      • AB = 10 шт.
      • до н.э. — самая длинная сторона треугольника

    Шаг 2: найти

    • Площадь треугольника ∆ABC

    Шаг 3: подход и отработка

    • Нам дано, что BC — самая длинная сторона треугольника, из чего следует, что BC — гипотенуза

    Таким образом, согласно правилу Пифагора:

    • BC 2 = AB 2 + AC 2
    • 26 2 = 10 2 + AC 2
    • AC 2 = 676-100 = 576
    • Следовательно, AC = 24 шт.
    • Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника = ½ * произведение двух перпендикулярных сторон = ½ * AB * AC = ½ * 10 * 24 = 120 кв.ед.

    Следовательно, правильный ответ — Вариант А .

    Вот еще несколько статей, которые вы можете прочитать:

    FAQ — Свойства треугольника

    Что такое треугольник и его свойства?

    Треугольник — это замкнутая фигура с тремя сторонами, тремя вершинами, тремя углами и суммой внутренних углов 180 °

    Какие бывают типы треугольников?

    Треугольники можно классифицировать двумя способами: по внутренним углам и по длине сторон.По внутренним углам существует три типа треугольников: острый, прямой и тупоугольный. По длине сторон треугольники можно разделить на 3 категории: скален, равнобедренный и равносторонний треугольник.

    Что такое треугольник Скален?

    Треугольник, все три стороны которого различаются по длине, является разносторонним треугольником.

    Что такое равнобедренный треугольник?

    Треугольник, у которого две стороны одинаковой длины и третья сторона разной длины, является равнобедренным треугольником.

    Что такое равносторонний треугольник?

    Треугольник, все три стороны которого имеют одинаковую длину, является равносторонним треугольником.

    Quia — свойства геометрии, постулаты, теоремы

    A B
    ReflexiveProperty Для каждого числа a, a = a.
    SymmetricProperty Для всех чисел a и b, если a = b, то b = a. (Например, сегмент GH = сегмент HG)
    TransitiveProperty Для всех чисел a, b и c, если a = b & b = c, то a = c.(Немного похоже на закон силлогизма)
    Свойство сложения / вычитания Для всех чисел a, b, & c, если a = b, то a + c = b + c и a — c = b — c . (например, 1 фут = 12 дюймов, 1 фут + 3 дюйма = 12 дюймов + 3 дюйма)
    Свойство Mult / Division Для всех чисел a, b и c, если a = b, то a * c = b * c, и если c не равно нулю, a ÷ c = b ÷ c. (например, 1 м = 1000 мм, 1 м * 5 = 1000 мм * 5, 5 м = 5000 мм)
    SubstitutionProperty Для всех чисел a и b, если a = b, то a может быть заменено на b в любом уравнении или выражении.
    DistributiveProperty Для всех чисел a, b, & c, a (b + c) = ab + ac.
    ТЕОРЕМА 2-1 Свойства сегмента Конгруэнтность сегментов рефлексивна, симметрична и транзитивна.
    Теорема 2-2 Дополнение Теорема Если два угла образуют линейную пару, то они являются дополнительными углами.
    Теорема 2-3 Свойства углов Конгруэнтность углов бывает рефлексивной, симметричной и переходной.
    Теорема 2-4, дополнительная конгруэнтность Углы, дополнительные к одному и тому же углу или конгруэнтным углам, конгруэнтны.
    Теорема 2-5: дополнительные конгруэнтные Углы, дополняющие один и тот же угол или конгруэнтные углы, конгруэнтны.
    Теорема 2-6 прямо конгруэнтна Все прямые углы конгруэнтны.
    Теорема 2-7 вертикальные углы Вертикальные углы совпадают.
    Теорема 2-8, перпендикулярные прямые образуют Перпендикулярные линии пересекаются, образуя четыре прямых угла.
    Постулат 3-1 Соответствующие углы Если две параллельные прямые пересекаются поперечной, то каждая пара соответствующих углы совпадают.,
    Теорема 3-1 Альтернативный внутренний угол Если две параллельные линии пересекаются поперечной, то каждая пара альтернативных внутренних углов конгруэнтна,
    Теорема 3-2 Последовательный внутренний угол Если две параллельные линии пересекаются трансверсалью, то каждая пара последовательных внутренних углов является дополнительной. congruent,
    Теорема 3-4 Перпендикулярно-поперечный На плоскости, если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных l линий, то перпендикулярно другой.,
    Постулат 3-5 Постулат Евклидовой параллели Если на плоскости линия перпендикулярна одной из двух параллельных линий, то она перпендикулярна другой.
    Теорема 3-5 transversal alt int angles Если есть прямая и точка не на прямой, то существует ровно одна прямая, хотя точка параллельна данной прямой.,
    Теорема 3-5 transversal alt int angles Если две прямые в плоскости пересекаются трансверсалью, так что пара чередующихся внутренних углов конгруэнтна, то эти две прямые параллельны.,
    Теорема 3-6 Если две прямые в плоскости пересекаются трансверсалью так, что пара последовательных внутренних углов является дополнительными, то эти прямые параллельны.,
    Теорема 3-8 На плоскости, если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. тогда и только тогда, когда они параллельны.,
    Постулат 3-3 Две невертикальные линии перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их наклонов равно -1.,
    Постулат 3-4 Если две линии в плоскости пересекаются
    Теорема 4-2 Теорема о третьем угле Если два угла одного треугольника совпадают с двумя углами второго треугольника, то третьи углы треугольники конгруэнтны.,
    Теорема 4-1 Теорема о сумме углов Сумма углов треугольника равна 180.,
    Теорема 4-3 Теорема о внешнем угле Мера внешнего угла треугольника. треугольник равен,
    Следствие 4-1 Острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга.,
    Постулат 4-1 SSS (Сторона — Сторона — Сторона) — Если стороны одного треугольник конгруэнтны сторонам второго треугольника, тогда треугольники конгруэнтны.,
    Постулат 4-2 SAS Сторона — Включенный угол — Сторона) — Если две стороны и ВКЛЮЧЕННЫЙ угол одного треугольника совпадают с двумя сторонами и ВКЛЮЧЕННЫМ углом другого треугольника, то треугольники совпадают.,
    Постулат 4-3 ASA (Угол — Включенная сторона — Угол) — Если два угла и ВКЛЮЧЕННАЯ сторона одного треугольника совпадают с двумя углами и ВКЛЮЧЕННОЙ стороной другого треугольника, то треугольники совпадают.
    Постулат 4-3 AAS (Угол — Угол — Сторона) — Если два угла и НЕ ВКЛЮЧЕННАЯ сторона одного треугольника конгруэнтны соответствующим двум углам и стороне второго треугольника, два треугольника конгруэнтны .
    Теорема 4-6 Теорема о равнобедренном треугольнике (ITT) Если две стороны треугольника совпадают, то углы, противоположные этим сторонам, совпадают.
    Теорема 4-7 Конверсия ITT Если два угла треугольника равны, тогда стороны, противоположные этим углам, равны.
    Следствие 4-3 Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда он равноугольный.
    Следствие 4-4 Каждый угол равностороннего треугольника составляет 60 градусов.
    Теорема 5-5 LL (Нога — Нога) Если катеты одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующим катетам другого прямоугольного треугольника, то треугольники конгруэнтны.,
    Теорема 5-6 HA (Гипотенуза — угол) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника конгруэнтны гипотенузе и соответствующему острому углу другого прямоугольного треугольника, то два треугольника конгруэнтны.,
    Теорема 5-7 LA ( Колено — Угол) Если отрезок и острый угол одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующему отрезку и острому углу другого прямоугольного треугольника, то треугольники конгруэнтны.,
    Постулат 5-1 HL (Hypotenuse-Leg) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника конгруэнтны гипотенузе и соответствующему катету другого прямоугольного треугольника, то треугольники конгруэнтны.
    Теорема 5-8 Теорема о неравенстве внешнего угла Если угол является внешним углом треугольника, то его мера больше, чем мера любого из соответствующих удаленных внутренних углов.,
    Теорема 5- 9 Если одна сторона треугольника длиннее другой, тогда угол, противоположный длинной стороне, имеет большую меру, чем угол, противоположный
    Теорема 5-10 Если один угол треугольника имеет большую меру чем другой угол, то сторона, противоположная большему углу, длиннее, чем сторона, противоположная меньшему углу,
    Теорема 5-11 Перпендикулярный сегмент от точки к прямой является самым коротким сегментом от точки до прямой .,
    Теорема 5-12 Перпендикулярный отрезок от точки к плоскости — это кратчайший отрезок от точки к плоскости.
    Теорема 5-12 Теорема о неравенстве треугольника Сумма длин любых двух сторон треугольника больше, чем длина третьей стороны.
    Теорема 6-5 Если обе пары противоположных сторон четырехугольника равны, то четырехугольник является параллелограммом
    Теорема 6-6 Если обе пары противоположных углов четырехугольника совпадают, тогда четырехугольник является параллелограммом
    Теорема 6-7 Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник является параллелограммом.
    Теорема 6-8 Если одна пара противоположных сторон четырехугольника параллельна и конгруэнтна, то четырехугольник является параллелограммом.
    Обзор свойств параллелограмма 1. Обе пары противоположных сторон параллельны. Обе пары противоположных сторон равны. 3. Обе пары противоположных углов равны. 4. диагонали делят друг друга пополам. 5. Пара противоположных сторон параллельна и конгруэнтна.
    Теорема 6-9 Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали совпадают.
    Теорема 6-10 (обратная теореме 6-9) Если диагонали параллелограмма совпадают, то параллелограмм — прямоугольник.
    Сводка свойств прямоугольника 1. Противоположные стороны совпадают и параллельны. (Все параллелограммы) 2. Противоположные углы равны. (Все параллелограммы) 3. Последовательные углы являются дополнительными. (Все параллелограммы) 4. Диагонали делят друг друга пополам.

    Author: alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.